Los números complejos y WirisLa unidad imaginaria se escribe con control i o también podemos ir a la pestañaSímbolos y elegir la i . Aparece la i pero de color azul .Comprobemos la propiedad fundamental de i , que es que su cuadrado es 1

i 2 1Podemos calcular más potencias de i . Veremos que se repiten de forma cíclica .

i 3 i

i 4 1

i 5 i

i 6 1

Para explicar esto utilizamos la propiedad de las potencias a n m an ·am pero utilizada "al revés" .

Para resolver una ecuación con números complejos debemos añadir el símbolo , trasuna coma . Veamos algunos ejemplos de ecuaciones incompletas donde falta la "b" , quecomo sabemos es equivalente a realizar raíces cuadradas .

resolver(x 2 1 0 , ) { }{ }x i , { }x i

resolver(x 2 16 0 , ) { }{ }x 4 · i , { }x 4 · iPara calcular raíces cuadradas de números negativos en Wiris desgraciadamente nopodemos utilizar el símbolo . Debemos escribir el comando "raíces_cuadradas" . Si leañadimos el símbolo podemos calcular raíces complejas .

raíces_cuadradas (4 ) { }2 , 2

raíces_cuadradas ( 4 , ) { }2 · i , 2 · i

raíces_cuadradas ( 80 , ) { }4 · 5 · i , 4 · 5 · i

Se extraen factores de la raíz del mismo modo que en las raíces de números reales .Comprobemos que al elevar al cuadrado nos da el resultado correcto.

( )4 · 5 · i 2 80

Ya podemos resolver ecuaciones de segundo grado donde la raíz es negativa .

resolver(x 2 8x 25 0 , ) { }{ }x 4 3 · i , { }x 4 3 · iComprobemos al menos una de las soluciones .

( 4 3i )2 8 · ( 4 3i ) 25 0Definición. Llamamos número complejo a toda expresión de la forma a bi donde a y b sonnúmeros reales e i es la unidad imaginaria . El número a se denomina parte real delnúmero complejo y b (sin la i ) se denomina parte imaginaria .Para sumar o restar dos números complejos se suma o se resta las partes reales eimaginarias .(5 i ) (1 3i ) 6 2 · iPara multiplicar un número complejo por un número real se multiplica su parte real y suparte imaginaria por el número real .3 · (5 i ) 2 · (1 3i ) 17 3 · i(5 i ) 2 · (1 3i ) 7 5 · i

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Para multiplicar dos números complejos se multiplica de manera "normal" (técnicamentese dice que se aplica la propiedad distributiva ), se sustituye i2 por 1 y se reducentérminos semejantes .

(5 i )· ( )1 3i 8 14 · i(2 i )· (1 i ) 3 i(2 5i )· (3 2i ) 16 11 · i(1 5i )· ( i ) (4 3i )(4 3i ) 20 iEl conjugado de un número complejo a bi es el número a bi .conjugado(4 7i ) 4 7 · iPara calcular la división de dos números complejos se multiplica la fracción por elcomplejo conjugado del denominador .3 i3 i ·

3 i3 i

45

3 · i5

3 i3 i

45

3 · i5

i1 i

12

i2

El módulo de un número complejo es su módulo como vector . Para calcular el módulo decualquier número complejo se emplea las dos barras verticales .

| |3 5i 34

| |3 4i 5El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con la partepositiva del eje de las x . Wiris proporciona el resultado en radianes .argumento(3 5i ) 1.0304

argumento(i ) 2La forma polar de un número complejo está dada por su módulo y su argumento. Se puedecalcular con los comandos anteriores o bien con la orden "polar" .

polar (3 5i ) { }34 ,1.0304

polar ( )i 1 , 2Es costumbre escribir el argumento en la forma polar como un subíndice . Así el primernúmero complejo se suele escribir como 34 1.0304

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