Observabilidad

1Ing. Gabriela Ortiz León

Control Automático

Observabilidad


Contenido

Observabilidad

Introducción a los observadores de estado

Ejemplos y ejercicios


Observabilidad: definiciónPartimos del sistema

se dice que el estado x(t0) es observable si dada cualquier entrada u(t), existe un tiempo finito tf ≥ t0 tal que, el conocimiento de:

u(t) para t0 ≤ t < tf

las matrices A, B, C y D la salida y(t) para t0 ≤ t < tf

sea suficiente para determinar x(t0).

x=Ax (t ) + Bu(t )y (t )=Cx (t ) + Du(t )


Observabilidad: definiciónSi cada estado del sistema es observable para un tiempo finito, se dice que el sistema es completamente observable, o simplemente observable.

Para que el sistema descrito sea completamente observable, es necesario y suficiente que S, la matriz de observabilidad de nm x n, tenga un rango n.

S= [CCACA2

⋮

CAn−1]


Pruebas para la observabilidad Si el sistema tiene solo una salida, C es una

matriz de reglón de 1 x n y S es una matriz cuadrada de n x n. Entonces, el sistema es completamente observable si S es no singular

Para un sistema SISO, el par [A,C] es completamente observable si A y C están en la forma canónica observable (FCO) o son transformables a la FCO mediante una transformación de similitud.


Pruebas para la observabilidad (2) Si A está en la forma canónica diagonal

(FCD) el par [A,C] es completamente observable si todos los elementos en las columnas de C son diferentes de cero.

Si A está en la forma canónica de Jordan (FCJ), el par [A,C] es completamente observable si los elementos en las columnas de C que corresponden al primer renglón de cada bloque de Jordan no son todos cero.


Ejemplos de Observabilidad (1)¿Son los siguientes sistemas completamente observables?

x=[−1 00 −2 ] x ; y=[1 3] x

x=[2 1 00 2 10 0 2 ] x ; y=[3 0 0

4 0 0 ] x

x=[2 1 0 0 00 2 1 0 00 0 2 0 00 0 0−3 10 0 0 0 −3

] x ; y= [1 1 1 0 00 1 1 1 0 ] x


Ejemplos de Observabilidad (2)¿Son los siguientes sistemas completamente observables?

x=[−1 00 −2 ] x ; y=[0 1] x

x=[2 1 00 2 10 0 2 ] x ; y=[0 1 3

0 2 4 ] x

x=[2 1 0 0 00 2 1 0 00 0 2 0 00 0 0−3 10 0 0 0 −3

] x ; y= [1 1 1 0 00 1 1 0 0 ] x


Observabilidad a partir de G(s)o G(z)

Si la función de transferencia entrada-salida de un sistema lineal tiene cancelación de polos y ceros, el sistema será o no observable dependiendo de cómo se definan las variables de estado.

Si la función de transferencia entrada-salida NO tiene cancelación de polos y ceros, el sistema siempre se puede representar mediante las ecuaciones dinámicas como un sistema totalmente observable.


Ejemplo 3Sea la función de transferencia

Se descompone en la forma FCC

Cuya matriz de observabilidad, S, es singular y por ello el par [A,C] no es observable

Y ( s)U (s)

=s+1

(s+1)( s+2)

A=[ 0 1−2 −3 ]

B=[01 ]C=[1 1 ]

S=[ CCA ]= [ 1 1−2 −2 ]


Ejemplo 3: continuaciónEl sistema se representa en la forma FCO

Debido a que la FCO se puede realizar, el par [A, C] es observable

A=[0−21−3 ]B=[11 ]C=[0 1 ]


Controlabilidad y Observabilidad de sistemas en lazo cerrado con

realimentación de estado

Controlabilidad Si es x(t)=Ax(t) + Bu(t) es completamente

controlable, entonces si :

u(t)=r(t)−Kx(t)el sistema en lazo cerrado con realimentación de estado es:

x(t)=(A-BK)x(t) + Br(t)

y es también completamente controlable

•

•


Controlabilidad y Observabilidad de sistemas en lazo cerrado con

realimentación de estado

Observabilidad Si el sistema a lazo abierto es controlable y

observable, la realimentación de estado puede destruir la observabilidad

Es decir, la observabilidad a lazo abierto y lazo cerrado no están relacionadas


La realimentación puede alterarla observabilidad

Sea el sistema del cual puede demostrarse que es observable

Aplicamos realimentación de estado con

La matriz S tiene el determinante

x= [ 0 1−2 −3 ] x + [11 ] u

y=[1 2 ] x

u(t )=r (t )−Kx (t )

K=[k1 , k 2]

x (t )=(A−BK ) x (t )+ Br (t )

S= [ CC (A−BK )]=[ 1 2

−3k1−4 −3k2−5 ]∣S∣= 6k1−3k2+3

Por lo que si k1 y k2 se seleccionan para que S = 0, el sistema en lazo cerrado sería no observable


Observabilidad en tiempo discreto

Partimos del sistema

Para que este sistema sea observable la matriz de nm x n debe tener rango n

x ( (k+1) T )=Ad x (kT ) + Bd u(kT )

y (kT )=Cx (kT ) + Du (kT )

S= [CCAdCAd

2

⋮

CAdn−1 ]


Ejercicio 2

Encuentre si el sistema es observable

x (k+1)= [1,65 −0,6751 0 ] x (k ) + [10 ] u(k )

y (k )=[1 0,825 ] x (k ) T =0,01 s


Transformación a FCO

Sea Q la matriz de transformación, con S la matriz de observabilidad

Y con

Q=(WS )−1

W= [a1 a2 ⋯ an−1 1a2 a3 ⋯ 1 0⋮ ⋮ ⋮ ⋮

an−1 1 ⋯ 0 01 0 ⋯ 0 0

]


Transformación a FCOSe define como un nuevo vector de estado

Si el sistema es observable, la matriz Q tiene inversa.

Utilizando la matriz Q se puede transformar el sistema a la forma canónica observable:

xx=Q x

˙x=Q−1AQ x + Q−1Buy=CQ x + Du


Los elementos de las matrices y no están restringidos a ninguna forma especial

La forma canónica observable

A= [0 0 ⋯ 0 −a01 0 ⋯ 0 −a10 1 ⋯ 0 −a2⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 ⋯ 1 −an−1

]C=[0 0 ⋯ 0 1 ]

B D


No siempre es posible medir el estado x

A veces es necesario estimar las variables de estado no medibles a partir de las variables de salida y de las variables de control

Observadores de estado


Ejercicios

1. Encuentre si el sistema discreto mostrado, con T = 0.01s, es controlable y observable.

2. Haga que el sistema tenga los polos de lazo cerrado en µ = 0.6 +/- 0.25j y que tenga error de estado estacionario cero ante un escalón en la entrada r(k)

x (k+1)=[ 0,9319 −0,024140,03863 0,99951 ] x (k ) + [ 0,019310,0003908 ] u

y (k )= [0 1,25 ] x (k )


Ejercicios (2)3. Considere el sistema de orden 3 y utilizando

Ackerman, ubique los polos en µ1,2 = -1 +/- j y en µ3 = -7. Haga cero el error ante una entrada escalón en r(t)

4. Resuelva los ejercicios utilizando las funciones acker y place de Matlab. ¿Cuál es la diferencia entre ambas? ¿Cuál es más recomendable?

x= [0 1−22 0 00 1 0 ] x + [

0,500 ] u

y=[0 0 1 ] x


Ejercicios (3)5. Encuentre si el sistema mostrado es

observable

6. Calcule la controlabilidad y observabilidad utilizando las funciones ctrb y obsv de Matlab.

7. Examine la ayuda de Matlab para la función canon. ¿Cuál es la diferencia entre la matriz T de Matlab y la matriz Q descrita aquí?

x=[0 1−22 0 00 1 0 ] x + [

0,500 ] u

y=[0 0 1 ] x


Referencias[1] Kuo, Benjamin. „Sistemas de Control

Automático“,Pearson, Prentice-Hall, 1996,7ª edición, México

[2] Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª Ed., Madrid.

[3] Ogata, Katsuhiko. „Sistemas de Control en tiempo discreto“, Prentice Hall, 1996, 2ª Ed., México.

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