Cap. 16: Superposición y ondas estacionarias

Principio de Superposición: Cuando dos o más ondas se combinan, la onda resultante es la suma algebraica de las ondas individuales. Este principio es consecuencia de la linearidad de la ecuación de onda:

2

2

22

2 1ty

vxy

∂∂

=∂∂

Interferencia de ondas armónicas

( ) ( )( ) ( )

1 2

1 2

sin , sin

sin sin

y A kx t y A kx t

y y y A kx t A kx t

ω ω φ

ω ω φ

= − = − +

= + = − + − +

sin sin

sin sin 2cos sin2 2

y A kx t A kx t

Usando la siguiente identidadβ α

ω ω φ

α β α βα β

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − + − +

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

tenemos:

2 cos sin2 2

y A kx tφ φω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La onda resultante es otra onda armónica de igual número de onda y frecuencia. La amplitud de la onda resultante es 2Acos(φ/2) y la constante de fase es φ/2.

Si φ = 0, entonces la amplitud es 2A y la interferencia es constructiva.

Si φ = π, entonces la amplitud es cero y la interferencia es destructiva.

Ver ejemplo 16.6.

Ondas estacionariasConsidera una cuerda atada a ambos extremos (ejemplo: cuerda de guitarra).Las ondas viajando a la izquierda interfieren con las que viajan a la derecha y para ciertas frecuencias, forman el patrón de onda estacionaria ilustrado en la figura.

( ) ( )( ) ( )

1

2

, sin

, sin

y x t A kx t

y x t A kx t

ω

ω

= −

= +

( ) ( )1 2 sin siny y y A kx t A kx t= + = −ω + + ω

Usando

tenemos

( ) ( )1 1

sin sin 2 cos sin2 2

α + β = α − β α + β

[ ]2 sin cosy A kx t= ω

Vemos que la ecuación predice que existe un nodo en x = 0, lo cual es correcto.

Vemos que en x = L hay otro nodo, por lo tanto

sin 0

2 2

2

2

n

nn

n

kL kL n

LL n

nv n

f vL

n Tf

L

= ∴ = π

π= π ∴ λ =

λ

= =λ

=µ

Ejemplo:Una cuerda se estira entre dos soportes fijos distantes 0.70 m entre sí y se ajustan hasta que la frecuencia fundamental de la cuerda es 440 Hz. Calcula la velocidad de las ondas transversales en la cuerda.

Ejemplo:

Una cuerda de 3 m de longitud, y densidad lineal 0.0025 kg/m, está sujeta por ambos extremos. Una de las frecuencias de resonancia es 252 Hz. La siguiente frecuencia de resonancia es 336 Hz. ¿Qué armónico corresponde a los 252 Hz? Calcula la frecuencia fundamental y la tensión en la cuerda.