Teoría de Conjuntos

Anny CasadiegoYulimar Lara

Orelys Castillo

Contenido• Teoría De Conjuntos• Notación Y Pertenencia De Conjuntos• Determinación De Conjuntos • Conjuntos Especiales• Conjunto Unitario • Propiedades De Los Conjuntos Unitarios• El Conjunto Universal• Diagramas Conjuntistas• Diagrama De Carroll• Relación Entre Conjuntos Relación De

Inclusión • Subconjuntos, Relación Conjunto-conjunto• Sub Conjunto Propio• Igualdad De Conjuntos• Conjuntos Comparables• Conjunto Disjunto

Teor ía de Con juntos

Los conjuntos fueron estudiados formalmente por primera vez por: George Cantor (1845-1918).

La teoría de Conjunto mirada por los matemáticos

proporciona el metalenguaje,

contexto o sustrato de las Teorías

Lógicas. El concepto de conjunto es fundamental

importancia en las matemáticas modernas.

La palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan

alguna característica en común. Ya sean

números, personas, figuras, ideas y

conceptos.

En matemáticas el concepto de conjunto

es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la

notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo

puede decirse que se consideren primitivas

las ideas de elemento y pertenencia.

Notación y Pertenencia de Conjuntos

NotaciónEsencialmente los conjuntos los denotaremos con letras mayúsculas (A, B, C, D,…..Z), los elementos con letras minúsculas (a,b,c,d,…..z), encerrados entrellaves y se relacionan a través del signo igual. Ejemplo:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

PertenenciaEs la relación que tiene un conjunto con sus elementos y viceversa.Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo ∊ que se lee “pertenece a” o “está en”, por el contrario, se utiliza el símbolo ∉ y se lee “no pertenece a” o “no está en”. Ejemplo:B = {,,}El elemento león pertenece a B. El elemento ballena pertenece a B. El elemento pez pertenece a B.león ∊ B ballena ∊ B pez ∊ B

¿Cuántas formas de determinar un conjunto Existen?

Existen 2: Por Extensión y

Comprensión

Por ExtensiónUn conjunto "D" está determinado por extensión cuando se mencionan uno por uno todos sus elementos o cuando, si son números, se mencionan los primeros de ellos (y se coloca puntos suspensivos)Ejemplos:D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado,domingo}C = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…………………}Sin embargo, no todos los conjuntos pueden ser determinados de esta sobre todo cuando el número de elementos que constituyen el conjunto es muy elevado.

Determinación de Conjuntos

Por ComprensiónUn conjunto "D" está determinado por comprensión cuando se enuncia una  ley o una función  que permite conocer que elementos la cumplen y por tanto, van a pertenecer al conjunto D.Para diferenciar cada forma de determinar un conjunto veamos los siguientes ejemplos:Ejemplo 1D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}Por comprensión: (una posible respuesta sería)D = {x/"x" es un día de la semana}

Conjuntos Especiales

• Conjunto Vacio: el conjunto vacío es el conjunto que carece de elementos. Puesto que lo único que define a un conjunto son sus elementos, el conjunto vacío es único. El conjunto vacío se define como {x: x ≠ x}

• El conjunto vacío es denotado por los símbolos: Φó θ

Propiedades:•Dos conjuntos sin elementos son iguales.•El único subconjunto del conjunto vacío es él mismo:•El número de elementos o cardinal del conjunto vacío es cero:•En particular, el conjunto vacío es un conjunto finito.•Para todo conjunto A, el conjunto vacío es subconjunto de A:•Para todo conjunto A, la unión de A con el conjunto vacío es A:•Para todo conjunto A, la intersección de A con el conjunto vacío resulta en el conjunto vacío:•Para todo conjunto A, el producto cartesiano de A y el conjunto vacío es vacío:

Conjunto Unitario • Es un conjunto con un único

elemento. Por ejemplo, el conjunto { 0 } es un conjunto unitario. por ejemplo, { { 1, 2, 3 } } es también un conjunto unitario: el único elemento es un conjunto (que, sin embargo, no es unitario).

•  Si A es un conjunto y S es cualquier conjunto unitario, existe exactamente una función de A a S, la función constante que envía cada elemento de A al elemento de S.

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS UNITARIOS

La cardinalidad, el número de elementos distintos que posee un conjunto, es uno. Esto significa que independientemente del número de objetos que tenga el conjunto si todos son iguales entonces su cardinalidad es uno y se trata de un conjunto unitario.

Solamente tiene dos subconjuntos, el conjunto vacío y él mismo. Un conjunto formado por un conjunto es un conjunto unitario, aunque su elemento no sea un conjunto unitario.

Si A es un subconjunto de B  con cardinalidad diferente de 0 y B es un conjunto unitario,  B es subconjunto de A, es decir A y B son el mismo conjunto.

La intersección entre dos conjuntos unitarios es el conjunto vacío o un conjunto unitario. Si dos conjuntos tienen un solo elemento en común su intersección es un conjunto unitario.

EL CONJUNTO UNIVERSAL

 Es un conjunto formado por todos los objetos de estudio en un contexto dado. Por ejemplo, en aritmética los objetos

de estudio son los números por lo que el conjunto universal para este caso puede ser el conjunto de los

números naturales N. Al conjunto universal también se le denomina conjunto referencial, universo del

discurso o clase universal, según el contexto, y se denota habitualmente por U o V.

Propiedades: Todo conjunto A es subconjunto de U, A⊆ U.La unión de un conjunto A con el conjunto universal U es igual a U:La intersección de un conjunto A con el conjunto universal resulta en el mismo conjunto A:El complemento del conjunto universal es el conjunto vacío, y viceversa:

Diagramas ConjuntistasLos diagramas conjuntistas son dibujos en los que se muestran las relaciones

existentes entre dos o más conjuntos.

Diagrama de Venn_ Euler.

Son regiones planas limitadas a figuras geométricas cerradas que se utilizan para representar gráficamente a los conjuntos anotados, en su interior , a

sus correspondientes elementos.

Se estila representar al conjunto universal mediante un rectángulo.

Ejemplo: el siguiente es un

diagrama de Venn_ Euler de

los conjuntos A,B,C,

y conjunto universal c:

Diagrama de Carroll

Es un diagrama usado para agrupar cosas de una manera sí/no. Número y Objetos son categorizados como x (teniendo una cualidad x) o no x (no teniendo este atributo). Son llamados así en alusión a Lewis CarrolDiagrama Simple

Diagrama Complejo

Relación Entre Conjuntos

Relación de Inclusión • Inclusión: un conjunto está incluido en otro conjunto con uno o

todos sus elementos también o pertenecen al otro conjunto. La inclusión se denota por ( y en caso contrario por

Sub Conjunto Propio

Igualdad de ConjuntosDos conjuntos A y B son iguales si ambos

tienen los mismos elementos. En este caso, se denota A=B. Escribimos A? B si los conjuntos no tienen los mismos elementos.

Consideremos los conjuntos.A= {x/x letras de la palabra arma} y

B={x/x letras de la palabra rama}

Observemos que estos dos conjuntos poseen los

mismos elementos.A= {a,r,m,a}  y B={r,a,m,a}

CONJUNTOS COMPARABLES

Un conjunto A es COMPARABLE con otro conjunto B si entre dichos conjuntos existe una relación de inclusión.: 

CONJUNTO DISJUNTO