UNIDAD IUNIDAD INociones preliminares

1.1 Números reales 1.1.1 Conjunto de números reales y la recta númerica 1.1.2 Intervalos y su clasificación 1.1.3 Desigualdades y su solución1.2 Funciones 1.2.1 Dominio y rango de una función 1.2.2 Gráficas de funciones 1.2.3 Operaciones con funciones 1.2.4 Composición de funciones

PreliminaresPreliminares

Sistema de números reales

Desigualdades

El sistema de los números realesEl sistema de los números reales

El cálculo se basa en el sistema de los números reales y sus propiedades.

Números naturales: 1, 2, 3, 4, ................... (N) Números enteros: ..-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...... (Z)

Números reales Números racionales: 3/4, -5/7,

m/n, ........... (Q)

Números irracionales: 3, 7, a, , e, .........

Números complejos: a + bi; i= -1

N Z Q R

Propiedades de campoPropiedades de campo Ley conmutativa: x+y=y+x; xy=yx 2+3 = 3+2; (2)(3)=(3)(2) 5 = 5 ; 6 = 6

Ley asociativa: x+(y+z)=(x+y)+z; (xy)z=x(yz) 2 + (3 + 5) = (2+3)+5; (2*3)5=2(3*5) 2 + 8 = 5 + 5 6 * 5 =2 *15 10 = 10 30 = 30

Ley distributiva: x(y+z) = xy + xz 2(3 + 5) = 2*3 + 2*5 2 * 8 = 6 + 10 16 = 16

Elementos neutros: x+0= x x(1) = x 2 + 0 = 2 2 * 1 = 2

Inversos: x+(-x)=0 x(x-1)= 1 2 + (-2)=0 2 (2-1)= 2(1/2)= 1

Propiedades del ordenPropiedades del orden

Tricotomía:

x < y o x = y o x > y 2 < 5 o 2 = 5 O 2 > 5

Transitividad:

x<y y y<z => x < z 2 < 5 y 5 < 9 => 2 <

9

Aditiva: x<y x+z < y+z

2 < 5 2 + 3 < 5 + 3

5 < 8 Multiplicativa:

z > 0 => x < y xz < yz

8 > 0 => 2 < 5 2*8 < 5*8

16 < 40

z < 0 => x < y xz > yz

-8 < 0 => 2 < 5 2(-8) > 5(-8)

-16 > -40

Simplifique todo lo que sea posibleSimplifique todo lo que sea posible

1) 4-3(8-12)-6 =

2) 2(3-2(4-8)) =

3) -4[3(-6+13)-2(5-9)]=

4) 5[-1(7+12-16)+4]+2 =

5) 5/6 – (1/4+2/3) =

6) ¾-(7/12 – 2/9) =

7) 1/3[1/2(1/4-1/3)+1/6] =

8. -1/3[2/5-1/2(1/3-1/5)] =

9. (5/7+2/9)/(1+1/2) =

10. [1/2-3/4+7/8]/[1/2+3/4-7/8] =

11. 1 - 2/2+3/4 =

12. 2 + 3/1+5/2 =

13. (√2 + √ 3)(√ 2 - √ 3) =

14. (√ 2 + √ 3)2 =

15. 3 √ 2 (√ 2 - √ 8) =

Ejercicios resueltosEjercicios resueltos

1) 4-3(8-12)-6 = 1° se resuelve el paréntesis 4-3(-4)-6 = El resultado (-4) se multiplica por -

3 4+12-6 = Se suman todos los positivos y los

negativos 16-6 = 103) -4[3(-6+13)-2(5-9)]= 1° se resuelve color verde -4[3(7)-2(-4)]= Se multiplica el paréntesis con su literal -4[21+8]= Se resuelve color lila -4[29]= -116 Se multiplica

5) 5/6 – (1/4+2/3) = Paréntesis ¿? a/b+c/d=(ad+cb)/bd 5/6 – (1)(3)+(2)(4)/(4)(3) = Simplificar 5/6– 3+8/12 = 5/6–11/12 Igualar denominadores (mcm)

5/6 – 11/12 = (5/6)(2/2) – 11/12 2/2=1, x*1=x 10/12 – 11/12 = – 1/12 Mismo denominador (12),

numeradores se suman.

7) 1/3[1/2(1/4-1/3)+1/6] =

1/3[1/2(1(3)-1(4)/4(3))+1/6] =

1/3[1/2(3-4/12)+1/6] =

1/3[1/2(-1/12)+1/6] = 1/3[-1/24+1/6] = 1/3[-1/24+(1/6)(4/4)] = 1/3[-1/24+4/24] =

1/3[3/24] = 3/72 = 1/24

9) (5/7+2/9)/(1+1/2) =

(5(9)+ 2(7)/7(9))/(2/2+1/2) =

(45+14/63)/(3/2) = (59/63)/(3/2) = a/b/c/d= ad / bc

(59)(2)/(63)(3)= 118/189

11) 1 - 2/(2 + 3/4) =

1 - 2/(8/4 + 3/4) =

1 - 2/1/(11/4) =

1 – 2(4)/ 1(11) = 11/11 – 8/11= 3/11

13) (√ 2 + √ 3)(√ 2 - √ 3) = (a+b)(a-b)=a2-b2 (√ 2)2 – (√ 3)2 = 2-3 = -1

15) 3 √ 2 (√ 2 - √ 8) = 3 √ 2 (√ 2 - √(4*2)) = 3 √ 2 (√ 2 - √ 4* √ 2) = 3 √ 2 (√ 2 (1- √ 4)) = 3 √ 2 (√ 2 (1- 2)) = 3 √ 2 (√ 2 (-1)) = 3 √ 2 (- √ 2 ) = -3 √ 2 √ 2 = -3 √(2*2) = -3 √ 4 = -3(2) = -6

Realice las operaciones indicadas y simplifiqueRealice las operaciones indicadas y simplifique

a) (2x-3)(2x+3)= b) (2x-3)2=

c) (-3t2-t+1)2= d) (2t-1)3=

e) (x2-4) / (x-2)= f) (x2-x-6)/ (x-3)=

g) (x3-8) / (2x-4) = h) (2x-2x2) / (x3-2x2+x)=

a) (2x-3)(2x+3)= (2x)2-(3)2= 4x2-9

b) (a+b)2 = a2+2ab+b2 (2x-3)2 = (2x)2+2(2x)(-3)+(-3)2

=4x2-12x+9

(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (3t2-t+1)2 = (3t2)2+(-t)2+(1)2+2(3t2)(-t)+2(3t2)(1)+2(-t)(1) = 9t4 + t2 + 1 - 6t3 + 6t2 - 2t = 9t4 - 6t3 + 7t2 - 2t + 1

d) (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(2t-1)3= (2t)3 + 3(2t)2(-1) + 3(2t)(-1)2 + (-1)3

= 8t3 - 3(4t2) + 3(2t)(1) -1

= 8t3 - 12t2 + 6t –1

e) (x2-4)/(x-2)= Factorizar el numerador. Buscar dos # que

(a)(b) den –4 y (a)+(b) den 0. (x2+0x-4)

(x-2)(x+2)/(x-2)= Como (x-2) se encuentra en el numerador

y en el denominador, se cancela.

x+2

f) (x2-1x-6)/(x-3)= (a)(b)= -6 Y (a)+(b)= -1

(x+2)(x-3)/(x-3)= (-3)(2)= -6 Y (-3)+(2)= -1

x+2

DesigualdadesDesigualdades

Una expresión algebraica con cualquiera de estos símbolos (<, >, >, <) es una Desigualdad.

Ejemplo: 5x2-4x+7 < 2x+3 4x-3 > 7x+5

Al resolver una desigualdad se encuentra un conjunto con aquellos números reales que la hacen verdadera. Al conjunto solución se le llama intervalo.

Tipos de intervalosTipos de intervalosNombre Notación de conjuntos Gráfica Notación de intervalos

Abierto {x: a < x < b} a x b (a,b)

Cerrado {x: a < x < b} a x b [a,b]

Semiabierto:

Por la izquierda {x: a < x < b} a x b (a,b]

Por la derecha {x: a < x < b} a x b [a,b)

Infinito:

{x: x < b} x b (- ,b]

{x: x < b} x b (- ,b)

{x: x > a} a x [a, )

{x: x > a} a x (a, )

Resolver la desigualdad 2x-7 > 4x-2Se siguen los mismos pasos que al resolver una igualdad.

2x-7 > 4x-2 Los términos con variable se pasan a un lado y

los términos con constante se pasan al otro.

2x-4x > -2+7

-2x > 5 Se despeja el –2 que está multiplicando

con x y pasa a dividir con 5.

x < 5/-2 Como el número (-2) es negativo, la

desigualdad se cambia.

x < -5/2

-5/2

(- , -5/2)

-5 < 2x+6 < 4 Debemos dejar a x sola. Despejamos a 6 y 2

-5 -6 < 2x < 4 -6

-11 < 2x < -2-11/2 < x < -2/2

-11/2 < x < -1

-11/2 -1

[-11/2, -1)

x2-x < 6 Se pasa todo a un lado.

x2-1x -6 < 0 Se factoriza. (-3)(2)=-6, (-3)+(2)=-1

(x-3)(x+2) < 0 < indica que el resultado es negativo.

(x-3) < 0 (x-3) > 0

x < +3 x > +3

(x+2) > 0 (x+2) < 0

x > -2 x < -2

-2 3 -2 3

(-2,3) No tiene solución, no se cruzan

Tarea: Tarea: Exprese el Conjunto soluciónExprese el Conjunto solución

1. 4x-7 < 3x+52. 7x-1 < 10x+43. 2x+16 < x+254. 6x-10 > 5x-165. 10x+1 > 8x+56. 3x+5 > 7x+177. -6<2x+3<-18. -3<4x-9<119. -2<1-5x<310. 4<5-3x<7

1. 2+3x<5x+1<162. 2x-4<6-7x <3x+63. (x+5)/(2x-1)4. (2x-3)/(x+1)

5. 1/x < 5

6. 7/2x < 3

7. 1/(3x-2)<4

8. 3/x+5 > 29. (x+2)(2x-1)(3x+7)>010. (2x+3)(3x-1)(x-2)<0

Valor absolutoValor absoluto

Es la distancia que existe del origen (cero) a cualquier otro punto, ya sea hacia la izquierda o derecha. No existen distancias negativas; se designa mediante |x| y se define como:

Ejemplo:|5| = 5 |-5| = +5 |-25x|=25x |-a|=a |b|=b |-4x2|= 4x2

Propiedades del valor absoluto

I.|ab|=|a|*|b| III. |a+b|< |a|+|b| |(2)(-3)|=|2|*|-3|=2*3=6 |-3+2|< |-3|+|2|

II.|a/b|=|a|/|b| IV. |a-b| > ||a| - |b|| |-4/2|=|-4|/|2|= 4/2 =2 |2-3|> ||2|-|3||

Resuelva la desigualdad. |3x-5| > 1

lo que está dentro del valor absoluto, puede ser

positivo o negativo

+(3x-5) > 1 -(3x-5) > 1

3x > 1+5 3x-5 < 1/-1

3x > 6 3x < -1+5

x > 6/3 x < 4/3

x > 2

Tarea:Tarea: Encuentre el conjunto solución de Encuentre el conjunto solución de la desigualdadla desigualdad

1. |x+1| < 4

2. |x-2| <5

3. |3x+4| <8

4. |5x/3 –2| < 6

5. |3x/5 +1| < 4

6. |2x-7| < 3

7. |2x-7| > 3

8. |5x-6| > 1

9. |4x+2| > 10

10. |x/2 +7| > 2

11. |2+5/x| > 1

12. |1/x -3| > 6

|x+1| < 4

x+1 < 4 x+1 > -4

x < 4-1 x > -4-1

x < 3 x > -5

3 -5

(- ,3) (-5,+ )

|5x/3 –2| < 6 5x/3 –2< 6 5x/3 –2 >-6 5x/3 < 6+2 5x/3 >-6+2 5x/3 < 8 5x/3 > -4

5x < 8*3 5x > -4*3

5x < 24 5x > -12

x < 24/5 x > -12/5

24/5 -12/5

(- ,24/5] [-12/5,+ )

|4x+2| > 10

4x+2 > 10 4x+2 < -10

4x > 10-2 4x < -10-2

4x > 8 4x < -12

x > 8/4 x < -12/4

x > 2 x < -3

2 -3

(- ,-3] [2,+ )

Aunque el cálculo fue descubierto a Aunque el cálculo fue descubierto a fines del siglo XVII, sus fundamentos fines del siglo XVII, sus fundamentos permanecieron en estado de confusión y permanecieron en estado de confusión y desorden hasta que Cauchy y sus desorden hasta que Cauchy y sus contemporáneos impusieron normas de contemporáneos impusieron normas de rigor. Debemos a Cauchy la idea de rigor. Debemos a Cauchy la idea de basar el cálculo en una clara definición basar el cálculo en una clara definición del concepto de límite.del concepto de límite.

Tarea: Biografía de Cauchy

Funciones y límitesFunciones y límites

Una función (f) es una regla de correspondencia entre dos conjuntos, tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde solo un elemento del segundo conjunto.

A B A B

Función RelaciónABCDE

12345

A

BCDE

12345

Conjunto: agrupación de cosas, elementos u objetos con características en común.

Dominio: conjunto en el cual se encuentra la variable independiente

Rango: Conjunto en el cual se encuentra la variable dependiente.

Variable independiente: tiene valor por si misma

Variable dependiente: para existir depende del valor de la variable independiente.

Para denotar una función se usa una letra (f, g, F, etc). =>

F(x) se lee f de x ó f en x

F(x) designa el valor que f le asigna a x.

Si F(x) = x3- 4 =>

F(2)= (2)3- 4 = 8-4 = 4

F(-1)= (-1)3- 4 = -1-4 =-5

F(a)= (a)3- 4 = a3- 4

F(a+h)= (a+h)3-4

= a3+3a2h+3ah2+h3-4

Si F(x) = x2- 2x =>

F(4)= (4)2- 2(4) = 16-8 = 8

F(4+h)= (4+h)2- 2(4+h)

= 16+8h+h2-(8+h)

= 16+8h+h2-8-h

= h2+7h+8

F(4+h)-F(4) = h2+7h+8 – 8

= h2+7hF(4+h)-F(4)/h = (h2+7h)/h

= h(h+7)/ h

= h+7

G(x) = 1/x

G(a) = 1/a

G(a+h) = 1/(a+h)

G(a+h)-G(a) = 1/(a+h) - 1/a

[G(a+h)-G(a)]/h = [1/(a+h) - 1/a]/h

= [1(a)-(1)(a+h)/(a+h)(a)]/h

= [a-a-h/(a+h)(a)]/h

= [-h/(a+h)(a)] / h/1

= (-h)(1) / (a+h)(a)(h)

= -h / (a2+ah)h = -1 / (a2+ah)

Para f(x) = x2-1,

encuentre:

a) f(1) =

b) f(k) =

c) f(-2) =

d) f(-6) =

e) f(0) =

f) f(1/2) =

g) f(2t) =

h) f(3x) =

i) f(1/x) =

Para F(x) = 3x3+x,

encuentre:

a) F(-6) =

b) F(1/2) =

c) F(3.2) =

d) F(3) =

e) F() =

f) F(1/x ) =

g) F(x) =

h) F(2x) =

Para G(y) = 1/ y-1

encuentre:

a) G(0) =

b) G(2y) =

c) G(0.999) =

d) G(1.01) =

e) G(-x) =

f) G(a) =

g) G(2t) =

h) G(-y) =

Operaciones con Operaciones con funcionesfunciones

I.(f+g)(x) = f(x) + g(x)

II.(f-g)(x) = f(x)-g(x)

III.(f*g)(x) = f(x)*g(x)

IV.(f / g)(x) = f(x) / g(x)

V.(fg)(x) = f(g(x))

Ejemplo: Si f(x) = x2 y g(x) = x+1

(f+g)(x) = f(x) + g(x) = x2 + x+1(f-g)(x) = f(x)-g(x) = x2 – (x+1)

= x2 – x - 1

III.(f*g)(x) = f(x)*g(x)= (x2)(x+1)

= x3 + x2

IV.(f / g)(x) = f(x) / g(x) = (x2)/(x+1)

V.(fg)(x) = f(g(x))= f(x+1) = (x+1)2

Clasificación parcial Clasificación parcial de funcionesde funciones

Función constante: f(x) = k; Función identidad: f(x) = x; Función lineal: f(x) = ax + bFunción cuadrática: f(x) = ax2 + bx + cFunción cúbica: f(x)=ax3+bx2+cx+dFunción polinomial: f(x)=axn+...+ax+aFunción racional: f(x)= (axn+...+a)/(axn+.+a)Función valor absoluto: f(x)=| axn+..+ax+a |Función exponencial: f(x) = ex

Función logaritmica: f(x) = log x

Graficas de algunas funcionesGraficas de algunas funciones

Para f(x)= x/x-1 y g(x)= (1+x2), encuentra cada valor si es posible:

a)(f+g)(2)=

b)(f*g)(0)

c)(g/f)(3)=

d)(f g)(0)=

e)(g f)(8)=

f)(g f)(0)=

Para f(x)= x2+x y g(x)=2/x+3, encuentra cada valor si es posible:

a)(f-g)(2)=

b)(f/g)(1)

c)g2(3)=

d)(f g)(1)=

e)(g f)(1)=

f)(g g)(3)=

Para f(x)= x3+2 y g(x)=2/x-1, encuentra cada valor si es posible:

a)(f/g)(x)

b)(f g)(x)=

c)(f+g)(x)=

d)(g f)(x)=

Si f(x)= (x2-1) y g(x)= 2/x, encuentra las fórmulas

a)(f/g)(x)

b)(f g)(x)=

c)(f+g)(x)=

d)(g f)(x)=

e)(f-g)(x)=

f)(f*g)(x)=

Introducción a los límitesIntroducción a los límites

Estamos listos para una nueva idea importante, la noción de límite. Es ésta idea la que distingue el cálculo de otras ramas de las matemáticas. De hecho, podríamos definir el cálculo como un estudio de los límites.

NociónNoción intuitiva intuitivaConsidere la función determinada por la fórmula F(x)= (x3-1)/(x-1).

Comencemos analizando la gráfica de la función; tabulemos:

x -1 -½ 0 1 2 f(-1)= ((-1)3-1)/((-1)-1)=(-1-1)/(-1-1)= -2/-2 = +1y +1 0.75 1 7 f(½) = ((-½)3-1)/((-½)-1)=(-1/8 –8/8)/(-½-2/2)= -9/8/- 3/2=+0.75

f(1)= ((1)3-1)/((1)-1)=(1-1)/(1-1)= 0/0 = IndeterminadoGraficando lo tabulado:

¿Qué pasa de 0 a 2?

Tabulemos mas dentro de ese intervalo, sin tocar el uno.

x 0.5 0.7 0.9 0.999 1.001 1.5 1.7

y 1.75 2.19 2.71 2.997 3.003 4.75 5.59

La grafica tiene una rompimiento en el punto (1,3); no existe ahí. Pero, tratando de analizar la gráfica, podemos pensar que cuando x=1, su imagen (y)=3.

Podemos concluir que el límite de f(x)= (x3-1)/(x-1) = 3;

Pero, en ésta forma es erroneo. Necesitamos aplicar el límite, en el punto donde la función no existe.

Lim f(x)= lim (x3-1)/(x-1)x -> 1 x -> 1

=lim (x2+x+1)(x-1)/(x-1) x -> 1

=lim (x2+x+1) = 12+1+1 x -> 1

= 3

Significado intuitivo de límite

Def.: Decir que lim f(x)=L significa que cuando x está cerca, pero difiere de c, f(x) está cerca de L.

=> Decir que lim f(x)=3, significa que cuando x está cerca de uno, pero no es uno, f(x) está cerca de 3, pero no es 3.

0

1

2

3

4

5

6

7

-2.0

000

-1.0

000

-0.5

000

0.00

00

0.50

00

0.70

00

0.90

00

0.99

90

0.99

99

1.00

00

1.00

10

1.50

00

1.70

00

1.90

00

Ejemplos:Ejemplos:

Encuentre:Lim(4x-5)=4(3)-5 = 12-5 = 7 x3

Lim(x2-x-6)/(x-3)=[(32-3-6)]/(3-3) x3 =[(9-9)]/(3-3)

= 0 / 0 = Como nos dió infinito el resultado, no se debe resolver así. Debemos factorizar el numerador.

Lim(x2-x-6)/(x-3)=lim (x+2)(x-3)/(x-3) x3 x3

= lim (x+2) = 3+2 = 5 x3

Cuando x se acerca a 3, f(x) se acerca a 5.Lim (x-1)/((x-1))=(1-1)/((1-1)) x1

= 0/0 = 0/0 = Para resolver esta función, necesitamos conocer las propiedades de la raíz.

Propiedades de la raíz.

(a*b) = a * b a/b = a / b (a+b) a + b a-b a - b a* a = (a*a) = a2 = a

Lim (x-1)/((x-1))= x1

Lim ((x-1)) ((x-1))/((x-1))= x1

Lim ((x-1)) = (1-1) = 0 = 0 x1