Nmeros Imaginarios

Nmeros ImaginariosA pesar de que Descartes originalmente usaba el trmino nmeros imaginarios para referirse a lo que hoy en da se conoce como nmeros complejos, el uso comn en la actualidad de los nmeros imaginarios significa un nmero complejo cuya parte real es igual a cero. Para clarificar y evitar confusiones, tales nmeros muchas veces son mejor llamados nmeros imaginarios puros.

Ren Descartes acu est termino durante sus estudios en el Siglo XVII, pero sus intenciones eran dar a ciertos nmeros complejos un carcter despectivo, pero luego pas a ser un eje (literalmente) en lo que posteriormente sera el plano cartesiano. Pues, en este plano los ejes cartesianos reales se encuentran en el eje X de forma horizontal y los imaginarios en el Y del eje vertical complejo.

Definicin de nmeros imaginariosSurge la pregunta qu es un nmero imaginario? Para dar de los nmeros imaginarios una definicin, podramos decir que es un nmero cuya potenciacin es negativa. Es decir que cuando se eleva al cuadrado o se multiplica por s mismo, su resultado es negativo.

Si se eleva al cuadrado a cualquier otro nmero real su resultado siempre ser positivo. Por ejemplo cinco al cuadrado o 5, es decir 5 5 da como resultado 25. En su defecto, -5 a pesar de ser un nmero negativo su resultado tambin ser positivo debido a que -5 -5 anula su negatividad y da como resultado 25.

Por lo tanto un nmero potenciado que de resultado negativo solo puede suceder en la imaginacin, pero a pesar de parecer imposibles los nmeros complejos e imaginarios son muy tiles y tienen una utilidad real para resolver problemas que de otra manera seran un fracaso.

Unidad y smbolo de los nmeros imaginariosSu smbolo comn y frecuente es el del nmero imaginario i siendo la inicial de imaginario y casi siempre va acompaado de un nmero real para denotar sus distintas propiedades de nmeros imaginarios y expresar de forma particular la suma de un nmero real y de un nmero imaginario.

Sin embargo en ciertos campos, en especial los relacionados con la electricidad, a esta unidad imaginaria se la representa de manera diferente para poder clasificarla y no confundirla con el smbolo de la corriente alterna que se denota usualmente con la letra i, por lo tanto en estos campos tambin se puede encontrar a los nmeros imaginarios representados con la letra j, sin cambiar de ninguna manera sus propiedades o resultados.

La unidad de los nmeros imaginarios, al igual que es tratado con los nmeros reales en cuyo caso es uno o 1, viene a ser -1 o raz cuadrada de uno negativo. Est denominacin naci en el siglo XVIII debido a que Leonard Euler quera nombrar a los nmeros imaginarios de manera desdeosa dndole una denominacin que se entiende como un objeto inexistente.

Propiedades de los nmeros imaginariosPara la suma, encontramos que:La suma de los nmeros imaginarios es cerrada, lo cual significa que si se suman dos nmeros imaginarios, el resultado tambin ser un nmero imaginario.

Tiene una propiedad conmutativa, el orden de los sumandos no altera la adicin.

Tambin una propiedad distributiva, donde la suma de dos nmeros multiplicada por un tercer nmero es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer nmero.

Durante la sustraccin, por cada nmero imaginario, existe un nmero negativo cuya adicin dar como resultado cero.

Existe un nmero neutro que al ser sumado a cualquier nmero, el resultado ser el mismo nmero.

Mientras que para la multiplicacin o producto encontramos que:

El producto, al igual que la suma, tambin es cerrado, lo cual significa que al multiplicar nmeros complejos entre s, el resultado tambin es un nmero imaginario puro.

En este caso hay una propiedad conmutativa, que dice que si se altera el orden de los nmeros complejos e imaginarios, no se altera el resultado.

Tambin posee una propiedad distributiva.

Y por cada nmero imaginario tambin existe un inverso multiplicativo cuyo resultado del producto de ambos, es igual a 1.

De la misma manera para la raz cuadrada de cualquier nmero real negativo el resultado siempre ser un nmero imaginario.

Partiendo de tal premisa, podemos anotar lo siguiente: -25 = 25 -1 = 25 -1 = 5i

A continuacin se ofrecen varios ejemplos con nmeros imaginarios, a partir de las propiedades anteriormente mencionadas.

Ejemplos de nmeros imaginariosComo ejemplos de nmeros complejos tenemos:

Ejemplos de las propiedades de la sumaPropiedad cerrada: 3i + 4i = 7i.Propiedad conmutativa: 2i + 4i = 4i + 2i.Propiedad distributiva: (6i + 4i) 5i = (6i 5i) + (4i 5i).Nmero neutro: 8i + 0 = 8i.Elemento opuesto o inverso aditivo: 3i -3i = 0.

Ejemplos en el producto o multiplicacinPropiedad conmutativa: (6i) (3i) = (3i) (6i) o lo que es lo mismo 6i 3i = 3i 6i.Propiedad distributiva: 3i (5i 4i) = (3i 5i) 4i.Elemento opuesto o Inverso multiplicativo: 4i 1/4i = 1.

Ejemplo de las propiedades de la potenciacinUnidad imaginaria: -1 = i. Esta es la propiedad que define al nmero imaginario i.

Utilidad de los nmeros imaginariosEl uso de los nmeros imaginarios puede estar presente en muchos campos, pero principalmente lo podemos encontrar en el teorema fundamental de lgebra para encontrar la raz cuadrada de nmeros negativos.

Profesionalmente se lo utiliza en campos relacionados con la electricidad, donde utilicen la teora de circuitos y para calcular la corriente alterna, para as permitir el tratamiento de magnitudes, que a pesar de poseer nmeros imaginarios, dicha corriente existe y es tan tangible, as como peligrosa si no se maneja con el debido cuidado. Y en fsica cuntica para explicar de manera ms simple los estados cunticos variables del tiempo.

Operaciones con nmeros imaginariosSumaPara hacer operaciones con nmeros imaginarios, en este caso la suma, seguimos las reglas bsicas de la matemtica agrupando los nmeros reales y los nmeros imaginarios respectivamente.

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Como ejemplo tenemos:(5+3i)+(2+6i) = (5+2)+(3i+6i) = 7+9i

SustraccinPara realizar la sustraccin, tambin se deben agrupar los nmeros imaginarios y reales. Por ejemplo:(5-2i)-(2+6i) = (5-2)+(-2i-6i) = 3-8i

MultiplicacinPara la multiplicacin debemos multiplicar cada trmino del primer factor por los del segundo.(a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi = (ac-bd)+(ad+bc)i

Podemos observar que el elemento bdi se convierte en bd por lapropiedad de los nmeros imaginarios en la cual i es igual a -1.

Como ejemplo tenemos:(3+2i)(6+7i) = 18+21i+12i+14i = (18-14)+(21+12)i = 4+33i

DivisinEn los nmeros imaginarios, la divisin es ms complicada pues se debe multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, siendo las siguientes operaciones correspondientes:

Como ejemplo de divisiones de nmeros imaginarios tenemos:

PotenciasEn la potenciacin de nmeros imaginarios, existen equivalencias e identidades que seran las siguientes:

i=1i=ii=-1i=-ii=1

Estas notaciones se van repitiendo cada cuatro nmeros, lo cual quiere decir que para saber cul es un determinado valor de la potencia de un nmero imaginario o complejo, debemos dividir el exponente entre cuatro y el resto del exponente es la potencia equivalente segn las identidades notables que anotamos anteriormente.

Por ejemplo: i

Tomamos 26 y dividimos para 4, lo que nos da: 64+2=26Sabiendo entonces que 2 es el exponente indicado segn su equivalencia, decimos que:i = (i) i = 1 -1 = -1