REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÓN COL - CABIMASINGENIERÍA DE SISTEMAS

 

MÉTODOS DE KUHN-TUCKER

Y LAGRANGE

ÁNGEL DAVID PIRELA

C.I.18.482.438

Albert William Tucker (28 de

noviembre de 1905 – 25 de enero de 1995)

Fue un matemático estadounidense nacido en

Canadá que realizó importantes contribuciones a

la Topología, Teoría de juegos y a

la Programación no lineal.

BIOGRAFIA DEL METODO DE KUHN-TUCKER

En programación matemática, las condiciones de Karush-

Kuhn-Tucker (también conocidas como las condiciones KKT o

Kuhn-Tucker) son condiciones necesarias y suficientes para

que la solución de un problema de programación matemática

séa óptima. Es una generalización del método de

los Multiplicadores de Lagrange.

DEFINICION DEL METODO DE KUHN-TUCKER

 

 Las condiciones de Kuhn-Tucker para el problema 

 máximo x f (x) en g j (x) ≤ c j para j = 1, ..., m 

 se 

 L i '(x) 

 = 0 para i = 1 ,..., n 

 0 λ ≥ j, j g (x) y c ≤ λ j j [j g (x) - c j] 

 = 0 para j = 1, ..., m, 

 donde 

 L (x) = f (x) - Σ j = 1 λ m j (j g (x) - c j). 

DEFINICION DEL METODO DE KUHN-TUCKER

APLICACIÓN DEL METODO DE KUHN-TUCKER

Básicamente el procedimiento consiste en resolver

el problema no lineal como uno sin restricciones, luego

si la solución óptima de dicho problema no cumple la

totalidad o parte de las restricciones del problema se

activan dichas restricciones (en conjunto y/o

secuencialmente) y se resuelve nuevamente.

EJEMPLO Encuentre los valores mínimo y máximo de la

Función f(x1, x2) = 3−x1−x2 sujeta a las

Restricciones 0≤x1, 0≤ x2 y 2x1 + x2≤ 2.

Solución:

Primero cambiemos las restricciones a la forma

gi ≤0:

0 ≤ x 1→ g1 = − x1 ≤ 0

0≤x2→g2=−x2≤0

x1+x2≤2→g3=2x1+x2−2≤0

 Joseph Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe

Lodovico Lagrangia, también llamado Giuseppe Luigi

Lagrangia o Lagrange (25 de enero de 1736 en Turín - 10

de abril de 1813 en París) fue

un matemático, físico y astrónomo italiano que después

vivió en Rusia y Francia.

BIOGRAFIA DEL MÉTODO DE LAGRANGE

Lagrange trabajó para Federico II de Prusia,

en Berlín, durante veinte años. Lagrange

demostró el teorema del valor medio, desarrolló

la mecánica Lagrangiana y tuvo una importante

contribución en astronomía.

BIOGRAFIA DEL MÉTODO DE LAGRANGE

MÉTODO DE LAGRANGE

En los problemas de optimización, los multiplicadores

de Lagrange, nombrados así en honor a Joseph Louis

Lagrange, son un método para trabajar con funciones de

varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y está

sujeta a ciertas restricciones. como coeficientes.

Este método reduce el problema restringido en n variables

en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones

pueden ser resueltas. Este método introduce una nueva

variable escalar desconocida, el multiplicador de Lagrange,

para cada restricción y forma una combinación lineal

involucrando los multiplicadores.

MÉTODO DE LAGRANGE

Las dos areas mas importantes donde se aplica este metodo:

Economía: La optimización reprimida desempeña un papel

central en la economía.

APLICACIÓN DEL METODO DELARGRANGE

Por ejemplo, el problema selecto para un consumidor  se

representa como uno de maximizar una función de

utilidad  sujeta a una coacción de presupuesto .

El multiplicador Lagrange tiene una interpretación

económica como el precio de la oposición asociado con la

coacción, en este ejemplo la utilidad marginal de ingresos.

APLICACIÓN DEL METODO DELAGRANGE

Teoría de control:

En la teoría de control óptimo , los multiplicadores de Lagrange se

interpretan como constates  variables, y los multiplicadores de

Lagrange se formulan de nuevo como la minimización

del hamiltoniano , en el principio mínimo de Pontryagin.

APLICACIÓN DEL METODO DELAGRANGE

Supongamos que queremos encontrar la distribución probabilística discreta con máxima entropía. Entonces.

Podemos usar los multiplicadores de Lagrange para encontrar el punto de máxima entropía (dependiendo de las probabilidades). Para todo k desde 1 hasta n, necesitamos.

EJEMPLO 

lo que nos da:

EJEMPLO 

Derivando estas n ecuaciones, obtenemos

Esto muestra que todo pi es igual (debido a que depende solamente de λ). Usando la restricción ∑k pk = 1, encontramos.

Esta (la distribución uniforme discreta) es la distribución con la mayor entropía.

DIFERENCIA ENTRE METODO DE KUHN TUCKER Y LAGRANGE   

KUHN-TUCKER LAGRANGE

Idéntica puntos óptimos locales que cumplan condicionesde regularidad

Trabaja con funciones de varias variables

Trabaja con condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación matemática séa óptima.

Reduce el problema restringido en numero variables

consiste en resolver el problema no lineal como uno sin restricciones.

 forma una combinación lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes.