NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES

“ Las desigualdades e inecuaciones reflejan las situaciones en las que se sobrepasa o no se llega un valor determinado.”

INTRODUCCION

Partiremos de la idea natural de conjunto y del conocimiento de si un elemento pertenece o no pertenece

Los conjuntos se pueden definir por:

Números Naturales N

N = { 1, 2, 3, 4, . . . . . . .}

Números Enteros z

z= { . . . . -3,- 2, -1, 0, }

N z Z = z- {0 } z+

Números Racionales q

Q = { / m Z n z , n 0 }

Números Irracionales q’ o i

Es el conjunto de los números No Racionales, es decir, aquellos números que no

pueden expresarse como fracciones de la forma , con m y n z , n 0.

Ejemplo:

Por tanto, El conjunto de números Reales R, es la reunión de los números naturales, enteros, racionales e irracionales, es decir: R = N z q i ó R = q q’

De modo que, Calculo I, realiza los análisis y operaciones en base a los números reales.

NÚMEROS REALES

Definimos números reales, como el conjunto R, al cual asociamos las operaciones de la adición, multiplicación, relaciones de orden (<) y de igualdad ( = )

Ing. Janneth Medina Página 1

Observación.- (Axioma es una proposición Verdadera evidente por si misma que no requiere o precisa demostración, ni argumentación alguna.)En este caso, los axiomas es mejor llamarlas propiedades, las mismas constituyen el sostén básico de los Teoremas.

Estas propiedades son las siguientes:Si a, b, c R

A1: a + b = b + a Conmutatividad de la suma

A2: a +( b + c ) = ( a + b ) + c Asociatividad de la suma

A3: a + 0 = a Existencia del neutro aditivo (0)

A4: a + (–a) = 0 Existencia del opuesto aditivo(–a)

A5: a ∙ b = b ∙ a Conmutatividad del producto

A6: a ∙ ( b ∙ c ) = ( a ∙ b ) ∙ c Asociatividad del producto

A7: a ∙ 1 = a Existencia del neutro multiplicativo (1)

A8: a ∙ (a -1) = 1 Existencia del inverso multiplicativo (a -1), a 0

A9: a ( b + c ) = a ∙ b + a ∙ c Distributividad de producto a suma

A10: a es positivo (a > 0) a es cero (a = 0) Ley de tricotomia a no es positivo (a < 0)

A11: a > 0, b >0 a + b > 0 Clausura de la suma

A12: a > 0, b >0 a ∙ b > 0 Clausura del producto

TEOREMA DE LOS NUMEROS REALES

Un teorema es una proposición que para ser aceptada como verdadera, antes debe ser

demostrada. Entre los teoremas más importantes esta:

T1: Si a + c = b + c a = b

T2: Si a c = b c a = b

T3: Si a + x = b x = b – a

T4: Si a + x = a x = 0

T5: a ∙ 0 = 0

T6: a b = 0 a = 0 o b = 0

T7: a (– b ) = – (a b) = ( –a ) b

T8: – (– a ) = a

T9: ( a b ) = (– a ) ( – b )

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T10: a ( b – c ) = a b – a c

T11: a x = b , a 0 x = b / a

T12: ( a b )-1 = a -1 b-1

T13: a + a = 2 a

T14: – a = ( –1 ) a

T15: a0 = 1

T16: a ∙ a = a2

T17: a -n = 1 / an

T18: ( am ) ( an ) = am+n

T19: ( am )n = am∙ n

Demostración de algunos teoremas:

Demostración .- T1: Si a + c = b + c a = b

a + c = b + c Partimos

a + c + (– c) = b + c + (– c) Sumando el opuesto aditivo

a + [c + (– c)] = b + [c + (– c)] Asociatividad de la suma

a + 0 = b + 0 Existencia del opuesto aditivo

a = b Existencia del Neutro aditivo

Demostración .- T2: Si a c = b c ; c0 a = b

a c = b c Partimos

a c ( c-1) = b c ( c-1 ) Inverso Multiplicativo

a ( c c-1) = b ( c c-1 ) Asociatividad del producto

a ∙ 1 = b ∙ 1 Existencia del inverso multiplicativo

a = b Existencia del Neutro multiplicativo

Definición.- Para todo a y b en R

a + (– b) = a – b

Demostración .- T3: Si a + x = b x = b – a

a + x = b

[a + x ]+ (– a) = b + (– a) Opuesto aditivo

[x + a ]+ (– a) = b + (– a) Conmutatividad

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x + [a + (– a)] = b + (– a) Asociatividad

x + 0 = b + (– a) Opuesto aditivo

x = b + (– a) Neutro aditivo

x = b – a Por definición.

Demostración: T5: a ∙ 0 = 0

0 + 0 = 0

a ( 0 + 0 ) = a ∙ 0

a ∙ 0 + a ∙0 = a ∙ 0

[a ∙ 0 + a ∙0] +(– a ∙ 0) = a ∙ 0 + (– a ∙ 0)

a ∙ 0 + [a ∙ 0 +(– a ∙ 0)] = a ∙ 0 + (– a ∙ 0)

a ∙ 0 + 0 = 0

a ∙ 0 = 0

Demostración. (– a)](– b) = a b

(– a)](– b) = [(–1) a] [(– 1) b]

= (–1) [a (– 1) b]

= (–1) [(– 1) a b]

= – [– a b]

= a b

DESIGUALDADES

Para realizar operaciones con los signos de desigualdad (> mayor, < menor) es

importante tomar los axiomas A10, A11 , A12 e incluir las siguientes definiciones:

Def. 1 . Si a > b ; a – b > 0 , (a – b) R+

Def. 2 . a < b ; a – b < 0 , (a – b) R-

Def. 3 . a ≥ b ; a > b o a = b

Def. 4 . a ≤ b ; a < b o a = b

TEOREMA DE DESIGUALDADES

TD1 : Si a > b , b > c a > c (Ley de transitividad)

TD2 : Si a > b a + c > b + c

TD3 : Si a > 0 a2 > 0

TD4 : Si a > b – a < – b

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TD5 : Si a b > 0 a > 0 y b > 0

a < 0 y b < 0

TD6: Si a > b , c > 0 a c > b c

a > b , c < 0 a c < b c

TD7: Si a > b , c > d a + c > b+ d

TD8 : Si 0 < a < b a2 < b2

TD9 : Si 0 ≤ a < b ; 0 ≤ c < d a c < d b

TD10 : Si b ≥0 a2 > b a > , a < –

TD11 : Si b >0 a2 < b – < a <

Demostración. TD1 : Si a > b , b > c a > c

a > b b > c

a – b > 0 b – c > 0 Por definición

(a – b) R+ (b – c) R+

(a – b) + (b – c) R+ Por clausura de la suma

a (– b + b) – c R+

(a – c) R+

a – c > 0 a > c Por definición

Demostración. TD2 : Si a > b a + c > b + c

a > b

a – b > 0 Por definición

(a – b) R+

(a – b + c – c) R+

(a + c ) – (b + c) R+

(a + c ) – ( b + c) > 0

a + c > b + c

Demostración. Si a < b y c < d a + c < b + d

a < b Aplicando TD2 tenemos: a + c < b + c

c < d Aplicando TD2 tenemos: c + b < d + b

Aplicando TD1 (Ley de transitividad)

a + c < b + c y b + c < b + d

a + c < b + d Por tanto queda demostrado.

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Demostración. Si a > b – a < – b

Observación.- Decir a > b significa decir b < a

Prosiguiendo con la demostración tenemos:

a > b

( – a) + a + ( – b) > ( – a) + b + ( – b)

[( – a) + a ]+ ( – b) > ( – a) + [b + ( – b)]

0 + ( – b) > ( – a) + 0

– b > – a

– a < – b

Ejemplo:

– 2 x + 1 < 2

–2 x + 1 – 1 < 2 – 1

–2 x + 0 < 1 Dividiendo por (– 1)

2 x > – 1

2 ∙ 2–1 x > – 1 ∙ 2–1

x > – ½

REPRESENTACION GRAFICA

Los números reales R son representadas en una recta real.

– R– R+

INTERVALOS

Es un conjunto de números considerados dentro de una recta real.

Intervalo abierto.- Esta determinado por dos puntos a y b donde a < b (no incluye a

sus extremos), definido por el siguiente conjunto.

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( a, b) = { x / a < x < b } = ] a,b[

Intervalos Cerrado.- Esta determinado por dos puntos a y b donde a < b ( incluye a

sus extremos), definido por el siguiente conjunto.

[ a, b ] = { x / a ≤ x ≤ b }

Intervalos Semiabiertos.- ( o semicerrados)

( a, b ] = { x / a < x ≤ b }

[ a, b ) = { x / a ≤ x < b }

Intervalos Infinitos.-

( – , a ] = { x / x ≤ a}

( – , a ) = { x / x < a}

[ a, + ) = { x / x ≥ a}

( a, + ) = { x / x > a}

(– , + ) = { x / x R}

INECUACIONES

Las inecuaciones, son ecuaciones que en lugar de un signo de igualdad poseen signos

de desigualdad.

Ejemplo: x + 8 > 5

x > 5 – 8

x > – 3

+ Por tanto : Cs = { x / x > –3}= (–3. )

Ejemplo.-

– 3 ≤ 2 x + 5 < 4

– 3 – 5 ≤ 2 x + 5 –5 < 4 – 5

– 8 ≤ 2 x < – 1 Dividiendo entre 2

– 4 ≤ x < – ½

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Cs = { – 4 ≤ x < – ½ } = [ – 4, – ½ [

Ejemplo:

x2 – 5x < –6

x2 – 5x + 6< 0

( x – 3 ) (x – 2) < 0

i) ( x – 3 ) < 0 y (x – 2) > 0

x < 3 x > 2

Csi = { x/ 2 < x < 3 }

= (2, ) ∩ (– , 3 ) = ( 2, 3 )

ii) ( x – 3 ) > 0 y (x – 2) < 0

x > 3 x < 2

Csii = ( – , 2 ) ∩ (3, + ) = Ø

Luego la solución será: Cs = Csi Csii

= ( 2, 3 ) Ø = ( 2, 3 ) = { x / 2 < x < 3 }

Ejemplo:

x2 +10 x ≥ 1

( x + 5)2 ≥ 1

Aplicando teorema TD10 : Si b ≥0 a2 > b a > o a < –

x + 5 ≥ o x + 5 ≤ –

x ≥ –5 +1 x ≤ –1 – 5

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x ≥ –4 x ≤ – 6

Csii = ( – , – 6 ) (– 4, )

VALOR ABSOLUTO

Definición.- El valor absoluto de un número real a, denotado por , esta definido:

Ejemplo: ; Propiedades:

PA1:

PA2:

Teorema del valor absoluto.-

De acuerdo a la definición de valor absoluto se cumple los siguientes teoremas:

TA1:

TA2:

TA3:

TA4:

TA5:

TA6:

TA7:

TA8:

TA9:

TA10:

TA11:

Demostración.- TA1: (Desigualdad Triangular)

i) Si ii) Si

V Se cumple la igualdad V Se cumple la igualdad

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iii) Si iv) Si

V Se cumple la igualdad V Se cumple la igualdad

Si Si

V Se cumple la igualdad V Se cumple la igualdad

Como todos los casos son proposiciones verdaderas, se concluye como V (verdadera) el

teorema.

Ejemplo:

Ecuaciones en valor absoluto

i) x >0 ii) x < 0

x + 8 =10 – x + 8 = 10

x = 2 x = –2

Como x =2, reemplazando en x > 0 Como x =−2, reemplazando en x < 0

tenemos: 2 > 0 es V tenemos: –2 < 0 es V

Por tanto : Cs = {2, –2}

Ejemplo:

Inecuaciones en valor absoluto

i) 3 x –1 ≥ 0 x ≥ ⅓

3 x –1 < 2 x + 5

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x < 6

Csi = (x ≥ ⅓) ∩ ( x < 6) = { x / ⅓ < x < 6 }

ii) 3 x –1 ≤ 0 x ≤ ⅓

– (3 x –1) < 2 x + 5 – 3 x +1 < 2 x + 5 – 5 x < 4 x > – 4/5

Csii = (x ≤ ⅓) ∩ ( x >–4/5) = { x / – 4/5 < x < ⅓ }

Por tanto:

Cs = { x / ⅓ < x < 6 }{ x / – 4/5 < x < ⅓ }

= { x / – 4/5 < x < 6 }

De otra forma, resuelto el anterior ejemplo:

Aplicando: TA10:

– ( 2 x + 5 ) < 3 x –1 < 2 x + 5

– ( 2 x + 5 ) < 3 x –1 y 3 x –1 < 2 x + 5

– 5 x 1 < 4 x < 6

x > – 4/5

Cs = { x / – 4/5 < x < 6 }

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