Optimización de una cartera de valores con los fundamentos de ...

Optimización de una cartera de valores

con los fundamentos de esperanza y

varianza matemática

Elke Korn

Ralf Korn1

Esta publicación es parte del libro del proyecto "Matemáticas y economía“, que esta subvencionada por la institución Bertelsmann.

Este proyecto ha sido desarrollado con ayuda parcial de la Unión Europea dentro del programa Sócrates. El contenido no refleja necesariamente la posición de la Unión Europea ni implica ninguna responsabilidad por parte de esta.

1 Universidad técnica de Kaiserslautern, Facultad de matemáticas, Matemáticas financieras.

MaMaEuSch

Management Mathematics for European Schools

http://www.mathematik.uni-kl.de/~mamaeusch/

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CAPÍTULO 4 : Optimización de una cartera de valores con los fundamentos de esperanza y varianza

Introducción general

Palabras claves de economía: - Acciones - Valores sin riesgo - Cartera de valores - Intereses y rentabilidad - El principio de esperanza-varianza - Diversificación

Palabras claves de las matemáticas escolares: - Cálculo de probabilidades: Esperanza y varianza - Búsqueda de soluciones óptimas (ver capítulo 1) - Cálculo de intereses - Potencias y potencias reales - El número e - Inecuaciones - Media aritmética - Vectores y matrices

Contenido - 4.1 Gestión de bienes y optimización de la cartera de valores - 4.2 Discusión: El problema de la cartera de valores de la compañía Windig - 4.3 Trasfondo: Concepto de acciones, conocimientos básicos e historia - 4.4 Conceptos matemáticos básicos: Cálculo de intereses - 4.5 Continuación de la discusión: Cotización de las acciones - 4.6 Conceptos matemáticos básicos: Azar, esperanza y varianza - 4.7 Continuación de la discusión: Equilibrio entre beneficio y riesgo - 4.8 Conceptos matemáticos básicos: Fundamentos de la esperanza y la varianza - 4.9 Continuación de la discusión: Menor riesgo, ¡por favor! – Optimización bajo nuevos

enfoques - 4.10 Resumen - 4.11 Optimización de una cartera de valores: Crítica de los fundamentos de la esperanza

y el valor esperado y actuales investigaciones - 4.12 Otros ejercicios

Guía para el capítulo 4.

El objetivo de este capítulo radica en el problema de la inversión óptima en valores basándose en los fundamentos de esperanza y varianza presentada por H. Markowitz. En particular debería

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desarrollarse un método gráfico de resolución (semejante al del capítulo 1) para problemas de inversión en el caso de dos o tres valores, que pueda utilizarse en la escuela. De esta manera puede introducirse el cálculo de probabilidades como modelo matemático para la aleatoriedad y la incertidumbre de futuros acontecimentos. Esto se lleva a cabo, dependiendo del conocimiento de los alumnos, mediante amplios trabajos, que serán tratados en este capítulo en secciones separadas. Así pues, en la sección 4.1 se presenta, mediante un ejemplo, el problema de la inversión óptima de bienes, conocido como Optimización de una cartera de valores. Los puntos importantes de la Optimización de una cartera de valores, se desarrollan en las secciones 4.2/5/7/9 mediante el problema de la cartera de valores de una compañía ficticia, dichos puntos importantes son el beneficio (modelado mediante la esperanza de la rentabilidad de la inversión) y el riesgo (modelado mediante la varianza de la rentabilidad de la inversión). Se presentan métodos de resolución gráfica del problema de la cartera de valores en el caso de dos o tres valores. Para poder comprender estas secciones, son necesarios conceptos económicos tales como rentabilidad, cartera de valores y acción (véase en la sección 4.3) y el conocimiento matemático del cálculo de intereses (véase en la sección 4.4) así como del cálculo de probabilidades (véase en la sección 4.6). Dependiendo de los conocimientos previos de los alumnos, las secciones 4.4 y 4.6 pueden suprimirse. Sin embargo la sección 4.6 puede utilizarse como una pequeña introducción al cálculo de probabilidades, en particular aquí se usa para una moderna aplicación de las “Matemáticas financieras“. En los capítulos 6 y 7 se continúa con esta introducción, y ahí es donde se utiliza la aplicación a las matemáticas financieras con la ayuda del cálculo de probabilidades. Dicha aplicación es importante porque, como es bien conocido, pocas cosas están tan fuertemente asociadas a los conceptos de, incertidumbre y aleatoriedad como la cotización de las acciones. En la sección 4.8 se presentan los conocimientos teóricos de los fundamentos de esperanza y varianza según Markowitz, en principio para el caso de la inversión en dos o tres valores y por último para el caso general, por los que H. Markovitz recibió en 1990 el premio Nobel de economía. Las primeras dos partes de este capítulo pueden ser tratados con aquellos alumnos que posean conocimientos del cálculo de probabilidades, y se trabajarán independientemente del resto de las secciones de este capítulo. En la última parte de esta sección se puede trabajar únicamente con alumnos que posean conocimientos avanzados y puede servir de información transversal. Otro aspecto importante de la sección 4.8 es el principio de diversificación, que sostiene la filosofía de invertir en diferentes bienes. En la sección 4.11 se facilitará un resumen de los actuales métodos matemáticos de la Optimización de la cartera de valores. Debido a que, tanto la introducción de la función de probabilidades de mas de una variable aleatoria, como los conceptos de correlación y covarianza necesitan mucho tiempo para ser tratados en la escuela, podemos introducir una versión más sencilla sobre los fundamentos de la varianza y la esperanza, donde exista la posibilidad de invertir en operaciones sin riesgos (dinero al contado, libreta de ahorros) y en alternativas de puro riesgo (p. ej. acciones, fondos de inversión). En la sección 4.6 se puede prescindir de las distribuciones conjuntas, de la covarianza y de la correlación, sin embargo, en la sección 4.8 no se puede presentar de manera completa el efecto de diversificación. Debido a que la Bolsa es un tema de actualidad, lo encontramos día a día en los medios de comunicación, por lo que en este capítulo y en el siguiente se ofrecen planteamientos de problemas procedentes de la televisión, internet y determinados periódicos y revistas.

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4.1 Gestión de bienes y optimización de una cartera de valores

Inversión inteligente de un capital – informe ficticio

La estudiante de diseño Katerina Schmalenberger* (*elegida arbitrariamente) ganó gracias a sus respuestas coherentes y a un poco de suerte un millón de euros en el concurso televisivo “¿Quién quiere ser millonario?“. La señorita Schmalenberger no quería tener ese dinero escondido bajo el colchón, primero porque no era seguro y segundo por que no le proporcionaría ningún tipo de interés. Tampoco quería ingresar ese dinero en la libreta de ahorros, ya que eso sólo le proporcionaría un 1 % de interés al año y eso era muy poco. Así que pidió consejo a su banco. Éste le aconsejó más de 20 valores distintos. Además se le propuso dejar durante un año el millón en una cuenta de depósito fijo con un interés del 4 %, mientras reflexionaba tranquilamente lo que quería hacer. A su hermano no le gustó la idea, ya que en ese momento las acciones estaban más baratas que nunca, ella debería invertir a toda costa, ya que los beneficios podían llegar a ser hasta de un 30 % en un año. Ese riesgo, de invertir en el inseguro mercado de acciones, a ella le parecía muy alto. Tan altas como eran las probabilidades de beneficios, como eran las de las pérdidas, de hasta un 30 %. Ella reflexionó sobre la posibilidad de invertir solo una parte de su dinero en acciones. Aunque no tenía claro, que cantidad debía dejar para este fin. Tras una detallada hojeada a la sección de economía de un periódico del día se dio cuenta de las numerosas y amplias posibilidades existentes de invertir en bolsa. Se ofertaban más de 1000 acciones y más de 50 valores, que regularmente ofrecían intereses, pero con estos el dinero estaría más años inmovilizado. Además de esto también existían más de 20 sociedades de inversión que, ofrecían distintos valores, eran relativamente seguras y con buenas oportunidades. Comenzó a tener claro que bajo ningún concepto elegiría un único modo de inversión. No se trataba simplemente de ver cómo invertir su fortuna, sino también de cómo distribuirla, es decir, cuánto comprar de cada valor. Debido a que los valores diariamente sufren variaciones, especialmente las acciones, se plantea la pregunta, ¿cuándo debía comprar las acciones? En el caso del dinero inmovilizado que invierta tiene que decidir, ¿cuanto tiempo está preparada a prescindir de esta cantidad de dinero?. Llegado a este punto parece claro que lo que básicamente tiene que decidir es, ¿qué es lo que ella quiere realmente y cuál de estos fondos de inversión le proporcionarían un mayor beneficio? Finalmente Katerina Schmalenberger se dio cuenta de que debía observar todo el mercado de valores, para descubrir una buena estrategia de inversión y para poder invertir de manera inteligente. En realidad ella quería simplemente estudiar diseño y no finanzas, así que estuvo reflexionando sobre la idea de dejar administrar su millón de euros mediante los criterios profesionales de su banco. Esta administración le costaría un 1,5 % de los bienes administrados. La señorita Schmalenberger hizo inmediatamente los cálculos y observó que en el primer año como mínimo debería pagar 1500 € por este servicio. Como hasta el momento ella había estado obligada a vivir modestamente, le vino automáticamente a la cabeza que era mucho dinero. ¿Merecía realmente la pena contratar este servicio?

Discusión 1:

- ¿Qué haría con una gran fortuna? - ¿Elabore un “plan de inversión“para su fortuna? - ¿Qué tiene más valor, azar y riesgo o seguridad? - ¿Cómo se pueden equilibrar las diferentes estrategias de inversión? ¿Existen medidas

adecuadas?

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Fondos, plan de ahorro de pensiones y la importancia de los modernos métodos matemáticos

Aún cuando no se posee un gran capital, se plantea la pregunta de cómo distribuir el dinero ahorrado en distintos planes de inversión o cómo dejar que le distribuyan su dinero. Por ejemplo, formar parte de un fondo. En un fondo, el capital de muchos inversores es administrado por profesionales mediante la denominada gestión de fondos. El comprador de una parte de un fondo le ofrece al inversor distintas maneras de invertir aún teniendo una aportación muy pequeña de capital. Los fondos de acciones, en los que el dinero se distribuye en distintas acciones tienen como principal objetivo, una buena evolución de sus valores, mientras que la mayoría de los fondos de ingresos fijos, se centran más en la seguridad. Los fondos de ingresos fijos se invierten, en lugar de en acciones, en valores a interés fijo, como p. ej. participaciones del estado o participaciones de una empresa. Pero también existen fondos de tipo mixto, en particular los denominados fondos de fondos (“fund of funds“), que se invierten de nuevo en fondos. El inversor decide un determinado fondo de acciones, y la sociedad de fondos elige todas las restantes posibilidades de inversión. Este servicio de decisión, de cómo, cuánto y cuándo se debe invertir, cuesta anualmente una tarifa porcentual, o existe también la variante de pagar al principio una determinada cantidad en relación al precio de compra del fondo. También cuando se realiza un plan de pensiones con la ayuda de un plan de ahorro de pensiones, otros se encargarán del trabajo (o la obligación) de distribuir el dinero. En los planes de ahorro de pensiones son muy importante los conceptos “a largo plazo“ y “seguridad“. Como norma general, también hay que añadir un tipo de seguro (por ejemplo un seguro de vida). Esto significa que la aseguradora de los planes de jubilación divide el dinero en primer lugar en valores a interés fijo o también en fondos y posiblemente en un seguro adecuado, de modo que invierte menos en acciones. En un fondo de acciones, la sociedad inversora, formada por todos los compradores, divide grandes cantidades de dinero bajo determinadas condiciones en distintas acciones. Así algunas sociedades de fondos compran sólo acciones europeas y de estas sólo las que en ese momento crecen con más fuerza; o sólo acciones asiáticas y de estas sólo las que en ese momento son más seguras. Tras esta suposición a menudo quedan sólo entre unas 30 ó 50 acciones restantes en las que se puede distribuir el capital. Debido a motivos de negocios y a diversos factores, como por ejemplo la seguridad, la rentabilidad deseada o la estructuración de fondos, la cartera de valores, y por tanto los bienes de inversión se distribuyen por gerentes especializados. Visto matemáticamente resulta un problema (en general no lineal) de más de una dimensión con restricciones (véase en el capítulo 1), por ejemplo del tipo

+ + +1 2 50maximizar beneficio beneficio beneficio…

bajo las

restricciones 50%.≥

invertir un capital con pequeñas fluctuaciones

participaciones en acciones

Determinación de la estrategia óptima de inversión: Optimización de una cartera de valores

La distribución de un capìtal en distintas opciones de inversión se denomina cartera de valores. La determinación de la estrategia óptima de inversión, es decir, la decisión de cuánta cantidad, de qué valores y hasta cuándo debe mantener esa cantidad invertida para maximizar los beneficios de su capital final X(T) en un periodo de planificación T, se tratan en la matemática financiera como la Optimización de una cartera de valores. En este problema de optimización observamos que, además de intervenir las cantidades y los criterios de elección usuales (“cuanta

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cantidad de que valores“), también interviene una dimensión temporal. Por lo tanto, continuamente se tendrán que ir tomando decisiones. Es decir se trata de los denominados problemas dinámicos de optimización. Sin embargo en este capítulo sólo se consideran modelos y problemas en los que se pueda prescindir de la componente temporal del problema de decisión, ya que se trabaja con modelos basados en un sólo periodo, donde sólo al principio del periodo de inversión se decide sobre la distribución del capital en distintos valores. Esta decisión no será revisada de nuevo antes de finalizar el periodo de inversión. Debido a que un estudio avanzado del problema anterior de una cartera de valores (así pues el problema de detectar la estrategia óptima de inversión) en toda su generalidad requiere métodos matemáticos muy complicados, como por ejemplo la teoría de distribución estocástica, nos centraremos esencialmente en la presentación de soluciones de problemas sencillos de cartera de valores y analizaremos sólo modelos de un único periodo según Markowitz.

4.2 Discusión: El problema de la cartera de valores de la compañía Windig

La compañía Windig* (*tomada arbitrariamente) situada en el Mar del Norte fabrica desde hace 10 años instalaciones de energía eólica en medio de un campo electromagnético y sus pruebas de huracanes con molinos eólicos han encontrado buenas salidas mediante el aislamiento en granjas adecuadas. Debido a que el éxito de esta empresa no cesa, y al eficiente grupo de trabajadores, el jefe decidió organizar un plan de pensiones interno para los 200 trabajadores de la empresa. Como este no conocía bien los planes de pensiones, trajo a su domicilio, por unos días, a un grupo de “Clever Consulting“. Una tarde tomando un delicioso café con nata, sin mirar por la ventana ya que llovía como de costumbre, Selina, Oliver, Sebastian y Nadine discutieron sobre sus experiencias vividas con el jefe.

Selina: Pues bien amigos, yo pienso que al jefe le gustaría invertir el dinero adicional de la renta en participaciones de la empresa Windig y en acciones de la Sociedad Anónima “Naturstromer”.

Oliver: ¡Bien, bien! Pues si los trabajadores poseen participaciones de la propia empresa, estos estarán más motivados para contribuir en el éxito de la empresa.

Nadine: No lo entiendo, ¿por qué quiere el jefe invertir ese dinero solamente en acciones? ¡La bolsa sube y baja, el valor de las acciones cambia continuamente y con ello sus salarios se verán en gran medida inseguros! Creo, que ese Riesgo es muy grande. ¿Por qué no invierte ese dinero en un valor a interés fijo?

Selina: Tienes razón. Pero párate a pensar en un valor a interés fijo cuyo interés nunca cambie. Hoy día existe siempre un 5 % de interés anual y en diez años este interés anual será aún del 5%, independientemente de la situación económica de ese momento. Así mismo si la economía crece y se producen grandes beneficios, el interés anual seguirá siendo del 5 %. Sin embargo las acciones se ajustan a la situación económica del momento y ofrecen grandes oportunidades.

Oliver: Las acciones son participaciones de empresas y se pueden comprar y vender en cada momento en la bolsa. Si la situación económica es buena y la sociedad anónima es una empresa estable y seria, como por ejemplo Naturstromer S.A., entonces podremos esperar que el valor de la acción y del dividendo, que distribuye la empresa correspondiente, suba fuertemente.

Nadine: De lo contrario, si las cotizaciones descienden aceleradamente en todo el mundo, generalmente perderá la acción considerablemente su valor.

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Sebastian: Ah sí, pero eso puede también pararse. Sin embargo la empresa Windig marcha muy bien y es un buen depósito de dinero. ¿Tiene alguien información reciente sobre la empresa Naturstromer S.A.?

Selina: Sí claro, yo he comprado algunas de sus últimas acciones. ¡Es una empresa extraordinaria y prometedora! ¡Muy consolidada con una directiva de primera clase y Josef Puccini es ahora el consejero de administración!

Oliver: ¿Qué es lo que realmente produce la empresa Naturstromer S.A? ¿Corriente eléctrica de centrales eólicas?

Selina: En absoluto, producen corriente eléctrica de centrales solares e hidráulicas y están asentadas en la región de los Alpes. Creo que es un complemento estupendo para las participaciones de la empresa Windig, productora de molinos eólicos.

Nadine: Selina, ¿tienes datos detallados, como por ejemplo la cotización actual de las acciones,...?

Tras estas observaciones sobre acciones, valores de interés fijo e intereses es el momento de hacer una pausa para introducir información básica sobre estos conceptos, para que podamos así seguir el curso de esta discusión.

Discusión 2:

- ¿Tiene sentido la manera de actuar del jefe? - ¿Cuál es un buen plan de pensiones? ¿Cómo se puede cuantificar “bien“? - ¿Debería el jefe añadir otros valores? ¡Y discutir sobre las ventajas e inconvenientes de

introducir un nuevo valor!

4.3 Trasfondo: Acciones – Conceptos básicos e historia

¿Qué es una acción?

Una Sociedad Anónima (S.A), al igual que una sociedad Limitada (S.L.) o una Sociedad Colectiva (S.C.) es un tipo de empresa. Una Sociedad Anónima se caracteriza, entre otras cosas, porque su capital básico está distribuido en muchas partes, las acciones. Existen acciones con valor nominal constante (p. ej. 1 € cada una) como también las denominadas acciones con valor no nominal, en las que el titular posee una cantidad fija en la empresa (p. ej. 1/1000000 del capital). En Alemania predominan las acciones con valores constantes. Sin embargo este valor nominal no juega ningún papel esencial para el valor real de la acción (su precio o su cotización). La cotización de las acciones resulta principalmente de la oferta y la demanda de su correspondiente acción en el mercado de acciones, la bolsa. La bolsa es por norma general el lugar de comercio para las acciones. Existen bolsas en Frankfurt, Stuttgart, Londres y Nueva York entre otras. Aunque no todas las acciones son tratadas en bolsa. Existen también pequeñas sociedades anónimas, cuyas acciones se pueden comprar y vender sólo en determinados lugares, como por ejemplo en cajas de ahorros locales. El mecanismo de la oferta y la demanda se determina en primer lugar mediante dos factores:

- mediante el nivel de su correspondiente dividendo por acción. Se trata de una estimación anual de los beneficios del titular de una acción de una parte de la empresa (como los “intereses de las acciones“). El dividendo oscilará según el rendimiento de la empresa pudiendo por lo tanto alcanzar valores muy bajos.

- mediante el (supuesto) potencial de la acción, para conseguir nuevos beneficios, lo que depende esencialmente de la situación económica de la empresa en el mercado.

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La palabra “acción“ viene de Holanda (su “país de origen“, véase en el repaso histórico) y se deriva de la palabra latina “actio“, que significa algo así como “derecho exigible“, y realmente una acción es algo parecido a un derecho sobre una parte de una Sociedad Anónima y de su correspondiente beneficio. Para más información se pueden dirigir a una documentación adecuada en el campo de la economía empresarial.

¿Por qué se necesitan las acciones?

Las acciones representan para las grandes empresas y empresarios una alternativa para la financiación externa (es decir, para los préstamos) en el mercado de capitales. La Sociedad Anónima obtiene capital mediante la venta de sus partes, de las acciones, conforme al nivel del precio de las acciones, que al contrario de los créditos no tienen que ser devueltos. Como compensación a este capital pagado, los accionistas reciben por una parte dividendos anuales así como el derecho al voto en decisiones importantes en asambleas anuales de todos los accionistas de la Sociedad Anónima. Pero este derecho al voto, debido a lo grande que son las Sociedades Anónimas, está limitado a grandes accionistas (es decir a los titulares de grandes paquetes de acciones o al titular de la totalidad de las acciones), cada uno de estos accionistas posee un voto por cada acción. Pues aunque sí es cierto que los “pequeños accionistas“ poseen derecho al voto, pero en general la totalidad de estos votos no es suficiente para implementar resoluciones. A menudo es conveniente la edición de nuevas acciones o la fundación de una nueva Sociedad Anónima (por ejemplo por un cambio en el personal de una sociedad, que se quiere ampliar) para financiar grandes proyectos, que necesitan una enorme suma de capital, como por ejemplo la construcción de la primera vía férrea, o la creación de la primera sociedad de ultramar, o como ejemplo de actualidad, la construcción del Canal de la Mancha.

¿Por qué se invierte en acciones?

Las acciones representan un enorme riesgo de inversión debido tanto a la incertidumbre de sus respectivos dividendos anuales, como a las oscilaciones de su cotización. Por lo tanto sólo se adquieren acciones cuando, por ejemplo, una estimación personal del futuro desarrollo de la empresa prometa altos dividendos y un fuerte beneficio de su cotización, que en su totalidad ofrezcan claramente un rendimiento superior al de una inversión sin riesgo, como por ejemplo el tener dinero en un depósito a plazo fijo. En efecto, los beneficios de invertir en acciones son en general mayores a largo plazo (considerando de unos 10 a 20 años) que los de invertir en fondos sin riesgo, a pesar de sus continuas bajadas y subidas en su cotización. (Véase en el dibujo 4.1, y en el dibujo 6.1).

0.00

1000.00

2000.00

3000.00

4000.00

5000.00

6000.00

7000.00

8000.00

01.10.91 30.09.93 30.09.95 29.09.97 29.09.99 28.09.01

DA

X (

bla

u)

Dibujo 4.1 Comparación del desarrollo del índice-DAX con un interés del 7% anual

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En general, se debe tener en cuenta – independientemente de cómo de buena sea la estimación de las ganancias de las acciones elegidas – que ninguna acción promete unas ganancias aseguradas, por lo tanto es posible perder una parte del dinero invertido. Así que se debe examinar cuidadosamente cada acción, si se quiere invertir inteligentemente.

Algunos datos importantes de la historia de las acciones:

- 1602: Fundación de la primera Sociedad Anónima del mundo, “La Compañía Holandesa de las Indias Orientales“, en Holanda para financiar una sociedad de mercado de ultramar.

- A finales del siglo 17: Aumento del mercado de acciones sobre todo en Inglaterra y Francia. - 1756: Comercialización de la primera acción alemana, la “Sociedad colonial de Prusia“, en

Berlín. - 1792: Fundación (provisional) de la bolsa de Nueva York, a partir del año 1863 denominada

“New York Stock Exchange“. - 1844: En Inglaterra podemos basar toda su transacción comercial en las Sociedades

Anónimas. - 1884: Se crea el primer índice de acción americano, el “Railroad Average“, que contiene las

acciones de la sociedad de ferrocarriles. - 1897: El índice de referencia de la bolsa alemana, Dow-Jones-Stock index, se calcula

diariamente en la bolsa. - 1929: Viernes negro (“caída de la bolsa“) el 25/10/1929 en la bolsa de Nueva York. - 1959: Edición de la primera acción alemana (PREUSSAG). - 1961: Edición de la segunda acción alemana (VW). - 1987: Lunes negro, el 19/10/1987, sorprendente caída en las bolsas internacionales. - 1988: Se publica el índice alemán (DAX) . - 1996: Las acciones de la Deutsche Telekom S.A entran en la bolsa. - 1997: Todo el comercio electrónico de Xetra es publicado en la bolsa alemana S.A. - 2000: El DAX alcanza el 7/3/2000 su estado histórico más alto con 8064 puntos.

Valores a interés fijo

Al contrario que en las acciones, en los valores a interés fijo ya se conoce su comportamiento. Por lo general se invierte una determinada cantidad de dinero para un periodo de tiempo fijado y luego se obtiene, en intervalos regulares, una parte de los intereses acordados. Al final de este periodo de tiempo se obtiene nuevamente todo el capital. Ejemplos de valores a interés fijo son los bonos del tesoro, los bonos a largo plazo, las obligaciones industriales y los bonos u obligaciones del estado. También pueden ser considerados como valores a interés fijo el dinero guardado en un banco o en una caja de ahorros. A menudo se comparan los conceptos de valores a interés fijo y de valores sin riesgos. Pero esto sólo tiene sentido, cuando hablamos, de que el pago de los intereses y la devolución del capital están fijados de antemano. Los “valores sin riesgos“ no implican seguridad absoluta, por ejemplo si se trata de empréstitos de una empresa muy débil o de los empréstitos de un país inestable y cargado de deudas, bajo determinadas circunstancias podrían desaparecer los pagos de intereses e incluso la devolución del capital. Los bonos a interés fijo que emiten los bancos son lo más parecido no tener riesgo, gracias a las estrictas reglas y al buen control de los bancos supervisores.

Discusión 3:

- ¿Cuáles son las Sociedades Anónimas más importantes que existen? - Intenten con la ayuda de los periódicos y de internet encontrar, ¿cuántas acciones han

desembolsado determinadas Sociedades anónimas?. ¿Calculen mediante la cotización actual en bolsa, cuanto dinero se debe invertir, para apoderarse de todas las acciones?. Discutan el significado de este valor.

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- Pueden obtener más información en Internet, en periódicos y en libros de texto sobre los conceptos de acciones, empréstitos, Obligaciones y Bonos

4.4 Fundamentos matemáticos : Cálculo de intereses

Intereses e intereses compuestos

El titular de un valor a interés fijo obtiene regularmente unos determinados intereses acordados, referidos a su capital. Consideremos el capital inicial K0 como una cantidad fija de dinero con unos intereses anuales de r %. Tras un año se obtendrá el siguiente capital final:

( )1

0 0 0;1 1100 100

r rK r K K K

= + ⋅ = ⋅ +

.

Si se calcula el capital en los siguientes años, entonces se tiene que tener en cuenta que los intereses se abonan anualmente en el banco, de manera que en el transcurso del tiempo estos intereses también suben. Estos son los intereses de los intereses y se denominan intereses compuestos. Intereses anuales: Un capital de K0, como cantidad inicial con un interés anual del r % que será invertido durante n años, da como resultado final con los intereses compuestos un capital de:

( ) 0; 1100

nr

K r n K

= ⋅ +

.

Además de este tipo de inversiones existen las de corto plazo. En las que existe la posibilidad de invertir una cantidad fija de dinero un mes o incluso algunos días. En este caso se observa que la tasa de interés es válida para todo un año, pero en inversiones a corto plazo la tasa es la correspondiente al periodo de tiempo de la inversión. Intereses de una inversión a corto plazo (“Intereses inferiores a un año“): Para un capital inicial K0, invertido m meses, m≤12, con un interés anual del r%, se obt iene un capi ta l f ina l de:

( ) 0; ,1 1100 12

r mK r m K

= ⋅ + ⋅

.

Para un capital inicial K0, invertido t días, t≤360, con un interés anual del r%, se obtiene un capital final de:

( ) 0; ,1 1100 360

r tK r t K

= ⋅ + ⋅

.

En la mayoría de los bancos un mes se considera como 30 días y un año como 360 días (de ahí los denominados intereses diarios). Además de la inversión y el ahorro de intereses, que actúan de alguna manera como recompensa por depositar un determinado capital en un banco, también existe una perspectiva opuesta. Como conclusión observamos que en un banco se puede tanto invertir dinero como pedir prestado. En este último caso se deben pagar al banco los denominados de intereses del crédito. En este caso, no es rentable para el prestamista, cuando después de transcurrir el

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tiempo del crédito no se le pagan ni los intereses ni su capital. Estos intereses son zanjados por el prestamista y al pasar un tiempo determinado estos intereses crecen a su vez. El efecto del interés compuesto aumenta considerablemente la deuda. Se obtienen las mismas fórmulas que para el caso de dinero en depósito a plazo fijo, así que realmente un crédito es lo mismo que dinero a plazo fijo, con la diferencia de que se está en el otro lado de la transacción. (→Ej.4.1, Ej.4.2)

Intereses contínuos

Cuando tenemos dinero en depósito a plazo fijo por ejemplo a tres meses, tras este periodo de tiempo no sólo recibimos nuevamente el capital sino también los intereses acumulados. En caso que los tipos de interés no hayan cambiado en este intervalo de tiempo, la suma total, es decir, el capital más los intereses, puede ser invertida de nuevo el mismo periodo de tiempo y con el mismo tipo de interés. De este modo tras un corto periodo de tiempo, el efecto de los intereses compuestos se incrementa. Intereses de una inversión a corto plazo repetida: Para un capital inicial K0, que se invierte repetidamente j-veces junto con sus intereses m meses, m≤12, con un interés anual del r%, se obtiene un capital final de:

( ) 0; , 1100 12

jr m

K r m j K

= ⋅ + ⋅

.

Para un capital inicial K0, que se invierte repetidamente j-veces junto con sus intereses t días, t≤360 (intereses diarios) ,con un interés anual del r%, se obtiene un capital final de:

( ) 0; , 1100 360

jr t

K r t j K

= ⋅ + ⋅

.

(→Ej.4.3) Examinemos ahora detalladamente un caso extremo: Un capital a corto plazo (día a día) se invierte 360-veces seguidas con un mismo tipo de interés. De un capital de 5000 €, que se invierte día a día con un interés anual del 4 % bajo las mismas condiciones, se obtiene tras un año 5204,04 € (redondeado):

( )360

4 14;360,360 5000 1 5204,042305

100 360K

= ⋅ + ⋅ =

.

Este capital final es claramente mayor que 5200 €, que es el capital que se obtiene cuando este dinero se invierte por un año con el mismo tipo de interés anual de 4 %. Las cantidades pagadas diariamente y el capital con sus intereses correspondientes nos conducen mediante el efecto de los intereses compuestos a un elevado capital final. Se podría dividir el tiempo en intervalos aun más finos, una hora, un minuto e incluso un segundo. Se observa, que el capital final se mueve hacia un valor límite (por lo tanto finalmente sólo cambiará un poco). Se dice entonces, que este capital tiene un interés contínuo. Un capital a interés contínuo de 5000 € con un tipo de interés del 4 % tras un año obtiene un capital final de 5204,05 € (redondeado):

( )4

11004 ;1 5000 5204,053871sK e

⋅= ⋅ = ,

donde e es la base del logaritmo natural. Esta clase de tipo de interés es frecuente en bancos, y se denomina tipo de interés contínuo. La fórmula anterior se cumple para cualquier espacio de tiempo t∈[0,∞), donde t se mide en años (p. ej. 1 1/2 años es t =1,5).

111

Tipo de interés contínuo: Un capital inicial K0, a un interés contínuo de r%, obtiene tras un tiempo t un capital final de:

( ) 0100;

s

s

rt

K r t K e⋅

= ⋅ .

Dibujo 4.2 Comparación entre tipos de interés contínuo, anual y semestral (r=0,2)

En un crédito se debe prestar una atención especial cuando el prestamista propone el tipo de interés, bien sea un interés contínuo, anual o trimestral. Por este motivo en general se fijará siempre en un crédito un tipo de interés adicional denominado tipo de interés efectivo. El tipo de interés efectivo es aquel tipo de interés, que tras hacer los cálculos de intereses anuales conduce a la misma cantidad de dinero que con el tipo de interés ofertado (refiriéndose siempre a un año completo). Por ejemplo, dados los intereses de un determinado interés anual de un r% se propone un capital trimestral, y se obtiene así un tipo de interés efectivo reff % determinado por la ecuación

( ) ( );3 ,4 ;1effK r m K r= ,

esto se compara con

14

0 0

31 1

100 12 100

effrrK K

⋅ + ⋅ = ⋅ +

,

y se obtiene así

4

31 1 100

100 12eff

rr

= + ⋅ − ⋅

.

El tipo de interés efectivo traiciona, por así decirlo, a los verdaderos costes de un crédito.

Cálculo del tipo de interés efectivo en el caso de interés contínuo: Sea una cantidad de dinero con un interés contínuo del rs%, se obtiene así el siguiente tipo de interés efectivo reff % :

112

1

100 1 100s

eff

r

r e⋅

= − ⋅

.

Discusión 4:

- Busquen información en internet, en periódicos o en bancos sobre los intereses a depósito fijo actuales y compárelos.

- Busquen información en las diferentes cajas de ahorros de la construcción sobre los distintos intereses de crédito. Intenten determinar el tipo de interés efectivo.

Ejercicios

Ej.4.1 Una cantidad de dinero de K € se invierte durante n años con un interés anual del r %. Calculen el capital final respecto a estos intereses anuales con intereses compuestos.

a) K = 2000, n = 5, r = 5 d) K = 10 000, n = 20, r = 1,5 b) K = 1500, n = 10, r = 5 e) K = 500, n = 6, r = 12 c) K = 3000, n = 2, r = 3,75 f ) K = 180 000, n = 9, r = 6,75

Ej.4.2 Una cantidad de dinero de K € se invierte durante n meses con un interés anual del r%. Calculen el capital final.


Ej.4.3 Se invierte una cantidad de dinero durante un mes y luego con estos mismos intereses se vuelve a invertir en las mismas condiciones. Esta técnica de volver a invertir repetidas veces una tras otra será usada de forma que esta cantidad de dinero se invierta en total n meses. Calculen el capital final con respeto a unos intereses anuales del r %.


Ej.4.4 Se quieren invertir 3000 € durante un año y se tiene la posibilidad de elegir entre unos intereses anuales del 5 % y un tipo de interés contínuo del 4,9 %. ¿Qué tipo de interés conviene?

Ej.4.5 Para un crédito superior a K € se ha acordado un tipo de interés contínuo del r %. El tiempo de vida del crédito será de n meses. Antes de finalizar este periodo de tiempo debe pagarse el préstamo con sus intereses. Calculen la cantidad reembolsada. (Indicación: n = 60 de donde resulta t = 5.)


Ej.4.6 Comparen los resultados obtenidos en los ejercicios Ej.4.1, Ej.4.2, Ej.4.3 y Ej.4.5 siempre que sea posible.

Ej.4.7 Para un crédito determinado se acordó un cálculo trimestral de intereses con un tipo de interés anual del r%. Calculen el tipo de interés efectivo si;

a) r = 5 d) r = 1,5 b) r = 4,2 e) r = 12 c) r = 3,75 f ) r = 6,75

113

Ej.4.8 Calculen para el tipo de interés contínuo del r % el interés efectivo. a) r = 8 d) r = 7,5 b) r = 0,9 e) r = 6,75 c) r = 3,75 f ) r = 12

Ej.4.9 Determinen una fórmula para el cálculo del tipo de interés efectivo en un pago mensual de intereses.

4.5 Continuación de la discusión: Cotización de las acciones

Cuando se trata de valores y acciones, Selina está en su salsa e informa con entusiasmo sobre todos los posibles detalles. Es sorprendente cuantas pequeñeces es capaz de recordar sobre este tema. Sin embargo olvida por completo ofrecer azúcar y nata para el té amargo y fuerte que se encuentra ante ellos.

Selina: Esta mañana se abrió la acción Naturstromer en Frankfurt con 47,30 €, ese valor es realmente bajo. Cuando vi que estaban en Stuttgart a las 10 h en 48,10 €, pensé que debería vender mis propias acciones para obtener los beneficios, durante 5 minutos estuvieron en el mercado Xetra en 47,80 € ,.... eh, pero el café sabe fuerte.

Nadine: No es eso exactamente lo que me interesa saber en estos momentos...

Selina: De acuerdo. Aquí en mi periódico tengo un esquema sobre la cotización de las acciones en los últimos tres meses. Se muestra la evolución del precio de la acción día a día:

Dibujo 4.3 (ficticio) La cotización de la acción Naturstromer S.A.

Oliver: Qué barbaridad, en Agosto bajo rápidamente el valor de la acción, ¡el 20 de agosto estaba por debajo de 40 € !

Selina: Y ni siquiera un mes después, el 16 de septiembre, estaba por encima de 45 €. Desde el cambio en el consejo de administración de la S.A. la acción está mucho más solicitada.

Nadine: Sí, según la tendencia parece subir. ¿Tienes alguna otra información de esta acción, a parte de su evolución? ¿Tienes quizás el penúltimo dividendo pagado y la rentabilidad del dividendo o algo similar?

114

Selina: Tanto el dividendo como la rentabilidad del dividendo son indicadores inapropiados para esta acción. En la última asamblea celebrada en agosto quedó mas o menos decidido, que no se repartiera nada a los accionistas. Pero no porque esta compañía fuera mal, sino porque todo el beneficio debía invertirse de nuevo. Las posibilidades de crecer son muy altas en estos momentos, por lo tanto merece la pena ampliar de nuevo la compañía. Según mi periódico, el mejor indicador para aquel que invierta en esta acción un capital inicial de K0 se compara con el capital que se obtiene tras invertir este dinero un año:

0

0

K

K

−=capital tras un año

rentabilidad

Durante tres años esta acción tuvo una rentabilidad anual del 7.8 %, durante dos años del 8.2 % y el último año del 8 %. ¡Tiene muy buenos tipos de interés! Mucho mayor que el tipo de interés tan bajo del 5 % de los depósitos a plazo fijo.

Oliver: Se podría pensar entonces, que va a continuar de la misma forma. Estimo que podemos esperar una rentabilidad del 8 % para esta acción.

Sebastian: Aunque la rentabilidad de esta acción no es nada segura. La cotización de esta acción y los pagos del dividendo oscilan mucho y dependen plenamente del azar.

Selina: Pero la acción Naturstromer S.A. es relativamente estable, al contrario que la acción de Microsaft S.A., ésta baja enormemente después de un mal día en la bolsa.

Sebastian: Claro, distintas acciones oscilan con distinta fuerza. ¿Tenemos en alguna parte, datos de cómo son estas oscilaciones?

Selina: En mi periódico dan la frecuencia y las intensas oscilaciones de la cotización durante un determinado periodo de tiempo con la medida de volatilidad. Aquí dice, que la acción Naturstromer S.A. en los últimos 250 días tenía una volatilidad del 20 %.

Sebastian: Ah sí, ¡la volatilidad! Un concepto más simple, esta volatilidad corresponde a la desviación típica de la rentabilidad anual. En efecto, con este valor se puede trabajar bien.

Oliver: Mira aquí, la acción de Microsaft S.A. tiene una volatilidad del 40 %, por lo tanto la cotización de esta acción oscila visiblemente mucho más que la de la Naturstromer S.A.. Sin embargo la Vögelchen Milch S.A. tiene una volatilidad del 10 %, por lo que la cotización de esta acción varia por norma general muy poco.

Selina: ¡Deberías olvidarte de esta acción! Con ella no obtendrás ningún beneficio. Además su dividendo es siempre tan bajo que sería casi lo mismo invertir el dinero a plazo fijo. Se dice que la rentabilidad anual es inferior al 5 %.

Por desgracia llegados a este punto se debe interrumpir esta discusión sobre las distintas acciones y sus posibilidades en el mercado. Ahora se debe hablar más sobre la casualidad o el azar, para que así se puedan entender los conceptos de esperanza y varianza. Y una vez repasados estos conocimientos, se puede continuar la discusión.

Discusión 5:

Para completar la discusión anterior se deben ver informes en los periódicos sobre las cotizaciones de las acciones comentarios en la televisión sobre la historia y el futuro de las acciones. Otros aspectos pueden ser: - ¿Qué puede influir en el valor de una acción (p.ej: seguridad, rentabilidad anterior, las

participaciones en una compañía, calidad de los dirigentes de la compañía, relación con otras acciones,...)?

115

- Infórmense en internet, en libros especializados y en periódicos sobre, cuántos términos existen para las acciones.

- Observen la cotización actual de las acciones a través de periódicos. Estimen los valores aproximados para la rentabilidad (¿mayores que los intereses a plazo fijo?) y volatilidad (en medidas de "pequeño“, "normal“, "muy grande“).

Ejercicios

Ej.4.10 Describan en las siguientes gráficas la cotización en estos 3 meses.

Dibujo 4.4 La cotización de la acción Siemens S.A. 2002 Dibujo 4.5 La cotización de la acción

RWE S.A 2002

Indicación: La volatilidad en 250 días de la acción de Siemens S.A. fue dada el 12.11.2002 con un 53,49 %, y la de la acción de RWE S.A. con un 28,9 %. Comparen con estos valores la cotización de cada una de ellas.

Ej.4.11 Intenten representar una cotización ficticio de la acción Vögelchen Milch S.A. que ya fue mencionada en la discusión. Observen, que la volatilidad y la rentabilidad esperada de esta acción son muy bajas.

4.6 Conceptos matemáticos básicos: Azar, esperanza y varianza

Sobre el azar

En la vida cotidiana hay pocas cosas que tengan tanto que ver con el concepto “azar“ como la cotización de las acciones. Nadie parece poder predecir sus valores futuros con exactitud, aunque a menudo sí su tendencia. Esto se puede comparar con un partido de fútbol entre dos equipos muy fuertes, donde se puede deducir que ganará el mejor de los dos, pero nunca se puede predecir con seguridad. Más tarde presentaremos el correspondiente modelo para la cotización de las acciones, en el que se puede tener una visión aproximada sobre la tendencia de su desarrollo futuro, aunque no se pueda predecir su cotización exacta, en la cual el precio de una acción se modela como el resultado de un experimento aleatorio. Para comenzar, consideramos como ejemplo clásico de un experimento aleatorio, la tirada de un dado. Sabemos con seguridad, que obtendremos como resultado uno de estos valores 1,2,3,4,5,6. En caso de un dado justo debe existir para cada uno de estos valores la misma probabilidad de ocurrir. Lo siguiente que nos podría interesar sería por ejemplo analizar el que salga un determinado valor del dado.

116

Para describir con exactitud este experimento se necesitan tres cosas:

- El conjunto Ω de todos los resultados posibles del experimento, en este caso Ω = 1,2,3,4,5,6.

- El conjunto de todos los sucesos posibles. En este caso es el conjunto potencia de Ω, es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de Ω, que denotamos como 2Ω =A | A⊆Ω. En el caso del ejemplo del dado tenemos que 2Ω =1,..., 6, 1,2,...,1,2,3,4,5,6.

- Las probabilidades P(A) de cada uno de los sucesos A⊆Ω , en particular en el caso de los sucesos elementales tenemos: P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6.

El conjunto Ω de todos los resultados posibles queda descrito mediante una observación de la realización del experimento. Un suceso A⊆Ω representa una clase de los resultados, p.ej. A=2,4,6 representa, el suceso “salir un número par“. Las probabilidades existentes al tirar el dado se obtienen de la siguiente forma: Como tenemos seis resultados posibles y cada uno de ellos tiene la misma probabilidad de salir, a cada resultado se le debe asignar una probabilidad de 1/6.

- Además nos interesa la consecuencia X(ω) del resultado ω∈Ω del experimento, en nuestro caso X(ω)=ω, es decir el número que sale en la tirada.

Podríamos imaginarnos un juego en el que no nos interesara un número concreto, sino un determinado conjunto. Por ejemplo, podríamos participar en una apuesta, en la que en caso de salir un número par ganaríamos 1 € y si saliese un número impar perderíamos 1 €, de esta forma tendríamos como posibles resultados el “par“ (i.e. 2, 4, 6) y el “impar“ (i.e. 1, 3, 5) respectivamente, cuya consecuencia sería “+1 €“ o “-1 €“. En este caso tendríamos

( )

1, en caso de 2,4,6

1, en caso de 1,3,5X

ωω

ω

+ ∈=

− ∈.

Definición: a) Un espacio de probabilidad (Ω, P) (finito) se compone de un conjunto no vacío Ω, del conjunto de sucesos, una medida de probabilidad P y una función P: 2Ω→[0,1], que a cada suceso A⊆Ω le asigna un número P(A)∈[0,1] y cumple que: (P1) ( ) 0P ∅ = y ( ) 1P Ω = . (P2) ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = + para A,B⊆Ω con A∩B= ∅. Los elementos ω∈Ω se denominan sucesos elementales. b) Una variable aleatoria (real) X de (el espacio de probabilidad finita) (Ω, P) es una aplicación X: Ω→IR. En la definición le hemos impuesto a la probabilidad unas condiciones, que son muy sencillas. Así que la probabilidad de un suceso elemental está siempre entre cero y uno; el suceso seguro (“que ocurra algo“) tiene probabilidad uno y el suceso imposible – el conjunto vacío – tiene probabilidad cero. (→Ej.4.12-15) Observación: Debido a que sólo vamos a considerar espacios de probabilidad finitos, hemos prescindido de la introducción del concepto de σ -Álgebra. Todas las consideraciones siguientes que se lleven a cabo, como por ejemplo la elección del conjunto potencia como σ -Álgebra, son correctas. La limitación de elegir un espacio de probabilidad finito nos permite tener una definición más simple de la medida de probabilidad, de manera que la (P2) sólo debe cumplir la propiedad aditividad.

Cálculo de probabilidades

De la definición se obtienen unas reglas simples de cálculo para la probabilidad:

117

Reglas de cálculo para las probabilidades: En un espacio de probabilidad finito se cumple:

a) Sea A ⊆ Ω: ( ) ( )A

P A Pω

ω∈

= ∑ ,

por lo tanto la probabilidad de un subconjunto de Ω se obtiene como suma la de las probabilidades de sus elementos.

b) Para A, B ⊆ Ω con A ∩ B = ∅ se cumple: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

c) Para A, B ⊆ Ω se cumple: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

d) Para A ⊆ Ω se cumple: P (Ω \ A)=1−P(A).

Observación: 1. Observamos que, debido a la regla de cálculo del apartado a) en los espacios de probabilidad finito, la medida de probabilidad queda unívocamente determinada por sus valores en los sucesos elementales. Por lo tanto, será suficiente dar estas probabilidades. 2. La demostración de la regla de cálculo anterior resulta directamente de la definición de medida de probabilidad. De esta forma se obtiene la regla a) mediante un uso inductivo de (P2). La regla b) se obtiene de (P2) y (P1) tomando A=A y B=Ω \ A. La regla c) es una consecuencia de la regla a). Utilizando la regla a) en el ejemplo del dado tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )3 1

2,4,6 2 4 66 2

P P P P= + + = = .

Esto significa que la probabilidad de que salga un número par al tirar el dado es 1/2. Calculamos la probabilidad de que salga un número impar al tirar el dado mediante la regla d):

( ) ( )1 1

\ 2,4,6 1 2,4,6 12 2

P PΩ = − = − = ,

por lo tanto la probabilidad de que salga un número impar al tirar el dado es también 1/2. (→Ej.4.16-17)

Variables aleatorias

Llama la atención que en el ejemplo del dado cada suceso posible tiene una probabilidad de ocurrir de 1/6. En la apuesta de ver si sale “par“ o “impar“en realidad sólo nos interesan dos valores, es decir la ganancia de 1 € o la pérdida de 1 €, así pues los valores +1 o −1. A partir de ahora estos dos posibles valores ya no ocurren con probabilidad 1/6. La probabilidad buscada se obtiene de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 2,4,62

P X P X Pω ω= = ∈Ω = = = ,

( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 1,3,52

P X P X Pω ω= − = ∈Ω = − = = ,

con estas igualdades se introduce de manera implícita la siguiente expresión

( ) ( ) 1:X k X k X kω ω −= = ∈Ω = = .

Así pues las probabilidades de que la variable aleatoria X tome esos valores se obtienen mediante las probabilidades de los sucesos elementales. O expresado de otra manera, hemos distribuido los posibles resultados de la variable aleatoria con sus respectivas probabilidades,

118

definiendo así una nueva medida de probabilidad, la función de probabilidad de la variable aleatoria X. Definición: Sea la variable aleatoria X, definida en un espacio de probabilidad finito (Ω, P) y que toma los valores x1,..., xk. Se dice que la siguiente medida de probabilidad

( ) ( ) ( ) ( ) , 1,2,...,X j j jP x P X x P X x j kω ω= = = ∈Ω = = ,

sobre los valores x1,..., xk define la función de probabilidad de X. Discusión 5: Llegados a este punto antes de introducir los conceptos de esperanza y varianza - puede discutirse, cómo se puede agrupar la información, que contiene la función de probabilidad de una variable aleatoria real X, en unos determinados conceptos . Otras posibles alternativas a la esperanza pueden ser por ejemplo, la mediana (valor medio de un rango de valores de X) o la moda (valor más probable de X).

Valores esperados

En general asignamos a las variables aleatorias aquellos valores, en los que tenemos un especial interés al llevar a cabo el experimento, como por ejemplo la ganancia o la pérdida de 1 € en la apuesta del dado de “par-impar“. Cuando jugamos con frecuencia a este juego de azar queremos saber si se trata de un juego con unas buenas expectativas de ganar o si por el contrario se trata de un juego de pérdidas. En este caso particular parecen equilibrarse las ganancias y las pérdidas, siempre que tratemos con un dado justo. Por lo tanto nos inclinamos a clasificar este juego como un juego de ganancias-pérdidas alrededor de cero. Más emocionantes son los juegos telefónicos que organizan diariamente la mayoría de los canales televisivos. ¿Merece realmente la pena, por ejemplo invertir cada día 1,90 € por una llamada telefónica en la que puedes ganar 500 € ? En este caso nuestra variable aleatoria sería X con valores X = -1,90 y X = 498,10. ¿Se puede clasificar esta variable aleatoria también del tipo ganancias-pérdidas? En general, una variable aleatoria queda unívocamente determinada mediante los datos de sus posibles valores y su correspondiente función de probabilidad. Cuando una variable aleatoria toma múltiples valores, nos interesa un comportamiento conjunto de sus valores. ¿Existe quizás un tipo de valor medio, en torno al cual se distribuyen los valores de la variable aleatoria? Podemos elegir por ejemplo la media aritmética, pero esta medida tiene sentido sólo en el caso en el que todos los valores posean la misma distribucion (por lo tanto todos los sucesos con igual probabilidad). Sin embargo, como podemos observar en la realización del experimento, unos sucesos son más probables que otros. Para compensar este cálculo se construye con las probabilidades de cada uno de los valores de la variable aleatoria una media con pesos, la esperanza: Definición: Sea X una variable aleatoria del espacio de probabilidad finito (Ω, P), que toma los valores x1, ..., xk. Ω tiene n elementos. Entonces el valor

( ) ( ) ( )1 1

n k

i i j j

i j

E X X P x pω ω= =

= =∑ ∑

se denomina esperanza de X, donde ( )j X jp P x= .

119

Observamos que se puede obtener la esperanza, bien como una media sobre los posibles valores xj de la variable aleatoria, teniendo como pesos la distribución de probabilidad de X, o bien como una media sobre los sucesos elementales de los valores X(ωi), teniendo como pesos las probabilidades originales de los sucesos elementales. En el juego de “par-impar“ obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1X XE X P X P X= − ⋅ = − + ⋅ = =

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 16 6 6 6 6 6 6

= − ⋅ + ⋅ + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ =

1 1

1 1 02 2

= − ⋅ + ⋅ =

Esto es exactamente, lo que habíamos supuesto. En el ejemplo clásico del dado llegamos a:

( )6

1

1 213,5

6 6i

E X i=

= ⋅ = =∑ .

Aunque este ejemplo sea muy simple, con él se pueden esclarecer muchas ideas:

- La esperanza no tiene porqué ser alguno de los posibles resultados (¡al tirar el dado nunca podría salir 3,5!) y por lo tanto ningún “valor esperado“.

- Cuando sólo se observan algunos experimentos, la esperanza no coincidirá, en general, con la media aritmética sobre los experimentos observados.

- Mientras que si el número de experimentos repetidos aumenta, la media aritmética de los resultados observados se aproximará más a la esperanza . Ésta es una consecuencia de la ley (fuerte) de los grandes números, que veremos más adelante.

Volvamos al juego telefónico, en el que aún tenemos que calcular la función de probabilidad. A partir de ahora, suponemos que debido al alto precio de una llamada telefónica sólo van a participar en el juego 5000 personas y todas tendrán la misma probabilidad de ganar. Debido a que sólo una puede ganar, se cumple que

1

( 498,10)5000

P X = = y ( )4999

1,905000

P X = − = .

Por lo que la esperanza será

( ) ( )4999 1

1,90 498,10 1,805000 5000

E X = − ⋅ + ⋅ = − .

Si se jugase frecuentemente a este juego, se tendría a la larga como media una pérdida de 1,80 €. En el siguiente dibujo se simula un juego varias veces y se calcula el coste medio por cada juego. Se observa que, cuantas más veces se juegue, en general más se aproximan los costes medios a la esperanza.

120

1,60

1,70

1,80

1,90

0 100.000 200.000 300.000 400.000 500.000

Anzahl der Teilnahmen

Du

rch

sch

nit

tsko

sten

Dibujo 4.6 Los costes medios simulados de un juego

Reglas de cálculo para la esperanza

Al igual que existen reglas para el cálculo de las probabilidades, también existen reglas para el cálculo de la esperanza, que se obtienen directamente de su definición: Reglas de cálculo para la esperanza:

Sean X e Y dos variables aleatorias del espacio de probabilidad finito (Ω, P). Entonces se cumple que:

a) E(X + Y) = E(X) + E(Y).

b) Para todo ω∈Ω X(ω) ≥ Y(ω), entonces también se cumple E(X) ≥ E(Y).

c) Sea c∈IR, entonces se cumple E(c⋅ X) = c⋅ E(X).

(→Ej.4.18-20)

Varianza y desviación típica

La esperanza por sí sola es poco informativa. En el ejemplo del dado hemos experimentado que la esperanza no es ningún “valor esperado“, sino que se obtiene únicamente como valor medio teórico de los resultados obtenidos tras las repeticiones del experimento. La esperanza es, por lo tanto, tan sólo un buen indicador para el siguiente resultado de un experimento de azar, cuando se sabe que, como norma general, el resultado no difiere mucho de la esperanza. Para poder juzgar esto, necesitamos los conceptos de varianza y de desviación típica. La varianza (así como la desviación típica) mide la dispersión que existe entre la variable aleatoria y la esperanza. Definición: Sea X una variable aleatoria del espacio de probabilidad finito (Ω, P). Entonces se define la varianza de X, Var(X), como

( ) ( )( )2Var X E X E X= − .

El valor

( ) ( )X Var Xσ =

se denomina desviación típica de X. De esta definición se puede observar que:

121

- La varianza mide la distancia cuadrática media entre la variable aleatoria y su valor esperado. Esto implica, por una parte, que las distancias negativas y positivas no anularán la suma unas con otras (es decir, si se hubiesen considerado sólo las distancias medias, entonces se tendría: E((X - E(X))) = E(X) – E(X) = 0). Por otra parte esto significa, que la varianza se mide en una unidad distinta a la de la esperanza. Sin embargo la desviación típica se mide en la unidad correcta.

- Una varianza pequeña quiere decir que, como norma general, en el experimento se obtienen resultados muy próximos a la esperanza.

- Por ser X una variable aleatoria, (X – E(X))² es también una variable aleatoria de (Ω, P), que toma sólo valores finitos. Esto garantiza, que la varianza existe claramente como valor esperado en el sentido de nuestra definición.

Reglas de cálculo para la varianza

Antes de comenzar con el ejemplo vamos a definir un par de reglas sencillas de cálculo, con las que puede trabajarse mejor con la varianza y la desviación típica: Reglas de cálculo para la varianza:

Sea X una variable aleatoria del espacio de probabilidad finito (Ω, P).

a) ( ) ( ) ( )( )22

Var X E X E X= − .

b) Sea c∈ IR , se cumple que: ( ) 2( )Var c X c Var X⋅ = ⋅ , ( ) ( )Var X c Var X+ = .

Estas reglas se obtienen directamente de la definición de varianza. Con ayuda de la regla a) y la esperanza ya calculada en el juego del dado obtenemos la varianza y la desviación típica:

( ) ( ) ( )( ) ( )6

2 22 2 7 3516 2 12

1i

Var X E X E X i=

= − = ⋅ − =

∑ ,

( )35

1,7112

Xσ = ≈ .

También aunque no sea matemáticamente correcto, con la ayuda de la desviación típica se puede obtener una primera orientación de los resultados de un experimento aleatorio. En general muchos de los resultados se encuentran en el campo de valores entre la esperanza más/menos la desviación típica. En el ejemplo del dado este campo estaría entre 3,5 - 1,71 = 1,79 y 3,5 + 1,71 = 5,21, tal y como se planteó este juego . En la apuesta de “par-impar“ la regla a) nos lleva a:

( ) ( ) ( )2 2 21 1

1 1 0 12 2

Var X

= − ⋅ + ⋅ − = ,

( ) 1 1Xσ = = .

Comparando las reglas de cálculo de la varianza con las de la esperanza, nos llama la atención que no existe ninguna regla que diga que la varianza de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las varianzas de cada una de las variables. Debido a la regla de cálculo b) se puede reconocer que esto es en general falso, por ejemplo se cumple que:

( ) ( ) ( )2 4Var X X Var X Var X+ = = ⋅ .

Sin embargo existen situaciones especiales en las que se verifica una fórmula para la suma de varianzas, por ejemplo, siempre que las variables aleatorias sean incorreladas o independientes.

122

Pero primero deben presentarse estos conceptos. A partir de ahora trataremos siempre con dos (o más) variables aleatorias al mismo tiempo. (→Ej.4.21-23)

Relaciones entre dos variables aleatorias

A partir de ahora es muy importante que definamos las variables aleatorias dentro de un mismo espacio de probabilidad. Nuestro objetivo es definir un número que mida la relación entre dos variables aleatorias. Tomaremos de nuevo como ejemplo el del dado. La variable aleatoria X toma el valor +1 en caso de que salga un número par y el valor -1, en caso de que salga un número impar:

( )

1, en caso que 2,4,6

1, en caso que 1,3,5X

ωω

ω

+ ∈=

− ∈.

La variable aleatoria Y toma el valor +1, en caso de que salga el 6 y -1, en caso de salir cualquier otro número:

( )

1, en caso que 6

1, en caso que 1,2,3,4,5Y

ωω

ω

+ ∈=

− ∈.

No debemos olvidar, que se trata básicamente del mismo experimento (“el mismo espacio de probabilidad“). En lo que sigue ambas variables aleatorias se refieren al mismo dado. De modo que nos viene inmediatamente a la cabeza que cuando X toma el valor -1, Y también puede tomar el valor -1. Así mismo cuando salga un número impar, no puede haber salido ningún 6. Por lo que ambas variables aleatorias están relacionadas entre si. Esto no ocurre, si cada una de las variables aleatorias estuviesen referidas a dados distintos. Si consideramos la variable X referida a un primer dado y la variable aleatoria Y referida a un segundo dado, entonces tendríamos otro espacio de probabilidad, con 36 diferentes sucesos elementales (→Ej.4.13). De modo que ambas variables aleatorias ya no estarían relacionadas, en otro caso significaría que el dado tendría memoria, y entonces ya no se trataría de un juego de dados justo. Definición: a) Sean X e Y de un mismo espacio de probabilidad finito (Ω,P), que toman respectivamente los valores x1, ...,xk y y1, ...,ym. Entonces se dice que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,i i i iX YP x y P X Y x y= = =

( ) ( ) ( ) y , 1, , , 1, ,i jP X x Y y i k j mω ω ω= ∈Ω = = = =… … ,

sobre los pares (xi , yj) define una medida de probabilidad la función de probabilidad conjunta de X e Y.

b) Las variables aleatorias X e Y se dice que son independientes cuando su función de probabilidad conjunta se obtiene como producto de la de X y la de Y ; exactamente: es decir en caso de que se cumpla para todo los pares (xi, yj) | i=1,...,k, j=1,...m que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,i j X i Y jX YP x y P x P y= ⋅ .

Como ejemplo de una función de probabilidad conjunta consideraremos el ejemplo anterior de un sólo dado para las dos variables aleatorias X e Y:

123

( ) ( ) ( ) ( ),

11,1 6

6X Y

P P= = , ( ) ( ) ( ) ( ),

11, 1 1,3,5

2X Y

P P− − = = ,

( ) ( ) ( ) ( ), 1,1 0X Y

P P− = = , ( ) ( ) ( ) ( ),

11, 1 2,4

3X Y

P P− = = .

Estas variables aleatorias no son independientes debido a que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

1 11,1 0 1 1

2 6X YX Y

P P P− = − ⋅ = ⋅≠ .

Con ayuda de la función de probabilidad conjunta podemos definir también la esperanza del producto E(XY) como

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1, ,, ,k m k mX Y X YE X Y x y P x y x y P x y⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅… ,

se construye mediante la suma de los posibles pares. Para el ejemplo del dado se obtiene

( ) ( ) ( )1 1 1 1

1 1 1 0 16 2 3 3

E X Y⋅ = ⋅ + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ = .

El valor positivo de la esperanza coincide con nuestra suposición, que tras muchos experimentos con el dado, el valor del producto era con frecuencia positivo.

Covarianza y coeficiente de correlación

La covarianza describe el comportamiento de dos variables aleatorias entre ellas. Definición: Sean X e Y dos variables aleatorias del espacio de probabilidad finito (Ω, P). La covarianza de X e Y se define como

( ) ( )( ) ( )( ),Cov X Y E X E X Y E Y = − ⋅ − .

De la definición podemos observar que se trata de una generalización de la varianza, ya que Cov(X,X) = Var(X). La covarianza mide la desviación media conjunta de las variables aleatorias X e Y de sus respectivas esperanzas. Directamente de la definición sabemos que un valor positivo grande de la covarianza significa, bien que para valores grandes de X (es decir, aquellos que X(ω) > E(X)) se observan tendecialmente también valores grandes de Y (es decir, Y(ω) > E(Y) ), o que para valores pequeños de X se observan tendecialmente también valores pequeños de Y. Mientras que una covarianza negativa muy pequeña significa, que para valores grandes de X le corresponden tendencialmente pequeños valores de Y y que para pequeños valores de X se esperan tendencialmente grandes valores de Y. Reglas de cálculo para la varianza y covarianza:

Sean X e Y dos variables aleatorias del espacio de probabilidad finito (Ω, P), entonces se cumple:

a) ( ) ( ) ( ) ( ),Cov X Y E X Y E X E Y= ⋅ − ⋅ .

b) ( ) ( ), ,Cov a X b Y a b Cov X Y⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ .

c) ( ) ( ) ( ) ( )2 ,Var X Y Var X Var Y Cov X Y+ = + + ⋅ .

124

d) Si Cov(X,Y) = 0, Entonces se cumple que: E(X⋅Y) = E(X)⋅E(Y) y Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y).

e) Sean X e Y independientes, entonces se cumple Cov(X,Y) = 0.

En caso de que las dos variables sean independientes entre ellas, el valor de la covarianza es cero. Sin embargo, si la covarianza es cero, no se puede estar seguro, de que ambas variables sean independientes, por lo tanto el concepto de independencia necesita algo más a parte de “covarianza = 0“. Debido a que la covarianza no se mide en una unidad determinada, valorar un resultado es muy difícil (de modo que la covarianza de las dos variables aleatorias X e Y medida en metros es 10000 veces más pequeña, que la que se obtendría, si X e Y estuviesen medidas en centímetros), se define coeficiente de correlación de X e Y como

( )( )

( ) ( )

,,

Cov X YX Y

X Yρ

σ σ=

Como las desviaciones típicas del denominador son valores positivos, la covarianza y el coeficiente de correlación tendrán siempre el mismo signo. El coeficiente de correlación posee una ventaja, que siempre toma un valor entre –1 y 1 y por lo tanto se puede estimar con precisión, si este coeficiente es grande o no. El coeficiente de correlación de dos variables aleatorias es cero, si la covarianza es cero. En este caso se dice que: “Las variables aleatorias son incorreladas“. (→Ej.4.26) Por ejemplo en el caso de un dado las variables aleatorias estarán positivamente correladas en el caso de los siguientes sucesos “X=1, en caso de que al tirar el dado salga un número mayor que 3, en caso contrario toma el valor 0” e “Y=1, en caso de que la cara escondida del dado sea un número menor que 4, en caso contrario toma el valor 0“. Aquí tenemos incluso una correlación de 1:

( )0,5 0,5 0,5

, 10,5 0,5

X Yρ− ⋅

= =⋅

.

Veamos otro ejemplo de sucesos positivamente correlados, sea la variable aleatoria “X = 1 en caso de que al tirar el dado salga un número mayor que 3, en caso contrario toma el valor 0” y sea la variable aleatoria Y “Y=1, en caso de que al tirar el dado salga el 6, en caso contrario toma el valor 0“. Sin embargo se obtiene sólo un coeficiente de correlación de:

( )1 1 1

6 2 6

512 6

1, 0,447214

5X Yρ

− ⋅= = =

⋅.

Esto indica una relación positiva estrecha entre las dos variables aleatorias, sin embargo esto no significa forzosamente que ambas variables estén relacionadas entre si. Observación: La relación −1≤ ρ(X,Y) ≤1 y el hecho de que | ρ(X,Y) | = 1 sólo se cumple cuando X=aY+b para a≠0, b∈IR, se obtienen de

( ) ( ) ( ),Cov X Y X Yσ σ≤ ⋅ ,

( ) ( ) ( ),Cov X Y X Yσ σ< ⋅ , en caso de X aY b≠ + y ( ) ( )0X Yσ σ≠ ≠ .

125

Ejercicios

Ej.4.12 Describan el espacio de probabilidad en el caso de la tirada de una moneda. Observen que: como posibles sucesos tenemos cara o cruz, en el caso de una moneda justa (y una tirada justa) y ambos sucesos deben tener la misma probabilidad.

Ej.4.13 Describan el espacio de probabilidad en el caso de la tirada de dos dados. Observen que: tenemos la primera y la segunda tirada, y las dos son distintas. Por lo tanto existen 36 sucesos distintos elementales, y todos tienen la misma probabilidad.

Ej.4.14 Describan el espacio de probabilidad de una rifa, en la cual participan 10 personas y sólo una puede ganar 10 €. La probabilidad de ganar debe ser igual para todos.

Ej.4.15 Describan un experimento aleatorio en el que todos los sucesos no tengan la misma probabilidad.

Ej.4.16 a)Calculen la probabilidad de que, al tirar un dado, salga un número menor que 3. b) Calculen la probabilidad de que, al tirar un dado, salga el número 6 o el 1.

Ej.4.17 a) Calculen la probabilidad de que no salga ningún 6, al tirar dos dados.

b) Calculen la probabilidad de que salgan sólo unos o doses al tirar dos dados.

Ej.4.18 Calculen la esperanza, en el caso de tirar una moneda justa, de una variable aleatoria en la que si sale cara se ganan 2 € y si sale cruz se pierden 2 €.

Ej.4.19 Calculen la esperanza en la rifa del ejercicio Ej.4.14.

Ej.4.20 Consideren la tirada de dos dados. Calculen la esperanza de la suma de los dos dados.

Ej.4.21 Calculen la varianza y la desviación típica del ejercicio Ej.4.18.

Ej.4.22 Calculen la varianza y la desviación típica del ejemplo de la rifa telefónica.

Ej.4.23 Calculen la varianza y la desviación típica del ejercicio Ej.4.20.

Ej.4.24 De un determinado jugador de baloncesto se sabe que, su probabilidad de encestar en la primera y en la segunda tirada un tiro de dos puntos es de 0,8 en ambos casos. Además se sabe que, la probabilidad de que ambas tiradas sucedan con éxito es de 0,7. Sean X, Y dos variables aleatorias, que toman cada una el valor “1“ si el jugador encesta en la primera tirada o bien en la segunda tirada y “0“ cuando no encesta en ninguna de las dos tiradas. Calculen Cov(X,Y) y ρ(X,Y).

Ej.4.25 Juzguen los siguientes coeficientes de correlación (resultados empíricos):

a) En 1000 jóvenes de 16 años se midieron según su altura y la longitud de sus brazos, estos dos valores calculados presentaban un coeficiente de correlación de 0,9.

b) En 20 países distintos se comparó el número de cigüeñas incubadas con el número de nacimientos por año. Se obtuvo un coeficiente de correlación de 0,8.

c) En 25 regiones distintas se relacionaron los trenes con la longitud kilométrica de un atasco de coches al día. Se obtuvo un coeficiente de correlación de -0,5.

d) A 100 personas especialmente inteligentes, se les comparó el grado del color rubio del pelo (la claridad) con el coeficiente de inteligencia y se obtuvo un coeficiente de correlación de -0,05.

Ej.4.26 La covarianza entre la estatura (en cm) y el peso en kg) calculada en mujeres de 40 años fue 950. Calculen la covarianza entre la estatura medida en m y el peso medido en g.

126

4.7 Continuación de la discusión: Equilibrio entre beneficio y riesgo

Tras las profundas discusiones sobre las distintas acciones se acordó en el grupo “Clever Consulting“, que el dinero sólo podía ser invertido en dos valores determinados. Ahora intentarán conseguir una visión detallada de las distintas calidades de esta forma de inversión.

Oliver: ¿Cómo veis realmente las calidades de inversión de nuestra compañía Windig?

Nadine: Aquí tengo una nota del jefe. En la que dice que nuestra compañía Windig tiene una rentabilidad esperada aproximada del 9,5 % y la varianza de la rentabilidad alrededor de 0,06. De Naturstromer S.A conocemos que su volatilidad es 0,2, con esto obtenemos una varianza aproximada de 0,04.

Nadine: Ah bien. Resumamos:

Compañía Windig: Esperanza de la rentabilidad anual: 9,5 % . Varianza de la rentabilidad: 0,06.

Naturstromer S.A: Esperanza de la rentabilidad anual: 8 % . Varianza de la rentabilidad: 20 % ⋅20 %, esto significa que 0,2⋅0,2=0,04.

Selina: El jefe en un principio pone 2000 € a disposición de cada trabajador como capital de inversión y este dinero lo debemos invertir de forma óptima en participaciones de la compañía Windig y en acciones de Naturstromer S.A.

Oliver: ¿Qué significa para el jefe de manera “óptima“? ¿Debemos invertir el dinero de manera que la rentabilidad esperada sea lo más alta posible?

Sebastian: Entonces deberíamos convertir todo el dinero en participaciones de la compañía Windig, donde esperamos la rentabilidad más alta. Pero esta rentabilidad es también la menos segura, ya que es la que más oscila.

Nadine: Deberíamos invertir todo el dinero en valores a interés fijo, donde obtendremos una rentabilidad anual segura del 5 %. Sin embargo esto lo podría hacer el jefe sin nosotros, y no tendría que llamar al grupo “Clever Consulting”. Además parece que a él no le gusta mantener el dinero a plazo fijo.

Oliver: Deberíamos invertir el dinero de manera que obtuviésemos la mayor rentabilidad posible y que a su vez se presenten las menores oscilaciones posibles.

Sebastian: ¡No podemos conseguir ambas cosas a la vez! Eso es ilógico. Pero podríamos fijar un valor mínimo para la rentabilidad esperada y minimizar la varianza de la rentabilidad total. O fijamos en primer lugar una cota superior para la varianza de la rentabilidad y luego intentamos, dejar lo más alta posible la rentabilidad esperada. Esto se denomina el Principio de esperanza-varianza, que descubrió Markowitz, ganador de premio Nobel.

Selina: ¡Ah!. ¡Muéstranos un ejemplo!

Sebastian: Por ejemplo si quisiéramos obtener una rentabilidad media esperada del 9 %. Para ello colocamos juntos todos nuestros valores. Colocamos la mitad del dinero, 1000 €, en la compañía Windig y la otra mitad será invertida en acciones de Naturstromer S.A. Con esto esperaremos una rentabilidad anual del:

9.5 81 1000 1 1000 2000

100 1000,0875

2000

+ ⋅ + + ⋅ −

= .

127

0,0875 como valor porcentual es 8,75 %. De forma que obtendremos una rentabilidad total esperada del 8,75 %. ¡Qué mal, eso es muy poco!

Comencemos de nuevo desde el principio. Quisiera invertir adecuadamente una cantidad de K €. x1 lo invierto en el primer valor con un interés anual del r1 % y el resto, x2 = K − x1, en el segundo valor con un interés del r2 %. Entonces obtengo la fórmula:

1 21 21 1

*100 100

100

r rx x K

r

K

⋅ + + ⋅ + − = ,

donde r* % sería el interés real de mi capital K.

Nadine: ¡Pero eso es fácil! Puedes dividir el capital en K partes, de forma que x1/K represente la participación del dinero que inviertes en el primer valor; en nuestro caso sería la mitad del capital. x1/K lo denotamos mediante y1 y recordaremos que es una participación. Además no podemos ignorar que nuestra rentabilidad trata con variables aleatorias. Por lo tanto debemos operar con las esperanzas:

( )

( ) ( )

1 1 2 2

1 1 2 2

*r r

100

rE y y

y E y E

= ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅

entabilidad entabilidad

rentabilidad rentabilidad

,

así pues

1 21 2

*

100 100 100

r rry y= ⋅ + ⋅ .

Las participaciones y1 e y2 no pueden ser cantidades negativas y deben ser menores que uno. Su suma debe dar uno, ya que queremos invertir todo el capital. En el caso de que una de las cantidades sea igual a uno, la otra debe ser cero, esto significaría que todo el capital se invertiría sólo en un valor. Con fórmulas:

1 20, 0y y≥ ≥ ,

1 2 1y y+ = .

Selina: ¿Dónde está la restricción de que las cantidades deben ser menores que uno?

Nadine: Esa ya está incluida con las otras dos restricciones. La suma de las dos cantidades positivas debe ser uno, así que forzosamente deberán ser ambas cantidades menores que uno.

Sebastian: ¡Estupendo!, ahora tenemos una fórmula, que sirve para todas las cantidades posibles. Debemos aclararnos sobre el tamaño de cada una de ellas. Nadine, pero tu fórmula se puede aún simplificar más:

Rentabilidad anual esperada de un capital que se divide en dos formas distintas de inversión: Del capital K se invierte la participación y1=x1/K en el primer valor con una rentabilidad anual esperada del r1 %, la participación y2=x2/K se invierte en el segundo valor con una rentabilidad anual esperada del r2 %. En el caso que se cumpla

1 20, 0y y≥ ≥ ,

1 2 1y y+ = ,

con el capital K se obtiene una tasa de interés r* %:

( )1 1 2 2 *y r r r r⋅ − + = .

128

(→Ej.4.27)

Selina: Ah, ¿y quién es entonces y2?

Sebastian: Como la suma de las cantidades debe ser uno, se tiene que y2= 1 - y1.

Selina: ¡Ah! ¡Fantástico!, ahora todo es más fácil. Voy a sustituir las cantidades de las cuentas de Sebastian para comprobarlo. El había elegido como y1 = y2 = 1000/2000, así pues:

( )1000

9,5 8 8 8,752000

⋅ − + = .

¡La fórmula es correcta!

Sebastian: ¡Quién se atreve a dudar de mí!

Nadine: ¡Selina tiene bastante razón con su desconfianza! Quiero decir que tu eres en esto el campeón del mundo, pero también puedes equivocarte algunas veces.

Sebastian: Ah vale, eso a veces es cierto. Ahora tenemos una fórmula para la rentabilidad total. De ninguna manera podemos olvidar que estos intereses no son seguros y que se trata sólo de valores esperados. Ahora nuestra tarea es mantener las oscilaciones de la rentabilidad de nuestro dinero invertido lo más pequeñas posibles. Así como minimizar la varianza de la rentabilidad. La varianza total se obtiene de la siguiente manera:

( )1 1 2 2Var y y⋅ + ⋅ =rentabilidad rentabilidad

( ) ( )2 21 1 2 2 1 2 1 2( ) 2 ,y Var y Var y y Cov⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅rentabilidad rentabilidad rentabilidad rentabilidad

.

Supongamos para simplificar los cálculos, que estas dos rentabilidades no tienen nada que ver la una con la otra, así pues la covarianza será cero. En caso que y1 represente la participación del dinero en Windig e y2 la participación en Naturstromer, entonces tenemos el siguiente problema de minimización:

2 21 2min 0,06 0,04y y⋅ + ⋅ .

(→Ej.4.28) Selina: Mmh, tener cuadrados en la función objetivo no es bueno. Todo sería mejor lineal, así el problema se podría resolver enseguida, sería un simple problema de minimización bajo unas restricciones determinadas (véase en el capítulo 1). Por desgracia el problema es el siguiente:

2 21 2min 0,06 0,04y y⋅ + ⋅

1 2. 0, 0s a y y≥ ≥

1 2 1y y+ =

( )1 9,5 8 8 9y ⋅ − + ≥ .

Sebastian: No es para tanto. Se obtiene y2 de y1,, porque su suma debe ser uno. Por lo que y2 desaparece. ¡Ahora si que es sencillo!

Nadine: ¿Tú crees? Sin embargo, así de pronto no veo la solución. Lo mejor es que escribamos el problema de optimización final sin y2:

( )22

1 1min 0,06 1 0,04y y⋅ + − ⋅

1. 0s a y ≥

129

1 1y ≤

( )1 9,5 8 8 9y ⋅ − + ≥ .

Oliver: Nadine y Selina, vosotras tenéis razón. Llegados a este punto el problema es complejo. ¿Qué os parece si ahora dibujamos una gráfica?

Dibujo 4.7 Rentabilidad de las distintas distribuciones del capital

La gruesa recta, que pasa por 9 %, nos indica el interés mínimo. El segmento, que empieza en (0,8 %) nos muestra cómo de altos son los intereses de nuestro capital total cuando invertimos la cantidad y1 en participaciones de la compañía Windig y el resto del dinero en acciones de Naturstromer S.A. Los intereses mínimos se calculan como la intersección de la recta en 9%. A partir de este punto comienza la región factible para y1, que he marcado con lápiz grueso en el eje inferior. La región factible termina en y1 = 1.

Dibujo 4.8 Varianza de las distintas distribuciones del capital

Esta curva representa la varianza de la cartera de valores, cuando se invierte y1 en Windig y el resto en Naturstromer. La región factible para y1 la he representado de nuevo en el eje horizontal con un trazo más grueso. En el dibujo se ve claramente que en esta región la curva crece más rápido. Por lo tanto la varianza mínima de la cartera de valores se alcanza en la región factible más pequeña de y1.

Nadine: Por lo tanto esto significa que debemos calcular el punto de intersección del segmento de rentabilidad con la recta en 9 %

( )1 9,5 8 8 9y ⋅ − + =

1 0,6666667y⇒ = .

130

Aquí tenemos la cantidad óptima para y1, el resto y2= (1− y1) = 0,3333333 se invertirá en Naturstromer. Con esta distribución tenemos una rentabilidad esperada del 9 %. Por lo tanto de los 2000 € se destinan 1333,34 € a la compañía Windig y se invertirá 666,66 € en acciones de Naturstromer. La varianza de la rentabilidad de esta cartera de valores es

2 20,6666667 0,06 0,3333333 0,04 0,0311111⋅ + ⋅ = .

¡Oh, esto si que queda bonito! Mediante la distribución del dinero en estos valores obtenemos una varianza menor que la que obtendríamos si depositásemos todo el dinero en un sólo valor.

Oliver: Se suele decir que no se debe apostar todo en un sólo caballo.

Selina: Mediante la distribución del capital en distintos valores se pueden minimizar las oscilaciones de la rentabilidad, a esto se le denomina efecto de la diversificación.

Sebastian: ¡Ahhh! Eso era la optimización de una cartera de valores – primera variante: minimizar la varianza de la rentabilidad bajo la restricción de que la rentabilidad esperada debe alcanzar un determinado valor mínimo.

Ahora viene la segunda variante de la optimización de una cartera de valores. Para ello fijamos una varianza máxima y finalmente maximizamos la rentabilidad esperada.

Oliver: Ahora me toca a mí describir el problema de optimización de una forma matemáticamente correcta:

( )1max 9,5 8 8y ⋅ − +

1. 0s a y ≥

1 1y ≤

( )22

1 10,06 1 0,04 0,03y y⋅ + − ⋅ ≤ .

Como podéis ver, he fijado la varianza máxima con el valor 0,03. Por lo tanto, buscamos una representación conjunta de los valores que oscile aún menos que la anterior.

Selina: ¿Y quién hace una gráfica?

Oliver: ¿Tú?

Selina: ¡Bromeas!

Oliver: Uf, pruébalo una vez. Primero haz una gráfica parecida a la anterior.

Selina: Venga vale. Ahora aquí sólo debo añadir la recta con máxima varianza de 0,03:

Dibujo 4.9 Varianza de las distintas distribuciones del capital

131

Allí, donde está la curva bajo la recta de máxima varianza, es la región factible para y1, la cual he marcado con trazo grueso en el eje horizontal.

Dibujo 4.10 Rentabilidad de las distintas distribuciones del capital

En mi segundo dibujo he marcado de nuevo con trazo grueso la región factible para y1. En esta región crece la recta de rentabilidad, i.e., la rentabilidad será mayor cuanto mayor sea la parte destinada a valores de la compañía Windig. ¿Y ahora?

Nadine: Primero debemos determinar con exactitud la región factible. Los puntos de corte de la curva con la recta de máxima varianza se obtienen de la siguiente manera:

( )22

1 10,06 1 0,04 0,03y y⋅ + − ⋅ =

1 10,15505, 0,64495y y⇒ = = .

Como la recta de rentabilidad crece en esta región, el máximo valor factible alcanza la rentabilidad máxima esperada. La mayor participación factible para y1 es 0,64495. Debemos invertir del capital base de 2000 €, 1289,90 € en Windig y el resto, 710,10 €, en Naturstromer. Para esta distribución la rentabilidad esperada es máxima. Su calculo es:

( )0,64495 9,5 8 8 8,967425⋅ − + = .

Oliver: De manera que, se obtiene una rentabilidad del 8,967 %, ¡no está mal!

Sebastian: Ya hemos descubierto algunas posibilidades interesantes de invertir. Sin embargo deberíamos hablar de nuevo con el jefe y preguntarle, que entiende él por óptimo, cuál es la varianza máxima que le gustaría tener al invertir el dinero o si parte de una rentabilidad mínima.

Apenas había terminado el jefe su pausa del café, cuando el equipo de Clever Consulting le pidió que escuchara una detallada explicación sobre el Principio de esperanza-varianza. Y mientras el jefe escuchaba atentamente, le venían a la cabeza nuevas ideas...

Discusión 6

¿Por qué no es posible maximizar la rentabilidad esperada de una cartera de valores y a su vez minimizar la esperanza?

Ejercicios

Ej.4.27 Calculen los intereses esperados de un capital inicial de 2000 €, en el caso que la cantidad x1€ se invierta en participaciones de la compañía Windig y el resto en acciones de Naturstromer S.A., para:

132

a) x1 = 1800 b) x1 = 700 c) x1= 1500 d) x1 = 1100 e) x1 = 900 f ) x1= 2000

Ej.4.28 Calculen la varianza de la rentabilidad, en el caso de tener un capital de 2000 € ; del cual la cantidad x1€ se invierta en participaciones de la compañía Windig, y el resto en acciones de Naturstromer S.A

a) x1 = 1800 b) x1 = 700 c) x1= 1500 d) x1 = 1100 e) x1 = 900 f ) x1= 2000

Ej.4.29 Representen y resuelvan el problema de optimización con los datos de la discusión de los jóvenes;

a) cuando la rentabilidad esperada deba ser como mínimo 8,8 %.

b) cuando la rentabilidad esperada deba ser como mínimo 8,3 % (indicación: se debe de llevar a cabo mediante su función analítica).

c) cuando la varianza de la rentabilidad deba ser como máximo 0,035.

d) cuando la varianza de la rentabilidad deba ser como máximo 0,05.

4.8 Conceptos matemáticos básicos: Fundamentos de la esperanza y varianza

En esta sección se introduce el Principio de esperanza-varianza para la determinación de estrategias óptimas de inversión. Antes de meternos detalladamente en la teoría, queremos mostrarles que algunos criterios posibles para la determinación de la mejor estrategia de inversión, aquellos que parecen naturales, no son realizables o son muy problemáticos. Estas consideraciones pueden ser tratadas interactivamente en determinados cursos.

Consideraciones: ¿Qué es realmente una “estrategia de inversión óptima“?

La solución del problema

“¡Determine la estrategia con la cual seré tan rico como pueda!“

es un objetivo evidente para un inversor, pero no tiene sentido formularlo como ejercicio. La estrategia mediante la cual de un capital inicial se produce el mayor capital final, puede ser realmente determinada sólo cuando antes de empezar, antes de tomar la decisión sobre que estrategia seguir, se conociese la cotización de todos los valores. En lo que sigue el problema anterior podría resolverse sólo si pudiésemos ver el futuro. Pero como la cotización de las acciones no es predecible (con exactitud), no podemos determinar ninguna estrategia en la que siempre – independientemente del futuro desarrollo del precio de las acciones – se obtenga el capital final máximo. Cuando tengamos un modelo estocástico, i.e. un modelo con componentes aleatorias, para la cotización de las acciones, sólo podemos esperar maximizar un único criterio donde se mezclen todos los posibles escenarios futuros. De esta forma la siguiente formulación del problema de la cartera de valores sería:

“¡Determinen las estrategias que maximice el capital final esperada, E(X(T))!“ El problema, en el modelo estocástico del precio de los valores, es resolverlo sin conocimientos del futuro. El problema que se nos presenta en este caso, es en sí la forma de resolverlo. La estrategia óptima para el problema anterior consiste realmente en invertir todo en las acciones con la rentabilidad más alta (el motivo de esto es la linealidad de las esperanzas). Pero ésta es una estrategia muy arriesgada, pues el capital final se puede someter a grandes oscilaciones. Tras un primer vistazo no se puede negar la impresión que aquí sólo se puede decidir tras la

133

maximización de los beneficios sin tener en cuenta el riesgo. Por lo tanto se obtiene el siguiente enunciado del problema: “Encuentre una formulación (y una solución) al problema de la cartera de valores, en el que se midan cuidadosamente el riesgo y los beneficios!“

El primer principio sistemático para la modelización y resolución de este problema, el Principio de Esperanza-Varianza de H. Markowitz (1952), puede considerarse como el principio de la teoría de la cartera de valores. Su importancia en la teoría y la práctica se subrayó en el año 1990, otorgándole a Markowitz el premio Nobel de Economía. El punto de partida del principio de Markowitz es el problema anterior, que la maximización del capital esperado E(X(T)), nos conduce a invertir todo el capital completo en una única acción. Para ello se tendrá un cuidado especial ya que las oscilaciones del capital final en la esperanza pueden ser muy grandes. Para limitar estas oscilaciones, Markowitz nos lleva a la restricción de limitar la varianza del capital final, Var(X(T)), por una cota determinada. Aquí debe verse con claridad que el capital final obtenido no difiere mucho de la esperanza (esperada) del capital final. Como estrategia óptima de inversión tomamos la de Markowitz, aquella que cumpliendo esta restricción impuesta sobre la varianza posea la máxima esperanza E(X(T)). En lo que sigue trataremos primeramente el caso en el que intervengan dos o tres valores y al final de esta sección trabajaremos con el caso general.

a) El principio de esperanza-varianza en el caso de dos valores

Consideramos el caso de un inversor, que posee un capital inicial de x y lo quiere invertir en dos valores distintos, cuyos actuales precios respectivos son p1 y p2. Como queremos invertir nuestro dinero en un periodo de tiempo T, nos interesaremos por la rentabilidad de los valores (así como de los cambios relativos a su cotización)

( )i i

i

i

P T pR

p

−= , i = 1,2,

En el periodo de tiempo [0,T] del problema de inversión, donde Pi(T) es la evolución actual del precio de la acción i hasta el tiempo T. Suponemos, que las esperanzas, la varianza y la covarianza son conocidos, por lo tanto conocemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 11 1 22 2 12 1 2, , , , ,E R E R Var R Var R Cov R Rµ µ σ σ σ= = = = = .

Para considerar sólo los casos económicos importantes, queremos finalmente que ambas rentabilidades tengan una correlación de +1 o -1. De no ser así se dice que una rentabilidad depende por completo de la otra. Así pues debemos buscar una representación conjunta de los valores, que alcance con total seguridad una rentabilidad aceptable del capital final. En el tiempo t = 0 dividimos nuestro capital x en dos partes porcentuales π1 y π2, donde πi describe la parte del capital final, que se invierte en la acción i. Se deben cumplir las restricciones

1 2 1 20, 0, 1π π π π≥ ≥ = + ,

ya que no se pueden invertir cantidades negativas en acciones y, por otra parte, la suma porcentual de las partes debe ser uno. El par (π1,π2) será calificado como cartera de valores. Cuando Xπ(T) represente el capital final mediante la utilización de la cartera de valores π = (π1,π2), su correspondiente rentabilidad de la cartera de valores se obtendrá mediante

( )X T x

Rx

ππ −

= ,

y a su vez también como una suma con pesos de cada uno de los beneficios de las acciones, de forma que se cumpla,

134

1 1 2 2R R Rπ π π= + .

En lo que sigue obtendremos la esperanza y la varianza de la rentabilidad de la cartera de valores como

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2E R E R E Rπ π π π µ π µ= + = + ,

( ) ( ) 2 21 1 2 2 1 11 2 22 1 2 122Var R Var R R

π π π π σ π σ π π σ= + = + + .

El requisito anterior de tener una rentabilidad aceptable, que pueda ser alcanzada con la mayor seguridad posible, se puede interpretar como el problema de minimizar la varianza de la rentabilidad de la cartera bajo las restricciones de que la esperanza de la rentabilidad debe ser como mínimo K. Este problema es un modelo del Principio de Esperanza-Varianza de Markowitz y lo resolveremos, se formula como:

(VE) ( )

1 2

2 21 11 1 2 12 2 22

,

1 2 1 2 1 1 2 2

min 2

. 0, 0, 1 ,s a K

π ππ σ π π σ π σ

π π π π µ π µ π

+ +

≥ ≥ = + + ≥

,

donde suponemos para simplificar que µ1≠ µ2. Ahora despejamos π2 de la restricción 1= π1+π2 y sustituimos esta expresión en la función objetivo del problema de optimización, suponiendo que se cumple

1 2µ µ> ,

(lo cual se puede suponer siempre, ya que en caso contrario “la primera acción“ se renombrará como la “segunda acción“) , así que obtenemos el problema equivalente:

(VE*)

( ) ( )( )1

211 12 22 1 12 22 1 22

*21 1

1 2

min 2 2

. 0 1, :K

s a K

πσ σ σ π σ σ π σ

µπ π

µ µ

− + + − +

−≤ ≤ ≥ =

−

.

Como este problema también posee una solución, suponemos que la exigencia de un valor mínimo esperado para la rentabilidad es factible, que en la formulación anterior (VE*) queda asegurado mediante la suposición

* 1K ≤ .

Así pues obtenemos como región factible para π1 el intervalo [max(0 ,K*),1]. Para resolver (VE*), se debe minimizar una función cuadrática en π1 sobre un intervalo cerrado. Como se cumple que |ρ(X,Y)|<1, también σ11− 2σ12 + σ22 >0 , i.e., la función para minimizar en (VE*) es una parábola abierta hacia arriba en π1 con un único mínimo en

22 121

11 12 22

ˆ2

σ σπ

σ σ σ

−=

− +.

Caso 1: 22 12 0σ σ− ≤ , así pues 1ˆ 0π ≤ .

En este caso la función objetivo a minimizar es menor, cuanto menor sea π1. En lo que sigue obtendremos el valor óptimo para π1 como el valor factible más pequeño

( )( )1 min max 0, * ,0opt

Kπ = .

135

Dibujo 4.11 Caso 1: 1ˆ 0π <

El valor óptimo para π2 se obtiene mediante

2 11opt optπ π= − .

Caso 2: ( )22 12 1ˆ0 0es decirσ σ π− > > .

Según la posición del mínimo, 1ˆ1 0π> > (caso 2a) o 1ˆ 1π ≥ (caso 2b) se obtienen dos gráficas

posibles:

Dibujo 4.12 Caso 2a: 1ˆ0 1π< < Dibujo 4.13 Caso 2b: 1ˆ 1π >

En el dibujo de la izquierda el mínimo absoluto se obtiene dentro del intervalo [0,1]. En el dibujo derecho, la función será menor cuanto mayor sea π1. Mediante los dibujos de las regiones factibles (i.e. independientemente del valor de K*) obtenemos el valor óptimo para π1 como

1 1

11

1

ˆ ˆ, * 1

ˆ1, * 1

ˆ*, *

opt

si K

si K

K si K

π π

π π

π

≤ ≤

= ≤ ≤ ≤

y el valor óptimo para π2 como

2 11opt optπ π= − .

Formulamos todo esto como un algoritmo (bajo la suposición de que µ1>µ2) :

Algoritmo: Problema de esperanza-varianza para dos valores (formulación (VE))

136

1. Calcule con los datos dados 2

1 2

*:K

Kµ

µ µ

−=

−. El problema tendrá una única solución cuando,

K*≤1.

2. Dibuje la función ( ) ( ) ( )21 11 22 12 1 12 22 1 222 2f π σ σ σ π σ σ π σ= + − + − +

para π1 en la región

factible ( )*max 0, ,1K

.

3. El mínimo de de ( )1f π en ( )max 0, * ,1K es

1

* si * 0

0 si * 0

opt K K

Kπ

>=

≤ cuando 22 12 0σ σ− ≤ ,

*1 1

*11

* *1

ˆ ˆ, 1

ˆ1, 1

ˆ,

opt

si K

si K

K si K

π π

π π

π

≤ ≤

= ≤ ≤

≤

cuando 22 12 0σ σ− > .

3. Se calcula el valor óptimo para π2 con 2 11opt optπ π= − .

Observación: En caso de µ1= µ2, se reconoce enseguida que la exigencia de la rentabilidad mínima

1 1 2 2 Kµ π µ π+ ≥

es totalmente posible cuando µ1 ≥ K . Esto quiere decir que todo el intervalo [0, 1] es factible para π1. Sabemos entonces que podemos determinar el par óptimo (π1

opt, π2opt) con el algoritmo

anterior y K*=0. Por otra parte no existe ningún par (π1, π2) que cumpla la exigencia de la rentabilidad mínima, i.e. la región factible es vacía.

Discusión 7:

Llegados a este punto puede discutirse el problema de optimización. ¿Es realmente necesaria la exigencia de una “rentabilidad mínima con la seguridad más alta posible“? ¿Existen otros modelos para este problema? ¿Qué otras posibilidades de optimización existen? (→Ej.4.30)

Observación

Si consideramos el segundo valor una inversión sin riesgo con rentabilidad µ2, de forma que se tiene σ22=σ12=0. Con esto no necesitamos ninguna covarianza y se obtiene

( ) 1 1 2 2E Rπ π µ π µ= + ,

( ) ( ) ( ) 2 21 1 2 2 1 1 1 11Var R Var R Var R

π π π µ π π σ= + = = .

Con µ1 >µ2 se resuelve el problema

(VE*) 1

21 11

*1 1

min

. 0 1,s a K

ππ σ

π π≤ ≤ ≥

,

Debido a que σ11>0, este problema (bajo la suposición de K*≤1) tiene obviamente la solución

137

( )*1 max 0,opt

Kπ = , ( )*2 1 max 0,opt

Kπ = − ,

ya que nos encontramos siempre en el caso 1 con σ22−σ12 ≤ 0.

b) El principio de esperanza-varianza en el caso de tres valores

A la mayoría de las personas les parece el problema de maximizar el beneficio bajo un “riesgo soportable“ un problema cotidiano. Por lo tanto, en esta sección queremos presentar el problema para el caso de tres valores junto con un método gráfico de resolución. Ahora ampliaremos nuestro mercado con un tercer valor. Para facilitar cálculos nos limitamos al caso en que la varianza del tercer valor y las covarianzas σ13, σ23, σ31, σ32 son iguales a cero, ya que el tercer valor es un valor sin riesgo con una rentabilidad µ3 = r. Las rentabilidades de los otros valores deben tener varianzas positivas σjj. En lo que sigue el coeficiente de correlación de las rentabilidades de estos valores va a ser distinto de ±1. Podemos interpretar la modelización del problema de maximizar el “riesgo soportable“como el problema de escoger entre todas las carteras de valores (π1, π2, π3) que posean una varianza de la rentabilidad de su cartera de valores menor que C, aquellas que determinen la esperanza mayor de la rentabilidad de la cartera. Si observamos que el valor sin riesgo no suministra ninguna variación en la varianza de la rentabilidad de la cartera de valores, obtenemos el siguiente problema

(EV) ( )

1 2 3

1 1 2 2 3, ,

2 21 2 3 1 2 3 1 11 1 2 12 2 22

max

. 0, 0, 0, 1 , 2

r

s a C

π π ππ µ π µ π

π π π π π π π σ π π σ π σ

+ +

≥ ≥ ≥ = + + + + ≤

,

Esto es de nuevo una variante del Principio de esperanza-varianza según Markowitz. Para ahorrarnos en lo sucesivo distinguir un nuevo caso, queremos suponer también que la cota de la varianza C>0 se elige tan pequeña que una inversión pura en uno de los dos valores con riesgo es factible, y que estos dos valores con riesgo poseen una rentabilidad distinta a la del valor sin riesgo, así pues se cumple que

11 22min ,C σ σ< y 1 2rµ µ≠ ≠ .

Esta hipótesis en la práctica se cumple siempre. Despejando la variable π3 en la restricción de igualdad 1= π1+π2+π3 y sustituyendo π3 en el problema de optimización, obtenemos el siguiente problema equivalente a EV:

(EV*) ( ) ( )( )

1 2 3

1 1 2 2, ,

2 21 2 1 2 1 11 1 2 12 2 22

max

. 0, 0, 1, 2

r r r

s a C

π π ππ µ π µ

π π π π π σ π π σ π σ

− + − +

≥ ≥ + ≤ + + ≤

Se observa, que ahora es sólo un problema con dos variables, en el que se maximiza una función objetivo lineal sobre una región determinada por unas restricciones lineales y una restricción cuadrática. Tenemos exactamente que: La región factible de (EV*) para el par (π1,π2) es una región situada en el cuadrante positivo, debajo de la recta 1= π1+π2 y debajo de la curva que se obtiene de la ecuación π1

2σ11+ 2π1π2σ12+ π2

2σ22=C. La última ecuación describe una elipse (se observa, que debido a la relación |Cov(X,Y) |≤σ(X)⋅σ(Y) se cumple que σ11+σ22≥σ12). Esta ecuación no se puede

138

escribir siempre como función de π1, ya que puede suceder que a un valor de π1 se le puedan asignar dos valores de π2 (como ocurre en la gráfica 4.14). Se cumple que

2 21 11 1 2 12 2 222 Cπ σ π π σ π σ+ + =

⇔

2 2212 11 22 12

2 1 1 222 22 22

Cσ σ σ σπ π π

σ σ σ

−+ = −

.

Si el miembro derecho es negativo, entonces no existe ningún valor de π2, tal que el par (π1, π2) pertenezca a la elipse. Pero si el lado derecho es no negativo al elevar ambos miembros a la raÍz cuadrada y obtenemos dos soluciones de la raíz del miembro derecho, la positiva y la negativa, que tras restarles (π1σ12)/σ22 nos proporciona los siguientes pares

( )2

2 11 22 12 121 2 1 1 12

22 2222

, ,C σ σ σ σ

π π π π πσ σσ

− = − −

,

( )2

2 11 22 12 121 2 1 1 12

22 2222

, ,C σ σ σ σ

π π π π πσ σσ

− = − − −

,

que pertenecen a la elipse. Sin embargo para resolver nuestro problema sólo son relevantes los pares de componentes no negativas. Como gráficas típicas de regiones factibles presentamos:

Dibujo 4.14 Ejemplo 1 Dibujo 4.15 Ejemplo 2

Aquí fueron elegidos los siguientes datos: σ11=0,4 σ22=0,4 C = 0,25 (para las dos gráficas), σ12= -0,2 en el caso de la primera gráfica, σ12= 0,2 en el caso de la segunda gráfica. Como se ve en la gráfica anterior, la covarianza negativa permite que π1 tenga un valor mayor que π2 que en el caso de covarianza positiva, lo que nos aclara que la covarianza negativa entre acciones ocasiona una disminución del riesgo. Pero también se obtiene una reducción del riesgo mediante la distribución del capital final en ambos valores, frente a la inversión de la misma cantidad en un sólo valor. Se observa que la parte de la elipse que está en el cuadrante positivo y los pares (π1,π2) con igual varianza C, que están por encima de la recta, unen los puntos de intersección de la elipse con los ejes de coordenadas. Este efecto de la reducción del riesgo mediante la representación conjunta de más valores, se denomina efecto de diversificación (luego lo veremos teóricamente). De este hecho se deriva uno de los más importantes principios de las finanzas matemáticas, el principio de diversificación de la reducción del riesgo mediante la división de la inversión total en distintas formas de inversión.

139

De manera análoga a lo visto en el capítulo 1 se obtiene ahora la solución óptima, i.e., desplazando la recta perpendicular al vector ( )1 2,r rµ µ− − , es decir, desplazando la función

( ) 1

2

rg x x

r

µ

µ

−= −

−,

hasta el borde de la región factible en la dirección del vector ( )1 2,r rµ µ− − . De manera que el punto de intersección de la recta con la región factible representa la solución óptima ( )1 2,

opt optπ π . Según la posición de la región factible se obtienen los puntos de intersección de dos maneras: Caso.1: Existe un punto de intersección de la elipse π1

2σ11+ 2π1π2σ12+ π22σ22=C con la recta

1= π1+π2.

Mediante la sustitución de la ecuación de la recta en la ecuación de la elipse, es decir haciendo π2 = 1− π1, se obtiene la ecuación cuadrática

2 12 22 221 1

22 11 12 22 11 12

2 02 2

Cσ σ σπ π

σ σ σ σ σ σ

− −+ + =

+ − + −,

que en este caso tiene dos soluciones. La solución que se denomina 1optπ , es la componente π1

del punto, hasta donde se desplaza la recta que tiene como vector perpendicular (µ1− r,µ2− r) , a través de la región factible. Se obtiene que

2 11opt optπ π= − , 3 0optπ = .

Caso.2: No existe ningún punto de intersección de la elipse π1

2σ11+ 2π1π2σ12+ π22σ22=C con

la recta π1+π2 = 1. En este caso se obtiene el par (π1

opt,π2opt) como el punto, en el que la recta que se desplaza

( ) 1

2b

rg x x b

r

µ

µ

−= − +

−

es tangente a la elipse π12σ11+ 2π1π2σ12+ π2

2σ22=C . Por lo tanto no sólo hay que determinar π1 sino también b. Para conseguir esto, en primer lugar se sustituye la ecuación de la recta en la ecuación de la elipse, i.e. se despeja π2

12 1 1

2

:r

b a br

µπ π π

µ

−= − + = +

−.

Se sustituye y se obtiene la siguiente función cuadrática:

22 12 22 22

1 1 2 211 22 12 11 22 12

2 02 2

b ab b C

a a a a

σ σ σπ π

σ σ σ σ σ σ

+ −+ + =

+ + + +.

Esta ecuación contiene el valor desconocido b. Para determinarlo usamos que esta ecuación tiene dos raíces, ya que la recta gb(x) es meramente una tangente a la elipse. Así pues sabemos que para este b se debe cumplir la siguiente ecuación

( )2

22 212 22 22

11 22 122 211 22 12 11 22 12

2 02 2

a b Cb a a

a a a a

σ σ σσ σ σ

σ σ σ σ σ σ

+ −− + + = + + + +

.

Se elige ahora, independientemente de la recta gb(x) (“creciente o decreciente“), la solución adecuada de b de esta ecuación:

140

( )

( )

211 12 22

211 22 12

211 12 22

211 22 12

2, 0

2, 0

C a asi a

b

C a asi a

σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ

+ ++ > −= + +− < −

.

De esta manera se obtienen todas las componentes de la solución óptima de la cartera de valores como

22 121 2

11 22 122

opt ab

a a

σ σπ

σ σ σ

−=

+ +, 1

2 12

opt optrb

r

µπ π

µ

−= − +

−, 3 1 21opt opt optπ π π= − − .

Escribamos de nuevo todo el algoritmo paso a paso:

Algoritmo: El problema de esperanza-varianza para tres valores (donde uno es una inversión sin riesgo), formulación (EV)

1. Mediante las restricciones 2 2

1 2 1 2 1 11 1 2 12 2 220, 0, 1, 2 Cπ π π π π σ π π σ π σ≥ ≥ + ≤ + + ≤

se dibuja la región factible para los pares (π1,π2).

2. Desplazamos la recta que tiene como vector perpendicular (µ1 −r, µ2 −r) , hasta el borde de la región factible en la dirección del vector (µ1 −r, µ2 −r). 3. Determinamos el par óptimo (π1

opt, π2opt) como el punto de intersección de la gráfica según

vimos en los casos 1 y 2.

4. Se obtiene el valor óptimo para π3 como 3 1 21opt opt optπ π π= − − .

Discusión 8:

¿Cómo se puede resolver el método anterior (EV) en el caso de tres valores con riesgo? ¿Qué problemática puede surgir al resolver el (EV) en el caso de estos tres valores? (→Ej.4.31)

c) El principio de esperanza-varianza en el caso general

Consideremos un modelo de un periodo con d acciones, de las que se conocen sus precios actuales pi, i =1, ..., d, y sus evoluciones hasta el tiempo T del problema de inversión, Pi(T), vienen dadas mediante la modelización de sus rentabilidades

( )i i

i

i

P T pR

p

−= .

A partir de ahora supondremos que se conocen la esperanza, la varianza y la covarianza de las rentabilidades:

( ) ( ) ( ), , , , , 1,...,i i ii i ij i jµ E R Var R σ Cov R R i j dσ= = = = .

La varianza y la covarianza son elementos de la denominada matriz de varianzas y covarianzas σ:

141

11 12 1

21

1

d

d dd

σ σ σ

σ

σ σ

σ

=

…

⋱ ⋮

⋮ ⋱

…

.

De lo contrario tendríamos cualquier otra función de probabilidad para las rentabilidades. Para el modelo de Markowitz no influye, si las anteriores esperanzas y covarianzas se obtienen de un modelo binomial o de un modelo Black-Scholes (véase en el capítulo 6). El objetivo consiste en encontrar una representación conjunta de los valores que nos ofrecen los beneficios esperados más altos incluyendo una cota superior para la varianza de la rentabilidad. Para ello conviene utilizar la denominada cartera de valores π. Esta cartera de valores es una d-upla, donde cada πi describe la parte del capital que se invierte en la acción i. Para evitar obtener un capital negativo final, suponemos que todas las componentes de la cartera de valores son no negativas. Además una cartera de valores debe cumplir la siguiente condición:

1 20, 1,..., , 1i di dπ π π π≥ = + + + =… .

Para maximizar la rentabilidad de la cartera de valores

( )X T xR

x

ππ −

= ,

donde X(T) representa el capital final al utilizar la cartera de valores π, ésta se obtiene como la suma ponderada de todas las componentes de la cartera de valores pesadas con el beneficio de cada acción, entonces se cumple que

1 1 2 2 'd dR R R R Rπ π π π π= ⋅ + ⋅ + + ⋅ =… ,

donde R=(R1,...,Rd) es el vector de la rentabilidad. De esta fórmula se obtiene la esperanza de la rentabilidad de la cartera de valores como

( ) 1 1 2 2 'd dE Rπ π µ π µ π µ π µ= ⋅ + ⋅ + + ⋅ =… ,

con µ=(µ1,...,µd). Como esto es sólo la esperanza de la rentabilidad total y no es ninguna cantidad segura, se calcula también la varianza de la rentabilidad para juzgar el riesgo de la cartera elegida. Aquí debemos observar que la varianza total no depende sólo de cada una de las varianzas individuales, sino también de las relaciones que existen entre unas carteras de valores y otras. De hecho todas las covarianzas son iguales a cero, por lo tanto obtenemos la varianza de toda la rentabilidad del capital mediante

11

2 21 11

0

'

0

d dd

dd

σ

σ π σ π σ π π

σ

= ⋅ + + ⋅ =

⋯ ⋱ .

En caso de que los valores estén relacionados mutuamente, esto influye en la fórmula de la covarianza. La fórmula para la varianza de la rentabilidad de todo el capital se puede representar de forma sencilla mediante una matriz:

( ), 1

'd

i ij j

i j

Var Rπ π σ π π πσ

=

= =∑ .

Con la ayuda de estas consideraciones y relaciones podemos ahora representar tres formas posibles de enunciar el Principio de esperanza-varianza, que aparecen en los libros y que están estrechamente relacionadas:

142

i) “Maximizar la rentabilidad esperada con una varianza acotada“

1

max '

. : 0, 1, '

dR

d

i i

i

s a C

ππ µ

π π π πσ

∈

=

≥ = ≤∑

ii) “Minimizar la varianza de la rentabilidad con una determinada esperanza mínima“

1

min '

. : 0, 1, '

dR

d

i i

i

s a K

ππ π

π π π µ

σ∈

=

≥ = ≥∑

iii) “Maximizar la diferencia con pesos de la rentabilidad de esperada y su varianza“

( )

1

max ' '

. : 0, 1

dR

d

i i

i

s a

ππ µ λπ π

π π

σ∈

=

−

≥ =∑

Donde C, K, λ son constantes positivas dadas.

En principio estos tres problemas no son (directamente) equivalentes para cualquier valor de las constantes C, K, λ. Sin embargo siempre se puede dar una tripleta (C, K, λ) que nos conduzca a una solución de una cartera de valores π igual para todos. Observaciones del procedimiento general de resolución: Respecto a la solución explícita hemos de observar que los dos últimos problemas ii) y iii) consisten en minimizar o maximizar una función objetivo cuadrática con unas restricciones que delimitan una región factible. Para resolver esta clase de problemas existen métodos estándar de optimización cuadrática, como por ejemplo, el algoritmo de Gill y Murray (1978) o de Goldfarb y de Idean (1983), que son rápidos y eficientes. La primera formulación i) del problema de esperanza-varianza consiste en maximizar una función objetivo lineal sobre una región factible, que está determinada mediante una restricción cuadrática y otras lineales. Aquí no existen procedimientos estándar. Es cierto que se podría acudir a procedimientos de optimización no lineales, pero éstos no son especialmente eficientes, ya que no se puede sacar ninguna ventaja de la estructura especial del problema. Un método iterativo para la resolución de este problema mediante la resolución de una serie de problemas de la segunda formulación fue escrito en Khon (1997).

Nota: “El efecto de diversificación“

Un consejo sabio para invertir en bienes arriesgados dice que la fortuna no se debe invertir nunca en una sola alternativa. Se debería siempre tener una cartera de valores diversificada (así pues una mezcla sana de distintas alternativas), para tener el menor riesgo posible (aquí se compara también con las observaciones ya hechas en la resolución gráfica del problema para tres valores). Esto ya era conocido desde hace muchos años, sin la matemática actual y obviamente sin modelos matemáticos. De manera que ya en la época de Babilonia hace 3000 años se recomendaba, distribuir la fortuna en las tres alternativas básicas; en el suelo, en bienes de producción y en productos de venta fácil. Para darle a este principio de diversificación también un fundamento matemático, les mostramos en la siguiente proposición; la desviación típica de una cartera de valores con distintas posibilidades de inversión (como por ejemplo

143

acciones) es siempre menor o igual que la de la suma con pesos de las desviaciones típicas de cada una de las inversiones:

Teorema

Para una cartera de valores cualquiera cuyo vector sea π con componentes no negativas, sea

( ) ( ):R Var Rπ πσ =

la desviación típica del capital final de la cartera de valores. Entonces se cumple:

( ) ( )1

d

i i

i

R Rπσ π σ

=

≤∑ .

Demostración: Debido a que cualesquieras variables aleatorias X e Y verifican las relaciones

( ) ( ) ( ) ( )2 ,Var X Y Var X Var Y Cov X Y+ = + + ,

( ) ( ) ( ),Cov X Y X Yσ σ≤ ⋅ ,

tenemos que

(*) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

2 ,X Y Var X Y Var X Var Y Cov X Y X Yσ σ σ+ = + = + + ≤ + .

Se elige

1 1

2

,d

i i

i

X R Y Rπ π=

= =∑ ,

entonces obtenemos de (*)

(+) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

2

d

i i

i

R X Y X X R Rπσ σ σ σ π σ σ π

=

= + ≤ + = +

∑ .

Ahora repetimos esta estimación d−1 veces para la desviación típica de la suma (+), obteniéndose así la afirmación. Otra repercusión importante del efecto de diversificación se observa en el caso de acciones incorreladas, i.e., cuando tenemos

( ), 0 para , , 1,...,i jCov R R i j i j d= ≠ = .

El capital se divide de forma que en cada acción se invierta la misma cantidad, de forma que se cumple:

( ) ( ) ( )1 12

1

1 ,...,

d

i d d

i

Var R Var R parad

π π=

= =∑ .

Para ilustrar las repercusiones de esta fórmula, observamos el caso especial en el que todas las acciones posean la misma varianza de la rentabilidad. Entonces la varianza de la cartera de valores es solamente la 1/d – parte de la varianza, que tendría si se invirtiese todo el capital en una sola acción. En este caso especial se cumple:

( ) ( ) ( )1 11

1 ,...,d dVar R Var R para

d

π π= = .

Esto se corresponde para valores de d medianos y grandes con una gran reducción del riesgo, que se conseguiría sólo por diversificación.

144

Discusión 9:

Llegados a este punto podemos comenzar un debate sobre el efecto de diversificación y las críticas que esto proporciona. Un buen ejemplo sería estudiar el caso de dos acciones cuyos precios son o cero o el doble. Esto significa que en el momento exacto que el precio de una de ellas se duplica, el precio de la otra cae a cero ¿Bajo qué puntos de vista tiene sentido la diversificación y bajo cuáles no?

Ejercicios

Ej.4.30 Sean dos acciones diferentes del mercado, la acción i tiene una rentabilidad esperada µi y la varianza de la rentabilidad es σii, i=1,2. La covarianza de la rentabilidad entre ambas acciones es σ12. Determinen una cartera de valores que mezcle apropiadamente estos dos valores, de manera que la rentabilidad mínima esperada sea K y la varianza de la rentabilidad sea mínima. Describan la resolución del problema con palabras, de forma que sea comprensible en la actualidad. a) µ1=0,06, µ2=0,1, σ11=0,2, σ22=0,5, σ12=0, K=0,08 b) µ1=0,06, µ2=0,1, σ11=0,5, σ22=0,2, σ12=0,3, K=0,08 c) µ1=0,06, µ2=0,1, σ11=0,2, σ22=0,4, σ12= −0,1, K=0,08 d) µ1=0,06, µ2=0,1, σ11=0,2, σ22=0,5, σ12=0,1, K=0,065

Ej.4.31 Sean dos acciones del mercado, la acción i tiene una rentabilidad esperada µi y la varianza de la rentabilidad es σii, i=1,2. la covarianza de la rentabilidad entre ambas acciones es σ12. También existe un valor sin riesgo en el mercado con varianza σ33=0 y una rentabilidad fija de µ3. Determinen una cartera que mezcle apropiadamente estos tres valores, de forma que la varianza esté acotada superiormente por C y la rentabilidad esperada sea mínima. a) µ1=0,06, µ2=0,1, µ3=0,05, σ11=0,2, σ22=0,5, σ12=0, C=0,08 b) µ1=0,06, µ2=0,1, µ3=0,05, σ11=0,2, σ22=0,4, σ12= −0,1, C=0,05 c) µ1=0,06, µ2=0,1, µ3=0,05, σ11=0,2, σ22=0,5, σ12=0,1, C=0,05 Ej.4.32 ¿Por qué merece la pena, a menudo, aceptar también para la cartera de valores una acción con una baja rentabilidad esperada? Fundamenten sus argumentos dando un pequeño ejemplo y realizando sus cálculos. Ej.4.33 Imagínense que existen en el mercado 5 acciones con unas propiedades que describiremos a continuación. Investiguen sobre el efecto de diversificación, que se origina por las distintas combinaciones de dos hasta cuatro acciones para la cartera de valores cuya varianza total sea mínima (Indicación: Con alumnos de nivel medio esto es casi imposible de resolver. Intenten reflexionar para encontrar una solución aproximada o utilicen alguna ayuda, como por ejemplo Excel). Finalmente calculen la rentabilidad esperada de esta cartera de valores y comenten sus resultados. Acción 1: µ1=0,08, σ11=0,2, σ12=0,1, σ13=0, σ14= −0,02 Acción 2: µ2=0,1, σ22=0,2, σ23=0, σ24= −0,2 Acción 3: µ3=0,06, σ33=0,2, σ34=0 Acción 4: µ4=0,03, σ44=0,2

4.Continuación de la discusión: ¡ por favor menor riesgo! – Optimización bajo nuevos enfoques

Poco a poco el jefe se fue dando cuenta de que la rentabilidad de invertir dinero, sólo en acciones de la compañía Windig y de Naturstromer S.A, oscilaba mucho, independientemente de cómo distribuyese la cartera de valores. Esto no se corresponde con la imagen que él tenía de una jubilación segura para sus trabajadores. El dinero que quiere dejar invertido a largo plazo no

145

debería estar expuesto a un riesgo tan alto. Tras la intensa charla con el jefe, el equipo asesor de la empresa se reunió de nuevo en la sala de reuniones. Mientras tanto, el cielo estaba tan oscuro debido a las oscuras nubes, que se deberían haber tomado la tarde libre .

Nadine: ¡Enciendan de nuevo la luz! ¡Hoy no cuesta nada la corriente por la tempestad de ahí fuera!

Sebastian: ¡Ahora también yo estoy tronando!. Imaginaos, que el jefe insiste en una varianza máxima de 0,001.

Nadine: Después de que le quedase claro, qué significaba la varianza de la rentabilidad, la inseguridad de la inversión era muy alta para él. Quería, que su capital estuviese bien seguro.

Sebastian: ¡Una varianza de 0,001 con estos valores! ¡Imposible! Mirad de nuevo los dibujos de Oliver y Selina (4.7 y 4.8). Evidentemente esta varianza no se puede alcanzar. La varianza más pequeña es aproximadamente 0,025.

Nadine: Exactamente es 0,024.

Sebastian: Ah bien. Sí se resuelve el problema de optimización para todas aquellas cotas C, que sean factibles, de forma que para cada C se obtiene también una rentabilidad óptima esperada. ¡La cota para la varianza C=0,001 no es factible!

Oliver: ¡Esto suena de nuevo a trabajo para mí! Para ello haré ahora mismo de nuevo una gráfica, en la que para cada una de las cotas factibles de la varianza se registre la rentabilidad óptima esperada:

(→Ej.4.34)

Dibujo 4.16 Conjunto eficiente esperanza-varianza

Sebastian: La gráfica de la función obtenida se denomina Conjunto eficiente esperanza-varianza. En este conjunto están todos los pares solución de nuestro primer problema de esperanza-varianza. De las cotas K de la esperanza sólo tomaremos aquellas en las que todos los valores que la cumplan verifiquen también la restricción de la exigencia de una mínima rentabilidad.

Nadine: ¿Y a quién le interesa eso? ¡La varianza sigue siendo para el jefe muy grande! Volvamos al tema principal. Sí, le he propuesto invertir una parte del dinero en valores de interés fijo. En estos momentos los intereses son de un 5 % anual y eso es bastante seguro. ¡Sin oscilaciones y varianza! Esta vez se alegraba al recordar esos aburridos valores.

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Oliver: Si distribuimos el dinero inteligentemente, el jefe obtendrá una varianza del 0,001 y con ello una buena rentabilidad.

Nadine: Eso significa, que tenemos ahora como función objetivo “maximizar la rentabilidad“. Como ahora sólo tenemos un valor más, la rentabilidad total se compone de tres esperanzas:

31 21 2 3

*

100 100 100 100

rr rry y y= ⋅ + ⋅ + ⋅ .

K representa de nuevo nuestro capital. De donde las cantidades xi , i=1,2,3, se invierten en los valores i-ésimos, yi = xi /K , i=1,2,3, son las participaciones en el valor i-ésimo del capital total. El valor i-ésimo tiene una rentabilidad esperada del ri %, i=1,2,3. Entonces la rentabilidad total esperada es r*%.

Selina: Pero espera, el valor a interés fijo no tiene ninguna influencia aleatoria y por lo tanto no tendrá ninguna esperanza.

Sebastian: ¡Sí! La rentabilidad de un valor a interés fijo tiene una mala esperanza igual que el de una aburrida variable aleatoria, es decir los de un tipo de interés contínuo. La particularidad es, que la varianza de la rentabilidad es cero.

Nadine: Ahora introduzco nuestro valor. Sea y3 la participación del valor a interés fijo del capital total. Todo lo demás como antes:

1 2 3max 9,5 8 5y y y⋅ + ⋅ + ⋅ .

De manera que esta es la función objetivo de nuestro nuevo problema de optimización. Como restricción tenemos que la varianza de la rentabilidad debe ser como máximo 0,001.

Selina: Ya intuyo que ahora se complica.

Oliver: Las otras restricciones y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y1 + y2 ≤ 1 ya no son tan complicadas.

Sebastian: Así es, Selina tiene ya una intuición acertada. Pues desgraciadamente de la condición de la varianza se obtiene una restricción cuadrática:

2 2 21 2 30,06 0,04 0 0,001y y y⋅ + ⋅ + ⋅ ≤ .

Nadine: Por suerte la tercera varianza es igual a cero. Por lo tanto tenemos la ecuación de una elipse bidimensional. Con lo que obtenemos un problema de optimización no del todo complicado:

1 2max 4,5 3 5y y⋅ + ⋅ +

2 21 2. 0.06 0.04 0.001s a y y⋅ + ⋅ ≤

1 20, 0y y≥ ≥

1 2 1y y+ ≤ .

Oliver: ¿Debo dibujar de nuevo una gráfica?

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Dibujo 4.17 Cartera de valores con varianza igual o menor que 0,001

Para la varianza he dibujado la siguiente curva:

21

2

0,001 0,06

0,04

yy

− ⋅= .

Ésta es la curva de todas las carteras de valores con varianza de la rentabilidad igual a 0,001. Las carteras de valores, cuya varianza sea menor que 0,001, se encuentran por debajo de esta curva. Por lo tanto la región gris es la región factible. La restricción y1+y2 ≤ 1 en este caso no tiene ningún sentido, pues la condición de que la varianza debe ser pequeña es tan fuerte, que y1 e y2 deben ser muy pequeñas y la suma de ambas no debe ser próxima a uno. Esta vez tenemos una función objetivo lineal, esto lo podemos resolver gráficamente. Desplazamos la recta de la función objetivo

2 1

* 5 4,5

3 3

ry y

−= − ⋅

para distintos valores de rentabilidad fija r* simplemente paralelas hacía arriba:

Dibujo 4.18 Región factible con su función objetivo

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La recta de abajo tiene una rentabilidad del 5,5 %, y la recta de arriba una rentabilidad del 5,75 %. Parece, como si la recta de arriba cortase a la curva de la varianza en exactamente un punto. Las rectas con una mayor rentabilidad no tienen ningún punto de corte con la región factible, que son las rectas paralelas a ésta por encima. Así la rentabilidad del 5,75 % parece ser la máxima rentabilidad que se puede alcanzar por una cartera de valores con una varianza menor a 0,001.

Ya nos estamos acercando a la solución, pero no me lo puedo creer. Debo hacer una tabla con valores concretos. (→Ej.4.35)

Nadine: Oliver, yo no estoy muy segura si esto se cumple con una rentabilidad máxima del 5,75 %. Lo que podemos reconocer en una gráfica, la mayoría de las veces es bastante inexacto. Para el resultado exacto se debe encontrar la recta de la rentabilidad, que tiene exactamente un punto de intersección con la elipse de la varianza de 0,001. Para ello igualo la recta de la rentabilidad con la elipse de la varianza:

21

1

0,001 0,06* 5 4,5

3 3 0,04

yry

− ⋅−− ⋅ = .

Selina: ¡Espera, Nadine! Tú no conoces la rentabilidad óptima r*.

Nadine: Exacto, ahí está el truco. Tengo la información adicional, de que la recta sólo puede rozar a la elipse. Así que puedo tranquilamente seguir operando y elevar ambos miembros al cuadrado...

Mientras Oliver crea su tabla, Nadine hace los cálculos, Selina corre hacía el cuarto de baño para maquillarse, Sebastian abre el cuaderno propio de la empresa, reflexiona y dice de repente:

Sebastian: La rentabilidad óptima esperada es 5,75 %.

Nadine: ¡Eso es exactamente lo que me a dado a mí! ¿Cómo has encontrado el resultado tan pronto?

Sebastian: Sí, ¡ha merecido la pena que los asesores de nuestra empresa hayan seguido mi consejo de comprar un nuevo Software de optimización!

Oliver: ¡Aguafiestas! ¡Esta vez también se podía calcular a mano!

Sebastian: Pero cuando consideremos más valores y deban considerarse las posibles covarianzas, no se podrá volver a calcular a mano. Sin embargo, Oliver, un gran piropo para ti, es que has dibujado cuidadosamente todo.

Nadine: Yo tengo como solución:

1 2 30,1, 0,1 , 0,8y y y= = = .

¿Sebastian, coinciden estos con tus valores?

Sebastian: Sí, eso mismo tengo yo. Con esta distribución de los 2000 € con la varianza máxima fijada de 0,001 tendríamos la mejor rentabilidad, es decir 5,75 %.

Oliver: ¿Pero básicamente que quiere decir tomar una varianza de 0,001 para la rentabilidad de 5,75 %?

Nadine: De la varianza se calcula la desviación típica de la rentabilidad:

( ) 0,001σ =rentabilidad .

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Con esto se puede dar más o menos una región para la rentabilidad. Descuidadamente se podría decir que la rentabilidad de este capital de inversión tras un año se encuentra más o menos entre

5,75 5,75

0,001 0,001100 100

− ≤ ≤ + rentabilidad posible ,

2,58772 8,91228

100 100

≤ ≤rentabilidad posible .

Con esto la rentabilidad se encuentra en muchos casos entre 2,58 % y 8,91 %. Pero también puede ocurrir que sea mayor o menor.

Selina: ¿Acabo de escuchar 8,91 %? ¡Eso no suena mal! Todo debe ir bien y no deben existir más viernes negros en la bolsa.

Nadine: Selina, eres una optimista desesperada. ¡De todas formas esta vez al jefe le gustará la solución!

De hecho, el jefe está tan contento con estos resultados que está agobiando al equipo de asesoramiento de la empresa con numerosos problemas. Él les indica que le gustaría invertir su dinero como mínimo durante 30 años y hacer regularmente nuevos ingresos. Cuando uno de sus trabajadores alcance la edad de jubilación, tiene pensado transferir a este trabajador regularmente pequeñas cantidades de dinero de este capital, etc... Naturalmente este grupo de trabajadores de Clever Consulting debe ayudarle a encontrar un plan ideal de inversión para estos planes y atender a una distribución justa de pensiones para sus trabajadores. Mientras el equipo de Clever Consulting debía seguir trabajando con otros muchos problemas de optimización y de organización, tenemos por primera vez en este capítulo, la tarde libre.

Ejercicios

Ej.4.34 Tomen la fórmula que se necesita para representar el conjunto eficiente de esperanza-varianza (véase en el dibujo 4.15) y resuélvanla.

Ej.4.35 Completen la tabla de Oliver (véase en la conversación).

Valores a

interés fijo

Participación Compañía

Windig

Participación Acciones

de la

Naturstromer

S.A

Participación Esperanza

de la

rentabilidad

Varianza

de la

rentabilidad

1000 0.5 800 0.4 200 0.1

600 0 1400

1800 100 100

1400 400

1600 0 Ej.4.36 Continúen con las reflexiones de Nadine (véase en la conversación). Calculen para ello los puntos de corte de las rectas de rentabilidad con la elipse. Calculen luego la rentabilidad óptima y las participaciones óptimas. ¿Cuántos euros se deben invertir y en cuántos valores?

Ej.4.37 a) Imagínense que el jefe quiere una rentabilidad mínima del 7 %. A él le gustaría que el dinero fijo también esté a su disposición como forma de inversión, con lo que la varianza de la rentabilidad no será muy alta. El jefe insiste en un modo de inversión con la mínima varianza posible. Formulen para ello el problema de optimización correspondiente.

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b) Dibujen las gráficas para este problema (Indicación: En este caso la restricción y1+y2<=1 no se debe olvidar) (Segunda indicación: Prueben con las varianzas 0,015 y 0,0072 y observen que representan una elipse). c) ¿En qué región puede estar la rentabilidad esperada? ¿Queda asegurado como norma general el capital invertido en esta forma de inversión?

4.10 Resumen

Hemos investigado cómo se puede dividir una cantidad de dinero e invertirse en distintos valores. Dicha distribución en distintos valores se denomina cartera de valores. Como ya estamos familiarizados con las esperanzas y varianzas de las rentabilidades, así como con las covarianzas, podemos determinar con la ayuda del Principio de esperanza-varianza una cartera de valores óptima. Según las prioridades del inversor se elige entre dos representaciones distintas del problema de optimización:

Ejercicio de optimización 1: “Maximizar la rentabilidad total esperada de la cartera de valores “ Se quiere una varianza de la rentabilidad total con valor máximo C. De todas las posibles carteras de valores que cumplan esta condición, se escoge aquella de mayor rentabilidad esperada.

Ejercicio de optimización 2: “ Minimizar la varianza total de la cartera de valores“ Se quiere una rentabilidad esperada con valor mínimo K. De todas las posibles carteras de valores, que cumplan esta condición, se escoge aquella con mínima varianza de la rentabilidad.

En este trabajo se presentaron métodos gráficos de resolución para el caso de inversiones en dos y tres valores.

4.11 Optimización de una cartera de valores: Crítica de los fundamentos de la esperanza y el valor esperado y las investigaciones actuales

Hoy día el Principio de Esperanza-Varianza para optimizar una cartera de valores se utiliza en la práctica muy a menudo, a pesar de que fue descubierto en el año 1952 por H. Markowitz. Como ya hemos mencionado en el año 1990 Markowitz, junto con otros dos científicos, obtuvo el premio Nobel de Economía. Sin embargo presenta muchos principios cuestionables.

La varianza es una medida de riesgo controvertida, ya que una minimización o acotación de la varianza, como vimos en el principio de Markowitz, en el fondo castiga una desviación deseada positiva de la cartera de valores de su valor esperado. Como hemos visto minimizar la varianza (al menos parcialmente) presenta oportunidades mínimas. Por este motivo en la actualidad existen muchos trabajos en los que la varianza de la rentabilidad de una cartera de valores se sustituye por otra medida de riesgo, como p. ej. un cuantil de la rentabilidad a un determinado nivel.

El inconveniente más fuerte del Principio de Esperanza-Varianza consiste en que está basado en el denominado Modelo de un periodo. Sólamente se considerará un único periodo de negocios (que se puede decribir en un largo intervalo de tiempo). Al principio de este periodo el inversor organiza su cartera de valores según el criterio de esperanza-varianza elegido y lo mantiene sin cambios hasta el final del periodo. Da igual lo que ocurra en este periodo en el mercado de acciones, su cartera de valores no cambiará (al menos en este modelo). A su vez se crea una modelización de la evolución del precio de las acciones muy simplificado. La cotización de una única acción en el intervalo de tiempo [0,T] se describe sólamente mediante su esperanza y la

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varianza de su rentabilidad, así como mediante la covarianza de su rentabilidad con la rentabilidad de las restantes acciones. No existe ninguna modelización de la cotización de las acciones en el tiempo.

Para ofrecer un tratamiento estadístico de este inconveniente, se consideran en la optimización de una cartera los denominados modelos de más de un periodo, en el que el inversor puede tratar con varios puntos de tiempo finitos y discretos o incluso con tiempo contínuo, como p. ej. el modelo de Black-Scholes (véase en el capítulo 6).

En la optimización de una cartera de valores en modelos de varios periodos se maximiza frecuentemente la esperanza de los beneficios del capital final obtenido. Este beneficio se modela mediante una función cóncava y monótona creciente, que quiere decir, por una parte que el inversor quiere invertir mucho dinero, pero por otra parte con un capital grande obtiene un beneficio pequeño de las siguientes unidades monetarias (se habla también de “un beneficio final decreciente“). Mediante la introducción de una función beneficio se modela que el inversor no busca a toda costa el beneficio en cantidad sino las consecuencias (“las ganancias“) que se suceden de este beneficio. Además la suposición de tener una función beneficio cóncava, nos conduce automáticamente a que a iguales valores esperados del capital final se prefieren siempre estrategias de inversión sin riesgo a estrategias con riesgos. Se construye así un comportamiento sin riesgo en la función objetivo y no se necesitará la restricción de la acotación de la varianza.

Un ejemplo de dicha función beneficio es claramente el logaritmo. En caso de que un inversor quiera maximizar su beneficio logarítmico en un modelo de mercado constante en el tiempo (p. ej. el modelo de Black-Scholes), entonces la solución óptima le exige que se debe dedicar a su negocio de valores en cada punto de tiempo, para así mantener constantes las partes porcentuales del capital invertido en cada una de las acciones. Pero esto no es posible debido tanto a motivos físicos (“no existe una velocidad de reacción infinita“) como a motivos financieros (“operaciones contínuas conducen siempre a la ruina debido a los altos costes de transacción“). Sin embargo se puede mostrar (veáse Rogers (2001)), a modo de ejemplo, que una observación semanal de la estrategia óptima nos conduce a unas pequeñas desviaciones comparado con el beneficio obtenido de la estrategia óptima en tiempo continuo.

Otros aspectos actuales de la optimización de una cartera en el mercado de valores a tener en cuenta son; los altos costes de transacción; la optimización de una cartera de valores con coeficientes no seguros en el mercado; la optimización bajo la inclusión de opciones; la determinación de una estrategia óptima ante el riesgo de un inminente Boom; la decisión sobre óptimas inversiones bajo la demanda de valores altos para determinadas medidas de riesgo; inversiones óptimas en seguros entre otros.

Este espectro es con seguridad mucho mayor. Se debería quedar claro que aún existen otros problemas relevantes en la práctica por resolver en el campo de la optimización de una cartera de valores. Se pueden consultar otros métodos más modernos sobre la optimización de una cartera de valores, por ejemplo en Korn (2001) o en Korn (1997).

4.12 Otros ejercicios

El programa de Excel Ejemplo1.xls ofrece la posibilidad de jugar con distintos escenarios. Cambien los datos de las casillas coloreadas, p. ej. cada una de las rentabilidades, e intenten interpretar las gráficas.

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