Ondas Electromagneticas Sears Zemansky

El teléfono celular ha m'Olucioaado las comW1icaciones personales para millones de personas en IOdo el mundo. Al igual que cualquier radio móvil. un teléfono celular transmite y m::ibc ondas elecn'Omagnéri~s. Casi tQt\o$l05 sistemas de ¡elefonta celular utilizan rTttucncias de onda de 806 a 902 Mllz: los teléfonos de Sl5tem.l de comurucaciones pcTIOnalcs (PCS:prT"So/lul 00111_ munirallons s)'slem) empican fh:cucndas de 18~O a 1990 MHz.

¿Por qué a veces la re<'pción de

los teléfonos celulares es mala en el In

lerlor dc los cdificios de oficinas que tle

ncn cstructura de acerol

1214

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

; Qué es la luz? Esta pn:gunta ha sido formulada por los seres humanos a lo lar'-1: &0 de muchisimos siglos. pero no hubo una respucsta hasta que se unificó la electricidad con el magnetismo cn la disciplina (¡nica del electromagnetismo, descrita por las ecuaciones de Maxv'el1. Estas ecuaciones mucstran que un campo magnético que \'lIria con el tiempo actlla como fuente de campo eléctrico, y que un campo eléctrico que varia con el tiempo actlla como fuente de campo magnético. Estos campos E y ii se sustentan mutuamcnte y fonnan una onda electromagnéti. ca que se propaga a través del espacio. La luz visible que emite el filamento incandescente de un foco es un ejemplo de onda electroma&n~l ica; fuentes tales como las estaciones de radio y de televisión, los osciladores de microondas para hornos y radar, las maquinas de rayos X y los núcleos radiact ivos producen otras clases de ondas electromagnéticas.

En este capitulo uti!i<taremos las ecuaciones de Maxwell como base teórica para comprender las ondas electromagnéticas. Veremos que estas ondas transportan tanto energia como cantidad de movimiento. En las ondas electromagnéticas sinusoidales. los campos E y B son funciones sinusoidales del tiempo y la posición, con frecuencia y longitud de onda definidas. U:)s diversos tipos dc ondas electromagnéticas (hu: visible, radio, rayos X y otras) difieren sólo en cuanto B su frecuencia y longitud de onda. Nuestro estudio de la óptica en los capítulos que siguen se basa en pane en la naturnleza electromagnética de la luz.

A diferencia de las ondas en una cuerda o las ondas sonoras en un nuido, las on· das elcctromagnencas no requieren un medio material; la luz de las estrellas que

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32.1 1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagn~tic.s

vemos por la noche ha recorrido sin dificultad decenas o cientos de años luz de espacio (casi) vaclo. No obstante, las ondas electromagnéticas y las ondas mecánicas tienen mucho en común y se describen en un lenguaje muy parecido. Antes de continuar leyendo este capitulo, le recomendamos repasar las propiedades de las ondas mecánicas cxpueslaS en los capitulos 15 y 16 del volumen l.

32.1 I Ecuacione. de Maxwell y ondas electromagnéticas

En varios capítulos anteriores estudiamos divctSOS aspectos dc los campos electricos y magnéticos. Aprendimos que, cuando los campos no varían con el tiempo. como cn el caso de un campo eléctrico creado por cargas en reposo o el campo magnético de una corriente establc, podemos analizar los campos electricos y magnéticos de forma independiente, sin considerar las interacciones entre el1os. Pero cuando los campos varian con el tiempo, dejan de ser independientes. La ley de Faraday (se<:ción 29.2) nos dice que un campo magnético que varía con el tiempo actúa como fuente de campo eléctrico, como 10 demuestran las fem inducidas en los inductores y transformadores. La ley de Ampere, con la inclusión de la corriente de desplazamiento descubiena por Maxv.'e11 (sección 29.7), demuestra que un campo eléctrico que varia con el tiempo actúa como fuente de campo magnético. Esta interacción mutua entre los dos campos se resume en las ecuaciones de Maxwell. las cuales se presentaron en la sección 29.7.

En estos términos, cuando un campo ya sea el<~ctrico o magnético cambia con el tiempo. se: indue:e un e:ampo de otra clase en regiones adyacentes del espacio. Nos \"CffiOS orillados (como le ocurrió a Maxwdl) a considerar la posibilidad de una perturbación electromagnetica, que consiste en campos eléctricos y magneticos que varían con el tiempo. capaz de propagarse a través del espacio de una regiÓll a otra. aun cuando no aiSla materia en la región intermedia. Tal penurbación, en caso de existir, tendré las propiedades de una onda, y un término apropiado es el de onda electromagnéllu .

Tales ondas existen; las transmisiones de radio y de televisión, la luz, los rayos X y muchas otras clases de radiación son ejemplos de ondas electromagnetieas. Nuestra mela en este eapirulo es \'er cómo e.xplican estas ondas los principios del electromagnetismo que hemos estudiado hasta aquí, y también examinar las pro-piedades de estas ondas. .

Como suele ocurrir en el desarrollo de la ciencia, la eomprensi6n teórica de las ondas electromagnéticas evolucionó a lo largo de un camino considerablemente mh tonuoso que el descrito en los párrafos precedentes. En los primeros dias de la teoria electromagnética (en los inicios del siglo XIX) se utilizaban dos unidades diferentes de carga electrica: una para la electrostática y la otra para los fenóme· nos magnéticos en los que intervenían corrientes. En el sistema de unidades que se empleaba en aquella época, estas dos unidades de carga tenían dimensiones fisieas diferentes. Su relaci6f1 tenía unidades de velocidad. y las mediciones mostraban que esa relación tenia un valor numérico que era precisamente igual a la rapidez de la luz: 3.00 X lO' mis. En ese ticmpo, los fisicos consideraron esto como una coincidencia tJ[lraordinaria. y no tenían idea de cómo explicarla.

Buscando comprender este resultado, Maxwell (Fig. 32.1) probó en 1865 que una pcnurbación electromagnética debe: Pt"ORagarse en el espacio libre con rapidez igual a la de la luz y, por tanto, que las ondas lwninosas eran probablemente de naturaleza electromagnelica. Al mismo tiempo, Max .... 'C1I descubri6que los principios bisieos del electromagnetismo se pueden expresar en ténninos de las tuatro ecua-

1215

32.1 James Clerk Ma~wdl (1831- t819) fue la primera persona que comprendió verdaderamente la naturaleza fundamental de la luz. Tambífn realizó importantísimas aponaciOllC$ a la termodínámica. la óptica, la aSlrooomla y la fOlografia en color. Al- / bert Einstem de5críbi6los losrm de Muwell como "10$ más profundos y fructíferos que l. fisic.a ha experímentldo desde la fpoCl de Newton~.



1216 CA plr U LO 32 I Ondas clectrom3gn~ticas

dones que hoy conocemos como las ecuaciones de Muwel1, las cuales estudiamos en la sección 29.7. Estas cualrO ecuaciones son (a) la ley de Gauss de los campos eléctricos; (2) la ley de Gauss de los campos magnéticos, que demucstra la ausencia de mooopolos magnélicos; (3) la ley de Ampere. con la inclusión de la 00-

mente dc desplazamiento y (4) la ley de Faraday. Las ecuaciones de Maxwell son

,(i'd4. = Q- ( ley de Gauss) (29.18) :r " f8' dA ,., O ( ley de GauS$ del electromagnetismo) (29.19)

fa. dl = ~(ic + (~";!EL ( ley de Ampere ) (29.20)

fi. dl=-";!6 ( Icyde Faraday ) (29.21)

Estas ecuaciones se aplican a los campos eléctricos y magnéticos en un mdo. Si está presente un material. la permitividad lo y la permeabilidad ~ del espacio libre se sustituyen por la permitividad f y la permeabilidad /l- del material. Si los valores de f y /l- son diferentes en distintos puntos de la región de integración, eil tal caso es preciso transferir (y /l- al lodo izquierdo de las ecuaciones (29.18) y (29.20), respectivamente, y colocarlas dentro de las integrales. También es necesario incluir la f de la ecuación (29.20) en la integral cuyo resultado es tN),Jdt.

De acuerdo con las ecuaciones de Maxwell. una carga puntual en reposo crea un campo E estático. pero ningún campo 8; una carga puntual que se desplaza con velocidad constante (sección 28.1) crea campos lanto É como 8. Las ecuaciones de Maxwell también permiten demostrar que, para que una carga puntual genere ondas electromagnelÍcas, es necesario que la carga se acelere. Oc: hecho, un resultado general de las ecuaciones de Maxwell es que toda earga acelerada irradia energía electromagnética. tsta es la razón del blindaje que se requíere en torno a los aceleradores de panículas de alta energia y de las fuentes de energía eléctrica de alto \'Ohaje de los televisores.

Una manera de conseguir que una carga pWlIUlII emita ondas electromagnéticas consisle en hacerla oscilar en un movimiento annóoico simple, de modo que tenga aceleración casi en todo momento (la excepción es euando la carga pasa por la posición de equilibrio). La figura 32.2 muestra algunas de las lineas de campo eléctrico producidas por tal carga puntual oscilante. Las líneas de campo no son objetos materiales; no obstante, resulta útil pensar que se componan un poco como cuerdas que se extienden de la carga puntual hasta el infinito. La oscilación de la carga hacia arriba y abajo fonna ondas que se propagan hacia afuera a panirde la carga, a lo largo de estas "cuerdas". Dese cuenta que la carga no emite ondas en todas dire<:eiones por igual; las ondas son más intensas a 90" respecto al eje de movimiento de la carga, en tanto que no hay ondas a 10 laTKo de este eje. Esto es justamente lo que la imagen de la "cuerda" nos llevaría a concluir. Además, existe ulla perturbación magnética que se extiende hacia afuera desde la carga; esto no se muestra en la fi gura 32.2. Ya que las perturbaciones eléctricas y magnéticas se extienden o irradian alejándose de la fuente, el nombre de radiación electromagnética se utiliza indistintamente como sinónimo de "'ondas electromagnéticas".

El fisieo alemán Heinrich Hertz generó por primera vez ondas electromagnéticas de 10ngilUd de onda macroscópica en el laboratorio en 1881. Como fuente de ondas. Henz utilizo cargas oscilantes en circuitos L--C del tipo qut analizamos en la sección 30.5 , y detectó las ondas electromagnéticas resultantes mediante otros circuitos sintonizados a la misma frecuencia. Hertz también produjo ondas e/ce-



32.2 I Ondu electromagnt{icas planas y rapidez de la luz

(<1),.3174

/romagnélicas eS/llct"anarias y midió la distancia entre nodos adyacentes (media longitud de onda) para establecer la longitud de onda. Dado que conocla la frecuencia resonante de sus circuitos, de esta manera Henz encontrO la rnpidezde las ondas a partir de la relación entre longitud de onda y frecuencia v '" )if, y eSlableció que era igual a la rapidez de la luz; eSlo comprobaba directamente la predicción leórica de Maxwell. El nombre de In unidad SI de frecuencia honra la memoria de Hertt: un henz (1 Hz) es igual a un ciclo por segundo.

Parece serque el posible uso de las ondas electromagnéticas para la comunicación a larga distancia no se le ocurrió a Henz. Quedó en manos de Marconi y OITOS ha· cerde la comunicación por radio una experiencia ordinaria en e\ hogar. En un trans· misor de radio, se hacen oscilar cargas eléctricas a lo 1algo de la antena conductora, coo \0 cual se gencrun pcnubaciones oscilatorias de campo como las que se muestran en la figura 32.2. Dado que son muchas las erogas que oscilan juntas en la antena, las perturbaciones son mucho más intensas que las de una sola carga oscilante y se deteclan a una distancia mucho mayor. En un rteeplorde radio la antena también es un conductor; los campos de la onda que emana desde un tnmsmisor distante ejercen fuernlS sobre las cargas libres del interior de la antena TCI;eJllora, y producen una comane oscilanle que es dele<:tada y amplificada por los circuitos del receptor.

A lo largo del resto de este capitulo nos ocuparemos de las ondas electromag· néticas mismas, no del complejo problema de cómo se gcnernn.

¿Es posible que una onda puramente eléctrica, es decir, una onda compuesta de un campo eléctrico pero ningún campo magnético, se propague a través del espacio vacío? ¿Y una onda purameme magnética, con un campo magnético pero ningún campo eléctrico?

32.2 I Ondas electromagnéticas planas y rapidez de la luz

Ahora estamos preparados para f0!1fular las ideas básicas de las ondas electromagnéticas y su relación con los princIpios del eleclromagnetismo. NUCSITO procedimienlo consistirá en postular una configuración de campo simple con un

1217

«)I.m

32.2 Líneas de campo elklrico de una carga puntual que oscila con mo\'imiemo armónico simplc. vistas en cinco inslantes durante un periodo de oscilación T . .... tra· )'"lOna de la carga esta etl el plano de los dibujos. En I - O la ~lIp puntual se encuentra en su máximo dcsplalllmiento aseendentc. La n~ha muestra ~6mo ac propaga una ''vuelta'' de las tineas de E ha· cia afuera a partir de la carga punlUal. El campo magnético (no se mueslra) consta de clI'ttltOI qu~ )'~n en planos perpendiculares a estas figul1\S)' so,,"condnmcos con el eje de oscilación.



1218

32.] Frente de WUI onda I.'lectromagnética. El plano que TC'presenta el frente de onda se U'lIslada ha\:ia la derecha con rapidc~ c. Los campo!i E y 8 son uniformes en toda la región den"5 del freme de onda. pero son cero en todos los puntos delante de~!.

,

]2.4 Superficie gaussiana para una onda elcclT()ffiagnética plana. Tamo el flujo elkmco IOUI como el flujo magnético total. unes de la superficie soo cero.

C~pfTULO 321 Oodasl.'ll.'CIromagnéticas

componamiento ondulatorio. Supondrl.'mos un campo cléctrico E: con sólo una componente y y un campo magnético iJ con sólo una componente:. y supon· dremos además que ambos campos se desplazan juntos en la direo;ión + x con una rapidl.'z c qul.' inicialmente desconocemos. (A medida que avancemos. se ac!arnni por qué elegimos que E y iJ sean perpendiculares a la dirección de propagación y tambi~ uno al Otro.) Por esto C'\'3luarcmos si estos campos son fisicamente posi· bIes al preguntamos si son congruenteS con las ecuaciones de Max ..... ell, cn particular con las leyes deAmpcK y de Faraday. Hallaremos que la respuesta es afirmativa, siempre y cuando e tenga un valor determinado. Además, demostraremos que la ecuación de onda, que encontramos durante el estudio de las ondas mecanicas en el capítulo 1 S. se deduce de las ecuaciones de M3.'lw~11.

Una onda electromagnética plana simple Tomando como base un sistema de coordenadas x)'% (Fig. 32.3), suponemos que todo el espacio está dividido en dos regiones por un plano perpendieular a l eje de las.\' (paralelo al plano ¿,::). En cada punto a la izquierda de este plano hay un CJm· po eléctrico uniforme E en la dirección +y y un campo magnético uniforme B en la dirección +z, como se muestra. Además. supongamos que el plano limi trofe. al que llamaremos frente de onda. se traslada hacia la derecha en la d irección +.1' con rapidez constante e, que aún desconocemos. De este modo los campos E: y iJ viajan hacia la dem:ha y penetran en reGiones hasta ahora libres de campos con rapidez dermida. En pocas palabras. la situación describe una onda electromagnética rudimentaria. Una onda como ésta. en la que en todo momeñto los campos son uniformes en toda la extensión de cualquier plano perpendicular a la di~ción de propagación. se llama onda plana. En el caso que se ilustra en la ligura 32.3. los campos son eero cn los planos a la derecha del frente de onda, y tienen los mis· mos valores en todos los planos a la izquierda dcl frentc de onda; más adelante consideraremos ondas planas más complejas.

No nos ocuparemos del problema de generor efectivamente una configuración de eampos de esta índole. En cambio, preguntaremos simplemente si es congruentc con [as leyes del electromagnetismo, eSIO es, con las ecuaciones de Max\\ocll. Consideraremos sucesivamente cada una de estas cuatro ecuaciones.

Verifiquemos en primer lugar que nuestra onda satisface la prilllCl1l Y la segunda de las ecuaciones de Mro;:well, es decir, las leyes de Gauss de los campos eléctricos y magnéticos. Para ello. tomaremos como superficie gaussiana una caja rectangular con lados paralelos a los planos de coordenadas.l)'. x: y)% (fig. 32.4). La caja no en· ciena carga elecmca alguna, y usted debe pocIerdemostrat que el flujo eléctrico y el flujo magnético totales a través de la caja son ambos Cero; esto se cumple incluso si una parte de la caja eSlá en la región donde é '" 8 a: O. Este 110 seria el caso si E: o iJ tuvieran una componente x, paralela a la dim:ción de propagación. Dejare· mos la prueba como problema (véase el problema 32.33). Por esto, para satisfa· cer las ecuaciones pr imera y segunda de Maxwell. los campos eléctrico y magn~tico deben ser perpendiculares a la di rección de propagación; es decir, la onda debe ser tra nsversal.

La siguiente ecuación de Maxwell por considerar es la ley de Faraday:

i.E .di = - ~, J d, (32.1)

Para §llber si nuestra onda §llriface la ley de Faraday. apliquemos esta ley a un reclán· gulo rfgh paralelo al plaIlf.1}' (Fig. 32.5a). Como se muestra en la figura 32.5b, un cone mms'icrsal en el plano l}', este rectángulo tiene una altura a y una anchura a r.



32.2 I Ondas tlectromagntticas planas y npide:tde la lut

, I

,

"'''"' (1) En e) IlempO di. 01 fmlle do ....... dapI.u.a _ <Ii,wocia

~dr",IIo~+ ..

En el momento que se muesrrn. el frente de onda ha avanzado parcialmente a través del rcctingulo, y i: es cero a 10 largo dtlladoef Al aplicar la ley de Faraday suponemos qut el área vectorial dA del rectángulo efgh tiene la dirección +z. Con esta elección, la regla de la mano derecha nos pide int~rar E' di en remido comrorio o los IIl1mecillos del reloj alrededor del rectángulo. E es cero en 1000S los puntos del lado rj. En cada puntO de los ladosfg y he, E es o bien cero o perpendicular a dI. Sólo el lado gh contribuye a la integral. En este lado. E y di son opuestos, y se obtiene

(32.2)

Por consiguiente. el lado izquierdo de la ecuación (32.1) es diferente de cero. Para satisfacer la ley dc Faraday [ecuación (32.1)] debe haber una componente

de ¡j en la dirección; (perpendicular a it) para que pueda haber un nujo magnético $ 8 diferente de cero a través del I'eCti!.ngulo efgh. y una derivada Jc] ),Idl diferente de cero. De hecho, en nuestra onda ¡j tiene sólo una componente:. Hemos supuesto que esta componente tiene la dirección: positi,-a; \'eamos si esta supoSición es congruente con la ley de Famday. Durante un intervalo dt tiempo dI el frente de onda se desplaza una distancia e dI hacia la derecha en la figura 32.Sb, barriendo un área oc dt del rectangulo efgh. Durante eSle intervalo el nujo magnético $ 6 a través dc:l rectángulo efgh aumcnta en d$6 = 8(oc dI). por lo que la rapidez de cambio del flujo magnético es

d<I>. -- - Bac

d, (32.3)

Ahora sustituimos las ecuaciones (32.2) y (32.3) en la ley de Faraday {ecuación (32.1)]; obtenemos entonces

- Ea'" -8ac

E = eS (onda electromagnética en un vacio) (32.4)

Esto demuestro que nuestra onda es congruente con la ley dt Faraday sólo si la rapidez de onda c y las magnitudes de los vectores perpendiculares E y jj guardan la relación que describe la ecuación (32.4). OCse cuenta que, si hubiésemos supuesto que ¡j tenía la dirección z negati.u. habria habido un signo de menos adicional en la ecuación (32.4); puesto que E, c y B son todas magnitudes positivas. ninguna solución habria sido P.Qsible en esas condiciones. Además. cualquier componente de jj en la dirección y o,arolela a E) no contribuiría al fl ujo magnético call1biante $ 6 a través del rectángulo e/gh (que es paralelo al plano xy) y, por tanto. no seria parle de la onda.

1219

]2.5 (a) Aplicación de la ley de Fanday a una onda pluna. (b) En un tiempo di. el flujo magnétieo D través del rectángulo situa. do en el plano xy aumenta dIIl,. Este incremento equÍ\1I1e al flujo a través dd ~¡ulo sombreado de área ac dI; es declr,.MI, - &le dI. Por eso. dIIl,¡tlt- Bac.



1220

, I

(a) En el tiempo"'. d !'reme de onda le IDSladIo ~I\II dlllancia

e d. e~ la dirección + J

(b) VISUI.m:a de la liruacióa de (1)

n .6 {a) Aplk.,;iÓl1 c:k ¡" ley de Ampere I WI3 onda plana. (Compárese con la Fill. 31.53). (b) Eo uo rimlpodl. el flujo elklri-00 3 IIlIvés c:kl reclingulo s¡ruado en el plaoo;¡;c "UTIC'nll drflc. Este illCft'menlO equi\'3le al flujo 11T1I\-t:s del rttIinaulo sombreado de 'rca oc dr; es da;ir, d41c • Eoc dI. Por lo linIO, ~,dl. Eac.

e " l' f un o 32 I Ondas elCCII'Dlllllgn.!licas

Por ulrimo, llevamos a cabo un cálculo similar con la ley de Ampere, el miembro restante de las ecuaciones de Maxwell. No hay comeDIe de conducción (ic = O); por tanto. la ley de Ampere es

,(,ñ 'di _ IJ.ofl) dlPc J d,

(32.5)

Para comprobar si nuestra onda es congruente con la ley de Ampere, trasladamos nueslro rectAngulo de modo que se localice en el plano Xl, como se mueslnl en la figura 32.6, Y examinamos una vez más la situación en un momento en que el fren o te de onda ha atravesado en parte el rectángulo. Asignamos al li.rea vectorial dA la dirección +y, y asi la regla de la mano dcrccha demanda que ¡nlegremos ñ· di en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del rectángulo. El campo ñ es cero en todos los puntos a lo largo del lado eJ, y en cada punto de los ladoslg y he es o bien cero o perpendicular a di. Sólo el lado gh, donde 8 y di son paralelos, contribuye a la integral, y enconlramos que

fñ 'di - Ba (32.6)

Porconsiguiente, el lado izquierdo de la ley de Ampcre [ecuación 32.5)] es diferente de cero; cllado derecho tambien debe ser diferenle de cero. Por esto, E: debe lener una componenle y(perpcndicular a B) para que el flujo el~ctrico (llc a travts del rectángulo y la derivada con respecto al tiempo dWJ dl puedan ser diferentes de cero. Llegamos a la misma conclusión que inferimos a partir de la ley de Fmday: en una onda electromagnética, E: y B deben ser mutuamente perpendiculares.

En un intervalo de tiempo di el flujo eléctrico (llE a través del rectli.ngulo aumenta d<PE - E(ae dI). Dado que asignamos la dil'e1:ción +y a dA, este cambio de flujo es positivo; la rapidez de cambio del campo electrico es

d<I>, --. Ea, d,

(32.7)

Sustiruyendo las ecuaciones (32.6) y (32.7) en la ley de Ampere (ecuación (32.~)] hallamos que

Ba = foJJofae

B = f0JJ4E (onda electromagnética en un vacio) (32.8)

De esta manera, la onda que hemos supuesto obedece la ley de Ampere sólo si la relación entre B, e y E es la que describe la ecuación (32.8).

Nuestra onda electromagnetica debe obedecer ((In/O la ley de Ampere como la ley de Faraday; asi que también se deben satisfacer las ecuaciones (32.4) y (32.8). Esto sólo es posible si lf¡W "" l/c. o

I e = • ~ (rapidez de las ondas electromagntticas en un vacio) (32.9)

v.""" Insenando los valores nurntricos de estas magnitudes. encontramoS que

I , = ~V'(~,~.,~,~xO=;'~O-~,f, C~'~INi'. m=,~)7( "";:"~X;=;;'O~-T, ~N7IA~''')

.; 3.00 x lo' mis

La onda que hemos supuesto es congruente con todas las ecuaciones de Maxw'ell, siempre y cuando el frente de onda se traslade con la rapidez sei\alada, ¡la cual reconocemos de inmediato como la rapidez de la luz! Dése cueUla que el valor uac·



32,2 I Ond3S electromagnéticas planas y rapidez de la luz

ro de e es por definición 299,792,458 mis; para nuestros fines, e "" 3.00 X 1 O' mis es suficientemente exacto.

Elegimos para nuestro estudio una onda simple a fin de evilll.r complicaciones matemáticas. pero este caso especial ilustra varias características importantes de lodas las ondas electromagnéticas:

l. La onda es trallSl'(mia/; tanto E como jj son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. Los campos eléctrico y magnético también son perpendiculares entre sí. La dirección de propagación es la dirección del producto vectorial E )( 8.

2. Hay una relación definida entre las magnitudes de E y 8: E::: eB. 3. La onda viaja en el vacío con una rapidez definida y constantc. 4. A diferencia de las ondas mecánicas, que necesitan las partículas oscilantes

de un medio como el agua o el aire para transmitirse, las ondas electromagnéticas no requieren un medio. Lo que "ondula" en una onda electromagnética son los campos eléctricos y magnéticos.

Podemos generalizar este análisis aplicándolo a una. situación más realista. Suponga que tenemos varios frentes de onda en fonna de planos paralelos perpendiculares al eje de las x, todos los cuales se desplazan hacia la derecha con rapidez e. Supóngase que los campos E y ¡j son iguales en todos los puntos de una. sola región comprendida entre dos planos, pero que los campos difieren de una región a otra. La onda en conjunto es una onda plana, pero en ella los campos varian por etapas a lo [argo del eje de lasx. Se podría construir una onda de este tipo sobreponiendo varias de las ondas de etapa sencilla que hemos analizado (y que se muestran en la Fig. 32.3), Esto es posible porque los campos E y B obedecen el principio de sobreposición en [as ondas del mismo modo que en las siruaciones estáticas: cuando se sobreecnen dos ondas, el campo E total en cada punto es la suma vectorial 2e los campos E de las ondas individuales. y de modo lIfIilogo en el caso del campo 8 total.

Podcmos ampliar 10 antes e:o;puesto para demostrar que una onda con campos que varian por etapas también es congruente con las leyes de Ampere y de Faraday, siempre y cuando todos los frentes de onda se trasladen con la rapidez c dada por la ecuación (32.9). En el limite donde las etapas individuales se hacen infinitamente pequeñas tenemos una. onda en la que, en cualquier instante. los campos E y ¡j \"8rian deforma continua a lo largo del eje de las x. La distribución de campos se traslada en su totalidad hacia la derecha con rapidez c. En la sección 32.3 consideraremos ondas en las que E y ¡j son funciones sinusoidales de x y l. Puesto que en cada punto la relación entre las magnitudes de E y B es E - c8, en toda onda periódica viajera las variaciones periódic.1s de los dos campos deben estar enfase.

Las ondas electromagnéticas tienen la Pl!lPiedad de polarización. En elllflilisis precedente la asignación de la dirección y a E fue arbitaria. De igual manera podriamos haber especificado para E el eje:; en tal caso j habría tenido la dirección -y. De una onda en la que E es siempre paralelo a un eje determinado se dice que está linelimente polarizada a lo largo de ese eje. En términos más genero les, cualquier onda que viaja en la dirección x se puede representar como W1lI sobreposición de ondas li· nealmente polarizadas en las ditecciooes y y z. En el capitulo 33 estudiaremos la polarización con mas detenimiento, con especial atención a la polarización de la luz.

*Deducción de la ecuación de onda

A continuación e:o;pondremos otra deducción de la ecuación (32.9) que describe la ropidez de las ondas electromagnéticas. Este tratamiento es de carácter más matemático que el anterior, pero incluye una deducción de la ecuación de onda de las ondas electromagnéticas. Se puede omitir esta parte de la sección. sin pérdida ele continuidad en el capitulo.

1221



1222

,.) ,

-,o,f-----· (b) Vw..1akraI do: la lituKióII do: (o.)

32.7 Aplicación de la ley de FaBday. UD rectingulo de alruTll Q y InchuTlI ~ paTllleloal plano.!)'.

,

o

~01---____ '

]2.8 Aplicación de la ley de Ampere a un rectángulo de alrura Q y anchura:u paralelo.lplanou.

e A P f TUL o 32 I Ondas electrornagrM!tieas

Durante nuestro amilisis de las ondas mtl;aniCaS en la sección 15.3, demostramos que una función y (x, 1) que representa el desplazamiento de cualquier punto de una onda mecánica que viaja a lo largo del ejc de lasx debe satisfacer una ecuación diferencial, la ecuación (15.12):

a!y(x.t) 1 aly(x.l) ax! "" v! al!

(32. 10)

Esta ecuación se conoce como la ecuación de onda. y ti es la rapidez de propagación de la onda.

Para deducir la ecuación correspondiente a una onda electromagnética. consideremos una vez más una onda plana. Es decir, suponemos que en todo momento E, y B; son unifonnes en la totalidad de cualquier plano perpendicular al eje de las x, la dire<:ción de propagación. Pero ahora permitimos que E, y B, varien de rorma continua al avanzar a 10 largo del eje de las x; en estas condiciones ambas son funciones de x y t. Consideremos los valores de E, y Br en dos planos perpendiculares al eje de las x: uno en x y el otro en x + !U.

Siguiendo el mismo procedimiento que antes. aplicamos la ley de Faraday a un rectángulo que yace paralelo al plano xy. como en la figura 32.7. Esta figura es similar a la figura 32.5. El extremo izquierdo gh del rectángulo está en la posiciónx. y el extremo derecho ef, en la posición (x + ~). En el tiempo l. los valores de E, en estos dos lados son E¡'x, t) y E¡'x + ~,t), respec'i,van.!Cnte. Al aplicar la ley de Faraday a este rectangulo, hallamos que, en vez de ~E ·dl .. -Ea como en el caso antenor, tenemos lo siguiente:

fE' di .. -E, (x. t)a + E,(x + ~x. t)a

.. a[E, (x + ~x, 1) - E, (.r. 1)]

(32.11 )

Para detenninar el flujo magnético <1>. a trav~s de este re<:tángulo, suponemos que dx es lo suficientemente pequeño para que B, sea casi uniforme en todo el rectángulo. En ese caso, <P, - B!..x. t)A ,. B:Áx, 1)0 dx Y

d<IJ, aB,(x, l) -- "" (lAx

dI at Se utiliza la notación de derivadas parciales porque B, es función tanto de x como de ,. Al sustituir esta expresión y la ecuación (32. 11) en la ley de Faraday [ecuación (32.1)1 se obtiene

a[E,.(x + Ax, 1) - E, (x. t ) ] = - aB:aAx

" E,(X+~.t./)-EJ (x.l ) aB: =--

" Por último. imaginemos que el rectángulo se encoge hasta quedar como una astilla, de modo que A.l tiende a cero. Cuando se toma el limite de esta ecuación como ~ --t O, se obtiene

aE, (x. 1)

" aB:(x, ,)

" (32. 12)

Esta ecuación demuestra que, si hay una componente 8r de campo magnético que varia con el tiempo, debe haber también una componente E, de campo c l ~ctrico

que varía conx, y viceversa. Guardemos por ahora csta relación en nuestros archi\'05; pronto volveremos a elJa.



•

32.2 ¡ Ond:lS el«ttomagnél:icas planas y rapidet de la IlIz

A continuación aplicamos la ley de Ampere al rectángulo de la figura 32.8. La integral de linea 48· di se convierte en

i ii'di .. - 8,{.t + ~.f. t)o + 8,(x./)0 (32.13)

Suponiendo una vez más que el rectángulo eS C'Strecho. tomamos como aproximación del flujo eléctrico lPe a través de ella expresión <DE - E/x. t) A "" E/x, t)a ~l. La rapidez de cambio de <Dr. que n=itamos para la ley deAmpere. es por lo tanto

tM>¡; at;~(x, 1) --= oAx di al

Ahora susti tuimos esta expresión y la ecuación (32. 13) en la ley de Ampere [ecuaciÓn 32.5)]:

ilE,.(x.l ) - 8Ax + ~x. r)" + 8,(x,t)0 - "01-40 o ~x

" Dividiendo una vez mb ambos lados entre o ~X y tomando el limite como a l--+ O se obtiene

iJE,(X.I) -.... "

(32.14)

Viene ahora la etapa final. Se obtienen las derivadas parciales con respecto a x de ambos lados de la ecuadón (32.12), y las derh-adas parciales con rcspecto a 1 de ambos lados de la ecuación (32. 14). Los resuhados son

a2Ey(x,1) ¿¡28,(x./)

'x' a28,(X.I)

axar

Combinando estas dos ecuaciones paro eliminar 8, se obtiene finalmente

a1E,.( x, t) a1Ey(X.I) axl "'" "01"'0 at1 (32. l S)

(ecuación de onda electromagnética en un vado)

Esta expresión tiene la misma forma que la ecuación generol de onda {ecuación (32.10)1. Dado que el campo eléctrico E,. debe satisfacer esta ecuación, se comporta como una onda con una distribución que viaja a troves del espacio con rapidez definida. Más aun, la comparación de las ecuaciones (32. I 5) y (32. I O) muestra que la rapidez de onda vesta dada por

I I vl - "01"'0 o ,- ---v.;;;;

Esto concuerda con la eeuación (32.9) de la rapidez c de las ondas electromagnéticas. Podcmos demostrar que D, también debe satisfacer la misma eeuación de onda

que EJ' [a ecuación (32.15). Para probarlo, obtenemos la derivada parcial de la ecuación (32. [2) con respecto a 1 y la derivada parcial de la ecuación (32.14) con respecto a x. y combinamos los resultados. Dejamos esta derivación como problema (véase cI problema 32.35).

En una onda de la clase que se representa en la figura 32.3, la magnirud del campo eleclriCO detrás del frente de onda es de 4.50 X IQl Vlm. ¿Cual es la magnirud del campo magnético?

1223



1224

~I~s 10.1 PtopK"dades de las ondas

m{dnlCaS

! FucnlC de

32. ' Las 0IIda5 que pasan 11 Iravés de un área pequeña I una dl$tanda SUfiCICnle· menle g~ndc de I1 fuente se pueden !fatar como 0IIda5 piaN'.

, ,

E: sólo tompo!lCn1C y B: sólo eomponc:Rle :

i!

•

32.10 Reprcsentación en fundón de:t de los campos elktricos 'J magnéticos corres· pondientes a una onda electromagnética si· nusoidal plaT\l.lincalmenlc polarizada. Se muo:5ll1l una lon¡itud de onda de la onda en clliempo I - O. II onda '·lIJI en la di· ~ci~:t posni, .... la misma del producto E X 8 .

C" PfT U LO 32 I Ondas electromagMticas

32.3 I Ondas electromagnéticas sinusoidales las ondas electromagnéticas sinusoidales son directamente análogas a las ondas mecánicas trallS\-ersales sinusoidales que se forman en una cuerda estirada, las cuales eslUdiamos en la sección 15.3. En una onda electromagnética sinusoidal, E y B son funciones sinusoidales del tiempo en cualquier punlO del espacio, y en todo momento la vaTÍa¡;:ión espacial de los campos también es sinusoidal.

Ciertas ondas eleetrQmagneticas sinusoidales son ondas plunas; comparten con las ondas descritas en la sección 32.2 la propiedad de que en todo momento los campos son uniformes en la fOtalidad de cualquier plano perpendicular a la di· rección de propagación. La distribución en conjunto viaja en la dirección de propagación con una rapidez c. Las direcciones de E y jj son perpendiculares a la dirección de propagación (y uno respecto al Olro). por lo que la onda es mm.fVt'rsal. Las ondas electromagnéticas generadas por una carga puntual oscilante (Fig. 32.2) son un ejemplo de ondas sinusoidales que"o son ondas planas. Pero si restringimos nuestras observaciones a una región relativamente pequeña del espacio a una distancia lo bastante grande respecto a la fuente, las ondas planas son una buena apro;>;.imación aun de estas ondas (Fig. 32.9). Dd mismo modo, la supeñi. cie curva de la Tierra (casi) esférica nos pom:e plana debido a nuestro tamaño re· lativamente pequeño en comparación con el radio del planeta. En esta sccción restringiremos nuestro análisis a las ondas planas.

La frecuencia f, la longitud de onda A y la rapidez de propagación c de éualquier onda periódica guardan entre si la conocida relación entre longitud de onda y frecuencia e ... Aj. Si la frecuencial es la frecuencia de línea de energia eléctri· ea de 60 Hz. la longitud de onda es

e 3 X 100mls A=-= =5Xlcf m -5000km

160Hz ¡que es del orden del radio teITCSlre! En el caso de una onda con esta frecuencia, incluso una distancia de muchos kilómetros comprende sólo una pequeña fracción de una longitud de onda. En cambio, si la frecuencia es de 10' Hz ( 100 MHz). representari\-a de las transmisiones comm::iales de radio en FM, la longitud de onda es

A = 3 x lo' mis :: 3 m 10' Hz

y una distancia moderada incluye muchas ondas completas. La figura 32.10 muestra una onda electromagn~tica sinusoidal1inealmente po

larizada que viaja en la dirección + x. Se muestran los vectores E y B correspon· dientes a sólo unos pocos puntos sobre el eje de las x positivas. !)ése cuenta que los campos eléctrico y magnético oscilan en fase: É es máximo donde ii es máximo y E es cero donde B es cero. Dése cuenta además que, donde E tiene la dirección +y, ñ tiene la dirección +:; donde E ticne la dirección -y, ñ tiene la dirección - z. En todos los puntos la dirección del producto vectorial É X jj es la de propagación de la onda (la dirección + x). Ya mencionamos esto en la sección 32.2, en la lista de caracteristicas de las ondas elcctromagncticas.

Es posible que la figura 32. ID le haya dado la impresi6n err6nea de que los (ampos eléctric~ y magnéticos existen unicamente a lo largo del eje de lasx. De he.::ho, en una onda plana sinusoidal hay campos eléctric~ en todos I~ puntos del espacio. Supongamos un plano perpendicular al eje de lasx (e«o es, ¡NIralelo al plano yz) en un punto en ~rticular y en un momento determina· do; I~ campos tienen 105 mismos yalores en todos lO! punto! de ese plano. LO! Yalores son diferentes en los distintos planos.



32.3 I Ondas electromagl!l!ticas sinusoidales

Podemos describir las ondas electromagnéticas por medio defuncionej de on· da. tal como lo hicimos en la sección 15.3 en el caso de las ondas en una cuerda. Una forma de la función dc onda de una onda transversal que viaja en la dirección +x a lo largo de una cuerda estirada es la ecuación (15.7):

y(x.l) - A ros(h - wt)

donde >\x. t) es el desplazamiento transversal respecto a la posición de equilibrio en el tiempo 1 de un punto con coordenada x sobre la cuerda. La magnitud A es el desplazamiento máximo. o ompliwd, de la onda; wes sufrecuencia angular. igual a 21T veces la rrecuencia!; y le es el numero de onda. igual a 2mA. donde A es la longitud de onda.

Sea Ej.,x,:-I) y B¡X.l) la reprtsentació~ de los valores instantáneos de la componente y de E y de la componente: de B, respectivamente. en la figura 32.10. y sean E_ y B ... ,los valores mbimos. o ulnplillldes, de estos campos. De esta ma· nera las funciones de onda de la onda son

E)'(x,l) = E..,..cos(le:r - WI) B.(x,t) = B.wcos(h - WI) (32.16) (onda c1ecuomagnética plano sinusoidal que se propaga en la dirección +x)

Tambi~n podemos escribir las funciones de onda de fonna vectorial:

E(x,t) = jE"", cos( k:c - wt ) jj (x. t ) = kB_ cos(kx - WI ) (32.1 7)

1J:J1IJlj!ftj¡J Dtse cuenta que las dos.t son diferentes: el vector unitario ¡ en la dirección: y el número de onda k. ¡No confunda estos conceptos!

Las curvas sinusoidales de la figura 32.10 representan valores inSlantáneos de los campos eléctrico y magnético en función de x en el tiempo I = O, es decir, E (x, t - O) Y jj (x. I - O). Conforme U'anscurre el ticmpo. la onda viaja hacia la de-fC<:ha con rapidez c. Las ecuaciones (32.16) y (32.17) muesU'an que en todos los puntos las oscilaciones sinusoidales de E y B están en fase. De acuerdo con la ecuación (32.4), la relación entre las amplirudes debe ser

E_. = cB.." (onda electromagnética en el vacio) (32.18)

Estas relaciones de amplirud y fase también son un requisito pam que E(x. t) y B(:c, t) satisfagan IIIS ecuaciones (32.12) y (32.1 4), derivndas de la ley de Faraday y de la ley de Ampere, respectivamente. ¿Puede usted verificar esta asevemci6n? (Véase el problema 32.34).

La figura 32.11 muestra los campos eléctrico y magnético de ulla onda que via· .@en la dirección x negath'lJ. En los p~ntos donde E tiene la direcció,!? y positiva, B tiene la dirección z negaTiva; donde E tiene la dirección y negativa, B tiene la di rección z positil'lJ. Las funciones de onda correspondientes a eSTa onda son

E,(:c.t) - E_cos(1cx + wt) B.{x.t) = - B,.,.,cos (le:c + wt) (32.19)

(onda electromagnética plana sinusoidal que se propaga en la dirección -x)

Como en el caso de la onda que viaja en la difC<:ción +x. en todos los puntos las oscilaciones sinusoidales de los campos E y ¡j están enfase, y el producto veclOrial E x B apunta en la di rección de propagación.

Las ondas sinusoidales que se mucsuan en las figuras 32.10 Y 32.11 eslán ambas linealmente polarizadas en la dirección y; el campo E siempre es paralelo al eje de 1asy. El ejemplo 32.1 se refiere a uno onda linealmente polarizada en la dirección:.

,

,

8 E F.: tólo COOIpOI'Itnte-, 8;.el1o COOIpOI'Itnle t

1225

32.11 RepresenUlCión de una IongilUd de onda de una onda el«lromagn~tica sinu· soldal plana hnealmente polarizada qlll' viajl en la direcc:ión x nq¡:lth-a o:n 1 .. O. Sólo K mueSlTlln 10$ campo!i correspon· dienlCJ. punt06 a lo lalJO del eje x. (Compé!ne con l. Fil. 32.10.)



1226 CAPITULO 321 OndaselectromagM¡ica§

Estrall'l]ld para 'l'SONer problemas Ondas electromagnéticas

IDENTIFICAR lo! rofluptOJ ¡Nrtiflefllu: Muchas Ik las ilkas aplicable¡¡ a las ondas mecinicas (esludiadas en los capirulO$ 15 y 16) tambIén 10 son alas ondas eln;lmmagnéticas. La caraclerísTica 1lO\"Wo6I es que la onda queda descrita por dos canTidades. el campo el«Trico t: y el campo magnéTico 8. en \'ez dc una sola canlidad. como el desplazamiento de una cuerda.

PLANTEAR el problefIIQ stglin las eropas siguiefllt'J: l. Dibuje un diagrama que mllCSu·e la dirección de propaga.

ción de la onda y las direcciones de E y ii. 2. lIalle las \'IIriablcs objClivo.

EJECUTAR lo solución CQtn() sigrle: l. En 10$ problemas relacionados con ondas cleclromagnéti·

caso lo mejnr eSlnnegiu consiste en concenlTllrsc en las re· laciones básicas. corno. por ejemplo. la relación cnlre E y 8 (Ionto de magnitud COOlO de dire.:ción), cómo se deler· mina la rapidez de la onda. la naruraleza lransversal de las ondas. elc~Iera. Tenga en menle eSlas relaciones al resol · ver los delalles maTemáticos.

EI('mpKl 321 Campos de un rayo láser

Un Ibcr de di6~ido de c.tbono emiTe una onda electromagnética sinusoidal que viajl en un \'acio en la dirc:cción x neg:uh'll.. La Ion· gitud de onda es de 10.6 fU11 Y el eampo cléctnco E: es paralelo al eje de las;, oon una magnitud máxinu de 1.5 MVIm. Escnba a:uaclooes \'tttonalcs de E: y ii en funci6n del liempo y l. posieión.

,

• O ,

-:.. , '/

, F.: 1610 componenlO ~ íi: 5610 componrruc ,

•

]2.12 RepTC$oCntación de una longitud de onda de una onda elec· lromagnttica sinusoidal plana quc: viaja en la dirttci6n x DCgDlh'll y esl! linealroe1l1c polariznda .1o largo del eje :. Sólo se mues-tJIJI 105 campos corrt'Spondlentes • punt05 I 10 largo del eje de las x en t - O. (Compárese coo la fiiura 32.11. donde se mUC:SIlll una ooda que viDJa en la ml$ml dIrección pcn:I 1:$" Imcalmcnlc polari-zada alo largo del eje )'). •

2. En el caso de 0IKbs electromagnéticas SlRu!iOidales. es ne· cesario ulilizar el lenguaje ronnulado para las ondas med· nicas SinUSOIdales en 105 capítulO! 15 y 16. No dude cn vol\'Cf aris pal1l rqIaSlIr el material, .... cluso las esfTategias para n:sol\'Cf problemas que se $UglCTCfl en C505 capitulos.

3. Tenga en mcnlC las relaciones bisicas de lasondas periódi· cas: v : Al y W '" lit. En el caso de las ondas electromagnérica:¡ cn un \'llCio. v-c. Di$lmp. con todo CUIdado enm: la frecuencia ordinaria/. que nonna!mcnte se a¡nsa en heltt,

y la ~ncia angular ... - 2 Trj. quc: se expresa en radls. ReCUCTdc asImismo quc: el número de ooda es k - 2mll.

EVALUAR la resplleJlfJ; Compruebe que su resultado sea mzon&·

ble. En el easo de las ondas elC(;tromagnétieas en un vado, la magn;lud del campo mab'!lético en tesla es mucho menor (por un rac!OT de 3.00 x 10') quc: la magnitud del campoclé(:trioo en .-oh por metro. Si SU respuesta sugiere 01l1l cosa, es probable que hll)'u

eometidoun error al utilizar la relación E - cH. (Más adelante ve· remos en esta sección que la relaci6n entre E y H es dIferente en el caso de ondas ela:tromagntlicas en un medIO material).

IDENTifiCAR Y PLANTEAR: las a:uacioncs(32.19) describen una onda que viaja en la dirc:cciónx ncgalj\'a con E: a lo lllgo del eje Yo esto es. una onda linealmenlc polarizada. lo lar¡o de l eje y. Por mostrar diferencias. la onda de eSle ejemplo csU liocalmente polarizada a lo laJso del eje •. En los puntos donde E tiene la dirección • positi\'II.. 8 debe IeOCf la di=ión Y po$itiva para que el producto vecIOrial E)( ii ICllga la dirección x ncgaliva (la dirección de propaga • ción). La figun32.12 mllCSllll Unl onda quc: satisface estos requisitos.

EJECUTAR: Un posible par de fullCioncs de onda que describen la onda de la figura 32.12 son

E(x. r) = fE ... , cos(b + M) ¡¡ (x. r) ., j H_ cos(kx + M)

El ~igno más de los argumenlos de la! funeiones coseno indica que la onda se propaga en la dirt("ción x ncgatiVll.. como debe ser. La ley de Faraday e~ige que E_ • eH_ [ecuación (32.18)J; por tanto,

E_ 1.5 X 1<1 V/ro B - - - ~é::-:;,c:~ - S.O X 10- 1 T

- e 3.0 x lo' mis

Para eomprobar la consistencia de las unidades. advicna que 1 V - I Wblsy 1 Wblml • 1 T.

Tenemos A = 10.6 x lrr m; asi que el númerodoe onda y la freo cuencia angular son



32.3 I Ondas electromag~ticllS sinusoidales 1227

k _ 21fJA _ (2"/T rnd)J( 10.6 x 10-6 m) - 5.93 x IW radlll1

'" .. d: _ (3.00 x lo' mJ5)(5.93 x 10' radlm)

• \.18 x IOI¿ radJs

Susmuyendo estas \..nablcs m las funciontS de onda antes citadas se obIiene

EVALUAR: Como es de esperar, la magnuudde B_ en lesla es mucho menor que la magn..!tud_dc E_ en ,"Oh p'or ~Im. Para comprobar las direcdones de E Y B, advierta que E x B lime la dlrecl:ión de i: )( j = -i. Esto es lo correcto resptClO I una onda que se propaga al la direcl:lón x nepli, ...

NlICSlras cxprniones de E (x. 1) y ¡¡ (.1", 1) no son las ¡jnicas sol\iCionC$ posibles. Siempre es posible agregar una fase 4>llosar¡¡u· mentos de la función C05Cno. con 10 que la + .." se COI1l·ertiria en la + "" + 4>. Para deiennilllrel ''alorde <b seria necesario conocer E y ¡¡ ya sea m función de .1" en un !lempo t delCnmnaoo o m fun· ción de t m una c~nada .1" dada. SlII cmbiugo. el enunciado del problema no inclu}1' esla información.

t (x. r) .. l ( 1.5 x I(fVJm) oos [( 1.78 X 101¿ radls)r

+ (5.93 x 100radfm)x]

8(x.l) '" j(~.O X 10 ) T) cos {( 1.18 X 101' radfs)/

+ (5.93 X 100radlm)x}

CO!I Citas treS ccuadones podemos hallar los campos del rayo láser en cualquier posiCión y momento en particular 5Ustituyer>do valores especifiC05 de x y l.

Ondas electromagnéticas en la materia

Hasta este punto. nuestro Ilnálisis de las ondas electromagnéticas se ha restringido a ondas en un l'ado. Pero las ondas electromagnéticas tambi~n viajan en la ma· leria; piense en la luz que viaja a través de aire, agua o vidrio. En esta subs«:ción ampliaremos nuestro análisis para abarcar las ondas electromagnéticas en mate· riales no conductores. esto es, en dieléctricos.

En un dieléctrico lo rapidez de las ondas nO es la misma que en un vacio. y la de· notamos con v en vez de c. La ley de Faraday permanece intacta, pero en la ~uación (32.4). deducida de la ley de Faraday. se sustituye la rapidez c por v. En la ley de Ampere la corriente de desplazamiento viene dada no por €o cN>¡dl. donde $ [ es el nujo de É a tTa\·6¡ de una superficie, sino por f d4l¡dl = K€fJ rN>¡dl. donde K es la constante die lécuica y fes la pennitividad del dieléctrico. (Presentamos estas magnitudes en la sección 24.4). Además, es preciso sustituir la constante #Jo de la ley de Ampere por IJ. '" K,.J.I{). donde K., es la permeabilidad relativa del dieleemeo y JJ. es su J>CIlI1Cabilidad (vtase la sección 28.8). Poresto, las ecuaciones (32.4) y (32.8) se sustituyen por

E = v8 y 8 - fJJ.vE (32.20)

Siguiendo el mismo procedimiento que en el caso de ondas en un vado, hallamos que la mpidez de onda v es

1 1 1 c ,=-- =------= --v;;. V KK", VfuJJ.g V KK", (rapidez de las ondas electromagnéticas en un dieléctrico)

(32.21 )

En casi todos los dielectricos la penneabilidad relativa Km se aproxima mucho a la uni· dad (salvo en el caso de los materiales ferro~gnéticos aislantes). Cuando K", ;! 1.

I I ,

v = vK VEuJJ.g = vK Debido a que K es siempre mayor que la unidad la rapidez v de las ondas el~tromagn~ticas en un dieléctrico siempre es menor que la mpidez e en un vacio por un factor de I /VK. La proporción de la rapidez c en un vado respecto a la rapidez ven un material se oonoce en óptica como el índice de refracción n del material. Cuando K .. ;! 1,

=- _ 11 _ V KK .. iII Vii , (32.22)



1228 CAPiTULO 321 Ondaselectromagntticas

Por regla general no podemos emplear los valores de K de la tabla 24.1 en esta ecuaci6n porque esos valores se miden con base: en campos elktricos constantes. Cuando los campos oscilan rapidamenle, normalmente no hay tiempo para que ocuna la reorientaci6n de los dipolos eléctricos que tiene lugar con los campos estables. Los valores de: K COI) campos que varian nipidamente son por lo general mucho más pequeños que los valores de la tabla. Por ejemplo, la K del agua es de 80.4 con campos estables, pero es sólo de 1.8 en el intervalo de frecuencias de la luz visible. Asi pues, la "constante" dieléctrica K es en realidad una funci6n de la frecuencia. y es llamada laJUncion die/iernea en los tratamientos más avanzados.

fWmplo J)) Ondas electromagnéticas en materiales diferentes

a) Ciena noche. dU!1nte una visita a una joyeria. usted IOstiene un diamante contra la lu! de una lámpara de alumbrado público. El ""por de sodio caliente de la lámpara emÍle luz amarilla con una frecuencia de 5.09 X lO" Hz. Halle la longitud de onda en el vacio, la rapidez de propaK8ción de las ondas en el diamante y la longitud de onda en ~l. A esta frecuencia. las propiedades del diamante IOn K: 5.84 y K", - 1.00. b) Una onda de radio con una frecuencia de 90.0 MHl (de la banda de difusión de: radio FM) pasa de un vacio a una ferrita aislante (un material ferromagnético que se utiliza en los cables de computadO!1 para eliminar la interferencia de radio). Encuenlre l. longÍlud de onda en el ,-..;10, la rapidez de propagaci6n de Las ondas en la fmita y 1, lonllirud de onda en la ferrita. A esta frecuencia. 115 propiedades de la ferrita IOn K - 10.0 Y K. .. 1000.

11.1'''3'.111 IDENTIFICAR Y PLANTEAR: En ambos casos se propon:iona la lon¡itud de onda utilizando la relación c - Jif. l.a rapidez de onda 11 está dada en temunos de c. la constante dlclktrica K y la permeabilidad relati .... K. por la«uaeión (32.21). Una ,·etconocido el ""lorde 11, aplical11O$ ti - ..I[par1 dctemunar la longitud de onda del matenal en cuestión.

EJECUTAR: a) l.a Ionilirud de onda de la luz de sodio en el ,·aeío es

C 3.00 X lo' mi • .1.__ __ - 5.89 x 1O-1 m _ 589nm f 5.09 x lO" HJ:

l.a rapideJ: de onda en el diamante es C 3.00 X lo' mis

" _ __ _ - 1.24 X 10' mis - VKK. V(5.84 )( l.oo)

Esto equi .... le aproxunadamcnte a dos quintas panes de la Illpidcz en el ,"acio.l.a lon¡itud de onda es proporcional. la IllpideJ: de onda y, por esto, se reduce por el mismo factor:

A..- _ 11- _ 1.24 X ID' mis

f 5.09 X 1010 Hz

- 2.44 X 10-1 m - 244 nm

b) Siguiendo las mismas etap15 que en el illCiso (a), hallolTl(}S que la longitud de onda de l. onda de radIO en el ,"acio l'$

C 3.00 X lo' mis .1._ --- - 3.)3m f 90.0 X 10' Hz

La rapidez de onda en la fmita es

e 3.00 X 10' mis "_ - -- - - 3.00 X lo'mls

V KK. \/(10.0)(1000)

Esto es tan sólo ell% de la rapide~ de 1.luznl un \"lICio; l5i, laloogitud de onda cqul, .. le tglIIIllTK'ntc al 1"4 de La longitud de onda en un , .. do:

11_ 3.00 X 10' mis • ,_' -- - - 3.33 X 10 ·-m - 3.33cm

f 90.0 x 10' H!

EVALUAR: l.a rapidcJ:de l. luz en materiales tlllnsparentescomo el diamante fluctúa típicamente entre c y algunos puntos potttntuales de c. Como lo indica nuestro rcsult.ado del incilO (b), la rapide~ de las ondas electromagnéticas en materiales densos como la ferrit.a puede ser mucho menor que en el \"lIcio.

Una onda electromagnctica sinusoida~ viaLa en la dirección l negativa. ¿Cuáles son las posibles funciones de onda de E y B si la onda eSlá linealmente polarizada en la dirección:r?

32.4 I Energla y cantidad de movimiento de las ondas electromagnéticas

Es un hecho muy conocido que hay ener¡ía asociada con las ondas electromagnéticas; piénsese en la energía de la radiación solar. Las aplicaciones prácticas de las ondas electromagnéticas, como los hornos de microondas, los lranm"lisores de ra-



32.4 I Energía y cantidad de movimiento de las ondas electromagm!ticu

dio y los liscres para cirugía ocular, utilizan la energía que estas ondas transportan. Para comprender cómo se utiliza esta energ ía. resulta útil deducir relaciones pormenorizadas de la energía de una onda electromagnética.

Tomaremos como punto de partida las expresiones deducidas en las secciones 24.3 y 30.3 de las densidades de energía en campos eléctricos y magnéticos; le sugerimos repasar ahora esas deducciones. Las ecuaciones 24.11 y 30.~O m!lestran que, en una región de espacio vacio donde están ~tes campos E y 8 , la densidad de energla total u esta dada por

1 1 1 , u - - foE + - 8- (32.23)

2 2", donde to y 1-4¡ son, respectivamente, la permitividad y la permeabilidad del espacio libre. En el caso de las ondas electromagnéticas en un vacio. la relación entre las magnitudes de E y B es

(32.24)

Combinando las ecuaciones (32.23) y (32.24), podemos expresar también la densidad de energía t/ de una onda elec tromagnética simple en un vacio como

1 l. r-u = - roEl + - ( V EoJ-I-oE P = E:OEI

2 2J..1.o (32.25)

Esto demuestra que, en un vacio, la densidad de energía asociada con el campo E en nuestra onda simple es igual a la densidad de energía del campo 8. En general, la magnitud del campo eléctrico E es función de la posición y del tiempo, como en el caso de la onda sinusoidal descrita por las ecuaciones (32.16); en estos tér· minos, la densidad de energía u de una onda electromagllética, dada por la ecua· ción (32.25), también depende en general de la posición y del tiempo.

Flujo de energla electromagnética y el vector de Poynting Las ondas electromagnéticas como las que hemos descrito son ondas I'iajeros que transportan energía de una región a otra. Por ejemplo, en la onda descrita en la seco ción 32.2 los campos E y B avanzan con el tiempo hacia regiones donde original· mente no habra campos, y llevan consigo la densidad de energía u a medida que avanzan. Podemos describir esta transferencia de energía en términos de la enero gla transferida por unidad de tiempo y por unidad de área de sección trallSl·ersal. o poleneia por unidad de área, rtspecto a un area perpendicular a la dirección de recorrido de la onda.

Para ver la rtlación entre el flujo de energía y los campos, considcrt un plano estacionario, perpendicular al eje de las x, que coincide con el frente de onda en un momentO determinado. En un tiempo dI después de esto. el fren te de onda avanza una distancia dr z e dI hacia la derecha del plano. Si consideramos un areo A sobre este plano estacionario (Fig. 32.13), advertimos que la energía del espa· cio a la derecha de esta Mca debió haber pasado a traves del area para llcgar a la nueva ubicación. El volumen dV de la región en cuestión es el producto del área de la base A por la longitud e dI, y la energía dU de esta región es el producto de la densidad de energia 11 por este volumen.

dU:udV= (EoE1)(Acdt)

Esta energía pasa a traves del area ti en el tiempo di. El flujo de energía por uni· dad de tiempo y por unidad de area, al que llamaremos S, es

1 dU , S - - - '"" floeEA d,

(en un \1lcío) (32.26)

1229

,

• o , ,

• Frente ele onda C1l d tiempo dI IlO6Io!rior

32.13 Frente de onda en un tiempo dI después de Itraves-ar el pilIlO cstaciooaTÍo de irea ti. El vtI1umcn comprendido entre el plano y el fmue de onda contiene una can· tidad de energí. eleclTOlTllptica rute dI.



1230

32.14 Estos paneles solares de 1«00 están inclinados de modo que mj~n de cara al 501, estO es, de cara al vector de Poynting de las ondas electromagnéticas provenientes del Sol, a fin de que absorban la máxima cantidad de energia ondulatoria.

CAPfTULO 32 I OndaseJectroma~lica$

A panirde las ecuaciones (32.1 5) y (32.25) podemos deducir las formas equivalentes

EO , r;;, EB S = V E.oJ.4¡ E - = V;:/' = /lo(¡ (en un vacío) (32.27)

Se deja como problema la deducción de la ecuación (32.27) a panir de la ecuación (32.26) (véase el ejercicio 32.23). Las unidades de S son de energía por unidad de tiempo y por unidad de área. o de poleTlcia por unidad de área. La unidad SI de S eslJ,s om!oJW/ml .

Podemos definir una cantidad lu/orial que describe tanto la magnitud como la dirección de la rapidez de flujo de energía:

_ 1 _ _

S = - E x B

'" (vector de Poynting en un vacío) (32.28)

El vector oS re<:ibe el nombre de "cetor de Poynl lng; fue introducido por el f1sico británico 10hn Poynting (1852-191 4). Su dirección coincide con la de propagación de la onda (Fig. 32.14). Puesto que E y.8 son perpendiculares, la magnitud de S es S = E8/J.4¡; de acuerdoeon las ecuaciones (32.26) y (32.27), éste es el flujo de energra por unidad de área y por unidad de tiempo a través de un área de sección transversal perpendicular a la dirección de propagación. El flujo total de energia por unidad de tiempo (potencia. P) hacia afuera de cualquier superficie cerrada es la integl'31 de S sobre la superficie:

P - f S'dA En el caso de las ondas sinusoidales estudiadas en la sección 32.3. asi como en

el de otras ondas más complejas, los campos eléctricos y magnéticos en un punto cualquiera varian con el tiempo, por lo que el ve<:tor ele Poynting también es función del tiempo. Ya que las frecuencias de las ondas electromagnéticas típicas son muy altas, la variación del \'cctor de Poynting con el tiempo es tan n'lpida que lo más apropiado es examinar su valor promedio. La magnitud del valor promedio de S en un punto se conoce como la intensidad de la radiación en ese punto. La unidad de intensidad es la misma que la de 5: I W/m1 (\\'1In por metro cuadrado).

Veamos cuál es la intensidad de la onda sinusoidal que describen las ecuaciones (32.17). Primero sustituimos E y B cn la ecuación (32.28):

- 1 - -S exo t ) = - E(x, t) )( B(x. t )

'" 1 ' = -[jEm,cos{kx - wt)] )( [kBm,cos(kx - w/) ] '" . El producto vectorial de los vectores uni tarios j )( k = ¡ y cosl(kx - wt) nunca es negativo, por lo que S (x, t) sicmpre apunta en la dirección x positiva (la dirección dc propagación de la onda). La componente.t del veclpr de Poynting es

( ) E"",B""" ,( ) EmMB.,., [ ( )1 5x x./ - cos- kx - úJI "" 1 +c052 kx -wt '" 2",

El valor promedio en el tiempo de cos 2(n - wr) es ccro porque, cn cualquier punto, es posiú\'o durante medio ciclo y negativo durante la otra mitad. Por tanto, el \'11-

lor promedio del vector de Poynting en un ciclo completo es S"""" - i5_, donde

E_B_ S_ = 2P-G



32.4 I Enn"gía) cantidad de movimiento de las ondas electroma¡néticas

es dt(:ir. la magnitud del valor promedio de S en el caso de una onda sinusoidal (la intensidad 1 de la onda) es 112 del valor máximo. Con base en las relaciones E_ = 8"",e y ~ - 1I¿, podemos expresar la intensidad en varias formas equivalentes:

E .... 8mJ.' EmJ.J.l I ¡;; 1 1 = S_ = 2¡..t.o - 21J.oC = iv ;;,Em~/ = "2f.oCE"",l (32.29)

(intensidad de una onda sinusoidal en el vacio)

Lo invitamos a verificar que todas estas expresiones son equivalentes. En el caso de una onda que viaja en la di rección -x, representada por \as ecuacio

nes (32.19). el \ 'ector de Poynting tieoc la dirección -x m todos los puntos, pero su magnitud es la misma que en el caso de una onda que viaja en la dirección +x. Le dejamos a usted la verificaci6n de estas ase."craciones (véase el ejercicio 32.20).

6l:lllúOO[dl En cualquier puntor, la magnitud del vector de Poyntlng varra con el tiempo. En conr.ecuencla, la rapidez instant,jnea con la que llega a una super· ficie la energ!a electromagnética de una onda plana sinu~oidal no es constante. Esto pareceria contradecir la experiencia ord inaria; la luz solar, un IQ(o o ellá· ser de un lector de una caja del supermercado. pare<e estable y de intensidad invariable. De hecho, el vector de Poynting de estas fuentes vada en el tiempo, pero la variadón no es perceptible po!" ser tan grande la frecuencia de oscila· ción (alrededor de 5 x lO" Hz en el caso de la luz visible). Lo lmico que percibi· mos es la rapidez pro~d¡o con la que llega energ!a alojo, y es por ello que comúnmente empleamos la Intensidad (el valor promedio de ~ para de!K1ibir el vigor de la radiac.i6n electromagnética.

En lodo este análisis hemos considerado sólo ondas electromagneticas que se propagan en un vacío. De cualquier modo, si las ondas viajan en un mcdio dielectrico es necesario modificar las expresiones de la densidad de energia (ecuación (32.23)]. el vector dc Poynting [ecuación 32.28)] y la intensidad de una onda sinusoidal [e<:uaci6n (32.29)]. Resulta que las modificaciones que se requieren son muy simples: basta con susti tuir ta por la pennitividad t: del dieléctrico, l.J.o por la penneabilidad 1L del dieléctrico, y e por la rapidez (1 de las ondas clectromagneti. cas en el dieléctrico. Sorprende'ntemente, las densidades de energ(a de los campos E y B son iguales incluso en un dieléctrico.

¡limpio JIJ Energia de una onda no sinusoidal

Con rcsp«to a la onda !lO sinusoidal descrita etl la se«ión 32.2, supon¡pl que E - ]OOVfm " 100 N/C. Encuetlt~ el valor de B.la den,idad de energia y la mpidez de nujo de enelllia por unidad de área S.

IDENTIFICAR Y PLANTEAR: En la onda de$Crita en la sección 32.2. 105 campos eléctrico y magnñieo IIOn unirormes detrás del frente de onda. Dado el \-alorde la ma¡nilUd E.la magnitud deB se calcula mediante la ecuación (32.4). la detl5idad de energía u, con base en la ecuación (J2.2S). 'J 1& rapidez de nujo de ener¡ia por uni· dad de área S. a panu de: la ecuacl6n (32.27). (AdvitrtIISC que no se puede uti lizar la eeuac:ión (32.29), que sólo es ap[icable a [as ondas sinusoidales).

EJECUTAR: De acuerdo con la ecuación (32.4).

E 100 V/m 8- - - -3.33xlO-' T

e 3.00 X ](1 mis

Se8un la ecllllCión (32.25).

u _ foEl - (8.85 X 10- 11 <:l1N· m1)( 100 N/CF

_ 8.S5 x 10- 1 N/mI = 8.SS x lO-111m'

La ma¡nitud del veclor de Po)"IIting es

EH ([OOV/m )( 3.33 x lO-' T) s-- -J.'{j .hr x lO- ' T' mlA

- 26.3 V'Alml - 26.3 W/m l

1231



r

1232 e ... p f TUL o 32 I Ondas c:leclrOmagntlic.s

EVALUAR; Podemos comprobar nUe$tro n:sultado de S aplicando OIra fórnluJa de la ecuación (32.26):

S _ ,.,cEI

_ {8.8S x W-'¡C:/N-ml )(3.00 x lo'm1J)(IOONfC)l

= 26.5 W/rn l

Dado que: i: '1 iJ ricnm los mismos valores en lodos los punlOS detni.s del ~nle de onda. de modo análogo la densidad de cncr¡i. u y la magllitud del vector de Poynlm¡ S limen el mislI'I(I valor en ~ la ~ón detrás del fmue de onda. Dcl11ll1e dd frente de onda. E .. O Y B .. O y. ponamo. 11 .. O Y S .. O: donde no hay campos, no hay rncTKi. de campo.

EJPmplo

," Energia de una onda sinusoidal

Cierta esw:ión de nidIO situada en l. superficie t=ln: irradia una onda sinusoidal con un. poleocia IOlal promedio de 50 kW (Fig. 32.15). Suponiendo que cl11l1nsmisor imdia por igual en todas di· recciones arriba del sucio (poco probable en ,illlaciones n:alcs), propo~ionc las amplitudes E .... , y B_ que detecta un satélite a una distancia de 100 km de la antena.

IDENTIFICAR: Se trala de un. onda sinusoidal: por mnlO, se aplica la iaca Oc que la ;nlen$idnó es i"val. l. ma¡¡nitud <k\ ",.\0< p!'Qm~· dio del vector de Poyntin". No conocemos el \'11lor de la inlensidad, pero si la potencia 10lal promedio del Iransmi!lOr. Aplicaremos la idea de que II intensidad es equi",.1cnle a la poIencia promedio p¡;>r unidad de á~a.

PLANTEAR: La rigunJ2.15 muestra un hemisfcriode lOOkmdcradiO cenlrado en el tnlllSmlilOf. Se divide 11 polencia promedio del n-ansmisorCTIlrt el mi wlal de este hemisferio para hallar la intensidad /1 esta dislanCia dcllnlnsmlsor. Después se: aphca la ecua-

, tOO~m

Tnm mi .......

32.15 Una estación de Tlldio il1lldia ondas hacia el inlerior del hemisferio que se muestra.

ción (32.29) pal1l dctrnnillllT la maSnilud del campo eléclrico y la ecuación (32.4) pan. encontn1T la magnitud del campo tnagnC1ico.

EJECUTAR: El án'a de la superficie de un hemisferio de radio r -

100 km - 1.00 X 101 m es

" .. 271'Rl _ 271' ( UIO X lOS m) l _ 6,28 X 1010 rnl

Toda la potencia il1lldiada pasa a ln1vés de esta superficie: dc tal manera que la potencia promedio por unidad de área (es decir. la intl1cnoKbd) «

P P 5.00 X lo'W , , - - - -- - -7.96X IO-TWlm-

A 271'~ 6.28 X 10'° mI

De acuerdo con las ecuaciones (32.29), /- S- - E_InJI.4C; por =. E_ '" 'hl'fj:S-= '12(4:1" X W-7T' mlA)(J.OO X 10' mls)(1.96 X 10 ·7 W/ml)

- 2.45 X 10-: V/m

SegUn la ecuación (32.4).

B _ _ E-. _ 8.17 X 10- 11 T , EVALUAR: [)ése ClIcnla que la magnitud de é_ es comparable a la de los campos que se 005crvln comunmcnte en el labonllorio. pero B .... es c:<.tremadamente pequeila en companc1ón con los campos B que vimos en capitulas anteriores. Por esta I'lUÓn. casi lOOOS los detectores de radiación electromagnética responden al cfe<:to del campo eléctrico. no del campo magnetko. Las antenilS de radio de espira son una ClIcepción.

Flujo de cantidad de movimiento electromagnética y presión de radiación

A partir de la observación de que se requiere energía para eSlablecer eampos e!&:tricos y magnéticos. hemos demostrado que las ondas electromagnéticas tmnsponan encrgia. Además se puede demostrar que las ondas clectromaglltticas transpOrtan una cantidad de movimiento p, con una densidad de cantidad de movimiento correspondiente: (cantidad de movimiento dp por \'aJumen dYJ de magnirud

dp EB S dV='~='t? (32.30)



32.4 I Ener¡ía y cantidad de movimiento de las ondas electromagnéticas

Esta cantidad de: movimiento es una propiedad del campo: no está asociada oon la masa de una panícula en movimiento en el sentido habitual.

Existe además una rapidez de flujo de cantidad de movimiento correspondienle. El volumen dJl ocupado por una onda electromagnélica (rapidez e) que pasa a través de un área A en un tiempo dI es dJl = Ae dI. Cuando se sustituye esto en la ecuación (32.30) y se reordena, se encuentra que la rapidez de flujo de cantidad de movimiento por unidad de área es

Idp S EB -- - - - - (rapidez de flujo de cantidad de movimiento) (32.31) A di e JJ.ol:

Esto representa la cantidad de movimiento que se transfiere por unidad de área y por unidad de tiempo. Se obtiene la rapidez promedio de transferencia de cantidad de movimiento por unidad de área Sustituyendo S por S_ = 1 en la ecuación (32.31).

A esta canticlad de movimiento se debe el fenómeno de la presión de radiación. Cuando uno onda electromagnética es absorbicla en su totalidad por lIna slIperficie, también se transfielll a ésta la cantidad de movimiento de la onda. Para simplificar consideraremos una superficie perpendicular a la dirección de propagación. Con base en las ideos expuestas en la sección 8.1, vemos que la rapidez dpldt oon la que se transfiere cantidad de movimiento a la superficie absorbente es igual a lajiter:a ejercida sobre la superficie. La fuerza promedio por unidad de área debida a 10 onda, o presión de radioción P ..... es el cociente del valor promedio de dpld/ entre el área absorbente A. (Utilizamos el sublndice "rad" para distinguir la presión de la cantidad de movimiento, que también se representa mediante el símbolo p). De acuerdo con la ecuación (32.31), la presión de rndiación es

p...J - S _ _ L (presión de radiación, abson;ión tOlal de la onda) , , (32.32)

Si la onda se reneja en Sll totalidad, el cambio de cantidad de movimiento es dos veces más grande, y la presión es

p _ _ 25 __ 2/ (presión de radiación, reflexión total de la onda) (32.33) , , Por ejemplo, el valor de 1(0 S-' correspondiente a la luz solar directa. antes de atravesar la atmósfera terrestre, es de aproximadamente 1.4 kW/ml. De acuerdo con la ecuación (32.32) la presión promedio correspondiente sobre una superficie totalmente absorbente es

I ,1~.4~X:::-l~O~'i-W=I.,m,-' lI,tiJ - -, - - 4.7 x 3.0 x lOS mis

Segun la ecuación (32.33), la presión promedio sobre una superficie totalmente rejlejol1/e es el doble de esto; 2/le o 9.4 x 10-6 Pa, Estas presiones son muy pequeñas, del orden de 10. 10 aun, pero se pueden medir con instrumemos sensibles.

La presión de radiación de la luz solar es mucho mayor en el inten'or del Sol que en la Tierra (véase el problema 32.41). Adentro de las estrellas de masa mucho mayor que la del Sol y más luminosas que éste, la presión de radiación es tan grande que aumenta considerablemente la presión gaseosa en el interior de la estrella y de eSle modo contribuye a evitar que la estrella se colapse bajo el efecto de su propia gravedad. En cienos casos la presión de radiación proyecla efectivamente una pane del material de la estrella hacia el espacio (Fig. 32.16).

1233

32.16 De tiempo en tiempo, la brillamez de la estrella fuera de lo común que aparece en et centro de esta imagen sufre un aumento espectacular. Cuando estO sucede, ta presión de radiación en la superficie de la estrella se intensifica, tal grado, que una parte de las capas externas es ellópul!iBda al espacio. Una lTaeción de este mIIlo:rial ellópulsado se observa como mane,," incande$CCntes.lmkdor de 1, estrella.



1234 C~l'fT ULO 32 I OndaseleclrOmag~licas

Potencia y presión de la luz solar

Un satélite en órbita a1mtedor de la Tima ucnc panrks recolectOleS de encrgÍllsolar aJII un irea wuJ de 4.0 ml (Fi¡. 32. 11). Si la radiación del Sol es perpendICUlar a los paneles y se absorbe totalmente, halle 1, potcneia solar promedio absorbida y la fu.c:rza promedio ~iada con la presión de radiación.

,i.l!i!3!mJ IDENTIFICAR Y PLANTEAR: En elanAtisis pr«edente calculamos la intCfl$idad I (potencia por unidad de 'real de la luz solar y también la presión de radiación P ... (fuerza por unidad de área) de la lUl: solar sobre una superficie absorbente. (Calculamos estos \'0110-

res con respecto a punlos situados mlÍS allá de la atmósfera. donde el satélite gira en olblta). Multiplicando cada valor por el area de los paneles solare!i se obticlle la potencia promedio absolbida y la fuerza neta de la radiación sobre los paneles.

32.11 Paneles solares de un sat~lite.

EJECUTAR: La intensidad l(po1cocia por unidad de área) es de 1.4 x ¡ol W/ml, Aunque 111 hu: pnwenientc del Sol no es una onda sinusoidal simple. podemos aplicar no obstante la relllCión según la cual la potcrlCia promedio P es el producto de la intensidad I por el árcaA:

P _ lA _ (1.4 )( ¡ol W/ml )( 4.0 ml)

- !l.6 )( ¡ol W - !l.6Ir:W

La presión de radiación de 1, luz solar sobre una superficie ab-50Ibcnle es p ... _ 4.7 x 10" Pa - 4.7 )( 10 ' Nlml . La fuerza \O

tal F es el producto de la presiónp ... por el &rel A:

EVALUAR: La potencia absolbida es considerable. Una pane de ella puede servir para alimentar los equipos a bordo del satélite: el resto calienta 105 ~les, ya sea dirtCtlmente o debido a ineficien_ cias de las fotoceldas presentes C11 los paneles.

La fuelZltotal de la radiación es comparable al peso (en la Tiemi) de un grllno ck sal. De cualquier modo. t;Of1 el liempo esta pequeña fuerza puede tener un .reclo .preciable en l. órbita de un sattlile c:omo el de la figura 31.21. por lo que es ncc:cnrio tener en cuenta la presión de radIación.

La figura 32.10 muestra una longitud de onda de una onda electromagnética sinusoidal en el tiempo I = O. ¿En qué valores de x entttx = O Y x = A alcanza un máximo la densidad de energia? ¿En que \'alores alcanza un mínimo? ¿En qué valores de x alcanza un máximo la magnitud instantánea (no promedio) del vector de Poynting? ¿En qué valores alcanza un mínimo?

32.5 I Ondas electromagnéticas estacionarias

Las ondas electromagnéticas se pueden refleja,.; la superficie de un conduclor (como una lámina metálica pulida) o de un dielectrico (como una hoja de vidrio) puede servir como reflector. El principio de sobreposición es aplicable a las ondas electromagnéticas del mismo modo que lo es a los campos el&tricos y magnéticos. La sobreposición de una onda incidente y una onda reflejada fonna una onda estacionaria . La situación es análoga a las ondas estacionarias en una cuerda estirada, que se estudiaron en la sección 15.7; es convenienle repasar ese análisis.

Suponga que se coloca una lámina de un conductor perfecto (resist ividad cero) en el plano yz de la figuro 32.18, Y que incide en ella una onda elcctromllgnética linealmente polarizada que viaja en la dirección x negativa. Como explicamos en

? la sección 23.4, E no puede tener una componente paraleia a la sueerficie de un condUCtor perfecto. En consecuencia, en la situación que nos ocupa E dcbe ser cero en todas partes del plano yz, El campo elecmco de la onda electromagnética ;/1-cidellle no es cero en todo momento en el plano p. Pero esla onda incidente



32.5 J Ondas c:leclJ"OIlIagntticas e5tocionarias

, planollltinodal de E. plano nodaI de ii

,, - .l.: pIaDo DOdaI de i

iUllinodal de j

induce corrienles oscilantes en la superficie del conductor. y estas corrientes dan origen !I un campo eléctrico adicional. El campo eléctrico nelo, que es la suma vectorial de este campo y del E incidente, es cero en lodas partes, lanto en el in terior corno en la superficie de l conductor.

Las corrientes inducidas en la superficie del conduclOr producen también una onda reflejada que viaja del plano hacia afuera en la dirección +x. Suponga que la onda incidente queda descrita por las funciones de onda de las ecuaciones (32.19) (una onda sinusoidal que viaja en la dirección - x) y la onda reflejada mediante el negativo de las ecuaciones (32. 16) (una onda sinusoidal que viaja en la dirección +x). Tomamos elnegotil>o de la onda dada por las ecuaciones (32. 16) tal que los campos eléctricos incidente y reflcjado se cancelen en x - O (el plano del conductor, donde el campo eléctrico total debe ser cero). El principio de sobreposición establece que el campo E total en cualquier punto es la suma vectorial de los campos E de las ondas incidente y reflejada, y de modo análogo respecto al campo 8 . Por consiguiente. las funciones de onda correspondieoles a la sobreposición de las dos ondas son

E,(x, /) - E_(cos(k., + wt ) - cos (kx - WI) ]

B:(x, t ) = B .... [- cos (kx + M) - cos(kx - wt )]

Podernos expandir y simplificar estas expresiones con ayuda de las identidades

cos CA == B) " cosA cos B =+= senAsellB

Los resultados son

E, (X.I ) = -2E ...... sen kxsenwt

B:(x.l) - - 2BlllÚcoskxcoswt

(32.34)

(32.35)

La ecuación (32.34) es análoga a la ecuación (15.28) referente a una cuerda esti· rada. Vemos que enx - ° el campo eléctrico E/x = 0, t)siempre es cero; eSlo lo exi· ge la naturaleza del conductor ideal. el cual desempeña el mismo papel que el punto fijo en el extremo de una cuerda. Además. EJ(x, t) es cero en todo momento en los puntos de aquellos planos perpendiculares al eje de las x en los cuales sen kx - O; es decir, .b" - O. 11", 211" • .... Puesto que k - 211"1>.., las posiciones de estos planos son

A 3A x -O'"2' >"'""2' . .. (planos nodales de E) (32.36 )

Estos planos se conocen como los planos nodales del campo E; son el equi\'8.lenlC de los nodos, o puntos nodales, de una onda est¡¡ÓOnarla en una cuerda. A modio camino

1235

32.11 Representación de Jos eampos eléctricos 'J magnttÍCOl de una oocb electromagntrica ewcionaria li~a!JMnte polarizada cuando WI • 3m'4 rad. En cual. qUICT plano perpcndicuJar .1 eje .:r. E ~ lTÚ.Xinuo (aminoGo) donde B C$ a.ro (nodo). y viceversa. Conforme 1B1I5Curre el tiem· po. l. distribución 110 se II1I5lada aJo ~o del eje,,; en cambio. los v«tOf"e$ E y B simplemente 05Cilan en todos los puntos.



1236

32.19 Un horno de microondas ~Iabl ecc una onda cleclromag~lica cSIK ionana con A ,. 12.2 cm. una longitud de onda que el agua de los alimentos absorbe Lntensamente. Doebido a que Ja onda llene nodos a intervalos de AI2 - 6.1 cm. es necesario hacer gll'lIl' los alimentos mientras se cocinan. [le, 10 conrrario. las partes que tstAn en un nodo. doodc la amplitud del campo détuico es cero, pamanecnian frias.

CAPI TULO 32 I OndasclectromagrH!licH

en~ dos planos nodales adyaceruescualesquiera hay un plaooen el que sen kx '" :!: 1; en lodos los planos con esta carnctenslica. la magnitud de E(x. 1) alcanza el valor máximo posible de lE.,. dos veces en cada ciclo de oscilaciófl. 8;105 son los pl.anos antlnodall'! de E. com::spondicolcs a los antinodos de las ondas en una cuerda.

El campo magnético lotal es cero en todo momento en los puntos de los planos en los que toS la = O. Esto ocurre donde

A3AS..\. -.1 = ¡. ""4' ""4' ... (planos nodales dt B) (32.37)

Éstos son los planos nodalcs del campo 8; hay un plano antinodal de jj a medio camino entre dos planos nodales adyacentes cualesquiera.

La figura 32.18 muestra un patrón de onda eSlacionaria en un instante determi· nado. El campo magnético no es cero en la superficie conductora (x = O), Y no hay ra;cón por la que debiera serlo. UlS corrientes superficiales que deben estar pre· scntes para que E sea exactamente cero en la superficie originan campos magnéticos en la superfi cie. Entre los planos nodales de cada campo hay una separación de media longitud de onda. Los planos nodales de un campo estlÍn a medio camino entre los del otro; por tanlO, los nodos de E coinciden con los an tinodos de B. y viceversa. Compárese esta situación con la distinción entre nodos de presión y nodos de desplazamiento en la sección 16.4.

El campo electrico total es una función sello de t. y el campo magnetico total es una función coseno de /. En consecuencia, las variaciones sinusoidales de los dos campos estM 90" fuera de fase en cada punto. En los momentos el1 quc sen wt - 0, el campo el&:trico es cero en todas partes y el campo magnético es máximo. Cuan· do C05 wt = 0, el campo magnético es cero en todas panes y el campo eléctrico es máximo. Esto contraSta con lo que ocurre en una onda que viaja en una dirección, como lo descnben las ecuaciones (32.16) o (32.19) por separado, en la cual las ""naciones sinusoidales de E y B en cualquier punlo en particular están enfose. Es interesante comprobar que las ecuaciones (32.34) y (32.35) satisfacen la ecuación de onda [ecuación 32.15). También satisfacen las ecuaciones (32.12) y (32. 14) (los equivalentes de las leyes de Famday y de Ampere); dcjamos las pruebas de estos enunciados como problemas.

Prosiguiendo con la analogía de la cuerda estirada. ahora podemos insertar un segundo plano conduelOr, paralelo al primero y a una distancia L de él, a lo largo del eje x. Esto es análogo a una cuerda estirada sujeta en los puntOS.f - O Y x ". L. Ambos planos conductores deben ser planos nodales de E: sólo puede existi r una onda estacionaria cuando el segundo plano se encuentro en una de las posiciones donde E(x, t) = O. Es decir, para que exista una onda cstacionaria, L debe ser un multiplo entero de M2 . Las longitudes de onda que satis facen esta condición son

2L A. = - (11 = 1. 2. 3 .... ) (32.38)

" Las frecuenci as correspondientes son

, , [,,= A. = 1I 2L (11=1,2.3 .... ) (32.39)

De este modo, existe un conjunto de mados l/orilla/es. cada uno con una frecuencia, forma de onda y distribución nocIal caracteristicas (f ig. 32.19). Midiendo las posiciones nodales podemos medi r la longitud de onda. Si se conoce la frecuencia, se puede calcular la rapidez de onda. Esta técnica fue utiliwda por primero \'CZ por Hertz en la década de 1880 a 1890. en sus investigaciones pioneras sobre las ondas elernumagnericas.



32.S I Ondas eleclTOmagn~icas eSUI(:;ooarias 1237

Un láser tiene dos espejos; se establ«e una onda estacionaria en la cavidad comprendida entre los espejos. Uno de estos tiene una pequeña abertura. parcIalmente transmisora. que permite que las ondas escapen por este extremo del láser.

Las superficies conductoras no son las únicas que reflejan las ondas el«lromagniticas. También se producen reflexiones en una inteñ8.l entre dos materiales aislantes con difmntes propiedades dieléctricas o magnélicas. El análogo m«á· nico es la unión de dos cuerdas con la misma tensión pero diferente densidad de masa lineal. En general. una onda que incide sobre una superficie limítrofe de esta naturaleza se transmite en pane al segundo material y en pane se refleja de re· greso hacia el primero. Por ejemplo. la luz se transmite a través de una ventana de vidrio. pero las superficies de kra también reflejan la luz.

EJPmpln JI, Intensidad de una onda estacionaria

Calcule la intensidad de La onda estaCiollllna analizada en esta sección.

IDENTIFICAR Y PLANTEAR: La intensidad f de la onda es el valor promedio S¡... de la magnitud del vector de Poynting. Primero debemo$ hallar el Y1Ilor instanulnco del 'tttar de Poynting. yen se-luida promediarlo respecto a un numero entero de ciclos de la onda pan! determinar l.

EJECUTAR; Utilizando 115 fundones de onda de la$ ecuaciones

(32.34) y (32.35) en la txplniÓn del "ector de I'oynting S.[ecuaci6n (32.28)J. encontrarnoli que

S( .... I) .. .!..i ( .... ,) x B(x. l ) ... I -

'" -(-2jE_ sen b COS (AIl ] x [-2kB_ cos lr sen OJI] ... . E_B~ (

'" I (2senhcosh) 2sen ..... cos ..... ) ... .. ;S,(X.I)

Con base en la identidad sen 2A - 2 sen A COI A. podem05 rerormular S,(x. 1) como

.E!_"B:_",-:~""C':'C'C~:':":'~:: S,(X.I) ---".

El "1I1ar promedIO de Ullll función lleno ~spe<:,o. cualquier n~' ro entero de ciclos es cero. Por esto, el promedio de S respeelO al líempo en ('U(Jlquier pUMa es cero: 1- S..- - O.

EVALUAR: E5to es uacunneme lo que debemos espem. Formamos nuestl1l 0IlIb estaCionaria sobreponiendo dos ondas de 1 ... misma frecuencia y amplitud que \'iajan en dirceeionesopuestas. Toda la ellCl""Bía que una de In OlIdas trIlIlsfie~ es cancelada en su totali. dad por una cantidad Igual transfemb en dirección opuesta por la otra onda. Cuando se utilizan ondas pan! transrnitirpotencia. es imponantc evitar ~flcxiones queden ongen D ondas estaciou.aria5 .

Ondas estacionarias en una cavidad

Se establecen ondas electromagn~ieas estacionarias en una cavi· dad con dos paredes paralelas altamente conductOl1ls. separadas por unn distancia de I .SO cm. a) Calcule la longitud de ooda más lar¡a y la frecuencia mAs baja de las ondas ekCfTomagn~!Íca..s esta· cionarias entre las paredes. b) Con esta onda estacionaria de longitud de onda más lar¡¡a. ¿en qué parte de la cavidad alcanza E su magnitud máxima? ¿Dónde es cero b ¿Dónde alcanza Ii su magnitud máxima? ¿Dónde es cero ñ?

IDENTIFICAR Y PLANTEAR: La longitud de onda más larga y la rrecuencia mAs baja po5ibles cornsponden .1 modo" - I de liS ecuaciones (32.38) y (32.39). CaD estaS ecuaciones podemos hallar

105 valores de Á 'JI A continuación. 1115 ecuaciones (32.36) y (32.37) nos indican In ubicación de los planos nooalcs de i y B: los planos Wltinodales de cada campo esuln a medio camino entJc los planos noda les adyacentes.

EJECUTAR: De acucrdo con l. ecuación (32.28). La longitud de oHdadc,, -ICli

ÁI" 2L " 2 (J.~cm) - 3.00 cm

la ecuaciÓn (32.29). con n-l. proporciona la rrecuencia corres· pondiente:

e 3.00 x 10" mfl ¡, ___ ( , )_ I.00XIOIO Ht=IOGHZ 2L 2 l.~)( 10- m



, I ¡

1238 CA .. /TUI.O 32 I QndaselecU"OrnagnélÍcas

b) COfl n - I hay UIII $Ola media 1000gllud de onda enttt las~des. El campo eltarico tiene planos nodales (E - O) en las ~ y un plano llntlllooal (donde se presenta la magnitud máxima de i:) equidistante de ambu. El .. ampo magnético tiene planos unlil!Odolu en las ~ y un plano nocIal equidistante de ambas.

EVALUAR: Una aplicación de las ondas estacionarias de este tipo es la genent(:ión de un campo E: OSI:ilame de fre<:ueocLa dcfinida. el cual. a su vez. se utili¡:a pa .... explorar el componamiento de una m~S01L pequdta de material colocada en el mu:rinr de II Cll\luSad. Pan .someICT la muest .... al campo mAs inten50 po$ible. se debe colocar la rnuestta cerca del =ltro de l' cavidad en el anlinndo de E.

En la onda estacionaria descrita en el ejemplo 32.7, ¿existe algún punto donde la densidad de energía sea cero en todo momento? De ser asi, ¿dónde? En caso contrario. ¿por que?

32.6 I El espectro electromagnético Las ondas electromagnéticas abarcan un espectro extremadamente amplio de longitud de onda y frecuencia. Este espectro declromagnélleo comprende la transmisión de radio y televisión. la luz visible, la radiación inffllTTOja y ultravioleta, los rayos X y los rayos gamma. Se han detectado ondas electromagnéticas con frecuencias desde al menos 1 hasta 1(j2-I Hz; la parte del espectro que encontramos más comúnmente es la que se muestra en la figura 32.20, en la cual se indican los intervalos aproxi1l1ll00s de longitud de onda y frecuencia de los diversos segmentos. Pese a las enormes di· ferencias en cuanto a sus usos y medios de generación, lodos son ondas electromagnéticas con las características generales que se han deserito en las secciones precedentes, entre ellas la rapidez de propagación (en el VIldo) e - 299,792,458 mis. Las ondas electromagnéticas pueden direrir en tbmioos de frecuencia/y longitud de onda A, pero la relación e = Al en el \'aCío se cumple en todos los casos.

Por medio de nuestro sentido de la vista podemos detectar directamente 5610 un segmento muy pequeño de este espectro. Llamamos a este intervalo luz vis ible. Sus longi tudes de onda fluctúan entre 400 y 700 nm (400 y 700 x 10""'m), con frecuencias correspondientes de aproximadamente 750 a 430 THz (7.5 a 4.3 x 10t. Hz). Las diferentes parles del espectro visible evocan en los sem humanos las

Longitudes de onda en m

32.20 Espectro el«trOmagnnico. Las rreeuencias y longitudC$ de onda presentes en la nat\lraleza aban;an un intervalo tan gnmde que es necesario emplear 1In1 escala logaritmi· c-. para mostrar tadas las bandas importantC$. Los limites entre las bandas son arbitrllrios en cierta medida.



32.6 I El espe<:tro electrt)lTlag~tico

sensaciones de distintos colores. En la tabla 32.1 se presentan (de forma muy apro:<imada) las longitudes de onda de los colores del espectro visible.

La luz blanca ordinaria incluye todas las longitudes de onda visibles. Sin embargo. mediante el U50 de fuentes o filtros especiales podemos seleccionar una banda estrecha de longitudes de onda dentro de un intervalo de unos pocos nm. Esta luz es aproximadamente monocromatica (de: un solo color). La luz absolutamente: moIlOCromática con una sola longitud de onda es una idealización imposible de lograr. Cuando se emplea la e."presión " luz monocromática de A = 550 nm" con referencia a un experimento de laboratorio, en realidad se: quiere decir una banda pcquei\a de longitudes de onda en lomo a 550 run. La luz de un láser es monocromática con una aproximación mucho mayor que la luz que es posible obtener por cualquier otro medio.

Las fonnas invisibles de radiación electromagnética no son menos importan tes que la luz visible. Nuestro sistema de comunicación global, por ejemplo, depende de las ondas de radio: la radio AM utiliza ondas con frecuencias de 5.4 a 101 Hz a 1.6 X 1 if Hz, en Tanto que las transmisiones de radio FM se efecnian a frecuen cias de 8.8 X 10J Hz a 1.08 X 101 Hz. (Las transmisiones de televisión utilizan frecuencias que incluyen la banda de FM). También las microondas se usan en la comunicación (por ejemplo, por teléfono celular; véase la fotografia inicial de este capitulo) y en el radar meteorológico (a frecuencias cercanas a 3 X 109 Hz). Muchas cámaras tienen un dispositivo que emite un haz de radiación infrarroja; a partir del análisis de las propiedades de la radiación infrarroja que se: reneja en el sujeto, la cámara calcula la distancia al sujeto y ajusta automáticamente el enfoque. La radiación ultravioleta tiene longitudes de onda más cortas que la luz visible; como veremos en el capitulo 36, esta propiedad permite enfocarla en haces muy estrechos para aplicaciones de alta precisión como la cirugia ocular LASIK. Los rayos X penetran el tejido muscular; poresla razón. son valiosísimos en odontología y medicina. Los materiales radiactivos producen en la naturaleza la radiación electromagnética de longitud de onda más cona, los l1l}'OS gamma; se producen en la naruraleza mediante materiales radiactivos. los cuales son de muy alta energía y se utilizan en medicina para destruir celulas cancerosas.

1239

Tibia 12.1 Longitudes de onda de la luz visible

400 10440 MI 440 10480 MI 480 10 S60 nm S60 to 590 MI 590 10 630 nm 63010 100nm

Violeta Arul

V, ... AnwilJo

Naranja Rojo

•



1240

Las o:cuac:iono:s de Muwel1 predic:en la existencia de ondas ekclromagnélleas que: se propagan en el ~1I(:1o con la '!Pi. dez de la luz c. En una onda plana. E y jj son uniformes en la totalidad de cualquier plano perpeooieular a la dI' rección de propagación. Le. ley de Far.· day y la ley de Am~ proporciOll8!l ~Iaciones entre las magnitudes de E y 8; la exigem:ia de que se satisfagan es· tas dos relaciones permite obtener una apresión de c en términos de fa y /.loo

Las ondas electroma8E~IÍ~as son ¡mm· versales; los campos E y H son perpen. diculares a la di~cción de propagación Y uno respecto al otro ....... dirtt¡¿íón c!e propagación es la direcctón de E x B. Las ecuacionei (32.17) y (32. 18) des· criben una onda electroma¡n.é1ica plana sinusoidal que viaja en el VlIt"lo en la dirección + .... (Vbsc el ejemplo 32.1).

Cuando una OlIda electromagnétlcl VII·

ja a U"a,"b de un dielécuil:o, la rapidez de OlIda u es menor que 1. rapldex de la luz en un VlIt"lo e. (Vblsc el ejemplo 32.2).

El \"«Iar de Poynllng oS proporciona la rapidez de l1ujo de energía (energJa por umdad de ma) de una onda electromagnética en un \laCIo. Le. magnitud del valor promediado en el tiempo del \'C(:'

larde: Poynting es 11 intensidad I de la onda. Las ondas electromagnéticas tamo bién mmsponan cantidad de movimien· too Cuando una onda el ectromagn~tica

incide en una superficie. ejerce una pre· sión de radiaciónp,.... Si la superficie es ~rpendicular a la dirección de propaga· ción de la onda y es totalmente ab$orbente.p .... - [le; si la superficie es un reflector perfecto.P .... - 2/le. (Véanse los ejemplos del 32.3 al 32.5).

CAPiTULO 32 IOndaselectromagno!tieas

RESUMEN

E '" eB

B - .. ~E

<---v .. ~

E(x.r) = jE~.cos(h - <MI) B(.~,I) = k8 ... ,cos(h - cm)

EN, '" eB_

I I I .--------v;;. V KK. V .. oI'1I

<

- VKK.

- 1 -S=-Ex B ••

(32.4)

(32.8)

(32.9)

(32.17)

(32.18)

(32.21)

(rapidez de flujo de canfidad de movimiento electromagnética)

,

?I IFrence de onda

S ?t ¡:J

"

(32.28)

(32.29)

(32.3 1)

-,4 ""- E_O B-O

;¡

B -,

, E O

..... ;¡ , ¡" •

,

¡j, i!

O ; S

ii i

Plano / '-.,J.><," <'5taclonario Frente de:

,

,

onda en el tiempo di poIteno..



Si $e coloca UM superficie pcñcctamc:nte ~nejante en;r = O, las ondas incidente y ~neJada (011lW1 una onda ~!aCionaria" Se presenUlll planos oodales de f: en h _ O. 1f. 21f . .... Y planos nadales de ii en h - ml, 37r12. 57tf2 • .... En todo!llos pumos, las \'llrulCiont$ slnusoidalt$ <k f: y B con el¡iempo están 90'" fuera <k fase:_ (Vtanse los ejemplos 32.6 y 32.1).

El espee!ro electromagnético abarca \ln intervalo de fm:llencias desde al menos I hasta IOZ' Hz y un intervalo de amp litud cOITapondiente de longitudes de 00-da. La h12.' isible constituye sólo una parle muy ~ueña de este espectro. con longi tudes de onda de 400 a 700 nm.

Términos clave

densidad dc cncrpa. 1229 Huaclón dc onda, 1222 HUlclones de Mu,,·cll.1216 espectro eluU"omlgnf llco, 1238 [ndk. de ~rracdón. 1221 [nlensidad. 1230

Notas

IInealrnrnle polaruada. 122 1 1117, ,-islblc, 1238 ondl elHlromagnMcl, 1215 onda n llcionaria, 1234 onda plana. 12 18 onda In.nnl'rul. 1218

• •

phlno Inllnodal, 1236 plano nodal, U35 polarluclón.I221 p~,¡ón de nldiadón. 1233 nld ildón tl~lrnrnlgnh¡CI, 1216 \ "KlOr dc Po,'nllng, 1230

1241



1242 CAPI T U LO 32 IOndaselecU'Omagntticas

Respuesta a la pregunta inicial del capítulo

?

Las ondas electroma¡nI!ticas que llegan desde afu~ del edirltio no se propagan en conduetores como el acero. En cambio, la onda se reneja de re¡¡Tt'~ hacia el exterior, por 10 que llega menO$ enerSra de ondas al teléfono y se somete la recepei6n.

Respuestas a las preguntas de Evalúe su comprensión

SKción 32.1 Una onda puramente eléctriClllcndria un campo eléctrico \1Iriable. Un campo de ~ta Indole genera necesariamente un campo magnético en virtud de la ley de Ampere (ecuación (29.20)]: de este modo. una onda pununente eléctriCl es Imposible. Del mismo modo. una onda pu,..mente magntticl es imposible: el campo mag~ico variable de una onda de esta naturaleZll darla origen automáticamente a un campo eléctrico en vinud de la ley de Faraday [ecuación (29.21)]. Sección 32.2 De acuerdo con la ecuación (32.4). la relación entre la magnitud E del campo eléctrico y la magnitud S del campo magnético es E .. eS. Por tanto, 8 .. Elc .. (4.50 X IQl VIm)'(3.00 X I(f"".) ... 1.50 X 101 V _slml. ~ cuenta que I \'OIt ., I nt\\'on por coulomb (1 V ... I N/C) Y 1 coulomb por segundo ... I am~ (1 CJ. .. lA): umbién. las unidades de B son N · $.'(C .m2) ... Nf(A • m). En la sección 27.2 vimos que ltesla (1 n es igual a 1 Nf(A 'm). Por eso. lal como es de esperar, nuestro resultado de 8 está dado en lesLa: B ... 1.50 X I~ T. Por 5CT" c en mi. un nLuneI'!) tan grande. la magnitud del campo magnetico en T es mucho más pequei\a que l. magnitud del ClImpo eléctrico en VIm. Sección 32.3 Ellrgumento de las funciones coseno de E: y B es k= + 0lI. ([)ése cuenta que se SUSliruye.l por: porque la propagación es a lo largo del eje de 1115:. Se: emplea el signo dc más porque 1. onda se propaga en la dirección: negati\'ll). La dirección de polanzaci6n nos dice que E: tiene sólo una componente;r. de modo quc una POSIble runciÓll de onda es E(:, /) ~jE_ COS(k: + w). El campo magnético B es perpendicular tanto a E como a la dirección de propagación. por lo que tiene sólo una comporn:ntey. También debe estar en fase con E: por C50. B, es igual a 8_ cos(.é: + WI) o bien a - 8_ cos(k: + r..t). Para dccidircuál opción es la correcta. recuerde que la direcd6n de E x El coincide con la de propagación. es decir. la direttión;:- negati\"I. De esa Tl1iUK"i"I, si E: tiene la dirección;r posili\"I, B debe Tener La diTe«"iónynegati\"I. Porconsiguiente. B,{:./) - - 8_ cos(.é: + r..t) y B(:, 1) '" - jB_ cos(.é: + r..t). Se<eión 32.4 Tanto la densidad de ener¡ia 11 como la magnirnd del vector de Poynting S 50n máximas donde los campos E y ¡j alean. u.n sus magnitudes máximas.. (La dirección de 10$ campos no 1m· pona). De acuerdo con la ecuación (32.10) esto ocurre: en;r .. O.;r ... A!2 y;r "" .l. Tanto u como Stienen un \"llor mínimo de cero. el cual se presenta donde E y 8 son ambos cero. Según la (¡gura 32.10. esto sucede en;r ... )J4 Y x ,. 3.IJ4. Sección 32.5 Hay lugares donde E • O en todo momento (en las paredes) y la densidad de ~ia elktrie. !t:QE l siempre es eero. Ademh hay lugaTCs donde B ... O en todo ~nto (¡¡obre el plano equidislIInte de las paredes) y la densidad de energla magnéticl tJll2iJfJ es siempre cero. Sin embargo. tro hly lugares dont:k i y B

son siempre cel'!). Por consiguiente, la densidad de energla en cualquier punto de la onda esIJICionaria siempre es diferente de CC'I'!).

Preguntas para análisis

P32.1 Si se miden los campos eléctrico y magnetkoen un punto del espacio donde hay UM onda electromagnética. ¿se puede determinar la dirección de donde proviene la onda? Explique su respuesta. P32.2 De acuerdo con la ley de Ampere, ¿es posible tener tanto una corriente de conducción como una comente de desplazamiento al mismo tiempo? ¿Es posible que 101 cfectO$ de las dos dases de corriente se cancelen exactamente. de modo que no se genere un campo magnético"! Explique su respuesta. P32.3 Cite \viO$ejemplos de ondas electromagnéticas que se presentan en la vida diaria. ¿En q~ se ~n todos ellos? ¿En qué di· fierm? P32.4 En OC.Slones se obscr\"I que 10$ anunciO$ de neón situados cerea de una estación de radio ¡¡oIenle emiten una luz dCbil durante la noche. aun cuando están apagados. ¿Qué está ocurriendo? P32.5 ¿Es la polarinción una propiedad de todas las ondaselectmmagnéticas. o únicamente de l.lu<: visible? ¿Se pllCden polarizar las ondas sonoras? ¿Qué distinción fundamental en cuanto 1 las propiedades de las ondas se manir.esta en este fenómeno? Explique su .... respuesta . P32.6 Suponga que una carga puntual posili\lI q esu inicialmente en reposo sobre el eje de lux, en el camino de lu onda clectromagrw:\ica plana descrita en la sección 32.2. ¿Se: mueve la cargB después que el frente de onda 1. alcanza? Si no lo batt.lJXlr q~? Si la caro ga se mUC\·e, describa su 1l1O\·lmiento en ténnillO!i cualilalivos. (Reeuerde que E y B tienen el mismo valor en IOdos 101 PUn!O$ detris del frente de onda). P32.7 El haz de luz de un renector puede tener una magnitud de campo eléctrico de 1000 V/m. la cual corresponde a una diferencia dc potencial de 1500 V entre la cabeza y los pies de una persona de 1.5 m de est.tura iluminada por el reflector. ¿Provoca es!O que la persona experimente un choque eléctrico? ¿Por qué~ P32.8 La Implitud de campo magnetico de la onda electromagné. tlca del lAserdCSl:rito en el ejemplo 32.] (sección 32.3) es alrededor de ]00 veces mis grande que el campo magnético terrestre. Si se ilumina una bníjula con la luz de este l'ser, ¿es de esperar que ]a bníjula se desvic? ¿Por qué? P32.9 CasltodoslO$autom6\-iles tienen antenas \-enicales panl recibir transmisiones de mdio. Ex'pl ique lo que esto indica acerca de la dirección de polarización de 1-; en las ondas de radio que se utiJi· :zan en IR trnnsmisiÓn. P31.10 Si un haz de luz tnutSpona cantidad de lIlOYimiento, ¿debe sentir un retroceso an;\IO\lo 1I de un rifle que se dispara una per$O

na que sosliene una linterna de mano? ¿Por que no se observa este retroceso en la práctica? P31.11 ¿Tiene energla una onda electromagnétic. eS/(Jclonar;Q"! ¿Tiene cantidad 00 movimiento? ¿Son sus respue$tas a eS1115 preguntas las mismas que las CQITCSIXlndientl'S a una onda viajero? ¿Por q~'/ P32.12 Al conducir sobre el n,,-el superior del Puente de la Bahia. en dirtlX"ión al oeste de 0akJand 1 San FrancÍ$cO, es fkil sintonizar \'alias estaciones de radio en el !eC:eptOl" del automóvil. En cambio. al conducir en dirección al este en el nivel inferior del puente, que tiene

,



vigas !Ir KCTO • ambos lados pan IOSlener el nivel superior, la recep-ci6n!lr radIO es mucho más deflCienle. ¿A que: 5C debe la difo=ncia~

Ejercicios

Senión 32.2 Ondas e lKtromJllgné tiu s planas y rapidez de la luz 12.1 1) ¿Cuanto tiempo wda La l~ en vi.jar!lr la LulUO II.li=a. una distancia de 384,000 km? b) La lUl de 11 estrelll Sirio tarda 8.61 ai\os lw: en llegar' l. Tiem. ¿Cuál es la distancia a Sirio en kilómetros? 32.2 Fl ntl 'lmn en el tele,·lsor. En una im.agen de televisión. se: forman ilÑgene5 fantasma cuando 1I ~i\al de 1. tTllnsmiSOfll viaja hasla el re<:eptor tanto dirtC18 como indittttamente. luego de refle· jarse en un edificio o Ilguna otra masa mellilica grande. En un tele· ,'isor de 2S pulgadu, el fantasma Dpan:« aproximadamente 1.0 cm a la derecha de la imlgen principal si la señal reflejada llega 0.60 J.U después dc la 5Cñal principal. En este caso, ¿cuál es la diferen· cia de longitud enlre los trayectos de las dos 5C~ales?

Sección 12.] Ondas electromagné ticas sinusoidales ]2.] Una onda electromag~tica sinusoidal con una (re(;uencia de 6.10 X 10" Hz viaja en un vado en la ditttción +z. El campo S es pw1Ilelo al eje de II1$YY tiene una ampli tud de S.80 x lcr-' T. Escri· ba las ecuaciones vectoriales de t(:. r) y S(z. r). 32.4 Una onda electromagni:tiea COll una 1000gitud de onda de 435 nm vilja en un vaclo en la ditttdón - z. El campo elktrico tiene una amplitud de 2.10 X I~ V/m y es para.lelo al eje !Ir lasx. ¿Cual es: a) la fi-«ueocia. b) la amplnud del campo magnético, c) Escriba las ecuadOlles ve<:tonales!lr E(l. 1) Y S(l. rl. 12.5 Una onda electromagm!lica tiene un campo elktrieo dado por E{y.r) '" -(3.10 X 101V/m)hen ((.ty _ 12.65 x 10" radls)lj"l ¿En qué dirttCion vi.j.l. OlIda? bl ¿Cuál es su longilud !Ir onda? e) Escriba La ecuación \'CI;IoriIl!lr B(y. 1). ]2.6 Una 0IIdII elcc~ic:a ricnc ttn campo magnético dado por S (x, r) .. (8.25 x 10-' T)i sen [( 1.38 x lo' radlm )x + ..... ~ a) ¿En ~dircccilm viaja laoodl? b)¿CuáI es su frecttcneiaj? c) Eseriba la ecuaciOri ,·ectOlÍ.l de f; (:r, 1). 32.1 La estaci6n de ntdto WCCO de Minneapolis transmite a una frecuencia de 830 HIL En un punlO. cierta distancia dellnl!l!imi· sor. la amplitud de campo magnético de la onda electromagnética de la \VCCOe! de 4.82 x 10-11 T. Calcule 1) la longitud de onda: b) el número de onda; e) la frecuencia angular; d) la amplitud de campo eléctrico. 32.8 La ampl i1Ud de campo eléctrico cerca de cierta 1r1lnsmisora de /lidio es de 3.85 x 10 l V/m. ¿Cuál es la amplitud de ih ¿Cómo es su magnitud en compa/llción con la del campo terrestre? 32.9 Una onda electromagnética se propaga en un material dieléc· trico. A la frccttCncin de la luz, la constante dicléclrica del matcrial es de 1.74. Y la permeabilidad relativa, de L.23. Si la amplitud del campo magnético es de 3.&0 x 10""'T. ¿cuAl es la amplitud del cam· po elktrico? 12.10 Un. onda eleclTOmagnética con una ft'CCttCncia de 65.0 Hz \;aj. en un material magnétICO aisLan1e con una coostante dicltttrica de 3.64 )' una permeabilidad rdauva!lr 5.18 • esta f"n:euenci •. El campoel~ tiene una amplitud de 7.:ro x 10'" Vlm .• ) ¿Cuál es l. mpidez de propagación de La onda? b) ¿Cuál es su longitud de

Ejm:idos 1243

onda? el ¿Cuál es la amplitud del campo IDa¡néueo? d) ¿CuAl es la intensidad de 1. onda? 32.11 Una onda electrom.a¡néuca con una fTecuenci. de 5.10 x 10" Hz $e propaga con una nlpidez de 2.1 7 x lo' mis en cieno objeto de vidrio. Halle.l la 1000gJ1ud de onda !Ir La onda en el vidrio: b) la longitud de onda de una OlIda de 11 misma frecuencia qttC se propaga en el am:: el ellndu;c de refracción 11 del vidrio oorrespondiente 1 una onda cleclJOll"Ul¡nética de esta fn:cuenc:i.; d) la constante dielktriea del vtdrlo a es1a frecuencia, suponiendo que la pcnneabllidad relal1\1I es la unidad. 32.12 Un. onda elecl romagnética con una frecuencia de 38.0 MHz y una longitud de onda de 6.15 m viaja en un rn.'Iteri.1 aislante oon K. mu)' cercana .11 unidad. a) ¿Cuál es l. nlpidez de propagación de la onda? b) ¿Cu~l es la COnStante dielktrica!lrl material aislante a esla frecuencta?

Secci6n 32.4 Energla '1 cantidad de movimiento d, lal ondas e lectromagnéticas ]2.11 Prueba de un transmisor espacl.1 de udlo. Usted es un especialista en misiones de la NASA que efectúa su primer vuelo en d transbordador espacial. En virtud de su Clltensa capacitación en flsica.!Ie le ha asignado la tarea de C'o1lluarel comportamiento de un lluevo II1l11smisor de radio. bordo de la ESUlCiOn Espaciallnter. nadonal (EE!). Encaramado en el bruo móvi l del tnlnsbordador. usled apunla un detector sensible hacia la EEi. que eSI! a:r.s km de distancia. yencuenll1l que la amplitud de campo elktricode las on· das de radio pro>'Cnientes delll1lnsmisor es de 0.090 V/m, y que ~ fTecuencia!lr las ondas es de 244 M~IL Halle 10 siguiente: a) la in_ tensidad!lr la onda de radio donde: usted 5C encuentra: b) lB amplitud!lr campo magnético de I1 OlIda donde usted ~ encuentra: e) la potencia de salida 10111 dellransmisor de radio de la EEI. d) ¿Qué suposiciones, en su caso, hizo usted pDl1l efectuar sus eileulO$? 32.14 Una onda elcctrornagnétlCa sinusoidal COlitida por una ~CKm!lr radio pasa perpendicularmente. II1Ivés de una \'COtana abierta COI] UD irea!lr 0.500 mJ • En la \"Clllanl. el campo eléetrico de la OlIda lleDe un \"alor eficaz de 0.0200 VIm. ¿Cuánla ener¡:ia transpor. ta esta onda a tra\'IÍS de La \"Clltana dUnlnle UD comerci.1 de 30.0 Sl 32.15 Una sonda e5plC1.llltuada • 2.0 X 1010 m de una estrella mide la intensidad total de l. nldiación electromagnética pl"O\·e· niente de la e5lrella, la cu11 resulta ser de S.O x l()l \V/mI. Si la cs· trella Irnldia de modo uniforme en todas direcciones. ¿cual es la potencia de salida prolncdio tOlal? 32.16 La intensidad de un nlyo láser cilindrico el de 0.800 \V/ml. El área de sección tranS\'CT"$IIl dellllU: es de 3.0 x l~ ml, y la in· tens idad es uniforme en toda la sección trans~ersal del haz. .) ¿Cuál es ta potencia de salida promedio delllÍser'! b) ¿Cuál es el valor rms (eficaz) del campo elklrico en el haz? 32.11 Una fuente intensa de luz irradio uniformemente en todas direcc;OIIes. A una distancia de S.O m de la fuente de radlllCiOri la presión !!Obre una superficie perfectamente absorbenle es de 9.0 x 10~ Pa. ¿Cuál es la poICfICia de salida promedio de la fuente? 12.18 Una onda electromagnética sinusoidal emitida por un tele· fono celular llene una longitud !Ir onda de 35.4 cm y una amplitud de campo elktrico de 5.40 x llr Vlm a una diSlancia!lr 250 m !Ir la antena. Calcule .) l. frecuencia de l. onda; b) la amplitud del campo ma¡nético: e) la intensidad de 11 onda.



1244

32.1' Una fuente de llU: monocromática con una poIcncia €k sali. da de 60.0 W iTT1ldi. luz unifonncrncnte en todas dirttclOllC's con una longitud de onda de 700 nm. Calcule E_ y B_ de la lu~ de 700 nm a una distancia de 5.00 m de la fuente. 32.20 Con rc5p«'tO a la onda elcClromagnéllca rcprc$Cntada por la ttunción (32.19). demuestre que el ve<:lOrde Poynling al ,iene la dirección de propll~ci6n de la onda: b) liene una mallnilUd promedio d1da por [lIS CCUM"iones (32.29). 32.21 Si la mtensidad de la luz solar directa en un punto de la superfiCie terrestre es de O. 78 kWIm", halle al la densidad de canudad de movimiento (canudad de movimiento por unld3d de volumen) promediO de la hu: solar. b) la I1Ipldc.z de flujo de cantidad de roovinucnto promedio de La luz solar. ]2.22 En la,; uutalac:iones del Simulador Espacial de 25 p'e$dcl Jet Propulsion LabornlOry de: la NASA. una serie dc Iimpal1ls de aTOO

cle-.'lIdas produce luz con una intensidad de 2500 Wlrnl en el pisodc las instal.dones. (Esto simula la intensidad de la luz solar cerca del planeut Venus). HaJl~ la pre<ión de radiación promedio (en pascal y en all1'lÓsferas) sobre a) una Sl.:(:ciÓn totalmente absorbente del piso. b) una sección totalmente reflejante del piso. c) Ilalle la densidad de cantidad de !l1O\' lmi~nto promedio (canudad de movimiento por unidad de volumen) de la luz en el piso. 32.2J Compruebe que todas las exprt'sionel de las «unciones (32.27) son equivalentes .Ia ecuación (32.26). 32.24 Consi~ cada una de las orientaeionH de campos eI&triros y campos magntllco5 que se indican a connnuaelón. En cada caso. ¿cuill:S l. dimx-ión de propagatión de la onda7.) i = El. 8 = - Bj:b)E = Ej. 8 = 8i:e ) E= -Ei.ii z -8/;d)E. '" El. ii = - 81. ]2.25 Una onda cle<;:m;m.al,;nética sinusoidalsc propa¡pt en un \OCio en la dirección +:. Si en un instante en panicular y en dmopuntodel espacio el campo elktrico liene la dirección +x y una magnitud de 4.00 VIm, ¿cu~les son \a magnin>d y dirttción del campo magnético de la onda en el mi!il1lO punto del espacio y en el mismo inSIBnte?

Sección 32.5 Ondas electromagnética, Htildonariu 32.26 Cleru onda eleclromagnética eSlaeioMnl en el liR' llene una frecuencia de 75.0 MH:t. a) ¿Cu!I es la distancia en~ lO$ plallO!i nodales del campo b b) ¿Cual es la distanclD entre un pl,,1O 00-

dal de E y el plano nadal más próximo de ii? 32.27 Una onda electromagnética estaclonari. en deno material tiene una frecuencia de 1.20 x IOIG Hz y una rapidez de propagaeión de 2.10 x Ir! mis. al ¿Cual es la dislOncla entre un plano nodal de Ji y el plano antinodal más próximo de Jn b) ¿Cuil es la distancia entre un plano antinodal de E y el plano .ntinndal más próllimo de 8 1 e) ¿Cual es la distancia ent~ un plallO oodal de E y el plano nodal más próximo de B? ] 2.28 Se establece una onda eleclTomagnétlca esaclonaria en el ai~ con una frecueoci~ de 750 MHz entre dos planos conductores separado$ por una diStanclD de 80.0 em. ¿En q~ posICIOnes enm: lO$ planos se podría colocar una carga punll1Dl en reposo de modo que pe,.",utleciau m reposo? Explique su respuesta. 32.29 Una onda el«tromagoclica eslacionaria en eleno mat~rittl tiene una frecuencia de 2.20 x lO" Hz. la separación entre los pianos nodales de Ji es de 3.55 mm. Halle a) la longitud de onda dc la

onda en eslc maten,l; b) 1, distancia enm: plallO!i nodales adyaccntn del campo E: el la I'lIpi(\ez de propagación de II onda. 32.30 Demuestre que los campos eltttricos y ma¡¡néllcos de onda estacionaria correspondientes I las ondas estacionarias dadas por las ecuaciones (n.34) y (n.35) a) satisfacen la ecuación de onda [«\Iación 32.15)]; b) sa1Ísfacen las ecuaciones (n.12) y (32.1 4).

Se<ción 32.6 El espectro electromagnético 32.31 En el caso de ondas que se propagan en aire. ¿cuAl es la longitud de onda en metl'05 y en n.aDÓmetros de a) los rayos gamma cuya frecuencia es de 6.50)( loJl Hz: b) la luz visible cuya frecuencia es de 5.75 x 10" Hz'! 32.32 Con I'CSp«to I una onda electromagnetiea que se propaga en aire, determine la frecuenCII de una onda cuya lon¡itud de onda es de a) 5.0 km; b) 5.0 m: el 5.0~: d) 5.0 nm.

Problemas

32.33 Considere una onda electromagnética plana C0l110 la que se mucstl1l en la figuro 32.3, pero donde f: y ii también tiencn componentes en la dirección x (.10 largo de la dirección de propagación de la onda). Con base en la ley de Gaun de campos eléclricos y magnéticos, demuestre que las componentes E, y 8, debeTt ser ambas igual a cero para que los Clmpos E y 8 sean transversales. (Sugm.-,,cia: Ulilice un.a MlperrlCie gaussiana como la que se muestro en la figura 32.4. De las dos cam paraldas al plano ):!. tome una como situada .Ia izqUierda del frente de onda, Y la 0InI. a la dl:reclut). 32.34 ConsldeR' una onda eleclromagnérica sinusoidal con campos E = E_jsen(b - Wf) Y ii = B_1sen(b - Wf + 41 ), con - 1T S .p S 1T. Demuestre quc, pal1l que E y B IoIIlIsfagan las ecuaciol\Cs (32.12) y (32.14), debe cumplirse que E;¡.... ~ 1,:8 ... Y ~ - O. (E! I'l:suhodo 41 - O sisnífica que los campos E. y 8 oscilan en fase.) 32.35 Demuestre que el campo lIIagmi rico 8,(x, 1) de: una onda electromagnética plana que se propaga en la dirección + x de:be salisfacer la «uación (32.15). (Sugert'l!da: Obtenga la de:ri\'ada parcial de la ecuaeión (32.12) con respectO a 1 y la dc:rivada parcial de la tcu:lCión (32.14) con respedO ax, a continuación combine 105 1l:SU11Ddol). 32..36 Con /especlO • una onda electromagnética sinusoidal en un "acio. como la que describe la ecuación (32.16). demUCSt/e que la densidad de enet¡i. promrdia del campo eltcmco es igual que la del campo magnellco. 32.37 Un espejo pcque~o con un '~a de 5.00 cml fl'l:ntc a una fuente de luz monocromática situada a 3..20 m de distancia. En el espejo la ampli tud de campo eléctrico de lo luz de la fuente es de 0.0280 V/m. a) ¿CuAnta energla incide en el espejo en 1.00 11 b) ¿Cuál es la presión de radiación promedio que la luz ejerce sobre el espejo? e) ¿Cuál e$ la salida total de energia radianle de la fuen te si se supone que irt1KIia uniformemenle en todas direccionH1 32.38 Una onda elcclromagnetica sinuwidal plana en .ire tiene una longitud de onda de 3.84 cm y una amplitud de campo E de 1.35 V/m. a) ¿Coil es la frecueneia? b) ¿Coil es la amplitud del campo ii? e) ¿Coil es la intensidad? d) ¿Que fuc:rz.a promedio eJet'ce esll radiación sobre una superfic~ toralmente abso<Wnte con un á.-ea de 0.240 ml perpendicular ala dirección de propa¡plción? 32.39 Un láser pcqueoo de heliO Y neón emite luz vi!ible roja con una poteneia de 3.20 mW en un I!az de 2.50 mm de diámetro.



1) ¿CuAl es la ImplillJd de los campos el&tnco y magnético de la luz? b) ¿Cuál es la densidad de ellCr¡i. promedio asociada COtl el nmpo e~etrico y con el campo magnetico? e) ¿Cuál es la eneq:ia total contenida en un tramo del haz de 1,00 m de largo? 32.40 El plnoo de una superficie llana es perpendicular a la diTCCción de propagación de una onda electromagné1ica de intensidad ,. La supemcic absoroc una fraeciÓn ... de la intensidad incidente. don· de O :5 ... :5 1. Y refleja el resto. a) Demuestre que la presión de radIación sobre la superficie es igual a (2 - >I')1/c. b) Demuestre que eJa ClI:presión da ~sul!ados correctos respecto a una supertkie i) totalmente absorbct1tc: ii) totalmentc reflejantc. e) Con una intensidad incidente de 1.40 I¡W/m'. ¡,cuál es la presión de radiación cuando hay una absorción de19O%? ¡,Y cuando hay una reflexión dcI9O"'o? 32.41 El Sol cmitc energía en fonna de ondas elcctromagnericas a ratón de 3.9 x lo:.W. Esta eno:r¡¡íl es producto de reacciones nuclea· res que ocurren en las profundidades del interior del Sol. a) Halle la intensicbd de la rndioción electromagnética y la pn'$ión de radiación ~ un objeto absorbente situado en la superficie del Sol (radio rR ,. 6.96 x 10' km) y en r _ RI2, en el inlmO!' del Sol. Nn conside· re la disj)crsión que sufren In ondas cuundo estaS sa len radialmente desde el cenw del Sol. Compare con 105 \'ll10ln dados en la $C.'CCión 32A respe<:1O a la luz solar inmediatamente antes de entr.1r en la atmó5fCfll temStre. b) La presión gaseosa en la superfICie solar es de al· rtdedoI' de 1.0 x 10' Pa: en r - RI2. la ~ión gaseosa calculada a pII1irde rnodelosdcl Sol esdeapro...lmadamentc4.7 x 10'l l'a. Comparando con sus r=l1~ del inciso (1). ¿es dc espem' que la presión de radiación sea WI factor importantc para dclennínar la CSlrucrura del Sol? ¿Porqué? 31.41 En el caso de cierta onda electromagnética sinusoidal plana que se propaga cn la dirccc i6n +x. el vectOr de Poynting es S( x. r) "" S(.I". 1 }i. donde S(X. 1) - (E"",B"",n¡.lQl{1 - tOS 2(.b: ..... )]. al I.Es S{,~. 1) negativa en algún mo~nto. lo que correspondería a un flujo de energia en din:cción OPl/esta lila dirección de proe:igación de la onda? E:<plique porqut. b) La figura 32.10 muestra é y B dc tlII.II onda e1ectromagnélica plana en 1 _ O. Dibuje un e5queml de esla figtn Y sobre ella indique 10$ vtCtOn'S que mllCSlrCll S cuando , - O en los \'111ores siguientes der. O. AI8. AJ4. JAII!.)./2. SAII!. 3.1.14. 7A18 Y A. 32.43 Un solenoide muy bUllO con 11 espiras por Wlidad de longitud y radio 11 coruluee una corriente I que aumenta con rapidel: conswne ¡ji dI. a) Calcule el campo magnético y el campo el~tri· co inducido en un punto del interior del solenoide a una distancia r del eje del soleooide. b) Calcule la magnilUd y dirección del \cctor de I'oynnng S en este pumo. Demuestre que la dll't'Cclón dc S es ha· cia adentro. hacia el eje del solennide. e) Halle la energla magnética almncenada en un tl'llmo de longitud I del solennide. y la l'llpidcl: con la que aumema la cncr¡la debido a la ¡nlensificación dc la comente. d) Considere una superficie cilíndrica de radjn (J y longitud I que coincide con las espirnsdel solenoide. Inlegre S sobre esta superficie para hallar la rapide~ tOlal con la que fluye enc:rgía electromagnética 1I interior del $Olenoide a tral'és de las paredes de c5fe. e) Compare JI l"IIpidez de cambio de la eneIJi. electmmagr>étiea del ineiso (c) con el resultado del inciso (d). Comente por qut se puede penyr que la energía almacenada en un soleooide portador de comente entTll' tra\k de las paredes cilindric.s dcl soleooide. 31.44 Considere la onda estaCIOnarla dada por las ecuaciones (32.34) y (32,35). Sea E. plT1l1elo al eje}' y jj paTlllclo al eje :: por lo

Problell1.1S 1245

tanto las ecuaciones proporcionan las componentes de E y 8 8 lo largo de clda eje"l Gl1Ifique la densidad dc energÍl en función de x. O < .r < m/c. en los tiempos 1 - O. r,'4 .... 1rl1w. 3:m'4w Y 1rl .... b) l'Toporcionc la direcci6n de S en las regiones donr.k: O < x < 'lTf21: y 1rl21: <.~ < mI: en los tiempos I - 'l7f4w y 3m4 .... el Con base en sus rcsultadoll del inciso (b). c;.¡pl iquc las gnificas obtenidas en el inciso (a). 32.45 Un conductnr cilindrico de sección tnlllsversa l circular tiene un ntdio 11 y Urlll resistividad p. y UllIIspona una comente conStanlC /. a) i.,CuáJes son la rnllgnitud y dirección del vector de campo eléctrico ti en un punto situado inDla!Lalalnc:ntc adentro delllambre. 1 UM

distancia 11 dcl eje? b) ¡,Cuáles son la rnllgn;nJd Y dlr=:i6n del ,tt~ tor de eampo magnctleo 8 cn el mümo punto? e) ¿Cuáles son la ma¡lIInJd y dirección del vector de Poynhng S en el mi5lllO punto? (la dirección de S es aquélla en la que flu~ rnc:r¡ia elc<;tromagné· tica hacia lldenlTO o hacia afuera del condoctor). d) Con base en el resultado del inciso (el. halle la rapidez de flujo de enelVía hacia el volumen que ocupa untl'llmo de longitud I del conductO!'. (SI/gerencia: Integre.~ sobre la supemeie de este volumen). Compare su resulludo con la rapidez de generación de encr¡¡la térmica en el mismo volumen. Comente f"OI' qut se puede pensar que la ener¡¡ia disipada en un conductor portador de comente. debido a su rtsistcncia, entra a tnl\~ de 105 lados cilindriCO$ del conductor. 31.46 Cieno capacitor comiste en dos placas CIrculares de radIO r sepa~ por una disUlncia ,. Sin tener en cuenta el pestai\eo. demucstre que. durante el proceso de calp del capacitor. la ntpidez de flUJO dc energia hacIa el espacio enlre las plllCls es igualll. 111-

pldeZ con l. que aumcnta la ener¡ia electrostática .Imacenada en el capacltor. (SI/gt'rY'lIdD: Integre S sobre la superficie del volumen cilíndrico \!licio eomprendidn entre las placas), 32.47 Se puede usar una espiro circular de alambre como amena dc radio. Si una antena de 18.0 cm de diámetro estA situada a 2.50 km de una fueme de 95.0 MHz con una potencia total de S5 .0 Ir::W. ¿cuál es la fem rruillima que se induce en la espira? (Supon¡a que el plano de la espira de la antena es perpendicular a la dirección del campo magnético de la ra.diación y que la fuente t!1'Dtlia uniformemente en todas direcciones). 32.48 Se ha propuesto colocar en órbita te~tre un sat';lite recoledar de energía solar. La potcllCla recogida se envian •• 11 TlCITD en fornt/l de un haz de radiación de microondas. En el cuo dc un haz de microondas con un IÍrea de sección tr.ln5\1'rsaJ de 36.0 m1 y una po1encia total de 2.g0 I¡W en la superficie terrestre. ¿euil es la amplitud del campo elktrico del haz en la superficie del planeta? 11.49 Llnlunl al rucue. Usted es el unico tripulante de la nave espacial imerplancUlria T: I JJ9 lórgu. que lIe\'11 a cabo miSIones de carga entre la Tierra y las colonias mineras del cinturon de nsteroides. Ciel'lo dia uSlCd cSllí tnlbajarulo afuera de In n.vc. Duna dllilancia de 2.0 UA del Sol. [1 UA (unidad astronómica) es la distancia promedIO de la Tierra al Sol: 149.600.000 km.)] Por dcsllracia, lIS

tN pIerde contacto eon el useo de l. nave y comlCllZ8 •• leJarse hacia el espacio. Entonces intenla regresar hacia la n.a\·e con ayuda de los cohetes de su nje espacial. pero el combustible se agota y los enhetes dejan dc funcKll\iU' ames que usted consiga 1'CIJn:sar .Ia ~. Se halla USlcd en lUla $llUaCi6n dilicil. flotando a 16,0 m de la na~ too

H'loci<bd cero respecto a ella. Por fortuna. usted tiene consIgo una lAmpara de 200 W. l. cual enciende para utilizar SU hn como un



1246 (:" p f TUL o J2 I Ondas ~lectromagnttiellS

"cohete de luz" que lo impulse de regreso I la nave. a) Si usted. su traje espacial y la lámpara llenen en conjunto una masa de 150 kg. ¿c\lánlo tiempo tardará ~n regresar .1. IIiIve? b) ¿üisle alaulla OIra forma de uti lizar la lámpara para conseguir el mismo objetivo de regresar. l. n.a~-.:? 32.50 El iD\'entor Nikola Tesl., del siglo KIX, propuso transnuttr eBerg;. e1ecmca por medIO de ondas electromagnetieas simooidales. Suponp que se preleOOe tTansmitir energia elktnca en un haz con un ma de sectión transversal de 100 ml. ¿Qu~ amplnudc:s de c.mpo dectrico y magnético se requIeren pan Irnnsmitir una c.n¡idad de potencia equivalente a la que manejan las lineas de tnmsmisión modcrnas. las cuales tienen voltajes y COmCnlC1 del orden de5OOkVyIOOOA? 32.51 El espacio inttrplanetario eoo.tiene muchas panieuJu peque~ conocidas <:OmO po/>'O i1lI~ItJ/leroriv_ Lt presión de rtldiación p!OYmienlC del Sol fija un limilC inferi(wal tamaño de C1II$ paniculas de polvo. Pan!. comprender el ongcn de CSlc: limile. consldm: WlIl

panicul. esferica de pol\"Ode radio R y densidad de masa p. al Escriba una expresión de la fuerza gravitatoria que el Sol (masa M) ejerce sobre la particula cuando ésta se halla a una distancia r del Sol. b) &a L la Iwninosidad del Sol, equivalente a la rapidez con la que emite ener¡ia en forma de radiación electromagnética. Halle la fuerz:I que se eJCfCe!!Obre la panicula (tOlllmente absorbente) debido. la presi6n de radiación solar. El lÍrea pertinente es el área de sectión transversal de l. panícula. 110 5U iUea total. Como pane dc su respuCSla, explique por qué es asi. e) L.a densidad de masa de una partrcuJa representativa de polvo interplanetario es de alredcdor de 3000 k¡¡lmJ. Halle el radio de particula R con el que las f\lenas gravitatoria y de radiación que actúan sobre la partícula son de igual magnitud. La luminosidad del Sol es de 3.0 x IOl6 W. ¿Depende su respuesta de la diSlBl1Cia enlte la panícula y el Sol? ¿Porqué? d) ExphqlJt por qué es poco probable hallar en el Sistema Sol.r partículu de pol\"O con un radio menor que el calculado en el inciso (e). (Sugtl'l'lICia: Construya la relación de las do$ expresiones de fuerza halladas en los incisos (a) y (b)]. 32.52 La NASA estA considerando seriamente el concepto dc 1I<Jl'r

gac/ón solar o wla. Un velero solar utiliza una vela ¡¡rande. de poca masa. y la energia y la cantidad de movimiento de la lllZ solar para impulsarse. a) ¿Cónlodebe ser la vela: absorbente o ref1ejante1 ¿Por qué? b) La prodocción IOtaI de poIenci. del Sol C1 de 3.9 X 10- w. ¿De ~ tamaño debe ser WlIl \"ela para impulsar un vehículo espacial dc 10000 kg contra la fuerza graviworia del Sol? Exprese su resultado en kil6metros cuadrados. c) Explique porqué su respuesta al inciso (b) es independiente de la distancia respecto al Sol.

Problemas de desafio

32.53 Las cargas que se a<:eleran en¡iten radiación electromagnetiCIt. L.a rapIdez con la que una carga q con una aceleración o emite ene'1lia es

donde ces la rapidez de la IIIZ. a) Compruebe que la ctuaci6n es dimensionn!mentc corm:ta. b) Si un protón con una energía cinética de 6.0 MeV describe una órbita dn::ular de 0.730 m de radio en un acdmldor de particulas, ¿qué ft11cric'tn de su encrgia inadta por segundo? e) Considere un eleclJÓn que descríbe l. misma 6rbilll con igual rapida. ¿qué ftaceión de su ener¡ia madi. por segundn? 32.54 El 'tomo de hidrógeno djslco. Se puede considerar que el el«tJÓn de un 'tomo de hidrógeno describe WlIl órbIta ein:ular con un radio de 0.OS29 nm y una mergr.eillética de 13.6eV. Si el elctl1Ól"l se comportase de acuerdo con la f1sica clásica. ¿cuinta energía irradiaría por segundo? (Vcase el problema de desafio 32.53). ¿Qué no!I dice esto acerca del uso de la física clásica para describir ellitoroo? 32.55 Las onda5 electromagnéticas se propagan de fonna muy diferente en los C01IduelOl'rS que en los dieléctricos o en un vaclo. Si La resisttvidad del conductor es suficientemente pequeila (es decir, si el conductor es lo bastante bueno). el Cltmpo eléctrico OKilante de la onda da orisen. una corriente de conduccic'tn oscilame mucllo más grande que la comente de desplazamiento. En este caso, 1. ecuación de onda de un campo eléctrico .E (.I", 1) :: E,(.I"./) j que se propasa en l. dirección +x adenlTO de un conductor es

rE7(x,l) _!:!:. ifE7(x, 1) ax~ p 1f,

donde J.I es la permeabi lidad del conductor y p es $U resistividad. a) Una soluctón de C$ta ecuación de onda es

E7(x, ,) .. E_e-.... sen (.tex - ..,,)

donde le - V..,J.il2p. Verifique esto sustituyendo Ej..x. /) en la ecuación de onda anterior. b) Elt~rmjno exponencial mues;zn , el campo eléctrico disminuye en Implitud conforme se p . Explique porqtM! ocurre esto. (Sugere1lcia: El campo realiZll ba-jo pan tn.$ladar CIJpS en el interior del condOClor. L.a corriente de estas earps en movimiento pTO\'oca calentamiento de i~R dentro del conductor y eleva su temperantra. ¿De dónde proviene la enersia para ello?) e) IkmuC$tre que la amplitud del campo electrico disminu~ por un factor de Ile a una distancia l/kc "" V2plw¡¡.. y calcule esta distancia con respecto a una onda de radio con una !Tecuencía/- 1.0 MHz enOJbre(resistividad - 1.72 x I~ n· m, pero meabiJidad¡¡. -1AoJ. Por5n"tan COUl esgdistancil, lasoodaselectrl> magnélicas de CSIIl'rtcuencia dificilmente se propagan al interior del cobre. En cambiO, se reflejan en la superficie del metal. Esto explica por qué las ondas de radio no penetran el cobre ni OtroS metales. y por qué la recepción de radio es deficiente en el interior de UI\I

estructura metálica.



Ondas Electromagneticas Sears Zemansky

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