Ondas Electromagnéticas - Bloque II. Líneas de Transmisión · como la impedancia...

Ondas ElectromagnéticasBloque II. Líneas de Transmisión

David Cañete RebenaqueFernando D. Quesada Pereira1

1Grados en Ingeniería Telemática y en Sistemas de TelecomunicaciónDepartamento de Tecnologías de la Información y las Comunicaciones

Universidad Politécnica de Cartagena

21 de octubre de 2013

Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 21 de octubre de 2013 1 / 44

Índice de Contenidos1 Introducción2 Modelo circuital

Condiciones de ContornoCoeficientes de reflexión y de transmisión

3 Longitud necesaria para dar una vuelta completa a la fasePotencia media o activa en la líneaTensión y corriente en una línea cortorcircuitadaOnda Estacionaria

4 Onda estacionaria producida por una impedancia genérica5 Línea de transmisión con pérdidas

IntroducciónPotencia en líneas con pérdidas

6 Línea de transmisión con generador y cargaImpedancias de entrada de líneas de transmisión útiles

7 Carta de SmithEjemplo práctico de línea de transmisiónOtros conceptos importantesEjemplo de utilización de la carta de Smith con elementos concentrados


Introducción a las líneas de transmisión

Línea de transmisiónCaso más simple que podemos tratar decampos con variación temporal es del lalínea de transmisión ideal.Suponemos que el campo eléctrico y elmagnético tienen una sola componente.Se desprecia cualquier variación con lascoordenadas transversales.

Suponemos que la única variación que

existe es con la coordenada longitudinal Z

hacia donde se dirige la línea.

ez

Figura: Esquema de una línea de transmisión.Se desprecian las variaciones del campo en lasdirecciones del plano transversal (línea punteada).

Potencial escalar eléctricoSe desprecia la foma concreta de la línea (coaxial,bifilar) y suponemos que no existen variacionescon respecto a estas coordenadas.

~E = Ex ex

~H = Hy ey

Además suponemos que estamos en una versiónsin fuentes, es decir lejos existen las fuentes quegeneran los campos, pero en la región donde estoyno hay fuentes. Las ecuaciones de Maxwell en eldominio de la frecuencia quedan como:

∇× ~E = −jωµ~H

∇× ~H = jωǫ~E

Se considera que ∂∂x = 0 y ∂

∂y = 0. Al final del cur-

so se considerará el caso de la forma concreta de

la línea, es decir las variaciones respecto al plano

transversal.


Introducción a las líneas de transmisión. Modelocircuital

Introducción Líneas deTransmisiónEn coordenadas cartesianas losrotacionales se calculan fácilmente:

∇× ~E =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

ex ey ez

0 0 ∂∂z

Ex 0 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= +ey∂Ex

∂z

ey∂Ex

∂z= −jωµHy ey

dEx

dz= −jωµHy

Modelo circuital Desaparece el caracter vectorial del

problema, tenemos un problema es-calar.

Las líneas de campo eléctrico defi-nen un voltaje entre los dos conduc-tores de la línea.

A Ex se le llama onda de voltajeV (z).

El campo magnético produce unacorriente en cada conductor de lalínea. El campo magnético rodea alos conductores.

El campo magnético se modela por

una onda de corriente Hy → I(z).


Modelo circuital de líneas de transmisión

~E

Figura: Líneas de campo eléctrico enla línea de transmisión. Estas líneasse generan debido a la diferencia depotencial entre los dos conductores.

~H

I

−I

Figura: Líneas de campo magnéticoen una línea de transmisión. Elcampo magnético se genera debidoa la circulación de corriente en cadaconductor de la línea.


Modelo circuital de la línea de transmisión

Modelo CircuitalEl problema es escalar y puede escribirsecomo:

dV (z)dz

= −jωµI(z) D. frecuencia

Haciendo lo mismo para la ecuación derotacional:

∇× ~H =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

ex ey ez

0 0 ∂∂z

0 Hy 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −ex∂Hy

∂z

−ex∂Hy

∂z= −jωµEx ex

dHy

dz= −jωµEx

Modelo CircuitalEscribiendo la ecuación en términos delas variables de la línea de transmisióntenemos:

dI(z)dz

= −jωǫV (z) D. frecuencia

Tenemos que encontrar las ondas detensión y corriente. Derivando:

d2V (z)dz2

= −jωµdI(z)

dz

Sustituyendo se llega a:

d2Vdz2

= −jωµ(−j)ωǫV (z) = −ω2µǫV (z)


Modelo circuital de la línea de transmisiónModelo circuital. Constante de propagación β

Podemos definir una constante que depende de la frecuencia y el medio β2 = ω2µǫ (constantede propagación en el medio). Teniendo en cuenta lo anterior queda:

d2V (z)dz2

+ β2V (z) = 0

La expresión anterior es una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes que se puederesolver de forma analítica. El polinomio característico de la ecuación diferencial es:

x2 + β2 = 0

Las raices del polinomio característico son:

x2 = −β2

x = ±jβ

Si consideramos e−jβz la exponencial de una transformación entre los dominios z → β, el tér-mino e−jβz representa un desplazamiento en el espacio z. La solución de la ecuación diferencialse escribe como:

V (z) = Ae−jβz + Bejβz

Físicamente el primer término de la expresión anterior (e−jβz) representa una onda que se

propaga en dirección z (onda incidente). El segundo término representa físicamente una onda

que se propaga en dirección −z (onda reflejada). Las constantes A y B se calculan suponiendo

las condiciones de contorno del problema.


Modelo circuital de la línea de transmisión

Onda de CorrientePara hallar la onda de corriente se puede utili-zar:

dV (z)dz

= −jωµI(z)

Sustituyendo se tiene:

dV (z)dz

= A(−jβ)e−jβz + B(jβ)ejβz

= jβ[

−Ae−jβz + Bejβz]

jβ[

−Ae−jβz + Bejβz]

= −jωµI(z)

I(z) =β

ωµ

[

Ae−jβz − Bejβz]

Se define Zc = ωµβ

como la impedancia carac-

terística de la línea de transmisión. Es diferen-

te a las impedancias localizadas con las que

se trabaja en teoría de circuitos.

Impedancia característicaSe trata de una impedancia porque sirve parapasar de la corriente a la tensión.

Zc =µ√µǫ

=

√

µ

ǫ

De esta forma se tiene:

I(z) =1Zc

[


V (z) = Ae−jβz + Bejβz

Para pasar al dominio del tiempo se hace lasiguiente operación:

i(z, t) = Re[

I(z)ejωt]

v(z, t) = Re[

V (z)ejωt]

Las relaciones anteriores se tratan de ondas

reales en el tiempo.


Aplicación de las condiciones de contorno

Condiciones de Contorno

+

Vgβ,Zc ∞

z0

Figura: Modelo de línea de transmisión.Como no existe nada donde pueda existir reflexión la onda refle-jada es cero y por tanto B = 0, resultando:

V (z) = Ae−jβz

La tensión total en z = 0 es Vg impuesta por el generador V (z =0) = A = Vg . Luego, resulta que A = Vg .

V (z) = Vg e−jβz

I(z) =Vg

Zce−jβz =

V (z)Zc

El término Zc convierte tensión en corriente cuando sólo hay onda

incidente. Por ese motivo se llama impedancia característica.

Línea terminada por impedancia

+

Vgβ,Zc

z0

ZLVL

IL

−l

ρ(z = 0) = ρLρ(z = −l)

Figura: Línea cargada con una impedancia ZL.

V (z) = Ae−jβz + Bejβz ; I(z) =1Zc

[


Hay que tener en cuenta la onda reflejada.

V (z = 0) = VL ; V (z = 0) = A + B = VL

I(z = 0) = IL ; I(z = 0) =1Zc

(A − B) = IL

En la terminación se cumple la ley de Ohm:

IL =VL

ZL; ZL =

VL

IL

A(

1 +BA

)

= VL ;AZc

(

1 − BA

)

= IL

Dividiendo las ecuaciones se llega a:

Zc1 + B

A

1 − BA

=VL

IL= ZL


Coeficientes de reflexión y de transmisión

Coeficientes de reflexión

ρL = BA → Es el coeficiente de reflexión en la carga (z = 0).B → Es la amplitud de la onda reflejada en z = 0.A → Es la amplitud de la onda incidente en z = 0.

Zc1 + ρL

1 − ρL= ZL

Zc(1 + ρL) = ZL(1 − ρL)

ZcρL + ZLρL = ZL − Zc

ρL(Zc + ZL) = ZL − Zc

A partir de las relaciones anteriores, el coeficiente de refle-xión (número complejo) queda:

ρL =ZL − Zc

ZL + Zc

Teniendo en cuenta la relación:

V (z) = A[

e−jβz + ρLejβz]

I(z) =AZc

[

e−jβz − ρLejβz]

Coeficiente de TransmisiónEl coeficiente de transmisión se define como τ = VL

A . Eltérmino VL = A + B es la tensión que hay en la carga (transmitidaa la carga), mientras que A es la amplitud de la tensión incidente.

VL = V (z = 0) = A + B ;VL

A= 1 +

BA

τ = 1 + ρL = 1 +BA

=VL

A

ILA

=1Zc

(1 − ρL) =1Zc

(

1 − BA

)

1 − BA

= 1 − ρL =2ZC

ZL + ZC

Se tiene,

τ = 1 + ρL = 1 +ZL − ZC

ZL + ZC=

2ZL

ZL + ZC

resulta de la relación anterior que,

τ =2ZL

ZL + Zc; 1 − ρL =

2ZC

ZL + ZC= τ

Zc

ZL

El coeficiente de transmisión τ tiene menos utilidad que el

coeficiente de reflexión ρL, ya que este último mantiene una

relación con las potencias. La relación anterior corresponde al

coeficiente de transmisión de la carga.


Impedancia de entrada en un punto de la líneaImpedancia Zin en un lugar de la línea

+

Vgβ,Zc

z0

ZL

z = −l

Zin

Figura: Cálculo de la impedancia de entrada Zin en un punto de la línea

Zin(z = −l) =V (z = −l)I(z = −l)

= ZcA(

ejβl + ρLe−jβl)

A (ejβl − ρLe−jβl)

Usando la relación ρL = ZL−ZcZL+Zc

se llega a:

Zin(z = −l) = Zc

ejβl + ZL−ZcZL+Zc

e−jβl

ejβl − ZL−ZcZL+Zc

e−jβl

Zin(z = −l) = Zc(ZL + Zc)ejβl + (ZL − Zc)e−jβl

(ZL + Zc)ejβl − (ZL − Zc)e−jβl= Zc

ZL(

ejβl + e−jβl)+ Zc(

ejβl − e−jβl)

ZL (ejβl − e−jβl) + Zc (ejβl + e−jβl)

Zin(z = −l) = ZcZL + jZc tan (βl)Zc + jZL tan (βl)


Longitud para dar una vuelta completa a la fase

Coeficiente de reflexión a distancia lEl coeficiente de reflexión para una distancia dadaserá,

ρ(z = −l) =Be−jβl

Aejβl

=BA

e−j2βl = ρ(z = 0)e−j2βl

Luego vemos que la fase del coeficiente dereflexión se mueve como (2βl) con la distancia.¿Qué longitud debo moverme para que la fase deuna vuelta completa (2π)?.

ρ

Re

Im

2π

Figura: Longitud que hay que desplazarse paramoverse una vuelta completa (2π). El sentido esalejándose de la carga.

Longitud para vuelta completa

2βl = 2π ; l =π

β=

πλ

2π=

λ

2

Cada λ/2 la fase de ρ de una vuelta completa. Re-sulta que β = ω

√µǫ. La velocidad de la luz es

c = 1√µǫ

, luego β = ωc .

λ =cf

(

m/seg1/seg

)

m

λ = cT ; T =1f

β =ω

λT =

2πλ

ω =2πT

; Tω = 2π

De las relaciones anteriores resulta l = λ2 = 0, 5λ.

Al moverme en una línea de transmisión (0, 5λ), el

coeficiente ha dado una vuelta completa.


Potencia media o activa en la línea

DefiniciónComo estamos trabajando con señalessinusoidales, podemos definir la potencia mediao activa en un determinado punto de la siguienteforma:

Pm(z) =12

Re[V (z) · I∗(z)]

Pv (z) =12[V (z) · I∗(z)]

Usando las expresiones de tensión y corriente:

Pv (z) =A2

[

e−jβz + ρLejβz] A∗

Z ∗c

[

ejβz − ρ∗Le−jβz]

Pv (z) =12|A|2Z ∗

c

[

1 − |ρL|2 + ρL ej2βz − ρ∗Le−j2βz]

La potencia media quedará, teniendo en cuentaque ρL ej2βz − ρ∗Le−j2βz = 2j Im[ρL ej2βz ], como:

Pm =12|A|2Z ∗

c[1 − |ρL|2] Es independiente de z

Potencia transmitidaSegún la expresión de la potencia media se de-duce que en una línea sin pérdidas la potenciatransmitida no depende de la longitud de la línea.

La potencia incidente es Pi =12|A|2Z∗

c, mientras que

la potencia reflejada será Pr = Pi |ρL|2, relaciónen la que tenemos el módulo al cuadrado de lafracción de potencia reflejada. La potencia trans-mitida en la carga es:

Pt = Pi − Pr = Pi(1 − |ρL|2)

Ley de conservación de potencia.

Un error grave sería decir que Pt = |τ |2Pi (nunca

se debe usar esta expresión), puesto que τ =

1 + ρL y |τ |2 = |1 + ρL|2 6= 1 − |ρL|2.


Tensión y corriente en una línea cortocircuitada

Línea acabada encortocircuito

0

β,Zc

z

Figura: Línea de transmisiónacabada en cortocircuito

Sabemos que:

V (z) = A[

e−jβz + ρejβz]

I(z) =AZc

[

e−jβz − ρejβz]

Tensión y corriente

ρL =ZL − Zc

ZL + Zc=

−Zc

Zc= −1

El valor ρL = −1 corresponde al coeficiente dereflexión en un cortocircuito.

V (z) = A[

e−jβz − ejβz]

= A2je−jβz − ejβz

2j

= −2jA sin (βz)

I(z) =AZc

[

e−jβz + ejβz]

=2AZc

cos (βz)


Onda estacionaria producida por un cortocircuitoTensiónTensión y corriente tienen forma sinusoidal en fun-ción de la distancia.

−λ/4−λ/2−3λ/4−λ−5λ/4

A

0

|V (z)|

z

Figura: Distribución de tensión en una líneacortocircuitada

sin (βz) ; βz = nπ ; z = −nπβ

=nπ2π

λ = −n2λ

En la expresión anterior se toma el valor negativo

porque la línea está en z < 0. Luego vemos que

en función de z la tensión total pasa por máximos y

mínimos. Esto es debido a la interacción entre on-

da incidente y onda reflejada y se denomina onda

estacionaria .

Corriente

−λ/4−λ/2−3λ/4−λ−5λ/4

2A/Zc

0

|I(z)|

z

Figura: Distribución de corriente en una líneacortocircuitada

cos (βz) = 0

βz = ±(2n − 1)π/2

z = − (2n − 1)π2 2π

λ = −2n − 14

λ

En la expresión anterior se toma signo negativo al

estar la línea en z < 0. Vemos que la corriente está

desfasada (π/2) con respecto a la distancia z.


Onda estacionaria producida por un cortocircuito

Análisis temporal

v(z, t) = Re[

V (z)ejωt]

= Re[

−2jA sin(

βz)(

cos (ωt)

+ j sin (ωt))]

= 2A sin (βz) sin (ωt)

i(z, t) = Re[

I(z)ejωt]

= Re[2A

Zccos (βz)

(

cos (ωt) + j sin (ωt))]

=2AZc

cos (βz) cos (ωt)

Corriente y tensión también están desfasados (π/2) enel tiempo. Para t = 0 resulta:

v(z, t) = 0 ; i(z, t) =2AZc

cos (βz)

replacements

i(z)

v(z)2A

−2A

2A/Zc

−2A/Zc

z

Figura: Distribución de tensión y corriente en t = 0

Evolución temporalSegún la expresión anterior la corriente evoluciona hastahacerse cero entre t = 0 y t = T/4. Para t = T/4,tenemos que ωt = 2π

TT4 = π

2 .

v(z, t) = 2A sin (βz) ; i(z, t) = 0

i(z)

v(z)

2A

−2A

2A/Zc

−2A/Zc

z

Figura: Distribución de tensión y corriente ent = T/4La tensión evoluciona desde cero hasta obtener lo que

se ve en la última figura, la corriente evoluciona desde la

figura de la izquierda hasta cero.


Onda estacionaria producida por una impedanciagenérica

Impedancia genérica

z

ρL

ZL

0

β,Zc

Figura: Onda estacionaria producida poruna impedancia cualquiera ZL

V (z) = Ae−jβz + Bejβz = Ae−jβz(

1 +BA

ej2βz)

= Ae−jβz(

1 + ρLej2βz)

El coeficiente de reflexión es en general uncomplejo ρL = |ρL|ejθL , por lo que podemosescribir la ecuación como:

V (z) = Ae−jβz(

1 + |ρL|ej(2βz+θL))

= Ae−jβz[

1 + |ρL| cos (2βz + θL)

+ j|ρL| sin (2βz + θL)]

Onda EstacionariaQueremos hallar el módulo de la tensión:

|V (z)|2 = |A|2[

[

1 + |ρL| cos (2βz + θL)]2

+ |ρL|2 sin2 (2βz + θL)]

= |A|2[

1 + |ρL|2 cos2 (2βz + θL)

+ 2|ρL| cos (2βz + θL) + |ρL|2 sin2 (2βz + θL)]

= |A|2[

1 + |ρL|2 + 2|ρL| cos (2βz + θL)]

El valor máximo en función de z se obtiene cuando:

cos (2βz + θL) = 1

2βz + θL = ±2nπ

2βz = ±2nπ − θL

z =±2nπ − θL

2β=

±2nπ − θL

4πλ ; n = 0, 1

El valor mínimo se dará para:

cos (2βz + θL) = −1

2βz + θL = ±(2n − 1)π

2βz = ±(2n − 1)π − θL

z =±(2n − 1)π − θL

4πλ ; n = 1, 2, . . .

En las relaciones anteriores se toma el valor negativo porque la línea está

en z < 0.Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 21 de octubre de 2013 17 / 44

Onda estacionaria producida por una impedanciagenérica

Onda Estacionaria

−θ4π λ−π−θ

4π λ−2π−θ4π λ z0

Vmáx

Vmín

Figura: Onda de tensión estacionaria para unalínea acabada en una carga genérica Zl

V 2máx = |A|2

[

1 + |ρL|2 + 2|ρL|]

V 2mín = |A|2

[

1 + |ρL|2 − 2|ρL|]

Si ρL = 0 entonces Vmáx = Vmín y no hay onda es-tacionaria. No hay onda reflejada, se trata del mejorcaso.

V 2máx = |A|2(1 + |ρL|)2 → Vmáx = (1 + |ρL|)|A|

V 2mín = |A|2(1 − |ρL|)2 → Vmín = (1 − |ρL|)|A|

Coeficiente de onda estacionariaSe define el coeficiente de onda estacionaria como:

S =Vmáx

Vmín=

1 + |ρL|1 − |ρL|

Sólo obtenemos el módulo, no la fase.

|ρL| =S − 1S + 1

Para hallar la fase hay que medir la distancia al pri-mer máximo o mínimo. Por ejemplo, si medimos uncero en z = −Lmín entonces:

π + θ

4πλ = Lmín

π + θ =4πλ

Lmín

Con lo que la fase del coeficiente de reflexión será:

θ =4πλ

Lmín − π


Línea de transmisión con pérdidas

Punto de Partida

d2V (z)dz2

= −ω2µǫV (z)

Las pérdidas ahora serán por: ǫ = ǫ′−jǫ′′.Como el término (ω2µǫ) resulta comple-jo, es mejor definir la siguiente constanteγ2 = −ω2µǫ, de forma que entonces:

d2V (z)dz2

= γ2V (z)

d2V (z)dz2

− γ2V (Z ) = 0

El polinomio característico:

x2 − γ2 = 0 ; x2 = γ2 ; x = ±γ

SolucionesLas soluciones serán:

V (z) = Ae−γz + Beγz

Pero, veamos ahora lo que vale laconstante γ.

γ2 = −ω2µǫ ; γ = jω√µǫ

ǫ = ǫ′ − jǫ′′ = ǫ′(

1 − jǫ′′

ǫ′

)

= ǫ′(1 − j tan δ)

γ = jω√

µǫ′(1 − j tan δ)

= jω√

µǫ′√

1 − tan δ


Línea de transmisión con pérdidas

Línea con pérdidasSe asumen pequeñas pérdidas tan δ << 1.Veamos el desarrollo de Taylor:

√1 + x = 1 +

12

x − 12 · 4

x2 + . . .

La expresión anterior es válida para x << 1(para pequeñas pérdidas, x = −j tan δ).

√

1 − j tan δ = 1 − j tan δ

2

γ = jω√

µǫ′(

1 − j tan δ

2

)

=ω

2

√

µǫ′ tan δ + jω√

µǫ′

Luego obtenemos γ = α+ jβ.

α → Constante de atenuación.β → Constante de fase.

Línea con pérdidasPara una línea infinita sabemos que no hayonda reflejada y que B = 0.

V (z) = Ae−γz = Ae−αze−jβz

El término e−γz es una exponencial real queatenúa la onda según se propaga. Por estoǫ = ǫ′ − jǫ′′. El signo debe ser negativo pa-ra que la exponencial real sea decreciente.Ahora hallamos la onda de corriente:

dV (z)dz

= −jωµI(z) = −Aγe−γz + Bγeγz

= −γ[

Ae−γz − Beγz]

I(z) =γ

jωµ

[

Ae−γz − Beγz]


Líneas de transmisión con pérdidasImpedancia característica

Definimos ahora la impedancia característica Zc = jωµγ

.

I(z) =1Zc

[

Ae−γz − Beγz]

Para bajas pérdidas tenemos:

Zc =jωµ

jω√µǫ′

(

1 − j tan δ2

) =

√

µ

ǫ′1 + j tan δ

2

1 + tan2 δ4

El término tan2 δ4 es despreciable para tan δ << 1. De esta forma resulta:

Zc =

√

µ

ǫ′

(

1 + jtan δ

2

)

En la expresión anterior la impedancia característica puede ser compleja cuando existenpérdidas. Aún así en muchos casos pondremos Zc real si las pérdidas son bajas. Al igualque antes podemos usar el coeficiente de reflexión.

V (z) = A[

e−γz + ρLeγz]

I(Z ) =AZc

[

e−γz − ρLeγz]


Potencia en líneas de transmisión con pérdidasPotencia transmitida en la línea

Pv (z) =12

V (z)I∗(z)

=12

A[

e−αze−jβz + ρL eαzejβz]

· A∗

Zc

[

e−αzejβz − ρ∗L eαze−jβz]

=12|A|2Zc

[

e−2αz − |ρL|2e2αz + ρL ej2βz − ρ∗L e−j2βz]

La potencia media o activa será:

Pm(z) =12|A|2Zc

[

e−2αz − |ρL|2e2αz]

=12|A|2Zc

e−2αz[

1 − |ρ(z)|2]

La potencia incidente será:

Pi(z) =12|A|2Zc

e−2αz

Por otra parte, la potencia reflejada es:

Pr (z) =12|A|2Zc

|ρL|2e2αz

La potencia incidente se atenúa debido al término e−2αz . Ahora hay

que tener cuidado porque si tomo una línea muy grande me quedo sin

potencia.

z = −l zz = 0

ZL

Figura: Atenuación en una líneacargada con ZL.


Coeficiente de reflexión al alejarme de la carga

ρ(z = 0) = ρL =ZL − Zc

ZL + Zc

ρ(z = −l) =Be−γl

Aeγl=

BA

e−2γl =BA

e−2αle−2jβl = ρLe−2αle−2jβl

|ρ(z = −l)| = |ρL|e−2αl

ρ

Figura: Atenuación del coeficiente dereflexión ρ a lo largo de la línea. Lasflechas indican el sentido de giro.

+

ρlρ(z = −l)

Zl

Figura: La potencia que no se refleja esporque se pierde en la línea. No hayreflexión a la entrada, ya que toda lapotencia que entra se atenúa antes dellegar a la carga. La energía se disipa enla línea de transmisión.


Línea de transmisión con generador y carga

Resolución circuito total

+

Vg

Zg

V0

I0

(d − z)

z

γ,Zc

ρ0

ρL

VL

ZL

Zin

0 d

d

z z

Figura: Problema de generador y una carga

En el punto de generador ρo = BA = Zin−Zc

Zin+Zc.

V (z) = Ae−γz + Beγz

I(z) =1Zc

[

Ae−γz − Beγz]

En la carga,

ρL =ZL − Zc

ZL + Zc

Resolución circuito totalSi muevo este coeficiente hacia el generador ob-tengo:

ρ(z) = ρLe−j2β(d−z)

para z = 0 obtenemos ρ(z = 0) = ρ0 =

ρLe−j2βd . En el generador,

V(z=0) = V0 = A(

1 +B

A

)

= A(1 + ρ0) = A2Zin

Zin + Zc

I(z=0) = I0 =A

Zc

(

1 −B

A

)

=A

Zc(1 − ρ0)

En el generador tenemos:

+

0+ −

Vg

Zg

V0

I0

Zin

Figura: Problema equivalente

Vo = A2Zin

Zin + Zc= Vg

Zin

Zin + Zg⇒ A =

Vg

2Zin + Zc

Zin + Zg




Vg = I0Zg + V0

Introduzco los valores de V0 y de I0 en la ecuación.

Vg = ZgAZc

(1 − ρ0) + A(1 + ρ0) = A[1 + ρ0 +Zg

Zc(1 − ρ0)]

=AZc

(Zc + Zcρ0 + Zg − Zgρ0) =AZc

[Zc + Zg − ρ0(Zg − Zc)]

= AZg + Zc

Zc

[

1 − ρ0Zg − Zc

Zg + Zc

]

Defino un coeficiente de reflexión que mira hacia el generador:

+

Vg

Zg

ρg

ρ0

Zc

Figura: Coeficiente de reflexión hacia el generador ρg


ρg =Zg − Zc

Zg + Zc

Vg = AZg + Zc

Zc(1 − ρ0ρg)

A = VgZc

Zg + Zc

11 − ρ0ρg

1 − ρg = 1 − Zg − Zc

Zg + Zc=

2Zc

Zg + Zc

A =Vg2

1 − ρg

1 − ρ0ρg

Si Zg = Zc entonces ρg = 0 yentonces A =

Vg2 que es lo que

obtuvimos antes.



AtenuaciónSe define la atenuación de un cable en neperios de lasiguiente forma:

At |nep = ln

√

Potencia que entrega en la líneaPotencia en un punto a una distancia Z

= ln

√

P(z = 0)P(z)

Suponemos una línea sin reflexión |ρl | = 0.

P(z) =12|A|2Zc

e−2αz

La potencia que entra en la línea z = 0.

P(z = 0) =12|A|2Zc

Para líneas adaptadas,

P(z) = P(z = 0)e−2αz

At |nep = ln

√

1/2|A|2/Zc

1/2|A|2/Zce2αz = ln eαz = αz

AtenuaciónDe la expresión anterior resulta que:

α =At |nep

z(nep/m)

Luego α es la atenuación en neperios de la línea por unidadde longitud. La atenuación también puede medirse en dB.

At |dB = 20 log10

√

P(z = 0)P(z)

= 10 log10 [P(z = 0)

P(z)]

= 10 log10 (e2αz) = 20αz(log10 e) = αz 8, 686

At |dB = At |nep 8, 686

La expresión anterior es la forma de convertir la atenua-ción en neperios en atenuación en dBs. Es un parámetroimportante a la hora de planificar sistemas de transmisión.Llamando,

α(nep/m) =At |nep

z

α(dB/m) =At |dB

z

α(dB/m) = α(nep/m) 8, 686

En las ecuaciones que hemos visto hay que operar en

(nep/m) para α.


Línea acabada en cortocircuito

Línea acabada en cortocircuito

ρ = −1Zin

l

β,Zc

Figura: Línea de transmisión delongitud l acabada en cortocircuito

Zin = ZcZL + jZc tan (βl)Zc + jZL tan (βl)

Si ZL = 0 se tiene que:

Zin = ZcjZc tan (βl)

Zc= jZc tan (βl)

Si l = λ4 , β = 2π

λλ4 = π

4 , tan (π4 ) → ∞

Impedancia y admitanciaEsto es lo que ocurre en un circuito LCparalelo en resonancia:

Yin = jωC +1

jωL= j

(

ωC − 1ωL

)

= jω2LC − 1

ωL

De la ecuación resulta que:

Zin =ωL

(ω2LC − 1)1j

en ω = 1√LC

tenemos que Zin → ∞. La

condición l = λ/4 sólo ocurre a una fre-

cuencia, alrededor de esa frecuencia la

línea se comporta como un circuito reso-

nante paralelo.


Línea acabada en circuito abierto

Línea en circuito abierto

ρ = 1Zin

l

β,Zc

Figura: Línea de transmisión delongitud l acabada en circuito abierto

Zin = ZcZL + jZc tan (βl)Zc + jZL tan (βl)

Impedancia y admitanciaSi ZL → ∞ resulta:

Zin = ZcZL

jZL tan (βl)=

Zc

j tan (βl)

De la ecuación tenemos que:

Yin = jYc tan (βl)

Para l = λ/4 se comporta como un circui-

to resonante serie. Para l = λ/4, Yin →∞, Zin = 0. Luego la línea alrededor de

la frecuencia en la que l ≃ λ/4 se com-

porta como un resonador en serie.


Línea adaptada

Características

ρL =Zc − Zc

Zc + ZcNo hay reflexión

ρL = Zc−ZcZc+Zc

= 0Zin = Zc

l

β,Zc Zc

Figura: Línea adaptada.

Zin = ZcZc + jZc tan (βl)Zc + jZc tan (βl)

= Zc Condición de adaptación

Esta situación ZL = Zc es la misma que en una línea infinita al no existir reflexión.


Línea transformadora en λ/4

Transformador en λ/4λ/4

β,Zc Zc

Figura: Línea en λ/4

Zin = ZcZL + jZ0 tan (βl)Zc + jZL tan (βl)

Adaptación de impedancias

Se cumple que βl = 2πλ

λ

4 = π/2 ytan (π/2) → ∞.

Zin = ZcjZc tan (βl)jZL tan (βl)

=Z 2

c

ZL

Zin =Z 2

c

ZL

Transformador de impedanciasen λ/4. Podemos usar estetransformador para adaptarimpedancias.


Línea transformadora en λ/4


+

λ/4Zg

Zin = Zg

Vg β,Zc ZL

Figura: Transformador deimpedancias con línea en λ/4.

Zin = Zg

Queremos esto para que la potencia en-tregada sea máxima. Por tanto:

Zin = Zg

Zc =√

Zin · ZL =√

Zg · ZL

Adaptación de impedanciasEscogiendo una línea de la impedanciacaracterística anterior adaptamos el cir-cuito. Se tiene un circuito equivalente co-mo el representado en la figura.

+

Zg

Zin = ZgVg

Figura: Circuito equivalente deltransformador en λ/4

Luego vemos la importancia del adapta-

dor de impedancias para evitar reflexio-

nes.


IntroducciónPara ayudarnos en este proceso de adaptación podemos utilizar la llamada Carta deSmith . La carta de Smith es simplemente la representación en el plano complejo delcoeficiente de reflexión ρ, donde además se representan la parte real e imaginaria deimpedancias, con el fin de adaptar en los problemas de adaptación de impedancias.En el plano de ρ es interesante ver impedancias.

ρ = −1 ρ = 1

Cortocircuito(mínimo de tensión)

Circuito abierto(máximo de tensión)

Adaptación

ρ = 0

|ρ| = 1

|ρ|

θ

Re

Im

Figura: Coeficiente de reflexión en el plano complejo


Representación de impedancias en el plano complejo

Representación de impedanciasPara representar impedancias en este plano to-mo la ecuación que liga el coeficiente de refle-xión con las impedancias.

ρL =ZL − Zc

ZL + Zc

Si trabajamos con impedancias normalizadas(ZL) respecto al de la impedancia característicade la línea tenemos:

ρ =ZL − 1ZL + 1

A partir de esta expresión obtenemos las si-guientes relaciones:

ρZL + ρ = ZL − 1

ρ+ 1 = ZL(1 − ρ)

ZL =1 + ρ

1 − ρ

Representación de impedancias

Ahora consideramos ZL y ρ complejos:

ZL = x + jy

ρ = µ+ jv

x + jy =1 + µ+ jv1 − µ− jv

=(1 + µ+ jv)(1 − µ+ jv)

(1 − µ)2 + v2

=(1 + µ)(1 − µ)− v2 + jv [(1 − µ) + (1 + µ)]

(1 − µ)2 + v2

=1 − µ2 − v2 + jv2(1 − µ)2 + v2

A partir de la relación anterior, igualando partereal e imaginaria tenemos:

x =1 − (µ2 + v2)

(1 − µ)2 + v2

y =2v

(1 − µ)2 + v2


Parte real

Curva parte realVamos a suponer x = cte, y vemos que curva resulta:

(1 − µ)2x + xv2 = 1 − (µ2 + v2)

(1 + µ2 − 2µ)x + xv2 = 1 − µ2 − v2

x + xµ2 − 2µx + xv2 = 1 − µ2 − v2

(x + 1)µ2 − 2µx + (x + 1)v2 = 1 − x

µ2 − 2µx

(x + 1)+ v2 =

1 − x1 + x

En vista de este resultados vamos a calcular:(

µ− xx + 1

)2

= µ2 − 2µx

x + 1+

x2

(x + 1)2

(

µ− xx + 1

)2

− x2

(x + 1)2= µ2 − 2µ

xx + 1

(

µ− xx + 1

)2

+ v2 =1 − x1 + x

+x2

(x + 1)2

1 − x1 + x

+x2

x2 + 2x + 1=

(1 − x)(1 + x) + x2

(x + 1)2

=1 − x2 + x2

(x + 1)2=

1(x + 1)2

Parte real(

µ− xx + 1

)2

+ v2 =1

(x + 1)2

ρ = −1 ρ = 1

u

vx = 0 x = 1

r = 1/2

1/2

Figura: Carta de Smith, parte real.

En el plano complejo de ρ = µ + jv esto es un círculo de

centro(

xx+1 , 0

)

y radio r = 1(x+1) . Luego valores de impe-

dancia de parte real constante se transforman en estos

círculos.


Parte Imaginaria

Obtención de la curva

y(1 − µ)2 + yv2 = 2v

Tomamos y = cte, parte imaginaria de la impe-dancia constante y vemos la curva en el plano(µ, v):

(µ− 1)2 + v2 − 2vy

= 0

En virtud de esto calculamos:(

v − 1y

)2

= v2 − 2vy+

1y2

(

v − 1y

)2

− 1y2

= v2 − 2vy

(µ− 1)2 +

(

v − 1y

)2

=1y2

Obtención de la curvaTenemos un círculo con centro (1, 1/y) y con ra-dio r = 1

y2 .

−1 1u

v

r = 1/2

r = 1

y = 1

Parte Positiva

Parte Negativa

Figura: Carta de Smith, parte imaginaria

La parte imaginaria de una impedancia puede

ser negativa.


Ejemplo de línea de transmisión

Utlización de la carta de Smith

ρ0;Zin

l = 2, 5 mm

β,Zc Zl

Figura: Línea cargada como ejemplo de utilizaciónde la carta de Smith.

Utilizaremos la siguiente configuración para la línea:ZL = 65 + j37, 5, Zc = 50Ω, f = 10 GHz, λ = 30

f (GHz)

(cm), λ = 3010 = 3 cm,l = λ/12 = 30/12 = 2, 5 mm.

En primer lugar normalizamos la impedancia decarga ZL = ZL

50 = 1, 3 + j0, 75. Vamos a situar estaimpedancia en la carta de Smith.

El coeficiente de reflexión ρL lo podemos calcularmidiendo la longitud y la fase. Las longitudes seescriben en fracciones de longitud de onda λ.

Ejemplo de línea

Figura: Resolución con carta de Smith


Ejemplo de línea de transmisión

Utilización de la carta de SmithAhora debo desplazarme hasta el generador y sabemos que el coeficiente dereflexión ρ lo que hace es girar (suponiendo que no hay pérdidas). El giro es en elsentido de las agujas del reloj. Vemos que distancia debo moverme. Las longitudesson λ = 30/10 = 3 cm y λ = 30 mm, hay que expresarlas en fracciones de la longitudde onda resultando l/λ = 2,5

30 = 112 y l = λ

12 = 0, 0833λ. Luego debo girar hasta elpunto:

0, 18λ+ 0, 0833λ = 0, 2633λ

Luego Zin = 1, 95 − j 0, 25, Zin = 97, 5 − j 12, 5. El coeficiente de reflexión ρ seobtiene midiendo el nuevo vector que da Zin. Vamos a calcular el coeficiente dereflexión en la entrada. El módulo es el mismo y vale la longitud del vector (no haypérdidas). La fase en fracciones de λ es: 0, 2633λ− 0, 25λ = 0, 0133λ. Veamoscuanto es el ángulo: 2βl = 2 2π

λ0, 0133λ = 0, 052π ≃ −9, 6o, es una fase negativa.

Se ve que si l = λ/2, 2βl = 2 2πλ

λ2 = 2π, se tiene un giro completo en la carta de

Smith.


Onda Estacionaria

0, 2 1 2

Figura: Impedancias reales carta de Smith

ZLZC

z

Figura: Onda estacionaria en una línea conuna carga ZL

Cuando existe desadaptación de impedancias se produce una onda estacionaria. Nosotroshemos calculado los puntos máximos y mínimos. Sabemos que en un máximo de tensión, latensión vale: Vmáx = A(1 + |ρ|) y además en este punto hay un mínimo de corriente que vale:Imín = A

Zc(1 − |ρ|).

La impedancia en este punto vale:

Zin =VmáxImín

=1 + |ρ|1 − |ρ|Zc Obtenemos una impedancia real

Zin =1 + |ρ|1 − |ρ| = S Precisamente, el coeficiente de onda estacionaria

La impedancia es real y mayor que uno. Luego, la impedancia es un máximo de

tensión.


Onda Estacionaria

1

Zin = S

Figura: Tramo donde se encuentran lospuntos máximos de tensión, además delcoeficiente de onda estacionaria

1

Zin = 1S

Figura: Tramo en el que se encuentran lasimpedancias en los mínimos de tensión

Se encontrará en esta región. En este tramo se encuentran las impedancias en los puntosmáximos de tensión. Además da el coeficiente de onda estacionaria. Vemos en un puntomínimo de tensión:

Vmín = |A|(1 − |ρ|) ; Imáx =|A|Zc

(1 + |ρ|)

Zin =VmínImáx

= Zc1 − |ρ|1 + |ρ| ; Zin =

1 − |ρ|1 + |ρ| =

1S

Vemos que la impedancia en un mínimo es real y menor que uno, luego estará la

impedancia en (ver la figura). En este tramo se encuentran las impedancias en los

mínimos de tensión.Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 21 de octubre de 2013 39 / 44

Ejemplo de utilización de la carta de Smith

EjemploSe mide un coeficiente de onda estacionariaS = |Vmáx|

|Vmín| = 2, 5. Además se mide un mínimoque se encuentra a 0, 5833λ de la carga. Paramedir el valor de la impedancia, debo despla-zarme 0, 5833λ desde el mínimo hasta llegar ala carga. Como 0, 5833λ es mayor que 0, 5λ, su-poniendo 0, 5λ dar una vuelta entera, lo que ha-remos es dar una vuelta entera 0, 5λ más lo quequede hasta completar la distancia de 0, 5833λhasta llegar a la carga.

|V |

0, 5833λ

Figura: Desplazamiento de 0,5833λ hastallegar a la carga

Representación Carta de Smith

Figura: Resolución del problema encontrandola impedancia de entrada con la carta de Smith


Ejemplo de utilización de la carta de Smith

Análisis carta de Smith

0, 5λ+ xλ = 0, 5833λ

x = (0, 5833 − 0, 5)λ = 0, 0833λ

ZL = 0, 51 − j 0, 46 para Zc = 50

ZL = (25, 5 − j 23)Ω Impedancia capacitiva

En la carta de Smith también podemos usaradmitancias:

ρ =ZL − Zc

ZL + Zc=

1/YL − 1/Yc

1/YL + 1/Yc

=Yc − YL

Yc + YL= −YL − Yc

YL + Yc

Podemos reemplazar impedancias por

admitancias, pero entonces hay que cambiar el

signo al coeficiente de reflexión ρ lo que

supone añadir 180o.

RepresentaciónYL

ZL

Figura: Resolución del problema conadmitancias. Se añaden 180o al coeficiente dereflexión


Carta de Smith con elementos concentrados

Impedancia de entrada

Zin ZA

l = 0, 02λ

β,Zc ZL

XL

Figura: Línea cargada con inductanciaconcentrada a la entrada XL

El valor de la inductancia concentrada es XL =

70, que normalizada es XL = 1, 4Ω. Por otra par-

te, la impedancia de carga normalizada es ZL =

0, 5 + j0, 4. Ahora me muevo una longitud 0, 02λ.

(0, 073 + 0, 02)λ = 0, 093λ hay que moverse hacia

el generador. ZA = 0, 62+ j0, 55, Zin = jXL + 0, 62+

j0, 55 = 0, 62 + j(0, 55 + XL). Misma parte real y la

parte imaginaria varía Zin = 0, 62+ j1, 95Ω. La reso-

lución se obtiene manejando la carta de Smith como

se muestra en la figura.

Carta de Smith

Figura: Resolución con la carta de Smith


Carta de Smith para adaptación de impedancias

Adaptación de impedanciasLa carta de Smith también sirvepara adaptar impedancias.

Zin = 50 YA

l = 0, 02λ

Zc = 75Ω ZL = 50 + j 80Xc

Vg

Z0 = 50Ω

Figura: Línea cargada con unacapacitancia concentrada a laentrada Xc

Adaptación de impedanciasLos datos de configuración de la líneason f = 1 GHz, Zc = 1

jωC = −jXc ,Yc =

− 1−jXc

= jBc . Hay que normalizar con res-pecto de la impedancia característica dela línea.

ZL =50 + j80

75= 0, 67 + j1, 07

Queremos llegar a una impedancia de

entrada normalizada de Zin = 50/75 =

0, 67. En primer lugar vemos que es más

sencillo trabajar con admitancias ya que

Yin = jBc + YA. ¿Cómo se podría hacer

un condensador en RF?, con una línea

terminada en circuito abierto. Tenemos

Yin = 1, 5 = 1Zin

, luego Yin = j Bc + YA =

1, 5, YA = 1, 5 − j Bc .


Carta de Smith para adaptación de impedancias

Adaptación de impedanciasLuego YA debe tener parte real 1, 5, además YA

se obtiene moviendo YL una longituddeterminada por la línea. Moveré YL hastaencontrar el círculo de parte real 1, 5. Tengo dosposibilidades, sin embargo, vemos que YA debetener parte imaginaria negativa, luego debemostomar la segunda posibilidad. SaleYA = 1, 5 − j1, 7, entonces vemos que Bc = 1, 7,Zcom = 1

jωc , Ycom = jωC, Ycom = j Bc .

Z = ZZc

= 1/Y1/Yc

= 1/Y , 1/Y = YcY . Vemos que

Y = YYc

también se normaliza con admitancia.

Luego, Bc = BcYc

, Bc = Bc · Yc , Bc = 1, 7/75.

Finalente se tiene: Ycond = jωC = jBc , Bc = ωC,1,775 = 2πfC, C = 1,7

75·2πf = 1,775·2πf = 3, 6 pF. Se

puede ver el movimiento reflejado en la carta de

Smith.


Figura: Adaptación de impedancias con cartade Smith


Ondas Electromagnéticas - Bloque II. Líneas de Transmisión · como la impedancia...

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