Objetivos y Objetivos y competencias en la competencias en la evaluación de los evaluación de los

aprendizajes aprendizajes matemáticosmatemáticosFrançois PluvinageFrançois Pluvinage,,

Depto. Matemática Educativa,Depto. Matemática Educativa,

CINVESTAV-IPN México & CINVESTAV-IPN México & France,France,

pluvin@math.unistra.frpluvin@math.unistra.fr

NLSMA: UNA EVALUACIÓN CENTRADA NLSMA: UNA EVALUACIÓN CENTRADA EN LOS OBJETIVOS DE LA EDUCACIÓN EN LOS OBJETIVOS DE LA EDUCACIÓN

MATEMÁTICAMATEMÁTICA En el libro deEn el libro de Bloom, Hastings & Madaus (1971) Bloom, Hastings & Madaus (1971) un capitulo de Wilson, titulado un capitulo de Wilson, titulado

““Secondary School Mathematics”, Secondary School Mathematics”, presenta la clasificación NLSMA ( presenta la clasificación NLSMA (National National Longitudinal Study of Mathematical AbilitiesLongitudinal Study of Mathematical Abilities) orientada hacia la educación ) orientada hacia la educación matemática.matemática.

[Para elaborar la clasificación, uno principio] que se ha utilizado hasta cierto punto [Para elaborar la clasificación, uno principio] que se ha utilizado hasta cierto punto en una variedad de contextos, consiste en estratificar los resultados de la enseñanza en una variedad de contextos, consiste en estratificar los resultados de la enseñanza de las matemáticas de dos maneras: en primer lugar, por tipos de contenido de de las matemáticas de dos maneras: en primer lugar, por tipos de contenido de matemáticas, y en segundo lugar, por los niveles de comportamientos. El grupo y los matemáticas, y en segundo lugar, por los niveles de comportamientos. El grupo y los

consultores desarrollaron tal doble clasificaciónconsultores desarrollaron tal doble clasificación. . (Traducido de la p. 648)(Traducido de la p. 648) A pesar de la presencia de la A de A pesar de la presencia de la A de Abilities (habilidades) Abilities (habilidades) en NLSMA, la clasificación en NLSMA, la clasificación

NLSMA se establece en base a los objetivos de la educación matemática, objetivos NLSMA se establece en base a los objetivos de la educación matemática, objetivos tanto cognitivos como afectivos.tanto cognitivos como afectivos.

La noción cognitiva de base de la clasificación es el La noción cognitiva de base de la clasificación es el hecho específicohecho específico. Un hecho . Un hecho específico se caracteriza por expresarse en un enunciado simple (un solo verbo, de específico se caracteriza por expresarse en un enunciado simple (un solo verbo, de la lengua usual o simbólica). la lengua usual o simbólica).

Análisis en términos de hechos Análisis en términos de hechos específicosespecíficos

Ejemplos de hechos específicos:Ejemplos de hechos específicos: El producto de números naturales es distributivo con respecto a la sumaEl producto de números naturales es distributivo con respecto a la suma. O: . O: aa((b + cb + c) = ) = abab + + acac

Este enunciado es un teorema en el conjunto N de los números naturales, y un axioma de Este enunciado es un teorema en el conjunto N de los números naturales, y un axioma de estructura en los demás conjuntos numéricos (Z, Q, R). Este estatuto no se considera cuando estructura en los demás conjuntos numéricos (Z, Q, R). Este estatuto no se considera cuando se hace un análisis de hechos específicos, sólo importa el resultado.se hace un análisis de hechos específicos, sólo importa el resultado.

Un cuadrado tiene cuatro ejes de simetría: sus diagonales y las mediatrices de sus lados.Un cuadrado tiene cuatro ejes de simetría: sus diagonales y las mediatrices de sus lados.

Análisis de un teorema (Varignon): Análisis de un teorema (Varignon): En cualquier cuadrilátero ABCD, los puntos medios I, J, K, En cualquier cuadrilátero ABCD, los puntos medios I, J, K, L de los lados son los vértices de un paralelogramo.L de los lados son los vértices de un paralelogramo.

A pesar de su complejidad, este enunciado sólo contiene un verbo, entonces corresponde a A pesar de su complejidad, este enunciado sólo contiene un verbo, entonces corresponde a un solo hecho específico.un solo hecho específico.

Hechos específicos en la prueba del teorema:Hechos específicos en la prueba del teorema:Caracterización de un paralelogramo y paralelogramos determinados en un triángulo por los Caracterización de un paralelogramo y paralelogramos determinados en un triángulo por los puntos medios de sus lados.puntos medios de sus lados.

A pesar de su dificultad, la idea clave heurística de trazar la diagonal BD (o la diagonal AC) A pesar de su dificultad, la idea clave heurística de trazar la diagonal BD (o la diagonal AC) no aparece en el análisis de los hechos específicos.no aparece en el análisis de los hechos específicos.

Dos posturas extremas en la evaluación matemáticaDos posturas extremas en la evaluación matemática

ATOMISTA – Una evaluación basada en meros conocimientos y métodos ATOMISTA – Una evaluación basada en meros conocimientos y métodos rutinarios:rutinarios:- Alienta una actitud de estímulo-respuesta en lugar de una reflexiva .- Alienta una actitud de estímulo-respuesta en lugar de una reflexiva .

- Se dirige hacia la eficiencia rápida.- Se dirige hacia la eficiencia rápida.

- A veces se fortalece por la manera en la que los programas se formulan (véanse - A veces se fortalece por la manera en la que los programas se formulan (véanse por ejemplo los conocimientos técnicos que figuraban en el epígrafe "competencias por ejemplo los conocimientos técnicos que figuraban en el epígrafe "competencias solicitadas" en programas scolares franceses anteriores)solicitadas" en programas scolares franceses anteriores)

GLOBAL – Una evaluación basada en una competencia generalGLOBAL – Una evaluación basada en una competencia general: : mathematical literacymathematical literacy

““Mathematical literacy is an individual’s capacity to identify and understand the role Mathematical literacy is an individual’s capacity to identify and understand the role that mathematics play in the world, to make well-founded judgments and to use and that mathematics play in the world, to make well-founded judgments and to use and engage with mathematics in ways that meet the needs of that individual’s life as a engage with mathematics in ways that meet the needs of that individual’s life as a constructive, concerned and reflexive citizen constructive, concerned and reflexive citizen (OECD, 2006, p. 12).(OECD, 2006, p. 12).

The notion of mathematical literacy is “The notion of mathematical literacy is “the counterpart in mathematics of mastering a the counterpart in mathematics of mastering a languagelanguage” (Niss, 2003, p.6).” (Niss, 2003, p.6).

CCompetenciaompetencia En lingüística Noam Chomsky introdujo en el marco de En lingüística Noam Chomsky introdujo en el marco de

su gramatica de trasformaciones una dicotomía entre su gramatica de trasformaciones una dicotomía entre ““performanceperformance“ y ““ y “competencecompetence"". Esta dicotomía sucede . Esta dicotomía sucede a la distinción que Ferdinand de Saussure (1857-1913) a la distinción que Ferdinand de Saussure (1857-1913) hacia entre hacia entre ““languelangue” ” (lengua) (lengua) y “ y “paroleparole” ” (palabra).(palabra).

A pesar de que el uso de la palabra competencia por varios A pesar de que el uso de la palabra competencia por varios autores tenga sentidos muy diversos, parece estar autores tenga sentidos muy diversos, parece estar relacionado con un cambio bastante coherente en la relacionado con un cambio bastante coherente en la concepción de la naturaleza misma de la educación. Que lo concepción de la naturaleza misma de la educación. Que lo queramos o no, este cambio queramos o no, este cambio representa en particular un representa en particular un desafío para la idea clásica, de que la formación de un desafío para la idea clásica, de que la formación de un individuo consta por lo esencial en adquirir cierto conjunto de individuo consta por lo esencial en adquirir cierto conjunto de conocimientos. (…) Se trata de insistir en el hecho de que lo conocimientos. (…) Se trata de insistir en el hecho de que lo que cuenta en la practica – y que se puede efectivamente que cuenta en la practica – y que se puede efectivamente evaluar – son los potenciales de acción propios del individuoevaluar – son los potenciales de acción propios del individuo (…)(…)Hay entonces una extensión de la noción de formación, tan Hay entonces una extensión de la noción de formación, tan en el tiempo que en relación con las instituciones: La en el tiempo que en relación con las instituciones: La formación no se ve como un asunto vinculado por lo esencial formación no se ve como un asunto vinculado por lo esencial a las instituciones escolares o al “tiempo de la escolaridad” a las instituciones escolares o al “tiempo de la escolaridad” que precede el tiempo laboral. Así los objetivos de formación que precede el tiempo laboral. Así los objetivos de formación que alcanzar en las organizaciones escolares se consideran que alcanzar en las organizaciones escolares se consideran dentro de un sistema más amplio del desarrollo del individuo dentro de un sistema más amplio del desarrollo del individuo y de las organizaciones en las que está insertadoy de las organizaciones en las que está insertado. . (Traducido de Winslow, 2005)(Traducido de Winslow, 2005)

Tendencias actualesTendencias actualesEvaluaciones dirigidas hacia :Evaluaciones dirigidas hacia :

- Habilidades- Habilidades

- Competencias- Competencias

PISA (Programme for International PISA (Programme for International Student Assessment)Student Assessment)

http://www.oecd.org/pages/http://www.oecd.org/pages/0,3417,en_32252351_32235731_1_1_1_0,3417,en_32252351_32235731_1_1_1_1_1,00.html 1_1,00.html

La evaluación abarca las áreas de La evaluación abarca las áreas de competencia lectora, científica, competencia lectora, científica, matemática, enfocándose en los matemática, enfocándose en los conocimientos y habilidades más conocimientos y habilidades más necesarias e importantes para la vida necesarias e importantes para la vida adulta y no tanto en el dominio del adulta y no tanto en el dominio del contenido curricular.contenido curricular.

ENLACE ENLACE http://enlace.sep.gob.mx/gr/ http://enlace.sep.gob.mx/gr/ A nivel medio superior, 50 preguntas A nivel medio superior, 50 preguntas

están dedicadas a la habilidad lectora están dedicadas a la habilidad lectora y 90 a la habilidad matemática.y 90 a la habilidad matemática.

““Se evalúan los procesos de Se evalúan los procesos de reproducción, conexión y reflexión en reproducción, conexión y reflexión en los siguientes contenidos los siguientes contenidos matemáticos: cantidad, espacio y matemáticos: cantidad, espacio y forma, cambios y relaciones, y forma, cambios y relaciones, y matemáticas básicas.”matemáticas básicas.”

CriticasCriticas Investigadores en educación matemática no reaccionan necesariamente de manera positivaInvestigadores en educación matemática no reaccionan necesariamente de manera positiva: :

“Un punto de vista emergente“Un punto de vista emergente consiste en ver consiste en ver en una Escuela fuertemente diluida en la en una Escuela fuertemente diluida en la sociedad civil, un red de lugares de difusión y de validación de competencias diversas, sociedad civil, un red de lugares de difusión y de validación de competencias diversas, que se pueden redefinir constantemente y localmente, y que se adquieren y se validan que se pueden redefinir constantemente y localmente, y que se adquieren y se validan sin referencia ni reverencia obligada a los saberes “monumentales”… En tal sin referencia ni reverencia obligada a los saberes “monumentales”… En tal problemática, la Escuela puede tomar la apariencia de un salón bursátil en el que, lejos problemática, la Escuela puede tomar la apariencia de un salón bursátil en el que, lejos de los demasiado largos recodos del conocimiento “teórico”, se administra con fiebre de los demasiado largos recodos del conocimiento “teórico”, se administra con fiebre una “cartera de competencias”, misma que se debe actualizar pronto para satisfacer las una “cartera de competencias”, misma que se debe actualizar pronto para satisfacer las pedidas de los varios mercados en los que el individuo realce supuestamente su valor.” pedidas de los varios mercados en los que el individuo realce supuestamente su valor.” (Traducido de Chevallard, 2002, p. 54-55)(Traducido de Chevallard, 2002, p. 54-55)

Eso es un riesgo si se debilita el significado de la palabra “competencia”. Es algo que se Eso es un riesgo si se debilita el significado de la palabra “competencia”. Es algo que se observa en la realidad: En los actuales programas curriculares para la secundaria en Francia observa en la realidad: En los actuales programas curriculares para la secundaria en Francia se encuentra una columna de “competencias esperadas”. Por ejemplo podemos citar algo se encuentra una columna de “competencias esperadas”. Por ejemplo podemos citar algo como como “calcular el área de un triángulo a partir del conocimiento de la longitud de un lado y de la “calcular el área de un triángulo a partir del conocimiento de la longitud de un lado y de la altura correspondiente”altura correspondiente”. Es obvio que ideas de autonomía y de responsabilidad no se perciben . Es obvio que ideas de autonomía y de responsabilidad no se perciben en esta formulación. Al contrario alguien que, para medir un área, recurre de manera en esta formulación. Al contrario alguien que, para medir un área, recurre de manera espontánea a una triangulación y toma los datos necesarios, tiene una competencia.espontánea a una triangulación y toma los datos necesarios, tiene una competencia.

¿Enseñar para la adquisición de ¿Enseñar para la adquisición de una cultura matemática o de competencias matemáticas? una cultura matemática o de competencias matemáticas? Además casi cada quien tiene hoy acceso a cualquier tipo de conocimiento, pero la diferencia Además casi cada quien tiene hoy acceso a cualquier tipo de conocimiento, pero la diferencia se sitúa entre acceder y utilizar (por ejemplo un formulario de trigonometría no servirá de nada se sitúa entre acceder y utilizar (por ejemplo un formulario de trigonometría no servirá de nada a alguien que no tenga cierta cultura).a alguien que no tenga cierta cultura).

Siguen validos los modos tradicionales de evaluación, pero se deben complementar, Siguen validos los modos tradicionales de evaluación, pero se deben complementar, enriquecer. Proyectos, trabajos personales dirigidos tienen un lugar.enriquecer. Proyectos, trabajos personales dirigidos tienen un lugar.

Competencias y deficiencias en matemáticasCompetencias y deficiencias en matemáticas

Una noción general de competencia no puede ser pertinente en Una noción general de competencia no puede ser pertinente en matemáticas, incluso elementales, porque:matemáticas, incluso elementales, porque: Hay diferentes niveles de aprehensión de las matemáticas,Hay diferentes niveles de aprehensión de las matemáticas, Una persona puede ser realmente competente a un nivel y Una persona puede ser realmente competente a un nivel y

deficiente al nivel que sigue.deficiente al nivel que sigue.

Dos elementos pueden generar un obstáculo entre dos niveles:Dos elementos pueden generar un obstáculo entre dos niveles: Una ruptura en los modos de pensamiento,Una ruptura en los modos de pensamiento, La necesidad de adquirir nuevos medios de expresión con La necesidad de adquirir nuevos medios de expresión con

nuevas reglasnuevas reglas

Aproximándonos de la noción de competencia en Aproximándonos de la noción de competencia en matemáticasmatemáticas

Las competencias involucradas en Las competencias involucradas en mathematical mathematical literacy literacy deben de ser especificadasdeben de ser especificadas

En general se deben considerar, para la En general se deben considerar, para la enseñanza y la evaluación, diferentes niveles de enseñanza y la evaluación, diferentes niveles de competencia, separados unos de otros por saltoscompetencia, separados unos de otros por saltos Salto entre aritmética y algebra: universalmente Salto entre aritmética y algebra: universalmente

reconocidoreconocido Nivel intermedio después de la aritmética elemental Nivel intermedio después de la aritmética elemental

(las cuatro operaciones) y antes del álgebra(las cuatro operaciones) y antes del álgebra Un salto después de álgebra: dificultades observadas Un salto después de álgebra: dificultades observadas

en el aprendizaje del cálculo a nivel superior lo en el aprendizaje del cálculo a nivel superior lo señalanseñalan

Sin prejuicio de las competencias del Sin prejuicio de las competencias del razonamiento geométrico, aparecen cuatro razonamiento geométrico, aparecen cuatro niveles de competencia o, mejor dicho, cuatro niveles de competencia o, mejor dicho, cuatro estratos de competenciaestratos de competencia

Los cuatro estratosLos cuatro estratos Estrato numéricoEstrato numérico: dominio de los enteros naturales y de los decimales, y saber : dominio de los enteros naturales y de los decimales, y saber

usar las cuatros operaciones aritméticas elementalesusar las cuatros operaciones aritméticas elementales Lenguaje específico: escribir “palabras” numéricas (2010) y formar “frases” Lenguaje específico: escribir “palabras” numéricas (2010) y formar “frases”

(150 + 86) y “enunciados simples” (sentencias gramaticales de una sola frase, (150 + 86) y “enunciados simples” (sentencias gramaticales de una sola frase, por ejemplo 150 + 86 = 236), usar la notación de posición decimal, llevar a por ejemplo 150 + 86 = 236), usar la notación de posición decimal, llevar a cabo operaciones aritméticas… cabo operaciones aritméticas…

Estrato racionalEstrato racional: dominio de las razones y proporciones, y productos y cocientes : dominio de las razones y proporciones, y productos y cocientes de números racionales positivos y negativosde números racionales positivos y negativos

Lenguaje específico: quebrar el renglón de escritura al introducir dos niveles Lenguaje específico: quebrar el renglón de escritura al introducir dos niveles encima y debajo de una raya horizontal (numerador y denominador de una encima y debajo de una raya horizontal (numerador y denominador de una fracción, por ejemplo ) fracción, por ejemplo )

Estrato algebraico: Estrato algebraico: Uso del sistema matemático de signos del álgebraUso del sistema matemático de signos del álgebra Lenguaje específico: Tratamientos de enunciados completos (por ejemplo Lenguaje específico: Tratamientos de enunciados completos (por ejemplo

reemplazar un enunciado por un enunciado equivalente, por ejemplo reemplazar un enunciado por un enunciado equivalente, por ejemplo reemplazar reemplazar xx22 – – 1 = 3 por (1 = 3 por (x x – 2– 2)(x)(x + 2) = 0) + 2) = 0)

Estrato funcionalEstrato funcional: Uso de las relaciones funcionales y dominio del cálculo : Uso de las relaciones funcionales y dominio del cálculo (funcional)(funcional)

Lenguaje específico: Uso de nuevas reglas de formación y tratamiento de Lenguaje específico: Uso de nuevas reglas de formación y tratamiento de palabras y enunciados, como se presentan para los cambios de variable, la palabras y enunciados, como se presentan para los cambios de variable, la composición de funciones, etcéteracomposición de funciones, etcétera

1 1 16 8 24

Evoluciones y rupturas (I)Evoluciones y rupturas (I) Para enseñar como para evaluar, consideremos y hacemos explicitas las Para enseñar como para evaluar, consideremos y hacemos explicitas las

rupturas en la forma de pensamiento rupturas en la forma de pensamiento entre dos estratos, por ejemplo del entre dos estratos, por ejemplo del estrato numérico al algebraicoestrato numérico al algebraico

Considerar hipótesis en vez de combinar directamente los datos.Considerar hipótesis en vez de combinar directamente los datos. En el caso ilustrado, el razonamiento usual de los estudiantes exitosos En el caso ilustrado, el razonamiento usual de los estudiantes exitosos

es: “Si la receta A produciría el mismo sabor que tiene la receta B, es: “Si la receta A produciría el mismo sabor que tiene la receta B, tendrían que estar 4 vasos de jugo de naranja en A.” tendrían que estar 4 vasos de jugo de naranja en A.”

Dos hipotesis estan subyacentes en este razonamiento: Dos hipotesis estan subyacentes en este razonamiento: Se autoriza considerar como variables los números dados de vasosSe autoriza considerar como variables los números dados de vasos No se cambia el sabor al duplicar todos los componentesNo se cambia el sabor al duplicar todos los componentes..

Receta A

Receta B

Evoluciones y rupturas Evoluciones y rupturas (II)(II)

Para la enseñanza y la evaluación, considerar las Para la enseñanza y la evaluación, considerar las matemátics como una disciplina de expresiónmatemátics como una disciplina de expresión, , particularmente prestar atención a las evoluciones y particularmente prestar atención a las evoluciones y rupturas en el diccionario y en operaciones semejantes rupturas en el diccionario y en operaciones semejantes a operaciones lingüísticasa operaciones lingüísticas: :

Formar palabras, formar frases y sentencias (syntaxis), Formar palabras, formar frases y sentencias (syntaxis), operar con palabras, frases y enunciados operar con palabras, frases y enunciados

e.g. de lo e.g. de lo numérico numérico a lo a lo racional: (necesita formar racional: (necesita formar palabras, una frase y un enunciado) palabras, una frase y un enunciado)

e.g. de lo e.g. de lo racionalracional a lo a lo algebraico: algebraico: En vez de formar enunciados En vez de formar enunciados simples como combinar datos para producir simples como combinar datos para producir un resultado:un resultado:

re-designar con letras lo que ya se ha designado por palabrasre-designar con letras lo que ya se ha designado por palabras reducir el léxicoreducir el léxico: : expresar unas incognitas en función de otrasexpresar unas incognitas en función de otras manejar enunciados completos y diferir el cálculo de manejar enunciados completos y diferir el cálculo de

solucionessoluciones

33xx – 2 =  – 2 = xx + 1, entonces 3 + 1, entonces 3xx –  – xx = 2 + 1 = 2 + 1

¿Es álgebra el mero uso ¿Es álgebra el mero uso de letras?de letras?

Ejemplo de “álgebra sin letras”Ejemplo de “álgebra sin letras”““Dos números tienen una suma igual a 300. Si se suma 7 a cada uno, ¿de Dos números tienen una suma igual a 300. Si se suma 7 a cada uno, ¿de cuanto se aumentará su producto?” cuanto se aumentará su producto?”

Una solución meramente numérica: Una solución meramente numérica: Elegimos un número, sea 68. El segundo es 300 – 68 = 232Elegimos un número, sea 68. El segundo es 300 – 68 = 232 Desarrollamos (68 + 7)Desarrollamos (68 + 7)(232 + 7) (232 + 7) antésantés de calcular cualquier producto: de calcular cualquier producto:

(68 + 7)(68 + 7)(232 + 7) = 68(232 + 7) = 68232 + (68 + 232)232 + (68 + 232)7 + 77 + 77 = 687 = 68232 + 2149232 + 2149 A final observamos que el término sumado 2149 does no depende del número A final observamos que el término sumado 2149 does no depende del número

elegidoelegido

La solución verdaderamenbte algebraica es: Sean La solución verdaderamenbte algebraica es: Sean aa y y bb los números los números, se , se desarrolla el producto (desarrolla el producto (a a + 7)(+ 7)(bb + 7). + 7).

¿Es la primera solución “más fácil” que ¿Es la primera solución “más fácil” que la segunda? la segunda?

Ejemplo de caso difícil en los aprendizajes: Ejemplo de caso difícil en los aprendizajes: la ampliaciónla ampliación

Perspectivas de desarrolloPerspectivas de desarrollo Diseñar evaluaciones formativas “top-down”Diseñar evaluaciones formativas “top-down”

Reducir el número de reactivos que permitan describir el nivel de rendimiento Reducir el número de reactivos que permitan describir el nivel de rendimiento dentro de un estratodentro de un estrato

Uso posible de gráficas de implicaciónUso posible de gráficas de implicación Dentro de un entorno computacional, presentar una selección de reactivos entre:Dentro de un entorno computacional, presentar una selección de reactivos entre:

Referencia a experiencia física (village) Referencia a experiencia física (village) modelación (fotocopiadora)modelación (fotocopiadora) Problemas de matemática “pura” que requieren una expresión específicaProblemas de matemática “pura” que requieren una expresión específica

Sesiones con computadoras permiten:Sesiones con computadoras permiten: Caminar por los reactivos seleccionados siguiendo su ruta personalCaminar por los reactivos seleccionados siguiendo su ruta personal Tener exito a un nivel puede permitir evitar los reactivos de nivel inferiorTener exito a un nivel puede permitir evitar los reactivos de nivel inferior Hacer un diagnóstico preciso del rendimiento de un estudiante en un estrato Hacer un diagnóstico preciso del rendimiento de un estudiante en un estrato

ConclusionesConclusiones Hay estratos en el mundo matemáticoHay estratos en el mundo matemático

Se enriquece la información didáctica al considerarlos más bien que un Se enriquece la información didáctica al considerarlos más bien que un concepto general de “concepto general de “mathematical literacymathematical literacy”. ”.

Particularmente importante es que la enseñanza tome en cuenta los saltos Particularmente importante es que la enseñanza tome en cuenta los saltos entre estratos en el proceso de enseñanza-aprendizaje entre estratos en el proceso de enseñanza-aprendizaje

Cada estrato se apoya sobre dos pilares principales: Cada estrato se apoya sobre dos pilares principales: Contextos físicos específicos Contextos físicos específicos Medios de expresión.Medios de expresión.

Considerar estos dos elementos es determinante para:Considerar estos dos elementos es determinante para: diseñar curriculum que facilita los saltos entre estratosdiseñar curriculum que facilita los saltos entre estratos diseñar una evaluación orientada hacia los alcances dentro de estratos diseñar una evaluación orientada hacia los alcances dentro de estratos

(evaluación intra-estrato) y entre estratos (evaluación inter-estratos)(evaluación intra-estrato) y entre estratos (evaluación inter-estratos)

ambos reflejan una forma de pensamiento

particular

ReferenciasReferenciasAdjiage R. & Pluvinage F. (2008), A numerical landscape (chapter). In Calvin L. Petroselli (Eds), Adjiage R. & Pluvinage F. (2008), A numerical landscape (chapter). In Calvin L. Petroselli (Eds), Science Education Issues and Developments Science Education Issues and Developments (pp. 5-57), New-York: Nova Publishers.(pp. 5-57), New-York: Nova Publishers. Bloom, Hastings & Madaus (Eds.), 1971, Bloom, Hastings & Madaus (Eds.), 1971, Handbook for formative and summative evaluation of Handbook for formative and summative evaluation of students learningstudents learning, Mc Graw Hill, Mc Graw HillChevallard YChevallard Y., 2002, ., 2002, Organiser l’étude 3. Écologie & régulation. In: Dorier, J. L. et al. (éds.), Organiser l’étude 3. Écologie & régulation. In: Dorier, J. L. et al. (éds.), Actes Actes de la 11e école de didactique des mathématiquesde la 11e école de didactique des mathématiques. Grenoble : La Pensée Sauvage.. Grenoble : La Pensée Sauvage.Duval, R., 2000,Duval, R., 2000, Basic Issues for Research in Mathematics Education. Basic Issues for Research in Mathematics Education. Proceedings of the 24th Proceedings of the 24th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME)Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME) . (July . (July 23-27 2000, Vol. 1, pp. 55-69). 23-27 2000, Vol. 1, pp. 55-69). Hiroshima, JapanHiroshima, JapanOECD, 2003, Sample test questions from PISA 2003 on line (zip file) OECD, 2003, Sample test questions from PISA 2003 on line (zip file) http://www.pisa.oecd.org/document/38/0,3343,en_32252351_32236173_34993126_1_1_1_1,00.html http://www.pisa.oecd.org/document/38/0,3343,en_32252351_32236173_34993126_1_1_1_1,00.html

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