7/25/2019 onem solucinario

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SOLUCIONARIO DE LA OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMTICA 2004-II FASE

1. A una fiesta asistieron 153 personas. En un momentodeterminado 17 damas y 22 caballeros no bailaban y el resto

bailaban en parejas formadas por una dama y un caballero.Cuntas damas asistieron a la fiesta?Solucin:

Datos Planteo yoperacin

Respuesta

Total asistentes153No bailan 22

caballe ros y 17damasBailan: x damas yxcaballeros

22!17 ! " ! " #1533$ ! 2" # 153

% # 57Total damaslos &ue bailan !lo &ue no bailan# 57 ! 17

Asistieron a lafiesta 7' damas

(. )na caja c*bica sin tapa de ' cm % 'cm % 'cm contiene ('pe&ue+os cubos &ue llenan la caja e"actamente. Cuntos

cubos tocan al,una cara lateral o el fondo de la caja?Solucin:

Datos Planteo y

operacin

Respuesta

-bseremoscuidadosamentela fi,ura

/os damos cuenta&ue los *nicoscubitos &ue notocan nin,una

pared lateral ni elfondo son los doce&ue estn en laparte central de lafi,ura

0ocan al,una caralateral o el fondode la caja (' 12 # 52

Cubitos.

2. Cada da del mes de a,osto un alumno comi4 de postredurante el almuero una naranja una manana o ambasfrutas. 6i comi4 naranjas 25 das y manana 1 das

Cuntos das comi4 amabas frutas?Solucin:

Datos Planteo y

operacin

Respuesta

0otal 31 das

25 " ! " ! 1 " # 31

'3 " # 31"8 12

Ambasfrutascomi4 12das

7. )n a,ricultor cosec9a cierto n*mero de plantas de lec9u,ay solicita a cuatro de sus trabajadores &ue las cuenten El 1:las a,rup4 de 11 en 11 pero le falt4 uno el 2: de 13 en 13 y le

sobraron doce el tercero de 7 en 7 pero le falt4 uno el cuartoles a,rup4 de 12 en 12 pero no le falt4 ni sobr4. Cuntasplantas de lec9u,a tiene e"actamente el a,ricultor sabiendo&ue son menos de ;;;? Solucin: Sea x la cantidad deplantas de lechuga X = !!" # = $" %

asi,nando

El 1: cont4 11< 1 alores a < # 5 .resultaEl 2: cont4 13< 1 % # 5;;'El 3: cont4 7< 1 Respuesta: &ay '!!( plantasEl ': cont4 12 13 y 7 81 # 1;;1< 8 1

3. El producto de las tres cifras de un n*mero es 12( y lasuma de sus dos *ltimas cifras es 11. Cul es la cifra de lascentenas de dic9o n*mero? Solucin:

Datos Planteo y operacin Respuesta

Sea el nmero detres cifras:

abc , donde

a.b.c=126 yb + c = 11cifra de centenases a

a b c

) $ *

3

' 7

5 (

@e acuerdo a la tabla

y por tanteo a es 7 yb y c son 2 y $

a cifra delas centenases 7

.)n estudiante ley4 un n*mero telef4nico de 7 d,itos escritoen la forma si,uiente abc de+g y pens4 &ue se trataba de unaresta la efectu4 y obtuo 8$5> sabiendo &ue todos los d,itosdel n*mero telef4nico son distintos

Balla el menor alor posible del n*meroabc

Solucin: Seg,n los datos se tiene:

abc -defg = - *' . / sea

9bc 0

*'

A9ora buscamos n*meros10 fg

diferentes &ue cumplan con la suma siendo b#' y c# 2

Respuesta: 1l menor 2alor posible de

abc = *($

'. En una diisi4n sin considerar decimales el diisor es

15 el cociente es 1; unidades mayor &ue el diisor y elresiduo es 5. Calcula en cuanto aumenta el cociente siaumentamos 2; unidades al diidendo y lue,o loduplicamos y este nueo diidendo lo diidimos entre elmismo diisor. Solucin:

Datos Planteo y

operacin

Respuesta

d# 15

# 15 ! 1; #25

r # 5@ d 25

@ # 15 =25 !5 #

3;6i aumentamos 2;

y duplicamos eldiidendo a9ora es;;

El cociente aument4

en 53 25 # 2unidades.

$. 6ean p y & n*meros primos distintos mayores &ue 1 y

menores &ue 1;; tales &ue p!( p!1; &!' &!1; y p!&!1son todos n*meros primos. Calcular el mayor alor &ue puedatomar p!& . Solucin:

/:primos

p!( p!1; &!' &!1; D!&!1

p =3

=3

& 3'3'7>53>5$>(1>(7>71>73>

7$>3>$ y $7. @e donde p# $7 y 3 =mayor alor posibleRespuesta: p03 = !!

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5 ;; d 535

5. 6ean C y @ dos d,itos tales &ue' se cumpla la si,uiente

i,ualdad ;3C=

D

11 9allarCD .

Solucin:

Datos Planteo y

operacin

Respuesta

;3C=

D

11

3C

99=D

11

3C # $@

3C # $@

3; ! C # $@Dor tanteoC # ( y @ # '

El n*mero es ('

1;. 6e tiene 12 n*meros enteros positios y distintos &uesatisfacen la si,uiente condici4n 6i calculas todas lasdiferencias positias posibles tomando los n*meros de 2 en 2

se forma un conjunto de 2; enteros positios consecutios.Calcula la diferencia entre el mayor y el menor alor de los 12

n*meros. Solucin:

6ean 12 n*meros enteros positios y distintos en forma

ordenada ;a1a2a3a'a5a(a7aa$a1;a11a12@ebemos 9allar a128a1ordenando consecutiamente sera

a1 8 a1!1> a1 ! 2 > F..a1!1> a1!1$ y tomando de 2 en 2

9allamos la diferencia a128a11

@ =diferencia mnima

a118a1;

@

a2 8 a1 @

a12 8 a1

1;@

- sea a1!1$ 8 a1 # 1$ . ue,o 1$10D

donde @#1

Respuesta:El mayor de las diferencias es 2;