Números Complejos

FUNCIONES COMPLEJAS

Kevin Barrera

30 de enero de 2014

Indice general

I INTRODUCCION 5

1. VARIABLE COMPLEJA 71.0.1. Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.0.2. Grupo Abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.0.3. Cuerpo O Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.0.4. Anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1. Definicion y Operaciones de los numeros complejos . . . . . . . . 81.2. Forma binomica de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . . 101.3. Operaciones con numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Conjugado de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Modulo y argumento de un numero complejo . . . . . . . . . . . 111.6. Raices complejas de la ecuacion de segundo grado . . . . . . . . . 11

1.6.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7. Forma trigonometrica o polar de un numero complejo . . . . . . 131.8. Formula de Moivreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.9. Forma exponencial de un numero complejo . . . . . . . . . . . . 131.10. Raices n-esimas de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . . 14

2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 152.1. Topologia del plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1. Entorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2. Circulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.3. Conjuntos Abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.4. Conjuntos Cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.5. Punto de Acumulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.6. Conjunto Conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.7. Conjunto Acotado y no Acotado . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Funciones de Variable Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. LIMITE DE UNA FUNCION COMPLEJA 193.1. Propiedades de los limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. Continuidad de una funcion de variable compleja . . . . . . . . . 213.3. Propiedades de continuidad de una funcion . . . . . . . . . . . . 22

4. DERIVACION DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLE-JA 234.1. Propiedades de las derivadas de funcion compleja . . . . . . . . . 234.2. Interpretacion geometrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . 24

3

4 INDICE GENERAL

4.3. Ecuaciones de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4. Ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares . . . . . 254.5. Funciones Analiticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.6. Funciones Armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5. INTEGRACION COMPLEJA 315.1. Curvas en el plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2. definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.3. integrales curvilineas en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.4. Propiedades de las integrales curvilineas . . . . . . . . . . . . . . 355.5. Teorema de Green en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.5.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.6. Teorema de Green en la forma compleja . . . . . . . . . . . . . . 37

5.6.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

II EJERCICIOS FUNCIONES ANALITICAS COM-PLEJAS 39

Parte I

INTRODUCCION

5

Capıtulo 1

VARIABLE COMPLEJA

Cuando se estudio la solucion de la ecuacion de segundo grado ax2+bx+c = 0se analizo el signo del discriminante b2 − 4ac y su relacion con las soluciones.Si el discriminante era negativo se dijo que la ecuacion no tenia raices realessino que las raices eran imaginarias o complejas.Los numeros complejos que nosdarıan la idea completa de la solucion de la ecuacion de segundo grado y unaextension de los conjuntos numericos.

En algebra abstracta, una estructura algebraica, tambien conocida como sis-tema algebraico, es una n-tupla (a1, a2, . . . , an), donde a1 es un conjunto dadono vacio, y a2, . . . , an un conjunto de operaciones aplicables a los elementos dedicho conjunto. 5

1.0.1. Grupo

Grupo es una estructura algebraica provista de tres axiomas particulares,estudiada en la rama denominada Teorıa de grupos.

1.0.2. Grupo Abeliano

Dada una estructura algebraica sobre un conjunto A, y con una operacion oley de composicion interna binaria: ”0”. Se dice que la estructura es un GrupoAbeliano con respecto a la operacion si:

• tiene estructura algebraica Grupo.

• tiene la Propiedad conmutativa.

Los grupos abelianos son ası llamados en honor al matematico noruego NielsHenrik Abel. Los grupos que no son conmutativos se denominan no abelianos(tambien no conmutativos, con menos frecuencia).

7

8 CAPITULO 1. VARIABLE COMPLEJA

1.0.3. Cuerpo O Campo

Un cuerpo es un conjunto K en el que se han definido dos operaciones, + y ∗,llamadas adicion y multiplicacion respectivamente, que cumplen las siguientespropiedades:K es cerrado para la adicion y la multiplicacion

Para todo a, b en K, a + b y a ∗ b pertenecen a K;

⇒Asociatividad de la adicion y la multiplicacion

Para todo a, b, c en K, a+ (b+ c) = (a+ b) + cya ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.

⇒Conmutatividad de la adicion y la multiplicacion

Para toda a, b en K, a+ b = b+ aya ∗ b = b ∗ a.

⇒Existencia de un elemento neutro para la adicion y la multiplicacion

Existe un elemento 0 en K, tal que para todo a en K, a+ 0 = a.

⇒Existe un elemento 1 en K diferente a 0, tal que para todo a en K, a ∗ 1 = a.

⇒Existencia de elemento opuesto y de inversos:

Para cada a en K, existe un elemento −a en K, tal que a+ (−a) = 0.

Para cada a 6= 0 en K, existe un elemento a− 1 en K, tal que a ∗ a− 1 = 1.

⇒Distributividad de la multiplicacion respecto de la adicion Para toda a, b,c, en K, a ∗ (b+ c) = (a ∗ b) + (a ∗ c).

1.0.4. Anillo

En algebra, un anillo es una estructura algebraica formada por un conjunto(A), y dos operaciones: suma y producto: (A+, ∗); de modo que (A,+) es ungrupo conmutativo con elemento neutro, y el producto ∗ es asociativo y tienela propiedad distributiva respecto de la suma. Si el producto es conmutativohablaremos de un anillo conmutativo y si el anillo posee un elemento neutropara el producto, lo llamaremos anillo con unidad.

1.1. Definicion y Operaciones de los numeroscomplejos

Definicion.- Llamamos conjunto de los numeros complejos y lo denotamoscon la letra ξ al conjunto de los pares de numeros reales (a, b) en el cual defini-mos las siguientes operaciones:Suma

1.1. DEFINICION Y OPERACIONES DE LOS NUMEROS COMPLEJOS 9

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)

Multiplicacion

(a, b)(c, d) = (ac− bd, ad+ bc)

En el numero complejo (a, b) llamaremos a a la parte real y a b la parte ima-ginaria. Dos propiedades que cumplen los pares de numeros reales y que semantienen para los complejos son:Igualdad

(a, b) = (c, d) =⇒ a = c ∧ b = d

Multiplicacionporunescalar

α(a, b) = (αa, αb)dondeαεR

Como los numeros complejos son pares de numeros reales podemos efectuar unarepresentacion de losmismos mediante el plano cartesiano. En esta representa-cion se le dice eje real (Re) al eje de las x y eje imaginario (Im) al eje de lasy. Como los numeros complejos son pares de numeros reales podemos efectuaruna representacion de los mismos mediante el plano cartesiano. En esta repre-sentacion se le dice eje real (Re) al eje de lasx y eje imaginario (Im) al eje delasy.

Podemos considerar que los numeros reales estan contenidos en los numeroscomplejos puesto que en el plano R2 el nUmero complejo (a, 0) coincide con elnumero real a . De este modo tenemos a = (a, 0) cuando aεR . Los numeroscomplejos de la forma (0, b) son llamados imaginarios puros


1.2. Forma binomica de un numero complejo

Sea z = (a, b) un numero complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:

z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a(1, 0) + b(0, 1)

Pero como (1, 0) = 1y(0, 1) = i, entonces (a, b) = a + bi. En este caso a + bi sellama forma binomica o binomia del numero complejo.

1.3. Operaciones con numeros complejos

Suma y multiplicacion de numeros complejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, puesto que a, b, c, d son todos numerosreales.(a+ bi)(c+ di) = ac+ adi+ bci+ bdi2 = (ac− bd) + (ad+ bc)i porque i2 = −1.

La realizacion de las operaciones de suma y multiplicacion con numeros comple-jos se puede realizar en la forma de pares o en la forma binomica, con la ventajaa favor de la forma binomica que se trabaja con las reglas del algebra y no esnecesario memorizar nada nuevo.

Ejemplo.

Si z1 = (3, 2)yz2 = (4,−1) , halle z1 + z2 y z1z2

z1 + z2 = (3, 2) + (4,−1) = 3 + 2i+ 4− i = 7 + i

z1z2 = (3, 2)(4,−1) = (3+2i)(4− i) = 12−3i+8i−2i2 = (12+2)+(−3+8)i =14 + 5i

Division de numeros complejos

La division de numeros complejos se realiza mediante la multiplicacion y divisionpor el conjugado del denominador:

z1z2

=a+ bi

c+ di+

(a+ bi)(c− di)(c+ di)(c− di)

+(ac+ bd) + i(−ad− bc)

(c2) + (d2)

1.4. Conjugado de un numero complejo

Si z = x + yi es un numero complejo llamaremos conjugado del numero z,al numero z = x − yi , es decir, al numero complejo que tiene la misma partereal que z pero la parte imaginaria de signo opuesto.Ejemplo.Siz = 3 + 2i , entonces z = 3− 2i y si z = 3− 2i , entonces z = 3 + 2i.

1.5. MODULO Y ARGUMENTO DE UN NUMERO COMPLEJO 11

1.5. Modulo y argumento de un numero com-plejo

Sea z = (a, b) = a+ biun numero complejo cualquiera. Llamaremos modulodel numero complejo z , al numero real dado por

√a2 + b2y lo denotaremos por

z . El modulo se interpreta como la distancia al origen del numeroPor otra parte, llamaremos argumento del numero complejoz = a+bi, al angulocomprendido entre el eje x y el radio vector que determina az . El argumentode z se denota por arg(z) y se calcula mediante la expresion:

arg(z) = arctanb

a

Propiedad:

zz =| z2 |

Demostracion :

zz = (a+bi)(a−bi) = a2−abi+abi+y2i2 = a2+b2+(−ab+ab)i = a2+b2+0i = a2+b2 = |z|

1.6. Raices complejas de la ecuacion de segundogrado

Si el discriminante de la ecuacion ax2 + bx + c = 0 es negativo, debe susti-tuirse el signo negativo por i2 y de esa forma se obtienen las raices complejasde la ecuacion.Ejemplo.Resolver la ecuacion x2 − 2x + 6 = 0 . Aplicando la formula de la ecuacioncuadratica:

Se puede ver que el discriminante es -20 lo cual puede escribirse como 20i2 .Por lo tanto:

Asi, las raices complejas de la ecuacion son: x1 = 1−√

5i y x2 = 1 +√

5i .


1.6.1. Ejercicios

Describir y construir la grafica del lugar geometrico para cada una de lasecuaciones siguientes.

• Re(z2) > 1

Desarrollo

z=x+jiz2 = x2 − y2 + 2xyiRe(z2) = x2 − y2x2 − y2 > 1

• ‖ z − 1 ‖≤ 2 ‖ z + 1 ‖

Desarrollo

z=x+jiz-1=(x-1)+jiz+1=(x+1)+ji‖ z − 1 ‖=

√(x− 1)2 + y2

‖ z + 1 ‖=√

(x+ 1)2 + y2

‖ z − 1 ‖≤ 2 ‖ z + 1 ‖√(x− 1)2 + y2 ≤ 2

√(x+ 1)2 + y2

x2 − 2x+ 1 + y2 ≤ 4(x2 + 2x+ 1 + y2)3x2 + 3y2 + 10x+ 3 ≥ 0(x+ 5/3)2 + y2 ≥ 16/9

1.7. FORMA TRIGONOMETRICA O POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO13

1.7. Forma trigonometrica o polar de un numerocomplejo

La forma trigonometrica de un numero complejo se establece observando eltriangulo amarillo de la siguiente figura

f(x) =

senθ = yr = si y = senθ

sen θ = xr si x < cosθ

Por lo tanto:

z = (x, y) = x+ yi = rcosθ + irsinθ = r(cosθ + isinθ)

Esta es la llamada forma trigonometrica o polar del numero complejo, la cualesta en terminos del modulo y el argumento.

1.8. Formula de Moivreo

(cosθ + isinθ)n = cos(nθ) + isin(nθ)

1.9. Forma exponencial de un numero complejo

Vamos a asumir que se siguen cumpliendo, como en los numeros reales, losconceptos de funcion, derivadas, series, etc. Vamos a demostrar la formula deEuler:

eiθ = cosθ + isinθ.

Empleemos el desarrollo en serie de potencias de la funcion

ex =

∞∑n=0

xn

n!= 1 +

z

1!+z2

2!+z3

3!· · · ·z

n

n!· ··


Si tomamos z = iθ , nos queda:

ex =

∞∑n=0

xn

n!= 1 +

iθ

1!− θ2

2!− iθ3

3!+θ4

4!+iθ5

5!· · · · · ·

Agrupando tendremos:

eiθ = 1 +iθ

1!− θ2

2!+θ4

4!− iθ3

3!+iθ5

5!· · · · · ·

Estos son los desarrollos de cosq y sinq respectivamente. Ası que

eiθ = cosθ + isinθ

Esta expresion es la llamada forma exponencial del numero complejo. Note quela forma exponencial es equivalente a la trigonomrtrica pues dependen de losmismos elementos: modulo y argumento del numero complejo z . Esta forma esmuy comoda pues podemos efectuar la multiplicacion, division y potenciacionempleando las leyes del algebra.

1.10. Raices n-esimas de un numero complejo

En la forma binomica de un numero complejo la representacion es unica,mientras que en la forma trigonometrica o exponencial un mismo numero com-plejo tiene infinitas representaciones diferentes,

Para cada valor dek habra una representacion diferente del numero complejo z. Definamos la radicacion como la operacion inversa de la potenciacin, esto es:

z = w1/n ⇒ zn = w

Supongase que w = riθ es un numero complejo de modulor y argumento θ yque z = Z = seiθ un numero complejo de modulo s y argumento θ . Entonceszn = w equivale a:

zn = sneinθ = riθ = ri(θ+2kπ = w

De esta manera:

(1)sn = r

(2)nφ = θ + 2kπ

Estas son las formulas para hallar las n raices n-esimas de cualquier numerocomplejo. Compruebe que para todo otro valor dek , conkεz , se obtienen lasmismas n raıces que parak = 0, 1, . . . n− 1.

Capıtulo 2

FUNCIONES DEVARIABLE COMPLEJA

2.1. Topologia del plano complejo

2.1.1. Entorno

La topologıa usual del conjunto de los numeros complejos C, esta generadapor los conjuntos:

E (z0, ρ)= {z ∈ C :‖ z − z0 ‖< ρ, ρ ∈ C, ρ > 0}

Denominados ENTORNOS de centro z0 y radio ρ .

2.1.2. Circulo

Se llama circulo de centro (z0 ∈ C) y de radio ρ , ρ > 0 , al siguiente conjunto:

C (z0, ρ)= {z ∈ C :‖ z − z0 ‖= ρ}

15

16 CAPITULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

2.1.3. Conjuntos Abiertos

Se dice que un conjunto de numeros complejos S es abierto ssi S ⊂ C, novacio, tambien si:

∀z0 ∈ C∃ρ > 0, talqueV ρ(Z0) ⊂ S

2.1.4. Conjuntos Cerrados

Se dice que un conjunto de numeros complejos S es cerrado ssi S ⊂ C, S 6= φno vacio, tambien si:

Sc es abierto.

2.1. TOPOLOGIA DEL PLANO COMPLEJO 17

2.1.5. Punto de Acumulacion

Sea S un conjunto de numeros complejos. Se dice que z0 es un punto deacumulacion de S si todo entorno de z0 contiene por lo menos un punto de Sdiferente de z0.

S(S6= φ) ⊂ C, cuando∀ρ > 0E ∗ (z0, ρ) ∩ S 6= φ

2.1.6. Conjunto Conexo

Se dice que un conjunto de numeros complejos S es conexo, si dados dospuntos cualesquiera de S, existe una trayectoria formada por segmentos de rec-ta que los une y cuyos puntos pertenecen todos a S.

r : {z1, z2} = {r : (1− t)z1 + z2t/0 ≤ t ≤ 1}

2.1.7. Conjunto Acotado y no Acotado

Se dice que un conjunto de numeros complejos S es acotado, si existe unnumero real R > 0 tal que todo punto de S queda dentro de la circunferencia|z| = R. Por el contrario, si |z| > R para todo R > 0 y algun z∈ S, se dice queS es no acotado.

18 CAPITULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

2.2. Funciones de Variable Compleja

Definicion.- Sea f: C0 −→ CconC = {z = x+ yj/ x, y ∈ R con j =√−1}

Se dice que es una funcion de variable compleja si para cada Z∈ C0 le co-rresponde uno y solo uno de C.

z−→ f(z)=w

Si z=x+yj y w=u+vj, entonces :

W=f(Z)=u(x,y)+v(x,y)j, donde :

u(x,y) = Re(f(z)) y v(x,y) = Im(f(z)); ademas

u,v : R2 −→R son funciones reales de dos variables.

Capıtulo 3

LIMITE DE UNAFUNCION COMPLEJA

Definicion 1 : Sea f: 6⊂ −→ 6⊂ una funcion de variable compleja se dice que ftiene limite ∈ R cuando z tiende a z0 y se denota:

lımz→z0

f(z) = L

ssi

(3.1)

∀ ∈ > 0 ∃ ρ >0 / 0 < ‖ Z-Z0 ‖ < ρ ⇒ ‖ f(z)-L ‖ < ε

3.1. Propiedades de los limites

Sean:lımz→z0

f(z) = L1

lımz→z0

f(z) = L2

Entonces:

1.- lımz→z0

Kf(z) =⇒ K lımz→z0

f(z)

2.- lımz→z0

[f(z) + g(z)] =⇒ lımz→z0

f(z) + lımz→z0

f(z) =⇒ L1 + L2

3.- lımz→z0

[f(z)× g(z)] =⇒ lımz→z0

f(z)× lımz→z0

f(z) =⇒ L1 × L2

4.- lımz→z0

f(z)

g(z)=⇒

lımz→z0

f(z)

lımz→z0

g(z)=⇒ L1

L2; g(z) 6= 0 ∧ L2 6= 0

5.- lımz→z0

f(z)g(z) =⇒ [ lımz→z0

f(z)]lımz→z0

g(z)=⇒ L1

L2

19

20 CAPITULO 3. LIMITE DE UNA FUNCION COMPLEJA

DEMOSTRACION

F lımz→z0

Kf(z) =⇒ K lımz→z0

f(z)

0 < ‖ z-z0 ‖ < ρ ⇒ ‖ f(z)-L ‖ < εK

|K| |f(z)− L| < |K| ε|K|

|Kf(z)−KL| < ε

lımz→z0

Kf(z) = K lımz→z0

f(z)

F lımz→z0

[f(z) + g(z)] =⇒ lımz→z0

f(z) + lımz→z0

f(z) =⇒ L1 + L2

∀ε1 >, ∃ ρ1 > / 0 < |Z − Z0| < ρ1 =⇒ |f(z)− L1| < ε1

∀ε2 >, ∃ ρ2 > / 0 < |Z − Z0| < ρ2 =⇒ |g(z)− L2| < ε2

|f(z) + g(z)| - |L1 + L2| < ε

|f(z) + g(z)− L1 − L2| < ε

|(f(z)− L1 + (g(z)− L2) ≤ |f(z)− L1|+ |g(z)− L2|

Si tomamos

ε1 = ε2= ε2

0 < |z − z0| < ρ

{0 < |z − z0| < ρ10 < |z − z0| < ρ2

|f(z)− L1| + |g(z)− L2| < ε1 + ε2

|f(z)− L1| + |g(z)− L2| < ε

ε > 0; ∃ ρ > 0 / ∀Z 0< |z − z0| < ρ =⇒ |(f + g)(x)− (L1 + L2)| < ε

lımz→z0

[f(z) + g(z)] =⇒ lımz→z0

f(z) + lımz→z0

f(z) =⇒ L1 + L2

EJERCICIOS:

1.-Utilice la definicion de limite para demostrar:

lımz→2

Z2−4Z−2 = 4

Desarrollo:

0 < ‖ Z - 2 ‖ < ρ ⇒ ‖ Z2−4Z−2 - 4 ‖ < ε

||f(z)− L|| = ||Z2−4Z−2 − 4|| < ε

3.2. CONTINUIDAD DE UNA FUNCION DE VARIABLE COMPLEJA 21

||f(z)− L|| = ||Z2−4Z+4Z−2 < ε

||f(z)− L|| = || (Z−2)2

Z−2 || < ε

||f(z)− L|| =||Z − 2|| < ε

=⇒ ρ = ε

3.2. Continuidad de una funcion de variable com-pleja

Definicion 2 :

Sea f : 6⊂ −→ 6⊂ funcion de variable compleja.

Se dice que es continua en algun Z0 ssi:

i) f(Z0) esta definida ⇐⇒ u(XO.YO) y v(XO, Y0) estan definidas.

ii) ∃ lımz→z0

f(z) ⇐⇒ lım(x,y)→(xo,yo)

u(x, y) y lım(x,y)→(xo,yo)

v(x, y)

iii) lımz→z0

f(z) = f(zo) ⇐⇒

lım(x,y)→(xo,yo)

u(x, y) = u(xo.y0) y lım(x,y)→(xo,yo)

v(x, y) = v(xo,yo).

OBSERVACION:

1.- f(z) = f(x+iy) =⇒ f(x,y) = u(x,y)+ iv(x,y)

2.- Re(f(z))= u(x,y) y Im(f(z))= v(x,y)

3.- f(z) = u(x,y)+ iv(x,y) es continua en zo ∈ D

u(x,y)= Re(f(z)) y v(x,y) = Im(f(z)) es continua en el punto (xo,yo).

4.- La funcion f: D⊂ 6⊂ −→ 6⊂ es continua en D si f es continua en cada puntode D.

EJERCICIOS:

La funcion f: D ⊂ 6⊂ −→ 6⊂ tal que f(z)

{ZZ si Z 6= 0

0 si Z = 0f es continua?

Desarrollo:

i)f(0)=0 esta definida

22 CAPITULO 3. LIMITE DE UNA FUNCION COMPLEJA

ii) f(z) = zz = x−iy

x+iy = x2−y2x2+y2 −

2xyx2+y2 i

∃ lım(x,y)→(0,0)

f(z) ⇐⇒ ∃ lım(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2y lım(x,y)→(0,0)

− 2xy

x2 + y2

sea S: y=0, ∃ lım(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2= lım

x→0

x2

x2= 1

T; x=0, ∃ lım(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2= lım

y→0−y

2

y2= -1

Por lo tanto lımz→0

f(z) no existe. La funcion no es continua en z=0 puesto que

falla la segunda condicion de continuidad.

3.3. Propiedades de continuidad de una funcion

Si f,g: D ⊂ 6⊂ −→ 6⊂ son continuas en D, entonces:

1.- f+g es continua en D2.- f-g es continua en D3.- f.g es continua en D4.- f

g , g 6= 0 es continua en D.

Capıtulo 4

DERIVACION DEFUNCIONES DEVARIABLE COMPLEJA

Definicion 3 :

Sea D ⊂ 6⊂ −→ 6⊂, una funcion de variable compleja.

Se dice que f es derivable en algun zo ∈ D y se deduce f’(zo), ssi

f ’(zo) = lım4z→0

(fzo −4z)− f(zo)

4z

4.1. Propiedades de las derivadas de funcion com-pleja

Sean f(z) ∧ g(z) dos funciones de variable compleja.

23

24CAPITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

Entonces:

F ddt(Kf(z)) = Kf’(z)

F ddt (f(z)+g(z)) = df(z)

dt + dg(z)dt

F ddt (f(z)×g(z)) = f(z)dg(z)dt + g(z)df(z)dt

F ddt

f(z)g(z) =

g(z)df(z)dt −f(z)

dg(z)dt

g2(z)

4.2. Interpretacion geometrica de la derivada

Sea f: D ⊂ C → C una funcion compleja y zo ∈ D un punto P en el planocomplejo (z) y sea w0 su imagen P’ en el plano (w) bajo la transformacionw=f(z),puesto que se supone que f(z)es univoca, el punto z0 es aplicado solo enel punto w0.

lım4z→0

f(z0 +4x)− f(z0)

4z= lımP→Q

Q′P ′

QP

4.3. Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Sea z=x+ij y f(z) = u(x,y)+ iv(x,y). Si las funciones u(x,y) y v(x,y) sondiferenciables en (x0,y0), se dice que la funcion f es diferenciable en zo =x0+iyo en el sentido del analisis real y la diferencia se donota por:

df=dv +idv.

Como {du = ∂u

∂xdx+ ∂u∂y dy

dv = ∂v∂xdx+ ∂v

∂ydy

entonces sustituyendo

df =(∂u∂x + i ∂v∂x )dx + (∂u∂y + i∂v∂y )dy

Considerando

∂f∂x = (∂u∂x + i ∂v∂x ) ∂f

∂y = (∂u∂y + i∂v∂y )

nos queda

df= ∂f∂xdx+ ∂f

∂y dy

Si ecribimos dz=dx+idy y dz = dx - idy, se tiene

4.4. ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN EN COORDENADAS POLARES25

dx= 12 (dz + dz)

dy= 12i (dz − dz)

y sustituyendo

df= 12 (∂f∂x − i

∂f∂y )dz + 1

2 (∂f∂x + i∂f∂y )dz

Si llamamos

∂f∂z = 1

2 (∂f∂x − i∂f∂y ),

∂f∂z = 1

2 (∂f∂x + i∂f∂y ),

que se denominan derivadas formales, se tienen.

df=∂f∂z dz + ∂f

∂z dz

Que es la expresion para la diferencial de una funcion de variable complejadiferenciable en el sentido de analisis real.

Definicion.- Sea f(z) diferenciable en el sentido del analisis real en zo. Se diceque esta funcion es diferenciable en el sentido del analisis real si en zo

∂f∂z = 0

En este caso df=∂f∂z dz. La expresion ∂f

∂z = 0 se traduce en:

∂f∂x + ∂f

∂y = 0

lo que equivale, sustituyendo esas expresiones, a que

(∂u∂x −∂v∂y ) + i( ∂v∂x + ∂u

∂y ) = 0 =⇒

{∂u∂x = ∂v

∂y

∂u∂y = − ∂v

∂x

y se denominan condiciones de Cauchy-Riemann

4.4. Ecuaciones de Cauchy-Riemann en coorde-nadas polares

Sea f(z) = u(x,y)+iv(x,y) una funcion compleja, transformaremos esta fun-cion a cooerdenadas polares.

f(z) = u(r, θ) + i(r, θ)

La relacion entre las cooerdenadas cartesianas ycoordenadas polares es:

x=rcosθ; y=rsenθ; θ=arctg( yx);


Aplicando la regla de la cadena:

∂u∂x = ∂u

∂r . ∂r∂x + ∂u∂θ . ∂θ∂x .....(1)

∂u∂y = ∂u

∂r . ∂r∂y + ∂u∂θ . ∂θ∂y .....(2)

∂v∂x = ∂v

∂r . ∂r∂x + ∂v∂θ . ∂θ∂x .....(3)

∂v∂y = ∂v

∂r . ∂r∂y + ∂v∂θ . ∂θ∂y .....(4)

r=√x2 + y2 =

∂r∂x = x√

x2+y2= x

r = rcosθr = cosθ

∂r∂y = y√

x2+y2= y

r = rsenθr = senθ

θ = arctg yx =

∂θ∂x = −y

(x2+y2) = − yr2 = −rsenθ

r2 = − 1r senθ

∂θ∂y = x

(x2+y2) = xr2 = rcosθ

r2 = 1r cosθ

reemplazando en (1),(2),(3),(4),se tiene:

∂u∂x = cosθ ∂ur −

1r senθ

∂u∂θ ...........(5)

∂u∂y = senθ ∂u∂r + 1

r senθ∂u∂θ .......(6)

∂v∂x = cosθ ∂vr −

1r senθ

∂v∂θ ........(7)

∂v∂y = senθ ∂v∂r + 1

r senθ∂v∂θ .........(8)

pero por las ecuaciones de CAUCHY-RIEMANN se tiene: ∂u∂x −

∂v∂y = 0

∂u∂y + ∂v

∂x = 0

de las ecuaciones (5) y (8) se tiene:

(∂u

∂r− 1

r

∂v

∂θ)cosθ−(

1

r

∂u

∂θ+∂v

∂r)senθ = 0.....(9)

de las ecuaciones (6) y (7) se tiene:

4.5. FUNCIONES ANALITICAS 27

(1

r

∂u

∂θ+∂v

∂r)cosθ + (

∂u

∂r− 1

r

∂v

∂θ)senθ = 0.......(10)

de las ecuaciones (9) y (10) multiplicamoc por cosθ y sen θ respectivamente:

(∂u∂r −1r∂v∂θ )cos2θ − ( 1

r∂u∂θ + ∂v

∂r )senθcosθ = 0......(11)

( 1r∂u∂θ + ∂v

∂r )cosθsenθ + (∂u∂r −1r∂v∂θ )sen2θ = 0....(12)

ahora sumando (11) y (12) se obtiene:

(∂u∂r −1r∂v∂θ )(cos2θ + sen2θ) = 0

de donde:

∂u∂r −

1r∂v∂θ = 0

nuevamente multiplicamos (9) y (10) por -senθ y cosθ respectivamente:

−(∂u∂r −1r∂v∂θ )senθcosθ + ( 1

r∂u∂θ + ∂v

∂r )sen2θ = 0....(13)

1r (∂u∂θ + ∂v

∂r )cos2θ + (∂u∂r −∂v∂θ )senθcosθ = 0......(14)

al sumar (13) y (14) se obtiene:

( 1r∂u∂θ + ∂v

∂r )(cos2θ + sen2θ) = 0

por lo tanto las ecuaciones de CAUCHY-RIEMANN en coordenadas polaresson:

∂u∂r= 1

r∂v∂θ ; ∂v

∂r=- 1r∂u∂θ

4.5. Funciones Analiticas

Definicion: Diremos que la funcion f:D⊂ C → C es analitica en el puntoz0 ∈ D,si f esta definida y es derivable en alguna vecindad de z0, es decir f esanalitica en z0 si:∃ Vp(z0) tal que f esta definida en Vp(z0) y ∃ f ’(z0), ∀ z ∈Vp(z0).


Si la funcion f:D⊂ C → C es analitica en todo C, se le llama funcion entera.Ejemplos:La funcion cosz,senz,ez son analiticas en todo C. 2 la funcion F(z)= z no esderivable, en ningun punto del plano complejo, por lo tanto F(z)= z no es ana-litica.

4.6. Funciones Armonicas

Si la funcion f(z)=u(x,y)+iv(x,y) es analitica en D entonces:

∂u(x,y)∂x = ∂v(x,y)

∂y

∂u(x,y)∂y = −∂v(x,y)∂x

∀(x, y) ∈ D

∂2u(x,y)∂x2 = ∂2v(x,y)

∂x∂y

∂2u(x,y)∂y2 = −∂

2v(x,y)∂y∂x

como ∂2v(x,y)∂x∂y =∂2v(x,y)

∂y∂x , ∀(x, y) ∈ D puesto que sus derivadas parciales son con-tinuas, entonces.

∂2u(x,y)∂x2 + ∂2u(x,y)

∂y2 =0,∀(x, y) ∈ D∂v(x,y)∂y = ∂u(x,y)

∂x

∂v(x,y)∂x = −∂u(x,y)∂y

sumando

4.6. FUNCIONES ARMONICAS 29

∂2v(x,y)∂y2 = ∂2u(x,y)

∂y∂x

∂2v(x,y)∂x2 = −∂u(x,y)∂x∂y

∂2v(x, y)

∂x2+∂2v(x, y)

∂y2= 0

por lo tanto la parte real e imaginaria de una funcion compleja f(z)=u(x,y)+iv(x,y)analiticas son soluciones de la ecuacion de LAPLACE, donde.

∇2u = ∂2u∂x2 + ∂2u

∂y2 = 0 Ecuacion de Laplace de u

∇2v = ∂2v∂x2 + ∂2v

∂y2 = 0 Ecuacion de Laplace en v

Uxx+ Uyy = 0

V xx+ V yy = 0

Se llaman ecuaciones de Laplace en dos variables que en fisica se conoce con elnombre de ecuacion potencial.F Toda funcion F(z)=u(x,y)+iv(x,y) que satisface las ecuaciones de Laplace sellaman Funciones armonicas y F(z)=u(x,y)+iv(x,y) es analitica, entonces u y vse llaman conjugadas armonicas.

Capıtulo 5

INTEGRACIONCOMPLEJA

Definicion 4 La integracion compleja es una de las teorias de la matematicaen la que se trabaja con tanto entusiasmo debido a su accesibiliadad ,existiendopor lo menos dos razones esenciales Primero: Dentro de las aplicaciones se en-cuenran las integrales reales que se pueden evaluarse por integracion complejacuando no se tiene exito con los metodos usuales de calculo integral real Se-gundo: Algunas de las propiedades basicas de las fuciones analiticas tales comola existencia de derivadas de orden superior no pueden demostrarse por otrosmetodos en tales casos se utiliza la integral ,este hecho marca las diferenciasbasicas entre el calculo real y complejo.

5.1. Curvas en el plano complejo

Una curva γ en el plano complejo C = <X< ,es el conjunto de puntos (x, y)tal que :

f(x) =

{x = x(t)y = y(t)

donde x, y : [a, b] −→ < son funciones continuas de la variable t en el intervalo[a, b] ,como z = x+ iy, entonces γ se puede expresar de la siguinete forma

γ : z = z(t) = x(t) + iy(t)

31

32 CAPITULO 5. INTEGRACION COMPLEJA

OBSERVACIONES:

1.El punto z(a) se denomina punto inicial de la curva γ y el punto z(b)se de-nomina punto final de la curva γ .

2.Tambien de z(a) y z(b) se llaman extremos de la curva γ .

3.Si z(a) = z(b) se dice que la curva es cerrada.

5.2. definicion

Consideremos una funcion compleja f : [a, b] −→ C, tal que:

f(t) = Re(f(t)) + iIma(f(t))

entonces definimos a la integral en la forma:∫ b

a

f(t) dt =

∫ b

a

Re(f(t)) dt+

∫ b

a

iIma(f(t)) dt

∫ b

a

Re(f(t)) dt = Re(

∫ b

a

(f(t)) dt)

∫ b

a

iIma(f(t)) dt = Ima(

∫ b

a

(f(t)) dt)

5.3. integrales curvilineas en C

Consideremos una curva γ ⊂ C una funcion f : D ⊂ C −→ C tal que γ ⊂ Cdonde f es inyectiva y continua por lo menos sobre la curva γ

como f es inyectiva y continua por lo menos sobre la curva γ,entonces u yv son inyectiva y continuas , entonces :

∫γ

Z dz = lımn→∞

sn =

∫γ

(udx− vdy) + i

∫γ

(udy − vdx)

5.3. INTEGRALES CURVILINEAS EN C 33

Si

γ =

x = x(t)a ≤ t ≤ b

y = y(t)

O sea γ; z(t) = x(t) + iy(t), a ≤ t ≤ b∫γ

Z dz

=

∫ b

a

[u(x(t), y(t)).x′(t)− v((x(t), y(t)).y′(t)] dt

+

∫ b

a

[u(x(t), y(t)).y′(t)− v((x(t), y(t)).x′(t)] dt

=⇒∫γ

Z dz =

∫ b

a

f(z(t)0.z′(t)dt

EJEMPLOS:

♣ Calcular la integral

∫γ

Z2 dz donde γ : ‖z‖ = 2

γ : ‖z‖ = 2 , parametrizando la curva

γ : z(θ) = 2eiθ, 0 ≤ θ ≤ 2π

z′(θ)dθ = 2eiθdθ

=

∫γ

Z2 dz

=

∫ 2π

0

Z2(θ)z′(θ) dθ

=

∫ 2π

0

4e2iθ2e2iθ dθ

= 8i

∫ 2π

0

e3iθ dθ

= 0

♣ calcular la integral

∫γ

Z2 dz donde γ : y = x2,desde (0, 0)hasta (2, 4)

γ : y = x2, 0 ≤ x ≤ 2parametrizando la curva γ : y = x2

γ : z = z(t) = t+ it2, 0 ≤ x ≤ 2z′(t) = 1 + 2it

=

∫γ

Z2 dz

=

∫ 2

0

(t+ it2)2(1 + 2it) dt


=

∫ 2

0

(t2 − t4 + 2it3)(1 + 2it) dt

=

∫ 2

0

[(t2 − 5t4) + (4t3 − 2t5)i] dt

= ( t3

3 − t5) + (t4 − t6

3 )i∣∣∣20

= − 283 −

163 i

♣ Calcular

∫γ

z dz si x2 + y2 = 1

γ : z = z(t) = x(t) + iy(t)γ : z = z(t) = cost+ isent, 0 ≤ t ≤ 2π

z′(t) = icost− sentz(t) = cost+ isent∫

γ

z dz =

=

∫ 2π

0

z(t).z′(t) dt

=

∫ 2π

0

(cost− isent)(icost− sent) dt

=

∫ 2π

0

i dt

= 2πi

♣ Calcular

∫γ

z dz,donde x2 + y2 = 1

γ : z = z(t) = cost+ isent, 0 ≤ t ≤ 2πz′(t) = −sent+ icost∫

γ

z dz =

=

∫ 2π

0

(cost+ isent)(−sent+ isent) dt

=

∫ 2π

0

(−2sentcost+ cos2t) dt = 0

♣ La curva γ : x2+y2 = R2 es diferenciable ,pues γ : z(t) = Rcost+iRsent,0 ≤t ≤ 2π, entonces γ : z′(t) = iRcost−Rsent,∀tε[0, 2π]

si t = 0,z′(0) = (0, R) 6= (0, 0)

t = π4 , z(

π4 ) = −

√2R2 ,

√2R2 6= (0, 0)

t = 2π, z(2π) = (0, R) 6= (0, 0)

5.4. PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES CURVILINEAS 35

5.4. Propiedades de las integrales curvilineas

Sea γ = {z(t) � α ≤ t ≤ β}, tal que z : [α, β] −→ C,F ;G : γ ⊂ C −→ C,funciones continuas y λ un escalar entonces:

1)∫γλF (z)dz = λ

∫γF (z)dz

2)∫γ[F (z)±G(z)]dz =

∫γF (z)dz±

∫γG(z)dz (La integral de linea es una trans-

formacion lineal)

3)‖∫γF (z)dz‖ ≤

∫γ‖F (z)‖dz

4)∫γF (z)dz = −

∫γF (z)dz

5)Si γ se subdivide en n subcurvas γ1, γ2, γ3, . . . , γn tal que γ = γ1 ∪ γ2 ∪ γ3 ∪. . . , γn, entonces:∫γF (z)dz =

∫γ1F (z)dz +

∫γ2F (z)dz + . . .+

∫γnF (z)dz =

∑ni=1

∫γiF (z)dz

6)Como F : γ ⊂ C −→ C es acotada, ∃ M > 0 talque ‖F (z)‖ ≤M, ∀ z ε γ talque:

‖∫γF (z)dz‖ ≤MLγ , donde Lγ es la longitud de la curva.

5.5. Teorema de Green en el plano

Sea R una region simplemente conexa con frontera C suave a trozos, orien-tada en sentido contrario al de las agujas de un relog; si P(x,y), Q(x,y), ∂P

∂y y∂Q∂x

son continuas en una region abierta que contiene a R entonces:

∫C

P (x, y)dx+Q(x, y)dy =

∫R

∫(∂Q(x, y)

∂x− ∂P (x, y)

∂y)dxdy

Demostracion

Para una region simple vertical se tiene:


R = {(x, y) � a ≤ x ≤ b∧

f1(x) ≤ y ≤ f2(x)}

Del grafico se tiene:C = C1 ∪ C2∫CP (x, y)dx =

∫C1P (x, y)dx+

∫C2P (x, y)dx∫

CP (x, y)dx =

∫ baP (x, f1(x))dx+

∫ baP (x, f2(x))dx (1)

por otra parte tenemos:∫R

∫(∂P (x,y)

∂y )dA =∫ ba

(∫ f2(x)f1(x)

∂P (x,y)∂y dy)dx =

∫ baP (x, y)|f2(x)f1(x)

dx∫R

∫(∂[P (x,y)

∂y )dA =∫ ba

[P (x, f2(x))− P (x, f1(x)]dx∫R

∫(∂[P (x,y)

∂y )dA = −∫ ba

[P (x, f1(x)) + P (x, f2(x)]dx (2)

Remplazamos (2) en (1) se tiene:∫CP (x, y)dx = −

∫R

∫(∂[P (x,y)

∂y )dA (α)

En forma similar para el caso donde R es simplemente horizontal:

R = {(x, y) � c ≤ y ≤ d∧

g1(y) ≤ x ≤ g2(y)}

Del grafico se tiene:C = C1 ∪ C2∫CQ(x, y)dy =

∫C1

1Q(x, y)dy +

∫C1

2Q(x, y)dy∫

CP (x, y)dx =

∫ cdQ(g1(y), y)dy +

∫ dcQ(g2(y), y)dy∫

CP (x, y)dx =

∫ dcQ(g2(y), y)dy −

∫ dcQ(g1(y), y)dy (3)

por otra parte tenemos:∫R

∫(∂Q(x,y)

∂x )dA =∫ dc

(∫ g2(y)g1(y)

∂Q(x,y)∂x dx)dy =

∫ dcQ(x, y)|g2(y)g1(y)

dy∫R

∫(∂Q(x,y)

∂X )dA =∫ dc

[Q(g2(y), y)−Q(g1(y), y)]dy (4)Remplazamos (4) en (3) se tiene:∫CQ(x, y)dy =

∫R

∫(∂Q(x,y)

∂x )dA (β)

sumamos (α) y (β) se obtiene:∫C

P (x, y)dx+Q(x, y)dy =

∫R

∫(∂Q(x, y)

∂x− ∂P (x, y)

∂y)dA

Nota.- El teorema de Green es valido para regiones mas complicadas como cir-culares, triangulos, etc.

5.6. TEOREMA DE GREEN EN LA FORMA COMPLEJA 37

5.5.1. Ejemplo

Calcular la integral curvilinea∮γ(ex +x2y)dx+ 3x2ydy, donde γ es la curva

cerrada determinada por : y = x2 , y2 = x∫CP (x, y)dx+Q(x, y)dy =

∫R

∫(∂Q(x,y)

∂x − ∂P (x,y)∂y )dxdy{

P (x, y) = ex + x2y

Q(x, y) = 3x2y=⇒

{ ∂P (x,y)∂y = x2

∂Q(x,y)∂x = 6xy∫

CP (x, y)dx+Q(x, y)dy =

∫R

∫(∂Q(x,y)

∂x − ∂P (x,y)∂y )dxdy =

∫R

∫(6xy + x2)dxdy∫


∫ 1

0(∫√xx2 (6xy + x2)dy)dx∫


∫ 1

0(3xy2 + x2y)|

√xx2dx∫


∫ 1

0(3x2 + x2

√x− 3x5 − x4)dx

∫CP (x, y)dx+Q(x, y)dy = (x3 +

2

7x

7

2 − x6

2− x5

5)|10∫

CP (x, y)dx+Q(x, y)dy = (1 +

2

7− 1

2− 1

5)∫


41

70

5.6. Teorema de Green en la forma compleja

Sea F(z) una funcion compleja continua y sus derivadas parciales continuasen una region R y sobre su frontera γ donde z=x+ij; z = x− ij.El teorema de Green e puede escribir en la forma compleja como:

∮γ

F (z)dz = 2i

∫R

∫∂F (z)

∂zdxdy

Demostracion

Sea F(z)=P(x,y)+iQ(x,y), dz=dx+idy∮γF (z)dz =

∮γ[P (x, y) + iQ(x, y)](dx+ idy)∮

γF (z)dz =

∮γ(P (x, y)dx−Q(x, y)dy) + i

∮γ(Q(x, y)dx+ P (x, y)dy)∮

γF (z)dz = −

∫R

∫(∂Q(x,y)

∂x + ∂P (x,y)∂y )dxdy + i

∫R

∫(∂P (x,y)

∂x − ∂Q(x,y)∂y )dxdy∮

γF (z)dz = i

∫R

∫((∂P (x,y)

∂x − ∂Q(x,y)∂y ) + i(∂P (x,y)

∂y + ∂Q(x,y)∂x ))dxdy∮

γF (z)dz = 2i

∫R

∫ ∂F (z)∂z dxdy

Nota.- Este ultimo resultado se obtiene de la observacion.


5.6.1. Ejemplos

Calcular∮γ

4z4 − 3z3 + 17z2 + 4

z3(z2 + 4)dz; donde γ : ‖z − 1‖ =

1

2

f(z) =4z4 − 3z3 + 17z2 + 4

z3(z2 + 4), es analitica dentro y sobre γ, puesto que z=0,

-2i, 2i estan fuera de γ entonces por el teorema de Cauchy, se tiene:

∮γ

4z4 − 3z3 + 17z2 + 4

z3(z2 + 4)dz = 0

Calcular∮γzdz, donde γ es la curva que une los puntos z1 = 1, z2 = 4 + 3i

f(z) = z, es analitica en C pero γ no es cerrada∮γzdz 6= 0

Parametrizamos γ

γ = {(1− t) + t(4 + 3i)� 0 ≤ t ≤ 1}γ = {(1 + 3t) + 3it� 0 ≤ t ≤ 1}z(t) = (1 + 3t) + 3it� 0 ≤ t ≤ 1dz = (3 + 3i)dt∮γzdz =

∫ 1

0(1 + 3t+ 3it)(3 + 3i)dt∮

γzdz = 3(1 + i)

∫ 1

0(1 + 3t+ 3it)dt∮

γzdz = 3(1 + i)[t+

3

2t2 +

3it2

2]|10∮

γzdz = −3

2[3− 5i]

Parte II

EJERCICIOSFUNCIONESANALITICASCOMPLEJAS

39

41

Calcular el limite limz→1+j(z − 1− iz2 − 2z + 2

)2.

limz→1+j(z − 1− iz2 − 2z + 2

)2 = limz→1+j(z − 1− i

(z − (1 + j))(z − (1− j)))2

limz→1+j(1

z − (1− j))2 = (

1

2j)2 = −1

4

Analizar si la funcion f(z) =zRe(z)

‖z‖es continua en z=0.

f(z) =zRe(z)

‖z‖

f(z) =zRe(z)

‖z‖=x(x+ jy)√x2 + y2

f(z) =zRe(z)

‖z‖=

x2√x2 + y2

+xy√x2 + y2

j

‖f(z)‖2 =x4 + x2y2

x2 + y2

‖f(z)‖2 =x2(x2 + y2)

x2 + y2

‖f(z)‖2 = x2

limz→0‖f(z)‖ = 0

limz→0f(z) = 0

f(0) = 0

f(z) =zRe(z)

‖z‖, es continua en z=0.

Se puede definir F(0), para que la funcion F (z) ={Re(z2)}4

‖z‖8, sea continua

en z=0;

z = x+ jy

z2 = x2 + 2xyj − y2

Re(z2) = x2 − y2

{Re(z2)} = (x2 − y2)4

‖z‖ =√x2 + y2

‖z‖8 = (x2 + y2)4

F (z) =(x2 − y2)4

(x2 + y2)4

42

F (z) = (x2 − y2

x2 + y2)4

Sea T = {(x, y)εRxR/y = 2x},S = {(x, y)εR/y = 3x}

limz→(0,0)F (z) = lim(x,y)→(0,0)(x2 − y2

x2 + y2)4

limx→(0,0)(x2 − 4x2

x2 + 4x2)4 =

81

625

limz→(0,0)F (z) = lim(x,y)→(0,0)(x2 − y2

x2 + y2)4

limx→(0,0)(x2 − 9x2

x2 + 9x2)4 =

256

625

No se puede definir F(0) para que F(z) sea continua en z=0.

¿f(z) =1

z, es uniformemente continua en D = {zεC/1

2< ‖z‖ < 1}

∀ε > 0,∃δ > 0,∀z, wεD/0 < ‖z − w‖ < δ =⇒ ‖1

z− 1

w‖ < ε

‖1

z− 1

w‖ =‖w − z‖‖z‖‖w‖

1

2< ‖z‖ < 1, y ,

1

2< ‖w‖ < 1 =⇒ 1

4< ‖z‖‖w‖ < 1

1 <1

‖z‖‖w‖< 4

‖1

z− 1

w‖ =‖w − z‖‖z‖‖w‖

< 4‖w − z‖ < 4δ = ε > 0

δ =ε

4

∴ F(z) es uniformemente continua en D.

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