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NÚMEROS DE FRIEDMAN Ya han aparecido en números anteriores de nuestro boletín los números narcisitas salvajes, son aquellos que pueden obtenerse como resultado de una operación (+, –, ×, ÷, ^, √, ! ) entre sus cifras y en su mismo orden, por ejemplo: 456 = 4 (5! - 6). Ahora presentamos unos parientes suyos, los números de Friedman. Un número de Friedman es un entero que puede escribirse de forma no trivial combinando sus dígitos y sólo las operaciones aritméticas básicas (+,-,*,/), los paréntesis y las potencias. No se admiten raíces ni factoriales y no es necesario respetar el orden. Por ejemplo, 25=52 ó 126=21 · 6.

Los primeros números de Friedman son: 25, 121, 125, 126 , 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1395, 1435, 1503, 1530, 1792, 1827, 2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507, 2508, 2509, 2592, 2737, 2916, 3125, 3159 Tampoco es válido utilizar ceros a la izquierda. Es decir: 001729=1700+29 no es válido. En internet hay muchas curiosidades sobre este tipo de números. Aquí van algunas de ellas: Parece ser que el número 99.999.999 es el menor número de Friedman que tiene todos sus dígitos iguales. La forma de conseguirlo

es: 99

99

9999.999.999

99

−

+=

−

Todo número con 24 o más cifras que las tenga todas iguales es un número de Friedman.

Los números de Friedman simpáticos son los que pueden obtenerse con las operaciones mencionadas pero con la condición de que los

dígitos aparezcan en el mismo orden que en el propio número. El menor es el 127=-1+27.

Al parecer gran parte de los números de Friedman son compuestos. El primer número de Friedman primo es, precisamente, el 127. De todas formas está comprobado que hay infinitos números de Friedman primos.

Los números 123456789 y 987654321 son números de Friedman. La forma de conseguirlos es la siguiente, debida a Mike Reid y Philippe Fondanaiche:

123456789=((86+2*7)5-91)/34 987654321=(8*(97+6/2)5+1)/34

Actualmente se conocen 81 números simpáticos de Friedman que contienen todas las cifras de 1 a 9 (una vez cada una), aquí va uno:

268435179 = −268 + 4(3×5 − 17) − 9. Sólo hay 14 menores que 10.000 que sean simpáticos de Friedman, son los siguientes: 127 = -1 + 27 343 = (3 + 4)3 736 = 7 + 36 1285 = (1 + 28)5 2187 = (2 + 18)7 2502 = 2 + 502 2592 = 25 92 2737 = (2 × 7)3 - 7 3125 = (31 + 2)5 3685 = (36 + 8)5 3864 = 3(-8 + 64) 3972 = 3 + (9 × 7)2 4096 = 40·9 + 6 6455 = (64 - 5)5

Hasta aquí se ha trabajado en base decimal, pero no es condición necesaria. Erich Friedman y Robert Happelberg realizaron investigaciones en números romanos para encontrar números de estos tipos. Su primer descubrimiento fue el número 8, ya que:

VIII = (V - I) * II que además es un Número de Friedman simpático. Encontraron muchos otros números de Friedman en los que la expresión usa la exponenciación, como por ejemplo, 256, porque:

CCLVI = IVCC/L. Esto y mucho más en:

http://www2.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0800.html

BOLETÍN

DE M

ATEM

ÁTIC

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EL I.E

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ATARRAÑA – N

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o 17

– M

AYO 2.010

REPORTAJE

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EL TEOREMA DE PITÁGORAS.

El primer artículo del primer “Materraña” se titulaba “La fórmula más famosa” y estaba dedicado al

Teorema de Pitágoras. Han pasado varios números del boletín desde entonces y ahora le dedicamos de

nuevo nuestra atención.

Su enunciado admite varias versiones: “para todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos” es posiblemente la más conocida, también puede expresarse como: “El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos”. Pero el teorema, en realidad, dice un poco más: si un triángulo cumple a2+b2=c2, entonces es rectángulo.

Este teorema, o esta ecuación, aumenta su belleza cuando nos damos cuenta que a2+b2=c2 tiene algunas soluciones muy sencillas. Por ejemplo: (a,b,c)=(3,4,5) o (a,b,c)=(5,12,13) . Se cree que estas soluciones se usaron en tiempos antiguos para construir ángulos rectos: utilizando una cuerda cerrada (con las puntas anudadas juntas) con 12 nudos distribuidos a igual distancia cada uno del siguiente, se puede obtener un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5. Se dice que los egipcios eran capaces de volver a delimitar sus campos tras las crecidas del Nilo con este simple instrumento.

Sea cierto o no, la belleza de la expresión 32 + 42 = 52 es incuestionable, tanto desde el punto de vista aritmético como desde el geométrico.

Sello griego dedicado a Pitágoras

El teorema de Pitágoras fue la primera aparición de una relación oculta entre la aritmética y la geometría y sigue siendo clave en estas dos ramas de la matemática a lo largo de la historia. A veces incluso ha llevado a conflicto, como por ejemplo el descubrimiento de la irracionalidad

de 2 , pues los griegos, que no conocían los rracionales, no eran capaces de calcular la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1.

Pitágoras vivió alrededor del año 500 A.d.C., pero la historia del teorema es mucho más antigua, se remonta al menos hasta los babilonios en el 1.800 A.d.C. La evidencia es una tablilla de barro conocida como Plimpton 322, tienen unas dimensiones de 13 x 9 cm, y un grosor de 2 cm., donde aparece toda una lista de ternas de enteros (a,b,c) que satisfacen a2+b2=c2. La ternas de este tipo, como (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) se conocen como ternas pitagóricas y existe evidencia documental de que eran conocidas en China y en India. Su estudio más completo en la antigüedad fue realizado por los matemáticos griegos, desde Euclides (aprox. 300 A.d.C.) hasta Diofanto (250 D.d.C.).

REPORTAJE

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La tablilla Plimpton 322

En ella pueden apreciarse cuatro columnas, la última columna numera las filas de 1 a 15. En la Columna 2 (C2) aparece uno de los catetos: a. En la tercera, C3, aparece la hipotenusa c. Y en la primera, C1, no aparece el otro cateto b, aparece la expresión (c/b)2. Hay que notar que la razón c/b es la cosecante, por tanto, puede considerarse esta tablilla como una forma temprana e incipiente de trigonometría. Una “traducción” de esta tablilla sería:

Hoy conocemos una fórmula para generar ternas pitagóricas, es la siguiente: Se eligen tres números enteros: p, q y r. Después se calculan a= (p

2-q

2)·r

b=2·p·q·r

c=(p2+q

2)·r

Y entonces a2+b2=c2. El proceso es cierto, evidentemente, también cuando p, q y r no sean

enteros. Los babilonios no conocían el álgebra, pero es posible que utilizaran este método, al menos el caso especial de: r=1: a= (p2-q2); b=2·p·q; c=(p2+q2) como método de obtención de los ejemplos de sus tabillas, aunque no hay acuerdo sobre ello entre los investigadores. Otros métodos menos generales de obtener este tipo de ternas se atribuyen a Pitágoras y Platón. Un método equivalente al anterior aparece en los Elementos de Euclides (Libro X, en el lema que sigue a la proposición 28) y, por lo que se sabe, es la primera vez que se recoge un método general. Sin embargo hay un método más sorprendente, basado en la geometría, relacionado con el trabajo de Diofanto, pero lo dejamos para otro número.

Sobre la biografía de Pitágoras. Se sabe muy poco de él, aunque circulan muchas leyendas. No hay documentos de la época en que vivió, así que sólo se conocen historias que han circulado sobre él durante siglos. Parece que nació en Samos, una isla griega cercana a la costa turca, alrededor del 580 A.d.C. Vivió en la ciudad de Mileto donde fue alumno de matemáticas de Tales (aprox. 624 – 547 A.d.C.). También viajó a Egipto y Babilonia, donde estudió sus ideas matemáticas. También vivió en Crotona, colonia griega en el sur de Italia. Fundó una escuela cuyos miembros se llamaron posteriormente “Pitagóricos”, el lema de esta escuela era “Todo es número” e intentaron ver la ciencia, la filosofía y la religión bajo el prisma de las matemáticas.

REPORTAJE

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La palabra “Matemáticas” parece ser un invento de Pitágoras y su significado sería “lo que es aprendido”. La escuela de los pitagóricos tenía un estricto código de conducta, lo que incluía que su pertenencia era secreta, que sus miembros debían ser vegetarianos y un curioso tabú sobre comer judías. Los resultados matemáticos que se dedujeran eran propiedad de la escuela y no se comunicaban a quienes no pertenecían a ella.

Uno de los éxitos más notables de la escuela fue la explicación de la armonía musical en términos de fracciones de números enteros, curiosamente esto inspiró la búsqueda de las leyes matemáticas que rigen el movimiento de los planetas que no llegaría hasta Newton. Incluso hoy el espíritu de los pitagóricos sigue vivo; los ordenadores, los relojes, la música en mp3, los CD y DVD son ejemplos de que “todo es número”. Se dice que cuando los pitagóricos intentaron abarcar la política encontraron la resistencia popular, Pitágoras tuvo que huir y fue asesinado cerca de Metapontum el año 497 A.d.C. Fueron los pitagóricos los primeros en sostener la forma esférica de la tierra y postular que esta, junto con el sol y el resto de los planetas conocidos, no se encontraban en el centro del

universo, sino que giraban entorno de una fuerza simbolizada por el número uno. Su escuela estaba abierta a hombres y mujeres indistintamente, y la conducta discriminatoria estaba prohibida. Sus estudiantes pertenecían a todas las razas, religiones, y estratos económicos y sociales.

El teorema de Pitágoras en tres textos: chino, griego y

árabe

El Árbol de Pitágoras. Pitágoras también tiene un árbol con su nombre, es un árbol fractal. Su construcción empieza con un cuadrado. Sobre él se construye el triángulo rectángulo isósceles que tiene de hipotenusa el lado del cuadrado. Sobre cada cateto se dibuja el cuadrado correspondiente y vuelta a empezar.

Si el cuadrado inicial tiene un tamaño de 1 × 1, todo el árbol de Pitágoras encaja perfectamente dentro de un rectángulo 6 × 4.

REPORTAJE

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20 AÑOS DEL HUBBLE

"Desde los puntos más cercanos a los más lejanos, aquellos que nunca se habían visto antes, hemos

llevado al ciudadano de a pie en un viaje por todo el Universo. Dave Leckrone.

El 24 de abril de 1990 la NASA (North American Space Agency) conjuntamente con la ESA (European Space gency) lanzaron al espacio un telescopio, el Hubble. El motivo era poder observar los rincones del universo sin la “venda en los ojos” que supone la atmósfera terrestre. Orbita a 600 Km. Sobre nuestras cabezas y gracias a él y a la exquisita calidad de las imágenes que sigue captando, se han podido extender más los horizontes de la astronomía y se ha podido admirar con todo lujo de detalles desde planetas hasta estrellas pasando por galaxias o nebulosas, y conseguido conocer más en profundidad el espacio y lo que en él pasa. Recogemos aquí, en Materraña, los que, posiblemente, han sido sus cinco descubrimientos más importantes.

Cuando la luz de los diferentes objetos del espacio cruza nuestra atmósfera, las diferentes capas de aire, el vapor de agua y el polvo en suspensión emborronan la imagen que se recibe en la superficie. Para evitar esto, los astrónomos hace mucho pensaron en situar un observatorio

en el espacio. Ya en 1923 el célebre constructor de cohetes alemán Hermann Oberth sugirió esta idea, pero hicieron falta décadas de investigación para hacer realidad su sueño. En 1946 el astrónomo estadounidense Lyman Spitzer propuso un nuevo plan de colocar un telescopio sobre la atmósfera terrestre para obtener imágenes mucho más nítidas. En la década de los 70 la NASA y la ESA comenzaron a construir el Telescopio Espacial Hubble, cuyo nombre rinde tributo a Edwin Powell Hubble, fundador de la nueva cosmología, quein, en los años 20 del siglo pasado demostró que no todo lo que vemos en el cielo pertenece a nuestra galaxia, sino que el cosomos se extiende mucho más allá. El trabajo de Hubble cambió nuestra percepción de la humanidad en el universo. Agujeros negros supermasivos Hacia 1915 el físico Albert Einstein dedujo matemáticamente la existencia de agujeros negros, hasta 1994 no se produjo la confirmación. En dicho año el telescopio Hubble detectó algo que tenía una masa equivalente a 3.000 soles en la galaxia M87: un agujero negro supermasivo. Fue la primera prueba que confirmaba lo apuntado por Einstein. En 1996, científicos de la NASA llegaron a una importante conclusión gracias a imágenes del Hubble: casi todas las grandes galaxias del universo poseen un agujero negro supermasivo en su centro (también la nuestra, por cierto).

REPORTAJE

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Precisando la edad del Universo En la década de 1920 el astrónomo Edwin Hubble descubrió que el Universo se expande y formuló la conocida “constante de Hubble” que describe la velocidad de expansión del Universo y su edad. Fue todo un hito que años después mejoró el telescopio Hubble (bautizado así justamente en honor a Edwin). Gracias a sus imágenes, los científicos mejoraron lo formulado hacía años atrás por Edwin Hubble. La conclusión final fue que nuestro universo tiene una edad de unos 13.700 millones de años. Evidencias de la energía oscura El Hubble ha permitido investigar algo que los científicos ansiaban desde hacía mucho tiempo: observar lo que ocurre en el espacio profundo. Dichas observaciones supusieron un auténtico éxito. Gracias a ellas se han encontrado evidencias que respaldaban lo que Einstein predijo también años atrás: el universo está lleno de una forma de energía, conocida como energía oscura, que es la causante de que las galaxias se separen unas de otras constantemente. Es decir, es la fuerza que hace que el Universo se expanda.

Así nace un planeta. Otro de los grandes momentos del Hubble llegó por el año 2005 cuando captó la primera fase que da lugar a un planeta, concretamente tomó imágenes de como un disco de polvo y gas alrededor de una estrella recién nacida se hacía cada vez más denso, lo que permite que la materia se agrupe para dar finalmente lugar a un nuevo planeta. Y dio con la primera molécula orgánica en un exoplaneta

Aunque sea un telescopio, al Hubble no se le escapa ni lo más pequeño. Tanto es así que en el 2008, por primera vez, dio con una molécula orgánica en la atmósfera de un exoplaneta del tamaño de Júpiter, el HD 189733b. El descubrimiento fue muy importante ya supuso un paso adelante en el objetivo de conseguir identificar moléculas prebióticas en las atmósferas de planetas situados en “zonas habitables” alrededor de otras estrellas. La NASA inició la conmemoración del aniversario con la difusión en su sitio de internet de las fotos más espectaculares del universo captadas por el telescopio. Esas imágenes también forman parte del libro "Hubble A Journey Through Space and Time" que incluye 20 de las mejores fotografías y comentarios de las personalidades de la astronomía de todo el mundo.

Las imágenes seleccionadas por astronautas y científicos de la agencia espacial muestran el nacimiento y muerte de estrellas, la colisión de galaxias y al universo en las primeras etapas de su formación. Pero la NASA no sólo ha hecho gala de las fotografías del cosmos tomadas por el observatorio, sino que también ha difundido los descubrimientos conseguidos por otros instrumentos, como su espectrógrafo y sus cámaras de alta resolución. En principio se estimó su vida útil en 15 años. Tras la quinta y última misión del año pasado para reparar y mejorar sus sistemas que estuvieron inactivos durante casi tres años, la

REPORTAJE

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NASA anunció que no se espera que siga funcionando más allá de 2014 y que poco a poco se apagarán sus sistemas para siempre.

Irremediablemente el complejo científico espacial que mide 13,2 metros de largo y 4,7 metros de ancho con un peso de casi 12 toneladas comenzará a ser atraído por la fuerza gravitatoria de la Tierra hasta desintegrarse en su choque con la atmósfera. A partir de entonces el Hubble se sumará a los miles y miles de elementos que componen la chatarra espacial que gira en órbitas eternas en torno al planeta. Pero no pasará mucho tiempo antes de que la NASA lance al espacio otra nave que ponga en la órbita terrestre y lejos de la distorsión atmosférica otro observatorio espacial tal vez más poderoso que el Hubble.

Con motivo del 15º aniversario del Hubble, la E.S.A. lanzó el DVD “Hubble: 15 years of disocvery” Las más de 700.000 copias que se han distribuido hacen de él el documental científico más ampliamente difundido.

Edwin Powell Hubble (1889-1953), astrónomo estadounidense. Se graduó en derecho pero tras un año como abogado abandonó la práctica legal e ingresó en la Universidad de Chicago para estudiar astronomía, disciplina en la que se doctoró en 1917. Finalizada la Primera Guerra Mundial, entró a trabajar en el observatorio del Monte Wilson, en California. Entre 1922 y 1924, tras un concienzudo estudio de cierto tipo de estrellas denominadas cefeidas, estableció la existencia de nebulosas situadas fuera de la Vía Láctea. Estos cuerpos celestes constituirían, según Hubble, galaxias en sí mismas, tesis que cambió la noción vigente sobre las imensiones del cosmos y abrió el camino a la exploración más allá de la Vía Láctea. Después afrontó la tarea de clasificar las galaxias según su forma, clasificación que continúa vigente hoy día. El estudio pormenorizado de su estructura le permitió realizar otro hallazgo fundamental: las nebulosas extragalácticas se alejan de la Vía Láctea y lo hacen a mayor velocidad cuanto más alejadas se encuentran de ella. Las implicaciones de dicho descubrimiento pronto resultaron evidentes: el universo, durante largo tiempo considerado estático, en realidad está en expansión. En 1929 determinó la existencia de una relación constante entre distancia y velocidad de separación, constante que lleva su nombre. Su trabajo permitió establecer la edad del universo en unos 15.000 millones de años. En 1961 se publicó póstumamente el Atlas Hubble de las galaxias, fruto de sus más de treinta años de observaciones.

REPORTAJE

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Tres problemas fáciles 1.- En la tabla de números de Friedman en numeración romana que aparece abajo, se ha borrado accidentalmente el desarrollo del LXXXV. ¿Podrías hallarlo? LXXXV = L * XV / X + X

2.- Entreu dins del laberint i recolliu tots els formatges però tenint en compte que no està permès passar dues vegades pel mateix lloc.

3.- En el futuro habrá viajes interplanetarios. Supón que en el sistema solar se establecieran las siguientes rutas (y sólo éstas): Tierra-Mercurio, Plutón-Venus, Tierra-Plutón, Plutón-Mercurio, Mercurio-Venus, Urano-Neptuno, Neptuno-Saturno, Saturno-Júpiter, Júpiter-Marte, y Marte-Urano. ¿Se podría realizar el viaje desde La Tierra hasta Marte?

Tres problemas un poco difíciles 1. En un país hay cien ciudades y de cada ciudad salen (y llegan, claro) cuatro carreteras. ¿Cuántas carreteras hay en ese país? 2.- Demostrar que si (a,b,c) son enteros que no tienen un factor común y que satisfacen a2+b2=c2, entonces a y b son uno par y otro impar.

3.- Se me cayó el libro del que ya llevaba leídas casi 500 páginas y perdí el punto de lectura. Recuerdo que la suma de todos los números de las páginas leídas es igual a la suma de todos los números de las que me quedan por leer. ¿En qué página se me cayó el libro? ¿y cuántas tiene?

Números Romanos de Friedman

VIII = IV * II XVIII = IV * II + X XXVII = IX * (X/V - 1) XXVIII = IV * II + XX

XXXIII = XI * (X/X + II) XXXVI = VIXX/X XXXVII = IX * (X/V - 1) + X XXXVIII = IV * II + XXX

XLIV = L - V - IX XLVI = L - V + IX XLVII = L - X/V - II XLVIII = IV * II + XL

XLIX = L - IXX LVIII = IV * II + L LXVIII = IV * II + LX LXXV = L * XV / X

LXXVI = L * XV / X + I LXXVII = L * XV / X + II LXXVIII = IV * II + LXX LXXXI = IXX*X/L

LXXXII = IXX*X/L + I LXXXIII = IXX*X/L + II LXXXV = L * XV / X + X LXXXVI = L * XV / X + XI

LXXXVII = L * XV / X + XII LXXXVIII = IV * II + LXXX LXXXIX = X * (X - IL) - X/X XCIV = C - V - IX

XCVI = C - V + IX XCVII = C - X/V + I*I XCVIII = IV * II + XC XCIX = C - IXX

Envíanos tus respuestas y participarás en nuestros sorteos. Recuerda nuestras direcciones:

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