UNIDAD 5.- DISEO DE OBSERVADORES DE ESTADO

Objetivo especfico: El estudiante ante el problema de no tener acceso a los estados de un sistema podr disear observadores que le permitan aplicar las tcnicas de ubicacin de polos y el diseo de reguladores cuadrticos ptimos.

Tema: Diseo de observadores por el mtodo de asignacin de polos.

Materia: Control Moderno

M.C. Febe Barbosa Xochicale

Observadores El diseo del controlador se apoya en el acceso a las variables de estado para la realimentacin por medio de ganancias ajustables, por hardware. Algunas veces las variables de estado no estn disponibles o es muy costoso medirlas, entonces se necesita estimar (observar) los estados en lugar de los reales para alimentar al controlador. Un observador o estimador se utiliza para calcular las variables de estado que no son accesibles a la planta, es un modelo de planta. Figura a)

Planta

Observador

Planta - Observador

( ) ( )

El sistema es estable si la planta lo es, la convergencia es demasiado lenta. Con realimentacin tenemos:

Aqu ya se puede controlar la respuesta transitoria deseada del observador

Planta

Observador

( )

Planta - Observador

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

El error es y su derivada es

( )

Aqu voy El diseo consiste en hallar los valores de L que hagan que el error sea cero. La ecuacin caracterstica es:

( ( ))

Ejemplo 1:

Para la representacin de variables de estado en la forma cannica

observable de la figura se tiene:

[

] [

] [

] [

]

[ ] [

]

[

] [

] [ ]

[

]

La ecuacin caracterstica de es

( ) ( ) ( )

La ecuacin caracterstica deseada es de la forma:

Igualando trminos tenemos:

Despejando

Ejemplo 2:

Disear un observador para la planta

( ) ( )

( )( )( )

que est representada en la forma cannica controlable. El observador responder con un tiempo de asentamiento de 0.4 segundos y un porcentaje de sobretiro del 20.8%.

[

] [

] [

] [ ]

[ ] [

]

( ) [

]

La ecuacin caracterstica de es

( ) ( ) ( )

El polinomio deseado para satisfacer los requisitos son:

Para la ecuacin caracterstica deseada se tiene que:

(

)

( )

( )( ) ( )

Se propone un polo es

( )( )

Comparando tenemos que:

( ) ( ) ( )

Respuesta del observador con condiciones iniciales 0.5: a) en lazo cerrado b) en lazo abierto con ganancias desconectadas

% Diseo del observador % l = acker(A',C',poles)'. clc; 'Ejemplo 2' % Observable numg=[1 4]; deng=poly([-1 -2 -5]); 'G(s)' G=tf(numg,deng) Gf=zpk(G) [Ac,Bc,Cc,Dc]=tf2ss(numg,deng); % Controlable Ao=Ac'; % Observable Bo=Cc'; Co=Bc'; Do=Dc;

% Deseado pos=input('DAME EL PORCENTAJE DE SOBRETIRO %OS = '); Ts=input('DAME EL TIEMPO DE ESTABILIZACION Ts = '); z=(-log(pos/100))/(sqrt(pi^2+log(pos/100)^2)); wn=4/(z*Ts);

[num,den]=ord2(wn,z); %r=roots(den) r=roots([1 20 500]) % El tercer polo 10 veces la parte real para no afectar polos=[r' 10*real(r(1))] lp=acker(Ao',Co',polos)'

Mtodo alterno, es decir cuando no est en la forma cannica observable

La planta no est en la forma cannica observable Hallamos

[

]

Se transforma a

Entonces

Se convierte en

Multiplicando por

Donde

Calculamos

[

( )

( )(

)

( )

( )

]

[

]

Despejando se tiene que:

Se transforma la planta ala forma cannica controlable y se tiene ( )

(

)

Como

y Entonces

(

) ( )

( )

( )

Lego tenemos que

Ejemplo: Disear un observador para la planta

( )

( )( )( )

Representada en cascada. El desempeo en lazo cerrado del observador est

regido por el polinomio caracterstico

% Diseo del observador % l = acker(A',C',poles)' sin transformar a la forma canonica controlable

'Ejemplo 6' A=[-5 1 0;0 -2 1;0 0 -1]; B=[0;0;1]; C=[1 0 0]; D=0; poles=roots([1 120 2500 50000]) l=acker(A',C',poles)'