NÚMEROS matemáticas

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1. NÚMEROS NATURALES

POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo:

34 = 3 · 3 · 3 · 3

El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite es el

exponente. En el ejemplo anterior, la base es 3, y el exponente, 4.

Para hallar el valor de una potencia, se multiplica la base por sí misma tantas

veces como indica el exponente.

ALGUNOS CASOS CONCRETOS:

Una potencia de base 1 vale siempre 1, cualquiera que sea el exponente.

Una potencia de base 10 es igual a un 1 seguido de tantos ceros como indica el

exponente.

Una potencia de base 0 vale siempre 0, para cualquier exponente.

Una potencia de exponente 0 vale SIEMPRE 1 para CUALQUIER base.

Una potencia de base negativa tiene valor positivo menos que 1:

OPERACIONES CON POTENCIAS:

Para multiplicar potencias de la misma base, se deja la

misma base y se suman los exponentes.

Para dividir potencias de la misma base, se deja la

misma base y se restan los exponentes.

Para multiplicar potencias del mismo exponente, se deja

el mismo exponente y se multiplican las bases.

Para dividir potencias del mismo exponente, se deja el

mismo exponente y se dividen las bases.

La potencia de una potencia es otra potencia con la

misma base, y el exponente es el producto de los exponentes.

La RAIZ CUADRADA es la operación inversa de elevar al cuadrado: conocemos el

cuadrado (radicando) y tenemos que hallar el número (raíz), que elevado al

cuadrado nos dé el radicando:

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2. NÚMEROS ENTEROS (MCD & mcm)

El conjunto de los números enteros está formado por los

números naturales precedidos del signo más (+) (que son

los propios números naturales), y los números naturales

precedidos del signo menos (–) que son los números enteros

negativos; y por el número 0.

El valor absoluto de un número entero es el número

natural que resulta al quitar el signo al número. Se indica

poniendo el número (positivo) entre barras.

El opuesto de un número entero es el número que resulta

al cambiar su signo.

Reglas:

La suma de dos números enteros del mismo signo es otro número entero del

mismo signo cuyo valor absoluto es la suma de los valores absolutos.

Para sumar dos números enteros de distinto signo se restan sus valores

absolutos y se pone el signo del de mayor valor absoluto.

Para restar dos números enteros sumamos al minuendo el opuesto del

sustraendo: − = + (− ).

Para multiplicar dos números enteros se hace el producto de sus valores

absolutos y se pone el signo que se obtiene de la regla de los signos.

Para dividir dos números enteros se halla el cociente de sus valores absolutos y

se aplica también la regla de los signos.

Operaciones combinadas:

a) Primero se multiplica y divide; luego, se suma y se resta, de izquierda a

derecha.

b) Cuando aparezcan paréntesis en una expresión, la primera operación a

realizar son los cálculos dentro del paréntesis, y si hay varios paréntesis y / o

corchetes, del más interior al más exterior. Después se sigue la regla a).

MÚLTIPLOS Y DIVISORES:

Los múltiplos de un número se obtienen al multiplicar dicho número por los

números naturales. Lógicamente, un número tiene INFINITOS múltiplos.

Un número s es divisor de otro b cuando al dividir b entre a la división es exacta,

es decir, el resto es 0.

Un número es primo si sólo tiene dos divisores: el 1 y el propio número.

Regla de los

signos

(+) · (+) = (+)

(-) · (-) = (-)

(+) · (-) = (-)

(-) · (+) = (-)

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Un número es compuesto si no es primo, es decir, tiene más de dos divisores (si

es divisible por otro número además de 1 y de él mismo).

El número 1 no es primo ni compuesto.

Todos los números compuestos pueden expresarse como producto de números

primos o potencias de números primos.

DIVISIBILIDAD:

Un número es divisible por 2 cuando acaba en 0 ó en cifra par.

Un número es divisible por 3 cuando la suma de todas sus cifras es 3 ó un

múltiplo de 3.

Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras son ceros o un

múltiplo de 4.

Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 ó en 5.

Un número es divisible por 9 cuando la suma de todas sus cifras es 9 ó un

múltiplo de 9.

Un número es divisible por 10 cuando acaba en 0.

Un número es divisible por 6, por ejemplo, cuando es divisible A LA VEZ por 2 y

por 3 (porque 6=2x3).

Y lo es por 21 cuando es divisible a la vez por 3 y por 7; y así todos…

Un número es primo cuando sólo es divisible por sí mismo y por 1.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR & MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Para hallar el MCD de 2 ó más números, los descomponemos cada uno de ellos

en números primos. El MCD será el producto de los factores comunes al menos

exponente; si no hay ninguno, el MCD es 1.

Para hallar el mcm de dos ó más números, los descomponemos en factores

primos; el mcm será el producto de los factores comunes y no comunes (1 vez

cada uno) al mayor exponente.

El producto del MCD por el mcm de DOS números es igual al producto de los

números: MCD (a,b) · mcm (a,b) = a · b

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3. NÚMEROS RACIONALES – fracciones

Los números racionales engloban a los números enteros y a los fraccionarios

positivos y negativos.

Reglas:

1. Para sumar o restar fracciones del mismo denominador, se suman o se

restan los numeradores y se deja el mismo numerador.

2. Para sumar o restar fracciones de distinto numerador:

Se reducen a común denominador (que es el mcm de los denominadores).

Se suman o se restan los numeradores de las fracciones obtenidas.

3. Para multiplicar un número entero por una fracción, se multiplica el número

por el numerador de la fracción.

4. Para multiplicar dos o más fracciones, se multiplican los numeradores por

los numeradores, y los denominadores por los denominadores.

5. Para dividir fracciones, o en operaciones combinadas de multiplicación y

división de fracciones, se convierten las divisiones en multiplicando, cambiando las

fracciones que son divisores por su inverso. Para calcular la inversa de una fracción

se intercambian el numerador y el denominador. El producto de dos fracciones

inversas es 1.

6. Para elevar una fracción a una potencia, se elevan el numerador y el

denominador a dicha potencia.

Dos (o más) fracciones son equivalentes cuando al dividir cada numerador entre

cada denominador, obtenemos el mismo número; o cuando las multiplicamos en

cruz, da una fracción cuya valor es 1; es decir, el producto de extremos es igual al

producto de medios.

Expresión decimal de una fracción & Expresión fraccionaria de un número

decimal (cálculo de la función generatriz).

7. NÚMEROS IRRACIONALES

Son aquéllos cuya expresión decimal contiene infinitas cifras decimales no

periódicas; por ejemplo: e, π, …

8. NÚMEROS REALES

Los racionales más los irracionales

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9. NÚMEROS COMPLEJOS

Son las expresiones radicales de números negativos. Un número complejo está

formado por una parte real y una imaginaria. En el siglo XVIII Euler definió la

unidad de los números imaginarios como un número tal que . Es decir, i se

define como la raíz cuadrada de -1.

Según ello, la notación general de un número complejo es (a + bi), siendo a su

parte real y b su parte imaginaria. Esta notación se conoce como forma binómica

del número.

Es decir, un número complejo es la suma de un número real y uno imaginario.

Un número imaginario es el producto de un número real y el operador

imaginario i.

Al tratarse de un par de elementos (a,b), todo número complejo es susceptible

de representarse en un eje de coordenadas cartesianas, donde a sería la abcisa y b

la ordenada. Esta manera de representación se denomina forma cartesiana.

Una tercera representación de los números complejos es la polar. Considerando

la representación cartesiana de un número como un vector, éste podría quedar

completamente definido mediante dos cantidades:

Su módulo m, equivalente a: 2+ 2

Su argumento, que es el ángulo φ tal que:

CÁLCULO DE LA FRACCIÓN GENERATRIZ MAT-2

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ina 1

Un número racional es aquél que se puede expresar con una fracción.

Es decir, los decimales finitos (que NO tienen infinitos decimales) y los decimales periódicos

(puros y mixtos).

Entonces, fracción generatriz es aquélla de la que procede una expresión decimal.

Si, en la fracción generatriz, dividiésemos numerador entre denominador, nos ha de

dar ese número.

1. La fracción generatriz de un número decimal finito se calcula multiplicando la

expresión por 10

10,

100

100,

1000

1000… seguido del número de cifras decimales que tenga; y

después, por supuesto, simplificando si se puede; por ejemplo:

1,35 =1,35·100

100=

135

100=

27

20 entonces: 27: 20 = 1,35

0,4 =0,4·10

10=

4

10=

2

5 entonces: 4: 10 = 2: 5 = 0,4

2. La fracción generatriz de un número periódico la podemos calcular de dos formas:

Aplicando una fórmula, que hay que aprenderse de memoria.

Razonándolo, que evita el problema de olvidar la fórmula en un momento dado.

La fórmula es:

Decimal periódico puro en el numerador se escribe la parte entera

seguida de del período, menos la parte entera; en el denominador, se colocan

tantos 9 como cifras tiene el período.

Decimal periódico mixto en el numerador se escribe la parte entera

seguida del ante-periodo (las cifras detrás de la coma y antes del período) y

del período, menos la parte entera, seguida del ante-período; en el

denominador se escriben tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de

tantos 0 como cifras tiene el ante-período.

Si no se quiere aprender esta fórmula tan enrevesada, lo mejor es razonar cómo se hace el

cálculo, que es muy sencillo. Lo vamos a hacer con unos ejemplos:

PERIÓDICO PURO

Tomemos, por ejemplo, 1, 31̂ = 1,313131 …. A este número le llamamos x;

¿Cuántas cifras tiene el período en este caso? 2 cifras. Entonces calculamos 100x, es decir,

10 elevado a 2, el número de cifras del período; y restamos 100x – x

100𝑥 = 100 · 1, 31̂ = 100 · 1,313131 … = 131, 31̂ Y le restamos x

100𝑥 = 131, 31̂

𝑥 = 1, 31̂

100𝑥 − 𝑥 = 131, 31̂ − 1, 31̂; 99𝑥 = 130; 𝑥 =130

99 Y esta es la fracción generatriz.

CÁLCULO DE LA FRACCIÓN GENERATRIZ MAT-2

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ina 2

Hagamos otro ejemplo, como 0, 4̂ = 0,44444444 … .. al que llamamos x;

Como el período sólo tiene un decimal, multiplicamos a este número, x, por 10

10𝑥 = 4, 4̂

𝑥 = 0, 4̂ los restamos:

9𝑥 = 4; 𝑥 =4

9 Si dividimos 4 entre 9 nos tiene que dar 0,444444444 … ….

PERIÓDICO MIXTO

El proceso es muy similar al caso del periódico puro. Hagamos algún ejemplo:

Hallemos la fracción generatriz de 3,121̂ = 3,121111111111 …

A este número le llamamos x, y le vamos a multiplicar por mil, porque hay tres cifras desde

la coma hasta al final de todo el número. Y además, vamos a multiplicarle por cien, porque

hay dos cifras en el ante-período, es decir, entre la coma y el inicio del período. Así tenemos:

1000𝑥 = 3121, 1̂

100𝑥 = 312, 1̂ Y los restamos, como también hacíamos en el caso del periódico puro:

900𝑥 = 2809; 𝑥 =2809

900; si dividimos 2809 entre 900 nos da 3,12111111111111….

Hagamos un ejemplo más de un decimal periódico mixto:

Hallemos las fracción generatriz de 12,7214̂ = 12,7214214214214 ….

Llamamos x a este número; le multiplicamos por 10 mil (porque hay cuatro cifras desde la

coma hasta el final), y también por diez, porque sólo hay una cifra entre la como y el inicio

del período (es decir, en el ante-período):

10000𝑥 = 127214, 214̂

10𝑥 = 127, 214̂ y los restamos:

9990𝑥 = 127087; 𝑥 =127087

9990

Como siempre, si restamos 127087 entre 9900 nos da 12,72142142142142…

Si nos fijamos, el proceso es siempre el mismo: Al restar, que se nos vayan las períodos. Y

simplificar SIEMPRE que se pueda al final. Y eso es todo.

He aquí algún ejemplo más para practicar, con la solución para practicar si está bien, aunque

para comprobar si una fracción generatriz está bien calculada, basta con dividir numerador entre

denominador a ver si nos sale el número original.

De cualquier manera, he aquí los ejercicios para practicar:

2, 34̂ = 2,343434 …

SOLUCIÓN

𝟐𝟑𝟐

𝟗𝟗

2,564̂ = 2,56444444 … 𝟐𝟑𝟎𝟖

𝟗𝟎𝟎=

𝟓𝟕𝟕

𝟐𝟐𝟓