7/26/2019 Orden en El Conjunto de Los Nmeros Reales

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Orden en el conjunto de los nmeros reales

a) Representacin de los nmeros reales

Es posible establecer una correspondencia entre los nmeros reales y lospuntos de una recta (recta numrica) de la siguiente manera.

Dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de sta para representar el

cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). Luegodividimos toda la recta en segmentos ue tengan la misma longitud ue el

segmento de cero a uno, para as! representar los nmeros enteros, los nmeros1, ", #, $, ... (en este orden) a la derecha del cero y los nmeros %1, %", %#, ...

(en este orden) a la i&uierda del cero.Los restantes nmeros reales se representan en esta recta, usando su e'pansin

decimal tal como se muestra en el eemplo ue sigue.

Ejemplo:

*epresente en la recta numrica los nmeros y

Solucin:

y

+sando estos resultados, podemos representar en la recta numrica y dela siguiente manera.

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Definicin

En una recta numrica el punto ue representa el cero recibe el nombre

deorigen.

Definicin

1. Los nmeros reales ue se representan a la derecha del origen se

llaman nmeros reales positivos.

". Los nmeros reales ue se representan a la i&uierda del origen se

llaman nmeros reales negativos.

b) La relacin "menor que" en el conjunto de los nmeros reales.

En el conunto de los nmeros reales se deine una relacin, llamada -menorue-, de la siguiente manera.

Definicin

ean . e dice ue es menor ue , y se escribe , si es

un nmero negativo.

Ejemplo

a.) pues y es negativo

b.)pues y es negativo

c.)pues y es negativo

d.)pues y es negativo

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De la deinicin de la relacin -menor ue- se tiene ue todo nmero negativo

es menor ue cero.

c) La relacin "maor que" en el conjunto de los nmeros reales.

Definicin

ean , se dice ue es mayor ue , y se escribe , si es

un nmero positivo.

Ejemplo

a.)pues y es positivo

b.)pues y es positivo

c.)pues y es positivo

d.)pues y es positivo

De la deinicin de la relacin -mayor ue- se tiene ue todo nmero positivo

es mayor ue cero.

d) !lunas propiedades de la relacin "menor que"

1.i entonces se cumple una y solo una de las siguientes

condiciones/

".

ean . i y entonces

#.ean . i y entonces

$.ean . i y entonces

.ean . i y entonces

.ean . i y entonces

2.ea . i entonces

3.ean . i entonces

4.ean . i entonces

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10.

ean . i entonces

11.ean . i entonces

1".ean . i entonces

Obser#acin:

1. i en cada una de las propiedades anteriores se sustituye el s!mbolo - -

por el s!mbolo - -5 las propiedades ue se obtienen son ciertas (ycorresponden a la relacin -mayor ue-)

". i y son nmeros reales/ decir ue - es menor ue - eseuivalente a decir ue - es mayor ue -. imblicamente se escribe/

i ,

Ejemplo

a.)

es euivalente a

b.)es euivalente a

c.)

es euivalente a

$otacin:ean . La e'presin - o - usualmente se

escribe . La e'presin - - se lee a es menor o igual ue b.

Obser#acin:sean . 6ara ue - - sea verdadera basta con ue secumpla una de las siguientes condiciones/

1.

".

Ejemplo

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a.)es verdadera pues

b.)es verdadera pues

c.)

es alsa pues no se cumple ni

$otacin:ean . La e'presin - o - usualmente se

escribe .

La e'presin - - se lee a es mayor o igual ue b.

Obser#acin: sean . 6ara ue - - sea verdadera basta con ue se

cumpla una de las siguientes condiciones/

1.

".

Ejemplo

a.)es verdadera pues

b.)es alsa pues no se cumple ue ni

c.)s verdadera pues