UNIDAD I: TRANSFERENCIA DE MASA Y DIFUSIÓN

Transferencia de masa se define como el proceso natural o asistido en el cual se transfiere materia de una región de alta concentración a otra de baja concentración, esta diferencia o gradiente de concentración se conoce como fuerza impulsora. La masa puede transferirse por medio del movimiento molecular fortuito en lo fluidos en reposo (difusión) o puede transferirse de una superficie a un fluido en movimiento ayudado por las características dinámicas del fluido de los fluidos en contacto (conducción). Estos dos modos diferentes de transferencia de masa molecular y convectiva son análogos a la transferencia de calor por conducción y por convección.

Transferencia de calor Transferencia de masa

Convección

Qcond=−k ∙ A ∙dtdz

mA, dif=−DAB ∙ A ∙d ρA

dz

Conducción

Qconv=hconv ∙ (T s−T ∝) mconv=hmasa ∙ (C s−C∝ )

DIFUSIÓN MOLECULARBajo el término difusión se entiende la transferencia de masa en una fase, que se efectúa por un gradiente de potencial químico, equilibrando el gradiente solamente por un movimiento molecular. El transporte de materia en sistemas multicomponentes está influido por gradientes de concentración; a parte de los gradientes de concentración también los gradientes de temperatura y de presión pueden tener su importancia. La difusión a base de gradientes de concentración se denomina difusión ordinaria. Está difusión ordinaria es la base del análisis de difusión multicomponente.

Parrot (1815) observo que en cualquier sistema donde existe dos o mas especies moleculares con concentraciones que varían de un punto a otro, esta sometido aun proceso tal que disminuye la diferencia de concentración entre estos dos puntos. Adolf Fick observo experimentalmente que el flujo de molecular (difusión) de una especie en un medio en reposo a temperatura y presión contante es proporcional al gradiente de concentración. Para un sistema en el flujo de masa total (n) es nulo (V=0), Fick determinó, para el flujo de difusión de A en B, que:

nA=−DAB ∙∇ ρA

Donde DAB es el coeficiente de difusión de la mezcla binaria Más tarde se denominó como la Ley de difusión de Fick, que establece que la “razón de difusión de masa, mdif , de una especie A en un medio en reposo es proporcional al gradiente de la

concentración ∇ ρA en esa dirección”. Groot (1951), propuso una relación mas general del flujo que no esta restringido a sistemas isotérmico isobáricos. Determinando que:

Flujo=−(densidad total ) ∙ (coeficiente dedifusión ) ∙ (gradiente deconcentración )O

J A=−c ∙DAB ∙d y A

dxComo la concentración total, c es contante bajo condiciones isotérmicas e isobáricas, una expresión equivalente, que corresponde a jA , z, que es el flujo de masa en dirección de z, relativo a la velocidad promedio de la masa, es:

jA , z=−ρ ∙ DAB ∙d ωA

dx

Donde. d ωA

dx es el gradiente de concentración en función de la fracción de masa.

Cuando la densidad es contante, esta relación se simplifica, quedando así:

jA , z=−DAB ∙d ρA

dx(1 )

En un sistema binario con velocidad media constante en dirección de z, el flujo molar en la dirección de z, relativo a la velocidad molar media se puede expresar también se expresar de la manera siguiente:

jA , z=C A ∙ (v A, z−V z ) (2 )Si se igualan las expresiones 1 y 2, se obtiene:

jA , z=−DAB ∙d ρA

dx=cA ∙ (v A, z−V z )

De lo cual nos queda:

c A ∙ v A ,z=−DAB ∙d ρA

dx+c A ∙V z (3 )

Se puede evaluar V z para este sistema binario por medio de ecuación de la velocidad promedio o medida de la masa o molar, en la forma:

V z=1c∙ (c A ∙ v A, z−cB ∙ vB, z ) (4 )

Al sustituir esta expresión (4) en la relación que se tiene (3), se obtiene:

c A ∙ v A ,z=−DAB ∙d ρA

dx+cA

c∙ (c A ∙ v A, z−cB ∙ vB, z )

DeduccionesLey Fick, establece que la razón de difusión de masa, mdif , de una especie A en un medio en

reposo, en la dirección z, es proporcional al gradiente de la concentración dC A

dZ en esa dirección.

mA, dif=−DAB ∙ A ∙d ρA

dz∴ J

A

=−DAB ∙d ρA

dz

Figura Nº 1, Transferencia de masa por difusión de una especie A en dirección de Z, en B.

En principio esta ley se ha limita a considerar a la difusión en un medio en reposo (V=0); por ende, el único movimiento que interviene es el de infiltración de las moléculas en la dirección de la concentración decreciente y no se tuvo movimiento de la mezcla como un todo, ver figura Nº 1, No obstante, la velocidad de una especie (VA) es sencillamente la velocidad de difusión, la cual, es la velocidad promedio de un grupo de moléculas(difusión molecular, Vdif ) , en ese lugar, moviéndose por la influencia del gradiente de concentración.

Si consideramos que el sistema no se encuentra en reposos, es decir, que el velocidad de una especie (VA) es igual a la suma de la velocidad del flujo de masa por movimiento molecular (difusión molecular, Vdif ) y por el movimiento ayudado por la características dinámicas del sistema (convección, V).

V A=V +V dif

Baja concentración de Sal

Alta concentración de Sal

VA

V= 0 (sistema en reposo)

Vdif,A

Igualmente se podría expresar de la manera siguiente:A ∙ ρA ∙V A=A ∙ ρA ∙V +A ∙ ρA ∙V dif

DondeρA=Densidad de A

A=Á reade la sección transversal

NOTA: El gasto de masa en cualquier sección del flujo se expresa como m=ρ ∙ A ∙V , la relación de conservación de la masa para el flujo en una mezcla que comprende las dos especies A y B, puede expresarse como:

m=mA+mB

oρ ∙ A ∙V= ρA ∙ A ∙V A+ρB ∙ A ∙V B

Modelo generalizado

m=∑i=0

n

mi=∑i=0

n

ρi ∙ A ∙V i

De lo cual se obtiene que:

V=ρA ∙ A ∙V A+ρB ∙ A ∙V B

ρ ∙ A=

ρA ∙V A+ρB ∙V B

ρ

Por lo tanto:

A ∙ ρA ∙V A=A ∙ ρA ∙(ρA ∙V A+ ρB ∙V B )

ρ+A ∙ ρA ∙V dif

A ∙ ρA ∙V A=wA ∙ (A ∙ρA ∙V A+A ∙ ρB∙V B )+A ∙ρA ∙V dif

mA=wA ∙ (mA+mB )+mA, dif

Si se aplica la Ley de de Fick de difusión, pueden expresarse los flujos totales de masa, j=mA

,

como

jA=w A ∙ ( jA+ jB )−DAB ∙ ρ ∙d w A

dz=

ρA

ρ∙ ( jA+ jB )−DAB ∙

d ρA

dzExpresión del flujo molar.

N A=x A ∙ (N A+NB )−DAB ∙C ∙d x A

dz=C A

C∙ (N A+NB )−DAB ∙

dC A

dz

Difusión molecular en estado estacionario en flujo laminar.Considerando un sistema en estado estacionario donde de una especie A se difunde en el sentido z únicamente, NA y NB, son constantes, y se considera que l coeficiente de difusión es constante, entonces de la ecuaciones anteriores se tiene que:

N A=C A

C∙ (N A+NB )−DAB ∙

d CA

dz⟹C ∙N A=C A ∙ (N A+N B )−C ∙DAB ∙

d CA

dz

C ∙ DAB ∙dC A

dz=C A ∙ (N A+N B )−C ∙N A⟹C ∙ DAB ∙d C A=(CA ∙ (N A+N B )−C ∙N A ) ∙ dz

∫C A,0

C A,1 dC A

(C A ∙ (N A+N B )−C ∙ N A )=∫

0

Zdz

C ∙DAB

Aplicando el cambio de variable

u=(C A ∙ (N A+NB )−C ∙ N A )∴dC A=du

(N A+NB )1

(N A+N B )∙ ln(C A, 1 ∙ (N A+N B )−C ∙N A

C A, 0 ∙ (N A+N B )−C ∙N A)= Z

C ∙ DAB

N A=N A

( N A+N B )∙C ∙DAB

Z∙ ln (C A ,1 ∙ (N A+N B )−C ∙N A

C A, 0 ∙ (N A+N B )−C ∙ N A)

Difusión en estado estacionario de A a través del difundente B.Si B no se difunde entonces NB=O, por lo tanto

N A=N A

( N A+0 )∙C ∙ DAB

Z∙ ln(C A, 1 ∙ (N A+0 )−C ∙ N A

C A, 0 ∙ (N A+0 )−C ∙ N A)= N A

N A

∙C ∙D AB

Z∙ ln( (C A,1−C ) ∙N A

(CA ,0−C ) ∙ N A)

N A=C ∙DAB

Z∙ ln(C−CA ,1

C−C A ,0)

Puesto que C−C A=CB y CB, 1−CB,0=−(C A,1−C A ,0 )∴CA ,0−C A, 1

CB ,1−CB, 0

=1 entonces:

N A=C ∙DAB

Z∙CA ,0−CA ,1

CB,1−CB ,0

∙ ln(CB, 1

CB, 0)=N A=

C ∙DAB

Z∙CA ,0−CA ,1

CB,m

Donde

CB,m=CB,1−CB ,0

ln(CB,1

CB,0)

Contradifusión equimolar en estado estacionario

N A=C A

C∙ (N A+NB )−DAB ∙

d CA

dz

N B=CB

C∙ (N A+N B )−DBA ∙

d CB

dz

N A+N B=C A

C∙ (N A+N B )−DAB ∙

dC A

dz+CB

C∙ (N A+N B )−DBA ∙

dCB

dz

N A+N B=(CA

C+CB

C ) ∙ (N A+N B )−DAB ∙d CA

dz−DBA ∙

dCB

dz

N A+N B= (1 ) ∙ (N A+N B )−D AB ∙dC A

dz−DBA ∙

dCB

dz

0=−DAB ∙dC A

dz−DBA ∙

d CB

dz

DAB ∙d CA

dz=−DBA ∙

d CB

dz

N A=−NB

Difusión en estado estacionario en mezclas multicomponentes

DA ,m=1− y A

∑i=B

n y i

DA, i

1. Difusión molecular en gasesSuponiendo comportamiento ideal

P ∙V =n ∙R ∙T∴ nV

= PR ∙T

=C

Difusión molecular en gases en estado estacionario en flujo laminar.

N A=N A

( N A+N B )∙DAB ∙P t

Z ∙R ∙T∙ ln( PA ,1 ∙ (N A+NB )−Pt ∙N A

PA ,0 ∙ (N A+NB )−Pt ∙ N A)

Difusión en estado estacionario de a través del difundente B.

N A=D AB ∙ Pt

Z ∙ R∙T∙P A,1−P A, 0

PB,1−PB, 0

∙ ln( PB, 1

PB, 0)=N A=

DAB ∙ Pt

Z ∙ R ∙T∙PA, 0−PA, 1

PB,m

Donde

PB ,m=PB ,1−PB,0

ln( PB, 1

PB, 0)

=PB, 0−PB,1

ln (PB,0

PB,1)

Contradifusión equimolar en estado estacionario: lo cual implica que N B=−N A , por lo cual la siguiente ecuación se simplifique de:

N A=x A ∙ (N A+NB )−DAB ∙C ∙d x A

dzA

N A=−DAB ∙C ∙d x A

dz=−DAB ∙

dC A

dz

Sabiendo que la concentración se debe escribir en función de la presión por la naturaleza gaseosa de la fase se tiene que:

C A=nA

V=

P A

R ∙T∴d CA=

dP A

R ∙TSustituyendo esta expresión en la que la antecede se tiene que

N A=−DAB

R ∙T∙dPA

dz∴N A ∙ dz=

−DAB

R ∙T∙dPA

Integrando se obtiene:

∫0

Z

N A ∙ dz=∫P A0

P A1 −DAB

R ∙T∙dPA∴N A ∙ Z=

−DAB

R ∙T∙ (PA1−PA 1)

Finalmente se obtiene que

N A=−DAB

R ∙T ∙Z∙ (PA1−P A0 )

2. Difusión molecular en liquidoDifusión molecular en liquido en estado estacionario en flujo laminar.

N A=N A

( N A+N B )∙C ∙DAB

Z∙ ln (C A ,1 ∙ (N A+N B )−C ∙N A

C A, 0 ∙ (N A+N B )−C ∙ N A)

Difusión en estado estacionario de A, a través del difundente B.

N A=ρ∙ DAB

Z∙C A, 1−C A,0

CB, 1−CB, 0

∙ ln(CB,1

CB ,0)=N A=

C ∙ DAB

Z∙C A, 0−C A, 1

CB,m

Donde

CB,m=CB,1−CB ,0

ln(CB,1

CB,0)

COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE MASAEl mecanismo del proceso de flujo en que intervienen los movimientos de los remolinos en la región turbulenta no se ha entendido completamente. Sucede lo contrario con el mecanismo de la difusión molecular, al menos para gases, el cual se conoce bastante bien, puesto que puede describirse en función de una teoría cinética que proporciona resultados que están de acuerdo con los experimentales. Por lo tanto, es natural que la rapidez de la transferencia de masa a través de varias regiones desde la superficie hasta la zona turbulenta, se trate de describir de la misma forma en que, por ser adecuados, se describió la difusión molecular.

Tabla Nº 1. Tabla comparativa entre la difusión molecular y convección en la fase gaseosa.

Difusión molecular Convección

N A=D AB ∙ Pt

Z ∙ R∙T∙P A, 0−PA, 1

PB,m

N A=kG ∙ (PA, 0−PA ,1 )

Si observamos las expresiones descritas en la tabla Nº 1 de difusión y convección en la fase gaseosa, se podría deducir que:

KG=DA B ∙P t

Z ∙R ∙T∙1

PB,m

Donde PB ,m se puede de finir como la diferencia de presión media logarítmica, siendo este parámetro independiente del tipo de transferencia de masa (difusión molecular o convección). Por tanto el término DAB ∙Pt /Z ∙R ∙T , forma generalizada DAB ∙ c /z , es característica de la difusión molecular en la fase gaseosa, se reemplaza por F, un coeficiente de transferencia de masa. Cuando la difusión cambia de molecular con un comportamiento laminar a turbulenta, los coeficiente de transferencia de masa (F), deben ser evaluados a través de correlaciones con números adimensionales, que incorporen el fenómeno del transporte del sistema.

Difusión molecular Convección

F=DAB ∙ Pt

Z ∙ R ∙TF=f ( ℜ ,Nu ,Sc ,Sh , Pe ,St )

Es posible que no sea plana la superficie a través de la cual sucede la transferencia de masa; si así sucede, la trayectoria de difusión en el fluido puede tener una sección transversal variable; en ese caso, N se define como el flux en la interfase de la fase, en donde la sustancia abandona o entra a la fase para la cual el coeficiente de transferencia de masa es F. NA es positiva cuando CA1 está en el principio de la trayectoria de transferencia y CA2 en el final. De cualquier forma, una de estas concentraciones se encontrará en el límite de la fase. La forma en que se defina la concentración de A en el fluido modificará el valor de F; generalmente se establece de forma arbitraria. Si la transferencia de masa ocurre entre un límite de fase y una gran cantidad de fluido no limitado, como cuando una gota de agua se va evaporando al mismo tiempo que va cayendo a través de un gran volumen de aire, la concentración de la sustancia que se difunde en el fluido se toma generalmente como el valor constante que se encuentra a grandes distancias del límite de la fase.

TRANSFERENCIA DE MASA DE MASA ENTRE FASE . Hasta ahora si ha estudiado la difusión en una sola fase, sin embargo, se sabe que las operaciones unitarias se refieren a la transferencia de masa de una fase a otra. Por lo

tanto, supóngase un compuesto A que se difunde desde la fase gaseosa a una fase liquida, a través de un área de separación de ambas fases, denominada área interfacial.

Figura Nº 1, Perfil de variación de la concentración del agua.

A medida que A, llegue a dicha área y se difunde en el liquido la concentración de A se incrementa en el liquido hasta generar una difusión en sentido contrario, la cual después de un cierto tiempo t, tendrá una velocidad contante y equivalente a la primera, Produciéndose una velocidad neta de difusión igual a cero, es decir, un equilibrio dinámico.

Equilibrio. Según lo expuesto anteriormente pude entonces ilustrarse la condición del equilibrio, mediante representación grafica de la cantidad de A en cada fase para unas condiciones de presión y temperatura del sistema.

Difusión interfacial Como fuerza motriz del proceso de transferencia de masa interfacial esta relacionada con el alejamiento del equilibrio, en cada fase; se integra el estudio de la difusión de las dos fases, a través de un área de contacto o área interfacial, donde las concentraciones interfaciales son las concentraciones de equilibrio, las cuales se evalúan a través de la teoría de doble resistencia. Dicha teoría involucra el estudio de la transferencia el estudio de la transferencia de masa de un componente A de una fase a otra, a la resistencia que

ofrece cada una a la difusión integrada con las condiciones de equilibrio, mediante el siguiente análisis.

Grafico Nº 2. Diagrama del concepto de la doble resistencia (izquierda) y el grafico del alejamiento de las concentraciones de las fases totales del equilibrio (derecha)

Del grafico del alejamiento de las concentraciones de las fases totales del equilibrio se puede obtener que, la ecuación de la pendiente sea:

Pendiente=m1=Δ yΔ x

=y A ,G− y A,i

X A, L−X A ,i

Sin embargo, para la transferencia de masa en estado estacionario, la rapidez con la cual A alcanza la interfase del gas debe ser igual a aquélla con la cual se difunde en el líquido, de tal forma que no haya acumulación o agotamiento de A en la interfase. Por lo tanto, el de flujo de difusión de A se puede escribir en función de los coeficientes de transferencia de masa respecto de cada fase y de los cambios de concentración apropiados para cada una. Por lo tanto, cuando kx y ky son los coeficientes aplicables en forma local.

N A=k x ∙ (X A ,i−X A, L )=k y ∙ ( y A ,G− yA ,i )Finalmente quedando que:

Pendiente=m1=y A ,G− y A,i

X A, L−X A ,i

=

N A

k y

−N A

k x

=−k x

k y

Esta pendiente permite evaluar los coeficientes en cada fase, en función de las composiciones interfaciales, las cuales son difíciles de medir, por lo que se requiere usar unas composiciones ficticias en el equilibrio, a través de los coeficiente globales, lo cuales estudian la transferencia de masa en función una sola fase.

1. Fase gaseosa:

Grafico Nº 3. Grafico del alejamiento de las concentraciones de las fases totales del equilibrio.

En el grafico Nº 3, se puede observar que la recta de operación ( PM ) definida tiene esa dirección para indicar la transferencia del gas al líquido. Como experimentalmente, es difícil evaluar la concentración interfaciales, se plantea un artificio matemático que elimine dicha concentración en la ecuación de la recta de operación.

m2=y A ,i− y A

¿

X A ,i−X A, L

∴ y A, i− y A¿ =m2 ∙ (X A ,i−X A, L)

Entendiéndose por y A¿ como la mínima concentración de A en el gas y X A

¿ como la máxima concentración de A en el líquido.

Para llevar acabo la simplificación de la concentración interfaciales, se puede establecer que:

y A ,G− y A¿ =( yA ,G− y A, i )+( y A ,i− y A

¿ )De ambas expresiones se obtiene que:

y A ,G− y A¿ =( yA ,G− y A, i )+m2 ∙ (X A ,i−X A, L )

Por otro lado, se sabe queN A=k x ∙ (X A ,i−X A, L )=k y ∙ ( y A ,G− yA ,i )=K y ∙ ( y A ,G− y A

¿ )Por lo tanto, de las dos últimas expresiones se obtiene que:

N A

K y

=N A

k y

+m2 ∙N A

k x

oN A

KG

=N A

kG

+m2 ∙N A

k L

Finalmente1K y

= 1k y

+m2

kx

o1KG

= 1kG

+m2k L

donde :1kes la resistencia encada fase

El análisis de las ecuaciones que rigen la teoría de doble resistencia, radica en evaluar la máxima resistencia a la transferencia de masa de cada uno de los caso, es decir, que si la resistencia a la transferencia de masa ocurre en la fase gaseosa solamente, por lo cual, se tiene que m2 es pequeña entonces el termino m2/k x≈0, por lo cual, K y=k y

Dicha teoría de la doble resistencia, es aplicada al coeficiente al coeficiente local F=DAB/Z, para casos de soluciones no diluidas, o de alta concentración (Ver paginas 126, 127, Treybal) 2. Fase Liquida:

Grafico Nº 4. Grafico del alejamiento de las concentraciones de las fases totales del equilibrio.

Del grafico se puede deducir que:X A

¿ −X A, L=(X A¿ −X A ,i )+( X A, i−X A , L)

Además de:

m3=y A,G− y A ,i

X A¿ −X A, i

∴ X A¿ −X A, i=

y A,G− y A ,i

m3

De ambas expresiones se obtiene que:

X A¿ −X A, L=( y A,G− y A ,i

m3)+( X A, i−X A , L)

Por otro lado, se sabe queN A=K x ∙ ( X A

¿ −X A , L)=k x ∙ (X A¿ −X A ,i )=k y ∙ ( yA ,G− y A, i )

Por lo tanto, de las dos últimas expresiones se obtiene que:N A

K x

=N A

m3 ∙ k y

+N A

k x

Finalmente1K x

= 1m3 ∙ k y

+ 1kx

Si la resistencia a la transferencia de masa ocurre en la fase líquida solamente, por lo cual, se tiene que m3 es muy grande entonces el termino 1/m3 ∙ k x≈0, por lo cual, K x=k x