OPTIMIZACIN A NIVEL LABORATORIO DEL PROCESO DE FLOTACIN MEDIANTE DISEOS EXPERIMENTALES DE UN MINERAL SULFURADO DE COBRE

PROVENIENTE DE CHILE

Orlando Ipanaqu Nizama Pedro Lpez Principe

OPTIMIZACIN A NIVEL LABORATORIO DEL PROCESO DE FLOTACIN MEDIANTE DISEOS EXPERIMENTALES DE UN MINERAL SULFURADO DE COBRE PROVENIENTE

DE CHILE Orlando Ipanaqu Nizama* Pedro Lpez Principe*

RESUMEN

El presente trabajo da a conocer las experiencias de aplicacin de la teora de Diseos Experimentales en la mejora del proceso de flotacin de un mineral sulfurado de cobre, muestra proveniente de Chile.

El proceso de flotacin es empleado desde hace mucho tiempo como un proceso Fsico-Qumico convencional para la concentracin de minerales de cobre, plomo, zinc, etc finamente molidos, la sensibilidad del proceso a diversos factores pueden afectar ostensiblemente su eficiencia hacindolos menos competitivos con respecto a otros procesos.

El presente estudio fue realizado en el laboratorio de Procesamiento de Minerales de la Facultad de Ingeniera, Departamento de Metalurgia de la Universidad de Santiago de Chile (USACH), gracias al convenio de investigacin entre la Universidad Nacional Mayor de San Marcos y la Universidad de Santiago de Chile, con el firme propsito de incentivar a los alumnos y egresados de dichas Universidades a la investigacin en el campo de la Metalurgia.

Para este trabajo hemos aplicado el Diseo Experimental Factorial Fraccionado para la primera etapa de Investigacin( Screening), ya que se contaba con suficiente muestra para llevar acabo las pruebas, se plantearon seis variables que a nuestro entender afectan el proceso de flotacin y se determinaron las ms significativas, se evalu la influencia de Las siguientes variables: pH de la pulpa, % de granulometra (malla100), adicin del colector principal (SF-323), adicin del colector secundario (Hostaflot LIB-C), adicin del espumante (MIBC) y agitacin de la pulpa (rpm), posteriormente se realizo la etapa de escalamiento, utilizando el mtodo de Pendiente Ascendente, para finalmente optimizar el modelo con un diseo hexagonal; Llegando a optimizar las variables influyentes en el proceso: % de Granulometra y Agitacin.

Los resultados obtenidos de las pruebas, han sido satisfactorios, se ha logrado incrementar la recuperacin del Cobre en la etapa Rougher hasta 93%, superior al 87% con el cual estaba trabajando la concentradora.

*Instituto de Investigacin de la Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera, Metalrgica y Geogrfica UNMSM, Telfax: (562 0000) E-mail: ino_03@yahoo.es, iigeo@unmsm.edu.pe

1. INTRODUCCIN

En el tratamiento de los minerales, para obtener resultados satisfactorios, es necesario la conjugacin de muchos factores, dentro de ellos determinar los parmetros o condiciones optimas para el control del proceso, la finalidad es obtener una buena calidad de concentrados con las mnimas perdidas.

Si bien el tratamiento de los datos estadsticos de muestras poblacionales tuvo sus comienzos en el campo de la Bioqumica y la Agricultura, desde aquellos aos todas Las ramas de la Ingeniera han puesto nfasis en aplicarlos, y como era de esperarse la Metalurgia tambin ha encontrado en ella una herramienta muy til, sobre todo con los Diseos Experimentales.

Mediante estos diseos se determina Las variables que tienen mayor significancia en el proceso, ya sea mediante el Diseo Factorial, Factorial Fraccionado, Plackett y Burman, etc y posteriormente se optimiza dichas variables con los diseos de optimizacin, entre ellos: Diseo Pentagonal, Hexagonal, Octogonal, Compuesto, etc.

2. ANTECEDENTES, JUSTIFICACIN, OBJETIVOS, ESTRATEGIA DE TRABAJO

ANTECEDENTES

En la actualidad la tendencia mundial hacia una economa globalizada, ha incrementado competitividad en las industrias en general, obligando por lo tanto a las empresas a incrementar su eficiencia, a travs de la optimizacin de sus diferentes procesos de fabricacin, as como el desarrollo de nuevos procesos y productos. Por lo general para lograr estos objetivos, se hace uso de un mtodo de experimentacin, que puede ser desde la experimentacin intuitiva, pasando por los Diseos Experimentales hasta los diseos robustos de Taguchi.

JUSTIFICACION

Al optimizar un proceso de flotacin en todo procesamiento de minerales mediante el uso racional de diseos experimentales y de una estrategia adecuada obtenemos las condiciones ptimas de una manera rpida, eficiente y confiable.

OBJETIVOS

El objetivo es realizar un estudio metalrgico a escala de laboratorio de un mineral sulfurado con miras a determinar un modelo matemtico para optimizar los ndices de recuperacin de un concentrado de cobre, en el proceso de flotacin.

ESTRATEGIA DE TRABAJO

Para cumplir con los objetivos propuestos se desarrollar un plan de trabajo que contempla:

1. Preparacin mecnica de las muestras, a travs de etapas sucesivas de reduccin de tamao y tamizado se lograr un tamao de 100% menos 10 mallas en la muestra inicial de trabajo, posteriormente a travs de mtodos de homogenizacin y cuarteo se obtendr muestras representativas de aproximadamente 1 kilogramo.

Cintica de molienda:

Se establecer la carga de bolas adecuadas para este trabajo Se realizar moliendas a diferentes tiempos (5, 10, 15, 20 minutos) Se realizar el anlisis granulomtrico, empleando las mallas tyler 28, 35, 48, 65, 100, 150, 200, 270, 325 y 400, a los productos de molienda, incluyendo la muestra inicial para determinar la curva de cintica de molienda.

2. Caracterizacin del mineral:

a) Anlisis qumico:

Ley de cobre total Ley de Fierro total

b) Calibracin de la curva de molienda.

c) Ensayos de flotacin: A partir de pruebas experimentales se determinar el tiempo ptimo de flotacin (cintica de flotacin), mediante este esquema establecido para el tratamiento de esta mena se evaluaran la influencia de las diferentes variables operacionales que influyen en este proceso, como son:

pH Granulometra Dosis de reactivos Agitacin,

El trabajo de investigacin se llevo acabo aplicando diseos experimentales probados en la industria minera peruana a escala industrial, para lo cual tendramos que aplicar 3 etapas bien definidas de trabajo:

I ETAPA: Llamada tambin etapa de depuracin o scrrening, que consiste en realizar pruebas de flotacin aplicando un diseo factorial, diseo factorial fraccionado, o diseo planckett y Burmann.

En esta primera etapa aplicamos un modelo matemtico de primer orden (ecuacin de una recta), es el primer intento de estudiar y determinar la significancia de cada una de la mayor parte de variables, si son hasta 3 variables se utiliza un diseo factorial 2n, para mayor de 6 variables existe el diseo factorial fraccionado o Plancckett y Burmann. Se trata de determinar la influencia de Las variables sobre la respuesta elegida usando como estadstico de discrecin el t student.

II ETAPA: Llamada etapa de escalamiento, cuando la regin optima se encuentra lejos de los experimentos iniciales, se inicia el escalamiento, que consiste en escalar sucesivamente hacia la regin optima hasta llegar a ubicarla, como quien empieza a caminar o escalar hacia el punto mas alto de un cerro, para este propsito se utiliza los diseos experimentales secuenciales

a. Directos: . Bsqueda simple(simples search) . Bsqueda mltiple(mltiple search)

b. Indirectos: . Mtodo de pendientes ascendentes o descendentes.

IIIETAPA: Es la parte final de la investigacin y lo llamamos etapa de optimizacin final, en esta regin los efectos de segundo orden son mayores en valor absoluto a los efectos de primer orden, lo que indica que esta regin puede ser descrito apropiadamente mediante modelos matemticos de segundo orden, en esta parte existe varios modelos pero los mas conocidos son el diseo Hexagonal (cuando se quiere investigar solo dentro del rango elegido) o el diseo octogonal (si se desea ampliar el rango), o en tres variables usando el DCC o Diseo Compuesto Central. Se estiman finalmente los mejores valores de las variables para lograr un valor mximo o mnimo en la respuesta elegida, usando como estadsticos de discrecin el F de la regresin y F de la tabla de ajuste.

3. MARCO TEORICO

DEFINICION DEL PROCESO DE FLOTACION

La flotacin es un mtodo fsico-qumico para la concentracin de minerales finamente molidos. El proceso implica el tratamiento qumico de una pulpa de mineral, a fin de crear condiciones favorables para la anexin de ciertas partculas minerales a burbujas de aire, las que al subir a la superficie de la pulpa llevan consigo los minerales seleccionados, formando una espuma estabilizada desde la cual se recuperan las especies tiles mientras que el material no til permanece sumergido en la pulpa.

Los reactivos agregados alteran las propiedades superficiales de la partcula mineral, desde una condicin hidrofbica, ocasionando un desplazamiento del agua, permitiendo la adherencia del slido al aire de la burbuja.

En general no pueden recuperarse de manera efectiva partculas de mineral sulfuroso mayores de la malla 48 Tyler (0,295mm), luego, para que un mineral pueda flotarse debe molerse aun tamao lo suficientemente fino para que la mayor parte de l quede liberado.

MECANISMO DE FLOTACION

El mecanismo esencial de la flotacin involucra la anexin de partculas a las burbujas de aire, de tal modo que dichas partculas sean llevadas a la superficie de la pulpa mineral, donde puedan ser removidas. Este proceso abarca las siguientes etapas:

1- Moler el mineral a un tamao lo suficientemente fino para separar los minerales valiosos uno de otro, as como de la ganga.

2.- Preparar las condiciones favorables para la adherencia de los minerales deseados a las burbujas de aire.

3.- Crear una corriente ascendente de burbujas de aire en la pulpa del mineral.

4.- Formacin de una espuma cargada de mineral en la superficie de la pulpa.

5.- Remocin de la espuma cargada.

AGENTES DE FLOTACION Los agentes de flotacin pueden clasificarse como colectores, espumantes o modificadores.

COLECTOR Es el reactivo que produce la pelcula hidrofbica sobre la partcula mineral. Cada molcula colectora contiene un grupo polar y uno no polar. Cuando se adhieren a la partcula mineral, estas molculas quedan orientadas en tal forma que el grupo no polar o hidrocarburo queda extendido hacia fuera. Tal orientacin resulta en la formacin de una pelcula de hidrocarburo hidrofbico en la superficie del mineral. El largo de la cadena hidrocarburado est asociado a la mayor o menor repelencia al agua. La parte que se adhiere al mineral dar la fuerza y selectividad.

ESPUMANTE El propsito principal del espumante es la creacin de una espuma capaz de mantener las burbujas cargadas de mineral hasta que puedan ser removidas de la maquina de flotacin. Este objetivo se logra impartiendo cierta dureza temporal a la pelcula que cubre la burbuja.

Una vez sacada de la maquina de flotacin, la espuma debe disgregarse rpidamente, a fin de evitar interferencias con las etapas posteriores del proceso.

Una caracterstica primordial es la aptitud para reducir la tensin superficial del agua. Tambin un espumante debe ser efectivo en concentraciones pequeas y libre de propiedades colectoras.

La mayora de los espumantes son compuestos heteropolares orgnicos, en que la parte orgnica no polar repele al agua, mientras que la parte polar atrae a esta.

MODIFICADORES Se incluye aqu todos los reactivos cuya funcin no es colectar ni espumar.

4. PARTE EXPERIMENTAL

SCREENING: En la primera etapa de Optimizacin de un proceso de flotacin de un mineral sulfurado de cobre proveniente de CHILE, se eligi seis variables, que segn nuestro criterio pueden mejorar la recuperacin metlica de cobre (Y), estas variables son las siguientes:

NIVELES DE FACTORES

VARIABLES NIVEL (-)

NIVEL (0)

NIVEL (+)

Z1 = pH (unidades de pH) 10 10.5 11 Z2 = % Granulometra (malla 100) 78 85 92 Z3 = Colector principal: SF - 323 (gr/ tn) 5.1 7.1 9.1 Z4 = Colector secundario: Hostaflot LIB-C (gr/ tn) 4.5 6.5 8.5 Z5 = MIBC (gr/ tn) 5.2 7.2 9.2 Z6 = Agitacin de la pulpa (RPM) 900 1000 1100

Podemos investigar seis variables (n = 6) utilizando 32 pruebas experimentales, es decir que podemos fraccionar para k = 1.

N = 2n-k N = 26-1 N = 32

Como mencionamos anteriormente, podemos elegir como relacin de generacin a X6 = X1.X2.X3.X4.X5, si nuestro inters fundamental es investigar el efecto de cada uno de las variables independientemente.

La programacin de las pruebas experimentales y las respuestas para el Diseo Factorial Fraccionado (DFF) se muestra en la tabla siguiente:

TABLA DE PLANIFICACION DEL DISEO EXPERIMENTAL

N NATURAL CODIFICADA

Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 X1 X2 X3 X4 X5 X6 Y 1 10 78 5.1 4.5 5.2 900 -1 -1 -1 -1 -1 -1 86.50 2 11 78 5.1 4.5 5.2 1100 1 -1 -1 -1 -1 1 76.54 3 10 92 5.1 4.5 5.2 1100 -1 1 -1 -1 -1 1 88.87 4 11 92 5.1 4.5 5.2 900 1 1 -1 -1 -1 -1 92.83 5 10 78 9.1 4.5 5.2 1100 -1 -1 1 -1 -1 1 83.28 6 11 78 9.1 4.5 5.2 900 1 -1 1 -1 -1 -1 98.78 7 10 92 9.1 4.5 5.2 900 -1 1 1 -1 -1 -1 91.55 8 11 92 9.1 4.5 5.2 1100 1 1 1 -1 -1 1 88.82 9 10 78 5.1 8.5 5.2 1100 -1 -1 -1 1 -1 1 81.99

10 11 78 5.1 8.5 5.2 900 1 -1 -1 1 -1 -1 90.76 11 10 92 5.1 8.5 5.2 900 -1 1 -1 1 -1 -1 88.13 12 11 92 5.1 8.5 5.2 1100 1 1 -1 1 -1 1 82.37 13 10 78 9.1 8.5 5.2 900 -1 -1 1 1 -1 -1 90.67 14 11 78 9.1 8.5 5.2 1100 1 -1 1 1 -1 1 85.69 15 10 92 9.1 8.5 5.2 1100 -1 1 1 1 -1 1 92.71 16 11 92 9.1 8.5 5.2 900 1 1 1 1 -1 -1 93.63 17 10 78 5.1 4.5 9.2 1100 -1 -1 -1 -1 1 1 85.49 18 11 78 5.1 4.5 9.2 900 1 -1 -1 -1 1 -1 86.51 19 10 92 5.1 4.5 9.2 900 -1 1 -1 -1 1 -1 89.34 20 11 92 5.1 4.5 9.2 1100 1 1 -1 -1 1 1 90.84 21 10 78 9.1 4.5 9.2 900 -1 -1 1 -1 1 -1 89.15 22 11 78 9.1 4.5 9.2 1100 1 -1 1 -1 1 1 83.53 23 10 92 9.1 4.5 9.2 1100 -1 1 1 -1 1 1 92.59 24 11 92 9.1 4.5 9.2 900 1 1 1 -1 1 -1 93.27 .25 10 78 5.1 8.5 9.2 900 -1 -1 -1 1 1 -1 90.41 26 11 78 5.1 8.5 9.2 1100 1 -1 -1 1 1 1 84.85 27 10 92 5.1 8.5 9.2 1100 -1 1 -1 1 1 1 92.23 28 11 92 5.1 8.5 9.2 900 1 1 -1 1 1 -1 93.70 29 10 78 9.1 8.5 9.2 1100 -1 -1 1 1 1 1 86.21 30 11 78 9.1 8.5 9.2 900 1 -1 1 1 1 -1 89.96 31 10 92 9.1 8.5 9.2 900 -1 1 1 1 1 -1 92.47 32 11 92 9.1 8.5 9.2 1100 1 1 1 1 1 1 90.82

Para saber cuantitativamente cunto afectan las variables sobre la respuesta de un proceso se determina el clculo de los efectos, los cuales se definen como la diferencia entre los valores medios de las respuestas, cuando en los tratamientos respectivos la variable se encuentra en su nivel inferior y cuando se encuentra en su nivel superior definido por:

donde:

Y+: Sumatoria de las respuestas correspondiente al nivel superior de la variable en cuestin

Y-: Sumatoria de las respuestas correspondientes al nivel inferior de las variables en

cuestin. N : Nmero de pruebas experimentales (32)

Luego se muestra la matriz de variables independientes:

[ ][ ]2/2/ NYX

NYY

ET

X i=

= +

N Xo X1 X2 X3 X4 X5 X6 X1X2 X1X3 X1X4 X1X5 X1X6 X2X3 X2X4 X2X5 X2X6 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 3 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 4 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 5 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 6 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 7 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 8 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 9 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

10 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 11 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 12 1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 13 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 14 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 15 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 16 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 17 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 18 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 19 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 20 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 21 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 22 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 23 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 24 1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 25 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 26 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 27 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 28 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 29 1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 30 1 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 31 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 32 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

[X]T[Y] 2833.42 -9.78 74.90 30.67 19.82 29.30 -59.77 6.56 -0.64 3.68 0.93 -30.07 4.39 -23.87 3.40 28.42 Efectos ......... -0.61 4.68 1.92 1.24 1.83 -3.74 0.41 -0.04 0.23 0.06 -1.88 0.27 -1.49 0.21 1.78

X3X4 X3X5 X3X6 X4X5 X4X6 X5X6 X1X2X3 X1X2X4 X1X2X5 X1X2X6 X1X3X4 X1X3X5 X1X3X6 X1X4X5 X1X4X6 X1X5X6 Y 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 86.50 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 76.54 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 88.87 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 92.83 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 83.28 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 87.71 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 91.55 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 88.82 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 81.99 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 90.76 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 88.13 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 82.37 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 90.67 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 85.69 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 92.71 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 93.63 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 85.49 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 86.51 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 89.34 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 90.84 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 89.15 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 83.53 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 92.59 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 93.27 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 90.41 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 84.85 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 92.23 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 93.70 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 86.21 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 89.96 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 92.47 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 90.82

4.72 -21.43 10.25 0.07 -5.98 23.29 -7.25 -20.51 10.29 -20.92 -1.12 -1.90 16.73 -2.80 -1.50 12.96 0.29 -1.34 0.64 0.00 -0.37 1.46 -0.45 -1.28 0.64 -1.31 -0.07 -0.12 1.05 -0.17 -0.09 0.81

ANLISIS DE VARIANCIA

0Y = (86.50 + 76.54 + ... + 90.82) /32 = 88.54

0iY = (87.14 + 88.73 + 87.47) / 3 = 87.78

Como se sabe, en el diseo factorial a dos niveles, asume que la relacin entre las variables y la respuesta es representada por un modelo matemtico lineal. De ser cierta dicha linealidad, el modelo debe predecir adecuadamente todos los puntos del diseo, inclusive el punto central del diseo. Por supuesto, es innecesaria la linealidad perfecta y el sistema 2k-p funcionar bastante bien incluso cuando la suposicin de linealidad se cumple slo de manera aproximada. De no ser cierta esta hiptesis, es decir que no prediga adecuadamente, especialmente el punto central del diseo, podemos afirmar que el modelo matemtico lineal no es suficiente para explicar las respuestas en dicha regin experimental y podemos asumir una posible existencia de curvatura. Para ello la adicin de pruebas en el punto central del diseo nos sirve para dar una estimacin promediada del efecto curvatura.

Donde: SSE = Suma de cuadrados del error Yi0 = Replicas en el punto central del diseo no = Nmero de replicas en el centro del diseo Y0 = Promedio de todas las pruebas

La suma de cuadrados para la curvatura est dada por:

0Y = Promedio de todas las pruebas

De acuerdo a las formulas planteadas se obtienen los siguientes resultados:

0Y 88.54 0

iY 87.78 SSerror 1.41

SScurvatura 3.37

Con el clculo de los efectos podemos aproximadamente a priori saber qu variables o factores pueden ser significativos, y la manera precisa y estadsticamente de medir se hace mediante el Teorema de Cochran, el cual puede resumirse en la siguiente expresin.

Donde:

( )21

00

=

=

on

iiE YYSS

( )oo

curvaturanNYYNnSS

+

=

200 )(

2

10 /

/fSSfSS

FEError

Efectos=

f1: Grados de libertad de los efectos e interacciones, generalmente iguales a 1 en los diseos factoriales a dos niveles.

f2: Grados de libertad de la suma de cuadrados del error; lo cual est calculado como la diferencia de los grados de libertad de la suma total de cuadrados menos la suma de los efectos o tratamientos (f3-f1).

f3: Grados de libertad de la suma total de cuadrados, definido como el nmero de pruebas experimentales realizadas (incluyendo las rplicas) menos 1 definido por la relacin (N+r-1).

Ahora bien, un efecto o interaccin es significativo si se cumple la siguiente relacin: Fo>=F,f1,f2 Donde F,f1,f2 es lo que denomina F de tablas, siendo el nivel de confiabilidad o significancia.

TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA Fuente de variacin

Suma de cuadrados

Grados de Libertad

Media de Cuadrados Fo

Ftabla (f1,f2=1,2)

99 % X1 2.987 1 2.987 4.241

98.50

X2 175.305 1 175.305 248.930 X3 29.392 1 29.392 41.735 X4 12.271 1 12.271 17.425 X5 26.828 1 26.828 38.095 X6 111.628 1 111.628 158.509

X1X2 1.344 1 1.344 1.909 X1X3 0.013 1 0.013 0.018 X1X4 0.423 1 0.423 0.601 X1X5 0.027 1 0.027 0.038 X1X6 28.254 1 28.254 40.120 X2X3 0.602 1 0.602 0.855 X2X4 17.809 1 17.809 25.288 X2X5 0.361 1 0.361 0.512 X2X6 25.241 1 25.241 35.842 X3X4 0.695 1 0.695 0.987 X3X5 14.345 1 14.345 20.370 X3X6 3.280 1 3.280 4.658 X4X5 0.000 1 0.000 0.000 X4X6 1.116 1 1.116 1.585 X5X6 16.944 1 16.944 24.060

X1X2X3 1.643 1 1.643 2.333 X1X2X4 13.143 1 13.143 18.663 X1X2X5 3.307 1 3.307 4.696 X1X2X6 13.682 1 13.682 19.428 X1X3X4 0.039 1 0.039 0.055 X1X3X5 0.113 1 0.113 0.161 X1X3X6 8.748 1 8.748 12.422 X1X4X5 0.245 1 0.245 0.348 X1X4X6 0.070 1 0.070 0.100 X1X5X6 5.249 1 5.249 7.454

Curvatura 1.594 1 1.594 SSMerror 1.408 2 0.704

Total 518.108 34

El F de la tabla para un nivel de significancia de 99% y para f1 = 1 y f2 = 2 grados de libertad respectivamente es 98.50, por lo tanto Las variables independientes % de granulometra y agitacin (RPM) son significativas mientras que el resto de las variables resultaron insignificativas; Puede advertirse que el efecto curvatura es muy significativo.

MODELO MATEMTICO

Uno de los resultados bsicos de la primera etapa de optimizacin es la obtencin de un Modelo Matemtico: Para hallar:

2Ejbj =

=

=

=

32

1

1 N

io XijYi

Nb

62 87.134.254.88. XXY est +=

Reemplazando los valores codificados de X2 y X6 en el modelo matemtico obtenemos valores estimados (Yest.), luego podemos hacer un anlisis de residuales.

TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA

N Y Yest. (Y-Yest.) (Y-Yest.) 2 1 86.50 88.0714 -1.57 2.47 2 76.54 84.3359 -7.79 60.75 3 88.87 89.0171 -0.15 0.02 4 92.83 92.7525 0.08 0.01 5 83.28 84.3359 -1.06 1.12 6 87.71 88.0714 -0.36 0.13 7 91.55 92.7525 -1.21 1.46 8 88.82 89.0171 -0.20 0.04 9 81.99 84.3359 -2.34 5.48 10 90.76 88.0714 2.69 7.25 11 88.13 92.7525 -4.62 21.32 12 82.37 89.0171 -6.65 44.16 13 90.67 88.0714 2.60 6.77 14 85.69 84.3359 1.35 1.83 15 92.71 89.0171 3.69 13.61 16 93.63 92.7525 0.88 0.77 17 85.49 84.3359 1.15 1.33 18 86.51 88.0714 -1.57 2.45 19 89.34 92.7525 -3.41 11.65 20 90.84 89.0171 1.82 3.31 21 89.15 88.0714 1.08 1.16 22 83.53 84.3359 -0.81 0.65 23 92.59 89.0171 3.57 12.78 24 93.27 92.7525 0.51 0.26 25 90.41 88.0714 2.34 5.48 26 84.85 84.3359 0.51 0.26

27 92.23 89.0171 3.21 10.33 28 93.70 92.7525 0.95 0.90 29 86.21 84.3359 1.88 3.52 30 89.96 88.0714 1.89 3.56 31 92.47 92.7525 -0.29 0.08 32 90.82 89.0171 1.80 3.25

SSresidual 228 SCMerror 7.87 F 11.17

Donde: N = 32, I = 3

La diferencia (N I), se denomina grados de libertad del residual, el cual denotaremos como f4 =29. Ahora bien para saber estadsticamente si el modelo matemtico hallado representa adecuadamente a los datos experimentales mediante el Test 0F .

=

=

=

32

1

2

)(.)(N

i INYestYlSCMresidua

SSMerrorlSCMresiduaF =0 704.0

87.7

0 =F

17.11

0 =F

0F < )2,4,( ffF Donde: = 99% f4 = 29 f2 = 2 F tabla = 99.47, por lo tanto: 11.17 < 99.47

Para un nivel de confianza de 99% y para 29 y 2 grados de libertad el F de la tabla es: 99.47, entonces el modelo ajusta a los datos experimentales.

DECODIFICACION DEL MODELO MATEMTICO A ESCALA NATURAL

Es importante decodificar el modelo matemtico hallado a escala natural especialmente cuando se desea graficar a travs de un graficador o para aplicar la etapa siguiente de Optimizacin. Se ha deducido formulas para la descodificacin.

Para el termino independiente:

=

=N

jjiijbijijbjba

100 ,

Para el termino lineal:

87.7332

228=

=lSCMresidua

=

=

=

1

1

0,

N

ijj jiZij

bijZj

bjajZ

Para el termino interaccin:

ZjZibijZaijZ JI =

00

Donde:

0jZ = Centro del diseo para la variable j = 2

minmax ZZ +

Zj =Radio del diseo para la variable j =2

minmax ZZ

= Resultado de la divisin Zj entre Zj = Zj

Z j

0

Partiendo del modelo matemtico hallado:

62 87.134.254.88. XXYest +=

Z2 Z6 Nivel (-) 78 900 Nivel (+) 92 1100 Centro del diseo 0jZ 85 1000 Radio del diseo Zj 7 100 Relacin 12.14 10

Reemplazando datos con Las formulas anteriores:

83.78)10)(87.1()149.12)(34.2(54.880 ==a

33.0734.2

2 ==a , 02.010087.1

3 =

=a

Por lo tanto el modelo matemtico a escala natural es:

62 02.033.083.78 ZZY +=

GRAFICO

Estimated Response Surfacex1=10.5,x3=7.1,x4=6.5,x5=7.2

x2 x6

R

78 81 84 87 90 93 900940 980

10201060110083

8587899193

ESCALAMIENTO

La variables, % de granulometra y agitacin de la pulpa son factores que inciden directamente en la recuperacin del cobre.

Z2 Z6 Centro del diseo 0jZ 85 1000 Radio del diseo Zj 7 100 Relacin 12.14 10 bj 2.34 -1.87 bj . Zj 16.38 -187

j 2.19 -25

kk

x

ZbZbZbZb

=

=

=

...

133

3

22

2

11

jZZ jj =+ 0

Los recorridos experimentales y los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla.

N Z2 Z6 Y 1 85.00 1000 84.19 2 87.19 975 87.58 3 89.39 950 88.72 4 91.58 925 89.85 5 93.77 900 92.11

Como puede observarse en la tabla anterior, la prueba N 5 muestra la mayor recuperacin de cobre, se muestra un incremento en Y cuando se incrementa el % de granulometra (tiempo de molienda) y cuando se disminuye la agitacin de la pulpa, no se continuo con mas experimentos debido a que a agitacin menor de 900 rpm no haba produccin de espumas.

Por lo tanto la prueba N 5 muestra la mayor recupe racin de cobre, por lo tanto podemos afirmar que en este punto se encuentra la regin optima y que para describirla necesitamos aplicar un diseo experimental de segundo orden.

OPTIMIZACION FINAL

VARIABLES

NIVELES (-) (0) (+)

Z5 90 92 94 Z6 900 925 950

DISEO HEXAGONAL

Es el diseo ms popular usado por los investigadores, muy til para estimar modelos de segundo orden, el cual consiste en seis puntos experimentales correspondientes a un hexgono regular, mas los puntos necesarios replicados en el centro para estimar la varianza del error experimental.

La matriz codificada del diseo hexagonal:

N X2 X6

1 1 0

60 X1

X2

1

2 3

4

5 6

0

2 0.5 0.866 3 -0.5 0.866 4 -1 0 5 -0.5 -0.866 6 0.5 -0.866 7 0 0 8 0 0

Para calcular los valores de Las variables a escala natural, se emplea la siguiente expresin:

ZjXjZZj j += 0

N Z2 Z6 (-) 90 900 (+) 94 950

0Z

92 925 Z 1 25

92 37

Reemplazando datos en la expresin anterior los valores a escala natural, la matriz a escala natural del diseo hexagonal:

N Z2 Z6

1 93 925 2 92.5 946.65 3 91.5 946.65 4 91 925 5 91.5 903.35 6 92.5 903.35 7 92 925 8 92 925

N CODIFICADO NATURAL RECUPERACIN X2 X6 Z2 Z6 (Y) 1 1 0 93 925 92.10 2 0.5 0.866 92.5 946.65 89.84 3 -0.5 0.866 91.5 946.65 86.47 4 -1 0 91 925 90.99 5 -0.5 -0.866 91.5 903.35 92.13 6 0.5 -0.866 92.5 903.35 93.25 7 0 0 92 925 90.95 8 0 0 92 925 90.99

Los efectos estimados para Recuperacin de Cobre:

Esta tabla muestra cada uno de los efectos estimados e interacciones. Tambin muestra el error normal de cada uno de los efectos.

FACTORES EFECTO ERROR NORMAL Promedio 90.97 + / - 0.690085 Factor A: Granulometra 4.47333 + / - 2.25381 Factor B: Agitacin -5.23672 + / - 1.12694 AA 4.6 + / - 7.80742 AB 5.1963 + / - 4.50775 BB -1.84344 + / - 1.95197

La ecuacin final de Optimizacin es la siguiente:

2122

2121 20.584.160.424.547.497.90 XXXXXXY +++=

Los errores normales son basados en el error total con 2 d.f.(grados de libertad)

Estimated Response Surface

GranulometriaAgitacionRe

cupe

raci

on

de

co

bre

90 91 92 93 94 900910 920

930 94095084

868890929496

La meta: Aumentar al mximo Recuperacin del cobre

El valor ptimo = 93.1354

Esta tabla muestra la combinacin de niveles de los factores que aumentan al mximo

El factor Bajo Alto ptimo Granulometra 91.0 93.0 93.0 Agitacin 903.35 946.65 907.082

5. CONCLUSIONES:

1. Se logro incrementar la recuperacin de cobre de 87 a 93%.

2. Las variables ms significativas: % de granulometra y agitacin fueron optimizados.

3. Las condiciones optimas en el proceso fueron: % Granulometra = 93% malla 100 Agitacin = 907 rpm Recuperacin de cobre = 93.14%

4. La superficie adoptada por el modelo matemtico de segundo orden es de tipo silla de montar hacia arriba (mnimax), cuando b11 = (+) y b22 = (-).

5. Los Diseos Experimentales son tcnicas de Optimizacin confiables y probadas a nivel Industrial en nuestro Pas.

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9. Aplicacin del Diseo Experimental Plackett y Burman en la mejora del Procdeso Merrill-Crowe y el Lavado en Contracorriente, Bardales Torres, Wilson; Mamani Vidal; Alvarado , Edgar; Compaa Minera Poderosa S.A.