Opciones Financieras

Fernando Guzmán, MBA

Opciones FinancierasLas opciones ofrecen a sus propietarios el derecho a comprar(call options) o vender (put options) un activo determinado aun precio fijo en algún momento en el futuro.

La gran mayoría de los contratos sobre opciones soncompensados o cerrados antes de que la operación decompra o venta se ejerza.

La gran mayoría de los contratos sobre opciones soncompensados o cerrados antes de que la operación decompra o venta se ejerza.

Dicho de otra manera, la gran mayoría de las personas queoperan en opciones no están interesadas en el activosubyacente sino en ganar dinero.

Opciones FinancierasComo en todo mercado financiero organizado, el emisor(vendedor) de la opción y el comprador de la misma no seconocen, actuando como intermediarios la Cámara decompensación (Cleaning house), los intermediarios o brokersy los creadores de mercado (market makers)

Como en todo mercado financiero organizado, el emisor(vendedor) de la opción y el comprador de la misma no seconocen, actuando como intermediarios la Cámara decompensación (Cleaning house), los intermediarios o brokersy los creadores de mercado (market makers)

Mercado de OpcionesEl mercado moderno de opciones financieras surge enChicago el 26 de abril de 1973 –Chicago Board OptionsExchange- al inicio sólo admitía opciones de compra (call)

Características de los productos derivados:a. La normalización de los precios y de las fechas de

vencimiento.b. La fungibilidad de las opciones, que facilita su

negociación al eliminar el vínculo directo entre el emisory el comprador, obligatoriamente un intermediario

c. Una sustancial reducción de los costos de lastransacciones favorecida por el eficaz organización yamplitud de mercado

Características de los productos derivados:a. La normalización de los precios y de las fechas de

vencimiento.b. La fungibilidad de las opciones, que facilita su

negociación al eliminar el vínculo directo entre el emisory el comprador, obligatoriamente un intermediario

c. Una sustancial reducción de los costos de lastransacciones favorecida por el eficaz organización yamplitud de mercado

Mercado de OpcionesA las opciones existentes fuera del mercado oficial se lasdenomina over the counter (OTC) y son creadas a través delos auspicios de intermediarios financieros del tipo broker ydealier que, por lo general, suelen ser entidades financieras

Descripción de las OpcionesLa adquisición de una opción de compra (call) sobre undeterminado título concede a su poseedor el derecho acomprarlo a un precio fijo, ya sea en una fecha futurapredeterminada o antes de la misma.

La fecha fijada, como límite para ejercer el derecho, esconocida como fecha de expiración o vencimiento(expiration date) y el precio al que se puede ejercer es elprecio de ejercicio, o de cierre (strike price)

La fecha fijada, como límite para ejercer el derecho, esconocida como fecha de expiración o vencimiento(expiration date) y el precio al que se puede ejercer es elprecio de ejercicio, o de cierre (strike price)

Descripción de las Opciones

Una opción de venta (put) sobre un determinado títuloconcede a su poseedor el derecho a venderlo a un precio deejercicio fijo, ya sea en una fecha futura predeterminada oantes de la misma.

Descripción de las OpcionesCuando se emite (vende) una opción que no tiene sucorrespondiente acción subyacente, recibe el nombre deopción al descubierto (naked). Por ejemplo, si el inversorpiensa que las acciones van a bajar de valor, podrá vender uncontrato de opción de compra al descubierto (call nakedoption) sobre ellas; la ganancia neta será el propio precio dela opción, puesto que ni siquiera ha hecho falta que elvendedor de la opción de compra adquiriese las acciones

Cuando se emite (vende) una opción que no tiene sucorrespondiente acción subyacente, recibe el nombre deopción al descubierto (naked). Por ejemplo, si el inversorpiensa que las acciones van a bajar de valor, podrá vender uncontrato de opción de compra al descubierto (call nakedoption) sobre ellas; la ganancia neta será el propio precio dela opción, puesto que ni siquiera ha hecho falta que elvendedor de la opción de compra adquiriese las acciones

Ahora bien, si el precio aumentase y la opción fuera ejercida,el vendedor del contrato se vería en la necesidad deadquirirlas (para cubrir su posición corta) al precio demercado de ese momento y venderlas al precio de ejercicioal poseedor de la opción, lo que le haría perder dinero.

Vencimiento de las OpcionesOpciones europeas, sólo se pueden ejercer al vencimientoOpciones americanas, se pueden ejercer antes de dichafechaOpciones bermudas, sólo se pueden ejercer en algunasfechas intermedias y en el vencimiento

El precio de ejercicio es aquél al que se tiene derecho aadquirir (si la opción es de compra), o a vender (si la opciónes de venta), el activo subyacente durante el periodo de vidade la opción.

Precio de ejercicioCuando el precio de mercado del activo subyacente essuperior al precio de ejercicio de la opción de compra, sedice de ésta que está “en el dinero” (in-the-money ITM). Enel caso de las opciones de venta es justo al revés.

Cuando el precio de mercado del activo subyacente estápróximo al precio de ejercicio se dice que la opción, tanto decompra como de venta, está “a dinero” (at-the-money ATM),prácticamente el propietario de la opción ni ganaría niperdería si la ejerciese en ese instante (siempre sin tener encuenta el precio pagado por la prima)

Cuando el precio de mercado del activo subyacente estápróximo al precio de ejercicio se dice que la opción, tanto decompra como de venta, está “a dinero” (at-the-money ATM),prácticamente el propietario de la opción ni ganaría niperdería si la ejerciese en ese instante (siempre sin tener encuenta el precio pagado por la prima)

Precio de ejercicioSi en el caso de las opciones de compra, el precio demercado del activo subyacente es inferior al precio deejercicio se dice que la opción está “fuera de dinero” (out-the-money OTM), en el caso de las opciones de venta seríaexactamente lo contrario.

Precio de ejercicioResumiendo, si al precio de mercado del activo subyacentelo denominamos S y al precio de ejercicio X, tendremos:

Opciones de Compra (Call Options)Punto de vista del comprador.Supongamos que un inversor desea adquirir una acción deCoca Cola porque piensa que su cotización va a subir, peropor algún motivo no puede o no quiere, pagar los $27 que elmercado demanda, en este caso podría adquirir una opciónde compra (call) sobre la misma.

Punto de vista del comprador.Supongamos que un inversor desea adquirir una acción deCoca Cola porque piensa que su cotización va a subir, peropor algún motivo no puede o no quiere, pagar los $27 que elmercado demanda, en este caso podría adquirir una opciónde compra (call) sobre la misma.

Al adquirir una opción de compra se podrá beneficiar de unaumento en el precio del activo subyacente sin haberlocomprado. Así que el inversor adquiere una opción decompra sobre una acción de Coca Cola con un precio deejercicio de, por ejemplo, $27. el precio de mercado de dichaopción (prima) en ese momento es de $1,3

Punto de vista del compradorEl poseedor de la opción de compra sobre Coca Cola (se diceque tiene una posición larga en opciones de compra porquelas posee y una posición corta en acciones porque no lastiene) podrá decidir si ejerce o no la opción.

Obviamente, la ejercerá cuando la cotización de la acciónsupere al precio de ejercicioObviamente, la ejercerá cuando la cotización de la acciónsupere al precio de ejercicio

Por el contrario, si a la fecha de vencimiento de la opción, elprecio de ejercicio sigue siendo superior a la cotización (outof the money) la opción no será ejercida, debido a que sepuede adquirir el activo directamente en el mercado a unprecio inferior al de la opción. Si la opción no se ejerce lapérdidad máxima será de $1,3

Ejemplo• Precio de acción (S): $27• Precio de ejercicio de la opción de compra (X): $27• Prima (c): $1,3• Vencimiento del contrato: Diciembre

A) Si el precio de la acción es S=$32A) Si el precio de la acción es S=$32

B) Si el precio de la acción es S=$28

Claro que si no ejerciese la opción perdería el costo de lamisma, es decir, $1,3, lo que sería, sin duda, peor.Claro que si no ejerciese la opción perdería el costo de lamisma, es decir, $1,3, lo que sería, sin duda, peor.

C) Si el precio de la acción es S=$25

El inversor no ejercería la opción y su pérdida sería el valorde la prima. Si la ejerce, la pérdida sería aún mayor ($2 porejercerla más la prima pagada, es decir, $3,3)

La máxima pérdida de la estrategia consistente en adquiriruna opción de compra, queda limitada al pago de la prima.Mientras que el beneficio, que en teoría puede ser ilimitado,se calculará restándole al precio de mercado en el fecha devencimiento el precio de ejercicio y la prima (Máx (S-X;0) -c)

Punto de vista del emisorEl inversor que emite, o vende, una opción de compra esperaque la cotización de la acción subyacente se va a mantenerestable, o va a tender a la baja, durante los próximos meses.

Su único cobro será el valor de la prima, mientras que suspagos dependerán de si el precio de ejercicio es inferior, ono, al de mercado durante el periodo de vida de la opción.

Su único cobro será el valor de la prima, mientras que suspagos dependerán de si el precio de ejercicio es inferior, ono, al de mercado durante el periodo de vida de la opción.

Si el precio de mercado supera al de ejercicio (in the money),el propietario de la opción reclamará la acción a la que tienederecho, lo que redundará en una pérdida (o menorganancia) para el emisor. Si ocurre lo contrario, la opción noserá ejercida y no habrá que entregar la acción.

Punto de vista del emisorEstá claro que el emisor de una opción de compra seencuentra en una posición corta en ellas, pero puede estaren posición larga o corta en acciones, según que disponga, ono de ellas.

Si posee la acción subyacente y ésta le es reclamada por elpropietario de la opción, tendrá que entregarla. Pero si no laposee (posición corta) deberá adquirirla en el mercado ydespués venderla a un precio inferior al comprador de laopción; cuando se emite una opción de compra sin estarrespaldada por el activo subyacente se denomina opción decompra al descubierto (naked call option).

Si posee la acción subyacente y ésta le es reclamada por elpropietario de la opción, tendrá que entregarla. Pero si no laposee (posición corta) deberá adquirirla en el mercado ydespués venderla a un precio inferior al comprador de laopción; cuando se emite una opción de compra sin estarrespaldada por el activo subyacente se denomina opción decompra al descubierto (naked call option).

A) Si el precio de la acción es S = $32

El comprador ejerce la opción al precio de $27. el vendedorde la opción obtendrá:

Así que si el vendedor no posee la acción perderá $3,7. Perosi la poseyese y la hubiese comprado el mismo día queemitió la opción le habría costado $27 y en la fecha devencimiento le habrían pagado $27 que sumados a la prima,darían una ganancia para el emisor de $1,3. aunque, claroestá, dejaría de ganar $3,7 más (los $5 que hubiera ganadode no haber emitido la opción menos la prima)

B) Si el precio de la acción es S = $28

El comprador ejerce la opción al precio de $27. el vendedorde la opción obtendrá:

Si el emisor no posee la acción deberá comprarla a $28 yvenderla a $27, pero como en su día recibió una prima de$1,3 su ganancia será de $0,3. ahora bien, si la poseyese, ysu precio de adquisición hubiera sido de $27, habría tenidouna ganancia total de $1,3 si la opción fuera ejercida

Este es el caso más interesante para el emisor de opcionesde compra, ocurre cuando mercado permanece estable.

C) Si el precio de la acción es S = $25

El comprador no ejercerá la opción y la prima será delemisor, ganando $1,3 . Si este último hubiese comprado laacción a $27, obtendrá:

Así que si el vendedor de la opción desea vender susacciones en el mercado, en conjunto obtendrá una pérdidade $0,7 en lugar de una pérdida de $2 si no hubiese emitidola opción pertinente. Así es como se protege del riesgo depérdidas, teniendo activos (posición larga) y emitiendo, almismo tiempo, opciones de compra sobre los mismos (corta)

La máxima ganancia del emisor vendrá dada por la prima dela opción (c). Mientras que la pérdida dependerá de ladiferencia entre el precio de mercado el día del vencimientoy el precio de ejercicio (c – Máx (S-X;0)) siempre que dichadiferencia no se negativa, pues, si así fuese, se tomaría unvalor nulo para la misma dado que el beneficio máximo parael emisor de la opción es el valor de la prima.

Opciones de Venta (Put Options)Punto de vista del comprador:Cuando se espera una bajada en los precios de las acciones,la adquisición de una opción de venta (put) puede aportaringresos con un riesgo limitado.

La compra de dicha opción sobre una acción subyacenteasegura contra una caída inesperada de los precios de ésta,aunque también puede ser usada con fines especulativos,como puede ser la obtención de ingresos con un mercado ala baja

La compra de dicha opción sobre una acción subyacenteasegura contra una caída inesperada de los precios de ésta,aunque también puede ser usada con fines especulativos,como puede ser la obtención de ingresos con un mercado ala baja

Ejemplo• Precio de acción (S): $27• Precio de ejercicio de la opción de venta (X): $27• Prima (c): $1,1• Vencimiento del contrato: Diciembre

El comprador de una opción de venta tiene el derecho devender la acción al precio de ejercicio indicado en el contrato$27 o dejar que la opción expire sin ejercerla. Supondremosque el inversor no posee el activo subyacente, entonces paravenderlo tendrá que previamente adquirirlo al precio delmercado y luego se deshará de él a cambio del precio deejercicio.

El comprador de una opción de venta tiene el derecho devender la acción al precio de ejercicio indicado en el contrato$27 o dejar que la opción expire sin ejercerla. Supondremosque el inversor no posee el activo subyacente, entonces paravenderlo tendrá que previamente adquirirlo al precio delmercado y luego se deshará de él a cambio del precio deejercicio.

A) Si el precio de la acción es S=$32

El dueño de la opción la dejará expirar sin ejercerla, siendosus pérdidas de $1,1, es decir, el costo de la misma.

B) Si el precio de la acción es S=$26

El poseedor de la opción de venta la ejercerá, puesto quesino perderá la totalidad del costo de la misma.El poseedor de la opción de venta la ejercerá, puesto quesino perderá la totalidad del costo de la misma.

C) Si el precio de la acción es S=$20

El poseedor de la opción de venta la ejercerá, puesto quesino perderá la totalidad del costo de la misma.

Punto de vista del emisorEl emisor de una opción de venta cree que la tendencia delprecio de la acción subyacente será neutra o ligeramentealcista y la emisión de este tipo de opción le ofrece laoportunidad de obtener ingresos en forma de prima.

El vendedor o emisor de una opción de venta deberáadquirir la acción subyacente al precio de ejercicioestipulado $27, si el comprador de la opción la ejerce dentrodel plazo al que tiene derecho Por incurrir en este riesgorecibirá una prima (el precio de la opción de venta: $1,1)

El vendedor o emisor de una opción de venta deberáadquirir la acción subyacente al precio de ejercicioestipulado $27, si el comprador de la opción la ejerce dentrodel plazo al que tiene derecho Por incurrir en este riesgorecibirá una prima (el precio de la opción de venta: $1,1)

A) Si el precio de la acción es S=$32

La opción no será ejercida. La acción no se entregará alcomprador de la opción y el emisor gana la prima de $1,1

B) Si el precio de la acción es S=$26

El poseedor de la opción de venta la ejercerá por lo queentregará al vendedor de la misma su acción al precio deejercicio de $27, lo que tendrá los siguientes resultados parasu emisor:

El poseedor de la opción de venta la ejercerá por lo queentregará al vendedor de la misma su acción al precio deejercicio de $27, lo que tendrá los siguientes resultados parasu emisor:

C) Si el precio de la acción es S = $20

El comprador de la opción de venta la ejercerá, por lo queentregará al vendedor de la misma su acción al precio deejercicio de $27, obtendrá:

Estrategias de las opciones financierasCuando se espera un fuerte ascenso del valor del activosubyacente se adquirirán opciones de compra y si seesperase un fuerte descenso se adquirirá opciones de venta.Si el valor del activo subyacente va a permanecer estable oligeramente a la baja se venderán opciones de compra; y sifuese ligeramente al alza se venderían opciones de venta.

Cuando se espera un fuerte ascenso del valor del activosubyacente se adquirirán opciones de compra y si seesperase un fuerte descenso se adquirirá opciones de venta.Si el valor del activo subyacente va a permanecer estable oligeramente a la baja se venderán opciones de compra; y sifuese ligeramente al alza se venderían opciones de venta.

Factores que determinan el valor deuna opción

El valor total de una opción (prima o premium) se componede la suma de dos valores: el valor intrínseco y el temporal

El valor intrínseco de la opción es el máximo valor entre ceroy la ganancia que se obtendría si se ejerciese la opción enese instante.

El valor intrínseco de la opción es el máximo valor entre ceroy la ganancia que se obtendría si se ejerciese la opción enese instante.

El valor temporal indica el valor actual medio incrementalque puede tomar la opción desde este instante hasta suvencimiento.

Si la prima de una opción es $7 y su valor intrínseco es $5, suvalor temporal será de $2 indicando que puede aumentar suvalor en promedio $2 más antes del vencimiento.

Factores que determinan el valor deuna opción

1. El valor intrínseco de la acción o del activo subyacente

Cuando mayor sea su valor, mayor será el precio de la opciónde compra suscrita sobre ese título (considerandoconstantes el precio de ejercicio y la fecha de expiación).

La línea OM indica la igualdad entre los precios de la opcióny de su acción subyacente (c = S) en el caso de que el preciode ejercicio sea igual a cero siendo, por tanto, el límitesuperior del precio de la opción. Esto es así, porque si elprecio de ésta última fuese superior al de su acción, alinversor le resultaría más barato adquirir directamente laacción en el mercado.

La línea OXI marca el límite inferior del precio de la opción.Cuando el precio de la acción es inferior al precio de ejerciciode la opción (Strike price)-caso out of the money- el menorvalor que puede tomar la opción es cero.

La línea OXI marca el límite inferior del precio de la opción.Cuando el precio de la acción es inferior al precio de ejerciciode la opción (Strike price)-caso out of the money- el menorvalor que puede tomar la opción es cero.

Esta es la razón de que al emitir una opción in the money nointerese ejercerla en el momento, dado que el precio de lamisma es, cuando menos, igual a la posible gananciaesperada, con lo que el beneficio sería nulo o negativo.

Y cuando el precio de la acción, S, supera al precio deejercicio de la opción, X (in the money), el límite inferior dedicho valor viene dado por la recta XI, puesto que cualquierinversor puede ejercer la opción al precio de ejercicio (X) yvender la acción en el mercado obteniendo un ingreso de (S– X), que sería el precio mínimo a pagar por la opción.

Esta es la razón de que al emitir una opción in the money nointerese ejercerla en el momento, dado que el precio de lamisma es, cuando menos, igual a la posible gananciaesperada, con lo que el beneficio sería nulo o negativo.

Por lo general, el precio de la opción (c) sigue una líneasimilar a la OBD. En el punto O, el valor de la acciónsubyacente es nulo, lo mismo que el de la opción de compra.

c = 0 x Prob[S ≤ X] + (S – X) x Prob[S > X] =(S – X) x Prob[S > X]

En el tramo OB, cuando S < X el precio de la opción toma unvalor positivo y creciente debido a que el inversor esperaque en el futuro el precio de la acción (S) en el mercadoconsiga superar al de ejercicio (X); la diferencia B – X se ledenomina valor temporal

Donde por pequeña que sea la probabilidad para el inversorde que S supere a X, el precio de la opción tomará un valorpositivo. Así pues, la relación entre el valor de la opción decompra y el precio de mercado del activo subyacente esdirecta; lo contrario ocurre en el caso de las opciones deventa, puesto que cuanto más pequeño es el precio delactivo más vale la opción.

2. El precio de ejercicio

Cuando más bajo sea el precio de ejercicio (X) mayor será elprecio de la opción de compra (c) puesto que existirá unamayor probabilidad de que el precio de mercado de la acciónacabe superando al de ejercicio, ocurriendo justo locontrario en el caso de las opciones de venta (put –p-)

3. La volatilidad del activo subyacente

La magnitud de las oscilaciones del precio del activosubyacente –volatilidad- influye directamente en el tamañodel valor de la opción de compra o de venta. De tal maneraque a mayor riesgo mayor precio y viceversa.

Por ejemplo, se consideran dos activos subyacentes A y B,donde el primero tiene mayor riesgo que el segundo.Suponemos que estos títulos tienen el mismo precioesperado, S, y que las opciones de compra que pueden seradquiridas sobre cada uno de los dos tienen un precio deejercicio X, igual para ambas.

Si X es mayor que S, en ambos casos (out of the money), elcomprador de la opción espera que antes de la expiracióndel contrato, los precios de mercado de ambos activos (σA,σB) hayan superado el valor del precio de ejercicio (X). Estoes más probable en el caso de A que en el de B, al ser suvariabilidad mayor (área sombreada)

Si X es mayor que S, en ambos casos (out of the money), elcomprador de la opción espera que antes de la expiracióndel contrato, los precios de mercado de ambos activos (σA,σB) hayan superado el valor del precio de ejercicio (X). Estoes más probable en el caso de A que en el de B, al ser suvariabilidad mayor (área sombreada)

El precio de la opción de compra de títulos A debería sersuperior al de la de los títulos B. Los mismo se puede decirdel caso de las opciones de venta (put)

4. El tiempo de vida de la opción

El precio incluye un elemento temporal, que tiende adecrecer al aproximarse la fecha de expiración de la opción.

Cuanto menos le queda de vida a la opción de compramenor será su valor, puesto que menos probabilidades tieneel precio de mercado de superar al de ejercicio (o de serinferior al mismo, si nos referimos a las opciones de venta)

Cuanto menos le queda de vida a la opción de compramenor será su valor, puesto que menos probabilidades tieneel precio de mercado de superar al de ejercicio (o de serinferior al mismo, si nos referimos a las opciones de venta)

Nos dan 210 puntos ($2.100) por la opción de compra conprecio de ejercicio de 9.800 y vencimiento en Enero, lo quees preferible a comprar el activo subyacente por 9.800, suprecio de ejercicio y venderlo en 9.890,2 puntos, su preciode mercado (ganancia 90,2 puntos o $902).

La diferencia (119,8 puntos o $1.198) es conocida como elvalor del elemento temporal de la opción, que refleja laganancia potencial de un posterior aumento esperado en elprecio de la acción, que puede tener lugar en el tiempo queresta hasta la expiración del contrato (véase zona que seencuentra entre las líneas OBD y OXI de la siguiente figura)

En la siguiente figura se muestra como conforme seaproxima la fecha de vencimiento de la opción su valor demercado tiende a fundirse con su valor teórico o intrínseco.

5. El tipo de interés sin riesgo

El valor de la opción depende de la tasa de descuento que seaplica en el mercado financiero a las inversiones financieraslibres de riesgo (rf).

Esto es así porque al combinar la emisión de opciones decompra sobre acciones con la tenencia de las propiasacciones es posible eliminar totalmente el riesgo de lainversión.

Esto es así porque al combinar la emisión de opciones decompra sobre acciones con la tenencia de las propiasacciones es posible eliminar totalmente el riesgo de lainversión.

En realidad, la adquisición de una opción de compra sobreuna acción equivale, desde el punto de vista financiero, aadquirir la acción subyacente con parte del pago aplazado.

El pago inicial vendrá dado por el costo de la opción (c),mientras que la parte aplazada será el valor actualizado delprecio de ejercicio (X) al tipo de interés libre de riesgo (rf).

Así que el precio actual de la acción, S0, deberá ser comomáximo igual a:

De donde despejando el valor de la opción de compra,obtendremos una expresión que nos indica que cuanto másgrande sea el valor del tipo de interés sin riesgo mayor serála prima de la opción de compra

6. Los dividendos

Cuanto mayores sean los dividendos repartidos más bajoserá el costo de la opción de compra, puesto que se suponeque al repartir los dividendos el precio de mercado de laacción descenderá, o no subirá tanto como debiera, lo quepuede retraer a los posibles adquirientes de la opciones decompra. Con la opción de venta ocurrirá justo lo contrario,puesto que si desciende el precio de mercado del activosubyacente hace que aumente el valor de la opción de venta.

Cuanto mayores sean los dividendos repartidos más bajoserá el costo de la opción de compra, puesto que se suponeque al repartir los dividendos el precio de mercado de laacción descenderá, o no subirá tanto como debiera, lo quepuede retraer a los posibles adquirientes de la opciones decompra. Con la opción de venta ocurrirá justo lo contrario,puesto que si desciende el precio de mercado del activosubyacente hace que aumente el valor de la opción de venta.

En resumen, el precio de una opción de compra (c), dependeprincipalmente de 6 actores, siendo sus relaciones éstas:

Mientras que para la opción de venta las relaciones serían:

Otra forma de verlo es la siguiente:

El signo “+” significa que si la variable asciende también lohace el valor de la opción, o si desciende le pasa lo mismo alvalor. El signo “-” indica que si la variable aumenta el valor dela opción tiende a descender y viceversa

El método binomial de valoración deopciones

Tiene la ventaja de ser muy intuitivo y usa matemática muysencilla.

Método binomial para un período

Suponga que el valor de la acción del Banco Santander es de8 euros y los inversores piensan que dentro de un año puedealcanzar un valor de 12,05 euros o uno de 5,31 euros. Sepreguntará:•Por qué no puede tomar más valores dentro de un año?•Por qué precisamente esos dos valores?

Suponga que el valor de la acción del Banco Santander es de8 euros y los inversores piensan que dentro de un año puedealcanzar un valor de 12,05 euros o uno de 5,31 euros. Sepreguntará:•Por qué no puede tomar más valores dentro de un año?•Por qué precisamente esos dos valores?

Primero, el método se binomial, “bi” implica que son 2Segundo, es dado por la volatilidad de la acción del BancoSantander en el mercado de valores (41%)Otra cosa interesante es que la probabilidad de que ocurraun resultado u otro no importa, sólo el rango de resultados

Una forma de valorar un activo financiero (una opción decompra en nuestro caso) consiste en saber cuánto vale otroactivo financiero o una combinación de activos financieros,al que se denomina activo “gemelo” que genereexactamente los mismos flujos de caja que el activo a valorary que tenga el mismo riesgo

La cartera que vamos a usar como comparación se va acomponer de H acciones del Santander y de un préstamoque hemos contraído por B euros a un tipo de interés sinriesgo (rf) Por tanto, dentro de un período anual, los flujos decaja de esta cartera puede tomar lo valores:

La cartera que vamos a usar como comparación se va acomponer de H acciones del Santander y de un préstamoque hemos contraído por B euros a un tipo de interés sinriesgo (rf) Por tanto, dentro de un período anual, los flujos decaja de esta cartera puede tomar lo valores:

Es decir, en el caso de que la acción alcance los 12,05 eurosel valor de la cartera será de H acciones a 12,05 euros cadauna menos la devolución del préstamo con sus interesestodo lo cual es igual a 4,05 euros.

Si el tipo de interés sin riesgo es igual a 3% anual podemosextraer el valor de B de cualquiera de las dos ecuacionesanteriores: 3,098 euros

Si el tipo de interés sin riesgo es igual a 3% anual podemosextraer el valor de B de cualquiera de las dos ecuacionesanteriores: 3,098 euros

Luego el valor de la opción de compra, c, en la actualidadserá igual al valor actual de la cartera formada por Hacciones más una deuda de B euros, es decir:

Note que la combinación formada por H acciones delSantander y la venta de una única opción de compraproporciona el mismo resultado dentro de un año sea cualsea el valor futuro de la acción del banco:

Es decir, no hay riesgo. Fíjese que si descuenta al 3% deinterés 3,191 obtiene un valor de 3,098 euros que es el valordel principal de la deuda.

Es decir, no hay riesgo. Fíjese que si descuenta al 3% deinterés 3,191 obtiene un valor de 3,098 euros que es el valordel principal de la deuda.

El modelo generalLo primero que haremos será reproducir el valor intrínsecode la opción de compra dentro de un período e igualarlo alos flujos de caja de la cartera réplica:

Donde S es el precio actual de la acción subyacente (delSantander); Su será el precio de la acción dentro de unperíodo si es alcista y Sd si es bajista (donde u y d son loscoeficientes por los que hay que multiplicar S para obtener elprecio de la acción al final del período

u = eσ y d = 1/u

El ratio de cobertura obtenemos despejando H:

El siguiente paso, será despejar B en una de las ecuaciones:

Las probabilidades de ocurrencia las obtenemos así:Las probabilidades de ocurrencia las obtenemos así:

p es la probabilidad implícita de ascenso; 1 – p de descenso

El valor de la opción de compra será:

Concretando, el precio teórico de la opción de compra esigual al valor actual de la media ponderada de los flujos decaja que proporciona.

A p y 1-p se les conoce como “probabilidades neutrales alriesgo”, pero en realidad no lo son. Son precio-estado de losdos posibles estados multiplicado por 1 + rf

El modelo binomial para dos períodosEjemplo:•Precio actual de la acción Santander = 8 euros•Precio de ejercicio de la opción de compra = 8 euros•Tiempo: 2 semestres•Tipo de interés sin riesgo: 1,49% semestral•Coeficiente de ascenso u = 1,3363•Coeficiente de descenso d = 0,7483

Ejemplo:•Precio actual de la acción Santander = 8 euros•Precio de ejercicio de la opción de compra = 8 euros•Tiempo: 2 semestres•Tipo de interés sin riesgo: 1,49% semestral•Coeficiente de ascenso u = 1,3363•Coeficiente de descenso d = 0,7483

El primer paso es dibujar el árbol binomial de la evolucióndel precio de la acción. Multiplicamos u y d por el valoractual de los 8 euros lo que nos permite obtener los dosprecios que la acción puede tomar al final del primersemestre: 10,69 euros y 5,9887 euros.

El siguiente paso escalcular el valorintrínseco de laopción de compraal final del añoteniendo en cuentalos tres preciosposibles:

El siguiente paso escalcular el valorintrínseco de laopción de compraal final del añoteniendo en cuentalos tres preciosposibles:

Ahora se debe calcular hacia la izquierda del árbol binomiallos valores intermedios de la opción de compra. Para ellousamos las probabilidades neutrales al riesgo. Y luego cu y cd

Por último calculamos el valor de c:

El modelo de Black y ScholesEste modelo es importante no sólo por tener en cuenta lavaloración del arbitraje sino por proporcionar una soluciónanalítica en un solo paso.

El modelo considera que el activo subyacente se distribuyesegún una normal logarítmica para la que su varianza esproporcional al tiempo.

El modelo considera que el activo subyacente se distribuyesegún una normal logarítmica para la que su varianza esproporcional al tiempo.

Supuestos:1. El precio del activo sigue una distribución normal

logarítmica, por lo que los rendimientos se distribuyennormalmente

2. El valor de los rendimientos es conocido y esdirectamente proporcional al paso del tiempo

3. No hay costos de transacción, así que se puedeestablecer una cobertura sin riesgo entre el activo y laopción sin ningún costo

4. Los tipos de interés son conocidos y constantes5. Durante el período de ejercicio, la acción subyacente no

pagará dividendos6. Las opciones son de tipo europeo

Dado tiempo que falta hasta su vencimiento (t), el tipo librede riesgo (rf), el precio de ejercicio de la opción (X) y lavarianza del rendimiento del activo subyacente (σ2), habráque determinar la relación existente entre el costo de laopción de compra europea (c) y el precio de la acciónsubyacente sobre la que recae (S0)

Para Black y Scholes un inversor racional nunca ejercerá unaopción de compra antes de su caducidad y, por tanto, elvalor de la opción de compra americana coincidirá con laeuropea.

Donde N(d1) es la función de distribución de la variablealeatoria normal de media nula y desviación típica unitaria(probabilidad de que dicha variable sea menor o igual a d1)

Para Black y Scholes un inversor racional nunca ejercerá unaopción de compra antes de su caducidad y, por tanto, elvalor de la opción de compra americana coincidirá con laeuropea.

Por otra parte, dado que la opción de venta americanaincorpora sobre la europea la ventaja de poder ser ejercidaen cualquier momento del período, su valor superará a lacorrespondiente europea, teniendo ésta última un mínimo.

Este límite mínimo se calcularía a través de la relación deparidad put-call, obteniéndose el siguiente valor para unaopción de venta europea (donde e-rft es el factor dedescuento continuo)

Como se puede apreciar la expresión de Black y Scholesaplica una ponderación de N(d1) a S0 y otra de N(d2) a X e-rft.Si la ecuación se rellena dando valores por encima del límiteinferior, entonces N(d1) deberá ser mayor que N(d2)

Si el valor de la opción de compra en el mercado es inferior a0,65 euros, la adquiriríamos y si fuese superior lavenderíamos. Por otra parte, si calculásemos el valor de laopción de venta europea obtendríamos un valor de p =1,1156 euros

En aquellos mercador con un alto grado de eficiencia seutiliza este modelo para hallar la varianza de una accióncualquiera (σ2

i) como medida de su riesgo total (la volatilidadimplícita). Para ello se supone que el valor intrínseco de laopción coincide con el de mercado y se trata entonces deaveriguar que valor de σ2 hace que se cumpla la ecuación deBlack y Scholes