NMEROS COMPLEJOS

NMEROS COMPLEJOSNmeros realesEl cuerpo de los nmeros reales se compone de los correspondientes a los nmeros racionales e irracionales. El conjunto de los nmeros reales se puede poner en correspondencia biunvoca con el conjunto de los puntos de una recta que se llama eje real: es decir, cada punto de la recta representa un nico nmero real y cualquier nmero real se representa por un nico punto de la recta, como muestra la Fig. 1.

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La suma, resta, multiplicacin y divisin de dos nmeros reales es otro nmero real.

La raz cuadrada de un nmero real positivo es tambin otro nmero real; pero si es negativo, su raz cuadrada no es un nmero real o bin no corresponde a ningn punto de la citada recta.

2Nmeros imaginariosLa raz cuadrada de un nmero real negativo es un nmero imaginario; por ejemplo, son nmeros imaginarios -1, -2, -5, -16, etc.

Si hacemos j = -1, que se llama unidad imaginaria , se puede escribir, -2 = j2, -4 = j2, -5 = j5, -16 = j4, etc. Las sucesivas potencias de la unidad imaginaria son

j2 = -1, j3 = j2 x j = (-1)j = -j, j4 = (j2)2 = 1, j5 = j,

3El conjunto de nmeros imaginarios se puede poner en correspondencia biunvoca con el conjunto de los puntos de otra recta, que se llama eje imaginario, como muestra la Figura 2.

-j5 -j4 -j3 -j2 -j1 0 j1 j2 j3 j4 j5

Figura 2 Eje Imaginario

La eleccin de la palabra imaginario es muy desafortunada, pues estos nmeros tienen tanta existencia fsica como los reales. El vocablo significa, exclusivamente, que los nmeros imaginarios no se pueden representar por un punto en el eje de los nmeros reales.

4Nmeros complejosUn nmero complejo z es de la forma x + jy, en donde: x e y son nmeros reales y j = -1.En un nmero complejo x + jy, la primera componente x se llama parte real y la segunda, jy, parte imaginaria. Si la parte real es nula, x = 0, el nmero complejo se reduce a un nmero imaginario (puro) y se representa por un punto sobre el eje imaginario. Anlogamente, si la que es nula es la parte imaginaria, y = 0, el nmero complejo se reduce a un nmero real y se representa por un punto del eje real. Por consiguiente, el conjunto de los nmeros reales tiene como subconjunto al de los nmero reales y al de los imaginarios.La condicin necesaria y suficiente para que dos nmeros complejos, a + jb y c + jd, sean iguales es que a=c y b=d.

5Si se traza el eje real perpendicular al eje imaginario, como se representa en la Figura 3, siendo 0 el punto de interseccin llamado origen, el conjunto de los nmeros complejos se puede poner en correspondencia biunivca con el conjunto de puntos del plano complejo as formado. En dicha Figura 3, se han situado los seis nmeros complejos (z1, ., Z6) que aparecen a su izquierda.

Figura 36Distintas formas de expresar un nmero complejo.En la figura 4, x = r cos , y = r sen , con lo que el nmero complejo z es:z = x + jy = r(cos + j sen)en donde la expresin r= x2 + y2 se llama mdulo de z, y el ngulo = arc tg y/x recibe el nombre de argumento de z.

7La frmula de Euler, ej = (cos + jsen), permite expresar en otra forma, que se llama exponencial, un nmero complejoz = r cos + jr sen = r ejEn teora de circuitos es muy frecuente emplear la forma polar o de Steinmetz de un nmero complejo z y se suele escribir as:ren donde se mide en grados o en radianes.

A continuacin se resumen las cuatro formas de representar un nmero complejo; el empleo de una u otra depende, fundamentalmente, de la operacin que se trate de efectuar.forma binmicaz = x + jyforma polar o de steinmetzz = rForma exponencialz = r ejForma trigonomtricaz = r(cos + j sen )

8Conjugado de un nmero complejo.El conjugado de un nmero complejo z= x + jy es el complejo z* = x- jy. Por ejemplo, son nmeros complejos conjugados los pares: (1) (3 - j2) y (3 + j2); (2) (-5 + j4) y (-5 - j4).

En forma polar, el conjunto de z = r es z* = r -. Como cos(-) = cos y sen (-) = - sen , el conjugado de z = r(cos + j sen) es z* = r ( cos - j sen ). Por ejemplo, el conjugado de z = 730 es z* = 7-30.

9En el plano complejo, el conjugado z* de un nmero complejo z es siempre el simtrico de z con respecto al eje real, como se muestra en la Figura 5.

Por consiguiente, las cuatro formas de escribir un nmero complejo z y su conjugado correspondientes son:z = x + jyz= r ,z = r ej z = r(cos + j sen )z* = x - jyz*= r -z* = r e-j z* = r(cos - j sen )

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11Suma y resta de nmeros complejosPara sumar (restar) dos nmeros complejos se suman (restan) sus partes reales y sus partes imaginarias independientemente. En la prctica, para sumar (restar) complejos lo ms cmodo es escribirlos en forma binmica.

Ejemplo 1 Sean los complejos z1 = 5 - j2 y z2 = -3 - j8 Entoncesz1 + z2 = (5 - 3) + j(-2 - 8) = 2 - j10

z2 - z1 = (-3 - 5) + j (-8 + 2)= -8 - j6

12Multiplicacin de nmeros complejos

El producto de dos nmeros complejos, escrito en forma exponencial, se reduce inmediatamente de las propiedades de la potenciacinz1z2 = (r1ej1) (r2ej2) = r1r2ej(1+2)

Si los complejos se escriben en forma polar es evidente quez1z2 = (r11) (r22) = r1r21+2

Por ltimo, si los complejos vienen dados en forma binmica se multiplican como si fueran polinomios. z1z2 = (x1 + j y1)(x2 + j y2) = x1x2 + j x1y2 + j y1x2 + j2 y1y2 = (x1x2 - y1y2) + j(x1y2 + y1x2)

Ejemplo 2. Si z1 = 5ej/3 y z2 = 2e-j/6 , resulta z1z2 = (5ej/3)(2e-j/6) = 10ej/6.

Ejemplo 3. Si z1 = 230 y z2 = 5-45 , resulta z1z2 = (230 )(5-45 ) = 10-15 .

Ejemplo 4. Si z1 = 2 + j3 y z2 = -1 - j3, resulta z1z2 = (2 + j3) (-1 - j3) = 7 - j913Divisin de nmeros complejos.El cociente de dos nmeros complejos, escritos en forma exponencial, se deduce inmediatamente de las propiedades de la potenciacin.z1/z2 = (r1ej1) / (r2ej2) = r1/r2 ( ej(1-2))

Si los complejos se escriben en forma polar es evidente que:z1/z2 = (r11) / (r22) = r1/r2 ((1-2))Por ltimo, si los complejos vienen dados en forma binmica se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

14Ejemplo 5. Sean z1 = 4ej/3 y z2 = 2ej/6 , entonces z1/z2 = (4ej/3)/(2ej/6) = 2ej/6.

Ejemplo 6. Sean z1 = 8-30 y z2 = 2-60 , entonces

z1/z2 = (8-30 )/(2-60 ) = 430 .Ejemplo 7. Sean z1 = 4 - j5 y z2 = 1 + j2, entonces z1/z2 = (4 - j5)/(1+j2)(1-j2)/(1-j2) = (4-j5-j8+(-1)10) / ( 1+j2-j2-(-1)4) = (4- j13 -10) / (1+4) = (-6 - j13) / ( 5)

15Paso de forma polar a forma binmica.Ejemplo 8. Expresar 50 53.1 en forma binmica, x +jy.Se hace un dibujo expresando el hecho de que el ngulo es mayor de 45 .

x = 50 cos 53.1 = 50 x 0.600 = 30y = 50 sen 53.1 = 50 x 0.800 = 40las partes real e imaginaria son ambas positivas.50 53.1 = 30 + j40.

16Ejemplo 9. Expresar 100 -120 en forma binmica, x + jy.Se hace el dibujo correspondiente. El ngulo de referencia es 60

x = 100 cos 60 = 100 x 0.500 = 50y = 100 sen 60 = 100 x 0.866 = 86.6Las partes real e imaginaria son ambas negativas.100 -120 = -50 - j86.6

17Paso de forma binmica a polar.Ejemplo 10. Expresar 4 + j3 en forma polar r.Se hace un dibujo exagerando el hecho de la parte real es mayor que la imaginaria, es decir el ngulo es menor de 45 .

= arc tg = arc tg 0.75 = 36.9, (45 ) sen 36.9 =0.600, de donde r = 3/0.600 = 5 o bien cos 36.9 = 0.800 de donde r = 4/0.800 = 54 + j 3 = 536.9.

18Ejemplo 11. Expresar -10 + j20 en forma polar, r.Se hace el dibujo correspondiente. El ngulo de referencia 1 es menor de 45 (complementario de ).

1 = arc tg 20/10 = arc tg 2 = 63.4 . Por tanto, = 180 -63.4 = 116.6 .sen 63.4 = 0.895, de donde r = 20/0.895 = 22.4 o bien cos 63.4 = 0.499 de donde: r = 10/0.449 = 22.4-10 + j20 = 22.4116.6

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