Controlabilidad y Observabilidad en Sistemas de Control

UNEXPO

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRONICA

SECCION DE INSTRUMENTACION Y CONTROL

CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES

CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD EN

SISTEMAS DE CONTROL

Prof.: Ing. Saturno Sarmiento

REPRESENTACION GRAFICA DE UN ESPACIO DE ESTADO

Control de Procesos Industriales

ESTADOS

x1, x2, , xn Entradas Salidas

PROCESO

Parmetros

p1, p2, , pr

u1, u2, , um y1, y2, , yq

Perturbaciones

w1, w2, . . ., wv

MODELOS DINAMICOS NO LINEALES: Set de Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias de 1er Orden, No Lineales, explicitas y de valor

inicial.


x = variable de estado u = entrada del sistema

p = parmetro del sistema

n ecuaciones n estados

m entradas r parmetros

w perturbaciones

x = Vector de estado u = Vector de entrada

p = Vector de parmetros

w = Vector de perturbaciones

1 1 1 1 1 1

2 2 1 1 1 1

1 1 1 1

,..., , ,..., , ,..., , ,...,

,..., , ,..., , ,..., , ,...,

.

.

.

,..., , ,..., , ,..., , ,...,

n m r v

n m r v

n n n m r v

x f x x u u p p w w

x f x x u u p p w w

x f x x u u p p w w

x f x,u,p,w

Ecuacin

de estado

no lineal

y g x,u,p,wEcuacin de salida no lineal

LINEALIZACION DE LAS ECUACIONES NO LINEALES

+Aplicando el Jacobiano se tiene:

Doctorado en Ciencias de la Ingeniera

Matriz de perturbaciones

Matriz de estado

y g x,u,p,w

Matriz de salida

Ecuacin de estado

NO lineal

Ecuacin de salida

NO lineal

Matriz de pre

alimentacin

x f x,u,p,w, ,

, ,

, ,

iij

i x u w

iij

i x u w

iij

i x u w

fA

x

fB

u

fE

w

, ,

, ,

, ,

iij

i x u w

iij

i x u w

iij

i x u w

gC

x

gD

u

gH

w

Matriz de entrada

Matriz de perturbaciones

ECUACION DE ESTADO, ECUACION DE SALIDA, LEY DE CONTROL

+ Ecuacin de estado lineal:

+ Ecuacin de salida lineal:

+ Ley de Control lineal:


( ) ( ) ( ) ( )t t t t x Ax Bu Ew

( ) ( )t t u Kx

( ) ( ) ( ) ( )t t t t y Cx Du Hw

A = Matriz de estados

B = Matriz de entradas

C = Matriz de salidas

D = Matriz de pre alimentacin

E = Matriz de perturbaciones - estado

H = Matriz de perturbaciones - salida

K = Matriz de Ganancias de

realimentacin

VECTORES DE ESTADO, DE ENTRADA, DE SALIDA, DE PERTURBACION Y

DE GANACIA


1

1

.

.

.

n nx

x

x

x

1

1

.

.

.

m mx

u

u

u

Vector de estado Vector de entrada

1

1

.

.

.

q qx

y

y

y

Vector de salida

1 1. . . n xnk kKVector de ganancia de realimentacin

1

1

.

.

.

v vx

w

w

w

Vector de perturbaciones

MATRICES DE ESTADO, DE ENTRADA, DE SALIDA, DE PERTURBACION


11 1

1

n

n nn nxn

a a

a a

A

11 1

1

p

n nm nxm

b b

b b

B

Matriz de estado Matriz de entrada

11 1

1

n

q qn qxn

c c

c c

C

Matriz de salida

11 1

1

m

q qm qxm

d d

d d

D

Matriz de pre alimentacin

11 1

1

v

n nv nxv

e e

e e

E

11 1

1

v

q qv qxv

h h

h h

H

Matrices de perturbacin

CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO


Controlabilidad

y

Observabilidad

Introducidos por Kalman en 1961

Rol importante en los

aspectos tericos y prcticos del

control moderno

Gobiernan la existencia de una

solucin al problema de control

optimo

Tiene criterios para saber si existe

una solucin al problema de

control optimo antes de iniciar el

diseo propiamente dicho

CONTROLABILIDAD

DEFINICION:

Se dice que un proceso es de Estado Completamente Controlable si cada variable de estado

del proceso puede ser controlada para alcanzar un cierto objetivo en un tiempo finito por

alguna seal de control u(t) no restringida.

La condicin de controlabilidad de un proceso est ntimamente ligada a la existencia de una

solucin de realimentacin de estado, mediante la asignacin de los polos de lazo cerrado del

sistema en forma arbitraria.

La siguiente figura ilustra el concepto de Controlabilidad mediante la realimentacin de estado.


( ) ( )t t u Kx


MATRIZ DE CONTROLABILIDAD

DEFINICION:

Es una matriz no singular (su determinante es diferente de cero), de

una estructura especial, que nos permite medir si un sistema es o no

de Estado Completamente Controlable.

La matriz de controlabilidad es funcin del par [A,B] y viene expresada

como:

1, . . . nC nxnM f A B B AB A B

Condicin de controlabilidad:

Un sistema es de estado completamente controlable si la matriz de

controlabilidad es de rango n. Matemticamente se expresa como:

# estados del sistemaCn rank M

OBSERVABILIDAD

DEFINICION:

Se dice que un proceso es de Estado Completamente Observable si cada variable de estado

del proceso puede ser determinada desde la observacin de las salidas sobre un intervalo de

tiempo finito.

La Condicin de Observabilidad de un proceso est ntimamente ligada a la posibilidad que

existe de observar las variables de estado del proceso a partir de las variables de salida que

son generalmente medibles.

El concepto de Observabilidad es muy importante porque, en la prctica, es sumamente difcil

medir directamente todas las variables de estado, y estas son necesarias para construir la

seal de control.

El concepto de Observabilidad es el dual de Controlabilidad: Mientras que Controlabilidad tiene

que ver con el uso de las entradas del sistema para conducir los estados a un punto deseado,

la Observabilidad tiene que ver con estimar los estados del sistema a partir de una salida dada.



2

-1n

nxn

C

CA

CA

Mo .

.

.

CA

MATRIZ DE OBSERVABILIDAD

DEFINICION:

Es una matriz no singular (su determinante es diferente de cero), de

una estructura especial, que nos permite medir si un sistema es o no

de Estado Completamente Observable.

La matriz de Observabilidad es funcin del par [A,C] y viene expresada

como: Condicin de Observabilidad:

Un sistema es de Estado Completamente Observable si la

matriz de Observabilidad es de rango n.

Matemticamente se expresa como:

# estados del sistemaOn rank M


OBSERVADORES O ESTIMADORES DE ESTADO

DEFINICIN:

Es un sub sistema en el sistema de control que lleva a cabo la estimacin de

las variables de estado a partir de las mediciones de la variable de salida y

de la variable de control.

Se debe tener presente que se podr disear un estimador de estado si y

solo si se satisface la condicin de Observabilidad.

La condicin de Observabilidad necesaria y suficiente para la estimacin de

estados es que el sistema sea de Estado Completamente Observable.

Un sistema es de estado completamente Observable si el rango de la matriz

de Observabilidad Mo es igual al orden del sistema.

COMANDOS EN PROGRAM CC


Se parte de una funcin de transferencia conocida para obtener las

matrices A, B, C y D

3 2

25,04 5,008( )

5,03247 25,1026 5,008P

SG s

S S S

P1=ccf(Gp)-------> Se crea un cudruple usando la forma cannica Controlable

P2=ocf(Gp)-------> Se crea un cudruple usando la forma cannica Observable

P3=dcf(Gp)-------> Se crea un cudruple usando la forma cannica Diagonal

P1, P2 y P3 se les llama cudruple porque contienen las matrices A, B, C, D

en sus respectivas formas cannicas. Estas matrices pueden ser mostradas

usando los siguientes comandos: P1.a; P1.b; P1.c; P1.d

Si se tienen directamente las matrices A,

B, C, D entonces el cudruple se consigue

as: P=pack(A,B,C,D)

El siguiente comando da una

descripcin del sistema:

what(P)

COMANDOS EN PROGRAM CC


Mc=conmat(P1)-------> Encuentra la matriz de Controlabilidad

n=rank(Mc)-------> Prueba si el sistema es de Estado Completamente Controlable

El valor de n debe ser igual al orden del sistema o al nmero de estados.

Mo=obsmat(P1)-------> Encuentra la matriz de Observabilidad

n=rank(Mo)-------> Prueba si el sistema es de Estado Completamente Observable


COMANDOS EN MATLAB


3 2

25,04 5,008( )

5,03247 25,1026 5,008P

SG s

S S S

Otra forma es: Se introduce el numerador y el denominador de la FT

num=[0 0 25.04 5.008]

den=[1 5.03247 25.1026 5.008]

Gp=tf(num,den)

s=tf(s) --------> permite escribir las funciones de transferencia en forma de fracciones

Permite llevar de FT a EE:

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

COMANDOS EN MATLAB


Mc=ctrb(A,B)-------> Encuentra la matriz de Controlabilidad

n=rank(Mc)-------> Prueba si el sistema es de Estado Completamente Controlable


Mo=obsv(A,C)-------> Encuentra la matriz de Observabilidad

n=rank(Mo)-------> Prueba si el sistema es de Estado Completamente Observable


size(P) --------------> Dimensiones del sistema

Primero se introducen las matrices A, B, C, D y luego se crea el cudruple en

espacio de estado.

P=ss(A,B,C,D) ---------> Crea el cudruple P


ESQUEMA PROTOTIPO A SER DISEADO

Controlabilidad y Observabilidad en Sistemas de Control

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