ÓRDENES DE MAGNITUD. SISTEMA …eaznar/matgeo/apuntes/magnitudes.pdf · Da pasos pequeños en el...

Enrique R. AznarDpto. de Álgebra

Página web personal

Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 1 de 35

Atrás

Pantalla grande/pequeña

Cerrar

ÓRDENES DE MAGNITUD.SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS.

¿Cómo medimos el universo?

1. Introducción. 42. Progresiones. Órdenes de magnitud. 5

Definición 1 6Definición 2 10

3. Sistema Internacional de Unidades (SI) 10Ejemplo 1 14Ejemplo 2 14

4. El sistema anglosajón 15Ejemplo 3 16

5. Magnitudes binarias. 175.1. Ondas sonoras 17

Ejemplo 4 18Ejemplo 5 19Ejemplo 6 19

http://www.ugr.es/

http://www.ugr.es/~algebra/


http://www.ugr.es/~decacien/

http://www.ugr.es/~eaznar/

http://www.ugr.es/%7Edecacien



Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 2 de 35

Atrás


Cerrar

Ejemplo 7 195.2. Rango audible 20

Ejemplo 8 20Ejemplo 9 21

5.3. Ondas electromagnéticas 22Ejemplo 10 24Ejemplo 11 24Ejemplo 12 25Ejemplo 13 25Ejemplo 14 25Ejemplo 15 25Ejemplo 16 25Ejemplo 17 25

5.4. Medidas de almacenamiento digital. 26Ejemplo 18 28Ejemplo 19 28Ejemplo 20 28Ejemplo 21 28Ejemplo 22 28

6. Ejercicios. 29Ejercicio 1 29Ejercicio 2 29Ejercicio 3 29

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 3 de 35

Atrás


Cerrar

Ejercicio 4 30Ejercicio 5 30Ejercicio 6 30Ejercicio 7 30Ejercicio 8 30Ejercicio 9 30Ejercicio 10 30Ejercicio 11 31Ejercicio 12 31Ejercicio 13 31Ejercicio 14 31Ejercicio 15 31Ejercicio 16 31Ejercicio 17 32Ejercicio 18 32

7. Test de repaso. 32

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 4 de 35

Atrás


Cerrar

1. INTRODUCCIÓN.

Para poder medir, tenemos que emplear una unidad de medida. Si queremosmedir longitudes, podemos utilizar el metro.

Pero en metros ¿Cuál sería la longitud de una línea que se extendiera desdeaquí hasta una estrella? ¿Cuál es la longitud de una línea tendida desde unlado del átomo hasta el otro?

Claramente, necesitamos un número muy grande para la primera medida yotro muy pequeño para la segunda.

Hoy día, sabemos que la distancia a Próxima Centauri, es aproximadamente40 400 000 000 000 000 metros (40.4∗1015 m). O sea, 40 400 billones dekilómetros = 40.4 petámetros (40.4 Pm) = 4.27 años luz.

La segunda medida, la del átomo mas pequeño, es aproximadamente 0.000000 000 1 metros (10−10 m). O sea, una décima de mil millonésima de metro= 0.1 nanómetros (0.1 nm) = 100 picómetros (100 pm) = 1 Ängstrom (1 Ä).

También, se sabe que la edad de la tierra es aproximadamente 4 600 millonesde años. O sea, 4.6 Giga años ( 4.6 Ga)1.

1En geología, también se usan los eones que son los períodos en los que se encuentradividida la historia de la Tierra desde el punto de vista geológico y paleontológico. No tieneuna equivalencia exacta ya que cada periodo tiene una duración diferente. Equivale a undeterminado período paleontológico.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 5 de 35

Atrás


Cerrar

La edad del sistema solar no es muy diferente. Mientras que la edad de todoel universo se estima es unos 10 o 15 mil millones de años (10-15 Ga).

Las unidades pequeñas de tiempo las medimos en base 60 (minutos y se-gundos). Con esas unidades bastaban para medir hasta que en el s. XX seempezó a buscar partículas subatómicas con ayuda de aceleradores.

La mayoría de las partículas tienen una vida media de 10−8 segundos.Algunos bosones tienen vida media de hasta 3∗10−25 segundos.

Lo mismo sucede cuando medimos áreas, volúmenes, presiones o densi-dades. Encontramos números muy grandes y muy pequeños.

Así, vemos que necesitamos una forma cómoda de poder escribir númerosgrandes y pequeños. También unidades de medida nuevas que sirvan paraexpresar ciertas medidas con pocos dígitos (a lo sumo 2 o 3 cifras).

2. PROGRESIONES. ÓRDENES DE MAGNITUD.

Necesitamos una escala o escalera conveniente para escribir y designar númerosdesde muy grandes a muy pequeños.

No nos resultaría útil ninguna progresión aritmética2 como medio para con-struir una escalera del Universo. Tardaríamos demasiado tiempo y habría

2Es la forma más natural, sumar una cantidad fija. Aprendemos contando de 1 en 1.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 6 de 35

Atrás


Cerrar

que concentrar excesivamente la atención en unos números muy grandes enel extremo más alejado de la escalera, y lo mismo para los muy pequeños.

La alternativa consiste en multiplicar cada número por una cantidad, paraobtener así el número siguiente. Esto sería una «progresión geométrica»3.

La progresión geométrica es apropiada para construir una escalera del Uni-verso. Tal progresión se hace mayor o menor con mucha más rapidez. Pode-mos alcanzar números realmente grandes en un tiempo razonable.

Da pasos pequeños en el extremo más bajo de la escala y pasos cada vez másgrandes hacia el nivel superior. Pero, ¿qué número debemos emplear comomultiplicador para construir una progresión geométrica particularmente útil?

Como nuestro sistema numérico tiene base 10, éste es un multiplicador par-ticularmente sencillo. Si comenzamos con el 1 y lo multiplicamos cada vezpor 10, obtenemos 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000, 1 000 000, etc.

En Estados Unidos se tiene la costumbre, cuando se opera con númerosgrandes, de dividir los dígitos en grupos de tres, separados por comas. Sinembargo, en muchos otros países, se emplean las comas en el sentido de«puntos decimales». Para evitar confusiones, el sistema SI recomienda quedichos grupos de tres dígitos se separen, simplemente, por un espacio.

3Si el número por el que multiplicamos es 2, tendríamos 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc. Eninformática, se adopta esta progresión, 2n , para las unidades de almacenamiento.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 7 de 35

Atrás


Cerrar

Definición 1. Se llama progresión geométrica a la sucesión que se obtienemultiplicando un número fijo b consigo mismo. A b se le llama base de laprogresión. Se llama orden de magnitud a cada nivel de la progresión.

Una serie geométrica basada en el 10 como multiplicador es realmente sim-ple. Se emplea con mucha frecuencia. Dos objetos difieren por un orden demagnitud en alguna propiedad medida si un valor es 10 veces la del otro.

Hay dos órdenes de magnitud de diferencia si la medida de la propiedad deuno es 10 x 10 = 100 veces el otro, tres órdenes de magnitud de diferencia sila medida de la propiedad de uno es 10 x 10 x 10 = 1 000 veces el otro, etc.

No obstante, si consideramos la serie 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000, ...,los números, a medida que se hacen grandes, ocupan un espacio considerabley resulta difícil estar seguro del número de ceros. Por dicha razón, se haelaborado una notación más compacta para representar tales números.

En lugar de escribir la serie de la citada forma, podemos hacerlo así: 1, 10,10 x 10, 10 x 10 x 10, etc. Los números crecientes de dieces aumentan conuna firmeza cada vez menos manejable, y el conjunto es incluso más confusoy menos fácil de leer. Por tanto, no escribimos cada uno de los dieces, sino,simplemente, los numeramos de la siguiente manera.

101 es un único 10, 102 es el producto de dos dieces, 103, resultado de tres10 multiplicados, etc. El 10 es la base, el número superior, el exponente. El103 se llama número exponencial.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 8 de 35

Atrás


Cerrar

Es obvia la utilidad de dichos números exponenciales. Si usamos 10 comobase de la progresión geométrica, obtenemos hacia arriba

101 = 10102 = 10 x 10 = 100103 = 10 x 10 x 10 = 1 000104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100 000

Véase cómo el exponente, en una cifra exponencial de este tipo, es siempreigual al número de ceros en la misma cifra escrita sin abreviar. Así, 1051

sería, con todos sus números, 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000000 000 000 000 000 000 000. Tenemos, pues, que 1051 es una forma muchomás breve y un modo mucho menos confuso de escribir el número.

La expresión 101 se llama «diez a la primera potencia»; 102, «diez a la se-gunda potencia»; 103, «diez a la tercera potencia»; 104, «diez a la cuartapotencia», etcétera. Para abreviar, las personas familiarizadas con el sis-tema omiten la palabra «potencia» y hablan de «diez a la cuarta», «diez a laquinta», etcétera. A veces se dice también «diez elevado a cuatro», etc.

En los casos de 102 y 103, por razones de índole geométrica, se dice simple-mente «diez al cuadrado» y «diez al cubo».

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 9 de 35

Atrás


Cerrar

En cuanto a 101, raramente se considera como un número exponencial. Dadoque 101 es igual a 10, el exponente se omite casi siempre.

Los números exponenciales son algo más que una mera forma breve de es-cribir números grandes, puesto que también simplifica en extremo la multi-plicación y la división. Así, tenemos 10 000 x 100 000 = 1 000 000 000.Traducido a cifras exponenciales: 104 x 105 = 109.

Tenemos que 4 + 5 = 9. Vemos que, en la multiplicación citada, sumamoslos exponentes de los dos números a fin de conseguir el exponente del pro-ducto. Ésta es la regla general: En vez de multiplicar números ordinarios, seconvierten éstos en números exponenciales y se suman dichos exponentes.

La división es la inversa de la multiplicación. Así, 100 000/1 000 = 100. Ennúmeros exponenciales, 105/103 = 102. Como, 5 - 3 = 2. Para los númerosexponenciales la división implica la sustracción o resta de los exponentes.

Veamos ahora la siguiente división: 1 000/1 000 = 1. Esto está perfectamenteclaro. No obstante, si lo escribimos en números exponenciales, se convierteen 103/103 = 1. Según la regla de la sustracción del exponente, como 3 - 3 =0, 103/103 sería igual a 100. Esto nos da dos respuestas: 1 y 100. La únicaforma de mantener la consistencia supone que sean iguales y que 100 = 1.

En la vida corriente nadie emplea 100 en lugar de 1, pero a veces es útil.Por ejemplo, si aplicamos la regla de la sustracción de los exponentes, tienensentido todos los exponentes negativos:

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 10 de 35

Atrás


Cerrar

10−1 = 100−1 = 100/101 = 1/10 = 0.110−2 = 100−2 = 100/102 = 1/100 = 0.0110−3 = 100−3 = 100/103 = 1/1000 = 0.001Así, podemos decir que la progresión geométrica continúa también haciaabajo, alcanzando órdenes de magnitud cada vez más pequeños:1 = 100, 0.1 = 10−1, 0.01 = 10−2, 0.001 = 10−3, . . . .

Definición 2. Se llama progresión geométrica generalizada en base b a lasucesión de números, bn , donde n es un número entero, positivo o negativo.Cada número, bn , de la sucesión es un orden de magnitud4.

3. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)

En francés, se llama Système International d’Unités. Sistema Internacionalde Unidades en nuestro idioma. Tales reglas suelen llamarse versión SI.

El sistema métrico decimal se estableció en Francia (1790). Las reglas delSI se uniformaron mediante un acuerdo internacional en la década de 1950.

El sistema SI establece de forma rígida unos tipos estándar de pronunciación,deletreo, abreviación, etc.

4Como las potencias 10n son positivas y se hacen cada vez más grandes si n es positivoo cada vez más pequeñas si n es negativo. La sucesión de magnitudes tiende a infinito porla derecha y a cero por la izquierda.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 11 de 35

Atrás


Cerrar

A fin de que el uso científico de las medidas constituya un idioma autén-ticamente internacional, sin posibilidad alguna de equívocos a causa de lasbarreras idiomáticas.

La unidad SI unidimensional de medición es el «metro», voz derivada dellatín y que significa «medida». El metro se simboliza por «m», por lo cualse puede escribir indistintamente «1 metro» o «1 m».

Téngase en cuenta que «m» es un símbolo y no una abreviación, por lo cualno se debe emplear el punto.

El SI define no sólo una unidad de medida unidimensional sino de tiempo elsegundo (s), de masa el gramo (gr) y de volumen el litro (l).

Pero lo importante del SI no son las unidades iniciales de medida sino laforma de escalarlas en base 10 y sus órdenes de magnitud.

En el sistema métrico decimal todo es una fracción o múltiplo de diez. Hayuna denominación o prefijo de unidad diferente para cada órden de magnitud.

Un prefijo métrico del SI es una palabra que precede a una unidad básicade medida para indicar un decimal múltiplo o fracción de la unidad. Losprefijos multiplicativos decimales han sido una característica del SI.

De momento, se han previsto 49 órdenes de magnitud, en el intervalo [10−24,1024].

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 12 de 35

Atrás


Cerrar

TABLE 1. Múltiplos y fracciones de 10

número/factor notación nombre abreviación Dado en10 1E1 deca da 1795

100 1E2 hecto h 17951 000 1E3 kilo k 1795

1 000 000 1E6 Mega M 19601 000 000 000 1E9 Giga G 1960

1012 1E12 Tera T 19601015 1E15 Peta P 19751018 1E18 Exa E 19751021 1E21 Zetta Z 19911024 1E24 Yotta Y 1991

0.1 1E-1 deci d 17950.01 1E-2 centi c 1795

0.001 1E-3 mili m 17950.000 001 1E-6 micro µ 1960

0.000 000 001 1E-9 nano n 196010−12 1E-12 pico p 196010−15 1E-15 femto f 196410−18 1E-18 atto a 196410−21 1E-21 zepto z 199110−24 1E-24 yocto y 1991

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 13 de 35

Atrás


Cerrar

Cada prefijo tiene un símbolo único5 que se antepone al símbolo de la unidad.El prefijo kilo, por ejemplo, se puede añadir a gramo para indicar la multi-plicación por mil; un kilogramo es igual a mil gramos (1 kg = 1 000 g).

El prefijo centi, se puede añadir a metro para indicar la división por cien; uncentímetro es igual a la centésima parte de un metro (1 cm = 0.01 m).

Aunque hay infinitas magnitudes, el intervalo [10−24,1024] es suficiente paramedir prácticamente todas las cantidades6 en la naturaleza.

La unidad básica de información o almacenamiento en informática es el bitque toma dos valores 0, 1. El Byte = 8(23) bits, es un múltiplo binario suyo.Los discos duros hoy día almacenan Terabytes, el número de posibles datosen un Terabyte7 es 1012 Bytes magnitud media en la tabla.

El espacio de almacenamiento de Megaupload (archivo-servicio de alojamiento),en el momento en que fue cerrada en 2012, era de 25 petabytes que es delorden 1017. La cantidad de información que puede ser almacenada en ungramo de ADN es del orden de 1021.

5Hoy día, los prefijos están estandarizados para su uso en el SI, por la Oficina Interna-cional de Pesas y Medidas en resoluciones que datan desde 1960 a 1991.

6En la famosa leyenda de la invención del ajedrez, se calcula el número 264 =18446744073709551616 = 1.84467∗1019 que es del orden de 1019. Esta cantidad de granosde trigo es mayor que el la producción actual de toda la tierra.

7Como 1 Tebibyte = 240 Bytes = 1 099 511 627 776 Bytes, a veces se confunde con elTerabyte. Pero son diferentes y el ICE así lo establece.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 14 de 35

Atrás


Cerrar

Ejemplo 1. Los cálculos para la masa de la luna dan unos73 490 000 000 000 000 000 000 kg = 7.349∗1022 Kg = 73.49∗1024 grmientras que para la tierra se tiene5 973 600 000 000 000 000 000 000 Kg = 5.9736∗1024 Kg = 5.9736∗1027 gr

En ambos casos, se obtienen órdenes de magnitud en el límite superior.Si en vez de en gramos, usamos la tonelada = 1 000 kg = 106gr, se obtienen

73.49∗1018 t= 73.49 Exatoneladas para la luna

5.9736∗1021 t= 5.9736 Zettatoneladas para la tierra

Como 5973.6/73.49 = 81.2845, si se toma como unidad la masa de la luna,se tiene que la masa de la tierra es 81.3 veces la masa de la luna8.

Ejemplo 2. La distancia de la tierra al sol varía desde 147 098 290 kmhasta 152 098 232 km. Aproximadamente la media es unos 150 millones dekm. A esta cantidad se le llama unidad astronómica (ua9) y se suele tomarcomo unidad para medir otras distancias dentro de nuestro sistema solar.

Así, como la distancia media a Júpiter es de unos 780 millones de km y780/150 = 5.2. Se dice que la distancia media Tierra-Júpiter es de 5.2 ua.

8Para medir las masas del sistema solar, se puede tomar como unidad la de la luna.Para medir las masas de otras estrellas, se suele tomar como unidad la masa del sol.

9En el SI, se acepta un poco menos, 1 ua = 149 597 871 km

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 15 de 35

Atrás


Cerrar

4. EL SISTEMA ANGLOSAJÓN

Este sistema se deriva de la evolución de las unidades locales a través delos siglos, y de los intentos de estandarización en Inglaterra. Las unidadesmismas tienen sus orígenes en la antigua Roma.

El sistema anglosajón de unidades es un conjunto de unidades no métricas10.Existen discrepancias entre los sistemas de Estados Unidos y el Reino Unido(donde se llama el sistema imperial), e incluso sobre la diferencia de valoresentre otros tiempos y ahora.

Desde el punto de vista europeo, este sistema parece muy complicado y pocopráctico. Las unidades más grandes parecen ser un múltiplo arbitrario de lasiguiente unidad más pequeña.

Por ej., 3 pies = 1 yarda, 1 pie = 12 pulgadas11, por lo que 1 yarda equivale a36 pulgadas. Lo mismo es cierto para el volumen, donde 1 galón es igual a4 cuartos = 8 pintas = 16 vasos = 256 cucharadas = 768 cucharaditas.

Hoy en día, estas unidades están siendo lentamente reemplazadas por el SI.

10Es oficial en solo 3 países en el mundo, como EE.UU., Liberia y Myanmar (antesBirmania), además de otros territorios y países con influencia anglosajona pero de forma nooficial, como Bahamas, Barbados, Jamaica, Puerto Rico o Panamá.

11La pulgada es una unidad de longitud que equivale a la longitud de la primera falangedel pulgar (su falange distal). Una pulgada castellana equivalía a 23,22 milímetros. Actual-mente en EE.UU. se usa una pulgada (inch o in) de 25,4 milímetros.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 16 de 35

Atrás


Cerrar

TABLE 2. Conversión unidades EE.UU. a SI

longitud SI área SI volumen SI1 pulgada (in) 25.4 mm 1 in2 6.4516 cm2 1 fl. onza 29.57 ml

1 pie (ft) 30.48 cm 1 ft2 9.290 dm2 1 taza 0.2365 l1 yarda (yd) 0.9144 m 1 yd2 0.8361 m2 1 pinta 0.4732 l1 milla (mi) 1.609 km 1 acre (ac) 4.046 m2 1 cuarto 0.9464 l1 mi náutica 1.852 km 1 mi2 2.590 km2 1 galón 3.785 l

Se tiene que 12 pulgadas (inches) = 1 pie (foot), 3 pies = 1 yarda (yard), 2yardas = 1 braza (fathom) y 1.760 yardas = 1 milla (mile).

El metro no difiere mucho de la yarda. Un metro equivale a 1.094 yardas, o,aproximadamente, 1 1/10 yardas. Una yarda es igual a 0.9144 metros, o 9/10de metro en números redondos. Para unas aproximaciones toscas se suelenemplear incluso de forma intercambiable el metro y la yarda.

También, un metro es igual a 3.281 pies y a 39.37 pulgadas. Puede resultarútil, como regla práctica, considerar el metro igual a 3 1/4 pies ó 40 pulgadas.

Ejemplo 3. La mayoría de las cartas náuticas modernas indican la profun-didad en metros. Sin embargo, la U.S. Hydrographic Office utiliza pies ybrazas. Por ej., considera aguas profundas a las de mayor de 100 brazas =100∗2∗0.9144 = 182.88 m.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 17 de 35

Atrás


Cerrar

5. MAGNITUDES BINARIAS.

Aunque nuestro sistema de numeración en base 10 lleva de forma naturala las magnitudes SI que son sencillas de usar y recordar. Los hechos nosmuestran que a veces es más natural definir órdenes de magnitud en base 2.

Pasar de un orden de magnitud al siguiente multiplicando por 10 es demasi-ado. Si no se quiere perder la descripción de medidas intermedias, es mejortomar como base de la progresión geométrica un número menor12.

Veremos que la forma natural de escalar las medidas de las ondas tanto sono-ras como electromagnéticas es en base 2.

Para subdividir mas, en música, es necesario usar bases más pequeñas como21/6 ' 1.12246 (para los tonos) o incluso 21/12 ' 1.05946 (para los semitonos).

5.1. Ondas sonoras. Las ondas sonoras consisten en aire (u otra sustancia), elcual es, de forma alternada, comprimido y expansionado por algún tipo devibración.

Se puede medir su frecuencia, en ciclos por segundo (Hercios).O inversamente, la longitud de onda que recorre un sólo ciclo en metros.

12Isaac Asimov, en su libro La medición del universo, usa la mitad de ese intervalo parapoder describir las medidas de los seres y objetos que se encuentran en la naturaleza. O sea,usa como base de la progresión geométrica el número 100.5 =p

10w 3.16

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 18 de 35

Atrás


Cerrar

Si comenzamos en el piano con el do central13, éste constituye el sonido queempleamos, a veces, para entonar la escala. La onda sonora asociada condicha nota es, un poco menos de 1 metro de longitud.

Ejemplo 4. El Do3 tiene una frecuencia de 261.6 Hercios (Hz). Como la ve-locidad del sonido, en condiciones normales, es de 243 m/s, se puede obtenerla longitud de onda de esta nota14 dividiendo, 243/261.6 = 0.928899 metros.

Lo importante no es sólo la unidad sino que la forma de escalar esa unidadsea apropiada a los intervalos a medir. Cómo las dos formas de medir ondassonoras son inversas, las formas de escalarlas se corresponden inversamente.

En música se usa como intervalo básico la octava que es el intervalo quesepara dos sonidos cuyas frecuencias fundamentales tienen una relación de2:1. El La4 de 880 Hz está una octava por encima respecto a La3 de 440 Hz.

La octava suele dividirse en subintervalos de sonidos que dan notas fácil-mente reconocibles. En cada octava, se dan 7 notas que no están igualmenteespaciadas. Los intervalos son Do—Re—Mi-Fa—Sol—La—Si-Do.

Se llama tono al intervalo grande y semitono al chico hay en total 6 tonos enuna octava. También 12 semitonos que se distinguen en la escala cromática.

13Recibe este nombre porque se encuentra aproximadamente en la mitad del teclado.14Por convención, desde principios del siglo XX esta nota suena a una frecuencia de

261.625565 hercios. Es uno de los tonos más agudos del rango vocal del bajo y uno de lostonos más graves que puede emitir un tenor.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 19 de 35

Atrás


Cerrar

Como la separación de una octava es (el múltiplo) 2. Dos notas consecutivas

separadas por un tono se diferencian en un factor de 21/6 = 1.12246 . Así,el tono siguiente tiene una frecuencia 1.12246 mas grande que el anterior.

Sus longitudes de onda están relacionadas inversamente. El tono siguientetiene una longitud de onda 1/1.12246 mas chica que el anterior15.

Ejemplo 5. El Do central del piano, Do3, tiene una frecuencia de 261.6Hz. Por tanto, la nota que le sigue el Re3 tiene una frecuencia 1.12246 másgrande. O sea, 261.6*1.12246 = 293.636 Hz.

Ejemplo 6. El Mi3 como está dos tonos por encima del Do3, tiene unafrecuencia 21/6 ∗21/6 = 1.12246∗1.12246 = 1.25992 más grande.O sea, 261.6*1.25992 = 329.595 Hz.

Ejemplo 7. El F a3 como está dos tonos y medio por encima del Do3, tieneuna frecuencia 21/6 ∗21/6 ∗21/12 = 1.33484 más grande.O sea, 261.6*1.33484 = 349.194 Hz.

Podemos pensar la escala musical como una progresión geométrica de fre-cuencias de base 2 si vamos de octava en octava16. O de base 21/6 = 1.12246si vamos de tono en tono. O de base 21/12 = 1.05946, de semitono en

15Así, la escala de tonos de cualquier instrumento va de sonidos graves a agudos siguiendouna progresión geométrica de base 21/6 en frecuencias ( 1

21/6 en longitudes de onda).16En la afinación del piano, se aumentan los intervalos según se separan del Do central.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 20 de 35

Atrás


Cerrar

semitono. Una escala que aumenta en frecuencias y disminuye en longitudesde onda.

Así, la escala musical del piano de 88 teclas abarca un poco más de 7 octavas.Mientras que el registro básico de la flauta traversa es de tres octavas.

5.2. Rango audible. Sabemos que la escala audible para el ser humano va de 20hercios (Hz) a 20 000 herzios = 20 kHz. Como la relación es un factor de1000 y 210 = 1024. Este rango equivale a casi diez octavas completas.

Ejemplo 8. El número de octavas entre dos frecuencias puede calcularsemediante el uso de logaritmos en base 2. Así, por ejemplo, el número exactode octavas que abarca el espectro audible es de

log220000

20= 9.965 octavas

No obstante, este margen varía según cada persona y se reduce con la edad17.Frecuencias más graves de hasta 4 ciclos por segundo son perceptibles através del tacto, cuando la amplitud del sonido genera una presión suficiente.

Fuera del espectro audible. Por encima estarían los ultrasonidos, ondas acús-ticas de frecuencias superiores a los 20 kHz. Por debajo, los infrasonidos,ondas acústicas inferiores a los 20 Hz.

17Se llama presbiacusia a la pérdida de audición con la edad.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 21 de 35

Atrás


Cerrar

El espectro audible podemos subdividirlo en función de los tonos:

• Tonos graves (frecuencias bajas, correspondientes a las 4 primerasoctavas, esto es, desde los 16 Hz a los 256 Hz).

• Tonos medios (frecuencias medias, correspondientes a las octavasquinta, sexta y séptima, esto es, de 256 Hz a 2048 Hz (w 2 kHz).

• Tonos agudos (frecuencias altas, correspondientes a las tres últimasoctavas, esto es, de 2 kHz hasta poco más de 16 kHz).

Para clasificar voces para el uso coral, se distinguen cuatro grupos princi-pales, cuya tesitura es menor que dos octavas:

Soprano De do4 a do6.Contralto De mi3 a mi5.

Tenor De do3 a do5.Bajo De mi2 a mi4.

Ejemplo 9. La frecuencia del Do3 es 261.6 Hz. Por tanto, el Do5 tiene unafrecuencia dos octavas más grande . O sea, 261.6∗22 = 1046.4 Hz.

Inversamente, su longitud de onda es 4 veces mas chica. Así, el intervalo dela voz de tenor va desde 0.928899 m hasta 243/1046.4 = 0.23 m.

El tono natural de un tenor debe ser el do4, en el medio, con frecuencia261.6∗2 = 523.2 Hz y que equivale a 0.46445 m de longitud de onda.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 22 de 35

Atrás


Cerrar

5.3. Ondas electromagnéticas. También hay ondas electromagnéticas, produci-das por la oscilación de un campo electromagnético. Las empleadas en laemisión de señales televisivas son casi de un metro de longitud.

Las ondas de esta longitud suelen llamarse «ondas de radio», porque al prin-cipio se emplearon para la transmisión de señales de radio.

Como en el caso de la ondas de sonido, la frecuencia (f) y la longitud (λ) deuna onda electromagnética son cantidades inversas. Ya que la velocidad dela luz, c = 299792458m/s, es constante y se tiene λ= c/ f .

Además, la energía que posee una onda es directamente proporcional a sufrecuencia, E = h ∗ f , donde h es la constante Plank. Por tanto, a mayorfrecuencia (menor longitud de onda) más energética es la onda18.

Las ondas electromagnéticas de alta frecuencia tienen una longitud de ondacorta y mucha energía mientras que las ondas de baja frecuencia tienengrandes longitudes de onda y poca energía.

Por lo general, las radiaciones electromagnéticas se clasifican en 7 tipos,basándose en su longitud la onda19. Ondas de radio, microondas, infrarrojos,luz visible, ultravioleta, rayos X y rayos gamma.

18Las de menor longitud de onda, los rayos gamma pueden ser mortales.19Como las ondas sonoras, de menor a mayor frecuencia. O de menor a mayor energía.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 23 de 35

Atrás


Cerrar

Aunque, formalmente el espectro electromagnético es infinito y continuo. Secree que el límite mínimo para una longitud de onda es la longitud de Planckmientras que el límite máximo sería el tamaño del Universo.

Existen frecuencias de 30 Hz y menores que son relevantes en el estudio deciertas nebulosas. Por otro lado, se conocen frecuencias cercanas a 2.9∗1027

Hz, que han sido detectadas provenientes de fuentes astrofísicas.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 24 de 35

Atrás


Cerrar

Al igual que las ondas de sonido, la radiación electromagnética puede di-vidirse en octavas. De hecho la luz visible cubre casi una octava20.

color violeta azul verde amarillo naranja rojo

nanómetros 380-450 450-495 495-570 570-590 590-620 620-750

Ejemplo 10. La frecuencia media de la luz visible (λ= 570 nm) es f = cλ=

299792458/(570∗10−9) = 525.952∗1012 w 526 THz (Terahercios).

Otras longitudes de onda que separan colores son respectivamente 666.2THz, 605.6 THz, 508.1 THz y 483.5 THz.

20De los 380 nanómetros hasta los 750 nm, ordenados de mayor a menor energía. Unespectrómetro de laboratorio común detecta de 2 a 2500 nm.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 25 de 35

Atrás


Cerrar

Ejemplo 11. Los rayos gamma llegan hasta los 10 pm = 10∗10−12 m de lon-gitud de onda. El mínimo de frecuencia que tienen es f = c

λ = 299792458/10−11 =0.299792458∗1020 w 30∗1018H z = 30 EHz (Exahercios).

Ejemplo 12. Los rayos X llegan hasta los 10 nm = 10∗10−9 m de longitud deonda. Luego el mínimo de frecuencia que tienen es f = c

λ= 299792458/10−8 =

29.9792458∗1015 w 30∗1015H z = 30 PHz (Petahercios).

Ejemplo 13. Los rayos ultravioleta llegan hasta los 380 nm = 380∗10−9 mde longitud de onda. Luego el mínimo de frecuencia que tienen es f = c

λ=

299792458/(38 ∗ 10−8) = 7889275.2 ∗ 108 = 788.927 ∗ 1012H z w 789 THz(Terahercios).

Ejemplo 14. La luz visible llega hasta los 780 nm = 780 ∗ 10−12 m delongitud de onda. Luego el mínimo de frecuencia que tiene es f = c

λ =299792458/(78∗10−11) = 3843493.05∗1011 = 384.349∗1012H z w 384 THz.

Ejemplo 15. El infrarrojo llega hasta 1 mm = 10−3 m de longitud de onda.Luego el mínimo de frecuencia que tiene es f = c

λ = 299792458/10−3 =299.792458∗109H z w 300 GHz (Gigahercios).

Ejemplo 16. La radiación de microondas llega hasta 30 cm = 0.3 m delongitud de onda. Luego el mínimo de frecuencia que tiene es f = c

λ=

299792458/0.3 = 0.999308193∗109H z w 1 GHz.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 26 de 35

Atrás


Cerrar

Ejemplo 17. La onda larga de radio llega hasta 10 km = 104 m de longitudde onda. Luego el mínimo de frecuencia que tienen es f = c

λ = 299792458/104 =29979.2458H z w 30 kHz (kilohercios).

5.4. Medidas de almacenamiento digital. El almacenamiento de informacióndigital se mide en bits que puede tomar 2 valores, 0 y 1. Un grupo de 8bits constituye un byte . El byte es la unidad más común de medición de lainformación y toma 28 = 256 valores21.

Hasta hace pocos años la arquitectura de los ordenadores era 16 bits, poste-riormente de 32 bits y en la actualidad de 64 bits. Eso quiere decir que losregistros del procesador aritmético tienen esos tamaños.

Ese es el tamaño de palabra del ordenador. Los ordenadores pueden almace-nar en una palabra respectivamente hasta 216 = 65536, o 232 = 4294967296,o 264 = 18446744073709551616 números diferentes según su arquitectura.

Un ordenador tiene implementada por hardware la aritmética hasta el tamañode palabra. Eso quiere decir que es rapidísima la suma, resta, multiplicacióny división de números menores que el tamaño de palabra. Actualmente 264.

Volvamos al almacenamiento. Un dispositivo digital, como un disco duro,puede almacenar información en forma de una sucesión de ceros y unos.

21En base 2, en enteros sin signo, toma los valores desde 0 hasta 255=28-1.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 27 de 35

Atrás


Cerrar

Una sucesión de 4 bits, llamada nibble, puede almacenar 24 = 16 númerosdiferentes, normalmente designados por dígitos hexadecimales22.

Una sucesión de 8 bits, llamada Byte, puede almacenar 28 = 256 númerosdiferentes, puede denotar un carácter alfanumérico en código ASCII23.

Una sucesión de 16 bits, llamada wyde, puede almacenar 216 = 65536 númerosdiferentes, puede denotar un carácter alfanumérico en código Unicode24.

Una sucesión de 32 bits, llamada tetrabyte o tetra, puede almacenar 232

números diferentes.

Una sucesión de 64 bits, llamada octabyte u octa, puede almacenar 264

números diferentes.

Podemos usar los prefijos SI para denotar otras medidas de almacenamiento.Por ej., 1 kilobyte = 1000 Bytes almacena hasta 28000 números diferentes.

1 Megabyte = 106 Bytes almacena hasta 28000000 números diferentes.

Sucesivamente, 1 Gigabyte = 109 Bytes, 1 Terabyte = 1012 Bytes, 1 Petabyte= 1015 Bytes, 1 Exabyte = 1018 Bytes, 1 Zettabyte = 1021 Bytes, 1 Yottabyte= 1024 Bytes.

22En base 16, son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.23Así se codifican los caracteres alfanuméricos del teclado de un ordenador.24Así se codifican todos los caracteres de prácticamente todas las lenguas del mundo.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 28 de 35

Atrás


Cerrar

Como 210 = 1024 es casi 100 = 103. A veces se le dice kilobyte pero serecomienda decir kibibyte para designar 210 Bytes = 8192 bits.

Mebibyte a 220 Bytes. Gibibyte a 230 Bytes. Tebibyte a 240 Bytes. Pebibyte a250 Bytes. Exbibyte a 260 Bytes. Zebibyte a 270 Bytes. Yobibyte a 280 Bytes.

Ejemplo 18. Como 220 = 1048576, se tiene que 1 Mebibyte = 8∗220 bits =8388608 bits y puede almacenar hasta 28388608 números diferentes25.

Ejemplo 19. Como 230 = 1073741824, se tiene que 1 Gibibyte = 8∗230 =8589934592 bits y puede almacenar hasta 28589934592 números diferentes26.

Ejemplo 20. Como 240 = 1099511627776, se tiene que 1 Tebibyte = 8∗240

= 8796093022208 bits y puede almacenar 28796093022208 números27.

Ejemplo 21. Como 250 = 1125899906842624, se tiene que 1 Pebibyte = 8∗250 = 9007199254740992 bits y puede almacenar 29007199254740992 números28.

Ejemplo 22. Como 260 = 1152921504606846976, se tiene que 1 Exbibyte =8∗260 = 9223372036854775808 bits y puede almacenar 29223372036854775808

números29.25Esto es menos que la capacidad de los antiguos disquetes llamados de 1.44 megas.26Un DVD de una sóla capa tiene hasta 4.7 Gibibytes de capacidad.27Parece que la memoria humana puede tener hasta 1.25 Tebibytes de capacidad.284 Pebibytes es el máximo de memoria que puede direccionar el procesador AMD64.2916 Exbibytes es el máximo de memoria direccionable en arquitecturas de 64 bits.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 29 de 35

Atrás


Cerrar

6. EJERCICIOS.

Ejercicio 1. Sabiendo que las rocas sedimentarias conglomerado, arenisca,limolita, lutita y esquisto se diferencian en el tamaño del grano de sedi-mento del cuál se formaron (grava, arena, limo y arcilla) ¿ Esa clasificaciónnumérica sigue una escala de magnitudes decimal o binaria ? ¿ Cuántasmagnitudes u octavas separan cada uno de los límites de esa clasificación ?

Ejercicio 2. Hace 600 millones de años empezó el Cámbrico y a partir deentonces se datan los primeros fósiles. Escribe esa distancia en megaaños ygigaaños. También, el número de años en notación científica.

Ejercicio 3. La distancia media Luna-Tierra es de 380 000 km. Escribe esadistancia en metros, megámetros y gigámetros. ¿ En qué unidad tiene sólodos cifras esa distancia ?

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 30 de 35

Atrás


Cerrar

Ejercicio 4. La distancia media Sol-Tierra es de 150 millones de kilómetros.Escribe esa distancia en metros, megámetros, gigámetros y terámetros. ¿ Enqué unidad tiene sólo dos cifras esa distancia ?

Ejercicio 5. Júpiter se halla a una distancia media del Sol de unos 778millones de kilómetros. Escribe esa distancia en gigámetros y terámetros. ¿Es mayor que un terámetro esa distancia ?.

Ejercicio 6. La distancia Plutón-Sol es 5 900 millones de km. Escribe esadistancia en gigámetros y terámetros. ¿ Cuál de las dos es la unidad másadecuada ?. Escribe la distancia en metros en notación científica.

Ejercicio 7. Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. Equiv-ale aproximadamente a 9 460 730 000 000 km. Escribe esa distancia enterámetros, petámetros y exámetros. ¿ Es mayor que 1 exámetro ?

Ejercicio 8. El Sistema Solar se encuentra en el Brazo de Orión de la VíaLáctea, a unos 28 000 años luz del centro de la galaxia. Escribe esa distan-cia en exámetros y en zettametros. ¿ Es mayor que 1 zettametro ?

Ejercicio 9. La luz de 700 nanómetros de longitud de onda presenta unnítido color rojo; a los 610, naranja; a los 575, amarillo; a los 525, verde;a los 470, azul, y a los 415, violeta. Escribe los 6 colores en metros y ennotación científica.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 31 de 35

Atrás


Cerrar

Ejercicio 10. Los átomos más pequeños tienen, más o menos, 100 picómet-ros de longitud. Sabiendo que 1 Ängstrom (Ä) = 10−10 m. ¿ Cuántos Ä midenlos átomos más pequeños ?.

Ejercicio 11. Los núcleos atómicos más grandes tienen un diámetro aprox-imadamente de 630 femtómetros. Escribe esa cantidad en metros y en no-tación científica. ¿ Cuántos attómetros son ?.

Ejercicio 12. Respectivamenente. ¿ Cuáles son los tonos naturales (medios)de un bajo, tenor, contralto y soprano ?

Ejercicio 13. El infrarrojo cercano va de 780 nm hasta 2.5 µm. Aprox-imadamente, ¿ Cuántas octavas comprende ese intervalo de longitudes deonda? ¿ Y el infrarrojo medio que va de 2.5 µm a 50 µm ?

Ejercicio 14. La onda corta de radio va de 10 a 180 metros. Aproximada-mente, ¿ Cuántas octavas comprende ese intervalo de longitudes de onda?¿ Y la onda media que va de 180 a 650 metros ?

Ejercicio 15. El límite violeta/azul está en la longitud de onda, λ1 = 450nm.El azul/verde, λ2 = 495nm. El verde/amarillo, λ3 = 570nm. El amar-illo/naranja, λ4 = 590nm y el naranja/rojo, λ5 = 620nm. Calcula sus fre-cuencias. ¿ Siguen aproximadamente una progresión aritmética o geométrica?

Ejercicio 16. ¿ Cuántas octavas comprende el intervalo entre 1 kibibyte y 1Mebibyte ? ¿ Es un número exacto ? ¿ Y entre 1 kilobyte y 1 Megabyte ?

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 32 de 35

Atrás


Cerrar

Ejercicio 17. ¿ Cuántas octavas comprende el intervalo entre 1 Mebibyte y1 Gibibyte ? ¿ Es un número exacto ? ¿ Y entre 1 Megabyte y 1 Gigabyte ?

Ejercicio 18. Aproximadamente, ¿ Cuántas octavas comprende el inter-valo entre 2305 (capacidad de información del universo observable) y 10100

(número llamado Googol) ?

7. TEST DE REPASO.

Para comenzar el cuestionario pulsa el botón de inicio.Cuando termines pulsa el botón de finalizar.Para marcar una respuesta coloca el ratón en la letra correspondiente y pulsael botón de la izquierda (del ratón).

1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) 1 000 Pm equivalen a 1 Tm.(b) 100 Pm equivalen a 1 Tm.(c) 1 000 Tm equivalen a 1 Pm.(d) 0.1 Tm equivalen a 1 Pm.

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 33 de 35

Atrás


Cerrar

(a) 0.001 Pm equivalen a 1 Em.(b) 1 Pm equivale a 1E-15 m.(c) 1 000 Pm equivalen a 1 Em.(d) 0.001 nm equivalen a 1 fm.

3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) 1 Em equivale a 1E15 m.(b) 1 Em equivale a 1E18 m.(c) 1 Em equivale a 0.1 Zm.(d) 1 Em equivale a 0.01 Zm.

4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) 1 000 pm equivalen a 1 µm.(b) 100 pm equivalen a 1 nm.(c) 1 000 pm equivalen a 1 nm.(d) 1 000 pm equivalen a 1 fm.

5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) 0.001 nm equivalen a 1 pm.(b) 0.01 nm equivalen a 1 pm.(c) 0.001 nm equivalen a 1 fm.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 34 de 35

Atrás


Cerrar

(d) 1 000 nm equivalen a 1 fm.

6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) 1 Megabyte = 106 Bytes almacena hasta 21000000 números diferentes.(b) 1 Megabyte = 106 Bytes almacena hasta 28000000 números diferentes.(c) 1 Megabyte = 106 bits.(d) 1 Megabyte = 8∗106 Bytes.

7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) 1 Mebibyte = 220 bits.(b) 1 Mebibyte = 8∗220 Bytes.(c) 1 Mebibyte = 220 Bytes.(d) 1 Mebibyte = 1 Megabyte.

8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) 1 Ä (Ängstrom) equivale a 1E-10 cm.(b) 1 Ä equivale a 1E-10 m.(c) 1 Ä equivale a 10 picómetros.(d) 1 Ä equivale a 0.1 pm.

http://www.ugr.es/







Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 35 de 35

Atrás


Cerrar

9. En notación científica un número de años se escribe 0.6E9. Sabiendo queun año tiene 31536000 segundos. Entonces:(a) El número dado es mayor que un 1 Gigaaño.(b) Es menor que un 1 Megaaño.(c) Es menor que un 1 Petasegundo.(d) Es menor que un 1 Exasegundo.

10. La luna tarda 27 1/3 días en realizar una vuelta completa en el firmamentorespecto de las estrellas. Entonces:(a) La luna tarda más de 1 gigasegundo en su vuelta.(b) La luna tarda menos de 1 megasegundo en su vuelta.(c) La luna tarda un poco menos de 2.4∗109 segundos en su vuelta.(d) La luna tarda un poco más de 2.4∗109 segundos en su vuelta.

http://www.ugr.es/





ÓRDENES DE MAGNITUD. SISTEMA …eaznar/matgeo/apuntes/magnitudes.pdf · Da pasos pequeños en el...

Documents

Transcript of ÓRDENES DE MAGNITUD. SISTEMA …eaznar/matgeo/apuntes/magnitudes.pdf · Da pasos pequeños en el...