Cul es la diferencia entre el oscilador armnico

simple y el oscilador amortiguado?

Cul es la ecuacin de movimiento del oscilador

amortiguado?

Cules son los tres casos posibles de

amortiguamiento?

Cmo es el comportamiento de la amplitud en el

oscilador armnico amortiguado?

Cul es la diferencia entre la frecuencia del

oscilador armnico simple y el oscilador armnico

amortiguado?

El oscilador amortiguado considera el efecto de fuerzas disipativas (friccin, viscosidad, etc):

donde b es el coeficiente de amortiguamiento.

Si se aade el trmino correspondiente a la fuerza retardadora la ecuacin de movimiento del oscilador amortiguado queda como :

La forma ms general y simple de resolver esta ecuacin es proponiendo como solucin una funcin exponencial:

vbR

02

2

xm

k

dt

dx

m

b

dt

xd

)exp()( tAtx

m

k0

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Damped_spring.gif

La primera y segunda derivadas con respecto al tiempo son:

Sustituyendo en la ecuacin de movimiento se obtiene:

Como la funcin exponencial nunca es cero, se resuelve la

ecuacin cuadrtica, cuyas races son:

)exp( tAdt

dx

2

0

2

22

m

b

m

b

)exp(22

2

tAdt

xd

0)exp(202

tA

m

b

m

b

2

Dependiendo de los valores de y 0 se tienen tres casos diferentes:

I. < 0 Oscilador subamortiguado Las races en este caso son complejas por lo que: Definimos una nueva frecuencia:

Esto significa que la exponencial es compleja por lo que se puede escribir como: Utilizando la frmula de Euler:

Por lo tanto la solucin general de la ecuacin de movimiento es:

22

0 i

)exp()exp(exp)( 11 titAtiAtx

22

01

)sin()cos()exp( 111 titti

)cos(exp)( 120 ttAtx mb

Es importante notar que la frecuencia del oscilador amortiguado es menor que la frecuencia natural del oscilador armnico 0

La amplitud decae exponencialmente (envolvente). La energa instantnea se aproxima por:

22

01

mk0

La imagen muestra el comportamiento de un oscilador amortiguado:

A0

tAktEmb exp)(

2

021http://beltoforion.de/pendulum_revisited/Damped_oscillation_graph2.png

tAtAmb

20exp)(

II. = 0 Oscilador crticamente

amortiguado

El decaimiento es exponencial sin

llegar a oscilar.

III. > 0 Oscilador

sobreamortiguado

Decaimiento sin llegar a oscilar.

La frecuencia angular es ahora:

La solucin a la ecuacin de

movimiento es:

tAtxmb

2exp)(

2

0

2

2

)cosh(exp)( 22 ttAtx mb

http://www.hasdeu.bz.edu.ro/softuri/fizica/mariana/Mecanica/Pendul_1/hosc.gif

subamortiguado

crticamente amortiguado

sobreamortiguado

tiempo

tiempo

tiempo

envolvente

1. En un oscilador amortiguado, una masa de 250 g est conectada a un resorte cuya constante de fuerza es de 85 N/m. El coeficiente de amortiguamiento causado por la friccin con el suelo es de 0.070kg/s. En cuntos periodos de oscilacin la energa mecnica habr disminuido a la mitad?

2. Un oscilador armnico amortiguado consta de un resorte (k=12.6 N/m) y un bloque (m=1.91 kg) sobre el cual acta una fuerza de amortiguamiento F=-bv. Inicialmente, el bloque oscila con una amplitud de 26.2 cm. A causa del amortiguamiento, la amplitud disminuye a partes de este valor inicial despus de cuatro ciclos completos. a) Cul es el valor de b? b) Cunta energa se ha perdido durante estos 4 ciclos?

3. En un sistema de prueba se tiene una masa de 95 kg sujeta a un resorte con una constante de fuerza de 2500 N/m. El sistema se somete a una fuerza de amortiguamiento con un coeficiente de 900 kg/s. a) Qu tipo de movimiento presenta el sistema? b) Cul debera ser el valor de k para que el sistema fuera

crticamente amortiguado?