Matematica Superior

Integrantes: Esteban Arevalo, Jhonny Chuga, Leonardo Paredes

Numeros Complejos

1. Ejercicios Propuestos

1. Demostrar que la elipse |z + 3| + |z 3| = 10 se puede representar en forma rectangular comox2/25 + y2/16 = 1

2. Demostrar que 2 + i =

5eitan1(1/2)

3. Hallar una ecuacion para una circunferencia de radio 2 y con centro en (-3,4)

Resp: |z + 3 4i| = 2

4. Hallar dos numeros cuya suma es 4 y cuyo producto es 8

Resp: 2 2i, 2 2i

5. Describir cada uno de los siguientes lugares geometricos, expresandolos en terminos de las coor-denadas conjugadas z, z

a. zz = 16

b. zz 2z 2z + 8 = 0c. z + z = 4

d. z = z + 6i

Resp: a)x2 + y2 = 16 b)x2 + y2 4x+ 8 = 0 c)x = 2 d)y = 3

6. Determinar un polinomio de coeficientes reales de grado 4 que tenga por raices los numeroscomplejos 4i,5 + 2i

Resp: x4 + +10x3 + 45x2 + 160x+ 464

7. Reducir cada una de estas cantidades a un numero real:

a. 1+2i34i +2i51

b. 5(1i)(2i)(3i)c. (1 i)4

Resp: a) 2/5 b) 1/2 c) 4

8. Utilizar las propiedades de los conjugados y de los modulos, para probar que:

a. z + 3i = z 3ib. iz = izc. (2 + i)2 = 3 4i

1

9. Elaborar una grafica con el conjunto de puntos determinados por la condicion:

a. Re(z i) = 2b. |2z i| = 4

Resp: a)x = 2 b)x2 + (y 0,5)2 = 4

10. Determinar analitica y graficamente todas las raices de 532i

Resp: z1 = 1,9 + 0,62i z2 = 2i z3 = 1,9 + 0,62i z4 = 1,18 1,62i z5 = 1,18 1,62i

11. Hallar las raAces cAobicas de (11 2i)12. Hallar las raAces cuadradas de:

a. 5 12ib. 8 + 4

5i

13. Hallar un nAomero complejo z, tal que: (7 + 2i)z + (2 + 3i) = 18 + 10i

14. Hallar un numero complejo z tal que su parte real es el doble de la parte imaginaria y queademAs cumple z2 = 7 + 24i

15. Determinar el nAomero complejo sabiendo que si despuA cs de multiplicarlo por (1 i) se lesuma al resultado (3 + 5i) y se divide lo obtenido por 2 + 3i se le vuelve al complejo de partida

Resp: 1+i

16. El complejo de argumento 70o y modulo 16 es el producto de dos complejos, uno de ellos tienede argumento 40o y modulo 2. Escribir en forma binomica el otro complejo

Resp: 8e30i = 4

3 + 4i

17. Hallar el numero complejo z que cumpla: z2i +2z52i = 1 + 2i

Resp: z=3+i

18. Resolver la ecuacion(1 i)z2 7 = i

Resp: z=2+i y z=-2-i

19. Cuanto deber valer x para que el numero (1 + xi)2 sea imaginario puro?

Resp: x=1

20. Calcular el valor de (z2 + z 1)/(z2 2z) para z=1+i

Resp: -3/2i

21. Calcula los numeros complejos Z tales que w =2z i2 + iz

sea:

a. Un numero real

b. Un numero imaginario puro.

Resp: a)a2 = b2 + 32b+ 1 b)a = 0

2

22. Determine los numeros reales x e y que satisfacen las ecuaciones:

a.(3 + i)x

iy=

2x 4ix+ 2y

b.x(2 i)2 + y(3 2i)2i

2 + 3i= 3 2i

Resp: a)x = 0, y = 0 b)x = 0, y = 1

23. Si z1 = 3 4i, z2 = 1 + 5i y 2z1z3 = 3z2 encontrar z3 y z13

Resp:z3 =6950 +

3350 , z3

1 = 2339 +1139 i

z31 =

23

39+

11

39i

24. Dado el numero complejo z = a + bi 6= 0 + 0i, determine un numero complejo w = x + yi, talque zw = 1

Resp:x =a

a2 b2 , y =b

a2 b2

25. Encuentre las races cubicas de z = 8(

cospi

3 i sin pi

3

)Resp: z1 = 1,88 0,68i, z2 = 1,53 1,29i, z3 = 0,35 + 1,97i

26. Resolver la ecuacion de segundo grado az2 + bz + c = 0, a 6= 0, z C

Resp: z =bb2 4ac

2a

27. Resolver la ecuacion z2 + (2i 3)z + 5 i = 0

Resp: 2 3i, 1 + i

28. Sea z = i y w = 1 + i. Calcular logz w

Resp:logz w =log(

2) + i(pi4 + 2kpi

)i(pi2 + 2kpi

)29. Sea z = 3 + i y w = 1 + i3. Verifique que:

log(zw) 6= log z + logw

30. Calcular el siguiente numero complejo: z =2

ilog

(1 + i

1 i)

Resp: pi

3

2. Resolucion de Ejercicios Propuestos

1. Demostrar que la elipse |z + 3| + |z 3| = 10 se puede representar en forma rectangular comox2/25 + y2/16 = 1

z = x+ yi

|x+ yi+ 3|+ |x+ yi 3| = 10|(x+ 3) + yi|+ |(x 3) + yi| = 10

(x+ 3)2 + y2 +

(x 3)2 + y2 = 10(x+ 3)2 + y2 = 100 20

(x 3)2 + y2 + (x 3)2 + y2

20

(x 3)2 + y2 = x2 6x+ 9 + 100 x2 6x 9400(x2 6x+ 9 + y2) = (100 12x)2

400x2 2400x+ 3600 + 400y2 = 10000 2400x+ 144x2256x2 + 400y2 = 6400

x2

6400256

+xy2

6400400

= 1

x2

25+y2

16= 1

2. Demostrar que 2 + i =

5eitan1(1/2)

z = 2 + i

z = rei

r =

22 + 12 =

5

= tan1(

1

2

)z =

5eitan1( 12)

3. Hallar una ecuacion para una circunferencia de radio 2 y con centro en (-3,4)

(x h)2 + (y k)2 = r2;(x+ 3)2 + (y 4)2 = 22(x+ 3)2 + (y 4)2 = 2|(x+ 3) + (y 4)i| = 2|x+ 3 + yi 4i| = 2Como z = x+ yi

|z + 3 4i| = 2

4

4. Hallar dos numeros cuya suma es 4 y cuyo producto es 8

Sea z1 = a+ bi

Sea z2 = x+ yi

z1 + z2 = 4 + 0i

z1 z2 = 8 + 0i(a+ x) + (b+ y)i = 4

(ax by) + (ay bx)i = 8 + 0ia+ x = 4

b+ y = 0

ax by = 8ay + bx = 0

a = 4 xb = y

4x x2 + y2 = 84y 2xy = 0

x = 2a = 22y + 2y = 0

y + b = 0

4 + y2 = 8

y = 2b = 2

z1 = 2 2i; z2 = 2 2i

5. Describir cada uno de los siguientes lugares geometricos, expresandolos en terminos de las coor-denadas conjugadas z, z

a. zz = 16

(x+ yi)(x yi) = 16x2 xyI + xyi+ y2 = 16

x2 + y2 = 16

b. zz 2z 2z + 8 = 0

x2 + y2 2(x+ yi) 2(x yi) + 8 = 0x2 + y2 2x 2yi 2x+ 2yi+ 8 = 0

x2 + y2 4x+ 8 = 0

c. z + z = 4

x+ yi+ x yi = 42x = 4

x = 2

d. z = z + 6i

x yi = x+ yi+ 6i2yi = 6iy = 3

5

6. Determinar un polinomio de coeficientes reales de grado 4 que tenga por raices los numeroscomplejos 4i,5 + 2i

Las raices del numero son:

z1 = 4i; z2 = 4i; z3 = 5 + 2i; z4 = 5 2iP4(x) = (x (4i))(x 4i)(x (5 2i))(x (5 2i))

P4(x) = (x+ 4i)(x 4i)(x+ 5 2i)(x+ 5 + 2i)P4(x) = (x

2 16i2)((x+ 5)2 4i2)P4(x) = (x

2 + 16)(x2 + 10x+ 25 + 4)

P4(x) = x4 + 10x3 + 45x2 + 160x+ 464

7. Reducir cada una de estas cantidades a un numero real:

a. 1+2i34i +2i51

1 + 2i

3 4i +2 i

5i=

(1 + 2i)(3 + 4i)

9 + 16+

(2 i)(5i)9 + 16

1 + 2i

3 4i +2 i

5i=

3 + 4i+ 6i 825

+10i 5

251 + 2i

3 4i +2 i

5i=5 + 10i 10i 5

25

1 + 2i

3 4i +2 i

5i= 2

5

b. 5(1i)(2i)(3i)

5

(1 i)(2 i)(3 i) =5

(2 i 2i 1)(3 i)5

(1 i)(2 i)(3 i) =5

(1 3i)(3 i)5

(1 i)(2 i)(3 i) =5

3 i 9i 35

(1 i)(2 i)(3 i) = 1

2

c. (1 i)4

(1 i)4 = ((1 i)2)2(1 i)4 = (1 2i 1)2

(1 i)4 = (2i)2

(1 i)4 = 4

8. Utilizar las propiedades de los conjugados y de los modulos, para probar que:

a. z + 3i = z 3iz + 3i = z + 3i

z + 3i = z 3i

b. iz = iziz = iz

iz = iz

6

c. (2 + i)2 = 3 4i

(2 + i)2 = 4 + 4i 1(2 + i)2 = 3 + 4i

(2 + i)2 = 4i

9. Elaborar una grafica con el conjunto de puntos determinados por la condicion:

a. Re(z i) = 2

Sea z = x+ yi

Re(x+ yi i) = 2Re(x yi i) = 2

x = 2

b. |2z i| = 4

Sea z = x+ yi

|2(x+ yi) i| = 4|2x+ (2y 1)i| = 44x2 + (2y 1)2 = 4

4x2 + 4y2 4y + 1 = 44x2 + 4y2 4y + 1 = 16

x2 + y2 y + 14

= 4

x2 +

(y 1

2

)2= 4

7

10. Determinar analitica y graficamente todas las raices de 532i

5

32i

=5

32(i)i2 =

5

32i

r =

32 = 2

=

2k = 0, 1, 2, 3, 4

z1 = 2(cos( pi

10

)+ isen

( pi10

))= 1,9 + 0,62i

z2 = 2(cos(pi

2

)+ isen

(pi2

))= 2i

z3 = 2

(cos

(9pi

10

)+ isen

(9pi

10

))= 1,9 + 0,62i

z4 = 2

(cos

(13pi

10

)+ isen

(13pi

10

))= 1,18 1,62

z5 = 2

(cos

(17pi

10

)+ isen

(17pi

10

))= 1,18 1,62i

8

11. Hallar las races cubicas de 11 2i

r =

112 + 22 =

125

= 190,3o

z1 = 125(1/6)

(cos

(190,30

3

)+ isen

(190,30

3

))= 1 + 2i

z2 = 125(1/6)

(cos

(550,30

3

)+ isen

(550,30

3

))= 2,23 0,13i

z3 = 125(1/6)

(cos

(910,30

3

)+ isen

(910,30

3

))= 1,23 1,86i

12. Hallar las races cuadradas de:

a. 5 12i

r =

52 + 122 = 13

= 292,62o

z1 =

13

(cos

(292,62

2

)+ isen

(292,62

2

))= 3 + 21i

z2 =

13

(cos

(652,62

2

)+ isen

(652,62

2

))= 3 21i

b. 8 + 4

5i

r =

82 + 42 5 = 12 = 48,19o

z1 =

12

(cos

(48,19

2

)+ isen

(48,19

2

))= 3,16 + 1,41i

z2 =

12

(cos

(408,19

2

)+ isen

(408,19

2

))= 3,16 1,4i

13. Hallar un numero complejo z, tal que: (7 + 2i)z + (2 + 3i) = 18 + 10i

(7 + 2i)z = 18 + 10i 2 3i(7 + 2i)z = 16 + 7i

z =(16 + 7i)

7 + 2i

z =(16 + 7i)

7 + 2i (7 2i)

7 2iz =

(112 + 14 32i+ 49i)49 + 4

z =126 + 17i

53

14. Hallar un numero complejo z tal que su parte real es el doble de la parte imaginaria y que ademas

9

cumple z2 = 7 + 24i

Sea z = a+ bi

a = 2b(a+ bi)2 = 7 + 24i

a2 b2 + 2abi = 7 + 24i2ab = 24a =

12

b

2b =12

bb2 = 6

b =

6

a = 2

6

z = 2

6(1 + i)

15. Determinar el numero complejo sabiendo que si despues de multiplicarlo por (1 i) se le sumaal resultado (3 + 5i) y se divide lo obtenido por 2 + 3i se le vuelve al complejo de partida

Sea z = a+ bi(a+ bi)(1 i) + (3 + 5i)

2 + 3i= a+ bi

a+ b ai+ bi 3 + 5i = (a+ bi)(2 + 3i)a+ b ai+ bi 3 + 5i = 2a 3b+ 2bi+ 3ai

a 4b+ 4ai+ bi = 3 + 5ia 4b = 3a = 4b 34a+ b = 5

16b 12 + b = 5b = 1

a = 1

z = 1 + i

16. El complejo de argumento 70o y modulo 16 es el producto de dos complejos, uno de ellos tienede argumento 40o y modulo 2. Escribir en forma binomica el otro complejo

2e40i rei = 16e70i

rei =16e70i

2e40i

rei = 8e(7040)i

rei = 8e30i

z = 4

3 + 4i

17. Hallar el numero complejo z que cumpla: z2i +2z52i = 1 + 2i

3z 5 = (1 + 2i)(2 i)3z 5 = 4 + 3i

3z = 9 + 3i

z = 3 + i

10

18. Resolver la ecuacion(1 i)z2 7 = i(1 i)z2 7 = i

z2 =i+ 7

1 iz2 =

7 + i

1 i 1 + i

1 + i

z2 =6 + 8i

2z2 = 3 + 4i

r =

32 + 42 = 5

= 53,13

z1 =

5

(cos

(53,13

2

)+ isen

(53,13

2

))= 2 + 1i

z2 =

5

(cos

(413,13

2

)+ isen

(413,13

2

))= 2 1i

19. Cuanto deber valer x para que el numero (1 + xi)2 sea imaginario puro?

(1 + xi)2 = bi

1 x2 + i+ xi = bi1 x2 = 0

x = 1i+ xi 6= 0x 6= 1x = 1

20. Calcular el valor de (z2 + z 1)/(z2 2z) para z=1+iz2 = (1 + i)(1 + i) = 2i

z2 + z 1z2 2z =

2i+ 1 + i 12i 2 2i

= 3i2

z = 3i2

21. Calcula los numeros complejos Z tales que w =2z i2 + iz

sea:

a. Un numero real

b. Un numero imaginario puro.

w =2z + i

2 + iz, z = a+ bi

w =2(a+ bi) + i

2 + i(a+ bi)

w =2a+ 2bi+ i

2 b+ ai

w =2a+ (2b+ 1)i

(2 b) + ai (2 b) ai(2 b) ai =

[2a(2 b) + a(2b+ 1)] + [2a2 + (2b+ 1)(2 b)]i(2 b)2 + a2

11

=5a

(2 b)2 + a2 +2a2 + 3b 2b2 + 2

(2 b)2 + a2 i

a) para que sea real:2a2 + 3b 2b2 + 2 = 0

2a2 = 2b2 + 3b+ 2

a2 = b2 + 32b+ 1

b) para que sea imaginario puro5a = 0

a = 0

22. Determine los numeros reales x e y que satisfacen las ecuaciones:

a.(3 + i)x

iy=

2x 4ix+ 2y

i

i 3x+ xi

iy=

2x 4ix+ 2y

x+ 3xiy =

2x 4ix+ 2y

x

y+

3x

y i =2x

x+ 2y 4x+ 2y

i

x

y=

2x

x+ 2y

3x

y = 4

x+ 2y

1

y=

2

x+ 2y

3x

y = 4

x+ 2y

x+ 2y = 2y 3x2 + 6xy = 4y

x = 0 4y = 0

x = 0 y = 0

b.x(2 i)2 + y(3 2i)2i

2 + 3i= 3 2i

x(2 i)2 + y(3 2i)2i2 + 3i

= 3 2i

x(3 4i) + y(5 12i)i2 + 3i

= 3 2i3x+ 4xi+ 12y + 5yi

2 + 3i= 3 2i

(3x+ 112y) + (5y 4x)i = (3 2i)(2 + 3i)(3x+ 112y) + (5y 4x)i = 12 + 5i

3x+ 12y = 12 5y 4x = 5y = 1 5(1) 4x = 5y = 1 4x = 0y = 1 x = 0

12

23. Si z1 = 3 4i, z2 = 1 + 5i y 2z1z3 = 3z2 encontrar z3 y z132z1z3 = 3z2

2(3 4i)(a+ bi) = 3(1 5i)(6 8i)(a+ bi) = 3 15i

(6a+ 8b) + (6b 8a)i = 3 15i6a+ 8b = 3 6b 8a = 15

a =3 8b

66b 8

(3 8b

6

)= 15

18b 12 + 32b = 45b = 33

50

a =3 8 (3350)

6

a =69

50

z3 =69

50 33

50i

z3 =6950 +

3350 i

z31 = z3(a, b) = (1, 0)

z31 = 2339 +

1139 i

24. Dado el numero complejo z = a + bi 6= 0 + 0i, determine un numero complejo w = x + yi, talque zw = 1

zw = 1

(a+ bi)(x+ yi) = 1

(ax by) + (ay + bx)i = 1ax by = 1 ay + bx = 0ax by = 1 x = ay

b

a(ayb

) by = 1 x = ay

b

a2y

b by = 1 x = ay

b

a2y b2y = b x = ayb

y(a2 b2) = b x = ayb

y =b

a2 b2 x =a(

ba2b2

)b

y = ba2b2 x =

aa2b2

13

25. Encuentre las races cubicas de z = 8(

cospi

3 i sin pi

3

)z1 = 8

1/3

(cos

(pi/3 + 2(0)pi

3

) i sin

(pi/3 + 2(0)pi

3

))z1 = 2

(cos(pi

9

) i sin

(pi9

))z1 = 1, 88 0, 68i

z2 = 81/3

(cos

(pi/3 + 2(1)pi

3

) i sin

(pi/3 + 2(1)pi

3

))z2 = 2

(cos

(7pi

9

) i sin

(7pi

9

))z2 = 1, 53 1, 29i

z3 = 81/3

(cos

(pi/3 + 2(2)pi

3

) i sin

(pi/3 + 2(2)pi

3

))z3 = 2

(cos

(13pi

9

) i sin

(13pi

9

))z3 = 0,35 + 1, 97i

14

26. Resolver la ecuacion de segundo grado az2 + bz + c = 0, a 6= 0, z Caz2 + bz + c = 0

a

az2 +

b

a= c

a

z2 +b

az = c

a(z2 +

b

az +

b2

4a

)= c

a+b2

4a(z +

b

2a

)2=b2 4ac

4a2

z +b

2a=

b2 4ac

4a2

z = b2ab2 4ac

2a

z =bb2 4ac

2a

27. Resolver la ecuacion z2 + (2i 3)z + 5 i = 0z2 + (2i 3)z + 5 i = 0

z2 + (2i 3)z + (2i 3)2

4= 5 + i+ (2i 3)

2

4(z +

2i 32

)2= 5 + i+ 5 12i

4(z +

2i 32

)2= 15

4 2i

(z +

2i 32

)=

15

4 2i(

z +2i 3

2

)=

(1

2 2i

)z = 2i 3

2(

1

2 2i

)z1 = 2 3i z2 = 1 + i

28. Sea z = i y w = 1 + i. Calcular logz w

z = i; rz =

12 + 02 = 1; z = tan1(

1

0

)=pi

2

w = 1 + i; rw =

12 + 12 =

2; + w = tan1(1) =pi

4

logz w =logw

log z

logz w =log(1 + i)

log(i)

logz w =log(

2) + i(pi4 + 2kpi

)log(1) + i

(pi2 + 2kpi

)15

logz w =log(

2) + i(pi4 + 2kpi

)i(pi2 + 2kpi

)29. Sea z = 3 + i y w = 1 + i3. Verifique que:

log(zw) 6= log z + logw

z =

3 + i; rz =

3 + 1 = 2; z = tan1(

13

)=

5pi

6

w = 1 + i

3; rw =

1 + 3 = 2; + w = tan1(

3) =2pi

3

log(zw) 6= log z + logw

log((

3 + i)(1 +

3i)) 6=[log(2) + i(

5pi

6+ 2kpi)

]+

[log(2) + i(

2pi

3+ 2kpi)

]

log(4i) 6= 2 log(2) + i (9pi6 + 4kpi)30. Calcular el siguiente numero complejo: z =

2

ilog

(1 + i

1 i)

z =2

ilog

(1 + i

1 i)

z = 2i log(

(1 + i)(1 + i)

(1 i)(1 + i))

z = 2i log(

(1 + i)2

(1 + 1)

)z = 2i log

(2i

2

)z = 2i

[log(1) + i(

pi

2+ 2kpi)

]z = 2i

[i(pi

2+ 2kpi)

]; k = 0

z = 2i[i(pi

2)]

z = pi

16