Ουρές Αναμονής

Παύλος Ζουμπούλογλου

15 Ιανουαρίου 2019

1 Πρόλογος

Το έγγραφο αυτό δημιουργήθηκε στα πλαίσια του προπτυχιακού μαθήματος ῾῾Ου-

ρές Αναμονής᾿᾿ όπως διδάχθηκε το Χειμερινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2018-

2019 από τον Καθηγητή Α Οικονόμου στο τμήμα Μαθηματικών του Εθνικού και

Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών Αποτελεί μία συλλογή λύσεων για τις

ασκήσεις των σημειώσεων του μαθήματος μερικές από τις οποίες έγιναν στη τάξη

και μερικές από τον συγγραφέα Οι σημειώσεις αυτές δεν έχουν ελεγχθεί και ε-

πομένως περιέχουν πολλά λάθη τόσο ουσιαστικά όσο και μη Στόχος τους είναι

να βοηθήσουν τους φοιτητές στη μελέτη του μαθήματος

Παρατηρήσεις για τη βελτίωση και διόρθωση του παρόντος εγγράφου είναι πα-

ραπάνω από καλοδεχούμενες Οι ενδιαφερόμενοι αναγνώστες καλούνται να επι-

κοινωνήσουν με τον συγγραφέα στο pzoubouloglougmailcom ή με τον διδάσκο-

ντα του μαθήματος στο aeconommathuoagr μέχρι το πέρας του εξαμήνου ενώ

στη συνέχεια την επιμέλεια τους θα αναλάβει αποκλειστικά ο διδάσκων

2 331 (΄Εγινε στο μάθημα)

hArr Αρχικά παραθέτουμε το Ν του Little E(Q) = λE(S) ΄Εχουμε όμως μία

εξίσωση με 2 αγνώστους άρα χρειαζόμαστε άλλη μια εξίσωση Εφόσον πρόκειται

για την ουρά M |G|1|1 έχουμε δύο ενδεχόμενα ως προς το πλήθος των πελατών

στο σύστημα άρα με το θεώρημα διπλής μέσης τιμής θεωρώντας Qminus τον αριθμό

των πελατών που βλέπει ένας εισερχόμενος πελάτης παίρνουμε

E(S) = P (Qminus = 0)E(S|Qminus = 0) + P (Qminus = 1)E(S|Qminus = 1)

rArr E(S) = p0E(X) + p10 = bp0

Οι παραπάνω εξισώσεις μας οδηγούν στα εξής

E(Q) = λbp0 = ρp0

΄Οπου λb = ρ ΄Ομως από τον ορισμό της μέσης τιμής έχουμε E(1) = 0p0 +1p1 = ρp0 και δηλαδή p1 = ρp0 Με την εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε

p0 + p1 = 1rArr p0 = 11+ρ p1 = ρ

1+ρ

1

3 332 (΄Εγινε στο μάθημα)

Από το Νόμο του Little με τετριμμένο τρόπο συμπαιρένουμε πως

E(Q) = ρυθμός άφιξης lowast μέσος χρόνος παραμονής πελάτη

hArr E(Q) =b

a

4 333 (΄Εγινε στο μάθημα)

α) Γνωρίζουμε ότι το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο αν hArr ρ lt c hArr56078 lt chArr c gt 65

β) Το ποσοστό χρόνου απασχολημένου υπηρέτη θα είναιρc άρα θέλουμε

ρc lt

08hArr 6508 lt chArr c ge 9

5 334 (΄Εγινε στο μάθημα)

Αρχικά παρατηρούμε πως οι πελάτες τύπου 1 λειτουργούν ως ουράM |M |1 ανεξάρ-

τητα από τους τύπου 2 αφού έχουν απόλυτη προτεραιότητα με ρ = λ1

micro Ακόμα

συνολικά οι τύπου 1 και 2 μαζί λειτουργούν ως αλυσίδα M |M |1 με διαφορετικό

όμως ρυθμό συνωστισμού ρ = λ1+λ2

micro Γνωρίζουμε όμως για αυτές τις ουρές ότι

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1

E(Q1 +Q2) =ρ

1minus ρ

E(Q2) = E(Q1 +Q2)minus E(Q1) =λ1 + λ2

microminus λ1 minus λ2minus λ1

microminus λ1

6 335 (΄Εγινε στο μάθημα)

΄Εχουμε μίαM |M |1 ουρά και ψάχνουμε τα pn an dn ΄Οπως υποδεικνύει η άσκηση

εφαρμόζουμε το νόμο του Little για την i-οστή θέση του συστήματος δηλαδή

E( Πλήθος πελατών στη ι-οστή θέση) = Ρυθμός αφίξεωνlowastE( χρόνος παραμονής στην ι-οστή θέση)

harrinfinsumn=i

pn = λ

infinsumn=iminus1

an1

micro= ρ

infinsumn=iminus1

pn

Με τη τελευταία ισότητα να ισχύει λόγω της PASTA Η σχέση αυτή ισχύει για

όλα τα i ge 1 και άρα εφαρμόζοντας την για i+1 παίρνουμεsuminfinn=i+1 pn = ρ

suminfinn=i pn

και τώρα αφαιρώντας αυτή τη σχέση από αυτή που βρήκαμε παραπάνω έχουμε

pn = ρpnminus1 rArr pn = ρnp0 Τέλος η εξίσωση κανονικοποίησης μας δίνει ότι

p0 = 1minus ρ pn = ρn(1minus ρ)

2

7 471

Θεωρούμε την ουρά M |M |c|c όπου ο κάθε εισερχόμενος πελάτης βλέποντας nπελάτες στο σύστημα θα αποχωρήσει με πιθανότητα

nc (δηλαδή θα εισέλθει με

πιθανότηταcminusnc ) Σημειώνουμε το πίνακα μετάβασης

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n = 1 cminus 1 n+ 1 exp( cminusnc λ)

n-1 exp(micro)c c-1 exp(micro)

Αφού όλοι οι χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί η ουρά είναι μασχ

8 472

Θεωρούμε την ουρά M |M |1 όπου ο κάθε πελάτης του οποίου η εξυπηρέτηση

τελείωσε θα την επαναλάβει με πιθανότητα q (δηλαδή θα φύγει με πιθανότητα

1minus q) Σημειώνουμε το πίνακα μετάβασης

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n+ 1 exp(λ)

nminus 1 exp((1minus q)micro)

Αφού όλοι οι χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί η ουρά είναι μασχ

9 473

Στην ουράM |M |1|1 με χρόνους προθέρμανσης έχουμε τον εξής πίνακα μετάβασης

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0) (1 0) exp(λ)(1 0) (11) exp(θ)(1 1) (0 0) exp(micro)

Στην ουρά M |M |1 με χρόνους προθέρμανσης έχουμε τον εξής πίνακα μετάβα-

σης

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0) (1 0) exp(λ)(n 0) n ge 1 (11) exp(θ)

(n+ 1 0) exp(λ)(1 1) (2 1) exp(λ)

(0 0) exp(micro)(n 1) n ge 2 (n+ 1 1) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(micro)

3

Και στις δύο περιπτώσεις έχουμε αποκλειστικά εκθετικούς χρόνους μεταβάσε-

ων άρα είναι και οι δύο μασχ

10 571

α) Κατά την είσοδο του πελάτη όλοι οι υπηρέτες θα είναι απασχολημένοι Η ε-

πόμενη αναχώρηση από το σύστημα θα γίνει όταν ένας οποιοσδήποτε υπηρέτης

τελειώσει με την εξυπηρέτηση Καθώς η εξυπηρέτηση γίνεται με εκθετική κατανο-

μή ρυθμού μ και λόγω της αμνήμονης ιδιότητας η εξυπηρέτηση μέχρι την πρώτη

αναχώρηση θα ακολουθεί exp(cmicro)β) Για να ξεκινήσει την εξυπηρέτηση του ο n-οστός πελάτης όπου n gt c θα

πρέπει πρώτα να εξυπηρετηθούν nminusc στο πλήθος άτομα ΄Αρα E(S) = E(W )+ 1micro

όπου ο πρώτος προσθετέος οφείλεται στο χρόνο αναμονής και ο δεύτερος στο

χρόνο εξυπηρέτησης του Τελικά S sim (cminusn)exp(cmicro)+exp(micro) το οποίο είναι μία

υποεκθετική κατανομή δηλαδή γενίκευση της Erlang ως άθροισμα εκθετικών με

όχι απαραίτητα τους ίδιους ρυθμούς

11 572 (Μάθημα 10)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n+1 exp(λ)

n-1 exp(micro+ (nminus 1)ν)

Εφόσον στον πίνκα μεταβάσεων όλοι οι χρόνοι είναι εκθετικοί πρόκειται για

μαςχ Για την ειδική περίπτωση μ = ν έχουμε

Bminus1 = 1 +

infinsumi=1

λn

micro(2micro) (nmicro)=

infinsumi=0

λn

nmicron= eρ

όπου ρ = λmicro το οποίο είναι πάντα ευσταθές όπως προκύπτει από το κριτήριο

λόγου

pn =

eminusρ n = 0

eminusρ ρn

n n ge 1(1)

Δηλαδή για το πλήθος των πελατών έχουμε Q sim Poisson(ρ)

12 573

α)

4

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp( 3λ4 )

n n+1 exp(λ4 )n-1 exp(micro)

΄Επεται ότι

Bminus1 = 1 +

infinsumn=1

3λn

4nmicron= 1 + 3

infinsumn=1

(ρ

4)n

η οποία συγκλίνει γιαρ4 lt 1harr ρ lt 4harr λ lt 4micro και δίνει

Bminus1 = 1 + 31

1minus ρ4

= 1 +12

4minus ρ=

16minus ρ4minus ρ

ενώ αποκλίνει για λ ge 4microβ)

pn =

4minusρ16minusρ n = 0

3(4minusρ)(16minusρ) (ρ4 )n n ge 1

(2)

΄Ομως λόγω (α) της PASTA (που οφείλεται στο γεγονός ότι οι αφικνούμενοι

πελάτες φτάνουν με διαδικασία Poisson) και (β) των μεμονωμένων αφίξεων και

αναχωρήσεων έχουμε pn = an = dnγ) Γνωρίζουμε πως το ποσοστό των χαμένων πελατών είναι ίσο με τη πιθα-

νότητα ένας πελάτης να μην εισέλθει λόγω του Θεωρήματος Ολικής Πιθανότητας

έχουμε

P (not enter) = P (Q = 0)P (not enter|Q = 0)+P (Q ge 1)P (not enter|Q ge 1) =p0

4+

3(1minus p0)

4=

3minus 2p0

4

13 574

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n+1 exp(anλ)

n-1 exp(nanmicro)

Bminus1 = 1 +

infinsumn=1

λn

nanmicron=

infinsumn=0

ρn

nan= e

ρa ltinfin

Δηλαδή η ουρά είναι πάντα ευσταθής ενώ για τις πιθανότητες pn παίρνουμε

pn =

eminus

ρa n = 0

eminusρaρn

nan n ge 1(3)

5

΄Αρα συμπεραίνουμε ότι pn sim Poisson( ρa )

β) Αφού η διαδικασία αφίξεων είναι Poisson και πρόκειται για μεμονωμένες

αφίξεις και αναχωρήσεις έπεται dn = an = pn sim Poisson( ρa )

γ) Αρχικά υπολογίζουμε το ρυθμό διαπέρασης

λ =

infinsumn=0

λnpn =

infinsumn=0

anλeminusρa ρn

nan= λeminus

ρa eρ

όμως από το Ν του Little και αφού το πλήθος των πελατών στο σύστημα ακολου-

θεί Poisson έπεται πως E(S) = E(Q)λ = ρe

ρa

minusρ

aλ = eρa

minusρ

amicro Για την περίοδο αργίας

έχουμε πως

E(I) =1

λ0=

1

λ

΄Ετσι μπορούμε να βρούμε και τη μέση διάρκεια ενός κύκλου αφού

E(I)

E(Z)= p0 rArr E(Z) =

eρa

λ

Και τέλος παίρνουμε ότι

E(Y ) = E(Z)minus E(I) =eρa

λminus 1

λ=eρa minus 1

λ

14 575

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n+1 exp( cminusnc λ)

n-1 exp(nmicro)c c-1 exp(cmicro)

Bminus1 = 1+

csumn=1

λ0λ1 λnminus1

micro1micro2 micron=

csumn=0

(cminus 1) (cminus n)λn

cnminus1nmicron=

csumn=0

(c

n

)(ρ

c)n = (1+

ρ

c)c

επειδή πρόκειται για πολυώνυμο με διονυμικούς συντελεστές

΄Αρα για τις πιθανότητες pn πάιρνουμε

pn =

(c

n

)(ρc )n

(1 + ρc )c

=

(c

n

)(

ρc

1 + ρc

)n(1

1 + ρc

)cminusn =

(c

n

)(

ρ

ρ+ c)n(1minus ρ

ρ+ c)nminusc

από το οποίο έπεται πως Q sim Bin(c ρρ+c )

6

β) Το μακροπρόθεσμο ποσοστό των άμεσα αποχωρίσαντων θα είναι ίσο με την

πιθανότητα ένας αφικνούμενος πελάτης να μην εισέλθει στο σύστημα και από το

Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας προκύπτει

P (πιθανότητα να μην εισέλθει) =

csumn=o

n

cpn =

E(Q)

c=np

c=c ρρ+c

c=

ρ

ρ+ c

γ) Λόγω των μεμονομένων αφίξεων θα ισχύει an = dn και καταλήγουμε σε

μια όχι ιδιαίτερα όμορφη σχέση

aentern =λnpnsumcn=0 λnpn

=cminusnc λpn

λc

sumcn=0 (cminus n)pn

=(cminus n)pnsumcminus1n=0(cminus n)pn

= dn n = 0 1 c

δ) ΄Ενας τελικά εισερχόμενος πελάτης θα εξυπηρετείται αμέσως αφού οι υπη-

ρέτες είναι σε πλήθος ίσοι με τη χωρητικότητα του συστήματος άρα E(Sprime) = 1micro

Για το μέσο χρόνο παραμονής όλων των αφικνούμενων πελατών σκεφτόμαστε

ως εξής εφαρμόζουμε δύο φορές το Θεώρημα διπλής μέσης τιμής μια φορά δε-

σμεύοντας ως προς το ενδεχόμενο να εισέλθει -ή να μην εισέλθει- ο πελάτης στο

σύστημα και μια δεύτερη ως προς το ενδεχόμενο να βρει ν πελάτες κατά την

είσοδο του παίρνουμε

E(Sαφικνούμενοι) = P (enter)E(S|enter) + P (noenter)E(S|noenter) =

= P (enter|a0)a0E(S|enter)+P (enter|a1)a1E(S|enter) P (enter| an)anE(S|enter) =

=1

micro(

csumn=0

ancminus nc

) =1

cmicro(

csumn=0

pn(cminus n)) =1

microminus microE(Q)

c=

1

microminus λ

ρ+ c

Τονίζουμε πως δε χρειάζεται να δεσμεύσουμε τις μέσες τιμές ως προς το πόσα

άτομα βλέπει ο αφικνούμενος πελάτης καθώς θα εξυπηρετηθεί αμέσως ανεξάρτητα

από το πόσα θα δει

ε) Εύκολα βρίσκουμε τη μέση περίοδο λειτουργίας E(I) = λ0 = λ Τώρα

βρίσκουμε εύκολα τη μέση διάρκεια ενός κύκλου ως εξής

E(I)

E(Z)= p0 rArr E(Z) =

E(I)

p0=

λ

( cρ+c )

c=λ(ρ+ c)c

cc

15 651

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)1 le j le r j+1 exp(λ)

0 exp(micro)n ge r n+1 exp(λ)

n-r exp(micro)

7

Τώρα καταλήγουμε στις εξής εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1 + micropr = micro(

rsumi=1

pi) (1)

(λ+ micro)pn = λpnminus1 + micropn+rγια n ge 1(2)

β) για να μπορέσουμε να βρούμε τη συνθήκη ευστάθειας θα χρησιμοποιήσουμε

τη λεγόμενη μέθοδο των πιθανογεννητριών με βοήθεια από τη μιγαδική ανάλυση

(1) +

infinsumn=1

(2)zn

rArr λ

infinsumn=0

pnzn + micro(

infinsumn=0

pnzn minus p0) = zλ

infinsumn=0

pnzn + micro(

rsumi=1

pi) +micro

zr

infinsumn=r+1

pnzn

΄Οπου όμως γνωρίζουμε πως P (z) =suminfinn=0 pnz

nκαι αντικαθιστώντας έχουμε

rArr λP (z)+micro(P (z)minusp0) = zλP (z)+micro(

rsumi=1

pi)+micro

zr(P (z)minusp0minusp1zminusmiddot middot middotminusprzr)

rArr P (z) =micro(p0(zr minus 1) + p1(zr minus z) + middot middot middot+ prminus1(zr minus zrminus1)

(λ+ micro)zr minus λzr+1 minus micro

τελικά θέτοντας ρ = λmicro οδηγούμαστε στην εξής μορφή όπου ο παρονομαστής

είναι πολυώνυμο μεγαλύτερου βαθμού ως προς το z από τον αριθμητή

rArr P (z) =p0(zr minus 1) + p1(zr minus z) + middot middot middot+ prminus1(zr minus zrminus1)

(ρ+ 1)(zr minus ρρ+1z

r+1 minus 1ρ+1

) =N(z)

D(z)

Σε αυτό το σημείο θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το πόρισμα του θεωρήματος

Rouche για να εξετάσουμε κατά πόσο αυτή η συνάρτηση αποδίδει πράγματι μάζα

πιθανότητας στη κατανομή pn ΄Ετσι ορίζουμε μία ακολουθία α(z) =suminfinn=0 z

n

τέτοια ώστε a0 = 1ρ+1 ar+1 = ρ

ρ+1 ai = 0 για i 6= 0 r + 1 και παρατηρούμε

αφενός ότι zn minus α(z) = A(z) = zr minus ρρ+1z

r+1 minus 1ρ+1 αφετέρου ότι

suminfinn=0 αn =

1suminfinn=0 nαn lt infin

suminfinn=0 n

2αn lt infin δηλαδή ισχύουν οι προϋποθέσεις του πο-

ρίσματος

Ακόμα έχουμε ότι α(1) = 1 άρα πρέπει να εξετάσουμε το πολυώνυμο Aprime(z)όπου

Aprime(z) = rzrminus1 minus (r + 1)ρ

ρ+ 1zr rArr Aprime(1) = middot middot middot = r minus ρ

ρ+ 1

το τελευταίο εργαλείο που χρειαζόμαστε για την ανάλυση σε περιπτώσεις είναι

το k = mcd(j minus r aj 6= 0) = mcd(minusr 1) = 1

8

1η περίπτωση λ lt rmicro rArr r gt ρ έχουμε ότι α(1) = 1 Aprime(1) gt 0 άρα απα-

ραίτητα θα έχουμε N minus k = r minus 1 ρίζες μέσα στο μιγαδικό δίσκο (z |z| lt 1)1 ρίζα πάνω στο δίσκο (z |z| = 1) (μέσα και πάνω στο δίσκο έχει νόημα η

πιθανογεννήτρια) και 1 ρίζα εκτός του μοναδιαίου δίσκου Δηλαδή μπορούμε να

γράψουμε

D(z) = c1(z minus z0)(z minus z1) (z minus zrminus1)(z minus 1)

όπου οι r στο πλήθος ρίζες εντός και πάνω στο δίσκο είναι οι z1 zrminus1 1όμως για να συγκλίνει η P (z) θα πρέπει όλες αυτές οι ρίζες του παρονομαστή που

βρίσκονται μέσα και πάνω στο μοναδιαίο κύκλο να είναι και ρίζες του αριθμητή

Δηλαδή N(z) = c1(z minus z1) (z minus zrminus1)(z minus 1)΄Αρα αυτό που απομένει είναι P (z) = c

zminusz0 και λόγω της εξίσωσης κανονικο-

ποίησης απαιτούμε να ισχύει P (1) = 1rArr c = 1minus z0 Τελικά παίρνουμε

P (z) =1minus z0

z minus z0=z0 minus 1

z0

1

1minus zz0

=z0 minus 1

z0

infinsumj=0

(z

z0)j =

infinsumj=0

z0 minus 1

(z0)j+1zj

όπου μπορέσαμε να χρησιμοποιήσαμε τη γεωμετρική σειρά γιατί η λύση z0 είναι

εκτός του δίσκου και άρα | zz0 | lt 1 ΄Αρα έχουμε ότι pn = z0minus1

zn+10

= ( 1z0

)n(1 minus 1z0

)

για n ge 0 δηλαδή έχουμε ότι pn sim Geo( z0minus1z0

) που είναι ευσταθής

2η περίπτωση παρατηρούμε ότι για λ ge rmicro rArr r le ρ από το θεώρημα του

Rouche και αφού Aprime(1) le 1 θα έχουμε r+ 1 στο πλήθος ρίζες πάνω και μέσα στο

μοναδιαίο δίσκο για το πολυώνυμο του παρονομαστή ενώ το πολύ ρ στο πλήθος

ρίζας για το πολυώνυμο του αριθμητή Επομένως η πιθανογεννήτρια θα αποκλίνει

και σε αυτές τις περιπτώσεις το σύστημα μας θα είναι ασταθές Με άλλα λόγια

η συνθήκη που μας δίνεται από την άσκηση είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για

την ευστάθεια του συστήματος μας

16 652 (΄Εγινε στο μάθημα)

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 2 exp(λ)n n+2 exp( cminusnc λ)

n-1 exp(micro)

όλοι οι παραπάνω χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί άρα η Qt) θα είναι μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 = microp2(2)

(λ+ micro)pn = λpnminus2 + micropn+1 n ge 2 (3)

9

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λ+ micro)

infinsumn=0

pnzn minus microp0 =

micro

z(p1z + p2z

2) + micro

infinsumn=2

pn+1zn + λ

infinsumn=2

pnminus2zn

rArr (λ+ micro)zP (z)minus microzp0 = microP (z)minus microp0 + λz3P (z)

όπου αντικαταστήσαμε το σχετικό άθροισμα από την πιθανογεννήτρια P (z)΄Εχουμε ότι

P (z) =microzp0 minus microp0

(λ+ micro)z minus λz3 minus microΔηλαδή καταλήξαμε σε μία έκφραση της πιθανογεννήτριας η οποία περιλαμ-

βάνει μονάχα τα λ micro και p0

γ) μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση το z = 1είναι προφανώς ρίζα και του αριθμητή και του παρονομαστή Θα μπορούσαμε

λοιπόν να παραγονοτοποιήσουμε το παρονομαστή με αυτή τη ρίζα και μετά να

πάρουμε το p0 από την απαίτηση P (1) = 1

P (z) =zp0 minus p0

(ρ+ 1)(z minus ρρ+1z

3 minus 1ρ+1 )

=microp0

minusλz2 minus λz + micro

όμως έχουμε P (1) = 1rArr p0 = microminus2λmicro = 1minus 2ρ Η συνθήκη ευστάθειας τώρα μας

δίνει το εξής p0 gt 0rArr ρ lt 12 Παρατηρούμε πως πρόεκειται για μία αναμενόμενη

συνθήκη ευστάθειας καθώς η άφιξη με ρυθμό λ ομάδων των 2 πελατών είναι

για το πλήθος των πελατών του συστήματος ισοδύναμη με την άφιξη πελατών με

ρυθμό 2λ

δ) Αρχικά κάνουμε τη παρατήρηση ότι αφού οι πελάτες έρχονται σε δυάδες σε

κάθε γκρουπ πελατών ο καθένας θα καταλαμβάνει οποιαδήποτε από τις δύο θέσεις

με πιθανότητα 05 Ακόμα σημειώνουμε πως για να βρεί κάποιος μπροστά του nminus1πελάτες θα πρέπει να είναι είτε ο πρώτος πελάτης σε ένα γκρουπ που βλέπει nminus1πελάτες είτε ο δεύτερος σε ένα γκρουπ που βλέπει n minus 2 πελάτες Τέλος λόγω

της PASTA έχουμε ότι P (agroupn ) = pn Συνδυάζοντας τα παραπάνω παίρνουμε

P (anminus1) = P (agroupnminus1 πρώτος στη σειρά) + P (agroup

nminus2 δεύτερος στη σειρά)

=P (agroup

nminus1 )

2+P (agroup

nminus2 )

2=pnminus1 + pn

2

ε) για λ = 1 micro = 6 παίρνουμε ότι p0 = 1 minus 26 = 2

3 Αντικαθιστώντας στον

τύπου που έχουμε βρει για τη πιθανογεννήτρια και μετά από πράξεις έχουμε

P (z) =4

minusz2 minus z + 6=

minus4

(z + 3)(z minus 2)=

4

5(

1

z + 3minus 1

z minus 2) =

10

Η ιδέα εδώ είναι να προσπαθήσουμε να αντικαταστήσουμε τα δύο αυτά κλάσμα-

τα με τη γεωμετρική σειρά Εφόσον |z| le 1 rArr | z2 | |minusz3 | lt 1 και άρα κάνουμε το

εξής τέχνασμα

P (z) =4

5(1

3

1

1 + z3

+1

2

1

1minus z2

) =4

15

infinsumn=0

(minusz3

)n+6

15

infinsumn=0

(z

2)n

P (z) =

infinsumn=0

(4

15(minus1

3)n +

6

15(1

2)n)zn

και δηλαδή παίρνουμε pn = ( 415 (minus1

3 )n + 615 ( 1

2 )n)foralln isin N

17 653

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 j ge 1 exp(λgj)n n+ j j ge 1 exp(pgjλ)

n-1 exp(micro)

όλοι οι παραπάνω χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί άρα η Qt) θα είναι μασχ

παίρνουμε λοιπόν τις παρακάτων εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(λp+ micro)p1 = microp2 + λg1p0 (2)

(λp+ micro)pn = micropn=1 + λgnp0 +

nminus1sumj=1

λgnminusjppj (3)

β) Για να υπολογίσουμε τη πιθανογεννήτρια ψάχνουμε το εξής άθροισμα

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumn=2

nminus1sumj=1

gnminusjpjzn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumj=1

pjzj

nminus1sumn=j+1

gnminusjznminusj

και τώρα αντικαθιστώντας με τις πιθανογεννήτριες των μέτρων πιθανοτήτων

pn gn δηλαδή P (z) =suminfinn=0 pnz

n G(z) =suminfinn=0 gnz

n =suminfinn=1 gnz

nκαι κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε παίρνουμε

11

P (z) =λp0zG(z)minus λpp0zG(z) + λpp0z + microp0z minus microp0 minus λp0z

zλp+ microz minus microminus λpzG(z)

Σε αυτό το σημείο θυμόμαστε πως ισχύει P (1) = G(1) = 1 από τις ιδιότητες

των πιθανογεννητριών ΄Ομως εαν ο αναγνώστης αποπειραθεί να βρει τη τιμή

της Ρ στο 1 και να λύσει ως προς p0 θα παρατηρήσει ότι καταλήγουμε στην

απροσδιόριστη μορφή00 Επομένως εφαρμόζοντας το κανόνα του LprimeHospital και

θέτοντας m = Gprime(z) καταλήγουμε στο εξής

1 = P (1) =λp0mminus λpp0m+ microp0

microminus λpm

rArr p0 =microminus λpm

λmminus λpm+ micro=

microminus λpmmicrominus λm(1minus p)

όμως το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο αν p0 gt 0 δηλαδή θα πρέπει

τα microminus λpm και λmminus λpm+ micro να είναι ομόσημα Ο παρονομαστής είναι πάντοτε

μεγαλύτερος από τον αριθμητή επομένως για να είναι και τα δύο θετικά αρκεί

να είναι micro minus λpm gt 0 hArr 1 gt ρpm ενώ για να είναι και τα δύο αρνητικά αρκεί

micro minus λm(1 minus p) lt 0 Το δεύτερο σετ λύσεων απορρίπτεται γιάτί 0 lt p lt 1 το

οποίο είναι κάτι πολύ λογικό διαισθητικά

γ) Η πιθανότητα ένας πελάτης να βρει μπροστά του n minus 1 πελάτες ισούται με

την πιθανότητα να βρει το γκρουπ του j πελάτες για 0 le j le n minus 1 αυτός να

είναι ο nminus j πελάτης του γκρουπ του και τελικά να εισέλθει λόγω της PASTAπαίρνουμε

anminus1 =

nminus1sumk=0

αgroupk gnminusk = p0

suminfini=n gisuminfini=1 igi

+ p

nminus1sumk=1

pk

suminfini=nminusk gisuminfini=1 igi

δ) Στη περίπτωση των μεμονωμένων αφίξεων παίρνουμε g1 = 1 gi = 0foralli 6= 1και άρα G(z) = zm = Gprime(z) = g1 = 1 και άρα βρίσκουμε

p0 =microminus λp

λminus λp+ micro

αντικαθιστώντας τώρα τα παραπάνω στο τύπο των πιθανογεννητριών και κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε τα εξής

P (z) = p0

λ(1minus p)(z minus 1)(z + microλ(1minusp) )

minusλp(z minus 1)(z minus microλp )

= p01minus pp

(z +micro

λ(1minus p))

1

1minus z λpmicro

λp

micro

= p0λ(1minus p)

micro(z +

micro

λ(1minus p))

infinsumn=0

(λp

micro)nzn

= p01minus pp

infinsumn=1

(λp

micro)nzn + p0

infinsumn=0

(λp

micro)nzn = p0 +

p0

p

infinsumn=1

(λp

micro)nzn

12

το οποίο προκύπτει μετά από βασανιστικές αλγεβρικές πράξεις καθώς και την

παρατήρηση ότι για m = 1 στη κατάσταση ευστάθειας έχουμε ότιmicroλp gt 1 rArr

|λpmicro z| lt 1 και άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γεωμετρικό άθροισμα Τε-

λικά παίρνουμε την εξής κατανομή

pn =

p0 n = 0

p0(1 + 1p (λpmicro )n) n ge 1

(4)

18 654

α) Αρχικά γράφουε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(1

2λ+ micro)p1 =

λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2(p0 + p1)(3)

β) για να υπολογίσουμε τη κατανομή pn n = 0 1 2 αρχικά συμπεραίνουμε από

την 1 ότι p1 = λmicrop0 ενώ από τη 2 ότι p2 = λ

2microp0(1 + λmicro )

Επομένως από την εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 + p1 + p2 = 1 rArrp0(1 + λ

micro + λ2micro + λ2

2micro2 )rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+λmicro+λ2 και έτσι βρίσκουμε και τα p1 p2

γ) Γνωρίζουμε πως το ποσοστό χαμένων πελατών θα είναι = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (γκρουπ των 2 το γκρουπ να βρει έναν πελάτη ήδη στο σύστημα)+P (να βρει το γκρουπ 2 πελάτες) =12p1 + p2 το οποίο ισχύει λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των δύο ενδεχομένων

δ) Απαντούμε τα ίδια ερωτήματα στη περίπτωση που ένα αφικνούμενο γκρουπ

των 2 ατόμων δε διώχνεται όλο εάν δε χωράει να εισέλθει αλλά γεμίζει πρώτα

το σύστημα και κατόπιν ο δεύτερος πελάτης του γκρουπ αποχωρεί Σε αυτή τη

περίπτωση οι εξισώσεις ισορροπίας είναι τροποποιημένες ως εξής

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 =λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2p0 + λp1(3)

και προτού υπολογίσουμε τις μάζες πιθανότητας παρατηρούμε ότι p1 = λmicrop0 και

από τη 2η εξίσωση ισορροπίας p2 = λmicrop0(λmicro + 1

2 ) Δηλαδή η εξίσωση κανονικοπο-

ίησης τώρα δίνει p0(1 + λmicro + λ2

micro2 + λ2micro ) = 1 rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+2λ2+λmicro ενώ με τις

σχέσεις παραπάνω βρίσκουμε τα p1 p2 Παρατηρούμε ότι σε αυτή τη περίπτωση

το p0 είναι μικρότερο από ότι στο ερώτημα β το οποίο είναι και αναμενόμενο αφού

ουσιαστικά αυξήσαμε τους μηχανισμούς με τους οποίους μεταβαίνει το σύστημα

στη κατάσταση με 2 πελάτες Θα περιμέναμε δηλαδή ένα μικρότερο p0 και ένα

μεγαλύτερο p2 σε σχέση με τα προηγούμενα ερωτήματα

13

Τέλος το ποσοτό χαμένων πελατών = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (να έρθει γκρουπ των 2 ένας πελάτη ήδη στο σύστημα είναι ο δεύτερος σε διάταξη πελάτης)+P (αφικν γκρουπ να βρει 2 πελάτες) = 1

212p1 + p2 = 1

4p1 + p2 το οποίο ισχύει

λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των τριών ενδεχομένων

19 751 (΄Εγινε στο μάθημα)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ2 )

(12) exp(λ2 )(11) 2 exp(λ)

0 exp(micro1)(12) 2 exp(λ)

0 exp(micro2)2 (11) exp(micro2)

(12) exp(micro1)

Παρατηρεί κανείς ότι η τμ Q(t) I(t) με τη δίτιμη τμ Ι(t) να δείχνει ποιος υ-

πηρέτης είναι απασχολημένος στη περίπτωση που έχουμε ένα πελάτη στο σύστημα

είναι μασχ Είναι λογικό να εξετάσουμε την αλυσία ως προς αντιστρεψιμότητα

Πράγματι παρατηρεί κανείς ότι

λ

2λmicro1micro2 =

λ

2λmicro2micro1 harr q0(11)q(11)2q2(12)q(12)0 = q0(12)q(12)2q2(11)q(11)0

και άρα από το κριτήριο του Κολμογοροv στο μοναδικό κύκλο του συστήματος

παίρνουμε αντιστρεψιμότητα Η μάζα πιθανότητας της pn τότε βρίσκεται κατά

τετριμμένο τρόπο από τις παρακάτω σχέσεις και την εξίσωση κανονικοποίησης

p(11) =λ

2micro1p0 p(12) =

λ

2micro2p0 p2 =

λ2

2micro1micro2p0

Και άρα μετά από πράξεις παίρνουμε p0 + p(11) + p(12) + p2 = 1 harr p0 =2micro1micro2

2micro1micro2+2λmicro2+2λmicro1=λ2 Το ποσοστό των χαμένων πελατών θα ισούται με τη πιθα-

νότητα να μην εισέλθει ένας πελάτης άρα λόγω PASTA= p2

20 752 (΄Εγινε στο μάθημα)

α) Θέτουμε I(t) τη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τη τιμή 1 εάν ο υπηρέτης βρίσκε-

ται σε περίοδο λειτουργείας τη στιγμή t και τη τιμή 0 διαφορετικά Τότε έχουμε

τον εξής πίνακα καταστάσεων για τη διδιάστατη τμ (Q(t) I(t))

14

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(n 0) (n 1) exp(ξ)(01) (00) exp(θ)

(11) exp(λ)(n 1) (n 0) exp(θ)

(n+ 1 1) exp(λ)(nminus 1 1) exp(micro)

και άρα θα πρόκειται για μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

ξp(j 0) = θp(j 1)forallj isin N

microp(j 1) = λp(j minus 1 1)forallj isin N

άρα παίρνουμε από τα παραπάνω ότι

p(j 1) =λ

microp(j minus 1 1) = middot middot middot = ρj

ξ

θp(0 0)

p(j 0) = ρjp(0 0)

rArrsumj

p(j 0) +sumj

p(j 1) = 1rArr ξ

θp(0 0)

sumρj + p(0 0)

sumρj = 1

rArr p(0 0) = (ξ

θ

1

1minus ρ+

1

1minus ρ)minus1 =

θ(1minus ρ)

ξ + θ

και το σύστημα θα είναι ευσταθές αν η p(0 0) gt 0 δηλαδή εάν ρ lt 1rArr λ lt microγ) Από τα παραπάνω παίρνουμε ότι p(j 1) = ξ

ξ+θ (1minusρ)ρj και p(j 0) = θξ+θ (1minus

ρ)ρj

και άρα μπορούμε να βρούμε το ποσοστό ως εξής

P (Q = n) = pn = P (n 1) + P (n 0) = ρn(1minus ρ)foralln ge 0

δ) Για το μέσο χρόνο παραμονής ενός πελάτη που βρίσκει n πελάτες κατά την

είσοδο του έστω E(Sn) = xn παίρνουμε

E(Sn) = Χρόνος μέχρι αργία ή αποχωρ+P (αργία)lowastχρόνος+P (αποχ)lowastχρόνος

=1

micro+ θ+

θ

micro+ θ(1

ξ+ E(Sn)) +

micro

micro+ θE(Snminus1)

rArr xn =θ

ξmicro+

1

micro+ xnminus1 = (nminus 1)(

θ

microξ+

1

micro)n ge 0

15

21 753

α) Αρχικά δείχνουμε αν η Q(t) είναι αντιστρέψιμη τότε και η XA(t) θα είναι επίσης

αντιστρέψιμη Από το κριτήριο του kolmogorov και την αντιστρεψιμότητα της

αρχικής αλυσίδας παίρνουμε ότι foralli0i1middot middot middotn ισχύει qi0i1 qini0 = qi0in qi1i0 Εφόσον το παραπάνω ισχύει για κάθε κύκλο θα ισχύει και για όλους τους κύκλους

μέσα στην A ιδιαιτέρως διότι qij = qAij για τους κύκλους μέσα στην Α ΄Αρα από

το κριτήριο του Kolmogorov και η XA(t) θα είναι αντιστρέψιμη

A είναι μη κενό άρα υπάρχει στοιχείο i0 isin A Η ιδέα είναι να προσπαθήσουμε

να εκφράσουμε όλα τα στοιχεία του A συναρτήσει των pAi0 και pi ΄Εστω μια άλλη

κατάσταση in isin A τότε ξέρουμε ότι θα ισχύει pAin = pAi0qAi0inqAini0

= pAi0qi0inqini0

=

pAi0pinpi0

το οποίο ισχύει αφενός γιατί οι ρυθμοί μετάβασης εντός του A μένουν

οι ίδιοι αφετέρου γιατί έχουμε θεωρήσει αντιστρέψιμη μαρκοβιανή αλυσίδα ΄Εχει

γίνει η απαραίτητη προεργασία οπότε εύκολα παίρνουμε το ζητούμενο

sumjisinA

pAj = 1rArr pAi0 + pAi1 = middot middot middot = 1rArr pAi0 (sumjisinA

pjpi0

) = 1rArr pAi0 =pi0sumjisinA pj

β) Θα παραθέσουμε το απλούστερο αντιπαράδειγμα που βρέθηκε Ενδεχομένως

η επιλογή των αριθμών να μην είναι ιδανική και η διεργασία έγινε κυρίως με τη βο-

ήθεια του διαγράμματος Θεωρούμε την αλυσίδα με τον εξής πίνακα καταστάσεων

και S = (0 1 2 3)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(1)2 exp( 1

3 )1 0 exp(1)

2 exp( 23 )

2 3 exp( 13 )

0 exp( 23 )

1 exp( 13 )

3 2 exp( 12 )

Στο παραπάνω παράδειγμα είναι προφανές ότι η αρχική μας αλυσίδα είναι

μασχ αλλά δεν είναι αντιστρέψιμη αφού αποτυγχάνει το κριτήριο του kolmogorovστο κύκλο καταστάσεων (012) Πολύ εύκολα μπορεί κάποιος να γράψει τις ε-

ξισώσεις ισορροπίας και να καταλήξει στην εξής κατανομή πιθανότητας p0 =33218 p1 = 30

218 p2 = 87218 p3 = 58

218Θεωρούμε τώρα το γνήσιο μη κενό υποσύνολο του χώρου καταστάσεων της

αρχικής μας αλυσίδας A = (012) Οι εξισώσεις ισορροπίας θα είναι όμοιες απλά

δε θα υπάρχει το p3 ενώ η εξίσωση κανονικοποίησης θα δίνει αυτή τη φορά διαφο-

ρετική μάζα με pA0= 11

50 pA1 = 1050 pA2 = 29

50 ΄Ομως εάν τα αποτελέσματα της

προηγούμενης άσκησης ίσχυαν και για μη αντιστρέψιμες αλυσίδες θα αναμέναμε

να πάρουμε pA0= p0

p0+p1+p1= 33

160 6=1150 και άρα δεν ισχύουν τα προηγούμενα

16

γ) Ως μασχ τύπου γέννησης-θανάτου η M |M |1 θα είναι αντιστρέψιμη

Περιορίζοντας τον χώρο καταστάσεων στο A = (0 1 k) sub S παίρνουμε μία

αλυσίδα τύπου M |M |1|K Από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) συμπερα-

ίνουμε ότι η M |M |1|K θα είναι επίσης αντιστρέψιμη και για τη στάσιμη κατανομή

της εύκολα παίρνουμε ότι

pAj =pjsumki=0 pi

=ρjsumki=0 ρ

i=

ρj

(1minus k)(1minus ρkminus1) j le k

δ) ΗM |M |infin ως μασχ τύπου γέννησης θανάτου (με διαφορετικούς χρόνους

αναχωρήσεων φυσικά) θα είναι αντιστρέψιμη Θεωρούμε τον υπόχωρο καταστάσε-

ωνA = (0 1 k) sub S και ο περιορισμός της αρχικής αλυσίδας γίνεταιM |M |infin|kπου όμως ταυτίζεται με την M |M |k|k αφού πάντα θα εξυπηρετούν το πολύ κ υ-

πηρέτες όμοια με πάνω η αλυσίδα αυτή θα είναι μασχ και για τη στάσιμη

κατανομή

pAj =pjsumki=0 pi

=ρj

jsumki=0

ρi

i

j le k

ε) Θεωρούμε τη διδιάστατη αρχική στοχαστική διαδικασία (Q1(t) Q2(t)) δύο

ανεξάρτητων M |M |1 ουρών χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα Σημειώνουμε

πως λόγω της αμνήμονης ιδιότητας όλες οι μεταβάσεις στις καταστάσεις της θα ε-

ίναι τύπου γέννησης θανάτου και άρα αυτή η αλυσίδα θα είναι αντιστρέψιμη Σημει-

ώνουμε ακόμα πως pij = P (Q1 = i Q2 = j) = pipj = (1minusρ1)(1minusρ2)ρi1ρj2foralli j ge

0Τώρα θεωρούμε το υποσύνολο των καταστάσεωνA = ((0 0) (i j) (k+1 1) (1 k+

1) i + j le k + 1) sub S και παρατηρούμε πως η (Q1(t) Q2(t))A πράγματι μοντε-

λοποιεί την στοχαστική διαδικασία που μας έχει ζητηθεί να μελετήσουμε ενώ

θα είναι αντιστρέψιμη από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) Ακόμα για τη

στάσιμη κατανομή παίρνουμε

pA(ij)= PA(Q1 = i Q2 = j) =

pijsum(ij)isinA pij

=pipjsumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 pij + p(k+11) + p(1k+1)

=

ρi1ρj2sumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 ρi1ρ

j2 + ρk+1

1 ρ2 + ρ1ρk+12

forall(i j) isin A

22 754

΄Εχουμε μια αδιαχώριστη αλυσίδα και μια συνάρτηση πιθανότητας pn (η οποία θα

αθροίζει στη μονάδα και άρα ικανοποιεί την εξίσωση κανονικοποίησης) Από το

θεμελιώδες εργοδικό θεώρημα μασχ η (X(t)) θα έχει τη (pj j isin S) ως

στάσιμη κατανομή εάν pisumj 6=i qij =

sumj 6=i pjqji Πράγματι από τα δεδομένα της

άσκησης παίρνουμε

17

pisumj 6=i

qij = pisumj 6=i

qij =sumj 6=i

piqij =sumj 6=i

pjqji

Για την αντίστροφη αλυσίδα γνωρίζουμε πως θα ισχύει qij = pjqijpi

το οποίο

όμως είναι καλά ορισμένο από τη στάσιμη πιθανότητα και τους ρυθμούς μετάβασης

της αρχικής μας αλυσίδας ΄Αρα πράγματι αυτοί οι ρυθμοί μετάβασης θα ανήκουν

στην αντίστροφη

23 755 (΄Εγινε στο μάθημα)

Από το θεώρημα του Burke έχουμε πως για δεδομένη χρονική στιγμη t τα Q1 Q2

είναι ανεξάρτητα ενώ οι πελάτες θα εισέρχονται στο δεύτερο σύστημα επίσης

σύμφωνα με διαδικασία Poisson ρυθμού λ ΄Αρα

pn1n2 = P (Q1 = n1 Q2 = n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn1ρn2

όπου ρ1 = λmicro1 ρ2 = λ

micro2

24 861 (΄Εγινε στο μάθημα)

Η σδ (Q(t)) προφανώς δεν είναι μασχ αφού δεν είναι όλοι οι χρόνοι μετάβασης

εκθετικοί Ορίζουμε I(t) μία τμ πού μας δείχνει το στάδιο j εξυπηρέτησης

j = 0 1 s και για τη διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) έχουμε

τον εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (11) exp(λ)(1 j) j = 1 sminus 1 (1 j + 1) exp(smicro)

(1 s) 0 exp(smicro)

και τώρα έχει προκύψει μία μασχ Σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας του

συστήματος

λp0 = smicrop1s

smicrop1j = smicrop1j+1 j = 0 1 sminus 1

από τις οποίες έπεται ότι p11 = p12 = middot middot middot = p1s = λmicrop0 και άρα από την

εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 = microλ+micro και p1 =

sumsj=1 p1j = s λ

s(λ+micro) =λ

λ+micro

18

25 862 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

Θέτουμε (I(t) = το πλήθος των πελατών που βρίσκονται στη 1η φάση της ε-

ξυπηρέτησης τους και τότε για τη διδιάστατη σδ (Q(t) I(t)) παίρνουμε πίνακα

μετάβασης ως εξής

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(00) (11) exp(λ)(11) (22) exp(λ)

(10) exp(2micro)(10) (21) exp(λ)

(00) exp(2micro)(22) (21) exp(4micro)(21) (11) exp(2micro)

(20) exp(2micro)(20) (10) exp(4micro)

Τώρα προχωρούμε στη καταγραφή των εξισώσεων ισορροπίας αναλυτικά και

για τις 6 καταστάσεις

λp0 = 2microp(10) (1)

(λ+ 2micro)p(11) = λp0 + 2microp(21) (2)

(λ+ 2micro)p(10) = 2microp(11) + 4microp(20) (3)

4microp(22) = λp(11) (4)

4microp(21) = 4microp(22) + λp(10) (5)

4microp(20) = 2microp(21) (6)

Δυστυχώς η εύρεση της στάσιμης κατανομής είναι μία επίπονη διαδικασία Αρ-

χικά προσπαθούμε να εκφράσουμε όλες τις καταστάσεις ως συναρτήσεις της κα-

τάστασης p0 Συγκεκριμένα (1) rArr p(10) = λ2microp0 (4) rArr p(22) = λ

4microp(11)

(6) rArr p(20) = 12p(21) και άρα μένει να εκφράσουμε τις p(21) p(11) συναρτήσει

της p0 Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις (2) (3) και αφού αντικαταστήσουμε τις

σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω επιλύουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο

αγνώστους Τελικά παίρνουμε p(11) = λ2microp0 και p(21) = λ2

4micro2 p0 τη λύση μας τη

δίνει η εξίσωση κανονικοποίησηςsump = 1harr p0(1 +

λ

2micro+

λ

2micro+

λ2

8micro2+

λ2

4micro2+

λ2

8micro2) = 1

p0 =8micro2

8micro2 + 8λmicro+ 4λ2=

1

1 + ρ+ ρ2

2

΄Οπου ρ = λmicro Τώρα η εύρεση των υπολοίπων πιθανοτήτων είναι τετριμμένη

αφού p1 = p(10) + p(11) = λmicrop0 = ρ

1+ρ+ ρ2

2

ενώ p2 = p(20) + p(21) + p(22) =

4λ2

8micro2 p0 = ρ2

2(1+ρ+ ρ2

2 )

19

26 863

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας πελάτης υπό εξυπηρέτηση ΄Εχουμε τον

εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ)(n i) n = 1 i = 1 sminus 1 (n+ 1 i) exp(λ)

(n i+ 1) exp(smicro)(n s) (n+ 1 s) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(smicro)

Οι εξισώσεις ισορροπίας όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση

της στάσιμης κατανομής εφαρμόζουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκεκριμένα

ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των φάσεων

που μένουν στο σύστημα μέχρι να αδειάσει Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει είναι

η εξής (n i)hArr nsminus (iminus 1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αφίξεων Ms|M |1Δεν έχουμε βρει τη στάσιμη κατανομή της ουράς αυτής στη γενική της πε-

ρίπτωση ΄Εστω ότι είναι η (pn) τότε θα εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανο-

μής του αριθμού των πελατών στο σύστημα συναρτήσει αυτής της pn Δηλαδή

P (Q(t) = n) =sumsi=1 P (Q(t) = n I(t) = i) = P (N(t) = ns minus (i minus 1) =sums

i=1 pnsminus(iminus1) =sum(nsi=(nminus1)s+1 pi

27 864 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας ερχόμενος πελάτης ΄Εχουμε τον εξής

πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 n) (0 n+ 1) exp(kλ)(0 k) (11) exp(kλ)

(mn) n = 0 1 k minus 1 (mn+ 1) exp(kλ)(mminus 1 n) exp(micro)

(m k) (m+ 1 k) exp(kλ)(mminus 1 k) exp(micro)

Εξισώσεις λεπτομερούς ισορροπίας παίρνουμε

kλp(01) = microp(11) (1)

kλp(mn) = microp(m+1n) + kλp(mnminus1) n = 0 1 k(2)

kλp(m1) = kλp(mminus1k) + microp(m+11) (3)

20

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

3 332 (΄Εγινε στο μάθημα)

Από το Νόμο του Little με τετριμμένο τρόπο συμπαιρένουμε πως

E(Q) = ρυθμός άφιξης lowast μέσος χρόνος παραμονής πελάτη

hArr E(Q) =b

a

4 333 (΄Εγινε στο μάθημα)

α) Γνωρίζουμε ότι το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο αν hArr ρ lt c hArr56078 lt chArr c gt 65

β) Το ποσοστό χρόνου απασχολημένου υπηρέτη θα είναιρc άρα θέλουμε

ρc lt

08hArr 6508 lt chArr c ge 9

5 334 (΄Εγινε στο μάθημα)

Αρχικά παρατηρούμε πως οι πελάτες τύπου 1 λειτουργούν ως ουράM |M |1 ανεξάρ-

τητα από τους τύπου 2 αφού έχουν απόλυτη προτεραιότητα με ρ = λ1

micro Ακόμα

συνολικά οι τύπου 1 και 2 μαζί λειτουργούν ως αλυσίδα M |M |1 με διαφορετικό

όμως ρυθμό συνωστισμού ρ = λ1+λ2

micro Γνωρίζουμε όμως για αυτές τις ουρές ότι

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1

E(Q1 +Q2) =ρ

1minus ρ

E(Q2) = E(Q1 +Q2)minus E(Q1) =λ1 + λ2

microminus λ1 minus λ2minus λ1

microminus λ1

6 335 (΄Εγινε στο μάθημα)

΄Εχουμε μίαM |M |1 ουρά και ψάχνουμε τα pn an dn ΄Οπως υποδεικνύει η άσκηση

εφαρμόζουμε το νόμο του Little για την i-οστή θέση του συστήματος δηλαδή

E( Πλήθος πελατών στη ι-οστή θέση) = Ρυθμός αφίξεωνlowastE( χρόνος παραμονής στην ι-οστή θέση)

harrinfinsumn=i

pn = λ

infinsumn=iminus1

an1

micro= ρ

infinsumn=iminus1

pn

Με τη τελευταία ισότητα να ισχύει λόγω της PASTA Η σχέση αυτή ισχύει για

όλα τα i ge 1 και άρα εφαρμόζοντας την για i+1 παίρνουμεsuminfinn=i+1 pn = ρ

suminfinn=i pn

και τώρα αφαιρώντας αυτή τη σχέση από αυτή που βρήκαμε παραπάνω έχουμε

pn = ρpnminus1 rArr pn = ρnp0 Τέλος η εξίσωση κανονικοποίησης μας δίνει ότι

p0 = 1minus ρ pn = ρn(1minus ρ)

2

7 471

Θεωρούμε την ουρά M |M |c|c όπου ο κάθε εισερχόμενος πελάτης βλέποντας nπελάτες στο σύστημα θα αποχωρήσει με πιθανότητα

nc (δηλαδή θα εισέλθει με

πιθανότηταcminusnc ) Σημειώνουμε το πίνακα μετάβασης

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n = 1 cminus 1 n+ 1 exp( cminusnc λ)

n-1 exp(micro)c c-1 exp(micro)

Αφού όλοι οι χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί η ουρά είναι μασχ

8 472

Θεωρούμε την ουρά M |M |1 όπου ο κάθε πελάτης του οποίου η εξυπηρέτηση

τελείωσε θα την επαναλάβει με πιθανότητα q (δηλαδή θα φύγει με πιθανότητα

1minus q) Σημειώνουμε το πίνακα μετάβασης

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n+ 1 exp(λ)

nminus 1 exp((1minus q)micro)

Αφού όλοι οι χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί η ουρά είναι μασχ

9 473

Στην ουράM |M |1|1 με χρόνους προθέρμανσης έχουμε τον εξής πίνακα μετάβασης

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0) (1 0) exp(λ)(1 0) (11) exp(θ)(1 1) (0 0) exp(micro)

Στην ουρά M |M |1 με χρόνους προθέρμανσης έχουμε τον εξής πίνακα μετάβα-

σης

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0) (1 0) exp(λ)(n 0) n ge 1 (11) exp(θ)

(n+ 1 0) exp(λ)(1 1) (2 1) exp(λ)

(0 0) exp(micro)(n 1) n ge 2 (n+ 1 1) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(micro)

3

Και στις δύο περιπτώσεις έχουμε αποκλειστικά εκθετικούς χρόνους μεταβάσε-

ων άρα είναι και οι δύο μασχ

10 571

α) Κατά την είσοδο του πελάτη όλοι οι υπηρέτες θα είναι απασχολημένοι Η ε-

πόμενη αναχώρηση από το σύστημα θα γίνει όταν ένας οποιοσδήποτε υπηρέτης

τελειώσει με την εξυπηρέτηση Καθώς η εξυπηρέτηση γίνεται με εκθετική κατανο-

μή ρυθμού μ και λόγω της αμνήμονης ιδιότητας η εξυπηρέτηση μέχρι την πρώτη

αναχώρηση θα ακολουθεί exp(cmicro)β) Για να ξεκινήσει την εξυπηρέτηση του ο n-οστός πελάτης όπου n gt c θα

πρέπει πρώτα να εξυπηρετηθούν nminusc στο πλήθος άτομα ΄Αρα E(S) = E(W )+ 1micro

όπου ο πρώτος προσθετέος οφείλεται στο χρόνο αναμονής και ο δεύτερος στο

χρόνο εξυπηρέτησης του Τελικά S sim (cminusn)exp(cmicro)+exp(micro) το οποίο είναι μία

υποεκθετική κατανομή δηλαδή γενίκευση της Erlang ως άθροισμα εκθετικών με

όχι απαραίτητα τους ίδιους ρυθμούς

11 572 (Μάθημα 10)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n+1 exp(λ)

n-1 exp(micro+ (nminus 1)ν)

Εφόσον στον πίνκα μεταβάσεων όλοι οι χρόνοι είναι εκθετικοί πρόκειται για

μαςχ Για την ειδική περίπτωση μ = ν έχουμε

Bminus1 = 1 +

infinsumi=1

λn

micro(2micro) (nmicro)=

infinsumi=0

λn

nmicron= eρ

όπου ρ = λmicro το οποίο είναι πάντα ευσταθές όπως προκύπτει από το κριτήριο

λόγου

pn =

eminusρ n = 0

eminusρ ρn

n n ge 1(1)

Δηλαδή για το πλήθος των πελατών έχουμε Q sim Poisson(ρ)

12 573

α)

4

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp( 3λ4 )

n n+1 exp(λ4 )n-1 exp(micro)

΄Επεται ότι

Bminus1 = 1 +

infinsumn=1

3λn

4nmicron= 1 + 3

infinsumn=1

(ρ

4)n

η οποία συγκλίνει γιαρ4 lt 1harr ρ lt 4harr λ lt 4micro και δίνει

Bminus1 = 1 + 31

1minus ρ4

= 1 +12

4minus ρ=

16minus ρ4minus ρ

ενώ αποκλίνει για λ ge 4microβ)

pn =

4minusρ16minusρ n = 0

3(4minusρ)(16minusρ) (ρ4 )n n ge 1

(2)

΄Ομως λόγω (α) της PASTA (που οφείλεται στο γεγονός ότι οι αφικνούμενοι

πελάτες φτάνουν με διαδικασία Poisson) και (β) των μεμονωμένων αφίξεων και

αναχωρήσεων έχουμε pn = an = dnγ) Γνωρίζουμε πως το ποσοστό των χαμένων πελατών είναι ίσο με τη πιθα-

νότητα ένας πελάτης να μην εισέλθει λόγω του Θεωρήματος Ολικής Πιθανότητας

έχουμε

P (not enter) = P (Q = 0)P (not enter|Q = 0)+P (Q ge 1)P (not enter|Q ge 1) =p0

4+

3(1minus p0)

4=

3minus 2p0

4

13 574

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n+1 exp(anλ)

n-1 exp(nanmicro)

Bminus1 = 1 +

infinsumn=1

λn

nanmicron=

infinsumn=0

ρn

nan= e

ρa ltinfin

Δηλαδή η ουρά είναι πάντα ευσταθής ενώ για τις πιθανότητες pn παίρνουμε

pn =

eminus

ρa n = 0

eminusρaρn

nan n ge 1(3)

5

΄Αρα συμπεραίνουμε ότι pn sim Poisson( ρa )

β) Αφού η διαδικασία αφίξεων είναι Poisson και πρόκειται για μεμονωμένες

αφίξεις και αναχωρήσεις έπεται dn = an = pn sim Poisson( ρa )

γ) Αρχικά υπολογίζουμε το ρυθμό διαπέρασης

λ =

infinsumn=0

λnpn =

infinsumn=0

anλeminusρa ρn

nan= λeminus

ρa eρ

όμως από το Ν του Little και αφού το πλήθος των πελατών στο σύστημα ακολου-

θεί Poisson έπεται πως E(S) = E(Q)λ = ρe

ρa

minusρ

aλ = eρa

minusρ

amicro Για την περίοδο αργίας

έχουμε πως

E(I) =1

λ0=

1

λ

΄Ετσι μπορούμε να βρούμε και τη μέση διάρκεια ενός κύκλου αφού

E(I)

E(Z)= p0 rArr E(Z) =

eρa

λ

Και τέλος παίρνουμε ότι

E(Y ) = E(Z)minus E(I) =eρa

λminus 1

λ=eρa minus 1

λ

14 575

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n+1 exp( cminusnc λ)

n-1 exp(nmicro)c c-1 exp(cmicro)

Bminus1 = 1+

csumn=1

λ0λ1 λnminus1

micro1micro2 micron=

csumn=0

(cminus 1) (cminus n)λn

cnminus1nmicron=

csumn=0

(c

n

)(ρ

c)n = (1+

ρ

c)c

επειδή πρόκειται για πολυώνυμο με διονυμικούς συντελεστές

΄Αρα για τις πιθανότητες pn πάιρνουμε

pn =

(c

n

)(ρc )n

(1 + ρc )c

=

(c

n

)(

ρc

1 + ρc

)n(1

1 + ρc

)cminusn =

(c

n

)(

ρ

ρ+ c)n(1minus ρ

ρ+ c)nminusc

από το οποίο έπεται πως Q sim Bin(c ρρ+c )

6

β) Το μακροπρόθεσμο ποσοστό των άμεσα αποχωρίσαντων θα είναι ίσο με την

πιθανότητα ένας αφικνούμενος πελάτης να μην εισέλθει στο σύστημα και από το

Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας προκύπτει

P (πιθανότητα να μην εισέλθει) =

csumn=o

n

cpn =

E(Q)

c=np

c=c ρρ+c

c=

ρ

ρ+ c

γ) Λόγω των μεμονομένων αφίξεων θα ισχύει an = dn και καταλήγουμε σε

μια όχι ιδιαίτερα όμορφη σχέση

aentern =λnpnsumcn=0 λnpn

=cminusnc λpn

λc

sumcn=0 (cminus n)pn

=(cminus n)pnsumcminus1n=0(cminus n)pn

= dn n = 0 1 c

δ) ΄Ενας τελικά εισερχόμενος πελάτης θα εξυπηρετείται αμέσως αφού οι υπη-

ρέτες είναι σε πλήθος ίσοι με τη χωρητικότητα του συστήματος άρα E(Sprime) = 1micro

Για το μέσο χρόνο παραμονής όλων των αφικνούμενων πελατών σκεφτόμαστε

ως εξής εφαρμόζουμε δύο φορές το Θεώρημα διπλής μέσης τιμής μια φορά δε-

σμεύοντας ως προς το ενδεχόμενο να εισέλθει -ή να μην εισέλθει- ο πελάτης στο

σύστημα και μια δεύτερη ως προς το ενδεχόμενο να βρει ν πελάτες κατά την

είσοδο του παίρνουμε

E(Sαφικνούμενοι) = P (enter)E(S|enter) + P (noenter)E(S|noenter) =

= P (enter|a0)a0E(S|enter)+P (enter|a1)a1E(S|enter) P (enter| an)anE(S|enter) =

=1

micro(

csumn=0

ancminus nc

) =1

cmicro(

csumn=0

pn(cminus n)) =1

microminus microE(Q)

c=

1

microminus λ

ρ+ c

Τονίζουμε πως δε χρειάζεται να δεσμεύσουμε τις μέσες τιμές ως προς το πόσα

άτομα βλέπει ο αφικνούμενος πελάτης καθώς θα εξυπηρετηθεί αμέσως ανεξάρτητα

από το πόσα θα δει

ε) Εύκολα βρίσκουμε τη μέση περίοδο λειτουργίας E(I) = λ0 = λ Τώρα

βρίσκουμε εύκολα τη μέση διάρκεια ενός κύκλου ως εξής

E(I)

E(Z)= p0 rArr E(Z) =

E(I)

p0=

λ

( cρ+c )

c=λ(ρ+ c)c

cc

15 651

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)1 le j le r j+1 exp(λ)

0 exp(micro)n ge r n+1 exp(λ)

n-r exp(micro)

7

Τώρα καταλήγουμε στις εξής εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1 + micropr = micro(

rsumi=1

pi) (1)

(λ+ micro)pn = λpnminus1 + micropn+rγια n ge 1(2)

β) για να μπορέσουμε να βρούμε τη συνθήκη ευστάθειας θα χρησιμοποιήσουμε

τη λεγόμενη μέθοδο των πιθανογεννητριών με βοήθεια από τη μιγαδική ανάλυση

(1) +

infinsumn=1

(2)zn

rArr λ

infinsumn=0

pnzn + micro(

infinsumn=0

pnzn minus p0) = zλ

infinsumn=0

pnzn + micro(

rsumi=1

pi) +micro

zr

infinsumn=r+1

pnzn

΄Οπου όμως γνωρίζουμε πως P (z) =suminfinn=0 pnz

nκαι αντικαθιστώντας έχουμε

rArr λP (z)+micro(P (z)minusp0) = zλP (z)+micro(

rsumi=1

pi)+micro

zr(P (z)minusp0minusp1zminusmiddot middot middotminusprzr)

rArr P (z) =micro(p0(zr minus 1) + p1(zr minus z) + middot middot middot+ prminus1(zr minus zrminus1)

(λ+ micro)zr minus λzr+1 minus micro

τελικά θέτοντας ρ = λmicro οδηγούμαστε στην εξής μορφή όπου ο παρονομαστής

είναι πολυώνυμο μεγαλύτερου βαθμού ως προς το z από τον αριθμητή

rArr P (z) =p0(zr minus 1) + p1(zr minus z) + middot middot middot+ prminus1(zr minus zrminus1)

(ρ+ 1)(zr minus ρρ+1z

r+1 minus 1ρ+1

) =N(z)

D(z)

Σε αυτό το σημείο θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το πόρισμα του θεωρήματος

Rouche για να εξετάσουμε κατά πόσο αυτή η συνάρτηση αποδίδει πράγματι μάζα

πιθανότητας στη κατανομή pn ΄Ετσι ορίζουμε μία ακολουθία α(z) =suminfinn=0 z

n

τέτοια ώστε a0 = 1ρ+1 ar+1 = ρ

ρ+1 ai = 0 για i 6= 0 r + 1 και παρατηρούμε

αφενός ότι zn minus α(z) = A(z) = zr minus ρρ+1z

r+1 minus 1ρ+1 αφετέρου ότι

suminfinn=0 αn =

1suminfinn=0 nαn lt infin

suminfinn=0 n

2αn lt infin δηλαδή ισχύουν οι προϋποθέσεις του πο-

ρίσματος

Ακόμα έχουμε ότι α(1) = 1 άρα πρέπει να εξετάσουμε το πολυώνυμο Aprime(z)όπου

Aprime(z) = rzrminus1 minus (r + 1)ρ

ρ+ 1zr rArr Aprime(1) = middot middot middot = r minus ρ

ρ+ 1

το τελευταίο εργαλείο που χρειαζόμαστε για την ανάλυση σε περιπτώσεις είναι

το k = mcd(j minus r aj 6= 0) = mcd(minusr 1) = 1

8

1η περίπτωση λ lt rmicro rArr r gt ρ έχουμε ότι α(1) = 1 Aprime(1) gt 0 άρα απα-

ραίτητα θα έχουμε N minus k = r minus 1 ρίζες μέσα στο μιγαδικό δίσκο (z |z| lt 1)1 ρίζα πάνω στο δίσκο (z |z| = 1) (μέσα και πάνω στο δίσκο έχει νόημα η

πιθανογεννήτρια) και 1 ρίζα εκτός του μοναδιαίου δίσκου Δηλαδή μπορούμε να

γράψουμε

D(z) = c1(z minus z0)(z minus z1) (z minus zrminus1)(z minus 1)

όπου οι r στο πλήθος ρίζες εντός και πάνω στο δίσκο είναι οι z1 zrminus1 1όμως για να συγκλίνει η P (z) θα πρέπει όλες αυτές οι ρίζες του παρονομαστή που

βρίσκονται μέσα και πάνω στο μοναδιαίο κύκλο να είναι και ρίζες του αριθμητή

Δηλαδή N(z) = c1(z minus z1) (z minus zrminus1)(z minus 1)΄Αρα αυτό που απομένει είναι P (z) = c

zminusz0 και λόγω της εξίσωσης κανονικο-

ποίησης απαιτούμε να ισχύει P (1) = 1rArr c = 1minus z0 Τελικά παίρνουμε

P (z) =1minus z0

z minus z0=z0 minus 1

z0

1

1minus zz0

=z0 minus 1

z0

infinsumj=0

(z

z0)j =

infinsumj=0

z0 minus 1

(z0)j+1zj

όπου μπορέσαμε να χρησιμοποιήσαμε τη γεωμετρική σειρά γιατί η λύση z0 είναι

εκτός του δίσκου και άρα | zz0 | lt 1 ΄Αρα έχουμε ότι pn = z0minus1

zn+10

= ( 1z0

)n(1 minus 1z0

)

για n ge 0 δηλαδή έχουμε ότι pn sim Geo( z0minus1z0

) που είναι ευσταθής

2η περίπτωση παρατηρούμε ότι για λ ge rmicro rArr r le ρ από το θεώρημα του

Rouche και αφού Aprime(1) le 1 θα έχουμε r+ 1 στο πλήθος ρίζες πάνω και μέσα στο

μοναδιαίο δίσκο για το πολυώνυμο του παρονομαστή ενώ το πολύ ρ στο πλήθος

ρίζας για το πολυώνυμο του αριθμητή Επομένως η πιθανογεννήτρια θα αποκλίνει

και σε αυτές τις περιπτώσεις το σύστημα μας θα είναι ασταθές Με άλλα λόγια

η συνθήκη που μας δίνεται από την άσκηση είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για

την ευστάθεια του συστήματος μας

16 652 (΄Εγινε στο μάθημα)

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 2 exp(λ)n n+2 exp( cminusnc λ)

n-1 exp(micro)

όλοι οι παραπάνω χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί άρα η Qt) θα είναι μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 = microp2(2)

(λ+ micro)pn = λpnminus2 + micropn+1 n ge 2 (3)

9

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λ+ micro)

infinsumn=0

pnzn minus microp0 =

micro

z(p1z + p2z

2) + micro

infinsumn=2

pn+1zn + λ

infinsumn=2

pnminus2zn

rArr (λ+ micro)zP (z)minus microzp0 = microP (z)minus microp0 + λz3P (z)

όπου αντικαταστήσαμε το σχετικό άθροισμα από την πιθανογεννήτρια P (z)΄Εχουμε ότι

P (z) =microzp0 minus microp0

(λ+ micro)z minus λz3 minus microΔηλαδή καταλήξαμε σε μία έκφραση της πιθανογεννήτριας η οποία περιλαμ-

βάνει μονάχα τα λ micro και p0

γ) μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση το z = 1είναι προφανώς ρίζα και του αριθμητή και του παρονομαστή Θα μπορούσαμε

λοιπόν να παραγονοτοποιήσουμε το παρονομαστή με αυτή τη ρίζα και μετά να

πάρουμε το p0 από την απαίτηση P (1) = 1

P (z) =zp0 minus p0

(ρ+ 1)(z minus ρρ+1z

3 minus 1ρ+1 )

=microp0

minusλz2 minus λz + micro

όμως έχουμε P (1) = 1rArr p0 = microminus2λmicro = 1minus 2ρ Η συνθήκη ευστάθειας τώρα μας

δίνει το εξής p0 gt 0rArr ρ lt 12 Παρατηρούμε πως πρόεκειται για μία αναμενόμενη

συνθήκη ευστάθειας καθώς η άφιξη με ρυθμό λ ομάδων των 2 πελατών είναι

για το πλήθος των πελατών του συστήματος ισοδύναμη με την άφιξη πελατών με

ρυθμό 2λ

δ) Αρχικά κάνουμε τη παρατήρηση ότι αφού οι πελάτες έρχονται σε δυάδες σε

κάθε γκρουπ πελατών ο καθένας θα καταλαμβάνει οποιαδήποτε από τις δύο θέσεις

με πιθανότητα 05 Ακόμα σημειώνουμε πως για να βρεί κάποιος μπροστά του nminus1πελάτες θα πρέπει να είναι είτε ο πρώτος πελάτης σε ένα γκρουπ που βλέπει nminus1πελάτες είτε ο δεύτερος σε ένα γκρουπ που βλέπει n minus 2 πελάτες Τέλος λόγω

της PASTA έχουμε ότι P (agroupn ) = pn Συνδυάζοντας τα παραπάνω παίρνουμε

P (anminus1) = P (agroupnminus1 πρώτος στη σειρά) + P (agroup

nminus2 δεύτερος στη σειρά)

=P (agroup

nminus1 )

2+P (agroup

nminus2 )

2=pnminus1 + pn

2

ε) για λ = 1 micro = 6 παίρνουμε ότι p0 = 1 minus 26 = 2

3 Αντικαθιστώντας στον

τύπου που έχουμε βρει για τη πιθανογεννήτρια και μετά από πράξεις έχουμε

P (z) =4

minusz2 minus z + 6=

minus4

(z + 3)(z minus 2)=

4

5(

1

z + 3minus 1

z minus 2) =

10

Η ιδέα εδώ είναι να προσπαθήσουμε να αντικαταστήσουμε τα δύο αυτά κλάσμα-

τα με τη γεωμετρική σειρά Εφόσον |z| le 1 rArr | z2 | |minusz3 | lt 1 και άρα κάνουμε το

εξής τέχνασμα

P (z) =4

5(1

3

1

1 + z3

+1

2

1

1minus z2

) =4

15

infinsumn=0

(minusz3

)n+6

15

infinsumn=0

(z

2)n

P (z) =

infinsumn=0

(4

15(minus1

3)n +

6

15(1

2)n)zn

και δηλαδή παίρνουμε pn = ( 415 (minus1

3 )n + 615 ( 1

2 )n)foralln isin N

17 653

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 j ge 1 exp(λgj)n n+ j j ge 1 exp(pgjλ)

n-1 exp(micro)

όλοι οι παραπάνω χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί άρα η Qt) θα είναι μασχ

παίρνουμε λοιπόν τις παρακάτων εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(λp+ micro)p1 = microp2 + λg1p0 (2)

(λp+ micro)pn = micropn=1 + λgnp0 +

nminus1sumj=1

λgnminusjppj (3)

β) Για να υπολογίσουμε τη πιθανογεννήτρια ψάχνουμε το εξής άθροισμα

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumn=2

nminus1sumj=1

gnminusjpjzn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumj=1

pjzj

nminus1sumn=j+1

gnminusjznminusj

και τώρα αντικαθιστώντας με τις πιθανογεννήτριες των μέτρων πιθανοτήτων

pn gn δηλαδή P (z) =suminfinn=0 pnz

n G(z) =suminfinn=0 gnz

n =suminfinn=1 gnz

nκαι κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε παίρνουμε

11

P (z) =λp0zG(z)minus λpp0zG(z) + λpp0z + microp0z minus microp0 minus λp0z

zλp+ microz minus microminus λpzG(z)

Σε αυτό το σημείο θυμόμαστε πως ισχύει P (1) = G(1) = 1 από τις ιδιότητες

των πιθανογεννητριών ΄Ομως εαν ο αναγνώστης αποπειραθεί να βρει τη τιμή

της Ρ στο 1 και να λύσει ως προς p0 θα παρατηρήσει ότι καταλήγουμε στην

απροσδιόριστη μορφή00 Επομένως εφαρμόζοντας το κανόνα του LprimeHospital και

θέτοντας m = Gprime(z) καταλήγουμε στο εξής

1 = P (1) =λp0mminus λpp0m+ microp0

microminus λpm

rArr p0 =microminus λpm

λmminus λpm+ micro=

microminus λpmmicrominus λm(1minus p)

όμως το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο αν p0 gt 0 δηλαδή θα πρέπει

τα microminus λpm και λmminus λpm+ micro να είναι ομόσημα Ο παρονομαστής είναι πάντοτε

μεγαλύτερος από τον αριθμητή επομένως για να είναι και τα δύο θετικά αρκεί

να είναι micro minus λpm gt 0 hArr 1 gt ρpm ενώ για να είναι και τα δύο αρνητικά αρκεί

micro minus λm(1 minus p) lt 0 Το δεύτερο σετ λύσεων απορρίπτεται γιάτί 0 lt p lt 1 το

οποίο είναι κάτι πολύ λογικό διαισθητικά

γ) Η πιθανότητα ένας πελάτης να βρει μπροστά του n minus 1 πελάτες ισούται με

την πιθανότητα να βρει το γκρουπ του j πελάτες για 0 le j le n minus 1 αυτός να

είναι ο nminus j πελάτης του γκρουπ του και τελικά να εισέλθει λόγω της PASTAπαίρνουμε

anminus1 =

nminus1sumk=0

αgroupk gnminusk = p0

suminfini=n gisuminfini=1 igi

+ p

nminus1sumk=1

pk

suminfini=nminusk gisuminfini=1 igi

δ) Στη περίπτωση των μεμονωμένων αφίξεων παίρνουμε g1 = 1 gi = 0foralli 6= 1και άρα G(z) = zm = Gprime(z) = g1 = 1 και άρα βρίσκουμε

p0 =microminus λp

λminus λp+ micro

αντικαθιστώντας τώρα τα παραπάνω στο τύπο των πιθανογεννητριών και κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε τα εξής

P (z) = p0

λ(1minus p)(z minus 1)(z + microλ(1minusp) )

minusλp(z minus 1)(z minus microλp )

= p01minus pp

(z +micro

λ(1minus p))

1

1minus z λpmicro

λp

micro

= p0λ(1minus p)

micro(z +

micro

λ(1minus p))

infinsumn=0

(λp

micro)nzn

= p01minus pp

infinsumn=1

(λp

micro)nzn + p0

infinsumn=0

(λp

micro)nzn = p0 +

p0

p

infinsumn=1

(λp

micro)nzn

12

το οποίο προκύπτει μετά από βασανιστικές αλγεβρικές πράξεις καθώς και την

παρατήρηση ότι για m = 1 στη κατάσταση ευστάθειας έχουμε ότιmicroλp gt 1 rArr

|λpmicro z| lt 1 και άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γεωμετρικό άθροισμα Τε-

λικά παίρνουμε την εξής κατανομή

pn =

p0 n = 0

p0(1 + 1p (λpmicro )n) n ge 1

(4)

18 654

α) Αρχικά γράφουε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(1

2λ+ micro)p1 =

λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2(p0 + p1)(3)

β) για να υπολογίσουμε τη κατανομή pn n = 0 1 2 αρχικά συμπεραίνουμε από

την 1 ότι p1 = λmicrop0 ενώ από τη 2 ότι p2 = λ

2microp0(1 + λmicro )

Επομένως από την εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 + p1 + p2 = 1 rArrp0(1 + λ

micro + λ2micro + λ2

2micro2 )rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+λmicro+λ2 και έτσι βρίσκουμε και τα p1 p2

γ) Γνωρίζουμε πως το ποσοστό χαμένων πελατών θα είναι = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (γκρουπ των 2 το γκρουπ να βρει έναν πελάτη ήδη στο σύστημα)+P (να βρει το γκρουπ 2 πελάτες) =12p1 + p2 το οποίο ισχύει λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των δύο ενδεχομένων

δ) Απαντούμε τα ίδια ερωτήματα στη περίπτωση που ένα αφικνούμενο γκρουπ

των 2 ατόμων δε διώχνεται όλο εάν δε χωράει να εισέλθει αλλά γεμίζει πρώτα

το σύστημα και κατόπιν ο δεύτερος πελάτης του γκρουπ αποχωρεί Σε αυτή τη

περίπτωση οι εξισώσεις ισορροπίας είναι τροποποιημένες ως εξής

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 =λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2p0 + λp1(3)

και προτού υπολογίσουμε τις μάζες πιθανότητας παρατηρούμε ότι p1 = λmicrop0 και

από τη 2η εξίσωση ισορροπίας p2 = λmicrop0(λmicro + 1

2 ) Δηλαδή η εξίσωση κανονικοπο-

ίησης τώρα δίνει p0(1 + λmicro + λ2

micro2 + λ2micro ) = 1 rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+2λ2+λmicro ενώ με τις

σχέσεις παραπάνω βρίσκουμε τα p1 p2 Παρατηρούμε ότι σε αυτή τη περίπτωση

το p0 είναι μικρότερο από ότι στο ερώτημα β το οποίο είναι και αναμενόμενο αφού

ουσιαστικά αυξήσαμε τους μηχανισμούς με τους οποίους μεταβαίνει το σύστημα

στη κατάσταση με 2 πελάτες Θα περιμέναμε δηλαδή ένα μικρότερο p0 και ένα

μεγαλύτερο p2 σε σχέση με τα προηγούμενα ερωτήματα

13

Τέλος το ποσοτό χαμένων πελατών = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (να έρθει γκρουπ των 2 ένας πελάτη ήδη στο σύστημα είναι ο δεύτερος σε διάταξη πελάτης)+P (αφικν γκρουπ να βρει 2 πελάτες) = 1

212p1 + p2 = 1

4p1 + p2 το οποίο ισχύει

λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των τριών ενδεχομένων

19 751 (΄Εγινε στο μάθημα)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ2 )

(12) exp(λ2 )(11) 2 exp(λ)

0 exp(micro1)(12) 2 exp(λ)

0 exp(micro2)2 (11) exp(micro2)

(12) exp(micro1)

Παρατηρεί κανείς ότι η τμ Q(t) I(t) με τη δίτιμη τμ Ι(t) να δείχνει ποιος υ-

πηρέτης είναι απασχολημένος στη περίπτωση που έχουμε ένα πελάτη στο σύστημα

είναι μασχ Είναι λογικό να εξετάσουμε την αλυσία ως προς αντιστρεψιμότητα

Πράγματι παρατηρεί κανείς ότι

λ

2λmicro1micro2 =

λ

2λmicro2micro1 harr q0(11)q(11)2q2(12)q(12)0 = q0(12)q(12)2q2(11)q(11)0

και άρα από το κριτήριο του Κολμογοροv στο μοναδικό κύκλο του συστήματος

παίρνουμε αντιστρεψιμότητα Η μάζα πιθανότητας της pn τότε βρίσκεται κατά

τετριμμένο τρόπο από τις παρακάτω σχέσεις και την εξίσωση κανονικοποίησης

p(11) =λ

2micro1p0 p(12) =

λ

2micro2p0 p2 =

λ2

2micro1micro2p0

Και άρα μετά από πράξεις παίρνουμε p0 + p(11) + p(12) + p2 = 1 harr p0 =2micro1micro2

2micro1micro2+2λmicro2+2λmicro1=λ2 Το ποσοστό των χαμένων πελατών θα ισούται με τη πιθα-

νότητα να μην εισέλθει ένας πελάτης άρα λόγω PASTA= p2

20 752 (΄Εγινε στο μάθημα)

α) Θέτουμε I(t) τη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τη τιμή 1 εάν ο υπηρέτης βρίσκε-

ται σε περίοδο λειτουργείας τη στιγμή t και τη τιμή 0 διαφορετικά Τότε έχουμε

τον εξής πίνακα καταστάσεων για τη διδιάστατη τμ (Q(t) I(t))

14

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(n 0) (n 1) exp(ξ)(01) (00) exp(θ)

(11) exp(λ)(n 1) (n 0) exp(θ)

(n+ 1 1) exp(λ)(nminus 1 1) exp(micro)

και άρα θα πρόκειται για μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

ξp(j 0) = θp(j 1)forallj isin N

microp(j 1) = λp(j minus 1 1)forallj isin N

άρα παίρνουμε από τα παραπάνω ότι

p(j 1) =λ

microp(j minus 1 1) = middot middot middot = ρj

ξ

θp(0 0)

p(j 0) = ρjp(0 0)

rArrsumj

p(j 0) +sumj

p(j 1) = 1rArr ξ

θp(0 0)

sumρj + p(0 0)

sumρj = 1

rArr p(0 0) = (ξ

θ

1

1minus ρ+

1

1minus ρ)minus1 =

θ(1minus ρ)

ξ + θ

και το σύστημα θα είναι ευσταθές αν η p(0 0) gt 0 δηλαδή εάν ρ lt 1rArr λ lt microγ) Από τα παραπάνω παίρνουμε ότι p(j 1) = ξ

ξ+θ (1minusρ)ρj και p(j 0) = θξ+θ (1minus

ρ)ρj

και άρα μπορούμε να βρούμε το ποσοστό ως εξής

P (Q = n) = pn = P (n 1) + P (n 0) = ρn(1minus ρ)foralln ge 0

δ) Για το μέσο χρόνο παραμονής ενός πελάτη που βρίσκει n πελάτες κατά την

είσοδο του έστω E(Sn) = xn παίρνουμε

E(Sn) = Χρόνος μέχρι αργία ή αποχωρ+P (αργία)lowastχρόνος+P (αποχ)lowastχρόνος

=1

micro+ θ+

θ

micro+ θ(1

ξ+ E(Sn)) +

micro

micro+ θE(Snminus1)

rArr xn =θ

ξmicro+

1

micro+ xnminus1 = (nminus 1)(

θ

microξ+

1

micro)n ge 0

15

21 753

α) Αρχικά δείχνουμε αν η Q(t) είναι αντιστρέψιμη τότε και η XA(t) θα είναι επίσης

αντιστρέψιμη Από το κριτήριο του kolmogorov και την αντιστρεψιμότητα της

αρχικής αλυσίδας παίρνουμε ότι foralli0i1middot middot middotn ισχύει qi0i1 qini0 = qi0in qi1i0 Εφόσον το παραπάνω ισχύει για κάθε κύκλο θα ισχύει και για όλους τους κύκλους

μέσα στην A ιδιαιτέρως διότι qij = qAij για τους κύκλους μέσα στην Α ΄Αρα από

το κριτήριο του Kolmogorov και η XA(t) θα είναι αντιστρέψιμη

A είναι μη κενό άρα υπάρχει στοιχείο i0 isin A Η ιδέα είναι να προσπαθήσουμε

να εκφράσουμε όλα τα στοιχεία του A συναρτήσει των pAi0 και pi ΄Εστω μια άλλη

κατάσταση in isin A τότε ξέρουμε ότι θα ισχύει pAin = pAi0qAi0inqAini0

= pAi0qi0inqini0

=

pAi0pinpi0

το οποίο ισχύει αφενός γιατί οι ρυθμοί μετάβασης εντός του A μένουν

οι ίδιοι αφετέρου γιατί έχουμε θεωρήσει αντιστρέψιμη μαρκοβιανή αλυσίδα ΄Εχει

γίνει η απαραίτητη προεργασία οπότε εύκολα παίρνουμε το ζητούμενο

sumjisinA

pAj = 1rArr pAi0 + pAi1 = middot middot middot = 1rArr pAi0 (sumjisinA

pjpi0

) = 1rArr pAi0 =pi0sumjisinA pj

β) Θα παραθέσουμε το απλούστερο αντιπαράδειγμα που βρέθηκε Ενδεχομένως

η επιλογή των αριθμών να μην είναι ιδανική και η διεργασία έγινε κυρίως με τη βο-

ήθεια του διαγράμματος Θεωρούμε την αλυσίδα με τον εξής πίνακα καταστάσεων

και S = (0 1 2 3)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(1)2 exp( 1

3 )1 0 exp(1)

2 exp( 23 )

2 3 exp( 13 )

0 exp( 23 )

1 exp( 13 )

3 2 exp( 12 )

Στο παραπάνω παράδειγμα είναι προφανές ότι η αρχική μας αλυσίδα είναι

μασχ αλλά δεν είναι αντιστρέψιμη αφού αποτυγχάνει το κριτήριο του kolmogorovστο κύκλο καταστάσεων (012) Πολύ εύκολα μπορεί κάποιος να γράψει τις ε-

ξισώσεις ισορροπίας και να καταλήξει στην εξής κατανομή πιθανότητας p0 =33218 p1 = 30

218 p2 = 87218 p3 = 58

218Θεωρούμε τώρα το γνήσιο μη κενό υποσύνολο του χώρου καταστάσεων της

αρχικής μας αλυσίδας A = (012) Οι εξισώσεις ισορροπίας θα είναι όμοιες απλά

δε θα υπάρχει το p3 ενώ η εξίσωση κανονικοποίησης θα δίνει αυτή τη φορά διαφο-

ρετική μάζα με pA0= 11

50 pA1 = 1050 pA2 = 29

50 ΄Ομως εάν τα αποτελέσματα της

προηγούμενης άσκησης ίσχυαν και για μη αντιστρέψιμες αλυσίδες θα αναμέναμε

να πάρουμε pA0= p0

p0+p1+p1= 33

160 6=1150 και άρα δεν ισχύουν τα προηγούμενα

16

γ) Ως μασχ τύπου γέννησης-θανάτου η M |M |1 θα είναι αντιστρέψιμη

Περιορίζοντας τον χώρο καταστάσεων στο A = (0 1 k) sub S παίρνουμε μία

αλυσίδα τύπου M |M |1|K Από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) συμπερα-

ίνουμε ότι η M |M |1|K θα είναι επίσης αντιστρέψιμη και για τη στάσιμη κατανομή

της εύκολα παίρνουμε ότι

pAj =pjsumki=0 pi

=ρjsumki=0 ρ

i=

ρj

(1minus k)(1minus ρkminus1) j le k

δ) ΗM |M |infin ως μασχ τύπου γέννησης θανάτου (με διαφορετικούς χρόνους

αναχωρήσεων φυσικά) θα είναι αντιστρέψιμη Θεωρούμε τον υπόχωρο καταστάσε-

ωνA = (0 1 k) sub S και ο περιορισμός της αρχικής αλυσίδας γίνεταιM |M |infin|kπου όμως ταυτίζεται με την M |M |k|k αφού πάντα θα εξυπηρετούν το πολύ κ υ-

πηρέτες όμοια με πάνω η αλυσίδα αυτή θα είναι μασχ και για τη στάσιμη

κατανομή

pAj =pjsumki=0 pi

=ρj

jsumki=0

ρi

i

j le k

ε) Θεωρούμε τη διδιάστατη αρχική στοχαστική διαδικασία (Q1(t) Q2(t)) δύο

ανεξάρτητων M |M |1 ουρών χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα Σημειώνουμε

πως λόγω της αμνήμονης ιδιότητας όλες οι μεταβάσεις στις καταστάσεις της θα ε-

ίναι τύπου γέννησης θανάτου και άρα αυτή η αλυσίδα θα είναι αντιστρέψιμη Σημει-

ώνουμε ακόμα πως pij = P (Q1 = i Q2 = j) = pipj = (1minusρ1)(1minusρ2)ρi1ρj2foralli j ge

0Τώρα θεωρούμε το υποσύνολο των καταστάσεωνA = ((0 0) (i j) (k+1 1) (1 k+

1) i + j le k + 1) sub S και παρατηρούμε πως η (Q1(t) Q2(t))A πράγματι μοντε-

λοποιεί την στοχαστική διαδικασία που μας έχει ζητηθεί να μελετήσουμε ενώ

θα είναι αντιστρέψιμη από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) Ακόμα για τη

στάσιμη κατανομή παίρνουμε

pA(ij)= PA(Q1 = i Q2 = j) =

pijsum(ij)isinA pij

=pipjsumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 pij + p(k+11) + p(1k+1)

=

ρi1ρj2sumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 ρi1ρ

j2 + ρk+1

1 ρ2 + ρ1ρk+12

forall(i j) isin A

22 754

΄Εχουμε μια αδιαχώριστη αλυσίδα και μια συνάρτηση πιθανότητας pn (η οποία θα

αθροίζει στη μονάδα και άρα ικανοποιεί την εξίσωση κανονικοποίησης) Από το

θεμελιώδες εργοδικό θεώρημα μασχ η (X(t)) θα έχει τη (pj j isin S) ως

στάσιμη κατανομή εάν pisumj 6=i qij =

sumj 6=i pjqji Πράγματι από τα δεδομένα της

άσκησης παίρνουμε

17

pisumj 6=i

qij = pisumj 6=i

qij =sumj 6=i

piqij =sumj 6=i

pjqji

Για την αντίστροφη αλυσίδα γνωρίζουμε πως θα ισχύει qij = pjqijpi

το οποίο

όμως είναι καλά ορισμένο από τη στάσιμη πιθανότητα και τους ρυθμούς μετάβασης

της αρχικής μας αλυσίδας ΄Αρα πράγματι αυτοί οι ρυθμοί μετάβασης θα ανήκουν

στην αντίστροφη

23 755 (΄Εγινε στο μάθημα)

Από το θεώρημα του Burke έχουμε πως για δεδομένη χρονική στιγμη t τα Q1 Q2

είναι ανεξάρτητα ενώ οι πελάτες θα εισέρχονται στο δεύτερο σύστημα επίσης

σύμφωνα με διαδικασία Poisson ρυθμού λ ΄Αρα

pn1n2 = P (Q1 = n1 Q2 = n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn1ρn2

όπου ρ1 = λmicro1 ρ2 = λ

micro2

24 861 (΄Εγινε στο μάθημα)

Η σδ (Q(t)) προφανώς δεν είναι μασχ αφού δεν είναι όλοι οι χρόνοι μετάβασης

εκθετικοί Ορίζουμε I(t) μία τμ πού μας δείχνει το στάδιο j εξυπηρέτησης

j = 0 1 s και για τη διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) έχουμε

τον εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (11) exp(λ)(1 j) j = 1 sminus 1 (1 j + 1) exp(smicro)

(1 s) 0 exp(smicro)

και τώρα έχει προκύψει μία μασχ Σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας του

συστήματος

λp0 = smicrop1s

smicrop1j = smicrop1j+1 j = 0 1 sminus 1

από τις οποίες έπεται ότι p11 = p12 = middot middot middot = p1s = λmicrop0 και άρα από την

εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 = microλ+micro και p1 =

sumsj=1 p1j = s λ

s(λ+micro) =λ

λ+micro

18

25 862 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

Θέτουμε (I(t) = το πλήθος των πελατών που βρίσκονται στη 1η φάση της ε-

ξυπηρέτησης τους και τότε για τη διδιάστατη σδ (Q(t) I(t)) παίρνουμε πίνακα

μετάβασης ως εξής

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(00) (11) exp(λ)(11) (22) exp(λ)

(10) exp(2micro)(10) (21) exp(λ)

(00) exp(2micro)(22) (21) exp(4micro)(21) (11) exp(2micro)

(20) exp(2micro)(20) (10) exp(4micro)

Τώρα προχωρούμε στη καταγραφή των εξισώσεων ισορροπίας αναλυτικά και

για τις 6 καταστάσεις

λp0 = 2microp(10) (1)

(λ+ 2micro)p(11) = λp0 + 2microp(21) (2)

(λ+ 2micro)p(10) = 2microp(11) + 4microp(20) (3)

4microp(22) = λp(11) (4)

4microp(21) = 4microp(22) + λp(10) (5)

4microp(20) = 2microp(21) (6)

Δυστυχώς η εύρεση της στάσιμης κατανομής είναι μία επίπονη διαδικασία Αρ-

χικά προσπαθούμε να εκφράσουμε όλες τις καταστάσεις ως συναρτήσεις της κα-

τάστασης p0 Συγκεκριμένα (1) rArr p(10) = λ2microp0 (4) rArr p(22) = λ

4microp(11)

(6) rArr p(20) = 12p(21) και άρα μένει να εκφράσουμε τις p(21) p(11) συναρτήσει

της p0 Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις (2) (3) και αφού αντικαταστήσουμε τις

σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω επιλύουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο

αγνώστους Τελικά παίρνουμε p(11) = λ2microp0 και p(21) = λ2

4micro2 p0 τη λύση μας τη

δίνει η εξίσωση κανονικοποίησηςsump = 1harr p0(1 +

λ

2micro+

λ

2micro+

λ2

8micro2+

λ2

4micro2+

λ2

8micro2) = 1

p0 =8micro2

8micro2 + 8λmicro+ 4λ2=

1

1 + ρ+ ρ2

2

΄Οπου ρ = λmicro Τώρα η εύρεση των υπολοίπων πιθανοτήτων είναι τετριμμένη

αφού p1 = p(10) + p(11) = λmicrop0 = ρ

1+ρ+ ρ2

2

ενώ p2 = p(20) + p(21) + p(22) =

4λ2

8micro2 p0 = ρ2

2(1+ρ+ ρ2

2 )

19

26 863

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας πελάτης υπό εξυπηρέτηση ΄Εχουμε τον

εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ)(n i) n = 1 i = 1 sminus 1 (n+ 1 i) exp(λ)

(n i+ 1) exp(smicro)(n s) (n+ 1 s) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(smicro)

Οι εξισώσεις ισορροπίας όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση

της στάσιμης κατανομής εφαρμόζουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκεκριμένα

ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των φάσεων

που μένουν στο σύστημα μέχρι να αδειάσει Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει είναι

η εξής (n i)hArr nsminus (iminus 1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αφίξεων Ms|M |1Δεν έχουμε βρει τη στάσιμη κατανομή της ουράς αυτής στη γενική της πε-

ρίπτωση ΄Εστω ότι είναι η (pn) τότε θα εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανο-

μής του αριθμού των πελατών στο σύστημα συναρτήσει αυτής της pn Δηλαδή

P (Q(t) = n) =sumsi=1 P (Q(t) = n I(t) = i) = P (N(t) = ns minus (i minus 1) =sums

i=1 pnsminus(iminus1) =sum(nsi=(nminus1)s+1 pi

27 864 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας ερχόμενος πελάτης ΄Εχουμε τον εξής

πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 n) (0 n+ 1) exp(kλ)(0 k) (11) exp(kλ)

(mn) n = 0 1 k minus 1 (mn+ 1) exp(kλ)(mminus 1 n) exp(micro)

(m k) (m+ 1 k) exp(kλ)(mminus 1 k) exp(micro)

Εξισώσεις λεπτομερούς ισορροπίας παίρνουμε

kλp(01) = microp(11) (1)

kλp(mn) = microp(m+1n) + kλp(mnminus1) n = 0 1 k(2)

kλp(m1) = kλp(mminus1k) + microp(m+11) (3)

20

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

7 471

Θεωρούμε την ουρά M |M |c|c όπου ο κάθε εισερχόμενος πελάτης βλέποντας nπελάτες στο σύστημα θα αποχωρήσει με πιθανότητα

nc (δηλαδή θα εισέλθει με

πιθανότηταcminusnc ) Σημειώνουμε το πίνακα μετάβασης

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n = 1 cminus 1 n+ 1 exp( cminusnc λ)

n-1 exp(micro)c c-1 exp(micro)

Αφού όλοι οι χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί η ουρά είναι μασχ

8 472

Θεωρούμε την ουρά M |M |1 όπου ο κάθε πελάτης του οποίου η εξυπηρέτηση

τελείωσε θα την επαναλάβει με πιθανότητα q (δηλαδή θα φύγει με πιθανότητα

1minus q) Σημειώνουμε το πίνακα μετάβασης

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n+ 1 exp(λ)

nminus 1 exp((1minus q)micro)

Αφού όλοι οι χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί η ουρά είναι μασχ

9 473

Στην ουράM |M |1|1 με χρόνους προθέρμανσης έχουμε τον εξής πίνακα μετάβασης

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0) (1 0) exp(λ)(1 0) (11) exp(θ)(1 1) (0 0) exp(micro)

Στην ουρά M |M |1 με χρόνους προθέρμανσης έχουμε τον εξής πίνακα μετάβα-

σης

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0) (1 0) exp(λ)(n 0) n ge 1 (11) exp(θ)

(n+ 1 0) exp(λ)(1 1) (2 1) exp(λ)

(0 0) exp(micro)(n 1) n ge 2 (n+ 1 1) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(micro)

3

Και στις δύο περιπτώσεις έχουμε αποκλειστικά εκθετικούς χρόνους μεταβάσε-

ων άρα είναι και οι δύο μασχ

10 571

α) Κατά την είσοδο του πελάτη όλοι οι υπηρέτες θα είναι απασχολημένοι Η ε-

πόμενη αναχώρηση από το σύστημα θα γίνει όταν ένας οποιοσδήποτε υπηρέτης

τελειώσει με την εξυπηρέτηση Καθώς η εξυπηρέτηση γίνεται με εκθετική κατανο-

μή ρυθμού μ και λόγω της αμνήμονης ιδιότητας η εξυπηρέτηση μέχρι την πρώτη

αναχώρηση θα ακολουθεί exp(cmicro)β) Για να ξεκινήσει την εξυπηρέτηση του ο n-οστός πελάτης όπου n gt c θα

πρέπει πρώτα να εξυπηρετηθούν nminusc στο πλήθος άτομα ΄Αρα E(S) = E(W )+ 1micro

όπου ο πρώτος προσθετέος οφείλεται στο χρόνο αναμονής και ο δεύτερος στο

χρόνο εξυπηρέτησης του Τελικά S sim (cminusn)exp(cmicro)+exp(micro) το οποίο είναι μία

υποεκθετική κατανομή δηλαδή γενίκευση της Erlang ως άθροισμα εκθετικών με

όχι απαραίτητα τους ίδιους ρυθμούς

11 572 (Μάθημα 10)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n+1 exp(λ)

n-1 exp(micro+ (nminus 1)ν)

Εφόσον στον πίνκα μεταβάσεων όλοι οι χρόνοι είναι εκθετικοί πρόκειται για

μαςχ Για την ειδική περίπτωση μ = ν έχουμε

Bminus1 = 1 +

infinsumi=1

λn

micro(2micro) (nmicro)=

infinsumi=0

λn

nmicron= eρ

όπου ρ = λmicro το οποίο είναι πάντα ευσταθές όπως προκύπτει από το κριτήριο

λόγου

pn =

eminusρ n = 0

eminusρ ρn

n n ge 1(1)

Δηλαδή για το πλήθος των πελατών έχουμε Q sim Poisson(ρ)

12 573

α)

4

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp( 3λ4 )

n n+1 exp(λ4 )n-1 exp(micro)

΄Επεται ότι

Bminus1 = 1 +

infinsumn=1

3λn

4nmicron= 1 + 3

infinsumn=1

(ρ

4)n

η οποία συγκλίνει γιαρ4 lt 1harr ρ lt 4harr λ lt 4micro και δίνει

Bminus1 = 1 + 31

1minus ρ4

= 1 +12

4minus ρ=

16minus ρ4minus ρ

ενώ αποκλίνει για λ ge 4microβ)

pn =

4minusρ16minusρ n = 0

3(4minusρ)(16minusρ) (ρ4 )n n ge 1

(2)

΄Ομως λόγω (α) της PASTA (που οφείλεται στο γεγονός ότι οι αφικνούμενοι

πελάτες φτάνουν με διαδικασία Poisson) και (β) των μεμονωμένων αφίξεων και

αναχωρήσεων έχουμε pn = an = dnγ) Γνωρίζουμε πως το ποσοστό των χαμένων πελατών είναι ίσο με τη πιθα-

νότητα ένας πελάτης να μην εισέλθει λόγω του Θεωρήματος Ολικής Πιθανότητας

έχουμε

P (not enter) = P (Q = 0)P (not enter|Q = 0)+P (Q ge 1)P (not enter|Q ge 1) =p0

4+

3(1minus p0)

4=

3minus 2p0

4

13 574

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n+1 exp(anλ)

n-1 exp(nanmicro)

Bminus1 = 1 +

infinsumn=1

λn

nanmicron=

infinsumn=0

ρn

nan= e

ρa ltinfin

Δηλαδή η ουρά είναι πάντα ευσταθής ενώ για τις πιθανότητες pn παίρνουμε

pn =

eminus

ρa n = 0

eminusρaρn

nan n ge 1(3)

5

΄Αρα συμπεραίνουμε ότι pn sim Poisson( ρa )

β) Αφού η διαδικασία αφίξεων είναι Poisson και πρόκειται για μεμονωμένες

αφίξεις και αναχωρήσεις έπεται dn = an = pn sim Poisson( ρa )

γ) Αρχικά υπολογίζουμε το ρυθμό διαπέρασης

λ =

infinsumn=0

λnpn =

infinsumn=0

anλeminusρa ρn

nan= λeminus

ρa eρ

όμως από το Ν του Little και αφού το πλήθος των πελατών στο σύστημα ακολου-

θεί Poisson έπεται πως E(S) = E(Q)λ = ρe

ρa

minusρ

aλ = eρa

minusρ

amicro Για την περίοδο αργίας

έχουμε πως

E(I) =1

λ0=

1

λ

΄Ετσι μπορούμε να βρούμε και τη μέση διάρκεια ενός κύκλου αφού

E(I)

E(Z)= p0 rArr E(Z) =

eρa

λ

Και τέλος παίρνουμε ότι

E(Y ) = E(Z)minus E(I) =eρa

λminus 1

λ=eρa minus 1

λ

14 575

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n+1 exp( cminusnc λ)

n-1 exp(nmicro)c c-1 exp(cmicro)

Bminus1 = 1+

csumn=1

λ0λ1 λnminus1

micro1micro2 micron=

csumn=0

(cminus 1) (cminus n)λn

cnminus1nmicron=

csumn=0

(c

n

)(ρ

c)n = (1+

ρ

c)c

επειδή πρόκειται για πολυώνυμο με διονυμικούς συντελεστές

΄Αρα για τις πιθανότητες pn πάιρνουμε

pn =

(c

n

)(ρc )n

(1 + ρc )c

=

(c

n

)(

ρc

1 + ρc

)n(1

1 + ρc

)cminusn =

(c

n

)(

ρ

ρ+ c)n(1minus ρ

ρ+ c)nminusc

από το οποίο έπεται πως Q sim Bin(c ρρ+c )

6

β) Το μακροπρόθεσμο ποσοστό των άμεσα αποχωρίσαντων θα είναι ίσο με την

πιθανότητα ένας αφικνούμενος πελάτης να μην εισέλθει στο σύστημα και από το

Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας προκύπτει

P (πιθανότητα να μην εισέλθει) =

csumn=o

n

cpn =

E(Q)

c=np

c=c ρρ+c

c=

ρ

ρ+ c

γ) Λόγω των μεμονομένων αφίξεων θα ισχύει an = dn και καταλήγουμε σε

μια όχι ιδιαίτερα όμορφη σχέση

aentern =λnpnsumcn=0 λnpn

=cminusnc λpn

λc

sumcn=0 (cminus n)pn

=(cminus n)pnsumcminus1n=0(cminus n)pn

= dn n = 0 1 c

δ) ΄Ενας τελικά εισερχόμενος πελάτης θα εξυπηρετείται αμέσως αφού οι υπη-

ρέτες είναι σε πλήθος ίσοι με τη χωρητικότητα του συστήματος άρα E(Sprime) = 1micro

Για το μέσο χρόνο παραμονής όλων των αφικνούμενων πελατών σκεφτόμαστε

ως εξής εφαρμόζουμε δύο φορές το Θεώρημα διπλής μέσης τιμής μια φορά δε-

σμεύοντας ως προς το ενδεχόμενο να εισέλθει -ή να μην εισέλθει- ο πελάτης στο

σύστημα και μια δεύτερη ως προς το ενδεχόμενο να βρει ν πελάτες κατά την

είσοδο του παίρνουμε

E(Sαφικνούμενοι) = P (enter)E(S|enter) + P (noenter)E(S|noenter) =

= P (enter|a0)a0E(S|enter)+P (enter|a1)a1E(S|enter) P (enter| an)anE(S|enter) =

=1

micro(

csumn=0

ancminus nc

) =1

cmicro(

csumn=0

pn(cminus n)) =1

microminus microE(Q)

c=

1

microminus λ

ρ+ c

Τονίζουμε πως δε χρειάζεται να δεσμεύσουμε τις μέσες τιμές ως προς το πόσα

άτομα βλέπει ο αφικνούμενος πελάτης καθώς θα εξυπηρετηθεί αμέσως ανεξάρτητα

από το πόσα θα δει

ε) Εύκολα βρίσκουμε τη μέση περίοδο λειτουργίας E(I) = λ0 = λ Τώρα

βρίσκουμε εύκολα τη μέση διάρκεια ενός κύκλου ως εξής

E(I)

E(Z)= p0 rArr E(Z) =

E(I)

p0=

λ

( cρ+c )

c=λ(ρ+ c)c

cc

15 651

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)1 le j le r j+1 exp(λ)

0 exp(micro)n ge r n+1 exp(λ)

n-r exp(micro)

7

Τώρα καταλήγουμε στις εξής εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1 + micropr = micro(

rsumi=1

pi) (1)

(λ+ micro)pn = λpnminus1 + micropn+rγια n ge 1(2)

β) για να μπορέσουμε να βρούμε τη συνθήκη ευστάθειας θα χρησιμοποιήσουμε

τη λεγόμενη μέθοδο των πιθανογεννητριών με βοήθεια από τη μιγαδική ανάλυση

(1) +

infinsumn=1

(2)zn

rArr λ

infinsumn=0

pnzn + micro(

infinsumn=0

pnzn minus p0) = zλ

infinsumn=0

pnzn + micro(

rsumi=1

pi) +micro

zr

infinsumn=r+1

pnzn

΄Οπου όμως γνωρίζουμε πως P (z) =suminfinn=0 pnz

nκαι αντικαθιστώντας έχουμε

rArr λP (z)+micro(P (z)minusp0) = zλP (z)+micro(

rsumi=1

pi)+micro

zr(P (z)minusp0minusp1zminusmiddot middot middotminusprzr)

rArr P (z) =micro(p0(zr minus 1) + p1(zr minus z) + middot middot middot+ prminus1(zr minus zrminus1)

(λ+ micro)zr minus λzr+1 minus micro

τελικά θέτοντας ρ = λmicro οδηγούμαστε στην εξής μορφή όπου ο παρονομαστής

είναι πολυώνυμο μεγαλύτερου βαθμού ως προς το z από τον αριθμητή

rArr P (z) =p0(zr minus 1) + p1(zr minus z) + middot middot middot+ prminus1(zr minus zrminus1)

(ρ+ 1)(zr minus ρρ+1z

r+1 minus 1ρ+1

) =N(z)

D(z)

Σε αυτό το σημείο θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το πόρισμα του θεωρήματος

Rouche για να εξετάσουμε κατά πόσο αυτή η συνάρτηση αποδίδει πράγματι μάζα

πιθανότητας στη κατανομή pn ΄Ετσι ορίζουμε μία ακολουθία α(z) =suminfinn=0 z

n

τέτοια ώστε a0 = 1ρ+1 ar+1 = ρ

ρ+1 ai = 0 για i 6= 0 r + 1 και παρατηρούμε

αφενός ότι zn minus α(z) = A(z) = zr minus ρρ+1z

r+1 minus 1ρ+1 αφετέρου ότι

suminfinn=0 αn =

1suminfinn=0 nαn lt infin

suminfinn=0 n

2αn lt infin δηλαδή ισχύουν οι προϋποθέσεις του πο-

ρίσματος

Ακόμα έχουμε ότι α(1) = 1 άρα πρέπει να εξετάσουμε το πολυώνυμο Aprime(z)όπου

Aprime(z) = rzrminus1 minus (r + 1)ρ

ρ+ 1zr rArr Aprime(1) = middot middot middot = r minus ρ

ρ+ 1

το τελευταίο εργαλείο που χρειαζόμαστε για την ανάλυση σε περιπτώσεις είναι

το k = mcd(j minus r aj 6= 0) = mcd(minusr 1) = 1

8

1η περίπτωση λ lt rmicro rArr r gt ρ έχουμε ότι α(1) = 1 Aprime(1) gt 0 άρα απα-

ραίτητα θα έχουμε N minus k = r minus 1 ρίζες μέσα στο μιγαδικό δίσκο (z |z| lt 1)1 ρίζα πάνω στο δίσκο (z |z| = 1) (μέσα και πάνω στο δίσκο έχει νόημα η

πιθανογεννήτρια) και 1 ρίζα εκτός του μοναδιαίου δίσκου Δηλαδή μπορούμε να

γράψουμε

D(z) = c1(z minus z0)(z minus z1) (z minus zrminus1)(z minus 1)

όπου οι r στο πλήθος ρίζες εντός και πάνω στο δίσκο είναι οι z1 zrminus1 1όμως για να συγκλίνει η P (z) θα πρέπει όλες αυτές οι ρίζες του παρονομαστή που

βρίσκονται μέσα και πάνω στο μοναδιαίο κύκλο να είναι και ρίζες του αριθμητή

Δηλαδή N(z) = c1(z minus z1) (z minus zrminus1)(z minus 1)΄Αρα αυτό που απομένει είναι P (z) = c

zminusz0 και λόγω της εξίσωσης κανονικο-

ποίησης απαιτούμε να ισχύει P (1) = 1rArr c = 1minus z0 Τελικά παίρνουμε

P (z) =1minus z0

z minus z0=z0 minus 1

z0

1

1minus zz0

=z0 minus 1

z0

infinsumj=0

(z

z0)j =

infinsumj=0

z0 minus 1

(z0)j+1zj

όπου μπορέσαμε να χρησιμοποιήσαμε τη γεωμετρική σειρά γιατί η λύση z0 είναι

εκτός του δίσκου και άρα | zz0 | lt 1 ΄Αρα έχουμε ότι pn = z0minus1

zn+10

= ( 1z0

)n(1 minus 1z0

)

για n ge 0 δηλαδή έχουμε ότι pn sim Geo( z0minus1z0

) που είναι ευσταθής

2η περίπτωση παρατηρούμε ότι για λ ge rmicro rArr r le ρ από το θεώρημα του

Rouche και αφού Aprime(1) le 1 θα έχουμε r+ 1 στο πλήθος ρίζες πάνω και μέσα στο

μοναδιαίο δίσκο για το πολυώνυμο του παρονομαστή ενώ το πολύ ρ στο πλήθος

ρίζας για το πολυώνυμο του αριθμητή Επομένως η πιθανογεννήτρια θα αποκλίνει

και σε αυτές τις περιπτώσεις το σύστημα μας θα είναι ασταθές Με άλλα λόγια

η συνθήκη που μας δίνεται από την άσκηση είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για

την ευστάθεια του συστήματος μας

16 652 (΄Εγινε στο μάθημα)

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 2 exp(λ)n n+2 exp( cminusnc λ)

n-1 exp(micro)

όλοι οι παραπάνω χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί άρα η Qt) θα είναι μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 = microp2(2)

(λ+ micro)pn = λpnminus2 + micropn+1 n ge 2 (3)

9

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λ+ micro)

infinsumn=0

pnzn minus microp0 =

micro

z(p1z + p2z

2) + micro

infinsumn=2

pn+1zn + λ

infinsumn=2

pnminus2zn

rArr (λ+ micro)zP (z)minus microzp0 = microP (z)minus microp0 + λz3P (z)

όπου αντικαταστήσαμε το σχετικό άθροισμα από την πιθανογεννήτρια P (z)΄Εχουμε ότι

P (z) =microzp0 minus microp0

(λ+ micro)z minus λz3 minus microΔηλαδή καταλήξαμε σε μία έκφραση της πιθανογεννήτριας η οποία περιλαμ-

βάνει μονάχα τα λ micro και p0

γ) μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση το z = 1είναι προφανώς ρίζα και του αριθμητή και του παρονομαστή Θα μπορούσαμε

λοιπόν να παραγονοτοποιήσουμε το παρονομαστή με αυτή τη ρίζα και μετά να

πάρουμε το p0 από την απαίτηση P (1) = 1

P (z) =zp0 minus p0

(ρ+ 1)(z minus ρρ+1z

3 minus 1ρ+1 )

=microp0

minusλz2 minus λz + micro

όμως έχουμε P (1) = 1rArr p0 = microminus2λmicro = 1minus 2ρ Η συνθήκη ευστάθειας τώρα μας

δίνει το εξής p0 gt 0rArr ρ lt 12 Παρατηρούμε πως πρόεκειται για μία αναμενόμενη

συνθήκη ευστάθειας καθώς η άφιξη με ρυθμό λ ομάδων των 2 πελατών είναι

για το πλήθος των πελατών του συστήματος ισοδύναμη με την άφιξη πελατών με

ρυθμό 2λ

δ) Αρχικά κάνουμε τη παρατήρηση ότι αφού οι πελάτες έρχονται σε δυάδες σε

κάθε γκρουπ πελατών ο καθένας θα καταλαμβάνει οποιαδήποτε από τις δύο θέσεις

με πιθανότητα 05 Ακόμα σημειώνουμε πως για να βρεί κάποιος μπροστά του nminus1πελάτες θα πρέπει να είναι είτε ο πρώτος πελάτης σε ένα γκρουπ που βλέπει nminus1πελάτες είτε ο δεύτερος σε ένα γκρουπ που βλέπει n minus 2 πελάτες Τέλος λόγω

της PASTA έχουμε ότι P (agroupn ) = pn Συνδυάζοντας τα παραπάνω παίρνουμε

P (anminus1) = P (agroupnminus1 πρώτος στη σειρά) + P (agroup

nminus2 δεύτερος στη σειρά)

=P (agroup

nminus1 )

2+P (agroup

nminus2 )

2=pnminus1 + pn

2

ε) για λ = 1 micro = 6 παίρνουμε ότι p0 = 1 minus 26 = 2

3 Αντικαθιστώντας στον

τύπου που έχουμε βρει για τη πιθανογεννήτρια και μετά από πράξεις έχουμε

P (z) =4

minusz2 minus z + 6=

minus4

(z + 3)(z minus 2)=

4

5(

1

z + 3minus 1

z minus 2) =

10

Η ιδέα εδώ είναι να προσπαθήσουμε να αντικαταστήσουμε τα δύο αυτά κλάσμα-

τα με τη γεωμετρική σειρά Εφόσον |z| le 1 rArr | z2 | |minusz3 | lt 1 και άρα κάνουμε το

εξής τέχνασμα

P (z) =4

5(1

3

1

1 + z3

+1

2

1

1minus z2

) =4

15

infinsumn=0

(minusz3

)n+6

15

infinsumn=0

(z

2)n

P (z) =

infinsumn=0

(4

15(minus1

3)n +

6

15(1

2)n)zn

και δηλαδή παίρνουμε pn = ( 415 (minus1

3 )n + 615 ( 1

2 )n)foralln isin N

17 653

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 j ge 1 exp(λgj)n n+ j j ge 1 exp(pgjλ)

n-1 exp(micro)

όλοι οι παραπάνω χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί άρα η Qt) θα είναι μασχ

παίρνουμε λοιπόν τις παρακάτων εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(λp+ micro)p1 = microp2 + λg1p0 (2)

(λp+ micro)pn = micropn=1 + λgnp0 +

nminus1sumj=1

λgnminusjppj (3)

β) Για να υπολογίσουμε τη πιθανογεννήτρια ψάχνουμε το εξής άθροισμα

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumn=2

nminus1sumj=1

gnminusjpjzn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumj=1

pjzj

nminus1sumn=j+1

gnminusjznminusj

και τώρα αντικαθιστώντας με τις πιθανογεννήτριες των μέτρων πιθανοτήτων

pn gn δηλαδή P (z) =suminfinn=0 pnz

n G(z) =suminfinn=0 gnz

n =suminfinn=1 gnz

nκαι κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε παίρνουμε

11

P (z) =λp0zG(z)minus λpp0zG(z) + λpp0z + microp0z minus microp0 minus λp0z

zλp+ microz minus microminus λpzG(z)

Σε αυτό το σημείο θυμόμαστε πως ισχύει P (1) = G(1) = 1 από τις ιδιότητες

των πιθανογεννητριών ΄Ομως εαν ο αναγνώστης αποπειραθεί να βρει τη τιμή

της Ρ στο 1 και να λύσει ως προς p0 θα παρατηρήσει ότι καταλήγουμε στην

απροσδιόριστη μορφή00 Επομένως εφαρμόζοντας το κανόνα του LprimeHospital και

θέτοντας m = Gprime(z) καταλήγουμε στο εξής

1 = P (1) =λp0mminus λpp0m+ microp0

microminus λpm

rArr p0 =microminus λpm

λmminus λpm+ micro=

microminus λpmmicrominus λm(1minus p)

όμως το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο αν p0 gt 0 δηλαδή θα πρέπει

τα microminus λpm και λmminus λpm+ micro να είναι ομόσημα Ο παρονομαστής είναι πάντοτε

μεγαλύτερος από τον αριθμητή επομένως για να είναι και τα δύο θετικά αρκεί

να είναι micro minus λpm gt 0 hArr 1 gt ρpm ενώ για να είναι και τα δύο αρνητικά αρκεί

micro minus λm(1 minus p) lt 0 Το δεύτερο σετ λύσεων απορρίπτεται γιάτί 0 lt p lt 1 το

οποίο είναι κάτι πολύ λογικό διαισθητικά

γ) Η πιθανότητα ένας πελάτης να βρει μπροστά του n minus 1 πελάτες ισούται με

την πιθανότητα να βρει το γκρουπ του j πελάτες για 0 le j le n minus 1 αυτός να

είναι ο nminus j πελάτης του γκρουπ του και τελικά να εισέλθει λόγω της PASTAπαίρνουμε

anminus1 =

nminus1sumk=0

αgroupk gnminusk = p0

suminfini=n gisuminfini=1 igi

+ p

nminus1sumk=1

pk

suminfini=nminusk gisuminfini=1 igi

δ) Στη περίπτωση των μεμονωμένων αφίξεων παίρνουμε g1 = 1 gi = 0foralli 6= 1και άρα G(z) = zm = Gprime(z) = g1 = 1 και άρα βρίσκουμε

p0 =microminus λp

λminus λp+ micro

αντικαθιστώντας τώρα τα παραπάνω στο τύπο των πιθανογεννητριών και κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε τα εξής

P (z) = p0

λ(1minus p)(z minus 1)(z + microλ(1minusp) )

minusλp(z minus 1)(z minus microλp )

= p01minus pp

(z +micro

λ(1minus p))

1

1minus z λpmicro

λp

micro

= p0λ(1minus p)

micro(z +

micro

λ(1minus p))

infinsumn=0

(λp

micro)nzn

= p01minus pp

infinsumn=1

(λp

micro)nzn + p0

infinsumn=0

(λp

micro)nzn = p0 +

p0

p

infinsumn=1

(λp

micro)nzn

12

το οποίο προκύπτει μετά από βασανιστικές αλγεβρικές πράξεις καθώς και την

παρατήρηση ότι για m = 1 στη κατάσταση ευστάθειας έχουμε ότιmicroλp gt 1 rArr

|λpmicro z| lt 1 και άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γεωμετρικό άθροισμα Τε-

λικά παίρνουμε την εξής κατανομή

pn =

p0 n = 0

p0(1 + 1p (λpmicro )n) n ge 1

(4)

18 654

α) Αρχικά γράφουε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(1

2λ+ micro)p1 =

λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2(p0 + p1)(3)

β) για να υπολογίσουμε τη κατανομή pn n = 0 1 2 αρχικά συμπεραίνουμε από

την 1 ότι p1 = λmicrop0 ενώ από τη 2 ότι p2 = λ

2microp0(1 + λmicro )

Επομένως από την εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 + p1 + p2 = 1 rArrp0(1 + λ

micro + λ2micro + λ2

2micro2 )rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+λmicro+λ2 και έτσι βρίσκουμε και τα p1 p2

γ) Γνωρίζουμε πως το ποσοστό χαμένων πελατών θα είναι = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (γκρουπ των 2 το γκρουπ να βρει έναν πελάτη ήδη στο σύστημα)+P (να βρει το γκρουπ 2 πελάτες) =12p1 + p2 το οποίο ισχύει λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των δύο ενδεχομένων

δ) Απαντούμε τα ίδια ερωτήματα στη περίπτωση που ένα αφικνούμενο γκρουπ

των 2 ατόμων δε διώχνεται όλο εάν δε χωράει να εισέλθει αλλά γεμίζει πρώτα

το σύστημα και κατόπιν ο δεύτερος πελάτης του γκρουπ αποχωρεί Σε αυτή τη

περίπτωση οι εξισώσεις ισορροπίας είναι τροποποιημένες ως εξής

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 =λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2p0 + λp1(3)

και προτού υπολογίσουμε τις μάζες πιθανότητας παρατηρούμε ότι p1 = λmicrop0 και

από τη 2η εξίσωση ισορροπίας p2 = λmicrop0(λmicro + 1

2 ) Δηλαδή η εξίσωση κανονικοπο-

ίησης τώρα δίνει p0(1 + λmicro + λ2

micro2 + λ2micro ) = 1 rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+2λ2+λmicro ενώ με τις

σχέσεις παραπάνω βρίσκουμε τα p1 p2 Παρατηρούμε ότι σε αυτή τη περίπτωση

το p0 είναι μικρότερο από ότι στο ερώτημα β το οποίο είναι και αναμενόμενο αφού

ουσιαστικά αυξήσαμε τους μηχανισμούς με τους οποίους μεταβαίνει το σύστημα

στη κατάσταση με 2 πελάτες Θα περιμέναμε δηλαδή ένα μικρότερο p0 και ένα

μεγαλύτερο p2 σε σχέση με τα προηγούμενα ερωτήματα

13

Τέλος το ποσοτό χαμένων πελατών = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (να έρθει γκρουπ των 2 ένας πελάτη ήδη στο σύστημα είναι ο δεύτερος σε διάταξη πελάτης)+P (αφικν γκρουπ να βρει 2 πελάτες) = 1

212p1 + p2 = 1

4p1 + p2 το οποίο ισχύει

λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των τριών ενδεχομένων

19 751 (΄Εγινε στο μάθημα)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ2 )

(12) exp(λ2 )(11) 2 exp(λ)

0 exp(micro1)(12) 2 exp(λ)

0 exp(micro2)2 (11) exp(micro2)

(12) exp(micro1)

Παρατηρεί κανείς ότι η τμ Q(t) I(t) με τη δίτιμη τμ Ι(t) να δείχνει ποιος υ-

πηρέτης είναι απασχολημένος στη περίπτωση που έχουμε ένα πελάτη στο σύστημα

είναι μασχ Είναι λογικό να εξετάσουμε την αλυσία ως προς αντιστρεψιμότητα

Πράγματι παρατηρεί κανείς ότι

λ

2λmicro1micro2 =

λ

2λmicro2micro1 harr q0(11)q(11)2q2(12)q(12)0 = q0(12)q(12)2q2(11)q(11)0

και άρα από το κριτήριο του Κολμογοροv στο μοναδικό κύκλο του συστήματος

παίρνουμε αντιστρεψιμότητα Η μάζα πιθανότητας της pn τότε βρίσκεται κατά

τετριμμένο τρόπο από τις παρακάτω σχέσεις και την εξίσωση κανονικοποίησης

p(11) =λ

2micro1p0 p(12) =

λ

2micro2p0 p2 =

λ2

2micro1micro2p0

Και άρα μετά από πράξεις παίρνουμε p0 + p(11) + p(12) + p2 = 1 harr p0 =2micro1micro2

2micro1micro2+2λmicro2+2λmicro1=λ2 Το ποσοστό των χαμένων πελατών θα ισούται με τη πιθα-

νότητα να μην εισέλθει ένας πελάτης άρα λόγω PASTA= p2

20 752 (΄Εγινε στο μάθημα)

α) Θέτουμε I(t) τη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τη τιμή 1 εάν ο υπηρέτης βρίσκε-

ται σε περίοδο λειτουργείας τη στιγμή t και τη τιμή 0 διαφορετικά Τότε έχουμε

τον εξής πίνακα καταστάσεων για τη διδιάστατη τμ (Q(t) I(t))

14

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(n 0) (n 1) exp(ξ)(01) (00) exp(θ)

(11) exp(λ)(n 1) (n 0) exp(θ)

(n+ 1 1) exp(λ)(nminus 1 1) exp(micro)

και άρα θα πρόκειται για μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

ξp(j 0) = θp(j 1)forallj isin N

microp(j 1) = λp(j minus 1 1)forallj isin N

άρα παίρνουμε από τα παραπάνω ότι

p(j 1) =λ

microp(j minus 1 1) = middot middot middot = ρj

ξ

θp(0 0)

p(j 0) = ρjp(0 0)

rArrsumj

p(j 0) +sumj

p(j 1) = 1rArr ξ

θp(0 0)

sumρj + p(0 0)

sumρj = 1

rArr p(0 0) = (ξ

θ

1

1minus ρ+

1

1minus ρ)minus1 =

θ(1minus ρ)

ξ + θ

και το σύστημα θα είναι ευσταθές αν η p(0 0) gt 0 δηλαδή εάν ρ lt 1rArr λ lt microγ) Από τα παραπάνω παίρνουμε ότι p(j 1) = ξ

ξ+θ (1minusρ)ρj και p(j 0) = θξ+θ (1minus

ρ)ρj

και άρα μπορούμε να βρούμε το ποσοστό ως εξής

P (Q = n) = pn = P (n 1) + P (n 0) = ρn(1minus ρ)foralln ge 0

δ) Για το μέσο χρόνο παραμονής ενός πελάτη που βρίσκει n πελάτες κατά την

είσοδο του έστω E(Sn) = xn παίρνουμε

E(Sn) = Χρόνος μέχρι αργία ή αποχωρ+P (αργία)lowastχρόνος+P (αποχ)lowastχρόνος

=1

micro+ θ+

θ

micro+ θ(1

ξ+ E(Sn)) +

micro

micro+ θE(Snminus1)

rArr xn =θ

ξmicro+

1

micro+ xnminus1 = (nminus 1)(

θ

microξ+

1

micro)n ge 0

15

21 753

α) Αρχικά δείχνουμε αν η Q(t) είναι αντιστρέψιμη τότε και η XA(t) θα είναι επίσης

αντιστρέψιμη Από το κριτήριο του kolmogorov και την αντιστρεψιμότητα της

αρχικής αλυσίδας παίρνουμε ότι foralli0i1middot middot middotn ισχύει qi0i1 qini0 = qi0in qi1i0 Εφόσον το παραπάνω ισχύει για κάθε κύκλο θα ισχύει και για όλους τους κύκλους

μέσα στην A ιδιαιτέρως διότι qij = qAij για τους κύκλους μέσα στην Α ΄Αρα από

το κριτήριο του Kolmogorov και η XA(t) θα είναι αντιστρέψιμη

A είναι μη κενό άρα υπάρχει στοιχείο i0 isin A Η ιδέα είναι να προσπαθήσουμε

να εκφράσουμε όλα τα στοιχεία του A συναρτήσει των pAi0 και pi ΄Εστω μια άλλη

κατάσταση in isin A τότε ξέρουμε ότι θα ισχύει pAin = pAi0qAi0inqAini0

= pAi0qi0inqini0

=

pAi0pinpi0

το οποίο ισχύει αφενός γιατί οι ρυθμοί μετάβασης εντός του A μένουν

οι ίδιοι αφετέρου γιατί έχουμε θεωρήσει αντιστρέψιμη μαρκοβιανή αλυσίδα ΄Εχει

γίνει η απαραίτητη προεργασία οπότε εύκολα παίρνουμε το ζητούμενο

sumjisinA

pAj = 1rArr pAi0 + pAi1 = middot middot middot = 1rArr pAi0 (sumjisinA

pjpi0

) = 1rArr pAi0 =pi0sumjisinA pj

β) Θα παραθέσουμε το απλούστερο αντιπαράδειγμα που βρέθηκε Ενδεχομένως

η επιλογή των αριθμών να μην είναι ιδανική και η διεργασία έγινε κυρίως με τη βο-

ήθεια του διαγράμματος Θεωρούμε την αλυσίδα με τον εξής πίνακα καταστάσεων

και S = (0 1 2 3)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(1)2 exp( 1

3 )1 0 exp(1)

2 exp( 23 )

2 3 exp( 13 )

0 exp( 23 )

1 exp( 13 )

3 2 exp( 12 )

Στο παραπάνω παράδειγμα είναι προφανές ότι η αρχική μας αλυσίδα είναι

μασχ αλλά δεν είναι αντιστρέψιμη αφού αποτυγχάνει το κριτήριο του kolmogorovστο κύκλο καταστάσεων (012) Πολύ εύκολα μπορεί κάποιος να γράψει τις ε-

ξισώσεις ισορροπίας και να καταλήξει στην εξής κατανομή πιθανότητας p0 =33218 p1 = 30

218 p2 = 87218 p3 = 58

218Θεωρούμε τώρα το γνήσιο μη κενό υποσύνολο του χώρου καταστάσεων της

αρχικής μας αλυσίδας A = (012) Οι εξισώσεις ισορροπίας θα είναι όμοιες απλά

δε θα υπάρχει το p3 ενώ η εξίσωση κανονικοποίησης θα δίνει αυτή τη φορά διαφο-

ρετική μάζα με pA0= 11

50 pA1 = 1050 pA2 = 29

50 ΄Ομως εάν τα αποτελέσματα της

προηγούμενης άσκησης ίσχυαν και για μη αντιστρέψιμες αλυσίδες θα αναμέναμε

να πάρουμε pA0= p0

p0+p1+p1= 33

160 6=1150 και άρα δεν ισχύουν τα προηγούμενα

16

γ) Ως μασχ τύπου γέννησης-θανάτου η M |M |1 θα είναι αντιστρέψιμη

Περιορίζοντας τον χώρο καταστάσεων στο A = (0 1 k) sub S παίρνουμε μία

αλυσίδα τύπου M |M |1|K Από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) συμπερα-

ίνουμε ότι η M |M |1|K θα είναι επίσης αντιστρέψιμη και για τη στάσιμη κατανομή

της εύκολα παίρνουμε ότι

pAj =pjsumki=0 pi

=ρjsumki=0 ρ

i=

ρj

(1minus k)(1minus ρkminus1) j le k

δ) ΗM |M |infin ως μασχ τύπου γέννησης θανάτου (με διαφορετικούς χρόνους

αναχωρήσεων φυσικά) θα είναι αντιστρέψιμη Θεωρούμε τον υπόχωρο καταστάσε-

ωνA = (0 1 k) sub S και ο περιορισμός της αρχικής αλυσίδας γίνεταιM |M |infin|kπου όμως ταυτίζεται με την M |M |k|k αφού πάντα θα εξυπηρετούν το πολύ κ υ-

πηρέτες όμοια με πάνω η αλυσίδα αυτή θα είναι μασχ και για τη στάσιμη

κατανομή

pAj =pjsumki=0 pi

=ρj

jsumki=0

ρi

i

j le k

ε) Θεωρούμε τη διδιάστατη αρχική στοχαστική διαδικασία (Q1(t) Q2(t)) δύο

ανεξάρτητων M |M |1 ουρών χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα Σημειώνουμε

πως λόγω της αμνήμονης ιδιότητας όλες οι μεταβάσεις στις καταστάσεις της θα ε-

ίναι τύπου γέννησης θανάτου και άρα αυτή η αλυσίδα θα είναι αντιστρέψιμη Σημει-

ώνουμε ακόμα πως pij = P (Q1 = i Q2 = j) = pipj = (1minusρ1)(1minusρ2)ρi1ρj2foralli j ge

0Τώρα θεωρούμε το υποσύνολο των καταστάσεωνA = ((0 0) (i j) (k+1 1) (1 k+

1) i + j le k + 1) sub S και παρατηρούμε πως η (Q1(t) Q2(t))A πράγματι μοντε-

λοποιεί την στοχαστική διαδικασία που μας έχει ζητηθεί να μελετήσουμε ενώ

θα είναι αντιστρέψιμη από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) Ακόμα για τη

στάσιμη κατανομή παίρνουμε

pA(ij)= PA(Q1 = i Q2 = j) =

pijsum(ij)isinA pij

=pipjsumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 pij + p(k+11) + p(1k+1)

=

ρi1ρj2sumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 ρi1ρ

j2 + ρk+1

1 ρ2 + ρ1ρk+12

forall(i j) isin A

22 754

΄Εχουμε μια αδιαχώριστη αλυσίδα και μια συνάρτηση πιθανότητας pn (η οποία θα

αθροίζει στη μονάδα και άρα ικανοποιεί την εξίσωση κανονικοποίησης) Από το

θεμελιώδες εργοδικό θεώρημα μασχ η (X(t)) θα έχει τη (pj j isin S) ως

στάσιμη κατανομή εάν pisumj 6=i qij =

sumj 6=i pjqji Πράγματι από τα δεδομένα της

άσκησης παίρνουμε

17

pisumj 6=i

qij = pisumj 6=i

qij =sumj 6=i

piqij =sumj 6=i

pjqji

Για την αντίστροφη αλυσίδα γνωρίζουμε πως θα ισχύει qij = pjqijpi

το οποίο

όμως είναι καλά ορισμένο από τη στάσιμη πιθανότητα και τους ρυθμούς μετάβασης

της αρχικής μας αλυσίδας ΄Αρα πράγματι αυτοί οι ρυθμοί μετάβασης θα ανήκουν

στην αντίστροφη

23 755 (΄Εγινε στο μάθημα)

Από το θεώρημα του Burke έχουμε πως για δεδομένη χρονική στιγμη t τα Q1 Q2

είναι ανεξάρτητα ενώ οι πελάτες θα εισέρχονται στο δεύτερο σύστημα επίσης

σύμφωνα με διαδικασία Poisson ρυθμού λ ΄Αρα

pn1n2 = P (Q1 = n1 Q2 = n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn1ρn2

όπου ρ1 = λmicro1 ρ2 = λ

micro2

24 861 (΄Εγινε στο μάθημα)

Η σδ (Q(t)) προφανώς δεν είναι μασχ αφού δεν είναι όλοι οι χρόνοι μετάβασης

εκθετικοί Ορίζουμε I(t) μία τμ πού μας δείχνει το στάδιο j εξυπηρέτησης

j = 0 1 s και για τη διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) έχουμε

τον εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (11) exp(λ)(1 j) j = 1 sminus 1 (1 j + 1) exp(smicro)

(1 s) 0 exp(smicro)

και τώρα έχει προκύψει μία μασχ Σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας του

συστήματος

λp0 = smicrop1s

smicrop1j = smicrop1j+1 j = 0 1 sminus 1

από τις οποίες έπεται ότι p11 = p12 = middot middot middot = p1s = λmicrop0 και άρα από την

εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 = microλ+micro και p1 =

sumsj=1 p1j = s λ

s(λ+micro) =λ

λ+micro

18

25 862 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

Θέτουμε (I(t) = το πλήθος των πελατών που βρίσκονται στη 1η φάση της ε-

ξυπηρέτησης τους και τότε για τη διδιάστατη σδ (Q(t) I(t)) παίρνουμε πίνακα

μετάβασης ως εξής

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(00) (11) exp(λ)(11) (22) exp(λ)

(10) exp(2micro)(10) (21) exp(λ)

(00) exp(2micro)(22) (21) exp(4micro)(21) (11) exp(2micro)

(20) exp(2micro)(20) (10) exp(4micro)

Τώρα προχωρούμε στη καταγραφή των εξισώσεων ισορροπίας αναλυτικά και

για τις 6 καταστάσεις

λp0 = 2microp(10) (1)

(λ+ 2micro)p(11) = λp0 + 2microp(21) (2)

(λ+ 2micro)p(10) = 2microp(11) + 4microp(20) (3)

4microp(22) = λp(11) (4)

4microp(21) = 4microp(22) + λp(10) (5)

4microp(20) = 2microp(21) (6)

Δυστυχώς η εύρεση της στάσιμης κατανομής είναι μία επίπονη διαδικασία Αρ-

χικά προσπαθούμε να εκφράσουμε όλες τις καταστάσεις ως συναρτήσεις της κα-

τάστασης p0 Συγκεκριμένα (1) rArr p(10) = λ2microp0 (4) rArr p(22) = λ

4microp(11)

(6) rArr p(20) = 12p(21) και άρα μένει να εκφράσουμε τις p(21) p(11) συναρτήσει

της p0 Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις (2) (3) και αφού αντικαταστήσουμε τις

σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω επιλύουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο

αγνώστους Τελικά παίρνουμε p(11) = λ2microp0 και p(21) = λ2

4micro2 p0 τη λύση μας τη

δίνει η εξίσωση κανονικοποίησηςsump = 1harr p0(1 +

λ

2micro+

λ

2micro+

λ2

8micro2+

λ2

4micro2+

λ2

8micro2) = 1

p0 =8micro2

8micro2 + 8λmicro+ 4λ2=

1

1 + ρ+ ρ2

2

΄Οπου ρ = λmicro Τώρα η εύρεση των υπολοίπων πιθανοτήτων είναι τετριμμένη

αφού p1 = p(10) + p(11) = λmicrop0 = ρ

1+ρ+ ρ2

2

ενώ p2 = p(20) + p(21) + p(22) =

4λ2

8micro2 p0 = ρ2

2(1+ρ+ ρ2

2 )

19

26 863

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας πελάτης υπό εξυπηρέτηση ΄Εχουμε τον

εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ)(n i) n = 1 i = 1 sminus 1 (n+ 1 i) exp(λ)

(n i+ 1) exp(smicro)(n s) (n+ 1 s) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(smicro)

Οι εξισώσεις ισορροπίας όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση

της στάσιμης κατανομής εφαρμόζουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκεκριμένα

ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των φάσεων

που μένουν στο σύστημα μέχρι να αδειάσει Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει είναι

η εξής (n i)hArr nsminus (iminus 1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αφίξεων Ms|M |1Δεν έχουμε βρει τη στάσιμη κατανομή της ουράς αυτής στη γενική της πε-

ρίπτωση ΄Εστω ότι είναι η (pn) τότε θα εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανο-

μής του αριθμού των πελατών στο σύστημα συναρτήσει αυτής της pn Δηλαδή

P (Q(t) = n) =sumsi=1 P (Q(t) = n I(t) = i) = P (N(t) = ns minus (i minus 1) =sums

i=1 pnsminus(iminus1) =sum(nsi=(nminus1)s+1 pi

27 864 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας ερχόμενος πελάτης ΄Εχουμε τον εξής

πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 n) (0 n+ 1) exp(kλ)(0 k) (11) exp(kλ)

(mn) n = 0 1 k minus 1 (mn+ 1) exp(kλ)(mminus 1 n) exp(micro)

(m k) (m+ 1 k) exp(kλ)(mminus 1 k) exp(micro)

Εξισώσεις λεπτομερούς ισορροπίας παίρνουμε

kλp(01) = microp(11) (1)

kλp(mn) = microp(m+1n) + kλp(mnminus1) n = 0 1 k(2)

kλp(m1) = kλp(mminus1k) + microp(m+11) (3)

20

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

Και στις δύο περιπτώσεις έχουμε αποκλειστικά εκθετικούς χρόνους μεταβάσε-

ων άρα είναι και οι δύο μασχ

10 571

α) Κατά την είσοδο του πελάτη όλοι οι υπηρέτες θα είναι απασχολημένοι Η ε-

πόμενη αναχώρηση από το σύστημα θα γίνει όταν ένας οποιοσδήποτε υπηρέτης

τελειώσει με την εξυπηρέτηση Καθώς η εξυπηρέτηση γίνεται με εκθετική κατανο-

μή ρυθμού μ και λόγω της αμνήμονης ιδιότητας η εξυπηρέτηση μέχρι την πρώτη

αναχώρηση θα ακολουθεί exp(cmicro)β) Για να ξεκινήσει την εξυπηρέτηση του ο n-οστός πελάτης όπου n gt c θα

πρέπει πρώτα να εξυπηρετηθούν nminusc στο πλήθος άτομα ΄Αρα E(S) = E(W )+ 1micro

όπου ο πρώτος προσθετέος οφείλεται στο χρόνο αναμονής και ο δεύτερος στο

χρόνο εξυπηρέτησης του Τελικά S sim (cminusn)exp(cmicro)+exp(micro) το οποίο είναι μία

υποεκθετική κατανομή δηλαδή γενίκευση της Erlang ως άθροισμα εκθετικών με

όχι απαραίτητα τους ίδιους ρυθμούς

11 572 (Μάθημα 10)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n+1 exp(λ)

n-1 exp(micro+ (nminus 1)ν)

Εφόσον στον πίνκα μεταβάσεων όλοι οι χρόνοι είναι εκθετικοί πρόκειται για

μαςχ Για την ειδική περίπτωση μ = ν έχουμε

Bminus1 = 1 +

infinsumi=1

λn

micro(2micro) (nmicro)=

infinsumi=0

λn

nmicron= eρ

όπου ρ = λmicro το οποίο είναι πάντα ευσταθές όπως προκύπτει από το κριτήριο

λόγου

pn =

eminusρ n = 0

eminusρ ρn

n n ge 1(1)

Δηλαδή για το πλήθος των πελατών έχουμε Q sim Poisson(ρ)

12 573

α)

4

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp( 3λ4 )

n n+1 exp(λ4 )n-1 exp(micro)

΄Επεται ότι

Bminus1 = 1 +

infinsumn=1

3λn

4nmicron= 1 + 3

infinsumn=1

(ρ

4)n

η οποία συγκλίνει γιαρ4 lt 1harr ρ lt 4harr λ lt 4micro και δίνει

Bminus1 = 1 + 31

1minus ρ4

= 1 +12

4minus ρ=

16minus ρ4minus ρ

ενώ αποκλίνει για λ ge 4microβ)

pn =

4minusρ16minusρ n = 0

3(4minusρ)(16minusρ) (ρ4 )n n ge 1

(2)

΄Ομως λόγω (α) της PASTA (που οφείλεται στο γεγονός ότι οι αφικνούμενοι

πελάτες φτάνουν με διαδικασία Poisson) και (β) των μεμονωμένων αφίξεων και

αναχωρήσεων έχουμε pn = an = dnγ) Γνωρίζουμε πως το ποσοστό των χαμένων πελατών είναι ίσο με τη πιθα-

νότητα ένας πελάτης να μην εισέλθει λόγω του Θεωρήματος Ολικής Πιθανότητας

έχουμε

P (not enter) = P (Q = 0)P (not enter|Q = 0)+P (Q ge 1)P (not enter|Q ge 1) =p0

4+

3(1minus p0)

4=

3minus 2p0

4

13 574

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n+1 exp(anλ)

n-1 exp(nanmicro)

Bminus1 = 1 +

infinsumn=1

λn

nanmicron=

infinsumn=0

ρn

nan= e

ρa ltinfin

Δηλαδή η ουρά είναι πάντα ευσταθής ενώ για τις πιθανότητες pn παίρνουμε

pn =

eminus

ρa n = 0

eminusρaρn

nan n ge 1(3)

5

΄Αρα συμπεραίνουμε ότι pn sim Poisson( ρa )

β) Αφού η διαδικασία αφίξεων είναι Poisson και πρόκειται για μεμονωμένες

αφίξεις και αναχωρήσεις έπεται dn = an = pn sim Poisson( ρa )

γ) Αρχικά υπολογίζουμε το ρυθμό διαπέρασης

λ =

infinsumn=0

λnpn =

infinsumn=0

anλeminusρa ρn

nan= λeminus

ρa eρ

όμως από το Ν του Little και αφού το πλήθος των πελατών στο σύστημα ακολου-

θεί Poisson έπεται πως E(S) = E(Q)λ = ρe

ρa

minusρ

aλ = eρa

minusρ

amicro Για την περίοδο αργίας

έχουμε πως

E(I) =1

λ0=

1

λ

΄Ετσι μπορούμε να βρούμε και τη μέση διάρκεια ενός κύκλου αφού

E(I)

E(Z)= p0 rArr E(Z) =

eρa

λ

Και τέλος παίρνουμε ότι

E(Y ) = E(Z)minus E(I) =eρa

λminus 1

λ=eρa minus 1

λ

14 575

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n+1 exp( cminusnc λ)

n-1 exp(nmicro)c c-1 exp(cmicro)

Bminus1 = 1+

csumn=1

λ0λ1 λnminus1

micro1micro2 micron=

csumn=0

(cminus 1) (cminus n)λn

cnminus1nmicron=

csumn=0

(c

n

)(ρ

c)n = (1+

ρ

c)c

επειδή πρόκειται για πολυώνυμο με διονυμικούς συντελεστές

΄Αρα για τις πιθανότητες pn πάιρνουμε

pn =

(c

n

)(ρc )n

(1 + ρc )c

=

(c

n

)(

ρc

1 + ρc

)n(1

1 + ρc

)cminusn =

(c

n

)(

ρ

ρ+ c)n(1minus ρ

ρ+ c)nminusc

από το οποίο έπεται πως Q sim Bin(c ρρ+c )

6

β) Το μακροπρόθεσμο ποσοστό των άμεσα αποχωρίσαντων θα είναι ίσο με την

πιθανότητα ένας αφικνούμενος πελάτης να μην εισέλθει στο σύστημα και από το

Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας προκύπτει

P (πιθανότητα να μην εισέλθει) =

csumn=o

n

cpn =

E(Q)

c=np

c=c ρρ+c

c=

ρ

ρ+ c

γ) Λόγω των μεμονομένων αφίξεων θα ισχύει an = dn και καταλήγουμε σε

μια όχι ιδιαίτερα όμορφη σχέση

aentern =λnpnsumcn=0 λnpn

=cminusnc λpn

λc

sumcn=0 (cminus n)pn

=(cminus n)pnsumcminus1n=0(cminus n)pn

= dn n = 0 1 c

δ) ΄Ενας τελικά εισερχόμενος πελάτης θα εξυπηρετείται αμέσως αφού οι υπη-

ρέτες είναι σε πλήθος ίσοι με τη χωρητικότητα του συστήματος άρα E(Sprime) = 1micro

Για το μέσο χρόνο παραμονής όλων των αφικνούμενων πελατών σκεφτόμαστε

ως εξής εφαρμόζουμε δύο φορές το Θεώρημα διπλής μέσης τιμής μια φορά δε-

σμεύοντας ως προς το ενδεχόμενο να εισέλθει -ή να μην εισέλθει- ο πελάτης στο

σύστημα και μια δεύτερη ως προς το ενδεχόμενο να βρει ν πελάτες κατά την

είσοδο του παίρνουμε

E(Sαφικνούμενοι) = P (enter)E(S|enter) + P (noenter)E(S|noenter) =

= P (enter|a0)a0E(S|enter)+P (enter|a1)a1E(S|enter) P (enter| an)anE(S|enter) =

=1

micro(

csumn=0

ancminus nc

) =1

cmicro(

csumn=0

pn(cminus n)) =1

microminus microE(Q)

c=

1

microminus λ

ρ+ c

Τονίζουμε πως δε χρειάζεται να δεσμεύσουμε τις μέσες τιμές ως προς το πόσα

άτομα βλέπει ο αφικνούμενος πελάτης καθώς θα εξυπηρετηθεί αμέσως ανεξάρτητα

από το πόσα θα δει

ε) Εύκολα βρίσκουμε τη μέση περίοδο λειτουργίας E(I) = λ0 = λ Τώρα

βρίσκουμε εύκολα τη μέση διάρκεια ενός κύκλου ως εξής

E(I)

E(Z)= p0 rArr E(Z) =

E(I)

p0=

λ

( cρ+c )

c=λ(ρ+ c)c

cc

15 651

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)1 le j le r j+1 exp(λ)

0 exp(micro)n ge r n+1 exp(λ)

n-r exp(micro)

7

Τώρα καταλήγουμε στις εξής εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1 + micropr = micro(

rsumi=1

pi) (1)

(λ+ micro)pn = λpnminus1 + micropn+rγια n ge 1(2)

β) για να μπορέσουμε να βρούμε τη συνθήκη ευστάθειας θα χρησιμοποιήσουμε

τη λεγόμενη μέθοδο των πιθανογεννητριών με βοήθεια από τη μιγαδική ανάλυση

(1) +

infinsumn=1

(2)zn

rArr λ

infinsumn=0

pnzn + micro(

infinsumn=0

pnzn minus p0) = zλ

infinsumn=0

pnzn + micro(

rsumi=1

pi) +micro

zr

infinsumn=r+1

pnzn

΄Οπου όμως γνωρίζουμε πως P (z) =suminfinn=0 pnz

nκαι αντικαθιστώντας έχουμε

rArr λP (z)+micro(P (z)minusp0) = zλP (z)+micro(

rsumi=1

pi)+micro

zr(P (z)minusp0minusp1zminusmiddot middot middotminusprzr)

rArr P (z) =micro(p0(zr minus 1) + p1(zr minus z) + middot middot middot+ prminus1(zr minus zrminus1)

(λ+ micro)zr minus λzr+1 minus micro

τελικά θέτοντας ρ = λmicro οδηγούμαστε στην εξής μορφή όπου ο παρονομαστής

είναι πολυώνυμο μεγαλύτερου βαθμού ως προς το z από τον αριθμητή

rArr P (z) =p0(zr minus 1) + p1(zr minus z) + middot middot middot+ prminus1(zr minus zrminus1)

(ρ+ 1)(zr minus ρρ+1z

r+1 minus 1ρ+1

) =N(z)

D(z)

Σε αυτό το σημείο θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το πόρισμα του θεωρήματος

Rouche για να εξετάσουμε κατά πόσο αυτή η συνάρτηση αποδίδει πράγματι μάζα

πιθανότητας στη κατανομή pn ΄Ετσι ορίζουμε μία ακολουθία α(z) =suminfinn=0 z

n

τέτοια ώστε a0 = 1ρ+1 ar+1 = ρ

ρ+1 ai = 0 για i 6= 0 r + 1 και παρατηρούμε

αφενός ότι zn minus α(z) = A(z) = zr minus ρρ+1z

r+1 minus 1ρ+1 αφετέρου ότι

suminfinn=0 αn =

1suminfinn=0 nαn lt infin

suminfinn=0 n

2αn lt infin δηλαδή ισχύουν οι προϋποθέσεις του πο-

ρίσματος

Ακόμα έχουμε ότι α(1) = 1 άρα πρέπει να εξετάσουμε το πολυώνυμο Aprime(z)όπου

Aprime(z) = rzrminus1 minus (r + 1)ρ

ρ+ 1zr rArr Aprime(1) = middot middot middot = r minus ρ

ρ+ 1

το τελευταίο εργαλείο που χρειαζόμαστε για την ανάλυση σε περιπτώσεις είναι

το k = mcd(j minus r aj 6= 0) = mcd(minusr 1) = 1

8

1η περίπτωση λ lt rmicro rArr r gt ρ έχουμε ότι α(1) = 1 Aprime(1) gt 0 άρα απα-

ραίτητα θα έχουμε N minus k = r minus 1 ρίζες μέσα στο μιγαδικό δίσκο (z |z| lt 1)1 ρίζα πάνω στο δίσκο (z |z| = 1) (μέσα και πάνω στο δίσκο έχει νόημα η

πιθανογεννήτρια) και 1 ρίζα εκτός του μοναδιαίου δίσκου Δηλαδή μπορούμε να

γράψουμε

D(z) = c1(z minus z0)(z minus z1) (z minus zrminus1)(z minus 1)

όπου οι r στο πλήθος ρίζες εντός και πάνω στο δίσκο είναι οι z1 zrminus1 1όμως για να συγκλίνει η P (z) θα πρέπει όλες αυτές οι ρίζες του παρονομαστή που

βρίσκονται μέσα και πάνω στο μοναδιαίο κύκλο να είναι και ρίζες του αριθμητή

Δηλαδή N(z) = c1(z minus z1) (z minus zrminus1)(z minus 1)΄Αρα αυτό που απομένει είναι P (z) = c

zminusz0 και λόγω της εξίσωσης κανονικο-

ποίησης απαιτούμε να ισχύει P (1) = 1rArr c = 1minus z0 Τελικά παίρνουμε

P (z) =1minus z0

z minus z0=z0 minus 1

z0

1

1minus zz0

=z0 minus 1

z0

infinsumj=0

(z

z0)j =

infinsumj=0

z0 minus 1

(z0)j+1zj

όπου μπορέσαμε να χρησιμοποιήσαμε τη γεωμετρική σειρά γιατί η λύση z0 είναι

εκτός του δίσκου και άρα | zz0 | lt 1 ΄Αρα έχουμε ότι pn = z0minus1

zn+10

= ( 1z0

)n(1 minus 1z0

)

για n ge 0 δηλαδή έχουμε ότι pn sim Geo( z0minus1z0

) που είναι ευσταθής

2η περίπτωση παρατηρούμε ότι για λ ge rmicro rArr r le ρ από το θεώρημα του

Rouche και αφού Aprime(1) le 1 θα έχουμε r+ 1 στο πλήθος ρίζες πάνω και μέσα στο

μοναδιαίο δίσκο για το πολυώνυμο του παρονομαστή ενώ το πολύ ρ στο πλήθος

ρίζας για το πολυώνυμο του αριθμητή Επομένως η πιθανογεννήτρια θα αποκλίνει

και σε αυτές τις περιπτώσεις το σύστημα μας θα είναι ασταθές Με άλλα λόγια

η συνθήκη που μας δίνεται από την άσκηση είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για

την ευστάθεια του συστήματος μας

16 652 (΄Εγινε στο μάθημα)

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 2 exp(λ)n n+2 exp( cminusnc λ)

n-1 exp(micro)

όλοι οι παραπάνω χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί άρα η Qt) θα είναι μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 = microp2(2)

(λ+ micro)pn = λpnminus2 + micropn+1 n ge 2 (3)

9

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λ+ micro)

infinsumn=0

pnzn minus microp0 =

micro

z(p1z + p2z

2) + micro

infinsumn=2

pn+1zn + λ

infinsumn=2

pnminus2zn

rArr (λ+ micro)zP (z)minus microzp0 = microP (z)minus microp0 + λz3P (z)

όπου αντικαταστήσαμε το σχετικό άθροισμα από την πιθανογεννήτρια P (z)΄Εχουμε ότι

P (z) =microzp0 minus microp0

(λ+ micro)z minus λz3 minus microΔηλαδή καταλήξαμε σε μία έκφραση της πιθανογεννήτριας η οποία περιλαμ-

βάνει μονάχα τα λ micro και p0

γ) μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση το z = 1είναι προφανώς ρίζα και του αριθμητή και του παρονομαστή Θα μπορούσαμε

λοιπόν να παραγονοτοποιήσουμε το παρονομαστή με αυτή τη ρίζα και μετά να

πάρουμε το p0 από την απαίτηση P (1) = 1

P (z) =zp0 minus p0

(ρ+ 1)(z minus ρρ+1z

3 minus 1ρ+1 )

=microp0

minusλz2 minus λz + micro

όμως έχουμε P (1) = 1rArr p0 = microminus2λmicro = 1minus 2ρ Η συνθήκη ευστάθειας τώρα μας

δίνει το εξής p0 gt 0rArr ρ lt 12 Παρατηρούμε πως πρόεκειται για μία αναμενόμενη

συνθήκη ευστάθειας καθώς η άφιξη με ρυθμό λ ομάδων των 2 πελατών είναι

για το πλήθος των πελατών του συστήματος ισοδύναμη με την άφιξη πελατών με

ρυθμό 2λ

δ) Αρχικά κάνουμε τη παρατήρηση ότι αφού οι πελάτες έρχονται σε δυάδες σε

κάθε γκρουπ πελατών ο καθένας θα καταλαμβάνει οποιαδήποτε από τις δύο θέσεις

με πιθανότητα 05 Ακόμα σημειώνουμε πως για να βρεί κάποιος μπροστά του nminus1πελάτες θα πρέπει να είναι είτε ο πρώτος πελάτης σε ένα γκρουπ που βλέπει nminus1πελάτες είτε ο δεύτερος σε ένα γκρουπ που βλέπει n minus 2 πελάτες Τέλος λόγω

της PASTA έχουμε ότι P (agroupn ) = pn Συνδυάζοντας τα παραπάνω παίρνουμε

P (anminus1) = P (agroupnminus1 πρώτος στη σειρά) + P (agroup

nminus2 δεύτερος στη σειρά)

=P (agroup

nminus1 )

2+P (agroup

nminus2 )

2=pnminus1 + pn

2

ε) για λ = 1 micro = 6 παίρνουμε ότι p0 = 1 minus 26 = 2

3 Αντικαθιστώντας στον

τύπου που έχουμε βρει για τη πιθανογεννήτρια και μετά από πράξεις έχουμε

P (z) =4

minusz2 minus z + 6=

minus4

(z + 3)(z minus 2)=

4

5(

1

z + 3minus 1

z minus 2) =

10

Η ιδέα εδώ είναι να προσπαθήσουμε να αντικαταστήσουμε τα δύο αυτά κλάσμα-

τα με τη γεωμετρική σειρά Εφόσον |z| le 1 rArr | z2 | |minusz3 | lt 1 και άρα κάνουμε το

εξής τέχνασμα

P (z) =4

5(1

3

1

1 + z3

+1

2

1

1minus z2

) =4

15

infinsumn=0

(minusz3

)n+6

15

infinsumn=0

(z

2)n

P (z) =

infinsumn=0

(4

15(minus1

3)n +

6

15(1

2)n)zn

και δηλαδή παίρνουμε pn = ( 415 (minus1

3 )n + 615 ( 1

2 )n)foralln isin N

17 653

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 j ge 1 exp(λgj)n n+ j j ge 1 exp(pgjλ)

n-1 exp(micro)

όλοι οι παραπάνω χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί άρα η Qt) θα είναι μασχ

παίρνουμε λοιπόν τις παρακάτων εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(λp+ micro)p1 = microp2 + λg1p0 (2)

(λp+ micro)pn = micropn=1 + λgnp0 +

nminus1sumj=1

λgnminusjppj (3)

β) Για να υπολογίσουμε τη πιθανογεννήτρια ψάχνουμε το εξής άθροισμα

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumn=2

nminus1sumj=1

gnminusjpjzn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumj=1

pjzj

nminus1sumn=j+1

gnminusjznminusj

και τώρα αντικαθιστώντας με τις πιθανογεννήτριες των μέτρων πιθανοτήτων

pn gn δηλαδή P (z) =suminfinn=0 pnz

n G(z) =suminfinn=0 gnz

n =suminfinn=1 gnz

nκαι κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε παίρνουμε

11

P (z) =λp0zG(z)minus λpp0zG(z) + λpp0z + microp0z minus microp0 minus λp0z

zλp+ microz minus microminus λpzG(z)

Σε αυτό το σημείο θυμόμαστε πως ισχύει P (1) = G(1) = 1 από τις ιδιότητες

των πιθανογεννητριών ΄Ομως εαν ο αναγνώστης αποπειραθεί να βρει τη τιμή

της Ρ στο 1 και να λύσει ως προς p0 θα παρατηρήσει ότι καταλήγουμε στην

απροσδιόριστη μορφή00 Επομένως εφαρμόζοντας το κανόνα του LprimeHospital και

θέτοντας m = Gprime(z) καταλήγουμε στο εξής

1 = P (1) =λp0mminus λpp0m+ microp0

microminus λpm

rArr p0 =microminus λpm

λmminus λpm+ micro=

microminus λpmmicrominus λm(1minus p)

όμως το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο αν p0 gt 0 δηλαδή θα πρέπει

τα microminus λpm και λmminus λpm+ micro να είναι ομόσημα Ο παρονομαστής είναι πάντοτε

μεγαλύτερος από τον αριθμητή επομένως για να είναι και τα δύο θετικά αρκεί

να είναι micro minus λpm gt 0 hArr 1 gt ρpm ενώ για να είναι και τα δύο αρνητικά αρκεί

micro minus λm(1 minus p) lt 0 Το δεύτερο σετ λύσεων απορρίπτεται γιάτί 0 lt p lt 1 το

οποίο είναι κάτι πολύ λογικό διαισθητικά

γ) Η πιθανότητα ένας πελάτης να βρει μπροστά του n minus 1 πελάτες ισούται με

την πιθανότητα να βρει το γκρουπ του j πελάτες για 0 le j le n minus 1 αυτός να

είναι ο nminus j πελάτης του γκρουπ του και τελικά να εισέλθει λόγω της PASTAπαίρνουμε

anminus1 =

nminus1sumk=0

αgroupk gnminusk = p0

suminfini=n gisuminfini=1 igi

+ p

nminus1sumk=1

pk

suminfini=nminusk gisuminfini=1 igi

δ) Στη περίπτωση των μεμονωμένων αφίξεων παίρνουμε g1 = 1 gi = 0foralli 6= 1και άρα G(z) = zm = Gprime(z) = g1 = 1 και άρα βρίσκουμε

p0 =microminus λp

λminus λp+ micro

αντικαθιστώντας τώρα τα παραπάνω στο τύπο των πιθανογεννητριών και κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε τα εξής

P (z) = p0

λ(1minus p)(z minus 1)(z + microλ(1minusp) )

minusλp(z minus 1)(z minus microλp )

= p01minus pp

(z +micro

λ(1minus p))

1

1minus z λpmicro

λp

micro

= p0λ(1minus p)

micro(z +

micro

λ(1minus p))

infinsumn=0

(λp

micro)nzn

= p01minus pp

infinsumn=1

(λp

micro)nzn + p0

infinsumn=0

(λp

micro)nzn = p0 +

p0

p

infinsumn=1

(λp

micro)nzn

12

το οποίο προκύπτει μετά από βασανιστικές αλγεβρικές πράξεις καθώς και την

παρατήρηση ότι για m = 1 στη κατάσταση ευστάθειας έχουμε ότιmicroλp gt 1 rArr

|λpmicro z| lt 1 και άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γεωμετρικό άθροισμα Τε-

λικά παίρνουμε την εξής κατανομή

pn =

p0 n = 0

p0(1 + 1p (λpmicro )n) n ge 1

(4)

18 654

α) Αρχικά γράφουε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(1

2λ+ micro)p1 =

λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2(p0 + p1)(3)

β) για να υπολογίσουμε τη κατανομή pn n = 0 1 2 αρχικά συμπεραίνουμε από

την 1 ότι p1 = λmicrop0 ενώ από τη 2 ότι p2 = λ

2microp0(1 + λmicro )

Επομένως από την εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 + p1 + p2 = 1 rArrp0(1 + λ

micro + λ2micro + λ2

2micro2 )rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+λmicro+λ2 και έτσι βρίσκουμε και τα p1 p2

γ) Γνωρίζουμε πως το ποσοστό χαμένων πελατών θα είναι = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (γκρουπ των 2 το γκρουπ να βρει έναν πελάτη ήδη στο σύστημα)+P (να βρει το γκρουπ 2 πελάτες) =12p1 + p2 το οποίο ισχύει λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των δύο ενδεχομένων

δ) Απαντούμε τα ίδια ερωτήματα στη περίπτωση που ένα αφικνούμενο γκρουπ

των 2 ατόμων δε διώχνεται όλο εάν δε χωράει να εισέλθει αλλά γεμίζει πρώτα

το σύστημα και κατόπιν ο δεύτερος πελάτης του γκρουπ αποχωρεί Σε αυτή τη

περίπτωση οι εξισώσεις ισορροπίας είναι τροποποιημένες ως εξής

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 =λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2p0 + λp1(3)

και προτού υπολογίσουμε τις μάζες πιθανότητας παρατηρούμε ότι p1 = λmicrop0 και

από τη 2η εξίσωση ισορροπίας p2 = λmicrop0(λmicro + 1

2 ) Δηλαδή η εξίσωση κανονικοπο-

ίησης τώρα δίνει p0(1 + λmicro + λ2

micro2 + λ2micro ) = 1 rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+2λ2+λmicro ενώ με τις

σχέσεις παραπάνω βρίσκουμε τα p1 p2 Παρατηρούμε ότι σε αυτή τη περίπτωση

το p0 είναι μικρότερο από ότι στο ερώτημα β το οποίο είναι και αναμενόμενο αφού

ουσιαστικά αυξήσαμε τους μηχανισμούς με τους οποίους μεταβαίνει το σύστημα

στη κατάσταση με 2 πελάτες Θα περιμέναμε δηλαδή ένα μικρότερο p0 και ένα

μεγαλύτερο p2 σε σχέση με τα προηγούμενα ερωτήματα

13

Τέλος το ποσοτό χαμένων πελατών = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (να έρθει γκρουπ των 2 ένας πελάτη ήδη στο σύστημα είναι ο δεύτερος σε διάταξη πελάτης)+P (αφικν γκρουπ να βρει 2 πελάτες) = 1

212p1 + p2 = 1

4p1 + p2 το οποίο ισχύει

λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των τριών ενδεχομένων

19 751 (΄Εγινε στο μάθημα)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ2 )

(12) exp(λ2 )(11) 2 exp(λ)

0 exp(micro1)(12) 2 exp(λ)

0 exp(micro2)2 (11) exp(micro2)

(12) exp(micro1)

Παρατηρεί κανείς ότι η τμ Q(t) I(t) με τη δίτιμη τμ Ι(t) να δείχνει ποιος υ-

πηρέτης είναι απασχολημένος στη περίπτωση που έχουμε ένα πελάτη στο σύστημα

είναι μασχ Είναι λογικό να εξετάσουμε την αλυσία ως προς αντιστρεψιμότητα

Πράγματι παρατηρεί κανείς ότι

λ

2λmicro1micro2 =

λ

2λmicro2micro1 harr q0(11)q(11)2q2(12)q(12)0 = q0(12)q(12)2q2(11)q(11)0

και άρα από το κριτήριο του Κολμογοροv στο μοναδικό κύκλο του συστήματος

παίρνουμε αντιστρεψιμότητα Η μάζα πιθανότητας της pn τότε βρίσκεται κατά

τετριμμένο τρόπο από τις παρακάτω σχέσεις και την εξίσωση κανονικοποίησης

p(11) =λ

2micro1p0 p(12) =

λ

2micro2p0 p2 =

λ2

2micro1micro2p0

Και άρα μετά από πράξεις παίρνουμε p0 + p(11) + p(12) + p2 = 1 harr p0 =2micro1micro2

2micro1micro2+2λmicro2+2λmicro1=λ2 Το ποσοστό των χαμένων πελατών θα ισούται με τη πιθα-

νότητα να μην εισέλθει ένας πελάτης άρα λόγω PASTA= p2

20 752 (΄Εγινε στο μάθημα)

α) Θέτουμε I(t) τη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τη τιμή 1 εάν ο υπηρέτης βρίσκε-

ται σε περίοδο λειτουργείας τη στιγμή t και τη τιμή 0 διαφορετικά Τότε έχουμε

τον εξής πίνακα καταστάσεων για τη διδιάστατη τμ (Q(t) I(t))

14

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(n 0) (n 1) exp(ξ)(01) (00) exp(θ)

(11) exp(λ)(n 1) (n 0) exp(θ)

(n+ 1 1) exp(λ)(nminus 1 1) exp(micro)

και άρα θα πρόκειται για μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

ξp(j 0) = θp(j 1)forallj isin N

microp(j 1) = λp(j minus 1 1)forallj isin N

άρα παίρνουμε από τα παραπάνω ότι

p(j 1) =λ

microp(j minus 1 1) = middot middot middot = ρj

ξ

θp(0 0)

p(j 0) = ρjp(0 0)

rArrsumj

p(j 0) +sumj

p(j 1) = 1rArr ξ

θp(0 0)

sumρj + p(0 0)

sumρj = 1

rArr p(0 0) = (ξ

θ

1

1minus ρ+

1

1minus ρ)minus1 =

θ(1minus ρ)

ξ + θ

και το σύστημα θα είναι ευσταθές αν η p(0 0) gt 0 δηλαδή εάν ρ lt 1rArr λ lt microγ) Από τα παραπάνω παίρνουμε ότι p(j 1) = ξ

ξ+θ (1minusρ)ρj και p(j 0) = θξ+θ (1minus

ρ)ρj

και άρα μπορούμε να βρούμε το ποσοστό ως εξής

P (Q = n) = pn = P (n 1) + P (n 0) = ρn(1minus ρ)foralln ge 0

δ) Για το μέσο χρόνο παραμονής ενός πελάτη που βρίσκει n πελάτες κατά την

είσοδο του έστω E(Sn) = xn παίρνουμε

E(Sn) = Χρόνος μέχρι αργία ή αποχωρ+P (αργία)lowastχρόνος+P (αποχ)lowastχρόνος

=1

micro+ θ+

θ

micro+ θ(1

ξ+ E(Sn)) +

micro

micro+ θE(Snminus1)

rArr xn =θ

ξmicro+

1

micro+ xnminus1 = (nminus 1)(

θ

microξ+

1

micro)n ge 0

15

21 753

α) Αρχικά δείχνουμε αν η Q(t) είναι αντιστρέψιμη τότε και η XA(t) θα είναι επίσης

αντιστρέψιμη Από το κριτήριο του kolmogorov και την αντιστρεψιμότητα της

αρχικής αλυσίδας παίρνουμε ότι foralli0i1middot middot middotn ισχύει qi0i1 qini0 = qi0in qi1i0 Εφόσον το παραπάνω ισχύει για κάθε κύκλο θα ισχύει και για όλους τους κύκλους

μέσα στην A ιδιαιτέρως διότι qij = qAij για τους κύκλους μέσα στην Α ΄Αρα από

το κριτήριο του Kolmogorov και η XA(t) θα είναι αντιστρέψιμη

A είναι μη κενό άρα υπάρχει στοιχείο i0 isin A Η ιδέα είναι να προσπαθήσουμε

να εκφράσουμε όλα τα στοιχεία του A συναρτήσει των pAi0 και pi ΄Εστω μια άλλη

κατάσταση in isin A τότε ξέρουμε ότι θα ισχύει pAin = pAi0qAi0inqAini0

= pAi0qi0inqini0

=

pAi0pinpi0

το οποίο ισχύει αφενός γιατί οι ρυθμοί μετάβασης εντός του A μένουν

οι ίδιοι αφετέρου γιατί έχουμε θεωρήσει αντιστρέψιμη μαρκοβιανή αλυσίδα ΄Εχει

γίνει η απαραίτητη προεργασία οπότε εύκολα παίρνουμε το ζητούμενο

sumjisinA

pAj = 1rArr pAi0 + pAi1 = middot middot middot = 1rArr pAi0 (sumjisinA

pjpi0

) = 1rArr pAi0 =pi0sumjisinA pj

β) Θα παραθέσουμε το απλούστερο αντιπαράδειγμα που βρέθηκε Ενδεχομένως

η επιλογή των αριθμών να μην είναι ιδανική και η διεργασία έγινε κυρίως με τη βο-

ήθεια του διαγράμματος Θεωρούμε την αλυσίδα με τον εξής πίνακα καταστάσεων

και S = (0 1 2 3)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(1)2 exp( 1

3 )1 0 exp(1)

2 exp( 23 )

2 3 exp( 13 )

0 exp( 23 )

1 exp( 13 )

3 2 exp( 12 )

Στο παραπάνω παράδειγμα είναι προφανές ότι η αρχική μας αλυσίδα είναι

μασχ αλλά δεν είναι αντιστρέψιμη αφού αποτυγχάνει το κριτήριο του kolmogorovστο κύκλο καταστάσεων (012) Πολύ εύκολα μπορεί κάποιος να γράψει τις ε-

ξισώσεις ισορροπίας και να καταλήξει στην εξής κατανομή πιθανότητας p0 =33218 p1 = 30

218 p2 = 87218 p3 = 58

218Θεωρούμε τώρα το γνήσιο μη κενό υποσύνολο του χώρου καταστάσεων της

αρχικής μας αλυσίδας A = (012) Οι εξισώσεις ισορροπίας θα είναι όμοιες απλά

δε θα υπάρχει το p3 ενώ η εξίσωση κανονικοποίησης θα δίνει αυτή τη φορά διαφο-

ρετική μάζα με pA0= 11

50 pA1 = 1050 pA2 = 29

50 ΄Ομως εάν τα αποτελέσματα της

προηγούμενης άσκησης ίσχυαν και για μη αντιστρέψιμες αλυσίδες θα αναμέναμε

να πάρουμε pA0= p0

p0+p1+p1= 33

160 6=1150 και άρα δεν ισχύουν τα προηγούμενα

16

γ) Ως μασχ τύπου γέννησης-θανάτου η M |M |1 θα είναι αντιστρέψιμη

Περιορίζοντας τον χώρο καταστάσεων στο A = (0 1 k) sub S παίρνουμε μία

αλυσίδα τύπου M |M |1|K Από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) συμπερα-

ίνουμε ότι η M |M |1|K θα είναι επίσης αντιστρέψιμη και για τη στάσιμη κατανομή

της εύκολα παίρνουμε ότι

pAj =pjsumki=0 pi

=ρjsumki=0 ρ

i=

ρj

(1minus k)(1minus ρkminus1) j le k

δ) ΗM |M |infin ως μασχ τύπου γέννησης θανάτου (με διαφορετικούς χρόνους

αναχωρήσεων φυσικά) θα είναι αντιστρέψιμη Θεωρούμε τον υπόχωρο καταστάσε-

ωνA = (0 1 k) sub S και ο περιορισμός της αρχικής αλυσίδας γίνεταιM |M |infin|kπου όμως ταυτίζεται με την M |M |k|k αφού πάντα θα εξυπηρετούν το πολύ κ υ-

πηρέτες όμοια με πάνω η αλυσίδα αυτή θα είναι μασχ και για τη στάσιμη

κατανομή

pAj =pjsumki=0 pi

=ρj

jsumki=0

ρi

i

j le k

ε) Θεωρούμε τη διδιάστατη αρχική στοχαστική διαδικασία (Q1(t) Q2(t)) δύο

ανεξάρτητων M |M |1 ουρών χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα Σημειώνουμε

πως λόγω της αμνήμονης ιδιότητας όλες οι μεταβάσεις στις καταστάσεις της θα ε-

ίναι τύπου γέννησης θανάτου και άρα αυτή η αλυσίδα θα είναι αντιστρέψιμη Σημει-

ώνουμε ακόμα πως pij = P (Q1 = i Q2 = j) = pipj = (1minusρ1)(1minusρ2)ρi1ρj2foralli j ge

0Τώρα θεωρούμε το υποσύνολο των καταστάσεωνA = ((0 0) (i j) (k+1 1) (1 k+

1) i + j le k + 1) sub S και παρατηρούμε πως η (Q1(t) Q2(t))A πράγματι μοντε-

λοποιεί την στοχαστική διαδικασία που μας έχει ζητηθεί να μελετήσουμε ενώ

θα είναι αντιστρέψιμη από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) Ακόμα για τη

στάσιμη κατανομή παίρνουμε

pA(ij)= PA(Q1 = i Q2 = j) =

pijsum(ij)isinA pij

=pipjsumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 pij + p(k+11) + p(1k+1)

=

ρi1ρj2sumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 ρi1ρ

j2 + ρk+1

1 ρ2 + ρ1ρk+12

forall(i j) isin A

22 754

΄Εχουμε μια αδιαχώριστη αλυσίδα και μια συνάρτηση πιθανότητας pn (η οποία θα

αθροίζει στη μονάδα και άρα ικανοποιεί την εξίσωση κανονικοποίησης) Από το

θεμελιώδες εργοδικό θεώρημα μασχ η (X(t)) θα έχει τη (pj j isin S) ως

στάσιμη κατανομή εάν pisumj 6=i qij =

sumj 6=i pjqji Πράγματι από τα δεδομένα της

άσκησης παίρνουμε

17

pisumj 6=i

qij = pisumj 6=i

qij =sumj 6=i

piqij =sumj 6=i

pjqji

Για την αντίστροφη αλυσίδα γνωρίζουμε πως θα ισχύει qij = pjqijpi

το οποίο

όμως είναι καλά ορισμένο από τη στάσιμη πιθανότητα και τους ρυθμούς μετάβασης

της αρχικής μας αλυσίδας ΄Αρα πράγματι αυτοί οι ρυθμοί μετάβασης θα ανήκουν

στην αντίστροφη

23 755 (΄Εγινε στο μάθημα)

Από το θεώρημα του Burke έχουμε πως για δεδομένη χρονική στιγμη t τα Q1 Q2

είναι ανεξάρτητα ενώ οι πελάτες θα εισέρχονται στο δεύτερο σύστημα επίσης

σύμφωνα με διαδικασία Poisson ρυθμού λ ΄Αρα

pn1n2 = P (Q1 = n1 Q2 = n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn1ρn2

όπου ρ1 = λmicro1 ρ2 = λ

micro2

24 861 (΄Εγινε στο μάθημα)

Η σδ (Q(t)) προφανώς δεν είναι μασχ αφού δεν είναι όλοι οι χρόνοι μετάβασης

εκθετικοί Ορίζουμε I(t) μία τμ πού μας δείχνει το στάδιο j εξυπηρέτησης

j = 0 1 s και για τη διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) έχουμε

τον εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (11) exp(λ)(1 j) j = 1 sminus 1 (1 j + 1) exp(smicro)

(1 s) 0 exp(smicro)

και τώρα έχει προκύψει μία μασχ Σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας του

συστήματος

λp0 = smicrop1s

smicrop1j = smicrop1j+1 j = 0 1 sminus 1

από τις οποίες έπεται ότι p11 = p12 = middot middot middot = p1s = λmicrop0 και άρα από την

εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 = microλ+micro και p1 =

sumsj=1 p1j = s λ

s(λ+micro) =λ

λ+micro

18

25 862 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

Θέτουμε (I(t) = το πλήθος των πελατών που βρίσκονται στη 1η φάση της ε-

ξυπηρέτησης τους και τότε για τη διδιάστατη σδ (Q(t) I(t)) παίρνουμε πίνακα

μετάβασης ως εξής

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(00) (11) exp(λ)(11) (22) exp(λ)

(10) exp(2micro)(10) (21) exp(λ)

(00) exp(2micro)(22) (21) exp(4micro)(21) (11) exp(2micro)

(20) exp(2micro)(20) (10) exp(4micro)

Τώρα προχωρούμε στη καταγραφή των εξισώσεων ισορροπίας αναλυτικά και

για τις 6 καταστάσεις

λp0 = 2microp(10) (1)

(λ+ 2micro)p(11) = λp0 + 2microp(21) (2)

(λ+ 2micro)p(10) = 2microp(11) + 4microp(20) (3)

4microp(22) = λp(11) (4)

4microp(21) = 4microp(22) + λp(10) (5)

4microp(20) = 2microp(21) (6)

Δυστυχώς η εύρεση της στάσιμης κατανομής είναι μία επίπονη διαδικασία Αρ-

χικά προσπαθούμε να εκφράσουμε όλες τις καταστάσεις ως συναρτήσεις της κα-

τάστασης p0 Συγκεκριμένα (1) rArr p(10) = λ2microp0 (4) rArr p(22) = λ

4microp(11)

(6) rArr p(20) = 12p(21) και άρα μένει να εκφράσουμε τις p(21) p(11) συναρτήσει

της p0 Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις (2) (3) και αφού αντικαταστήσουμε τις

σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω επιλύουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο

αγνώστους Τελικά παίρνουμε p(11) = λ2microp0 και p(21) = λ2

4micro2 p0 τη λύση μας τη

δίνει η εξίσωση κανονικοποίησηςsump = 1harr p0(1 +

λ

2micro+

λ

2micro+

λ2

8micro2+

λ2

4micro2+

λ2

8micro2) = 1

p0 =8micro2

8micro2 + 8λmicro+ 4λ2=

1

1 + ρ+ ρ2

2

΄Οπου ρ = λmicro Τώρα η εύρεση των υπολοίπων πιθανοτήτων είναι τετριμμένη

αφού p1 = p(10) + p(11) = λmicrop0 = ρ

1+ρ+ ρ2

2

ενώ p2 = p(20) + p(21) + p(22) =

4λ2

8micro2 p0 = ρ2

2(1+ρ+ ρ2

2 )

19

26 863

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας πελάτης υπό εξυπηρέτηση ΄Εχουμε τον

εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ)(n i) n = 1 i = 1 sminus 1 (n+ 1 i) exp(λ)

(n i+ 1) exp(smicro)(n s) (n+ 1 s) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(smicro)

Οι εξισώσεις ισορροπίας όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση

της στάσιμης κατανομής εφαρμόζουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκεκριμένα

ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των φάσεων

που μένουν στο σύστημα μέχρι να αδειάσει Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει είναι

η εξής (n i)hArr nsminus (iminus 1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αφίξεων Ms|M |1Δεν έχουμε βρει τη στάσιμη κατανομή της ουράς αυτής στη γενική της πε-

ρίπτωση ΄Εστω ότι είναι η (pn) τότε θα εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανο-

μής του αριθμού των πελατών στο σύστημα συναρτήσει αυτής της pn Δηλαδή

P (Q(t) = n) =sumsi=1 P (Q(t) = n I(t) = i) = P (N(t) = ns minus (i minus 1) =sums

i=1 pnsminus(iminus1) =sum(nsi=(nminus1)s+1 pi

27 864 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας ερχόμενος πελάτης ΄Εχουμε τον εξής

πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 n) (0 n+ 1) exp(kλ)(0 k) (11) exp(kλ)

(mn) n = 0 1 k minus 1 (mn+ 1) exp(kλ)(mminus 1 n) exp(micro)

(m k) (m+ 1 k) exp(kλ)(mminus 1 k) exp(micro)

Εξισώσεις λεπτομερούς ισορροπίας παίρνουμε

kλp(01) = microp(11) (1)

kλp(mn) = microp(m+1n) + kλp(mnminus1) n = 0 1 k(2)

kλp(m1) = kλp(mminus1k) + microp(m+11) (3)

20

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp( 3λ4 )

n n+1 exp(λ4 )n-1 exp(micro)

΄Επεται ότι

Bminus1 = 1 +

infinsumn=1

3λn

4nmicron= 1 + 3

infinsumn=1

(ρ

4)n

η οποία συγκλίνει γιαρ4 lt 1harr ρ lt 4harr λ lt 4micro και δίνει

Bminus1 = 1 + 31

1minus ρ4

= 1 +12

4minus ρ=

16minus ρ4minus ρ

ενώ αποκλίνει για λ ge 4microβ)

pn =

4minusρ16minusρ n = 0

3(4minusρ)(16minusρ) (ρ4 )n n ge 1

(2)

΄Ομως λόγω (α) της PASTA (που οφείλεται στο γεγονός ότι οι αφικνούμενοι

πελάτες φτάνουν με διαδικασία Poisson) και (β) των μεμονωμένων αφίξεων και

αναχωρήσεων έχουμε pn = an = dnγ) Γνωρίζουμε πως το ποσοστό των χαμένων πελατών είναι ίσο με τη πιθα-

νότητα ένας πελάτης να μην εισέλθει λόγω του Θεωρήματος Ολικής Πιθανότητας

έχουμε

P (not enter) = P (Q = 0)P (not enter|Q = 0)+P (Q ge 1)P (not enter|Q ge 1) =p0

4+

3(1minus p0)

4=

3minus 2p0

4

13 574

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n+1 exp(anλ)

n-1 exp(nanmicro)

Bminus1 = 1 +

infinsumn=1

λn

nanmicron=

infinsumn=0

ρn

nan= e

ρa ltinfin

Δηλαδή η ουρά είναι πάντα ευσταθής ενώ για τις πιθανότητες pn παίρνουμε

pn =

eminus

ρa n = 0

eminusρaρn

nan n ge 1(3)

5

΄Αρα συμπεραίνουμε ότι pn sim Poisson( ρa )

β) Αφού η διαδικασία αφίξεων είναι Poisson και πρόκειται για μεμονωμένες

αφίξεις και αναχωρήσεις έπεται dn = an = pn sim Poisson( ρa )

γ) Αρχικά υπολογίζουμε το ρυθμό διαπέρασης

λ =

infinsumn=0

λnpn =

infinsumn=0

anλeminusρa ρn

nan= λeminus

ρa eρ

όμως από το Ν του Little και αφού το πλήθος των πελατών στο σύστημα ακολου-

θεί Poisson έπεται πως E(S) = E(Q)λ = ρe

ρa

minusρ

aλ = eρa

minusρ

amicro Για την περίοδο αργίας

έχουμε πως

E(I) =1

λ0=

1

λ

΄Ετσι μπορούμε να βρούμε και τη μέση διάρκεια ενός κύκλου αφού

E(I)

E(Z)= p0 rArr E(Z) =

eρa

λ

Και τέλος παίρνουμε ότι

E(Y ) = E(Z)minus E(I) =eρa

λminus 1

λ=eρa minus 1

λ

14 575

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n+1 exp( cminusnc λ)

n-1 exp(nmicro)c c-1 exp(cmicro)

Bminus1 = 1+

csumn=1

λ0λ1 λnminus1

micro1micro2 micron=

csumn=0

(cminus 1) (cminus n)λn

cnminus1nmicron=

csumn=0

(c

n

)(ρ

c)n = (1+

ρ

c)c

επειδή πρόκειται για πολυώνυμο με διονυμικούς συντελεστές

΄Αρα για τις πιθανότητες pn πάιρνουμε

pn =

(c

n

)(ρc )n

(1 + ρc )c

=

(c

n

)(

ρc

1 + ρc

)n(1

1 + ρc

)cminusn =

(c

n

)(

ρ

ρ+ c)n(1minus ρ

ρ+ c)nminusc

από το οποίο έπεται πως Q sim Bin(c ρρ+c )

6

β) Το μακροπρόθεσμο ποσοστό των άμεσα αποχωρίσαντων θα είναι ίσο με την

πιθανότητα ένας αφικνούμενος πελάτης να μην εισέλθει στο σύστημα και από το

Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας προκύπτει

P (πιθανότητα να μην εισέλθει) =

csumn=o

n

cpn =

E(Q)

c=np

c=c ρρ+c

c=

ρ

ρ+ c

γ) Λόγω των μεμονομένων αφίξεων θα ισχύει an = dn και καταλήγουμε σε

μια όχι ιδιαίτερα όμορφη σχέση

aentern =λnpnsumcn=0 λnpn

=cminusnc λpn

λc

sumcn=0 (cminus n)pn

=(cminus n)pnsumcminus1n=0(cminus n)pn

= dn n = 0 1 c

δ) ΄Ενας τελικά εισερχόμενος πελάτης θα εξυπηρετείται αμέσως αφού οι υπη-

ρέτες είναι σε πλήθος ίσοι με τη χωρητικότητα του συστήματος άρα E(Sprime) = 1micro

Για το μέσο χρόνο παραμονής όλων των αφικνούμενων πελατών σκεφτόμαστε

ως εξής εφαρμόζουμε δύο φορές το Θεώρημα διπλής μέσης τιμής μια φορά δε-

σμεύοντας ως προς το ενδεχόμενο να εισέλθει -ή να μην εισέλθει- ο πελάτης στο

σύστημα και μια δεύτερη ως προς το ενδεχόμενο να βρει ν πελάτες κατά την

είσοδο του παίρνουμε

E(Sαφικνούμενοι) = P (enter)E(S|enter) + P (noenter)E(S|noenter) =

= P (enter|a0)a0E(S|enter)+P (enter|a1)a1E(S|enter) P (enter| an)anE(S|enter) =

=1

micro(

csumn=0

ancminus nc

) =1

cmicro(

csumn=0

pn(cminus n)) =1

microminus microE(Q)

c=

1

microminus λ

ρ+ c

Τονίζουμε πως δε χρειάζεται να δεσμεύσουμε τις μέσες τιμές ως προς το πόσα

άτομα βλέπει ο αφικνούμενος πελάτης καθώς θα εξυπηρετηθεί αμέσως ανεξάρτητα

από το πόσα θα δει

ε) Εύκολα βρίσκουμε τη μέση περίοδο λειτουργίας E(I) = λ0 = λ Τώρα

βρίσκουμε εύκολα τη μέση διάρκεια ενός κύκλου ως εξής

E(I)

E(Z)= p0 rArr E(Z) =

E(I)

p0=

λ

( cρ+c )

c=λ(ρ+ c)c

cc

15 651

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)1 le j le r j+1 exp(λ)

0 exp(micro)n ge r n+1 exp(λ)

n-r exp(micro)

7

Τώρα καταλήγουμε στις εξής εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1 + micropr = micro(

rsumi=1

pi) (1)

(λ+ micro)pn = λpnminus1 + micropn+rγια n ge 1(2)

β) για να μπορέσουμε να βρούμε τη συνθήκη ευστάθειας θα χρησιμοποιήσουμε

τη λεγόμενη μέθοδο των πιθανογεννητριών με βοήθεια από τη μιγαδική ανάλυση

(1) +

infinsumn=1

(2)zn

rArr λ

infinsumn=0

pnzn + micro(

infinsumn=0

pnzn minus p0) = zλ

infinsumn=0

pnzn + micro(

rsumi=1

pi) +micro

zr

infinsumn=r+1

pnzn

΄Οπου όμως γνωρίζουμε πως P (z) =suminfinn=0 pnz

nκαι αντικαθιστώντας έχουμε

rArr λP (z)+micro(P (z)minusp0) = zλP (z)+micro(

rsumi=1

pi)+micro

zr(P (z)minusp0minusp1zminusmiddot middot middotminusprzr)

rArr P (z) =micro(p0(zr minus 1) + p1(zr minus z) + middot middot middot+ prminus1(zr minus zrminus1)

(λ+ micro)zr minus λzr+1 minus micro

τελικά θέτοντας ρ = λmicro οδηγούμαστε στην εξής μορφή όπου ο παρονομαστής

είναι πολυώνυμο μεγαλύτερου βαθμού ως προς το z από τον αριθμητή

rArr P (z) =p0(zr minus 1) + p1(zr minus z) + middot middot middot+ prminus1(zr minus zrminus1)

(ρ+ 1)(zr minus ρρ+1z

r+1 minus 1ρ+1

) =N(z)

D(z)

Σε αυτό το σημείο θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το πόρισμα του θεωρήματος

Rouche για να εξετάσουμε κατά πόσο αυτή η συνάρτηση αποδίδει πράγματι μάζα

πιθανότητας στη κατανομή pn ΄Ετσι ορίζουμε μία ακολουθία α(z) =suminfinn=0 z

n

τέτοια ώστε a0 = 1ρ+1 ar+1 = ρ

ρ+1 ai = 0 για i 6= 0 r + 1 και παρατηρούμε

αφενός ότι zn minus α(z) = A(z) = zr minus ρρ+1z

r+1 minus 1ρ+1 αφετέρου ότι

suminfinn=0 αn =

1suminfinn=0 nαn lt infin

suminfinn=0 n

2αn lt infin δηλαδή ισχύουν οι προϋποθέσεις του πο-

ρίσματος

Ακόμα έχουμε ότι α(1) = 1 άρα πρέπει να εξετάσουμε το πολυώνυμο Aprime(z)όπου

Aprime(z) = rzrminus1 minus (r + 1)ρ

ρ+ 1zr rArr Aprime(1) = middot middot middot = r minus ρ

ρ+ 1

το τελευταίο εργαλείο που χρειαζόμαστε για την ανάλυση σε περιπτώσεις είναι

το k = mcd(j minus r aj 6= 0) = mcd(minusr 1) = 1

8

1η περίπτωση λ lt rmicro rArr r gt ρ έχουμε ότι α(1) = 1 Aprime(1) gt 0 άρα απα-

ραίτητα θα έχουμε N minus k = r minus 1 ρίζες μέσα στο μιγαδικό δίσκο (z |z| lt 1)1 ρίζα πάνω στο δίσκο (z |z| = 1) (μέσα και πάνω στο δίσκο έχει νόημα η

πιθανογεννήτρια) και 1 ρίζα εκτός του μοναδιαίου δίσκου Δηλαδή μπορούμε να

γράψουμε

D(z) = c1(z minus z0)(z minus z1) (z minus zrminus1)(z minus 1)

όπου οι r στο πλήθος ρίζες εντός και πάνω στο δίσκο είναι οι z1 zrminus1 1όμως για να συγκλίνει η P (z) θα πρέπει όλες αυτές οι ρίζες του παρονομαστή που

βρίσκονται μέσα και πάνω στο μοναδιαίο κύκλο να είναι και ρίζες του αριθμητή

Δηλαδή N(z) = c1(z minus z1) (z minus zrminus1)(z minus 1)΄Αρα αυτό που απομένει είναι P (z) = c

zminusz0 και λόγω της εξίσωσης κανονικο-

ποίησης απαιτούμε να ισχύει P (1) = 1rArr c = 1minus z0 Τελικά παίρνουμε

P (z) =1minus z0

z minus z0=z0 minus 1

z0

1

1minus zz0

=z0 minus 1

z0

infinsumj=0

(z

z0)j =

infinsumj=0

z0 minus 1

(z0)j+1zj

όπου μπορέσαμε να χρησιμοποιήσαμε τη γεωμετρική σειρά γιατί η λύση z0 είναι

εκτός του δίσκου και άρα | zz0 | lt 1 ΄Αρα έχουμε ότι pn = z0minus1

zn+10

= ( 1z0

)n(1 minus 1z0

)

για n ge 0 δηλαδή έχουμε ότι pn sim Geo( z0minus1z0

) που είναι ευσταθής

2η περίπτωση παρατηρούμε ότι για λ ge rmicro rArr r le ρ από το θεώρημα του

Rouche και αφού Aprime(1) le 1 θα έχουμε r+ 1 στο πλήθος ρίζες πάνω και μέσα στο

μοναδιαίο δίσκο για το πολυώνυμο του παρονομαστή ενώ το πολύ ρ στο πλήθος

ρίζας για το πολυώνυμο του αριθμητή Επομένως η πιθανογεννήτρια θα αποκλίνει

και σε αυτές τις περιπτώσεις το σύστημα μας θα είναι ασταθές Με άλλα λόγια

η συνθήκη που μας δίνεται από την άσκηση είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για

την ευστάθεια του συστήματος μας

16 652 (΄Εγινε στο μάθημα)

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 2 exp(λ)n n+2 exp( cminusnc λ)

n-1 exp(micro)

όλοι οι παραπάνω χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί άρα η Qt) θα είναι μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 = microp2(2)

(λ+ micro)pn = λpnminus2 + micropn+1 n ge 2 (3)

9

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λ+ micro)

infinsumn=0

pnzn minus microp0 =

micro

z(p1z + p2z

2) + micro

infinsumn=2

pn+1zn + λ

infinsumn=2

pnminus2zn

rArr (λ+ micro)zP (z)minus microzp0 = microP (z)minus microp0 + λz3P (z)

όπου αντικαταστήσαμε το σχετικό άθροισμα από την πιθανογεννήτρια P (z)΄Εχουμε ότι

P (z) =microzp0 minus microp0

(λ+ micro)z minus λz3 minus microΔηλαδή καταλήξαμε σε μία έκφραση της πιθανογεννήτριας η οποία περιλαμ-

βάνει μονάχα τα λ micro και p0

γ) μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση το z = 1είναι προφανώς ρίζα και του αριθμητή και του παρονομαστή Θα μπορούσαμε

λοιπόν να παραγονοτοποιήσουμε το παρονομαστή με αυτή τη ρίζα και μετά να

πάρουμε το p0 από την απαίτηση P (1) = 1

P (z) =zp0 minus p0

(ρ+ 1)(z minus ρρ+1z

3 minus 1ρ+1 )

=microp0

minusλz2 minus λz + micro

όμως έχουμε P (1) = 1rArr p0 = microminus2λmicro = 1minus 2ρ Η συνθήκη ευστάθειας τώρα μας

δίνει το εξής p0 gt 0rArr ρ lt 12 Παρατηρούμε πως πρόεκειται για μία αναμενόμενη

συνθήκη ευστάθειας καθώς η άφιξη με ρυθμό λ ομάδων των 2 πελατών είναι

για το πλήθος των πελατών του συστήματος ισοδύναμη με την άφιξη πελατών με

ρυθμό 2λ

δ) Αρχικά κάνουμε τη παρατήρηση ότι αφού οι πελάτες έρχονται σε δυάδες σε

κάθε γκρουπ πελατών ο καθένας θα καταλαμβάνει οποιαδήποτε από τις δύο θέσεις

με πιθανότητα 05 Ακόμα σημειώνουμε πως για να βρεί κάποιος μπροστά του nminus1πελάτες θα πρέπει να είναι είτε ο πρώτος πελάτης σε ένα γκρουπ που βλέπει nminus1πελάτες είτε ο δεύτερος σε ένα γκρουπ που βλέπει n minus 2 πελάτες Τέλος λόγω

της PASTA έχουμε ότι P (agroupn ) = pn Συνδυάζοντας τα παραπάνω παίρνουμε

P (anminus1) = P (agroupnminus1 πρώτος στη σειρά) + P (agroup

nminus2 δεύτερος στη σειρά)

=P (agroup

nminus1 )

2+P (agroup

nminus2 )

2=pnminus1 + pn

2

ε) για λ = 1 micro = 6 παίρνουμε ότι p0 = 1 minus 26 = 2

3 Αντικαθιστώντας στον

τύπου που έχουμε βρει για τη πιθανογεννήτρια και μετά από πράξεις έχουμε

P (z) =4

minusz2 minus z + 6=

minus4

(z + 3)(z minus 2)=

4

5(

1

z + 3minus 1

z minus 2) =

10

Η ιδέα εδώ είναι να προσπαθήσουμε να αντικαταστήσουμε τα δύο αυτά κλάσμα-

τα με τη γεωμετρική σειρά Εφόσον |z| le 1 rArr | z2 | |minusz3 | lt 1 και άρα κάνουμε το

εξής τέχνασμα

P (z) =4

5(1

3

1

1 + z3

+1

2

1

1minus z2

) =4

15

infinsumn=0

(minusz3

)n+6

15

infinsumn=0

(z

2)n

P (z) =

infinsumn=0

(4

15(minus1

3)n +

6

15(1

2)n)zn

και δηλαδή παίρνουμε pn = ( 415 (minus1

3 )n + 615 ( 1

2 )n)foralln isin N

17 653

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 j ge 1 exp(λgj)n n+ j j ge 1 exp(pgjλ)

n-1 exp(micro)

όλοι οι παραπάνω χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί άρα η Qt) θα είναι μασχ

παίρνουμε λοιπόν τις παρακάτων εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(λp+ micro)p1 = microp2 + λg1p0 (2)

(λp+ micro)pn = micropn=1 + λgnp0 +

nminus1sumj=1

λgnminusjppj (3)

β) Για να υπολογίσουμε τη πιθανογεννήτρια ψάχνουμε το εξής άθροισμα

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumn=2

nminus1sumj=1

gnminusjpjzn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumj=1

pjzj

nminus1sumn=j+1

gnminusjznminusj

και τώρα αντικαθιστώντας με τις πιθανογεννήτριες των μέτρων πιθανοτήτων

pn gn δηλαδή P (z) =suminfinn=0 pnz

n G(z) =suminfinn=0 gnz

n =suminfinn=1 gnz

nκαι κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε παίρνουμε

11

P (z) =λp0zG(z)minus λpp0zG(z) + λpp0z + microp0z minus microp0 minus λp0z

zλp+ microz minus microminus λpzG(z)

Σε αυτό το σημείο θυμόμαστε πως ισχύει P (1) = G(1) = 1 από τις ιδιότητες

των πιθανογεννητριών ΄Ομως εαν ο αναγνώστης αποπειραθεί να βρει τη τιμή

της Ρ στο 1 και να λύσει ως προς p0 θα παρατηρήσει ότι καταλήγουμε στην

απροσδιόριστη μορφή00 Επομένως εφαρμόζοντας το κανόνα του LprimeHospital και

θέτοντας m = Gprime(z) καταλήγουμε στο εξής

1 = P (1) =λp0mminus λpp0m+ microp0

microminus λpm

rArr p0 =microminus λpm

λmminus λpm+ micro=

microminus λpmmicrominus λm(1minus p)

όμως το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο αν p0 gt 0 δηλαδή θα πρέπει

τα microminus λpm και λmminus λpm+ micro να είναι ομόσημα Ο παρονομαστής είναι πάντοτε

μεγαλύτερος από τον αριθμητή επομένως για να είναι και τα δύο θετικά αρκεί

να είναι micro minus λpm gt 0 hArr 1 gt ρpm ενώ για να είναι και τα δύο αρνητικά αρκεί

micro minus λm(1 minus p) lt 0 Το δεύτερο σετ λύσεων απορρίπτεται γιάτί 0 lt p lt 1 το

οποίο είναι κάτι πολύ λογικό διαισθητικά

γ) Η πιθανότητα ένας πελάτης να βρει μπροστά του n minus 1 πελάτες ισούται με

την πιθανότητα να βρει το γκρουπ του j πελάτες για 0 le j le n minus 1 αυτός να

είναι ο nminus j πελάτης του γκρουπ του και τελικά να εισέλθει λόγω της PASTAπαίρνουμε

anminus1 =

nminus1sumk=0

αgroupk gnminusk = p0

suminfini=n gisuminfini=1 igi

+ p

nminus1sumk=1

pk

suminfini=nminusk gisuminfini=1 igi

δ) Στη περίπτωση των μεμονωμένων αφίξεων παίρνουμε g1 = 1 gi = 0foralli 6= 1και άρα G(z) = zm = Gprime(z) = g1 = 1 και άρα βρίσκουμε

p0 =microminus λp

λminus λp+ micro

αντικαθιστώντας τώρα τα παραπάνω στο τύπο των πιθανογεννητριών και κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε τα εξής

P (z) = p0

λ(1minus p)(z minus 1)(z + microλ(1minusp) )

minusλp(z minus 1)(z minus microλp )

= p01minus pp

(z +micro

λ(1minus p))

1

1minus z λpmicro

λp

micro

= p0λ(1minus p)

micro(z +

micro

λ(1minus p))

infinsumn=0

(λp

micro)nzn

= p01minus pp

infinsumn=1

(λp

micro)nzn + p0

infinsumn=0

(λp

micro)nzn = p0 +

p0

p

infinsumn=1

(λp

micro)nzn

12

το οποίο προκύπτει μετά από βασανιστικές αλγεβρικές πράξεις καθώς και την

παρατήρηση ότι για m = 1 στη κατάσταση ευστάθειας έχουμε ότιmicroλp gt 1 rArr

|λpmicro z| lt 1 και άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γεωμετρικό άθροισμα Τε-

λικά παίρνουμε την εξής κατανομή

pn =

p0 n = 0

p0(1 + 1p (λpmicro )n) n ge 1

(4)

18 654

α) Αρχικά γράφουε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(1

2λ+ micro)p1 =

λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2(p0 + p1)(3)

β) για να υπολογίσουμε τη κατανομή pn n = 0 1 2 αρχικά συμπεραίνουμε από

την 1 ότι p1 = λmicrop0 ενώ από τη 2 ότι p2 = λ

2microp0(1 + λmicro )

Επομένως από την εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 + p1 + p2 = 1 rArrp0(1 + λ

micro + λ2micro + λ2

2micro2 )rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+λmicro+λ2 και έτσι βρίσκουμε και τα p1 p2

γ) Γνωρίζουμε πως το ποσοστό χαμένων πελατών θα είναι = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (γκρουπ των 2 το γκρουπ να βρει έναν πελάτη ήδη στο σύστημα)+P (να βρει το γκρουπ 2 πελάτες) =12p1 + p2 το οποίο ισχύει λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των δύο ενδεχομένων

δ) Απαντούμε τα ίδια ερωτήματα στη περίπτωση που ένα αφικνούμενο γκρουπ

των 2 ατόμων δε διώχνεται όλο εάν δε χωράει να εισέλθει αλλά γεμίζει πρώτα

το σύστημα και κατόπιν ο δεύτερος πελάτης του γκρουπ αποχωρεί Σε αυτή τη

περίπτωση οι εξισώσεις ισορροπίας είναι τροποποιημένες ως εξής

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 =λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2p0 + λp1(3)

και προτού υπολογίσουμε τις μάζες πιθανότητας παρατηρούμε ότι p1 = λmicrop0 και

από τη 2η εξίσωση ισορροπίας p2 = λmicrop0(λmicro + 1

2 ) Δηλαδή η εξίσωση κανονικοπο-

ίησης τώρα δίνει p0(1 + λmicro + λ2

micro2 + λ2micro ) = 1 rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+2λ2+λmicro ενώ με τις

σχέσεις παραπάνω βρίσκουμε τα p1 p2 Παρατηρούμε ότι σε αυτή τη περίπτωση

το p0 είναι μικρότερο από ότι στο ερώτημα β το οποίο είναι και αναμενόμενο αφού

ουσιαστικά αυξήσαμε τους μηχανισμούς με τους οποίους μεταβαίνει το σύστημα

στη κατάσταση με 2 πελάτες Θα περιμέναμε δηλαδή ένα μικρότερο p0 και ένα

μεγαλύτερο p2 σε σχέση με τα προηγούμενα ερωτήματα

13

Τέλος το ποσοτό χαμένων πελατών = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (να έρθει γκρουπ των 2 ένας πελάτη ήδη στο σύστημα είναι ο δεύτερος σε διάταξη πελάτης)+P (αφικν γκρουπ να βρει 2 πελάτες) = 1

212p1 + p2 = 1

4p1 + p2 το οποίο ισχύει

λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των τριών ενδεχομένων

19 751 (΄Εγινε στο μάθημα)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ2 )

(12) exp(λ2 )(11) 2 exp(λ)

0 exp(micro1)(12) 2 exp(λ)

0 exp(micro2)2 (11) exp(micro2)

(12) exp(micro1)

Παρατηρεί κανείς ότι η τμ Q(t) I(t) με τη δίτιμη τμ Ι(t) να δείχνει ποιος υ-

πηρέτης είναι απασχολημένος στη περίπτωση που έχουμε ένα πελάτη στο σύστημα

είναι μασχ Είναι λογικό να εξετάσουμε την αλυσία ως προς αντιστρεψιμότητα

Πράγματι παρατηρεί κανείς ότι

λ

2λmicro1micro2 =

λ

2λmicro2micro1 harr q0(11)q(11)2q2(12)q(12)0 = q0(12)q(12)2q2(11)q(11)0

και άρα από το κριτήριο του Κολμογοροv στο μοναδικό κύκλο του συστήματος

παίρνουμε αντιστρεψιμότητα Η μάζα πιθανότητας της pn τότε βρίσκεται κατά

τετριμμένο τρόπο από τις παρακάτω σχέσεις και την εξίσωση κανονικοποίησης

p(11) =λ

2micro1p0 p(12) =

λ

2micro2p0 p2 =

λ2

2micro1micro2p0

Και άρα μετά από πράξεις παίρνουμε p0 + p(11) + p(12) + p2 = 1 harr p0 =2micro1micro2

2micro1micro2+2λmicro2+2λmicro1=λ2 Το ποσοστό των χαμένων πελατών θα ισούται με τη πιθα-

νότητα να μην εισέλθει ένας πελάτης άρα λόγω PASTA= p2

20 752 (΄Εγινε στο μάθημα)

α) Θέτουμε I(t) τη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τη τιμή 1 εάν ο υπηρέτης βρίσκε-

ται σε περίοδο λειτουργείας τη στιγμή t και τη τιμή 0 διαφορετικά Τότε έχουμε

τον εξής πίνακα καταστάσεων για τη διδιάστατη τμ (Q(t) I(t))

14

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(n 0) (n 1) exp(ξ)(01) (00) exp(θ)

(11) exp(λ)(n 1) (n 0) exp(θ)

(n+ 1 1) exp(λ)(nminus 1 1) exp(micro)

και άρα θα πρόκειται για μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

ξp(j 0) = θp(j 1)forallj isin N

microp(j 1) = λp(j minus 1 1)forallj isin N

άρα παίρνουμε από τα παραπάνω ότι

p(j 1) =λ

microp(j minus 1 1) = middot middot middot = ρj

ξ

θp(0 0)

p(j 0) = ρjp(0 0)

rArrsumj

p(j 0) +sumj

p(j 1) = 1rArr ξ

θp(0 0)

sumρj + p(0 0)

sumρj = 1

rArr p(0 0) = (ξ

θ

1

1minus ρ+

1

1minus ρ)minus1 =

θ(1minus ρ)

ξ + θ

και το σύστημα θα είναι ευσταθές αν η p(0 0) gt 0 δηλαδή εάν ρ lt 1rArr λ lt microγ) Από τα παραπάνω παίρνουμε ότι p(j 1) = ξ

ξ+θ (1minusρ)ρj και p(j 0) = θξ+θ (1minus

ρ)ρj

και άρα μπορούμε να βρούμε το ποσοστό ως εξής

P (Q = n) = pn = P (n 1) + P (n 0) = ρn(1minus ρ)foralln ge 0

δ) Για το μέσο χρόνο παραμονής ενός πελάτη που βρίσκει n πελάτες κατά την

είσοδο του έστω E(Sn) = xn παίρνουμε

E(Sn) = Χρόνος μέχρι αργία ή αποχωρ+P (αργία)lowastχρόνος+P (αποχ)lowastχρόνος

=1

micro+ θ+

θ

micro+ θ(1

ξ+ E(Sn)) +

micro

micro+ θE(Snminus1)

rArr xn =θ

ξmicro+

1

micro+ xnminus1 = (nminus 1)(

θ

microξ+

1

micro)n ge 0

15

21 753

α) Αρχικά δείχνουμε αν η Q(t) είναι αντιστρέψιμη τότε και η XA(t) θα είναι επίσης

αντιστρέψιμη Από το κριτήριο του kolmogorov και την αντιστρεψιμότητα της

αρχικής αλυσίδας παίρνουμε ότι foralli0i1middot middot middotn ισχύει qi0i1 qini0 = qi0in qi1i0 Εφόσον το παραπάνω ισχύει για κάθε κύκλο θα ισχύει και για όλους τους κύκλους

μέσα στην A ιδιαιτέρως διότι qij = qAij για τους κύκλους μέσα στην Α ΄Αρα από

το κριτήριο του Kolmogorov και η XA(t) θα είναι αντιστρέψιμη

A είναι μη κενό άρα υπάρχει στοιχείο i0 isin A Η ιδέα είναι να προσπαθήσουμε

να εκφράσουμε όλα τα στοιχεία του A συναρτήσει των pAi0 και pi ΄Εστω μια άλλη

κατάσταση in isin A τότε ξέρουμε ότι θα ισχύει pAin = pAi0qAi0inqAini0

= pAi0qi0inqini0

=

pAi0pinpi0

το οποίο ισχύει αφενός γιατί οι ρυθμοί μετάβασης εντός του A μένουν

οι ίδιοι αφετέρου γιατί έχουμε θεωρήσει αντιστρέψιμη μαρκοβιανή αλυσίδα ΄Εχει

γίνει η απαραίτητη προεργασία οπότε εύκολα παίρνουμε το ζητούμενο

sumjisinA

pAj = 1rArr pAi0 + pAi1 = middot middot middot = 1rArr pAi0 (sumjisinA

pjpi0

) = 1rArr pAi0 =pi0sumjisinA pj

β) Θα παραθέσουμε το απλούστερο αντιπαράδειγμα που βρέθηκε Ενδεχομένως

η επιλογή των αριθμών να μην είναι ιδανική και η διεργασία έγινε κυρίως με τη βο-

ήθεια του διαγράμματος Θεωρούμε την αλυσίδα με τον εξής πίνακα καταστάσεων

και S = (0 1 2 3)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(1)2 exp( 1

3 )1 0 exp(1)

2 exp( 23 )

2 3 exp( 13 )

0 exp( 23 )

1 exp( 13 )

3 2 exp( 12 )

Στο παραπάνω παράδειγμα είναι προφανές ότι η αρχική μας αλυσίδα είναι

μασχ αλλά δεν είναι αντιστρέψιμη αφού αποτυγχάνει το κριτήριο του kolmogorovστο κύκλο καταστάσεων (012) Πολύ εύκολα μπορεί κάποιος να γράψει τις ε-

ξισώσεις ισορροπίας και να καταλήξει στην εξής κατανομή πιθανότητας p0 =33218 p1 = 30

218 p2 = 87218 p3 = 58

218Θεωρούμε τώρα το γνήσιο μη κενό υποσύνολο του χώρου καταστάσεων της

αρχικής μας αλυσίδας A = (012) Οι εξισώσεις ισορροπίας θα είναι όμοιες απλά

δε θα υπάρχει το p3 ενώ η εξίσωση κανονικοποίησης θα δίνει αυτή τη φορά διαφο-

ρετική μάζα με pA0= 11

50 pA1 = 1050 pA2 = 29

50 ΄Ομως εάν τα αποτελέσματα της

προηγούμενης άσκησης ίσχυαν και για μη αντιστρέψιμες αλυσίδες θα αναμέναμε

να πάρουμε pA0= p0

p0+p1+p1= 33

160 6=1150 και άρα δεν ισχύουν τα προηγούμενα

16

γ) Ως μασχ τύπου γέννησης-θανάτου η M |M |1 θα είναι αντιστρέψιμη

Περιορίζοντας τον χώρο καταστάσεων στο A = (0 1 k) sub S παίρνουμε μία

αλυσίδα τύπου M |M |1|K Από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) συμπερα-

ίνουμε ότι η M |M |1|K θα είναι επίσης αντιστρέψιμη και για τη στάσιμη κατανομή

της εύκολα παίρνουμε ότι

pAj =pjsumki=0 pi

=ρjsumki=0 ρ

i=

ρj

(1minus k)(1minus ρkminus1) j le k

δ) ΗM |M |infin ως μασχ τύπου γέννησης θανάτου (με διαφορετικούς χρόνους

αναχωρήσεων φυσικά) θα είναι αντιστρέψιμη Θεωρούμε τον υπόχωρο καταστάσε-

ωνA = (0 1 k) sub S και ο περιορισμός της αρχικής αλυσίδας γίνεταιM |M |infin|kπου όμως ταυτίζεται με την M |M |k|k αφού πάντα θα εξυπηρετούν το πολύ κ υ-

πηρέτες όμοια με πάνω η αλυσίδα αυτή θα είναι μασχ και για τη στάσιμη

κατανομή

pAj =pjsumki=0 pi

=ρj

jsumki=0

ρi

i

j le k

ε) Θεωρούμε τη διδιάστατη αρχική στοχαστική διαδικασία (Q1(t) Q2(t)) δύο

ανεξάρτητων M |M |1 ουρών χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα Σημειώνουμε

πως λόγω της αμνήμονης ιδιότητας όλες οι μεταβάσεις στις καταστάσεις της θα ε-

ίναι τύπου γέννησης θανάτου και άρα αυτή η αλυσίδα θα είναι αντιστρέψιμη Σημει-

ώνουμε ακόμα πως pij = P (Q1 = i Q2 = j) = pipj = (1minusρ1)(1minusρ2)ρi1ρj2foralli j ge

0Τώρα θεωρούμε το υποσύνολο των καταστάσεωνA = ((0 0) (i j) (k+1 1) (1 k+

1) i + j le k + 1) sub S και παρατηρούμε πως η (Q1(t) Q2(t))A πράγματι μοντε-

λοποιεί την στοχαστική διαδικασία που μας έχει ζητηθεί να μελετήσουμε ενώ

θα είναι αντιστρέψιμη από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) Ακόμα για τη

στάσιμη κατανομή παίρνουμε

pA(ij)= PA(Q1 = i Q2 = j) =

pijsum(ij)isinA pij

=pipjsumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 pij + p(k+11) + p(1k+1)

=

ρi1ρj2sumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 ρi1ρ

j2 + ρk+1

1 ρ2 + ρ1ρk+12

forall(i j) isin A

22 754

΄Εχουμε μια αδιαχώριστη αλυσίδα και μια συνάρτηση πιθανότητας pn (η οποία θα

αθροίζει στη μονάδα και άρα ικανοποιεί την εξίσωση κανονικοποίησης) Από το

θεμελιώδες εργοδικό θεώρημα μασχ η (X(t)) θα έχει τη (pj j isin S) ως

στάσιμη κατανομή εάν pisumj 6=i qij =

sumj 6=i pjqji Πράγματι από τα δεδομένα της

άσκησης παίρνουμε

17

pisumj 6=i

qij = pisumj 6=i

qij =sumj 6=i

piqij =sumj 6=i

pjqji

Για την αντίστροφη αλυσίδα γνωρίζουμε πως θα ισχύει qij = pjqijpi

το οποίο

όμως είναι καλά ορισμένο από τη στάσιμη πιθανότητα και τους ρυθμούς μετάβασης

της αρχικής μας αλυσίδας ΄Αρα πράγματι αυτοί οι ρυθμοί μετάβασης θα ανήκουν

στην αντίστροφη

23 755 (΄Εγινε στο μάθημα)

Από το θεώρημα του Burke έχουμε πως για δεδομένη χρονική στιγμη t τα Q1 Q2

είναι ανεξάρτητα ενώ οι πελάτες θα εισέρχονται στο δεύτερο σύστημα επίσης

σύμφωνα με διαδικασία Poisson ρυθμού λ ΄Αρα

pn1n2 = P (Q1 = n1 Q2 = n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn1ρn2

όπου ρ1 = λmicro1 ρ2 = λ

micro2

24 861 (΄Εγινε στο μάθημα)

Η σδ (Q(t)) προφανώς δεν είναι μασχ αφού δεν είναι όλοι οι χρόνοι μετάβασης

εκθετικοί Ορίζουμε I(t) μία τμ πού μας δείχνει το στάδιο j εξυπηρέτησης

j = 0 1 s και για τη διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) έχουμε

τον εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (11) exp(λ)(1 j) j = 1 sminus 1 (1 j + 1) exp(smicro)

(1 s) 0 exp(smicro)

και τώρα έχει προκύψει μία μασχ Σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας του

συστήματος

λp0 = smicrop1s

smicrop1j = smicrop1j+1 j = 0 1 sminus 1

από τις οποίες έπεται ότι p11 = p12 = middot middot middot = p1s = λmicrop0 και άρα από την

εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 = microλ+micro και p1 =

sumsj=1 p1j = s λ

s(λ+micro) =λ

λ+micro

18

25 862 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

Θέτουμε (I(t) = το πλήθος των πελατών που βρίσκονται στη 1η φάση της ε-

ξυπηρέτησης τους και τότε για τη διδιάστατη σδ (Q(t) I(t)) παίρνουμε πίνακα

μετάβασης ως εξής

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(00) (11) exp(λ)(11) (22) exp(λ)

(10) exp(2micro)(10) (21) exp(λ)

(00) exp(2micro)(22) (21) exp(4micro)(21) (11) exp(2micro)

(20) exp(2micro)(20) (10) exp(4micro)

Τώρα προχωρούμε στη καταγραφή των εξισώσεων ισορροπίας αναλυτικά και

για τις 6 καταστάσεις

λp0 = 2microp(10) (1)

(λ+ 2micro)p(11) = λp0 + 2microp(21) (2)

(λ+ 2micro)p(10) = 2microp(11) + 4microp(20) (3)

4microp(22) = λp(11) (4)

4microp(21) = 4microp(22) + λp(10) (5)

4microp(20) = 2microp(21) (6)

Δυστυχώς η εύρεση της στάσιμης κατανομής είναι μία επίπονη διαδικασία Αρ-

χικά προσπαθούμε να εκφράσουμε όλες τις καταστάσεις ως συναρτήσεις της κα-

τάστασης p0 Συγκεκριμένα (1) rArr p(10) = λ2microp0 (4) rArr p(22) = λ

4microp(11)

(6) rArr p(20) = 12p(21) και άρα μένει να εκφράσουμε τις p(21) p(11) συναρτήσει

της p0 Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις (2) (3) και αφού αντικαταστήσουμε τις

σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω επιλύουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο

αγνώστους Τελικά παίρνουμε p(11) = λ2microp0 και p(21) = λ2

4micro2 p0 τη λύση μας τη

δίνει η εξίσωση κανονικοποίησηςsump = 1harr p0(1 +

λ

2micro+

λ

2micro+

λ2

8micro2+

λ2

4micro2+

λ2

8micro2) = 1

p0 =8micro2

8micro2 + 8λmicro+ 4λ2=

1

1 + ρ+ ρ2

2

΄Οπου ρ = λmicro Τώρα η εύρεση των υπολοίπων πιθανοτήτων είναι τετριμμένη

αφού p1 = p(10) + p(11) = λmicrop0 = ρ

1+ρ+ ρ2

2

ενώ p2 = p(20) + p(21) + p(22) =

4λ2

8micro2 p0 = ρ2

2(1+ρ+ ρ2

2 )

19

26 863

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας πελάτης υπό εξυπηρέτηση ΄Εχουμε τον

εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ)(n i) n = 1 i = 1 sminus 1 (n+ 1 i) exp(λ)

(n i+ 1) exp(smicro)(n s) (n+ 1 s) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(smicro)

Οι εξισώσεις ισορροπίας όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση

της στάσιμης κατανομής εφαρμόζουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκεκριμένα

ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των φάσεων

που μένουν στο σύστημα μέχρι να αδειάσει Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει είναι

η εξής (n i)hArr nsminus (iminus 1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αφίξεων Ms|M |1Δεν έχουμε βρει τη στάσιμη κατανομή της ουράς αυτής στη γενική της πε-

ρίπτωση ΄Εστω ότι είναι η (pn) τότε θα εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανο-

μής του αριθμού των πελατών στο σύστημα συναρτήσει αυτής της pn Δηλαδή

P (Q(t) = n) =sumsi=1 P (Q(t) = n I(t) = i) = P (N(t) = ns minus (i minus 1) =sums

i=1 pnsminus(iminus1) =sum(nsi=(nminus1)s+1 pi

27 864 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας ερχόμενος πελάτης ΄Εχουμε τον εξής

πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 n) (0 n+ 1) exp(kλ)(0 k) (11) exp(kλ)

(mn) n = 0 1 k minus 1 (mn+ 1) exp(kλ)(mminus 1 n) exp(micro)

(m k) (m+ 1 k) exp(kλ)(mminus 1 k) exp(micro)

Εξισώσεις λεπτομερούς ισορροπίας παίρνουμε

kλp(01) = microp(11) (1)

kλp(mn) = microp(m+1n) + kλp(mnminus1) n = 0 1 k(2)

kλp(m1) = kλp(mminus1k) + microp(m+11) (3)

20

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

΄Αρα συμπεραίνουμε ότι pn sim Poisson( ρa )

β) Αφού η διαδικασία αφίξεων είναι Poisson και πρόκειται για μεμονωμένες

αφίξεις και αναχωρήσεις έπεται dn = an = pn sim Poisson( ρa )

γ) Αρχικά υπολογίζουμε το ρυθμό διαπέρασης

λ =

infinsumn=0

λnpn =

infinsumn=0

anλeminusρa ρn

nan= λeminus

ρa eρ

όμως από το Ν του Little και αφού το πλήθος των πελατών στο σύστημα ακολου-

θεί Poisson έπεται πως E(S) = E(Q)λ = ρe

ρa

minusρ

aλ = eρa

minusρ

amicro Για την περίοδο αργίας

έχουμε πως

E(I) =1

λ0=

1

λ

΄Ετσι μπορούμε να βρούμε και τη μέση διάρκεια ενός κύκλου αφού

E(I)

E(Z)= p0 rArr E(Z) =

eρa

λ

Και τέλος παίρνουμε ότι

E(Y ) = E(Z)minus E(I) =eρa

λminus 1

λ=eρa minus 1

λ

14 575

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)n n+1 exp( cminusnc λ)

n-1 exp(nmicro)c c-1 exp(cmicro)

Bminus1 = 1+

csumn=1

λ0λ1 λnminus1

micro1micro2 micron=

csumn=0

(cminus 1) (cminus n)λn

cnminus1nmicron=

csumn=0

(c

n

)(ρ

c)n = (1+

ρ

c)c

επειδή πρόκειται για πολυώνυμο με διονυμικούς συντελεστές

΄Αρα για τις πιθανότητες pn πάιρνουμε

pn =

(c

n

)(ρc )n

(1 + ρc )c

=

(c

n

)(

ρc

1 + ρc

)n(1

1 + ρc

)cminusn =

(c

n

)(

ρ

ρ+ c)n(1minus ρ

ρ+ c)nminusc

από το οποίο έπεται πως Q sim Bin(c ρρ+c )

6

β) Το μακροπρόθεσμο ποσοστό των άμεσα αποχωρίσαντων θα είναι ίσο με την

πιθανότητα ένας αφικνούμενος πελάτης να μην εισέλθει στο σύστημα και από το

Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας προκύπτει

P (πιθανότητα να μην εισέλθει) =

csumn=o

n

cpn =

E(Q)

c=np

c=c ρρ+c

c=

ρ

ρ+ c

γ) Λόγω των μεμονομένων αφίξεων θα ισχύει an = dn και καταλήγουμε σε

μια όχι ιδιαίτερα όμορφη σχέση

aentern =λnpnsumcn=0 λnpn

=cminusnc λpn

λc

sumcn=0 (cminus n)pn

=(cminus n)pnsumcminus1n=0(cminus n)pn

= dn n = 0 1 c

δ) ΄Ενας τελικά εισερχόμενος πελάτης θα εξυπηρετείται αμέσως αφού οι υπη-

ρέτες είναι σε πλήθος ίσοι με τη χωρητικότητα του συστήματος άρα E(Sprime) = 1micro

Για το μέσο χρόνο παραμονής όλων των αφικνούμενων πελατών σκεφτόμαστε

ως εξής εφαρμόζουμε δύο φορές το Θεώρημα διπλής μέσης τιμής μια φορά δε-

σμεύοντας ως προς το ενδεχόμενο να εισέλθει -ή να μην εισέλθει- ο πελάτης στο

σύστημα και μια δεύτερη ως προς το ενδεχόμενο να βρει ν πελάτες κατά την

είσοδο του παίρνουμε

E(Sαφικνούμενοι) = P (enter)E(S|enter) + P (noenter)E(S|noenter) =

= P (enter|a0)a0E(S|enter)+P (enter|a1)a1E(S|enter) P (enter| an)anE(S|enter) =

=1

micro(

csumn=0

ancminus nc

) =1

cmicro(

csumn=0

pn(cminus n)) =1

microminus microE(Q)

c=

1

microminus λ

ρ+ c

Τονίζουμε πως δε χρειάζεται να δεσμεύσουμε τις μέσες τιμές ως προς το πόσα

άτομα βλέπει ο αφικνούμενος πελάτης καθώς θα εξυπηρετηθεί αμέσως ανεξάρτητα

από το πόσα θα δει

ε) Εύκολα βρίσκουμε τη μέση περίοδο λειτουργίας E(I) = λ0 = λ Τώρα

βρίσκουμε εύκολα τη μέση διάρκεια ενός κύκλου ως εξής

E(I)

E(Z)= p0 rArr E(Z) =

E(I)

p0=

λ

( cρ+c )

c=λ(ρ+ c)c

cc

15 651

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)1 le j le r j+1 exp(λ)

0 exp(micro)n ge r n+1 exp(λ)

n-r exp(micro)

7

Τώρα καταλήγουμε στις εξής εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1 + micropr = micro(

rsumi=1

pi) (1)

(λ+ micro)pn = λpnminus1 + micropn+rγια n ge 1(2)

β) για να μπορέσουμε να βρούμε τη συνθήκη ευστάθειας θα χρησιμοποιήσουμε

τη λεγόμενη μέθοδο των πιθανογεννητριών με βοήθεια από τη μιγαδική ανάλυση

(1) +

infinsumn=1

(2)zn

rArr λ

infinsumn=0

pnzn + micro(

infinsumn=0

pnzn minus p0) = zλ

infinsumn=0

pnzn + micro(

rsumi=1

pi) +micro

zr

infinsumn=r+1

pnzn

΄Οπου όμως γνωρίζουμε πως P (z) =suminfinn=0 pnz

nκαι αντικαθιστώντας έχουμε

rArr λP (z)+micro(P (z)minusp0) = zλP (z)+micro(

rsumi=1

pi)+micro

zr(P (z)minusp0minusp1zminusmiddot middot middotminusprzr)

rArr P (z) =micro(p0(zr minus 1) + p1(zr minus z) + middot middot middot+ prminus1(zr minus zrminus1)

(λ+ micro)zr minus λzr+1 minus micro

τελικά θέτοντας ρ = λmicro οδηγούμαστε στην εξής μορφή όπου ο παρονομαστής

είναι πολυώνυμο μεγαλύτερου βαθμού ως προς το z από τον αριθμητή

rArr P (z) =p0(zr minus 1) + p1(zr minus z) + middot middot middot+ prminus1(zr minus zrminus1)

(ρ+ 1)(zr minus ρρ+1z

r+1 minus 1ρ+1

) =N(z)

D(z)

Σε αυτό το σημείο θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το πόρισμα του θεωρήματος

Rouche για να εξετάσουμε κατά πόσο αυτή η συνάρτηση αποδίδει πράγματι μάζα

πιθανότητας στη κατανομή pn ΄Ετσι ορίζουμε μία ακολουθία α(z) =suminfinn=0 z

n

τέτοια ώστε a0 = 1ρ+1 ar+1 = ρ

ρ+1 ai = 0 για i 6= 0 r + 1 και παρατηρούμε

αφενός ότι zn minus α(z) = A(z) = zr minus ρρ+1z

r+1 minus 1ρ+1 αφετέρου ότι

suminfinn=0 αn =

1suminfinn=0 nαn lt infin

suminfinn=0 n

2αn lt infin δηλαδή ισχύουν οι προϋποθέσεις του πο-

ρίσματος

Ακόμα έχουμε ότι α(1) = 1 άρα πρέπει να εξετάσουμε το πολυώνυμο Aprime(z)όπου

Aprime(z) = rzrminus1 minus (r + 1)ρ

ρ+ 1zr rArr Aprime(1) = middot middot middot = r minus ρ

ρ+ 1

το τελευταίο εργαλείο που χρειαζόμαστε για την ανάλυση σε περιπτώσεις είναι

το k = mcd(j minus r aj 6= 0) = mcd(minusr 1) = 1

8

1η περίπτωση λ lt rmicro rArr r gt ρ έχουμε ότι α(1) = 1 Aprime(1) gt 0 άρα απα-

ραίτητα θα έχουμε N minus k = r minus 1 ρίζες μέσα στο μιγαδικό δίσκο (z |z| lt 1)1 ρίζα πάνω στο δίσκο (z |z| = 1) (μέσα και πάνω στο δίσκο έχει νόημα η

πιθανογεννήτρια) και 1 ρίζα εκτός του μοναδιαίου δίσκου Δηλαδή μπορούμε να

γράψουμε

D(z) = c1(z minus z0)(z minus z1) (z minus zrminus1)(z minus 1)

όπου οι r στο πλήθος ρίζες εντός και πάνω στο δίσκο είναι οι z1 zrminus1 1όμως για να συγκλίνει η P (z) θα πρέπει όλες αυτές οι ρίζες του παρονομαστή που

βρίσκονται μέσα και πάνω στο μοναδιαίο κύκλο να είναι και ρίζες του αριθμητή

Δηλαδή N(z) = c1(z minus z1) (z minus zrminus1)(z minus 1)΄Αρα αυτό που απομένει είναι P (z) = c

zminusz0 και λόγω της εξίσωσης κανονικο-

ποίησης απαιτούμε να ισχύει P (1) = 1rArr c = 1minus z0 Τελικά παίρνουμε

P (z) =1minus z0

z minus z0=z0 minus 1

z0

1

1minus zz0

=z0 minus 1

z0

infinsumj=0

(z

z0)j =

infinsumj=0

z0 minus 1

(z0)j+1zj

όπου μπορέσαμε να χρησιμοποιήσαμε τη γεωμετρική σειρά γιατί η λύση z0 είναι

εκτός του δίσκου και άρα | zz0 | lt 1 ΄Αρα έχουμε ότι pn = z0minus1

zn+10

= ( 1z0

)n(1 minus 1z0

)

για n ge 0 δηλαδή έχουμε ότι pn sim Geo( z0minus1z0

) που είναι ευσταθής

2η περίπτωση παρατηρούμε ότι για λ ge rmicro rArr r le ρ από το θεώρημα του

Rouche και αφού Aprime(1) le 1 θα έχουμε r+ 1 στο πλήθος ρίζες πάνω και μέσα στο

μοναδιαίο δίσκο για το πολυώνυμο του παρονομαστή ενώ το πολύ ρ στο πλήθος

ρίζας για το πολυώνυμο του αριθμητή Επομένως η πιθανογεννήτρια θα αποκλίνει

και σε αυτές τις περιπτώσεις το σύστημα μας θα είναι ασταθές Με άλλα λόγια

η συνθήκη που μας δίνεται από την άσκηση είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για

την ευστάθεια του συστήματος μας

16 652 (΄Εγινε στο μάθημα)

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 2 exp(λ)n n+2 exp( cminusnc λ)

n-1 exp(micro)

όλοι οι παραπάνω χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί άρα η Qt) θα είναι μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 = microp2(2)

(λ+ micro)pn = λpnminus2 + micropn+1 n ge 2 (3)

9

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λ+ micro)

infinsumn=0

pnzn minus microp0 =

micro

z(p1z + p2z

2) + micro

infinsumn=2

pn+1zn + λ

infinsumn=2

pnminus2zn

rArr (λ+ micro)zP (z)minus microzp0 = microP (z)minus microp0 + λz3P (z)

όπου αντικαταστήσαμε το σχετικό άθροισμα από την πιθανογεννήτρια P (z)΄Εχουμε ότι

P (z) =microzp0 minus microp0

(λ+ micro)z minus λz3 minus microΔηλαδή καταλήξαμε σε μία έκφραση της πιθανογεννήτριας η οποία περιλαμ-

βάνει μονάχα τα λ micro και p0

γ) μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση το z = 1είναι προφανώς ρίζα και του αριθμητή και του παρονομαστή Θα μπορούσαμε

λοιπόν να παραγονοτοποιήσουμε το παρονομαστή με αυτή τη ρίζα και μετά να

πάρουμε το p0 από την απαίτηση P (1) = 1

P (z) =zp0 minus p0

(ρ+ 1)(z minus ρρ+1z

3 minus 1ρ+1 )

=microp0

minusλz2 minus λz + micro

όμως έχουμε P (1) = 1rArr p0 = microminus2λmicro = 1minus 2ρ Η συνθήκη ευστάθειας τώρα μας

δίνει το εξής p0 gt 0rArr ρ lt 12 Παρατηρούμε πως πρόεκειται για μία αναμενόμενη

συνθήκη ευστάθειας καθώς η άφιξη με ρυθμό λ ομάδων των 2 πελατών είναι

για το πλήθος των πελατών του συστήματος ισοδύναμη με την άφιξη πελατών με

ρυθμό 2λ

δ) Αρχικά κάνουμε τη παρατήρηση ότι αφού οι πελάτες έρχονται σε δυάδες σε

κάθε γκρουπ πελατών ο καθένας θα καταλαμβάνει οποιαδήποτε από τις δύο θέσεις

με πιθανότητα 05 Ακόμα σημειώνουμε πως για να βρεί κάποιος μπροστά του nminus1πελάτες θα πρέπει να είναι είτε ο πρώτος πελάτης σε ένα γκρουπ που βλέπει nminus1πελάτες είτε ο δεύτερος σε ένα γκρουπ που βλέπει n minus 2 πελάτες Τέλος λόγω

της PASTA έχουμε ότι P (agroupn ) = pn Συνδυάζοντας τα παραπάνω παίρνουμε

P (anminus1) = P (agroupnminus1 πρώτος στη σειρά) + P (agroup

nminus2 δεύτερος στη σειρά)

=P (agroup

nminus1 )

2+P (agroup

nminus2 )

2=pnminus1 + pn

2

ε) για λ = 1 micro = 6 παίρνουμε ότι p0 = 1 minus 26 = 2

3 Αντικαθιστώντας στον

τύπου που έχουμε βρει για τη πιθανογεννήτρια και μετά από πράξεις έχουμε

P (z) =4

minusz2 minus z + 6=

minus4

(z + 3)(z minus 2)=

4

5(

1

z + 3minus 1

z minus 2) =

10

Η ιδέα εδώ είναι να προσπαθήσουμε να αντικαταστήσουμε τα δύο αυτά κλάσμα-

τα με τη γεωμετρική σειρά Εφόσον |z| le 1 rArr | z2 | |minusz3 | lt 1 και άρα κάνουμε το

εξής τέχνασμα

P (z) =4

5(1

3

1

1 + z3

+1

2

1

1minus z2

) =4

15

infinsumn=0

(minusz3

)n+6

15

infinsumn=0

(z

2)n

P (z) =

infinsumn=0

(4

15(minus1

3)n +

6

15(1

2)n)zn

και δηλαδή παίρνουμε pn = ( 415 (minus1

3 )n + 615 ( 1

2 )n)foralln isin N

17 653

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 j ge 1 exp(λgj)n n+ j j ge 1 exp(pgjλ)

n-1 exp(micro)

όλοι οι παραπάνω χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί άρα η Qt) θα είναι μασχ

παίρνουμε λοιπόν τις παρακάτων εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(λp+ micro)p1 = microp2 + λg1p0 (2)

(λp+ micro)pn = micropn=1 + λgnp0 +

nminus1sumj=1

λgnminusjppj (3)

β) Για να υπολογίσουμε τη πιθανογεννήτρια ψάχνουμε το εξής άθροισμα

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumn=2

nminus1sumj=1

gnminusjpjzn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumj=1

pjzj

nminus1sumn=j+1

gnminusjznminusj

και τώρα αντικαθιστώντας με τις πιθανογεννήτριες των μέτρων πιθανοτήτων

pn gn δηλαδή P (z) =suminfinn=0 pnz

n G(z) =suminfinn=0 gnz

n =suminfinn=1 gnz

nκαι κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε παίρνουμε

11

P (z) =λp0zG(z)minus λpp0zG(z) + λpp0z + microp0z minus microp0 minus λp0z

zλp+ microz minus microminus λpzG(z)

Σε αυτό το σημείο θυμόμαστε πως ισχύει P (1) = G(1) = 1 από τις ιδιότητες

των πιθανογεννητριών ΄Ομως εαν ο αναγνώστης αποπειραθεί να βρει τη τιμή

της Ρ στο 1 και να λύσει ως προς p0 θα παρατηρήσει ότι καταλήγουμε στην

απροσδιόριστη μορφή00 Επομένως εφαρμόζοντας το κανόνα του LprimeHospital και

θέτοντας m = Gprime(z) καταλήγουμε στο εξής

1 = P (1) =λp0mminus λpp0m+ microp0

microminus λpm

rArr p0 =microminus λpm

λmminus λpm+ micro=

microminus λpmmicrominus λm(1minus p)

όμως το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο αν p0 gt 0 δηλαδή θα πρέπει

τα microminus λpm και λmminus λpm+ micro να είναι ομόσημα Ο παρονομαστής είναι πάντοτε

μεγαλύτερος από τον αριθμητή επομένως για να είναι και τα δύο θετικά αρκεί

να είναι micro minus λpm gt 0 hArr 1 gt ρpm ενώ για να είναι και τα δύο αρνητικά αρκεί

micro minus λm(1 minus p) lt 0 Το δεύτερο σετ λύσεων απορρίπτεται γιάτί 0 lt p lt 1 το

οποίο είναι κάτι πολύ λογικό διαισθητικά

γ) Η πιθανότητα ένας πελάτης να βρει μπροστά του n minus 1 πελάτες ισούται με

την πιθανότητα να βρει το γκρουπ του j πελάτες για 0 le j le n minus 1 αυτός να

είναι ο nminus j πελάτης του γκρουπ του και τελικά να εισέλθει λόγω της PASTAπαίρνουμε

anminus1 =

nminus1sumk=0

αgroupk gnminusk = p0

suminfini=n gisuminfini=1 igi

+ p

nminus1sumk=1

pk

suminfini=nminusk gisuminfini=1 igi

δ) Στη περίπτωση των μεμονωμένων αφίξεων παίρνουμε g1 = 1 gi = 0foralli 6= 1και άρα G(z) = zm = Gprime(z) = g1 = 1 και άρα βρίσκουμε

p0 =microminus λp

λminus λp+ micro

αντικαθιστώντας τώρα τα παραπάνω στο τύπο των πιθανογεννητριών και κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε τα εξής

P (z) = p0

λ(1minus p)(z minus 1)(z + microλ(1minusp) )

minusλp(z minus 1)(z minus microλp )

= p01minus pp

(z +micro

λ(1minus p))

1

1minus z λpmicro

λp

micro

= p0λ(1minus p)

micro(z +

micro

λ(1minus p))

infinsumn=0

(λp

micro)nzn

= p01minus pp

infinsumn=1

(λp

micro)nzn + p0

infinsumn=0

(λp

micro)nzn = p0 +

p0

p

infinsumn=1

(λp

micro)nzn

12

το οποίο προκύπτει μετά από βασανιστικές αλγεβρικές πράξεις καθώς και την

παρατήρηση ότι για m = 1 στη κατάσταση ευστάθειας έχουμε ότιmicroλp gt 1 rArr

|λpmicro z| lt 1 και άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γεωμετρικό άθροισμα Τε-

λικά παίρνουμε την εξής κατανομή

pn =

p0 n = 0

p0(1 + 1p (λpmicro )n) n ge 1

(4)

18 654

α) Αρχικά γράφουε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(1

2λ+ micro)p1 =

λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2(p0 + p1)(3)

β) για να υπολογίσουμε τη κατανομή pn n = 0 1 2 αρχικά συμπεραίνουμε από

την 1 ότι p1 = λmicrop0 ενώ από τη 2 ότι p2 = λ

2microp0(1 + λmicro )

Επομένως από την εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 + p1 + p2 = 1 rArrp0(1 + λ

micro + λ2micro + λ2

2micro2 )rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+λmicro+λ2 και έτσι βρίσκουμε και τα p1 p2

γ) Γνωρίζουμε πως το ποσοστό χαμένων πελατών θα είναι = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (γκρουπ των 2 το γκρουπ να βρει έναν πελάτη ήδη στο σύστημα)+P (να βρει το γκρουπ 2 πελάτες) =12p1 + p2 το οποίο ισχύει λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των δύο ενδεχομένων

δ) Απαντούμε τα ίδια ερωτήματα στη περίπτωση που ένα αφικνούμενο γκρουπ

των 2 ατόμων δε διώχνεται όλο εάν δε χωράει να εισέλθει αλλά γεμίζει πρώτα

το σύστημα και κατόπιν ο δεύτερος πελάτης του γκρουπ αποχωρεί Σε αυτή τη

περίπτωση οι εξισώσεις ισορροπίας είναι τροποποιημένες ως εξής

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 =λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2p0 + λp1(3)

και προτού υπολογίσουμε τις μάζες πιθανότητας παρατηρούμε ότι p1 = λmicrop0 και

από τη 2η εξίσωση ισορροπίας p2 = λmicrop0(λmicro + 1

2 ) Δηλαδή η εξίσωση κανονικοπο-

ίησης τώρα δίνει p0(1 + λmicro + λ2

micro2 + λ2micro ) = 1 rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+2λ2+λmicro ενώ με τις

σχέσεις παραπάνω βρίσκουμε τα p1 p2 Παρατηρούμε ότι σε αυτή τη περίπτωση

το p0 είναι μικρότερο από ότι στο ερώτημα β το οποίο είναι και αναμενόμενο αφού

ουσιαστικά αυξήσαμε τους μηχανισμούς με τους οποίους μεταβαίνει το σύστημα

στη κατάσταση με 2 πελάτες Θα περιμέναμε δηλαδή ένα μικρότερο p0 και ένα

μεγαλύτερο p2 σε σχέση με τα προηγούμενα ερωτήματα

13

Τέλος το ποσοτό χαμένων πελατών = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (να έρθει γκρουπ των 2 ένας πελάτη ήδη στο σύστημα είναι ο δεύτερος σε διάταξη πελάτης)+P (αφικν γκρουπ να βρει 2 πελάτες) = 1

212p1 + p2 = 1

4p1 + p2 το οποίο ισχύει

λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των τριών ενδεχομένων

19 751 (΄Εγινε στο μάθημα)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ2 )

(12) exp(λ2 )(11) 2 exp(λ)

0 exp(micro1)(12) 2 exp(λ)

0 exp(micro2)2 (11) exp(micro2)

(12) exp(micro1)

Παρατηρεί κανείς ότι η τμ Q(t) I(t) με τη δίτιμη τμ Ι(t) να δείχνει ποιος υ-

πηρέτης είναι απασχολημένος στη περίπτωση που έχουμε ένα πελάτη στο σύστημα

είναι μασχ Είναι λογικό να εξετάσουμε την αλυσία ως προς αντιστρεψιμότητα

Πράγματι παρατηρεί κανείς ότι

λ

2λmicro1micro2 =

λ

2λmicro2micro1 harr q0(11)q(11)2q2(12)q(12)0 = q0(12)q(12)2q2(11)q(11)0

και άρα από το κριτήριο του Κολμογοροv στο μοναδικό κύκλο του συστήματος

παίρνουμε αντιστρεψιμότητα Η μάζα πιθανότητας της pn τότε βρίσκεται κατά

τετριμμένο τρόπο από τις παρακάτω σχέσεις και την εξίσωση κανονικοποίησης

p(11) =λ

2micro1p0 p(12) =

λ

2micro2p0 p2 =

λ2

2micro1micro2p0

Και άρα μετά από πράξεις παίρνουμε p0 + p(11) + p(12) + p2 = 1 harr p0 =2micro1micro2

2micro1micro2+2λmicro2+2λmicro1=λ2 Το ποσοστό των χαμένων πελατών θα ισούται με τη πιθα-

νότητα να μην εισέλθει ένας πελάτης άρα λόγω PASTA= p2

20 752 (΄Εγινε στο μάθημα)

α) Θέτουμε I(t) τη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τη τιμή 1 εάν ο υπηρέτης βρίσκε-

ται σε περίοδο λειτουργείας τη στιγμή t και τη τιμή 0 διαφορετικά Τότε έχουμε

τον εξής πίνακα καταστάσεων για τη διδιάστατη τμ (Q(t) I(t))

14

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(n 0) (n 1) exp(ξ)(01) (00) exp(θ)

(11) exp(λ)(n 1) (n 0) exp(θ)

(n+ 1 1) exp(λ)(nminus 1 1) exp(micro)

και άρα θα πρόκειται για μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

ξp(j 0) = θp(j 1)forallj isin N

microp(j 1) = λp(j minus 1 1)forallj isin N

άρα παίρνουμε από τα παραπάνω ότι

p(j 1) =λ

microp(j minus 1 1) = middot middot middot = ρj

ξ

θp(0 0)

p(j 0) = ρjp(0 0)

rArrsumj

p(j 0) +sumj

p(j 1) = 1rArr ξ

θp(0 0)

sumρj + p(0 0)

sumρj = 1

rArr p(0 0) = (ξ

θ

1

1minus ρ+

1

1minus ρ)minus1 =

θ(1minus ρ)

ξ + θ

και το σύστημα θα είναι ευσταθές αν η p(0 0) gt 0 δηλαδή εάν ρ lt 1rArr λ lt microγ) Από τα παραπάνω παίρνουμε ότι p(j 1) = ξ

ξ+θ (1minusρ)ρj και p(j 0) = θξ+θ (1minus

ρ)ρj

και άρα μπορούμε να βρούμε το ποσοστό ως εξής

P (Q = n) = pn = P (n 1) + P (n 0) = ρn(1minus ρ)foralln ge 0

δ) Για το μέσο χρόνο παραμονής ενός πελάτη που βρίσκει n πελάτες κατά την

είσοδο του έστω E(Sn) = xn παίρνουμε

E(Sn) = Χρόνος μέχρι αργία ή αποχωρ+P (αργία)lowastχρόνος+P (αποχ)lowastχρόνος

=1

micro+ θ+

θ

micro+ θ(1

ξ+ E(Sn)) +

micro

micro+ θE(Snminus1)

rArr xn =θ

ξmicro+

1

micro+ xnminus1 = (nminus 1)(

θ

microξ+

1

micro)n ge 0

15

21 753

α) Αρχικά δείχνουμε αν η Q(t) είναι αντιστρέψιμη τότε και η XA(t) θα είναι επίσης

αντιστρέψιμη Από το κριτήριο του kolmogorov και την αντιστρεψιμότητα της

αρχικής αλυσίδας παίρνουμε ότι foralli0i1middot middot middotn ισχύει qi0i1 qini0 = qi0in qi1i0 Εφόσον το παραπάνω ισχύει για κάθε κύκλο θα ισχύει και για όλους τους κύκλους

μέσα στην A ιδιαιτέρως διότι qij = qAij για τους κύκλους μέσα στην Α ΄Αρα από

το κριτήριο του Kolmogorov και η XA(t) θα είναι αντιστρέψιμη

A είναι μη κενό άρα υπάρχει στοιχείο i0 isin A Η ιδέα είναι να προσπαθήσουμε

να εκφράσουμε όλα τα στοιχεία του A συναρτήσει των pAi0 και pi ΄Εστω μια άλλη

κατάσταση in isin A τότε ξέρουμε ότι θα ισχύει pAin = pAi0qAi0inqAini0

= pAi0qi0inqini0

=

pAi0pinpi0

το οποίο ισχύει αφενός γιατί οι ρυθμοί μετάβασης εντός του A μένουν

οι ίδιοι αφετέρου γιατί έχουμε θεωρήσει αντιστρέψιμη μαρκοβιανή αλυσίδα ΄Εχει

γίνει η απαραίτητη προεργασία οπότε εύκολα παίρνουμε το ζητούμενο

sumjisinA

pAj = 1rArr pAi0 + pAi1 = middot middot middot = 1rArr pAi0 (sumjisinA

pjpi0

) = 1rArr pAi0 =pi0sumjisinA pj

β) Θα παραθέσουμε το απλούστερο αντιπαράδειγμα που βρέθηκε Ενδεχομένως

η επιλογή των αριθμών να μην είναι ιδανική και η διεργασία έγινε κυρίως με τη βο-

ήθεια του διαγράμματος Θεωρούμε την αλυσίδα με τον εξής πίνακα καταστάσεων

και S = (0 1 2 3)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(1)2 exp( 1

3 )1 0 exp(1)

2 exp( 23 )

2 3 exp( 13 )

0 exp( 23 )

1 exp( 13 )

3 2 exp( 12 )

Στο παραπάνω παράδειγμα είναι προφανές ότι η αρχική μας αλυσίδα είναι

μασχ αλλά δεν είναι αντιστρέψιμη αφού αποτυγχάνει το κριτήριο του kolmogorovστο κύκλο καταστάσεων (012) Πολύ εύκολα μπορεί κάποιος να γράψει τις ε-

ξισώσεις ισορροπίας και να καταλήξει στην εξής κατανομή πιθανότητας p0 =33218 p1 = 30

218 p2 = 87218 p3 = 58

218Θεωρούμε τώρα το γνήσιο μη κενό υποσύνολο του χώρου καταστάσεων της

αρχικής μας αλυσίδας A = (012) Οι εξισώσεις ισορροπίας θα είναι όμοιες απλά

δε θα υπάρχει το p3 ενώ η εξίσωση κανονικοποίησης θα δίνει αυτή τη φορά διαφο-

ρετική μάζα με pA0= 11

50 pA1 = 1050 pA2 = 29

50 ΄Ομως εάν τα αποτελέσματα της

προηγούμενης άσκησης ίσχυαν και για μη αντιστρέψιμες αλυσίδες θα αναμέναμε

να πάρουμε pA0= p0

p0+p1+p1= 33

160 6=1150 και άρα δεν ισχύουν τα προηγούμενα

16

γ) Ως μασχ τύπου γέννησης-θανάτου η M |M |1 θα είναι αντιστρέψιμη

Περιορίζοντας τον χώρο καταστάσεων στο A = (0 1 k) sub S παίρνουμε μία

αλυσίδα τύπου M |M |1|K Από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) συμπερα-

ίνουμε ότι η M |M |1|K θα είναι επίσης αντιστρέψιμη και για τη στάσιμη κατανομή

της εύκολα παίρνουμε ότι

pAj =pjsumki=0 pi

=ρjsumki=0 ρ

i=

ρj

(1minus k)(1minus ρkminus1) j le k

δ) ΗM |M |infin ως μασχ τύπου γέννησης θανάτου (με διαφορετικούς χρόνους

αναχωρήσεων φυσικά) θα είναι αντιστρέψιμη Θεωρούμε τον υπόχωρο καταστάσε-

ωνA = (0 1 k) sub S και ο περιορισμός της αρχικής αλυσίδας γίνεταιM |M |infin|kπου όμως ταυτίζεται με την M |M |k|k αφού πάντα θα εξυπηρετούν το πολύ κ υ-

πηρέτες όμοια με πάνω η αλυσίδα αυτή θα είναι μασχ και για τη στάσιμη

κατανομή

pAj =pjsumki=0 pi

=ρj

jsumki=0

ρi

i

j le k

ε) Θεωρούμε τη διδιάστατη αρχική στοχαστική διαδικασία (Q1(t) Q2(t)) δύο

ανεξάρτητων M |M |1 ουρών χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα Σημειώνουμε

πως λόγω της αμνήμονης ιδιότητας όλες οι μεταβάσεις στις καταστάσεις της θα ε-

ίναι τύπου γέννησης θανάτου και άρα αυτή η αλυσίδα θα είναι αντιστρέψιμη Σημει-

ώνουμε ακόμα πως pij = P (Q1 = i Q2 = j) = pipj = (1minusρ1)(1minusρ2)ρi1ρj2foralli j ge

0Τώρα θεωρούμε το υποσύνολο των καταστάσεωνA = ((0 0) (i j) (k+1 1) (1 k+

1) i + j le k + 1) sub S και παρατηρούμε πως η (Q1(t) Q2(t))A πράγματι μοντε-

λοποιεί την στοχαστική διαδικασία που μας έχει ζητηθεί να μελετήσουμε ενώ

θα είναι αντιστρέψιμη από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) Ακόμα για τη

στάσιμη κατανομή παίρνουμε

pA(ij)= PA(Q1 = i Q2 = j) =

pijsum(ij)isinA pij

=pipjsumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 pij + p(k+11) + p(1k+1)

=

ρi1ρj2sumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 ρi1ρ

j2 + ρk+1

1 ρ2 + ρ1ρk+12

forall(i j) isin A

22 754

΄Εχουμε μια αδιαχώριστη αλυσίδα και μια συνάρτηση πιθανότητας pn (η οποία θα

αθροίζει στη μονάδα και άρα ικανοποιεί την εξίσωση κανονικοποίησης) Από το

θεμελιώδες εργοδικό θεώρημα μασχ η (X(t)) θα έχει τη (pj j isin S) ως

στάσιμη κατανομή εάν pisumj 6=i qij =

sumj 6=i pjqji Πράγματι από τα δεδομένα της

άσκησης παίρνουμε

17

pisumj 6=i

qij = pisumj 6=i

qij =sumj 6=i

piqij =sumj 6=i

pjqji

Για την αντίστροφη αλυσίδα γνωρίζουμε πως θα ισχύει qij = pjqijpi

το οποίο

όμως είναι καλά ορισμένο από τη στάσιμη πιθανότητα και τους ρυθμούς μετάβασης

της αρχικής μας αλυσίδας ΄Αρα πράγματι αυτοί οι ρυθμοί μετάβασης θα ανήκουν

στην αντίστροφη

23 755 (΄Εγινε στο μάθημα)

Από το θεώρημα του Burke έχουμε πως για δεδομένη χρονική στιγμη t τα Q1 Q2

είναι ανεξάρτητα ενώ οι πελάτες θα εισέρχονται στο δεύτερο σύστημα επίσης

σύμφωνα με διαδικασία Poisson ρυθμού λ ΄Αρα

pn1n2 = P (Q1 = n1 Q2 = n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn1ρn2

όπου ρ1 = λmicro1 ρ2 = λ

micro2

24 861 (΄Εγινε στο μάθημα)

Η σδ (Q(t)) προφανώς δεν είναι μασχ αφού δεν είναι όλοι οι χρόνοι μετάβασης

εκθετικοί Ορίζουμε I(t) μία τμ πού μας δείχνει το στάδιο j εξυπηρέτησης

j = 0 1 s και για τη διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) έχουμε

τον εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (11) exp(λ)(1 j) j = 1 sminus 1 (1 j + 1) exp(smicro)

(1 s) 0 exp(smicro)

και τώρα έχει προκύψει μία μασχ Σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας του

συστήματος

λp0 = smicrop1s

smicrop1j = smicrop1j+1 j = 0 1 sminus 1

από τις οποίες έπεται ότι p11 = p12 = middot middot middot = p1s = λmicrop0 και άρα από την

εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 = microλ+micro και p1 =

sumsj=1 p1j = s λ

s(λ+micro) =λ

λ+micro

18

25 862 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

Θέτουμε (I(t) = το πλήθος των πελατών που βρίσκονται στη 1η φάση της ε-

ξυπηρέτησης τους και τότε για τη διδιάστατη σδ (Q(t) I(t)) παίρνουμε πίνακα

μετάβασης ως εξής

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(00) (11) exp(λ)(11) (22) exp(λ)

(10) exp(2micro)(10) (21) exp(λ)

(00) exp(2micro)(22) (21) exp(4micro)(21) (11) exp(2micro)

(20) exp(2micro)(20) (10) exp(4micro)

Τώρα προχωρούμε στη καταγραφή των εξισώσεων ισορροπίας αναλυτικά και

για τις 6 καταστάσεις

λp0 = 2microp(10) (1)

(λ+ 2micro)p(11) = λp0 + 2microp(21) (2)

(λ+ 2micro)p(10) = 2microp(11) + 4microp(20) (3)

4microp(22) = λp(11) (4)

4microp(21) = 4microp(22) + λp(10) (5)

4microp(20) = 2microp(21) (6)

Δυστυχώς η εύρεση της στάσιμης κατανομής είναι μία επίπονη διαδικασία Αρ-

χικά προσπαθούμε να εκφράσουμε όλες τις καταστάσεις ως συναρτήσεις της κα-

τάστασης p0 Συγκεκριμένα (1) rArr p(10) = λ2microp0 (4) rArr p(22) = λ

4microp(11)

(6) rArr p(20) = 12p(21) και άρα μένει να εκφράσουμε τις p(21) p(11) συναρτήσει

της p0 Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις (2) (3) και αφού αντικαταστήσουμε τις

σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω επιλύουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο

αγνώστους Τελικά παίρνουμε p(11) = λ2microp0 και p(21) = λ2

4micro2 p0 τη λύση μας τη

δίνει η εξίσωση κανονικοποίησηςsump = 1harr p0(1 +

λ

2micro+

λ

2micro+

λ2

8micro2+

λ2

4micro2+

λ2

8micro2) = 1

p0 =8micro2

8micro2 + 8λmicro+ 4λ2=

1

1 + ρ+ ρ2

2

΄Οπου ρ = λmicro Τώρα η εύρεση των υπολοίπων πιθανοτήτων είναι τετριμμένη

αφού p1 = p(10) + p(11) = λmicrop0 = ρ

1+ρ+ ρ2

2

ενώ p2 = p(20) + p(21) + p(22) =

4λ2

8micro2 p0 = ρ2

2(1+ρ+ ρ2

2 )

19

26 863

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας πελάτης υπό εξυπηρέτηση ΄Εχουμε τον

εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ)(n i) n = 1 i = 1 sminus 1 (n+ 1 i) exp(λ)

(n i+ 1) exp(smicro)(n s) (n+ 1 s) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(smicro)

Οι εξισώσεις ισορροπίας όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση

της στάσιμης κατανομής εφαρμόζουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκεκριμένα

ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των φάσεων

που μένουν στο σύστημα μέχρι να αδειάσει Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει είναι

η εξής (n i)hArr nsminus (iminus 1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αφίξεων Ms|M |1Δεν έχουμε βρει τη στάσιμη κατανομή της ουράς αυτής στη γενική της πε-

ρίπτωση ΄Εστω ότι είναι η (pn) τότε θα εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανο-

μής του αριθμού των πελατών στο σύστημα συναρτήσει αυτής της pn Δηλαδή

P (Q(t) = n) =sumsi=1 P (Q(t) = n I(t) = i) = P (N(t) = ns minus (i minus 1) =sums

i=1 pnsminus(iminus1) =sum(nsi=(nminus1)s+1 pi

27 864 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας ερχόμενος πελάτης ΄Εχουμε τον εξής

πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 n) (0 n+ 1) exp(kλ)(0 k) (11) exp(kλ)

(mn) n = 0 1 k minus 1 (mn+ 1) exp(kλ)(mminus 1 n) exp(micro)

(m k) (m+ 1 k) exp(kλ)(mminus 1 k) exp(micro)

Εξισώσεις λεπτομερούς ισορροπίας παίρνουμε

kλp(01) = microp(11) (1)

kλp(mn) = microp(m+1n) + kλp(mnminus1) n = 0 1 k(2)

kλp(m1) = kλp(mminus1k) + microp(m+11) (3)

20

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

β) Το μακροπρόθεσμο ποσοστό των άμεσα αποχωρίσαντων θα είναι ίσο με την

πιθανότητα ένας αφικνούμενος πελάτης να μην εισέλθει στο σύστημα και από το

Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας προκύπτει

P (πιθανότητα να μην εισέλθει) =

csumn=o

n

cpn =

E(Q)

c=np

c=c ρρ+c

c=

ρ

ρ+ c

γ) Λόγω των μεμονομένων αφίξεων θα ισχύει an = dn και καταλήγουμε σε

μια όχι ιδιαίτερα όμορφη σχέση

aentern =λnpnsumcn=0 λnpn

=cminusnc λpn

λc

sumcn=0 (cminus n)pn

=(cminus n)pnsumcminus1n=0(cminus n)pn

= dn n = 0 1 c

δ) ΄Ενας τελικά εισερχόμενος πελάτης θα εξυπηρετείται αμέσως αφού οι υπη-

ρέτες είναι σε πλήθος ίσοι με τη χωρητικότητα του συστήματος άρα E(Sprime) = 1micro

Για το μέσο χρόνο παραμονής όλων των αφικνούμενων πελατών σκεφτόμαστε

ως εξής εφαρμόζουμε δύο φορές το Θεώρημα διπλής μέσης τιμής μια φορά δε-

σμεύοντας ως προς το ενδεχόμενο να εισέλθει -ή να μην εισέλθει- ο πελάτης στο

σύστημα και μια δεύτερη ως προς το ενδεχόμενο να βρει ν πελάτες κατά την

είσοδο του παίρνουμε

E(Sαφικνούμενοι) = P (enter)E(S|enter) + P (noenter)E(S|noenter) =

= P (enter|a0)a0E(S|enter)+P (enter|a1)a1E(S|enter) P (enter| an)anE(S|enter) =

=1

micro(

csumn=0

ancminus nc

) =1

cmicro(

csumn=0

pn(cminus n)) =1

microminus microE(Q)

c=

1

microminus λ

ρ+ c

Τονίζουμε πως δε χρειάζεται να δεσμεύσουμε τις μέσες τιμές ως προς το πόσα

άτομα βλέπει ο αφικνούμενος πελάτης καθώς θα εξυπηρετηθεί αμέσως ανεξάρτητα

από το πόσα θα δει

ε) Εύκολα βρίσκουμε τη μέση περίοδο λειτουργίας E(I) = λ0 = λ Τώρα

βρίσκουμε εύκολα τη μέση διάρκεια ενός κύκλου ως εξής

E(I)

E(Z)= p0 rArr E(Z) =

E(I)

p0=

λ

( cρ+c )

c=λ(ρ+ c)c

cc

15 651

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(λ)1 le j le r j+1 exp(λ)

0 exp(micro)n ge r n+1 exp(λ)

n-r exp(micro)

7

Τώρα καταλήγουμε στις εξής εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1 + micropr = micro(

rsumi=1

pi) (1)

(λ+ micro)pn = λpnminus1 + micropn+rγια n ge 1(2)

β) για να μπορέσουμε να βρούμε τη συνθήκη ευστάθειας θα χρησιμοποιήσουμε

τη λεγόμενη μέθοδο των πιθανογεννητριών με βοήθεια από τη μιγαδική ανάλυση

(1) +

infinsumn=1

(2)zn

rArr λ

infinsumn=0

pnzn + micro(

infinsumn=0

pnzn minus p0) = zλ

infinsumn=0

pnzn + micro(

rsumi=1

pi) +micro

zr

infinsumn=r+1

pnzn

΄Οπου όμως γνωρίζουμε πως P (z) =suminfinn=0 pnz

nκαι αντικαθιστώντας έχουμε

rArr λP (z)+micro(P (z)minusp0) = zλP (z)+micro(

rsumi=1

pi)+micro

zr(P (z)minusp0minusp1zminusmiddot middot middotminusprzr)

rArr P (z) =micro(p0(zr minus 1) + p1(zr minus z) + middot middot middot+ prminus1(zr minus zrminus1)

(λ+ micro)zr minus λzr+1 minus micro

τελικά θέτοντας ρ = λmicro οδηγούμαστε στην εξής μορφή όπου ο παρονομαστής

είναι πολυώνυμο μεγαλύτερου βαθμού ως προς το z από τον αριθμητή

rArr P (z) =p0(zr minus 1) + p1(zr minus z) + middot middot middot+ prminus1(zr minus zrminus1)

(ρ+ 1)(zr minus ρρ+1z

r+1 minus 1ρ+1

) =N(z)

D(z)

Σε αυτό το σημείο θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το πόρισμα του θεωρήματος

Rouche για να εξετάσουμε κατά πόσο αυτή η συνάρτηση αποδίδει πράγματι μάζα

πιθανότητας στη κατανομή pn ΄Ετσι ορίζουμε μία ακολουθία α(z) =suminfinn=0 z

n

τέτοια ώστε a0 = 1ρ+1 ar+1 = ρ

ρ+1 ai = 0 για i 6= 0 r + 1 και παρατηρούμε

αφενός ότι zn minus α(z) = A(z) = zr minus ρρ+1z

r+1 minus 1ρ+1 αφετέρου ότι

suminfinn=0 αn =

1suminfinn=0 nαn lt infin

suminfinn=0 n

2αn lt infin δηλαδή ισχύουν οι προϋποθέσεις του πο-

ρίσματος

Ακόμα έχουμε ότι α(1) = 1 άρα πρέπει να εξετάσουμε το πολυώνυμο Aprime(z)όπου

Aprime(z) = rzrminus1 minus (r + 1)ρ

ρ+ 1zr rArr Aprime(1) = middot middot middot = r minus ρ

ρ+ 1

το τελευταίο εργαλείο που χρειαζόμαστε για την ανάλυση σε περιπτώσεις είναι

το k = mcd(j minus r aj 6= 0) = mcd(minusr 1) = 1

8

1η περίπτωση λ lt rmicro rArr r gt ρ έχουμε ότι α(1) = 1 Aprime(1) gt 0 άρα απα-

ραίτητα θα έχουμε N minus k = r minus 1 ρίζες μέσα στο μιγαδικό δίσκο (z |z| lt 1)1 ρίζα πάνω στο δίσκο (z |z| = 1) (μέσα και πάνω στο δίσκο έχει νόημα η

πιθανογεννήτρια) και 1 ρίζα εκτός του μοναδιαίου δίσκου Δηλαδή μπορούμε να

γράψουμε

D(z) = c1(z minus z0)(z minus z1) (z minus zrminus1)(z minus 1)

όπου οι r στο πλήθος ρίζες εντός και πάνω στο δίσκο είναι οι z1 zrminus1 1όμως για να συγκλίνει η P (z) θα πρέπει όλες αυτές οι ρίζες του παρονομαστή που

βρίσκονται μέσα και πάνω στο μοναδιαίο κύκλο να είναι και ρίζες του αριθμητή

Δηλαδή N(z) = c1(z minus z1) (z minus zrminus1)(z minus 1)΄Αρα αυτό που απομένει είναι P (z) = c

zminusz0 και λόγω της εξίσωσης κανονικο-

ποίησης απαιτούμε να ισχύει P (1) = 1rArr c = 1minus z0 Τελικά παίρνουμε

P (z) =1minus z0

z minus z0=z0 minus 1

z0

1

1minus zz0

=z0 minus 1

z0

infinsumj=0

(z

z0)j =

infinsumj=0

z0 minus 1

(z0)j+1zj

όπου μπορέσαμε να χρησιμοποιήσαμε τη γεωμετρική σειρά γιατί η λύση z0 είναι

εκτός του δίσκου και άρα | zz0 | lt 1 ΄Αρα έχουμε ότι pn = z0minus1

zn+10

= ( 1z0

)n(1 minus 1z0

)

για n ge 0 δηλαδή έχουμε ότι pn sim Geo( z0minus1z0

) που είναι ευσταθής

2η περίπτωση παρατηρούμε ότι για λ ge rmicro rArr r le ρ από το θεώρημα του

Rouche και αφού Aprime(1) le 1 θα έχουμε r+ 1 στο πλήθος ρίζες πάνω και μέσα στο

μοναδιαίο δίσκο για το πολυώνυμο του παρονομαστή ενώ το πολύ ρ στο πλήθος

ρίζας για το πολυώνυμο του αριθμητή Επομένως η πιθανογεννήτρια θα αποκλίνει

και σε αυτές τις περιπτώσεις το σύστημα μας θα είναι ασταθές Με άλλα λόγια

η συνθήκη που μας δίνεται από την άσκηση είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για

την ευστάθεια του συστήματος μας

16 652 (΄Εγινε στο μάθημα)

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 2 exp(λ)n n+2 exp( cminusnc λ)

n-1 exp(micro)

όλοι οι παραπάνω χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί άρα η Qt) θα είναι μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 = microp2(2)

(λ+ micro)pn = λpnminus2 + micropn+1 n ge 2 (3)

9

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λ+ micro)

infinsumn=0

pnzn minus microp0 =

micro

z(p1z + p2z

2) + micro

infinsumn=2

pn+1zn + λ

infinsumn=2

pnminus2zn

rArr (λ+ micro)zP (z)minus microzp0 = microP (z)minus microp0 + λz3P (z)

όπου αντικαταστήσαμε το σχετικό άθροισμα από την πιθανογεννήτρια P (z)΄Εχουμε ότι

P (z) =microzp0 minus microp0

(λ+ micro)z minus λz3 minus microΔηλαδή καταλήξαμε σε μία έκφραση της πιθανογεννήτριας η οποία περιλαμ-

βάνει μονάχα τα λ micro και p0

γ) μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση το z = 1είναι προφανώς ρίζα και του αριθμητή και του παρονομαστή Θα μπορούσαμε

λοιπόν να παραγονοτοποιήσουμε το παρονομαστή με αυτή τη ρίζα και μετά να

πάρουμε το p0 από την απαίτηση P (1) = 1

P (z) =zp0 minus p0

(ρ+ 1)(z minus ρρ+1z

3 minus 1ρ+1 )

=microp0

minusλz2 minus λz + micro

όμως έχουμε P (1) = 1rArr p0 = microminus2λmicro = 1minus 2ρ Η συνθήκη ευστάθειας τώρα μας

δίνει το εξής p0 gt 0rArr ρ lt 12 Παρατηρούμε πως πρόεκειται για μία αναμενόμενη

συνθήκη ευστάθειας καθώς η άφιξη με ρυθμό λ ομάδων των 2 πελατών είναι

για το πλήθος των πελατών του συστήματος ισοδύναμη με την άφιξη πελατών με

ρυθμό 2λ

δ) Αρχικά κάνουμε τη παρατήρηση ότι αφού οι πελάτες έρχονται σε δυάδες σε

κάθε γκρουπ πελατών ο καθένας θα καταλαμβάνει οποιαδήποτε από τις δύο θέσεις

με πιθανότητα 05 Ακόμα σημειώνουμε πως για να βρεί κάποιος μπροστά του nminus1πελάτες θα πρέπει να είναι είτε ο πρώτος πελάτης σε ένα γκρουπ που βλέπει nminus1πελάτες είτε ο δεύτερος σε ένα γκρουπ που βλέπει n minus 2 πελάτες Τέλος λόγω

της PASTA έχουμε ότι P (agroupn ) = pn Συνδυάζοντας τα παραπάνω παίρνουμε

P (anminus1) = P (agroupnminus1 πρώτος στη σειρά) + P (agroup

nminus2 δεύτερος στη σειρά)

=P (agroup

nminus1 )

2+P (agroup

nminus2 )

2=pnminus1 + pn

2

ε) για λ = 1 micro = 6 παίρνουμε ότι p0 = 1 minus 26 = 2

3 Αντικαθιστώντας στον

τύπου που έχουμε βρει για τη πιθανογεννήτρια και μετά από πράξεις έχουμε

P (z) =4

minusz2 minus z + 6=

minus4

(z + 3)(z minus 2)=

4

5(

1

z + 3minus 1

z minus 2) =

10

Η ιδέα εδώ είναι να προσπαθήσουμε να αντικαταστήσουμε τα δύο αυτά κλάσμα-

τα με τη γεωμετρική σειρά Εφόσον |z| le 1 rArr | z2 | |minusz3 | lt 1 και άρα κάνουμε το

εξής τέχνασμα

P (z) =4

5(1

3

1

1 + z3

+1

2

1

1minus z2

) =4

15

infinsumn=0

(minusz3

)n+6

15

infinsumn=0

(z

2)n

P (z) =

infinsumn=0

(4

15(minus1

3)n +

6

15(1

2)n)zn

και δηλαδή παίρνουμε pn = ( 415 (minus1

3 )n + 615 ( 1

2 )n)foralln isin N

17 653

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 j ge 1 exp(λgj)n n+ j j ge 1 exp(pgjλ)

n-1 exp(micro)

όλοι οι παραπάνω χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί άρα η Qt) θα είναι μασχ

παίρνουμε λοιπόν τις παρακάτων εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(λp+ micro)p1 = microp2 + λg1p0 (2)

(λp+ micro)pn = micropn=1 + λgnp0 +

nminus1sumj=1

λgnminusjppj (3)

β) Για να υπολογίσουμε τη πιθανογεννήτρια ψάχνουμε το εξής άθροισμα

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumn=2

nminus1sumj=1

gnminusjpjzn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumj=1

pjzj

nminus1sumn=j+1

gnminusjznminusj

και τώρα αντικαθιστώντας με τις πιθανογεννήτριες των μέτρων πιθανοτήτων

pn gn δηλαδή P (z) =suminfinn=0 pnz

n G(z) =suminfinn=0 gnz

n =suminfinn=1 gnz

nκαι κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε παίρνουμε

11

P (z) =λp0zG(z)minus λpp0zG(z) + λpp0z + microp0z minus microp0 minus λp0z

zλp+ microz minus microminus λpzG(z)

Σε αυτό το σημείο θυμόμαστε πως ισχύει P (1) = G(1) = 1 από τις ιδιότητες

των πιθανογεννητριών ΄Ομως εαν ο αναγνώστης αποπειραθεί να βρει τη τιμή

της Ρ στο 1 και να λύσει ως προς p0 θα παρατηρήσει ότι καταλήγουμε στην

απροσδιόριστη μορφή00 Επομένως εφαρμόζοντας το κανόνα του LprimeHospital και

θέτοντας m = Gprime(z) καταλήγουμε στο εξής

1 = P (1) =λp0mminus λpp0m+ microp0

microminus λpm

rArr p0 =microminus λpm

λmminus λpm+ micro=

microminus λpmmicrominus λm(1minus p)

όμως το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο αν p0 gt 0 δηλαδή θα πρέπει

τα microminus λpm και λmminus λpm+ micro να είναι ομόσημα Ο παρονομαστής είναι πάντοτε

μεγαλύτερος από τον αριθμητή επομένως για να είναι και τα δύο θετικά αρκεί

να είναι micro minus λpm gt 0 hArr 1 gt ρpm ενώ για να είναι και τα δύο αρνητικά αρκεί

micro minus λm(1 minus p) lt 0 Το δεύτερο σετ λύσεων απορρίπτεται γιάτί 0 lt p lt 1 το

οποίο είναι κάτι πολύ λογικό διαισθητικά

γ) Η πιθανότητα ένας πελάτης να βρει μπροστά του n minus 1 πελάτες ισούται με

την πιθανότητα να βρει το γκρουπ του j πελάτες για 0 le j le n minus 1 αυτός να

είναι ο nminus j πελάτης του γκρουπ του και τελικά να εισέλθει λόγω της PASTAπαίρνουμε

anminus1 =

nminus1sumk=0

αgroupk gnminusk = p0

suminfini=n gisuminfini=1 igi

+ p

nminus1sumk=1

pk

suminfini=nminusk gisuminfini=1 igi

δ) Στη περίπτωση των μεμονωμένων αφίξεων παίρνουμε g1 = 1 gi = 0foralli 6= 1και άρα G(z) = zm = Gprime(z) = g1 = 1 και άρα βρίσκουμε

p0 =microminus λp

λminus λp+ micro

αντικαθιστώντας τώρα τα παραπάνω στο τύπο των πιθανογεννητριών και κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε τα εξής

P (z) = p0

λ(1minus p)(z minus 1)(z + microλ(1minusp) )

minusλp(z minus 1)(z minus microλp )

= p01minus pp

(z +micro

λ(1minus p))

1

1minus z λpmicro

λp

micro

= p0λ(1minus p)

micro(z +

micro

λ(1minus p))

infinsumn=0

(λp

micro)nzn

= p01minus pp

infinsumn=1

(λp

micro)nzn + p0

infinsumn=0

(λp

micro)nzn = p0 +

p0

p

infinsumn=1

(λp

micro)nzn

12

το οποίο προκύπτει μετά από βασανιστικές αλγεβρικές πράξεις καθώς και την

παρατήρηση ότι για m = 1 στη κατάσταση ευστάθειας έχουμε ότιmicroλp gt 1 rArr

|λpmicro z| lt 1 και άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γεωμετρικό άθροισμα Τε-

λικά παίρνουμε την εξής κατανομή

pn =

p0 n = 0

p0(1 + 1p (λpmicro )n) n ge 1

(4)

18 654

α) Αρχικά γράφουε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(1

2λ+ micro)p1 =

λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2(p0 + p1)(3)

β) για να υπολογίσουμε τη κατανομή pn n = 0 1 2 αρχικά συμπεραίνουμε από

την 1 ότι p1 = λmicrop0 ενώ από τη 2 ότι p2 = λ

2microp0(1 + λmicro )

Επομένως από την εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 + p1 + p2 = 1 rArrp0(1 + λ

micro + λ2micro + λ2

2micro2 )rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+λmicro+λ2 και έτσι βρίσκουμε και τα p1 p2

γ) Γνωρίζουμε πως το ποσοστό χαμένων πελατών θα είναι = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (γκρουπ των 2 το γκρουπ να βρει έναν πελάτη ήδη στο σύστημα)+P (να βρει το γκρουπ 2 πελάτες) =12p1 + p2 το οποίο ισχύει λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των δύο ενδεχομένων

δ) Απαντούμε τα ίδια ερωτήματα στη περίπτωση που ένα αφικνούμενο γκρουπ

των 2 ατόμων δε διώχνεται όλο εάν δε χωράει να εισέλθει αλλά γεμίζει πρώτα

το σύστημα και κατόπιν ο δεύτερος πελάτης του γκρουπ αποχωρεί Σε αυτή τη

περίπτωση οι εξισώσεις ισορροπίας είναι τροποποιημένες ως εξής

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 =λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2p0 + λp1(3)

και προτού υπολογίσουμε τις μάζες πιθανότητας παρατηρούμε ότι p1 = λmicrop0 και

από τη 2η εξίσωση ισορροπίας p2 = λmicrop0(λmicro + 1

2 ) Δηλαδή η εξίσωση κανονικοπο-

ίησης τώρα δίνει p0(1 + λmicro + λ2

micro2 + λ2micro ) = 1 rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+2λ2+λmicro ενώ με τις

σχέσεις παραπάνω βρίσκουμε τα p1 p2 Παρατηρούμε ότι σε αυτή τη περίπτωση

το p0 είναι μικρότερο από ότι στο ερώτημα β το οποίο είναι και αναμενόμενο αφού

ουσιαστικά αυξήσαμε τους μηχανισμούς με τους οποίους μεταβαίνει το σύστημα

στη κατάσταση με 2 πελάτες Θα περιμέναμε δηλαδή ένα μικρότερο p0 και ένα

μεγαλύτερο p2 σε σχέση με τα προηγούμενα ερωτήματα

13

Τέλος το ποσοτό χαμένων πελατών = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (να έρθει γκρουπ των 2 ένας πελάτη ήδη στο σύστημα είναι ο δεύτερος σε διάταξη πελάτης)+P (αφικν γκρουπ να βρει 2 πελάτες) = 1

212p1 + p2 = 1

4p1 + p2 το οποίο ισχύει

λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των τριών ενδεχομένων

19 751 (΄Εγινε στο μάθημα)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ2 )

(12) exp(λ2 )(11) 2 exp(λ)

0 exp(micro1)(12) 2 exp(λ)

0 exp(micro2)2 (11) exp(micro2)

(12) exp(micro1)

Παρατηρεί κανείς ότι η τμ Q(t) I(t) με τη δίτιμη τμ Ι(t) να δείχνει ποιος υ-

πηρέτης είναι απασχολημένος στη περίπτωση που έχουμε ένα πελάτη στο σύστημα

είναι μασχ Είναι λογικό να εξετάσουμε την αλυσία ως προς αντιστρεψιμότητα

Πράγματι παρατηρεί κανείς ότι

λ

2λmicro1micro2 =

λ

2λmicro2micro1 harr q0(11)q(11)2q2(12)q(12)0 = q0(12)q(12)2q2(11)q(11)0

και άρα από το κριτήριο του Κολμογοροv στο μοναδικό κύκλο του συστήματος

παίρνουμε αντιστρεψιμότητα Η μάζα πιθανότητας της pn τότε βρίσκεται κατά

τετριμμένο τρόπο από τις παρακάτω σχέσεις και την εξίσωση κανονικοποίησης

p(11) =λ

2micro1p0 p(12) =

λ

2micro2p0 p2 =

λ2

2micro1micro2p0

Και άρα μετά από πράξεις παίρνουμε p0 + p(11) + p(12) + p2 = 1 harr p0 =2micro1micro2

2micro1micro2+2λmicro2+2λmicro1=λ2 Το ποσοστό των χαμένων πελατών θα ισούται με τη πιθα-

νότητα να μην εισέλθει ένας πελάτης άρα λόγω PASTA= p2

20 752 (΄Εγινε στο μάθημα)

α) Θέτουμε I(t) τη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τη τιμή 1 εάν ο υπηρέτης βρίσκε-

ται σε περίοδο λειτουργείας τη στιγμή t και τη τιμή 0 διαφορετικά Τότε έχουμε

τον εξής πίνακα καταστάσεων για τη διδιάστατη τμ (Q(t) I(t))

14

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(n 0) (n 1) exp(ξ)(01) (00) exp(θ)

(11) exp(λ)(n 1) (n 0) exp(θ)

(n+ 1 1) exp(λ)(nminus 1 1) exp(micro)

και άρα θα πρόκειται για μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

ξp(j 0) = θp(j 1)forallj isin N

microp(j 1) = λp(j minus 1 1)forallj isin N

άρα παίρνουμε από τα παραπάνω ότι

p(j 1) =λ

microp(j minus 1 1) = middot middot middot = ρj

ξ

θp(0 0)

p(j 0) = ρjp(0 0)

rArrsumj

p(j 0) +sumj

p(j 1) = 1rArr ξ

θp(0 0)

sumρj + p(0 0)

sumρj = 1

rArr p(0 0) = (ξ

θ

1

1minus ρ+

1

1minus ρ)minus1 =

θ(1minus ρ)

ξ + θ

και το σύστημα θα είναι ευσταθές αν η p(0 0) gt 0 δηλαδή εάν ρ lt 1rArr λ lt microγ) Από τα παραπάνω παίρνουμε ότι p(j 1) = ξ

ξ+θ (1minusρ)ρj και p(j 0) = θξ+θ (1minus

ρ)ρj

και άρα μπορούμε να βρούμε το ποσοστό ως εξής

P (Q = n) = pn = P (n 1) + P (n 0) = ρn(1minus ρ)foralln ge 0

δ) Για το μέσο χρόνο παραμονής ενός πελάτη που βρίσκει n πελάτες κατά την

είσοδο του έστω E(Sn) = xn παίρνουμε

E(Sn) = Χρόνος μέχρι αργία ή αποχωρ+P (αργία)lowastχρόνος+P (αποχ)lowastχρόνος

=1

micro+ θ+

θ

micro+ θ(1

ξ+ E(Sn)) +

micro

micro+ θE(Snminus1)

rArr xn =θ

ξmicro+

1

micro+ xnminus1 = (nminus 1)(

θ

microξ+

1

micro)n ge 0

15

21 753

α) Αρχικά δείχνουμε αν η Q(t) είναι αντιστρέψιμη τότε και η XA(t) θα είναι επίσης

αντιστρέψιμη Από το κριτήριο του kolmogorov και την αντιστρεψιμότητα της

αρχικής αλυσίδας παίρνουμε ότι foralli0i1middot middot middotn ισχύει qi0i1 qini0 = qi0in qi1i0 Εφόσον το παραπάνω ισχύει για κάθε κύκλο θα ισχύει και για όλους τους κύκλους

μέσα στην A ιδιαιτέρως διότι qij = qAij για τους κύκλους μέσα στην Α ΄Αρα από

το κριτήριο του Kolmogorov και η XA(t) θα είναι αντιστρέψιμη

A είναι μη κενό άρα υπάρχει στοιχείο i0 isin A Η ιδέα είναι να προσπαθήσουμε

να εκφράσουμε όλα τα στοιχεία του A συναρτήσει των pAi0 και pi ΄Εστω μια άλλη

κατάσταση in isin A τότε ξέρουμε ότι θα ισχύει pAin = pAi0qAi0inqAini0

= pAi0qi0inqini0

=

pAi0pinpi0

το οποίο ισχύει αφενός γιατί οι ρυθμοί μετάβασης εντός του A μένουν

οι ίδιοι αφετέρου γιατί έχουμε θεωρήσει αντιστρέψιμη μαρκοβιανή αλυσίδα ΄Εχει

γίνει η απαραίτητη προεργασία οπότε εύκολα παίρνουμε το ζητούμενο

sumjisinA

pAj = 1rArr pAi0 + pAi1 = middot middot middot = 1rArr pAi0 (sumjisinA

pjpi0

) = 1rArr pAi0 =pi0sumjisinA pj

β) Θα παραθέσουμε το απλούστερο αντιπαράδειγμα που βρέθηκε Ενδεχομένως

η επιλογή των αριθμών να μην είναι ιδανική και η διεργασία έγινε κυρίως με τη βο-

ήθεια του διαγράμματος Θεωρούμε την αλυσίδα με τον εξής πίνακα καταστάσεων

και S = (0 1 2 3)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(1)2 exp( 1

3 )1 0 exp(1)

2 exp( 23 )

2 3 exp( 13 )

0 exp( 23 )

1 exp( 13 )

3 2 exp( 12 )

Στο παραπάνω παράδειγμα είναι προφανές ότι η αρχική μας αλυσίδα είναι

μασχ αλλά δεν είναι αντιστρέψιμη αφού αποτυγχάνει το κριτήριο του kolmogorovστο κύκλο καταστάσεων (012) Πολύ εύκολα μπορεί κάποιος να γράψει τις ε-

ξισώσεις ισορροπίας και να καταλήξει στην εξής κατανομή πιθανότητας p0 =33218 p1 = 30

218 p2 = 87218 p3 = 58

218Θεωρούμε τώρα το γνήσιο μη κενό υποσύνολο του χώρου καταστάσεων της

αρχικής μας αλυσίδας A = (012) Οι εξισώσεις ισορροπίας θα είναι όμοιες απλά

δε θα υπάρχει το p3 ενώ η εξίσωση κανονικοποίησης θα δίνει αυτή τη φορά διαφο-

ρετική μάζα με pA0= 11

50 pA1 = 1050 pA2 = 29

50 ΄Ομως εάν τα αποτελέσματα της

προηγούμενης άσκησης ίσχυαν και για μη αντιστρέψιμες αλυσίδες θα αναμέναμε

να πάρουμε pA0= p0

p0+p1+p1= 33

160 6=1150 και άρα δεν ισχύουν τα προηγούμενα

16

γ) Ως μασχ τύπου γέννησης-θανάτου η M |M |1 θα είναι αντιστρέψιμη

Περιορίζοντας τον χώρο καταστάσεων στο A = (0 1 k) sub S παίρνουμε μία

αλυσίδα τύπου M |M |1|K Από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) συμπερα-

ίνουμε ότι η M |M |1|K θα είναι επίσης αντιστρέψιμη και για τη στάσιμη κατανομή

της εύκολα παίρνουμε ότι

pAj =pjsumki=0 pi

=ρjsumki=0 ρ

i=

ρj

(1minus k)(1minus ρkminus1) j le k

δ) ΗM |M |infin ως μασχ τύπου γέννησης θανάτου (με διαφορετικούς χρόνους

αναχωρήσεων φυσικά) θα είναι αντιστρέψιμη Θεωρούμε τον υπόχωρο καταστάσε-

ωνA = (0 1 k) sub S και ο περιορισμός της αρχικής αλυσίδας γίνεταιM |M |infin|kπου όμως ταυτίζεται με την M |M |k|k αφού πάντα θα εξυπηρετούν το πολύ κ υ-

πηρέτες όμοια με πάνω η αλυσίδα αυτή θα είναι μασχ και για τη στάσιμη

κατανομή

pAj =pjsumki=0 pi

=ρj

jsumki=0

ρi

i

j le k

ε) Θεωρούμε τη διδιάστατη αρχική στοχαστική διαδικασία (Q1(t) Q2(t)) δύο

ανεξάρτητων M |M |1 ουρών χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα Σημειώνουμε

πως λόγω της αμνήμονης ιδιότητας όλες οι μεταβάσεις στις καταστάσεις της θα ε-

ίναι τύπου γέννησης θανάτου και άρα αυτή η αλυσίδα θα είναι αντιστρέψιμη Σημει-

ώνουμε ακόμα πως pij = P (Q1 = i Q2 = j) = pipj = (1minusρ1)(1minusρ2)ρi1ρj2foralli j ge

0Τώρα θεωρούμε το υποσύνολο των καταστάσεωνA = ((0 0) (i j) (k+1 1) (1 k+

1) i + j le k + 1) sub S και παρατηρούμε πως η (Q1(t) Q2(t))A πράγματι μοντε-

λοποιεί την στοχαστική διαδικασία που μας έχει ζητηθεί να μελετήσουμε ενώ

θα είναι αντιστρέψιμη από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) Ακόμα για τη

στάσιμη κατανομή παίρνουμε

pA(ij)= PA(Q1 = i Q2 = j) =

pijsum(ij)isinA pij

=pipjsumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 pij + p(k+11) + p(1k+1)

=

ρi1ρj2sumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 ρi1ρ

j2 + ρk+1

1 ρ2 + ρ1ρk+12

forall(i j) isin A

22 754

΄Εχουμε μια αδιαχώριστη αλυσίδα και μια συνάρτηση πιθανότητας pn (η οποία θα

αθροίζει στη μονάδα και άρα ικανοποιεί την εξίσωση κανονικοποίησης) Από το

θεμελιώδες εργοδικό θεώρημα μασχ η (X(t)) θα έχει τη (pj j isin S) ως

στάσιμη κατανομή εάν pisumj 6=i qij =

sumj 6=i pjqji Πράγματι από τα δεδομένα της

άσκησης παίρνουμε

17

pisumj 6=i

qij = pisumj 6=i

qij =sumj 6=i

piqij =sumj 6=i

pjqji

Για την αντίστροφη αλυσίδα γνωρίζουμε πως θα ισχύει qij = pjqijpi

το οποίο

όμως είναι καλά ορισμένο από τη στάσιμη πιθανότητα και τους ρυθμούς μετάβασης

της αρχικής μας αλυσίδας ΄Αρα πράγματι αυτοί οι ρυθμοί μετάβασης θα ανήκουν

στην αντίστροφη

23 755 (΄Εγινε στο μάθημα)

Από το θεώρημα του Burke έχουμε πως για δεδομένη χρονική στιγμη t τα Q1 Q2

είναι ανεξάρτητα ενώ οι πελάτες θα εισέρχονται στο δεύτερο σύστημα επίσης

σύμφωνα με διαδικασία Poisson ρυθμού λ ΄Αρα

pn1n2 = P (Q1 = n1 Q2 = n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn1ρn2

όπου ρ1 = λmicro1 ρ2 = λ

micro2

24 861 (΄Εγινε στο μάθημα)

Η σδ (Q(t)) προφανώς δεν είναι μασχ αφού δεν είναι όλοι οι χρόνοι μετάβασης

εκθετικοί Ορίζουμε I(t) μία τμ πού μας δείχνει το στάδιο j εξυπηρέτησης

j = 0 1 s και για τη διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) έχουμε

τον εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (11) exp(λ)(1 j) j = 1 sminus 1 (1 j + 1) exp(smicro)

(1 s) 0 exp(smicro)

και τώρα έχει προκύψει μία μασχ Σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας του

συστήματος

λp0 = smicrop1s

smicrop1j = smicrop1j+1 j = 0 1 sminus 1

από τις οποίες έπεται ότι p11 = p12 = middot middot middot = p1s = λmicrop0 και άρα από την

εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 = microλ+micro και p1 =

sumsj=1 p1j = s λ

s(λ+micro) =λ

λ+micro

18

25 862 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

Θέτουμε (I(t) = το πλήθος των πελατών που βρίσκονται στη 1η φάση της ε-

ξυπηρέτησης τους και τότε για τη διδιάστατη σδ (Q(t) I(t)) παίρνουμε πίνακα

μετάβασης ως εξής

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(00) (11) exp(λ)(11) (22) exp(λ)

(10) exp(2micro)(10) (21) exp(λ)

(00) exp(2micro)(22) (21) exp(4micro)(21) (11) exp(2micro)

(20) exp(2micro)(20) (10) exp(4micro)

Τώρα προχωρούμε στη καταγραφή των εξισώσεων ισορροπίας αναλυτικά και

για τις 6 καταστάσεις

λp0 = 2microp(10) (1)

(λ+ 2micro)p(11) = λp0 + 2microp(21) (2)

(λ+ 2micro)p(10) = 2microp(11) + 4microp(20) (3)

4microp(22) = λp(11) (4)

4microp(21) = 4microp(22) + λp(10) (5)

4microp(20) = 2microp(21) (6)

Δυστυχώς η εύρεση της στάσιμης κατανομής είναι μία επίπονη διαδικασία Αρ-

χικά προσπαθούμε να εκφράσουμε όλες τις καταστάσεις ως συναρτήσεις της κα-

τάστασης p0 Συγκεκριμένα (1) rArr p(10) = λ2microp0 (4) rArr p(22) = λ

4microp(11)

(6) rArr p(20) = 12p(21) και άρα μένει να εκφράσουμε τις p(21) p(11) συναρτήσει

της p0 Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις (2) (3) και αφού αντικαταστήσουμε τις

σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω επιλύουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο

αγνώστους Τελικά παίρνουμε p(11) = λ2microp0 και p(21) = λ2

4micro2 p0 τη λύση μας τη

δίνει η εξίσωση κανονικοποίησηςsump = 1harr p0(1 +

λ

2micro+

λ

2micro+

λ2

8micro2+

λ2

4micro2+

λ2

8micro2) = 1

p0 =8micro2

8micro2 + 8λmicro+ 4λ2=

1

1 + ρ+ ρ2

2

΄Οπου ρ = λmicro Τώρα η εύρεση των υπολοίπων πιθανοτήτων είναι τετριμμένη

αφού p1 = p(10) + p(11) = λmicrop0 = ρ

1+ρ+ ρ2

2

ενώ p2 = p(20) + p(21) + p(22) =

4λ2

8micro2 p0 = ρ2

2(1+ρ+ ρ2

2 )

19

26 863

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας πελάτης υπό εξυπηρέτηση ΄Εχουμε τον

εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ)(n i) n = 1 i = 1 sminus 1 (n+ 1 i) exp(λ)

(n i+ 1) exp(smicro)(n s) (n+ 1 s) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(smicro)

Οι εξισώσεις ισορροπίας όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση

της στάσιμης κατανομής εφαρμόζουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκεκριμένα

ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των φάσεων

που μένουν στο σύστημα μέχρι να αδειάσει Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει είναι

η εξής (n i)hArr nsminus (iminus 1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αφίξεων Ms|M |1Δεν έχουμε βρει τη στάσιμη κατανομή της ουράς αυτής στη γενική της πε-

ρίπτωση ΄Εστω ότι είναι η (pn) τότε θα εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανο-

μής του αριθμού των πελατών στο σύστημα συναρτήσει αυτής της pn Δηλαδή

P (Q(t) = n) =sumsi=1 P (Q(t) = n I(t) = i) = P (N(t) = ns minus (i minus 1) =sums

i=1 pnsminus(iminus1) =sum(nsi=(nminus1)s+1 pi

27 864 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας ερχόμενος πελάτης ΄Εχουμε τον εξής

πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 n) (0 n+ 1) exp(kλ)(0 k) (11) exp(kλ)

(mn) n = 0 1 k minus 1 (mn+ 1) exp(kλ)(mminus 1 n) exp(micro)

(m k) (m+ 1 k) exp(kλ)(mminus 1 k) exp(micro)

Εξισώσεις λεπτομερούς ισορροπίας παίρνουμε

kλp(01) = microp(11) (1)

kλp(mn) = microp(m+1n) + kλp(mnminus1) n = 0 1 k(2)

kλp(m1) = kλp(mminus1k) + microp(m+11) (3)

20

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

Τώρα καταλήγουμε στις εξής εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1 + micropr = micro(

rsumi=1

pi) (1)

(λ+ micro)pn = λpnminus1 + micropn+rγια n ge 1(2)

β) για να μπορέσουμε να βρούμε τη συνθήκη ευστάθειας θα χρησιμοποιήσουμε

τη λεγόμενη μέθοδο των πιθανογεννητριών με βοήθεια από τη μιγαδική ανάλυση

(1) +

infinsumn=1

(2)zn

rArr λ

infinsumn=0

pnzn + micro(

infinsumn=0

pnzn minus p0) = zλ

infinsumn=0

pnzn + micro(

rsumi=1

pi) +micro

zr

infinsumn=r+1

pnzn

΄Οπου όμως γνωρίζουμε πως P (z) =suminfinn=0 pnz

nκαι αντικαθιστώντας έχουμε

rArr λP (z)+micro(P (z)minusp0) = zλP (z)+micro(

rsumi=1

pi)+micro

zr(P (z)minusp0minusp1zminusmiddot middot middotminusprzr)

rArr P (z) =micro(p0(zr minus 1) + p1(zr minus z) + middot middot middot+ prminus1(zr minus zrminus1)

(λ+ micro)zr minus λzr+1 minus micro

τελικά θέτοντας ρ = λmicro οδηγούμαστε στην εξής μορφή όπου ο παρονομαστής

είναι πολυώνυμο μεγαλύτερου βαθμού ως προς το z από τον αριθμητή

rArr P (z) =p0(zr minus 1) + p1(zr minus z) + middot middot middot+ prminus1(zr minus zrminus1)

(ρ+ 1)(zr minus ρρ+1z

r+1 minus 1ρ+1

) =N(z)

D(z)

Σε αυτό το σημείο θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το πόρισμα του θεωρήματος

Rouche για να εξετάσουμε κατά πόσο αυτή η συνάρτηση αποδίδει πράγματι μάζα

πιθανότητας στη κατανομή pn ΄Ετσι ορίζουμε μία ακολουθία α(z) =suminfinn=0 z

n

τέτοια ώστε a0 = 1ρ+1 ar+1 = ρ

ρ+1 ai = 0 για i 6= 0 r + 1 και παρατηρούμε

αφενός ότι zn minus α(z) = A(z) = zr minus ρρ+1z

r+1 minus 1ρ+1 αφετέρου ότι

suminfinn=0 αn =

1suminfinn=0 nαn lt infin

suminfinn=0 n

2αn lt infin δηλαδή ισχύουν οι προϋποθέσεις του πο-

ρίσματος

Ακόμα έχουμε ότι α(1) = 1 άρα πρέπει να εξετάσουμε το πολυώνυμο Aprime(z)όπου

Aprime(z) = rzrminus1 minus (r + 1)ρ

ρ+ 1zr rArr Aprime(1) = middot middot middot = r minus ρ

ρ+ 1

το τελευταίο εργαλείο που χρειαζόμαστε για την ανάλυση σε περιπτώσεις είναι

το k = mcd(j minus r aj 6= 0) = mcd(minusr 1) = 1

8

1η περίπτωση λ lt rmicro rArr r gt ρ έχουμε ότι α(1) = 1 Aprime(1) gt 0 άρα απα-

ραίτητα θα έχουμε N minus k = r minus 1 ρίζες μέσα στο μιγαδικό δίσκο (z |z| lt 1)1 ρίζα πάνω στο δίσκο (z |z| = 1) (μέσα και πάνω στο δίσκο έχει νόημα η

πιθανογεννήτρια) και 1 ρίζα εκτός του μοναδιαίου δίσκου Δηλαδή μπορούμε να

γράψουμε

D(z) = c1(z minus z0)(z minus z1) (z minus zrminus1)(z minus 1)

όπου οι r στο πλήθος ρίζες εντός και πάνω στο δίσκο είναι οι z1 zrminus1 1όμως για να συγκλίνει η P (z) θα πρέπει όλες αυτές οι ρίζες του παρονομαστή που

βρίσκονται μέσα και πάνω στο μοναδιαίο κύκλο να είναι και ρίζες του αριθμητή

Δηλαδή N(z) = c1(z minus z1) (z minus zrminus1)(z minus 1)΄Αρα αυτό που απομένει είναι P (z) = c

zminusz0 και λόγω της εξίσωσης κανονικο-

ποίησης απαιτούμε να ισχύει P (1) = 1rArr c = 1minus z0 Τελικά παίρνουμε

P (z) =1minus z0

z minus z0=z0 minus 1

z0

1

1minus zz0

=z0 minus 1

z0

infinsumj=0

(z

z0)j =

infinsumj=0

z0 minus 1

(z0)j+1zj

όπου μπορέσαμε να χρησιμοποιήσαμε τη γεωμετρική σειρά γιατί η λύση z0 είναι

εκτός του δίσκου και άρα | zz0 | lt 1 ΄Αρα έχουμε ότι pn = z0minus1

zn+10

= ( 1z0

)n(1 minus 1z0

)

για n ge 0 δηλαδή έχουμε ότι pn sim Geo( z0minus1z0

) που είναι ευσταθής

2η περίπτωση παρατηρούμε ότι για λ ge rmicro rArr r le ρ από το θεώρημα του

Rouche και αφού Aprime(1) le 1 θα έχουμε r+ 1 στο πλήθος ρίζες πάνω και μέσα στο

μοναδιαίο δίσκο για το πολυώνυμο του παρονομαστή ενώ το πολύ ρ στο πλήθος

ρίζας για το πολυώνυμο του αριθμητή Επομένως η πιθανογεννήτρια θα αποκλίνει

και σε αυτές τις περιπτώσεις το σύστημα μας θα είναι ασταθές Με άλλα λόγια

η συνθήκη που μας δίνεται από την άσκηση είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για

την ευστάθεια του συστήματος μας

16 652 (΄Εγινε στο μάθημα)

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 2 exp(λ)n n+2 exp( cminusnc λ)

n-1 exp(micro)

όλοι οι παραπάνω χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί άρα η Qt) θα είναι μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 = microp2(2)

(λ+ micro)pn = λpnminus2 + micropn+1 n ge 2 (3)

9

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λ+ micro)

infinsumn=0

pnzn minus microp0 =

micro

z(p1z + p2z

2) + micro

infinsumn=2

pn+1zn + λ

infinsumn=2

pnminus2zn

rArr (λ+ micro)zP (z)minus microzp0 = microP (z)minus microp0 + λz3P (z)

όπου αντικαταστήσαμε το σχετικό άθροισμα από την πιθανογεννήτρια P (z)΄Εχουμε ότι

P (z) =microzp0 minus microp0

(λ+ micro)z minus λz3 minus microΔηλαδή καταλήξαμε σε μία έκφραση της πιθανογεννήτριας η οποία περιλαμ-

βάνει μονάχα τα λ micro και p0

γ) μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση το z = 1είναι προφανώς ρίζα και του αριθμητή και του παρονομαστή Θα μπορούσαμε

λοιπόν να παραγονοτοποιήσουμε το παρονομαστή με αυτή τη ρίζα και μετά να

πάρουμε το p0 από την απαίτηση P (1) = 1

P (z) =zp0 minus p0

(ρ+ 1)(z minus ρρ+1z

3 minus 1ρ+1 )

=microp0

minusλz2 minus λz + micro

όμως έχουμε P (1) = 1rArr p0 = microminus2λmicro = 1minus 2ρ Η συνθήκη ευστάθειας τώρα μας

δίνει το εξής p0 gt 0rArr ρ lt 12 Παρατηρούμε πως πρόεκειται για μία αναμενόμενη

συνθήκη ευστάθειας καθώς η άφιξη με ρυθμό λ ομάδων των 2 πελατών είναι

για το πλήθος των πελατών του συστήματος ισοδύναμη με την άφιξη πελατών με

ρυθμό 2λ

δ) Αρχικά κάνουμε τη παρατήρηση ότι αφού οι πελάτες έρχονται σε δυάδες σε

κάθε γκρουπ πελατών ο καθένας θα καταλαμβάνει οποιαδήποτε από τις δύο θέσεις

με πιθανότητα 05 Ακόμα σημειώνουμε πως για να βρεί κάποιος μπροστά του nminus1πελάτες θα πρέπει να είναι είτε ο πρώτος πελάτης σε ένα γκρουπ που βλέπει nminus1πελάτες είτε ο δεύτερος σε ένα γκρουπ που βλέπει n minus 2 πελάτες Τέλος λόγω

της PASTA έχουμε ότι P (agroupn ) = pn Συνδυάζοντας τα παραπάνω παίρνουμε

P (anminus1) = P (agroupnminus1 πρώτος στη σειρά) + P (agroup

nminus2 δεύτερος στη σειρά)

=P (agroup

nminus1 )

2+P (agroup

nminus2 )

2=pnminus1 + pn

2

ε) για λ = 1 micro = 6 παίρνουμε ότι p0 = 1 minus 26 = 2

3 Αντικαθιστώντας στον

τύπου που έχουμε βρει για τη πιθανογεννήτρια και μετά από πράξεις έχουμε

P (z) =4

minusz2 minus z + 6=

minus4

(z + 3)(z minus 2)=

4

5(

1

z + 3minus 1

z minus 2) =

10

Η ιδέα εδώ είναι να προσπαθήσουμε να αντικαταστήσουμε τα δύο αυτά κλάσμα-

τα με τη γεωμετρική σειρά Εφόσον |z| le 1 rArr | z2 | |minusz3 | lt 1 και άρα κάνουμε το

εξής τέχνασμα

P (z) =4

5(1

3

1

1 + z3

+1

2

1

1minus z2

) =4

15

infinsumn=0

(minusz3

)n+6

15

infinsumn=0

(z

2)n

P (z) =

infinsumn=0

(4

15(minus1

3)n +

6

15(1

2)n)zn

και δηλαδή παίρνουμε pn = ( 415 (minus1

3 )n + 615 ( 1

2 )n)foralln isin N

17 653

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 j ge 1 exp(λgj)n n+ j j ge 1 exp(pgjλ)

n-1 exp(micro)

όλοι οι παραπάνω χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί άρα η Qt) θα είναι μασχ

παίρνουμε λοιπόν τις παρακάτων εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(λp+ micro)p1 = microp2 + λg1p0 (2)

(λp+ micro)pn = micropn=1 + λgnp0 +

nminus1sumj=1

λgnminusjppj (3)

β) Για να υπολογίσουμε τη πιθανογεννήτρια ψάχνουμε το εξής άθροισμα

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumn=2

nminus1sumj=1

gnminusjpjzn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumj=1

pjzj

nminus1sumn=j+1

gnminusjznminusj

και τώρα αντικαθιστώντας με τις πιθανογεννήτριες των μέτρων πιθανοτήτων

pn gn δηλαδή P (z) =suminfinn=0 pnz

n G(z) =suminfinn=0 gnz

n =suminfinn=1 gnz

nκαι κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε παίρνουμε

11

P (z) =λp0zG(z)minus λpp0zG(z) + λpp0z + microp0z minus microp0 minus λp0z

zλp+ microz minus microminus λpzG(z)

Σε αυτό το σημείο θυμόμαστε πως ισχύει P (1) = G(1) = 1 από τις ιδιότητες

των πιθανογεννητριών ΄Ομως εαν ο αναγνώστης αποπειραθεί να βρει τη τιμή

της Ρ στο 1 και να λύσει ως προς p0 θα παρατηρήσει ότι καταλήγουμε στην

απροσδιόριστη μορφή00 Επομένως εφαρμόζοντας το κανόνα του LprimeHospital και

θέτοντας m = Gprime(z) καταλήγουμε στο εξής

1 = P (1) =λp0mminus λpp0m+ microp0

microminus λpm

rArr p0 =microminus λpm

λmminus λpm+ micro=

microminus λpmmicrominus λm(1minus p)

όμως το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο αν p0 gt 0 δηλαδή θα πρέπει

τα microminus λpm και λmminus λpm+ micro να είναι ομόσημα Ο παρονομαστής είναι πάντοτε

μεγαλύτερος από τον αριθμητή επομένως για να είναι και τα δύο θετικά αρκεί

να είναι micro minus λpm gt 0 hArr 1 gt ρpm ενώ για να είναι και τα δύο αρνητικά αρκεί

micro minus λm(1 minus p) lt 0 Το δεύτερο σετ λύσεων απορρίπτεται γιάτί 0 lt p lt 1 το

οποίο είναι κάτι πολύ λογικό διαισθητικά

γ) Η πιθανότητα ένας πελάτης να βρει μπροστά του n minus 1 πελάτες ισούται με

την πιθανότητα να βρει το γκρουπ του j πελάτες για 0 le j le n minus 1 αυτός να

είναι ο nminus j πελάτης του γκρουπ του και τελικά να εισέλθει λόγω της PASTAπαίρνουμε

anminus1 =

nminus1sumk=0

αgroupk gnminusk = p0

suminfini=n gisuminfini=1 igi

+ p

nminus1sumk=1

pk

suminfini=nminusk gisuminfini=1 igi

δ) Στη περίπτωση των μεμονωμένων αφίξεων παίρνουμε g1 = 1 gi = 0foralli 6= 1και άρα G(z) = zm = Gprime(z) = g1 = 1 και άρα βρίσκουμε

p0 =microminus λp

λminus λp+ micro

αντικαθιστώντας τώρα τα παραπάνω στο τύπο των πιθανογεννητριών και κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε τα εξής

P (z) = p0

λ(1minus p)(z minus 1)(z + microλ(1minusp) )

minusλp(z minus 1)(z minus microλp )

= p01minus pp

(z +micro

λ(1minus p))

1

1minus z λpmicro

λp

micro

= p0λ(1minus p)

micro(z +

micro

λ(1minus p))

infinsumn=0

(λp

micro)nzn

= p01minus pp

infinsumn=1

(λp

micro)nzn + p0

infinsumn=0

(λp

micro)nzn = p0 +

p0

p

infinsumn=1

(λp

micro)nzn

12

το οποίο προκύπτει μετά από βασανιστικές αλγεβρικές πράξεις καθώς και την

παρατήρηση ότι για m = 1 στη κατάσταση ευστάθειας έχουμε ότιmicroλp gt 1 rArr

|λpmicro z| lt 1 και άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γεωμετρικό άθροισμα Τε-

λικά παίρνουμε την εξής κατανομή

pn =

p0 n = 0

p0(1 + 1p (λpmicro )n) n ge 1

(4)

18 654

α) Αρχικά γράφουε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(1

2λ+ micro)p1 =

λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2(p0 + p1)(3)

β) για να υπολογίσουμε τη κατανομή pn n = 0 1 2 αρχικά συμπεραίνουμε από

την 1 ότι p1 = λmicrop0 ενώ από τη 2 ότι p2 = λ

2microp0(1 + λmicro )

Επομένως από την εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 + p1 + p2 = 1 rArrp0(1 + λ

micro + λ2micro + λ2

2micro2 )rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+λmicro+λ2 και έτσι βρίσκουμε και τα p1 p2

γ) Γνωρίζουμε πως το ποσοστό χαμένων πελατών θα είναι = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (γκρουπ των 2 το γκρουπ να βρει έναν πελάτη ήδη στο σύστημα)+P (να βρει το γκρουπ 2 πελάτες) =12p1 + p2 το οποίο ισχύει λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των δύο ενδεχομένων

δ) Απαντούμε τα ίδια ερωτήματα στη περίπτωση που ένα αφικνούμενο γκρουπ

των 2 ατόμων δε διώχνεται όλο εάν δε χωράει να εισέλθει αλλά γεμίζει πρώτα

το σύστημα και κατόπιν ο δεύτερος πελάτης του γκρουπ αποχωρεί Σε αυτή τη

περίπτωση οι εξισώσεις ισορροπίας είναι τροποποιημένες ως εξής

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 =λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2p0 + λp1(3)

και προτού υπολογίσουμε τις μάζες πιθανότητας παρατηρούμε ότι p1 = λmicrop0 και

από τη 2η εξίσωση ισορροπίας p2 = λmicrop0(λmicro + 1

2 ) Δηλαδή η εξίσωση κανονικοπο-

ίησης τώρα δίνει p0(1 + λmicro + λ2

micro2 + λ2micro ) = 1 rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+2λ2+λmicro ενώ με τις

σχέσεις παραπάνω βρίσκουμε τα p1 p2 Παρατηρούμε ότι σε αυτή τη περίπτωση

το p0 είναι μικρότερο από ότι στο ερώτημα β το οποίο είναι και αναμενόμενο αφού

ουσιαστικά αυξήσαμε τους μηχανισμούς με τους οποίους μεταβαίνει το σύστημα

στη κατάσταση με 2 πελάτες Θα περιμέναμε δηλαδή ένα μικρότερο p0 και ένα

μεγαλύτερο p2 σε σχέση με τα προηγούμενα ερωτήματα

13

Τέλος το ποσοτό χαμένων πελατών = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (να έρθει γκρουπ των 2 ένας πελάτη ήδη στο σύστημα είναι ο δεύτερος σε διάταξη πελάτης)+P (αφικν γκρουπ να βρει 2 πελάτες) = 1

212p1 + p2 = 1

4p1 + p2 το οποίο ισχύει

λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των τριών ενδεχομένων

19 751 (΄Εγινε στο μάθημα)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ2 )

(12) exp(λ2 )(11) 2 exp(λ)

0 exp(micro1)(12) 2 exp(λ)

0 exp(micro2)2 (11) exp(micro2)

(12) exp(micro1)

Παρατηρεί κανείς ότι η τμ Q(t) I(t) με τη δίτιμη τμ Ι(t) να δείχνει ποιος υ-

πηρέτης είναι απασχολημένος στη περίπτωση που έχουμε ένα πελάτη στο σύστημα

είναι μασχ Είναι λογικό να εξετάσουμε την αλυσία ως προς αντιστρεψιμότητα

Πράγματι παρατηρεί κανείς ότι

λ

2λmicro1micro2 =

λ

2λmicro2micro1 harr q0(11)q(11)2q2(12)q(12)0 = q0(12)q(12)2q2(11)q(11)0

και άρα από το κριτήριο του Κολμογοροv στο μοναδικό κύκλο του συστήματος

παίρνουμε αντιστρεψιμότητα Η μάζα πιθανότητας της pn τότε βρίσκεται κατά

τετριμμένο τρόπο από τις παρακάτω σχέσεις και την εξίσωση κανονικοποίησης

p(11) =λ

2micro1p0 p(12) =

λ

2micro2p0 p2 =

λ2

2micro1micro2p0

Και άρα μετά από πράξεις παίρνουμε p0 + p(11) + p(12) + p2 = 1 harr p0 =2micro1micro2

2micro1micro2+2λmicro2+2λmicro1=λ2 Το ποσοστό των χαμένων πελατών θα ισούται με τη πιθα-

νότητα να μην εισέλθει ένας πελάτης άρα λόγω PASTA= p2

20 752 (΄Εγινε στο μάθημα)

α) Θέτουμε I(t) τη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τη τιμή 1 εάν ο υπηρέτης βρίσκε-

ται σε περίοδο λειτουργείας τη στιγμή t και τη τιμή 0 διαφορετικά Τότε έχουμε

τον εξής πίνακα καταστάσεων για τη διδιάστατη τμ (Q(t) I(t))

14

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(n 0) (n 1) exp(ξ)(01) (00) exp(θ)

(11) exp(λ)(n 1) (n 0) exp(θ)

(n+ 1 1) exp(λ)(nminus 1 1) exp(micro)

και άρα θα πρόκειται για μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

ξp(j 0) = θp(j 1)forallj isin N

microp(j 1) = λp(j minus 1 1)forallj isin N

άρα παίρνουμε από τα παραπάνω ότι

p(j 1) =λ

microp(j minus 1 1) = middot middot middot = ρj

ξ

θp(0 0)

p(j 0) = ρjp(0 0)

rArrsumj

p(j 0) +sumj

p(j 1) = 1rArr ξ

θp(0 0)

sumρj + p(0 0)

sumρj = 1

rArr p(0 0) = (ξ

θ

1

1minus ρ+

1

1minus ρ)minus1 =

θ(1minus ρ)

ξ + θ

και το σύστημα θα είναι ευσταθές αν η p(0 0) gt 0 δηλαδή εάν ρ lt 1rArr λ lt microγ) Από τα παραπάνω παίρνουμε ότι p(j 1) = ξ

ξ+θ (1minusρ)ρj και p(j 0) = θξ+θ (1minus

ρ)ρj

και άρα μπορούμε να βρούμε το ποσοστό ως εξής

P (Q = n) = pn = P (n 1) + P (n 0) = ρn(1minus ρ)foralln ge 0

δ) Για το μέσο χρόνο παραμονής ενός πελάτη που βρίσκει n πελάτες κατά την

είσοδο του έστω E(Sn) = xn παίρνουμε

E(Sn) = Χρόνος μέχρι αργία ή αποχωρ+P (αργία)lowastχρόνος+P (αποχ)lowastχρόνος

=1

micro+ θ+

θ

micro+ θ(1

ξ+ E(Sn)) +

micro

micro+ θE(Snminus1)

rArr xn =θ

ξmicro+

1

micro+ xnminus1 = (nminus 1)(

θ

microξ+

1

micro)n ge 0

15

21 753

α) Αρχικά δείχνουμε αν η Q(t) είναι αντιστρέψιμη τότε και η XA(t) θα είναι επίσης

αντιστρέψιμη Από το κριτήριο του kolmogorov και την αντιστρεψιμότητα της

αρχικής αλυσίδας παίρνουμε ότι foralli0i1middot middot middotn ισχύει qi0i1 qini0 = qi0in qi1i0 Εφόσον το παραπάνω ισχύει για κάθε κύκλο θα ισχύει και για όλους τους κύκλους

μέσα στην A ιδιαιτέρως διότι qij = qAij για τους κύκλους μέσα στην Α ΄Αρα από

το κριτήριο του Kolmogorov και η XA(t) θα είναι αντιστρέψιμη

A είναι μη κενό άρα υπάρχει στοιχείο i0 isin A Η ιδέα είναι να προσπαθήσουμε

να εκφράσουμε όλα τα στοιχεία του A συναρτήσει των pAi0 και pi ΄Εστω μια άλλη

κατάσταση in isin A τότε ξέρουμε ότι θα ισχύει pAin = pAi0qAi0inqAini0

= pAi0qi0inqini0

=

pAi0pinpi0

το οποίο ισχύει αφενός γιατί οι ρυθμοί μετάβασης εντός του A μένουν

οι ίδιοι αφετέρου γιατί έχουμε θεωρήσει αντιστρέψιμη μαρκοβιανή αλυσίδα ΄Εχει

γίνει η απαραίτητη προεργασία οπότε εύκολα παίρνουμε το ζητούμενο

sumjisinA

pAj = 1rArr pAi0 + pAi1 = middot middot middot = 1rArr pAi0 (sumjisinA

pjpi0

) = 1rArr pAi0 =pi0sumjisinA pj

β) Θα παραθέσουμε το απλούστερο αντιπαράδειγμα που βρέθηκε Ενδεχομένως

η επιλογή των αριθμών να μην είναι ιδανική και η διεργασία έγινε κυρίως με τη βο-

ήθεια του διαγράμματος Θεωρούμε την αλυσίδα με τον εξής πίνακα καταστάσεων

και S = (0 1 2 3)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(1)2 exp( 1

3 )1 0 exp(1)

2 exp( 23 )

2 3 exp( 13 )

0 exp( 23 )

1 exp( 13 )

3 2 exp( 12 )

Στο παραπάνω παράδειγμα είναι προφανές ότι η αρχική μας αλυσίδα είναι

μασχ αλλά δεν είναι αντιστρέψιμη αφού αποτυγχάνει το κριτήριο του kolmogorovστο κύκλο καταστάσεων (012) Πολύ εύκολα μπορεί κάποιος να γράψει τις ε-

ξισώσεις ισορροπίας και να καταλήξει στην εξής κατανομή πιθανότητας p0 =33218 p1 = 30

218 p2 = 87218 p3 = 58

218Θεωρούμε τώρα το γνήσιο μη κενό υποσύνολο του χώρου καταστάσεων της

αρχικής μας αλυσίδας A = (012) Οι εξισώσεις ισορροπίας θα είναι όμοιες απλά

δε θα υπάρχει το p3 ενώ η εξίσωση κανονικοποίησης θα δίνει αυτή τη φορά διαφο-

ρετική μάζα με pA0= 11

50 pA1 = 1050 pA2 = 29

50 ΄Ομως εάν τα αποτελέσματα της

προηγούμενης άσκησης ίσχυαν και για μη αντιστρέψιμες αλυσίδες θα αναμέναμε

να πάρουμε pA0= p0

p0+p1+p1= 33

160 6=1150 και άρα δεν ισχύουν τα προηγούμενα

16

γ) Ως μασχ τύπου γέννησης-θανάτου η M |M |1 θα είναι αντιστρέψιμη

Περιορίζοντας τον χώρο καταστάσεων στο A = (0 1 k) sub S παίρνουμε μία

αλυσίδα τύπου M |M |1|K Από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) συμπερα-

ίνουμε ότι η M |M |1|K θα είναι επίσης αντιστρέψιμη και για τη στάσιμη κατανομή

της εύκολα παίρνουμε ότι

pAj =pjsumki=0 pi

=ρjsumki=0 ρ

i=

ρj

(1minus k)(1minus ρkminus1) j le k

δ) ΗM |M |infin ως μασχ τύπου γέννησης θανάτου (με διαφορετικούς χρόνους

αναχωρήσεων φυσικά) θα είναι αντιστρέψιμη Θεωρούμε τον υπόχωρο καταστάσε-

ωνA = (0 1 k) sub S και ο περιορισμός της αρχικής αλυσίδας γίνεταιM |M |infin|kπου όμως ταυτίζεται με την M |M |k|k αφού πάντα θα εξυπηρετούν το πολύ κ υ-

πηρέτες όμοια με πάνω η αλυσίδα αυτή θα είναι μασχ και για τη στάσιμη

κατανομή

pAj =pjsumki=0 pi

=ρj

jsumki=0

ρi

i

j le k

ε) Θεωρούμε τη διδιάστατη αρχική στοχαστική διαδικασία (Q1(t) Q2(t)) δύο

ανεξάρτητων M |M |1 ουρών χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα Σημειώνουμε

πως λόγω της αμνήμονης ιδιότητας όλες οι μεταβάσεις στις καταστάσεις της θα ε-

ίναι τύπου γέννησης θανάτου και άρα αυτή η αλυσίδα θα είναι αντιστρέψιμη Σημει-

ώνουμε ακόμα πως pij = P (Q1 = i Q2 = j) = pipj = (1minusρ1)(1minusρ2)ρi1ρj2foralli j ge

0Τώρα θεωρούμε το υποσύνολο των καταστάσεωνA = ((0 0) (i j) (k+1 1) (1 k+

1) i + j le k + 1) sub S και παρατηρούμε πως η (Q1(t) Q2(t))A πράγματι μοντε-

λοποιεί την στοχαστική διαδικασία που μας έχει ζητηθεί να μελετήσουμε ενώ

θα είναι αντιστρέψιμη από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) Ακόμα για τη

στάσιμη κατανομή παίρνουμε

pA(ij)= PA(Q1 = i Q2 = j) =

pijsum(ij)isinA pij

=pipjsumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 pij + p(k+11) + p(1k+1)

=

ρi1ρj2sumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 ρi1ρ

j2 + ρk+1

1 ρ2 + ρ1ρk+12

forall(i j) isin A

22 754

΄Εχουμε μια αδιαχώριστη αλυσίδα και μια συνάρτηση πιθανότητας pn (η οποία θα

αθροίζει στη μονάδα και άρα ικανοποιεί την εξίσωση κανονικοποίησης) Από το

θεμελιώδες εργοδικό θεώρημα μασχ η (X(t)) θα έχει τη (pj j isin S) ως

στάσιμη κατανομή εάν pisumj 6=i qij =

sumj 6=i pjqji Πράγματι από τα δεδομένα της

άσκησης παίρνουμε

17

pisumj 6=i

qij = pisumj 6=i

qij =sumj 6=i

piqij =sumj 6=i

pjqji

Για την αντίστροφη αλυσίδα γνωρίζουμε πως θα ισχύει qij = pjqijpi

το οποίο

όμως είναι καλά ορισμένο από τη στάσιμη πιθανότητα και τους ρυθμούς μετάβασης

της αρχικής μας αλυσίδας ΄Αρα πράγματι αυτοί οι ρυθμοί μετάβασης θα ανήκουν

στην αντίστροφη

23 755 (΄Εγινε στο μάθημα)

Από το θεώρημα του Burke έχουμε πως για δεδομένη χρονική στιγμη t τα Q1 Q2

είναι ανεξάρτητα ενώ οι πελάτες θα εισέρχονται στο δεύτερο σύστημα επίσης

σύμφωνα με διαδικασία Poisson ρυθμού λ ΄Αρα

pn1n2 = P (Q1 = n1 Q2 = n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn1ρn2

όπου ρ1 = λmicro1 ρ2 = λ

micro2

24 861 (΄Εγινε στο μάθημα)

Η σδ (Q(t)) προφανώς δεν είναι μασχ αφού δεν είναι όλοι οι χρόνοι μετάβασης

εκθετικοί Ορίζουμε I(t) μία τμ πού μας δείχνει το στάδιο j εξυπηρέτησης

j = 0 1 s και για τη διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) έχουμε

τον εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (11) exp(λ)(1 j) j = 1 sminus 1 (1 j + 1) exp(smicro)

(1 s) 0 exp(smicro)

και τώρα έχει προκύψει μία μασχ Σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας του

συστήματος

λp0 = smicrop1s

smicrop1j = smicrop1j+1 j = 0 1 sminus 1

από τις οποίες έπεται ότι p11 = p12 = middot middot middot = p1s = λmicrop0 και άρα από την

εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 = microλ+micro και p1 =

sumsj=1 p1j = s λ

s(λ+micro) =λ

λ+micro

18

25 862 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

Θέτουμε (I(t) = το πλήθος των πελατών που βρίσκονται στη 1η φάση της ε-

ξυπηρέτησης τους και τότε για τη διδιάστατη σδ (Q(t) I(t)) παίρνουμε πίνακα

μετάβασης ως εξής

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(00) (11) exp(λ)(11) (22) exp(λ)

(10) exp(2micro)(10) (21) exp(λ)

(00) exp(2micro)(22) (21) exp(4micro)(21) (11) exp(2micro)

(20) exp(2micro)(20) (10) exp(4micro)

Τώρα προχωρούμε στη καταγραφή των εξισώσεων ισορροπίας αναλυτικά και

για τις 6 καταστάσεις

λp0 = 2microp(10) (1)

(λ+ 2micro)p(11) = λp0 + 2microp(21) (2)

(λ+ 2micro)p(10) = 2microp(11) + 4microp(20) (3)

4microp(22) = λp(11) (4)

4microp(21) = 4microp(22) + λp(10) (5)

4microp(20) = 2microp(21) (6)

Δυστυχώς η εύρεση της στάσιμης κατανομής είναι μία επίπονη διαδικασία Αρ-

χικά προσπαθούμε να εκφράσουμε όλες τις καταστάσεις ως συναρτήσεις της κα-

τάστασης p0 Συγκεκριμένα (1) rArr p(10) = λ2microp0 (4) rArr p(22) = λ

4microp(11)

(6) rArr p(20) = 12p(21) και άρα μένει να εκφράσουμε τις p(21) p(11) συναρτήσει

της p0 Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις (2) (3) και αφού αντικαταστήσουμε τις

σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω επιλύουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο

αγνώστους Τελικά παίρνουμε p(11) = λ2microp0 και p(21) = λ2

4micro2 p0 τη λύση μας τη

δίνει η εξίσωση κανονικοποίησηςsump = 1harr p0(1 +

λ

2micro+

λ

2micro+

λ2

8micro2+

λ2

4micro2+

λ2

8micro2) = 1

p0 =8micro2

8micro2 + 8λmicro+ 4λ2=

1

1 + ρ+ ρ2

2

΄Οπου ρ = λmicro Τώρα η εύρεση των υπολοίπων πιθανοτήτων είναι τετριμμένη

αφού p1 = p(10) + p(11) = λmicrop0 = ρ

1+ρ+ ρ2

2

ενώ p2 = p(20) + p(21) + p(22) =

4λ2

8micro2 p0 = ρ2

2(1+ρ+ ρ2

2 )

19

26 863

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας πελάτης υπό εξυπηρέτηση ΄Εχουμε τον

εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ)(n i) n = 1 i = 1 sminus 1 (n+ 1 i) exp(λ)

(n i+ 1) exp(smicro)(n s) (n+ 1 s) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(smicro)

Οι εξισώσεις ισορροπίας όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση

της στάσιμης κατανομής εφαρμόζουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκεκριμένα

ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των φάσεων

που μένουν στο σύστημα μέχρι να αδειάσει Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει είναι

η εξής (n i)hArr nsminus (iminus 1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αφίξεων Ms|M |1Δεν έχουμε βρει τη στάσιμη κατανομή της ουράς αυτής στη γενική της πε-

ρίπτωση ΄Εστω ότι είναι η (pn) τότε θα εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανο-

μής του αριθμού των πελατών στο σύστημα συναρτήσει αυτής της pn Δηλαδή

P (Q(t) = n) =sumsi=1 P (Q(t) = n I(t) = i) = P (N(t) = ns minus (i minus 1) =sums

i=1 pnsminus(iminus1) =sum(nsi=(nminus1)s+1 pi

27 864 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας ερχόμενος πελάτης ΄Εχουμε τον εξής

πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 n) (0 n+ 1) exp(kλ)(0 k) (11) exp(kλ)

(mn) n = 0 1 k minus 1 (mn+ 1) exp(kλ)(mminus 1 n) exp(micro)

(m k) (m+ 1 k) exp(kλ)(mminus 1 k) exp(micro)

Εξισώσεις λεπτομερούς ισορροπίας παίρνουμε

kλp(01) = microp(11) (1)

kλp(mn) = microp(m+1n) + kλp(mnminus1) n = 0 1 k(2)

kλp(m1) = kλp(mminus1k) + microp(m+11) (3)

20

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

1η περίπτωση λ lt rmicro rArr r gt ρ έχουμε ότι α(1) = 1 Aprime(1) gt 0 άρα απα-

ραίτητα θα έχουμε N minus k = r minus 1 ρίζες μέσα στο μιγαδικό δίσκο (z |z| lt 1)1 ρίζα πάνω στο δίσκο (z |z| = 1) (μέσα και πάνω στο δίσκο έχει νόημα η

πιθανογεννήτρια) και 1 ρίζα εκτός του μοναδιαίου δίσκου Δηλαδή μπορούμε να

γράψουμε

D(z) = c1(z minus z0)(z minus z1) (z minus zrminus1)(z minus 1)

όπου οι r στο πλήθος ρίζες εντός και πάνω στο δίσκο είναι οι z1 zrminus1 1όμως για να συγκλίνει η P (z) θα πρέπει όλες αυτές οι ρίζες του παρονομαστή που

βρίσκονται μέσα και πάνω στο μοναδιαίο κύκλο να είναι και ρίζες του αριθμητή

Δηλαδή N(z) = c1(z minus z1) (z minus zrminus1)(z minus 1)΄Αρα αυτό που απομένει είναι P (z) = c

zminusz0 και λόγω της εξίσωσης κανονικο-

ποίησης απαιτούμε να ισχύει P (1) = 1rArr c = 1minus z0 Τελικά παίρνουμε

P (z) =1minus z0

z minus z0=z0 minus 1

z0

1

1minus zz0

=z0 minus 1

z0

infinsumj=0

(z

z0)j =

infinsumj=0

z0 minus 1

(z0)j+1zj

όπου μπορέσαμε να χρησιμοποιήσαμε τη γεωμετρική σειρά γιατί η λύση z0 είναι

εκτός του δίσκου και άρα | zz0 | lt 1 ΄Αρα έχουμε ότι pn = z0minus1

zn+10

= ( 1z0

)n(1 minus 1z0

)

για n ge 0 δηλαδή έχουμε ότι pn sim Geo( z0minus1z0

) που είναι ευσταθής

2η περίπτωση παρατηρούμε ότι για λ ge rmicro rArr r le ρ από το θεώρημα του

Rouche και αφού Aprime(1) le 1 θα έχουμε r+ 1 στο πλήθος ρίζες πάνω και μέσα στο

μοναδιαίο δίσκο για το πολυώνυμο του παρονομαστή ενώ το πολύ ρ στο πλήθος

ρίζας για το πολυώνυμο του αριθμητή Επομένως η πιθανογεννήτρια θα αποκλίνει

και σε αυτές τις περιπτώσεις το σύστημα μας θα είναι ασταθές Με άλλα λόγια

η συνθήκη που μας δίνεται από την άσκηση είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για

την ευστάθεια του συστήματος μας

16 652 (΄Εγινε στο μάθημα)

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 2 exp(λ)n n+2 exp( cminusnc λ)

n-1 exp(micro)

όλοι οι παραπάνω χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί άρα η Qt) θα είναι μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 = microp2(2)

(λ+ micro)pn = λpnminus2 + micropn+1 n ge 2 (3)

9

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λ+ micro)

infinsumn=0

pnzn minus microp0 =

micro

z(p1z + p2z

2) + micro

infinsumn=2

pn+1zn + λ

infinsumn=2

pnminus2zn

rArr (λ+ micro)zP (z)minus microzp0 = microP (z)minus microp0 + λz3P (z)

όπου αντικαταστήσαμε το σχετικό άθροισμα από την πιθανογεννήτρια P (z)΄Εχουμε ότι

P (z) =microzp0 minus microp0

(λ+ micro)z minus λz3 minus microΔηλαδή καταλήξαμε σε μία έκφραση της πιθανογεννήτριας η οποία περιλαμ-

βάνει μονάχα τα λ micro και p0

γ) μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση το z = 1είναι προφανώς ρίζα και του αριθμητή και του παρονομαστή Θα μπορούσαμε

λοιπόν να παραγονοτοποιήσουμε το παρονομαστή με αυτή τη ρίζα και μετά να

πάρουμε το p0 από την απαίτηση P (1) = 1

P (z) =zp0 minus p0

(ρ+ 1)(z minus ρρ+1z

3 minus 1ρ+1 )

=microp0

minusλz2 minus λz + micro

όμως έχουμε P (1) = 1rArr p0 = microminus2λmicro = 1minus 2ρ Η συνθήκη ευστάθειας τώρα μας

δίνει το εξής p0 gt 0rArr ρ lt 12 Παρατηρούμε πως πρόεκειται για μία αναμενόμενη

συνθήκη ευστάθειας καθώς η άφιξη με ρυθμό λ ομάδων των 2 πελατών είναι

για το πλήθος των πελατών του συστήματος ισοδύναμη με την άφιξη πελατών με

ρυθμό 2λ

δ) Αρχικά κάνουμε τη παρατήρηση ότι αφού οι πελάτες έρχονται σε δυάδες σε

κάθε γκρουπ πελατών ο καθένας θα καταλαμβάνει οποιαδήποτε από τις δύο θέσεις

με πιθανότητα 05 Ακόμα σημειώνουμε πως για να βρεί κάποιος μπροστά του nminus1πελάτες θα πρέπει να είναι είτε ο πρώτος πελάτης σε ένα γκρουπ που βλέπει nminus1πελάτες είτε ο δεύτερος σε ένα γκρουπ που βλέπει n minus 2 πελάτες Τέλος λόγω

της PASTA έχουμε ότι P (agroupn ) = pn Συνδυάζοντας τα παραπάνω παίρνουμε

P (anminus1) = P (agroupnminus1 πρώτος στη σειρά) + P (agroup

nminus2 δεύτερος στη σειρά)

=P (agroup

nminus1 )

2+P (agroup

nminus2 )

2=pnminus1 + pn

2

ε) για λ = 1 micro = 6 παίρνουμε ότι p0 = 1 minus 26 = 2

3 Αντικαθιστώντας στον

τύπου που έχουμε βρει για τη πιθανογεννήτρια και μετά από πράξεις έχουμε

P (z) =4

minusz2 minus z + 6=

minus4

(z + 3)(z minus 2)=

4

5(

1

z + 3minus 1

z minus 2) =

10

Η ιδέα εδώ είναι να προσπαθήσουμε να αντικαταστήσουμε τα δύο αυτά κλάσμα-

τα με τη γεωμετρική σειρά Εφόσον |z| le 1 rArr | z2 | |minusz3 | lt 1 και άρα κάνουμε το

εξής τέχνασμα

P (z) =4

5(1

3

1

1 + z3

+1

2

1

1minus z2

) =4

15

infinsumn=0

(minusz3

)n+6

15

infinsumn=0

(z

2)n

P (z) =

infinsumn=0

(4

15(minus1

3)n +

6

15(1

2)n)zn

και δηλαδή παίρνουμε pn = ( 415 (minus1

3 )n + 615 ( 1

2 )n)foralln isin N

17 653

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 j ge 1 exp(λgj)n n+ j j ge 1 exp(pgjλ)

n-1 exp(micro)

όλοι οι παραπάνω χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί άρα η Qt) θα είναι μασχ

παίρνουμε λοιπόν τις παρακάτων εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(λp+ micro)p1 = microp2 + λg1p0 (2)

(λp+ micro)pn = micropn=1 + λgnp0 +

nminus1sumj=1

λgnminusjppj (3)

β) Για να υπολογίσουμε τη πιθανογεννήτρια ψάχνουμε το εξής άθροισμα

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumn=2

nminus1sumj=1

gnminusjpjzn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumj=1

pjzj

nminus1sumn=j+1

gnminusjznminusj

και τώρα αντικαθιστώντας με τις πιθανογεννήτριες των μέτρων πιθανοτήτων

pn gn δηλαδή P (z) =suminfinn=0 pnz

n G(z) =suminfinn=0 gnz

n =suminfinn=1 gnz

nκαι κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε παίρνουμε

11

P (z) =λp0zG(z)minus λpp0zG(z) + λpp0z + microp0z minus microp0 minus λp0z

zλp+ microz minus microminus λpzG(z)

Σε αυτό το σημείο θυμόμαστε πως ισχύει P (1) = G(1) = 1 από τις ιδιότητες

των πιθανογεννητριών ΄Ομως εαν ο αναγνώστης αποπειραθεί να βρει τη τιμή

της Ρ στο 1 και να λύσει ως προς p0 θα παρατηρήσει ότι καταλήγουμε στην

απροσδιόριστη μορφή00 Επομένως εφαρμόζοντας το κανόνα του LprimeHospital και

θέτοντας m = Gprime(z) καταλήγουμε στο εξής

1 = P (1) =λp0mminus λpp0m+ microp0

microminus λpm

rArr p0 =microminus λpm

λmminus λpm+ micro=

microminus λpmmicrominus λm(1minus p)

όμως το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο αν p0 gt 0 δηλαδή θα πρέπει

τα microminus λpm και λmminus λpm+ micro να είναι ομόσημα Ο παρονομαστής είναι πάντοτε

μεγαλύτερος από τον αριθμητή επομένως για να είναι και τα δύο θετικά αρκεί

να είναι micro minus λpm gt 0 hArr 1 gt ρpm ενώ για να είναι και τα δύο αρνητικά αρκεί

micro minus λm(1 minus p) lt 0 Το δεύτερο σετ λύσεων απορρίπτεται γιάτί 0 lt p lt 1 το

οποίο είναι κάτι πολύ λογικό διαισθητικά

γ) Η πιθανότητα ένας πελάτης να βρει μπροστά του n minus 1 πελάτες ισούται με

την πιθανότητα να βρει το γκρουπ του j πελάτες για 0 le j le n minus 1 αυτός να

είναι ο nminus j πελάτης του γκρουπ του και τελικά να εισέλθει λόγω της PASTAπαίρνουμε

anminus1 =

nminus1sumk=0

αgroupk gnminusk = p0

suminfini=n gisuminfini=1 igi

+ p

nminus1sumk=1

pk

suminfini=nminusk gisuminfini=1 igi

δ) Στη περίπτωση των μεμονωμένων αφίξεων παίρνουμε g1 = 1 gi = 0foralli 6= 1και άρα G(z) = zm = Gprime(z) = g1 = 1 και άρα βρίσκουμε

p0 =microminus λp

λminus λp+ micro

αντικαθιστώντας τώρα τα παραπάνω στο τύπο των πιθανογεννητριών και κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε τα εξής

P (z) = p0

λ(1minus p)(z minus 1)(z + microλ(1minusp) )

minusλp(z minus 1)(z minus microλp )

= p01minus pp

(z +micro

λ(1minus p))

1

1minus z λpmicro

λp

micro

= p0λ(1minus p)

micro(z +

micro

λ(1minus p))

infinsumn=0

(λp

micro)nzn

= p01minus pp

infinsumn=1

(λp

micro)nzn + p0

infinsumn=0

(λp

micro)nzn = p0 +

p0

p

infinsumn=1

(λp

micro)nzn

12

το οποίο προκύπτει μετά από βασανιστικές αλγεβρικές πράξεις καθώς και την

παρατήρηση ότι για m = 1 στη κατάσταση ευστάθειας έχουμε ότιmicroλp gt 1 rArr

|λpmicro z| lt 1 και άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γεωμετρικό άθροισμα Τε-

λικά παίρνουμε την εξής κατανομή

pn =

p0 n = 0

p0(1 + 1p (λpmicro )n) n ge 1

(4)

18 654

α) Αρχικά γράφουε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(1

2λ+ micro)p1 =

λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2(p0 + p1)(3)

β) για να υπολογίσουμε τη κατανομή pn n = 0 1 2 αρχικά συμπεραίνουμε από

την 1 ότι p1 = λmicrop0 ενώ από τη 2 ότι p2 = λ

2microp0(1 + λmicro )

Επομένως από την εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 + p1 + p2 = 1 rArrp0(1 + λ

micro + λ2micro + λ2

2micro2 )rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+λmicro+λ2 και έτσι βρίσκουμε και τα p1 p2

γ) Γνωρίζουμε πως το ποσοστό χαμένων πελατών θα είναι = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (γκρουπ των 2 το γκρουπ να βρει έναν πελάτη ήδη στο σύστημα)+P (να βρει το γκρουπ 2 πελάτες) =12p1 + p2 το οποίο ισχύει λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των δύο ενδεχομένων

δ) Απαντούμε τα ίδια ερωτήματα στη περίπτωση που ένα αφικνούμενο γκρουπ

των 2 ατόμων δε διώχνεται όλο εάν δε χωράει να εισέλθει αλλά γεμίζει πρώτα

το σύστημα και κατόπιν ο δεύτερος πελάτης του γκρουπ αποχωρεί Σε αυτή τη

περίπτωση οι εξισώσεις ισορροπίας είναι τροποποιημένες ως εξής

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 =λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2p0 + λp1(3)

και προτού υπολογίσουμε τις μάζες πιθανότητας παρατηρούμε ότι p1 = λmicrop0 και

από τη 2η εξίσωση ισορροπίας p2 = λmicrop0(λmicro + 1

2 ) Δηλαδή η εξίσωση κανονικοπο-

ίησης τώρα δίνει p0(1 + λmicro + λ2

micro2 + λ2micro ) = 1 rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+2λ2+λmicro ενώ με τις

σχέσεις παραπάνω βρίσκουμε τα p1 p2 Παρατηρούμε ότι σε αυτή τη περίπτωση

το p0 είναι μικρότερο από ότι στο ερώτημα β το οποίο είναι και αναμενόμενο αφού

ουσιαστικά αυξήσαμε τους μηχανισμούς με τους οποίους μεταβαίνει το σύστημα

στη κατάσταση με 2 πελάτες Θα περιμέναμε δηλαδή ένα μικρότερο p0 και ένα

μεγαλύτερο p2 σε σχέση με τα προηγούμενα ερωτήματα

13

Τέλος το ποσοτό χαμένων πελατών = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (να έρθει γκρουπ των 2 ένας πελάτη ήδη στο σύστημα είναι ο δεύτερος σε διάταξη πελάτης)+P (αφικν γκρουπ να βρει 2 πελάτες) = 1

212p1 + p2 = 1

4p1 + p2 το οποίο ισχύει

λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των τριών ενδεχομένων

19 751 (΄Εγινε στο μάθημα)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ2 )

(12) exp(λ2 )(11) 2 exp(λ)

0 exp(micro1)(12) 2 exp(λ)

0 exp(micro2)2 (11) exp(micro2)

(12) exp(micro1)

Παρατηρεί κανείς ότι η τμ Q(t) I(t) με τη δίτιμη τμ Ι(t) να δείχνει ποιος υ-

πηρέτης είναι απασχολημένος στη περίπτωση που έχουμε ένα πελάτη στο σύστημα

είναι μασχ Είναι λογικό να εξετάσουμε την αλυσία ως προς αντιστρεψιμότητα

Πράγματι παρατηρεί κανείς ότι

λ

2λmicro1micro2 =

λ

2λmicro2micro1 harr q0(11)q(11)2q2(12)q(12)0 = q0(12)q(12)2q2(11)q(11)0

και άρα από το κριτήριο του Κολμογοροv στο μοναδικό κύκλο του συστήματος

παίρνουμε αντιστρεψιμότητα Η μάζα πιθανότητας της pn τότε βρίσκεται κατά

τετριμμένο τρόπο από τις παρακάτω σχέσεις και την εξίσωση κανονικοποίησης

p(11) =λ

2micro1p0 p(12) =

λ

2micro2p0 p2 =

λ2

2micro1micro2p0

Και άρα μετά από πράξεις παίρνουμε p0 + p(11) + p(12) + p2 = 1 harr p0 =2micro1micro2

2micro1micro2+2λmicro2+2λmicro1=λ2 Το ποσοστό των χαμένων πελατών θα ισούται με τη πιθα-

νότητα να μην εισέλθει ένας πελάτης άρα λόγω PASTA= p2

20 752 (΄Εγινε στο μάθημα)

α) Θέτουμε I(t) τη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τη τιμή 1 εάν ο υπηρέτης βρίσκε-

ται σε περίοδο λειτουργείας τη στιγμή t και τη τιμή 0 διαφορετικά Τότε έχουμε

τον εξής πίνακα καταστάσεων για τη διδιάστατη τμ (Q(t) I(t))

14

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(n 0) (n 1) exp(ξ)(01) (00) exp(θ)

(11) exp(λ)(n 1) (n 0) exp(θ)

(n+ 1 1) exp(λ)(nminus 1 1) exp(micro)

και άρα θα πρόκειται για μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

ξp(j 0) = θp(j 1)forallj isin N

microp(j 1) = λp(j minus 1 1)forallj isin N

άρα παίρνουμε από τα παραπάνω ότι

p(j 1) =λ

microp(j minus 1 1) = middot middot middot = ρj

ξ

θp(0 0)

p(j 0) = ρjp(0 0)

rArrsumj

p(j 0) +sumj

p(j 1) = 1rArr ξ

θp(0 0)

sumρj + p(0 0)

sumρj = 1

rArr p(0 0) = (ξ

θ

1

1minus ρ+

1

1minus ρ)minus1 =

θ(1minus ρ)

ξ + θ

και το σύστημα θα είναι ευσταθές αν η p(0 0) gt 0 δηλαδή εάν ρ lt 1rArr λ lt microγ) Από τα παραπάνω παίρνουμε ότι p(j 1) = ξ

ξ+θ (1minusρ)ρj και p(j 0) = θξ+θ (1minus

ρ)ρj

και άρα μπορούμε να βρούμε το ποσοστό ως εξής

P (Q = n) = pn = P (n 1) + P (n 0) = ρn(1minus ρ)foralln ge 0

δ) Για το μέσο χρόνο παραμονής ενός πελάτη που βρίσκει n πελάτες κατά την

είσοδο του έστω E(Sn) = xn παίρνουμε

E(Sn) = Χρόνος μέχρι αργία ή αποχωρ+P (αργία)lowastχρόνος+P (αποχ)lowastχρόνος

=1

micro+ θ+

θ

micro+ θ(1

ξ+ E(Sn)) +

micro

micro+ θE(Snminus1)

rArr xn =θ

ξmicro+

1

micro+ xnminus1 = (nminus 1)(

θ

microξ+

1

micro)n ge 0

15

21 753

α) Αρχικά δείχνουμε αν η Q(t) είναι αντιστρέψιμη τότε και η XA(t) θα είναι επίσης

αντιστρέψιμη Από το κριτήριο του kolmogorov και την αντιστρεψιμότητα της

αρχικής αλυσίδας παίρνουμε ότι foralli0i1middot middot middotn ισχύει qi0i1 qini0 = qi0in qi1i0 Εφόσον το παραπάνω ισχύει για κάθε κύκλο θα ισχύει και για όλους τους κύκλους

μέσα στην A ιδιαιτέρως διότι qij = qAij για τους κύκλους μέσα στην Α ΄Αρα από

το κριτήριο του Kolmogorov και η XA(t) θα είναι αντιστρέψιμη

A είναι μη κενό άρα υπάρχει στοιχείο i0 isin A Η ιδέα είναι να προσπαθήσουμε

να εκφράσουμε όλα τα στοιχεία του A συναρτήσει των pAi0 και pi ΄Εστω μια άλλη

κατάσταση in isin A τότε ξέρουμε ότι θα ισχύει pAin = pAi0qAi0inqAini0

= pAi0qi0inqini0

=

pAi0pinpi0

το οποίο ισχύει αφενός γιατί οι ρυθμοί μετάβασης εντός του A μένουν

οι ίδιοι αφετέρου γιατί έχουμε θεωρήσει αντιστρέψιμη μαρκοβιανή αλυσίδα ΄Εχει

γίνει η απαραίτητη προεργασία οπότε εύκολα παίρνουμε το ζητούμενο

sumjisinA

pAj = 1rArr pAi0 + pAi1 = middot middot middot = 1rArr pAi0 (sumjisinA

pjpi0

) = 1rArr pAi0 =pi0sumjisinA pj

β) Θα παραθέσουμε το απλούστερο αντιπαράδειγμα που βρέθηκε Ενδεχομένως

η επιλογή των αριθμών να μην είναι ιδανική και η διεργασία έγινε κυρίως με τη βο-

ήθεια του διαγράμματος Θεωρούμε την αλυσίδα με τον εξής πίνακα καταστάσεων

και S = (0 1 2 3)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(1)2 exp( 1

3 )1 0 exp(1)

2 exp( 23 )

2 3 exp( 13 )

0 exp( 23 )

1 exp( 13 )

3 2 exp( 12 )

Στο παραπάνω παράδειγμα είναι προφανές ότι η αρχική μας αλυσίδα είναι

μασχ αλλά δεν είναι αντιστρέψιμη αφού αποτυγχάνει το κριτήριο του kolmogorovστο κύκλο καταστάσεων (012) Πολύ εύκολα μπορεί κάποιος να γράψει τις ε-

ξισώσεις ισορροπίας και να καταλήξει στην εξής κατανομή πιθανότητας p0 =33218 p1 = 30

218 p2 = 87218 p3 = 58

218Θεωρούμε τώρα το γνήσιο μη κενό υποσύνολο του χώρου καταστάσεων της

αρχικής μας αλυσίδας A = (012) Οι εξισώσεις ισορροπίας θα είναι όμοιες απλά

δε θα υπάρχει το p3 ενώ η εξίσωση κανονικοποίησης θα δίνει αυτή τη φορά διαφο-

ρετική μάζα με pA0= 11

50 pA1 = 1050 pA2 = 29

50 ΄Ομως εάν τα αποτελέσματα της

προηγούμενης άσκησης ίσχυαν και για μη αντιστρέψιμες αλυσίδες θα αναμέναμε

να πάρουμε pA0= p0

p0+p1+p1= 33

160 6=1150 και άρα δεν ισχύουν τα προηγούμενα

16

γ) Ως μασχ τύπου γέννησης-θανάτου η M |M |1 θα είναι αντιστρέψιμη

Περιορίζοντας τον χώρο καταστάσεων στο A = (0 1 k) sub S παίρνουμε μία

αλυσίδα τύπου M |M |1|K Από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) συμπερα-

ίνουμε ότι η M |M |1|K θα είναι επίσης αντιστρέψιμη και για τη στάσιμη κατανομή

της εύκολα παίρνουμε ότι

pAj =pjsumki=0 pi

=ρjsumki=0 ρ

i=

ρj

(1minus k)(1minus ρkminus1) j le k

δ) ΗM |M |infin ως μασχ τύπου γέννησης θανάτου (με διαφορετικούς χρόνους

αναχωρήσεων φυσικά) θα είναι αντιστρέψιμη Θεωρούμε τον υπόχωρο καταστάσε-

ωνA = (0 1 k) sub S και ο περιορισμός της αρχικής αλυσίδας γίνεταιM |M |infin|kπου όμως ταυτίζεται με την M |M |k|k αφού πάντα θα εξυπηρετούν το πολύ κ υ-

πηρέτες όμοια με πάνω η αλυσίδα αυτή θα είναι μασχ και για τη στάσιμη

κατανομή

pAj =pjsumki=0 pi

=ρj

jsumki=0

ρi

i

j le k

ε) Θεωρούμε τη διδιάστατη αρχική στοχαστική διαδικασία (Q1(t) Q2(t)) δύο

ανεξάρτητων M |M |1 ουρών χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα Σημειώνουμε

πως λόγω της αμνήμονης ιδιότητας όλες οι μεταβάσεις στις καταστάσεις της θα ε-

ίναι τύπου γέννησης θανάτου και άρα αυτή η αλυσίδα θα είναι αντιστρέψιμη Σημει-

ώνουμε ακόμα πως pij = P (Q1 = i Q2 = j) = pipj = (1minusρ1)(1minusρ2)ρi1ρj2foralli j ge

0Τώρα θεωρούμε το υποσύνολο των καταστάσεωνA = ((0 0) (i j) (k+1 1) (1 k+

1) i + j le k + 1) sub S και παρατηρούμε πως η (Q1(t) Q2(t))A πράγματι μοντε-

λοποιεί την στοχαστική διαδικασία που μας έχει ζητηθεί να μελετήσουμε ενώ

θα είναι αντιστρέψιμη από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) Ακόμα για τη

στάσιμη κατανομή παίρνουμε

pA(ij)= PA(Q1 = i Q2 = j) =

pijsum(ij)isinA pij

=pipjsumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 pij + p(k+11) + p(1k+1)

=

ρi1ρj2sumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 ρi1ρ

j2 + ρk+1

1 ρ2 + ρ1ρk+12

forall(i j) isin A

22 754

΄Εχουμε μια αδιαχώριστη αλυσίδα και μια συνάρτηση πιθανότητας pn (η οποία θα

αθροίζει στη μονάδα και άρα ικανοποιεί την εξίσωση κανονικοποίησης) Από το

θεμελιώδες εργοδικό θεώρημα μασχ η (X(t)) θα έχει τη (pj j isin S) ως

στάσιμη κατανομή εάν pisumj 6=i qij =

sumj 6=i pjqji Πράγματι από τα δεδομένα της

άσκησης παίρνουμε

17

pisumj 6=i

qij = pisumj 6=i

qij =sumj 6=i

piqij =sumj 6=i

pjqji

Για την αντίστροφη αλυσίδα γνωρίζουμε πως θα ισχύει qij = pjqijpi

το οποίο

όμως είναι καλά ορισμένο από τη στάσιμη πιθανότητα και τους ρυθμούς μετάβασης

της αρχικής μας αλυσίδας ΄Αρα πράγματι αυτοί οι ρυθμοί μετάβασης θα ανήκουν

στην αντίστροφη

23 755 (΄Εγινε στο μάθημα)

Από το θεώρημα του Burke έχουμε πως για δεδομένη χρονική στιγμη t τα Q1 Q2

είναι ανεξάρτητα ενώ οι πελάτες θα εισέρχονται στο δεύτερο σύστημα επίσης

σύμφωνα με διαδικασία Poisson ρυθμού λ ΄Αρα

pn1n2 = P (Q1 = n1 Q2 = n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn1ρn2

όπου ρ1 = λmicro1 ρ2 = λ

micro2

24 861 (΄Εγινε στο μάθημα)

Η σδ (Q(t)) προφανώς δεν είναι μασχ αφού δεν είναι όλοι οι χρόνοι μετάβασης

εκθετικοί Ορίζουμε I(t) μία τμ πού μας δείχνει το στάδιο j εξυπηρέτησης

j = 0 1 s και για τη διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) έχουμε

τον εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (11) exp(λ)(1 j) j = 1 sminus 1 (1 j + 1) exp(smicro)

(1 s) 0 exp(smicro)

και τώρα έχει προκύψει μία μασχ Σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας του

συστήματος

λp0 = smicrop1s

smicrop1j = smicrop1j+1 j = 0 1 sminus 1

από τις οποίες έπεται ότι p11 = p12 = middot middot middot = p1s = λmicrop0 και άρα από την

εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 = microλ+micro και p1 =

sumsj=1 p1j = s λ

s(λ+micro) =λ

λ+micro

18

25 862 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

Θέτουμε (I(t) = το πλήθος των πελατών που βρίσκονται στη 1η φάση της ε-

ξυπηρέτησης τους και τότε για τη διδιάστατη σδ (Q(t) I(t)) παίρνουμε πίνακα

μετάβασης ως εξής

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(00) (11) exp(λ)(11) (22) exp(λ)

(10) exp(2micro)(10) (21) exp(λ)

(00) exp(2micro)(22) (21) exp(4micro)(21) (11) exp(2micro)

(20) exp(2micro)(20) (10) exp(4micro)

Τώρα προχωρούμε στη καταγραφή των εξισώσεων ισορροπίας αναλυτικά και

για τις 6 καταστάσεις

λp0 = 2microp(10) (1)

(λ+ 2micro)p(11) = λp0 + 2microp(21) (2)

(λ+ 2micro)p(10) = 2microp(11) + 4microp(20) (3)

4microp(22) = λp(11) (4)

4microp(21) = 4microp(22) + λp(10) (5)

4microp(20) = 2microp(21) (6)

Δυστυχώς η εύρεση της στάσιμης κατανομής είναι μία επίπονη διαδικασία Αρ-

χικά προσπαθούμε να εκφράσουμε όλες τις καταστάσεις ως συναρτήσεις της κα-

τάστασης p0 Συγκεκριμένα (1) rArr p(10) = λ2microp0 (4) rArr p(22) = λ

4microp(11)

(6) rArr p(20) = 12p(21) και άρα μένει να εκφράσουμε τις p(21) p(11) συναρτήσει

της p0 Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις (2) (3) και αφού αντικαταστήσουμε τις

σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω επιλύουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο

αγνώστους Τελικά παίρνουμε p(11) = λ2microp0 και p(21) = λ2

4micro2 p0 τη λύση μας τη

δίνει η εξίσωση κανονικοποίησηςsump = 1harr p0(1 +

λ

2micro+

λ

2micro+

λ2

8micro2+

λ2

4micro2+

λ2

8micro2) = 1

p0 =8micro2

8micro2 + 8λmicro+ 4λ2=

1

1 + ρ+ ρ2

2

΄Οπου ρ = λmicro Τώρα η εύρεση των υπολοίπων πιθανοτήτων είναι τετριμμένη

αφού p1 = p(10) + p(11) = λmicrop0 = ρ

1+ρ+ ρ2

2

ενώ p2 = p(20) + p(21) + p(22) =

4λ2

8micro2 p0 = ρ2

2(1+ρ+ ρ2

2 )

19

26 863

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας πελάτης υπό εξυπηρέτηση ΄Εχουμε τον

εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ)(n i) n = 1 i = 1 sminus 1 (n+ 1 i) exp(λ)

(n i+ 1) exp(smicro)(n s) (n+ 1 s) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(smicro)

Οι εξισώσεις ισορροπίας όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση

της στάσιμης κατανομής εφαρμόζουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκεκριμένα

ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των φάσεων

που μένουν στο σύστημα μέχρι να αδειάσει Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει είναι

η εξής (n i)hArr nsminus (iminus 1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αφίξεων Ms|M |1Δεν έχουμε βρει τη στάσιμη κατανομή της ουράς αυτής στη γενική της πε-

ρίπτωση ΄Εστω ότι είναι η (pn) τότε θα εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανο-

μής του αριθμού των πελατών στο σύστημα συναρτήσει αυτής της pn Δηλαδή

P (Q(t) = n) =sumsi=1 P (Q(t) = n I(t) = i) = P (N(t) = ns minus (i minus 1) =sums

i=1 pnsminus(iminus1) =sum(nsi=(nminus1)s+1 pi

27 864 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας ερχόμενος πελάτης ΄Εχουμε τον εξής

πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 n) (0 n+ 1) exp(kλ)(0 k) (11) exp(kλ)

(mn) n = 0 1 k minus 1 (mn+ 1) exp(kλ)(mminus 1 n) exp(micro)

(m k) (m+ 1 k) exp(kλ)(mminus 1 k) exp(micro)

Εξισώσεις λεπτομερούς ισορροπίας παίρνουμε

kλp(01) = microp(11) (1)

kλp(mn) = microp(m+1n) + kλp(mnminus1) n = 0 1 k(2)

kλp(m1) = kλp(mminus1k) + microp(m+11) (3)

20

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λ+ micro)

infinsumn=0

pnzn minus microp0 =

micro

z(p1z + p2z

2) + micro

infinsumn=2

pn+1zn + λ

infinsumn=2

pnminus2zn

rArr (λ+ micro)zP (z)minus microzp0 = microP (z)minus microp0 + λz3P (z)

όπου αντικαταστήσαμε το σχετικό άθροισμα από την πιθανογεννήτρια P (z)΄Εχουμε ότι

P (z) =microzp0 minus microp0

(λ+ micro)z minus λz3 minus microΔηλαδή καταλήξαμε σε μία έκφραση της πιθανογεννήτριας η οποία περιλαμ-

βάνει μονάχα τα λ micro και p0

γ) μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση το z = 1είναι προφανώς ρίζα και του αριθμητή και του παρονομαστή Θα μπορούσαμε

λοιπόν να παραγονοτοποιήσουμε το παρονομαστή με αυτή τη ρίζα και μετά να

πάρουμε το p0 από την απαίτηση P (1) = 1

P (z) =zp0 minus p0

(ρ+ 1)(z minus ρρ+1z

3 minus 1ρ+1 )

=microp0

minusλz2 minus λz + micro

όμως έχουμε P (1) = 1rArr p0 = microminus2λmicro = 1minus 2ρ Η συνθήκη ευστάθειας τώρα μας

δίνει το εξής p0 gt 0rArr ρ lt 12 Παρατηρούμε πως πρόεκειται για μία αναμενόμενη

συνθήκη ευστάθειας καθώς η άφιξη με ρυθμό λ ομάδων των 2 πελατών είναι

για το πλήθος των πελατών του συστήματος ισοδύναμη με την άφιξη πελατών με

ρυθμό 2λ

δ) Αρχικά κάνουμε τη παρατήρηση ότι αφού οι πελάτες έρχονται σε δυάδες σε

κάθε γκρουπ πελατών ο καθένας θα καταλαμβάνει οποιαδήποτε από τις δύο θέσεις

με πιθανότητα 05 Ακόμα σημειώνουμε πως για να βρεί κάποιος μπροστά του nminus1πελάτες θα πρέπει να είναι είτε ο πρώτος πελάτης σε ένα γκρουπ που βλέπει nminus1πελάτες είτε ο δεύτερος σε ένα γκρουπ που βλέπει n minus 2 πελάτες Τέλος λόγω

της PASTA έχουμε ότι P (agroupn ) = pn Συνδυάζοντας τα παραπάνω παίρνουμε

P (anminus1) = P (agroupnminus1 πρώτος στη σειρά) + P (agroup

nminus2 δεύτερος στη σειρά)

=P (agroup

nminus1 )

2+P (agroup

nminus2 )

2=pnminus1 + pn

2

ε) για λ = 1 micro = 6 παίρνουμε ότι p0 = 1 minus 26 = 2

3 Αντικαθιστώντας στον

τύπου που έχουμε βρει για τη πιθανογεννήτρια και μετά από πράξεις έχουμε

P (z) =4

minusz2 minus z + 6=

minus4

(z + 3)(z minus 2)=

4

5(

1

z + 3minus 1

z minus 2) =

10

Η ιδέα εδώ είναι να προσπαθήσουμε να αντικαταστήσουμε τα δύο αυτά κλάσμα-

τα με τη γεωμετρική σειρά Εφόσον |z| le 1 rArr | z2 | |minusz3 | lt 1 και άρα κάνουμε το

εξής τέχνασμα

P (z) =4

5(1

3

1

1 + z3

+1

2

1

1minus z2

) =4

15

infinsumn=0

(minusz3

)n+6

15

infinsumn=0

(z

2)n

P (z) =

infinsumn=0

(4

15(minus1

3)n +

6

15(1

2)n)zn

και δηλαδή παίρνουμε pn = ( 415 (minus1

3 )n + 615 ( 1

2 )n)foralln isin N

17 653

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 j ge 1 exp(λgj)n n+ j j ge 1 exp(pgjλ)

n-1 exp(micro)

όλοι οι παραπάνω χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί άρα η Qt) θα είναι μασχ

παίρνουμε λοιπόν τις παρακάτων εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(λp+ micro)p1 = microp2 + λg1p0 (2)

(λp+ micro)pn = micropn=1 + λgnp0 +

nminus1sumj=1

λgnminusjppj (3)

β) Για να υπολογίσουμε τη πιθανογεννήτρια ψάχνουμε το εξής άθροισμα

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumn=2

nminus1sumj=1

gnminusjpjzn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumj=1

pjzj

nminus1sumn=j+1

gnminusjznminusj

και τώρα αντικαθιστώντας με τις πιθανογεννήτριες των μέτρων πιθανοτήτων

pn gn δηλαδή P (z) =suminfinn=0 pnz

n G(z) =suminfinn=0 gnz

n =suminfinn=1 gnz

nκαι κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε παίρνουμε

11

P (z) =λp0zG(z)minus λpp0zG(z) + λpp0z + microp0z minus microp0 minus λp0z

zλp+ microz minus microminus λpzG(z)

Σε αυτό το σημείο θυμόμαστε πως ισχύει P (1) = G(1) = 1 από τις ιδιότητες

των πιθανογεννητριών ΄Ομως εαν ο αναγνώστης αποπειραθεί να βρει τη τιμή

της Ρ στο 1 και να λύσει ως προς p0 θα παρατηρήσει ότι καταλήγουμε στην

απροσδιόριστη μορφή00 Επομένως εφαρμόζοντας το κανόνα του LprimeHospital και

θέτοντας m = Gprime(z) καταλήγουμε στο εξής

1 = P (1) =λp0mminus λpp0m+ microp0

microminus λpm

rArr p0 =microminus λpm

λmminus λpm+ micro=

microminus λpmmicrominus λm(1minus p)

όμως το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο αν p0 gt 0 δηλαδή θα πρέπει

τα microminus λpm και λmminus λpm+ micro να είναι ομόσημα Ο παρονομαστής είναι πάντοτε

μεγαλύτερος από τον αριθμητή επομένως για να είναι και τα δύο θετικά αρκεί

να είναι micro minus λpm gt 0 hArr 1 gt ρpm ενώ για να είναι και τα δύο αρνητικά αρκεί

micro minus λm(1 minus p) lt 0 Το δεύτερο σετ λύσεων απορρίπτεται γιάτί 0 lt p lt 1 το

οποίο είναι κάτι πολύ λογικό διαισθητικά

γ) Η πιθανότητα ένας πελάτης να βρει μπροστά του n minus 1 πελάτες ισούται με

την πιθανότητα να βρει το γκρουπ του j πελάτες για 0 le j le n minus 1 αυτός να

είναι ο nminus j πελάτης του γκρουπ του και τελικά να εισέλθει λόγω της PASTAπαίρνουμε

anminus1 =

nminus1sumk=0

αgroupk gnminusk = p0

suminfini=n gisuminfini=1 igi

+ p

nminus1sumk=1

pk

suminfini=nminusk gisuminfini=1 igi

δ) Στη περίπτωση των μεμονωμένων αφίξεων παίρνουμε g1 = 1 gi = 0foralli 6= 1και άρα G(z) = zm = Gprime(z) = g1 = 1 και άρα βρίσκουμε

p0 =microminus λp

λminus λp+ micro

αντικαθιστώντας τώρα τα παραπάνω στο τύπο των πιθανογεννητριών και κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε τα εξής

P (z) = p0

λ(1minus p)(z minus 1)(z + microλ(1minusp) )

minusλp(z minus 1)(z minus microλp )

= p01minus pp

(z +micro

λ(1minus p))

1

1minus z λpmicro

λp

micro

= p0λ(1minus p)

micro(z +

micro

λ(1minus p))

infinsumn=0

(λp

micro)nzn

= p01minus pp

infinsumn=1

(λp

micro)nzn + p0

infinsumn=0

(λp

micro)nzn = p0 +

p0

p

infinsumn=1

(λp

micro)nzn

12

το οποίο προκύπτει μετά από βασανιστικές αλγεβρικές πράξεις καθώς και την

παρατήρηση ότι για m = 1 στη κατάσταση ευστάθειας έχουμε ότιmicroλp gt 1 rArr

|λpmicro z| lt 1 και άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γεωμετρικό άθροισμα Τε-

λικά παίρνουμε την εξής κατανομή

pn =

p0 n = 0

p0(1 + 1p (λpmicro )n) n ge 1

(4)

18 654

α) Αρχικά γράφουε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(1

2λ+ micro)p1 =

λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2(p0 + p1)(3)

β) για να υπολογίσουμε τη κατανομή pn n = 0 1 2 αρχικά συμπεραίνουμε από

την 1 ότι p1 = λmicrop0 ενώ από τη 2 ότι p2 = λ

2microp0(1 + λmicro )

Επομένως από την εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 + p1 + p2 = 1 rArrp0(1 + λ

micro + λ2micro + λ2

2micro2 )rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+λmicro+λ2 και έτσι βρίσκουμε και τα p1 p2

γ) Γνωρίζουμε πως το ποσοστό χαμένων πελατών θα είναι = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (γκρουπ των 2 το γκρουπ να βρει έναν πελάτη ήδη στο σύστημα)+P (να βρει το γκρουπ 2 πελάτες) =12p1 + p2 το οποίο ισχύει λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των δύο ενδεχομένων

δ) Απαντούμε τα ίδια ερωτήματα στη περίπτωση που ένα αφικνούμενο γκρουπ

των 2 ατόμων δε διώχνεται όλο εάν δε χωράει να εισέλθει αλλά γεμίζει πρώτα

το σύστημα και κατόπιν ο δεύτερος πελάτης του γκρουπ αποχωρεί Σε αυτή τη

περίπτωση οι εξισώσεις ισορροπίας είναι τροποποιημένες ως εξής

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 =λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2p0 + λp1(3)

και προτού υπολογίσουμε τις μάζες πιθανότητας παρατηρούμε ότι p1 = λmicrop0 και

από τη 2η εξίσωση ισορροπίας p2 = λmicrop0(λmicro + 1

2 ) Δηλαδή η εξίσωση κανονικοπο-

ίησης τώρα δίνει p0(1 + λmicro + λ2

micro2 + λ2micro ) = 1 rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+2λ2+λmicro ενώ με τις

σχέσεις παραπάνω βρίσκουμε τα p1 p2 Παρατηρούμε ότι σε αυτή τη περίπτωση

το p0 είναι μικρότερο από ότι στο ερώτημα β το οποίο είναι και αναμενόμενο αφού

ουσιαστικά αυξήσαμε τους μηχανισμούς με τους οποίους μεταβαίνει το σύστημα

στη κατάσταση με 2 πελάτες Θα περιμέναμε δηλαδή ένα μικρότερο p0 και ένα

μεγαλύτερο p2 σε σχέση με τα προηγούμενα ερωτήματα

13

Τέλος το ποσοτό χαμένων πελατών = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (να έρθει γκρουπ των 2 ένας πελάτη ήδη στο σύστημα είναι ο δεύτερος σε διάταξη πελάτης)+P (αφικν γκρουπ να βρει 2 πελάτες) = 1

212p1 + p2 = 1

4p1 + p2 το οποίο ισχύει

λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των τριών ενδεχομένων

19 751 (΄Εγινε στο μάθημα)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ2 )

(12) exp(λ2 )(11) 2 exp(λ)

0 exp(micro1)(12) 2 exp(λ)

0 exp(micro2)2 (11) exp(micro2)

(12) exp(micro1)

Παρατηρεί κανείς ότι η τμ Q(t) I(t) με τη δίτιμη τμ Ι(t) να δείχνει ποιος υ-

πηρέτης είναι απασχολημένος στη περίπτωση που έχουμε ένα πελάτη στο σύστημα

είναι μασχ Είναι λογικό να εξετάσουμε την αλυσία ως προς αντιστρεψιμότητα

Πράγματι παρατηρεί κανείς ότι

λ

2λmicro1micro2 =

λ

2λmicro2micro1 harr q0(11)q(11)2q2(12)q(12)0 = q0(12)q(12)2q2(11)q(11)0

και άρα από το κριτήριο του Κολμογοροv στο μοναδικό κύκλο του συστήματος

παίρνουμε αντιστρεψιμότητα Η μάζα πιθανότητας της pn τότε βρίσκεται κατά

τετριμμένο τρόπο από τις παρακάτω σχέσεις και την εξίσωση κανονικοποίησης

p(11) =λ

2micro1p0 p(12) =

λ

2micro2p0 p2 =

λ2

2micro1micro2p0

Και άρα μετά από πράξεις παίρνουμε p0 + p(11) + p(12) + p2 = 1 harr p0 =2micro1micro2

2micro1micro2+2λmicro2+2λmicro1=λ2 Το ποσοστό των χαμένων πελατών θα ισούται με τη πιθα-

νότητα να μην εισέλθει ένας πελάτης άρα λόγω PASTA= p2

20 752 (΄Εγινε στο μάθημα)

α) Θέτουμε I(t) τη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τη τιμή 1 εάν ο υπηρέτης βρίσκε-

ται σε περίοδο λειτουργείας τη στιγμή t και τη τιμή 0 διαφορετικά Τότε έχουμε

τον εξής πίνακα καταστάσεων για τη διδιάστατη τμ (Q(t) I(t))

14

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(n 0) (n 1) exp(ξ)(01) (00) exp(θ)

(11) exp(λ)(n 1) (n 0) exp(θ)

(n+ 1 1) exp(λ)(nminus 1 1) exp(micro)

και άρα θα πρόκειται για μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

ξp(j 0) = θp(j 1)forallj isin N

microp(j 1) = λp(j minus 1 1)forallj isin N

άρα παίρνουμε από τα παραπάνω ότι

p(j 1) =λ

microp(j minus 1 1) = middot middot middot = ρj

ξ

θp(0 0)

p(j 0) = ρjp(0 0)

rArrsumj

p(j 0) +sumj

p(j 1) = 1rArr ξ

θp(0 0)

sumρj + p(0 0)

sumρj = 1

rArr p(0 0) = (ξ

θ

1

1minus ρ+

1

1minus ρ)minus1 =

θ(1minus ρ)

ξ + θ

και το σύστημα θα είναι ευσταθές αν η p(0 0) gt 0 δηλαδή εάν ρ lt 1rArr λ lt microγ) Από τα παραπάνω παίρνουμε ότι p(j 1) = ξ

ξ+θ (1minusρ)ρj και p(j 0) = θξ+θ (1minus

ρ)ρj

και άρα μπορούμε να βρούμε το ποσοστό ως εξής

P (Q = n) = pn = P (n 1) + P (n 0) = ρn(1minus ρ)foralln ge 0

δ) Για το μέσο χρόνο παραμονής ενός πελάτη που βρίσκει n πελάτες κατά την

είσοδο του έστω E(Sn) = xn παίρνουμε

E(Sn) = Χρόνος μέχρι αργία ή αποχωρ+P (αργία)lowastχρόνος+P (αποχ)lowastχρόνος

=1

micro+ θ+

θ

micro+ θ(1

ξ+ E(Sn)) +

micro

micro+ θE(Snminus1)

rArr xn =θ

ξmicro+

1

micro+ xnminus1 = (nminus 1)(

θ

microξ+

1

micro)n ge 0

15

21 753

α) Αρχικά δείχνουμε αν η Q(t) είναι αντιστρέψιμη τότε και η XA(t) θα είναι επίσης

αντιστρέψιμη Από το κριτήριο του kolmogorov και την αντιστρεψιμότητα της

αρχικής αλυσίδας παίρνουμε ότι foralli0i1middot middot middotn ισχύει qi0i1 qini0 = qi0in qi1i0 Εφόσον το παραπάνω ισχύει για κάθε κύκλο θα ισχύει και για όλους τους κύκλους

μέσα στην A ιδιαιτέρως διότι qij = qAij για τους κύκλους μέσα στην Α ΄Αρα από

το κριτήριο του Kolmogorov και η XA(t) θα είναι αντιστρέψιμη

A είναι μη κενό άρα υπάρχει στοιχείο i0 isin A Η ιδέα είναι να προσπαθήσουμε

να εκφράσουμε όλα τα στοιχεία του A συναρτήσει των pAi0 και pi ΄Εστω μια άλλη

κατάσταση in isin A τότε ξέρουμε ότι θα ισχύει pAin = pAi0qAi0inqAini0

= pAi0qi0inqini0

=

pAi0pinpi0

το οποίο ισχύει αφενός γιατί οι ρυθμοί μετάβασης εντός του A μένουν

οι ίδιοι αφετέρου γιατί έχουμε θεωρήσει αντιστρέψιμη μαρκοβιανή αλυσίδα ΄Εχει

γίνει η απαραίτητη προεργασία οπότε εύκολα παίρνουμε το ζητούμενο

sumjisinA

pAj = 1rArr pAi0 + pAi1 = middot middot middot = 1rArr pAi0 (sumjisinA

pjpi0

) = 1rArr pAi0 =pi0sumjisinA pj

β) Θα παραθέσουμε το απλούστερο αντιπαράδειγμα που βρέθηκε Ενδεχομένως

η επιλογή των αριθμών να μην είναι ιδανική και η διεργασία έγινε κυρίως με τη βο-

ήθεια του διαγράμματος Θεωρούμε την αλυσίδα με τον εξής πίνακα καταστάσεων

και S = (0 1 2 3)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(1)2 exp( 1

3 )1 0 exp(1)

2 exp( 23 )

2 3 exp( 13 )

0 exp( 23 )

1 exp( 13 )

3 2 exp( 12 )

Στο παραπάνω παράδειγμα είναι προφανές ότι η αρχική μας αλυσίδα είναι

μασχ αλλά δεν είναι αντιστρέψιμη αφού αποτυγχάνει το κριτήριο του kolmogorovστο κύκλο καταστάσεων (012) Πολύ εύκολα μπορεί κάποιος να γράψει τις ε-

ξισώσεις ισορροπίας και να καταλήξει στην εξής κατανομή πιθανότητας p0 =33218 p1 = 30

218 p2 = 87218 p3 = 58

218Θεωρούμε τώρα το γνήσιο μη κενό υποσύνολο του χώρου καταστάσεων της

αρχικής μας αλυσίδας A = (012) Οι εξισώσεις ισορροπίας θα είναι όμοιες απλά

δε θα υπάρχει το p3 ενώ η εξίσωση κανονικοποίησης θα δίνει αυτή τη φορά διαφο-

ρετική μάζα με pA0= 11

50 pA1 = 1050 pA2 = 29

50 ΄Ομως εάν τα αποτελέσματα της

προηγούμενης άσκησης ίσχυαν και για μη αντιστρέψιμες αλυσίδες θα αναμέναμε

να πάρουμε pA0= p0

p0+p1+p1= 33

160 6=1150 και άρα δεν ισχύουν τα προηγούμενα

16

γ) Ως μασχ τύπου γέννησης-θανάτου η M |M |1 θα είναι αντιστρέψιμη

Περιορίζοντας τον χώρο καταστάσεων στο A = (0 1 k) sub S παίρνουμε μία

αλυσίδα τύπου M |M |1|K Από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) συμπερα-

ίνουμε ότι η M |M |1|K θα είναι επίσης αντιστρέψιμη και για τη στάσιμη κατανομή

της εύκολα παίρνουμε ότι

pAj =pjsumki=0 pi

=ρjsumki=0 ρ

i=

ρj

(1minus k)(1minus ρkminus1) j le k

δ) ΗM |M |infin ως μασχ τύπου γέννησης θανάτου (με διαφορετικούς χρόνους

αναχωρήσεων φυσικά) θα είναι αντιστρέψιμη Θεωρούμε τον υπόχωρο καταστάσε-

ωνA = (0 1 k) sub S και ο περιορισμός της αρχικής αλυσίδας γίνεταιM |M |infin|kπου όμως ταυτίζεται με την M |M |k|k αφού πάντα θα εξυπηρετούν το πολύ κ υ-

πηρέτες όμοια με πάνω η αλυσίδα αυτή θα είναι μασχ και για τη στάσιμη

κατανομή

pAj =pjsumki=0 pi

=ρj

jsumki=0

ρi

i

j le k

ε) Θεωρούμε τη διδιάστατη αρχική στοχαστική διαδικασία (Q1(t) Q2(t)) δύο

ανεξάρτητων M |M |1 ουρών χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα Σημειώνουμε

πως λόγω της αμνήμονης ιδιότητας όλες οι μεταβάσεις στις καταστάσεις της θα ε-

ίναι τύπου γέννησης θανάτου και άρα αυτή η αλυσίδα θα είναι αντιστρέψιμη Σημει-

ώνουμε ακόμα πως pij = P (Q1 = i Q2 = j) = pipj = (1minusρ1)(1minusρ2)ρi1ρj2foralli j ge

0Τώρα θεωρούμε το υποσύνολο των καταστάσεωνA = ((0 0) (i j) (k+1 1) (1 k+

1) i + j le k + 1) sub S και παρατηρούμε πως η (Q1(t) Q2(t))A πράγματι μοντε-

λοποιεί την στοχαστική διαδικασία που μας έχει ζητηθεί να μελετήσουμε ενώ

θα είναι αντιστρέψιμη από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) Ακόμα για τη

στάσιμη κατανομή παίρνουμε

pA(ij)= PA(Q1 = i Q2 = j) =

pijsum(ij)isinA pij

=pipjsumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 pij + p(k+11) + p(1k+1)

=

ρi1ρj2sumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 ρi1ρ

j2 + ρk+1

1 ρ2 + ρ1ρk+12

forall(i j) isin A

22 754

΄Εχουμε μια αδιαχώριστη αλυσίδα και μια συνάρτηση πιθανότητας pn (η οποία θα

αθροίζει στη μονάδα και άρα ικανοποιεί την εξίσωση κανονικοποίησης) Από το

θεμελιώδες εργοδικό θεώρημα μασχ η (X(t)) θα έχει τη (pj j isin S) ως

στάσιμη κατανομή εάν pisumj 6=i qij =

sumj 6=i pjqji Πράγματι από τα δεδομένα της

άσκησης παίρνουμε

17

pisumj 6=i

qij = pisumj 6=i

qij =sumj 6=i

piqij =sumj 6=i

pjqji

Για την αντίστροφη αλυσίδα γνωρίζουμε πως θα ισχύει qij = pjqijpi

το οποίο

όμως είναι καλά ορισμένο από τη στάσιμη πιθανότητα και τους ρυθμούς μετάβασης

της αρχικής μας αλυσίδας ΄Αρα πράγματι αυτοί οι ρυθμοί μετάβασης θα ανήκουν

στην αντίστροφη

23 755 (΄Εγινε στο μάθημα)

Από το θεώρημα του Burke έχουμε πως για δεδομένη χρονική στιγμη t τα Q1 Q2

είναι ανεξάρτητα ενώ οι πελάτες θα εισέρχονται στο δεύτερο σύστημα επίσης

σύμφωνα με διαδικασία Poisson ρυθμού λ ΄Αρα

pn1n2 = P (Q1 = n1 Q2 = n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn1ρn2

όπου ρ1 = λmicro1 ρ2 = λ

micro2

24 861 (΄Εγινε στο μάθημα)

Η σδ (Q(t)) προφανώς δεν είναι μασχ αφού δεν είναι όλοι οι χρόνοι μετάβασης

εκθετικοί Ορίζουμε I(t) μία τμ πού μας δείχνει το στάδιο j εξυπηρέτησης

j = 0 1 s και για τη διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) έχουμε

τον εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (11) exp(λ)(1 j) j = 1 sminus 1 (1 j + 1) exp(smicro)

(1 s) 0 exp(smicro)

και τώρα έχει προκύψει μία μασχ Σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας του

συστήματος

λp0 = smicrop1s

smicrop1j = smicrop1j+1 j = 0 1 sminus 1

από τις οποίες έπεται ότι p11 = p12 = middot middot middot = p1s = λmicrop0 και άρα από την

εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 = microλ+micro και p1 =

sumsj=1 p1j = s λ

s(λ+micro) =λ

λ+micro

18

25 862 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

Θέτουμε (I(t) = το πλήθος των πελατών που βρίσκονται στη 1η φάση της ε-

ξυπηρέτησης τους και τότε για τη διδιάστατη σδ (Q(t) I(t)) παίρνουμε πίνακα

μετάβασης ως εξής

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(00) (11) exp(λ)(11) (22) exp(λ)

(10) exp(2micro)(10) (21) exp(λ)

(00) exp(2micro)(22) (21) exp(4micro)(21) (11) exp(2micro)

(20) exp(2micro)(20) (10) exp(4micro)

Τώρα προχωρούμε στη καταγραφή των εξισώσεων ισορροπίας αναλυτικά και

για τις 6 καταστάσεις

λp0 = 2microp(10) (1)

(λ+ 2micro)p(11) = λp0 + 2microp(21) (2)

(λ+ 2micro)p(10) = 2microp(11) + 4microp(20) (3)

4microp(22) = λp(11) (4)

4microp(21) = 4microp(22) + λp(10) (5)

4microp(20) = 2microp(21) (6)

Δυστυχώς η εύρεση της στάσιμης κατανομής είναι μία επίπονη διαδικασία Αρ-

χικά προσπαθούμε να εκφράσουμε όλες τις καταστάσεις ως συναρτήσεις της κα-

τάστασης p0 Συγκεκριμένα (1) rArr p(10) = λ2microp0 (4) rArr p(22) = λ

4microp(11)

(6) rArr p(20) = 12p(21) και άρα μένει να εκφράσουμε τις p(21) p(11) συναρτήσει

της p0 Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις (2) (3) και αφού αντικαταστήσουμε τις

σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω επιλύουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο

αγνώστους Τελικά παίρνουμε p(11) = λ2microp0 και p(21) = λ2

4micro2 p0 τη λύση μας τη

δίνει η εξίσωση κανονικοποίησηςsump = 1harr p0(1 +

λ

2micro+

λ

2micro+

λ2

8micro2+

λ2

4micro2+

λ2

8micro2) = 1

p0 =8micro2

8micro2 + 8λmicro+ 4λ2=

1

1 + ρ+ ρ2

2

΄Οπου ρ = λmicro Τώρα η εύρεση των υπολοίπων πιθανοτήτων είναι τετριμμένη

αφού p1 = p(10) + p(11) = λmicrop0 = ρ

1+ρ+ ρ2

2

ενώ p2 = p(20) + p(21) + p(22) =

4λ2

8micro2 p0 = ρ2

2(1+ρ+ ρ2

2 )

19

26 863

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας πελάτης υπό εξυπηρέτηση ΄Εχουμε τον

εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ)(n i) n = 1 i = 1 sminus 1 (n+ 1 i) exp(λ)

(n i+ 1) exp(smicro)(n s) (n+ 1 s) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(smicro)

Οι εξισώσεις ισορροπίας όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση

της στάσιμης κατανομής εφαρμόζουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκεκριμένα

ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των φάσεων

που μένουν στο σύστημα μέχρι να αδειάσει Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει είναι

η εξής (n i)hArr nsminus (iminus 1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αφίξεων Ms|M |1Δεν έχουμε βρει τη στάσιμη κατανομή της ουράς αυτής στη γενική της πε-

ρίπτωση ΄Εστω ότι είναι η (pn) τότε θα εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανο-

μής του αριθμού των πελατών στο σύστημα συναρτήσει αυτής της pn Δηλαδή

P (Q(t) = n) =sumsi=1 P (Q(t) = n I(t) = i) = P (N(t) = ns minus (i minus 1) =sums

i=1 pnsminus(iminus1) =sum(nsi=(nminus1)s+1 pi

27 864 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας ερχόμενος πελάτης ΄Εχουμε τον εξής

πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 n) (0 n+ 1) exp(kλ)(0 k) (11) exp(kλ)

(mn) n = 0 1 k minus 1 (mn+ 1) exp(kλ)(mminus 1 n) exp(micro)

(m k) (m+ 1 k) exp(kλ)(mminus 1 k) exp(micro)

Εξισώσεις λεπτομερούς ισορροπίας παίρνουμε

kλp(01) = microp(11) (1)

kλp(mn) = microp(m+1n) + kλp(mnminus1) n = 0 1 k(2)

kλp(m1) = kλp(mminus1k) + microp(m+11) (3)

20

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

Η ιδέα εδώ είναι να προσπαθήσουμε να αντικαταστήσουμε τα δύο αυτά κλάσμα-

τα με τη γεωμετρική σειρά Εφόσον |z| le 1 rArr | z2 | |minusz3 | lt 1 και άρα κάνουμε το

εξής τέχνασμα

P (z) =4

5(1

3

1

1 + z3

+1

2

1

1minus z2

) =4

15

infinsumn=0

(minusz3

)n+6

15

infinsumn=0

(z

2)n

P (z) =

infinsumn=0

(4

15(minus1

3)n +

6

15(1

2)n)zn

και δηλαδή παίρνουμε pn = ( 415 (minus1

3 )n + 615 ( 1

2 )n)foralln isin N

17 653

α)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 j ge 1 exp(λgj)n n+ j j ge 1 exp(pgjλ)

n-1 exp(micro)

όλοι οι παραπάνω χρόνοι μετάβασης είναι εκθετικοί άρα η Qt) θα είναι μασχ

παίρνουμε λοιπόν τις παρακάτων εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(λp+ micro)p1 = microp2 + λg1p0 (2)

(λp+ micro)pn = micropn=1 + λgnp0 +

nminus1sumj=1

λgnminusjppj (3)

β) Για να υπολογίσουμε τη πιθανογεννήτρια ψάχνουμε το εξής άθροισμα

(1) + (2)z +

infinsumn=2

(3)zn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumn=2

nminus1sumj=1

gnminusjpjzn

rArr (λp+micro)

infinsumn=1

pnzn+λp0 =

micro

z(

infinsumn=0

pnznminusp0)+λp0

infinsumn=1

gnzn+λp

infinsumj=1

pjzj

nminus1sumn=j+1

gnminusjznminusj

και τώρα αντικαθιστώντας με τις πιθανογεννήτριες των μέτρων πιθανοτήτων

pn gn δηλαδή P (z) =suminfinn=0 pnz

n G(z) =suminfinn=0 gnz

n =suminfinn=1 gnz

nκαι κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε παίρνουμε

11

P (z) =λp0zG(z)minus λpp0zG(z) + λpp0z + microp0z minus microp0 minus λp0z

zλp+ microz minus microminus λpzG(z)

Σε αυτό το σημείο θυμόμαστε πως ισχύει P (1) = G(1) = 1 από τις ιδιότητες

των πιθανογεννητριών ΄Ομως εαν ο αναγνώστης αποπειραθεί να βρει τη τιμή

της Ρ στο 1 και να λύσει ως προς p0 θα παρατηρήσει ότι καταλήγουμε στην

απροσδιόριστη μορφή00 Επομένως εφαρμόζοντας το κανόνα του LprimeHospital και

θέτοντας m = Gprime(z) καταλήγουμε στο εξής

1 = P (1) =λp0mminus λpp0m+ microp0

microminus λpm

rArr p0 =microminus λpm

λmminus λpm+ micro=

microminus λpmmicrominus λm(1minus p)

όμως το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο αν p0 gt 0 δηλαδή θα πρέπει

τα microminus λpm και λmminus λpm+ micro να είναι ομόσημα Ο παρονομαστής είναι πάντοτε

μεγαλύτερος από τον αριθμητή επομένως για να είναι και τα δύο θετικά αρκεί

να είναι micro minus λpm gt 0 hArr 1 gt ρpm ενώ για να είναι και τα δύο αρνητικά αρκεί

micro minus λm(1 minus p) lt 0 Το δεύτερο σετ λύσεων απορρίπτεται γιάτί 0 lt p lt 1 το

οποίο είναι κάτι πολύ λογικό διαισθητικά

γ) Η πιθανότητα ένας πελάτης να βρει μπροστά του n minus 1 πελάτες ισούται με

την πιθανότητα να βρει το γκρουπ του j πελάτες για 0 le j le n minus 1 αυτός να

είναι ο nminus j πελάτης του γκρουπ του και τελικά να εισέλθει λόγω της PASTAπαίρνουμε

anminus1 =

nminus1sumk=0

αgroupk gnminusk = p0

suminfini=n gisuminfini=1 igi

+ p

nminus1sumk=1

pk

suminfini=nminusk gisuminfini=1 igi

δ) Στη περίπτωση των μεμονωμένων αφίξεων παίρνουμε g1 = 1 gi = 0foralli 6= 1και άρα G(z) = zm = Gprime(z) = g1 = 1 και άρα βρίσκουμε

p0 =microminus λp

λminus λp+ micro

αντικαθιστώντας τώρα τα παραπάνω στο τύπο των πιθανογεννητριών και κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε τα εξής

P (z) = p0

λ(1minus p)(z minus 1)(z + microλ(1minusp) )

minusλp(z minus 1)(z minus microλp )

= p01minus pp

(z +micro

λ(1minus p))

1

1minus z λpmicro

λp

micro

= p0λ(1minus p)

micro(z +

micro

λ(1minus p))

infinsumn=0

(λp

micro)nzn

= p01minus pp

infinsumn=1

(λp

micro)nzn + p0

infinsumn=0

(λp

micro)nzn = p0 +

p0

p

infinsumn=1

(λp

micro)nzn

12

το οποίο προκύπτει μετά από βασανιστικές αλγεβρικές πράξεις καθώς και την

παρατήρηση ότι για m = 1 στη κατάσταση ευστάθειας έχουμε ότιmicroλp gt 1 rArr

|λpmicro z| lt 1 και άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γεωμετρικό άθροισμα Τε-

λικά παίρνουμε την εξής κατανομή

pn =

p0 n = 0

p0(1 + 1p (λpmicro )n) n ge 1

(4)

18 654

α) Αρχικά γράφουε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(1

2λ+ micro)p1 =

λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2(p0 + p1)(3)

β) για να υπολογίσουμε τη κατανομή pn n = 0 1 2 αρχικά συμπεραίνουμε από

την 1 ότι p1 = λmicrop0 ενώ από τη 2 ότι p2 = λ

2microp0(1 + λmicro )

Επομένως από την εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 + p1 + p2 = 1 rArrp0(1 + λ

micro + λ2micro + λ2

2micro2 )rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+λmicro+λ2 και έτσι βρίσκουμε και τα p1 p2

γ) Γνωρίζουμε πως το ποσοστό χαμένων πελατών θα είναι = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (γκρουπ των 2 το γκρουπ να βρει έναν πελάτη ήδη στο σύστημα)+P (να βρει το γκρουπ 2 πελάτες) =12p1 + p2 το οποίο ισχύει λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των δύο ενδεχομένων

δ) Απαντούμε τα ίδια ερωτήματα στη περίπτωση που ένα αφικνούμενο γκρουπ

των 2 ατόμων δε διώχνεται όλο εάν δε χωράει να εισέλθει αλλά γεμίζει πρώτα

το σύστημα και κατόπιν ο δεύτερος πελάτης του γκρουπ αποχωρεί Σε αυτή τη

περίπτωση οι εξισώσεις ισορροπίας είναι τροποποιημένες ως εξής

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 =λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2p0 + λp1(3)

και προτού υπολογίσουμε τις μάζες πιθανότητας παρατηρούμε ότι p1 = λmicrop0 και

από τη 2η εξίσωση ισορροπίας p2 = λmicrop0(λmicro + 1

2 ) Δηλαδή η εξίσωση κανονικοπο-

ίησης τώρα δίνει p0(1 + λmicro + λ2

micro2 + λ2micro ) = 1 rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+2λ2+λmicro ενώ με τις

σχέσεις παραπάνω βρίσκουμε τα p1 p2 Παρατηρούμε ότι σε αυτή τη περίπτωση

το p0 είναι μικρότερο από ότι στο ερώτημα β το οποίο είναι και αναμενόμενο αφού

ουσιαστικά αυξήσαμε τους μηχανισμούς με τους οποίους μεταβαίνει το σύστημα

στη κατάσταση με 2 πελάτες Θα περιμέναμε δηλαδή ένα μικρότερο p0 και ένα

μεγαλύτερο p2 σε σχέση με τα προηγούμενα ερωτήματα

13

Τέλος το ποσοτό χαμένων πελατών = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (να έρθει γκρουπ των 2 ένας πελάτη ήδη στο σύστημα είναι ο δεύτερος σε διάταξη πελάτης)+P (αφικν γκρουπ να βρει 2 πελάτες) = 1

212p1 + p2 = 1

4p1 + p2 το οποίο ισχύει

λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των τριών ενδεχομένων

19 751 (΄Εγινε στο μάθημα)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ2 )

(12) exp(λ2 )(11) 2 exp(λ)

0 exp(micro1)(12) 2 exp(λ)

0 exp(micro2)2 (11) exp(micro2)

(12) exp(micro1)

Παρατηρεί κανείς ότι η τμ Q(t) I(t) με τη δίτιμη τμ Ι(t) να δείχνει ποιος υ-

πηρέτης είναι απασχολημένος στη περίπτωση που έχουμε ένα πελάτη στο σύστημα

είναι μασχ Είναι λογικό να εξετάσουμε την αλυσία ως προς αντιστρεψιμότητα

Πράγματι παρατηρεί κανείς ότι

λ

2λmicro1micro2 =

λ

2λmicro2micro1 harr q0(11)q(11)2q2(12)q(12)0 = q0(12)q(12)2q2(11)q(11)0

και άρα από το κριτήριο του Κολμογοροv στο μοναδικό κύκλο του συστήματος

παίρνουμε αντιστρεψιμότητα Η μάζα πιθανότητας της pn τότε βρίσκεται κατά

τετριμμένο τρόπο από τις παρακάτω σχέσεις και την εξίσωση κανονικοποίησης

p(11) =λ

2micro1p0 p(12) =

λ

2micro2p0 p2 =

λ2

2micro1micro2p0

Και άρα μετά από πράξεις παίρνουμε p0 + p(11) + p(12) + p2 = 1 harr p0 =2micro1micro2

2micro1micro2+2λmicro2+2λmicro1=λ2 Το ποσοστό των χαμένων πελατών θα ισούται με τη πιθα-

νότητα να μην εισέλθει ένας πελάτης άρα λόγω PASTA= p2

20 752 (΄Εγινε στο μάθημα)

α) Θέτουμε I(t) τη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τη τιμή 1 εάν ο υπηρέτης βρίσκε-

ται σε περίοδο λειτουργείας τη στιγμή t και τη τιμή 0 διαφορετικά Τότε έχουμε

τον εξής πίνακα καταστάσεων για τη διδιάστατη τμ (Q(t) I(t))

14

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(n 0) (n 1) exp(ξ)(01) (00) exp(θ)

(11) exp(λ)(n 1) (n 0) exp(θ)

(n+ 1 1) exp(λ)(nminus 1 1) exp(micro)

και άρα θα πρόκειται για μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

ξp(j 0) = θp(j 1)forallj isin N

microp(j 1) = λp(j minus 1 1)forallj isin N

άρα παίρνουμε από τα παραπάνω ότι

p(j 1) =λ

microp(j minus 1 1) = middot middot middot = ρj

ξ

θp(0 0)

p(j 0) = ρjp(0 0)

rArrsumj

p(j 0) +sumj

p(j 1) = 1rArr ξ

θp(0 0)

sumρj + p(0 0)

sumρj = 1

rArr p(0 0) = (ξ

θ

1

1minus ρ+

1

1minus ρ)minus1 =

θ(1minus ρ)

ξ + θ

και το σύστημα θα είναι ευσταθές αν η p(0 0) gt 0 δηλαδή εάν ρ lt 1rArr λ lt microγ) Από τα παραπάνω παίρνουμε ότι p(j 1) = ξ

ξ+θ (1minusρ)ρj και p(j 0) = θξ+θ (1minus

ρ)ρj

και άρα μπορούμε να βρούμε το ποσοστό ως εξής

P (Q = n) = pn = P (n 1) + P (n 0) = ρn(1minus ρ)foralln ge 0

δ) Για το μέσο χρόνο παραμονής ενός πελάτη που βρίσκει n πελάτες κατά την

είσοδο του έστω E(Sn) = xn παίρνουμε

E(Sn) = Χρόνος μέχρι αργία ή αποχωρ+P (αργία)lowastχρόνος+P (αποχ)lowastχρόνος

=1

micro+ θ+

θ

micro+ θ(1

ξ+ E(Sn)) +

micro

micro+ θE(Snminus1)

rArr xn =θ

ξmicro+

1

micro+ xnminus1 = (nminus 1)(

θ

microξ+

1

micro)n ge 0

15

21 753

α) Αρχικά δείχνουμε αν η Q(t) είναι αντιστρέψιμη τότε και η XA(t) θα είναι επίσης

αντιστρέψιμη Από το κριτήριο του kolmogorov και την αντιστρεψιμότητα της

αρχικής αλυσίδας παίρνουμε ότι foralli0i1middot middot middotn ισχύει qi0i1 qini0 = qi0in qi1i0 Εφόσον το παραπάνω ισχύει για κάθε κύκλο θα ισχύει και για όλους τους κύκλους

μέσα στην A ιδιαιτέρως διότι qij = qAij για τους κύκλους μέσα στην Α ΄Αρα από

το κριτήριο του Kolmogorov και η XA(t) θα είναι αντιστρέψιμη

A είναι μη κενό άρα υπάρχει στοιχείο i0 isin A Η ιδέα είναι να προσπαθήσουμε

να εκφράσουμε όλα τα στοιχεία του A συναρτήσει των pAi0 και pi ΄Εστω μια άλλη

κατάσταση in isin A τότε ξέρουμε ότι θα ισχύει pAin = pAi0qAi0inqAini0

= pAi0qi0inqini0

=

pAi0pinpi0

το οποίο ισχύει αφενός γιατί οι ρυθμοί μετάβασης εντός του A μένουν

οι ίδιοι αφετέρου γιατί έχουμε θεωρήσει αντιστρέψιμη μαρκοβιανή αλυσίδα ΄Εχει

γίνει η απαραίτητη προεργασία οπότε εύκολα παίρνουμε το ζητούμενο

sumjisinA

pAj = 1rArr pAi0 + pAi1 = middot middot middot = 1rArr pAi0 (sumjisinA

pjpi0

) = 1rArr pAi0 =pi0sumjisinA pj

β) Θα παραθέσουμε το απλούστερο αντιπαράδειγμα που βρέθηκε Ενδεχομένως

η επιλογή των αριθμών να μην είναι ιδανική και η διεργασία έγινε κυρίως με τη βο-

ήθεια του διαγράμματος Θεωρούμε την αλυσίδα με τον εξής πίνακα καταστάσεων

και S = (0 1 2 3)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(1)2 exp( 1

3 )1 0 exp(1)

2 exp( 23 )

2 3 exp( 13 )

0 exp( 23 )

1 exp( 13 )

3 2 exp( 12 )

Στο παραπάνω παράδειγμα είναι προφανές ότι η αρχική μας αλυσίδα είναι

μασχ αλλά δεν είναι αντιστρέψιμη αφού αποτυγχάνει το κριτήριο του kolmogorovστο κύκλο καταστάσεων (012) Πολύ εύκολα μπορεί κάποιος να γράψει τις ε-

ξισώσεις ισορροπίας και να καταλήξει στην εξής κατανομή πιθανότητας p0 =33218 p1 = 30

218 p2 = 87218 p3 = 58

218Θεωρούμε τώρα το γνήσιο μη κενό υποσύνολο του χώρου καταστάσεων της

αρχικής μας αλυσίδας A = (012) Οι εξισώσεις ισορροπίας θα είναι όμοιες απλά

δε θα υπάρχει το p3 ενώ η εξίσωση κανονικοποίησης θα δίνει αυτή τη φορά διαφο-

ρετική μάζα με pA0= 11

50 pA1 = 1050 pA2 = 29

50 ΄Ομως εάν τα αποτελέσματα της

προηγούμενης άσκησης ίσχυαν και για μη αντιστρέψιμες αλυσίδες θα αναμέναμε

να πάρουμε pA0= p0

p0+p1+p1= 33

160 6=1150 και άρα δεν ισχύουν τα προηγούμενα

16

γ) Ως μασχ τύπου γέννησης-θανάτου η M |M |1 θα είναι αντιστρέψιμη

Περιορίζοντας τον χώρο καταστάσεων στο A = (0 1 k) sub S παίρνουμε μία

αλυσίδα τύπου M |M |1|K Από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) συμπερα-

ίνουμε ότι η M |M |1|K θα είναι επίσης αντιστρέψιμη και για τη στάσιμη κατανομή

της εύκολα παίρνουμε ότι

pAj =pjsumki=0 pi

=ρjsumki=0 ρ

i=

ρj

(1minus k)(1minus ρkminus1) j le k

δ) ΗM |M |infin ως μασχ τύπου γέννησης θανάτου (με διαφορετικούς χρόνους

αναχωρήσεων φυσικά) θα είναι αντιστρέψιμη Θεωρούμε τον υπόχωρο καταστάσε-

ωνA = (0 1 k) sub S και ο περιορισμός της αρχικής αλυσίδας γίνεταιM |M |infin|kπου όμως ταυτίζεται με την M |M |k|k αφού πάντα θα εξυπηρετούν το πολύ κ υ-

πηρέτες όμοια με πάνω η αλυσίδα αυτή θα είναι μασχ και για τη στάσιμη

κατανομή

pAj =pjsumki=0 pi

=ρj

jsumki=0

ρi

i

j le k

ε) Θεωρούμε τη διδιάστατη αρχική στοχαστική διαδικασία (Q1(t) Q2(t)) δύο

ανεξάρτητων M |M |1 ουρών χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα Σημειώνουμε

πως λόγω της αμνήμονης ιδιότητας όλες οι μεταβάσεις στις καταστάσεις της θα ε-

ίναι τύπου γέννησης θανάτου και άρα αυτή η αλυσίδα θα είναι αντιστρέψιμη Σημει-

ώνουμε ακόμα πως pij = P (Q1 = i Q2 = j) = pipj = (1minusρ1)(1minusρ2)ρi1ρj2foralli j ge

0Τώρα θεωρούμε το υποσύνολο των καταστάσεωνA = ((0 0) (i j) (k+1 1) (1 k+

1) i + j le k + 1) sub S και παρατηρούμε πως η (Q1(t) Q2(t))A πράγματι μοντε-

λοποιεί την στοχαστική διαδικασία που μας έχει ζητηθεί να μελετήσουμε ενώ

θα είναι αντιστρέψιμη από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) Ακόμα για τη

στάσιμη κατανομή παίρνουμε

pA(ij)= PA(Q1 = i Q2 = j) =

pijsum(ij)isinA pij

=pipjsumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 pij + p(k+11) + p(1k+1)

=

ρi1ρj2sumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 ρi1ρ

j2 + ρk+1

1 ρ2 + ρ1ρk+12

forall(i j) isin A

22 754

΄Εχουμε μια αδιαχώριστη αλυσίδα και μια συνάρτηση πιθανότητας pn (η οποία θα

αθροίζει στη μονάδα και άρα ικανοποιεί την εξίσωση κανονικοποίησης) Από το

θεμελιώδες εργοδικό θεώρημα μασχ η (X(t)) θα έχει τη (pj j isin S) ως

στάσιμη κατανομή εάν pisumj 6=i qij =

sumj 6=i pjqji Πράγματι από τα δεδομένα της

άσκησης παίρνουμε

17

pisumj 6=i

qij = pisumj 6=i

qij =sumj 6=i

piqij =sumj 6=i

pjqji

Για την αντίστροφη αλυσίδα γνωρίζουμε πως θα ισχύει qij = pjqijpi

το οποίο

όμως είναι καλά ορισμένο από τη στάσιμη πιθανότητα και τους ρυθμούς μετάβασης

της αρχικής μας αλυσίδας ΄Αρα πράγματι αυτοί οι ρυθμοί μετάβασης θα ανήκουν

στην αντίστροφη

23 755 (΄Εγινε στο μάθημα)

Από το θεώρημα του Burke έχουμε πως για δεδομένη χρονική στιγμη t τα Q1 Q2

είναι ανεξάρτητα ενώ οι πελάτες θα εισέρχονται στο δεύτερο σύστημα επίσης

σύμφωνα με διαδικασία Poisson ρυθμού λ ΄Αρα

pn1n2 = P (Q1 = n1 Q2 = n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn1ρn2

όπου ρ1 = λmicro1 ρ2 = λ

micro2

24 861 (΄Εγινε στο μάθημα)

Η σδ (Q(t)) προφανώς δεν είναι μασχ αφού δεν είναι όλοι οι χρόνοι μετάβασης

εκθετικοί Ορίζουμε I(t) μία τμ πού μας δείχνει το στάδιο j εξυπηρέτησης

j = 0 1 s και για τη διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) έχουμε

τον εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (11) exp(λ)(1 j) j = 1 sminus 1 (1 j + 1) exp(smicro)

(1 s) 0 exp(smicro)

και τώρα έχει προκύψει μία μασχ Σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας του

συστήματος

λp0 = smicrop1s

smicrop1j = smicrop1j+1 j = 0 1 sminus 1

από τις οποίες έπεται ότι p11 = p12 = middot middot middot = p1s = λmicrop0 και άρα από την

εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 = microλ+micro και p1 =

sumsj=1 p1j = s λ

s(λ+micro) =λ

λ+micro

18

25 862 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

Θέτουμε (I(t) = το πλήθος των πελατών που βρίσκονται στη 1η φάση της ε-

ξυπηρέτησης τους και τότε για τη διδιάστατη σδ (Q(t) I(t)) παίρνουμε πίνακα

μετάβασης ως εξής

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(00) (11) exp(λ)(11) (22) exp(λ)

(10) exp(2micro)(10) (21) exp(λ)

(00) exp(2micro)(22) (21) exp(4micro)(21) (11) exp(2micro)

(20) exp(2micro)(20) (10) exp(4micro)

Τώρα προχωρούμε στη καταγραφή των εξισώσεων ισορροπίας αναλυτικά και

για τις 6 καταστάσεις

λp0 = 2microp(10) (1)

(λ+ 2micro)p(11) = λp0 + 2microp(21) (2)

(λ+ 2micro)p(10) = 2microp(11) + 4microp(20) (3)

4microp(22) = λp(11) (4)

4microp(21) = 4microp(22) + λp(10) (5)

4microp(20) = 2microp(21) (6)

Δυστυχώς η εύρεση της στάσιμης κατανομής είναι μία επίπονη διαδικασία Αρ-

χικά προσπαθούμε να εκφράσουμε όλες τις καταστάσεις ως συναρτήσεις της κα-

τάστασης p0 Συγκεκριμένα (1) rArr p(10) = λ2microp0 (4) rArr p(22) = λ

4microp(11)

(6) rArr p(20) = 12p(21) και άρα μένει να εκφράσουμε τις p(21) p(11) συναρτήσει

της p0 Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις (2) (3) και αφού αντικαταστήσουμε τις

σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω επιλύουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο

αγνώστους Τελικά παίρνουμε p(11) = λ2microp0 και p(21) = λ2

4micro2 p0 τη λύση μας τη

δίνει η εξίσωση κανονικοποίησηςsump = 1harr p0(1 +

λ

2micro+

λ

2micro+

λ2

8micro2+

λ2

4micro2+

λ2

8micro2) = 1

p0 =8micro2

8micro2 + 8λmicro+ 4λ2=

1

1 + ρ+ ρ2

2

΄Οπου ρ = λmicro Τώρα η εύρεση των υπολοίπων πιθανοτήτων είναι τετριμμένη

αφού p1 = p(10) + p(11) = λmicrop0 = ρ

1+ρ+ ρ2

2

ενώ p2 = p(20) + p(21) + p(22) =

4λ2

8micro2 p0 = ρ2

2(1+ρ+ ρ2

2 )

19

26 863

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας πελάτης υπό εξυπηρέτηση ΄Εχουμε τον

εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ)(n i) n = 1 i = 1 sminus 1 (n+ 1 i) exp(λ)

(n i+ 1) exp(smicro)(n s) (n+ 1 s) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(smicro)

Οι εξισώσεις ισορροπίας όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση

της στάσιμης κατανομής εφαρμόζουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκεκριμένα

ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των φάσεων

που μένουν στο σύστημα μέχρι να αδειάσει Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει είναι

η εξής (n i)hArr nsminus (iminus 1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αφίξεων Ms|M |1Δεν έχουμε βρει τη στάσιμη κατανομή της ουράς αυτής στη γενική της πε-

ρίπτωση ΄Εστω ότι είναι η (pn) τότε θα εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανο-

μής του αριθμού των πελατών στο σύστημα συναρτήσει αυτής της pn Δηλαδή

P (Q(t) = n) =sumsi=1 P (Q(t) = n I(t) = i) = P (N(t) = ns minus (i minus 1) =sums

i=1 pnsminus(iminus1) =sum(nsi=(nminus1)s+1 pi

27 864 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας ερχόμενος πελάτης ΄Εχουμε τον εξής

πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 n) (0 n+ 1) exp(kλ)(0 k) (11) exp(kλ)

(mn) n = 0 1 k minus 1 (mn+ 1) exp(kλ)(mminus 1 n) exp(micro)

(m k) (m+ 1 k) exp(kλ)(mminus 1 k) exp(micro)

Εξισώσεις λεπτομερούς ισορροπίας παίρνουμε

kλp(01) = microp(11) (1)

kλp(mn) = microp(m+1n) + kλp(mnminus1) n = 0 1 k(2)

kλp(m1) = kλp(mminus1k) + microp(m+11) (3)

20

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

P (z) =λp0zG(z)minus λpp0zG(z) + λpp0z + microp0z minus microp0 minus λp0z

zλp+ microz minus microminus λpzG(z)

Σε αυτό το σημείο θυμόμαστε πως ισχύει P (1) = G(1) = 1 από τις ιδιότητες

των πιθανογεννητριών ΄Ομως εαν ο αναγνώστης αποπειραθεί να βρει τη τιμή

της Ρ στο 1 και να λύσει ως προς p0 θα παρατηρήσει ότι καταλήγουμε στην

απροσδιόριστη μορφή00 Επομένως εφαρμόζοντας το κανόνα του LprimeHospital και

θέτοντας m = Gprime(z) καταλήγουμε στο εξής

1 = P (1) =λp0mminus λpp0m+ microp0

microminus λpm

rArr p0 =microminus λpm

λmminus λpm+ micro=

microminus λpmmicrominus λm(1minus p)

όμως το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο αν p0 gt 0 δηλαδή θα πρέπει

τα microminus λpm και λmminus λpm+ micro να είναι ομόσημα Ο παρονομαστής είναι πάντοτε

μεγαλύτερος από τον αριθμητή επομένως για να είναι και τα δύο θετικά αρκεί

να είναι micro minus λpm gt 0 hArr 1 gt ρpm ενώ για να είναι και τα δύο αρνητικά αρκεί

micro minus λm(1 minus p) lt 0 Το δεύτερο σετ λύσεων απορρίπτεται γιάτί 0 lt p lt 1 το

οποίο είναι κάτι πολύ λογικό διαισθητικά

γ) Η πιθανότητα ένας πελάτης να βρει μπροστά του n minus 1 πελάτες ισούται με

την πιθανότητα να βρει το γκρουπ του j πελάτες για 0 le j le n minus 1 αυτός να

είναι ο nminus j πελάτης του γκρουπ του και τελικά να εισέλθει λόγω της PASTAπαίρνουμε

anminus1 =

nminus1sumk=0

αgroupk gnminusk = p0

suminfini=n gisuminfini=1 igi

+ p

nminus1sumk=1

pk

suminfini=nminusk gisuminfini=1 igi

δ) Στη περίπτωση των μεμονωμένων αφίξεων παίρνουμε g1 = 1 gi = 0foralli 6= 1και άρα G(z) = zm = Gprime(z) = g1 = 1 και άρα βρίσκουμε

p0 =microminus λp

λminus λp+ micro

αντικαθιστώντας τώρα τα παραπάνω στο τύπο των πιθανογεννητριών και κάνο-

ντας πράξεις παίρνουμε τα εξής

P (z) = p0

λ(1minus p)(z minus 1)(z + microλ(1minusp) )

minusλp(z minus 1)(z minus microλp )

= p01minus pp

(z +micro

λ(1minus p))

1

1minus z λpmicro

λp

micro

= p0λ(1minus p)

micro(z +

micro

λ(1minus p))

infinsumn=0

(λp

micro)nzn

= p01minus pp

infinsumn=1

(λp

micro)nzn + p0

infinsumn=0

(λp

micro)nzn = p0 +

p0

p

infinsumn=1

(λp

micro)nzn

12

το οποίο προκύπτει μετά από βασανιστικές αλγεβρικές πράξεις καθώς και την

παρατήρηση ότι για m = 1 στη κατάσταση ευστάθειας έχουμε ότιmicroλp gt 1 rArr

|λpmicro z| lt 1 και άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γεωμετρικό άθροισμα Τε-

λικά παίρνουμε την εξής κατανομή

pn =

p0 n = 0

p0(1 + 1p (λpmicro )n) n ge 1

(4)

18 654

α) Αρχικά γράφουε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(1

2λ+ micro)p1 =

λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2(p0 + p1)(3)

β) για να υπολογίσουμε τη κατανομή pn n = 0 1 2 αρχικά συμπεραίνουμε από

την 1 ότι p1 = λmicrop0 ενώ από τη 2 ότι p2 = λ

2microp0(1 + λmicro )

Επομένως από την εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 + p1 + p2 = 1 rArrp0(1 + λ

micro + λ2micro + λ2

2micro2 )rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+λmicro+λ2 και έτσι βρίσκουμε και τα p1 p2

γ) Γνωρίζουμε πως το ποσοστό χαμένων πελατών θα είναι = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (γκρουπ των 2 το γκρουπ να βρει έναν πελάτη ήδη στο σύστημα)+P (να βρει το γκρουπ 2 πελάτες) =12p1 + p2 το οποίο ισχύει λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των δύο ενδεχομένων

δ) Απαντούμε τα ίδια ερωτήματα στη περίπτωση που ένα αφικνούμενο γκρουπ

των 2 ατόμων δε διώχνεται όλο εάν δε χωράει να εισέλθει αλλά γεμίζει πρώτα

το σύστημα και κατόπιν ο δεύτερος πελάτης του γκρουπ αποχωρεί Σε αυτή τη

περίπτωση οι εξισώσεις ισορροπίας είναι τροποποιημένες ως εξής

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 =λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2p0 + λp1(3)

και προτού υπολογίσουμε τις μάζες πιθανότητας παρατηρούμε ότι p1 = λmicrop0 και

από τη 2η εξίσωση ισορροπίας p2 = λmicrop0(λmicro + 1

2 ) Δηλαδή η εξίσωση κανονικοπο-

ίησης τώρα δίνει p0(1 + λmicro + λ2

micro2 + λ2micro ) = 1 rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+2λ2+λmicro ενώ με τις

σχέσεις παραπάνω βρίσκουμε τα p1 p2 Παρατηρούμε ότι σε αυτή τη περίπτωση

το p0 είναι μικρότερο από ότι στο ερώτημα β το οποίο είναι και αναμενόμενο αφού

ουσιαστικά αυξήσαμε τους μηχανισμούς με τους οποίους μεταβαίνει το σύστημα

στη κατάσταση με 2 πελάτες Θα περιμέναμε δηλαδή ένα μικρότερο p0 και ένα

μεγαλύτερο p2 σε σχέση με τα προηγούμενα ερωτήματα

13

Τέλος το ποσοτό χαμένων πελατών = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (να έρθει γκρουπ των 2 ένας πελάτη ήδη στο σύστημα είναι ο δεύτερος σε διάταξη πελάτης)+P (αφικν γκρουπ να βρει 2 πελάτες) = 1

212p1 + p2 = 1

4p1 + p2 το οποίο ισχύει

λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των τριών ενδεχομένων

19 751 (΄Εγινε στο μάθημα)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ2 )

(12) exp(λ2 )(11) 2 exp(λ)

0 exp(micro1)(12) 2 exp(λ)

0 exp(micro2)2 (11) exp(micro2)

(12) exp(micro1)

Παρατηρεί κανείς ότι η τμ Q(t) I(t) με τη δίτιμη τμ Ι(t) να δείχνει ποιος υ-

πηρέτης είναι απασχολημένος στη περίπτωση που έχουμε ένα πελάτη στο σύστημα

είναι μασχ Είναι λογικό να εξετάσουμε την αλυσία ως προς αντιστρεψιμότητα

Πράγματι παρατηρεί κανείς ότι

λ

2λmicro1micro2 =

λ

2λmicro2micro1 harr q0(11)q(11)2q2(12)q(12)0 = q0(12)q(12)2q2(11)q(11)0

και άρα από το κριτήριο του Κολμογοροv στο μοναδικό κύκλο του συστήματος

παίρνουμε αντιστρεψιμότητα Η μάζα πιθανότητας της pn τότε βρίσκεται κατά

τετριμμένο τρόπο από τις παρακάτω σχέσεις και την εξίσωση κανονικοποίησης

p(11) =λ

2micro1p0 p(12) =

λ

2micro2p0 p2 =

λ2

2micro1micro2p0

Και άρα μετά από πράξεις παίρνουμε p0 + p(11) + p(12) + p2 = 1 harr p0 =2micro1micro2

2micro1micro2+2λmicro2+2λmicro1=λ2 Το ποσοστό των χαμένων πελατών θα ισούται με τη πιθα-

νότητα να μην εισέλθει ένας πελάτης άρα λόγω PASTA= p2

20 752 (΄Εγινε στο μάθημα)

α) Θέτουμε I(t) τη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τη τιμή 1 εάν ο υπηρέτης βρίσκε-

ται σε περίοδο λειτουργείας τη στιγμή t και τη τιμή 0 διαφορετικά Τότε έχουμε

τον εξής πίνακα καταστάσεων για τη διδιάστατη τμ (Q(t) I(t))

14

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(n 0) (n 1) exp(ξ)(01) (00) exp(θ)

(11) exp(λ)(n 1) (n 0) exp(θ)

(n+ 1 1) exp(λ)(nminus 1 1) exp(micro)

και άρα θα πρόκειται για μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

ξp(j 0) = θp(j 1)forallj isin N

microp(j 1) = λp(j minus 1 1)forallj isin N

άρα παίρνουμε από τα παραπάνω ότι

p(j 1) =λ

microp(j minus 1 1) = middot middot middot = ρj

ξ

θp(0 0)

p(j 0) = ρjp(0 0)

rArrsumj

p(j 0) +sumj

p(j 1) = 1rArr ξ

θp(0 0)

sumρj + p(0 0)

sumρj = 1

rArr p(0 0) = (ξ

θ

1

1minus ρ+

1

1minus ρ)minus1 =

θ(1minus ρ)

ξ + θ

και το σύστημα θα είναι ευσταθές αν η p(0 0) gt 0 δηλαδή εάν ρ lt 1rArr λ lt microγ) Από τα παραπάνω παίρνουμε ότι p(j 1) = ξ

ξ+θ (1minusρ)ρj και p(j 0) = θξ+θ (1minus

ρ)ρj

και άρα μπορούμε να βρούμε το ποσοστό ως εξής

P (Q = n) = pn = P (n 1) + P (n 0) = ρn(1minus ρ)foralln ge 0

δ) Για το μέσο χρόνο παραμονής ενός πελάτη που βρίσκει n πελάτες κατά την

είσοδο του έστω E(Sn) = xn παίρνουμε

E(Sn) = Χρόνος μέχρι αργία ή αποχωρ+P (αργία)lowastχρόνος+P (αποχ)lowastχρόνος

=1

micro+ θ+

θ

micro+ θ(1

ξ+ E(Sn)) +

micro

micro+ θE(Snminus1)

rArr xn =θ

ξmicro+

1

micro+ xnminus1 = (nminus 1)(

θ

microξ+

1

micro)n ge 0

15

21 753

α) Αρχικά δείχνουμε αν η Q(t) είναι αντιστρέψιμη τότε και η XA(t) θα είναι επίσης

αντιστρέψιμη Από το κριτήριο του kolmogorov και την αντιστρεψιμότητα της

αρχικής αλυσίδας παίρνουμε ότι foralli0i1middot middot middotn ισχύει qi0i1 qini0 = qi0in qi1i0 Εφόσον το παραπάνω ισχύει για κάθε κύκλο θα ισχύει και για όλους τους κύκλους

μέσα στην A ιδιαιτέρως διότι qij = qAij για τους κύκλους μέσα στην Α ΄Αρα από

το κριτήριο του Kolmogorov και η XA(t) θα είναι αντιστρέψιμη

A είναι μη κενό άρα υπάρχει στοιχείο i0 isin A Η ιδέα είναι να προσπαθήσουμε

να εκφράσουμε όλα τα στοιχεία του A συναρτήσει των pAi0 και pi ΄Εστω μια άλλη

κατάσταση in isin A τότε ξέρουμε ότι θα ισχύει pAin = pAi0qAi0inqAini0

= pAi0qi0inqini0

=

pAi0pinpi0

το οποίο ισχύει αφενός γιατί οι ρυθμοί μετάβασης εντός του A μένουν

οι ίδιοι αφετέρου γιατί έχουμε θεωρήσει αντιστρέψιμη μαρκοβιανή αλυσίδα ΄Εχει

γίνει η απαραίτητη προεργασία οπότε εύκολα παίρνουμε το ζητούμενο

sumjisinA

pAj = 1rArr pAi0 + pAi1 = middot middot middot = 1rArr pAi0 (sumjisinA

pjpi0

) = 1rArr pAi0 =pi0sumjisinA pj

β) Θα παραθέσουμε το απλούστερο αντιπαράδειγμα που βρέθηκε Ενδεχομένως

η επιλογή των αριθμών να μην είναι ιδανική και η διεργασία έγινε κυρίως με τη βο-

ήθεια του διαγράμματος Θεωρούμε την αλυσίδα με τον εξής πίνακα καταστάσεων

και S = (0 1 2 3)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(1)2 exp( 1

3 )1 0 exp(1)

2 exp( 23 )

2 3 exp( 13 )

0 exp( 23 )

1 exp( 13 )

3 2 exp( 12 )

Στο παραπάνω παράδειγμα είναι προφανές ότι η αρχική μας αλυσίδα είναι

μασχ αλλά δεν είναι αντιστρέψιμη αφού αποτυγχάνει το κριτήριο του kolmogorovστο κύκλο καταστάσεων (012) Πολύ εύκολα μπορεί κάποιος να γράψει τις ε-

ξισώσεις ισορροπίας και να καταλήξει στην εξής κατανομή πιθανότητας p0 =33218 p1 = 30

218 p2 = 87218 p3 = 58

218Θεωρούμε τώρα το γνήσιο μη κενό υποσύνολο του χώρου καταστάσεων της

αρχικής μας αλυσίδας A = (012) Οι εξισώσεις ισορροπίας θα είναι όμοιες απλά

δε θα υπάρχει το p3 ενώ η εξίσωση κανονικοποίησης θα δίνει αυτή τη φορά διαφο-

ρετική μάζα με pA0= 11

50 pA1 = 1050 pA2 = 29

50 ΄Ομως εάν τα αποτελέσματα της

προηγούμενης άσκησης ίσχυαν και για μη αντιστρέψιμες αλυσίδες θα αναμέναμε

να πάρουμε pA0= p0

p0+p1+p1= 33

160 6=1150 και άρα δεν ισχύουν τα προηγούμενα

16

γ) Ως μασχ τύπου γέννησης-θανάτου η M |M |1 θα είναι αντιστρέψιμη

Περιορίζοντας τον χώρο καταστάσεων στο A = (0 1 k) sub S παίρνουμε μία

αλυσίδα τύπου M |M |1|K Από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) συμπερα-

ίνουμε ότι η M |M |1|K θα είναι επίσης αντιστρέψιμη και για τη στάσιμη κατανομή

της εύκολα παίρνουμε ότι

pAj =pjsumki=0 pi

=ρjsumki=0 ρ

i=

ρj

(1minus k)(1minus ρkminus1) j le k

δ) ΗM |M |infin ως μασχ τύπου γέννησης θανάτου (με διαφορετικούς χρόνους

αναχωρήσεων φυσικά) θα είναι αντιστρέψιμη Θεωρούμε τον υπόχωρο καταστάσε-

ωνA = (0 1 k) sub S και ο περιορισμός της αρχικής αλυσίδας γίνεταιM |M |infin|kπου όμως ταυτίζεται με την M |M |k|k αφού πάντα θα εξυπηρετούν το πολύ κ υ-

πηρέτες όμοια με πάνω η αλυσίδα αυτή θα είναι μασχ και για τη στάσιμη

κατανομή

pAj =pjsumki=0 pi

=ρj

jsumki=0

ρi

i

j le k

ε) Θεωρούμε τη διδιάστατη αρχική στοχαστική διαδικασία (Q1(t) Q2(t)) δύο

ανεξάρτητων M |M |1 ουρών χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα Σημειώνουμε

πως λόγω της αμνήμονης ιδιότητας όλες οι μεταβάσεις στις καταστάσεις της θα ε-

ίναι τύπου γέννησης θανάτου και άρα αυτή η αλυσίδα θα είναι αντιστρέψιμη Σημει-

ώνουμε ακόμα πως pij = P (Q1 = i Q2 = j) = pipj = (1minusρ1)(1minusρ2)ρi1ρj2foralli j ge

0Τώρα θεωρούμε το υποσύνολο των καταστάσεωνA = ((0 0) (i j) (k+1 1) (1 k+

1) i + j le k + 1) sub S και παρατηρούμε πως η (Q1(t) Q2(t))A πράγματι μοντε-

λοποιεί την στοχαστική διαδικασία που μας έχει ζητηθεί να μελετήσουμε ενώ

θα είναι αντιστρέψιμη από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) Ακόμα για τη

στάσιμη κατανομή παίρνουμε

pA(ij)= PA(Q1 = i Q2 = j) =

pijsum(ij)isinA pij

=pipjsumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 pij + p(k+11) + p(1k+1)

=

ρi1ρj2sumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 ρi1ρ

j2 + ρk+1

1 ρ2 + ρ1ρk+12

forall(i j) isin A

22 754

΄Εχουμε μια αδιαχώριστη αλυσίδα και μια συνάρτηση πιθανότητας pn (η οποία θα

αθροίζει στη μονάδα και άρα ικανοποιεί την εξίσωση κανονικοποίησης) Από το

θεμελιώδες εργοδικό θεώρημα μασχ η (X(t)) θα έχει τη (pj j isin S) ως

στάσιμη κατανομή εάν pisumj 6=i qij =

sumj 6=i pjqji Πράγματι από τα δεδομένα της

άσκησης παίρνουμε

17

pisumj 6=i

qij = pisumj 6=i

qij =sumj 6=i

piqij =sumj 6=i

pjqji

Για την αντίστροφη αλυσίδα γνωρίζουμε πως θα ισχύει qij = pjqijpi

το οποίο

όμως είναι καλά ορισμένο από τη στάσιμη πιθανότητα και τους ρυθμούς μετάβασης

της αρχικής μας αλυσίδας ΄Αρα πράγματι αυτοί οι ρυθμοί μετάβασης θα ανήκουν

στην αντίστροφη

23 755 (΄Εγινε στο μάθημα)

Από το θεώρημα του Burke έχουμε πως για δεδομένη χρονική στιγμη t τα Q1 Q2

είναι ανεξάρτητα ενώ οι πελάτες θα εισέρχονται στο δεύτερο σύστημα επίσης

σύμφωνα με διαδικασία Poisson ρυθμού λ ΄Αρα

pn1n2 = P (Q1 = n1 Q2 = n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn1ρn2

όπου ρ1 = λmicro1 ρ2 = λ

micro2

24 861 (΄Εγινε στο μάθημα)

Η σδ (Q(t)) προφανώς δεν είναι μασχ αφού δεν είναι όλοι οι χρόνοι μετάβασης

εκθετικοί Ορίζουμε I(t) μία τμ πού μας δείχνει το στάδιο j εξυπηρέτησης

j = 0 1 s και για τη διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) έχουμε

τον εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (11) exp(λ)(1 j) j = 1 sminus 1 (1 j + 1) exp(smicro)

(1 s) 0 exp(smicro)

και τώρα έχει προκύψει μία μασχ Σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας του

συστήματος

λp0 = smicrop1s

smicrop1j = smicrop1j+1 j = 0 1 sminus 1

από τις οποίες έπεται ότι p11 = p12 = middot middot middot = p1s = λmicrop0 και άρα από την

εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 = microλ+micro και p1 =

sumsj=1 p1j = s λ

s(λ+micro) =λ

λ+micro

18

25 862 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

Θέτουμε (I(t) = το πλήθος των πελατών που βρίσκονται στη 1η φάση της ε-

ξυπηρέτησης τους και τότε για τη διδιάστατη σδ (Q(t) I(t)) παίρνουμε πίνακα

μετάβασης ως εξής

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(00) (11) exp(λ)(11) (22) exp(λ)

(10) exp(2micro)(10) (21) exp(λ)

(00) exp(2micro)(22) (21) exp(4micro)(21) (11) exp(2micro)

(20) exp(2micro)(20) (10) exp(4micro)

Τώρα προχωρούμε στη καταγραφή των εξισώσεων ισορροπίας αναλυτικά και

για τις 6 καταστάσεις

λp0 = 2microp(10) (1)

(λ+ 2micro)p(11) = λp0 + 2microp(21) (2)

(λ+ 2micro)p(10) = 2microp(11) + 4microp(20) (3)

4microp(22) = λp(11) (4)

4microp(21) = 4microp(22) + λp(10) (5)

4microp(20) = 2microp(21) (6)

Δυστυχώς η εύρεση της στάσιμης κατανομής είναι μία επίπονη διαδικασία Αρ-

χικά προσπαθούμε να εκφράσουμε όλες τις καταστάσεις ως συναρτήσεις της κα-

τάστασης p0 Συγκεκριμένα (1) rArr p(10) = λ2microp0 (4) rArr p(22) = λ

4microp(11)

(6) rArr p(20) = 12p(21) και άρα μένει να εκφράσουμε τις p(21) p(11) συναρτήσει

της p0 Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις (2) (3) και αφού αντικαταστήσουμε τις

σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω επιλύουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο

αγνώστους Τελικά παίρνουμε p(11) = λ2microp0 και p(21) = λ2

4micro2 p0 τη λύση μας τη

δίνει η εξίσωση κανονικοποίησηςsump = 1harr p0(1 +

λ

2micro+

λ

2micro+

λ2

8micro2+

λ2

4micro2+

λ2

8micro2) = 1

p0 =8micro2

8micro2 + 8λmicro+ 4λ2=

1

1 + ρ+ ρ2

2

΄Οπου ρ = λmicro Τώρα η εύρεση των υπολοίπων πιθανοτήτων είναι τετριμμένη

αφού p1 = p(10) + p(11) = λmicrop0 = ρ

1+ρ+ ρ2

2

ενώ p2 = p(20) + p(21) + p(22) =

4λ2

8micro2 p0 = ρ2

2(1+ρ+ ρ2

2 )

19

26 863

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας πελάτης υπό εξυπηρέτηση ΄Εχουμε τον

εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ)(n i) n = 1 i = 1 sminus 1 (n+ 1 i) exp(λ)

(n i+ 1) exp(smicro)(n s) (n+ 1 s) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(smicro)

Οι εξισώσεις ισορροπίας όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση

της στάσιμης κατανομής εφαρμόζουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκεκριμένα

ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των φάσεων

που μένουν στο σύστημα μέχρι να αδειάσει Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει είναι

η εξής (n i)hArr nsminus (iminus 1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αφίξεων Ms|M |1Δεν έχουμε βρει τη στάσιμη κατανομή της ουράς αυτής στη γενική της πε-

ρίπτωση ΄Εστω ότι είναι η (pn) τότε θα εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανο-

μής του αριθμού των πελατών στο σύστημα συναρτήσει αυτής της pn Δηλαδή

P (Q(t) = n) =sumsi=1 P (Q(t) = n I(t) = i) = P (N(t) = ns minus (i minus 1) =sums

i=1 pnsminus(iminus1) =sum(nsi=(nminus1)s+1 pi

27 864 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας ερχόμενος πελάτης ΄Εχουμε τον εξής

πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 n) (0 n+ 1) exp(kλ)(0 k) (11) exp(kλ)

(mn) n = 0 1 k minus 1 (mn+ 1) exp(kλ)(mminus 1 n) exp(micro)

(m k) (m+ 1 k) exp(kλ)(mminus 1 k) exp(micro)

Εξισώσεις λεπτομερούς ισορροπίας παίρνουμε

kλp(01) = microp(11) (1)

kλp(mn) = microp(m+1n) + kλp(mnminus1) n = 0 1 k(2)

kλp(m1) = kλp(mminus1k) + microp(m+11) (3)

20

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

το οποίο προκύπτει μετά από βασανιστικές αλγεβρικές πράξεις καθώς και την

παρατήρηση ότι για m = 1 στη κατάσταση ευστάθειας έχουμε ότιmicroλp gt 1 rArr

|λpmicro z| lt 1 και άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γεωμετρικό άθροισμα Τε-

λικά παίρνουμε την εξής κατανομή

pn =

p0 n = 0

p0(1 + 1p (λpmicro )n) n ge 1

(4)

18 654

α) Αρχικά γράφουε τις εξισώσεις ισορροπίας

λp0 = microp1(1)

(1

2λ+ micro)p1 =

λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2(p0 + p1)(3)

β) για να υπολογίσουμε τη κατανομή pn n = 0 1 2 αρχικά συμπεραίνουμε από

την 1 ότι p1 = λmicrop0 ενώ από τη 2 ότι p2 = λ

2microp0(1 + λmicro )

Επομένως από την εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 + p1 + p2 = 1 rArrp0(1 + λ

micro + λ2micro + λ2

2micro2 )rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+λmicro+λ2 και έτσι βρίσκουμε και τα p1 p2

γ) Γνωρίζουμε πως το ποσοστό χαμένων πελατών θα είναι = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (γκρουπ των 2 το γκρουπ να βρει έναν πελάτη ήδη στο σύστημα)+P (να βρει το γκρουπ 2 πελάτες) =12p1 + p2 το οποίο ισχύει λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των δύο ενδεχομένων

δ) Απαντούμε τα ίδια ερωτήματα στη περίπτωση που ένα αφικνούμενο γκρουπ

των 2 ατόμων δε διώχνεται όλο εάν δε χωράει να εισέλθει αλλά γεμίζει πρώτα

το σύστημα και κατόπιν ο δεύτερος πελάτης του γκρουπ αποχωρεί Σε αυτή τη

περίπτωση οι εξισώσεις ισορροπίας είναι τροποποιημένες ως εξής

λp0 = microp1(1)

(λ+ micro)p1 =λ

2p0 + microp2(2)

microp2 =λ

2p0 + λp1(3)

και προτού υπολογίσουμε τις μάζες πιθανότητας παρατηρούμε ότι p1 = λmicrop0 και

από τη 2η εξίσωση ισορροπίας p2 = λmicrop0(λmicro + 1

2 ) Δηλαδή η εξίσωση κανονικοπο-

ίησης τώρα δίνει p0(1 + λmicro + λ2

micro2 + λ2micro ) = 1 rArr p0 = 2micro2

2micro2+2λmicro+2λ2+λmicro ενώ με τις

σχέσεις παραπάνω βρίσκουμε τα p1 p2 Παρατηρούμε ότι σε αυτή τη περίπτωση

το p0 είναι μικρότερο από ότι στο ερώτημα β το οποίο είναι και αναμενόμενο αφού

ουσιαστικά αυξήσαμε τους μηχανισμούς με τους οποίους μεταβαίνει το σύστημα

στη κατάσταση με 2 πελάτες Θα περιμέναμε δηλαδή ένα μικρότερο p0 και ένα

μεγαλύτερο p2 σε σχέση με τα προηγούμενα ερωτήματα

13

Τέλος το ποσοτό χαμένων πελατών = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (να έρθει γκρουπ των 2 ένας πελάτη ήδη στο σύστημα είναι ο δεύτερος σε διάταξη πελάτης)+P (αφικν γκρουπ να βρει 2 πελάτες) = 1

212p1 + p2 = 1

4p1 + p2 το οποίο ισχύει

λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των τριών ενδεχομένων

19 751 (΄Εγινε στο μάθημα)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ2 )

(12) exp(λ2 )(11) 2 exp(λ)

0 exp(micro1)(12) 2 exp(λ)

0 exp(micro2)2 (11) exp(micro2)

(12) exp(micro1)

Παρατηρεί κανείς ότι η τμ Q(t) I(t) με τη δίτιμη τμ Ι(t) να δείχνει ποιος υ-

πηρέτης είναι απασχολημένος στη περίπτωση που έχουμε ένα πελάτη στο σύστημα

είναι μασχ Είναι λογικό να εξετάσουμε την αλυσία ως προς αντιστρεψιμότητα

Πράγματι παρατηρεί κανείς ότι

λ

2λmicro1micro2 =

λ

2λmicro2micro1 harr q0(11)q(11)2q2(12)q(12)0 = q0(12)q(12)2q2(11)q(11)0

και άρα από το κριτήριο του Κολμογοροv στο μοναδικό κύκλο του συστήματος

παίρνουμε αντιστρεψιμότητα Η μάζα πιθανότητας της pn τότε βρίσκεται κατά

τετριμμένο τρόπο από τις παρακάτω σχέσεις και την εξίσωση κανονικοποίησης

p(11) =λ

2micro1p0 p(12) =

λ

2micro2p0 p2 =

λ2

2micro1micro2p0

Και άρα μετά από πράξεις παίρνουμε p0 + p(11) + p(12) + p2 = 1 harr p0 =2micro1micro2

2micro1micro2+2λmicro2+2λmicro1=λ2 Το ποσοστό των χαμένων πελατών θα ισούται με τη πιθα-

νότητα να μην εισέλθει ένας πελάτης άρα λόγω PASTA= p2

20 752 (΄Εγινε στο μάθημα)

α) Θέτουμε I(t) τη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τη τιμή 1 εάν ο υπηρέτης βρίσκε-

ται σε περίοδο λειτουργείας τη στιγμή t και τη τιμή 0 διαφορετικά Τότε έχουμε

τον εξής πίνακα καταστάσεων για τη διδιάστατη τμ (Q(t) I(t))

14

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(n 0) (n 1) exp(ξ)(01) (00) exp(θ)

(11) exp(λ)(n 1) (n 0) exp(θ)

(n+ 1 1) exp(λ)(nminus 1 1) exp(micro)

και άρα θα πρόκειται για μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

ξp(j 0) = θp(j 1)forallj isin N

microp(j 1) = λp(j minus 1 1)forallj isin N

άρα παίρνουμε από τα παραπάνω ότι

p(j 1) =λ

microp(j minus 1 1) = middot middot middot = ρj

ξ

θp(0 0)

p(j 0) = ρjp(0 0)

rArrsumj

p(j 0) +sumj

p(j 1) = 1rArr ξ

θp(0 0)

sumρj + p(0 0)

sumρj = 1

rArr p(0 0) = (ξ

θ

1

1minus ρ+

1

1minus ρ)minus1 =

θ(1minus ρ)

ξ + θ

και το σύστημα θα είναι ευσταθές αν η p(0 0) gt 0 δηλαδή εάν ρ lt 1rArr λ lt microγ) Από τα παραπάνω παίρνουμε ότι p(j 1) = ξ

ξ+θ (1minusρ)ρj και p(j 0) = θξ+θ (1minus

ρ)ρj

και άρα μπορούμε να βρούμε το ποσοστό ως εξής

P (Q = n) = pn = P (n 1) + P (n 0) = ρn(1minus ρ)foralln ge 0

δ) Για το μέσο χρόνο παραμονής ενός πελάτη που βρίσκει n πελάτες κατά την

είσοδο του έστω E(Sn) = xn παίρνουμε

E(Sn) = Χρόνος μέχρι αργία ή αποχωρ+P (αργία)lowastχρόνος+P (αποχ)lowastχρόνος

=1

micro+ θ+

θ

micro+ θ(1

ξ+ E(Sn)) +

micro

micro+ θE(Snminus1)

rArr xn =θ

ξmicro+

1

micro+ xnminus1 = (nminus 1)(

θ

microξ+

1

micro)n ge 0

15

21 753

α) Αρχικά δείχνουμε αν η Q(t) είναι αντιστρέψιμη τότε και η XA(t) θα είναι επίσης

αντιστρέψιμη Από το κριτήριο του kolmogorov και την αντιστρεψιμότητα της

αρχικής αλυσίδας παίρνουμε ότι foralli0i1middot middot middotn ισχύει qi0i1 qini0 = qi0in qi1i0 Εφόσον το παραπάνω ισχύει για κάθε κύκλο θα ισχύει και για όλους τους κύκλους

μέσα στην A ιδιαιτέρως διότι qij = qAij για τους κύκλους μέσα στην Α ΄Αρα από

το κριτήριο του Kolmogorov και η XA(t) θα είναι αντιστρέψιμη

A είναι μη κενό άρα υπάρχει στοιχείο i0 isin A Η ιδέα είναι να προσπαθήσουμε

να εκφράσουμε όλα τα στοιχεία του A συναρτήσει των pAi0 και pi ΄Εστω μια άλλη

κατάσταση in isin A τότε ξέρουμε ότι θα ισχύει pAin = pAi0qAi0inqAini0

= pAi0qi0inqini0

=

pAi0pinpi0

το οποίο ισχύει αφενός γιατί οι ρυθμοί μετάβασης εντός του A μένουν

οι ίδιοι αφετέρου γιατί έχουμε θεωρήσει αντιστρέψιμη μαρκοβιανή αλυσίδα ΄Εχει

γίνει η απαραίτητη προεργασία οπότε εύκολα παίρνουμε το ζητούμενο

sumjisinA

pAj = 1rArr pAi0 + pAi1 = middot middot middot = 1rArr pAi0 (sumjisinA

pjpi0

) = 1rArr pAi0 =pi0sumjisinA pj

β) Θα παραθέσουμε το απλούστερο αντιπαράδειγμα που βρέθηκε Ενδεχομένως

η επιλογή των αριθμών να μην είναι ιδανική και η διεργασία έγινε κυρίως με τη βο-

ήθεια του διαγράμματος Θεωρούμε την αλυσίδα με τον εξής πίνακα καταστάσεων

και S = (0 1 2 3)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(1)2 exp( 1

3 )1 0 exp(1)

2 exp( 23 )

2 3 exp( 13 )

0 exp( 23 )

1 exp( 13 )

3 2 exp( 12 )

Στο παραπάνω παράδειγμα είναι προφανές ότι η αρχική μας αλυσίδα είναι

μασχ αλλά δεν είναι αντιστρέψιμη αφού αποτυγχάνει το κριτήριο του kolmogorovστο κύκλο καταστάσεων (012) Πολύ εύκολα μπορεί κάποιος να γράψει τις ε-

ξισώσεις ισορροπίας και να καταλήξει στην εξής κατανομή πιθανότητας p0 =33218 p1 = 30

218 p2 = 87218 p3 = 58

218Θεωρούμε τώρα το γνήσιο μη κενό υποσύνολο του χώρου καταστάσεων της

αρχικής μας αλυσίδας A = (012) Οι εξισώσεις ισορροπίας θα είναι όμοιες απλά

δε θα υπάρχει το p3 ενώ η εξίσωση κανονικοποίησης θα δίνει αυτή τη φορά διαφο-

ρετική μάζα με pA0= 11

50 pA1 = 1050 pA2 = 29

50 ΄Ομως εάν τα αποτελέσματα της

προηγούμενης άσκησης ίσχυαν και για μη αντιστρέψιμες αλυσίδες θα αναμέναμε

να πάρουμε pA0= p0

p0+p1+p1= 33

160 6=1150 και άρα δεν ισχύουν τα προηγούμενα

16

γ) Ως μασχ τύπου γέννησης-θανάτου η M |M |1 θα είναι αντιστρέψιμη

Περιορίζοντας τον χώρο καταστάσεων στο A = (0 1 k) sub S παίρνουμε μία

αλυσίδα τύπου M |M |1|K Από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) συμπερα-

ίνουμε ότι η M |M |1|K θα είναι επίσης αντιστρέψιμη και για τη στάσιμη κατανομή

της εύκολα παίρνουμε ότι

pAj =pjsumki=0 pi

=ρjsumki=0 ρ

i=

ρj

(1minus k)(1minus ρkminus1) j le k

δ) ΗM |M |infin ως μασχ τύπου γέννησης θανάτου (με διαφορετικούς χρόνους

αναχωρήσεων φυσικά) θα είναι αντιστρέψιμη Θεωρούμε τον υπόχωρο καταστάσε-

ωνA = (0 1 k) sub S και ο περιορισμός της αρχικής αλυσίδας γίνεταιM |M |infin|kπου όμως ταυτίζεται με την M |M |k|k αφού πάντα θα εξυπηρετούν το πολύ κ υ-

πηρέτες όμοια με πάνω η αλυσίδα αυτή θα είναι μασχ και για τη στάσιμη

κατανομή

pAj =pjsumki=0 pi

=ρj

jsumki=0

ρi

i

j le k

ε) Θεωρούμε τη διδιάστατη αρχική στοχαστική διαδικασία (Q1(t) Q2(t)) δύο

ανεξάρτητων M |M |1 ουρών χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα Σημειώνουμε

πως λόγω της αμνήμονης ιδιότητας όλες οι μεταβάσεις στις καταστάσεις της θα ε-

ίναι τύπου γέννησης θανάτου και άρα αυτή η αλυσίδα θα είναι αντιστρέψιμη Σημει-

ώνουμε ακόμα πως pij = P (Q1 = i Q2 = j) = pipj = (1minusρ1)(1minusρ2)ρi1ρj2foralli j ge

0Τώρα θεωρούμε το υποσύνολο των καταστάσεωνA = ((0 0) (i j) (k+1 1) (1 k+

1) i + j le k + 1) sub S και παρατηρούμε πως η (Q1(t) Q2(t))A πράγματι μοντε-

λοποιεί την στοχαστική διαδικασία που μας έχει ζητηθεί να μελετήσουμε ενώ

θα είναι αντιστρέψιμη από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) Ακόμα για τη

στάσιμη κατανομή παίρνουμε

pA(ij)= PA(Q1 = i Q2 = j) =

pijsum(ij)isinA pij

=pipjsumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 pij + p(k+11) + p(1k+1)

=

ρi1ρj2sumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 ρi1ρ

j2 + ρk+1

1 ρ2 + ρ1ρk+12

forall(i j) isin A

22 754

΄Εχουμε μια αδιαχώριστη αλυσίδα και μια συνάρτηση πιθανότητας pn (η οποία θα

αθροίζει στη μονάδα και άρα ικανοποιεί την εξίσωση κανονικοποίησης) Από το

θεμελιώδες εργοδικό θεώρημα μασχ η (X(t)) θα έχει τη (pj j isin S) ως

στάσιμη κατανομή εάν pisumj 6=i qij =

sumj 6=i pjqji Πράγματι από τα δεδομένα της

άσκησης παίρνουμε

17

pisumj 6=i

qij = pisumj 6=i

qij =sumj 6=i

piqij =sumj 6=i

pjqji

Για την αντίστροφη αλυσίδα γνωρίζουμε πως θα ισχύει qij = pjqijpi

το οποίο

όμως είναι καλά ορισμένο από τη στάσιμη πιθανότητα και τους ρυθμούς μετάβασης

της αρχικής μας αλυσίδας ΄Αρα πράγματι αυτοί οι ρυθμοί μετάβασης θα ανήκουν

στην αντίστροφη

23 755 (΄Εγινε στο μάθημα)

Από το θεώρημα του Burke έχουμε πως για δεδομένη χρονική στιγμη t τα Q1 Q2

είναι ανεξάρτητα ενώ οι πελάτες θα εισέρχονται στο δεύτερο σύστημα επίσης

σύμφωνα με διαδικασία Poisson ρυθμού λ ΄Αρα

pn1n2 = P (Q1 = n1 Q2 = n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn1ρn2

όπου ρ1 = λmicro1 ρ2 = λ

micro2

24 861 (΄Εγινε στο μάθημα)

Η σδ (Q(t)) προφανώς δεν είναι μασχ αφού δεν είναι όλοι οι χρόνοι μετάβασης

εκθετικοί Ορίζουμε I(t) μία τμ πού μας δείχνει το στάδιο j εξυπηρέτησης

j = 0 1 s και για τη διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) έχουμε

τον εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (11) exp(λ)(1 j) j = 1 sminus 1 (1 j + 1) exp(smicro)

(1 s) 0 exp(smicro)

και τώρα έχει προκύψει μία μασχ Σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας του

συστήματος

λp0 = smicrop1s

smicrop1j = smicrop1j+1 j = 0 1 sminus 1

από τις οποίες έπεται ότι p11 = p12 = middot middot middot = p1s = λmicrop0 και άρα από την

εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 = microλ+micro και p1 =

sumsj=1 p1j = s λ

s(λ+micro) =λ

λ+micro

18

25 862 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

Θέτουμε (I(t) = το πλήθος των πελατών που βρίσκονται στη 1η φάση της ε-

ξυπηρέτησης τους και τότε για τη διδιάστατη σδ (Q(t) I(t)) παίρνουμε πίνακα

μετάβασης ως εξής

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(00) (11) exp(λ)(11) (22) exp(λ)

(10) exp(2micro)(10) (21) exp(λ)

(00) exp(2micro)(22) (21) exp(4micro)(21) (11) exp(2micro)

(20) exp(2micro)(20) (10) exp(4micro)

Τώρα προχωρούμε στη καταγραφή των εξισώσεων ισορροπίας αναλυτικά και

για τις 6 καταστάσεις

λp0 = 2microp(10) (1)

(λ+ 2micro)p(11) = λp0 + 2microp(21) (2)

(λ+ 2micro)p(10) = 2microp(11) + 4microp(20) (3)

4microp(22) = λp(11) (4)

4microp(21) = 4microp(22) + λp(10) (5)

4microp(20) = 2microp(21) (6)

Δυστυχώς η εύρεση της στάσιμης κατανομής είναι μία επίπονη διαδικασία Αρ-

χικά προσπαθούμε να εκφράσουμε όλες τις καταστάσεις ως συναρτήσεις της κα-

τάστασης p0 Συγκεκριμένα (1) rArr p(10) = λ2microp0 (4) rArr p(22) = λ

4microp(11)

(6) rArr p(20) = 12p(21) και άρα μένει να εκφράσουμε τις p(21) p(11) συναρτήσει

της p0 Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις (2) (3) και αφού αντικαταστήσουμε τις

σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω επιλύουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο

αγνώστους Τελικά παίρνουμε p(11) = λ2microp0 και p(21) = λ2

4micro2 p0 τη λύση μας τη

δίνει η εξίσωση κανονικοποίησηςsump = 1harr p0(1 +

λ

2micro+

λ

2micro+

λ2

8micro2+

λ2

4micro2+

λ2

8micro2) = 1

p0 =8micro2

8micro2 + 8λmicro+ 4λ2=

1

1 + ρ+ ρ2

2

΄Οπου ρ = λmicro Τώρα η εύρεση των υπολοίπων πιθανοτήτων είναι τετριμμένη

αφού p1 = p(10) + p(11) = λmicrop0 = ρ

1+ρ+ ρ2

2

ενώ p2 = p(20) + p(21) + p(22) =

4λ2

8micro2 p0 = ρ2

2(1+ρ+ ρ2

2 )

19

26 863

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας πελάτης υπό εξυπηρέτηση ΄Εχουμε τον

εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ)(n i) n = 1 i = 1 sminus 1 (n+ 1 i) exp(λ)

(n i+ 1) exp(smicro)(n s) (n+ 1 s) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(smicro)

Οι εξισώσεις ισορροπίας όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση

της στάσιμης κατανομής εφαρμόζουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκεκριμένα

ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των φάσεων

που μένουν στο σύστημα μέχρι να αδειάσει Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει είναι

η εξής (n i)hArr nsminus (iminus 1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αφίξεων Ms|M |1Δεν έχουμε βρει τη στάσιμη κατανομή της ουράς αυτής στη γενική της πε-

ρίπτωση ΄Εστω ότι είναι η (pn) τότε θα εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανο-

μής του αριθμού των πελατών στο σύστημα συναρτήσει αυτής της pn Δηλαδή

P (Q(t) = n) =sumsi=1 P (Q(t) = n I(t) = i) = P (N(t) = ns minus (i minus 1) =sums

i=1 pnsminus(iminus1) =sum(nsi=(nminus1)s+1 pi

27 864 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας ερχόμενος πελάτης ΄Εχουμε τον εξής

πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 n) (0 n+ 1) exp(kλ)(0 k) (11) exp(kλ)

(mn) n = 0 1 k minus 1 (mn+ 1) exp(kλ)(mminus 1 n) exp(micro)

(m k) (m+ 1 k) exp(kλ)(mminus 1 k) exp(micro)

Εξισώσεις λεπτομερούς ισορροπίας παίρνουμε

kλp(01) = microp(11) (1)

kλp(mn) = microp(m+1n) + kλp(mnminus1) n = 0 1 k(2)

kλp(m1) = kλp(mminus1k) + microp(m+11) (3)

20

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

Τέλος το ποσοτό χαμένων πελατών = P (να μην εισέλθει ένας πελάτης) =P (να έρθει γκρουπ των 2 ένας πελάτη ήδη στο σύστημα είναι ο δεύτερος σε διάταξη πελάτης)+P (αφικν γκρουπ να βρει 2 πελάτες) = 1

212p1 + p2 = 1

4p1 + p2 το οποίο ισχύει

λόγω PASTA και ανεξαρτησίας των τριών ενδεχομένων

19 751 (΄Εγινε στο μάθημα)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ2 )

(12) exp(λ2 )(11) 2 exp(λ)

0 exp(micro1)(12) 2 exp(λ)

0 exp(micro2)2 (11) exp(micro2)

(12) exp(micro1)

Παρατηρεί κανείς ότι η τμ Q(t) I(t) με τη δίτιμη τμ Ι(t) να δείχνει ποιος υ-

πηρέτης είναι απασχολημένος στη περίπτωση που έχουμε ένα πελάτη στο σύστημα

είναι μασχ Είναι λογικό να εξετάσουμε την αλυσία ως προς αντιστρεψιμότητα

Πράγματι παρατηρεί κανείς ότι

λ

2λmicro1micro2 =

λ

2λmicro2micro1 harr q0(11)q(11)2q2(12)q(12)0 = q0(12)q(12)2q2(11)q(11)0

και άρα από το κριτήριο του Κολμογοροv στο μοναδικό κύκλο του συστήματος

παίρνουμε αντιστρεψιμότητα Η μάζα πιθανότητας της pn τότε βρίσκεται κατά

τετριμμένο τρόπο από τις παρακάτω σχέσεις και την εξίσωση κανονικοποίησης

p(11) =λ

2micro1p0 p(12) =

λ

2micro2p0 p2 =

λ2

2micro1micro2p0

Και άρα μετά από πράξεις παίρνουμε p0 + p(11) + p(12) + p2 = 1 harr p0 =2micro1micro2

2micro1micro2+2λmicro2+2λmicro1=λ2 Το ποσοστό των χαμένων πελατών θα ισούται με τη πιθα-

νότητα να μην εισέλθει ένας πελάτης άρα λόγω PASTA= p2

20 752 (΄Εγινε στο μάθημα)

α) Θέτουμε I(t) τη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τη τιμή 1 εάν ο υπηρέτης βρίσκε-

ται σε περίοδο λειτουργείας τη στιγμή t και τη τιμή 0 διαφορετικά Τότε έχουμε

τον εξής πίνακα καταστάσεων για τη διδιάστατη τμ (Q(t) I(t))

14

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(n 0) (n 1) exp(ξ)(01) (00) exp(θ)

(11) exp(λ)(n 1) (n 0) exp(θ)

(n+ 1 1) exp(λ)(nminus 1 1) exp(micro)

και άρα θα πρόκειται για μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

ξp(j 0) = θp(j 1)forallj isin N

microp(j 1) = λp(j minus 1 1)forallj isin N

άρα παίρνουμε από τα παραπάνω ότι

p(j 1) =λ

microp(j minus 1 1) = middot middot middot = ρj

ξ

θp(0 0)

p(j 0) = ρjp(0 0)

rArrsumj

p(j 0) +sumj

p(j 1) = 1rArr ξ

θp(0 0)

sumρj + p(0 0)

sumρj = 1

rArr p(0 0) = (ξ

θ

1

1minus ρ+

1

1minus ρ)minus1 =

θ(1minus ρ)

ξ + θ

και το σύστημα θα είναι ευσταθές αν η p(0 0) gt 0 δηλαδή εάν ρ lt 1rArr λ lt microγ) Από τα παραπάνω παίρνουμε ότι p(j 1) = ξ

ξ+θ (1minusρ)ρj και p(j 0) = θξ+θ (1minus

ρ)ρj

και άρα μπορούμε να βρούμε το ποσοστό ως εξής

P (Q = n) = pn = P (n 1) + P (n 0) = ρn(1minus ρ)foralln ge 0

δ) Για το μέσο χρόνο παραμονής ενός πελάτη που βρίσκει n πελάτες κατά την

είσοδο του έστω E(Sn) = xn παίρνουμε

E(Sn) = Χρόνος μέχρι αργία ή αποχωρ+P (αργία)lowastχρόνος+P (αποχ)lowastχρόνος

=1

micro+ θ+

θ

micro+ θ(1

ξ+ E(Sn)) +

micro

micro+ θE(Snminus1)

rArr xn =θ

ξmicro+

1

micro+ xnminus1 = (nminus 1)(

θ

microξ+

1

micro)n ge 0

15

21 753

α) Αρχικά δείχνουμε αν η Q(t) είναι αντιστρέψιμη τότε και η XA(t) θα είναι επίσης

αντιστρέψιμη Από το κριτήριο του kolmogorov και την αντιστρεψιμότητα της

αρχικής αλυσίδας παίρνουμε ότι foralli0i1middot middot middotn ισχύει qi0i1 qini0 = qi0in qi1i0 Εφόσον το παραπάνω ισχύει για κάθε κύκλο θα ισχύει και για όλους τους κύκλους

μέσα στην A ιδιαιτέρως διότι qij = qAij για τους κύκλους μέσα στην Α ΄Αρα από

το κριτήριο του Kolmogorov και η XA(t) θα είναι αντιστρέψιμη

A είναι μη κενό άρα υπάρχει στοιχείο i0 isin A Η ιδέα είναι να προσπαθήσουμε

να εκφράσουμε όλα τα στοιχεία του A συναρτήσει των pAi0 και pi ΄Εστω μια άλλη

κατάσταση in isin A τότε ξέρουμε ότι θα ισχύει pAin = pAi0qAi0inqAini0

= pAi0qi0inqini0

=

pAi0pinpi0

το οποίο ισχύει αφενός γιατί οι ρυθμοί μετάβασης εντός του A μένουν

οι ίδιοι αφετέρου γιατί έχουμε θεωρήσει αντιστρέψιμη μαρκοβιανή αλυσίδα ΄Εχει

γίνει η απαραίτητη προεργασία οπότε εύκολα παίρνουμε το ζητούμενο

sumjisinA

pAj = 1rArr pAi0 + pAi1 = middot middot middot = 1rArr pAi0 (sumjisinA

pjpi0

) = 1rArr pAi0 =pi0sumjisinA pj

β) Θα παραθέσουμε το απλούστερο αντιπαράδειγμα που βρέθηκε Ενδεχομένως

η επιλογή των αριθμών να μην είναι ιδανική και η διεργασία έγινε κυρίως με τη βο-

ήθεια του διαγράμματος Θεωρούμε την αλυσίδα με τον εξής πίνακα καταστάσεων

και S = (0 1 2 3)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(1)2 exp( 1

3 )1 0 exp(1)

2 exp( 23 )

2 3 exp( 13 )

0 exp( 23 )

1 exp( 13 )

3 2 exp( 12 )

Στο παραπάνω παράδειγμα είναι προφανές ότι η αρχική μας αλυσίδα είναι

μασχ αλλά δεν είναι αντιστρέψιμη αφού αποτυγχάνει το κριτήριο του kolmogorovστο κύκλο καταστάσεων (012) Πολύ εύκολα μπορεί κάποιος να γράψει τις ε-

ξισώσεις ισορροπίας και να καταλήξει στην εξής κατανομή πιθανότητας p0 =33218 p1 = 30

218 p2 = 87218 p3 = 58

218Θεωρούμε τώρα το γνήσιο μη κενό υποσύνολο του χώρου καταστάσεων της

αρχικής μας αλυσίδας A = (012) Οι εξισώσεις ισορροπίας θα είναι όμοιες απλά

δε θα υπάρχει το p3 ενώ η εξίσωση κανονικοποίησης θα δίνει αυτή τη φορά διαφο-

ρετική μάζα με pA0= 11

50 pA1 = 1050 pA2 = 29

50 ΄Ομως εάν τα αποτελέσματα της

προηγούμενης άσκησης ίσχυαν και για μη αντιστρέψιμες αλυσίδες θα αναμέναμε

να πάρουμε pA0= p0

p0+p1+p1= 33

160 6=1150 και άρα δεν ισχύουν τα προηγούμενα

16

γ) Ως μασχ τύπου γέννησης-θανάτου η M |M |1 θα είναι αντιστρέψιμη

Περιορίζοντας τον χώρο καταστάσεων στο A = (0 1 k) sub S παίρνουμε μία

αλυσίδα τύπου M |M |1|K Από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) συμπερα-

ίνουμε ότι η M |M |1|K θα είναι επίσης αντιστρέψιμη και για τη στάσιμη κατανομή

της εύκολα παίρνουμε ότι

pAj =pjsumki=0 pi

=ρjsumki=0 ρ

i=

ρj

(1minus k)(1minus ρkminus1) j le k

δ) ΗM |M |infin ως μασχ τύπου γέννησης θανάτου (με διαφορετικούς χρόνους

αναχωρήσεων φυσικά) θα είναι αντιστρέψιμη Θεωρούμε τον υπόχωρο καταστάσε-

ωνA = (0 1 k) sub S και ο περιορισμός της αρχικής αλυσίδας γίνεταιM |M |infin|kπου όμως ταυτίζεται με την M |M |k|k αφού πάντα θα εξυπηρετούν το πολύ κ υ-

πηρέτες όμοια με πάνω η αλυσίδα αυτή θα είναι μασχ και για τη στάσιμη

κατανομή

pAj =pjsumki=0 pi

=ρj

jsumki=0

ρi

i

j le k

ε) Θεωρούμε τη διδιάστατη αρχική στοχαστική διαδικασία (Q1(t) Q2(t)) δύο

ανεξάρτητων M |M |1 ουρών χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα Σημειώνουμε

πως λόγω της αμνήμονης ιδιότητας όλες οι μεταβάσεις στις καταστάσεις της θα ε-

ίναι τύπου γέννησης θανάτου και άρα αυτή η αλυσίδα θα είναι αντιστρέψιμη Σημει-

ώνουμε ακόμα πως pij = P (Q1 = i Q2 = j) = pipj = (1minusρ1)(1minusρ2)ρi1ρj2foralli j ge

0Τώρα θεωρούμε το υποσύνολο των καταστάσεωνA = ((0 0) (i j) (k+1 1) (1 k+

1) i + j le k + 1) sub S και παρατηρούμε πως η (Q1(t) Q2(t))A πράγματι μοντε-

λοποιεί την στοχαστική διαδικασία που μας έχει ζητηθεί να μελετήσουμε ενώ

θα είναι αντιστρέψιμη από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) Ακόμα για τη

στάσιμη κατανομή παίρνουμε

pA(ij)= PA(Q1 = i Q2 = j) =

pijsum(ij)isinA pij

=pipjsumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 pij + p(k+11) + p(1k+1)

=

ρi1ρj2sumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 ρi1ρ

j2 + ρk+1

1 ρ2 + ρ1ρk+12

forall(i j) isin A

22 754

΄Εχουμε μια αδιαχώριστη αλυσίδα και μια συνάρτηση πιθανότητας pn (η οποία θα

αθροίζει στη μονάδα και άρα ικανοποιεί την εξίσωση κανονικοποίησης) Από το

θεμελιώδες εργοδικό θεώρημα μασχ η (X(t)) θα έχει τη (pj j isin S) ως

στάσιμη κατανομή εάν pisumj 6=i qij =

sumj 6=i pjqji Πράγματι από τα δεδομένα της

άσκησης παίρνουμε

17

pisumj 6=i

qij = pisumj 6=i

qij =sumj 6=i

piqij =sumj 6=i

pjqji

Για την αντίστροφη αλυσίδα γνωρίζουμε πως θα ισχύει qij = pjqijpi

το οποίο

όμως είναι καλά ορισμένο από τη στάσιμη πιθανότητα και τους ρυθμούς μετάβασης

της αρχικής μας αλυσίδας ΄Αρα πράγματι αυτοί οι ρυθμοί μετάβασης θα ανήκουν

στην αντίστροφη

23 755 (΄Εγινε στο μάθημα)

Από το θεώρημα του Burke έχουμε πως για δεδομένη χρονική στιγμη t τα Q1 Q2

είναι ανεξάρτητα ενώ οι πελάτες θα εισέρχονται στο δεύτερο σύστημα επίσης

σύμφωνα με διαδικασία Poisson ρυθμού λ ΄Αρα

pn1n2 = P (Q1 = n1 Q2 = n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn1ρn2

όπου ρ1 = λmicro1 ρ2 = λ

micro2

24 861 (΄Εγινε στο μάθημα)

Η σδ (Q(t)) προφανώς δεν είναι μασχ αφού δεν είναι όλοι οι χρόνοι μετάβασης

εκθετικοί Ορίζουμε I(t) μία τμ πού μας δείχνει το στάδιο j εξυπηρέτησης

j = 0 1 s και για τη διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) έχουμε

τον εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (11) exp(λ)(1 j) j = 1 sminus 1 (1 j + 1) exp(smicro)

(1 s) 0 exp(smicro)

και τώρα έχει προκύψει μία μασχ Σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας του

συστήματος

λp0 = smicrop1s

smicrop1j = smicrop1j+1 j = 0 1 sminus 1

από τις οποίες έπεται ότι p11 = p12 = middot middot middot = p1s = λmicrop0 και άρα από την

εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 = microλ+micro και p1 =

sumsj=1 p1j = s λ

s(λ+micro) =λ

λ+micro

18

25 862 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

Θέτουμε (I(t) = το πλήθος των πελατών που βρίσκονται στη 1η φάση της ε-

ξυπηρέτησης τους και τότε για τη διδιάστατη σδ (Q(t) I(t)) παίρνουμε πίνακα

μετάβασης ως εξής

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(00) (11) exp(λ)(11) (22) exp(λ)

(10) exp(2micro)(10) (21) exp(λ)

(00) exp(2micro)(22) (21) exp(4micro)(21) (11) exp(2micro)

(20) exp(2micro)(20) (10) exp(4micro)

Τώρα προχωρούμε στη καταγραφή των εξισώσεων ισορροπίας αναλυτικά και

για τις 6 καταστάσεις

λp0 = 2microp(10) (1)

(λ+ 2micro)p(11) = λp0 + 2microp(21) (2)

(λ+ 2micro)p(10) = 2microp(11) + 4microp(20) (3)

4microp(22) = λp(11) (4)

4microp(21) = 4microp(22) + λp(10) (5)

4microp(20) = 2microp(21) (6)

Δυστυχώς η εύρεση της στάσιμης κατανομής είναι μία επίπονη διαδικασία Αρ-

χικά προσπαθούμε να εκφράσουμε όλες τις καταστάσεις ως συναρτήσεις της κα-

τάστασης p0 Συγκεκριμένα (1) rArr p(10) = λ2microp0 (4) rArr p(22) = λ

4microp(11)

(6) rArr p(20) = 12p(21) και άρα μένει να εκφράσουμε τις p(21) p(11) συναρτήσει

της p0 Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις (2) (3) και αφού αντικαταστήσουμε τις

σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω επιλύουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο

αγνώστους Τελικά παίρνουμε p(11) = λ2microp0 και p(21) = λ2

4micro2 p0 τη λύση μας τη

δίνει η εξίσωση κανονικοποίησηςsump = 1harr p0(1 +

λ

2micro+

λ

2micro+

λ2

8micro2+

λ2

4micro2+

λ2

8micro2) = 1

p0 =8micro2

8micro2 + 8λmicro+ 4λ2=

1

1 + ρ+ ρ2

2

΄Οπου ρ = λmicro Τώρα η εύρεση των υπολοίπων πιθανοτήτων είναι τετριμμένη

αφού p1 = p(10) + p(11) = λmicrop0 = ρ

1+ρ+ ρ2

2

ενώ p2 = p(20) + p(21) + p(22) =

4λ2

8micro2 p0 = ρ2

2(1+ρ+ ρ2

2 )

19

26 863

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας πελάτης υπό εξυπηρέτηση ΄Εχουμε τον

εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ)(n i) n = 1 i = 1 sminus 1 (n+ 1 i) exp(λ)

(n i+ 1) exp(smicro)(n s) (n+ 1 s) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(smicro)

Οι εξισώσεις ισορροπίας όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση

της στάσιμης κατανομής εφαρμόζουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκεκριμένα

ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των φάσεων

που μένουν στο σύστημα μέχρι να αδειάσει Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει είναι

η εξής (n i)hArr nsminus (iminus 1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αφίξεων Ms|M |1Δεν έχουμε βρει τη στάσιμη κατανομή της ουράς αυτής στη γενική της πε-

ρίπτωση ΄Εστω ότι είναι η (pn) τότε θα εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανο-

μής του αριθμού των πελατών στο σύστημα συναρτήσει αυτής της pn Δηλαδή

P (Q(t) = n) =sumsi=1 P (Q(t) = n I(t) = i) = P (N(t) = ns minus (i minus 1) =sums

i=1 pnsminus(iminus1) =sum(nsi=(nminus1)s+1 pi

27 864 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας ερχόμενος πελάτης ΄Εχουμε τον εξής

πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 n) (0 n+ 1) exp(kλ)(0 k) (11) exp(kλ)

(mn) n = 0 1 k minus 1 (mn+ 1) exp(kλ)(mminus 1 n) exp(micro)

(m k) (m+ 1 k) exp(kλ)(mminus 1 k) exp(micro)

Εξισώσεις λεπτομερούς ισορροπίας παίρνουμε

kλp(01) = microp(11) (1)

kλp(mn) = microp(m+1n) + kλp(mnminus1) n = 0 1 k(2)

kλp(m1) = kλp(mminus1k) + microp(m+11) (3)

20

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(n 0) (n 1) exp(ξ)(01) (00) exp(θ)

(11) exp(λ)(n 1) (n 0) exp(θ)

(n+ 1 1) exp(λ)(nminus 1 1) exp(micro)

και άρα θα πρόκειται για μασχ

β) Αρχικά σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας

ξp(j 0) = θp(j 1)forallj isin N

microp(j 1) = λp(j minus 1 1)forallj isin N

άρα παίρνουμε από τα παραπάνω ότι

p(j 1) =λ

microp(j minus 1 1) = middot middot middot = ρj

ξ

θp(0 0)

p(j 0) = ρjp(0 0)

rArrsumj

p(j 0) +sumj

p(j 1) = 1rArr ξ

θp(0 0)

sumρj + p(0 0)

sumρj = 1

rArr p(0 0) = (ξ

θ

1

1minus ρ+

1

1minus ρ)minus1 =

θ(1minus ρ)

ξ + θ

και το σύστημα θα είναι ευσταθές αν η p(0 0) gt 0 δηλαδή εάν ρ lt 1rArr λ lt microγ) Από τα παραπάνω παίρνουμε ότι p(j 1) = ξ

ξ+θ (1minusρ)ρj και p(j 0) = θξ+θ (1minus

ρ)ρj

και άρα μπορούμε να βρούμε το ποσοστό ως εξής

P (Q = n) = pn = P (n 1) + P (n 0) = ρn(1minus ρ)foralln ge 0

δ) Για το μέσο χρόνο παραμονής ενός πελάτη που βρίσκει n πελάτες κατά την

είσοδο του έστω E(Sn) = xn παίρνουμε

E(Sn) = Χρόνος μέχρι αργία ή αποχωρ+P (αργία)lowastχρόνος+P (αποχ)lowastχρόνος

=1

micro+ θ+

θ

micro+ θ(1

ξ+ E(Sn)) +

micro

micro+ θE(Snminus1)

rArr xn =θ

ξmicro+

1

micro+ xnminus1 = (nminus 1)(

θ

microξ+

1

micro)n ge 0

15

21 753

α) Αρχικά δείχνουμε αν η Q(t) είναι αντιστρέψιμη τότε και η XA(t) θα είναι επίσης

αντιστρέψιμη Από το κριτήριο του kolmogorov και την αντιστρεψιμότητα της

αρχικής αλυσίδας παίρνουμε ότι foralli0i1middot middot middotn ισχύει qi0i1 qini0 = qi0in qi1i0 Εφόσον το παραπάνω ισχύει για κάθε κύκλο θα ισχύει και για όλους τους κύκλους

μέσα στην A ιδιαιτέρως διότι qij = qAij για τους κύκλους μέσα στην Α ΄Αρα από

το κριτήριο του Kolmogorov και η XA(t) θα είναι αντιστρέψιμη

A είναι μη κενό άρα υπάρχει στοιχείο i0 isin A Η ιδέα είναι να προσπαθήσουμε

να εκφράσουμε όλα τα στοιχεία του A συναρτήσει των pAi0 και pi ΄Εστω μια άλλη

κατάσταση in isin A τότε ξέρουμε ότι θα ισχύει pAin = pAi0qAi0inqAini0

= pAi0qi0inqini0

=

pAi0pinpi0

το οποίο ισχύει αφενός γιατί οι ρυθμοί μετάβασης εντός του A μένουν

οι ίδιοι αφετέρου γιατί έχουμε θεωρήσει αντιστρέψιμη μαρκοβιανή αλυσίδα ΄Εχει

γίνει η απαραίτητη προεργασία οπότε εύκολα παίρνουμε το ζητούμενο

sumjisinA

pAj = 1rArr pAi0 + pAi1 = middot middot middot = 1rArr pAi0 (sumjisinA

pjpi0

) = 1rArr pAi0 =pi0sumjisinA pj

β) Θα παραθέσουμε το απλούστερο αντιπαράδειγμα που βρέθηκε Ενδεχομένως

η επιλογή των αριθμών να μην είναι ιδανική και η διεργασία έγινε κυρίως με τη βο-

ήθεια του διαγράμματος Θεωρούμε την αλυσίδα με τον εξής πίνακα καταστάσεων

και S = (0 1 2 3)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(1)2 exp( 1

3 )1 0 exp(1)

2 exp( 23 )

2 3 exp( 13 )

0 exp( 23 )

1 exp( 13 )

3 2 exp( 12 )

Στο παραπάνω παράδειγμα είναι προφανές ότι η αρχική μας αλυσίδα είναι

μασχ αλλά δεν είναι αντιστρέψιμη αφού αποτυγχάνει το κριτήριο του kolmogorovστο κύκλο καταστάσεων (012) Πολύ εύκολα μπορεί κάποιος να γράψει τις ε-

ξισώσεις ισορροπίας και να καταλήξει στην εξής κατανομή πιθανότητας p0 =33218 p1 = 30

218 p2 = 87218 p3 = 58

218Θεωρούμε τώρα το γνήσιο μη κενό υποσύνολο του χώρου καταστάσεων της

αρχικής μας αλυσίδας A = (012) Οι εξισώσεις ισορροπίας θα είναι όμοιες απλά

δε θα υπάρχει το p3 ενώ η εξίσωση κανονικοποίησης θα δίνει αυτή τη φορά διαφο-

ρετική μάζα με pA0= 11

50 pA1 = 1050 pA2 = 29

50 ΄Ομως εάν τα αποτελέσματα της

προηγούμενης άσκησης ίσχυαν και για μη αντιστρέψιμες αλυσίδες θα αναμέναμε

να πάρουμε pA0= p0

p0+p1+p1= 33

160 6=1150 και άρα δεν ισχύουν τα προηγούμενα

16

γ) Ως μασχ τύπου γέννησης-θανάτου η M |M |1 θα είναι αντιστρέψιμη

Περιορίζοντας τον χώρο καταστάσεων στο A = (0 1 k) sub S παίρνουμε μία

αλυσίδα τύπου M |M |1|K Από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) συμπερα-

ίνουμε ότι η M |M |1|K θα είναι επίσης αντιστρέψιμη και για τη στάσιμη κατανομή

της εύκολα παίρνουμε ότι

pAj =pjsumki=0 pi

=ρjsumki=0 ρ

i=

ρj

(1minus k)(1minus ρkminus1) j le k

δ) ΗM |M |infin ως μασχ τύπου γέννησης θανάτου (με διαφορετικούς χρόνους

αναχωρήσεων φυσικά) θα είναι αντιστρέψιμη Θεωρούμε τον υπόχωρο καταστάσε-

ωνA = (0 1 k) sub S και ο περιορισμός της αρχικής αλυσίδας γίνεταιM |M |infin|kπου όμως ταυτίζεται με την M |M |k|k αφού πάντα θα εξυπηρετούν το πολύ κ υ-

πηρέτες όμοια με πάνω η αλυσίδα αυτή θα είναι μασχ και για τη στάσιμη

κατανομή

pAj =pjsumki=0 pi

=ρj

jsumki=0

ρi

i

j le k

ε) Θεωρούμε τη διδιάστατη αρχική στοχαστική διαδικασία (Q1(t) Q2(t)) δύο

ανεξάρτητων M |M |1 ουρών χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα Σημειώνουμε

πως λόγω της αμνήμονης ιδιότητας όλες οι μεταβάσεις στις καταστάσεις της θα ε-

ίναι τύπου γέννησης θανάτου και άρα αυτή η αλυσίδα θα είναι αντιστρέψιμη Σημει-

ώνουμε ακόμα πως pij = P (Q1 = i Q2 = j) = pipj = (1minusρ1)(1minusρ2)ρi1ρj2foralli j ge

0Τώρα θεωρούμε το υποσύνολο των καταστάσεωνA = ((0 0) (i j) (k+1 1) (1 k+

1) i + j le k + 1) sub S και παρατηρούμε πως η (Q1(t) Q2(t))A πράγματι μοντε-

λοποιεί την στοχαστική διαδικασία που μας έχει ζητηθεί να μελετήσουμε ενώ

θα είναι αντιστρέψιμη από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) Ακόμα για τη

στάσιμη κατανομή παίρνουμε

pA(ij)= PA(Q1 = i Q2 = j) =

pijsum(ij)isinA pij

=pipjsumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 pij + p(k+11) + p(1k+1)

=

ρi1ρj2sumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 ρi1ρ

j2 + ρk+1

1 ρ2 + ρ1ρk+12

forall(i j) isin A

22 754

΄Εχουμε μια αδιαχώριστη αλυσίδα και μια συνάρτηση πιθανότητας pn (η οποία θα

αθροίζει στη μονάδα και άρα ικανοποιεί την εξίσωση κανονικοποίησης) Από το

θεμελιώδες εργοδικό θεώρημα μασχ η (X(t)) θα έχει τη (pj j isin S) ως

στάσιμη κατανομή εάν pisumj 6=i qij =

sumj 6=i pjqji Πράγματι από τα δεδομένα της

άσκησης παίρνουμε

17

pisumj 6=i

qij = pisumj 6=i

qij =sumj 6=i

piqij =sumj 6=i

pjqji

Για την αντίστροφη αλυσίδα γνωρίζουμε πως θα ισχύει qij = pjqijpi

το οποίο

όμως είναι καλά ορισμένο από τη στάσιμη πιθανότητα και τους ρυθμούς μετάβασης

της αρχικής μας αλυσίδας ΄Αρα πράγματι αυτοί οι ρυθμοί μετάβασης θα ανήκουν

στην αντίστροφη

23 755 (΄Εγινε στο μάθημα)

Από το θεώρημα του Burke έχουμε πως για δεδομένη χρονική στιγμη t τα Q1 Q2

είναι ανεξάρτητα ενώ οι πελάτες θα εισέρχονται στο δεύτερο σύστημα επίσης

σύμφωνα με διαδικασία Poisson ρυθμού λ ΄Αρα

pn1n2 = P (Q1 = n1 Q2 = n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn1ρn2

όπου ρ1 = λmicro1 ρ2 = λ

micro2

24 861 (΄Εγινε στο μάθημα)

Η σδ (Q(t)) προφανώς δεν είναι μασχ αφού δεν είναι όλοι οι χρόνοι μετάβασης

εκθετικοί Ορίζουμε I(t) μία τμ πού μας δείχνει το στάδιο j εξυπηρέτησης

j = 0 1 s και για τη διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) έχουμε

τον εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (11) exp(λ)(1 j) j = 1 sminus 1 (1 j + 1) exp(smicro)

(1 s) 0 exp(smicro)

και τώρα έχει προκύψει μία μασχ Σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας του

συστήματος

λp0 = smicrop1s

smicrop1j = smicrop1j+1 j = 0 1 sminus 1

από τις οποίες έπεται ότι p11 = p12 = middot middot middot = p1s = λmicrop0 και άρα από την

εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 = microλ+micro και p1 =

sumsj=1 p1j = s λ

s(λ+micro) =λ

λ+micro

18

25 862 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

Θέτουμε (I(t) = το πλήθος των πελατών που βρίσκονται στη 1η φάση της ε-

ξυπηρέτησης τους και τότε για τη διδιάστατη σδ (Q(t) I(t)) παίρνουμε πίνακα

μετάβασης ως εξής

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(00) (11) exp(λ)(11) (22) exp(λ)

(10) exp(2micro)(10) (21) exp(λ)

(00) exp(2micro)(22) (21) exp(4micro)(21) (11) exp(2micro)

(20) exp(2micro)(20) (10) exp(4micro)

Τώρα προχωρούμε στη καταγραφή των εξισώσεων ισορροπίας αναλυτικά και

για τις 6 καταστάσεις

λp0 = 2microp(10) (1)

(λ+ 2micro)p(11) = λp0 + 2microp(21) (2)

(λ+ 2micro)p(10) = 2microp(11) + 4microp(20) (3)

4microp(22) = λp(11) (4)

4microp(21) = 4microp(22) + λp(10) (5)

4microp(20) = 2microp(21) (6)

Δυστυχώς η εύρεση της στάσιμης κατανομής είναι μία επίπονη διαδικασία Αρ-

χικά προσπαθούμε να εκφράσουμε όλες τις καταστάσεις ως συναρτήσεις της κα-

τάστασης p0 Συγκεκριμένα (1) rArr p(10) = λ2microp0 (4) rArr p(22) = λ

4microp(11)

(6) rArr p(20) = 12p(21) και άρα μένει να εκφράσουμε τις p(21) p(11) συναρτήσει

της p0 Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις (2) (3) και αφού αντικαταστήσουμε τις

σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω επιλύουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο

αγνώστους Τελικά παίρνουμε p(11) = λ2microp0 και p(21) = λ2

4micro2 p0 τη λύση μας τη

δίνει η εξίσωση κανονικοποίησηςsump = 1harr p0(1 +

λ

2micro+

λ

2micro+

λ2

8micro2+

λ2

4micro2+

λ2

8micro2) = 1

p0 =8micro2

8micro2 + 8λmicro+ 4λ2=

1

1 + ρ+ ρ2

2

΄Οπου ρ = λmicro Τώρα η εύρεση των υπολοίπων πιθανοτήτων είναι τετριμμένη

αφού p1 = p(10) + p(11) = λmicrop0 = ρ

1+ρ+ ρ2

2

ενώ p2 = p(20) + p(21) + p(22) =

4λ2

8micro2 p0 = ρ2

2(1+ρ+ ρ2

2 )

19

26 863

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας πελάτης υπό εξυπηρέτηση ΄Εχουμε τον

εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ)(n i) n = 1 i = 1 sminus 1 (n+ 1 i) exp(λ)

(n i+ 1) exp(smicro)(n s) (n+ 1 s) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(smicro)

Οι εξισώσεις ισορροπίας όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση

της στάσιμης κατανομής εφαρμόζουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκεκριμένα

ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των φάσεων

που μένουν στο σύστημα μέχρι να αδειάσει Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει είναι

η εξής (n i)hArr nsminus (iminus 1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αφίξεων Ms|M |1Δεν έχουμε βρει τη στάσιμη κατανομή της ουράς αυτής στη γενική της πε-

ρίπτωση ΄Εστω ότι είναι η (pn) τότε θα εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανο-

μής του αριθμού των πελατών στο σύστημα συναρτήσει αυτής της pn Δηλαδή

P (Q(t) = n) =sumsi=1 P (Q(t) = n I(t) = i) = P (N(t) = ns minus (i minus 1) =sums

i=1 pnsminus(iminus1) =sum(nsi=(nminus1)s+1 pi

27 864 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας ερχόμενος πελάτης ΄Εχουμε τον εξής

πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 n) (0 n+ 1) exp(kλ)(0 k) (11) exp(kλ)

(mn) n = 0 1 k minus 1 (mn+ 1) exp(kλ)(mminus 1 n) exp(micro)

(m k) (m+ 1 k) exp(kλ)(mminus 1 k) exp(micro)

Εξισώσεις λεπτομερούς ισορροπίας παίρνουμε

kλp(01) = microp(11) (1)

kλp(mn) = microp(m+1n) + kλp(mnminus1) n = 0 1 k(2)

kλp(m1) = kλp(mminus1k) + microp(m+11) (3)

20

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

21 753

α) Αρχικά δείχνουμε αν η Q(t) είναι αντιστρέψιμη τότε και η XA(t) θα είναι επίσης

αντιστρέψιμη Από το κριτήριο του kolmogorov και την αντιστρεψιμότητα της

αρχικής αλυσίδας παίρνουμε ότι foralli0i1middot middot middotn ισχύει qi0i1 qini0 = qi0in qi1i0 Εφόσον το παραπάνω ισχύει για κάθε κύκλο θα ισχύει και για όλους τους κύκλους

μέσα στην A ιδιαιτέρως διότι qij = qAij για τους κύκλους μέσα στην Α ΄Αρα από

το κριτήριο του Kolmogorov και η XA(t) θα είναι αντιστρέψιμη

A είναι μη κενό άρα υπάρχει στοιχείο i0 isin A Η ιδέα είναι να προσπαθήσουμε

να εκφράσουμε όλα τα στοιχεία του A συναρτήσει των pAi0 και pi ΄Εστω μια άλλη

κατάσταση in isin A τότε ξέρουμε ότι θα ισχύει pAin = pAi0qAi0inqAini0

= pAi0qi0inqini0

=

pAi0pinpi0

το οποίο ισχύει αφενός γιατί οι ρυθμοί μετάβασης εντός του A μένουν

οι ίδιοι αφετέρου γιατί έχουμε θεωρήσει αντιστρέψιμη μαρκοβιανή αλυσίδα ΄Εχει

γίνει η απαραίτητη προεργασία οπότε εύκολα παίρνουμε το ζητούμενο

sumjisinA

pAj = 1rArr pAi0 + pAi1 = middot middot middot = 1rArr pAi0 (sumjisinA

pjpi0

) = 1rArr pAi0 =pi0sumjisinA pj

β) Θα παραθέσουμε το απλούστερο αντιπαράδειγμα που βρέθηκε Ενδεχομένως

η επιλογή των αριθμών να μην είναι ιδανική και η διεργασία έγινε κυρίως με τη βο-

ήθεια του διαγράμματος Θεωρούμε την αλυσίδα με τον εξής πίνακα καταστάσεων

και S = (0 1 2 3)

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 1 exp(1)2 exp( 1

3 )1 0 exp(1)

2 exp( 23 )

2 3 exp( 13 )

0 exp( 23 )

1 exp( 13 )

3 2 exp( 12 )

Στο παραπάνω παράδειγμα είναι προφανές ότι η αρχική μας αλυσίδα είναι

μασχ αλλά δεν είναι αντιστρέψιμη αφού αποτυγχάνει το κριτήριο του kolmogorovστο κύκλο καταστάσεων (012) Πολύ εύκολα μπορεί κάποιος να γράψει τις ε-

ξισώσεις ισορροπίας και να καταλήξει στην εξής κατανομή πιθανότητας p0 =33218 p1 = 30

218 p2 = 87218 p3 = 58

218Θεωρούμε τώρα το γνήσιο μη κενό υποσύνολο του χώρου καταστάσεων της

αρχικής μας αλυσίδας A = (012) Οι εξισώσεις ισορροπίας θα είναι όμοιες απλά

δε θα υπάρχει το p3 ενώ η εξίσωση κανονικοποίησης θα δίνει αυτή τη φορά διαφο-

ρετική μάζα με pA0= 11

50 pA1 = 1050 pA2 = 29

50 ΄Ομως εάν τα αποτελέσματα της

προηγούμενης άσκησης ίσχυαν και για μη αντιστρέψιμες αλυσίδες θα αναμέναμε

να πάρουμε pA0= p0

p0+p1+p1= 33

160 6=1150 και άρα δεν ισχύουν τα προηγούμενα

16

γ) Ως μασχ τύπου γέννησης-θανάτου η M |M |1 θα είναι αντιστρέψιμη

Περιορίζοντας τον χώρο καταστάσεων στο A = (0 1 k) sub S παίρνουμε μία

αλυσίδα τύπου M |M |1|K Από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) συμπερα-

ίνουμε ότι η M |M |1|K θα είναι επίσης αντιστρέψιμη και για τη στάσιμη κατανομή

της εύκολα παίρνουμε ότι

pAj =pjsumki=0 pi

=ρjsumki=0 ρ

i=

ρj

(1minus k)(1minus ρkminus1) j le k

δ) ΗM |M |infin ως μασχ τύπου γέννησης θανάτου (με διαφορετικούς χρόνους

αναχωρήσεων φυσικά) θα είναι αντιστρέψιμη Θεωρούμε τον υπόχωρο καταστάσε-

ωνA = (0 1 k) sub S και ο περιορισμός της αρχικής αλυσίδας γίνεταιM |M |infin|kπου όμως ταυτίζεται με την M |M |k|k αφού πάντα θα εξυπηρετούν το πολύ κ υ-

πηρέτες όμοια με πάνω η αλυσίδα αυτή θα είναι μασχ και για τη στάσιμη

κατανομή

pAj =pjsumki=0 pi

=ρj

jsumki=0

ρi

i

j le k

ε) Θεωρούμε τη διδιάστατη αρχική στοχαστική διαδικασία (Q1(t) Q2(t)) δύο

ανεξάρτητων M |M |1 ουρών χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα Σημειώνουμε

πως λόγω της αμνήμονης ιδιότητας όλες οι μεταβάσεις στις καταστάσεις της θα ε-

ίναι τύπου γέννησης θανάτου και άρα αυτή η αλυσίδα θα είναι αντιστρέψιμη Σημει-

ώνουμε ακόμα πως pij = P (Q1 = i Q2 = j) = pipj = (1minusρ1)(1minusρ2)ρi1ρj2foralli j ge

0Τώρα θεωρούμε το υποσύνολο των καταστάσεωνA = ((0 0) (i j) (k+1 1) (1 k+

1) i + j le k + 1) sub S και παρατηρούμε πως η (Q1(t) Q2(t))A πράγματι μοντε-

λοποιεί την στοχαστική διαδικασία που μας έχει ζητηθεί να μελετήσουμε ενώ

θα είναι αντιστρέψιμη από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) Ακόμα για τη

στάσιμη κατανομή παίρνουμε

pA(ij)= PA(Q1 = i Q2 = j) =

pijsum(ij)isinA pij

=pipjsumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 pij + p(k+11) + p(1k+1)

=

ρi1ρj2sumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 ρi1ρ

j2 + ρk+1

1 ρ2 + ρ1ρk+12

forall(i j) isin A

22 754

΄Εχουμε μια αδιαχώριστη αλυσίδα και μια συνάρτηση πιθανότητας pn (η οποία θα

αθροίζει στη μονάδα και άρα ικανοποιεί την εξίσωση κανονικοποίησης) Από το

θεμελιώδες εργοδικό θεώρημα μασχ η (X(t)) θα έχει τη (pj j isin S) ως

στάσιμη κατανομή εάν pisumj 6=i qij =

sumj 6=i pjqji Πράγματι από τα δεδομένα της

άσκησης παίρνουμε

17

pisumj 6=i

qij = pisumj 6=i

qij =sumj 6=i

piqij =sumj 6=i

pjqji

Για την αντίστροφη αλυσίδα γνωρίζουμε πως θα ισχύει qij = pjqijpi

το οποίο

όμως είναι καλά ορισμένο από τη στάσιμη πιθανότητα και τους ρυθμούς μετάβασης

της αρχικής μας αλυσίδας ΄Αρα πράγματι αυτοί οι ρυθμοί μετάβασης θα ανήκουν

στην αντίστροφη

23 755 (΄Εγινε στο μάθημα)

Από το θεώρημα του Burke έχουμε πως για δεδομένη χρονική στιγμη t τα Q1 Q2

είναι ανεξάρτητα ενώ οι πελάτες θα εισέρχονται στο δεύτερο σύστημα επίσης

σύμφωνα με διαδικασία Poisson ρυθμού λ ΄Αρα

pn1n2 = P (Q1 = n1 Q2 = n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn1ρn2

όπου ρ1 = λmicro1 ρ2 = λ

micro2

24 861 (΄Εγινε στο μάθημα)

Η σδ (Q(t)) προφανώς δεν είναι μασχ αφού δεν είναι όλοι οι χρόνοι μετάβασης

εκθετικοί Ορίζουμε I(t) μία τμ πού μας δείχνει το στάδιο j εξυπηρέτησης

j = 0 1 s και για τη διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) έχουμε

τον εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (11) exp(λ)(1 j) j = 1 sminus 1 (1 j + 1) exp(smicro)

(1 s) 0 exp(smicro)

και τώρα έχει προκύψει μία μασχ Σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας του

συστήματος

λp0 = smicrop1s

smicrop1j = smicrop1j+1 j = 0 1 sminus 1

από τις οποίες έπεται ότι p11 = p12 = middot middot middot = p1s = λmicrop0 και άρα από την

εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 = microλ+micro και p1 =

sumsj=1 p1j = s λ

s(λ+micro) =λ

λ+micro

18

25 862 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

Θέτουμε (I(t) = το πλήθος των πελατών που βρίσκονται στη 1η φάση της ε-

ξυπηρέτησης τους και τότε για τη διδιάστατη σδ (Q(t) I(t)) παίρνουμε πίνακα

μετάβασης ως εξής

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(00) (11) exp(λ)(11) (22) exp(λ)

(10) exp(2micro)(10) (21) exp(λ)

(00) exp(2micro)(22) (21) exp(4micro)(21) (11) exp(2micro)

(20) exp(2micro)(20) (10) exp(4micro)

Τώρα προχωρούμε στη καταγραφή των εξισώσεων ισορροπίας αναλυτικά και

για τις 6 καταστάσεις

λp0 = 2microp(10) (1)

(λ+ 2micro)p(11) = λp0 + 2microp(21) (2)

(λ+ 2micro)p(10) = 2microp(11) + 4microp(20) (3)

4microp(22) = λp(11) (4)

4microp(21) = 4microp(22) + λp(10) (5)

4microp(20) = 2microp(21) (6)

Δυστυχώς η εύρεση της στάσιμης κατανομής είναι μία επίπονη διαδικασία Αρ-

χικά προσπαθούμε να εκφράσουμε όλες τις καταστάσεις ως συναρτήσεις της κα-

τάστασης p0 Συγκεκριμένα (1) rArr p(10) = λ2microp0 (4) rArr p(22) = λ

4microp(11)

(6) rArr p(20) = 12p(21) και άρα μένει να εκφράσουμε τις p(21) p(11) συναρτήσει

της p0 Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις (2) (3) και αφού αντικαταστήσουμε τις

σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω επιλύουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο

αγνώστους Τελικά παίρνουμε p(11) = λ2microp0 και p(21) = λ2

4micro2 p0 τη λύση μας τη

δίνει η εξίσωση κανονικοποίησηςsump = 1harr p0(1 +

λ

2micro+

λ

2micro+

λ2

8micro2+

λ2

4micro2+

λ2

8micro2) = 1

p0 =8micro2

8micro2 + 8λmicro+ 4λ2=

1

1 + ρ+ ρ2

2

΄Οπου ρ = λmicro Τώρα η εύρεση των υπολοίπων πιθανοτήτων είναι τετριμμένη

αφού p1 = p(10) + p(11) = λmicrop0 = ρ

1+ρ+ ρ2

2

ενώ p2 = p(20) + p(21) + p(22) =

4λ2

8micro2 p0 = ρ2

2(1+ρ+ ρ2

2 )

19

26 863

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας πελάτης υπό εξυπηρέτηση ΄Εχουμε τον

εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ)(n i) n = 1 i = 1 sminus 1 (n+ 1 i) exp(λ)

(n i+ 1) exp(smicro)(n s) (n+ 1 s) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(smicro)

Οι εξισώσεις ισορροπίας όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση

της στάσιμης κατανομής εφαρμόζουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκεκριμένα

ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των φάσεων

που μένουν στο σύστημα μέχρι να αδειάσει Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει είναι

η εξής (n i)hArr nsminus (iminus 1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αφίξεων Ms|M |1Δεν έχουμε βρει τη στάσιμη κατανομή της ουράς αυτής στη γενική της πε-

ρίπτωση ΄Εστω ότι είναι η (pn) τότε θα εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανο-

μής του αριθμού των πελατών στο σύστημα συναρτήσει αυτής της pn Δηλαδή

P (Q(t) = n) =sumsi=1 P (Q(t) = n I(t) = i) = P (N(t) = ns minus (i minus 1) =sums

i=1 pnsminus(iminus1) =sum(nsi=(nminus1)s+1 pi

27 864 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας ερχόμενος πελάτης ΄Εχουμε τον εξής

πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 n) (0 n+ 1) exp(kλ)(0 k) (11) exp(kλ)

(mn) n = 0 1 k minus 1 (mn+ 1) exp(kλ)(mminus 1 n) exp(micro)

(m k) (m+ 1 k) exp(kλ)(mminus 1 k) exp(micro)

Εξισώσεις λεπτομερούς ισορροπίας παίρνουμε

kλp(01) = microp(11) (1)

kλp(mn) = microp(m+1n) + kλp(mnminus1) n = 0 1 k(2)

kλp(m1) = kλp(mminus1k) + microp(m+11) (3)

20

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

γ) Ως μασχ τύπου γέννησης-θανάτου η M |M |1 θα είναι αντιστρέψιμη

Περιορίζοντας τον χώρο καταστάσεων στο A = (0 1 k) sub S παίρνουμε μία

αλυσίδα τύπου M |M |1|K Από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) συμπερα-

ίνουμε ότι η M |M |1|K θα είναι επίσης αντιστρέψιμη και για τη στάσιμη κατανομή

της εύκολα παίρνουμε ότι

pAj =pjsumki=0 pi

=ρjsumki=0 ρ

i=

ρj

(1minus k)(1minus ρkminus1) j le k

δ) ΗM |M |infin ως μασχ τύπου γέννησης θανάτου (με διαφορετικούς χρόνους

αναχωρήσεων φυσικά) θα είναι αντιστρέψιμη Θεωρούμε τον υπόχωρο καταστάσε-

ωνA = (0 1 k) sub S και ο περιορισμός της αρχικής αλυσίδας γίνεταιM |M |infin|kπου όμως ταυτίζεται με την M |M |k|k αφού πάντα θα εξυπηρετούν το πολύ κ υ-

πηρέτες όμοια με πάνω η αλυσίδα αυτή θα είναι μασχ και για τη στάσιμη

κατανομή

pAj =pjsumki=0 pi

=ρj

jsumki=0

ρi

i

j le k

ε) Θεωρούμε τη διδιάστατη αρχική στοχαστική διαδικασία (Q1(t) Q2(t)) δύο

ανεξάρτητων M |M |1 ουρών χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα Σημειώνουμε

πως λόγω της αμνήμονης ιδιότητας όλες οι μεταβάσεις στις καταστάσεις της θα ε-

ίναι τύπου γέννησης θανάτου και άρα αυτή η αλυσίδα θα είναι αντιστρέψιμη Σημει-

ώνουμε ακόμα πως pij = P (Q1 = i Q2 = j) = pipj = (1minusρ1)(1minusρ2)ρi1ρj2foralli j ge

0Τώρα θεωρούμε το υποσύνολο των καταστάσεωνA = ((0 0) (i j) (k+1 1) (1 k+

1) i + j le k + 1) sub S και παρατηρούμε πως η (Q1(t) Q2(t))A πράγματι μοντε-

λοποιεί την στοχαστική διαδικασία που μας έχει ζητηθεί να μελετήσουμε ενώ

θα είναι αντιστρέψιμη από τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α) Ακόμα για τη

στάσιμη κατανομή παίρνουμε

pA(ij)= PA(Q1 = i Q2 = j) =

pijsum(ij)isinA pij

=pipjsumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 pij + p(k+11) + p(1k+1)

=

ρi1ρj2sumk+1

i=0

sumk+1minusij=0 ρi1ρ

j2 + ρk+1

1 ρ2 + ρ1ρk+12

forall(i j) isin A

22 754

΄Εχουμε μια αδιαχώριστη αλυσίδα και μια συνάρτηση πιθανότητας pn (η οποία θα

αθροίζει στη μονάδα και άρα ικανοποιεί την εξίσωση κανονικοποίησης) Από το

θεμελιώδες εργοδικό θεώρημα μασχ η (X(t)) θα έχει τη (pj j isin S) ως

στάσιμη κατανομή εάν pisumj 6=i qij =

sumj 6=i pjqji Πράγματι από τα δεδομένα της

άσκησης παίρνουμε

17

pisumj 6=i

qij = pisumj 6=i

qij =sumj 6=i

piqij =sumj 6=i

pjqji

Για την αντίστροφη αλυσίδα γνωρίζουμε πως θα ισχύει qij = pjqijpi

το οποίο

όμως είναι καλά ορισμένο από τη στάσιμη πιθανότητα και τους ρυθμούς μετάβασης

της αρχικής μας αλυσίδας ΄Αρα πράγματι αυτοί οι ρυθμοί μετάβασης θα ανήκουν

στην αντίστροφη

23 755 (΄Εγινε στο μάθημα)

Από το θεώρημα του Burke έχουμε πως για δεδομένη χρονική στιγμη t τα Q1 Q2

είναι ανεξάρτητα ενώ οι πελάτες θα εισέρχονται στο δεύτερο σύστημα επίσης

σύμφωνα με διαδικασία Poisson ρυθμού λ ΄Αρα

pn1n2 = P (Q1 = n1 Q2 = n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn1ρn2

όπου ρ1 = λmicro1 ρ2 = λ

micro2

24 861 (΄Εγινε στο μάθημα)

Η σδ (Q(t)) προφανώς δεν είναι μασχ αφού δεν είναι όλοι οι χρόνοι μετάβασης

εκθετικοί Ορίζουμε I(t) μία τμ πού μας δείχνει το στάδιο j εξυπηρέτησης

j = 0 1 s και για τη διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) έχουμε

τον εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (11) exp(λ)(1 j) j = 1 sminus 1 (1 j + 1) exp(smicro)

(1 s) 0 exp(smicro)

και τώρα έχει προκύψει μία μασχ Σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας του

συστήματος

λp0 = smicrop1s

smicrop1j = smicrop1j+1 j = 0 1 sminus 1

από τις οποίες έπεται ότι p11 = p12 = middot middot middot = p1s = λmicrop0 και άρα από την

εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 = microλ+micro και p1 =

sumsj=1 p1j = s λ

s(λ+micro) =λ

λ+micro

18

25 862 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

Θέτουμε (I(t) = το πλήθος των πελατών που βρίσκονται στη 1η φάση της ε-

ξυπηρέτησης τους και τότε για τη διδιάστατη σδ (Q(t) I(t)) παίρνουμε πίνακα

μετάβασης ως εξής

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(00) (11) exp(λ)(11) (22) exp(λ)

(10) exp(2micro)(10) (21) exp(λ)

(00) exp(2micro)(22) (21) exp(4micro)(21) (11) exp(2micro)

(20) exp(2micro)(20) (10) exp(4micro)

Τώρα προχωρούμε στη καταγραφή των εξισώσεων ισορροπίας αναλυτικά και

για τις 6 καταστάσεις

λp0 = 2microp(10) (1)

(λ+ 2micro)p(11) = λp0 + 2microp(21) (2)

(λ+ 2micro)p(10) = 2microp(11) + 4microp(20) (3)

4microp(22) = λp(11) (4)

4microp(21) = 4microp(22) + λp(10) (5)

4microp(20) = 2microp(21) (6)

Δυστυχώς η εύρεση της στάσιμης κατανομής είναι μία επίπονη διαδικασία Αρ-

χικά προσπαθούμε να εκφράσουμε όλες τις καταστάσεις ως συναρτήσεις της κα-

τάστασης p0 Συγκεκριμένα (1) rArr p(10) = λ2microp0 (4) rArr p(22) = λ

4microp(11)

(6) rArr p(20) = 12p(21) και άρα μένει να εκφράσουμε τις p(21) p(11) συναρτήσει

της p0 Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις (2) (3) και αφού αντικαταστήσουμε τις

σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω επιλύουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο

αγνώστους Τελικά παίρνουμε p(11) = λ2microp0 και p(21) = λ2

4micro2 p0 τη λύση μας τη

δίνει η εξίσωση κανονικοποίησηςsump = 1harr p0(1 +

λ

2micro+

λ

2micro+

λ2

8micro2+

λ2

4micro2+

λ2

8micro2) = 1

p0 =8micro2

8micro2 + 8λmicro+ 4λ2=

1

1 + ρ+ ρ2

2

΄Οπου ρ = λmicro Τώρα η εύρεση των υπολοίπων πιθανοτήτων είναι τετριμμένη

αφού p1 = p(10) + p(11) = λmicrop0 = ρ

1+ρ+ ρ2

2

ενώ p2 = p(20) + p(21) + p(22) =

4λ2

8micro2 p0 = ρ2

2(1+ρ+ ρ2

2 )

19

26 863

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας πελάτης υπό εξυπηρέτηση ΄Εχουμε τον

εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ)(n i) n = 1 i = 1 sminus 1 (n+ 1 i) exp(λ)

(n i+ 1) exp(smicro)(n s) (n+ 1 s) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(smicro)

Οι εξισώσεις ισορροπίας όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση

της στάσιμης κατανομής εφαρμόζουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκεκριμένα

ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των φάσεων

που μένουν στο σύστημα μέχρι να αδειάσει Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει είναι

η εξής (n i)hArr nsminus (iminus 1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αφίξεων Ms|M |1Δεν έχουμε βρει τη στάσιμη κατανομή της ουράς αυτής στη γενική της πε-

ρίπτωση ΄Εστω ότι είναι η (pn) τότε θα εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανο-

μής του αριθμού των πελατών στο σύστημα συναρτήσει αυτής της pn Δηλαδή

P (Q(t) = n) =sumsi=1 P (Q(t) = n I(t) = i) = P (N(t) = ns minus (i minus 1) =sums

i=1 pnsminus(iminus1) =sum(nsi=(nminus1)s+1 pi

27 864 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας ερχόμενος πελάτης ΄Εχουμε τον εξής

πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 n) (0 n+ 1) exp(kλ)(0 k) (11) exp(kλ)

(mn) n = 0 1 k minus 1 (mn+ 1) exp(kλ)(mminus 1 n) exp(micro)

(m k) (m+ 1 k) exp(kλ)(mminus 1 k) exp(micro)

Εξισώσεις λεπτομερούς ισορροπίας παίρνουμε

kλp(01) = microp(11) (1)

kλp(mn) = microp(m+1n) + kλp(mnminus1) n = 0 1 k(2)

kλp(m1) = kλp(mminus1k) + microp(m+11) (3)

20

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

pisumj 6=i

qij = pisumj 6=i

qij =sumj 6=i

piqij =sumj 6=i

pjqji

Για την αντίστροφη αλυσίδα γνωρίζουμε πως θα ισχύει qij = pjqijpi

το οποίο

όμως είναι καλά ορισμένο από τη στάσιμη πιθανότητα και τους ρυθμούς μετάβασης

της αρχικής μας αλυσίδας ΄Αρα πράγματι αυτοί οι ρυθμοί μετάβασης θα ανήκουν

στην αντίστροφη

23 755 (΄Εγινε στο μάθημα)

Από το θεώρημα του Burke έχουμε πως για δεδομένη χρονική στιγμη t τα Q1 Q2

είναι ανεξάρτητα ενώ οι πελάτες θα εισέρχονται στο δεύτερο σύστημα επίσης

σύμφωνα με διαδικασία Poisson ρυθμού λ ΄Αρα

pn1n2 = P (Q1 = n1 Q2 = n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn1ρn2

όπου ρ1 = λmicro1 ρ2 = λ

micro2

24 861 (΄Εγινε στο μάθημα)

Η σδ (Q(t)) προφανώς δεν είναι μασχ αφού δεν είναι όλοι οι χρόνοι μετάβασης

εκθετικοί Ορίζουμε I(t) μία τμ πού μας δείχνει το στάδιο j εξυπηρέτησης

j = 0 1 s και για τη διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) έχουμε

τον εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (11) exp(λ)(1 j) j = 1 sminus 1 (1 j + 1) exp(smicro)

(1 s) 0 exp(smicro)

και τώρα έχει προκύψει μία μασχ Σημειώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας του

συστήματος

λp0 = smicrop1s

smicrop1j = smicrop1j+1 j = 0 1 sminus 1

από τις οποίες έπεται ότι p11 = p12 = middot middot middot = p1s = λmicrop0 και άρα από την

εξίσωση κανονικοποίησης παίρνουμε p0 = microλ+micro και p1 =

sumsj=1 p1j = s λ

s(λ+micro) =λ

λ+micro

18

25 862 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

Θέτουμε (I(t) = το πλήθος των πελατών που βρίσκονται στη 1η φάση της ε-

ξυπηρέτησης τους και τότε για τη διδιάστατη σδ (Q(t) I(t)) παίρνουμε πίνακα

μετάβασης ως εξής

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(00) (11) exp(λ)(11) (22) exp(λ)

(10) exp(2micro)(10) (21) exp(λ)

(00) exp(2micro)(22) (21) exp(4micro)(21) (11) exp(2micro)

(20) exp(2micro)(20) (10) exp(4micro)

Τώρα προχωρούμε στη καταγραφή των εξισώσεων ισορροπίας αναλυτικά και

για τις 6 καταστάσεις

λp0 = 2microp(10) (1)

(λ+ 2micro)p(11) = λp0 + 2microp(21) (2)

(λ+ 2micro)p(10) = 2microp(11) + 4microp(20) (3)

4microp(22) = λp(11) (4)

4microp(21) = 4microp(22) + λp(10) (5)

4microp(20) = 2microp(21) (6)

Δυστυχώς η εύρεση της στάσιμης κατανομής είναι μία επίπονη διαδικασία Αρ-

χικά προσπαθούμε να εκφράσουμε όλες τις καταστάσεις ως συναρτήσεις της κα-

τάστασης p0 Συγκεκριμένα (1) rArr p(10) = λ2microp0 (4) rArr p(22) = λ

4microp(11)

(6) rArr p(20) = 12p(21) και άρα μένει να εκφράσουμε τις p(21) p(11) συναρτήσει

της p0 Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις (2) (3) και αφού αντικαταστήσουμε τις

σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω επιλύουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο

αγνώστους Τελικά παίρνουμε p(11) = λ2microp0 και p(21) = λ2

4micro2 p0 τη λύση μας τη

δίνει η εξίσωση κανονικοποίησηςsump = 1harr p0(1 +

λ

2micro+

λ

2micro+

λ2

8micro2+

λ2

4micro2+

λ2

8micro2) = 1

p0 =8micro2

8micro2 + 8λmicro+ 4λ2=

1

1 + ρ+ ρ2

2

΄Οπου ρ = λmicro Τώρα η εύρεση των υπολοίπων πιθανοτήτων είναι τετριμμένη

αφού p1 = p(10) + p(11) = λmicrop0 = ρ

1+ρ+ ρ2

2

ενώ p2 = p(20) + p(21) + p(22) =

4λ2

8micro2 p0 = ρ2

2(1+ρ+ ρ2

2 )

19

26 863

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας πελάτης υπό εξυπηρέτηση ΄Εχουμε τον

εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ)(n i) n = 1 i = 1 sminus 1 (n+ 1 i) exp(λ)

(n i+ 1) exp(smicro)(n s) (n+ 1 s) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(smicro)

Οι εξισώσεις ισορροπίας όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση

της στάσιμης κατανομής εφαρμόζουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκεκριμένα

ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των φάσεων

που μένουν στο σύστημα μέχρι να αδειάσει Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει είναι

η εξής (n i)hArr nsminus (iminus 1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αφίξεων Ms|M |1Δεν έχουμε βρει τη στάσιμη κατανομή της ουράς αυτής στη γενική της πε-

ρίπτωση ΄Εστω ότι είναι η (pn) τότε θα εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανο-

μής του αριθμού των πελατών στο σύστημα συναρτήσει αυτής της pn Δηλαδή

P (Q(t) = n) =sumsi=1 P (Q(t) = n I(t) = i) = P (N(t) = ns minus (i minus 1) =sums

i=1 pnsminus(iminus1) =sum(nsi=(nminus1)s+1 pi

27 864 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας ερχόμενος πελάτης ΄Εχουμε τον εξής

πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 n) (0 n+ 1) exp(kλ)(0 k) (11) exp(kλ)

(mn) n = 0 1 k minus 1 (mn+ 1) exp(kλ)(mminus 1 n) exp(micro)

(m k) (m+ 1 k) exp(kλ)(mminus 1 k) exp(micro)

Εξισώσεις λεπτομερούς ισορροπίας παίρνουμε

kλp(01) = microp(11) (1)

kλp(mn) = microp(m+1n) + kλp(mnminus1) n = 0 1 k(2)

kλp(m1) = kλp(mminus1k) + microp(m+11) (3)

20

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

25 862 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

Θέτουμε (I(t) = το πλήθος των πελατών που βρίσκονται στη 1η φάση της ε-

ξυπηρέτησης τους και τότε για τη διδιάστατη σδ (Q(t) I(t)) παίρνουμε πίνακα

μετάβασης ως εξής

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(00) (11) exp(λ)(11) (22) exp(λ)

(10) exp(2micro)(10) (21) exp(λ)

(00) exp(2micro)(22) (21) exp(4micro)(21) (11) exp(2micro)

(20) exp(2micro)(20) (10) exp(4micro)

Τώρα προχωρούμε στη καταγραφή των εξισώσεων ισορροπίας αναλυτικά και

για τις 6 καταστάσεις

λp0 = 2microp(10) (1)

(λ+ 2micro)p(11) = λp0 + 2microp(21) (2)

(λ+ 2micro)p(10) = 2microp(11) + 4microp(20) (3)

4microp(22) = λp(11) (4)

4microp(21) = 4microp(22) + λp(10) (5)

4microp(20) = 2microp(21) (6)

Δυστυχώς η εύρεση της στάσιμης κατανομής είναι μία επίπονη διαδικασία Αρ-

χικά προσπαθούμε να εκφράσουμε όλες τις καταστάσεις ως συναρτήσεις της κα-

τάστασης p0 Συγκεκριμένα (1) rArr p(10) = λ2microp0 (4) rArr p(22) = λ

4microp(11)

(6) rArr p(20) = 12p(21) και άρα μένει να εκφράσουμε τις p(21) p(11) συναρτήσει

της p0 Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις (2) (3) και αφού αντικαταστήσουμε τις

σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω επιλύουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο

αγνώστους Τελικά παίρνουμε p(11) = λ2microp0 και p(21) = λ2

4micro2 p0 τη λύση μας τη

δίνει η εξίσωση κανονικοποίησηςsump = 1harr p0(1 +

λ

2micro+

λ

2micro+

λ2

8micro2+

λ2

4micro2+

λ2

8micro2) = 1

p0 =8micro2

8micro2 + 8λmicro+ 4λ2=

1

1 + ρ+ ρ2

2

΄Οπου ρ = λmicro Τώρα η εύρεση των υπολοίπων πιθανοτήτων είναι τετριμμένη

αφού p1 = p(10) + p(11) = λmicrop0 = ρ

1+ρ+ ρ2

2

ενώ p2 = p(20) + p(21) + p(22) =

4λ2

8micro2 p0 = ρ2

2(1+ρ+ ρ2

2 )

19

26 863

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας πελάτης υπό εξυπηρέτηση ΄Εχουμε τον

εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ)(n i) n = 1 i = 1 sminus 1 (n+ 1 i) exp(λ)

(n i+ 1) exp(smicro)(n s) (n+ 1 s) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(smicro)

Οι εξισώσεις ισορροπίας όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση

της στάσιμης κατανομής εφαρμόζουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκεκριμένα

ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των φάσεων

που μένουν στο σύστημα μέχρι να αδειάσει Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει είναι

η εξής (n i)hArr nsminus (iminus 1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αφίξεων Ms|M |1Δεν έχουμε βρει τη στάσιμη κατανομή της ουράς αυτής στη γενική της πε-

ρίπτωση ΄Εστω ότι είναι η (pn) τότε θα εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανο-

μής του αριθμού των πελατών στο σύστημα συναρτήσει αυτής της pn Δηλαδή

P (Q(t) = n) =sumsi=1 P (Q(t) = n I(t) = i) = P (N(t) = ns minus (i minus 1) =sums

i=1 pnsminus(iminus1) =sum(nsi=(nminus1)s+1 pi

27 864 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας ερχόμενος πελάτης ΄Εχουμε τον εξής

πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 n) (0 n+ 1) exp(kλ)(0 k) (11) exp(kλ)

(mn) n = 0 1 k minus 1 (mn+ 1) exp(kλ)(mminus 1 n) exp(micro)

(m k) (m+ 1 k) exp(kλ)(mminus 1 k) exp(micro)

Εξισώσεις λεπτομερούς ισορροπίας παίρνουμε

kλp(01) = microp(11) (1)

kλp(mn) = microp(m+1n) + kλp(mnminus1) n = 0 1 k(2)

kλp(m1) = kλp(mminus1k) + microp(m+11) (3)

20

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

26 863

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας πελάτης υπό εξυπηρέτηση ΄Εχουμε τον

εξής πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

0 (1 1) exp(λ)(n i) n = 1 i = 1 sminus 1 (n+ 1 i) exp(λ)

(n i+ 1) exp(smicro)(n s) (n+ 1 s) exp(λ)

(nminus 1 1) exp(smicro)

Οι εξισώσεις ισορροπίας όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση

της στάσιμης κατανομής εφαρμόζουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκεκριμένα

ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των φάσεων

που μένουν στο σύστημα μέχρι να αδειάσει Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει είναι

η εξής (n i)hArr nsminus (iminus 1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αφίξεων Ms|M |1Δεν έχουμε βρει τη στάσιμη κατανομή της ουράς αυτής στη γενική της πε-

ρίπτωση ΄Εστω ότι είναι η (pn) τότε θα εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανο-

μής του αριθμού των πελατών στο σύστημα συναρτήσει αυτής της pn Δηλαδή

P (Q(t) = n) =sumsi=1 P (Q(t) = n I(t) = i) = P (N(t) = ns minus (i minus 1) =sums

i=1 pnsminus(iminus1) =sum(nsi=(nminus1)s+1 pi

27 864 (έγινε στο μάθημα μερικώς)

΄Εστω διδιάστατη στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t)) με τη δεύτερη τμ να μας

δείχνει τη φάση στην οποία βρίσκεται ένας ερχόμενος πελάτης ΄Εχουμε τον εξής

πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 n) (0 n+ 1) exp(kλ)(0 k) (11) exp(kλ)

(mn) n = 0 1 k minus 1 (mn+ 1) exp(kλ)(mminus 1 n) exp(micro)

(m k) (m+ 1 k) exp(kλ)(mminus 1 k) exp(micro)

Εξισώσεις λεπτομερούς ισορροπίας παίρνουμε

kλp(01) = microp(11) (1)

kλp(mn) = microp(m+1n) + kλp(mnminus1) n = 0 1 k(2)

kλp(m1) = kλp(mminus1k) + microp(m+11) (3)

20

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

Οι εξισώσεις αυτές όμως δε μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες Για την εύρεση της

στάσιμης κατανομής λοιπόν θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των φάσεων Συγκε-

κριμένα ορίζουμε στοχαστική διαδικασία (N(t)) η οποία μετράει το πλήθος των

φάσεων που έχει το σύστημα (αυτών που έχουν ήδη φτάσει στο σύστημα και όσων

έχουν ολοκληρωθεί για τον ερχόμενο πελάτη) Η απεικόνιση που έχουμε ορίσει

είναι η εξής (n i)hArr nk+(iminus1) και η (N(t)) είναι ουρά ομαδικών αποχωρήσεων

M |Mk|1Στη παράγραφο 63 των σημειώσεων έχουμε βρει τη συνάρτηση πιθανότητας

μίας τέτοιας ουράς P (N(t) = n) =summin(nkminus1)i=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0 όπου z0 είναι η

αντίστροφη της μοναδικής ρίζας του πολυωνύμου f(z) = zminus 11+ρz

r+1minus ρρ+1 εκτός

του μοναδιαίου δίσκου με ρ = rλmicro ΄Επεται πως P (Q(t) = n) =

sumki=1 P (Q(t) =

n I(t) = i) = P (N(t) = nk + (i minus 1) =sumki=1 pnk+(iminus1) =

sum(n+1)kminus1i=nk pi =sumk

i=1

summin(nkminus1)j=0

1k (1minus zminus1

0 )znminusk0

28 865

Η μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού παρουσιάζει ενδιαφέρον Πρέπει να είναι

προφανές στον αναγνώστη ότι η σδ του πλήθους των πελατών (Q(t)) μόνο του

δε θα επαρκεί για να δημιουργήσει μία μασχ

Σε ένα σύμπαν πλήρους πληροφόρησης υπάρχουν τρία ακόμα χαρακτηριστικά

της αλυσίδας τα οποία θα προσέφεραν ενδιαφέρουσα πληροφορία (α) το πλήθος

των πελατών στο σύστημα O1 (β) το πλήθος των πελατών στο σύστημα O1 και

(γ) η κατάσταση του πελάτη που βρίσκεται στο σύστημα O2 δηλαδή κατά πόσο

έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του Παρατηρεί κανείς ότι η πληροφορία που μας

δίνει το (Q(t)) συνδυαστικά με τη πληροφορία του (α) ή του (β) καθορίζουν

μονοσήμαντα το άλλο (αντίστοιχα το (β) ή το (α) ) Παρατηρούμε ακόμα πως δε

μπορούμε να μειώσουμε άλλο τη πληροφορία που απαιτείται για να δημιουργήσουμε

μία μασχ

Επομένως ορίζουμε (Ι(t)) τη τυχαία μεταβλητή που για δοσμένη χρονική στιγμή

t μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν υπάρχει ένας πελάτης στο O1 και τη στιγμή 0

διαφορετικά Ορίζουμε ακόμα τη τμ (R(t)) που μας επιστρέφει τη τιμή 1 εάν ο

πελάτης του O1 έχει τελειώσει την εξυπηρέτηση του και αναμένει να αδειάσει το

O2 ώστε να μεταβεί ακαριαία και 0 εάν δεν έχει ακόμα τελειώσει την εξυπηρέτηση

του Η στοχαστική διαδικασία (Q(t) I(t) R(t)) θα είναι πράγματι μασχ όπως

φαίνεται από το πίνακα μεταβάσεων

Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Αναμενόμενος Χρόνος

(0 0 0) (1 1 0) exp(λ)(1 1 0) (100) exp(micro1)(1 0 0) (2 1 0) exp(λ)

(0 0 0) exp(micro2)((2 1 0) (2 1 1) exp(micro1)

(1 1 0) exp(micro2)(2 1 1) (1 0 0) exp(micro2)

21

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης (το οποίο δε

παρατίθεται εδώ) παρουσιάζει ομοιότητες με ένα σύστημα M |M3|1|5 με ομαδικές

αναχωρήσεις των 3 ατόμων (χωρίς να γίνεται εξυπηρέτηση όταν το σύστημα έχει

λιγότερα από 3 άτομα) όπου υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 5 καταστάσεων

Δε ζητούνται οι εξισώσεις ισορροπίας αλλά εύκολα μπορεί κάποιος να τις

καταγράψει Η επίλυση τους ωστόσο δεν είναι τόσο εύκολη

29 951

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=2 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 λ2 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 και p12 = p1 p21 = p2 Επο-

μένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο άν οι

ακόλουθες δύο συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1

όπου τα Λ1Λ2 υπολογίζονται από τις κάτωθι εξισώσεις

Λ1 = λ1 + Λ2p2

Λ2 = λ2 + Λ1p1

που μας δίνουν τελικά Λ1 = λ1+λ2p21minusp1p1 Λ2 = λ2+λ1p1

1minusp1p2 Τώρα εάν ορίσουμε

ρ1 = Λ1

micro1 ρ2 = Λ2

micro2οι περιθώριες στάσιμες κατανομές θα είναι p1n1

= B1(Λ1

micro1)n1 =

(1 minus ρ1)ρn11 και p2n2 = B2(Λ2

micro2)n2 = (1 minus ρ2)ρn2

2 αφού το καθένα από αυτά τα

συστήματα λειτουργεί ως ουρά M |M |1 με ρυθμό άφιξης των αντίστοιχο ρυθμό

διαπέρασης Το θεώρημα Jackson λοιπόν μας λύνει την άσκηση αφού

p(n) = p1(n1)p2(n2) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)ρn11 ρn2

2

30 952

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=5 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = λ λ2 = 2λ λ3 = 3λ λ4 = 4λ λ5 = 0 ρυθμούς εξυπηρετήσεων

micro1 micro2 micro3 micro4 micro5 και p12 = 1 p23 = 12 p22 = 1

2 p34 = 13 p33 = 2

3 p45 = 14 p44 =

34 p50 = 1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 = λ

Λ2 = λ2 + Λ1p12 + Λ2p22 rArr Λ2 = 5λ

22

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

Λ3 = λ3 + Λ2p23 + Λ3p33 rArr Λ3 = 16 5λ

Λ4 = λ4 + Λ3p34 + Λ4p44 rArr Λ4 = 38λ

Λ5 = Λ4p45 = 95λ

Το σύστημα 05 έχει άπειρους υπηρέτες και άρα θα είναι πάντα ευσταθές Ε-

πομένως η ευστάθεια του δικτύου είναι ισοδύναμη της ευστάθειας των υπόλοιπων

4 συστημάτων Οι συνθήκες αντιστοίχως είναι

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr λ

micro1lt 1

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr 5λ

micro2lt 1

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ3

micro1lt 1hArr 165λ

micro3lt 1

Bminus14 =

infinsumn=0

Λn4micron4

ltinfinhArr Λ4

micro2lt 1hArr 38λ

micro4lt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro1 ρ2 = Λ2

micro2= 5λ

micro2 ρ3 = Λ3

micro3= 165λ

micro3 ρ4 = Λ4

micro4= 38λ

micro4 ρ5 = Λ5

micro5=

95λmicro5

και παίρνουμε για τη στάσιμη κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3)p4(n4)p5(n5) = (1minusρ1)(1minusρ2)(1minusρ3)(1minusρ4)ρn11 ρn2

2 ρn33 ρn4

4 eρ5ρn5

5

n5

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα πέντε συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 4 5 Τότε

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

micro1 minus λ

E(Q2) =ρ2

1minus ρ2=

5λ

micro2 minus 5λ

E(Q3) =ρ3

1minus ρ3=

165λ

micro3 minus 165λ

E(Q4) =ρ4

1minus ρ4=

38λ

micro4 minus 38λ

E(Q5) = ρ5 =95λ

micro5

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5)

23

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

δ) Από το νόμο του Little παίρνουμε για τη μέση παραμονή E(S) = E(Q)70λ =

E(Q)Λ1+Λ2+Λ3+Λ4+Λ5

ε) ΄Εστω Xi η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις έκανε ένας

πελάτης στο i σύστημα Τότε για το πρώτο έχουμε ότι P (X1 = 0) = 09 P (X1 =1) = 01 επειδή η πιθανότητα ο πελάτης να εισέλθει στο δίκτυο μέσω του πρώτου

συστήματος είναι 01 (αφού = λ1sum5i=1 λi

και εάν μπει δε γίνεται να επαναλάβει

την εξυπηρέτηση του (προχωράει με πιθανότητα 1) ΄Αρα πρόκειται για κατανομή

Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 01

Για το δεύτερο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γε-

ωμετρικής αφού P (X2 = 0) = 07 P (X2 = n) = 310 ( 1

2 )n n = 1 ΄Ο-

μοια Για το τρίτο σύστημα παίρνουμε μία μίξη κατανομής Bernoulli και γεω-

μετρικής με διαφορετικές πιθανότητες αφού P (X3 = 0) = 04 P (X3 = n) =610 ( 2

3 )nminus1 13 n = 1 Το 4ο σύστημα θα ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

P (X4 = n) = ( 34 )nminus1 1

4 δηλαδή X4 sim Geo( 14 ) επειδή ένας πελάτης του δικτύου

θα εξυπηρετηθεί υποχρεωτικά από αυτό ανεξαρτήτως του συστήματος εισόδου

Τέλος ένας πελάτης που επισκέπτεται το δίκτυο θα επισκεφτεί ντετερμινιστικά

ακριβώς μία φορά το σύστημα 05

31 953

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερικών

αφίξεων λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3 ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro1 micro2 micro3 και p12 =12 p23 = 1

3 p31 = 14 αφού οι αντίστοιχοι ρυθμοί αποχώρησης από το δίκτυο είναι

= ii+1 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε το

εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ1 + Λ3p31

Λ2 = λ2 + Λ1p12

Λ3 = λ3 + Λ2p23

Το σύστημα αυτό είναι ιδιαίτερα απλό ως προς την επίλυση του και μας δίνει

Λ1 = 2Λ2 = 3Λ3 = 4Επομένως από το θεώρημα Jackson το σύστημα θα είναι ευσταθές αν και μόνο

άν οι ακόλουθες τρεις συνθήκες ισχύουν

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinhArr Λ1

micro1lt 1hArr micro1 gt 2

Bminus12 =

infinsumn=0

Λn2micron2

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro2 gt 3

Bminus13 =

infinsumn=0

Λn3micron3

ltinfinhArr Λ2

micro2lt 1hArr micro3 gt 4

24

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

β) Ορίζουμε ρ1 = 2micro1 ρ2 = 3

micro2 ρ3 = 4

micro3και πάλι θα πρόκειται για 3 M |M |1

των οποίων οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομών πελατών θα είναι γεωμετρικές

κατανομές Το θεώρημα Jackson μας δίνει

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)(1minus ρ2)(1minus ρ3)ρn11 ρn2

2 ρn33

γ) ΄Εστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μας δείχνει πόσες επισκέψεις κάνει ένας

πελάτης στο σταθμό 2 Εφόσον ξεκινάει από αυτό το σταθμό η μεταβλητή δε

θα μπορεί να πάρει τη τιμή 0 (τουλάχιστον μία επίσκεψη) ΄Εστω ότι εξετάζουμε

το ενδεχόμενο (X = n) n ge 1 δηλαδή να έχει κάνει n στο πλήθος επισκέψεις

Τότε θα έχει κάνει n minus 1 umlκύκλουςuml Κάθε κύκλος θα umlπραγματοποιείταιrsquo με

πιθανότητα p23p31p12 = 124 και άρα P (X = n) = ( 1

24 )nminus1 2324 n ge 1 το οποίο

είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας γεωμετρικής κατανομής δηλαδή X simGeo( 23

24 ) Εφόσον αυτή η γεωμετρική κατανομή ξεκινάει από k = 1 για το μέσο

πλήθος επισκέψεων έχουμε E(X) = 1p = 24

23

32 954

α) Παρατηρούμε ότι πρόκειται για δίκτυο Jackson με Ν=3 ρυθμούς εξωτερι-

κών αφίξεων στο O1 λ ρυθμούς εξυπηρετήσεων micro και p12 = 13 p13 = 2

3 p22 =12 p33 = 1

2 Αρχικά υπολογίζουμε τους ρυθμούς διαπέρασης του δικτύου ΄Εχουμε

το εξής σύστημα εξισώσεων

Λ1 = λ

Λ2 = Λ1p12 + Λ2p22

Λ3 = Λ1p13 + Λ3p33

Το οποίο μας δίνει Λ2 = 23λΛ3 = 4

3λΣημειώνουμε πως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν άπειρους υπηρέτες θα

είναι πάντα ευσταθή Η ευστάθεια του δικτύου άρα ανάγεται στην ευστάθεια του

συστήματος O1 Η συνθήκη ευστάθειας είναι η εξής

Bminus11 =

infinsumn=0

Λn1micron1

ltinfinharr λ

microlt 1

β) Για τη στάσιμη κατανομή του πλήθους των πελατών θυμόμαστε πως σε μία

M |M |infin ουρά έχουμε στάσιμη κατανομή p(n) = eminusρ ρj

j όπου ρ = λmicro Επομένως

εδώ θέτουμε ρ1 = λmicro ρ2 = Λ2

micro = 2λ3micro ρ3 = Λ3

micro = 4λ3micro και παίρνουμε για τη στάσιμη

κατανομή του δικτύου

p(n) = p1(n1)p2(n2)p3(n3) = (1minus ρ1)ρn11 eρ2+ρ3

ρn22 ρn3

3

n2n3

γ) Ο μέσος συνολικός αριθμός των πελατών στο σύστημα θα είναι το άθροισμα

του μέσου αριθμού πελατών σε καθένα από τα τρία συστήματα ΄Εστω Qi η τμ

που μας δίνει το πλήθος στο σύστημα Oi i = 1 2 3 Τότε

25

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26

E(Q1) =ρ1

1minus ρ1=

λ

microminus λ

E(Q2) = ρ2 =2λ

3micro

E(Q3) = ρ3 =4λ

3micro

E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3)

δ) έστω Χ το πλήθος εξυπηρετήσεων που θα λάβει ένας πελάτης πριν αναχω-

ρήσει αναζητούμε το E(X) ΄Εχουμε E(X) = 1+ 13E(X|02)+ 2

3E(X|03) το οποίο

προκύπτει από τη βέβαια εξυπηρέτηση που θα λάβει ο πελάτης από το O1 και από

ένα θεώρημα διπλής μέσης τιμής ΄Ομως E(X|02) = 1 + E(X|02)2 rArr E(X|02) = 2

ενώ E(X|03) = 1 + E(X|03)2 rArr E(X|03) = 2 ΄Αρα παίρνουμε συνολικά

E(X) = 1 +1

32 +

2

32 = 3

ε) ΄Εστω S ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο δίκτυο Τότε θα έχουμε

E(S) = E(SO1) + 1

3E(S02) + 23E(SO3) ΄Ομως αφού τα συστήματα O2 O3 έχουν

άπειρους υπηρέτες ο πελάτης θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως άρα E(SO3) =

1micro + 1

2E(SO3) rArr E(SO2

) = E(SO3) = 2

micro ενώ E(S01) = (E(Q1) + 1) 1

micro = 1microminusλ

λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εξυπηρέτησης με εκθετικούς χρόνους Συνο-

λικά

E(S) =2

micro+

1

microminus λ

26