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Origen, nudo y desenlace de una investigación sobre losEsquemas de Prueba. Aspectos Cognitivos

Marcelino Ibañes y Tomás Ortega. Ortega@am.uva.esAnálisis Matemático y Didáctica de la Matemática.Facultad de Educación y Trabajo Social. U. Valladolid.

0. ORIGEN DE LA INVESTIGACIÓN. EL TEOREMA DE. THALE.S

El trabajo de investigación desarrollado en la Universidad de Valladolid sobre lademostración matemática comienza con un test que se realizó a alumnos del Curso deCapacitación Pedagógica (CAP) en el curso 1993-94. Después de mostrar el teorema de Talesy su demostración en una transparencia, sin explicaciones adicionales, se pidió a los alumnosque respondieran si ellos creían que el teorema estaba realmente demostrado o, por elcontrario, la prueba estaba mal o era incompleta. Se trata de la demostración sintética dadapor P. Puig Adam (1980). La transparencia estuvo expuesta ininterrumpidamente hasta quelos alumnos emitieron su respuesta. Los resultados fueron los que recoge la tabla adjunta:

Licenciaturas Respuestas positivas Respuestas negativas Total

Economistas 9 6 15

Químicos y Biólogos 5 4 9

Ingenieros y Arquitectos 7 4 11

Físicos 13 14 27

Matemáticos 9 12 21

Respuestas totales 43 40 83

Tabla 1. Test sobre la demostración del teorema de Tales.

A la vista de estos resultados y de las explicaciones dadas por los alumnos, nos formulamosuna serie de interrogantes, cuya respuesta debía ser estudiada, y entendimos entonces que unaclasificación de las demostraciones desde el punto de vista de la matemática, junto con ladescripción de las técnicas de uso más frecuente en el ámbito de la Educación Secundaria,que es cuando los alumnos se inician en el razonamiento deductivo, constituye un primerpaso en el estudio de este tema.

1. PROPUESTA DE CLASIFICACIÓN

Según el criterio que adoptemos, obtendremos diversas etiquetas para la demostración; asídistinguiremos, en relación con el enunciado del teorema el tipo; referente a la propiademostración, los métodos y estilos; y, en lo que atañe a la forma de exposición, el modo:

- Tipo, si atendemos a la estructura lógica del enunciado.* En relación a la implicación: De condición necesaria o suficiente y De condiciónnecesaria y suficiente.* En relación al cuantificador existencial (universal): Existencia simple, Deimposibilidad (de no existencia), De existencia y unicidad.

- Método, según que se atienda a un procedimiento lógico o a otro: por silogismo, por casos,por reducción al absurdo, por inducción completa, constructivo (ejemplo o contraejemplo),por analogía, por dualidad.

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- Estilo, si atendemos a los procedimientos matemáticos: geométrico, algebraico, de lascoordenadas, vectorial, del Análisis Matemático, probabilístico, topológico, etc.- Modo, atendiendo al procedimiento de exposición: sintético o directo y analítico o indirecto.

Es fácil de comprender que el tipo de demostración depende de la estructura lógica delenunciado, y que éste no siempre se muestra como una condición necesaria o suficiente ocomo conjunción de ambas. Sin embargo, se verifica el siguiente parateorema de enunciados.

Parateorema. Cualquier teorema matemático puede enunciarse en términos de implicacionesmediante una de las siguientes formas: con una condición necesaria, con una condiciónsuficiente o con una condición necesaria y suficiente

Ejemplo. El enunciado " 2 es irracional" significa: "Si x es un número real positivo queverifica x2=2, entonces x es irracional".

En este trabajo, que aparece publicado en Ibañes, M. y Ortega, T (1997a-b) se presentanabundantes ejemplos de todos los tipos, modos, estilos y métodos, así como una breveaplicación de esas técnicas como resolución de problemas. A título de ejemplo, se transcribeel siguiente ejemplo que responde a varias características (inducción, geométrico y sintético).

Ejemplo. A veces resulta interesante utilizar la inducción de forma regresiva: Construir untriángulo equivalente en área a un polígono convexo.

La figura 1 muestra cómo puede pasarse de un polígonoDABC... de n lados, a otro equivalente (de la mismaárea) DA'C... de n-1 lados. En particular, el cuadriláteroABCD tiene la misma área que el triángulo A´CD. Se haefectuado una transformación topológica "estirando DA"hasta que DA', de manera que BA’ es paralelo a CA. y"presionando en B" hasta que B se sitúe en CA’.

2. LAS GRANDES IDEAS DE DEMOSTRACIÓN A TRAVÉS DE LA HISTORIAMuchos historiadores coinciden en que Tales de Mileto (primera mitad del siglo VI a.C.) fueel fundador de la geometría como sistema deductivo, introduciendo la noción dedemostración. Según Proclo, Tales estableció y demostró cuatro teoremas de Geometríaaunque sus propias demostraciones, más que el rigor, buscaban el convencimiento. Sinembargo, en opinión de Boyer (pág. 111), las controversias causadas por el descubrimientode parejas de segmentos inconmensurables (atribuido a Hipaso de Metaponto, un pitagóricotardío de finales el siglo V a.C.) y a las paradojas de Zenón (mediados el siglo V a.C.)pueden ser el punto de partida para la forma racional deductiva de la matemática. Comoejemplo, el siguiente texto, que esta tomado de Boyer, pp.109-110, prueba de formairrefutable la no existencia de indivisibles en el tiempo.

Entre las más controvertidas de las paradojassobre el movimiento, y más difícil de describir,está la del Estadio, pero en todo caso elargumento puede formularse más o menos de lamanera siguiente: sean A1, A2, A3, A4, cuatrocuerpos de igual tamaño en reposo; sean B1, B2,B3, B4, cuerpos del mismo tamaño que los A yque se mueven hacia la derecha uniformementede manera que cada B adelanta a cada Aexactamente en un instante, es decir, en el máspequeño intervalo de tiempo posible, o

D

A

A ’

BC

Figura 1. Inducción Matemática

A1 A2 A4 A5

C1 C2 C4 C5

B1 B2 B4 B5

Figura 2

A1 A2 A4 A5

C1 C2 C4 C5

B1 B2 B4 B5

Figura 3

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indivisible de tiempo. Sean ahora C1, C2, C3, C4, cuerpos también del mismo tamaño que los A y los B, yque se mueven uniformemente hacia la izquierda con respecto a los A, de manera que cada uno de los Cadelanta a uno de los A en un instante indivisible de tiempo. Supongamos que en un instante dado loscuerpos en cuestión ocupan las posiciones de la figura 2. Al cabo del intervalo de un instante, es decir, alcabo de una subdivisión indivisible de tiempo, las posiciones serán las de la segunda figura 3. Está claro,pues, que mientras tanto C1 habrá adelantado a dos de los B, y por lo tanto el instante transcurrido hasido dividido en dos partes iguales, y así no puede ser el intervalo de tiempo mínimo, puesto que podemostomar como nueva unidad de tiempo más pequeña el intervalo durante el cual C1 adelanta a uno solo delos B.

Platón (429-348 a.C.), del que es bien conocido su énfasis en la naturaleza abstracta de losobjetos matemáticos, fue posiblemente el primero en utilizar conscientemente el modo deexposición analítico de una demostración matemática con fines pedagógicos, lo que suponeinvertir el proceso de razonamiento que lleva de los axiomas a la proposición que se pretendeprobar (Boyer, p. 126). Por otra parte, para Kline (p. 75) Platón fue el primero en sistematizarlas reglas de la demostración rigurosa, y en su Academia se ordenaron los teoremas segúnuna secuencia lógica. Así se aprecia en el siguiente fragmento del libro VI de La República:

“Bien sabes a mi juicio que los que se ocupan de la geometría, del cálculo y de otras cienciasanálogas, dan por supuestos los números impares y los pares, las figuras, tres clases de ángulos yotras cosas parecidas a éstas, según el método que adopten. Emplean estas hipótesis, como si enrealidad las conociesen, y ya no creen menester justificar ante sí mismos o ante los demás lo que paraellos presenta una claridad meridiana. Empezando por ahí, siguen en todo lo demás un caminosemejante hasta concluir precisamente en lo que intentaban demostrar.” (Platón, 1988, p. 777).

Destacan personajes como Hipias, Hipócrates de Chíos, Arquitas (maestro de Platón), quevivieron en el S V a. C. Eudoxo de Cnido (408-355 a.C.), que según Arquímedes fue elcreador del enunciado que ahora se conoce como axioma de Arquímedes:

“Dadas dos magnitudes del mismo tipo y ambas distintas de cero, se puede encontrar un múltiplo decualquiera de ellas que exceda a la otra”.

Este enunciado permite establecer el método de exhausción cuyo enunciado es este: “Si de cualquier magnitud extraemos una parte no menor que su mitad y si del resto extraemos denuevo una cantidad no menor que su mitad, y si continuamos este proceso de sustracción,terminaremos por obtener como resto una magnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipodada de antemano”

Este método fue utilizado por Eudoxo para probar que la razón entre las áreas de doscírculos, a/A, es igual a la de los cuadrados de sus diámetros, d2/D2, método que sin duda esun precursor del Cálculo. Eudoxo inscribía polígonos regulares de n lados en ambos círculos,consideraba sus áreas pn y Pn y duplicaba el número de lados (Como es sabido, estas áreascumplen la relación pn/Pn=d2/D2 para todo n). Un vistazo sobre la figura 4 pone demanifiesto que el área de estos nuevos polígonos aumenta en más de la mitad el áreadelimitada por el círculo y por el polígono. Suponiendo que a/A<d2/D2 existirá un númeroA’<A tal que a/A’=d2/D2. Considerando ahora que A-A’=e, aplicando el método deexhausción, es claro que se encontrará un polígono de k lados, de área Pk, tal que A-Pk<e y,por tanto, A’<Pk. Como habíamos supuesto que a’/A=d2/D2 y que pn/Pn=d2/D2 para todo n,entonces, al ser pk/Pk=a/A’ y A’<Pk., entonces a<pk, que es imposible por tratarse depolígonos circunscritos. Suponiendo ahora que a/A<d2/D2,considerando unas magnitud a’>a tal que a’/A=d2/D2, sellega a otra contradicción y por tanto se cumple la tesis delteorema.

Euclides, que vivió alrededor del año 300 a.C., se educó,probablemente, en la Academia de Platón, y enseñó en Alejandría. Sus Elementos recogen –con fines didácticos- gran parte del saber matemático de la época, aunque no se trata de una

Figura 4.

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simple recopilación, puesto que a él parece que se deben la elección de los axiomas, lasecuenciación de las proposiciones y muchas de las demostraciones que contiene. Los 13libros de esta obra (1-6 Geometría plana, 7-9 Teoría de números, 10, Inconmensurables, 11-13 Geometría de sólidos), que fue creada para servir de texto en la Universidad deAlejandría, tuvo una enorme influencia sobre todas las generaciones de matemáticos durantemuchos siglos, inculcando a todos ellos unas ideas muy estrictas sobre el rigor y el métododeductivo, influencia que puede extenderse a todos los estudiantes hasta épocas relativamenterecientes, ya que sus textos de geometría han sido durante todo este período los propiosElementos o adaptaciones resumidas de esta obra.

Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.), el matemático más importante de la Antigüedad,utilizó como ningún otro el método hipotético-deductivo. Arquímedes es consciente de quesus primeros pasos carecen de rigor y postula que es más fácil demostrar algo cuando deantemano se tiene una idea de lo que se quiere obtener, e indica que tiene un métodomecánico que le ayuda a preparar el camino de las demostraciones. Uno de los teoremas quedescubrió por este método fue éste:

El área del segmento parabólico, ABC, es un tercio del área del triángulo APC, siendo AP la tangentea la parábola en A y PC “con la misma dirección que el eje de la parábola.

Arquímedes consideró que AH es una palanca con punto de apoyo enK (punto medio de PC y de AH) y demostró que si se suspenden de Htodos los segmentos lineales (indivisibles) que conforman elsegmento parabólico en la dirección del eje, su masa equilibra la deltriángulo APC. La distancia de K al c.d.m. del triángulo y de K a Hacaba la demostración. Torija (1999, pág. 67).

Este teorema y otros de naturaleza parecida también puedenconsiderarse precursores del cálculo de cuadraturas y sus enunciadospueden ser perfectamente válidos como problemas históricosmotivadores del cálculo integral.

En la Alta Edad Media Oxford y París son los centros delsaber, su interés se centra en la cinemática y, por primeravez, se formula la velocidad de cambio uniforme (regla delMerton College), siendo Nicole Oresme, hacia el 1360, elprimero que consigue verificar geométricamente esta regla,figura 6, y demostrar la divergencia de la serie armónica.

La introducción de un simbolismo adecuado fue lo que permitió a Tartaglia-Cardano-Ferrari(1500-1576) resolver las cúbicas y las cuárticas (Alexandrov y otros, 1973) a la vez queplantearon la problemática de los “números imaginarios”, ya que no sabían explicar como,por ejemplo, la raíz real x=4 de x4=15x+4 podía ser una de las soluciones obtenidas por ellos:

33 12121212 −−+−+=x (Esteban, Ibañes y Ortega, 1998). Bombelli (1526-1573) fueel primero en dar una interpretación adecuada de los radicandos, actualmente complejosconjugados, tales que la suma de sus partes reales es 4. Esta invención abre la puerta a otrocampo numérico y a otro estilo de demostración importante: el estilo de la variable compleja.

El descubrimiento de los logaritmos por John Napier (1550-1647) fue otra aportaciónimportante que permitió desarrollar el cálculo algorítmico.

Otra consecuencia importante fue la inversión en la dependencia del álgebra respecto de lageometría, pues a partir de entonces se resolvieron problemas geométricos medianteprocedimientos algebraicos; un buen ejemplo de ello lo tenemos en la geometría analítica de

Figura 5.

K

A

BC

H

P

Figura 6.

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

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Descartes (1596-1650) y de Fermat (1601-1665). De esta forma, el estilo geométrico puro diopaso al estilo propio de la geometría analítica, lo que supuso la aportación de una nuevametodología de demostración.

Además, a esta época corresponde la introducción de nuevos métodos de demostración. Así,Pascal (1623-1662) expuso con toda claridad el método de inducción completa, y no deja deser paradógico que Peano fundamentara los números naturales dos siglos después, utilizandoestos mismos axiomas.

También es interesante la contribución de Fermat al Análisis Matemático. Fermat fue elprimer matemático que descubrió un método para hallar máximos y mínimos de las“Parábolas y de las Hipérbolas de Fermat”) y también descubrió cómo aplicar este “Métodode los Valores Próximos” para calcular las tangentes a estas curvas en asbcisas concretas.

En estos tiempos comenzó también a desarrollarse el Análisis. Sus creadores –Cavalieri(1598-1647), Barrow (1630-1677), Newton (1642-1717), Leibniz (1646-1716), y otros-, selanzaron abiertamente al descubrimiento de nuevos resultados, descuidando los aspectos derigor. Los conceptos sobre los que se basaron –indivisibles, infinitésimos, diferenciales, etc.-no fueron bien formulados ni entendidos. Se usaron complicados razonamientos geométricossin la suficiente solidez y los desarrollos algebraicos empleados carecían de lafundamentación lógica que los griegos dieron a la geometría. Naturalmente, surgieron fuertescríticas a los nuevos métodos, pero la utilidad y la adecuación de las soluciones parecíanjustificar los resultados obtenidos, acallando las protestas por el abandono de la demostraciónen el sentido deductivo.

Cavalieri, sin saberlo, enlaza con los indivisibles de Arquímedes y considera que un área estáformada por segmentos rectilíneos indivisibles y que un volumen está formado por láminasplanas, también, indivisibles. Asimismo, parece que fue Cavalieri el primero en admitir elprincipio general de despreciar los infinitésimos de orden superior, “ya que éstos no influyenen el resultado final” y aporta el conocido principio de Cavalieri para calcular volúmenes.

La cuestión de la trascendencia de π, que no fue resuelta hasta el año 1882 por Lindemann,recibe la atención de muchos matemáticos ilustres que idean algoritmos para calcularaproximaciones, entre ellos Van Ceulen (1540-1610), Viete, Wallis (1616-1703), Gregory(1638-1675). Asimismo, la independencia del V postulado de Euclides no se resolvió hastaLobachewsky, 1829, que marca el nacimiento de las geometrías no euclídeas.

La relevancia de Isaac Newton (1642-1727) es indiscutible y con él la matemática dio unavance importante. Los primeros descubrimientos de Newton tienen que ver con la expresiónde funciones en series infinitas, pero los problemas relativos a la velocidad del cambio(fluxión) de magnitudes que varían de forma continua (fluentes), tales como longitudes,áreas, volúmenes, temperaturas, etc. son las que ocupan su atención. Newton conjuga lasseries infinitas y las velocidades de cambio y tiene en mente el modelo físico de laconducción de fluidos, fundamentalmente el flujo del agua, en la que supone que al variar eltiempo en un instante “pequeño” la situación es similar a la anterior. La forma original delbinomio de Newton tiene que ver con el cálculo variacional, Boyer (1997 pág. 495), yrepresenta el intento de predecir un estado futuro usando sólo los datos una situación deinicio. Esta visión fue desarrollada ampliamente durante el S XVIII y se consolidó como unparadigma socialmente aceptado. La ciencia buscó entonces predecir la evolución de losfenómenos de flujo apoyándose en la metáfora del flujo de agua, “aquél que no cesa niinvierte su destino”.

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Durante el siglo XVIII continúa imparable el desarrollo del cálculo, destacando la figura deEuler (1707-1783) que se distingue por la manipulación simbólica con la que contribuyó areescribir buena parte de la matemática conocida (sobre todo del análisis infinitesimal deNewton y Leibniz), entonces tal y como la conocemos hoy en día. La expresión eiπ+1=0, querelaciona los 5 números más importantes, es suya, y suyo es el mérito de haber introducido elsimbolismo actual (Σ, ∏, π, e, i, γ, lx para ln(x) y f(x) –el símbolo ∞ ya había sido utilizadopor Wallis-). Esto, sin lugar a dudas, motivó un cambio sustancial en los procedimientos dedemostración del Análisis y, a finales del S XVIII la matemática se caracterizaba por:

- Su dependencia de la física. La conveniencia de las conclusiones físicas aseguraba lacorrección de los procedimientos matemáticos.

- Supremacía del razonamiento inductivo. La construcción axiomática dio paso a laargumentación a partir de ejemplos particulares.

- Confianza en las operaciones formales. Lo que es cierto para cantidades finitas seconsideraba válido para cantidades infinitas, lo que es cierto para polinomios segeneralizaba para series, lo que se había probado para series convergentes se extendíaa cualquier serie, etcétera.

- Los matemáticos se hicieron indiferentes al rigor, lo importante era progresar.

En el siglo XIX la figura de Gauss (1777-1855) dio paso a una época de revisión de losmétodos que se han utilizado en los dos siglos anteriores. Así, al período de expansión ycreación le siguió otro caracterizado por la reflexión y la fundamentación. Aparte de susdescubrimientos en geometría plana, Gauss redescubrió la forma de representar los númeroscomplejos y a menudo utiliza representaciones gráficas comométodos de resolución. Así en la demostración del teoremafundamental del álgebra dada por Gauss mezcla estilos y hacemuchas consideraciones geométricas como ésta: Gauss calculalas soluciones de zn–4i=0 generalizando las de la ecuación z2–4i=0 y para ello supone que la solución es a+bi, sustituye z, yseparando parte real y parte imaginaria se tiene que cumplir quea2–b2=0 y que ab–2=0. Del gráfico de la figura 7, en el que aestá en el eje real y b en el imaginario se obtienen las soluciones:

4/2π y 4/52 π . Finalmente, el descubrimiento del ÁlgebraModular supuso otras técnicas de demostración muy diferentes.

El Cours d’Analyse de Cauchy (1789-1857), de 1821, es un ejemplo de rigor. Basándose enel concepto de límite, definió otros conceptos fundamentales –continuidad, derivada,integral- y dedujo los teoremas básicos del Análisis. Esta respuesta de Cauchy a la falta derigor genera otros problemas, y los matemáticos del XIX se propusieron demostrar losteoremas del Análisis de una forma puramente aritmética, dando lugar así a la aritmetizacióndel Análisis, y, por tanto, se requiere dar una fundamentación de los números naturales.Peano (1858-1932) lo hace definiéndolos axiomáticamente. La misma técnica es empleadapor Hilbert (1862-1943) en Geometría, pero no pudo demostrar la independencia de losaxiomas de la geometría euclídea, ya que la consistencia de ésta prueba quedabacondicionada a la consistencia de la aritmética. Surgen paradojas en la teoría de conjuntosque dejaron abierto el problema de la consistencia de esta teoría. Finalmente, Gödeldemuestra que, utilizando los métodos de Hilbert, es imposible demostrar que los axiomas dela aritmética no conduzcan a una contradicción, lo que le permite enunciar – en 1931- suteorema de incompletitud, que afirma que una teoría axiomática que incluya la aritmética nopuede ser a la vez consistente y completa. Por tanto, ningún sistema de axiomas resulta

Figura 7.

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adecuado para cualquier rama suficientemente amplia de la matemática, porque siquisiéramos que la teoría correspondiente fuera consistente, necesariamente habría en ellaproposiciones indecidibles aunque intuitivamente correctas. Las técnicas de la MatemáticaAplicada proporcionan otro punto de vista y la cantidad de artículos de contenido matemáticoque se publican en la actualidad hace muy difícil la tarea de su revisión (dilema de Ulam,citado por Davis y Hersh 1988, pág. 33).

2.1. Reflexiones sobre la demostración en la Historia de la Matemática

Este breve recorrido histórico sobre las ideas que han rodeado la demostración matemática,desde la propia disciplina, nos permite hacer algunas reflexiones que pueden ser útiles:

- Las exigencias de rigor en la argumentación matemática han ido variando a lo largo de lahistoria debido a los distintos conocimientos, necesidades y sensibilidades.

- Aún en las épocas en las que se ha trabajado con mayor rigor no se ha podido conseguiruna certeza total en los resultados obtenidos. El rigor absoluto es inalcanzable.

- No existe un modelo de demostración independiente de la época ni de las personas quehan construido el conocimiento matemático. Distintas argumentaciones, comprobaciones,justificaciones o pruebas, se han utilizado para verificar o explicar los teoremas.

- No se debe pensar que la idea actual de demostración será la última. Siempre es posibleintroducir mejoras, proponer otro enfoque. Incluso, pueden surgir dificultadesinesperadas.

- No ha habido siempre un total acuerdo entre los matemáticos en cuanto a la convenienciade los procedimientos utilizados, produciéndose, a veces, fuertes controversias.

- La búsqueda de distintas fundamentaciones para una teoría, de diferentes exposiciones,estilos y métodos para una demostración es enriquecedora.

- La evolución del lenguaje y el simbolismo han tenido mucho que ver con el estilo y elmodo de las demostraciones y su adaptación ha resultado esencial para el desarrollo delas matemáticas y, en particular, para el perfeccionamiento de las demostraciones.

3. ANTECEDENTES Y METODOLOGÍA

La demostración, como se ha visto en los parágrafos anteriores, es un procedimiento típico delas matemáticas, pero no es el único instrumento de validación que se emplea enmatemáticas. Por otra parte, la verificación no es la única función de las demostraciones,puesto que la intención de éstas también puede ser explicar, sistematizar, etc. Finalmente, eltérmino demostración tiene distintos significados dependiendo de las diferentes épocas y dedistintos contextos institucionales. La lectura de la literatura especializada comenzó en losinicios de este trabajo de investigación y esas lecturas ratificaron nuestra creencia, nosayudaron a delimitar el problema a investigar y a ver otras dimensiones de la demostraciónen relación con procesos de enseñanza–aprendizaje, nos orientaron y nos proporcionaron unmarco teórico, sobre todo, de Villiers (1993), y Harel y Sowder (1998).

Por la relación que guardan entre sí, nuestra investigación se centra en tres focos: Esquemasde prueba, Reconocimiento de procesos matemáticos y Estudio de algunas expresiones. Elestudio del primero de ellos, que llevó a la consideración de los otros dos, es el que sedescribe aquí, y las investigaciones que se citan en este parágrafo se han clasificado en cuatroapartados: investigaciones generales sobre el aprendizaje de la demostración,

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investigaciones que versan sobre las funciones de la demostración, investigaciones quedefinen niveles de demostración, e investigaciones sobre la demostración en el aula. 3.1.Investigaciones generales sobre el aprendizaje de la demostración

Estas investigaciones se caracterizan por exponer una visión general del problema, recogerlas opiniones y hallazgos de otros investigadores, resaltar la importancia de la demostraciónen la educación matemática, o abordar varios aspectos. Arsac (1988) revisa lasinvestigaciones sobre la enseñanza de la demostración en Francia; Alibert y Thomas (1991)proponen alternativas a la presentación tradicional de las demostraciones; Dreyfus (1999) sepreocupa por el punto de vista de los alumnos en relación con el aprendizaje de lademostración. En España: Martínez Recio (1999) aborda la demostración desde un punto devista institucional y las dificultades de los estudiantes, y L. Bravo (2002) desarrolla unainvestigación en torno a estrategias didácticas para la enseñanza de las demostracionesgeométricas.

Hanna (1989 a) cita el trabajo de varios autores (Lakatos, Kitchery, Davis, …) y piensa queen la aceptación de un teorema su significado global, la comprensión del resultado y losconceptos subyacentes juegan un papel más importante que la existencia de una demostraciónrigurosa; y, en consecuencia, enuncia una serie de factores para la aceptación de un nuevoteorema: comprensión, relevancia, compatibilidad, reputación, y existencia de un argumentoconvincente. En otro artículo (1995), mantiene que la demostración debe formar parte decualquier currículo, destaca la función de verificación, pero cita también otras y consideraque las buenas demostraciones son las que ayudan a comprender el significado del teoremaque se pretende probar. Por otras parte, opina que en educación matemática la principalfunción de la demostración es la de explicación, y ensalza esta función frente a la deverificación.

3.2. Investigaciones sobre las funciones de la demostración

En estas investigaciones se trata de responder a la pregunta ¿para qué sirven lasdemostraciones? Tradicionalmente se ha considerado que el fin primordial de lademostración consistía en verificar la proposición objeto de estudio. Sin embargo, Bell(1976) advierte tres significados de la demostración matemática (Verificación o justificación,Iluminación y Sistematización). De Villiers (1993) desarrolla las ideas de Bell y criticaduramente la posición tradicional. Comienza su análisis con testimonios personales dematemáticos ilustres que consideran la función de la demostración exclusivamente entérminos de verificación, y presenta un modelo en el que distingue y comenta las siguientesfunciones: Verificación, concerniente a la verdad de una afirmación; Explicación,profundizando en por qué es verdad; Sistematización, la organización de varios resultadosdentro de un sistema de axiomas, conceptos fundamentales y teoremas; Descubrimiento, es lainvención de nuevos resultados; Comunicación, la transmisión del conocimiento matemático.

Hersh (1993) afirma que la finalidad primordial de las demostraciones en la investigaciónmatemática es la verificación y en la docencia la explicación. Van Asch (1993) estudia losargumentos de presentar u omitir demostraciones y las formas que se suelen utilizar parajustificar un teorema. Reid (1996) pretende conciliar los puntos de vista de los estudiantes yde los profesionales de las matemáticas sobre la demostración.

3.3. Investigaciones que definen niveles de demostración

Como el aprendizaje de la demostración presenta muchas dificultades, los investigadoresdistinguen distintas dimensiones, definen varios niveles y buscan estrategias útiles para los

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alumnos que les permitan ir comprendiendo sus claves. Bell (1979) distingue tresdimensiones en el desarrollo de la comprensión y el uso de las demostraciones: grado deregularidad o de racionalidad esperado por los alumnos, cualidad explicativa de larespuesta, nivel de sofisticación de las técnicas de demostración disponibles para el alumno.Van Dormolen (1977), siguiendo la teoría de van Hiele, también distingue tres niveles dedemostración correspondientes a los niveles de abstracción en los que trabaja el alumno.Semadeni (1984) propone, para la enseñanza de las matemáticas elementales, una víaintermedia entre la explicación intuitiva y la demostración formal que denominademostración acción. Blum y Kirsch (1991), distinguen tres niveles de pruebas:demostraciones (pruebas), demostraciones pre-formales, y demostraciones formales.Balacheff (1987) distingue entre pruebas pragmáticas (efectuadas por el propio alumno),pruebas intelectuales y demostraciones y para este autor la distinción viene dada en funcióndel contrato didáctico. En el ya citado artículo de van Asch (1993), el autor considera dosniveles de demostración: demostraciones formales y demostraciones pre-formales. Van Aschconsidera que “una prueba es preformal si tiene una línea de razonamiento que puede serformalizada a la prueba formal, la idea esencial ya está presente”. Movshovitz-Hadar(1996) recomienda utilizar pruebas transparentes –pruebas de un caso particular en las queno se hace uso de la particularidad del caso- para ayudar a los estudiantes en un procesogradual que les debe conducir a comprender demostraciones rigurosas. Miyazaki (2000)establece seis niveles entre las pruebas inductivas y las demostraciones algebraicas, y definelos conceptos de demonstration y de proof, ambas en los niveles de Educación Secundaria.

El trabajo de Harel y Sowder (1998) sobre los esquemas de prueba (EP) merece una atenciónespecial por ser el trabajo de investigación que más ha influido en nuestra investigación.Estos autores entienden el proceso de prueba como "El proceso empleado por un individuopara eliminar o afianzar dudas sobre la veracidad de una observación, es lo que llamamoscomprobación”. Además, indican que todo proceso de prueba incluye dos subprocesos:convencimiento (Ascertaining) y persuasión (Persuading). Para Harel y Showder“convencimiento” es el proceso que el individuo utiliza para eliminar sus propias dudas entorno a la veracidad de una observación, y “persuasión” es el proceso que el individuoutiliza para eliminar las dudas de otros en torno a la veracidad de una observación.

Una cuestión esencial en este trabajo es conocer cómo se rechazan las conjeturas, o bien, seconvierten en hechos. Y los autores definen el concepto de esquema de prueba así:

El esquema de prueba de un individuo consiste en lo que constituyeconvencimiento (ascertaining) y persuasión (persuading) para ese individuo.

El tercer apartado constituye el núcleo central de la investigación, y en él se presenta unaclasificación de los EP en tres grandes bloques: De convicción externa, Empíricos yAnalíticos. Sobre los primeros, los autores señalan que cuando los formalismos se enfatizanprematuramente, los alumnos entienden que el ritual y la forma constituyen justificaciónmatemática. En estos esquemas de prueba las dudas se despejan mediante el ritual de lapresentación (esquemas rituales), la palabra de una autoridad (esquemas autoritarios), o laforma simbólica del argumento (esquemas simbólicos). En los esquemas empíricos lasconjeturas se validan o rechazan en virtud de hechos físicos o experiencias sensoriales. Loshay de dos clases: inductivos y perceptuales. A los EP analíticos los dividen entransformacionales y axiomáticos, y en estos admiten dos niveles cognitivos y llamanesquema intuitivo axiomático al que resulta cuando los axiomas que se utilizan en una pruebaresponden únicamente a la propia intuición de quien hace la prueba. Este esquema constituyeun requisito cognitivo para el esquema axiomatizante, en el que la persona que lo posee escapaz de investigar las implicaciones de variar el conjunto de axiomas, o de axiomatizar una

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determinada teoría. Por otra parte, los autores consideran que los esquemas axiomáticos,epistemológicamente, son una extensión de los esquemas transformacionales, de manera queestos últimos constituyen una etapa inevitable para alcanzar los primeros.3.4. Investigaciones sobre la demostración en el aula

Por último, bajo este epígrafe se incluyen varios artículos cuya principal finalidad es difundirexperiencias con alumnos en el aprendizaje de la demostración. En ellos se recogen losobjetivos, la metodología empleada, las dificultades que han encontrado los estudiantes, lascategorías de análisis empleadas, etcétera. Bell (1976) se refiere a una experiencia conalumnos de 15 años en el Reino Unido y analiza las respuestas de esos alumnos construyendounas categorías para los razonamientos empíricos y otras para los deductivos. Galbraith(1981) relata una investigación con alumnos de secondary school y utiliza la entrevista comomedio de indagación. Martin y Harel (1989) describen una experiencia con estudiantes demagisterio de la Universidad de Illinois (USA) y vieron que más de la mitad de losencuestados aceptan argumentos inductivos como verdaderas demostraciones matemáticas yque muchos de los argumentos deductivos eran incorrectos. Fischbein, Tirosh y Melamed(1981), Tall y Vinner (1981), Fischbein (1982), Porteous (1990), Chazan (1993), Bero(1994), Moore (1994) también han desarrollado investigaciones interesantes en el aula.

3.5. Reflexiones sobre las investigaciones consultadas

En las investigaciones analizadas se han podido apreciar una gran diversidad de temas ymuchas aportaciones valiosas. Pero no se abordan los siguientes aspectos:

- No se proponen secuencias didácticas para que los alumnos progresen de unos niveles dedemostración a otros.

- Se ha investigado muy poco en el reconocimiento de procesos, es decir, en suidentificación y distinción.

- No hemos encontrado investigaciones sobre la influencia de la utilización dedeterminadas expresiones en la comprensión del enunciado de los teoremas.

- Ninguno de los autores consultados declara haber seguido la metodología deinvestigación-acción.

4. ANÁLISIS CURRICULAR Y DE TEXTOS. CONSIDERACIONES GLOBALES

Se revisaron los planes de estudio del MEC desde 1934 hasta la LOGSE y se analizaron lostextos de 11 editoriales, Ibañes (2001). De todas ellas destacan estas dos:

- En LOGSE hay múltiples referencias al razonamiento matemático, pero no se indica quéclase de pruebas (comprobaciones, justificaciones, explicaciones, demostraciones, …) sepuede esperar de los alumnos; y tampoco se dice nada de las distintas técnicas dedemostración. Compárese con los comentarios del N.C.T.M. (1991, pág. 147-150).

- En el tratamiento que dan los libros de texto a la demostración destaca la ausencia deintención didáctica, que se concreta en la uniformidad de métodos y estilos, en el silenciosobre sus funciones, en las casi inexistentes reflexiones sobre la naturaleza delprocedimiento, en la ausencia de explicaciones sobre las expresiones que se utilizan, en launánime carencia de explicaciones sobre el sentido global del proceso y de sus líneasmaestras, y en el nulo interés por indicar otras vías de justificación para establecerafinidades y contrastes.

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5. DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA

En el aprendizaje de la demostración se pueden considerar al menos dos tipos de actividades:entender demostraciones y hacer demostraciones. Aquí atenderemos principalmente a lasprimeras, lo que nos lleva a preguntarnos, ¿en qué consiste entender demostraciones? Ahoraya estamos en condiciones de indicar algunas características que contribuyen a lacomprensión de este procedimiento matemático: comprender el enunciado, entender lospasos de la demostración, comprender globalmente la demostración. Esto último significacomprender el razonamiento empleado, para lo que es necesario poseer el esquema de pruebaadecuado que permita: ser consciente de la necesidad de un razonamiento universalmenteválido; la identificación del proceso; y el reconocimiento de las líneas maestras y las ideasclave de la demostración. En definitiva, se trata de averiguar qué procesos mentales debentener lugar en el estudiante cuando se enfrenta a una demostración. Nosotros creemos, y asíse ratificará en investigación, que para abordar una demostración el estudiante debe poseer unesquema de prueba adecuado que le permita comprender la situación y formarse una ideacorrecta de lo que hay que hacer. Aunque aquí no se describe, este estudio nos llevó aconsiderar el reconocimiento de procesos y las repercusiones de la presencia de algunasexpresiones en el enunciado de un teorema. Además, se va a prestar atención a las funcionesde la demostración que aprecian los alumnos en cada caso. Para concretar más la indagaciónque se llevó a cabo se formularon las hipótesis de trabajo que se pretendían constatar en lainvestigación, hipótesis que se conservan muy abiertas y que no se modifican en lainvestigación, ya que las precisiones vendrán dadas por las conclusiones. Hay hipótesis quetienen que ver con el reconocimiento de procesos y con los enunciados de los teoremas,investigación que aquí no se da cuenta:

Hipótesis . El aprendizaje de la demostración matemática presenta numerosas e importantesdificultades para los alumnos. El EP de los alumnos de bachillerato está comprendido entrelos esquemas empíricos y los intuitivo axiomáticos. Los alumnos no suelen distinguir lasdemostraciones de las comprobaciones o justificaciones. La manera de redactar el enunciadode un teorema puede afectar a su comprensión por parte de los alumnos. La metodología deinvestigación–acción es adecuada para la investigación que se pretende realizar.

6. METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN

Una vez que se ha definido qué se quiere investigar y cómo se desea hacerlo, es preciso elegirla metodología adecuada para afrontar con éxito este trabajo. Se optó por una metodologíacualitativa basada en la investigación-acción, se completaron 3 ciclos, y se complementa condebates y entrevistas. Los instrumentos de recogida de datos son los siguientes:

- Producciones escritas de los alumnos. Las características de la materia objeto deinvestigación –la demostración no es un tema del programa que cuente con un tiempopropio para su desarrollo- han aconsejado que, en parte, ésta se basara en una serie decuestionarios que tuvieron que responder los alumnos, dando lugar a una abundanteproducción escrita, lo que ha aportado información acerca de sus concepciones previas,sus dificultades, su grado de comprensión de los conceptos tratados, su disposición aaplicar distintos procedimientos, etc.

- Debates. Se programaron pensando que ayudarían a esclarecer las respuestas de losalumnos al tener que confrontar y defender sus opiniones con las de otros compañeros.

- Entrevistas. Se idearon para esclarecer aún más algunos aspectos sobre ideas y posturasde los alumnos sobre las que el Equipo Investigador podría tener algún tipo de duda.

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- Grabaciones en audio. Todos los debates ylas entrevistas fueron grabados en audio.Después, estas grabaciones han sidotranscritas y analizadas, y han servido paraque el Director de la Investigación ocuparael tercer vértice del triángulo.

- Para facilitar el análisis de los documentosse crea un sistema de categorías decomprensión matemática siguiendo elmodelo, ya clásico, usado por muchosinvestigadores (Bell (1976), Castro (1994),Cubillo (1997), Blázquez (1999)).

Los modelos de investigación realizadas en laUniversidad de Valladolid han seguido unesquema en el que sobre el Director han recaídolabores de observador y de control, revisandotodos los procesos de aula que se han llevado acabo a partir de las grabaciones de audio y delmaterial didáctico que se ha utilizado. Se haconsiderado la saturación, se han hechotriangulaciones en las entrevistas (2 alumnos y el profesor) y otra posterior con el director, yse ha fomentado el debate y participación de los alumnos en equipos, que también han sidoanalizados por el director.

7. INVESTIGACIÓN PROPIA

Como punto de partida se consideran los esquemas de prueba EP de Harel y Sowder(esquemas de convicción externa, empíricos y analíticos). No se consideran los perceptualespor infrecuentes en nuestro estudio y, de los axiomáticos, obviamente, sólo se pueden tener encuenta los del primer nivel, es decir, los intuitivo axiomáticos. Como veremos en lainvestigación, no puede decirse que los alumnos de este nivel (3º de B.U.P. ó 1º deBachillerato) posean un EP concreto, sino que razonan influenciados por varios de ellos y,así, utilizan uno u otro en función de la proposición que se les pide demostrar; además,reaccionan de distinta forma según que tengan que hacer una demostración o, simplemente,tratar de entender una que se les muestre; incluso, sus esquemas varían a lo largo de unasecuencia didáctica. En el transcurso de la investigación, para hacer un análisis adecuado, nosveremos obligados a definir las modalidades de EP que enriquecen y completan laclasificación de Harel y Sowder (EP utilizado, EP aceptado, EP adherido, EP declarado, EPinicial y EP final). Asimismo, será conveniente definir distintas subcategorías en los EPinductivos y en los transformacionales. Los primeros se clasifican atendiendo a suinterpretación por parte de los alumnos (falsamente inductivo -el alumno entiende lajustificación de la proposición como su comprobación en algún caso-; o inductivo auténtico -el alumno comprueba la proposición en algún caso particular, siendo consciente de lanecesidad de suponer su validez universal ante la imposibilidad práctica de realizar lacomprobación en todos los casos-), según el número de casos (de un caso -se comprueba enun caso particular-; o de varios casos -se comprueba en dos o más casos-) y por la forma deseleccionarlos (sistemático -la elección de los casos obedece a un criterio-; o no sistemático -no hay criterio definido en la elección de los casos-). Los transformacionales, se clasificanatendiendo al procedimiento (estático o dinámico), por su extensión (particular -razona sobre

Figura 9

Pl ant eam ien to de l pro blem a

P la n ific a c ión

A c c ió n

R ef le xió nO b se rv a ció n

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Pr im e r cic lo

C o n clu sio n es

P la n if ic a c i ón

A c c ió n

R e fl e xi ónO b se rv ac i ó n

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Se gun do c iclo

P la n if ic a c i ón

A c c ió n

R e fl e xi ónO b se rv ac i ó n

��������������������������������������������������������������������������������������������������������

T e rc er cic lo

13

un objeto particular- o general -razona con elementos genéricos-) y según su grado decorrección (incompleto –razonamiento incompleto o incorrecto- o completo -razonamientocompleto y correcto-). Con el fin de concretar más se formulan los siguientes dos objetivosgenerales de investigación:

I. Averiguar el esquema de prueba de los alumnos –y contribuir al enriquecimientodel concepto de “esquema de prueba” con la introducción de distintas modalidades-.

II. Mejorar los esquemas de prueba con los que trabajan los alumnos.

La investigación que se ha llevado a cabo se estructura en tres ciclos y, en cada uno de ellos,pueden distinguirse las fases de planificación, implementación, análisis y reflexión.

7.1. Primer ciclo

Se inicia en el 2º trimestre del curso 1996-97, cuando el equipo investigador se proponeobservar el EP de los alumnos de 3º de BUP. Para empezar, se ideó proponer al GE (3º B) eldía 4-III-97, una cuestión, cuyas características y finalidades se describen a continuación.Cuestión: ¿Cuánto vale la suma de los ángulos de un triángulo? ¿Cómo lo justificarías?

Objetivo: Determinar los esquema de prueba de los alumnos.

- En el enunciado se evita intencionadamente el empleo de los términos demostrar,demostración, etcétera, puesto que podrían influir en los alumnos haciéndoles buscarrespuestas más “académicas”, aumentando quizás, de este modo, el número de esquemas deconvicción externa. Por el contrario, se utilizó el término justificar para permitir a losalumnos desarrollar, con plena libertad, lo que entendían que constituye un razonamiento devalidación de una cierta proposición, mostrando así, de forma más auténtica, su EP.Precisamente, como la finalidad de este cuestionario era el estudio de los EP de los alumnos,se buscó intencionadamente una proposición que cumpliera estas condiciones:

a) Que no hubiera sido probada por el profesor en clase, para permitir a los alumnos razonarde forma autónoma y espontánea, sin tener que recurrir a esfuerzos de memoria ni a ideasprestadas, fomentando así la utilización de argumentos más propios. La cuestiónpropuesta cumplía esta condición y, además, en los libros de texto de 2º y 3º de B.U.P.,sólo está reflejada, sin ninguna explicación ni justificación complementaria.

b) Que los términos matemáticos de su enunciado fueran conocidos por todos los alumnos,para evitar dificultades añadidas al único objetivo del cuestionario: conocer los esquemasde prueba. Obviamente, el resultado elegido cumple con esta condición.

c) Que los alumnos dispusieran de los conocimientos matemáticos necesarios para justificarel resultado, también con la intención de centrar el objetivo de la cuestión en los esquemasde prueba. Se pensaba que todos sus alumnos cumplían con este requisito.

d) Por idéntica razón, tratando de evitar que se infiltraran dificultades añadidas, se eligió unenunciado que no tuviera expresiones del tipo si …, entonces; la condición necesaria; etc.

Categorías para el análisis

En principio, se pensó en considerar como categorías los distintos EP descritos antes, pero lasrespuestas de los alumnos exigieron tener en cuenta tres niveles generales de respuesta segúnla justificación que hicieron. Son éstos:

- N1. El alumno trata de probar el resultado de acuerdo con su esquema. - N2. El alumno no intenta justificar la proposición, sino que contesta en otro sentido.

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- N3. El alumno no responde.

Cuando el alumno trata de probar el resultado (caso N1), es cuando se observa el EP queemplea. Para su determinación se utiliza la clasificación antes mencionada, en la que losdistintos esquemas que la componen bien pueden entenderse como niveles de respuesta yaque Harel y Sowder (1996) los consideran relacionados con distintos grados de madurezintelectual. Estos niveles, expuestos en orden creciente de madurez intelectual son:

- Es1CE. El alumno manifiesta un esquema de prueba de convicción externa.- Es2Exp. El alumno manifiesta un esquema de prueba experimental. - Es3Ind. El alumno manifiesta un esquema de prueba inductivo. - Es4Tra. El alumno manifiesta un esquema de prueba transformacional. - Es5IA. El alumno manifiesta un esquema de prueba intuitivo axiomático.

Como cada nivel está ligado a un esquema de prueba, en lo que sigue, nos referiremos a losniveles o a sus correspondientes esquemas indistintamente. A su vez, para cada uno de estosniveles o categorías, se consideran las subcategorías expuestas en la introducción del capítulo.En los esquemas transformacionales, se atiende a su extensión y grado de corrección de formaconjunta, y se distinguen estos niveles:

- EC1PI. Particular incompleto. Razonamiento incompleto o incorrecto en un caso particular.- EC2PC. Particular completo. Razonamiento completo en un caso particular. - EC3GI. General incompleto. Razonamiento incompleto o incorrecto en un caso genérico. - EC4GC. General completo. Razonamiento completo, o casi completo, en un caso genérico.

También se consideran errores de interpretación, y se distinguen los dos siguientes:- EI(PP). Presuponen lo que quieren probar. En su razonamiento, utilizan que la suma de lasmedidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º como un hecho. - EI(ITH). Interpretan la tesis como una hipótesis. Parten de que la suma de los ángulos es180º y, a partir de este hecho, deducen otras consecuencias.

Análisis de las respuestas

Responden 36 de los 37 alumnos de la clase y se observan los siguientes porcentajes: el 11%son Es1CE, el 8% son Es2EXP, el 17% son Es3IND, el 50% son Es4TRA y el 11% son Es5IA.Un análisis más minucioso permite enunciar las siguientes las reflexiones:

1. Hay muchos alumnos que, en distintos grados, no entienden satisfactoriamente lo quesupone justificar una proposición y esto al margen del esquema de prueba que utilicen. Nodistinguen los procedimientos y tampoco lo que supone probar un teorema. En consecuencia,debe intentarse, por un lado, que los alumnos distingan una prueba o demostración de otrosprocesos matemáticos (reconocimiento y distinción de procesos).

2. En cuanto a los EP exhibidos por los alumnos, debe resaltarse su variedad, los esquemasinductivos se manifestaron menos numerosos de lo esperado, tanto por la propia experienciadocente del profesor investigador como por lo relatado por otros investigadores (Chazan,1993) y, realmente, no hubo intentos serios de una prueba intuitivo axiomática.

3. Las apreciaciones anteriores y el hecho de que la mitad de los alumnos utilizaran unesquema de prueba transformacional, hizo pensar al profesor que éste era el esquema deprueba que, mayoritariamente, tenían sus alumnos. En consecuencia, el equipo investigador sepropuso conducir a todos ellos hacia este EP y, a la vez, mejorarlo en los que ya lo poseían.

7.2. Segundo ciclo

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Una semana después de realizar el cuestionario 1, y haber efectuado un primer análisis de lasrespuestas de los alumnos, se produjo una intervención en el aula para explicar a éstos losaspectos que se consideraron más relevantes. El profesor investigador hizo estasexplicaciones siguiendo unas transparencias previamente elaboradas, que expuso a toda laclase durante un período lectivo de 50 minutos. Los alumnos intervinieron esporádicamentepara solicitar algunas aclaraciones puntuales.

1. En primer lugar se aclaró el sentido de la pregunta: se trata de considerar un triángulocualquiera y probar, de la forma que se estime conveniente, que la suma de las medidas de susángulos interiores es 180º. Se insistió en que no se debía partir del resultado conocido la sumade las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º, sino justificarlo, contestar ala pregunta: ¿por qué esto es así?

2. El mayor esfuerzo de esta sesión se concentró en la reflexión 4, es decir, en conducir a losalumnos hacia el esquema de prueba transformacional y, para los que parecían poseerlo, tratarde mejorarlo, contribuyendo así, también, a la consecución del objetivo formulado al final dela citada conclusión 4. Para ello, se tomaron como base las propias respuestastransformacionales de los alumnos, exponiendo los distintos intentos que se dieron, así comosu posible continuación con el fin de mejorarlos e, incluso, de convertirlos en una pruebaauténtica. Se trató de resaltar el mérito de sus intentos, destacándose la posibilidad real dellegar a justificaciones completas a partir de sus ideas. Aquí sólo se muestran 2 casos.

1. Miguel Ángel argumenta: “Si cogemos uno de los ángulos deltriángulo, por ejemplo el γ, e intentáramos hacerlo más grande, el α se haríamás pequeño de forma progresiva …” (Véase figura 9)

Esta respuesta puede mejorarse en el sentido de la figura 10:2. Parecido es lo que propone David: “Si ponemos tres puntos en línea,vemos que no se forma ningún ángulo …, pero en el momento de mover unovemos que se puede unir, creando ángulos …” (Acompaña el dibujo de lafigura 11).

Este argumento se puedecompletar según lo indicado en lafigura 12:

Finalmente, también seexpusieron algunas formas deprobar el resultado que utilizandistintos materiales, como porejemplo, la que se muestra en la figura 13 y queestá basada en propiedades de las rectas paralelas.

Figura 11

α ββ

γ

Figura 9.

Figura 10.

Figura 12

B BCA C

A

180º

Figura 13

αγ

αβ

γ

16

Descripción del cuestionario 2

Se realizó el día 18-III-97, dos semanas después que el primero, y se propuso en el GE y enel GC. Los primeros habían recibido las instrucciones que se acaban de relatar, mientras que aestos últimos no se les dio ninguna orientación. Este cuestionario consta de una cuestión y sufinalidad es observar la evolución experimentada por los alumnos en sus esquemas de prueba.Esta cuestión goza de las mismas características que las señaladas para el cuestionario 1. Sinembargo, en esta ocasión, se trata de una proposición desconocida para los alumnos.Cuestión: Considera los ángulos exteriores de un triángulo.¿Cuánto suman? ¿Cómo lo justificarías?

Objetivo: Observar la evolución en los esquemas de prueba de losalumnos.

Se utilizan las mismas categorías que en el cuestionario 1 y elanálisis se hace siguiendo las mismas pautas. En Ibañes(2001) aparece completo.

Reflexiones del segundo ciclo

1. Ahora todos los alumnos tratan de probar el resultado (N1), lo que pone de manifiesto laeficacia de la instrucción 1 del segundo ciclo.

2. El análisis sobre la evolución de los EP pone de manifiesto que no se puede hablar del EPde un determinado alumno. En efecto, los alumnos de este nivel se encuentran en un estadode transición bajo la influencia de distintos esquemas, no siendo plenamente conscientes ni desus diferencias ni de sus limitaciones; y, por consiguiente, utilizan uno u otro según laspeculiaridades de lo que se les propone, o, incluso, emplean varios al mismo tiempo. Enconsecuencia, de lo que sí que se puede hablar es del esquema de prueba utilizado por undeterminado alumno para resolver una cuestión de cierta especialidad matemática.

3. La estrategia de guiar a los alumnos hacia los esquemas transformacionales, o de mejorarsus intentos dentro de éste, tal y como se expuso en los puntos 2 a 10 del apartado“instrucciones a los alumnos” del último cuestionario, no resultó adecuada.

4. En particular, llama la atención la abundancia de los esquemas inductivos, sobre los que elprofesor investigador llegó a suponer que sus alumnos estaban abandonando. Además, lamayor incidencia de este EP en el GC que en el experimental, lo parece indicar que lasorientaciones dadas fueron adecuadas para que cediera en favor de esquemas analíticos.

5. La convicción externa ha influido de nuevo. En cada grupo ha aparecido siguiendo lasexplicaciones del profesor que, de alguna manera, puedan relacionarse con lo propuesto.

6. Resulta necesario volver a abordar este aspecto de los EP, tratando de conducirprogresivamente a los alumnos desde los esquemas inductivos a los intuitivo axiomáticos.

7.3. Tercer ciclo

A comienzos del nuevo curso 1997-98, el equipo investigador volvió a considerar el tema delos esquemas de prueba de los alumnos con el objeto de poner en práctica la anteriorreflexión 6 del final del segundo ciclo (en el curso 1996-97). Sin dar ninguna instrucciónprevia a los alumnos, se diseñaron las dos primeras cuestiones del cuestionario y,posteriormente, a la vista de las respuestas de los estudiantes, se fueron añadiendo otrascuestiones, hasta completar 8, para aclarar o indagar determinados aspectos. Se pasó en tres

Figura 14.

17

grupos de alumnos, un GE y 2 grupos de control. Las tres primeras y la séptima sepropusieron al GE (1ºA) entre los días 24-X-97 y 5-XI-97. Las cuestiones 3, 4 y 5, sepropusieron al primer GC (1º B) entre los días 31-X-97 y 7-XI-97. La última cuestión sepropuso al segundo GC (1ºC) el día 7-XI-97. Ningún alumno de ningún grupo recibióinstrucción alguna, salvo la contenida en el texto del propio cuestionario que cada uno tuvoque responder. Todas estas cuestiones versan sobre el mismo teorema del cuestionario 1 delcurso 96-97.

Cuestión 1: Demuestra que la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.

Objetivo: Comparar la situación inicial de los alumnos con la de los del curso anterior ydeterminar su esquema utilizado.

Se consideran las mismas categorías que en el cuestionario 1 y, por tanto, no se describen,pero ahora no se consideran los EP de los alumnos, sino EP utilizadospor los alumnos.

Cuestión 2 : Se proponen cinco pruebas distintas del teorema “la suma delas medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º”,correspondientes con los siguientes esquemas de prueba: inductivo de uncaso, inductivo de varios casos, inductivo sistemático, transformacional eintuitivo axiomático. Se presentan en hojas separadas.

Prueba 1. Dibujamos un triángulo como el de la figura 14. Y medimos sus ángulos,resultando 42º, 76º y 62º.Sumamos y da 180º.¿Queda así probado que el

teorema es verdad? SÍ NO

Observaciones:

Prueba 2. Dibujamos varios triángulos como los de la figura 15. Medimos, en todos ellos, sus ángulosinteriores, y su suma siempre resulta 180º.¿Queda así probado que el teorema es verdad? SÍ NO¿Qué piensas ahora del procedimiento de lahoja anterior?Observaciones:

Prueba 3. Dibujamos triángulos de losdistintos tipos como los de la figura 16.Medimos, en todos ellos, sus ángulosinteriores, y su suma siempre resulta 180º.

42º

62º

76º

Figura 14.

Figura 15.

22º

75º

46º

59º

61º

88º

31º

123º 35º

Figura 16.

76º

Acutángulos Rectángulos Obtusángulos

Isósceles Equiláteros

64º 25º

40º90º

60º

30º135º 20º

75º 75º

60º30º

60º 60º

Figura 17.

A B

C

α β

γ

Figura 18.

A B

C

α β

γα

β

β

18

¿Queda así probado que el enunciado del teorema es verdad? SÍ NO¿Qué piensas ahora del procedimiento de la hoja anterior?Observaciones:

Prueba 4. Consideramos un triángulo cualquiera ABC, como en la figura 17,cuyos ángulos interiores son α, β y γ. Por C trazamos una paralela al lado AB(figura 18), apareciendo los ángulos α y β a ambos lados del γ . Está claro queentre los tres suman 180º.¿Queda así probado que el teorema es verdad? SÍ NO¿Qué piensas ahora del procedimiento de la hoja anterior?Observaciones:

Prueba 5. Sea ABC un triángulo cualquiera (figura 19). Por C trazamos la recta PQ paralela a AB (porque porun punto cualquiera del plano puede trazarse una paralela a una recta dada).Se tiene que PCA + ACB + BCQ = 180º.Por otra parte, PCA = CAB (por ser ángulos alternos-internos) y BCQ = ABC (por la misma razón).Se sigue que CAB + ABC + ACB = 180º.¿Queda así probado que el teorema es verdad? SÍ NO¿Qué piensas ahora del procedimiento de la hoja anterior?Observaciones.

Objetivo: Estudiar las argumentaciones de los alumnos para aceptar o rechazar cada prueba propuesta,definiendo de esta manera el esquema aceptado por cada alumno, así como observar la evolución deéstos a lo largo del proceso que constituye esta cuestión.

Categorías para el análisis: Como puede verse en Ibañes (2001), aquí se considerancategorías de aceptación y de rechazo de un EP. Asimismo, las respuesta de los alumnos aesta cuestión, y su evolución, exigen considerar otras modalidades de esquema de prueba:aceptado, adherido, inicial y final.

- EsA. Esquema aceptado. EP que acepta un alumno en el transcurso de la secuencia didáctica.- EsAd. Esquema adherido. EP que acepta un alumno, con rechazo de los anteriores, en eltranscurso de una secuencia didáctica.- EsI. Esquema inicial. EP que se estima posee un alumno al iniciar una secuencia didáctica.- EsF. Esquema final. EP que posee un alumno al finalizar una secuencia didáctica.

Asimismo, para realizar un análisis más preciso de esta cuestión y comprender mejor laevolución de los alumnos se consideran varios números índices, se completan tablasestadisticas, …

Índice de aceptación (iACE) de un determinado esquema (la aceptación de cada esquema):

alumnosdenúmerosafirmativarespuestasdenúmeroiACE =

Indice de captación (iCAP) (capacidad de cada EP para atraer nuevas aceptaciones):

anterioresquemaalrechazosdenanterioresquemaelrechazaronquelosentresafirmativarespuestasdeniCAP

ºº

=

Índice de adherencia (iADH) (la aceptación de un esquema excluyente de los anteriores):

alumnosdenúmeroadheridosalumnosdenúmeroiADH =

Índice de enraizamiento (iENR) de un determinado esquema (capacidad de conservar lasadhesiones que posee un determinado esquema):

A B

C

P Q

Figura 19.

19

teinicialmenadheridosalumnosdenúmeroprocesodelfinalaladheridosalumnosdenúmeroiENR =

Cuestión 3: Ahora olvídate de todos estos cuestionarios (cuestión 2), salvo del primero (cuestión 1),en el que te pedía que demostraras que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º. ¿Cómo lointerpretaste? Aquí te pongo varias posibilidades; elige la que corresponda.

a. Que tenía que comprobarlo en un triángulo (en uno).b. Que tenía que comprobarlo en varios triángulos.c. Que tenía que comprobarlo en varios triángulos estudiando distintas posibilidades.d. Que debería comprobarlo en todos los triángulos y que como esto es imposible, lo haría enalgunos y supondría que en los demás ocurriría lo mismo.e. Que tenía que probarlo con razonamientos válidos para cualquier triángulo.f. Que tenía que probarlo con razonamientos válidos para cualquier triángulo, indicandoexplícitamente los resultados y axiomas en los que me basaba.

Objetivo: Estudiar la relación entre la interpretación que dieron los alumnos al enunciado del teoremapropuesto y sus respuestas a las cuestiones 1 y 2.

Cuestión 4: (Se realiza en el grupo de control) Lee los siguientes enunciados:a. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.b. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es 180º.c. La suma de las medidas de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º.¿Quieren decir lo mismo? SÍ NOSi observas diferencias explícalas.

Objetivo: Analizar cómo ha influido en las respuestas de los alumnos a las cuestiones 1 y 2 laexpresión un triángulo del enunciado del teorema y estudiar posibles alternativas a dicho enunciado.

Cuestión 5. Se propone a los alumnos del GC (1º B) y los alumnos del GE. Demuestra el siguienteresultado: En todos los triángulos, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 180º.

Objetivo: Estudiar cómo influye en los esquemas que utilizan los alumnos el cambio, en el enunciadodel teorema, de la expresión un triángulo por la expresión todos los triángulos.

Cuestión 6. Teorema: En todos los triángulos, la suma de las medidas de los ángulos interiores es180º.

Dibujamos un triángulo (véase la figura 14). Medimos sus ángulos, resultando 42º, 76º y 62º.Sumamos y da 180º.¿Queda así probado que el teorema es verdad? SÍ NO

Objetivo: Estudiar cómo influye el cambio de la expresión un triángulo por todos los triángulos en elenunciado del teorema, en la aceptación, por parte de los alumnos, de la prueba 1 de la cuestión 2.

Cuestión 7: Te recuerdo el contenido de la primera prueba de la cuestión 2:“Teorema: La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.Dibujamos un triángulo (véase la figura 26). Medimos sus ángulos, resultando 42º, 76º y 62º. Sumamosy da 180º. ¿Queda así probado que el teorema es verdad? SÍ NO”

Tú contestaste SÍ, y quiero saber la razón. Aquí apunto algunas posibilidades:a. Interpreté la expresión “un triángulo” como “un triángulo concreto”.b. Interpreté la expresión “queda así probado que el teorema es verdad” como “comprobadocon un ejemplo”.c. Pensaba que al comprobarlo con un ejemplo, quedaba probado en todos los triángulos.d. Otras. Explícalo:

Objetivo: Conocer qué razones llevaron a la mitad de los alumnos del grupo experimental a aceptar elesquema de prueba inductivo de un caso, propuesto en la primera prueba de la cuestión 2.

Cuestión 8: Se proponen a los alumnos del 2º GC (1º C) los esquemas 5 y 1 (en este orden) de lacuestión 2, preguntándoles, como en su día a los del GE, si queda probado que el teorema es verdad.

20

Objetivo: Valorar la eficacia del proceso de instrucción seguido en el grupo experimental.

Como es lógico en los procesos de I-A, una vez recogidos los datos, a la luz del sistema decategorías, y considerando la información que aportan los índices introducidos, se hace unanálisis de los mismos y de él se siguen las correspondientes reflexiones. Sin embargo, elcarácter restrictivo de este texto aconseja dejar tanto esta reflexión como la global en favor delas conclusiones.

7.6. Debates y entrevistas

La investigación siguió su curso celebrando 4 debates sobre las tareas desarrolladas, que segrabaron en audio íntegramente. Se eligieron a 8alumnos teniendo en cuenta las respuestas quehabían emitido en los cuestionarios. Estosalumnos debían defender sus respuestas entreellos y frente al colectivo de la clase. Se señalaronestos 3 objetivos:

- I. Que los alumnos verbalicen susopiniones respecto a los temas tratados.

- II. Establecer una confrontación entre las ideas de unos alumnos y otros.- III. Ayudar a esclarecer las respuestas de los alumnos e indagar sobre sus dificultades.

Los debates fueron moderados por el Profesor-Investigador, procurando que lasintervenciones de los alumnos fuesen espontáneas. Éstas fueron aumentando paulatinamente,como manifiesta el diagrama adjunto. Se grabaron íntegramente y del análisis de lasgrabaciones se desprenden las siguientes reflexiones:

• Manifiesto de la dimensión social del aprendizaje de las Matemáticas• Se ha producido rectificaciones de errores no corregidos hasta ahora.• Evolución positiva en la comprensión de conceptos y en la aplicación deprocedimientos.• Inicio de crisis en posturas rígidamente mantenidas durante todo el curso.• Afianzamiento de conceptos y procedimientos adquiridos con anterioridad.

Dos semanas después de haber concluido los debates se realizaron 5 entrevistas a 5 parejasde alumnos (los 8 alumnos de los debates y 2 más -que destacaron en los debates-). En lasentrevistas se debían abordar los puntos conflictivos que se hubieran manifestado, bien en loscuestionarios o en los debates, provocando situaciones de validación. Como ejemplo sereproduce la siguiente:50 - Profesor: ¿Pasamos al Debate 4? En la entrevista de ayer Verónica puso una dificultad en la hoja I.2, donde hay una

figura. Dice que esta demostración se refiere a la figura concreta que hay en el dibujo, y que entonces la demostraciónse basa en esa figura, y piensa que puede ocurrir que si se cambia la figura, el argumento que viene a continuación yano es válido. En definitiva, dice que este razonamiento se basa en una figura concreta y, por tanto, no es unademostración puesto que una demostración tiene que ser algo universal -válida para todos los cuadriláteros, en estecaso-. ¿Vosotros que pensáis de esta pega que propone Verónica?

51 - Rebeca: Yo creo que esto no es para un caso concreto porque si tú haces una figura cualquiera también sale, pero detodas las maneras como no hay datos numéricos ni nada concreto, pues (vale) para todos.

52 - Profesor: En definitiva, ¿esto es una demostración?53 - Rebeca: Sí.54 - Profesor: ¿Por qué?55 - Rebeca: Porque creo que está hecho para cualquier cuadrilátero…56 - Profesor: Pero Verónica dice que este razonamiento se basa en esta figura que he hecho yo, y no en todos los

posibles cuadriláteros , y, por lo tanto, se refiere a un caso particular. ¿Qué te parece?

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57 - Rebeca: Yo creo que esta figura está hecha al azar y, de todas las maneras, tampoco creo que sea un caso particular,porque si fuera particular se podría decir, por ejemplo, que los triángulos ACD, pues yo qué sé, se les podría poner acada ángulo un valor y cosas así.

58 - Profesor: ¿Piensas que la figura es esencial o es un instrumento de apoyo para y entender mejor el razonamiento?59 - Rebeca: Es para ayudarte, sí.60 - Profesor: No juega un papel esencial…61 - Rebeca: No.62 - Profesor: ¿Incluso sin figura sería válida la demostración?63 - Rebeca: No, yo creo que habría que hacerla.64 - José Mª: Sí, es una ayuda más que nada, porque tú puedes dibujar el paralelogramo y sus puntos, y las letras

correspondiendo a cada uno de los puntos, entonces la figura lo que hace es ayudarte a situar esos puntos, lo único. Situviésemos sólo la explicación, que es la verdadera demostración, sí que sería válido.

65 - Profesor: ¿Podríamos prescindir de la figura, si tuviéramos mucha imaginación?66 - José Mª: Sí.67 - Rebeca: Si tienes mucha, sí. Lo que pasa es que, a lo mejor no podrías ver que ON y AC son paralelos… 68 - José Mª: Lo único que hace es ayudarte a entender la situación, pero se podría prescindir de ellas. 69 - Profesor: Dice Rebeca que, a lo mejor, no podrías ver que ON y AC son paralelos. ¿Realmente no lo podrías ver? Es

decir, ¿el razonamiento que viene a continuación deque ON y AC se basa en la figura?

70 - José Mª: No.71 - Rebeca: No. Se basa en el lema. 72 - Profesor: ¿Entonces?73 - Rebeca: Se podría hacer sin figura.

La obstinación de José Mª hizo pensar alequipo investigador la conveniencia deindagar en qué medida comparten los alumnos la tesis de este alumno y se hizo la siguienteconsulta:

Cuestión: Esta es la solución que dio José Mª al problema de demostrar que la suma de losángulos de un triángulo es 180º. Critica esta solución:

Objetivo: Observar en qué medida los alumnos comparten con José Mª sus dificultades enver que la solución de éste último al problema no es una demostración.

Una vez que se han analizado las respuestas del GE y del GC, llama la atención elenraizamiento de los esquemas inductivos y el consiguiente impedimento para reconocerdemostraciones y distinguirlas de otros procesos. Por otra parte, esta indagación manifiesta laimportancia que tienen tanto la flexibilidad como la posibilidad de hacer cuantas pruebas seannecesarias.

7.7. Conclusiones

En toda la investigación hemos tenido ocasión de ratificar tanto las impresiones iniciales delequipo investigador sobre dificultades del aprendizaje de la demostración, como los datosaportados por otros investigadores (Galbraiht (1981), Fischbein (1982), Senk (1985), Martin yHarel (1989), Porteous (1990), Chazan (1993), etc.); y, también hemos asistido aldescubrimiento de aspectos nuevos. En lo que se refiere a los EP, destacan la falta decomprensión de lo que supone justificar una proposición, la ausencia de un EP adecuado paracomprender el significado de la demostración, y el enraizamiento de los esquemas inductivos.

1. Lo que constituye comprobación y convencimiento para nuestros alumnos de bachilleratoes algo que varía según la tarea que se les proponga, puesto que los estudiantes de este nivel

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se encuentran en un estado de transición bajo la influencia de distintos EP, no siendoplenamente conscientes ni de sus diferencias ni de sus limitaciones; y, por tanto, utilizan unou otro según las peculiaridades de lo que se les propone, o, incluso, emplean varios al mismotiempo.

2. En los 2 primeros ciclos nos pareció más acorde con la realidad referirnos al EP utilizadopor el alumno en una cuestión concreta. En el ciclo 3º, hubo que considerar diversos aspectosy circunstancias que dieron lugar a los conceptos de: esquema aceptado, esquema adherido,esquema declarado, esquema inicial y esquema final. Todas estas modalidades enriquecen ycompletan la idea previa de esquema de prueba, y la clasificación de Harel y Sowder, sobreplano en el plano del investigador. La consideración de estos EP ha sido crucial en ladeterminación del estado de transición de los alumnos.

3. Respecto al progreso de los alumnos, la estrategia de guiarlos hacia esquemastransformacionales, o de mejorar sus intentos dentro de éstos con las “instrucciones a losalumnos”, en el paso del 1º al 2º ciclo, no consiguió los frutos deseados debido a que los EPinductivos ejercen una influencia muy importante en los alumnos de este nivel. Sin embargo,la menor incidencia observada en el GE que en el GC, parece indicar que, con orientacionesadecuadas, esos esquemas inductivos podrían ir cediendo en favor de esquemas analíticos.

4. Se ha podido constatar una aceptación creciente de los sucesivos EP propuestos; todosellos han contribuido a la captación de alumnos; la adhesión a cada esquema ha idodisminuyendo en cada etapa del proceso, produciéndose una paulatina diversificación con laaparición de adhesiones a los nuevos esquemas que iban exponiéndose; la mayoría de losalumnos ha evolucionado en su EP, y el número de los que se adhieren al esquema analíticose ha triplicado; aunque muchos alumnos tienen muchas dificultades para evolucionar yasumir EP analíticos; finalmente, se pone de manifiesto la importancia de considerar ypotenciar el reconocimiento de las funciones de la demostración sobre todo de la función deexplicación.

5. Las respuestas de los alumnos del GC a la cuestión 8 (tercer ciclo) ponen de manifiesto laeficacia del proceso de instrucción llevado a cabo en el GE. En particular, este procesofacilitó: la distinción entre los distintos esquemas de prueba; la promoción a esquemas másevolucionados y, en particular, la superación de los esquemas inductivos; la atención a laglobalidad del razonamiento y el aprecio de la universalidad del mismo.

6. El concepto de EP no debe presentarse exclusivamente en términos de verificación –comohacen Harel y Sowder-, sino que deben tenerse en cuenta otras funciones de la demostración.

7. Este estudio sobre los EP conduce de manera natural al del reconocimiento de procesos y lautilización e interpretación de algunas expresiones (Ibañes, 2001, Cap. 3 y 4).

7. 8. Problemas abiertos

En el apartado Definición del problema se trazó una panorámica de lo que suponía entenderdemostraciones, proponiéndose el estudio de multitud de aspectos relacionados con este temay, por tanto, desde el principio quedan propuestos otras problemas que pueden investigarse:comprensión de los pasos de la demostración, identificación de las líneas maestras y de lasideas clave, interpretación de palabras de enlace, consideración de diversos métodos(reducción al absurdo, inducción completa, etc.), valoración de las distintas funciones,interpretación de la conectivas lógicas, ... Además de esos problemas, en el transcurso de lainvestigación han surgido determinados aspectos en los que no se ha podido profundizar, por

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ejemplo: los EP utilizados por los alumnos al hacer demostraciones; aceptación de losprocedimientos de los esquemas experimentales; progreso de los estudiantes en los esquemasanalíticos; relaciones del reconocimiento de procesos con los EP, o con las funciones de lademostración, o con las técnicas de demostración; repercusiones de la utilización de otrasexpresiones no estudiadas; análisis específico de los tres esquemas de Vinner; dependencia delos resultados respecto del contenido matemático, por ejemplo, no se sabe cómo secomportarían los alumnos frente a EP con contenidos específicos de Análisis Matemático.

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