地球惑星科学基礎V演習

第4回瀬⼾雄介

http://pmsl.planet.sci.kobe-u.ac.jp/~seto

結晶族点群

様々な対称操作

• 並進を伴わないもの– 回転– 回反– 対称⼼ (= 1回回反)– 鏡映 (= 2回回反)

• 並進を伴うもの– 格⼦並進(平⾏移動)– 映進 (鏡映+平⾏移動)– らせん (回転+平⾏移動)

組み合わせると有限の⼤きさの物体の対称性を表現することができる

点群(Point group)

1)結合法則Gの任意の元a, b, cに対して(a ⊗ b) ⊗ c＝a ⊗(b ⊗ c)となる

集合Gの任意の元に関して・算法⊗が定義され、・任意⼆つの元を演算した結果は

集合Gに含まれ(a ⊗ b ∈ G )、・さらに次の3法則を満たすときG

は群であるという．

群とは集合G

ab

c

d hf⊗

ただし、演算の⽅向を変えても結果が同じ[=可換]とは限らない

eは「なにもしない」元である

eの逆元はかならずe, aの逆元がaになることもある

元

2) 単位元の存在Gに元eがあって，Gの任意の元aに対しa⊗e＝e⊗a＝aとなる。eをGの単位元(unit element)という．

3) 逆元の存在Gの任意の元aに対しある元aʼがGにあって，a⊗aʼ＝aʼ⊗a＝eとなる．aʼをaの逆元といい，ふつうa-1と書く．

点群の例

E C90 C180 C270

E E C90 C180 C270

C90 C90 C180 C270 E

C180 C180 C270 E C90

C270 C270 E C90 C180

4回回転軸(C90, C180, C270)

4回回転軸を⼀つだけもつ物体を不変に保つ対称操作は・0°回転 (E)・90 °回転 (C90)・180°回転 (C180)・270°回転 (C270)の四つがある。

この4つの元からなるの集合は・結合則・単位元の存在・逆元の存在を満たす (群の性質を持っている)

E C180 m1 m2

E E C180 m1 m2

C180 C180 E m2 m1

m1 m1 m2 E C180m2 m2 m1 C180 E

2回回転軸(C180)

鏡⾯1 (m1)

鏡⾯2(m2)

点群2 m m

E C120 C240 m m ・C120 m ・C240E E C120 C240 m m ・C120 m ・C240

C120 C120 C240 E m ・C120 m ・C240 m

C240 C240 E C120 m ・C240 m m ・C120m m m ・C120 m ・C240 E C120 C240

m ・C120 m ・C120 m ・C240 m C120 C240 E

m ・C240 m ・C240 m m ・C120 C240 E C120

点群6

6回回反(=3/m)軸

120°回転(C120)240°回転(C240)鏡⾯(m)

形状の対称性をあらわす群 : 点群

・単位元 E は何もしない(もとに戻る)操作である・⼀つの⾏、⼀つの列は、すべての対称操作を⼀回ずつ含む

結晶族点群の種類回転操作: 1, 2, 3, 4, 6回反操作: 1 (= i), 2 = (m), 3 (=3・i), 4, 6

これらを、群の性質を満たすように組み合わせてみると…

各晶系ごとに、合計32種類の結晶族点群を分類ことができる

結晶系 点群の表記三斜晶系 1, 1単斜晶系 2, m, 2/m斜⽅晶系 2 2 2, m m 2, m m m正⽅晶系 4, 4, 4/m, 4 2 2, 4 m m, 4 2 m, 4/m m m三⽅晶系 3, 3, 3 2, 3 m, 3 m六⽅晶系 6, 6, 6/m, 6 2 2, 6 m m, 6 2 m, 6/m m m⽴⽅晶系 2 3, m 3, 4 3 2, 4 3 m, m 3 m

点群の表記⽅法• (最⼤)三つのパーツ X Y Z で構成される

– Xには、主軸に平⾏な回転・回反軸あるいは主軸に垂直な鏡映⾯を記⼊する(必須)

– 主軸以外(副軸)に回転・回反軸あるいは鏡映⾯が存在する場合は、Y, Zに記⼊する

– 軸に垂直な鏡⾯があるときは、軸の表記の直後に/mと続ける– 主軸、副軸のセッティングは結晶系によって異なる

a

bc

軸の表現の仕⽅ [u v w] は u a + v b + w c を表す.また u は、-uを意味する例 [100] = a

[110] = a + b[011] = b - c

点群の読み⽅2/m

3 m

単斜晶系 主軸は b

b軸に2回軸があるb軸に垂直な鏡⾯がある

三⽅晶系 主軸は c, 副軸は a と b と [110]([110]とは - a - b⽅向のこと)

c軸に3回軸があるa,b, [110]軸に垂直な鏡⾯がある

4/m m m 正⽅晶系主軸は c 1つ⽬の副軸は a と b2つ⽬の副軸は[110]と[110]

c軸に4回軸があるc軸に垂直に鏡⾯がある

a,b軸に垂直に鏡⾯がある[110], [110]軸に垂直に鏡⾯がある

バスケットボールの対称性4/m m m 正⽅晶系

主軸は c 1つ⽬の副軸は a と b2つ⽬の副軸は[110]と[110]

c 軸に4回軸がある

c軸に垂直に鏡⾯がある

a,b軸に垂直に鏡⾯がある

[110], [110]軸に垂直に鏡⾯がある

c

a

b

[110]

[110]

c軸に4回軸a軸に垂直な鏡⾯

球⾯への投影

物体の形状を球⾯投影して、⾓度の情報だけに注⽬すればよい(このように考えても、対称要素は保存される)

物体の形状を考えるのは⼤切だが、3次元の物体をいちいち書くのはあまりにも煩雑。。。

ステレオネット投影法

参照球の• 北(上)半球については南極点から• 南(下)半球については北極点から球⾯上の点を結んだ直線が、⾚道⾯と交わった点を投影する

北(上)半球

南(下)半球 南極点

北極点

⾚道⾯

北半球上の点は「⽩」で、南半球上の点は「⿊」であらわす

地球(北半球)のステレオネット投影図

⽇本

北アメリカ

インド

ヨーロッパ

アフリカ

ロシア

太平洋

⼤⻄洋

南アメリカ

中国

北極

地球(北半球)のステレオネット投影図

4回回転

2回回転

鏡⾯

ステレオネット投影法

2回回転軸

2回回転によって写る等価な点

2回回転軸

北緯30°, ⻄経30° 南緯30°, 東経30°

ステレオ投影による対称性の表現 -回転軸-

2回軸

2

4回軸

4

3

3回軸

6

6回軸特殊位置

⼀般位置

対称操作によって次々と⽣み出された点は、すべて「等価」である

回転軸は多⾓形で表す

ステレオ投影による対称性の表現 -回転軸 その２-

2回軸

4回軸

2回軸

下半球(南半球)の点を意味する 4回軸

ここにも2回軸が現れる

ここにも2回軸が現れる

ステレオ投影による対称性の表現 –鏡⾯, 対称⼼-

m

m

m

‘‘

i

‘

特殊位置

‘鏡像の関係

⾚道⾯に鏡⾯が存在

‘

ステレオ投影による対称性の表現 –回反軸-

4回回反

3

3回回反

‘ ‘

‘

‘ ‘

• 表記のルール

‘‘上半球 下半球

右⼿

左⼿

今⽇の演習問題では右⼿と左⼿を区別しなくてよいです。

m(紙⾯に平⾏)

m(紙⾯に垂直)

2回軸(紙⾯に平⾏)

3回軸(紙⾯に垂直)

:上半球と下半球が重なり合ったとき

ステレオ投影による対称性の表現 –まとめ-

作図例 その1

• 点群 4 m mの場合

a

b

c

主軸: c軸4

副軸①: a 軸あるいは b軸m (法線の⽅向)

副軸②:[110]あるいは[1-10]ｍ (法線の⽅向)

[110][1-10]

作図例 その2

• 点群 -6 2 ｍの場合主軸: c軸

-６副軸①: a 軸,b軸,[-1-10]

2副軸②:[1-10],[120], [-2-10]

ｍ (法線の⽅向)

[120]

[-1-10]

[1-10]

[-210]

ab