INSTITUCIÓN EDUCATIVA “Luís Carlos Galán Sarmiento”

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“Educando para la paz y la convivencia” DEPTO MATEMATICAS Y FISICA

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

TIEMPO ESTIMADO: 120 MIN

LOGRO: Identifico y opero entre conjuntos dado un universo

DESARROLLO

PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS DE LA UNIÓN RESPECTO A

LA INTERSECCIÓN Y DE LA INTERSECCION RESPECTO A LA

UNION

𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)

𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)

DIFERENCIACION (DIFERENCIA): 𝑨 − 𝑩

Dado un conjunto universal U, se llama diferencia entre

los conjuntos A y B al conjunto constituido por todos

aquellos elementos que pertenecen al conjunto A y que no

pertenecen al conjunto B.

La diferencia entre los conjuntos A y B se designa por

𝑨 − 𝑩 y se define como

𝑨 − 𝑩 = {𝒙/𝒙 ∈ 𝑨, ⋀, 𝒙 ∉ 𝑩; 𝒙 ∈ 𝑼}

REPRESENTACION GRAFICA

Como se puede observar en el grafico (𝑨 − 𝑩) ≠ (𝑩 − 𝑨)

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA

1. 𝐴 − 𝑈 = ∅

2. ∅ − 𝐴 = ∅

3. 𝐴 − 𝐴 = ∅

4. 𝐴 − 𝐵 ⊂ 𝐴

COMPLEMENTACION (COMPLEMENTO)

Sea U el conjunto universal o referencial y sea A un

conjunto, entonces el complemento de A es el conjunto de

elementos de U que no pertenecen a A.

El complemento del conjunto A lo denotamos como A’ o

𝑨𝒄. Y lo definimos

𝑨′ = {𝒙/𝒙 ∈ 𝑼, ⋀, 𝒙 ∉ 𝑨}

REPRESENTACIÓN GRAFICA

La relación 𝑥 ∈ 𝐴, significa que 𝑥 ∉ 𝐴′

La relación 𝑥 ∈ 𝐴′ significa que 𝑥 ∉ 𝐴

De la misma manera cuando decimos que:

𝑥 ∉ (𝐴 ∪ 𝐵), queremos significar que (𝑥 ∉ 𝐴, ⋀, 𝑥 ∉ 𝐵)

𝑥∉(𝐴 ∩ 𝐵), queremos significar que (𝑥 ∉ 𝐴, ⋁, 𝑥 ∉ 𝐵)

PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO

1. (𝐴′)′ = 𝐴

2. 𝐴 ∪ 𝐴′ = 𝐴

3. (∅)′ = 𝑈

4. 𝐴 ∩ 𝐴′ = ∅

5. 𝑈′ = ∅

6. (𝐴 ∪ 𝐵)′ = 𝐴′ ∩ 𝐵′

7. (𝐴 ∩ 𝐵)′ = 𝐴′ ∪ 𝐵′

8. 𝐴′ = 𝑈 − 𝐴

DIFERENCIA SIMETRICA (𝑨∆𝑩)

Dados los conjuntos A y B en un conjunto universal U, se

llama diferencia simétrica entre A y B, al conjunto formado

por todos los elementos que pertenecen a (𝑨 ∪ 𝑩) y que

no pertenecen a (𝑨 ∩ 𝑩).

La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B, se

designa por (𝑨∆𝑩) y se define como:

𝑨∆𝑩 = {𝒙/𝒙 ∈ (𝑨 ∪ 𝑩), ⋀, 𝒙 ∉ (𝑨 ∩ 𝑩)}

𝑨∆𝑩 = (𝑨 ∪ 𝑩) − (𝑨 ∩ 𝑩)

REPRESENTACION GRAFICA

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA SIMETRICA

1. (𝐴∆𝐵) = (𝐵∆𝐴)

2. (𝐴∆𝐵)∆𝐶 = 𝐴∆(𝐵∆𝐶)

3. (𝐴∆𝑈) = 𝐴′

4. (𝐴∆𝐴) = ∅

5. (𝐴∆∅) = 𝐴

6. 𝐴 ∩ (𝐵∆𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)

7. 𝐴∆(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 ∩ 𝐵′

REPRESENTACION DE REGIONES GRAFICAMENTE

Las operaciones entre conjuntos se pueden representar

gráficamente. Veamos algunos ejemplos:

REPRESENTEMOS GRAFICAMENTE

1. [(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶]

2. [(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶]

3. [(𝐴 ∪ 𝐵) − 𝐶]

4. (𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) − (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)

5. [(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶′]

6. (𝐴′ ∩ 𝐵′)

7. (𝐴 ∪ 𝐵)′

8. (𝐴′ ∪ 𝐵′)