OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA

7/15/2019 OSCILACIONES ONDAS Y PTICA

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Diego Aristizbal R. - Roberto Restrepo A.

FISICA PARA INGENIEROSNOTAS DE CLASE SOBRE

OSCILACIONES ONDAS Y PTICAADAPTADAS A LA REFORMA ACADMICA DE LAUN DE L 2008

UNIVERSIDAD NACI ONA L D E COLOMBIA, MEDELLN

FACU LTAD DE CIENCIAS, ESCUELA DE FSICA

2011


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Notas sobre Fsica de Oscilaciones Ondas y ptica

Diego Aristizbal R. - Roberto Restrepo A.

9 de agosto de 2012

NDICE GENERAL

ndice general I

Lista de Figuras II I

Lista de Tablas V

I OPTICA GEOMETRICA 3

12 REFLEXION Y REFRACCION 512.1. ndice de refraccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2. Frente de onda y rayo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

12.3. Clasificacin de los medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.4. Camino ptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.5. Principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.6. Teorema de Malus-Dupin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.7. Principio de reversibilidad ptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.8. Leyes de la ptica geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.9. Lminas y prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

13 SUPERFICIES REFRACTORAS 1913.1. Representacin ptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1913.2. La cinco preguntas bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113.3. Superfice refractora esfrica (SRE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

14 SUPERFICIES REFLECTORAS:ESPEJOS 3514.1. Qu es un espejo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3514.2. Expresiones bsicas en los espejos esfricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3514.3. Espejos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

15 LENTES 4115.1. Qu es una lente? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115.2. Expresiones bsicas en las lentes delgadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

I


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16 MICROSCOPIA 4916.1. Curiosidades sobre la luz que atraviesa un agujero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4916.2. La cmara oscura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5116.3. El disco de Airy y el criterio de resolucin de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

16.4. Criterio de resolucin de una lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5316.5. El ojo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

II OPTICA FISICA 55

17 POLARIZACION 5717.1. Una simplificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5717.2. Polarizacin elptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5817.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5817.4. OEM no polarizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6217.5. Formas de polarizar linealmente la luz visible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6217.6. Cmo polarizar elpticamente la luz visible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

17.7. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

18 INTERFERENCIA 7518.1. Interferencia de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7618.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

19 DIFRACCION 91

III ONDAS ELECTROMAGNETICAS 93

20 ECUACIONES DE MAXWELL 9520.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

20.2. Interpretacin de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9620.3. La Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

21 ECUACION DE LA ONDA ELECTROMAGNETICA 10521.1. La ecuacin de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10521.2. Solucin armnica de onda plana viajera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10621.3. Interaccin de la OEM con la materia dielctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10721.4. Energa de la OEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10721.5. Intensidad de la OEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

22 TEORIA CUANTICA DE LA OEM 10922.1. Teora clsica de la radiacin EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10922.2. Teora cuntica de la radiacin EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

23 EL ESPECTRO ELECTROMAGNETICO 115

24 INTERACCION DE LA RADIACION EM CON LA MATERIA 11924.1. El campo elctrico en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11924.2. El campo magntico en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12224.3. Ondas Electromagnticas en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12524.4. Radiacin electromagntica en dielctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

II


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24.5. Radiacin electromagntica en conductores (efecto piel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12624.6. Sobre los conceptos de absorcin y transparencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

LISTA DE FIGURAS

12.1. Curva de dispersin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.2. Rayos y ngulos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.3. Tipos de reflexin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.4. Direccin del rayo refractado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.5. Reflexin total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.6. Fibra ptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312.7. Lmina de caras planas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412.8. El prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512.9. Dispersin de la luz en un prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612.10.El Arco Iris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612.11.Explicacin de la forma y generacin del Arco Iris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712.12.Observacin del Arco Iris en formas "extraas" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712.13.Trayectoria de rayo de luz solar en una gota de agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

13.1. Formacin de imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013.2. Imagen real e imagen virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013.3. Objeto virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113.4. Superficie Refractora Esfrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2213.5. Objeto Real (P) e imagen Real (P) puntuales en una SRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.6. Superficie refractora: propiedades focales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2513.7. SRE, n > n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2613.8. SRE, n < n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

13.9. Foco imagen real y plano focal imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2713.10.Foco objeto real y plano focal objeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2813.11.Foco imagen virtual y plano focal imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2813.12.Foco objeto virtual y plano focal objeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2913.13.Ejemplos de imgenes dadas por SRE convexas (convergentes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3113.14.Ejemplo de imagen dada por una SRE cncava (divergente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3213.15.Demostracin del aumento lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

14.1. Tipos de espejos esfricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3514.2. Imgenes dadas por los espejos esfricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3714.3. Zonas prohibidas en espejos esfricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

15.1. Tipos de lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

15.2. Rayos paralelos refractndose en lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4215.3. Demostracin de la frmula de Gauss para lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4315.4. Imgenes dadas por las lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4515.5. Zonas prohibidas en lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

16.1. Fuente puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5016.2. Fuente extendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5016.3. Luz proveneinte de diferentes puntos del objeto atravesando el diafragma . . . . . . . . . . . . . . 51

II I


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17.1. Onda plana polarizada linealmente en el plano yz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5817.2. Polarizacin elptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5917.3. Polarizacin elptica levgira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5917.4. Polarizacin elptica dextrgira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

17.5. OEM no polarizada y parcialmente polarizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6217.6. Polarizacin de la luz por absorcin selectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6317.7. Uso de polarizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6317.8. Luz transmitida por un polarizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6417.9. Polarizacin por reflexin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6517.10.Gafas con lentes polarizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6517.11.Un atardecer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6617.12.Polarizacin por esparcimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6717.13.Calcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6717.14.Lmina retardadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6917.15.Polarmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7117.16.Microfotografa de cristal lquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

17.17.Tipo de ordenacin molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7317.18.Uso de cristal lquido colestrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7317.19.Polarizacin de microondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

18.1. Interfencia de ondas provenientes de 2 fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7718.2. Interferencia de ondas provenientes de dos fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7918.3. Patrn de intensidades, ecuacin 18.8 con I1p= I2p= I0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7918.4. Clculo de mximos y mnimos sobre la pantalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8118.5. Interferencia de ondas en el agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8218.6. Interferencia en pelculas delgadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8318.7. Colores de interferencia en una pompa de jabn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8518.8. Colores de interferencia: materiales birrefringentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8618.9. Colores de interferencia de elemento anistropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

18.10.Microscocopio de polarizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8718.11.Muestras vistas con microscopa de polarizacin (derecha) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8818.12.Pruebas con la tcnica de fotoelasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

20.1. Monopolos elctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9820.2. Al flujo del campo elctrico a travs de scontribuyen las cargas encerradas . . . . . . . . . . . . . 9820.3. Lneas del campo magntico en un imn de barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9920.4. No existen monopolos magnticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10020.5. Corriente inducida en una bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10120.6. Variacin del flujo magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10120.7. Variacin del flujo elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

22.1. Circuito RLC y antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

22.2. Absorcin y emisin de fotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11222.3. Espectros y Espectrometro de refraccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11322.4. El espectro electromagntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

23.1. El espectro electromagntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

24.1. Molculas polares y no polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12024.2. Campo elctrico externo sobre dipolos permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

IV


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24.3. Condensador plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12124.4. Dipolo magntico en presencia de campo magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12324.5. Toroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12424.6. Curva de dispersin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

24.7. Espectro de la clorofila b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

LISTA DE TABLAS

12.1. ndicesde refraccin de algunas sustanciasmedidos conla luzamarilla de unalmpara de sodio,=589,29 nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

13.1. Tabla para superficies refracoras esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

14.1. Tabla correspondiente a espejos esfricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

15.1. Tabla para lentes delgadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4717.1. Poder rotatorio especfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

20.1. Ecuaciones bsicas del Electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

23.1. Espectro electromagntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11623.2. Ondas en telecomunicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

24.1. Constantes dielctricas en diferentes medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12224.2. Valores de a diferentes frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

V


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PRLOGO

Estas notas de clase no pretenden reemplazar los excelentes textos de fsicaque se encuentran en el mer-cado. Los autores slo pretenden facilitar la toma de notas de los estudiantes en las clases magistrales quela Escuela de Fsica imparte a los estudiantes de ingeniera de la Universidad Nacional de Colombia en susede Medelln: aqu ni se detallan los clculos ni se hacen profundas disertaciones sobre la fenomenologa;estas son actividades a desarrollar en la clase presencial.

Los autores quieren sealar que como consecuencia de la reforma acadmica realizada en el 2008 en laUniversidad Nacional de Colombia, no hay exigencia de la Fsica de Electricidad y Magnetismo como pre-rrequisito de este curso por lo que los temas se ordenaron de tal forma que un estudiante con ese vaco deconocimiento pudiera comprender la mayor parte del tema sin mayores inconvenientes; es por esto quealgunos temas podran parecer extraos en su ubicacin; adems la ptica fsica se realiza sin recurrir a lanaturaleza electromagntica de la luz (aunque en su debido momento se hacen las respectivas aclaraciones

para evitar confusiones en los estudiantes): la naturaleza electromagnticade la luz y su comportamientocunticose tratan en la ltima prate del curso.

Las notas de clase contienen numerosos links a simulaciones y videos que facilitan la comprensin delos contenidos, y en su mayora sonpropiedad intelectual de los autores y con copyright para la UniversidadNacional de Colombia. Para acceder a ellos es necesario abrir el documento .pdfcorrespondiente a estaobray estar en lnea en la Internet.

L o s A u t o r e s

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Parte I

OPTICA GEOMETRICA

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CAPTUL

O

1 2

REFLEXION Y REFRACCION

ptica, rama de la fsica que se ocupa dela propagacin y el comportamiento de la luz.Enunsentidomsamplio,laluzeslazonadelespectro de radiacin electromagntica quese extiende desde el infarrojo hasta el ultra-violeta, e incluye la energa radiante que pro-duce la sensacin de visin (luz visible). El es-tudio de la ptica se divide en dos ramas, laptica geomtrica y la ptica fsica. En estasnotas se tratar solo de la primera.La energa radiante tiene una naturaleza du-al, y obedece leyes que pueden explicarse apartir de una corriente de partculas o paque-

tes de energa, los llamados fotones, o a par-tir de un tren de ondas transversales. El con-cepto de fotn se emplea para explicar las in-teracciones de la luz con la materia que pro-ducen un cambio en la forma de energa, co-mo ocurre con el efecto fotoelctrico o la lu-miniscencia. El concepto de onda suele em-plearse para explicar la propagacin de la luzy algunos de los fenmenos de formacin de

imgenes. En las ondas de luz, como en todas las ondas electromagnticas, existen campos elctricos ymagnticos en cada punto del espacio, que fluctan con rapidez. Como estos campos tienen, adems deuna magnitud, una direccin determinada, son cantidades vectoriales. Los campos elctrico y magnticoson perpendiculares entre s y tambin perpendiculares a la direccin de propagacin de la onda. La onda

luminosa ms sencilla es unaonda sinusoidalpura, llamada as porque una grfica de la intensidad del cam-po elctrico o magntico trazada en cualquier momento a lo largo de la direccin de propagacin sera lagrfica de una funcin seno. En el espectro visible, las diferencias en longitud de onda se manifiestan comodiferencias de color. El rango visible va desde 350 nanmetros (violeta) hasta 750 nanmetros (rojo), aproxi-madamente (un nanmetro, nm, es una milmillonsima de metro). La luz blanca es una mezcla de todas laslongitudes de onda visibles. No existen lmites definidos entre las diferentes longitudes de onda, pero puedeconsiderarse que la radiacin ultravioleta va desde los 350 nm hasta los 10 nm. Los rayos infrarrojos, queincluyen la energa calorfica radiante, abarcan las longitudes de onda situadas aproximadamente entre 750

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Sustancia nGases a 0 C y 1 atm

Aire 1.000 293Helio 1.000 036

Hidrgeno 1.000 132Dixido de carbono 1.000 45

Lquidos a 20 CBenceno 1.501Agua 1.333Etanol 1.361

Slidos a temperatura ambienteDiamante 2.419mbar 1.550Vidrio Crown 1.523Vidrio Flint 1.603

Tabla 12.1: ndices de refraccin de algunas sustancias medidos con la luz amarilla de una lmpara desodio,= 589,29 nm

nm y 1 mm.En la ptica geomtrica se prescinde de la teora ondulatoria de la luz, es decir, en la ptica geomtrica

se supone que la luz no se difracta y por tanto la imagen de un objeto puntualformada mediante un sistemaptico se supone que es un punto. La trayectoria de los rayos a travs de un sistema ptico se determinaaplicando las leyes de reflexin y refraccin.

12.1 ndice de refraccin

ndice de refraccin absoluto (o simplemente ndice de refraccin), n, de una sustancia o un mediotransparente, es la relacin entre la velocidad de la luz en el vaco, C= 300000 km/s, y la velocidad de la luzen la sustancia o el medio transparente, V:

n= CV

(12.1)

Este nmero, para un material, es mayor que la unidad y sin unidades, es una constante caractersticade cada medio y representa el nmero de veces que es mayor la velocidad de la luz en el vaco que en esemedio.

Como el ndice de refraccin es sensible a los cambios de temperatura y vara con la longitud de onda dela luz, deben especificarse ambas variables al expresar el ndice de refraccin de una sustancia.

Como C= 0f0 yV = f, donde 0 y corresponden a las longitudes de onda de la luz en el vaco y enel material de ndice de refraccin n, y f0, f las respectivas frecuencias, la ecuacin 12.1 se puede escribircomo,

n= 0f0f

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n= 0

(12.2)

ya que la luz al cambiar de medio de propagacin no cambia su frecuencia (f = f0).

Dispersin de la luz Se conoce como dispersin de la luzal fenmeno que se explica con base en relacinde dependencia que existe entre el ndice de refraccin de la sustancia y las longitudes de onda ( ) de lasondas luminosas: la luz de distintas longitudes de onda (es decir, la luz de diferentes colores) no se refractapor igual en la superficie de separacin entre dos medios transparentes. Como consecuencia el ndice derefraccin de una sustancia no slo depende de la sustancia misma sino tambin de la longitud de onda ( )delaluzquelaatraviesa;aestehechoseleconocecomo dispersin cromtica, ya queorigina unaseparacinde las ondas de la luz blanca en sus componentes como en un prisma (descomposicin de la luz blanca encolores). Cuando se da un valor para el ndice de refraccin y no se especifica a qu corresponde, se debeentender que corresponde a la de la raya amarilla del espectro del sodio que es de 580 nm.

Por lo general, el ndice de refraccin aumenta con la frecuencia de la luz (disminuye con la longitud de

onda). Cuando esto es as, se habla de dispersin normal, figura 12.1. Hay situaciones en que la dispersines anmala, es decir, ndisminuye con . Esto ocurre cuando la frecuencia de la luz est muy prxima a lafrecuencia de alguna transicin cuntica del medio. El nico medio no dispersivo es el vaco.

Figura 12.1: Curva de dispersin

Ejemplo El lser de He-Ne que se emplea en el laboratorio de este curso tiene una longitud de onda en elvaco igual a 632,8 nm (luz roja). Calcular la frecuencia de este haz de luz lser y su longitud de onda en elagua.

Solucin La frecuencia de esta luz lser en el vaco es,

C=0f0

f0 =C

0= 300000 x 10

3 m/s

632,8x109 m= 480,9 THz

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y la frecuencia en el medio (agua) es la misma. La longitud de onda en el agua es,

=

0n =632,8 x 10

9 m

1,33 = 475,8 nm

12.2 Frente de onda y rayo

Frente de ondas: Puntos del espacio alcanzados por la onda en un tiempo fijo (se encuentran en lamisma fase de vibracin de la perturbacin).

Rayo luminoso: Marca la direccin de propagacin de la onda y es perpendicular al frente de ondas enun medio isotrpico. Un rayo es una lnea en la direccin del flujo de energa radiante.

12.3 Clasificacin de los medios materiales

Atendiendo al ndice de refraccin, los medios materiales se clasifican en:

Homogneos e istropos: el ndice de refraccin es constante en todos los puntos y en todas las direc-ciones (en el espacio). Por ejemplo vidrios pticos.

Inhomogneos: el ndice de refraccin vara punto a punto. Por ejemplo la atmsfera.

Anistropos: el ndice de refraccin vara con la direccin. Por ejemplo la mayora de los cristales.

Inhomogneos y anistropos: el ndice de refraccin vara punto a punto y con la direccin.

Anotacin En estas notas, mientras no se especifique otra cosa, se considerarn los medios homogneose isotrpicos

12.4 Camino ptico

Si en un medio homogneo e istropo (nes constante) la luz recorre un trayecto de longitud (caminogeomtrico), el camino pticoL se define como

L=n (12.3)

Interpretacin fsica del camino ptico Al reemplazar la ecuacin 12.1 en la ecuacin 12.3 se obtiene,

L= CV= C

V= C tsiendo t el tiempo necesario para que la luz recorra la distancia geomtrica en el medio de ndice de

refraccin n. Por tanto,

El camino pticoL corresponde a la distancia que recorrera la luz en el vaco en el tiempo que invierteen recorrer el camino geomtrico en un medio de ndice de refraccin n.

Si el trayecto es a travs de diferentes medios de ndices, ni, recorriendo en ellos distintas longitudesgeomtricas, i, el camino ptico est dado por,

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L=

inii (12.4)

Para el caso general, dada una trayectoria curva que representa la trayectoria de un rayo de luz, se de-nomina camino ptico entre dos puntos A y B de dicha curva a la integral,

L=b

an()d (12.5)

12.5 Principio de Fermat

Hero de Alejandra, que vivi entre los aos 150 a.C. y 250 d.C., fue el primero en establecer lo que desdeentonces se ha conocido como principio variacional. En su formulacin de la ley de la reflexin, Hero afirmque la trayectoria tomada por la luz parair desde un punto S a unpunto P a travs deuna superficie reflectora,

era la ms corta posible. Durante ms de 1500 aos la curiosa observacin de Hero permaneci olvidadahasta que, en 1657, Fermat propuso su clebre Principio del Tiempo Mnimo, el cual inclua tanto la reflexincomo la refraccin. Fermatreformul la afirmacin de Hero: la trayectoria real queadopta un hazde luzentredos puntos es aquella recorrida en el tiempo mnimo. Otra forma de enunciar este principio es: la trayectoriareal que adopta un haz de luz entre dos puntos es aquella cuya longitud de camino ptico es menor.

Depus de hacer un anlisis detallado de la propuesta de Fermat, se concluye que la forma correcta deenunciar este principio (Principo de Fermat)es: la trayectoria real que adopta un haz de luz entre dos puntoses aquella cuya longitud de camino ptico es estacionaria.

Una consecuencia del principio de Fermat es que en un medio homogneolos rayos luminosos tienenla forma de lneas rectas, es decir describen trayectorias rectilneas: en un medio homogneo la luz viaja enlnea recta.

Ejercicio 12.1 Una luz de 612 nm de longitud de onda en el vaco viaja 1,57 m en un medio de ndice derefraccin igual a 1,51. Hallar (a) la longitud de onda en el medio, (b) la longitud del camino ptico y (c) ladiferencia de fase despus de haber recorrido esa distancia, con respecto a una luz que recorre la mismadistancia en el vaco. Rp. (a) 405 nm (b) 2.37 m (c) 112.

12.6 Teorema de Malus-Dupin

Si sobre cada rayo que sale de un foco emisor de luz se eligen caminos pticos iguales, los puntos quelimitan estos caminos generan una superficie que es normal a todos los rayos. Esta superficie se denominafrente de onda.

12.7 Principio de reversibilidad ptica

El principio de Fermat, trae otra consecuencia fundamental: la reversibilidad de los rayos de luz ( prin-cipio de reversibilidad ptica). Si la luz puede viajar a lo largo de un rayo desde el punto A hasta el punto Btambin podr hacerlo siguiendo la misma trayectoria pero en sentido contrario, desde B hasta A. En otraspalabras, la condicin estacionaria es independiente del sentido de recorrido a lo largo del rayo que une losdos puntos.

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Figura 12.2: Rayos y ngulos bsicos

12.8 Leyes de la ptica geomtrica

Se tiene una onda plana que llega a la superficie de separacin entre dos medios de ndices de refaccinn1 yn2. En al mayora de los casos una parte de la luz que llega se refleja al medio de incidencia y otrase propaga al medio de transmisin. Hay tres tipos de ondas: ondas incidentes, ondas reflejadas y ondastrasmitidas (o refractadas). Se definen los siguientes elementos, figura 12.2:

La normal(N): lnea ortogonal a la superficie de separacin entre los medios.

Plano de incidencia: plano normal a la superficie de separacin.

Rayo incidente(R.I.): rayo de luz que llega a la superficie de separacin.

Rayo reflejado(R.R): rayo que es devuelto al medio de incidencia (medio de ndice de refraccin n1).

Rayo refractado o transmitido(R.T): rayo que atraviesa la superficie de separacin y sigue propagan-dose en el medio de ndice de refraccin n2.

ngulo de incidencia(i): ngulo que forman R.I y N.

ngulo de reflexin(r): ngulo que forman R.R y N.

ngulo de refraccin(t): ngulo que forman R.T y N.

Las tres leyes bsicas de la ptica geomtrica (es decir, la ptica de rayos) son las siguientes:

Ley 1: Los rayos incidente, reflejado y trasmitido pertenecen al mismo plano (plano de incidencia).Ley 2 (ley de reflexin): El ngulo de incidencia es igual al ngulo de reflexin,

i = r (12.6)Ley 3 (ley de refraccin): El ngulo incidencia y el de refraccin se relacionan mediante la ley de Snell,

n1 sini = n2 sint (12.7)

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Figura 12.3: Tipos de reflexin

Dependencia del color de la luz La reflexin es independiente de la frecuencia de la luz incidente. La

superficie de un medio transparente refleja todas las longitudes de onda en la misma manera.

Reflexin especular Tiene lugar cuando los rayos de luz inciden sobre una superficie lisa. Algunos metalescomo la plata y el aluminio absorben poco la luz blanca y si se construyen con ellos lminas metlicas muypulimentadas se puede lograr que reflejen la luz de tal manera que los rayos reflejados se vean con unaintensidad comparable a la de los rayos incidentes. Estos objetos se comportan como espejos (son espejos).Los rayos que inciden paralelos a la superficie especular (plana) se reflejan tambin paralelos, figura 12.3.

Reflexin difusa La reflexin difusa se origina en los cuerpos que tienen superficies rugosas y los polvos:esto es lo que permite ver los objetos sin que deslumbren aunque que estn iluminados por una luz intensa.En el caso de la reflexin difusa los rayos son reflejados en distintas direcciones debido a la rugosidad de la

superficie; en otras palabras, los rayos que inciden paralelos sobre ella se reflejan en diferentes direcciones(los ngulos de incidencia de los rayos paralelos no son iguales entre s), figura 12.3.

Direccin del rayo refractado

Cuando un haz de luz pasa de unmediomenos denso pticamente a uno ms denso (n1 < n2), elrayorefractado se acerca a la normal, figura 12.4.

Cuando un haz de luz pasa de unmedioms denso pticamente a uno menos denso (n1 > n2), elrayorefractado se aleja de la normal, figura 12.4.

Demostracin:

De la ecuacin 12.7 se obtiene,

sinisint

= n2n1

n2 > n1 sin t < sini t < i yn2 < n1 sini < sint t > i, i yt son agudos.

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Figura 12.4: Direccin del rayo refractado

Figura 12.5: Reflexin total

Reflexin total Cuando la luz incide desde un medio de mayor ndice de refraccin ( n2 < n1), existe unngulo denominado ngulo de incidencia crtico, c, por encima del cual la luz toda se refleja (no hay rayorefractado), figura 12.5. En elrayo 3 de la figura se presenta el ngulo crtico y ya no hay refraccin,t = 90o,por lo que segn la ley de Snell,

c= arcsin

n2n1

(12.8)

En este fenmeno se fundamenta la fibra ptica.

Guas de luz (fibra ptica) La Fibra ptica es una varilla delgada y flexible de vidrio u otro material trans-parente con un ndice de refraccin alto, constituida de material dielctrico (material que no tiene conduc-tividad como vidrio o plstico). Es capaz de concentrar, guiar y transmitir la luz con muy pocas prdidasincluso cuando est curvada, figura 12.6. Est formada por dos cilindros concntricos, el interior llamadoncleo (se construye de elevadsima pureza con el propsito de obtener una mnima atenuacin) y el ex-terior llamado revestimiento que cubre el contorno (se construye con requisitos menos rigurosos), ambostienen diferente ndice de refraccin ( n2 del revestimiento es de 0.2 a 0.3% inferior al del ncleo n1 ). El

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Figura 12.6: Fibra ptica

dimetro exterior del revestimiento es de 0.1 mm aproximadamente y el dimetro del ncleo que transmitela luz es prximo a 10 50 micrmetros. Adicionalmente incluye una cubierta externa adecuada para cadauso llamado recubrimiento.

Ejercicio 12.2 Empleando el principio de Fermat demostrar la ley de reflexin.

Ejercicio 12.3 Empleando el principio de Fermat demostrar la ley de refraccin.

Ejercicio 12.4 Mediante el uso de trazado de rayos, explicar el porqu una varilla sumergida en el agua seobserva torcida.

Ejercicio 12.5 Por qu las estrellas parecen parpadear en el cielo nocturno? (Sugerencia: 1- Las estrellasse estn observando a travs del aire, sometido a las turbulencias de la atmsfera. 2- El ndice de refraccindel aire depende de su densidad)

Ejercicio 12.6 Empleando el fenmeno de reflexin total, explicar la formacin de espejismos en las car-reteras que llevan a la Costa (sensacin de ver "charcos de agua" donde no existen).

Ejercicio 12.7 Calcular el ngulo de incidencia crtico en el agua (interfase agua-aire)

Ejercicio 12.8 Una fuente puntual de luz est a 82,0 cm bajo la superficie de un volumen de agua.Hallar eldimetro mximo del crculo en la superficie por el cual pueda emerger la luz del agua (n=1,33). Rp. 187 cm

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Figura 12.7: Lmina de caras planas paralelas

Ejercicio 12.9 Una fibra ptica especfica consta de un ncleo de vidrio (ndice de refraccin n1) rodeadopor una cubierta (ndice de refraccin n2 < n1). Supngase que un haz de luz penetra en la fibra desde elaire con un ngulo respecto al eje de la fibra. Demostrar que el valor mximo posible de para que unrayo pueda propagarse por la fibra est dado por,

= arcsin

n21 n22

Ejercicio 12.10 Una onda plana de luz blanca que viaja en cuarzo fundido ( n= 1,46) choca con la super-ficie plana del cuarzo (interfase cuarzo-aire), formando un ngulo de incidencia . Es posible que el hazreflejado internamente aparezca (a) azulado o (b) rojizo? (c) Qu valor de, ms o menos, debe emplearse?(Sugerencia: La luzblanca aparecerazulada si se debilita las componentes de la luz blancaen las longitudesde onda correspondientes al rojo.) Rp: (a) S (b) No (c) 43, 0o.

12.9 Lminas y prismas

Un medio difano donde las superficies de entrada y de salida de la luz son paralelas, se conoce en laptica con el nombre de lmina de caras plano paralelas; si las superficies no son paralelas se denominaprisma ptico.

La lmina de caras planas paralelas

Si i es el ngulo de incidencia, t el ngulo de refraccin en la superficie de entrada, e el ngulo deemergencia (ngulo de refarccin en la superficie de salida)ynel ndicede refraccin del prisma (sumergidoen aire), figura 12.7:

1. Se cumple,i = e (12.9)

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Figura 12.8: El prisma

2. La desvicin lateral del rayo de incidencia, des,

d= esini t

cos

t (12.10)

Un rayo de luz que atraviesa una lmina de caras paralelas sufre un desplazamineto lateral (es decir, nocambia la direccin)

Ejercicio 12.11 Demostrar las ecuaciones 12.9 y12.10.

El prisma

Si Aes el ngulo del prisma, el ngulo de desviacin angular (rotacin de la direccin del rayo inci-dente), i el ngulo de incidencia, e el ngulo de emergencia (ngulo de refarccin en la superficie desalida) ynel ndice de refraccin del prisma (sumergido en aire), figura 12.8:

1. El ngulo de desviacin= i+ e A (12.11)

2. Para pequeos ngulos de incidencia, A(n1) (12.12)

3. Para i=e se cumple, que la desviacin es mnima, mi n

4. Bajo desviacin mnima se cumple,

n=sinmin+ A

2

sin

A2

(12.13)Un rayo de luz que atraviesa un prisma rota su direccin.

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Figura 12.9: Dispersin de la luz en un prisma

Figura 12.10: El Arco Iris

Ejercicio 12.12 Demostrar las ecuaciones 12.11, 12.12.

Ejercicio 12.13 Dado un prisma de ngulo 60,0 e ndice 1,606 hallar con qu direccin debe incidir unrayo sobre la primera cara del prisma a fin de que no emerja por la segunda cara.

Efecto de dispersin de la luz en el prisma De acuerdo a la ecuacin 12.2 (ver adems la figura ??) y a la

ecuacin 12.12 si incide en un prisma luz blanca, cada color tendr diferente desviacin: se desviar ms elvioleta que el rojo, figura 12.9 .

El Arco Iris Para que el arco iris sea visible, el Sol debe estar a la espalda del observador y la lluvia o nubefrente a l. La luz incide en la parte superior de las gotas de agua, rebota con la pared de ellas ms alejadadel observador y finalmente sale de las mismas hacia los ojos del observador, figura 12.11. En la figura 12.10se ilustra la foto de un hermoso arco iris.

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Figura 12.11: Explicacin de la forma y generacin del Arco Iris

Figura 12.12: Observacin del Arco Iris en formas "extraas"

Surge una gran pregunta: Por qu tiene forma de arco? Tomar la recta que une al observador con el Sol(fijos); al girar el experimento alrededor de ella. se genera una circunferencia. El problema es que el suelolimita el giro, por lo que se genera un arco de circunferencia, figura 12.11.

Desde lugares muy altos (aviones en vuelo y montaas) puede observarse la forma circular del arco aris,figura 12.12, fotos izquierda y centro.

A veces es posible ver un segundo arco iris ms arriba y con los colores invertidos (arco iris SUPERNU-MERARIO),figura12.12, foto del extremo derecho:estose debe a que laintensidad dela luz permite observarel segundo rebote en la pared posterior de la gota (las gotas), despus de haber rebotado en la primera pared(pared anterior), saliendo otro rayo con mayor inclinacin, observndose un segundo arco iris ms alto queel primero, y con los colores invertidos debido a que el orden cambia en cada reflexin.

Algo muy interesante es advertir que el observador del arco iris siempre est en la punta del cono deobservacin, es decir si mueve la cabeza un poco el arco iris que se observa es OTRO (el centro de la cir-cunferencia del arco iris se encuentra en la lnea que va desde el centro del Sol al ojo del observador y,generalmente, se encuentra por debajo del horizonte, por ello lo ms frecuente es que el arco iris sea menorque una semicircunferencia, salvo en los casos del amanecer o atardecer -sin embargo, como se expuso enun prrafo precedente, si el observador est situado sobre una montaa o en otro lugar muy elevado, elcentro del crculo estar por encima del horizonte y por tanto el arco iris ser mayor que un semicrculo-).

Clculo del ngulo de desviacin de la luz solar en una gota de agua En la figura 12.13 se ilustra la trayec-toria seguida por un rayo de luz proveniente del sol desde que ingresa a una gota de agua (ndice de refrac-cin n) y egresa despus de reflejarese en la cara posterior. En la construccin de la figura se ha tenido encuenta la ley de reflexin. Las ecuaciones siguientes son vlidas para el ngulo de desviacin (rotacin delhaz incidente):

=

+2

+

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Figura 12.13: Trayectoria de rayo de luz solar en una gota de agua

=+24

=+24

arcsin

sin

n

(12.14)

Ejercicio 12.14 Verificar que es mnimo cuando se cumple que,

sin=

4n23

(12.15)

y reemplazar para el rojo (n= 1,331) y para elvioleta (n= 1,346) y obtener que para el rojomi n= 137,6oy para el violeta es mi n= 139,8o.

El significado de la desviacin mnima es que, / 0, y por tanto muchos rayos resultan desviadosms o menos la misma cantidad, presentndose una gran concentracin de rayos dando brillantez al arcoiris.

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CAPTUL

O

1 3

SUPERFICIES REFRACTORAS

Por qu se necesitan sistemas de formacin de imgenes?

Segn Huygens, cada punto de un objeto dispersa la iluminacin incidente en forma de onda esfrica.

A unas micras de distancia de la superficie del objeto, los rayos que emergen de todos los puntos delobjeto se entrecruzan, impidiendo la localizacin de los detalles del objeto.

Para localizar de nuevo los detalles del objeto se debe encontrar un mtodo para reasignar (enfocar)todos los rayos que emergieron de un nico punto del objeto a otro punto en el espacio (la imagen).

Esta ltima funcin es el ncleo de la disciplina de Formacin de imgenes pticas.

La cmara oscura, figura 13.1, impide el paso al espacio imagen de gran cantidad de los rayos procedentes decada uno de los puntos del objeto (es un filtro espacial), obtienindose como resultado que a cada pequeasuperficie de la pantalla de la misma (fondo de la cmra) lleguen rayos de algunos puntos del objeto (no detodos: es decir una especie de "limpieza" de rayos), formndose una imagen con claridad (lo ideal sera que

a cada punto en el espacio de la imagen correspondiese un nico punto del espacio del objeto: en la prcticaa un punto del objeto corresponde una "mancha" en el espacio imagen, debido a los efectos de difraccin,esto se discutir en el capitulo ??). Lamentablemente en este instrumento se desaprovecha la mayor partede la luz y adicionalmente el efecto de difraccin limita altamente su resolucin.

13.1 Representacin ptica

Sistema ptico Conjunto de superficies que separa medios de diferentes ndices de refraccin. Los sis-temas ms usados son los centrados, los cuales estn formados por superficies esfricas cuyos centros estnalineados. La recta que contiene los centros se denomina eje ptico.

Si el sistema est formado slo por superfices refractantes, se llama diptrico; s slo est formado porsuperficies reflectantes (es decir, espejos) se denomina catptricoy est combinado se denomina catadip-trico.

Objeto e imagen Si un punto emisor O se ubica al frente de un sistema ptico, puede ocurrir que despusde reflejarse o refractarse en sus distintas superficies los rayos que partiendo de O penetran en l vuelvana juntarse a la salida en otro punto O. Si esto sucede, al punto O se le denomina punto imageny al puntoO punto objeto, figura 13.2 izquierda. Puede observarse que en este ejemplo, los rayos salen realmente de O(rayos divergen de O), por lo que se trata de un objeto real, y se cortan realmente en O (rayos convergen aO), por lo que la imagen es real.

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Figura 13.1: Formacin de imagen

Figura 13.2: Imagen real e imagen virtual

Puede ocurrir que los rayos a la salida sean divergentes, pero que sus prolongaciones en sentido con-trario al de la propagacin de la luz se corten en un punto O; en este caso O es una imagen virtualde O,figura 13.2 derecha.

Cuando se acoplan dos sistemas la imagen que produce el primero sirvede objeto para el segundo. En lafigura 13.3,elobjetoO1=O2 no llega a formarse realmente porque los rayos antes de concurrir son desviadospor el segundo sistema y por tanto es considerado como un objeto virtualpara ste. El objeto virtual slopuede existir en acoplamiento de sistemas.

Si en la figura 13.2 hubiera otro sistema a la derecha, la imagen virtual O, dada por el primero, servirade objeto real para el segundo, ya que los rayos entraran en l como si realmente procedieran de O.

No sobra advertir que si un objeto es extenso(es decir no puntual) la imagen tambin lo ser y se confor-mar por la superposicin de las imgenes puntuales de todos los puntos del objeto.

Espacio objeto y espacio imagen Se considera como espacio objeto de un sistema todo el espacio ge-omtrico donde pueden haber objetos virtuales (espacio objeto virtual) o reales (espacio objeto real). Lomismo aplica para el espacio imagen (espacio imagen real y espacio imagen virtual), y por tanto todo elespacio geomtrico es tanto espacio imagen como espacio objeto.

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Figura 13.3: Objeto virtual

13.2 La cinco preguntas bsicas

Las siguientes son cinco preguntas bsicas que se deben responder en todo sistema ptico formador deimgenes, desde el punto de vista de la ptica geomtrica.

Pregunta 1 Cul es la expresin algebraica que relaciona el radio R (o radios, R1 yR2) de curvatura dela(s) superficie(s) del sistema y las distancias imagen y objeto, sys? Esta se conoce como frmula de Gaussen la que se llamar aproximacin paraxial.

Pregunta 2 Cules son las propiedades focales del sistema? Hay otras formas equivalentes de hacer es-ta pregunta: Qu forma debe tener la superficie (o superficies) del sistema para que rayos paralelos seandesviados por el sistema de tal forma que converjan a un punto (que se denominar foco imagendel sis-tema)? Qu forma debe tener la superficie (o superficies) del sistema para que la imagen formada por estesistema de un objeto ubicado en el infinito (es decir muy lejos del sistema) se formeen el denominado plano

focal imagen?

Pregunta 3 Cul es la expresin algebraica que relaciona el radio R(o radios, R1yR2) de curvatura de lassuperficies del sistema ptico con la distancia focal, f, ( o distancias focales objeto e imagen, f y f ) delsistema? Esta expresin es la denominada ecuacin del constructor del sistema ptico.

Pregunta 4 Cul es la trayectoria de los tres rayos principales (rayo paralelo al eje ptico, rayo que pasapor el foco objeto, rayo que pasa por el centro del sistemaal salir del sistema ptico? Es decir, cmo explicarla formacin de imgenes mediante el trazado de rayos principales?.

Pregunta 5 Cul es el aumento del sistema ptico?

13.3 Superfice refractora esfrica (SRE)

Una SRE es un sistema ptico simple que separa dos medios de ndice de refraccin n yn; tambindenominado diptrio esfrico, figura 13.4. Prmero se definir el vocabulario bsico, luego se expondr lasdenominadas normas DIN (Deustcer Industrie Normes -Normas de la Industria Alemana) 1335 y por lti-mos se obtendrn las expresiones que rigen las SRE a travs de la respuestas a las cinco preguntas bsicasde los sistemas pticos en el contexto de la ptica geomtrica.

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Figura 13.4: Superficie Refractora Esfrica

Definiciones bsicas en la SRE

Centro y radio de curvatura Centro Cy radio Rdel casquete esfrico correspondiente a la SRE.

Vrtice Punto medio de la SRE.

Distancia objeto (s) Distancia del objeto al vrtice de la SRE.

Eje ptico Recta que pasa por el vetice y el centro de curvatura de la SRE.

Distancia imagen (s) Distancia de la imagen al vrtice de la SRE.

Altura del objeto (y) Altura del objeto medida desde el eje ptico.

Altura de la imagen (y) Altura de la imagen medida desde el eje ptico.

Aumento o magnificin lateral (M) Relacin entre la altura de la imagen y la altura del objeto, ecuacin13.1.

M= y

y(13.1)

Normas DIN 1335

Las letras que hacen referencia a la imagen son las mismas que las referidas al objeto, pero con "pri-ma". Por ejemplo, si el tamao del objeto es y, el tamao de la imagen es y.

Las figuras se dibujan de modo que la luz incidente procede de la izquierda y se propaga hacia laderecha.

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Figura 13.5: Objeto Real (P) e imagen Real (P) puntuales en una SRE

Las magnitudes lineales se consideran negativas hacia la izquierda del vrtice del diptrio (puntoCERO) y positivas a la derecha; es decir, como si el vrtice estuviera situado en el origen de coor-denadas. En el caso ilustrado en la figura 13.4, ses negativa, s es positiva yRes positiva.

Las distancias al eje ptico se cuentan a partir de l y sonpositivas si estn por encima del eje y negati-vas si estn por debajo. Por ejemplo, en el caso ilustrado en la figura 13.4, yes positiva, y es negativa.

Los ngulos de incidencia y de refraccin de un rayo son positivos si para hacer coincidir el rayo con lanormal a la superficie por el camino ms cortohay que girarlo en el sentido horario. En caso contrarioel ngulo es negativo.

El ngulo formado por un rayo o por la normal con el eje ptico es positivo, si para hacer coincidir elrayo o la normal con el eje por el camino ms corto hay que hacer un giro en sentido anti-horario. Encaso contrario, el ngulo es negativo.

Expresiones bsicas en las SRE

En principio considrese un objeto real puntual ubicado a la distancia sde la SRE y sobre el eje ptico,figura 13.5.

Solucin a la pregunta 1: Frmula de Gauss

Se trata de encontrar la relacin entre s, syR. Del tringuo AP Cse obtiene,= ||+ (13.2)Del

APCse obtiene,

= + (13.3)23


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Aplicando la convencin DIN para ngulos, se tiene que: > 0, < 0, > 0, > 0 y > 0 y por tantolas ecuaciones 13.2, 13.3 se pueden reescribir as:

=

(13.4)

= (13.5)Segn la ley de Snell,

nsin= n sin

y para aproximacin paraxial (rayos incidiendo muy cerca al eje ptico, es decir ngulos muy pequeos:ptica Gaussiana) la ecuacin anterior se reescribe as,

n n (13.6)reemplazando las ecuaciones 13.4 y13.5 se obtiene,

n

= n

(13.7)

En la aproximacin paraxial tambin es vlido: tan; tan; tan; x 0 y por tanto laecuacin se escribe,

n

1

R 1

s

= n

1

R 1

s

(13.8)

Esta ltima ecuacin se conoce con el nombre de invariante de Abbey se puede escribir en la siguienteforma:

ns

ns

= n nR

(13.9)

conocida como la frmula de Gauss para SRE.

Ejercicio 13.1 Una moneda reposa en el fondo de una piscina de profundidad h e ndice de refraccinn. Demostrar que los rayos que estn cerca de la normal parecen provenir de un punto d = h/n bajo lasuperficie. Esta distancia es la profundidad aparente de la piscina.

Solucin a la pregunta 2: Propiedades focales

Qu forma debe tener una superficie refractora (SR) para que rayos paralelos sean desviados por refrac-cin de tal forma que converjan a un punto (que se denominar foco imagendel sistema, F)?

Para el anlisis se supondr una superficie convexa yn > n. Los caminos pticos seguidos por los rayos1 y 2 que inciden paralelos al eje ptico y pasan por el denominado foco imagen deben ser iguales, figura13.6,

L1 =L2

n D1P1 +n P1F = n D2P2 +n P2F

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Figura 13.6: Superficie refractora: propiedades focales

y en general,

n DP+n PF = constante (13.10)

La ecuacin 13.10 corresponde a la ecuacin de una cnica (en el plano):

Como n > n corresponde a una elipse (elipsoide como superficie de revolucin): la excentrecidade= n/n ser menor que 1.

En el caso que n < ncorresponder a una hiprbole (hiperboloide como superficie de revolucin):laexcentrecidad e= n/n ser mayor que 1.

Si embargo esas superficies asfricasson muy costosas de construir y en aplicaciones de ingeniera pticageneralmente es suficiente con tener superficies esfricas (SRE). En este caso los rayos que inciden paralelosal eje ptico no convergen exactamente todos en un punto (en el foco imagen) y por tanto la SRE tendraberracin esfrica, la cual queda altamente disminuda si se tarabaja en aproximacin paraxial.

Notas sobre SRE convergentes y divergentes

Si n > nlas superficies convexas son convergentes y las cncavas divegentes, figura 13.7.

Si n < nlas superficies cncavas son convergentes y las convexas divergentes, figura 13.8.

En este curso se supondr, por defecto, n > n.

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Figura 13.7: SRE, n > n

Figura 13.8: SRE, n < n

Foco imagen real En una SRE convergentelos rayos que inciden paralelos al eje ptico al refractarse enla superficie convergen realmentea un punto denominado foco imagen, F (este foco es real). Si se ubicaun objeto puntual P en el infinito sobre el eje ptico, su imagen P es realy queda ubicada sobre el focoimagen. A la distancia entre el foco imagen y el vrtice de la SRE se le denomina distancia focal imagen, f,figura 13.9 izquierda.

Adicionalmente, si se ubica un objeto puntual P en el iunfinito y fuera del eje ptico, su imagen P

es real y quedara ubicada fuera del eje ptico y un plano denomnado plano focal imagen. Este plano esperpendicular al eje ptico y lo corta por el punto focal F, figura 13.9 derecha.

Foco objeto real En una SRE convergentelos rayos que inciden realmentepor un punto denominado elfoco objetoF al refractarse en la superficie emergen paralelos al eje ptico (este foco es real). Si se ubica unobjeto puntual P en el foco objeto, su imagen es real yqueda ubicada en el infinito, P, pero sobre el ejeptico. A la distancia entre el foco objeto y el vrtice de la SRE se le denomina distancia focal objeto, f, figura13.10 izquierda.

Adicionalmente, si se ubica un objeto puntual Pen el denominado plano focal objetopero fuera del ejeptico, su imagen ser real y quedar ubicada en el infinito, P

, fuera del eje ptico. El plano focal objeto es

perpendicular al eje ptico y lo corta por el punto focal F, figura 13.10 derecha.

Foco imagen virtual En una SRE divergentelos rayos que inciden paralelos al eje ptico al refractarse enla superficie divergen, de tal forma que sus prolongaciones convergen virtualmentea un punto denominadofoco imagen, F (este foco es virtual). Si se ubica un objeto puntual en el infinito, P, sobre el eje ptico, suimagen P es virtualy quedar ubicada sobre el foco imagen. A la distancia entre el foco imagen y el vrticede la SRE se le denomina distancia focal imagen, f, figura 13.11 izquierda.

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Figura 13.9: Foco imagen real y plano focal imagen

Adicionalmente, si se ubica un objeto puntual en el iunfinito pero fuera del eje ptico, P, su imagenP es virtual y quedar ubicada en el denominado plano focal imageny fuera del eje ptico. Este plano esperpendicular al eje ptico y lo corta por el punto focal F, figura 13.11 derecha.

Foco objeto virtual En una SRE divergente los rayos que inciden virtualmente (es decir sus prolonga-ciones) por el denominado foco objetoF, al refractarsen en la superficie divergen, de tal forma que emergenparalelos al eje ptico (estefocoes virtual). Sise ubica un objeto puntual virtual en el foco objeto, su imagenser real y se ubicar en el infinito sobre el eje ptico. A la distancia entre el foco objeto y el vrtice de la SREse le denomina distancia focal objeto, f, figura 13.12 izquierda.

Adicionalmente, si se ubica un objeto virtual puntual en el denominado plano focal objetopero fueradel eje ptico, su imagen ser real y quedar ubicada en el infinito y fuera del eje ptico. Este plano esperpendicular al eje ptico y lo corta por el punto focal F, figura 13.12 derecha.

Solucin a la pregunta 3: Frmula del constructor

La expresin que relaciona las distancias focales f y f con el radio de curvatura R de la superficie re-fractora recibe el nombre de ecuacin del constructor. Para obtenerla, se puede recurrir a los dos siguientesrazonamientos:

Razonamiento I -Clculo de la distancia focal imagen- Si se ubica un objeto en el infinito (s ), laimagen dada por la SRE queda ubicada en el planofocal imagen (s = f) y por tanto,segn la ecuacin 13.9,

n

f= n

nR

f =

n

n n

R (13.11)

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Figura 13.10: Foco objeto real y plano focal objeto

Figura 13.11: Foco imagen virtual y plano focal imagen

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Figura 13.12: Foco objeto virtual y plano focal objeto

Razonamiento II -Clculo de la distancia focal objeto- Si el objeto se ubica en el foco objeto (s= f), laimagen dada por la SRE queda ubicada en el infinito (s ), y por tanto, segn la ecuacin 13.9,

nf

= n nR

f = n

n n

R (13.12)

Relaciones entre las distancias focales De las ltimas dos ecuaciones se obtiene,

f

f= n

n(13.13)

Solucin a la pregunta 4: Rayos notables

Rayo 1 Rayo que incide paralelamente al eje ptico refracta en la SRE real o virtualmente por el foco ima-gen.

Rayo 2 Rayo que incide real o virtualmente por el foco objeto refraccta en la SRE paralelo al eje ptico.

Rayo3 Rayo que incide en la direccin del centro de curvatura, no cambia de direccin en la refraccin enla SRE.

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Formacinde imgenes Para formar la imagen de un objeto puntual basta con trazar la trayectoria segui-da por slo dos rayos, y donde se corten REAL o VIRTUALMENTE queda ubicada la imagen puntual cor-respondiente. Es til emplear dos de los tres rayos notables. En la figura 13.13 se ilustran 2 ejemplos deimgenes dadas por las SRE convexas (convergentes): al lado izquierda el resultado es una imagen REAL y

al lado derecho el resultado es una imagen VIRTUAL y de mayor tamao que el objeto. En la figura 13.14 seilustra un ejemplo de la imagen formada por una SRE cncava (divergente), es VIRTUAL y de menor tamaoque el objeto. En estos ejemplos se supuso que el medio de la izquierda es aire ( n 1,0) y el de la derechavidrio (n = 1,5).

Es importante anotar que:los sistemas convergentes pueden dar de objetos reales, imgenes reales de mayor, menor o igual tamao

queel objeto y tambin imgenes virtuales mayores queel objeto; incluso tienenun punto ciego (elfoco objeto).Los sistemas divergentes slo pueden dar de objetos reales imgenes virtuales de menor tamao que el objeto.

slo las imgenes reales se pueden proyectar en una pantalla.el ojo humano est diseado para converger rayos que estn divergiendo y enfocarlos en la retina. Por

tanto, es capaz de detectar con suma comodidad las imgenes virtuales (convirtindolas en reales proyectadasen la retina). Para detectar imgenes reales se debe ubicar en una regin en la que los rayos provenientes de la

imagen estn divergiendo; lo mejor en este caso es proyectarlos en una pantalla para que su reflexin en stalos convierta en divergentes y por tanto registrables comodamente en la retina del ojo.

Solucin a la pregunta 5: Aumento lateral

De la figura 13.15 se puede concluir aplicando la ley de Snel en el vrtice V de la SRE,

sin

sin= n

n

para aproximacin paraxial (sin tany sin tan),

y/ (

s)y/s = n

n

y

y= ns

ns

de acuerdo con la definicn 13.1,

M= y

y= ns

ns(13.14)

Ejercicio13.2 Una moneda de 2.00 cm de dimetro est situada en el interior de una bola maciza de cristal

de radio 30,0 cm. El ndice de refraccin de la bola es n1 = 1,50 y la moneda est a 20.0 cm de la superficiede la bola. (a) Hallar la posicin de la imagen (Resolver analitica y grficamente). (b) Calcular el aumentolateral de la imagen. Rp.(a) Imagen virtual ubicada a 17.1 cm de la superficie de la bola (en el interior). (b)1.28

Ejercicio 13.3 Cul ha de ser el ndice de refraccin de una esfera transparente para que los rayos paraxi-ales procedentes del infinito se concentren en el vrtice de la segunda superficie? Rp. n= 2,00

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Figura 13.13: Ejemplos de imgenes dadas por SRE convexas (convergentes)

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Figura 13.14: Ejemplo de imagen dada por una SRE cncava (divergente)

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Figura 13.15: Demostracin del aumento lateral

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Ejercicio 13.4 Uno de los extremos de una varilla de vidrio ( n= 1,50) tiene forma de una superficie con-vexa de radio 6.00 cm. Se coloca un objeto en el aire en un punto sobre el eje de la varilla. Determinar lasposiciones de la imagen cuando el objeto se encuentra a: (a) 20.0 cm, (b) 10.0 cm y (c) 3.00 cm, del extremode la varilla. (d) Determinar las distancias focales de la superfice refractora. Repetir los clculos suponiendo

que la superficie del extremo es cncava.

Ejercicio 13.5 Completar la tabla 13.1 para superficies de refraccin esfricas bajo aproximacin paraxial.Todas las distancias estn en mm. R es el radio de curvatura, s la distancia objeto, s la distancia imagen.Tomar n= 1 yn = 1,50 . Resolver analtica y grficamente.

TIPO R s s Imagen Real? Imagen Invertida? Aumento

CNCAVA -90 -15PLANA -300

CONVEXA 120 -480CNCAVA -480 -120

-96 96

Tabla 13.1: Tabla para superficies refracoras esfricas

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CAPTUL

O

1 4

SUPERFICIES REFLECTORAS:ESPEJOS

14.1 Qu es un espejo?

Son superficies en las que se produce la reflexin de los rayos que inciden en ella. Se considerarn sloespejos esfricos en aproximacin paraxial y espejos planos. Hay dos tipos de espejos esfricos: cncavos yconvexos, figura 14.1.

14.2 Expresiones bsicas en los espejos esfricos

La reflexin puede ser estudiada como una refraccin en la que la luz incide desde un medio de ndicede refraccin nhacia uno de ndice de refraccin n = n.

Solucin a la pregunta 1: Frmula de Gauss

Reemplazando n

= nen la frmula de Gauss, ecuacin 13.9, se obtiene,

ns

ns

= nnR

Figura 14.1: Tipos de espejos esfricos

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1

s+ 1

s= 2

R(14.1)

Solucin a la pregunta 2: Propiedades focalesQu forma debe tener una supercie reflectora para que rayos que incidan paralelos al eje ptico al re-

flejarse converjan a un punto (que se denominar foco imagen del espejo)?Teniendo en cuenta la ecuacin 13.10 y que la reflexin se puede interpretar como una refraccin desde

un mediode ndice na un medio de ndice n = n, se tendr como resultado la ecuacin de una cnica conexcentricidad || = 1 que corresponde a una parbola. En otras palabras, para que un espejo enfoque bienlos rayos que inciden paralelos en l, deber ser parablico. En este curso se trabajar con espejos esfricos,los cuales al no enfocar bien, se dice que poseen aberracin esfrica, sin embargo, la misma queda muydisminuda bajo aproximacin paraxial (ptica Gaussiana).


Reemplazando n = nen las ecuaciones del constructor, 13.11 y13.12 se obtiene,f = f = R

2(14.2)

Esta es la correspondiente ecuacin del constructor de espejos. Se observa que en un espejo esfrico losfocos objeto Fe imagen F coinciden. Por tanto se puede considerar que slo tiene un foco Fy una distanciafocal f. Adems, combinando las ecuaciones 14.1 y14.2, se deduce una ecuacin muy bsica,

1

s+ 1

s= 1

f(14.3)


Rayo 1 Rayo que incide paralelamente al eje ptico al reflejarse en el espejo esfrico pasa real o virtual-

mente por el foco imagen.

Rayo 2 Rayo que incide real o virtualmente por el foco objeto al reflejarse en el espejo esfrico regresaparalelo al eje ptico.

Rayo 3 Rayo que incide en la direccin del centro de curvatura, al reflejarse en el espejo esfrico regresapor el mismo camino pasando de nuevo por el centro de curvatura (es decir, no desva su direccin).

Formacinde imgenes Para formar la imagen de un objeto puntual basta con trazar la trayectoria segui-da por slo dos rayos, y donde se corten REAL o VIRTUALMENTE queda ubicada la imagen puntual corre-spondiente. Es til emplear dos de los tres rayos notables. Observando la figura 14.2, donde se ilustra ejem-plos de imgenes de objetos REALES dadas por los espejos esfricos cncavos (convergentes) y convexos

(divergentes), se conluye que:los espejos cncavos (que es un sistema convergente) pueden dar de objetos reales, imgenes reales de may-or, menor o igual tamao que el objeto y tambin imgenes virtuales mayores que el objeto; incluso tienen unpunto ciego (el foco objeto).

los espejos convexos (que es un sistema divergente) slo pueden dar de objetos reales imgenes virtuales demenor tamao que el objeto.

En las figura14.3 se ilustra la grfica de1/s

vs(1/s) tanto para espejos cncavos como para espejos

convexos (ver ecuacin14.3). De ellas se puede conluir:

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Figura 14.2: Imgenes dadas por los espejos esfricos

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Figura 14.3: Zonas prohibidas en espejos esfricos

Con un espejo cncavo se pueden obtener de objetos reales imgenes virtuales y reales; tambin se puedeobtener de objetos virtuales imgenes reales. Sin embargo, no es posinle obtener de objetos virtuales imgenesvirtuales.

Con un espejo convexo se pueden obtener de objetos reales slo imagenes virtuales y no es posible de estetipo de objetos obtener imgenes reales. Tambin es posible obtener de objetos virtuales imgenes tanto reales

como virtuales.

Solucin a la pregunta 5: Aumento

Reemplazando n = nen la ecuacin de aumento lateral, ecuacin 13.14, se obtiene,

M= y

y= s

s(14.4)

Ejercicio14.1 Sobre una pantalla se desea proyectar medianteun espejo esfrico cncavo que dista de ella10.0 m, la imagen de un objeto, de modo que la imagen sea cuatro veces mayor. Determinar la distancia del

espejo a que se debe colocar el objeto, as como el radio de curvatura del mismo. Hacer tambin un anlisisgrfico. Rp. A 2.50 m por delante. El radio debe valer 4.00 m.

14.3 Espejos planos

Un espejo plano se puede considerar como un espejo esfrico de radio muy grande, R , por tantoson vlidas las siguientes expresiones,

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Reemplazando, R en la frmula de Gauss para espejos esfricos, ecuacin 14.1,

s= s (14.5)

Reemplazando, en la frmula de aumento lateral del espejo esfrico, ecuacin 14.4,

M= y

y= 1 (14.6)

La imagen de un objeto real generada por un espejo plano est siempre al otro lado del espejo (es decir,es VIRTTUAL) , es derecha y de igual tamao que el objeto.

Ejercicio 14.2 Mostrar que cuando un espejo plano gira un ngulo los rayos reflejados giran 2.

Ejercicio 14.3 Mostrar que si un espejo plano es desplazado una distancia xen la direccin de la normal,la imagen se mueve 2x.

Ejercicio 14.4 Qu tamao debe tener un espejo plano orientado verticalmente para que una persona dealtura h se observe completamente en l? Calcular adems la altura a la que debe estar ubicado del piso.Dependen estos resultados de la distancia a la cual est ubicada la persona respecto al espejo?

Ejercicio 14.5 Completar la tabla 14.1 para espejos esfricos bajo aproximacin paraxial. Todas las dis-tancias estn en mm. Res el radio de curvatura, f es la distancia focal, s la distancia objeto, s la distanciaimagen. Resolver analititica y grficamente.

TIPO R f s s Imagen Real? Imagen invertida? Aumento

Convexo 90 45 -15 11 NO NO 0,75Plano -300

Cncavo -120 -400480 120-96 36

Convexo -160 0,5 48

Cncavo -50 S 1,5

Tabla 14.1: Tabla correspondiente a espejos esfricos

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CAPTUL

O

1 5

LENTES

15.1 Qu es una lente?

Una lente es un sistema ptico formado por dos superficies refractoras. El sistema es centrado, es decirlos vrtices y los centros de curvatura de las superficies estn sobre el eje ptico. Se considerarn slo laslentes esfricas, es decir las lente cuyas superficies son SRE.

De acuerdo a la forma de las SRE se clasifican en: biconvexas, bicncavas, Plano convexas, Plano cn-cavas, Meniscos convergente, Menisco divergente. Estas se ilustran en la figura 15.1 y sus respectivos sm-bolos de representacin.

Figura 15.1: Tipos de lentes

Cmo se demsotrar ms adelante, si el medio en el que est sumergido la lente tiene un ndice derefraccin n, la lente un ndice n, y n > ncomo generalmente es el caso, sta ser convergentes es msgruesa en su centro que en sus bordes (en la figura se ilustra este caso); las ms delgadas en el centro serndivergentes. Sin embargo si n < n, se invierte el comportamiento de ellas.

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En las lentes convergentes los rayos que inciden paralelos al eje ptico se refractan dirigindose real-mente a concentrarse en un punto (el foco imagen). En cambio en las lentes divergentes estos rayos al re-fractarsen divergen. Ver figura 15.2.

Figura 15.2: Rayos paralelos refractndose en lentes

15.2 Expresiones bsicas en las lentes delgadasSolucin a la pregunta 1: Frmula de Gauss

En la figura 15.3, se ilustra una lente de ndice de refraccin n2 y de espesor xsumergida en dos mediosde nices de refraccin n1 (medio izquierdo) e ndice de refraccin n3 (medio derecho), sobre la cual incideun rayo proveniente de un objeto puntual Oubicado sobre el eje ptico a la distancia s. El rayo atraviesa lalente y formala imagen puntual O ubicada tambin sobre el elje ptico a la distancia s. Esta situacin fsicase puede dividir en dos situaciones separadas pero superpuestas (principio de superposicin):

Rayo proveniente del objeto O1 = Oubicado a la distancia s1 = sque al refractarse en la SR E1 formauna imagen intermedia O1 ubicada a la distancia s

1. Aplicando la frmula de Gauss, ecuacin 13.9

para SRE,n2s1

n1s1 =

n2

n1R1

n2s1

n1s

= n2 n1R1

(15.1)

Rayo proveniente de la imagen intermedia O1 que hace el rol de objeto virtual O2 que ubicado a ladistancia s2 de SR E2, con s2 = s1 x, que al refractarse en ella forma la imagen definitiva O2 = O.Aplicando la frmula de Gauss, ecuacin 13.9 para SRE y suponiendo lente delgada (x 0 s2 = s1),

n3s2

n2s2

= n3 n2R2

n3s

n2s1

=n3

n2

R2 (15.2)

Combinando las ecuaciones 15.1 y15.2 se obtiene,

n3s

n1s

= n2 n1R1

+ n3 n2R2

(15.3)

Esta es la frmula de Gauss correspondiente a lentes delgadas.

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Figura 15.3: Demostracin de la frmula de Gauss para lentes

Caso comn En la mayora de las situaciones, n1 = n3 = nyn2 = n reducindose la ecuacin de Gauss a,

1

s 1

s=n n

n

1

R1 1

R2

(15.4)

Solucin a la pregunta 2: Propiedades focales

Qu forma deben tener las superficies refractoras de la lente para que rayos paralelos sean desviadospor refraccin de tal forma que converjan a un punto (que se denominar foco imagendel sistema)?

Deben ser superficies asfricascomo las discutidas en la subseccin 13.3. Sin embargo en estas notas seconsiderarn lentes esfricas (las superficies refractoras son SRE) bajo aproximacin paraxial.


La expresin que relaciona las distancias focales f yf con los radios de curvatura R1 yR2 de las supercierefractoras recibe el nombre de ecuacin del constructor de lentes. Para obenerla, se puede recurrir a los dossiguientes razonamientos:

Razonamiento I - Clculo de la distancia focal imagen- Si se ubica un objeto en el infinito ( s ), laimagen dada por la lente queda ubicada en el plano focal imagen (s = f) y por tanto, segn la ecuacin15.3,

1

f= 1

n3

n2 n1

R1+ n3 n2

R2

(15.5)

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Razonamiento II - Clculo de la distancia focal objeto- Si el objeto se ubica en el foco objeto (s= f), laimagen dada por la lente queda ubicada en el infinito (s ), y por tanto, segn la ecuacin 15.3,

1

f = 1

n1 n2 n1

R1 +n3 n2

R2 (15.6)Casocomn En la mayora de las situaciones, n1 = n3 = nyn2 = nreducindose las ecuaciones 15.5y15.6a,

1

f=

n n

n

1

R2 1

R1

(15.7)

1

f=n n

n

1

R2 1

R1

(15.8)

Observar que en las lentes f = f, es decir los focos imagen y objeto no coinciden como en los espejos:los focos de las lentes estn a lados diferentes de sta. En la lente convergetne el foco objeto F se encuentraen la parte frontal de la lente y el foco imagen F en la parte de atrs (son focos REALES), intercambindoseesto para las lentes divergentes (son focos VIRTUALES). Puede verse adem que en las lentes delgadas losfocos equidistan de ella.

Las ecuaciones 15.5, 15.6 y sus casos particulares, ecuaciones 15.7 y15.8 corresponden a las ecuacionesdel constructor de lentes delgadas.

Frmula bsica Combinando la ecuaciones 15.7 y15.8 con la ecuacin 15.4 se obtiene,

1

s 1

s= 1

f(15.9)

1

s 1

s= 1

f(15.10)

Potencia de una lente Se define como,

P= 1f

(15.11)

donde s f se mide en m la potencia queda expresada en dioptras.

Ejercicio15.1 Hacer un bosquejo de las diferentes lentes delgadas posibles que se pueden obtener al com-binar dos superficies de radios de curvatura de 10,0 cm y 20,0 cm. Cules son convergentes y cules diver-gentes? Encontrar la distancia focal en cada caso. Suponer primero que las lentes son de vidrio sumergidasen aire y luego que las lentes son de aire sumergidas en vidrio. Tomar como ndice de refraccin del vidrio1,50.


Rayo 1 Rayo que incide paralelamente al eje ptico al atravesar la lente se dirige real o virtualmente haciael foco imagen.

Rayo 2 Rayo que incide real o virtualmente por el foco objeto al atravesar la lente contina paralelo al ejeptico.

Rayo 3 Rayo que incide en la direccin del centro de la lente, al atravesarla contina sin desviarse.

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Figura 15.4: Imgenes dadas por las lentes

Formacinde imgenes Para formar la imagen de un objeto puntual basta con trazar la trayectoria segui-da por slo dos rayos, y donde se corten REAL o VIRTUALMENTE queda ubicada la imagen puntual cor-respondiente. Es til emplear dos de los tres rayos notables. Observando la figura 15.4, donde se ilustraejemplos de imgenes de objetos REALES dadas por las lentes convergentes y divergentes, se conluye que:

las lentes convergentes pueden dar de objetos reales, imgenes reales de mayor, menor o igual tamao queel objeto y tambin imgenes virtuales mayores que el objeto; incluso tienen un punto ciego (el foco objeto).

las lentes divergentes slo pueden dar de objetos reales, imgenes virtuales de menor tamao que el objeto.En las figura15.5se ilustra la grfica de (1/s) vs(1/s) tanto para lentes convergentes como para lentes

divergentes (ver ecuacin15.9). De ellas se puede conluir:Con una lente convergente se pueden obtener de objetos reales imgenes virtuales y reales; tambin se

puede obtener de objetos virtuales imgenes reales. Sin embargo, no es posinle obtener de objetos virtualesimgemes virtuales.

Con una lente divergente se pueden obtener de objetos reales slo imagenes virtuales y no es posible de este

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Figura 15.5: Zonas prohibidas en lentes

tipo de objetos obtener imgenes reales. Tambin es posible obtener de objetos virtuales imgenes tanto realescomo virtuales.

Solucin a la pregunta 5: Aumento

Suponer que frente a la lente se ubica un objeto extendido de altura y, y que se obtiene una imagen dealtura y. Siguiendo el razonamiento empleado para discutir la situacin involucrada en la figura 15.3, setendr una imagen intermedia de altura y1. Reemplazando en la ecuacin de aumento lateral para una SRE,ecuacin 13.14, se obtiene,

Para SR E1,

M1 =y1y

= n1s1

n2s(15.12)

Para SR E2,

M2 =y

y1= n2s

n3s1(15.13)

Combinando estas dos ltimas ecuaciones se obtiene el aumento para todo el sistema ptico (en este caso,la lente),

M= y

y= M1M2 =

n1s1n2s

n2s

n3s1

M= y

y= n1s

n3s(15.14)

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Caso comn En la situacin en que n1 = n3 = n, se obtiene,

M= y

y= s

s(15.15)

Ejercicio 15.2 La potencia de una lente es de 5.00 dioptras. (a) Si a 10.0 cm a su izquierda se coloca unobjeto de 2.00 mm de altura, hallar la posicin y el tamao de la imagen: hacer el clculo y el anlisis grfico.(b) Si dicha lente es de vidrio (n= 1,50), y una de sus caras tiene un radio de curvatura de 10.0 cm, cul esel radio de curvatura de la otra? Rp. (a) -20.0 cm , 4.00 mm (b) (es una lente plano-convexa).

Ejercicio 15.3 Dos lentes de distancias focales imagen iguales a 4.00 cm y -12.0 cm, estn separadas 30.0cm. Un objeto de 7,00 mm se sita a 5.00 cm delante de la primera. Dnde se forma la imagen? Cul es sutamao? Rp. La imagen final es invertida, virtual, se encuentra entre ambas lentes a 5.46 cm a la izquierdade la segunda lente, y su tamao es 15.3 mm.

Ejercicio 15.4 Completar la tabla 15.1 para lentes delgadas bajo aproximacin paraxial. Todas las distan-

cias estn en mm. f es la distancia focal imagen, sla distancia objeto, s la distancia imagen.TIPO f s s Imagen Real? Imagen Invertida? Amento

CONVERGENTE 96 288DIVERGENTE -300 -150

-120 -60POSITIVA 480 -120NEGATIVA -96 -36

240 S 3+ 180

170 2,5

Tabla 15.1: Tabla para lentes delgadas

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CAPTUL

O

1 6

MICROSCOPIA

Desde el punto de vista de la ptica Ge-

omtrica, a un punto del espacio objeto cor-responder un nico punto del espacio ima-gen.Sinembargoelhechodequenotodoslosrayos logran pasar por el sistema ptico, haceque al punto en el espacio objeto correspon-da una mancha en el espacio imagen y comoconsecuencia a puntos objeto muy cercanoscorrespondern manchas muy solapadas enel espacio imagen, que no permitirn distin-guir entre la imagen del uno y la del otro: es

decir los sistemas pticos tienen un limite de resolucinpor debajo del cual para puntos objeto ms cer-canos no hace posible que se definan sus correspondientes imgenes. Este fenmeno se denomina difrac-cin, y su estudio corresponde a la ptica Ondulatoria; sin embargo en este captulo se tratar, de formamuy descriptiva, algunas consecuencias del mismo en el funcionamiento del ojo humano, de una lente y deun microscopio.

16.1 Curiosidades sobre la luz que atraviesa un agujero

Interesante es realizar resolver la siguiente pregunta: Un haz de luzsiempre tomala forma del diafragmaque lo limita?

Fuente puntual

Sila fuentees puntualse observar la situacin dela figura 16.1, esdecirseformal

OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA

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