NúmerosNúmeros complejoscomplejos

Análisis MatemáticoAnálisis Matemático

Profesor: Miguel DíazProfesor: Miguel Díaz

HistoriaHistoria

Los números complejos se crearon en Italia, Los números complejos se crearon en Italia, durante el periodo del renacimiento, durante el periodo del renacimiento, cuando por vez primera los algebristas se cuando por vez primera los algebristas se dedican a investigar seriamente estos dedican a investigar seriamente estos números y penetran el lado misterioso en números y penetran el lado misterioso en que se hallaban envueltos desde la que se hallaban envueltos desde la antigüedad, los matemáticos se antigüedad, los matemáticos se encontraron con el problema de resolver encontraron con el problema de resolver la raíz cuadrada de un numero negativo. la raíz cuadrada de un numero negativo.

Explicación:Explicación:

Como no todos los problemas pueden resolverse Como no todos los problemas pueden resolverse con números reales, se aprendió que era con números reales, se aprendió que era posible calcular la raíz cúbica de -1 o de -8. posible calcular la raíz cúbica de -1 o de -8. Sabemos por ejemplo, que la raíz cúbica de -1 Sabemos por ejemplo, que la raíz cúbica de -1 es igual a -1.es igual a -1.

Simplemente porque (ahora al revés) Simplemente porque (ahora al revés) (-1)^3 = -1(-1)^3 = -1. .

Pero cuando se quiere obtener la raíz de -4 Pero cuando se quiere obtener la raíz de -4

por ejemplopor ejemplo

si probamos con 2 no puede ser si probamos con 2 no puede ser porque 2^2porque 2^2  = 4= 4, , y si probamos con -2, y si probamos con -2, tampoco es porque(-2)^2=4tampoco es porque(-2)^2=4, , también datambién da 44..

Por este inconveniente se inventaron los Por este inconveniente se inventaron los números complejosnúmeros complejos

El símbolo que se utiliza para simbolizarlos es la El símbolo que se utiliza para simbolizarlos es la letra letra (i)(i), de imaginarios, porque son números que , de imaginarios, porque son números que no se pueden representar en la coordenadas reales no se pueden representar en la coordenadas reales como hacemos habitualmente.como hacemos habitualmente.

i^2=-1 Entonces para el ejemplo anterior, en donde se Entonces para el ejemplo anterior, en donde se

desea obtener, la raíz cuadrada de -4, la desea obtener, la raíz cuadrada de -4, la respuesta es: respuesta es: i2 de tal manera que si hacemos al revés, es decir, 2i . 2i = 4. i^2 = 4. (-1)= -4

Por otro lado, si vamos a tener un producto asociativo, conmutativo y distributivorespecto de la suma, se deberá tener(a + bi)(c + di) = ac + bdi^2 + adi + bci = ac - bd + (ad + bc)i.Con esto ya sabríamos sumar y multiplicar complejos.

Operación de números complejosOperación de números complejos

Suma y diferenciaSuma y diferencia: Se realiza sumando y : Se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre síimaginarias entre sí

(5+2 (5+2 ii) + (-8+3 ) + (-8+3 ii)-(4-2 )-(4-2 ii)=)==(5-8-4) + (2+3+2) =(5-8-4) + (2+3+2) i i == --7+77+7iiMultiplicación:Multiplicación: el producto de los números el producto de los números

complejos se realiza aplicando la propiedad complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que teniendo en cuenta que ii ^2 = −1 ^2 = −1

(5+2 (5+2 ii) . (2-3 ) . (2-3 ii)=)==10-15 =10-15 ii +4 i-6 +4 i-6 ii ^2=10-11 ^2=10-11 i i +6= +6= 16-11 16-11 ii

Ejemplo geométricoEjemplo geométrico

Los números reales se encuentran en el eje Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical. imaginarios en el eje vertical.

Aplicación de los números Aplicación de los números complejos en la electricidadcomplejos en la electricidadUna aplicación de los números complejos es el cálculo Una aplicación de los números complejos es el cálculo

de impedancias equivalentes en redes eléctricas a de impedancias equivalentes en redes eléctricas a corriente alterna. La “impedancia” eléctrica es la corriente alterna. La “impedancia” eléctrica es la oposición al flujo de la corriente eléctrica de cualquier oposición al flujo de la corriente eléctrica de cualquier circuito. Por lo general, en los textos, la magnitud de la circuito. Por lo general, en los textos, la magnitud de la impedancia impedancia ZZ se denota como se denota como /Z//Z/

La principal utilización para los La principal utilización para los números complejos es en los números complejos es en los cálculos eléctricos de circuitos. cálculos eléctricos de circuitos.

También tienen muchas aplicación También tienen muchas aplicación en las ramas de la ingenieríaen las ramas de la ingeniería..

Otros usos de los números Otros usos de los números complejoscomplejos

Los números complejos son usados en:Los números complejos son usados en:• Operaciones vectoriales Operaciones vectoriales • Representación de magnitud Representación de magnitud • Facilitan el manejo de funciones de ondas Facilitan el manejo de funciones de ondas • Para simplificar cuentasPara simplificar cuentas• Resolución de ecuaciones diferencialesResolución de ecuaciones diferenciales• Para el procesamiento digital de señalesPara el procesamiento digital de señales

Alumnos:Alumnos:

Martín Perez, Nahuel Muñoz y Martín Perez, Nahuel Muñoz y Mauricio Novasad Mauricio Novasad