NUMEROS ORDINALES En matemticas, un nmero ordinal es un nmero que denota la posicin de un elemento perteneciente a una sucesin ordenada. Por ejemplo, en la sucesin a b c d, el elemento a es el primero, b el segundo, c el tercero, etc. Los nmeros ordinales pueden generalizarse para las sucesiones infinitas, introducidas por Georg Cantor en 1897. Definicin moderna de ordinal Artculo principal: Nmero ordinal (teora de conjuntos) Se desea construir nmeros ordinales como conjuntos bien ordenados especiales de forma que todo conjunto bien ordenado es ordenadamente isomorfo a exactamente un nmero ordinal. La siguiente definicin mejora el enfoque de Cantor y fue propuesto inicialmente por John von Neumann: Un conjunto S es un ordinal si y solo si S est totalmente ordenado con respecto a la inclusin de conjuntos (es decir, la relacin subconjunto) y todo elemento de S es tambin un subconjunto de S. Basndose en el axioma de regularidad, que puede enunciarse como: Todo conjunto no vaco S contiene un elemento a disjunto de S. Ntese que los naturales, en la representacin propuesta ms arriba son los llamados ordinales finitos. Por ejemplo,2 es un elemento de 4 = {0, 1, 2, 3}, y 2 es igual a {0, 1} por lo que tambin es un subconjunto de 4. Se puede demostrar, aplicando induccin transfinita que todo conjunto bien ordenado es ordenadamente isomorfo a exactamente uno de estos ordinales. Ms an, los elementos de cada ordinal son en s mismos ordinales. Cuando se tienen dos ordinales S y T, S es un elemento de T si y solo si S es un subconjunto propio de T, y ms an, cuando S y T son distintos y S no es un elemento de T, se cumple que T es un elemento de S. De manera que todo conjunto de ordinales est totalmente ordenado y ms an, Todo conjunto de ordinales es bien ordenado. Este ltimo resultado es la generalizacin de la misma propiedad sobre los naturales, lo que permite enunciar y utilizar induccin transfinita para demostrar propiedades sobre ordinales. Otra consecuencia es que todo ordinal S es un conjunto que contiene como elementos precisamente los ordinales ms pequeos que S. Esta afirmacin determina completamente la estructura de conjunto de cada ordinal en trminos de otros ordinales. Ella es utilizada para demostrar muchas de las propiedades de estos nmeros. Un ejemplo de ello es una importante caracterizacin de la relacin de orden entre ordinales: todo conjunto de ordinales tiene un supremo, que es el ordinal obtenido como la unin de todos los ordinales del conjunto. Otro ejemplo es el hecho que la coleccin de todos los ordinales no es un conjunto. Puesto que todo ordinal contiene

nicamente ordinales, se cumple que todo elemento de la coleccin de todos los ordinales tambin es su subconjunto. As, si esa coleccin fuera un conjunto, tendra que ser un ordinal tambin, por definicin; entonces sera un elemento de l mismo, lo cual contradice el axioma de regularidad.

NUMEROS NATURALES Nmero natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto. Los nmeros naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N: N = {0, 1, 2, 3, 4,, 10, 11, 12,} El cero, a veces, se excluye del conjunto de los nmeros naturales. Adems de cardinales (para contar), los nmeros naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1 (primero), 2 (segundo),, 16 (decimosexto), Los nmeros naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las ms elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades. Entre los nmeros naturales estn definidas las operaciones adicin y multiplicacin. Adems, el resultado de sumar o de multiplicar dos nmeros naturales es tambin un nmero natural, por lo que se dice que son operaciones internas. La sustraccin, sin embargo, no es una operacin interna en N, pues la diferencia de dos nmeros naturales puede no ser un nmero natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los nmeros enteros, en el que se puede restar un nmero de otro, cualesquiera que sean stos. La divisin tampoco es una operacin interna en N, pues el cociente de dos nmeros naturales puede no ser un nmero natural (no lo es cuando el dividendo no es mltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los nmeros racionales, en el que se puede dividir cualquier nmero por otro (salvo por el cero). La divisin entera es un tipo de divisin peculiar de los nmeros naturales en la que adems de un cociente se obtiene un resto