Operadores Vectoriales - UPM · 2004-10-13 · Electricidad y Magnetismo Curso 2004-2005 Grupo 23.1...

Electricidad y Magnetismo Curso 2004-2005

Grupo 23.1 Introducción 2-1

J.L. Fernández Jambrina EyM 1-32

Operadores Vectoriales

• Los operadores vectoriales describen el comportamiento de los campos en un entorno del punto en que se particularizan.

• Fundamentalmente hay dos formas de trabajar con campos:– Expresiones integrales: circulaciones y flujos.

» son más intuitivas.» permiten las discontinuidades de los campos.» requieren elementos adicionales: contornos, superficies y volúmenes

– Expresiones diferenciales: gradientes, divergencias y rotacionales.» son más manejables.» requieren la continuidad y existencia de derivadas de los campo.» se basan en los operadores vectoriales.

• Comentarios sobre las discontinuidades– se deben a cambios en la composición del medio.– Los puntos en los que no hay discontinuidades de los medios se denominan

puntos ordinarios.


• Conviene recordar como se aproxima una función en las proximidades de un punto, x=a, siempre que la función y sus derivadas sean continuas:

– Para una función escalar de una variable:

– Si la diferencia ∆x=x-a es pequeña, se puede obtener una buena aproximación con sólo los dos primeros términos:

– En la práctica el punto alrededor del que se realiza el desarrollo se suele llamar x y el punto en el que se aplica x+∆x:

» Y si el incremento es infinitesimal:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )

( ) ⋅⋅⋅+−−

+⋅⋅⋅+−′′

+−′+=−−

!1!2

112

naxafaxafaxafafxf

nn

( ) ( ) ( ) dxdxdfxfdxxfxdf =−+=

Desarrollos en serie de Taylor

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xafafxaffxafafxaf ∆′≈−∆+=∆⇔∆′+≈∆+

( ) ( ) ( ) xxfxfxxff ∆′≈−∆+=∆




• Para funciones escalares de tres variables (las coordenadas) e incrementos pequeños alrededor de un punto P(u1,u2,u3):

– de forma más compacta:

– Y si los incrementos son infinitesimales:

• En el caso de funciones vectoriales, no sólo hay que considerar cada componente como una función escalar sino que también los vectores unitarios son susceptibles de cambio.

( ) ( ) 33

22

11

321332211

321

321

321

,,,, uuUu

uUu

uUuuuUuuuuuuU

uuu

uuu

uuu

∆+∆+∆+≈∆+∆+∆+∂∂

∂∂

∂∂

33

22

11

duuUdu

uUdu

uUdU

∂∂

∂∂

∂∂

++=

Desarrollos en serie de Taylor (2)

( ) ( ) uuUu

uUu

uUPUPPU

PPP

∆+∆+∆+≈∆+3

22

11 ∂

∂∂∂

∂∂


• El gradiente caracteriza el comportamiento de un campo escalar en el entorno de un punto.

• Expresión en curvilíneas generalizadas ortogonales:– Suponiendo un entorno infinitesimal alrededor de un punto ordinario y

suponiendo las derivadas particularizadas en dicho punto:

– Recordando la expresión del diferencial de longitud:

– Y con un poco de habilidad:333222111 ˆˆˆ uduhuduhuduhld ++=

r

Gradiente

( )44444 344444 21 r

ld

uduhuduhuduhuuU

hu

uU

hu

uU

h

duhuU

hduh

uU

hduh

uU

hdU

333222111333

222

111

3333

2222

1111

ˆˆˆˆ1ˆ1ˆ1

111

++⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=

33

22

11

duuUdu

uUdu

uUdU

∂∂

∂∂

∂∂

++=

Gradiente de U




• El gradiente de un campo escalar suele representarse por una de las dos expresiones siguientes:

– En estas transparencias se utilizará la segunda:– ∇ es un símbolo denominado nabla.

• Definición:– De la transparencia anterior:– Por otro lado, si l es una coordenada definida

a propósito en la dirección del desplazamiento:– Reuniendo ambas expresiones se obtiene la expresión que se utiliza

para definir el gradiente:

( )dllUldUdU ˆ⋅∇=⋅∇=r

)grad(U U∇

dll

UdU∂∂

=

El gradiente de un campo escalar es un campovectorial cuya componente en cualquier dirección es la derivada del escalar en esa dirección.

lUl

U ˆ⋅∇=∂∂

Definición de Gradiente

U∇


Expresiones del Gradiente

• Partiendo de la expresión general de curvilíneas y particularizando:

– Curvilíneas:

– Cartesianas:

– Cilíndricas:

– Esféricas:

333

222

111

ˆ1ˆ1ˆ1 uuU

hu

uU

hu

uU

hU

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

zzUy

yUx

xUU ˆˆˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

zzUUUU ˆˆ1ˆ∂∂

+ϕ∂ϕ∂

ρ+ρ

∂ρ∂

=∇

ϕ∂ϕ∂

θ+θ

∂θ∂

+∂∂

=∇ ˆsen1ˆ1ˆ U

rU

rr

rUU

⎪⎩

⎪⎨⎧

ρ=

==

ϕ

ρ

hhh z 1

1=== zyx hhh

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θ===

ϕ

θ

sen

1

rhrh

hr




Propiedades del gradiente

• Es un campo vectorial.• Es normal a las superficies isotímicas del

campo escalar.– Si el desplazamiento se realiza sobre una

superficie isotímica, dU=0 y:

• Su módulo coincide con la derivada direccional máxima del campo escalar.

• Su sentido es el de máximo crecimiento del campo escalar.

ldUldUdUrr

⊥∇⇒⋅∇==0

llUUlU

lU

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∇⇒⋅∇=∂∂ maxˆ

U1

U2

U3

U U U1 2 3< <

∇U

dlr

dlr


• La circulación entre dos puntos P y Q del gradiente de un campo escalar es el valor del campo escalar en Q menos su valor en P:

– La circulación de un gradiente sólo dependede los puntos extremos: Es independiente del camino seguido.

– La circulación de un gradiente a lo largo de un camino cerrado es nula.

• Si la circulación de un vector entre dos puntos cualesquiera es independiente del camino seguido, entonces existe un escalar tal que el vector es su gradiente:

– Escogiendo un punto de referencia, O:– El escalar queda determinado excepto una constante aditiva:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0=−+−=⋅∇+⋅∇=⋅∇ ∫∫∫ QUPUPUQUldUldUldUP

Q

Q

PC

rrr

( ) ( )PUQUdUldUQ

P

Q

P−==⋅∇ ∫∫

r

( ) ( ) ∫ ⋅=−P

OldAOUPUrr

P

Q

KldAU +⋅= ∫rr

P

Q

Circulación de un Gradiente




• Definiciones:– El flujo de un campo vectorial a

través de una superficie se define como:» es un vector de módulo dS y dirección

normal a la superficie. Sentido por convenio.

– Si la superficie es cerrada, el flujo se representa como:

» Por convenio es saliente del volumenencerrado por la superficie.

• Interpretación:– El flujo de un vector a través

de una superficie cerrada mide si las líneas de campo tienen su origen o su fin en el volumen encerrado:

Flujo de un vector a través una superficie

∫∫ ⋅S

SdArr

Sdr

∫∫ ⋅S

SdArr

dSr

S

s rA dS

S⋅ >∫∫ 0

s rA dS

S⋅ <∫∫ 0

s rA dS

S⋅ =∫∫ 0

dSr

S

Sdr


Divergencia

• Definición:

– V es el volumen encerrado por la superficie cerrada S.– La normalización respecto de V es necesaria para obtener resultados

finitos.

• La divergencia caracteriza el comportamiento punto a punto del campo vectorial respecto del flujo del mismo a través de superficies cerradas:

– Si es positiva, el punto es origen de líneas de campo.– Si es negativa, el punto es sumidero, final, de líneas de campo.– Si es nula, el punto no es ni principio ni final de líneas de campo.

( )V

SdAAAdiv S

VS

∫∫ ⋅=⋅∇=

→→

rrrr

00

lim




Expresión en curvilíneas ...

• Tomando un volumen muy pequeño limitado por superficies del tipoui=cte y cuyo centro es el punto de estudio, P(u1,u2,u3), ver figura, el flujo será la suma del flujo a través de las caras.

– Al calcular el flujo a través de la superficie superior, como corresponde a u3=cte y , resulta que sólocontribuye la componente A3:

– Si la superficie es pequeña, se puedesuponer constante A3 sobre ella y tomandoel valor en su centro:

( ) ( )

( )( )∫∫

∫∫∫∫

∆+

∆+∆+

∆+=

=⋅=⋅

2 333213

2 332

33

3333

2,,

ˆ

uuS

uuSuuS

dSuuuuA

dSuASdArrr

( )( ) ( )22,, 33333213233

uuSuuuuASdAuuS

∆+∆+=⋅∫∫ ∆+

rr

∆u3

∆u2∆u1

P

$ $n u≡ 3

3ˆˆ un ≡


Expresión en curvilíneas ... (2)

– Partiendo del valor del flujo a través de la superficie u3=cte que contiene el punto P:

es posible realizar la siguiente aproximación:

donde todos los términos están particularizados en P.

– Trabajando con la cara inferior se obtendría:

– Y sumando estas dos contribuciones:

( )( ) ( )22,, 33333213233

uuSuuuuASdAuuS

∆+∆+=⋅∫∫ ∆+

rr

( )( ) ( ) 21213333213 ,,

3

uuhhAuSuuuASdAuS

∆∆==⋅∫∫rr

( ) 213

3

2132132 233

uuuu

hhAhhASdAP

uuS∆∆⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆∂

∂+=⋅∫∫ ∆+

rr

( ) 213

3

2132132 233

uuuu

hhAhhASdAP

uuS∆∆⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆∂

∂−−=⋅∫∫ ∆−

rr

( ) ( ) 3213

21322 3333

uuuu

hhASdASdAP

uuSuuS∆∆∆

∂∂

=⋅+⋅ ∫∫∫∫ ∆−∆+

rrrr

∆u3

∆u2∆u1

P$ $n u≡ − 3

∆u3

∆u2∆u1

P

$ $n u≡ 3

∆u3

∆u2∆u1

P

$ $n u≡ 3




Expresión en curvilíneas ...(3)

• Repitiendo el proceso con las dos caras de la figura, u1=cte:

• Y con las dos restantes, u2=cte:

• Combinando los resultados:

• Y la divergencia:

∆u3

∆u2∆u1

P

( ) ( ) 3211

32122 1111

uuuu

hhASdASdAP

uuSuuS∆∆∆

∂∂

=⋅+⋅ ∫∫∫∫ ∆−∆+

rrrr

( ) ( ) 3212

132222 222

uuuu

hhASdASdAP

uuSuuS∆∆∆

∂∂

=⋅+⋅ ∫∫∫∫ ∆−∆+

rrrr

∆u3

∆u2∆u1

P321

3

213

2

132

1

321 uuuu

hhAu

hhAu

hhAS SdA

P

∆∆∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂=⋅∫∫

rr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

⋅=⋅∇ ∫∫

→→

3

213

2

132

1

321

32100

1limu

hhAu

hhAu

hhAhhhV

SdAA S

VS

rrr

∆ ∆ ∆ ∆V h h h u u u= 1 2 3 1 2 3


Expresiones de la Divergencia

• Curvilíneas:

• Cartesianas:

• Cilíndricas:

• Esféricas:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂=⋅∇

3

213

2

132

1

321

321

1u

hhAu

hhAu

hhAhhh

Ar

zA

yA

xAA zyx

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇r

zAAA

A z

∂∂

+∂ϕ∂

ρ+

∂ρ∂ρ

ρ=⋅∇ ϕρ 11r

∂ϕ∂

θ+

∂θθ∂

θ+

∂∂

=⋅∇ ϕθ Ar

Arr

Arr

A r

sen1sen

sen11 2

2

r




Teorema de Gauss

• Enunciado:

El flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada S es igual a la integral de la divergencia del campo extendida al volumen V encerrado por S, suponiendo que el volumen V contenga únicamente puntos ordinarios.

∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅VS

dVASdArrr

dSr

S

V


Teorema de Gauss (2)

• Demostración:– El volumen se puede dividir en un número arbitrario,

N, de subvolúmenes. – El flujo a través de la cara común de dos subvolúmenes

contiguos se cancela: la suma de los flujos a través de las superficies asociadas, Si, a los subvolúmenes es el flujo a través de la superficie externa.

– Si las Si son suficientemente pequeñas (N→∞),a partir de la definición de divergencia:

– Por tanto:∫∫∫∑∫∫ ⋅∇=⋅∇=⋅

∞→ V

N

iiNS

dVAVASdArrrr

lim

( ) iSVS

S

VS

VASdAV

SdAA

ii

rrrrr

r⋅∇=⋅⇒

⋅=⋅∇ ∫∫∫∫

→→

→→

00

00

limlim

∑∫∫∫∫ ⋅=⋅N

iSS i

SdASdArrrr

VS

$n

+ =




Circulación sobre contornos cerrados

• Ya se ha mencionado la circulación de uncampo vectorial a lo largo de contornos cerrados:

• Interpretación:– Si se supone que el campo representa la velocidad

de un fluido de densidad y viscosidad homogéneas,y que el contorno representa la guía de una cadenacon paletas, entonces la circulación muestra la tendencia de dicha cadena a desplazarse sobre la guía:

– Si la circulación es positiva, la cadena tenderá a moverseen el sentido definido como positivo.

– Si es negativa, en sentido contrario.– Si es nula, no se moverá.

• Importante:– La circulación no mide el que las líneas de campo den vueltas en un

sentido u otro, aunque se ve influenciada por dicho hecho.

C

dlr

∫ ⋅C

ldArr


Rotacional

• Definición:– Es un vector que se define componente a componente según la

expresión:

– Cu es un contorno contenido en una superficie u=cte– Su es el área de la superficie u=cte limitada por Cu.– La normal de la superficie se debe tomar según û, y el sentido positivo

de la circulación se debe relacionar con û según la regla del sacacorchos.

• El rotacional cuantifica la contribución del campo en cada punto a las circulaciones sobre contornos cerrados.

( ) ( )u

C

SCuu S

ldAAA u

uu

∫ ⋅=×∇=

→→

vrrr

00

limrot




• Comenzando por la componente û1, se puedeconsiderar el contorno de la figura y la superficieu1=cte correspondiente.

– Empezando a calcular la circulación por ellado de la derecha:

– Sólo contribuye la componente A3.

– A medida que la longitud del tramo tiende a cero, se puede aproximar el integrando por su valor en el centro del tramo y, a continuación, expresar a partir del valor en en punto P :

Expresión en curvilíneas ...

u1u2

u3

P

∆u2

∆u3

u1u2

u3

P

∆u2

∆u3

22

2

22 333

22

2

233233 333

33

33ˆ

uu

uuuuu

u

uuuu

b

aduhAduhuAldA

∆+

∆+∆−∆

+

∆+∆− ∫=∫ ⋅=⋅∫

rrr

32

2

3333

2

333 222

uuuhAhAuhAldA

PPuu

b

a∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆∂∂

+→∆→⋅∆

+∫

rr


–

– Trabajando con el lado opuesto:

– Combinado las contribuciones:

– La contribución de los otros dos lados es:

323

222

3

3

2222

23

3

2222

2

2

uuuhAu

ad

uuhAhA

cb

uuuhAhAldAldA

a

d

c

b

∆∆−=∆

→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−+

+

→

∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+−→⋅+⋅ ∫∫

∂∂

∂∂

∂∂

444 3444 21

4444 34444 21

rrrr


u1u2

u3

P

∆u2

∆u3

a

b

32

2

3333

22

2

333 2uu

uhAhAuhAldA

PPu

u

d

c∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆∂∂

−−→∆−→⋅∆

−∫

rr

u1u2

u3

P

∆u2

∆u3

c

d

32

2

3333

22

2

333 2uu

uhAhAuhAldA

PPu

u

b

a∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆∂∂

+→∆→⋅∆

+∫

rr

322

33 uuuhAldAldA

P

d

c

b

a∆∆

∂∂

→⋅+⋅ ∫∫rrrr

u1u2

u3

P

∆u2

∆u3

c

d

b

a





• Finalmente:

• La componente 2:

• La componente 3:

( )

3322

32323

22

2

33

32

3232

323

22

2

33

1001

11

lim 1

11

hAhAuu

hhuhA

uhA

hh

uuhh

uuuhA

uhA

S

ldAA C

SC

∂∂

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=

=∆∆

∆∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=⋅

=×∇∫

→→

rr

u1u2

u3

( )1133

13131

33

3

11

132

11

hAhAuu

hhuhA

uhA

hhA ∂

∂∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=×∇

( )2211

21213

11

1

22

213

11

hAhAuuhhu

hAuhA

hhA ∂

∂∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=×∇

u1u2

u3

u1u2

u3


• Curvilíneas:

• Cartesianas:

• Cilíndricas Esféricas

332211

321

332211

321

ˆˆˆ1

hAhAhAuuu

uhuhuh

hhhA

∂∂

∂∂

∂∂

=×∇r

zyA

xA

yxA

zAx

zA

yA

AAAzyx

zyx

A xyzxyz

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==×∇

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂r

zAAAz

z

A

ϕρ ρ∂∂

∂ϕ∂

∂ρ∂

ϕρρ

ρ

ˆˆˆ1

=×∇r

32

2

ˆˆˆ1

ArsenrAAr

rsenrr

senrA

r θ∂ϕ∂

∂θ∂

∂∂

ϕθθ

θ=×∇

r

Expresiones del rotacional




Teorema de Stokes

• Enunciado:

La circulación de un campo vectorial a lo largo de un contorno cerrado es igual al flujo de del rotacional del campo a través de una superficie abierta limitada por el contorno siempre que el sentido de circulación y la normal a la superficie estén relacionados por la regla del tornillo y únicamente estén involucrados puntos ordinarios.

CS

$n

∫∫∫ ⋅×∇=⋅SC

SdAldArrrr

Nota: Cada contorno tiene asociadas infinitas superficies a efectos de este teorema.


Teorema de Stokes (2)

• Demostración:– La superficie escogida se puede dividir en

un número arbitrario de subsuperficies manteniendo el sentido de circulación a sus contornos.

– Al sumar la circulación a lo largo de todos los contornos de la superficies, se cancelan las contribuciones de los lados interiores. Sólo queda la circulación a lo largo del contorno exterior:

– Si los contornos son suficientemente pequeños, a partir de la definición de rotacional:

– Si el número de subsuperficies tiende a infinito y su tamaño a cero:

C

( ) ∑∫∫∫

⋅×∇=⋅⇒⋅×∇=⋅⇒⋅

=×∇→→

N

iiiCiiC

u

C

SCu nSAldAnSAldA

S

ldAA

i

u

uu

ˆˆlim00

rrrrvrvr

r

+ = ∑∫∫ ⋅=⋅N

iCC i

ldAldArrrr

∫∫∑∫ ⋅×∇=⋅×∇=⋅∞→ S

N

iiiNC

SdAnSAldArrrrr

ˆlim




Definición alternativa del rotacional.

• La definición del rotacional utilizada:– Permite una interpretación directa útil.– Al definir el rotacional a través de sus componentes no permite

comprobar fácilmente que el rotacional es un vector.

• Algunos textos utilizan la definición:Esta definición:

– No permite una interpretación directa útil.– Hace evidente que el rotacional es un vector.

– Por su parecido con la definición de la divergencia, esta definición lleva directamente a la siguiente expresión integral:

– La verificación de esta expresión es prueba de que ambas definiciones con equivalentes (y de que el rotacional es un vector).

( )u

C

SCu S

ldAA u

uu

∫ ⋅=×∇

→→

vrr

00

lim

V

SdAA S

SV

∫∫ ×−=×∇

→→

rrr

00

lim

∫∫∫∫∫ ×−=×∇SV

SdAdVArrr


Definición alternativa del rotacional. (2)

– Se va a realizar la demostración término a término en coordenadas cartesianas:

» Definiendo un vector auxiliar de la formaes evidente que:

» Análogamente:

» Y ...

» Queda demostrado

∫∫∫∫∫ ×−=×∇SV

SdAdVArrr

( )yAyAyA z

zz ∂∂

=⋅∇ ˆ;ˆ

( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ =⋅=⋅∇=∂∂

S yzS zV zVz dSASdyAdVyAdV

yA r

ˆˆ

( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ =⋅=⋅∇=∂∂

S zyS yV yV

y dSASdzAdVzAdVz

A rˆˆ

[ ] ( ) [ ][ ] ( ) [ ][ ] ( ) [ ]

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

×−=×∇

×−=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=×∇

×−=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

=×∇

×−=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=×∇

SV

S zS yxxyVxy

V z

S yS xzzxVzx

V y

S xS zyyzV

yzV x

SdAdVA

SdAdSAdSAdVyA

xA

dVA

SdAdSAdSAdVxA

zAdVA

SdAdSAdSAdVz

AyAdVA

rrr

rrr

rrr

rrr




El operador nabla: ∇

• Repetidamente se ha utilizado el símbolo ∇ en la nomenclatura de los operadores descritos.

• Este símbolo representa un operador bien definido en coordenadascartesianas:

• En otros sistemas de coordenadas su definición no es tan clara, pero resulta útil para simplificar la nomenclatura.

• Tiene carácter vectorial y diferencial: se deben seguir las normas correspondientes para su aplicación.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇z

zy

yx

x ˆˆˆ


El operador nabla: (2)

• Gradiente:– Producto de un escalar por un vector:

• Divergencia:– Producto escalar de dos vectores:

• Rotacional:– Producto vectorial de dos vectores:

zzUy

yUx

xUU

zz

yy

xxU ˆˆˆˆˆˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

( )zA

yA

xAzAyAxA

zz

yy

xxA zyx

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=++⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=⋅∇ ˆˆˆˆˆˆr

( )zyx

zyx

AAAzyx

zyx

zAyAxAz

zy

yx

xA∂∂

∂∂

∂∂

=++×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=×∇

ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ




El operador nabla: ∇ (3)

• Existe una definición general:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

×−=×∇⇔×=×∇

⋅=⋅∇⇔⋅=⋅∇

=∇⇔=∇

⇒=∇

∫∫∫ ∫∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫∫

∫∫

→

→

→

→

V SSV

V SSV

V SSV

SV

SdAdVAASdV

A

SdAdVASdAV

A

SUdUdVSUdV

U

SdV

rrrr

rrrrrr

rr

or

o

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆

∆

∆

∆1

1

1

1

0

0

0

0

lim

lim

lim

lim


Derivada Temporal

• En rigor debería hablarse de derivada de un campo vectorial respecto de un parámetro, pero como este parámetro suele ser el tiempo se habla de derivada temporal

• Los detalles que se desea resaltar se entenderán mejor con un ejemplo:

– Dado un campo vectorial y un móvil cuya posición está dada por : Calcule el vector derivada del campo respecto al tiempo según se observa desde el móvil.

» Sin olvidar que los vectores unitarios dependen de la posición.

» donde:

• Las expresiones de la forma dependen de cada caso:

( )tuuuA ,,, 321

r

( ) ( ) ( )( )tututur 321 ,,r Ar

( )dtudA

dtudA

dtudA

dtdAu

dtdAu

dtdAuuAuAuA

dtd

dtAd 3

32

21

13

32

21

1332211ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ +++++=++=

r

tA

dtdu

uA

dtdu

uA

dtdu

uA

dtdA iiiii

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= 3

3

2

2

1

1 dtdu

uu

dtdu

uu

dtdu

uu

dtud iiii 3

3

2

2

1

1

ˆˆˆˆ∂∂

+∂∂

+∂∂

=

j

i

uu

∂∂ ˆ




Derivada Temporal (2)

• Cartesianas:

• Cilíndricas:

• Esféricas:

0ˆˆˆ0ˆˆˆ

0ˆˆˆ

=========dz

zddy

zddx

zddzyd

dyyd

dxyd

dzxd

dyxd

dxxd

0ˆ0ˆ0ˆ

0ˆˆˆ

0ˆ

0ˆˆˆ

0ˆ

==ϕ

=ρ

=ϕ

ρ−=ϕϕ

=ρϕ

=ρ

ϕ=ϕρ

=ρρ

dzzd

dzd

dzd

dzd

dd

dd

dzd

dd

dd

θθ−θ−=ϕϕ

=θϕ

=ϕ

ϕθ=ϕθ

−=θθ

=θ

ϕθ=ϕ

θ=θ

=

ˆcosˆsenˆ

0ˆ

0ˆ

ˆcosˆ

ˆˆ

0ˆ

ˆsenˆˆˆ

0ˆ

rdd

dd

drd

ddr

dd

drd

drd

drd

drrd


• Es frecuente que se apliquen de forma sucesiva dos operadores.– Los operadores vistos hasta ahora sólo tienen derivadas de primer

orden.– La combinación de dos operadores de primer orden da lugar a

operadores con derivadas de segundo orden.• Combinación de operadores sobre un escalar:

–

–

• Combinación de operadores sobre un vector:–

0 :gradiente del Rotacional =∇×∇ U

Combinación de operadores.

( ) 0 :rotacional del aDivergenci =×∇⋅∇ Ar

( ) ( ) AAArrr

×∇×∇−⋅∇∇=∆⎭⎬⎫

:Laplacianarotacional del Rotacional

adivergenci la de Gradiente

( ) UUU ∆=∇=∇⋅∇ 2 :gradiente del aDivergenci




Rotacional del gradiente de un escalar:

• Rotacional del gradiente:– Es nulo siempre:– Demostración:

Para cualquier contorno C y una de sus superficies S:

Luego el rotacional de un gradiente siempre debe ser nulo.– Consecuencia:

Si el rotacional de un vector es nulo, entonces ese vector es elgradiente de un escalar.

» Demostración: • Si el rotacional del vector es nulo, la circulación del vector entre dos

puntos es independiente del camino seguido.• Se puede construir el escalar a partir su valor en un punto:

• El escalar queda determinado a falta de una constante aditiva.

0=∇×∇ U

( ) 0=⋅∇=⋅∇×∇ ∫∫∫ CSldU

StokesSdU

rr

UAUldACAC

∇=∃⇒=⋅∀⇒=×∇ ∫rrrr

/0:0

( ) ( ) cte0

0 +⋅=⇔⋅+= ∫∫ ldAUldArUrUr

r

rrrrrr r

r

S$n

C


Laplaciana de un escalar:Definición y expresiones

• Es la divergencia de su gradiente:• Curvilíneas:

• Cartesianas:

• Cilíndricas:

• Esféricas:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∆⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂=⋅∇

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

33

21

322

13

211

32

1321

3

213

2

132

1

321

321

333

222

111 1

1

ˆ1ˆ1ˆ1

uU

hhh

uuU

hhh

uuU

hhh

uhhhU

uhhA

uhhA

uhhA

hhhA

uuU

hu

uU

hu

uU

hU

r

2

2

2

2

2

2

zU

yU

xUU

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆

2

2

2

2

22

2

2

2 1111zUUU

zUUUU

∂∂

+∂ϕ∂

ρ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ρ∂

ρ∂ρ∂

ρ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ρ+∂ϕ∂

ρ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ρ∂

ρ∂ρ∂

ρ=∆

2

2

2222

2

2

22

2

sen1sen

sen11

sen1sensen

sen1

∂ϕ∂

θ+

∂θ∂

θ∂θ∂

θ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ϕ∂

θ+

∂θ∂

θ∂θ∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

θ∂∂

θ=∆

Ur

Urr

Urrr

UUrUr

rrU

( ) UUU ∆=∇=∇⋅∇ 2




Laplaciana de un escalar: Interpretación

• Al tratarse de la divergencia del gradiente:– Será positiva en los puntos en que se generen líneas de campo del

gradiente: por ejemplo, en los puntos en que el escalar sea mínimo.– Será negativa en los puntos en que terminen líneas de campo del

gradiente: por ejemplo, en los máximos del escalar.• De alguna forma mide la concavidad del escalar.

-1-0.5

00.5

1

-1-0.5

00.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

XY

U(x,y)=sin(pi*x/2).*cos(pi*y/2)

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X

Y

grad(U)


Divergencia del rotacional de un vector.

• Divergencia del rotacional:

– Basta con tomar volumen arbitrario:

» Como C1 y C2 son el mismo contorno recorrido en sentidos contrarios, el resultado es nulo:

( ) 0=×∇⋅∇ Ar

( )∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫=⋅+⋅=⋅×∇+⋅×∇=

=⋅×∇=×∇⋅∇

2121

0CCSS

SV

ldAldASdASdA

SdAdVArrrrrrrr

rrr

+

S1$n

C1S2

$n

C2V

S




Divergencia del rotacional de un vector:Consecuencia

• Consecuencia 1:– El flujo de un vector de divergencia nula a través de

una superficie abierta sólo depende de su contorno.» Basta con considerar varias superficies con el

mismo contorno, S1 , S2... y cerrarlas con otra S0:

• Consecuencia 2:– Si la divergencia de un vector es nula, entonces el vector es el rotacional

de otro.» Si , siempre se cumplirá la consecuencia 1.

» Si , no tiene porqué cumplirse la consecuencia 1.• Nota: El conocimiento de no basta para determinar

S1

S0

S2

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫⋅=⋅⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅+⋅=⋅=

⋅+⋅=⋅=

⇒=⋅∇

+

+

21

2020

1010

0

00

SSSSSS

SSSS SdBSdBSdBSdBSdB

SdBSdBSdBB

rrrrrrrrrr

rrrrrr

r

ABrr

×∇=

ABrr

×∇≠

contorno delfuncion =⋅=⋅×∇=⋅ ∫∫∫∫∫CSS

ldASdASdBrrrrrr

Ar

×∇ Ar


Laplaciana de un vector.

• Definición:

• Su expresión es complicada, salvo en cartesianas:– Limitando el cálculo a su componente x:

( ) AAArrr

×∇×∇−⋅∇∇=∆

( )[ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] ( )[ ] [ ] xxxx

zxzy

zxxyyz

zyxzyx

AzA

yA

xA

xAxAxA

zA

yA

zxA

yxA

xA

zA

zyA

xA

yA

zA

yxA

zxA

yxA

xA

xzA

yA

xA

xA

∆=∂∂

+∂∂

+∂∂

=×∇×∇−⋅∇∇=∆

∂∂

−∂∂

−∂∂

∂+

∂∂∂

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

=×∇∂∂

−×∇∂∂

=×∇×∇

∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

∇=⋅∇∇

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

22

2

2

rrr

rrr

r




Laplaciana de un vector. (2)

• Repitiendo el cálculo para las componentes y y z:

– La laplaciana de un campo vectorial es otro campo vectorial cuyas componentes en coordenadas cartesianas (y sólo en cartesianas) son las laplacianas (escalares) de las componentes del campo original.

• Interpretación: complicada.

zAyAxAA zyx ˆˆˆ ∆+∆+∆=∆r


Teorema de Helmholtz

• Enunciado:

• Demostración:– La divergencia no basta:

– El rotacional no basta:

Para definir un campo vectorial es necesario especificar tanto su rotacional como su divergencia.

( ) ABAABAAr

43421

rrrrrr⋅∇=×∇⋅∇+⋅∇=′⋅∇⇒×∇+=′

0

( ) AUAAUAAr

43421

rrrr×∇=∇×∇+×∇=′×∇⇒∇+=′

0




Fuentes de los campos

• Puesto que un campo vectorial se determina a partir de su rotacional y de su divergencia, se definen ambas expresiones como sus fuentes.

• Las fuentes escalares son las que definen la divergencia del campo. – Ejemplo: la densidad de carga volumétrica es la fuente escalar de la

densidad de flujo eléctrico:

• Las fuentes vectoriales son las que definen el rotacional del campo.– Ejemplo: la densidad de corriente volumétrica es la fuente vectorial de la

intensidad de campo magnético en variación lenta:

ρ=⋅∇ Dr

JHrr

=×∇


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )zBA

yBA

xBABA

BAABABBABABAABBA

ABABBABABA

AUAUAUAUAUAUBABABABA

VUUVUVVUVUAAAA

UUU

CBDADBCADCBABACCABCBABACACBCBAABBA

zyx ∂∂

∂∂

∂∂

rrrrr

rrrrrrrrrr

rrrrrr

rrrrrrrrrr

rrrrrr

rrrrrrrr

rrrr

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

rvrvrrrrvrrrr

++=∇⋅

∇⋅−∇⋅+⋅∇−⋅∇=××∇×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇

×∇×+∇⋅+×∇×+∇⋅=⋅∇

×∇+×∇=×∇⋅∇+⋅∇=⋅∇×∇+×∇=+×∇⋅∇+⋅∇=+⋅∇∇+∇=∇∇+∇=+∇∆−⋅∇∇=×∇×∇=×∇⋅∇

=∇×∇∆=∇⋅∇

⋅⋅−⋅⋅=×⋅×⋅−⋅=×××⋅=×⋅=×⋅×−=×

00

Expresiones varias

Operadores Vectoriales - UPM · 2004-10-13 · Electricidad y Magnetismo Curso 2004-2005 Grupo 23.1...

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