Números anòmals. Novembre 2005Curiositats i aplicacions de la probabilitat 2 atzar =...

Números anòmals

Novembre 2005 Curiositats i aplicacions de la probabilitat

2

atzar = equiprobabilitat ?

Quan parlem de jocs d’atzar el model probabilístic que fem servir és l’uniforme, tots els resultats són igualment probables. En això confia la gent a l’hora de jugar.

Però si en lloc d’extraure els números els deixem manifestar-se de manera espontània podem trobar-nos amb alguna curiositat.


3

Simon Newcomb (1835-1909)

A Simon Newcomb, astrònom canadenc recriat a Europa i als EE.UU., li semblava curiós que les primeres fulles de les taules de logaritmes estigueren molt més gastades que les altres. Al 1881 va publicar un breu article Note on the frequency of use of the different digits in natural numbers, Amer. J. Math. 4, 39-40.


4

Simon Newcomb (2)

Al seu breu article Newcomb, va deduir d’una manera enginyosa una llei de probabilitat empírica per a la ocurrència del primer dígit significatiu,

“la probabilitat d’ocurrència dels números és tal que les mantisses dels seus logaritmes són equiprobables”

la qual cosa cal interpretar com que la distribució de les mantisses és uniforme en [0,1]


5

Simon Newcomb (3)

Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9

log 2 log 3 log 4 log 5 .... log 8 ....0 1

Número Probabilitat Número Probabilitat1 0,3010 6 0,06692 0,1761 7 0,05803 0,1249 8 0,05124 0,0969 9 0,04585 0,0792


6

Frank Benford (1883-1948)

El treball de Newcomb va passar desapercebut fins que 57 anys més tard (en 1938), Frank Benford, un físic que treballava en la General Electric, va publicar The law of anomalous numbers,Proc. Amer. Phil. Soc., 78, 551-572un estudi més rigorós del fenomen en el que estudiava la distribució no sols del primer dígit, però també la dels següents. El més curiós del cas és que no citava a Newcomb, segurament perquè el treball de Newcomb li era totalment desconegut.


7

La llei de Benford o del primer dígit

Si la variable aleatòria X representa el valor del primer dígit significatiu (distint de 0) que trobarem en un número escollit a l’atzar enter un conjunt de “dades reals”, la seua distribució de probabilitat, coneguda com llei de Benford, és de la forma

xxx

x

xxXP log1log

1log

11log)(

que concideix amb el que havia conjecturat Newcomb.


8

“dades reals” i llei de Benford

Comencem per aclarir que vol dir allò de “dades reals”. Doncs aquelles que sorgeixen de manera espontània en la vida real. Per fer-se’n una idea peguem-li una ullada a les dades que va emprar Benford al seu article per tal de comprovar empíricament la llei.


9

Comprovació empírica de la llei de Benford

Però, qualssevol “dades reals”? La resposta és tant més afirmativa quan més gran i variat siga el conjunt de dades. Provem-ho.

1. Informació de borsa del diari Levante-EMV, diumenge 5 de novembre de 2005

2. Anuari socio-econòmic 2005 de La Caixa


10

Per què aquesta llei?

La llei de Benford és, si més no, curiosa i una mica estranya o si voleu inesperada. En el seu articleThe First Digit PhenomenonAmerican Scientist, 86, 358-363 (1998)T. P. Hill reflexiona sobre la qüestió de per què existeix una llei com aquesta i les dificultats per a donar-li un sentit matemàtic. Pot ser que una part de l’explicació siga que és l’única llei sobre el dígits que és invariant front a un canvi d’escala.


11

L’aportació més interessant de Negrini és la aplicació de la llei per a detectar frau en les comptabilitats i impostos. Partint de la hipòtesis (que ell va comprovar) de que les comptabilitats correctes segueixen molt a prop la llei, una comptabilitat arreglada pot detectar-se en veure que s’allunya molt de la llei.

Aplicacions de la llei de Benford

La llei no és solament una curiositat matemàtica, Mark Nigrini, un professor de comptabilitat de la Southern Methodist University en Dallas, que va fer la seua tesi doctoral sobre les aplicacions de la llei de Benford, explica i il·lustra la llei mitjançant un senzill i curiós exemple basat en l'índex Dow Jones.

Index Increment Anys Canvi escala 1er dígit

1000

2000 1,0000 5,0000 0,3010 1

3000 0,5000 2,5000 0,1505 2

4000 0,3333 1,6667 0,1003 3

5000 0,2500 1,2500 0,0753 4

6000 0,2000 1,0000 0,0602 5

7000 0,1667 0,8333 0,0502 6

8000 0,1429 0,7143 0,0430 7

9000 0,1250 0,6250 0,0376 8

10000 0,1111 0,5556 0,0334 9

Número Benford Correcte Frau Escrit_atzar

1 0,301 0,305 0,000 0,147

2 0,176 0,178 0,019 0,100

3 0,125 0,126 0,000 0,104

4 0,097 0,096 0,097 0,133

5 0,079 0,078 0,612 0,097

6 0,067 0,066 0,233 0,157

7 0,058 0,056 0,010 0,120

8 0,051 0,050 0,029 0,084

9 0,046 0,045 0,000 0,058

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Benford

Correcte

Frau

Escrit_atzar


12

Un parell d’adreces d’Internet

http://www.nigrini.com/Benford's_law.htm

http://www.aicpa.org/pubs/jofa/may1999/nigrini.htm








http://www.aicpa.org/pubs/jofa/may1999/nigrini.htm


13

Números anòmals. Novembre 2005Curiositats i aplicacions de la probabilitat 2 atzar =...

Documents

Transcript of Números anòmals. Novembre 2005Curiositats i aplicacions de la probabilitat 2 atzar =...