Organizador didáctico APRENDO MATEMÁTICA 6tintafresca.com.ar/guiadocente/GD_AM6.pdf · Eras...

6APRENDO MATEMTICA

Organizador didctico

Gerente general Claudio De Simony

Directora editorialAlina Baruj

AutorasLiliana Kurzrok

Jefa de arteEugenia EscamezCoordinacin de arte y diseo grficoYsica VzquezDiagramacinLuca Antonietti

Jefa de preprensa y fotografa Andrea BalbiSeleccin de imgenes Leandro Ramrez

IlustradoresAndrea Cingolani

Asistente editorialCarolina Pizze

Produccin editorialRicardo de las Barreras

Marketing editorialMariela Ins Gomez

Tinta fresca ediciones S.A. Corrientes 526 (C1043AAS) Ciudad de Buenos Aires

Planificacin anual sugerida .................... 3Tabla de contenidos .................................. 61. Los sistemas de numeracin ................. 82. Operaciones con nmeros naturales .....103. Los tringulos ...................................... 174. Divisibilidad ......................................... 245. Los cuadrilteros ................................. 26 6. Los nmeros racionales fraccionarios ...337. Los polgonos ....................................... 37

8. Operaciones con nmeros racionales fraccionarios .......................... 409. Los nmeros racionales decimales ..... 4510. Ubicaciones en el plano ................... 4911. Las relaciones de proporcionalidad 5212. Las unidades de medida ................... 5613. Permetros y reas ............................ 5914. Los cuerpos geomtricos ................. 62

NDICE

3APRENDO MATEMTICA 6

Planificacin anual sugeridaPe

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Objetivos y propsitos Contenidos curricularesSecuencia didctica

sugeridaSituaciones didcticas en el libro

y en el cuaderno de escritura

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Reconocer y usar nmeros naturales.Explicar las caractersticas del sistema decimal de numeracin en situaciones problemticas.Explicar las propiedades de los nmeros naturales en situaciones problemticas.

Resolver problemas que exijan componer y descomponer nmeros en forma aditiva y multiplicativa analizando el valor posicional y las relaciones con la multiplicacin y divisin por la unidad seguida de ceros.

Lectura y escritura de nmeros naturales grandes. Comparacin y orden de nmeros naturales grandes. Valor posicional de las cifras.Descomposicin polinmica. Ubicacin en la recta numrica. Sistemas de numeracin.

Captulo 1: Los sistemas de numeracin El sistema solar (Pg. 5)Eras geolgicas (Pg. 6 y 7)El censo del ao 2010 (Pg. 8)Ubicar nmeros en la recta (Pg.10)Los nmeros en Babilonia (Pg.11)

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Reconocer y usar operaciones entre nmeros naturales.Resolver problemas que implican: determinar la cantidad que resulta de combinar y permutar elementos; reconocer y usar el cociente y el resto de una divisin; analizar las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto.

Reconocer, producir y analizar figuras geomtricas a partir de sus caractersticas.Analizar afirmaciones acerca de las propiedades de las figuras y argumentar sobre su validez.

Resolver problemas y clculos de suma y resta.Resolver problemas que involucran relaciones de proporcionalidad directa y organizaciones rectangulares.

Analizar el lugar geomtrico de circunferencias y crculos.Construir tringulos a partir de las medidas de sus lados y sus ngulos para recordar sus propiedades.

Estimacin de resultados. Problemas con ms de una operacin. Uso de parntesis. Los sentidos de la multiplicacin.Problemas de conteo. Estrategias para multiplicar. Problemas de reparto. Clculo mental de divisiones. Algoritmo de divisin. Anlisis del resto. Problemas con las cuatro operaciones.

Uso del comps. Circunferencia y crculo Construccin y copiado de segmentos y ngulos. Construccin de tringulos dados los lados. Construccin de tringulos dados los ngulos. Suma de los ngulos interiores de un tringulo. Alturas de tringulos. Mediatriz de un segmento.

Captulo 2: Operaciones con nmeros naturales La librera de Julio (Pg. 13)El negocio para mascotas (Pg. 14 y 15)La venta de libros (Pg. 16 y 17)Un da en la estancia (Pg. 18 y 19)Formas de multiplicar (Pg. 20 y 21)El casamiento (Pg. 22 y 23)Dividir ms fcil (Pg.24 y 25)Cuentas para dividir (Pg. 26 y 27)Remodelar la casa (Pg. 28 y 29)

Captulo 3: Los tringulos Cuidar al rey (Pg. 31)Usar el comps (Pg. 32 y 33)Los lados de los tringulos (Pg. 34 y 35)Construir con ngulos (Pg. 36 y 37)Sumar ngulos (Pg. 38 y 39)Las alturas (Pg. 40)Puntos a igual distancia (Pg. 41)

May

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Reconocer mltiplos y divisores y sus propiedades. Analizar la validez de los criterios de divisibilidad.

Resolver problemas que implican: el uso de mltiplos y divisores, y mltiplos y divisores comunes entre varios nmeros; el uso de criterios de divisibilidad para establecer relaciones numricas y anticipar resultados.

Escalas. Mltiplos y divisores. Anlisis del resto. Divisor comn mayor. Mltiplo comn menor. Descomposiciones multiplicativas y aditivas.

Captulo 4: Divisibilidad Jugar con mltiplos (Pg. 43)La visita al teatro (Pg. 44 y 45)Club Los del Barrio (Pg.46 y 47)Formas de encontrarse (Pg. 48 y 49)Usar diferentes escrituras (Pg. 50 y 51)

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Reconocer figuras geomtricas.Producir y analizar construcciones considerando las propiedades involucradas en situaciones problemticas.Describir, comparar y clasificar cuadrilteros sobre la base de saberes previos acerca de sus propiedades.Analizar afirmaciones acerca de las propiedades de las figuras, y argumentar sobre su validez.

Reconocer y usar nmeros fraccionarios en situaciones problemticas.Argumentar sobre la equivalencia de distintas representaciones y descomposiciones de un nmero.Comparar fracciones y expresiones decimales a travs de distintos procedimientos, incluyendo la representacin en la recta numrica e intercalando fracciones entre otros nmeros.

Construir cuadrados, rectngulos y rombos para identificar propiedades relativas a sus lados y sus ngulos.Construir paralelogramos como medio para estudiar algunas de sus propiedades. Elaborar la propiedad de la suma de los ngulos interiores de paralelogramos.

Establecer relaciones entre fracciones y el cociente de nmeros naturales.Resolver problemas de medida.Resolver problemas que demandan comparar fracciones y encontrar fracciones entre nmeros dados usando la recta numrica.

Clasificacin de cuadrilteros. Construccin de paralelogramos. Propiedades de las diagonales. Propiedades de los trapecios. Construir figuras.

Uso social de los nmeros fraccionarios. Los nmeros fraccionarios para medir y repartir. Partes de todo y todo de partes. Ubicacin en la recta numrica.Nmeros fraccionarios equivalentes. Fracciones equivalentes. Orden y densidad de los nmeros racionales.

Captulo 5: Los cuadrilteros La visita al museo (Pg. 53)Copiar y construir (Pg. 54 y 55)Partes de los cuadrilteros (Pg. 56 y 57)Los trapecios (Pg. 58)Datos para construir (Pg. 59)

Captulo 6: Los nmeros racionales fraccionarios La venta de caf (Pg. 61)El caf y los paquetes (Pg. 62 y 63)Contar golosinas (Pg. 64 y 65)Ubicar en la recta (Pg. 66 y 67)Distintos paquetes, igual cantidad (Pg. 68 y 69)Ordenar paquetes (Pg. 70 y 71)

Julio

Reconocer figuras geomtricas.Producir y analizar construcciones considerando las propiedades involucradas en situaciones problemticas.Describir, comparar y clasificar polgonos.Analizar afirmaciones acerca de las propiedades de las figuras, y argumentar sobre su validez.

Construir polgonos para identificar propiedades relativas a sus lados y sus ngulos.Elaborar la propiedad de la suma de los ngulos interiores de polgonos.

Polgonos cncavos y convexos.Clasificacin, construccin y copiado de polgonos. Suma de los ngulos interiores de un polgono.Calcular ngulos sin medir. Construccin de polgonos.

Captulo 7: Los polgonos Los geoplanos (Pg. 73)Armar figuras (Pg. 74 y 75)Sumar ngulos (Pg. 76 y 77)Calcular ngulos (Pg. 78)Construccin de polgonos (Pg. 79)

Ago

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Reconocer y usar nmeros fraccionarios y explicar sus caractersticas en situaciones problemticas.Identificar y utilizar las operaciones matemticas entre nmeros fraccionarios.

Resolver problemas que demandan realizar sumas y restas entre fracciones utilizando diferentes recursos de clculo.Resolver problemas que involucran la multiplicacin entre una fraccin y un entero y la multiplicacin entre fracciones.Resolver problemas que involucran la divisin entre una fraccin y un entero.Utilizar recursos de clculo mental y algortmico, exacto y aproximado para sumar, restar y multiplicar nmeros fraccionarios entre s y con nmeros naturales.

Suma y resta de nmeros fraccionarios de uso cotidiano.Suma y resta de nmeros fraccionarios.Estrategias de clculo mental.Multiplicacin de nmeros fraccionarios por nmeros naturales. Multiplicacin de nmeros fraccionarios.Estrategias de multiplicacin de nmeros fraccionarios.Divisin de nmeros fraccionarios por nmeros naturales.Estrategias de divisin entre nmeros fraccionarios en casos particulares. Estrategias de clculo mental.

Captulo 8: Operaciones con nmeros racionales fraccionarios Comprar y repartir (Pg. 81)El viaje de Juan (Pg. 82 y 83)Calcular con facilidad (Pg. 84 y 85)Muchos paquetes iguales (Pg. 86)Partir lo que hay (Pg. 87)Cmo se multiplica? (Pg. 88 y 89)Repartir el queso (Pg. 90 y 91)Envasar la mercadera (Pg. 92 y 93)Cuentas que se piensan (Pg. 94 y 95)

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Reconocer y utilizar nmeros decimales.Identificar la organizacin del sistema decimal de numeracin y explicar sus caractersticas en situaciones problemticas.Analizar afirmaciones sobre las relaciones y propiedades que diferencian los nmeros naturales de las fracciones y expresiones decimales.Comparar expresiones decimales a travs de diversos procedimientos, incluyendo la representacin en la recta numrica e intercalando fracciones decimales entre otros nmeros.

Identificar puntos en el plano y en tablas.

Resolver problemas que exigen analizar las relaciones entre fracciones decimales y expresiones decimales.Identificar que entre dos expresiones decimales siempre es posible encontrar otra expresin decimal o una fraccin usando la recta numrica.Utilizar recursos de clculo mental y algortmico, exacto y aproximado para sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones decimales entre s y con nmeros naturales.

Analizar grficos y planos y ubicacin de puntos en el plano.

Uso social de los nmeros decimales. Expresiones decimales de las fracciones decimales. Valor posicional de las cifras. Problemas con sumas y restas.Estrategias para sumar y restar. Estrategias para multiplicar. Estrategias para dividir. Estrategias de clculo mental. Ubicacin en la recta numrica.Orden y densidad de los nmeros decimales.

Ubicacin en planos. Sistemas de referencia. Ubicacin en mapas. Ubicacin en el plano. Sistemas de referencia.

Captulo 9: Los nmeros racionales decimales Comprar y pagar (Pg. 97)Escribir de manera equivalente (Pg. 98 y 99)Salir de compras (Pg. 100 y 101)Distintas maneras de sumar y restar (Pg. 102 y 103)Comprar varios productos (Pg. 104 y 105)Cortar las cintas (Pg. 106 y 107)Facilitar las cuentas (Pg. 108 y 109)Escribir ordenado (Pg. 110 y 111)

Captulo 10: Ubicaciones en el plano Los planos (Pg. 113)Recorrer Baha Blanca (Pg. 114 y 115)Jugar al Go (Pg. 116 y 117)

Oct

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Reconocer y utilizar las operaciones entre nmeros naturales, fracciones y expresiones decimales, y explicar sus procedimientos en situaciones problemticas.Explicar las caractersticas de las relaciones de proporcionalidad directa.Analizar las relaciones entre cantidades y nmeros para determinar y describir regularidades en el caso de la proporcionalidad.

Distinguir la pertinencia o no de recurrir al modelo proporcional para resolver problemas.Resolver problemas que involucran el anlisis de relaciones entre nmeros racionales y porcentajes.Resolver problemas que involucren la interpretacin y produccin de grficos.

Anlisis de relaciones de proporcionalidad. La relacin de proporcionalidad directa. Anlisis de las relaciones de proporcionalidad directa y de las que no lo son. Porcentaje.Clculo de porcentajes. La relacin de proporcionalidad inversa. Representaciones grficas.Problemas de proporcionalidad.

Captulo 11: Las relaciones de proporcionalidad Comprar en la verdulera (Pg. 119)Compras en el mercado (Pg. 120 y 121)El corraln de materiales (Pg. 122 y 123)Comprar ropa (Pg. 124 y 125)Aumentos y descuentos (Pg. 126 y 127)Otros tipos de relaciones (Pg. 128 y 129)Los grficos circulares (Pg. 130)Tomar decisiones (Pg. 131)

Nov

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Comprender el proceso de la medicin en situaciones problemticas utilizando diferentes expresiones para una misma cantidad.Analizar y usar reflexivamente distintos procedimientos para estimar y calcular medidas en situaciones problemticas.

Elaborar y comparar distintos procedimientos para calcular reas de polgonos, estableciendo equivalencias entre figuras de diferente forma.Analizar la variacin del permetro y el rea de una figura ante una variacin en la longitud de sus lados.

Resolver problemas que implican profundizar las equivalencias entre unidades del SIMELA para longitud, capacidad y peso.Comparar la organizacin del SIMELA y el sistema sexagesimal.

Analizar la variacin del permetro y del rea de un rectngulo en funcin de la medida de sus lados.Analizar frmulas para calcular el rea del rectngulo, el cuadrado, el tringulo y el rombo.

Sistemas de medicin.Medidas de longitud. Medidas de capacidad. Medidas de peso. El sistema sexagesimal.Medidas de tiempo.

Diferencias entre reas y permetros. Clculo de permetros.Clculo de reas de cuadrilteros y tringulos.Unidades de medida de rea. reas y permetros de figuras combinadas. Variacin de reas y permetros.

Captulo 12: Las unidades de medida Comparar unidades (Pg.133)Medir distancias (Pg. 134 y 135)Los lquidos (Pg. 136 y 137)Los pesos (Pg. 138 y 139)Medir tiempos y ngulos (Pg. 140 y 141)

Captulo 13: Permetros y reas Renovar una cancha de ftbol (Pg. 143)Bordear las canchas (Pg. 144 y 145)Medir reas (Pg. 146 y 147)Cambiar unidades (Pg. 148 y 149)Combinar figuras (Pg.150 y 151)Variar los lados (Pg. 152 y 153)

Dic

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Reconocer cuerpos geomtricos.Producir y comparar desarrollos planos de cuerpos argumentando su pertinencia.

Analizar desarrollos planos de cubos, prismas y pirmides para profundizar en el estudio de sus propiedades.

Clasificacin de los cuerpos geomtricos. Relaciones entre caras, aristas y vrtices. Desarrollos planos de cuerpos geomtricos.

Captulo 14: Los cuerpos geomtricos La maqueta de Jerusaln (Pg. 155)Las partes de los cuerpos geomtricos(Pg. 156 y 157)Armar cuerpos geomtricos (Pg. 158 y 159)

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Tabla de contenidos

Captulo Contenidos

1. Los sistemas de numeracin

Lectura y escritura de nmeros naturales grandes Comparacin y orden de nmeros naturales grandes Valor posicional de las cifras.Descomposicin polinmica Ubicacin en la recta numrica Sistemas de numeracin

2. Operaciones con nmeros naturales

Estimacin de resultados / Problemas con ms de una operacin. Uso de parntesis Los sentidos de la multiplicacinProblemas de conteo / Estrategias para multiplicar Problemas de reparto / Clculo mental de divisiones Algoritmo de divisin. Anlisis del resto Problemas con las cuatro operaciones

3. Los tringulos

Uso del comps. Circunferencia y crculo Construccin y copiado de segmentos y ngulos Construccin de tringulos dados los lados Construccin de tringulos dados los ngulos Suma de los ngulos interiores de un tringulo Alturas de tringulos Mediatriz de un segmento

4. Divisibilidad

Escalas Mltiplos y divisores. Anlisis del resto Divisor comn mayor Mltiplo comn menor Descomposiciones multiplicativas y aditivas

5. Los cuadrilteros

Clasificacin de cuadrilteros Construccin de paralelogramos Propiedades de las diagonales Propiedades de los trapecios Construir figuras

6. Los nmeros racionales fraccionarios

Uso social de los nmeros fraccionariosLos nmeros fraccionarios para medir y repartir Partes de todo y todo de partes Ubicacin en la recta numrica.Nmeros fraccionarios equivalentes / Fracciones equivalentes Orden y densidad de los nmeros racionales

7. Los polgonos

Polgonos cncavos y convexosClasificacin, construccin y copiado de polgonos Suma de los ngulos interiores de un polgonoCalcular ngulos sin medir Construccin de polgonos

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Tabla de contenidos

Captulo Contenidos

8. Operaciones con nmeros racionalesfraccionarios

Suma y resta de nmeros fraccionarios de uso cotidiano Suma y resta de nmeros fraccionarios Estrategias de clculo mental Multiplicacin de nmeros fraccionarios por nmeros naturales Multiplicacin de nmeros fraccionarios Estrategias de multiplicacin de nmeros fraccionarios Divisin de nmeros fraccionarios por nmeros naturales Estrategias de divisin entre nmeros fraccionarios en casos particulares Estrategias de clculo mental

9. Los nmeros racionales decimales

Uso social de los nmeros decimales Expresiones decimales de las fracciones decimales. Valor posicional de las cifras Problemas con sumas y restasEstrategias para sumar y restar / Estrategias para multiplicar Estrategias para dividir / Estrategias de clculo mental Ubicacin en la recta numricaOrden y densidad de los nmeros decimales

10. Ubicaciones en el plano

Ubicacin en planos. Sistemas de referencia Ubicacin en mapas Ubicacin en el plano. Sistemas de referencia

11. Las relaciones de proporcionalidad

Anlisis de relaciones de proporcionalidad La relacin de proporcionalidad directa Anlisis de las relaciones de proporcionalidad directa y de las que no lo son Porcentaje. Clculo de porcentajes La relacin de proporcionalidad inversa Representaciones grficasProblemas de proporcionalidad

12. Las unidades de medida

Sistemas de medicinMedidas de longitud.Medidas de capacidad Medidas de peso El sistema sexagesimal. Medidas de tiempo

13. Permetros y reas

Diferencias entre reas y permetros Clculo de permetrosClculo de reas de cuadrilteros y tringulosUnidades de medida de rea reas y permetros de figuras combinadas Variacin de reas y permetros

14. Los cuerpos geomtricos

Clasificacin de los cuerpos geomtricos Relaciones entre caras, aristas y vrtices Desarrollos planos de cuerpos geomtricos

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1 Los sistemas de numeracin El sistema solar

Pensemos entre todos Porque a veces, para una rpida lectura es preferible que los nmeros se escriban con palabras. Muchas veces usan esta nomenclatura en los diarios. Cuando los nmeros son chicos o cuando hay que operar es conveniente que estn escritos con nmeros. Cuando los nmeros tienen muchos ceros es preferible escribirlos con palabras. La coma significa que el 1 es mil millones, el 4 es cien millones y el 3 es 10 millones. Todos con nmeros o con las mismas palabras.

Mercurio 25.000.000Venus 108.000.000Tierra 150.000.000Marte 228.000.000Ceres 413.800.000

Jpiter 780.000.000Saturno 1.430.000.000Urano 2.870.000.000

Neptuno 4.500.000.000Plutn 5.913.520.000

Haumea 6.482.000.000.000Makemake 6.850.000.000.000

Eris 16.000.000.000Sedna 135.000.000.000

Eras geolgicas

1. a. Era Cenozoica Perodo Terciario. b. Era Cenozoica Perodo Terciario.c. Era Precmbrica. d. Era Precmbrica.2. e. d. a. b. c.

3.Pensemos entre todos No es correcto lo que dice Brenda porque para comparar los nmeros tienen que estar escritos en la misma unidad. Nunca alcanza con comparar los nmeros. Para poder hacerlo, las palabras tienen que ser las mismas. Lo que dice Pablo es correcto porque para saber de qu nmero se trata hay que multiplicar a 1,5 por 1.000.000.000 y a 3.470 por 1.000.000. Es ms grande 3.470 millones porque es equivalente a 3,47 mil millones y 3,47 es mayor que 1,5.

4. a. > b. < c. > d. =

El censo del ao 2010

1. b. c. d. e.

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Lectura y escritura de n-meros naturales grandes.

p. 6 y 7

Comparacin y orden de nmeros naturales grandes.

p. 8 y 9

Valor posicional de las cifras. Descomposicin polinmica.


2.Pensemos entre todos Si es correcto porque al hacer la suma el resultado da 15.625.084. 107 = 10 10 10 10 10 10 10 = 10.000.000105 = 10 10 10 10 10 = 100.000 Porque en el lugar que ocupan los cienes en el nmero hay un cero. Las escrituras son las mismas. Lo que hizo Miriam es usar la potencia para escribir menos ceros.

3. a. 86.950 b. 95.040.601 c. 2.070.900.230 d. 2.515.027

Uso de la calculadora1. a. Tiene que restar 20.000. b. Tiene que restar 132.900.2. Para convertirlo en 4.692.501 hay que sumar 2.200.200. Para convertirlo en 2.593.303 hay que sumar 101.002. 3. Por ejemplo:a. 100.000 + 100.000 + 10.000 + 1.000 + 1.000 + 1.000 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1b. 10.000.000 + 1.000.000 + 1.000.000 + 1.000.000 + 1.000 + 1.000 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1c. 100.000.000 + 100.000.000 + 100.000.000 + 100.000.000 + 100.000.000 + 100.000.000 + 100.000.000 + 10.000.000 + 10.000.000 + 10.000.000 + 10.000.000 + 10.000.000 + 1.000.000 + 10.000 + 10.000 + 10.000 + 10.000 + 10.000 + 10.000 + 10.000 + 10.000 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 14. a. Por ejemplo:20.000.000 + 22.000.000 + 2.200.000 + 222.000 + 22.000 + 100 + 321 + 23b. Hay muchas maneras de escribir sumas que den el resultado pedido.c. 40.000.000 + 4.000.000 + 400.000 + 40.000 + 4.000 + 400 + 40 + 4d. Si solo se pueden usar las teclas pedidas y se pueden hacer 8 sumas hay una sola posibilidad.e. Lo que dice Luca es incorrecto porque el valor de las cifras depende del lugar que ocupa en el nmero. No vale lo mismo el primer 9 que el segundo o el tercero, etc.5. a. 2 veces. b. 20 veces. c. 2.000 veces.

Ubicar en la recta numrica

1. a.

150.000 1.050.000300.000 450.000 750.000 900.000600.000

b.5.000.000 22.500.0007.500.000 10.000.000 12.500.000 17.500.000 20.000.00015.000.000

c.0 200.000

400.000 800.000

1.000.000 1.600.000

d.0 1.000.000 2.000.000

500.000 3.000.000

2. a. 0

500.000 5.000.000

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Ubicacin en la recta numrica.


b.0 30.000.000 90.000.000

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Los nmeros en Babilonia

1. a. 11.665 b. 43.814

Pensemos entre todos El 1 y el 60 se escriben con el mismo smbolo pero ubicado en otro lugar. Posiblemente los babilnicos ponan una rayita a la izquierda para escribir el 60. Nosotros ponemos los ceros para decir que en esa posicin no hay smbolo. El sistema babilonio es base 60. Porque los smbolos cambian de valor segn su posicin. 3.600 = 60 60 = 4.000 = 3.600 + 360 + 40 = 60 60 + 6 60 + 40 = Porque al tener solo 10 smbolos y que su valor cambie de acuerdo a la posicin en que se encuentran resulta ms sencillo calcular con ellos.

Integrar lo aprendido

1. Por ejemplo: 6.850.000.000 = 6.850 millones = 6,85 mil millones.2. b. a. e. d. c.3. a. Verdadero porque al sumar el resultado es correcto.b. Es falso. El resultado correcto es 86.002.003.740.c. 2 106 + 9 105 + 8 103 + 5 10 = 2.000.000 + 900.000 + 8.000 + 50 = 2.908.050. Es falso. Para que sea correcto deberamos escribir, por ejemplo: 2 105 + 9 104 + 8 102 + 5 4.

0 20.000.000

15.000.000 50.000.000

5.Cien mil menos Uno menos Nmero Mil mas Un milln ms

807.000 906.999 907.000 908.000 1.907.0001.939.000 2.038.999 2.039.000 2.040.000 3.039.00010.700.008 10.800.007 10.800.008 10.801.008 11.800.008

9.499.900.000 9.499.999.999 9.500.000.000 9.500.001.000 9.501.000.000

La librera de Julio

Pensemos entre todos Lo que dice la seora es correcto. Como ella compra 999 cajas, est segura que compra menos que 1.000 cajas. Como la cuenta 23 1.000 = 23.000, entonces si se suma 1.000 veces el 23, se obtiene 23.000. Por lo tanto, si se suma 999 veces el 23, la cuenta debe dar menos que 23.000. Cada caja trae 2.000 clips. Por lo tanto la seora compra ms de 20.000 clips porque 2.000 10 = 20.000. Cada resma trae 500 hojas. En 1.002 resmas de hojas hay ms que en 1.000 resmas. Pero en 1.000 resmas hay 1.000 500 = 500.000 hojas. Por lo tanto compra ms hojas.

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p. 11

Sistemas de numeracin.

p. 12

2 Operaciones con nmeros naturales p. 13

Estimacin de resultados.


Si pone 10 lpices en 250 cajas, usa 250 10 = 2.500 lpices. Pero a cada caja le faltan 2 lpices. Entonces con 2.500 lpices puede llenar menos que 250 cajas. Menos porque para poner 100 bandas elsticas en 40 bolsas, necesita 40 100 = 4.000 bandas elsticas.

El negocio de las mascotas

1. Debe pagar $251. 2. Debe pagar $431.

3.Pensemos entre todos Karina hace primero cuentas separadas de lo que pagar por cada producto y luego suma los resultados. Mateo hace lo mismo pero escribe todo en un solo clculo horizontal. Produccin personal. Problema 1: 28 2 + 75 + 9 3 + 37Problema 2: 15 25 + 9 + 18 + 2 37 45

4. a. 18 2 + 37; 2 18 + 37 b. (9 + 28) 3; 9 3 + 28 35. No es correcto porque en la cuenta que hace solo divide por 3 al costo del alimento para perros. El clculo correcto es: (24 + 37 + 5 30) : 3

La venta de libros

1. 4 libros infantiles cuestan 35 4 = $140. 8 libros infantiles cuestan 35 8 = $280.

2.

3. Cantidad de cajas 2 3 5 8 16 17 50 55 160Cantidad de libros 24 36 60 96 192 204 600 660 1.920

4.

Revisamos los problemas Es verdadero porque si se compran 12 libros se pueden pagar por un lado 4 y por el otro 8. El gasto ser la suma de los gastos. Es verdadero porque 40 = 4 10. Falso porque si en 5 cajas iguales hay 60 libros, cada caja tendr 12 libros. Por lo tanto en 15 cajas habr 15 12 = 180 libros. Es verdadero porque 64 son los moos que se usan en 4 das.

5. a. 15 5 + 3 5b. Los clculos correctos son ii. iii. v. porque:

4 das 20 das 22 dasPapel de regalo (metros) 120 600 660

Moos 64 320 352Bolsas 200 1.000 1.100

Rollos de cinta adhesiva 16 80 88

Cantidad de sealadores 2 4 5 7 10 13 20 25 75Precio ($) 12 24 30 42 60 78 120 150 450

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p. 14 y 15

Problemas con ms de una operacin. Uso de parntesis.

p. 16 y 17

Los sentidos de la multiplica-cin.


30

4 2

10 154 8

5 4

10 6

15 4

4 46 6

Taller de Problemas 54 libros. 78 libros. Si porque si ponen la misma cantidad de libros por fila y hacen el doble de filas, tendrn el doble de libros. No, es la cuarta parte.

Un da en la estancia

1. a. 96 menes.b. No, por cada men hay 3 opciones de postre por lo tanto hay 96 3 = 288 opciones.2. 15 partidos. 3. 10 canciones.4. 24 formas.5. a. Hay 24 combinaciones posibles.b. Si, la cantidad sera 6 5 4 = 120 combinaciones posibles.c. La cantidad de combinaciones sera 4 4 4 = 64 opciones.d. La cantidad de combinaciones sera 10 10 10 = 1.000. Por eso es difcil descubrirla.

Revisamos los problemas Produccin personal. 1. a. 4 4 2 3 b. 4 4 2 3 32. (6 5) : 2 o 5 + 4 + 3 + 2 + 1 3. (5 4) : 2 4. 4 3 2 15. a. 4 3 2 b. 6 5 4 c. 4 4 4 d. 10 10 10 10

Formas de multiplicar

1. Cuenta Entre 0 y 10 Entre 10 y 100Ente 100 y

1.000Entre 1.000 y

10.000Ente 10.000 y

100.00098 125 X15 46 X255 4 X11 9 X

2. a. 1.592 b. 43935 c. 32.745

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p. 18 y 19

Problemas de conteo.

p. 20 y 21

Estrategias para multipli-car.


3.Pensemos entre todos Nicols descompone 12 como 10 + 2 y Franco como 6 2. Para resolver 152 2 Pamela suma 100 2 + 50 2 + 2 2. Multiplicar 152 12 es lo mismo que sumar 12 veces 152. Lo que hace Nicols es sumar 10 veces el 152 y luego 2 veces ms. Por eso escribe 2 veces el 152. Franco descompone 12 como 2 6. Primero multiplica por 2 y luego por 6. Pamela descompone el 12 como 10 + 2 y el 152 como 100 + 50 + 2.

4. Patricio descompone 56 como 7 8 y 15 como 3 5. Los escribe as para agrupar convenientemente los nmeros y que la multiplicacin sea ms sencilla de resolver.5. a. Carla dibuja un rectngulo que tiene 13 cuadraditos de alto y 15 de largo. La cantidad de cuadraditos que cubren el rectngulo es el resultado de la cuenta que quiere resolver.b. Para calcular la cantidad de cuadraditos dividi el rectngulo en otros rectngulos ms chicos en los que le resulta ms fcil calcular la cantidad de cuadraditos. c. Para encontrar el resultado de la cuenta Carla tiene que resolver el clculo: 5 3 + 10 3 + 10 10 + 10 5.

Uso de la calculadora1. Por ejemplo: 125 23 + 125. 2. Por ejemplo: 66 30 + 66 + 66 30 + 66.3. a. 489 14 = 489 7 2 b. 490 7 = 489 7 + 489c. 489 6 = 489 7 489 d. 480 7 = 489 7 9 7e. 489 35 = 489 7 5 f. 4.890 7 = 489 7 10

El casamiento

1. 9 bancos.2. a. 15 mesas. b. No quedan todas completas. Sobran 3 lugares.3. a. Le pueden dar la misma cantidad a cada invitado. Por ejemplo, podran darle 3 objetos a cada invitado.b. Cada invitado puede recibir como mximo 5 objetos.4. Haba 370 serpentinas. 5. Haba 23 chicos.

Taller de problemas Por ejemplo podra haber 329 fotos. No hay una sola respuesta. Para calcular el nmero de fotos que haba hay que multiplicar por 65 a la cantidad de fotos que se le da a cada amigo y luego sumar 4. Por ejemplo, haba 100 bombones y sobraron 4. No hay una sola respuesta al problema. Tiene que haber ms de 96 bombones pero no dice cuntos bombones sobraron.

Dividir ms fcil

1. 1.332 : 2 : 3 Porque es la nica que divide por 2 y tambin por 3 que equivale a dividir por 6.

2. Pensemos entre todos Porque busc nmeros que sean divisibles por 12 y sean fciles de dividir. Por ejemplo: 1.584 = 1.200 + 120 + 120 + 120 + 12 + 12.

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p. 22 y 23

Problemas de reparto.

p. 24 y 25

Clculo mental de divisiones.


3. a. 3.207 b. 18

4.

5. a.

b. Produccin personal.

6. Pensemos entre todos Piensa que 63 entra ms que 100 y menos que 1.000 veces en 8.064. Entonces el cociente es ms grande que 100 y ms chico que 1.000; es un nmero de 3 cifras. Ms cerca de 100 porque 8.064 est mucho ms cerca de 6.300 que de 63.000. No, porque 6.293 es menor que 6.300. Faltara hacer 63 10. Lo mismo ocurre para saber las cifras del cociente de la divisin entre 542 y 63.

7. Divisin El cociente tiene1 cifra 2 cifras 3 cifras 4 cifras

2.345 y 5 X20.892 y 12 X

372 y 31 X405 y 45 X

Cuentas para dividir

1. a.


3. a. i. ii.

b. Las cuentas estn resueltas de manera similar, solo que en la segunda se agruparon algunos renglones de la primera.c. S, hay muchas maneras de hacer la cuenta. Algunas usan multiplicaciones ms sencillas y otras ms complicadas.

Uso de calculadora1. No porque tendra que haberle quedado un resultado entero.2. Dividendo Divisor Cociente Resto Cmo lo pensaste?

2.457 54 45 27 Hice la cuenta 2.457 : 54 = 45,5. 45 es el cociente.Despus hice 2.457 54 45 para calcular el resto.

9.900 80 123 60 Hice la cuenta 9.900 : 80 = 123,75. 123 es el cociente. Despus hice 9.900 80 123 para calcular el resto.



Remodelar la casa

1. Gastaron $1.138. 2. Cada uno debe pagar $2.970. 3. Le quedan 58 m de cable.

Revisamos los problemas Se usaron sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. 1. 45 20 + 3 39 + 2 26 + 3 51 3 (20 + 3 + 2 + 3)

2. (9 180 3 + 180 2 3) : 23. 150 (18 3 + 11 + 23 + 2 2)

S, se usa parntesis para marcar qu cuentas se hacen primero.

4. a. No es correcto porque lo que paga en cuotas es la mitad, no el total.b. Primero calcula lo que gast, luego divide por 2 para calcular lo que pagar en cuotas. Luego divide por 6 para calcular el valor de cada cuota.

13.062 31

3.100 100

9.962 + 100

3.100 100

6.862 100

3.100 10

3.762 10

3.100 1

662 421

310

352

310

42

31

11

13.062 31

12.400 400

662 + 20

620 1

42 421

31

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p. 28 y 29

Problemas con las cuatro operaciones.


c. No es correcto porque al no poner los parntesis lo nico que queda dividido 2 y dividido 6 es 250.d. Es correcto porque en este caso divide directamente por 12 que es equivalente a dividir por 2 y luego por 6.5. Por ejemplo: (8 2 + 8 10 + 8 7) 2 = 8 (2 + 16 + 7) 2 = 8 2 2 + 8 16 2 + 8 7 2.6. Produccin personal.


1. a. 28 partidos. b. 56 partidos.2. a. 720 combinaciones. b. 46.652 combinaciones.3. a. Puede tener 400, 425, 450, 475 o 500 estampillas. b. Flor tiene 120 chupetines.4. (60 + 4) 9 + 375. a. 123 11 = 123 10 + 123 = 1.230 + 123 = 1.353b. 1.230 : 123 = 10 porque 10 123 = 1.230.c. 123 9 = 123 10 123 = 1.230 123 = 1.107d. 1.230 : 5 = (1.230 : 10) 2 = 123 2 = 246e. 123 20 = 123 10 2 = 1.230 2 = 2.460f. 1.230 : 246 = 1.230 : 123 : 2 = 10 : 2 = 5.

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p. 30


Cuidar al rey

Plaqueta pensemos entre todos Produccin personal. Hay infinitos puntos que estn a 5 cm del rey por lo que deberamos poner infinitos guardias. Una regla para marcar 5 cm y un comps.

Usar el comps

1. a. Produccin personal.b. Hay que abrir el comps con la medida del segmento y despus trasladar esa medida sobre otra recta.2.

A

13575

A

3. a. Produccin personal.b. Al superponerlos y mirarlos a trasluz tienen que verse iguales.4. a. Produccin personal. b. Suman 180.5. a.

^A = 120 ; b.

^B = 135

3 Los tringulos

Tin

ta fr

esca

edi

cion

es S

. A. |

Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

p. 31

Uso del com-ps. Circunfe-rencia y crculo.

p. 32 y 33

Construccin y copiado de segmentos y ngulos.

REy 5 cm


Los lados de los tringulos

1. a. Hay un nico tringulo posible. Se puede construir de diferentes maneras. Por ejemplo:

A B

C

7 cm

4 cm

6 cm

b. Hay un nico tringulo posible. Se puede construir de diferentes maneras. Por ejemplo:

A B

C

5 cm

4 cm 4 cm

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p. 34 y 35

Construccin de tringulos dados los lados.

1. Trazar un segmento AB de 7 cm.2. Trazar una circunferencia de 4 cm de radio una con centro A.3. Trazar una circunferencia de 6 cm de radio con centro en B.4. Llamar C a uno de los puntos en el que se intersecan las circunferencias.5. Unir C con A y C con B.


1. Trazar un segmento AB de 5 cm.2. Trazar dos circunferencias de 4 cm de radio una con centro A y otra con centro en B.3. Llamar C al punto de interseccin de las circunferencias.4. Unir C con A y C con B.

c. No se puede construir ningn tringulo porque las circunferencias no se intersecan.

d. No se puede construir porque las circunferencias se intersecan sobre el segmento de 6 cm.

2. Se pueden construir infinitos tringulos con los lados dados. Basta elegir cualquier punto sobre la circunferencia.

A B7 cm

2 cm 4

cm

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A B

2 cm

6 cm

4 cm


3. a. No siempre se puede construir. Por ejemplo en el problema 1. b. daban la medida de 3 lados pero no se poda construir.b. Para que se pueda construir el tringulo, la suma de las medidas de dos de los lados tiene que ser mayor que la medida del tercero y la resta de la medida de dos de las medidas tiene que ser menor que el tercero.4. a. Hay que agregar un lado de 8 cm.b. Se puede agregar un lado de 7 cm o uno de 10 cm.c. Hay muchas opciones posibles. Hay que elegir el tercer lado de medida mayor que 3 cm y menor que 13 cm.

Construir con ngulos

1. a.

1. Trazar una recta cualquiera.2. Con el comps tomar la medida del segmento AB y trasladarla sobre la recta. Llamar S y T a los extremos del segmento dibujado.3. Elegir un radio y trazar, sobre el ngulo con vrtice A una circunferencia con ese radio y centro en A. Llamar M y N a los puntos donde la circunferencia cruza los lados del ngulo.4. Trazar una circunferencia con el mismo radio anterior y centro en S. Llamar R al punto donde la circunferencia corta al segmento ST.4. Trazar una circunferencia con centro en R y radio igual a la distancia de M a N.Llamar W a uno de los puntos donde se cortan las dos circunferencias.5. Trazar la semirrecta de origen en S que pasa por W y llamarla SW.6. Elegir un radio y trazar, sobre el ngulo con vrtice B una circunferencia con ese radio y centro en B. Llamar K y L a los puntos donde la circunferencia cruza los lados del ngulo.7. Trazar una circunferencia con el mismo radio anterior y centro en T. Llamar U al punto donde la circunferencia corta al segmento ST.8. Trazar una circunferencia con centro en U y radio igual a la distancia de K a L.Llamar V a uno de los puntos donde se cortan las dos circunferencias.9. Trazar la semirrecta de origen en T que pasa por V y llamarla TV.10. Llamar C al punto donde se cortan las semirrectas SW y TV. 11. Unir C con S y C con T.

1. Trazar un segmento AB de 7 cm.2. Trazar una circunferencia de 4 cm de radio con centro A.3. Elegir un punto en la circunferencia.4. Unir el punto elegido con A y con B. T

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p. 36 y 37

Construccin de tringulos dados los ngulos.

A B

C

D

E

7 cm

4 cm


b. Al seguir las mismas instrucciones que en a. Las semirrectas no se cortan y por lo tanto no se puede construir el tringulo.2. a. No. Para que se pueda construir, las semirrectas tienen que poder intersecarse.b. No, porque las semirrectas no se cortaran.c. 2 ngulos obtusos no se puede porque no se intersecan las semirrectas. Dos ngulos agudos si.

3. a. b.

c. d.

e. f.

Se puede construir un nico tringulo.

Se pueden construir infinitos tringulos con estos datos. Se puede agregar la medida del ngulo

^B o la medida de

un lado.

Se pueden construir infinitos tringulos con estos datos. Se puede agregar la medida del de un lado para que la construccin sea nica.

No se puede construir ningn tringulo porque las semirrectas no se intersecan.

Se pueden construir infinitos tringulos con estos datos. Se puede agregar la medida del de un lado para que la construccin sea nica.

No se puede construir ningn tringulo con esos datos porque al marcar dos de los ngulos, el tercero queda marcado y no mide lo pedido.

80

A B

E

D

F

20 100A B

C

95 100

A B

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7540A B

C

60 40

80

A B

C

3075

75

A

B

C


Revisamos los problemas Si siempre, basta elegir un tercer lado de modo que sea mayor que la resta y menor que la suma de los lados dados. No siempre, para que se pueda construir cada lado debe ser sea mayor que la resta y menor que la suma de los otros. No, si los ngulos son los dos obtusos, los dos rectos o uno obtuso y uno recto, las semirrectas no se cruzan y no se puede construir.

Sumar ngulos

1. Pensemos entre todos El tringulo ABD es igual al tringulo AEB porque ADBE es un rectngulo y AB es su diagonal. Por lo tanto los tringulos ABD y AEB tienen los mismos ngulos. Pero entre todos suman 360. Entonces los del ABD suman la mitad (180). Como la suma de los ngulos de ABD es la mitad que la suma de los ngulos del rectngulo ADBE, entonces la suma de los ngulos de ABD es 180. Pero esa suma es

Â +

^B +

^D y

^D = 90.

Luego Â +

^B = 90.

Realizando la misma deduccin que en el caso anterior pero en el rectngulo DBFC podemos determinar que la suma de los ngulos interiores del tringulo CBD es 180. Realizando la misma deduccin que en el caso anterior podemos decir que

^C +

^B = 90.

Los ngulos interiores del tringulo ABC son Â ,

^C y la suma de los ngulos que llamamos

^B en

los tringulos ADB y DBC. Entonces la suma de todos da 180.

2. 60. Porque son todos iguales y entre todos suman 180.3. Si porque AC = CB, CD es lado de los dos tringulos y C

^DA = C

^DB = 90. Por lo tanto los dos

tringulos tienen 2 lados iguales y un ngulo igual. Son iguales.b. Como los tringulos ADC y BDC son iguales, entonces los ngulos que tienen lados de la misma medida deben ser iguales. Por lo tanto

Â =

^B .

4. a. ^D = 70 b.

Ê =20 c.

^M =70 d.

Â =80;

^B = 21

e. ^M =55 ;

^R =145 ;

^S =15 ;

^ W =75 ;

^T =15 f. A =70; B = 80 ;

^C =30

5. a. Â +43 = 180 porque sus lados son semirrectas opuestas.

Â = 137

b. ^C +43 = 180 porque sus lados son semirrectas opuestas.

^C = 137. Luego

^C =

Â.

c. Si porque los lados de Â y

^B son semirrectas opuestas, entonces

Â +

^B = 180. Por lo tanto

^B = 43.

Las alturas

1. a. b.

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p. 38 y 39

Suma de los ngulos inte-riores de un tringulo.

p. 40

Alturas de tringulos.


2.

b. Se pueden construir infinitos tringulos variando el lugar de C.c. Todos tienen un lado de 5 cm y la altura correspondiente a ese lado de 3 cm.

Puntos a igual distancia

1. Produccin personal.2. a. Produccin personal. b. Produccin personal.c. Se usa la herramienta Mediatriz. d. Se usa la herramienta Mediatriz.e. La interseccin de las mediatrices verifica los dos pedidos.f. La interseccin de las mediatrices es el centro de la circunferencia.


1. Produccin personal.2. a. 1. Trazar un segmento AB de 6 cm.2. Trazar una circunferencia de 4 cm de radio con centro A.3. Elegir un punto en la circunferencia.4. Unir el punto elegido con A y con B.b. Se puede agregar la medida de un lado o de un ngulo.

3. a. Instrucciones1. Trazar un segmento AB de cualquier medida.2. Trazar un ngulo de 45 con vrtice en A y que tenga por lado a la semirrecta AB.2. Trazar un ngulo de 75 con vrtice en B y que tenga por lado a la semirrecta BA.3. Llamar C al punto de interseccin de las otras semirrectas de los ngulos.4. Unir el punto elegido con A y con B.b. El ngulo que falta mide 60 porque la suma de los tres ngulos debe ser 180.4. a. Falso porque la suma de los tres ngulos es 180.b. Si porque todos miden 60.c. Con un lado de 5 cm y dos ngulos de 30 se pueden construir dos tringulos distintos. El que tiene dos lados de 5 cm y los ngulos de 30, 30 y 120 o el que tiene un lado desigual de 5 cm y los ngulos que se apoyan sobre l de 30 cada uno.

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p. 41

Mediatriz de un segmento.

p. 42

A B

CM N

S

5 cm

3 cm 3 cm


Jugar con mltiplos

Pensemos entre todos 91, 105, 285. 287.

Si, por ejemplo: 35, 70, etc. porque son mltiplos de 35 que es mltiplo de 5 y de 7.

La visita al teatro

1. a. Necesitarn 7 micros.b. Un micro no va lleno. Pueden viajar 20 alumnos ms.2. Hay varias posibilidades: 120, 150 o 180 personas.3. Se pueden armar 127 filas pero no todas van a estar completas. Hay que agregar 4 filas ms.

4. Pensemos entre todos No porque el concepto de mltiplo es til solo con nmeros naturales. Por ejemplo, si multiplicara 124 1 __ 2 obtendra 62 que no es mltiplo de 124. Porque como 11 124 = 1.364, el 11 entra una cantidad entera de veces en 1.364. Multiplicara al 8 por un nmero para que el resultado sea mayor que 2.000. Por ejemplo: 8 200 = 1.600. Multiplicara a 7 por un nmero menor que 100 porque 7 100 = 700. Por ejemplo: 7 90 = 630.

5. a. 1.130 = 1.125 + 5. Como 1.125 es mltiplo de 15, el resto es 5.b. 1.235 = 1.125 + 90 + 20 = 1.125 + 90 + 15 + 5. Como 1.125, 90 y 15 son mltiplos de 15, el resto es 5.c. 1.120 = 1.125 5 + 15 15 = 1.125 15 + 10. Como 1.125 y 15 son mltiplos de 15, el resto es 10.6. Por ejemplo: 16 filas de 63 sillas cada una o 7 filas de 144 sillas cada una o 24 filas de 126 butacas, etc.

Club Los del Barrio

1.

a. Cantidad de nenas por taller 1 2 3 4 6 8 12 16 24 48b. Cantidad de talleres que se arman 48 24 16 12 8 6 4 3 2 1

2.

a. Cantidad de varones por taller 1 2 4 7 8 14 28 56b. Cantidad de talleres que se arman 56 28 14 8 7 4 2 1

3.Cantidad de chicos por taller 1 2 4 8Cantidad de talleres de nenas que se arman 48 24 12 6Cantidad de talleres de varones que se arman 56 28 14 7

4. a. En cada sobre puede poner: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 o 30 figuritas.b. Usa la menor cantidad de sobres si pone 30 figuritas en cada uno.

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p. 43

Escalas.

p. 44 y 45

Mltiplos y di-visores. Anlisis del resto.

p. 46 y 47

Divisor comn mayor.

4 Divisibilidad


5. a. Puede poner 1, 2, 3, 6, 7, 14, 24 o 42 anillos o pulseritas en cada bolsita.b. Si pone 42 en cada bolsita.6. a. No, no puede. b. Si puede.

c.Cantidad de bolsitas que arma 45 15 9 3

Cantidad de aros que pone en cada una 1 3 5 15Cantidad de anillos que pone en cada una 1 3 5 15

d. 45 bolsitas.

Formas de encontrarse

1. a. Cada 175 minutos. b. A las 22 horas 35 minutos.2. a. Cada 90 minutos. b. 10 barritas.3. Puede tener 108, 120, 132 o 144 estampillas.4. Puede tener 540 figuritas. 5. Dentro de 60 das.6. Tiene que poner 6 figuritas en cada sobre. Va a armar 20 sobres de figuritas princesas y 27 sobres de figuritas de autos.

Revisamos los problemas 1, 2, 3, 4, 6 y 12. 12 Hay que buscar todos los divisores comunes a los dos nmeros y tomar el ms grande.

Por ejemplo:48, 96, 144. 48 Hay que hacer una lista de mltiplos de cada uno y ver cul es el comn ms chico.

Usar diferentes escrituras

1. a. Porque 105 = 15 7.b. Porque puede pensar que 105 = 15 7 = 5 3 7 = 5 21.c. Si, por ejemplo: 105 = 15 7 = 5 3 7 = 3 35. Entonces 3 y 35 son divisores de 105.2. a. 180 = 15 12 = 5 3 2 2 3. Los divisores de 180 son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180.b. Por ejemplo: 180 = 10 18.c. 180 = 5 3 2

4. Pensemos entre todos Porque 400 = 8 50 y 48 = 8 6. 448 : 8 = (400 + 48) : 8 = 400 : 8 + 48 : 8 = 50 + 6 = 56 Porque 300 = 100 3 y 36 = 12 6. 346 = 300 + 36 + 10. Como 3 entra 100 veces en 300 y 12 veces en 36, entonces 3 entra 100 + 12 = 112 veces en 346 y sobran 3. El cociente de la divisin es 112 y el resto es 3.

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p. 48 y 49

Mltiplo co-mn menor.

p. 50 y 51

Descomposicio-nes multiplica-tivas y aditivas.


5. a. Verdadero. 450 = 45 10 = 3 15 10, es mltiplo de 15.b. Falso. 342 = 240 + 102 = 240 + 48 + 48 + 6. 240 y 48 son mltiplos de 12 entonces la suma no lo es. Sobran 6.c. Verdadero. 1.008 = 1.000 + 8. Como 1.000 y 8 son mltiplos de 8, entonces 1.008 tambin lo es.d. Verdadero. 7.749 = 7.000 + 700 + 49 Como 7.000, 700 y 49 son mltiplos de 7, 7.749 tambin lo es.6. a. Verdadero. Como 35 es mltiplo de 7, entonces 35 15 es mltiplo de 7. Como adems 42 es mltiplo de 7 entonces 567 es mltiplo de 7.b. Verdadero. Como 15 es mltiplo de 3, entonces 35 15 es mltiplo de 3. Como adems 42 es mltiplo de 3 entonces 567 es mltiplo de 3.c. Falso. 35 15 es la multiplicacin de dos nmeros impares. Por lo tanto da un nmero impar. Como 42 es par, la suma da un nmero impar. No puede ser mltiplo de 2.d. Falso. 35 15 = 7 5 5 3 = 25 3 7. El resultado de la multiplicacin es mltiplo de 25. Cmo 42 no es mltiplo de 25 entonces la suma puede ser mltiplo de 25.


1. Cantidad de libros que pone en cada estante 1 5 7 35 49 245

Cantidad de estantes que usa 245 49 35 7 5 1

2. Solo puede haber 110 caramelos en la bolsa. Puede darle 10 caramelos a 11 chicos u 11 caramelos a 10 chicos.3. a. No es posible. Hay que agregar 10 sillas.b. Si, se pueden poner 10 sillas por fila.4. 1.003, 1.020, 1.037, 1.054, 1.071, 1.088, 1.105, 1.122, 1.139, 1.156, 1.173 y 1.190.

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p. 52

5 Los cuadrilteros La visita al museo

Pensemos entre todos Los paralelogramos, rectngulos, rombos y cuadrados. Los trapecios. Los rombos y los cuadrados. Los rectngulos y los cuadrados. Los cuadrados.

Los trapecios issceles. Los trapecios rectngulos.

p. 53

Clasificacin de cuadrilteros.


Copiar y construir

1. a. Se puede construir un solo paralelogramo con estos datos.

A

D

B

C

6 cm

8 cm4 c

m

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p. 54 y 55

Construccin de paralelogramos.


b. Se puede construir un solo paralelogramo con estos datos.

c. Hay infinitos paralelogramos que se pueden construir con estos datos.

A

H C I D F E G

B5 cm

3 cm

A

C

B

D

6 cm

4 cm

45

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5 cm5 cm

9 cm

A

B

C

D

d. Se puede construir un solo rombo con estos datos.

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e. Se pueden construir infinitos paralelogramos con estos datos.

2. a. Produccin personal. b. Produccin personal.c. Como ABCD es un paralelogramo entonces AB = DC ; AD = BC. Adems BD es un lado de los dos tringulos. Entonces los dos tringulos tienen los mismos lados, por lo tanto, son iguales.

d.

e. Â +

^B =

Â + A

^BD + C

^BD=

Â + A

^BD + A

^DB = 180 porque es la suma de los ngulos interiores de

un tringulo.3. a. Suman 180 por lo mismo que en el problema anterior.b. Si porque se puede usar el mismo razonamiento usando la diagonal AC.4. a. Suman 180. b. Son iguales.5. Produccin personal.

Partes de los cuadrilteros

1. a. b. Como ABCD es un paralelogramo entonces AB = DC ; AD = BC. Adems es un lado de los dos tringulos. Entonces los dos tringulos tienen los mismos lados, por lo tanto, son iguales.

c. d.

e.

B

DC

E

A

F

5 cm

3 cm

BA

D C

C

A B

DC

BA

CD

A B

CD

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p. 56 y 57

Propiedades de las diagonales.


f. Los tringulos AOD y BOC son iguales porque tienen 2 ngulos iguales y un lado igual (AD = BC ).g. Como los tringulos son iguales entonces sus lados son iguales, por lo tanto AO = OC y DO = OB.h. No, no es necesario que las diagonales sean iguales.i. Por lo visto en el tem g. las diagonales del paralelogramo se cortan en el punto medio.2. a.

b. Si porque AB = BC , BO es comn a los dos y los ngulos son iguales.c. Como los tringulos son iguales, los ngulos A

^BO y O

^BC son iguales, por lo tanto el ngulo

^B del rombo quedo dividido en 2 partes iguales.d. 90 porque los ngulos A

^OB y C

^OB son iguales y juntos suman 180.

Revisamos los problemas Si es cierto por todo lo que ya escribimos en el problema 1. Las diagonales de cuadrados, rectngulos y rombos se cortan en el punto medio porque son paralelogramos. No. Para que las diagonales sean perpendiculares, la figura tiene que tener los lados iguales. Si por lo analizado en el problema 2. Si es cierto porque las diagonales son iguales como las de cualquier rectngulo, se cortan en el punto medio como las de cualquier paralelogramo y son perpendiculares como en cualquier rombo.

Los trapecios

1. a. Se pueden construir dos trapecios distintos con esos datos: ABED y ABGF.

A B

F C D E G

5 cm

3 cm

3 cm2 cm

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p. 58

Propiedades de los trapecios.

D

B

A CO


d. Se pueden construir infinitos trapecios con estos datos.

2. a. DM = NC porque son alturas del trapecio. AD = BC porque la figura es un trapecio issceles. D

^MA = C

^NB = 90 porque los lados son alturas. Entonces los tringulos tienen 2 lados iguales y

un ngulo igual, son iguales.b. Como los tringulos son iguales, entonces los ngulos que tienen por lados, segmentos iguales, son iguales. Por lo tanto

^A =

^B .

c. Esto no ocurrira si el trapecio fuera issceles.

Datos para construir

1. a. Produccin personal. b. Produccin personal.2. a. Produccin personal. b. Produccin personal.3. a. Produccin personal. b. Produccin personal.c. Se pueden construir infinitos paralelogramos con esos datos.d. Se podra agregar la medida de un ngulo, una altura o una diagonal.

b. Se pueden construir infinitos trapecios con estos datos.

c. Se pueden construir infinitos trapecios con estos datos.

A B

C D

3 cm

2 cm

356 cm

4 cm

A B

C D

A B

C D

4 cm

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p. 59

Construir figuras.



1. Cuadriltero

Las diagonales se cortan en el punto medio.

Las diagonales son iguales.

Las diagonales son

perpendiculares.

Los ngulos que estn apoyados sobre el

mismo lado suman 180.Rectngulo X X X

Rombo X X XParalelogramo X X

Cuadrado X X X X

2. Produccin personal.3. a. Produccin personal.b. Se pueden construir infinitos rectngulos con esos datos. Hay que dibujar una circunferencia de 4 cm de dimetro. Marcar un dimetro y un punto en la misma. Quedar as un tringulo rectngulo que hay que transportar del otro lado.

Tipo de paquete Cantidad de paquetes que hay que comprar

Se puede comprar justo o sobra? Si sobra, cul es la cantidad mnima de paquetes que tiene que comprar?

7 Se puede comprar justo.

4 Al comprar 4 paquetes, sobra 1 __ 4 kg

6 Al comprar 4 paquetes, sobra 1 __ 4 kg.

14 Se puede comprar justo.

PESO NETO

1

__3kg

PESO NETO

1

__2kg

PESO NETO

1

__4kg

PESO NETO

1

__8kg

1__2kgPESO NETO

1__4kgPESO NETO

1__3kgPESO NETO

1__8kgPESO NETO

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p. 60

6 Los nmeros racionales fraccionariosLa venta de caf

Pensemos entre todos La seora lleva 1 1 __ 8 kg de caf Brasil y 1

1 __ 8 kg de caf Colombia. No, tiene que llevar 5 paquetes y le sobra caf.

Por ejemplo: 2 paquetes de 1 __ 2 y uno de 1 __ 8 .

El seor lleva 3 __ 4 kg de caf Santos, 3 __ 8 kg de Moka y

3 __ 8 kg de Barista. De caf Santos puede llevar un paquete de 1 __ 2 kg y uno de

1 __ 4 kg o 3 de 1 __ 4 kg, etc.

De los otros tambin hay varias opciones. Podra ser 3 de 1 __ 8 kg o uno de 1 __ 4 kg y uno de

1 __ 8 kg.

El caf y los paquetes

1.

p. 61

Uso social de los nmeros fraccionarios.

p. 62 y 63

Los nmeros fraccionarios para medir y repartir.


2. a. Para 18 tazas. b. Se necesitan 3 litros de agua.

3.Cantidad de caf que ponen en una bolsa (kg) 1 1 __ 2

1 __ 4 1 __ 8

1 __ 3 1 __ 6

Cantidad de bolsas necesarias 10 20 40 80 30 60

4. a. 19 paquetes.b. No es posible. Si se mandan 15 paquetes se mandan 5 kg y por lo tanto sobra 1 __ 4 kg. c. No es posible. Si se mandan 10 paquetes se mandan 5 kg y por lo tanto sobra 1 __ 4 kg.

Revisamos los problemas 4 bolsas de 1 __ 2 kg y 8 bolsas de

1 __ 4 kg. 3 cajas de 1 __ 2 kg y 5 cajas de

1 __ 3 kg y sobra arroz. Hay que comprar 7 bolsas y sobra 1 ___ 12 kg de caf.

Contar golosinas

1. a. Daniel se lleva 80 chupetines. Brenda y Luca se llevan 40 chupetines cada una.b. No es cierto lo que dice Luca porque no se reparte en partes iguales.c. Daniel se lleva 1 __ 2 de la bosa. Luca y Brenda se llevan

1 __ 4 de la bosa cada una.2. 8 chicles. 3. Haba 24 caramelos.

4.

5. Hay varias maneras. Por ejemplo:a.

b. c.

Pensemos entre todos No es necesario que los enteros tengan la misma forma. Hay muchas maneras distintas de armar los enteros.

Ubicar en la recta

1.0 1 2 1 __ 2

3 __ 2

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p. 64 y 65

Partes de todo y todo de partes.

p. 66 y 67

Ubicacin en la recta num-rica. Nmeros fraccionarios equivalentes.


2.0 1 1 __ 2

1 __ 4

3.0 1 1 __ 2

1 __ 3 3 __ 2

5 __ 6

4. J = 2 __ 3 ; E = 5 __ 3 ; G =

5 __ 2 ; F = 3; I = 19 ___ 6 ; H =

10 ___ 3 .

5. La recta no respeta la escala porque entre 1 y 2 hay 4 cm y entre 2 y 3 hay 2 cm.6.

0 2 3 __ 12

6 __ 24

2 __ 3 5 __ 6

1 15 __ 12

30 __ 24

7. a. No es cierto. Entre 1 y 6 hay 5 cm, entonces cada centmetro representa 1. Por lo tanto la letra que representa al 2 es M.

b. L = 0; K = 3 __ 2 ; Q = 7

c. Los dos tienen razn porque 17 ___ 2 y 34 ___ 4 son equivalentes. P =

7 __ 4 = 14 ___ 8 .

8. a. Con 10 paquetes. b. 5 __ 2 = 10 ___ 4

Distintos paquetes, igual cantidad

1.

Cantidad de harina necesaria

en cada receta (kg)

Cantidad de harina que hay en cada

paquete (kg)

Cantidad de paquetes que

hay que usar

Nmero fraccionario que representa (kg)

Es posible comprar la

cantidad justa?

5 __ 4 1 __ 8 10

10 ___ 8 S

10 ___ 3 1 __ 9 30

30 ___ 9 S

7 __ 3 1 __ 6 2

2 __ 6 S

3 __ 2 1 __ 3 5

5 __ 3 No

10 ___ 14 1 __ 7 5

5 __ 7 S

2. Pensemos entre todos Porque los nmeros naturales involucrados son ms grandes o ms chicos. Se puede pensar que si se toman 3 partes de un entero dividido en 4 partes iguales, y cada parte se la divide en 2, entonces quedan 6 partes de 1 __ 8 .

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p. 68 y 69

Fracciones equivalentes.


3. 7 ___ 14 = 8 ___ 16 =

5 ___ 10 = 1 __ 5 4. a. 15 b. No es posible porque 9 : 3 = 3 y 5 no es mltiplo de 3.

c. 18 d. 2 e. No es posible porque 5 : 5 = 1 y 7 no es mltiplo de 5. f. 4 g. 20 h. 3i. 4 j. No es posible porque 4 : 2 = 2 y 7 no es mltiplo de 2.k. 8 l. 205. Por ejemplo:

a. 4 __ 10 ; 18 __ 30 ;

20 __ 50 b. 14 __ 12 ;

21 __ 18 ; 28 __ 24 c.

2 __ 3 ; 8 __ 12 ;

36 __ 54 d. 3 ; 27 __ 9 ;

30 __ 10 e. 6 __ 5 ;

30 __ 25 ; 12 __ 10 f.

10 __ 8 ; 25 __ 20 ;

40 __ 32

6. Produccin personal.

Ordenar paquetes

1. Entre 0 y 1 kg Entre 1 kg y 2 kg Entre 2 kg y 3 kg

3 __ 5 ; 4 __ 9 ;

4 __ 6 ; 8 ___ 14 ;

5 __ 7 5 __ 3 ;

14 ___ 8 ; 7 __ 5

11 __ 4 ; 19 ___ 8

2. a. b. i. 5; 6 ii. 7; 8 iii. 3; 4; 5 iv. 7; 8; 9v. 3, 4, 5, 6, 7, 8 vi. 5 vii. 19 viii. 4 ix. 4, 5

3. a. 2 __ 7 ; 2 __ 5 ;

6 __ 7 ; 8 __ 9 ;

9 __ 10 ; 9 __ 8 ;

6 __ 5 ; 8 __ 9 . b. Ente

2 __ 7 y 2 __ 5 .

4. Hay muchas posibilidades. Por ejemplo: 3 __ 8 .

5. Pensemos entre todos Porque est buscando uno que tenga el mismo denominador que los dados y no hay. Por ejemplo, podra escribir los nmeros con denominador 12.

Transformara las fracciones en otras equivalentes con denominador mayor.

Por ejemplo: 2 __ 9 = 6 __ 27 y

3 __ 9 = 9 ___ 27 entonces entre ellos podemos encontrar los nmeros

7 __ 27 u 8 __ 27 .

Si, siempre se pueden transformar las fracciones con denominadores mayores.

Por ejemplo: 25 __ 30 ; 37 __ 30 ;

49 __ 50


1. Se pueden llenar 6 vasos. 2. Hacen falta 20 paquetes. 3. 8 flores.

4.

5.

6. Por ejemplo: 3 ___ 16 7. 1 __ 3 ;

3 __ 7 ; 1 __ 2 ;

3 __ 4 ; 4 __ 5 ;

8 __ 7 ; 5 __ 3

1 __ 4

6 __ 8

1 _ 4 1 3 __ 2

7 __ 4 1 __ 8

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p. 70 y 71

Orden y densidad de los nmeros racionales.

p. 72


A B

D

EF

G

3 cm

3 cm

3 cm

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7 Los polgonos Los geoplanos

Pensemos entre todos Luca. 30 lados. Son todos rectos. Produccin personal. Los ngulos marcados miden ms que 180.

Se puede en la de Pablo, Brenda y Luca. Por ejemplo:

Armar figuras

1. Produccin personal.2. a.

p. 73

Polgonos cncavos y convexos.

p. 74 y 75

Clasificacin, construccin y copiado de polgonos.


b. Si es cierto porque la circunferencia con centro en G que pasa por C tambin pasa por A.c. El polgono tiene 6 lados iguales. d. 120e. Si porque todos los vrtices estn a 3 cm de C.3. a.

Hay que trazar un tringulo issceles cuyo lado desigual mida 5 cm y el ngulo opuesto a ese lado mida 72. Luego copiar el tringulo.b. Todos hicieron el mismo. Se puede observar superponiendo las figuras.4. Produccin personal.

Sumar ngulos

1. a. 7 tringulos. b. 5 tringulos.

2. a. Produccin personal. b. 4 diagonales.3. Lo que dice Lucia es correcto porque si elegimos un vrtice podemos trazar n 1 segmentos con extremo en ese vrtice y que terminen en los otros vrtices. Dos de esos segmentos son lados del polgono entonces quedan n 3 diagonales. Si miramos los problemas anteriores vemos que quedan n 2 tringulos.

4. Pensemos entre todos Al tringulo ECD. No. Est dividido en dos tringulos

^C = D

^CE + E

^CB.

Porque cada ngulo interior pertenece a un tringulo o est dividido en dos tringulos. Suma de ngulos interiores de un hexgono: 180 4 = 720. Suma de ngulos interiores de un heptgono = 180 5 = 900.

BA

C

DF

G

E

K

J

L

I

M

H

N

3572

72

72

72

72

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p. 76 y 77

Suma de los ngulos inte-riores de un polgono.


Calcular ngulos

1. 360 porque se puede cubrir con 2 tringulos.

2.

3. 90

Revisamos los problemas 5 tringulos. 180 5 180 (n 2) Si porque se multiplica un nmero por 180.

Construccin de polgonos

1. Produccin personal.2. Se construye un hexgono regular.

3.

Polgono Suma de los ngulos interioresPentgono 540Hexgono 720Heptgono 900Octgono 1.080

Dodecgono (12 lados) 1.800

3 cm

B

C

D

E

F

A

O

95

135

150

100

D

C

A

F

E

B

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p. 78

Calcular ngu-los sin medir.

p. 79

Construccin de polgonos.


b. 60 c. Los ngulos no se modifican.


1. (1.440 : 180) + 2 = 10 lados 2. 8 lados.3. 120 porque son 6 ngulos iguales y entre todos suman 720.4. 135 porque son 8 ngulos iguales y entre todos suman 1.080.5.

^D = 120

6.

A

F G

E

H

CD

B

I

64

116 64

6464116

909090

9090 135 135

90

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p. 80

8 Operaciones con nmeros racionales fraccionarios Comprar y repartir

Pensemos entre todos Le quedan 1 __ 4 de los caramelos. Luca le da a Daniel 1 __ 2 de las figuritas. A los chicos le quedan por recorrer 5 __ 6 del camino. No podemos decir cuntas cuadras caminarn porque no sabemos cuntas cuadras son. A Brenda le sobra 1 __ 8 del paquete. No sabemos cuntas galletitas son porque necesitaramos saber cuntas galletitas hay en el paquete.

El viaje de Juan

1. Tiene que recorrer 5 ___ 24 del camino.2. a. Sobra 7 ___ 24 de la tarta de espinaca y

1 ___ 10 de la tarta de cebolla. b. Menos.4. No porque 5 __ 8 es mayor que

4 __ 8 = 1 __ 2 . Entonces el primer micro tiene ms de la mitad de los

pasajes vendidos.

5. 19 ___ 30 kg de manzanas.

Pensemos entre todos Cuando los nmeros tienen los mismos denominadores. Produccin personal. Hay que buscar nmeros fraccionarios equivalentes. Por ejemplo: 1 __ 3 =

2 __ 6 . Entonces 1 __ 6 +

2 __ 6 = 3 __ 6 .

Hay que buscar un nmero que sea mltiplo de 15 y de 12. Por ejemplo 60. Entonces: 5 ___ 12 +

4 ___ 15 = 25 ___ 60 +

16 ___ 60 = 41 ___ 60 .

p. 81

Suma y resta de nmeros fraccionarios de uso coti-diano.

p. 82 y 83

Suma y resta de nmeros fraccionarios.


7. a. 3 __ 8 b. 53 ___ 35 c.

2 __ 5 d. 23 ___ 36 e.

13 ___ 10 f. 3 __ 2 g.

8 __ 7

h. 12 ___ 5 i. 13 ___ 9 j.

1 __ 3 k. 26 ___ 9 l.

2 ___ 21

Calcular con facilidad

1. Pensemos entre todos 4 __ 4

8 __ 8

Si porque cada entero es 4 __ 4 . Entonces 2 enteros son 4 __ 4 +

4 __ 4 = 8 __ 4 .

10 ___ 5

2. a.

b. Si el numerador es mayor que el denominador, el nmero fraccionario es mayor que 1. Si el numerador es menor que el denominador, el nmero es menor que 1.3. Por ejemplo:

a. 8 b. 7 c. 8 d. 13 e. 7 f. 29

4. a. 7 __ 4 b. 4 __ 5 c.

13 ___ 6 d. 6 __ 5 e.

13 ___ 10 f. 23 ___ 9

5. a. Verdadero porque 3 __ 4 es mayor que 1 __ 2 . b. Verdadero porque

8 __ 3 es mayor que 2.

c. Falso porque 15 ___ 7 es menor que 3. d. Verdadero porque 9 __ 3 = 3.

6. a. 5 __ 4 b. 1 __ 8 c.

13 ___ 15 d. 3 __ 8 e.

9 ___ 10 f. 1 ___ 10

g. 2 __ 6 h. 1 __ 8 i.

5 ___ 16

7. Por ejemplo: a. 1 __ 8 b. 1 __ 6 c.

1 __ 9 d. 1 ___ 11

Muchos paquetes iguales

1. Menos porque 8 paquetes son 4 kg.2. Compr 6 1 __ 2 kg.

3.

4. a. 6 __ 5 b. 15 ___ 8 c.

28 ___ 6 = 14 ___ 3 d.

40 ___ 3 e. 14 ___ 9 f.

12 ___ 5

g. 56 ___ 4 = 14 h. 35 ___ 10 =

7 __ 2 i. 30 ___ 3 = 10

Nmero fraccionario 3 __ 5 8 __ 7

7 __ 4 6 __ 11

15 ___ 2 7 ___ 16

18 ___ 5 2 __ 9

9 __ 5

Falta 2 __ 5 5 __ 11

9 ___ 16 7 __ 9

Sobra 1 __ 7 3 __ 4

13 ___ 2 13 ___ 5

4 __ 5

Peso del paquete (kg) 1 1 __ 4 4 __ 5

2 __ 7 1 __ 8

Cantidad de paquetes que se necesitan para armar 4 kg 4 16 5 14 32

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p. 84 y 85

Estrategias de clculo mental.

p. 86

Multiplicacin de nmeros fraccionarios por nmeros naturales.


Partir lo que hay

1. a. Por ejemplo:

b. 6 ___ 30 c. 3 __ 4

2 __ 5 d. 6 ___ 20

2. Comi 3 __ 8 de la tarta.

3. a.

b. Medida del segmento original 3 __ 4 = medida del segmento reducido

4. a.

b. Cantidad de agua 1 __ 8 = cantidad de jugo concentrado

Cmo se multiplica?

1. a.

b. El numerador de la fraccin es la cantidad de cuadraditos sombreados y el denominador es la cantidad total de cuadraditos.c. 2 __ 6

2. a. i. 8 ___ 15 ii. 9 ___ 24 iii.

6 ___ 15

b. i. 2 __ 3 4 __ 5 ii.

3 __ 6 3 __ 4 iii.

3 __ 5 2 __ 3

3. a. Produccin personal.b. Si se cumple porque la multiplicacin de los numeradores permite calcular la cantidad de

Medida del segmento original (cm) 1 4

1 __ 2 1 __ 4

Medida del segmento reducido (cm)

3 __ 4 3 3 __ 8

3 ___ 16

Cantidad de agua (litros) 1

1 __ 2 2 1 1 __ 2

Cantidad de jugo concentrado (litros)

1 __ 8 1 ___ 16

1 __ 4 3 ___ 16

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p. 87

Multiplicacin de nmeros fraccionarios.

p. 88 y 89

Estrategias de multiplicacin de nmeros fraccionarios.

2 __ 3 3 __ 4 2 __ 3

4 __ 5 3 __ 6

3 __ 5


cuadraditos sombreados y la multiplicacin de los denominadores permite calcular la cantidad total de cuadraditos.

4. a. i. 6 ___ 35 ii. 8 ___ 27 iii.

4 ___ 21

b. ii. Da un resultado mayor que el primer nmero y las otras dan menor.

5. Pensemos entre todos Daniel piensa los nmeros fraccionarios como si fueran naturales. Esa propiedad, sin embargo, no se verifica en este caso porque multiplicar por 1 __ 4 es calcular la cuarta parte. En la organizacin rectangular, cada vez que se multiplica por nmeros menores que 1 queda una parte del rectngulo que es menor que la unidad. Por ejemplo: 2 __ 7 2 =

4 __ 7 y 2 __ 7

3 __ 4 = 6 ___ 28 . La multiplicacin da

4 __ 7 + 6 ___ 28 =

16 ___ 28 + 6 ___ 28 =

22 ___ 28 . Si se multiplican dos nmeros menores que 1, el resultado es menor que cada factor. Si se multiplican dos nmeros mayores que 1, el resultado es mayor que cada factor.

Taller de problemas Susana come 1 __ 4 de la pizza.

3 __ 4

1 __ 3

Verde: 1 __ 3 de la torre. Azul: 1 __ 3 de la torre. Rojo:

1 ___ 12 de la torre.

Queda sin pintar 1 __ 4 de la torre. 60 m

Repartir el queso

1. 1 __ 4 2. 1 __ 8

3. a. Daniel elige un entero que primero divide en 10 partes iguales y sombrea una parte. Esa parte es 1 ___ 10 del entero. Despus divide cada parte en 4 partes iguales. Quedan sombreadas 4 partes. Es decir que 1 ___ 10 =

4 ___ 40 . Finalmente divide por 4 y lo que le queda es 1 ___ 40 .

b. Daniel resuelve 9 ___ 10 : 4 = 9 ___ 10

1 __ 4 .4. a. 4 __ 3 : 2b. Si porque 4 __ 3 es 4 partes de

1 __ 3 ; entonces si dividimos 4 por 2 nos quedamos con 2 partes.c. Habra que escribir la fraccin de manera equivalente con un numerador que sea mltiplo del divisor. Por ejemplo: 5 __ 3 : 2 =

10 ___ 6 : 2 = 5 __ 6 .

5. Pensemos entre todos Brenda est pensando que si toma un nmero fraccionario como 10 ___ 13 lo que tiene es 10 partes de

1 ___ 13 . Entonces al dividirlo por 5 se queda con la quinta parte de las partes. 3 __ 5 son 3 de

1 __ 5 . Si cada quinto se divide en 4 partes iguales, el entero queda dividido en 20 partes y cada quinto tiene 4 partes. Quedan sombreadas 12 ___ 20 .

Si, es cierto. Si por ejemplo analizamos el ejemplo anterior; el entero queda dividido en tantas partes como la multiplicacin del divisor por el denominador de la fraccin. Por lo tanto, lo que dice Luca es correcto.

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p. 90 y 91

Divisin de nmeros fraccionarios por nmeros naturales.


6. a. 3 __ 28 b. 3 __ 8 c.

12 __ 25 d. 4 __ 15 e.

2 __ 9 f. 7 __ 8

g. 5 __ 12 h. 15 __ 32

Envasar la mercadera

1. 5 botellas.

2.

3. a. 18 vasos. b. 2 1 __ 4 : 1 __ 8

4. Pensemos entre todos Por ejemplo el problema 1. Porque como las partes son iguales solo alcanza con dividir las cantidades de partes.

5. Armar 15 paquetes todos completos.6. Va a completar 6 paquetes.7. a. Arman 16 paquetes completos y sobran 2 __ 3 kg.b. Completan 16 paquetes. Para armar uno ms falta 1 __ 3 kg de caf.8. a. Se arman 5 bolsitas enteras. b. Sobra 3 __ 5 kg.

Cuentas que se piensan

1. a. b. c. d.

2. a. 7 __ 4 b. 4 __ 3 c.

3 __ 4 d. 13 ___ 7 e.

6 __ 7 f. 10 ___ 3

3. a.

b. Para calcular el doble de un nmero hay que calcular el doble del numerador. Para calcular la mitad de un nmero hay que calcular el doble del denominador.4. 5 1 __ 5 = 1 porque 5 partes de

1 __ 5 forman el entero. Por la misma razn 9 1 __ 9 = 1.

3 4 __ 3 = 4 porque 4 __ 3 es 4 partes de

1 __ 3 . Por lo tanto al multiplicar por 3 quedan 12 partes de 1 __ 3 . Como

cada 3 partes se arma el entero, queda 4.Por la misma razn 7 5 __ 7 = 5.

5. a. 3 __ 5 b. 1 c. 9 __ 8 d. 2 e. 15 f. 28

g. 1 __ 9 h. 1 i. 1 j. 21 k. 2 l. 7

6. a. 10 ___ 3 b. 2 10 ___ 3

7 __ 9 = 2 70 ___ 27 =

140 ____ 27 c. 10 ___ 3

7 __ 9 3 = 70 ___ 27 3 =

70 ___ 9

d. 7 __ 9 e. 70 ___ 27 :

10 ___ 3 : 2 = 7 __ 9 : 2 =

7 ___ 18 f. 10 ___ 3 2

7 __ 9 1 __ 2 =

10 ___ 3 7 __ 9 2

1 __ 2 = 70 ___ 27 1 =

70 ___ 27

Cantidad de jugo (litros) 3 7 __ 4 9 __ 2

7 __ 2 6

Cantidad de botellas 12 7 18 14 24

Nmero 4 __ 3 7 ___ 10

8 __ 3 15 ___ 8

16 ___ 3 3 __ 4

Doble 8 __ 3 14 ___ 10

16 ___ 3 30 ___ 8

32 ___ 3 6 __ 4

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p. 92 y 93

Estrategias de divisin entre nmeros fraccionarios en casos parti-culares.

p. 94 y 95

Estrategias de clculo mental.

Nmero 3 __ 2 4 __ 7

15 ___ 4 16 ___ 5

9 __ 7 8 ___ 15

Mitad 3 __ 4 2 __ 7

15 ___ 8 8 __ 5

9 ___ 14 4 ___ 15


7. 45 ___ 28 : 9 __ 4 =

5 __ 7 y 45 ___ 28 :

5 __ 7 = 9 __ 4

8. Con rojo: a. c. e. h. Con verde: b. d. f. g.


1. No puede porque la compra pesa 5 kg.2.

3.

4. a. 3 __ 7 b. 3 15 ___ 7 =

45 ___ 7 c. 15 ___ 7 : 2 =

15 ___ 14 d. 3 __ 7 2 =

6 __ 7

e. 2 15 ___ 7 4 1 __ 5 = 2 4

15 ___ 7 1 __ 5 = 8

3 __ 7 = 24 ___ 7 f. 10

3 __ 7 : 1 __ 5 = 10

15 ___ 7 = 150 ____ 7

5. a. Para 20 paquetes. b. Sobran 2 __ 3 kg. c. 1 __ 3 kg.

Cantidad de invitados 5 10 15 20 25

Cantidad de torta (kg) 7 ___ 10 7 ___ 20

7 ___ 30 7 ___ 40

7 ___ 50

Cantidad de invitados 1 2 4 6 7 10

Cantidad de asado (kg) 3 __ 4 3 __ 2 3

9 __ 2 21 ___ 4

15 ___ 2

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3 p. 96

9 Los nmeros racionales decimalesComprar y pagar

Pensemos entre todos Porque as puede hacer grupos de monedas de menor valor para darle 50 centavos a cada uno. Puede cambiar las 8 monedas de 10 centavos por todas monedas de 1 centavos. En total le quedan 80 monedas. Le da a cada uno 16 monedas. Es decir, 16 centavos. Tambin podra haberle dado una moneda de 10 centavos a cada uno y cambiar las 3 que quedaban. En el primer dilogo a Brenda le faltan $1 con 55 centavos. En el segundo caso le faltan $2 con 95 centavos.

Escribir de manera equivalente

1. a. 4 b. No es posible porque 3 no es divisor de 10. c. 75d. 1.375 e. 24 f. 820

2. a. Pensemos entre todos Pens que 25 ____ 100 son 25 partes de

1 ____ 100 y las separ en dos grupos. En el primero puso 20 partecitas y en el segundo las 5 restantes. El nmero fraccionario 20 ____ 100 es equivalente a

2 ___ 10 , se obtiene dividiendo numerador y denominador por 10. Pens que 1 ___ 10 = 0,1 y entonces

2 ___ 10 = 0,2. Adems 1 ____ 100 = 0,01 entonces

5 ____ 100 es 0,05.

b. i. 0,48 ii. 1,853. Por ejemplo: a. 35 ___ 10 ;

350 ____ 100 ; 7 __ 2 b.

132 ____ 100 ; 33 ___ 25 ;

1.320 _____ 1.000

p. 97

Uso social de los nmeros decimales.

p. 98 y 99

Expresiones decimales de las fracciones decimales. Valor posi-cional de las cifras.


4. Por ejemplo:

a. 5 + 2 ___ 10 + 8 ____ 100 b. 4 +

12 ___ 10 + 8 ____ 100 c. 5 +

22 ___ 10 + 12 ____ 100 d. 7 +

1 ___ 10 + 22 ____ 100

5. 10 6. 10 7. 100

Taller de problemas 9 __ 5 =

180 ____ 100 ; 7 __ 4 =

175 ____ 100 ; 15 ___ 12 =

5 __ 4 = 125 ____ 100 ;

7 __ 8 = 875 _____ 1.000 .

2 __ 7 no se puede porque es un nmero fraccionario que no se puede simplificar ms y 7 no es divisor ni mltiplo de una potencia de 10. 10 ___ 15 =

2 __ 3 no se puede porque 2 __ 3 es un nmero fraccionario que no se puede simplificar ms y 3 no

es divisor ni mltiplo de una potencia de 10.

Los nmeros que no se pudieron escribir como fracciones decimales si se los escribe de manera equivalente como una fraccin irreducible tienen denominadores que no son divisores de ninguna potencia de 10.

Salir de compras

1. a. Pudo haber comprado un alfajor y un paquete de pastillas. b. Gast $19,25. c. Menos porque cada caja cuesta menos de $1.2. No le alcanzan $200. Le faltan 40 centavos. 3. Gasta $278,75.4. Por ejemplo: un billete de $10, 4 monedas de $1 y 6 monedas de 10 centavos; o dos billetes de $5, dos billetes de $2, una moneda de 50 centavos y una moneda de 10 centavos.5. Ms porque 600 g son ms de 1 __ 2 kg. 6. Si puede. La compra pesa 6,55 kg.7. a.

b. El vuelto es $92.

Distintas maneras de sumar y restar

1. Pensemos entre todos El nmero 18 ____ 100 Jimena lo escribe como 0,1 + 0,08. El nmero

73 ____ 100 Jimena lo escribe como 0,7 + 0,03. El nmero 91 ____ 100 aparece como 0,9 y 0,01. Para poder descomponer el nmero en dcimos y centsimos. Leandro resuelve una cuenta de nmeros fraccionarios. El resultado es el mismo escrito de manera equivalente. Ivan resuelve la cuenta de manera similar a la de Jimena. Primero resuelve 8 centsimos ms3 centsimos. Lo escribe como 11 centsimos que descompone en 1 dcimo y 1 centsimo.

Unidades Detalle Precio unitario Total

2 Rollos de cable $35,25

5 Enchufes $7,50

Total de la compra

Ferretera Julio Factura - N 012987

$70,50

$37,50

$108

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p. 100 y 101

Problemas con sumas y restas.

p. 102 y 103

Estrategias para sumar y restar.

Agustina

43,18 = + _______ 100

27,73 = + _______ 100

+ _______ 100 =

42 118

73

45 15,45

27

15

Leandro

43,18 27,73 = _______ 100 _______ 100 =

_______ 100 4.318 2.773 1.545


Luego suma el dcimo que qued con el dcimo de 43,18 y con los 7 dcimos de 27,73. Finalmente suma los enteros. El 1 rojo representa 1 dcimo. Aparece en la cuenta de Jimena. Es el 0,1 de la cuenta 0,1 + 0,01. El 1 verde representan 10 enteros. No es lo mismo que el rojo.

2. a. 8,69 b. 97,39 c. 99,98

3. Pensemos entre todos Porque le quiere restar 27 a 43 y es ms fcil restrselo a 30. Hace 1 0.3. Porque descompone los nmeros y primero resta partes de las descomposiciones. Andrea descompone 43,18 como 30 + 12 + 1,1 + 0,08. El 1 rojo representa el entero de 1,1. El 1 violeta y el 2 verde son el 12. Andrea descompone el nmero 43,18 como 30 + 12 + 1,1 + 0,08. Primero resta 0,08 0,03 = 0,05 y pone el 5 en el lugar de los centsimos. Luego resta 1,1 0,7 = 0,4 y pone el 4 en el lugar de los centsimos. Posteriormente resta 12 7 = 5 y finalmente 30 20 = 10.

4.

Comprar varios productos

1. a.

b. 5 3,5c. Si porque multiplicar por 10 un nmero decimal es correr la coma un lugar a la derecha. Multiplicar por 100 es correr la coma dos lugares,

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