1.- Movemento Ondulatorio. Clases de onda! 22.- Ondas Harmónias. Función de onda unidimensional! 33.- Enerxía! 5

.............................................................................................................3.1.- Absorción! 64.- Principio de HUYGENS! 6

..............................................................................................................4.1.- Reflexión! 6

............................................................................................................4.2.- Refracción! 75.- Interferencias! 7

.........................................................................................5.1.- Experimento de Young! 8

............................................................................................5.2.- Ondas estacionarias! 96.- Difracción! 107.- Polarización! 118.- Son! 11

...............................................................................................8.1.- Calidades do son! 12

...........................................................................................8.2.- Eco e reverberación! 12

..............................................................8.3.- Ondas sonoras estacionarias en tubos! 12

................................................................................................8.4.- Efecto DOPLER! 12

ONDAS

1

• 1.- Movemento Ondulatorio. Clases de onda! Que é unha onda? Para moita xente, a palabra “onda” trae á mente unha descrición dun océano, coas ondas procedentes do mar aberto varrendo as praias. Ao ver as cristas cabalgando, adquírese un certo sentido de asalto masivo da auga sobre a terra, e verdadeiramente as ondas poden facer un gran dano, o que equivale a dicir que son portadoras de enerxía. Pero a pesar de todo, cando as ondas xa romperon e volven atrás, a auga está praticamente no mesmo sítio no que estaba antes respeito da praia. A avalancha cara adiante non significa un movimento físico da auga. En realidade, o mar xogou un papel de axente mediante o cal transmite un certo efecto. E aquí temos a característica esencial do que se denomina movimento ondulatório.! Unha onda é unha perturbación que se propaga no espazo, transmite unha propiedade dun lugar a outro a través dun medio, pero o medio en si mesmo non se transporta. Pode relacionarse un efecto local a unha causa distante e existe unha diferenza de tempo entre a causa e o efecto que depende das propiedades do medio e que atopa a súa expresión na velocidade da onda. Todos os medios materiais (sólidos, líquidos e gases) poden transportar enerxia e información por medio de ondas.! As magnitudes físicas que definen a perturbación poden ser unha deformación elástica ou unha sobrepresión en acústica, campos eléctricos e magnéticos, unha probabilidade de presenza en mecánica cuántica, etc. Os fenómenos ondulatorios están descritos por unha función Ψ(r, t), que se denomina función de ondas, e pode ser escalar ou vectorial, e que satisfai unha ecuación en derivadas parciais denominada “ecuación de ondas”. ! Nun instante dado Ψ(r, t) é unha función da posición; nun punto dado Ψ(r, t) é unha función do tempo.! Un movemento ondulatorio é unha función dobremente periódica, no tempo e no espazo.! Se a función de ondas non necesita un medio para propagarse denomínase onda electromagnética. Se precisa un medio para propagarse, denomínase onda mecánica. As ondas mecánicas pasan a través dun medio porque cada átomo está ligado a unha posición de equilibrio por forzas de orixe electromagnética. Cando son perturbadas actúan da mesma forma que as masas unidas por resortes: unha perturbación nun deles pasa ao seguinte e así sucesivamente.! A velocidade de propagación depende da natureza do medio e da conexión entre as partículas.

Clases de ondas:a) onda lonxitudinal: a vibración das partículas do medio realízase no sentido da propagación. Por exemplo, as ondas acústicas.b) onda transversal: a vibración da perturbación é perpendicular á dirección de propagación. Non precisa un medio para propagarse.

E

B Propagación

Propagación

Lonxitudinal Transversal

Ondas

2

Consideremos unha perturbación Ψ que se propaga cara á dereita segundo o eixe X, cunha velocidade constante, se o medio é homoxéneo e isótropo, sen amortecemento.

t=t2t=t1

x1

x2

Representación da perturbación Ψ en función de x nos instantes t=t1 e t=t2 !! Se Ψ (x1, t1) = Ψ(x2, t2) , o punto x1 no tempo t1 ten a mesma perturbación que o punto x2 no tempo t2, e pódese escribir a seguinte relación x2 - x1 = v(t2 - t1), v t2 - x2 = v t1 - x1 , t2 - x2 / v = t1 - x1 / v,

! A función de ondas é unha función de t - x/v, tempo de vibración, que se denomina fase da onda.! ! ! ! Ψ(x,t) = f(t - x/v)

! En x=0 Ψ(0,t) = f( t0 ) , se se coñece o valor da función na orixe, coñécese a perturbación en calquera punto e tempo.

• 2.- Ondas Harmónias. Función de onda unidimensional

! No punto x = 0 prodúcese unha perturbación harmónica, realiza un M.H.S. O valor da perturbación é: W(0,t) = f(t0) = Asen(~t0+{)A perturbación nun punto P e nun tempo t é:

W(x,t) =W(0,t) = f(t0) = Asen(~t0+{)sendo t0 o tempo que nos permite superpoñer a onda en P coa onda en x =0, o punto P e a orixe teñen a mesma función de ondas.

�

to = t − xv

Eliximos! !

W(x,t) = Asen ~(t - vx )+{9 C Para simplificar calculos consideraremos que { = 0

Esta función é periódica no tempo A sen~t0 = Asen~ t0+T^ h ao introducir o período prodúcese no ángulo un aumento de 2 r ! ~ t0+T^ h=~t0+2r

ONDAS

3

�

ω = 2πT

frecuencia angular, representa o cambio de fase co tempo.

W(x,t) = A sen T2r (t - v

x ) = A sen2r(Tt - Tv

x )

Definimos lonxitude de onda como o espazo percorrido pola onda durante un período m = vT

�

Ψ(x,t) = A sen 2π(tT

− xλ

)

Presenta periodicidade no espazo, para t = cte

W(x,t) = W(x+a,t)

A sen2r mx = A sen2r m

x+a

! Ao introducir o período espacial prodúcese un aumento en 2 r no ángulo.

�

2πxλ

+ 2π = 2π x + αλ

⇒ 2πx + 2πλλ

= 2πx + 2παλ

⇒ λ = α

! ! O período espacial é a lonxitude de onda.

W(x,t) = A sen2r(Tt - m

x) = A sen( T2rt - m

2rx)

�

K = 2πλ

Definimos nº de onda coa expresión !

representa a velocidade de cambio de fase coa distancia. A medida que nos movemos no espazo nun tempo fixo, a fase cambia.

É a parte imaxinaria da función

�

Ψ(x, t) = A ei(ω t-k x)

De haber fase inicial

W(x,t) = Aei ~t-Kx+{^ h

Os puntos do medio realizan un M.H.S de amplitude A e frecuencia anguar w.

! Os puntos de igual fase veñen dados por wt - Kx = cte . Os puntos x correspondentes a instantes de tempo determinados que verifican a relación dirase que son puntos con igual fase e ademais a función de onda toma o mesmo valor. Estes desprázanse cunha velocidade que se denomina velocidade de fase

~t - kx = cte derivando dtdx = k

~ = 2rm

2rT = T

m , vf =v

Denomínase “fronte de ondas” o lugar xeométrico de puntos do espazo que teñen igual perturbación, é dicir, que están en fase. Poden ser

�

Ψ(x,t ) = A sen(ω t - kx)

Ondas

4

Planas: o lugar xeométrico é un plano, son os frontes de onda das ondas unidimensionales.Esféricas: o lugar xeométrico é unha esferaDous puntos de frentes de onda distntos están en fase nun determinado instante se a diferenza de fase é un múltiplo par de pi

~t -m2r x1c m- ~t -

m2r x2c m= 2rn

m2r x2 - x1] g= 2rn

x2 - x1 = nm A diferenza das súas distancias ao foco é un nº enteiro de lonxitudes de onda. A ecuación de ondas unidimensional é:

2x222W - v2

12t222W = 0

• 3.- Enerxía

! Unha das características das ondas é que transmiten enerxía. A enerxía transmitida polo foco distribúese por todo o espazo por onde se propaga o movemento ondulatorio. ! Consideremos que o foco realiza un MHS e que xera unha onda harmónica que se propaga por un medio material, transmitindo a enerxía ás partículas do medio. A enerxía total transmitida vén dada pola expresión

E = 21KA2 = 2

1m ~2A2 = 21m 4 r2f2A2

A enerxía transmitida é proporcional ao cadrado da amplitude e da frecuencia.! Canto maior se vai facendo a superficie de propagación da onda, menor é a enerxía que lle corresponde por unidade de superficie.! Definimos intensidade de onda como a enerxía que na unidade de tempo atravesa a unidade de superficie perpendicular á dirección de propagación da onda.

Foco

F.O.1

F.O.2

I =TS $TtTE =

TSPotencia = cte f2A2

Para unha superficie S1 I1 = TS1 $TtTE1 = 4rR1

2TtTE1

Para unha superficie S2 I2 = TS2 $TtTE2 = 4rR2

2TtTE2

Como a enerxía nas dúas superficies é a mesma

I2I1 = R1

2R2

2

Para as ondas esféricas, a intensidade é inversamente proporcional ao cadrado da distancia ao foco. Tendo en conta a relación entre a intensidade e a amplitude, podemos escribir

A2

A1 = R1

R2

A amplitude dunha onda esférica é inversamente proporcional á distancia ao foco.Nunha onda bidimensional(ondas na auga)

ONDAS

5

As ondas esfericas e as ondas circularessofren unha disminución de amplitude coa distancia, dinse que as ondas sofren unha atenuación.! Nunha onda plana non hai variación de intensidade no paso dun plano a outro.

! 3.1.- Absorción! É a perda de enerxía por parte da onda na súa propagación. Consideremos unha onda plana que se propaga por un medio absorbente e sexa I a intensidade da onda nun punto que se atopa a unha distancia x do foco. Cando a onda atravesa un espesor de material dx, a intensidade diminúe unha cantidade dI.! Compróbase experimentalmente que a diminución de intensidade é proporcional á intensidade nese punto antes de atravesar o material e ao espesor atravesado. - dI = b dI dx b é o coeficiente de absorciónPara determinar a intensidade en cada punto integraremos a ecuación

Id I

I0

I# =- b dx

0

x# , Ln I0

I =-bx, I = I0e-bx

A intensidade decrece exponencialmente co espesor do medio.

• 4.- Principio de HUYGENS

! En 1690 Christian Huygens publica o seu tratado sobre a luz. Nel expón un modelo de propagación de ondas que permite explicar os fenómenos ondulatorios.! Unha fronte de onda S1, que se produce nun tempo t + Dt nun punto r + D r é consecuencia da fronte de onda S0, que se produciu nun instante anterior t e no punto r. Cada punto da fronte de onda convértese nun foco, foco secundario, emisor de novas ondas, que son ondas secundarias. A envolvente ás ondas secundarias xera a nova fronte de ondas. Con este principio xéranse dúas frontes de ondas, unha que vai na dirección (no sentido) de propagación, que é a onda progresiva, e outra que se dirixe cara ao foco, que é a onda regresiva. Como a onda regresiva non se observa, houbo que realizar unha corrección da teoría introducindo o factor de oblicuidade, pola que esta non transporta nin enerxía nin movemento.

Onda plana Onda esférica

! 4.1.- ReflexiónDenomínase reflexión o fenómeno polo que parte dunha onda que se move polo medio 1, ao incidir sobre a superficie de separación con outro medio, é devolta ao medio orixinal.

Ondas

6

! Cando a fronte de ondas AB incide sobre a superficie de separación, os puntos deste transfórmanse en focos secundarios, emitindo ondas secundarias. O radio destas ondas é decrecente, xa que os focos prodúcense progresivamente.

B

A C

D

DC = vt = AC sentrAB = vt = AC sen ti

4& AC sentr = AC sen ti & tr = ti

1ª Lei de Snell

! 4.2.- RefracciónCando unha onda que se propaga por un medio pasa a outro medio no que a velocidade de propagación é diferente, a onda transmitida cambia a dirección no que se propaga respecto á que tiña a onda incidente

A C

A´

B

BC = v1 t = AC sen tiAA´ = v2t = AC sen tr

3& v2v1 = sentr

sen ti

2ª Lei de Snell

• 5.- Interferencias! Cando nun punto e nun tempo determinado coinciden dúas ou máis ondas, a perturbación resultante é a suma de cada unha das perturbacións. Este fenómeno denomínase interferencia. Para que isto sexa observable, é dicir, ofreza un diagrama de interferencias, as ondas teñen que ser coherentes. Ondas coherentes son aquelas que teñen a mesma frecuencia e a súa diferenza de fase inicial permanece constante.

W1 x,t^ h=A1sen ~t - kx1^ h

W2 x,t^ h=A2sen ~t - kx2+d^ h

Si d = 0W1 x,t^ h+W2 x,t^ h=A1sen ~t - kx1^ h+A2sen ~t - kx2^ h

ONDAS

7

W(x,t) = Asen(~t+{) O diagrama corresponde a un M.H.S

A = A12+A2

2+2A1A2cos kT tg { = A1coskx1+A2coskx2

A1senkx1+A2senkx2

onde D = x2 - x1 e a diferenza de camiñosA amplitude será máxima, interferencia construtiva, A = A1+A2 se cos kT = 1

m2r (x2 - x1) = 2nr x2 - x1 = nm

a diferenza de camiños é un múltiplo enteiro de lonxitudes de onda A amplitude será mínima, interferencia destructiva, A = A1 -A2 se cos kT =-1

m2r (x2 - x1) = (2n+1)r x2 - x1 = (2n+1) 2

m

a diferenza de camiños é un múltiplo impar de semilonxitudes de onda Se as dúas ondas teñen a mesma amplitude, os mínimos de interferencia terán valor cero da amplitude e non haberá perturbación.

! 5.1.- Experimento de Young

F d x

D

β

β

r1

r2

Consideramos que D (distancia das aberturas á pantalla) é moito maior que d (distancia entre as dúas aberturas).As dúas ondas proceden do mesmo foco, polo tanto son coherentes e identicas.A diferencia de camiños entre as dúas ondas é Tr = r2 - r1 = dsenb

tgb = Dx si b11 tgb - senb = D

x

A onda resultante no punto x é a suma das dúas ondas

W(x,t) = W1(x,t) +W2(x,t) = Asen(~t - kr1) +Asen(~t - kr2) = 2Acos 2k(r1 - r2) sen(~t - 2

k(r1 + r2))

A amplitude está modulada pola función coseno, e esta será máxima cando o coseno valga +/-1, é dicir

2kTr = nr

m2r d senb = 2nr m

2r d Dxmáx = 2nr

Ondas

8

Os máximos de interferencia se encontran na posición xmáx = n d

D m

A amplitude é mínima e farase cero cando o coseno valga cero, é dicir

2kTr = (2n+1) 2

r

m2r d senb = (2n+1)r m

2r d Dxmín = (2n+1)r

Os mínimos de interferencia se encontran na posición xmín = (2n+1) d

D2m

! 5.2.- Ondas estacionarias

! Cando nun medio elástico interfiren entre si dúas ondas iguais que se propagan en sentidos opostos, dan lugar a unha onda estacionaria.

W1 x,t^ h=Asen ~t - kx] g

W2 x,t^ h=Asen ~t+kx] g

W1 x,t^ h+W2 x,t^ h=Asen ~t - kx] g+Asen ~t+kx] g

tendo en conta sen a + sen b = 2cos 2a - b sen 2

a+b

W(x,t) = 2Acos 22kx sen 2

2~t = 2Acoskx sen~t

non son ondas de propagación, cada punto vibra cunha frecuencia angular w e amplitude que varía coa posición AT = 2Acoskx

Será máxima cuando kx = nrm2r x = nr & xmáx = n 2

m

Os puntos onde a amplitude é máxima, denominados cristas ou vales, son aqueles nos que a distancia ao foco é un múltiplo da semilonxitude de onda.

Será mínimo cuando kx = (2n+1) 2r

m2r x = (2n+1) 2

r& xmín = (2n+1) 4

m

Os puntos onde a amplitude é nula, denominados nodos, son aqueles nos que a distancia ao foco é un múltiplo impar da cuarta parte da lonxitude de onda.

ONDAS

9

Nunha corda: Se os puntos estan fixos, os dous puntos corresponden a un nodo, e debe haber un número enteiro de semilongitudes de onda

• 6.- DifracciónFenómeno que se produce cando unha onda atopa un obstáculo ou unha abertura ao propagarse e cuxo tamaño é comparable á lonxitude de onda. O diagrama de difracción é semellante ao das interferencias, polo que se soe dicir que a interferencia prodúcese para un nº discreto de abertura e a difracción para un nº infinito.

A difracción obsérvase cando se fai pasar unha onda a través dunha abertura cuxas dimensións son com-parables á lonxitude de onda de aquela.

Cando se teñen N aberturas o patrón de difracción re-sultante é a superposición dun patrón debido á interfe-rencia das N fontes máis o patrón de difracción debido a unha abertura.

Ondas

10

• 7.- PolarizaciónNunha onda transversal as oscilacións produncense en todas ás direccións perpendiculares a dirección de propagación e pode ser vista como superposición de varias ondas. Podemos considerala como unha superposición de dúas ondas armónicas perpendiculares, de igual frecuencia (monocromáticas), desfasadas unha cantidade Oz

Se di que a onda esta polarizada cando o desfase Oz e constante no tempo. As dúas compoñentes vectoriales transversais varían a súa amplitude co tempo, e a suma de ambas vai trazando unha figura xeométrica. Se devandita figura é unha recta, a polarización denomínase lineal; se é un círculo, a polarización é circular; e se é unha elipse, a polarización é elíptica• Polarización lineal se a diferenza é 0 ou un múltiplo enteiro (positivo ou negativo) de Π.• Polarización circular se a diferenza é un múltiplo enteiro (positivo o negativo) de Π/2.

Neste caso se cumple, ademais, que as amplitudes son iguais.• No resto de casos producirase polarización elíptica.

• 8.- Son! As ondas sonoras son ondas mecánicas lonxitudinais e prodúcense por unha vibración periódica de algo material. Se as vibracións non son periódicas, o efecto producido recibe o nome de ruído. ! O son pode considerarse como unha sucesión de ondas de compresión e rarefacción que se propaga polo aire. Sen embargo se nos situamos nun punto do espacio veremos como a presión atmosférica aumenta e disminue periódicamente a medida que teñen lugar nas sucesivas perturbaciones.Velocidade das ondas sonoras:! Os sons propáganse a través dos tres estados de agregación.

vsólido 2vlíquido 2 vgases

Velocidade nos gases:

v = McRT

c coeficiente adibático

R constante dos gasesT temperatura absolutaM masa molar do gas

Velocidade nun sólido

ONDAS

11

Velocidade do sonido no airevs=331,4 + 0,61·t

Velocidade nun líquido

As ondas graves (de longitude de onda grande) son capaces de eludir obxetos ordinarios e por exemplo dar a volta a unha esquina. Polo contrario os agudos tenden a propagarse en línea recta e forman sombras acústicas.

! 8.1.- Calidades do son! Sonoridade: é a calidade pola que se perciben os sons con maior ou menor forza.

b = 10log I0I nivel de intensidade do son, se mide en db

I0 intensidade umbral! Ton: calidade do son que depende da frecuencia. Se esta é alta, o son é agudo; se é baixa, o son é grave.! Timbre: calidade pola que se distinguen dous sons de igual sonoridade e do mesmo ton. Ten que ver coa forma da onda (harmónicos).

! 8.2.- Eco e reverberación! O ser humano distingue dous sons se chegan ao seu oído cunha diferenza de 0,1 s. Como a velocidade do son no aire é de 340 m/s, podemos distinguir entre dous sons simultáneos se están separados 34 m. Se emitimos un son e este se reflicte, percibiremos dous sons diferentes (eco) se a distancia mínima á superficie reflectinte é de 17 m.! A reverberación ocurre cando o tempo que tarda en chegar o son refleitido é minor que 0,1 s, non percibimos eco, pero se un peculiar efecto sonoro: como se o son relexado se superpusera e alargase. Iste fenómeno determina as cualidades acústicas ou sonoras dos locais.

! 8.3.- Ondas sonoras estacionarias en tubosa)Tubo fechado nun extremo e aberto no outro. !No extremo fechado haberá un nodo e no aberto un ventre, e estableceranse ondas estacionarias no interior do tubo cando:

l = (2n+1) 4m f = (2n+1) 4l

v

b)Tubo aberto nos extremosFormaranse ventres nos extremos e estableceranse ondas estacionarias cando

l = n 2m f = n 2l

v

! 8.4.- Efecto DOPLERO cambio na frecuencia do son cando existe movemento relativo entre a fonte e o observador recibe o nome de efecto doppler.a) Fonte en repouso e observador en movementoA velocidade do observador é vo e vs a velocidade do son. Si o observador se aproxima a fonte, recibe por unidade de tempo mais frontes de onda que si estibera en repousoA velocidade relativa das ondas rispeto o obserbador é: v´ = vo + vs

Ondas

12

Como a lonxitude de onda non varía, o observador ten que oir o son con frecuencia distinta a si estivese en repouso

lf =m

v0+vs

Tendo en conta que

f = mvs

a frecuencia nova sera:

lf =fvs

v0+vs = f vsv0+vs lf 2 f

O observador percibe un son mais agudoSi o observador se alexa a velocidade relativa é v´= vo - vs e recibe menos frontes de onda, a frecuencia nova é:

lf = f vsv0 - vs lf 1 f

O observador percibirá un son mais grave.b) Observador en repouso e fonte en movementoConsideremos unha fonte que se despraza cara a direita cunha velocidade vF achegando se a un observador que esta en repouso. A fonte emite ondas esfericas pero como esta en movemento, os frontes de onda no son concéntricas, sin non que a separación entre ondas é menor no lado dereito que no esquerdo. Para o observador a lonxitude de onda é menor, polo o que a frecuéncia é maior, percebé un son agudo. ! ! vs - vF velocidade do son observado pola fonte.

m´ = (vs - vf)T = fvs - vf

visto polo o observador

f´ =m´vs = f(vs - vf

vs )& f´ > f

Se a fonte se alexa

f´ = f(vs+vfvs )& f´ < f

ONDAS

13