Ondas ElectroMagneticas

Propagación de ondas electromagnéticas en medios

sin fuentes: fenómenos de reflexión y transmisión

Ondas Electromagéticas en medios no conductores Fenómenos de transmisión y reflexión ´ Montaje Experimental

ORGANIZACIÓN

• Ondas electromagnéticas en medios no conductores

- Ecuación de Onda sin Fuentes

- Ondas Planas Monocromáticas

- Polarización

- Condiciones de Frontera

• Fenómenos de transmisión y reflexión - Reflexión y Transmisión en medios No Conductores

- Angulo de Brewster

- Reflexión Total Interna

- Reflexión en una Superficie Conductora

• Montaje Experimental - Caracterización del Sistema

- Reflexión y Refracción


Ondas Electromagnéticas en medios no conductores Fenómenos de transmisión y reflexión ´ Montaje Experimental

ORGANIZACIÓN




- Polarización









ECUACIÓN DE ONDA SIN FUENTES

Ecuaciones de Maxwell:

D

Ley de Gauss

0 B

t

DJH

Ley de Ampère-Maxwell

t

BE

Ley de Faraday

Hipótesis: Ausencia de fuentes y medio lineal e isotrópico

0

0

J

HB

ED

0 E

Ley de Gauss

0 B

t

EB


t

BE

Ley de Faraday


ECUACIÓN DE ONDA SIN FUENTES

0 E

Ley de Gauss

0 B

t

EB


t

BE

Ley de Faraday

Tomando el rotor en la Ley de Ampere y en la Ley de Faraday:

2

22.)(

t

EB

tt

BEEE

2

22.)(

t

BE

tt

EBBB

2

22

t

EE

2

22

t

BB


ONDAS PLANAS MONOCROMÁTICAS

2

22

t

EE

2

22

t

BB

).(

).(

),(

),(

wtrki

o

wtrki

o

eBtrB

eEtrE

Vamos a buscar soluciones como ondas monocromáticas planas:

Sustituyendo en la ecuación de ondas:

n

c

kck 022 1

00

n ¡Relación entre óptica y electromagnetismo!



).(),( wtrki

oeEtrE

Pero las soluciones no solamente tienen que verificar la Ecuación de Onda sino

también las Ecuaciones de Maxwell:

0 E

0. oEk

).(),( wtrki

oeBtrB 0 B

0. oBk

w

EkB o

o

).(

).(

),(

),(

wtrki

o

wtrki

o

eBtrB

eEtrE

t

BE



0. oEk

0. oBk

w

EkB o

o


POLARIZACIÓN

Se entiende como polarización la dirección en que se encuentra el campo

eléctrico en el espacio.

yExEE oyoxoˆ

~ˆ

~

¡Complejos!

)(.ˆˆ),( wtkzii

oyox eyeExEtzE

ywtkzExwtkzEtzE oyoxˆ)cos(ˆ)cos(),(

Tomando la parte real:


POLARIZACIÓN


ywtkzExwtkzEtzE oyoxˆ)cos(ˆ)cos(),(

Polarización Lineal:

,....2,1,02 nconn )cos(ˆˆ),( wtkzyExEtzE oyox

Polarización Circular:

,....2,1,022/ nconn

ywtkzExwtkzEtzE oxoxˆ)sin(ˆ)cos(),(

POLARIZACIÓN

Ondas Electromagnéticas en medios no conductores Fenómenos de transmisión y reflexión Montaje Experimental

22

2

22

cos22tan

sincos2

oyox

oyox

ox

x

oy

y

ox

x

oy

y

EE

EE

E

E

E

E

E

E

E

E

Polarización Elíptica:

oyE

oxE

yE

xE

CONDICIONES DE FRONTERA

Ley de Faraday Ley de Gauss



CONDICIONES DE FRONTERA


ORGANIZACIÓN




- Polarización










REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN EN MEDIOS NO CONDUCTORES



Condiciones de frontera en medio

no conductor:

1 = 2 = 3 fase t

1 = 2= 3

No hay cambio en la frecuencia

0... zenrkrkrk TRI

r

TI

RI

nn

sinsin 21



Condiciones de frontera en medio

no conductor:

con



Polarización Paralela al Plano de

Incidencia:



Polarización Paralela al Plano de Incidencia:

Polarización Perpendicular al Plano de Incidencia:


ANGULO DE BREWSTER

Para el caso de polarización paralela al plano xz existe un ángulo de incidencia

θB llamado ángulo de Brewster para el cual no hay onda reflejada (asumimos

1/2 = 1):

1

21tann

nB

Una onda con polarización mixta que incide con el ángulo de Brewster, se

refleja con polarización perpendicular al plano xz.


REFLEXIÓN TOTAL INTERNA

Por otro lado si n2 > n1 existe un ángulo de incidencia θc para el cual no hay

onda refractada:

1

21sinn

nc

Para ángulos de incidencia θI > θc

2/12

2/12

1)(sinexp)sin(exp)exp(

1)(sin)cos(1)sin(

ITITT

IRR

zkxikrki

i

La onda se propaga paralela a la superficie y se atenúa exponencialmente

dentro del medio 2


REFLEXIÓN EN UNA SUPERFICIE CONDUCTORA

Ondas Electromagnéticas en Medios Conductores:

Ley de Ohm

Ecuaciones de Maxwell

Ecuación de Continuidad




Ecuaciones de Maxwell:

Ecuación de Ondas:

Solución de Ondas Planas:




• Los campos siguen siendo transversales:



Reflexión y Transmisión en una Superficie Conductora:

Para un conductor perfecto (σ = ∞)


ORGANIZACIÓN


- Ecuación de Onda


- Polarización










CARACTERIZACIÓN DEL SISTEMA

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(º)

VN

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(º)

VN

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

2

2

e

x

ay

a2 = 210

Frecuencia: 10,525 GHz



0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.850

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

r (m)

VN

r



Polarización:

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(º)

VN

datos experimentales

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(º)

VN


|cos()|

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(º)

VN


|cos()|

cos2()

Sensor

I ED2

I cos 2()

ED = E0 cos()

ED |cos()|

E0


REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN

Reflexión:

Refracción:


ANGULO DE BREWSTER

• Aire: ni = 1

• Polietileno: nt = 1,5

• tan(θP) = nt / ni = 1,5

θB = 56,3º

θi

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

i (º)

VN

E vertical

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

P

i (º)

VN

E vertical

E horizontal

50º< θP < 60º


ANGULO DE BREWSTER

Cambio de Plano de Polarización:


ANGULO DE BREWSTER

Ventana de Brewster:

100%

0% 0%


ANGULO DE BREWSTER

Ventana de Brewster:

44 46 48 50 52 54 56 58 60 620

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

i (º)

VN

P

E horizontal

θi


BIBLIOGRAFÍA


• D. Griffiths, “Introduction to electrodynamics”, Prentice Hall, 1999

• E. Hecht y A. Zajac, “Óptica”, Adison-Wesley Iberoamérica

•J. R. Reitz, F. J. Milford y R. W. Christy, “Fundamentos de la Teoría

Electromagnética”, 3era edición, Adison-Wesley Iberoamérica

• Instruction Manual and Experiment Guide for the PASCO scientific Model

WA-9314B “Microwave Optics”

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