INTRODUCCIÓN

Universidad de Colima

Facultad de Telemática

Análisis de Señales

Aplicación de Números Complejos

Profra. D. en C. María Andrade Aréchiga

Sem/Gpo. 5° GIngeniería en Telemática

ALUMNO

Salinas Urtiz Rogelio Rafael

Colima. Colima a 11 de Septiembre del 2014

Nuestro curso se centra en el análisis de señales que es primordial para definir el comportamiento de información o fenómenos físicos, para ello el punto de partida se enfoca en el estudio de números complejos.Los números complejos son una herramienta potencial dentro de distintas ciencias exactas como el álgebra, electromagnetismo, electrónica, telecomunicaciones, entre otras. Cualquier número complejo se representa simplemente como la adición de una porción real y otra imaginaria.

DESARROLLO

Sabiendo que éstos tienen bastas aplicaciones, en este trabajo se describirán algunas ejemplificaciones de los números complejos en áreas de las ciencias exactas, naturales, tecnológicas, ambientales, de la salud, como termodinámica, electrónica, entre otras.

1) Fractales

El término fractal está relacionado con la palabra fractus que significa roto o no entero. Este término es atribuible a Benoit Mandelbrot quien lo empleó para definir ciertos conjuntos de números que describen objetos con dimensiones fraccionarias. (Colombini, Kanashiro y Oviedo, 2004, p. 11).

El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de fractal más conocido. Éste conjunto se puede construir en base a una sucesión:

z0=C

zn+1=zn2+C

Donde “C” corresponde a un número complejo. (x+iy)

Si se toma “C” tal que zn+1 no tienda a infinito entonces los puntos generados por esta sucesión pertenecen al conjunto de Mandelbrot (Sánchez, 2013, p. 388).

La definición del conjunto de Mandelbrot M es: el conjunto de todos los valores complejos c que hacen orbitas para z0 = 0 bajo z2 + c correspondiente, no escapan al infinito. (Colombini et al, 2004, p. 16).

El conjunto de Mendelbrot suele representarse mediante el algoritmo de escape, el cual consiste en aplicar un código de colores asociado al número de iteraciones1 necesarias para comprobar si la

sucesión pertenece al conjunto de Mandelbrot. (Sánchez, 2013, p. 388).A pesar de que muchas personas ven a los fractales como un conjunto de figuras geométricas que crean imágenes artísticas, pues bien los fractales tienen muchas aplicaciones que sirven más

1 El concepto suele utilizarse para dar nombre al acto de reiterar (repetir) varias veces determinados pasos. En el ámbito de la matemática, una función iterada es aquélla que se compone de sí misma.

allá de atractivo visual. Éstos pueden ser apreciados en distintas ramas con una utilidad mayor, como la modelación de tráficos de red en el área de Telecomunicaciones; análisis de redes tróficas y apreciación de tejido en Biología; robots fractales en Mecatrónica, y otras diversas aplicaciones en áreas como música, química, entre otras. En base a las citas mencionadas podemos definir a los fractales como puntos dentro de un rango, el cual se va definiendo en base a una serie, éstos puntos pueden ser graficados y vistos de una manera más visual.

2) Movimiento de partículas no-relativistas La ecuación de Schrödinger permite describir el movimiento de partículas no relativistas, tales como los electrones en un material o un átomo. La ecuación de onda de Schrödinger al resolverla se obtienen una serie de soluciones, cada una de las cuales describe un posible estado de energía para los electrones en el átomo (o Molécula). (Gallego, Garcinuño, Morcillo, 2013, p. 325).

HΨ−i∂Ψ∂ t

=0

La amplitud probabilística, 𝛹 (x, y, z, t) debe satisfacer la ecuación diferencial.

H=¿ Operador hamiltoniano (Para llegar a esta sentencia se escribe la expresión clásica para la energía total).i=¿ La unidad imaginaria.

= Constante de Planck normalizada

La expresión del operador hamiltoniano nos dará como la parte de los términos de la energía cinética y la energía potencial. (Castellan, 1998, p. 499).

En base a lo visto con la ecuación de Schrödinger podemos definir que nos permite ver las probabilidades de encontrar las partículas en distintas posiciones o con distintos valores en ciertos periodos de tiempo, éste tipo de utilidades se da dentro del campo Fisicoquímico y que se deriva de la mecánica cuántica. Dado el tipo de escenario que se tiene que modelar (dado que es a un nivel microscópico se aplica la unidad imaginaria para poder representar también el plano complejo).

3) Factores de amplitud y fase

En el estudio de circuitos eléctricos y de una gran cantidad de sistemas mecánicos, encontramos funciones que oscilan sinusoidalmente en el tiempo, que crecen o decrecen en forma exponencial

o que oscilan con una amplitud que aumenta o disminuye exponencialmente en el tiempo. Con ello muchas funciones se pueden describir con la forma:

f (t )=ℜ[F est ]Donde:

s=σ+iω

Tenemos la frecuencia compleja de oscilación. f ( t ). F es un número complejo independiente de t dado por:

F=F0eiθ

Donde:F=|F|yθ=arg F

Los valores de σ y ω siempre serán reales

El factor de amplitud y fase que se asocia con una función del tiempo f (t) dada es un número complejo F, independiente de t, y tal que la parte real del producto de F por una exponencial compleja est es igual a f(t). (Wunsch, 2004, p. 147).

Tendremos que:

f (t )=F0 eσtcos (ωt+ϕ−π

2 )=F0eσt sen (ωt+ϕ )

Como podemos ver la aplicación de números complejos en la parte de circuitos eléctricos y la parte de comunicaciones es relevante ya que permiten observar distintos fenómenos representados en forma de ondas. Con ello permiten su incremento o decremento respecto al tiempo de forma exponencial.

4) Impedancia

La radiación de una antena es un resultado directo del flujo de corriente de RF2. El punto de la antena donde se conecta la línea de transmisión se llama terminal de entrada de la antena, o simplemente punto de alimentación. El punto de alimentación presenta una carga a la línea de transmisión, llamada impedancia de entrada. (Tomasi, 2001, p. 383).

La impedancia de entrada de una antena es sólo la relación del voltaje de entrada a la antena a la corriente de entrada a la misma.

Zent=Ei

Ii

Donde.Zent=Impedancia deentradaa la antena(ohms)Ei=Voltajede entradaa laantena(volts)I i=Corrientede entradaa laantena (amperes )

En general, la impedancia de entrada a la antena es compleja; sin embargo, si el punto de alimentación está en un máximo de corriente y no hay componente reactivo, la impedancia de entrada es igual a la suma de la resistencia de radiación más la resistencia efectiva. (Tomasi, 2001, p. 383).

En base a las citas bibliográficas podemos definir que los efectos generados por la impedancia son aquellos que ayudan a las antenas a generar esa oposición a las señales de tal forma que al encontrarse viajando por el entorno puedan ser captadas por dichas antenas y así procesadas. Así mismo vemos que generalmente éste valor puede estar expresado de forma compleja si los valores de voltaje y corriente eléctrica están expresados de manera senoidal o cosenoidal entonces es más viable expresarlas de forma exponencial compleja.

2 RF: Radio Frecuencia

5) Flujo de un fluido bidimensional

Las funciones armónicas juegan un papel importante en hidrodinámica y aerodinámica. El movimiento del fluido se supone idéntico en todos los planos paralelos al plano xy, siendo su velocidad paralela a ese plano e independiente del tiempo. Es suficiente considerar, en tales circunstancias, el movimiento de una capa de fluidos en el plano xy. (Churchill, Ward, 1998, p. 307).

El vector representante del número complejo

V=p+ iq

denotará la velocidad de una partícula del fluido en un punto cualquiera (x, y), de manera que las componentes x e y de la velocidad serán p(x, y) y q(x, y) respectivamente.

La circulación del fluido a lo largo de un contorno C se define como la integral sobre C, con respecto a la longitud del arco σ , de la componente tangencial Vt(x, y) de la velocidad:

∫C

❑

V t (x , y )dσ

∫C

❑

V t (x , y )dσ=∫C

❑

p ( x , y )dx+q ( x , y )dy .

Ejemplo: En la parte de aerodinámica donde puede aplicarse es el movimiento de un avión a través del aire, las fuerzas que el viento ejerce sobre una estructura (Donde ocupa modelarse todo con la mayor precisión posible), o el funcionamiento de un molino de viento.

En biología también puede mencionarse que:

El medio acuoso a ambos lados de la membrana celular impide que los lípidos de membrana se fuguen de la bicapa pero nada impide que estas moléculas se desplacen libremente e intercambien posiciones dentro de la bicapa propiamente dicha. En consecuencia la membrana se comporta como un fluido bidimensional y es esencial para la función de la membrana. (Bray, 2006, p. 370).

El flujo de fluidos forma parte de los fenómenos diarios, existen distintas áreas en las que aplica como aerodinámica, ingeniería marina, ingeniería de yacimientos, biología, etc. Así que este tipo de aplicaciones se da más en áreas de ciencias naturales y exactas dado su enfoque por líquidos y gases. La Administración Nacional de la Aeronáutica y del Espacio realiza prácticas de este tipo de modelos previos a sus lanzamientos y/o expediciones.

CONCLUSIÓN

La investigación de estas ejemplificaciones me permitió comprender que las distintas ramas de las ciencias tienen factores en común y que una parte muy potente de las ciencias exactas ayuda al mejor desarrollo de todas las demás, dado que permiten aplicar el método científico y con ello proceder a modelados y simulaciones con cálculos numéricos para poder determinar leyes y teorías.

La indagación fue mucho más rigurosa que otras realizadas ya que fue un enfoque aún más amplio y reflexivo. Esto nos llevó a realizar una búsqueda en distintas fuentes de información, y respaldar nuestro documento con las citas y referencias correspondientes.

Como última instancia menciono que los números complejos son una parte primordial de la formación que llevamos en la parte de comunicaciones ya que nos permiten comprender mejor el funcionamiento de los equipos mediante resultados numéricos y gráficas.

BIBLIOGRAFÍA

Bray, D. (2006). Introducción a la biología celular. Chapultepec, México: Médica Panamericana.Castellan, G. (1998). Fisicoquímica. Naucalpan, México: Pearson.Churchill, R., & Ward, J. (1998). Variable compleja y aplicaciones. Aravaca, Madrid: Mc. Graw Hill.Colombini, M., Kanashiro, A., & Oviedo, L. (2004). Fractales un universo poco frecuentado. Santa

Fe,Argentina: edicionesUNL.Gallego, A., Garcinuño, R., Morcillo, J., & Vázquez M. (2013). Química básica. Madrid: UNED.Sánchez, J. (2013). Mathematica, más allá de las matemáticas. Illinois, USA: Addlink Software

Científico.Tomasi, W. (2001). Sistemas de comunicaciones electrónicas. Naucalpan, México: Pearson.Wunsch, A. (2004). Complex variables with applications. Lowell, Massachusetts: Pearson.