Operacion de funciones

Números y Funciones

Operaciones con funciones:

Menú:

Composición de funciones:

2

Definición.Una Función es una relación en la que cada elemento de la variable independiente x, que se conocerá como Dominio de la función le corresponde un solo elemento del conjunto de valores de la variable dependiente y denominado Rango de la función.

Dominio; Rango; Función.

Operaciones con funciones: La Suma

La suma de funciones está definida por: )()( xgxfxgf

Calcule la suma de las funciones:

4)( ,2

x

xxgxxf

La función resultante:

N° x f(x) g(x) f(x) + g(x) f(Integrada)

1 -24 -22 0,86 -21,14 -21,142 -20 -18 0,83 -17,17 -17,173 -16 -14 0,80 -13,20 -13,204 -12 -10 0,75 -9,25 -9,255 -8 -6 0,67 -5,33 -5,336 -4 -2 0,50 -1,50 -1,507 0 2 0,00 2,00 2,008 4 6 9 8 10 2,00 12,00 12,00

10 12 14 1,50 15,50 15,5011 16 18 1,33 19,33 19,3312 20 22 1,25 23,25 23,2513 24 26 1,20 27,20 27,20

Suma de dos funciones

-30

-20

-10

0

10

20

30

-30 -20 -10 0 10 20 30

x; Dominio

y; R

ang

o

f(x) g(x) f(x) + g(x)

Asíntota de la suma: x = 4; y = 6

4

8))((

2

x

xxxgf

La función g(x) es racional, no está definida para x = 4. La función compuesta, o suma de funciones es asíntota en x = 4 e y = 6.

Respuestas: y = 6; x = 4; x = 4;

3

4y ;4

8

4

42

42,

2

xx

xx

x

xxx

x

xxxgf

4y ;4

8

4

42

42,

2

xx

xx

x

xxx

x

xxxgf

Operaciones con funciones: La Resta o Diferencia

La resta o diferencia de funciones está definida por:

Calcule la diferencia de las funciones:

)()( xgxfxgf

4)( ,2

x

xxgxxf

4

La función resultante:

Diferencia de funciones. Ej: 1,20N° x f(x) g(x) f(x)-g(x) f(Integrada) Diferencia

1 -6 -4 0,60 -4,60 -4,60 0,002 -5 -3 0,56 -3,56 -3,56 0,003 -4 -2 0,50 -2,50 -2,50 0,004 -3 -1 0,43 -1,43 -1,43 0,005 -2 0 0,33 -0,33 -0,33 0,006 -1 1 0,20 0,80 0,80 0,007 0 2 0,00 2,00 2,00 0,008 1 3 -0,33 3,33 3,33 0,009 2 4 -1,00 5,00 5,00 0,00

10 3 5 -3,00 8,00 8,00 0,0011 4 6 0,0012 5 7 5,00 2,00 2,00 0,0013 6 8 3,00 5,00 5,00 0,00

La diferencia entre funciones

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

x: Dominio

y; R

ang

of(x) g(x) f(x)-g(x)

La función g(x) es racional, no está definida para x = 4. La función compuesta, o suma de funciones es asíntota en x = 4.

Respuestas:; x = 4.

4y ;4

83

4

42

42,

2

xx

xx

x

xxx

x

xxxgf

4y ;4

83

4

42

42,

2

xx

xx

x

xxx

x

xxxgf

Euler - Matemáticas ITema:

12 5Operaciones con funciones. Acotación

Final

Suma y diferencia de dos funciones Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define:• Suma: (f + g) (x) = f(x) + g(x). Por tanto: Dom(f + g) = Dom(f) Dom(g)• Diferencia: (f g) (x) = f(x) g(x). Por tanto: Dom(f g) = Dom(f) Dom(g)

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X

Y

x

f(x) f(x) + g(x)f(x) =

x 1 + x2 : Dom(f) = R

g(x) = 1 x : Dom(g) = R – {0}

(f + g) (x) = f(x) + g(x) =

= x

1 + x2 + 1 x :

Dom(f + g) = R – {0}

g(x)

1

Operaciones con funciones: El Producto

El producto de funciones está definida por: )()( xgxfxgf

Calcule el producto de las funciones:

4)( ,2

x

xxgxxf

La función resultante: Espacio para la fórmula

6

N° x f(x) g(x) f(x) x g(x) f(Integrada)

1 -6 -4 0,60 -2,40 -2,402 -5 -3 0,56 -1,67 -1,673 -4 -2 0,50 -1,00 -1,004 -3 -1 0,43 -0,43 -0,435 -2 0 0,33 0,00 0,006 -1 1 0,20 0,20 0,207 0 2 0,00 0,00 0,008 1 3 -0,33 -1,00 -1,009 2 4 -1,00 -4,00 -4,00

10 3 5 -3,00 -15,00 -15,0011 4 612 5 7 5,00 35,00 35,0013 6 8 3,00 24,00 24,00

El producto de funciones

-20

-10

0

10

20

30

40

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

x; Dominio

y; R

ang

of(x) g(x) f(x) x g(x)

La ecuación no esta definida para x = 4.

Respuestas:; x = 4.

Operaciones con funciones: El Cociente

El cociente de funciones está definida por:

Calcule el cociente de las funciones:

0)( ;

xg

xg

xfx

g

f

4

)( ,2

x

xxgxxf

<>


Cociente de funciones.N° x f(x) g(x) (f / g)(x) f(Integrada)

1 -6 -4 0,60 -6,67 -6,672 -5 -3 0,56 -5,40 -5,403 -4 -2 0,50 -4,00 -4,004 -3 -1 0,43 -2,33 -2,335 -2 0 0,33 0,00 0,006 -1 1 0,20 5,00 5,007 0 2 0,008 1 3 -0,33 -9,00 -9,009 2 4 -1,00 -4,00 -4,00

10 3 5 -3,00 -1,67 -1,6711 4 6 0,0012 5 7 5,00 1,40 1,4013 6 8 3,00 2,67 2,67

Cociente de funciones

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

x; Dominioy;

Ran

go

f(x) g(x) (f / g)(x)

La función g(x) no está de finida para x = 4, mientras que la función integrada no está definida para x = 0. Las asíntotas son x = 4 y x = 0 respectivamente.

Respuesta: x = 0; x = 4; x = 0; x = 4.

Euler - Matemáticas ITema:

12 8Operaciones con funciones. Acotación

Final

Producto y cociente de dos funciones

Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define:• Producto: (f . g) (x) = f(x) . g(x). •Por tanto: Dom(f . g) = Dom(f) Dom(g)

Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones y g(x) 0 se define:• Cociente: (f g) (x) = f(x) g(x). Por tanto: • Dom(f g) = Dom(f) Dom(g) {x R : g(x) 0}

4

Operaciones con monomiosOperaciones con monomios

Para dividirdividir por un lado, dividimos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales (si se puede).

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:

27 7:21 yy

bba 4:25 23

21 7: ( )( )7y 2y : 53y

25 4ba 3 b 3

4

25a

PolinomiosPolinomiosUn polinomiopolinomio es una expresión algebraica formada por la suma o resta de dos o más monomios no semejantes.

Cada uno de los monomios se llama términotérmino, y si no tiene parte literal se llama término término independienteindependiente.

El mayor de los grados de todos sus términos se denomina gradogrado del polinomio.

21373 523 xyzyxxy

Términos

Términoindependiente

Grado: 2 + 5 = 7

Se llama coeficiente principal al coeficiente del monomio de mayor grado.

Coeficiente principal

PolinomiosPolinomiosEl valor numéricovalor numérico de un polinomio P(x), para un valor x=a, lo expresamos como P(a) y se obtiene sustituyendo la variable x por el valor a en el polinomio y operando.

10437)( 34 xxxxP 10242327)2( 34P

10141317)1( 34P

Ejemplo:

861082411210883167

4104371041317

PolinomiosPolinomios

El polinomio opuestopolinomio opuesto de un polinomio P(x), que designamos como -P(x), se obtiene cambiando el signo de todos los términos de P(x).

10437)( 34 xxxxP

10437)( 34 xxxxP

Ejemplo:

Polinomio opuesto:

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios

Para sumarsumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes.

Ejemplo: 172)( 245 xxxxP87223)( 234 xxxxxQ

)()( xQxP

52x 4x 27 x 143x 32x 22x x7 8

775222 2345 xxxxx

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosPara restarrestar polinomios sumamos al primero el opuesto del segundo.

Ejemplo: 172)( 245 xxxxP87223)( 234 xxxxxQ

)()( xQxP

52x 4x 27 x 143x 32x 22x x7 8

979242 2345 xxxxx

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosPara multiplicar un monomio por un polinomiomultiplicar un monomio por un polinomio multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

Ejemplo:3245 2por 172)( xxxxxP

)(2 3 xPx

32x

3578 21424 xxxx

172 245 xxx

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosEl producto de dos polinomioproducto de dos polinomio se halla multiplicando cada uno de los términos de uno de los polinomios por el otro, y sumando después los polinomios semejantes.Ejemplo: 43)( 152)( 23 xxQxxxP

)()( xQxP

43 2 x

4203236 235 xxxx

152 3 xx

4208 3 xx235 3156 xxx

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosPara dividir un polinomio entre un monomiodividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada término del polinomio entre el monomio. Ejemplos:

245 2796)( xxxxP

932

3 :273:93:63:)(23

2224252

xx

xxxxxxxxP

xyyxxQ 57)( 3

3

27 5 7 5( ) : 2

2 2 2 2

x y xyQ x x x y y

x x

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosPara dividir un polinomio entre un polinomiodividir un polinomio entre un polinomio, seguiremos los siguientes pasos:

1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor y los dispondremos como una división normal.

xxxxxP 2811122)( 243 23)( 2 xxxQ

32x4x 211x x28 12 2x x3 2


2º) Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor, así se obtiene el primer término del cociente.

32x4x 211x x28 12 2x x3 22x

3º) Se multiplica el primer término del cociente por cada término del divisor y el producto pasa restando al dividendo.

2x4x

234

2

2

23

23

xxx

x

xx

234 23 xxx


32x4x 211x x28 12 2x x3 24º) Se suman algebraicamente.

5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entre el primer término del divisor, así obtenemos el segundo término del divisor. Este segundo término se multiplica por el divisor y se pasa restando al dividendo.

2x234 23 xxx

122895 23 xxxx5

xxx

x

xx

10155

5

23

23

2

xxx 10155 23


6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el grado del polinomio divisor.

32x4x 211x x28 12 2x x3 22x

234 23 xxx 122895 23 xxx

x5

xxx 10155 23 12186 2 xx

6

12186 2 xx0


32x4x 211x 2x x3 22x x5 6

Polinomio dividendo)(xD

32x4x 211x x28 12 2x x3 2

Polinomio divisor

Polinomio cociente

Polinomio resto

)(xd

)(xc

)(xr

2x x5 6

0

Regla de RuffiniRegla de Ruffini

La regla de Ruffiniregla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x-a. Veamos el algoritmo con un ejemplo.

1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor.

532)( 23 xxxxD1)( xxd


532)( 23 xxxxD 1)( xxd2º) Se colocan los coeficientes de cada término. Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0.

2 1 3 5

3º) A la izquierda se pone el número que se resta a x en d(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de mayor grado.

1

4º) Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman .

2

2


5º) El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso.

2 1 3 51

223

30

05

El último número (recuadro rojo) se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente.

xxxc 32)( 2 5)( xr532)( 23 xxxxD 1)( xxd

Funciones compuestas o anidadas. xgfxgf

4)(,2)(

x

xxgxxf

N° x f(x) g(x) f(g(x)) f(sintética)

1 -6 -4 0,60 2,60 2,602 -5 -3 0,56 2,56 2,563 -4 -2 0,50 2,50 2,504 -3 -1 0,43 2,43 2,435 -2 0 0,33 2,33 2,336 -1 1 0,20 2,20 2,207 0 2 0,00 2,00 2,008 1 3 -0,33 1,67 1,679 2 4 -1,00 1,00 1,00

10 3 5 -3,00 -1,00 -1,0011 4 612 5 7 5,00 7,00 7,0013 6 8 3,00 5,00 5,00

Funciones integradas

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

x; Dominio

y; R

ang

of(x) g(x) f(g(x))

26

El cociente de funciones está definida por:

Calcule la coposición de las funciones:


La función compuesta f(g(x)) se hace asintótica igual que la función cociente g(x) en x = 4.

Respuestas: x = 4; f(g(x)): g(x)

Composición de funcionesDefinición

Si f y g son funciones, la composición f ° g (“f círculo g”) es la función definida mediante

(f ° g) (x) = f(g(x))

El dominio de f ° g consiste de todos los números y del dominio de g para los cuales g(x) está en el dominio de f

.f ° g

f (g(x))

gf

Ejemplos de composición xxf xxg 1

xxgxgfxgf 1

11 xxfxfgxfg

4/1xxxfxffxff

2111 xxxgxggxgg

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