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Operadores Pseudodiferenciales noArquimedianos y Semigrupos de Feller
ANSELMO TORRESBLANCA BADILLOTrabajo conjunto con el Dr. ISMAEL GUTIERREZ GARCIA
Universidad del Norte
Barranquilla-Colombia
Junio 7 de 2018
ANSELMO TORRESBLANCA BADILLO , Trabajo conjunto con el Dr. ISMAEL GUTIERREZ GARCIAOperadores Pseudodiferenciales no Arquimedianos y Semigrupos de Feller
Plan de la exposicion
Introduccion
Una clase de operadores Pseudodiferenciales
Semigrupos de Feller
ANSELMO TORRESBLANCA BADILLO , Trabajo conjunto con el Dr. ISMAEL GUTIERREZ GARCIAOperadores Pseudodiferenciales no Arquimedianos y Semigrupos de Feller
Plan de la exposicion
Introduccion
Una clase de operadores Pseudodiferenciales
Semigrupos de Feller
ANSELMO TORRESBLANCA BADILLO , Trabajo conjunto con el Dr. ISMAEL GUTIERREZ GARCIAOperadores Pseudodiferenciales no Arquimedianos y Semigrupos de Feller
Plan de la exposicion
Introduccion
Una clase de operadores Pseudodiferenciales
Semigrupos de Feller
ANSELMO TORRESBLANCA BADILLO , Trabajo conjunto con el Dr. ISMAEL GUTIERREZ GARCIAOperadores Pseudodiferenciales no Arquimedianos y Semigrupos de Feller
Plan de la exposicion
Introduccion
Una clase de operadores Pseudodiferenciales
Semigrupos de Feller
ANSELMO TORRESBLANCA BADILLO , Trabajo conjunto con el Dr. ISMAEL GUTIERREZ GARCIAOperadores Pseudodiferenciales no Arquimedianos y Semigrupos de Feller
Introduccion
Las interacciones entre los operadores pseudodiferenciales y lossemigrupos de Feller constituyen un area clasica de investigacionen el entorno arquimediano, lo cual ha despertado un interes en losultimos anos en el sentido no arquimediano.−−−, W- A. Zuniga-Galindo, ”Non-ArchimedeanPseudodifferential Operators and Feller Semigroups”, p-AdicNumbers, Ultrametric Analysis and Applications, Vol 10,Nro. 1, 2018, es el trabajo mas reciente donde se estudian lasconexiones entre operadores pseudodiferenciales y semigrupos deFeller.En esta platica estudiaremos una nueva forma de obtenersemigrupos de Feller relacionados a ciertos operadorespseudodiferenciales.
ANSELMO TORRESBLANCA BADILLO , Trabajo conjunto con el Dr. ISMAEL GUTIERREZ GARCIAOperadores Pseudodiferenciales no Arquimedianos y Semigrupos de Feller
Una Clase de Operadores Pseudodiferenciales
Definition (Hipotesis A)
Diremos que la funcion J : Qnp → R+ satisface la Hipotesis A, si
J es una funcion continua, radial (esto es, J(x) = J(||x ||p)) yademas
∫Qn
pJ(||x ||p)dnx = 1.
Lemma
Supongamos que J : Qnp → R+ satisface la Hipotesis A. Entonces,
las siguientes afirmaciones se tienen:
1 J(ξ) es una funcion radial y continua.
2 |J(||ξ||p)| ≤ 1 y J(0) = 1.
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Una Clase de Operadores Pseudodiferenciales
Definition (Hipotesis A)
Diremos que la funcion J : Qnp → R+ satisface la Hipotesis A, si
J es una funcion continua, radial (esto es, J(x) = J(||x ||p)) yademas
∫Qn
pJ(||x ||p)dnx = 1.
Lemma
Supongamos que J : Qnp → R+ satisface la Hipotesis A. Entonces,
las siguientes afirmaciones se tienen:
1 J(ξ) es una funcion radial y continua.
2 |J(||ξ||p)| ≤ 1 y J(0) = 1.
ANSELMO TORRESBLANCA BADILLO , Trabajo conjunto con el Dr. ISMAEL GUTIERREZ GARCIAOperadores Pseudodiferenciales no Arquimedianos y Semigrupos de Feller
Una Clase de Operadores Pseudodiferenciales
Definition (Hipotesis A)
Diremos que la funcion J : Qnp → R+ satisface la Hipotesis A, si
J es una funcion continua, radial (esto es, J(x) = J(||x ||p)) yademas
∫Qn
pJ(||x ||p)dnx = 1.
Lemma
Supongamos que J : Qnp → R+ satisface la Hipotesis A. Entonces,
las siguientes afirmaciones se tienen:
1 J(ξ) es una funcion radial y continua.
2 |J(||ξ||p)| ≤ 1 y J(0) = 1.
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Una Clase de Operadores Pseudodiferenciales
Remark
1 Para f ∈ Lρ(Qn
p
)con 1 ≤ ρ ≤ ∞, definiremos
Af := J ∗ f − f , con J satisfaciendo la Hipotesis A. Entonces,para cualquier 1 ≤ ρ ≤ ∞, A : Lρ −→ Lρ determina unoperador lineal bien definido y acotado, ya que por ladesigualdad de Young se tiene
||Af ||Lρ ≤ ||J ∗f ||Lρ +||f ||Lρ ≤ ||J||L1 ||f ||Lρ +||f ||Lρ ≤ 2||f ||Lρ .
2 Considerando A : L2(Qn
p
)→ L2
(Qn
p
)tenemos que
−Af (x) = F−1ξ→x
((1− J(||ξ||p))Fx→ξf
),
esto es, −A es un operador pseudodiferencial con sımbolo1− J(||ξ||p).
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Una Clase de Operadores Pseudodiferenciales
Remark
1 Para f ∈ Lρ(Qn
p
)con 1 ≤ ρ ≤ ∞, definiremos
Af := J ∗ f − f , con J satisfaciendo la Hipotesis A. Entonces,para cualquier 1 ≤ ρ ≤ ∞, A : Lρ −→ Lρ determina unoperador lineal bien definido y acotado, ya que por ladesigualdad de Young se tiene
||Af ||Lρ ≤ ||J ∗f ||Lρ +||f ||Lρ ≤ ||J||L1 ||f ||Lρ +||f ||Lρ ≤ 2||f ||Lρ .
2 Considerando A : L2(Qn
p
)→ L2
(Qn
p
)tenemos que
−Af (x) = F−1ξ→x
((1− J(||ξ||p))Fx→ξf
),
esto es, −A es un operador pseudodiferencial con sımbolo1− J(||ξ||p).
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Una Clase de Operadores Pseudodiferenciales
Proposition
Dado el Problema de Cauchy∂u∂t (x , t) = −Au(x , t), t ∈ [0,∞) , x ∈ Qn
p
u(x , 0) = u0(x) ∈ D(Qnp).
(1)
se cumple que
u(x , t) = −∫Qn
p
χp (−ξ · x) e−t(1−J(||ξ||p))u0(ξ)dnξ
es una solucion clasica de (1).
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Semigrupos de Feller
Definition
Una funcion f : Qnp → C es llamada definida positiva si∑m
i ,j=1f (xi − xj)λiλj ≥ 0
para todo m ∈ N\{0} , x1, . . . , xm ∈ Qnp y λ1, . . . , λm ∈ C.
Remark
Por un calculo directo se verifica que J(‖ξ‖p) es una funciondefinida positiva.
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Semigrupos de Feller
Definition
Una funcion f : Qnp → C es llamada definida positiva si∑m
i ,j=1f (xi − xj)λiλj ≥ 0
para todo m ∈ N\{0} , x1, . . . , xm ∈ Qnp y λ1, . . . , λm ∈ C.
Remark
Por un calculo directo se verifica que J(‖ξ‖p) es una funciondefinida positiva.
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Semigrupos de Feller
Definition
Una funcion f : Qnp → C es llamada definida negativa si∑m
i ,j=1
(f (xi ) + f (xj)− f (xi − xj)
)λiλj ≥ 0
para todo m ∈ N\{0}, x1, . . . , xm ∈ Qnp, λ1, . . . , λm ∈ C.
Remark
Se cumple que la funcion J(0)− J(||ξ||p) = 1− J(||ξ||p) esdefinida negativa.
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Semigrupos de Feller
Definition
Una funcion f : Qnp → C es llamada definida negativa si∑m
i ,j=1
(f (xi ) + f (xj)− f (xi − xj)
)λiλj ≥ 0
para todo m ∈ N\{0}, x1, . . . , xm ∈ Qnp, λ1, . . . , λm ∈ C.
Remark
Se cumple que la funcion J(0)− J(||ξ||p) = 1− J(||ξ||p) esdefinida negativa.
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Semigrupos de Feller
Definition
Una familia (µt)t>0 de medidas positivas y acotadas sobre Qnp con
las propiedades(i) µt(Qn
p) ≤ 1 para t > 0,(ii) µt ∗ µs = µt+s para t, s > 0,(iii) lımt→0+ µt = δ0 vagamente (δ0 denota la medida de Dirac en0 ∈ Qn
p), es llamada un semigrupo de convolucion sobre Qnp.
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Semigrupos de Feller
Remark
Es bien sabido que existe una correspondencia uno a uno entre lossemigrupos de convolucion (µt)t>0 sobre Qn
p y las funciones
continuas definidas negativas ψ sobre Qnp, donde µt(γ) = e−tψ(γ)
para t > 0 y γ ∈ Qnp. Por lo tanto, la familia (µt)t>0, que satisface
µt(ξ) = e−t(1−J(‖ξ‖p)), for t > 0 and ξ ∈ Qnp, (2)
determina un semigrupo de convolucion sobre Qnp.
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Semigrupos de Feller
Definition (Semigrupos de Feller)
Una familia de operadores lineales acotadosTt : C0(Qn
p)→ C0(Qnp) es llamada un semigrupo de Feller sobre
Qnp si satisface las siguientes condiciones:
1 Para todo t, s ≥ 0 tenemos Tt+s = TtTs
2 T0 = id
3 Para todo u ∈ C0(Qnp) se sigue que lımt→0+ ||Ttu − u||∞ = 0.
4 La familia {Tt}t≥0 es no negativa y contractiva sobreC0(Qn
p) :
u ∈ C0(Qnp), 0 ≤ u(x) ≤ 1 on Qn
p =⇒ 0 ≤ Ttu(x) ≤ 1 on Qnp.
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Semigrupos de Feller
Definition (Semigrupos de Feller)
Una familia de operadores lineales acotadosTt : C0(Qn
p)→ C0(Qnp) es llamada un semigrupo de Feller sobre
Qnp si satisface las siguientes condiciones:
1 Para todo t, s ≥ 0 tenemos Tt+s = TtTs
2 T0 = id
3 Para todo u ∈ C0(Qnp) se sigue que lımt→0+ ||Ttu − u||∞ = 0.
4 La familia {Tt}t≥0 es no negativa y contractiva sobreC0(Qn
p) :
u ∈ C0(Qnp), 0 ≤ u(x) ≤ 1 on Qn
p =⇒ 0 ≤ Ttu(x) ≤ 1 on Qnp.
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Semigrupos de Feller
Definition (Semigrupos de Feller)
Una familia de operadores lineales acotadosTt : C0(Qn
p)→ C0(Qnp) es llamada un semigrupo de Feller sobre
Qnp si satisface las siguientes condiciones:
1 Para todo t, s ≥ 0 tenemos Tt+s = TtTs
2 T0 = id
3 Para todo u ∈ C0(Qnp) se sigue que lımt→0+ ||Ttu − u||∞ = 0.
4 La familia {Tt}t≥0 es no negativa y contractiva sobreC0(Qn
p) :
u ∈ C0(Qnp), 0 ≤ u(x) ≤ 1 on Qn
p =⇒ 0 ≤ Ttu(x) ≤ 1 on Qnp.
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Semigrupos de Feller
Definition (Semigrupos de Feller)
Una familia de operadores lineales acotadosTt : C0(Qn
p)→ C0(Qnp) es llamada un semigrupo de Feller sobre
Qnp si satisface las siguientes condiciones:
1 Para todo t, s ≥ 0 tenemos Tt+s = TtTs
2 T0 = id
3 Para todo u ∈ C0(Qnp) se sigue que lımt→0+ ||Ttu − u||∞ = 0.
4 La familia {Tt}t≥0 es no negativa y contractiva sobreC0(Qn
p) :
u ∈ C0(Qnp), 0 ≤ u(x) ≤ 1 on Qn
p =⇒ 0 ≤ Ttu(x) ≤ 1 on Qnp.
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Semigrupos de Feller
Definition (Semigrupos de Feller)
Una familia de operadores lineales acotadosTt : C0(Qn
p)→ C0(Qnp) es llamada un semigrupo de Feller sobre
Qnp si satisface las siguientes condiciones:
1 Para todo t, s ≥ 0 tenemos Tt+s = TtTs
2 T0 = id
3 Para todo u ∈ C0(Qnp) se sigue que lımt→0+ ||Ttu − u||∞ = 0.
4 La familia {Tt}t≥0 es no negativa y contractiva sobreC0(Qn
p) :
u ∈ C0(Qnp), 0 ≤ u(x) ≤ 1 on Qn
p =⇒ 0 ≤ Ttu(x) ≤ 1 on Qnp.
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Semigrupos de Feller
Remark
El semigrupo de convolucion (µt)t>0 sobre Qnp satisfaciendo (2)
induce un semigrupo de Feller (Tt)t>0 por la definicionTt f := µt ∗ f , para f ∈ C0(Qn
p) y t > 0.
Berg Christian, Forst Gunnar, Potential theory on locallycompact abelian groups. Springer-Verlag, NewYork-Heidelberg, 1975
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Semigrupos de Feller
Definition
Una funcion pt(x ,E ), definida para todo t ≥ 0, x ∈ Qnp y
E ∈ B(Qnp), es llamada una funcion de transicion de Markov sobre
Qnp si satisface las siguientes condiciones:
1 pt(x , ·) es una medida sobre B(Qnp) y pt(x ,Qn
p) ≤ 1 para todot ≥ 0 y x ∈ Qn
p.
2 pt(·,E ) es una funcion Borel medible para todo t ≥ 0 yE ∈ B(Qn
p).
3 p0(x , {x}) = 1 para todo x ∈ Qnp.
4 (The Chapman-Kolmogorov equation) Para todo t, s ≥ 0,x ∈ Qn
p y E ∈ B(Qnp), tenemos la ecuacion
pt+s(x ,E ) =
∫Qn
p
pt(x , dny)ps(y ,E ).
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Semigrupos de Feller
Definition
Una funcion pt(x ,E ), definida para todo t ≥ 0, x ∈ Qnp y
E ∈ B(Qnp), es llamada una funcion de transicion de Markov sobre
Qnp si satisface las siguientes condiciones:
1 pt(x , ·) es una medida sobre B(Qnp) y pt(x ,Qn
p) ≤ 1 para todot ≥ 0 y x ∈ Qn
p.
2 pt(·,E ) es una funcion Borel medible para todo t ≥ 0 yE ∈ B(Qn
p).
3 p0(x , {x}) = 1 para todo x ∈ Qnp.
4 (The Chapman-Kolmogorov equation) Para todo t, s ≥ 0,x ∈ Qn
p y E ∈ B(Qnp), tenemos la ecuacion
pt+s(x ,E ) =
∫Qn
p
pt(x , dny)ps(y ,E ).
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Semigrupos de Feller
Definition
Una funcion pt(x ,E ), definida para todo t ≥ 0, x ∈ Qnp y
E ∈ B(Qnp), es llamada una funcion de transicion de Markov sobre
Qnp si satisface las siguientes condiciones:
1 pt(x , ·) es una medida sobre B(Qnp) y pt(x ,Qn
p) ≤ 1 para todot ≥ 0 y x ∈ Qn
p.
2 pt(·,E ) es una funcion Borel medible para todo t ≥ 0 yE ∈ B(Qn
p).
3 p0(x , {x}) = 1 para todo x ∈ Qnp.
4 (The Chapman-Kolmogorov equation) Para todo t, s ≥ 0,x ∈ Qn
p y E ∈ B(Qnp), tenemos la ecuacion
pt+s(x ,E ) =
∫Qn
p
pt(x , dny)ps(y ,E ).
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Semigrupos de Feller
Definition
Una funcion pt(x ,E ), definida para todo t ≥ 0, x ∈ Qnp y
E ∈ B(Qnp), es llamada una funcion de transicion de Markov sobre
Qnp si satisface las siguientes condiciones:
1 pt(x , ·) es una medida sobre B(Qnp) y pt(x ,Qn
p) ≤ 1 para todot ≥ 0 y x ∈ Qn
p.
2 pt(·,E ) es una funcion Borel medible para todo t ≥ 0 yE ∈ B(Qn
p).
3 p0(x , {x}) = 1 para todo x ∈ Qnp.
4 (The Chapman-Kolmogorov equation) Para todo t, s ≥ 0,x ∈ Qn
p y E ∈ B(Qnp), tenemos la ecuacion
pt+s(x ,E ) =
∫Qn
p
pt(x , dny)ps(y ,E ).
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Semigrupos de Feller
Definition
Una funcion pt(x ,E ), definida para todo t ≥ 0, x ∈ Qnp y
E ∈ B(Qnp), es llamada una funcion de transicion de Markov sobre
Qnp si satisface las siguientes condiciones:
1 pt(x , ·) es una medida sobre B(Qnp) y pt(x ,Qn
p) ≤ 1 para todot ≥ 0 y x ∈ Qn
p.
2 pt(·,E ) es una funcion Borel medible para todo t ≥ 0 yE ∈ B(Qn
p).
3 p0(x , {x}) = 1 para todo x ∈ Qnp.
4 (The Chapman-Kolmogorov equation) Para todo t, s ≥ 0,x ∈ Qn
p y E ∈ B(Qnp), tenemos la ecuacion
pt+s(x ,E ) =
∫Qn
p
pt(x , dny)ps(y ,E ).
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Semigrupos de Feller
Definition
1 Diremos que la funcion de transicion de Markov pt(x , ·) sobreQn
p satisface la condicion (L) si para cada s > 0 y cadasubconjunto compacto E ⊂ Qn
p,
lımx→∞
sup0≤t≤s
pt(x ,E ) = 0.
2 Una funcion de transicion pt(x , ·) sobre Qnp se dice que es
uniformemente estocasticamente continua sobre Qnp si para
cada r ∈ Z y cada compacto E ⊂ Qnp, tenemos la condicion
lımt→0+
supx∈E
[1− pt(x ,Bnr (x))] = 0.
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Semigrupos de Feller
Definition
1 Diremos que la funcion de transicion de Markov pt(x , ·) sobreQn
p satisface la condicion (L) si para cada s > 0 y cadasubconjunto compacto E ⊂ Qn
p,
lımx→∞
sup0≤t≤s
pt(x ,E ) = 0.
2 Una funcion de transicion pt(x , ·) sobre Qnp se dice que es
uniformemente estocasticamente continua sobre Qnp si para
cada r ∈ Z y cada compacto E ⊂ Qnp, tenemos la condicion
lımt→0+
supx∈E
[1− pt(x ,Bnr (x))] = 0.
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Semigrupos de Feller
Theorem
Sea {Tt}t≥0 el semigrupo de Feller obtenido previamente.Entonces, existe una funcion de transicion uniformementeestocasticamente continua pt(x , ·) sobre Qn
p, satisfaciendo lacondicion (L), tal que la formula
Tt f (x) =
∫Qn
ppt(x , d
ny)f (y) if t > 0
f if t = 0.
se tiene.
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Semigrupos de Feller
Theorem
Existe un proceso fuerte de Markov X(t, ω) con espacio de estado(Qn
p, || · ||p) y funcion de transicion pt(x , ·) cuyas trayectorias soncontinuas a la derecha y las unicas discontinuidades que tiene sonsolo saltos.
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Gracias por su atencion
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