A-9

Apndice BNmeros complejos

La capacidad de manipular nmeros complejos es muy til en el anlisis decircuitos y en la ingeniera elctrica en general. Los nmeros complejos sonparticularmente tiles en el anlisis de los circuitos de ca. Tambin en estecaso, a pesar de que las calculadoras y los paquetes de software pueden con-seguirse en la actualidad para manejar nmeros complejos, sigue siendo acon-sejable para el estudiante familiarizarse con la manera en que stos se utilizanen forma manual.

Representaciones de nmeros complejosUn nmero complejo z puede escribirse en forma rectangular como

z x jy (B.1)donde x es la parte real de z, en tanto que y es la parte imagina-ria de z; es decir,

x Re(z), y Im(z) (B.2)El nmero complejo z se muestra al graficar en el plano complejo en la figu-ra B.1. Puesto que ,

(B.3)

Una segunda forma de representar el nmero complejo z es especifican-do su magnitud r y el ngulo f que forma con el eje real, como se indica enla figura B.1. Esto se conoce como la forma polar. Y est dada por

(B.4)donde

(B.5a)o sea

(B.5b)esto es,

(B.6)z x jy rlu r cos u jr sen u

x r cos u, y r sen u

r 2x2 y2, u tan 1 yx

z 0 z 0lu rlu j n4 j n

o j 5 j j 4 j j 4 j 2 j 2 1 j 3 j j 2 j j 2 1

1j j

j 11

j 11;

B.1

0 x

y

z

r

Re

jyIm

Figura B.1 Representacin grfica de un nmerocomplejo.

El plano complejo se asemeja al espacio curvilneo coordenado en dosdimensiones, sin embargo, no lo es.

Extrado para fines didcticos de la obra: Fundamentos de Circuitos Elctricos de Alexander/Sadiku

A-10 Apndice B Nmeros complejos

Al convertir la forma rectangular a la polar utilizando la ecuacin (B.5), de-be tenerse cuidado al determinar el valor correcto de . stas son las cuatroposibilidades:

(B.7)

suponiendo que x e y son positivas.La tercera forma de representar el nmero complejo z es la forma expo-

nencial:

z re j (B.8)sta es casi igual que la forma polar, porque se usa la misma magnitud r yel ngulo .

Las tres formas de representar un nmero complejo se resumen del mo-do siguiente:

(B.9)Las primeras dos formas se relacionan mediante las ecuaciones (B.5) y (B.6).En la seccin B.3 se deducir la frmula de Euler, la cual demuestra que latercera forma es tambin equivalente a las dos primeras.

Exprese los nmeros complejos siguientes en forma polar y exponencial:a) z1 6 j8, b) z2 6 j8, c) z3 6 j8, d ) z4 6 j8.

Solucin:Ntese que se ha escogido deliberadamente estos nmeros complejos para quese ubiquen en los cuatros cuadrantes, como se ilustran en la figura B.2.a) Para z1 6 j8 (primer cuadrante),

Por consiguiente, la forma polar es y la forma exponencial corres-pondiente es 10e j53.13.b) Para z2 6 j8 (cuarto cuadrante),

r2 262 (8)2 10, u2 360 tan 1 86

306.87

10l53.13

r1 262 82 10, u1 tan 1 86

53.13

z re ju, ar 2x2 y2, u tan 1 yxb

z rlu, ar 2x2 y2, u tan 1 yxb z x jy, ( x r cos u, y r sen u )

z x jy, u 360 tan 1 yx

z x jy, u 180 tan 1 yx

z x jy, u 180 tan 1 yx

z x jy, u tan1 yx

Ejemplo B.1

En la forma exponencial, z re j demanera que, dz/d jre j jz.

Primer cuadrante

Segundo cuadrante

Tercer cuadranteTercer cuadrante

Cuarto cuadrante

Forma rectangular

Forma polar

Forma exponencial

Apndice B Nmeros complejos A-11

de manera que la forma polar es y la forma exponencial es 10ej306.87.El ngulo 2 tambin puede considerarse como 53.13, como se muestra enla figura B.2, por lo que la forma polar se vuelve y la forma ex-ponencial viene a ser 10ej53.13.c) Para z3 6 j8 (segundo cuadrante),

Por consiguiente, la forma polar es y la forma exponencial co-rresponde a 10e j126.87.d) Para z4 6 j8 (tercer cuadrante),

de manera que la forma polar es y la forma exponencial equiva-le a 10e j233.13.

Convierta los nmeros complejos siguientes a las formas polar y exponencial:a) z1 3 4j, b) z2 5 j12, c) z3 3 j9, d) z4 7 j.

Respuesta: a) , b) ,c) , d )

Convierta los nmeros complejos siguientes a forma rectangular:a) , b) , c) , d) .

Solucin:a) Utilizando la ecuacin (B.6),

Obsrvese que 60 es lo mismo que 360 60 300.b) Se puede escribir

c) De manera similar,8e j10 8 cos 10 j8 sen 10 7.878 j1.389

d) Por ltimo,20ej/3 20 cos(/3) j20 sen(/3) 10 j17.32

Determine la forma rectangular de los nmeros complejos siguientes:a) , b) , c) , d) .

Respuesta: a) 6.928 j4, b) 22.94 j32.77, c) 8.66 j5, d ) j50.

50e jp210ej3040l3058l210

50l285 50 cos 285 j50 sen 285 12.94 j48.3

12l60 12 cos(60) j12 sen(60) 6 j10.39

20e jp38e j1050l28512l60

7.071l171.9, 7.071e j171.9.9.487l251.6, 9.487e j251.613l67.38, 13e j67.385l306.9, 5e j306.9

10l233.13

r4 2(6)2 (8)2 10, u4 180 tan 1 86

233.13

10l126.87

r3 2(6)2 82 10, u3 180 tan 1 86

126.87

10l53.13

10l306.87

0

r1r3

r2r4

z1

z4 z2

z3

1

3

4

2

Re

j8

j2j4j6

j22 8648 246

j8j6j4

Im

Figura B.2Para el ejemplo B.1.

Ejemplo B.2

Problema de prctica B.1

Problema de prctica B.2

A-12 Apndice B Nmeros complejos

Operaciones matemticasDos nmeros complejos z1 x1 jy1, y z2 x2 jy2 son iguales si y s-lo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias tambin lo son.

x1 x2, y1 y2 (B.10)El conjugado complejo del nmero complejo z x jy es

z* x jy r l rej (B.11)

Por lo tanto, el conjugado complejo de un nmero complejo se encuentrareemplazando todas las j por j.

Dados dos nmeros complejos ysu suma es

z1 z2 (x1 x2) jy1 y2 (B.12)y su diferencia corresponde a

z1 z2 (x1 x2) j(y1 y2) (B.13)Si bien resulta ms conveniente efectuar la suma y la resta de nmeros

complejos en forma rectangular, su producto y su cociente se llevan a cabode mejor modo en la forma polar o exponencial. Para su producto,

z1z2 r1r2 /1 2 (B.14)De manera alterna, utilizando la forma rectangular,

(B.15)

Para su cociente,

(B.16)

Alternativamente, utilizando la forma rectangular,

(B.17)

Se racionaliza el denominador multiplicando tanto el numerador como el de-nominador por z2*.

(B.18)

Si A 2 j5, B 4 j6, encuentre: a) A*(A B), b) (A B)(A B).

Solucin:

a) Si A 2 j5, entonces A* 2 j5 yA B (2 4) j(5 6) 6 j

por lo que

A*(A B) (2 j5)(6 j) 12 j2 j30 5 7 j32

z1 (x1 jy1)(x2 jy2) x1x2 y1y2 x2y1 x1y2 z2

(x2 jy2)(x2 jy2)

x22 y22 j

x22 y22

z1 x1 jy1

z2 x2 jy2

z1 r1 lu1 u2 z2 r2

z1z2 (x1 jy1)(x2 jy2) (x1x2 y1y2) j(x1y2 x2y1)

jy2 r2lu2,z2 x2 z1 x1 jy1 r1lu1

B.2

Ejemplo B.3

Se ha utilizado la notacin con tiponormal para los nmeros complejos,puesto que no son dependientes nidel tiempo ni de la frecuencia; entanto que se usaron las negritas paralos fasores.

Apndice B Nmeros complejos A-13

b) De manera similar,A B (2 4) j5 6) 2 j11

De aqu que,

Dado que C 3 j7 y D 8 j, calcule:a) (C D*)(C D*), b) D2/C*, c) 2CD/(C D).

Respuesta: a) 103 j26, b) 5.19 j6.776, c) 6.054 j11.53.

Evale:

a) b)

Solucin:a) Puesto que hay trminos en la forma polar y exponencial, quizs resultemejor expresar todos los trminos en forma polar:

Por lo tanto,

b) Es posible evaluarlo en su forma rectangular, ya que todos los trminos seencuentran en dicha forma. Sin embargo,

Por consiguiente,

108 j56 j81 42

925 0.1622 j0.027

j(3 j4)*(1 j6)(2 j)2

4 j327 j14

(4 j3)(27 j14)272 142

27 j14 (1 j6)(2 j)2 (1 j6)(3 j4) 3 4j j18 24

(2 j)2 4 j4 1 3 j4 j(3 j4)* j(3 j4) 4 j3

(2 j5)(8e j10)2 j4 2l40

43.08l78.24.454l37.54 9.672

l40.66

2 j5 222 52ltan152 5.385l68.2 (2 j5)(8e j10) (5.385l68.2)(8l10) 43.08l78.2

2 j4 2l40 2 j4 2 cos(40) j2 sen(40) 3.532 j2.714 4.454l37.54

j(3 j4)*(1 j6)(2 j)2

(2 j5)(8e j10)2 j4 2l40

12 j66 j2 11

(2)2 112 23 j64

125 0.184 j0.512

A BA B

6 j

2 j11 (6 j)(2 j11)

(2 j11)(2 j11)

Ejemplo B.4

Problema de prctica B.3

A-14 Apndice B Nmeros complejos

Evale estas fracciones complejas:

a) b)

Respuesta: a) b)

Frmula de EulerLa frmula de Euler es un resultado importante para las variables complejas.Se deduce a partir de la expansin de las series ex, cos , y sen . Se sabeque

(B.19)

Reemplazando x por j se obtiene

(B.20)

Asimismo,

(B.21)

por lo que

(B.22)

Al comparar las ecuaciones (B.20) y (B.22), se concluye que

(B.23)

sta se conoce como la frmula de Euler. La forma exponencial de represen-tacin de un nmero complejo como en la ecuacin (B.8) se basa en la fr-mula de Euler. Segn la ecuacin (B.23), se puede observar que

(B.24)

y que

Reemplazando por en la ecuacin (B.23), se obtiene(B.25)

La suma de las ecuaciones (B.23) y (B.25) da como resultado,

(B.26)cos u 12

(e ju eju)

eju cos u j sen u

ju 20e 0 2cos u sen2 u 1 cos u Re(e ju), sen u Im(e ju)

e ju cos u j sen u

2 3 4 5 cosu j senu 1 ju u

2! j u

3! u

4! j u5!

p

2 4 6 cosu 1

3

u

2!

5

u

4!

7

u

6! p

senu u u

3! u

5! u

7! p

2 3 4

e ju 1 ju u2!

j u3!

u

4! p

ex 1 x x2

2!

x3

3!

x4

4! p

B.3

2.759l287.6.3.387l5.615,

B(15 j7)(3 j2)*(4 j6)*(3l70) R*6l30 j5 31 j 2e j45Problema de prctica B.4

Apndice B Nmeros complejos A-15

La sustraccin de la ecuacin (B.24) de la (B.23) origina

(B.27)

Identidades tilesLas identidades siguientes son tiles al trabajar con nmeros complejos. Si z x jy rj, entonces

Si , encuentre: a) b)

Solucin:a) Primero, convirtase A a la forma polar:

Entonces

b) Puesto que

Si A 3 j4, encuentre: a) A1/3 (3 races), y b) ln A.

Respuesta: a) b) (n 0, 1, 2, . . . ).1.609 j5.356 j2n p

1.71l342.3,1.71l222.3,1.71l102.3,

A4 r4l4u 104l4 53.13 10,000l212.52A 10l53.13,1A 110l53.132 3.162l26.56

r 262 82 10, u tan1 86

53.13, A 10l53.13

A4.1A,A 6 j8

zz* x2 y2 r2

2z 2x jy 2re ju2 2rlu2 zn (x jy)n rnlnu rne jnu rn(cos nu j sen nu )

z1n (x jy)1n r1nlun 2pkn k 0, 1, 2, p , n 1

ln(re ju) ln r ln e ju ln r ju j2kp(k entero)

1 jj

e jp 1e j2p 1 e jp2 j

ejp2 jRe(e(aj)t) Re(eate jt) eat cost

( e(aj)t) Im(eate jt) eat sent

sen u 1 (e ju eju) 2j

Ejemplo B.5

Problema de prctica B.5

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