OnPlanas en Matlab
38
H |ρ| =0 |ρ| =1 0 < |ρ| < 1 n 1 >n 2 n 1 <n 2 r
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Ondas planas
A. J. Zozaya
28 de mayo de 2012
Índice
Índice 1
1. Introducción 2
2. La onda plana homogénea 22.1. ¾Y qué del campo H?, 3. 2.2. Onda plana en un medio homogéneo absorbente, 4 2.2.1.
Medios absorbentes no magnéticos, 5 . 2.3. Onda plana arbitrariamente orientada, 6. 2.4. Veloci-
dad de grupo, 7.
3. Incidencia perpendicular 83.1. Incidencia perpendicular en el domino de la frecuencia , 8. 3.2. Caso |ρ| = 0, 10. 3.3.
Caso |ρ| = 1, 10. 3.4. Caso 0 < |ρ| < 1, 11. 3.5. Incidencia perpendicular en el domino
del tiempo: método FDTD en una dimensión, 12 3.5.1. Ecuaciones de Maxwell, 13. 3.5.2. Dis-
cretización de las ecuaciones de onda plana y de su dominio, 13. 3.5.3. Otras consideraciones numéri-
cas, 14 . 3.6. Resultados de simulación, 15 3.6.1. Caso 1: adaptación fdtd1d(1,0), 15. 3.6.2.
Caso 2: desadaptación parcial, reexión parcial fdtd1d(4,0), 16. 3.6.3. Caso 3: desadaptación parcial
con absorción fdtd1d(4,0.04), 17. 3.6.4. Caso 4: reexión total fdtd1d(4,100), 17 .
4. Leyes de Snell 184.1. 1era ley de Snell, 19. 4.2. 2da. ley de Snell, 19. 4.3. Estudios de casos, 19 4.3.1. Caso
n1 > n2, 19. 4.3.2. Caso n1 < n2, 20 .
5. Fórmulas de Fresnel 205.1. Introducción, 20. 5.2. Polarización perpendicular, 20 5.2.1. Condiciones de borde, 22 . 5.3.
Polarización paralela, 23 5.3.1. Condiciones de borde, 24 . 5.4. Angulo de Brewster, 25.
5.5. Reexión total, 26 5.5.1. Polarización perpendicular, 26. 5.5.2. Animación del campo magnético
utilizando MATLAB, 27. 5.5.3. Polarización paralela, 29. 5.5.4. Animación del campo eléctrico utilizando
MATLAB, 30. 5.5.5. Condiciones límites de Leontóvich, 30 .
6. Mini-proyectos 336.1. Mini-proyecto 1, 33. 6.2. Mini-proyecto 2, 34.
A. El código FDTD en MATLABr 35
Bibliografía 37
Índice alfabético 38
1
1. Introducción
En el dominio de la frecuencia la ecuación homogénea de D'Alembert 2E = 0 se convierteen la ecuación homogénea de Helmholtz
(∇2 + κ2)E = 0 (1)
La familia de soluciones de la Ec. (1) en un medio simple innito constituyen un conjuntode soluciones denominadas libres porque las mismas existen con independencia de las fuentesprimarias que en la Ec. (1) se han anulado. Los campos libres no pueden ser sino dinámicoso solenoidales. Los campos irrotacionales no pueden ser solución de la Ec. (1) porque necesitande las fuentes escalares para sostenerse. En la Ec. (1) κ será real si el medio no es absorbente.
2. La onda plana homogénea
La Ecuación (1) se puede expandir en tres ecuaciones escalares en coordenadas Cartesianas(∂2
∂x2+
∂2
∂y2+
∂2
∂z2+ κ2
)Ex = 0 (2a)(
∂2
∂x2+
∂2
∂y2+
∂2
∂z2+ κ2
)Ey = 0 (2b)(
∂2
∂x2+
∂2
∂y2+
∂2
∂z2+ κ2
)Ez = 0 (2c)
La solución más simple de la Ec. (1) se denomina onda plana homogénea y se puede obten-er mediante las premisas que se enuncian a continuación. En primer lugar, postularemos quela orientación del campo E es invariante con la posición. Orientando los ejes del sistema decoordenadas de modo que el campo eléctrico yaga sobre el eje x, las Ecs. (2) se reducen a una:(
∂2
∂x2+
∂2
∂y2+
∂2
∂z2+ κ2
)Ex = 0 (3)
Tomando en cuenta que el campo E ha de ser solenoidal necesariamente ∂∂xEx = 0 y por
tanto (∂2
∂y2+
∂2
∂z2+ κ2
)Ex = 0 (4)
Finalmente, postularemos que el campo electrico solo varía a lo largo de una dirección.Haciendo coincidir esta dirección con el eje z, será E = E0(z)ax y la Ec. (4) asume la forma
d2
dz2Ex + κ2Ex = 0 (5)
La solución de la Ec. (5) es:
Ex(z) = C1e−jκz + C2e
jκz (6)
2
donde C1 y C2 son dos constantes complejas indeterminadas: C1,2 = |C1,2|ejϕ1,2 . En el dominiodel tiempo el campo eléctrico tiene la forma:
E(t, z) = [|C1| cos(ωt− κz + ϕ1) + |C2| cos(ωt+ κz + ϕ1)]ax (7)
En esta ecuación, el término |C1| cos(ωt − κz + ϕ1) representa una onda viajera en elsentido creciente de las z, u onda progresiva, y el término |C1| cos(ωt + κz + ϕ1) representauna onda viajera en el sentido decreciente de las z, u onda regresiva. La velocidad νp con queviajan los planos equifásicos es igual a la razón ∆z/∆t de dos puntos de igual fase: ωt− κz =ω(t+ ∆t)− κ(z + ∆z), de modo que:
νp =∆`
∆t=ω
κ=
ω
ω√µε
=1√µε
En el espacio libre νp = 1√µ0ε0
= c = 299792458 [m/s]. La velocidad νp se denomina ve-locidad de fase. La distancia ∆z en la cual la fase de la onda varía en 2π radianes, para uninstante de tiempo dado, se denomina longitud de onda λ: κ∆` = κλ = 2π, de donde sigueque
κ =2π
λLos planos transversales z = ctte. constituyen planos equifásicos: sobre ellos el campo eléctricopresenta la misma fase en todos los puntos.
2.1. ¾Y qué del campo H?
El campo magnético se obtiene como H = ∇×E−ωµ :
H =1
−jωµ
(∂
∂xax +
∂
∂yay +
∂
∂zaz
)×E
=1
−jωµ(−jκ)
[C1e
−jκz − C2ejκz]ay
el cual se puede rescribir de la forma compacta
H =(az ×E)√
µ
ε
= az ×E
η(8)
donde η =√µ/ε es la impedancia intrínseca del medio. En el vacío η = η0 =
√µ0/ε0 =
120π = 377 [Ω]. De la Ec. (8) se observa que los campos eléctrico y magnético son mutuamenteortogonales y, a su vez, transversales a la dirección de propagación.El campo electromagnético:
E = C1e−jκ`ax (9)
H =C1
ηe−jκ`ay (10)
se propaga en el sentido de crecimiento de la variable longitudinal z y representa una onda planahomogénea. Plana: por la forma de la supercie equifásica. Homogénea: por la uniformidaddel campo sobre la supercie equifásica.
3
2.2. Onda plana en un medio homogéneo absorbente
En un medio absorbente la apariencia de la solución de la Ec. 5 no cambia. Sin embargo,ya que ε = ε′ − jε′′ = |ε|−jα y µ = µ′ − jµ′′ = |µ|e−jβ, con, típicamente, 0 ≤ α ≤ π/2 y0 ≤ β ≤ π/2, el número de onda será complejo: κ = ±ω
√|ε|−jα|µ|e−jβ = ±ω
√|ε||µ|e−j α+β
2 o,en forma Cartesiana, κ = ±ω
√|ε||µ|
[cos(α+β
2
)− j sin
(α+β
2
)]:
κ = κ′ − jκ′′
donde κ′, κ′′ > 0. La Ec. 6 asume la forma
Ex(z) = C1e−κ′′ze−jκ
′z + C2eκ′′zejκ
′z (11)
Y la Ecuación 7 asume, a su vez, el aspecto:
E(t, z) = [|C1|e−κ′′z cos(ωt− κ′z + ϕ1) + |C2|eκ
′′z cos(ωt+ κ′z + ϕ1)]ax (12)
El primer término de la expresión 12 representa una onda progresiva amortiguada. Elsegundo término de la expresión 12 representa una onda regresiva amortiguada. κ′ [rad/m]se denomina constante o coeciente de fase y juega el mismo rol que el número de ondaen el caso de un medio no absorbente. κ′′ [Np/m] se denomina constante o coeciente deatenuación. La atenuación L se mide en neperios [Np] o decibelios [dB]:
L = ln
[E(z)
E(z + ∆z)
]= κ′′∆z [Np]
L = 20 log
[E(z)
E(z + ∆z)
]= 20 log eκ
′′∆z = κ′′∆z20 log e [dB]
La distancia en la que los campos, en un determinado medio, se atenuan un neperio sedenomina profundidad de penetración y se suele designar con la letra δ. Fácilmente secomprueba que δ = (κ′′)−1. Por otro lado, con relación a los campos complejos de la ondaviajera progresiva, los mismos asumen la forma
E = C1e−κ′′ze−jκ
′zax (13)
H =C1
ηe−κ
′′ze−jκ′zay (14)
En este caso la impedancia intrínseca del medio es una cantidad compleja:
η =
√|µ|e−jβ|ε|e−jα
=
√|µ||ε|e−j(β−α)
2 = |η|e−jφη
donde φ = (β − α)/2 y −45 ≤ φ ≤ 45.En el dominio temporal las Ecs. 13 y 14 dan paso a las ecuaciones:
E(t, z) = |C1|e−κ′′z cos(ωt− κ′z + ϕ1)ax (15)
H(t, z) =|C1||η|
e−κ′′z cos(ωt− κ′z + ϕ1 + φη)ay (16)
En un medio absorbente los campos eléctrico y magnético ya no están en fase.
4
2.2.1. Medios absorbentes no magnéticos
Particular interés tienen para nosotros los medios absorbentes no magnéticos. Un medioabsorbente no magnético se caracteriza por µ ' µ0 mientras ε′′ 6= 0 o σ 6= 0. Al rescribir laecuación ∇×H = J + ωεE de la forma:
∇×H = [jω(ε′ − jε′′) + σ]E
= jω[ε′ − j
(ε′′ +
σ
ω
)]E
= jωεE
donde ε = |ε|e−jM, siendo tg∆ =ε′′+ σ
ω
ε′. La tangente tg M se denomina factor de pérdidas
eléctricas, mientras que al ángulo M se le denomina ángulo de pérdidas eléctricas. Al ponerε ∼= ε′, lo cual equivale a suponer que las pérdidas en el dieléctrico se deben a una pequeñaconductividad σ, el factor de pérdidas asume la forma tg M= σ
ωε′. Se dan los siguientes casos:
tg M
1, medio conductor; 1, medio dieléctrico.
(17)
Dieléctrico ligeramente absorbente Para un dieléctrico (σ = 0) ligeramente absorbente(ε′′ 6= 0 y ε′′ ε′) se cumple1:
κ = ω√µ (ε′ − ε′′)
= ω
√µε′(
1− ε′′
ε′
)= ω
√µε′
[1− ε
′′
2ε′+
1
8
(ε′′
ε′
)2
+ 1
16
(ε′′
ε′
)3
+ · · ·
]
≈ ω√µε′(
1− ε′′
2ε′
)En modo análogo:
η ≈√µ
ε′
(1 +
ε′′
2ε′
)Buen conductor Para un buen conductor se cumple que ε′′ = 0 y σ ωε, y por tanto:
κ = ω
√µ(ε− σ
ω
)=
√ω2µ
(ε− σ
ω
)=√ωµ (ωε− σ)
≈√−ωµσ
≈√ωµσ
2(1− )
1(1 + x)n = 1 + nx+ n(n−1)2! x2 + n(n−1)(n−2)
3! x3 + . . ., siendo n un número natural o una fracción.
5
En modo análogo:
η ≈√ωµ
2σ(1 + )
Los resultados anteriores se resumen en el Cuadro 1.
Cuadro 1: Número de onda (κ = κ′ − κ′′) e impedancia intrínseca (η = R+ X = |η|eϕη ).
κ′ κ′′ R XGeneral <
ω√µε=ω√µε<ω√
µε
=ω√
µε
Sin pérdidas magnéticas <
ω√µ0ε=ω√µ0ε<ω√
µ0
ε
=ω√
µ0
ε
Dieléctrico perfecto ω
√µε 0
√µε
0
Buen dieléctrico ω√µε′ ωε′′
2
√µε′
√µε′
ε′′
2ε′
√µε′
Buen conductor√
ωµσ2
√ωµσ
2
√ωµ2σ
√ωµ2σ
2.3. Onda plana arbitrariamente orientada
Para obtener las soluciones expresadas mediante las Ecs. (9) y (10), como se recordará,hemos tenido que orientar apropiadamente el sistema de referencia, haciendo coincidir el eje xcon la dirección del campo eléctrico y el eje z con la dirección de propagación.
Figura 1: Ángulos directoresαi, βi y γi, con i ∈ 1, 2, 3que denen la orientación delsistema de referencia naturalde la onda plana (variables pri-madas) respecto del sistema dereferencia principal (variablesno primadas).
Tal sistema de referencia, aquél para el cual la expresiónmatemática del campo se simplica al máximo, se denomina sis-tema de referencia natural de la onda.
¾Cómo se expresa una onda plana respecto a un sistema de ref-erencia arbitrario?.
Dado un sistema de referencia natural, respecto al cual los camposde una onda plana quedan descritos como sigue:
E = Ae−jκz′ax′ (18)
H =A
ηe−jκz
′ay′ (19)
Fijado un segundo sistema de referencia, que denominaremos sis-tema de referencia principal, con el que el sistema de referencianatural forma los ángulos directores αi, βi y γi, con i ∈ 1, 2, 3 (Fig.1), los campos 18 y 19 quedarán expresados mediante las fórmulas:
E = Ae−jκ(x cos γ1+y cos γ2+z cos γ3)(cosα1ax + cosα2ay cosα3az) (20)
H =A
ηe−jκ(x cos γ1+y cos γ2+z cos γ3)(cos β1ax + cos β2ay + cos β3az) (21)
La ecuación x cos γ1 + y cos γ2 + z cos γ3 = ctte. representa una familia de planos equifásicos.El argumento de los exponenciales de las Ecs. 20 y 21 se puede escribir como κ · r, siendoκ = κ(cos γ1ax + cos γ2ay + cos γ3az) el vector de onda, y r = xax + yay + zaz el vectorde posición de uno cualquiera de los puntos sobre un plano equifásico que dista z′ metros delorigen. La distancia de cualquier plano equifásico al origen se puede obtener como la proyeccióndel vector r, de uno cualquiera de sus puntos, sobre la dirección del vector de onda.
6
2.4. Velocidad de grupo
Los procesos monocromáticos no transportan información. La información es transportadapor procesos policromáticos. El campo eléctrico resultante de la combinación de las ondas planasarmónicas que conforman un proceso policromático se expresa mediante una transformacióninversa de Fourier E(t) = F−1E(ω), donde E(ω) es el espectro del campo eléctrico
E(t) =1
2π
ˆ ∞−∞E(ω)ejωt dω (22)
En sentido ordinario E(t) puede consistir en una señal de información con ancho de banda ∆ωcon la que se modula una portadora a una frecuencia de radio (RF) ω0 para su transportación através del espacio. Evidentemente E(t) es una cantidad real. En virtud de lo anterior, y tomandoen cuenta que los parámetros intrínsecos del medio son, en general, función de la frecuencia, ypor tanto κ = κ(ω), el campo eléctrico E(t, z), a z metros del origen de radiación de la ondaplana, se podrá expresar usando la Ec. (22) de la forma
E(t, z) = Re
1
π
ˆ ω0+ ∆ω2
ω0−∆ω2
E(ω − ω0)ej[ωt−κ(ω)z] dω
(23)
Si la variación de κ con la frecuencia es suave, κ(ω) podrá aproximarse mediante el siguientedesarrollo en serie de Taylor a partir de su valor κ0 = κ(ω0):
κ(ω) = κ0 +dκ
dω
∣∣∣∣ω0
(ω − ω0) + T.O.S. (24)
por lo que la Ec. (23) se podrá reescribir:
E(t, z) = Re
1
π
ˆ ω0+ ∆ω2
ω0−∆ω2
E(ω − ω0)ej
[ωt−
(κ0+ dκ
dω |ω0(ω−ω0)+T.O.S.
)z
]dω
(25)
y si el ancho de banda ∆ω se ajusta para que sea lo sucientemente estrecho como para que losT.O.S. se puedan despreciar, se obtiene:
E(t, z) = Re
1
π
ˆ ω0+ ∆ω2
ω0−∆ω2
E(ω − ω0)ej
[ωt−
(κ0+ dκ
dω |ω0(ω−ω0)
)z
]dω
= Re
1
π
ˆ ω0+ ∆ω2
ω0−∆ω2
E(ω − ω0)ejω(t− dκ
dω |ω0z)
dωe−j
(κ0− dκ
dω |ω0ω0
)z
tomando en cuenta que F−1X(ω)e−ωt0 = x(t − t0) y F−1X(ω − ω0) = x(t)eω0t y si desig-namos con νgr al inverso de la cantidad dκ/dω|ω0 , νgr = dω/dκ:
E(t, z) = Re
E(t− z
νgr
)ejω0(t− z
νgr)e−j(κ0− ω0
νgr)z
(26)
= E(t− z
νgr
)cos (ω0t− κ0z) (27)
7
De la Ecuación (27) se concluye que la información contenida en el campo eléctrico sepropaga a la velocidad νgr sin distorsión, pero acumulando un retardo par a z
νgrsegundos. La
velocidad de grupo, νgr, es la velocidad común de los armónicos que conforman la señal deinformación, y se la puede denir si y solo si κ(ω) varía linealmente con la frecuencia en unentorno no menor al ancho de banda de la señal alrededor de la frecuencia de portadora.
3. Incidencia perpendicular
En esta sección se analizará el problema de la incidencia perpendicular [1] de una onda planasobre la interfaz, también plana, entre dos medios de propiedades electromagnéticas distintas.Este análisis se realizará inicialmente en forma analítica, en el dominio de la frecuencia (Sec.3.1), y posteriormente en forma numérica (Sec. 3.5), en el dominio del tiempo utilizando elMétodo de las Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (FDTD).
3.1. Incidencia perpendicular en el domino de la frecuencia
Figura 2: Incidencia perpendicular.
Dados dos medios simples de extensión innita, contigu-os, a través de una supercie plana, de propiedades intrínse-cas (ε1, µ1) y (ε2, µ2), respectivamente, como se ilustra en laFig. 2.
Al propagarse una onda plana en el medio 1, en direc-ción del medio 2, tal que incida perpendicularmente sobre lasupercie plana de separación de ambos medios, se tiene enel medio 1:
E1 =[C1e−κ1z + C2eκ1
]ax (28)
H1 =1
η1
[C1e−κ1z − C2eκ1
]ay (29)
y en el medio 2:
E2 =C3e−κ2zax (30)
H2 =C3
η2
e−κ2zay (31)
Se conviene en denominar onda incidente (medio 1):
E = C1e−κ1zax
H =C1
η1
e−κ1zay
onda reejada (medio 1):
E− = C2eκ1zax
H− = −C2
η1
eκ1zay
8
y onda refractada o transmitida (medio 2):
E+ = C3e−κ2zax
H+ =C3
η2
e−κ2zay
En la interfaz, los campos están obligados a satisfacer las condiciones de borde:
E1(0) =E2(0) (32)
H1(0) =H2(0) (33)
de donde:
C1 + C2 =C3 (34)C1
η1
− C2
η1
=C3
η2
(35)
de tal suerte que al denir los denominados coecientes de reexión, ρ, y de refracción, τ , de lainterfaz:
ρ =E−(0)
E(0)=C2
C1
(36)
τ =E+(0)
E(0)=C3
C1
(37)
y al sustituir las Ecs. (36) y (37) en las Ecs. (34) y (35) se obtiene:
1 + ρ = τ (38)1
η1
− ρ
η1
=τ
η2
(39)
de donde:
ρ =η2 − η1
η1 + η2
(40)
τ =2η2
η1 + η2
(41)
Con estos resultados las Ecs. (28) y (29) del medio 1 se pueden reescribir de la siguientemanera:
E1 =C1
[e−κ1z + ρeκ1z
]ax (42)
H1 =C1
η1
[e−κ1z − ρeκ1z
]ay (43)
y las Ecs. (30) y (31) del medio 2 de esta otra:
E2 =C1τe−κ2zax (44)
H2 =C1τ
η2
e−κ2zay (45)
9
quedando por determinar una única constante: C1.Las soluciones encontradas admiten la siguiente interpretación física: una onda plana que se
propaga en un medio simple, al incidir perpendicularmente sobre la supercie plana de sepa-ración con un segundo medio, engendra dos nuevas ondas planas: una que se refracta en éste, yotra que se reeja en el primero. Todas las ondas, la incidente, la refractada y la reejada, secombinan en la interfaz satisfaciendo las condiciones de borde.
Esta circunstancia física nos permite expresar las ondas refractada y reejada, en funcióndel valor de (los campos de) la onda incidente en la interfaz, mediante la introducción de loscoecientes de refracción y reexión, respectivamente. Estos coecientes quedan luego denidosen función de las propiedades intrínsecas de los medios. Todo lo cual permite armar que,al variar las propiedades electromagnéticas de los medios, se obtendrán diferentes niveles dereexión y refracción. Intuitivamente, por ahora, se dirá que a mayor diferencia entre los medios,mayor reexión y menor refracción, y a mayor parecido, menor reexión y mayor refracción.Ésto será comprobado analíticamente.
0 5 10 15 20−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
η2/η
1
ρ
τ
Figura 3: Comportamiento de ρ y τ en función deη2/η1.
Sobre el campo resultante en el medio 2 no haynada nuevo que decir, pues se trata de una on-da plana homogénea progresiva más. En el medio1, sin embargo, tiene lugar un nuevo proceso, uncampo que presenta, en principio, una estructura
novedosa respecto de la onda plana progresiva sim-ple. A partir de las Ecs. (42) y (43), nos podemoshacer una idea acerca de la estructura del camporesultante en el medio 1. Para hacer ésto, se daráun vistazo al comportamiento de los coecientes dereexión y transmisión en función de la relación en-tre las impedancias intrínsecas de los medios η2/η1.En la Fig. 3 se ilustra dicho comportamiento. Así,se observa que el coeciente de reexión ρ asumevalores entre −1 y 1: −1 ≤ ρ ≤ 1, mientras elcoeciente de transmisión τ entre 0 y 2: 0 ≤ τ ≤ 2.
La estructura del campo resultante en el medio1 se puede analizar dividiendo el problema en tres casos distintos: el caso |ρ| = 0, denominadode adaptación , el caso |ρ| = 1, de desadaptación total, y el caso 0 < |ρ| < 1, de adaptación, odesadaptación, intermedia.
3.2. Caso |ρ| = 0
Siendo el coeciente de reexión nulo, no ocurre ninguna reexión de la onda incidente en lainterfaz y toda ella se transmite al segundo miembro. La adaptación total se logra imponiendoη2 = η1. La estructura del campo resultante en el medio 1 no diere del de la onda planahomogénea original ya que C2 = 0.
3.3. Caso |ρ| = 1
Con η2 = 0 (siendo el medio 2 un conductor perfecto), o con η2/η1 → ∞, se logra que|ρ| = 1. En este caso se dice que los medios están desadaptados en sentido extremo y la onda
10
incidente es completamente reejada por la interfaz, tendiendo a cero los campos refractados.La estructura del campo en el medio 1 forma un patrón denominado de onda estacionaria que secaracteriza por que no hay transportación de energía en ninguna dirección. La onda resultanteen el medio 1, para ρ = −1, asume, por ejemplo, la forma:
E1 = C1 [e−κ1z − eκ1z]ax H1 = C1
η1[e−κ1z + eκ1z]ay
= −2C1 sin(κ1z)ax = 2C1
η1cos(κ1z)ay
Al expresar los campos en el dominio temporal:
E1(t, z) = <E1eωt H1(t, z) = <H1eωt
= 2 |C1| sin(κ1z) sin(ωt+ φ1)ax = 2|C1|η1
cos(κ1z) cos(ωt+ φ1)ay
donde C1 = |C1| eφ1 , se observa que la solución ya no progresa en ninguna dirección, sino queoscila estacionariamente. Al mismo tiempo, se observa que el vector de Poynting es imaginariopuro:
S =1
2E ×H∗
= − 2|C1|2
η1
sin(κ1z) cos(κ1z)az (46)
por lo que los campos no transportan energía.
3.4. Caso 0 < |ρ| < 1
Este caso se presenta para cualquier valor de |ρ| distinto de los anteriores (|ρ| 6= 0, 1). Enesta circunstancia una fracción del campo incidente se reeja y otra se refracta. Usando la Ec.(38) en las Ecs. (42) y (43) se obtiene:
E1 = C1 [e−κ1z + ρeκ1z]ax H1 = C1
η1[e−κ1z − ρeκ1z]ay
= C1 [(τ − ρ)e−κ1z + ρeκ1z]ax = C1
η1[(τ − ρ)e−κ1z − ρeκ1z]ay
= C1τe−κ1zax︸ ︷︷ ︸onda progresiva
+ 2C1ρ sin(κ1z)ax︸ ︷︷ ︸onda estacionaria
=C1
η1
τe−κ1zay︸ ︷︷ ︸onda progresiva
− 2C1
η1
ρ cos(κ1z)ay︸ ︷︷ ︸onda estacionaria
(47)
donde se observa la coexistencia de una onda progresiva y un patrón de onda estacionaria.Este último se forma mediante la combinación de una fracción de la onda incidente y la ondareejada. La onda progresiva, en cambio, existe gracias a la refracción de la porción restante dela onda incidente.
En este caso, que se puede considerar como el más general, ya que la onda resultante noes del todo progresiva, se introduce el concepto de impedancia de onda, Z(z), como la relación
11
entre las amplitudes complejas de los campos en z [2]:
Z(z)|z=−` =Ex(−`)Hy(−`)
= η1
(eκ1` + ρe−κ1`
)(eκ1` − ρe−κ1`)
= η1η2 cos(κ1`) + η1 sin(κ1`)
η1 cos(κ1`) + η2 sin(κ1`)
donde ` es la distancia al plano de separación entre los medios. Vale la pena indicar que conesta formulación se puede resolver el problema de la adaptación de un panel dieléctrico utilizadopara construir las bóvedas dieléctricas de protección de las antenas de microondas. Obsérveseque al medir Z(`) a λ1/2 metros de la interfaz se obtiene:
Z(λ1/2) = η1η2 cos[(2π/λ1)(λ1/2)] + η1 sin[(2π/λ1)(λ1/2)]
η1 cos[(2π/λ1)(λ1/2)] + η2 sin[(2π/λ1)(λ1/2)]
= η1η2(−1) + η1(0)
η1(−1) + η2(0)
= η2
de modo que a media longitud de onda, correspondiente al medio 1, o a una distancia que sea unmúltiplo entero de ésta, la impedancia de onda Z(λ1/2) coincide con la impedancia intrínsecadel segundo medio.
3.5. Incidencia perpendicular en el domino del tiempo: método FDTD
en una dimensión
Con el propósito de ilustrar en el dominio del tiempo todo cuanto se ha dicho acerca dela incidencia perpendicular, se ha escrito fdtd1d, un código en MATLABr (ver Apéndice A)en el que se ha programado el Método de la Diferencias Finitas en el Dominio Temporal enuna dimensión [3]. Vale la pena observar que, mientras la solución descrita en la Sec. 3.1 seencuentra en el dominio de la frecuencia, y representa la solución en régimen estacionario, elmétodo FDTD proporciona una solución en el dominio del tiempo, y por lo tanto incluye elrégimen transitorio del problema.
En el Método de las Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (Finite Dierences Time
Domain FDTD) las derivadas se aproximan mediante cocientes de diferencias centrales sigu-iendo el esquema propuesto originalmente por Yee, intercalando tanto en el espacio como enel tiempo las componentes de los campos eléctrico y magnético [4]. La estructura espacial delmétodo se ajusta a la denominada celda de Yee, y la estructura temporal sigue un patrónconocido como salto de rana.
12
3.5.1. Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell en un medio simple de propiedades intrínsecas ε, µ, y σ:
∂E
∂t=
1
ε∇×H − σ
εE (48)
∂H
∂t= − 1
µ∇×E (49)
comprenden seis ecuaciones escalares:
∂Ex∂t
=1
ε
(∂Hz
∂y− ∂Hy
∂z
)− σ
εEx
∂Hx
∂t=
1
µ
(∂Ey∂z− ∂Ez
∂y
)∂Ey∂t
=1
ε
(∂Hx
∂z− ∂Hz
∂x
)− σ
εEy
∂Hy
∂t=
1
µ
(∂Ez∂x− ∂Ex
∂z
)∂Ez∂t
=1
ε
(∂Hy
∂x− ∂Hx
∂y
)− σ
εEz
∂Hz
∂t=
1
µ
(∂Ex∂y− ∂Ey
∂x
)Si se asume un campo eléctrico del tipo E = Ex(t, z)ax, las ecuaciones anteriores se reducen
a:∂Ex∂t
= − 1
ε
∂Hy
∂z− σ
εEx (50)
∂Hy
∂t= − 1
µ
∂Ex∂z
(51)
Las Ecuaciones (50) y (51) denen una onda plana homogénea con el campo eléctrico en ladirección de ax y el campo magnético en la dirección de ay que se propaga en la dirección deaz.
3.5.2. Discretización de las ecuaciones de onda plana y de su dominio
Discretización del dominio Las Ecuaciones (50) y (51) están denidas en un dominio bidi-mensional espacio-tiempo.
Figura 4: Dominios solapados . Sobre lagrilla de líneas segmentadas se estimaráEx y sobre la grilla de líneas continuasHy.
Deniremos entonces un paso para el espacio, ∆z, y unpaso para el tiempo, ∆t, y deniremos una malla en estedominio con K puntos para el espacio y T puntos para eltiempo, para un total de K × T puntos de observación.
En estos puntos estimaremos los campos, conviniendo enescribir:
Enx (κ) = Ex(n∆t, κ∆z) conn yκ enteros
El campo Ex se estimará en los puntos . . . , κ, κ+ 1, . . .en los instantes
. . . , n− 1
2, n − 1
2, n+ 1
2, . . .
, mien-
tras que el campo Hy se estimará en los puntos. . . , κ− 1
2, κ+ 1
2, . . .
en los instantes . . . , n, n+ 1, . . ..
Con este esquema los valores estimados de los campos seentrelazan tanto en el tiempo como en el espacio. Así, el campo Hy precede al campo Ex en elespacio, y Ex precede a Hy en el tiempo. En la Fig. 4 se muestra como, procediendo de estaforma, se crean en realidad dos dominios solapados, uno para el campo eléctrico y otro para elcampo magnético.
13
Discretización de las ecuaciones Las Ecuaciones (50) y (51) se aproximan mediante difer-encias centrales:
En+ 1
2x (κ)− En− 1
2x (κ)
∆t= − 1
ε
Hny (κ+ 1/2)−Hn
y (κ− 1/2)
∆z− σ
ε
En+ 1
2x (κ) + E
n− 12
x (κ)
2(52)
Hn+1y (κ+ 1/2)−Hn
y (κ+ 1/2)
∆t= − 1
µ
En+ 1
2x (κ+ 1)− En+ 1
2x (κ)
∆z(53)
de las cuales se despejan En+ 1
2x (κ) y Hn+1
y (κ+ 1/2):
En+ 1
2x (κ) =
[1− σ∆t
2ε
][1 + σ∆t
2ε
]En− 12
x (κ)− 1
ε[1 + σ∆t
2ε
] ∆t
∆z
[Hny (κ+ 1/2)−Hn
y (κ− 1/2)]
(54)
Hn+1y (κ+ 1/2) =Hn
y (κ+ 1/2)− 1
µ
∆t
∆z
[En+ 1
2x (κ+ 1)− En+ 1
2x (κ)
](55)
Dando valores a las constantes ε, µ, y σ podemos simular la propagación de la onda endiferentes medios simples no dispersivos. Para medios no absorbentes la Ec. (54) se simplicade la manera siguiente:
En+ 1
2x (κ) = E
n− 12
x (κ)− 1
ε
∆t
∆z
[Hny (κ+ 1/2)−Hn
y (κ− 1/2)]
(56)
la cual es similar a la Ec. (55).
3.5.3. Otras consideraciones numéricas
Escalamiento del campo eléctrico Debido a la enorme diferencia en órdenes de magnitudde las constantes ε0 y µ0 del vacío, el campo eléctrico Ex se suele escalar por el inverso de laimpedancia intrínseca del vacío η0 =
√µ0/ε0 :
E =
√ε0
µ0
E
De esta manera, para medios no magnéticos (µ = µ0), las Ecs. (54) y (55) asumen la forma:
En+ 1
2x (κ) =
[1− σ∆t
2ε
][1 + σ∆t
2ε
]En− 12
x (κ)− 1
εrc0
[1 + σ∆t
2ε
] ∆t
∆z
[Hny (κ+ 1/2)−Hn
y (κ− 1/2)]
(57)
Hn+1y (κ+ 1/2) =Hn
y (κ+ 1/2)− 1
c0
∆t
∆z
[En+ 1
2x (κ+ 1)− En+ 1
2x (κ)
](58)
donde c0 = 1/√µ0ε0 es la velocidad de las ondas electromagnéticas en el vacío y εr es la
permitividad relativa del medio.
14
Paso temporal ∆tmágico El paso temporal ∆t se debe seleccionar de manera que el métodosea estable. La condición de estabilidad se conoce como condición de Courant:
∆t ≤ ∆z√nc0
donde n es el orden del dominio espacial (n = 1 en el presente caso). Además, en FDTD enuna dimensión espacial, existe un valor de ∆t, conocido como magic step, para el cual no semaniesta la dispersión numérica [5]. Este valor es:
∆t =∆z
2c0
(59)
Usando este paso temporal, las Ecs. (57) y (58) se simplican de la manera siguiente:
En+ 1
2x (κ) =
[1− σ∆t
2ε
][1 + σ∆t
2ε
]En− 12
x (κ)− 1/2
εr[1 + σ∆t
2ε
] [Hny (κ+ 1/2)−Hn
y (κ− 1/2)]
(60)
Hn+1y (κ+ 1/2) =Hn
y (κ+ 1/2)− 1
2
[En+ 1
2x (κ+ 1)− En+ 1
2x (κ)
](61)
Paso espacial El paso espacial ∆z se debe escoger lo suciente pequeño como para obteneruna solución lo sucientemente precisa. En general, el nivel de precisión dependerá del problema.Una buena regla consiste en tomar como mínimo 10 muestras por longitud de onda, tomandocomo referencia, para señales policromáticas, la menor longitud de onda.
Condiciones de borde absorbente Como modelar discretamente una región ilimitada esimposible, es necesario añadir, en los extremos del dominio espacial, ciertas condiciones, denom-inadas absorbentes, de tal suerte que, al incidir sobre tales extremos, las ondas no se reejen.Estas condiciones de borde absorbentes se obtienen forzando el valor del campo en los extremosal valor que tendrían si la onda se propagara más allá de ellos. En el vacío esto se consigueponiendo en el extremo z = 0, por ejemplo [3]:
Enx (0) = En−2
x (1)
3.6. Resultados de simulación
Con el propósito de estudiar los casos de adaptación descritos anteriormente en el dominiodel tiempo, la rutina fdtd1d se ha corrido simulando cuatro escenarios diferentes. La funciónfdtd1d presenta dos parámetros de entrada: epsir2 y sigma2, la permitividad eléctrica y laconductividad del segundo medio, respectivamente. La interfaz entre los medios se encuentrajusto en el centro del dominio espacial. La descripción de los escenarios de simulación y losresultados obtenidos se presentan a continuación.
3.6.1. Caso 1: adaptación fdtd1d(1,0)
En la Figura 5 se muestra un fotograma de la simulación de una onda plana que al propagarsedesde un medio incide perpendicularmente sobre la interfaz plana de separación con otro mediode igual impedancia intrínseca.
15
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2
−1
0
1
2
Ex
ε0
ε2, σ
2
z
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2
−1
0
1
2
Hy
ε0
ε2, σ
2
z
Figura 5: Fotograma de la distribución de amplitudes de los campos Ex y Hy bajo adaptación total.
Se recomienda correr la rutina fdtd1d(1,0) desde MATLAB para visionar la simulación.
3.6.2. Caso 2: desadaptación parcial, reexión parcial fdtd1d(4,0)
En la Figura 6 se muestra un fotograma de la simulación de una onda plana que al propagarsedesde un medio incide perpendicularmente sobre la interfaz plana de separación con otro mediocon distinta impedancia intrínseca.
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2
−1
0
1
2
Ex
ε0
ε2, σ
2
z
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2
−1
0
1
2
Hy
ε0
ε2, σ
2
z
Figura 6: Fotograma de la distribución de amplitudes de los campos Ex y Hy bajo desadaptación parcial.
Se recomienda correr la rutina fdtd1d(3,0) desde MATLAB para visionar la simulacióncompleta.
16
3.6.3. Caso 3: desadaptación parcial con absorción fdtd1d(4,0.04)
En la Figura 7 se muestra un fotograma de la simulación de una onda plana que al propagarsedesde un medio incide perpendicularmente sobre la interfaz plana de separación con otro mediode distinta impedancia intrínseca y absorbente.
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2
−1
0
1
2
Ex
ε0
ε2, σ
2
z
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2
−1
0
1
2
Hy
ε0
ε2, σ
2
z
Figura 7: Fotograma de la distribución de amplitudes de los campos Ex y Hy bajo desadaptación parcial y absorción.
Se recomienda correr la rutina fdtd1d(4,0.04) desde MATLAB para visionar la simulacióncompleta.
3.6.4. Caso 4: reexión total fdtd1d(4,100)
En la Figura 8 se muestra un fotograma de la simulación de una onda plana que al propagarsedesde un medio incide perpendicularmente sobre la interfaz plana de separación con otro mediode distinta impedancia intrínseca y altamente absorbente. La enorme absorción del segundomedio produce una reexión total.
17
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2
−1
0
1
2
Ex
ε0
ε2, σ
2
z
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2
−1
0
1
2
Hy
ε0
ε2, σ
2
z
Figura 8: Fotograma de la distribución de amplitudes de los campos Ex y Hy bajo reexión total.
Se recomienda correr la rutina fdtd1d(4,100) desde MATLAB para visionar la simulacióncompleta.
4. Leyes de Snell
Figura 9: En la supercie de separaciónde dos medios se dene un sistema dereferencia principal. Respecto a la normala la supercie (eje z) se denen los án-gulos de incidencia ϕ, de reexión ψ y derefracción θ.
La incidencia oblicua [1] de una onda plana sobre la su-percie de separación (también plana) entre dos medios sim-ples da lugar a la dispersión de la onda incidente por laaparición de una onda reejada y una onda refractada.
La primera permanece en el medio de la incidente y laotra se transmite al segundo medio. Con base en la Fig. 9se denen los ángulos y parámetros de interés para la de-scripción matemática del problema general de la incidenciaoblicua. Los ejes z, z−y z+constituyen los ejes z naturalesde las ondas incidente, reejada y transmitida, respectiva-mente. Los ejes z, z−y z+ naturales respectivamente formanlos ángulos de incidencia ϕ, de reexión ψ y de refracción θcon el eje z principal.
Todos los ejes naturales yacen sobre un mismo plano denominado plano de incidencia, elcual es ortogonal a la supercie de separación de los medios. Respecto al sistema de referenciaprincipal, los ejes z, z− y z+ forman los siguientes ángulos directores:
γ1 = zx = 90 γ−1 = z−x = 90 γ+1 = z+x = 90
γ2 = zy = 90 − ϕ γ−2 = z−y = ψ − 90 γ+2 = z+y = 90 − θ
γ3 = zz = ϕ γ−3 = z−z = ψ γ+3 = z+z = θ
Mediante substitución directa de los valores indicados en el cuadro anterior se obtienen lassiguientes funciones exponenciales:
f (y, z) = e−jκ1(y sinϕ+z cosϕ)
18
f−(y, z) = e−jκ1(y sinψ+z cosψ)
f+(y, z) = e−jκ2(y sin θ+z cos θ)
Para que las condiciones de borde sean satisfechas, es necesario que las funciones f , f− yf+ sean funciones idénticas de la variable y sobre la supercie de separación de los dos medios(¾por qué?):
f (y, 0) = f−(y, 0) = f+(y, 0)
Esta doble ecuación contiene inplicitamente las leyes de Snell:
1era. ley de Snell: f (y, 0) = f−(y, 0)⇒ sinϕ = sinψ2da. ley de Snell: f (y, 0) = f+(y, 0)⇒ κ1 sinϕ = κ2 sin θ
4.1. 1era ley de Snell
De acuerdo a la Figura 9: 0 ≤ ϕ ≤ 90 y 90 ≤ ψ ≤ 180, la primera ley de Snell conllevaa 180 − ψ = ϕ, por lo que el ángulo de reexión, medido respecto a la normal de la superciede separación, es igual al ángulo de incidencia.
4.2. 2da. ley de Snell
La segunda ley de Snell, por otro lado, establece
sin θ
sinϕ=κ1
κ2
(62)
Para dos medios no absorbentes se dene el índice de refracción n =√εrµr, por tanto
sin θ
sinϕ=n1
n2
= n12 (63)
donde n12 = n1/n2.
4.3. Estudios de casos
Se dan dos casos interesantes: cuando el medio 1 es más denso ópticamente que el medio 2:n1 > n2, y cuando ocurre lo contrario: n1 < n2.
4.3.1. Caso n1 > n2
En este caso, a paridad de ángulo de incidencia ϕ, mientras n12 ↑ (sin θ > sinϕ) ⇒ θ ↑. Aparidad de n12, mientras ϕ ↑⇒ θ ↑. Existe un ángulo ϕc para el cual θ = 90. El ángulo ϕc sedenomina ángulo crítico:
ϕc = sin−1
(n2
n1
)Para ángulos ϕ > ϕc, θ es imaginario. En este caso sin θ = (n1/n2) sinϕ > 1, y como
cos θ = ±√
1− sin2 θ sigue que:
cos θ = ±j
√(n1
n2
)2
sin2 ϕ− 1 = ±jα(ϕ)
19
M2(a) Fotografía de la distribución dela amplitud en el plano xy en elmedio 2 de la Figura 9 para el caso
ϕ > ϕc
M2(b) Fotografía de la distribución dela amplitud en el plano xy en elmedio 2 de la Figura 9 para el caso
ϕ = ϕc.
M2(c) Fotografía de la distribución dela amplitud en el plano xy en elmedio 2 de la Figura para el caso
ϕ > ϕc.
Figura 10: Subcasos para n1 > n2.
Al poner β(ϕ) = sin θ = n1
n2sinϕ y al quedarnos con el signo negativo de ±jα(ϕ) (¾por qué?) se
podrá escribir:f+(y, z) = e−κ2zα(ϕ)e−jκ2yβ(ϕ)
La onda f+ representa una onda supercial.
4.3.2. Caso n1 < n2
Cuando n1 < n2, pero en particular n1 n2 ocurre
n1
n2
=sin θ
sinϕ 1⇒ si
n1
n2
→ 0⇒ θ → 0
y todas las ondas se refractan en dirección de la normal para todos los valores del ángulo deincidencia.
5. Fórmulas de Fresnel
5.1. Introducción
Respecto al plano de incidencia el campo eléctrico puede presentar una orientación arbi-traria. Sin embargo, cualquier campo eléctrico arbitrariamente orientado respecto al plano deincidencia se puede representar mediante una apropiada combinación lineal de las componentesperpendicular y paralela a dicho plano de incidencia ver Fig. 11.
5.2. Polarización perpendicular
Cuando el campo eléctrico de la onda incidente es normal al plano de incidencia se dice quela misma presenta polarización perpendicular ver Fig. 11(a). Respecto al sistema de referencia
20
(a) Onda incidente con polarización perpendicular: elcampo eléctrico es ortogonal al plano de incidencia
entrando en la hoja.
(b) Onda incidente con polarización paralela: el cam-po eléctrico está contenido en el plano de incidencia
contenido en la hoja.
Figura 11: Polarizaciones bases de la onda plana incidente.
principal tenemos:Onda incidente:
Eo = Ae−jκ1(y sinϕ+z cosϕ)ae
Ho =A
η1
e−jκ1(y sinϕ+z cosϕ)ah
Onda reejada:E− = Be−jκ1(y sinψ+z cosψ)ae−
H− =B
η1
e−jκ1(y sinψ+z cosψ)ah−
Onda refractada:E+ = Ce−jκ2(y sin θ+z cos θ)ae+
H+ =C
η2
e−jκ2(y sin θ+z cos θ)ah+
con A, B y C complejos.Los vectores aeo,−,+ y aho,−,+ tienen la siguiente expresión en función de la base vectorial
del sistema de referencia principal:
aen = cosαn1 ax + cosαn2 ay + cosαn3 az
ahn = cos βn1 ax + cos βn2 ay + cos βn3 az
con n ∈ ,−,+. Los valores de estos ángulos directores se han deducido a partir de la Figura11(a) y se muestran en el Cuadro 2.
Tomando en cuenta el valor de los ángulos del Cuadro 2 podemos escribir:Onda incidente:
Eo = Ae−jκ1(y sinϕ+z cosϕ)ax
Ho =A
η1
e−jκ1(y sinϕ+z cosϕ)(cosϕay − sinϕaz)
21
Cuadro 2: Ángulos directores de los ejes x,−,+ y y,−,+ naturales respecto al sistema de referencia principal, en elcaso de polarización perpendicular.
α1 0 α−1 0 α+1 0
α2 90 α−2 90 α+2 90
α3 90 α−3 90 α+3 90
β1 90 β−1 90 β+1 90
β2 ϕ β−2 180 − ϕ β+2 θ
β3 90 + ϕ β−3 270 − ϕ β+3 90 + θ
Onda reejada:
E− = Be−jκ1(y sinψ+z cosψ)ax
H− = −Bη1
e−jκ1(y sinψ+z cosψ)(cosϕay + sinϕaz)
Onda refractada:
E+ = Ce−jκ2(y sin θ+z cos θ)ax
H+ =C
η2
e−jκ2(y sin θ+z cos θ)(cos θay − sin θaz)
5.2.1. Condiciones de borde
Las componentes tangenciales de los campos eléctrico y magnético han de ser continuas enla supercie de separación de los dos medios:
E(y, 0) + E−(y, 0) = E+(y, 0)
Hy (y, 0) +H−y (y, 0) = H+y (y, 0)
De aquí sigue2 que:
A+B = C
1
η1
(A−B) cosϕ =1
η2
C cos θ
Al denir los coecientes de reexión, ρ⊥, y transmisión, τ⊥, para la polarización perpendicular:
ρ⊥ =E−(y, 0)
E(y, 0)=B
A
τ⊥ =E+(y, 0)
E(y, 0)=C
A
2Tomando en cuenta las leyes de Snell: κ1 sinϕ = κ1 sinψ = κ2 sin θ.
22
se podrá escribir:
1 + ρ⊥ = τ⊥1
η1
(1− ρ⊥) cosϕ =1
η2
τ⊥ cos θ
y de aquí se obtiene:
ρ⊥ =η2 cosϕ− η1 cos θ
η2 cosϕ+ η1 cos θ(64)
τ⊥ =2η2 cosϕ
η2 cosϕ+ η1 cos θ(65)
Tomando en cuenta que:
sinψ = sinϕ
cosψ = − cosϕ
Resulta, para z < 0:
E1 = Eo +E− = Ae−jκ1y sinϕ(e−jκ1z cosϕ + ρ⊥ejκ1z cosϕ)ax (66)
H1 = Ho +H− =A
η1
e−jκ1y sinϕ[e−jκ1z cosϕ − ρ⊥ejκ1z cosϕ
]cosϕay
−[e−jκ1z cosϕ + ρ⊥e
jκ1z cosϕ]
sinϕaz
(67)
y para z > 0:
E2 = E+ = Aτ⊥e−jκ2(y sin θ+z cos θ)ax (68)
H2 = H+ =A
η2
τ⊥e−jκ2(y sin θ+z cos θ)(cos θay − sin θaz) (69)
5.3. Polarización paralela
Cuando el campo eléctrico de la onda incidente yace sobre el plano de incidencia se dice que lamisma presenta polarización paralela ver Fig. 11(b). Por inspección de las Figs. 11(a) y 11(b)se puede concluir que E‖ se orienta como el campo H⊥, y el campo H‖ como el campo −E⊥,donde los sub-índices q y ⊥ indican polarización paralela y perpendicular, respectivamente.Para este caso, los vectores ae,−,+ y ah,−,+ de los campos eléctrico y magnético, forman losángulos directores α,−,+1,2,3 y β,−,+1,2,3 , respectivamente, con los ejes x, y y z del sistema de referenciaprincipal que se indican en el Cuadro 3.
Tomando en cuenta el valor de estos ángulos según el Cuadro 3 podemos escribir:Onda incidente:
Eo = Ae−jκ1(y sinϕ+z cosϕ)(cosϕay − sinϕaz)
Ho = −Aη1
e−jκ1(y sinϕ+z cosϕ)ax
23
Cuadro 3: Ángulos directores de los ejes x,−,+ y y,−,+ naturales respecto al sistema de referencia principal, en elcaso de polarización paralela dedeucidos a partir de la Fig. 11(b).
α1 90 α−1 90 α+1 90
α2 ϕ α−2 180 − ϕ α+2 θ
α3 90 + ϕ α−3 270 − ϕ α+3 90 + θ
β1 180 β−1 180 β+1 180
β2 90 β−2 90 β+2 90
β3 90 β−3 90 β+3 90
Onda reejada:
E− = −Be−jκ1(y sinψ+z cosψ)(cosϕay + sinϕaz)
H− = −Bη1
e−jκ1(y sinψ+z cosψ)ax
Onda refractada:
E+ = Ce−jκ2(y sin θ+z cos θ)(cos θay − sin θaz)
H+ = −Cη2
e−jκ2(y sin θ+z cos θ)ax
5.3.1. Condiciones de borde
Las componentes tangenciales de los campos eléctrico y magnético han de ser continuas enla supercie de separación de los dos medios:
Ey(y, 0) + E−y (y, 0) = E+y (y, 0)
H(y, 0) +H−(y, 0) = H+(y, 0)
De aqui sigue3 que:
(A−B) cosϕ = C cos θ
1
η1
(A+B) =C
η2
Al denir los coecientes de reexión, ρ‖, y transmisión, τ‖, para la polarización paralela:
ρ‖ =E−(y, 0)
E(y, 0)= −B
A
τ‖ =E+(y, 0)
E(y, 0)=C
A
3Tomando en cuenta las leyes de Snell: κ1 sinϕ = κ1 sinψ = κ2 sin θ.
24
Cuadro 4: Fórmulas de Fresnel.
ρ⊥ =η2 cosϕ− η1 cos θ
η2 cosϕ+ η1 cos θτ⊥ =
2η2 cosϕ
η2 cosϕ+ η1 cos θ
ρ‖ =η2 cos θ-η1 cosϕ
η2 cos θ + η1 cosϕτ‖ =
2η2 cosϕ
η2 cos θ + η1 cosϕ
se podrá escribir:
(1 + ρ‖) cosϕ = τ‖ cos θ
1
η1
(1− ρ‖) =1
η2
τ‖
y de aquí se obtiene:
ρ‖ =η2 cos θ − η1 cosϕ
η2 cos θ + η1 cosϕ(70)
τ‖ =2η2 cosϕ
η2 cos θ + η1 cosϕ(71)
Las ecuaciones 64, 65, 70 y 71 se conocen como fórmulas de Fresnel y se resumen en elcuadro 4. Tomando en cuenta que:
sinψ = sinϕ
cosψ = − cosϕ
Resulta, para z < 0:
E1 = Eo +E− = Ae−jκ1y sinϕ[e−jκ1z cosϕ + ρ‖e
jκ1z cosϕ]
cosϕay
−[e−jκ1z cosϕ − ρ‖ejκ1z cosϕ
]sinϕaz
(72)
H1 = Ho +H− = −Aη1
e−jκ1y sinϕ(e−jκ1z cosϕ − ρ‖ejκ1z cosϕ)ax (73)
y para z > 0:
E2 = E+ = Aτ‖e−jκ2(y sin θ+z cos θ)(cos θay − sin θaz) (74)
H2 = H+ = −Aη2
τ‖e−jκ2(y sin θ+z cos θ)ax (75)
5.4. Angulo de Brewster
Para el caso de la polarización paralela existe un ángulo de incidencia ϕB, denominadoÁngulo de Brewster, para el cual el coeciente de reexión paralela se anula ρ‖ = 0. Estoocurre, en efecto, si η2 cos θ = η1 cosϕB. Si consideramos dos medios no absorbentes y no mag-néticos, la expresión anterior se puede escribir de forma equivalente como n1 cos θ = n2 cosϕB,siendo, como sabemos, n1 y n2 los índices de refracción de los medios 1 y 2, respectivamente.
25
Tomando en cuenta la segunda Ley de Snell, n1
n2= sin θ
sinϕB, se ha de cumplir entonces que
sin θ cos θ = sinϕB cosϕB, lo cual, en efecto, ocurre si θ = π2− ϕB. El ángulo de Brewster se
puede estimar tomando en cuenta que:
n1 cos θ = n2 sinϕB
según la Ec. de Fresnel (70) poniendo ρ‖ = 0, y
n1 sinϕB = n2 sin θ
según la 2da. Ley de Snell (Ec. (63)), considerando que
sin2 θ + cos2 θ = 1 = sin2 ϕB + cos2 ϕB
despejando sin2 θ y cos2 θ de las expresiones previas
sin2 θ =n2
1
n22
sin2 ϕB
cos2 θ =n2
2
n21
cos2 ϕB
sigue quen2
1
n22
sin2 ϕB +n2
2
n21
cos2 ϕB = sin2 ϕB + cos2 ϕB
de donde
ϕB = tan−1
(n2
n1
)
5.5. Reexión total
Sean el medio 1 no absorbente: η1 es real, y el medio 2 un conductor perfecto: σ2 → ∞ ⇒η2 → 0 Sigue entonces que:
ρ⊥ = −1 τ⊥= 0
ρq = −1 τq = 0
5.5.1. Polarización perpendicular
Los campos en el medio 2 son nulos. En el medio 1 los campos tienen la forma siguiente (verFig. 12):
E = −j2A sin(κT z)e−jκ`yax (76)
H =2A
η1
[cos(κT z)e−jκ`y cosϕay + j sin(κT z)e−jκ`y sinϕaz
](77)
donde κT = κ1 cosϕ y κ` = κ1 sinϕ se denominan números de onda transversal y longitudinal,respectivamente.
26
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Figura 12: Estructura del campo mágnético en el plano zy.
En el dominio temporal:
E(y, z, t) = 2A sin(κT z) sin(ωt− κ`y)ax (78)
H(y, z, t) =2A
η1
[cos(κT z) cos(ωt− κ`y) cosϕay
− sin(κT z) sin(ωt− κ`y) sinϕaz] (79)
Así como denimos κT y κ`, es admisible denir ΛT = 2πκT
y Λ` = 2πκ`:
E(y, z, t) = Ex sin
(2π
ΛT
z
)sin
(ωt− 2π
Λ`
y
)ax (80)
H(y, z, t) = Hy cos
(2π
ΛT
z
)cos
(ωt− 2π
Λ`
y
)ay
−Hz sin
(2π
ΛT
z
)sin
(ωt− 2π
Λ`
y
)az (81)
A partir de las Ecs. (80) y (81) se observa que en la dirección normal a la supercie S1,2 deseparación de los medios se crea un patrón de amplitudes con leyes de variación respecto a lavariable z del tipo sin 2π
ΛTz, para las componentes Ex y Hy, y del tipo cos 2π
ΛTz para la componente
Hy. En virtud de las deniciones de κT,` y ΛT,` se inere, además, que al aumentar el ángulo deincidencia ϕ ↑, el número de onda transversal disminuye κT ↓ y por consiguiente la separaciónde los nulos en el plano transversal aumenta ΛT ↑.
5.5.2. Animación del campo magnético utilizando MATLAB
Una animación que muestra la dinámica del campo magnético sobre el plano conductor sepuede realizar usando MATLAB. En la página web del curso TeMii2.html se muestra esta an-imación de la cual en la Figura 12 se muestra un fotograma. Para todo ángulo ϕ de incidenciatal que 0 < ϕ < π
2, a partir de las Ecuaciones (78) y (79), comprendemos que el proceso
27
que resulta, se propaga tangente al plano de separación de los medios, en la dirección de y, conun patrón de amplitudes que presenta máximos y nulos en el plano transversal. Este procesoconsiste en una onda plana no uniforme progresiva en la dirección de crecimiento de las y. Vemoscomo el plano conductor hace de guía, guiando la onda en una de sus direcciones tangenciales.A continuación se anexa una copia del script que permite crear la mencionada animación delcampo magnético durante dos períodos. La ventana creada mide λT/2 de alto (eje z) y 2λ` deancho (eje y).
% incoA
phi=35*pi/180;
kl=sin(phi);
kt=cos(phi);
lambdat=2*pi/kt;
lambdal=2*pi/kl;
z=linspace(0,lambdat/2,20);
y=linspace(0,3*lambdal,60);
x=y; y=z;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
for t=0:40
hy=cos(phi)*cos(kt*Y).*cos(2*pi*t/20-kl*X);
hz=-sin(phi)*sin(kt*Y).*sin(2*pi*t/20-kl*X);
quiver(X,Y,hy,hz);
axis([0 2*lambdal 0 lambdat/2])
set(gca,'PlotBoxAspectRatio',[2,11])
image=getframe;
M(t+1)=image;
P=frame2im(image);
directory = 'images/';
number = num2str(t);
extension = '.bmp';
filename=[directory,number,extension];
imwrite(P,eval('filename'),'bmp');
end
Ahora bien, si se introduce un segundo cuerpo conductor en el escenario previo (ver gurafutura) con una superce exterior plana, ubicado a una distancia D igual a un número enterode medias ΛT : D = nΛT
2, con n = 1, 2, 3 . . ., los patrones de amplitudes dados por las ecuaciones
(80) y (81), no se verían alterados, ya que los mismos satisfacen de antemano las condicionesde borde que el nuevo cuerpo conductor impondría.
Cabe preguntarse, luego, dado el sistema de conductores de la Fig. futura, cuáles ángulosde incidencia, sobre uno cualquiera de los planos conductores (polarización perpendicular), danlugar a un patrón de amplitudes de E y H que satisfagan las condiciones de borde que imponen
28
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Figura 13: Estructura del campo eléctrico en el plano zy.
ambos conductores. La respuesta se obtiene al imponer:
κTD = nπ
κ1 cosϕ =nπ
D
cosϕ =nc
2Df
(82)
con n = 1, 2, . . . , N
siendo N el número entero mayor para el cual se obtiene un ángulo de incidencia físicamenterealizable.
Problema
Para un par de planos conductores separados una distancia D = 2 cm y a f = 40 GHz,calcule los ángulos de incidencia sicamente realizables que permitan la propagación de loscampos en la forma descrita previamente.
Resp.: 79.1931, 67.9757, 55.7711, 41.4096 y 20.3641, en correspondencia de n = 1, 2, 3, 4, 5,siendo N = 5.
5.5.3. Polarización paralela
Los campos en el medio 2 son nulos. En el medio 1 los campos tienen la forma siguiente (vergura 13):
E = −2A[j sin(κT z)e−jκ`y cosϕay + cos(κT z)e−jκ`y sinϕaz
](83)
H = −2jA
η1
cos(κT z)e−jκ`yax (84)
29
En el dominio temporal:
E(y, z, t) = 2A [sin(κT z) sin(ωt− κ`y) cosϕay
− cos(κT z) cos(ωt− κ`y) sinϕaz] (85)
H(y, z, t) =2A
η1
cos(κT z) sin(ωt− κ`y)ax (86)
5.5.4. Animación del campo eléctrico utilizando MATLAB
A continuación se anexa una copia del script que permite crear una animación del campoeléctrico durante dos períodos. La ventana creada mide λT/2 de alto (eje z) y 2λ` de ancho (ejey):
% incoB
phi=35*pi/180;
kl=sin(phi);
kt=cos(phi);
lambdat=2*pi/kt;
lambdal=2*pi/kl;
z=linspace(0,lambdat/2,20);
y=linspace(0,3*lambdal,60);
x=y; y=z;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
for t=0:40
ey=cos(phi)*sin(kt*Y).*sin(2*pi*t/20-kl*X);
ez=-sin(phi)*cos(kt*Y).*cos(2*pi*t/20-kl*X);
quiver(X,Y,ey,ez);
axis([0 2*lambdal 0 lambdat/2])
set(gca,'PlotBoxAspectRatio',[2,1
1])
image=getframe; M(t+1)=image;
P=frame2im(image);
directory = 'images/';
number = num2str(t);
extension = '.bmp';
filename=[directory,number,extension];
imwrite(P,eval('filename'),'bmp');
end
5.5.5. Condiciones límites de Leontóvich
Analicemos la onda refractada en un buen conductor (ver Cuadro 5):
f+(y, z) = e−jκ(y sin θ+z cos θ) (87)
donde κ =√
ωσµ2
(1− ) es complejo.
30
Cuadro 5: Conductividad de algunos buenos conductores.
Conductor Conductividad [S/m]Plata 6.1×107
Cobre 5.7×107
Oro 4.1×107
Aluminio 3.5×107
Tomando en cuenta la segunda ley deSnell para la interfaz espacio vacío-buenconductor κ0 sinϕ = κ sin θ, siendo κ0 sinϕreal, sigue que sin θ ha de ser complejo demodo que:
κ0 sinϕ︸ ︷︷ ︸real
= κ︸︷︷︸complejo
sin θ︸︷︷︸complejo︸ ︷︷ ︸
real
(88)
De esta forma la Ec. (87) se podrá escribir de la forma:
f+(y, z) =e−jκ(y sin θ+z cos θ)
=e−j
(yκ0 sinϕ+z
√κ2−κ2
0 sin2 ϕ)
=e−Bzze−j(Ayy+Azz)
(89)
donde Ay = κ0 sinϕ, Az = <√
κ2 − κ20 sin2 ϕ
y Bz = =
√κ2 − κ2
0 sin2 ϕ.
De la Ecuación (89) observamos que la onda refractada se propaga en el conductor formandocierto ángulo γ con la normal a la supercie de separación γ = tan−1 Ay
Az, y se amortigua de
acuerdo al factor e−Bzz. En sentido riguroso, la onda refractada en un buen conductor ya noes una onda plana uniforme, sino una onda plana no homogénea. Sin embargo, para un buenconductor, en general, se cumple que κ2 κ2
0 sin2 ϕ (Ay Az) para cualquier valor de ϕ, demodo que: √
κ2 − κ20 sin2 ϕ ≈ ±κ (90)
que por razones físicas se toma (?): √κ2 − κ2
0 sin2 ϕ ≈ κ (91)
De esta forma vemos como la tangente del ángulo γ vale, para cualquier ángulo de incidencia ϕ:tan γ = Ay
Az≈ 0, y por tanto γ ≈ 0. Todo lo cual nos permite concluir que, en la práctica, la onda
refractada en el buen conductor lo hace siguiendo la normal a la supercie, y que las componentestangenciales de los campos resultantes en el medio 1 se convierten en las amplitudes complejasde los campos refractados en el conductor no perfecto para cualquier ángulo de incidencia:
E = E+(0)e−κCzat (92)
H = az ×E
ηC(93)
donde κC y ηC son el número de onda y la impedancia intrínseca del conductor, respectivamente,at es cierto vector tangencial a la supercie de separación de los medios y E+(0) = Et (0)+E−t (0).Estas Ecuaciones (92) y (93) son la condiciones límites de Leontóvich.
31
Problema
Una onda plana incide desde un medio dieléctrico sin pérdidas caracterizado por ε = ε0 yµ = µ0, sobre la supercie plana de separación de un buen conductor (σ = 6,1 × 107 [S/m] plata). Para cada uno de los ángulos de incidencia de 20 y 80, y para una frecuencia f = 0,88GHz, calcular:
1. τ‖ y τ⊥.
2. ρ‖ y ρ⊥.
3. El ángulo de refracción.
4. Si la intensidad del campo eléctrico en la supercie vale 0,5 V/m, escriba la expresión delos campos eléctrico y magnético, y de la densidad de corriente J en el conductor.
Resp.: de acuerdo a la segunda ley de Snell
θ = arcsin
(sinϕ
κ1
κ2
)y tomando en cuenta que κ1 = ω
√µ0ε0 y κ2 =
√ωµ0σ2
2(1− j) resulta
ϕ θ20 3,926× 10−4(1 + j)
80 1,13× 10−3(1 + j)
Usando las fórmulas de Fresnel resumidas en el Cuadro 4, se obtienen:
1. los coecientes de transmisión:
ϕ τ‖ τ⊥20 4,006× 10−5(1 + j) 3,765× 10−5(1 + j)80 (4,006 + j4,005)× 10−5 6,957× 10−6(1 + j)
2. los coecientes de reexión:
ϕ ρ‖ ρ⊥20 −1 + j4,263× 10−5 −1 + j3,765× 10−5
80 −1 + j2,307× 10−4 −1 + j6,957× 10−6
3. El campo en el medio conductor se puede representar en la siguiente forma híbrida:
E+ = E0e−jκ2(y sin θ+z cos θ)a+
e
como κ2 es complejo, pero κ1 sinϕ es real, sigue que sin θ ha de ser complejo de modo queel producto κ2 sin θ sea también real. Con todo, κ2 cos θ = κ2
√1− sin2 θ será complejo.
De esta forma el campo E se podrá escribir como
E+ = E0e−Bzze−j(Ayy+Azz)a+
e
32
donde Ay = κ2 sin θ, Az = Real(κ2 cos θ) y Bz = Im(κ2 cos θ). El ángulo de refracción dela onda en el medio conductor, el cual denominaremos θ∗, es igual al ángulo que forma elvector de onda Ayay + Azaz con la normal a la supercie az:
θ∗ = arctan
(AyAz
)
ϕ θ∗
20 ≈ 0[]80 ≈ 0[]
Comentarios: la onda refractada en un buen conductor lo hace acostándose a la normala la supercie para cualquier ángulo de incidencia. Prácticamente la onda se refracta enla dirección de la normal a la supercie para todo ángulo ϕ de incidencia.
4. En el conductor:E+ = 0,5e−Bzze−j(Ayy+Azz)a+
e
H+ = az ×E+
η2
J = σE+
y por tanto:
a) Para ϕ = 20:E+ = 0,5e−460300ze−j(6,308y+460300z)a+
e [V/m]
H+ = 33,127(1 + j)e−460300ze−j(6,308y+460300z)a+h [A/m]
J = 3,05× 107e−460300ze−j(6,308y+460300z)a+e [A/m2]
b) Para ϕ = 80:E+ = 0,5e−460300ze−j(18,163y+460300z)a+
e [V/m]
H+ = 33,127(1 + j)e−460300ze−j(18,163y+460300z)a+h [A/m]
J = 3,05× 107e−460300ze−j(18,163y+460300z)a+e [A/m2]
6. Mini-proyectos
6.1. Mini-proyecto 1
Usando la base de datos disponible en http://www.fcc.gov/oet/rfsafety/dielectric.html se-leccione tres materiales de propiedades electromagnéticas muy distintas. Seleccione, además,un rango de frecuencias sucientemente grande para los nes de las tareas que se proponen acontinuación y proceda, usando MATLAB4, a
4El uso de MATLAB no es restrictivo. Puede usar cualquier otro software matemático.
33
1. Construir las grácas κ′ = κ′(f) [rad/m] y κ′′ = κ′′(f) [Np/m], usando, si es necesario,escalas a la izquierda y a la derecha. La gráca de κ′′ = κ′′(f) repítala en [dB/m] y la deκ′ = κ′(f) en [º/m].
2. Repita los cálculos del punto anterior usando las fórmulas aproximadas considerando cadamaterial una vez como un dieléctrico de bajas pérdidas (κ′ ≈ ω
√µ0ε′ y κ′′ ≈ ω
√µ0ε′
ε′′
2ε′),
y otra vez como un buen conductor (κ′ = κ′′ ≈√
ωµ0σ2
). Superponga los resultados con losdel punto anterior sobre una misma gráca (una por material) utilizando distintos tiposde líneas y marcas. Analice el resultado y concluya acerca del rango de frecuencia en elque las aproximaciones se pueden tomar como válidas.
3. Construir las grácas νp = νp(f) y νgr = νgr(f), usando, si es necesario, escalas a laizquierda y a la derecha.
4. Construir las grácas ∆ = ∆(f) y tan ∆ = tan ∆(f), usando, si es necesario, escalas a laizquierda y a la derecha.
5. Construir la gráca δ = δ(f).
6.2. Mini-proyecto 2
Introducción
Se propone a continuación una terna de problemas para ser resueltos usando MATLAB oMathcad, u otro software similar, con el propósito de estudiar la dispersión en los medios cuyaspropiedades intrínsecas son dependientes de la frecuencia.
Un medio dispersivo se modelará con una función de transferencia H(ω) = e−κ(ω)∆z, dondeκ(ω) es el número de onda dependiente de la frecuencia, y ∆z es la longitud recorrida por laonda a través del medio. De esta suerte, si Ei(ω) es la transformada de Fourier de cierto campoEi(t) variable en el tiempo: Ei(ω) = FEi(t), donde el subíndice i está por entrada, despuésde ∆z metros recorridos por la onda en el medio, tendremos un campo eléctrico de salidaEo(t) dado por:
Eo(t) =F−1Ei(ω)H(ω)=F−1Ei(ω)e−κ(ω)∆z
En MATLAB, la transformada de Fourier, F , y su inversa, F−1 , se estiman discreta-mente mediante las funciones FFT[ ] e IFFT[ ], respectivamente.
Se trata, en los ejercicios que se proponen en este documento, de experimentar con ciertomedio no magnético, de propiedades intrínsecas dipersivas ε′(ω) y ε′′(ω), para estimar el efectoque estas propiedades dependientes de la frecuencia tienen sobre ciertos campos de entrada conformas temporales dadas. Para ello se deberá proceder de la siguiente manera:
+ tomar N muestras de la forma temporal del campo Ei(t) y almacenarlas en un vector deMATLAB,
+ tomar la FFT de esta secuencia,
34
+ multiplicar el vector resultante por un vector formado por igual número de muestras (N)de la función de transferencia H(ω) del medio, y
+ tomar, nalmente, la IFFT del vector resultante. El vector resultante contendráN muestrasde la forma temporal de Eo(t).
En adelante denominaremos este procedimiento procedimiento numérico.
1. Usando la base de datos disponible en http://www.fcc.gov/oet/rfsafety/dielectric.htmlseleccione un medio. Seleccione, además, un rango de frecuencias sucientemente grande
para los nes de las tareas que se proponen a continuación y proceda, usando MATLAB5, aconstruir las grácas ε = ε′(ω) y ε′′ = ε′′(ω), usando, si es necesario, escalas a la izquierday a la derecha.
2. Para el medio dispersivo no magnético seleccionado, calcule la profundidad de penetraciónδ para un valor de frecuencia ω1 prejado por usted. Para este valor de frecuencia concibaun campo mono-cromático de entrada Ei(t), y usando el procedimiento numérico, conH(ω1) = e−κ(ω1)δ, compruebe que |Eo(t)| = |Ei(t)|
e.
3. Usando las formas temporales del campo Ei(t) que se muestran en la Fig. 14 estime,usando el procedimiento numérico, las correspondientes formas temporales de salida Eo(t),calibrando apropiadamente los valores de ω0, ancho de banda (BW) y ∆z, de manera talde observar el efecto de la dispersión en el campo de salida.
(a) (b)
Figura 14: Formas temporales de entrada Ei(t).
A. El código FDTD en MATLABr
function fdtd1d(epsir2,sigma2)
% FDTD1D resuelve la propagación de una onda plana en dos medios contiguos
% separados por un plano sobre el cual la onda incide perpendicularmente.
% % % % % % % % % % valores recomendados % % % % % % % % % % % %
% caso 1: epsi2r=1, sigma2=0 adaptación
% caso 2: epsi2r=4, sigma2=0 desadaptación intermedia, reflexión parcial
% caso 3: epsi2r=4, sigma2=0.04 desadaptación intermedia con absorción
% caso 4: epsi2r=4, sigma2=100 reflexión total
close all
5El uso de MATLAB no es restrictivo. Puede usar cualquier otro software matemático.
35
K=200;
kc=K/2;
t0=40;
spread=12;
n=0;
N=600;
ex(K)=0; hy(K)=0;
z=1:K;
exi1=0; exi2=0; exd1=0; exd2=0;
epsi0=8.85419e-12; c=3e8;
xd=100;
epsir=epsir2;
sigma=sigma2;
f=700e6;
lambdamin=c/(sqrt(epsir)*f);
deltaz=lambdamin/10;
deltat=deltaz/(2*c);
eaf=(deltat*sigma)/(2*epsir*epsi0);
sigmaz=[ones(1,xd-1) ones(1,K-xd+1)*((1-eaf)/(1+eaf))];
epsiz=[0.5*ones(1,xd-1) 0.5*ones(1,K-xd+1)./(epsir*(1+eaf))];
y=[-2 2]; zd=[xd xd];
deltaz=lambdamin/10;
deltat=deltaz/(2*c);
% % % % % % % % % % % % % Pasos de tiempo % % % % % % % % % % % % %
for n=1:N
% % % % % % % calculo del campo eléctrico % % % % % % %
for k=2:K
ex(k)=sigmaz(k)*ex(k)+epsiz(k)*(hy(k-1)-hy(k));
end
pulso=sin(2*pi*f*deltat*n);
(5)=ex(5)+pulso;
% % % % % % % % % % % % % % % % ABC % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
ex(1)=exi2; exi2=exi1; exi1=ex(2); ex(K)=exd2; exd2=exd1; exd1=ex(K-1);
% % % % % % % calculo del campo magnético % % % % % % %
for k=1:K-1
hy(k)=hy(k)+0.5*(ex(k)-ex(k+1));
end
% % % % % % % % visualización % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
subplot(2,1,1)
plot(z,ex,'b',zd,y,'g')
ylabel('E_x')
axis([5 K -2 2]),
text(80,1.5,'\epsilon_0'),
text(105,1.5,'\epsilon_2, \sigma_2');
xlabel('z')
box off
subplot(2,1,2)
plot(z,hy,'r',zd,y,'g'),
ylabel('H_y')
36
axis([5 K -2 2]),
text(80,1.5,'\epsilon_0'),text(105,1.5,'\epsilon_2, \sigma_2');
xlabel('z')
box off
pause(0.01)
end
Bibliografía
[1] V. V. Nikolski. Electrodinámica y propagación de ondas de radio. MIR, Moscú, 1980.
[2] M. A. Plonus. Electromagnetismo aplicado. Editorial Reverté S. A., Bercelona, España,1982.
[3] Dennis M. Sullivan. Electromagnetic Simulation using the FDTD Method. IEEE Press, 2000.
[4] Kane S. Yee. Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell'sequations in isotropic media. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 14(3):302307, May 1966.
[5] A. Taove. Computational Electrodynamics: The Finite-Dierence Time-Domain Method.Norwood, MA: Artech House, 1995.
37
Índice alfabético
ángulo crítico, 19ángulo de pérdidas eléctricas, 5índice de refracción, 191era ley de Snell, 192da. ley de Snell, 19
campos libres, 2celda de Yee, 12coeciente de atenuación, 4coeciente de fase, 4condición de Courant, 15Condiciones límites de Leontóvich, 30constante de atenuación, 4constante de fase, 4
ecuación homogénea de Helmholtz, 2
Fórmulas de Fresnel, 20fórmulas de Fresnel, 25factor de pérdidas eléctricas, 5FDTD, 12
impedancia de onda, 11Incidencia perpendicular, 8Incidencia perpendicular en el domino de la fre-
cuencia, 8Incidencia perpendicular en el domino del tiem-
po, 12
Leyes de Snell, 18longitud de onda, 3
magic step, 15
onda plana homogénea, 2, 3onda progresiva, 3onda progresiva amortiguada, 4onda regresiva, 3onda regresiva amortiguada, 4onda viajera, 3
plano de incidencia, 18Polarización paralela, 23Polarización perpendicular, 20primera ley de Snell, 19profundidad de penetración, 4
Reexión total, 26
salto de rana, 12segunda ley de Snell, 19sistema de referencia natural de la onda, 6sistema de referencia principal, 6
vector de onda, 6velocidad de fase, 3velocidad de grupo, 8
38
