NUMEROS ALEATORIOS

5/11/2018 NUMEROS ALEATORIOS - slidepdf.com

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NUMEROS ALEATORIOS

ALGUNAS CARACTERISTICASCuando se generan números seudoaleatorios se pueden producir ciertos errores o problemas,como por ejemplo:

1. Los números generados pueden no estar distribuidos uniformemente.2. Los números generados pueden corresponder a una distribución discreta en

lugar de a una continua.3. La media de los números generados puede ser demasiado alta o demasiado baja.4. La varianza de los números generados puede ser demasiado alta o demasiado

baja.5. Puede existir una clara dependencia entre ellos.

Por ejemplo:- Auto correlación entre números.- Números correlativamente más bajos o más altos que los adyacentes.- Varios números por encima de la media seguidos de otros por debajo de la

misma.

CONSIDERACIONES PARA LA ELECCION DE GENERADORESAunque existe un gran número de métodos posibles para la generación de números aleatorios enuna computadora, hay también unas ciertas consideraciones importantes para la elección de unmétodo u otro.

La rutina debe ser rápida. La rutina debe ser transportable entre diferentes ordenadores e, idealmente, a diferentes

lenguajes de programación. La rutina debe tener un ciclo suficientemente largo. Un ciclo representa la longitud de

una secuencia antes que comiencen a repetirse los números en el orden anterior. La

ocurrencia de repeticiones en los números obtenidos puede propiciar la no aceptacióndel generador.

Las secuencias de números aleatorios deben ser replicables. Partiendo del mismonúmero se debe poder obtener la misma secuencia

Los números obtenidos deben aproximarse a las propiedades estadísticas ideales deuniformidad e independencia.

METODOS DE GENERACIONExisten varios métodos para la generación de números aleatorios como:

Método de los cuadrados medios

Métodos de Congruencias Métodos de Tausworthe

Todo proceso de generación consta de tres fases:

[Semilla - Algoritmo - Validación]

P1: Obtener semilla (valores iniciales) P2: Aplicación de algún algoritmo de generación recursivoP3: Validación del conjunto de números generados (Pruebas de Aleatoriedad)



A. METODO DE LOS CUADRADOS MEDIOS

Consiste en que cada número de una sucesión es producido tomando los dígitosmedios de un número obtenido mediante la elevación al cuadrado.

P1: Obtener semilla (valores iniciales 445)P2: Aplicación de Algoritmos recursivos (elevar al cuadrado)P3: Validación del conjunto de datos generados

Ejemplo: Consideremos la semilla 445

X X2 N° Aleatorio445 1| 9802 | 5 0,98029802 96| 0792 | 04 0,0792792 6 | 2726 | 4 0,27262726 ............... ...............

B. METODO DE CONGRUENCIAS

Hacia 1949, Lehmer introduce un método de generación de números aleatoriosmediante el cual un término de la serie se obtiene como función del términoinmediatamente anterior (xn=f(xn-1)).

La función aplicada es la siguiente:

En el generador distinguimos cuatro elementos: x0, es el valor inicial o semilla. a, multiplicador, siendo 0 <= a < m. c, incremento, siendo 0 <= a < m. m, módulo.

Se llama periodo a la subcadena, dentro de la serie generada, en la que no hayrepeticiones de números y longitud de periodo al número de elementos de dichasubcadena.La repetición de números en la serie puede ser aleatoria, pero dado el método utilizadopara la generación de las mismas, en el momento en el que se repite un valor ya empieza

a repetirse todo el periodo, por lo que interesan métodos que garanticen longitudes deperiodo grandes.

TIPOS DE GENERADORES CONGRUENCIALES LINEALESPodemos distinguir dos tipos de estos generadores que se diferencian en el valor delincremento.

G.C. Multiplicativos. En ellos el incremento, c, es 0. Este tipo de generadores fueronlos introducidos por Lehmer, aunque mencionó como posibilidad la idea de tomar c≠0.



G.C. Mixtos. En ellos el incremento es distinto de 0. Fueron introducidos por Thomsonhacia 1958.

Los primeros presentan la ventaja de ser más rápidos, al tener que realizar menos

operaciones en el cálculo de los elementos. Sin embargo, la longitud de periodo que sealcanza en las series generadas por ellos son menores que la alcanzadas en las seriesgeneradas por los segundos.

Los valores de a=0 y a=1, producen series no aleatorias.

Supongamos a=0, nos quedaría el generador de la forma x n+1 = c mod n, es decir, quesiempre saldría la constante c.

Si a=1, el generador es . Desarrollando algunos de los

elementos que se van obteniendo, tenemos:

Y así para todos los términos. Vamos obteniendo que un término es siempre la semillamás un múltiplo de c y todo módulo m, y esta serie no es aleatoria.

C. METODO DE TAUSWORTHE

Caso de generador lineal congruencial general con m primo. Período máximo si x p - a1 x p-1 ... - a p es un polinomio primitivo módulo m

Tausworthe: si m=2: secuencia de bits, ai = 0 ó 1. Suelen emplearse trinomiales de forma x p + x q + 1, p > q recurrencia:

Posteriormente estos bits agrupados en enteros de longitud L (L <= p) , según bitspor entero deseados. Q bits de espacio para siguiente entero (Q >= L).Más independientes de la máquinaPropiedades estadísticas de primer y segundo orden y n-distributividad muchomejores que en congruenciales.

( )xor

i i p i p q X X - - -=



PRUEBAS DE ALEATORIEDAD

A. PRUEBA DE ALEATORIDAD (INDEPENDENCIA)1. Prueba de las series

De forma más general deseamos que los pares de números sucesivos que

están uniformemente distribuidos y son independientes.Para aplicar el test de series, contamos el número de veces que cada

pareja (Y2j, Y2j+1)=(q,r) ocurre, para 0£j<n ; esto se cuenta para cada par

de enteros (q, r) con 0£q,r<d , y se aplica el test de chi-cuadrado con k=d2

categorías y con probabilidad 1/d2 en cada categoría. Al igual que en el

test de frecuencias, el valor de d debe ser elegido convenientemente, pero

en este caso será un valor menor dado que para aplicar chi-cuadrado se

tenía que cumplir que n³5d2 .

Claramente se podemos generalizar este test para aplicarlo a tríos,

cuartetos,… en vez de parejas; sin embargo el valor de d debe ser reducidopara evitar tener demasiadas categorías. Cuando

los elementos se consideran agrupados en grupos de 4 o más, se suelen

utilizar otro tipo de test menos exactos como el test de póker o del

máximo.

Hay que resaltar que los 2n números de la secuencia ( 4.2) en este test son

usados como n observaciones.

2. Prueba de las distancias

Este test se utiliza para examinar la longitud de los huecos entreocurrencias de Uj en un cierto rango. Si a y b son dos números reales con

0£a,b£1, podemos considerar las longitudes de

subsecuencias consecutivas Uj, Uj+1,…,Uj+r en la que Uj+r cae entre a y b

pero no caen en el intervalo las otras U’s. Esta subsecuencia de r+1

elementos representa un hueco de longitud r .

El siguiente algoritmo se aplica a la secuencia ( 4.1) para algunos valores

de a y b y cuenta el número de huecos de longitud 0, 1, …, t -1 y el número

de huecos de longitud ³ t , hasta que se contabilicen n huecos.

Algoritmo (para contar longitudes de hueco)

jß-1;sß0

PARA r=0 HASTA t

cont(r)ß0FIN_PARA

MIENTRAS s<n HACER

rß0

jßj+1

MIENTRAS ujÏ[a,b]

rßr+1

jßj+1FIN_MIENTRAS



SI r³t

ENTONCES

cont(t)ßcont(t)+1

SI NO

cont(r)ßcont(r)+1FIN_SI

sßs+1

FIN_MIENTRAS

Cuando el algoritmo anterior se ha ejecutado, podemos aplicar el test de

chi-cuadrado para k=t+1 categorías, con frecuencia observada de cada

categoría son los valores almacenados en cont(0),

…, cont(t), y con probabilidades p0=p, p1=p(1-p), p2=p(1- p)2 ,…, pt=(1-p)t.

Aquí p=b-a, la probabilidad de que a£uj<b. Los valores de n y t se han de

elegir, es usual que cada uno de los valores de cont(r) sea 5 o más,preferiblemente más.

A menudo el test de huecos se aplica para a=0 ó b=1 para omitir una de las

comparaciones que se hacen para determinar si a£uj<b.

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