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VIII. BINOMIO DE NEWTON

1. FACTORIAL Factorial de un Nmero Natural. Se define como el producto que se obtiene de multiplicar todos los nmeros naturales consecutivos desde 1 hasta n.

N! = 1 x 2 x 3 .x (n-1).(n) ,n N, n > 1 * Obs. 1! = 1 0! = 1

Notacin:

n! ; n ; n

Propiedades:

n! = (n 1)!n , n > 1

n! = 1 n = 1 v n = 0

2. NMERO COMBINATORIO:

1.1. Definicin:

Se define como el nmero total de grupos que se pueden formar con n elementos tomados de k en k, en el cual cada grupo debe diferenciarse por lo menos en un elemento.

!k)!kn(

!nC

n

k ; donde n, k N

n k 0

1.2. Notacin:

k

n

kn

n

kC;C;C

1.3. Regla Prctica:

xk.....x3x2x1

)1kn).....(2n)(1n(nC

n

k

Ejm:

212x1

6x7C84

3x2x1

7x8x9C

7

2

9

3

1.4. Propiedades : Combinatorios Complementarios:

n

kn

n

kCC

Teorema :

Si : npkvpkCCnp

nk

1.5. Degradacin de ndices:

a) Ambos ndices:

1n

1k

n

kC

k

nC

b) Slo el Superior:

1

n

Knk

Ckn

nC

c) Slo el Inferior:

n

1k

n

kC

k

1knC

1.6. SUMA DE COMBINATORIOS:

1n1k

n1k

nk CCC

PROBLEMAS RESUELTOS

1) - Reduce: !33.!23

!24.!32E

Solucin:

E = !32.33.!23

!23.24.!32

E = 11

8

33

24

2).- Reduce:

179

125

178

127

179

125

CC2

CC3C4C3E

Solucin:

17

9

12

5

17

8

17

9

12

7

12

5

CC2

CC4C3C3E

Pero: 127

12

5CC 17

8

17

9CC

Luego :

E = 179

125

179

125

2

36

CC

CC

E = 3

3).- Reduce: EC C C

C C C

1222

1322

1422

721

821

921

2

2

Solucin:

21

9

21

8

21

8

21

7

22

14

22

13

22

13

22

12

CCCC

CCCCE

22

9

22

8

23

14

23

13

CC

CCE

!9x!14

!23

!4x!10

!24

C

CE

23

9

24

14

!23x!9x10

!9x!23x24

!23.!10

!9.!24E

E = 2,4

4).- Determina el valor de:

S = 6463

62 CCC

Solucin:

S = 4x3x2

3x4x5x6

3x2

4x5x6

2

5x6

S = 15 + 20 + 15

S = 50

5).- Halla A y da como respuesta la suma de sus cifras.

A =

)!6!5!4(

!4!3!2

!5!4

!6

Solucin:

A =

)5x651(!4

!4!3!2

!4x5!4

!4x5x6

A =

3051

6x2

6

5x6

A = 1236

3612 55 = 53

A = 125

6).- Reduce:

E = !18x!18

)!17x6(182

Solucin:

E = !17x18x!17x18

!17x6x1822

E = 18

36

E = 2

2

7).- Halla el valor de x, si :

20

1

)1!a(!a

6!a

Adems . x = !3

)!1a(

Solucin:

20

1

!a!a

6!a

2

20a! + 120 = a!2 + a!

Luego : a!2 19!a 120 = 0

a! -24 a! +5

a! = 24 a! = 5 no es posible a! = 4! a = 4

Adems :

x = 6

120

!3

!5

!3

)!14(

!3

)!1a(

= 20

x = 20

8).- Halla x en:

x! + 5 - 5!x

1

5!x

)1!x(22

Solucin:

x! + 5 = 5!x

1)1!x(22

(x! + 5) (x! 5) = 22(x! + 1) + 1 x!2 - 25 = 22x! + 23 x!2 22x! 48 = 0 x! -24 x! +2 (x! 24) (x! + 2)

x! = -2 no es posible.

x! = 24

x! = 4! x = 4

PRCTICA DIRIGIDA N 08 1).- Calcula n, si (n+1)! 7!n = n! a)0 b) 7 c) 5 d) 6 e) N.A.

2).- Halla x, si !3

!.6.5.4 x= 5!

a)2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 3).- Si: 3 x 6 x 9 x 12 x . . . x 45 = 3k (q!) halla: k + q a)10 b) 20 c) 30 d) 400 e) 150 4).- Calcula el valor de n, si:

si: 20)!2(

)!1(

n

nn

a)-4 b) 5 4 c) 5 d) 4 e) 4 5 5).- Al reducir, se obtiene:

!11

!10

66...2418126

77...2821147

xxxxx

xxxxx

a)1/2 b) 10 c) 7/6 d) 40 e) 50 6).- Al efectuar:

!3!2!1

!0

!32)!8!7(

18...8642

xxxxx

a)1/2 b) 1/4 c) 1/3 d) 8 e) 1

7).- Reduce: !4

!2!1

!9!8

30..12963

xxxxx

a)2 b) 5 c) 33 d) 4 e) 8

8).- Calcula el valor de n.

Si: !

)!3(

n

n =(3!+1!)(0!+2!)(4!)

a)2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7 9).- Halla n: n!+(n+1)!=144 a)2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

10).- Simplifica: !2!0

)!!1!4(

!24!23

a)2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

11).- Reduce: !11.!9

!12.!10E

a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 e) N.A.

12).- Reduce:

E

n n

n n

! !

! !

2

3 1

a) (n-2) / (n+1) b) (n+1) / (n-2) c) (n-2) / (n-1) d) (n-2) / n e) N.A.

13).- Sabiendo: 3 11777

7 176

C Ck k

Calcula: K !

a) 3 b) 6 c) 9 d) 11 e) N.A.

14).- Reduce: E C C C CX X X X

7 8 9 102

2

a) CX10

3 b) CX102 c) CX10

d) CX92 e) N.A.

15).- Reduce:EC C C

C C C

510

610

710

49

59

69

2

2

a) 12/7 b) 11/7 c) 9/7 d) 5/7 e) 2/7

16).- Halla n si:

C C C C Cn n n n n4 5 5

26

15

3

a) 2 b) 3 c) 8 d) 10 e) 18

17).- Reduce: EC

C

58

28

a) 2 b) -2 c) 1/2 d) 3 e) 1/3

18).- Reduce: 85

86

96

C

CCE

a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 1/2

19).- Reduce: n3

n4

n2

n3

n1

n2

C

C4

C

C3

C

C2E

a) 3n-6 b) 3n-5 c) 3n-4 d) 3n-3 e) N.A.

20).- Si: n! ! ! ! 2 4 20

Calcula n a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8

21).- Reduce: E 10 7 8 9! ! ! !

a) 9 ! b) 9 !/2 c) 8 ! d) 8 !/2 e) 7 !

3

22).- Da un posible valor de m+n

31n

m11

m10

m9

m8

m7

CCC4C6C4C

a) 41 b) 42 c) 43 d) 47 e) 18

23).- Calcula X en: 3/2

4

4

6

5 x

x

C

C

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) N.A.

24).- Si : (x+1)!- x! = 4320; Calcula (x-1)! a) 6 b) 24 c) 100 d) 120 e) 720

25).- Calcula el valor de :

!10

!11

!9

!10

!8

!9.....

!2

!3

!1

!2

!0

!1M

a) 55 b) 66 c) 67 d) 120 e) 100

26).- Dada la igualdad: 1n2

8n1n2

3 CC

Determina el valor de (n2 + n)

a) 10 b) 110 c) 120 d) 130 e) 132

27).- Halla el valor de la expresin:

n2 + 2n 1, si n2 =28 a) 79 b) 62 c) 98 d) 34 e) 47

28).- Halla el valor de 1n

1n

, si :

2( n5 ) = 3(n3 ) ; n Z

+

a) 5/4 b) 9/7 c) 11/9 d) 6/5 e) 4/3

29).- Reduce y determine el valor de n en:

C n1 + C n2 = 21

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

30).- Determina el valor de M en

M = 2n71n

6n5

n4 CCCC

Resulta igual a C 3n10

a) 14 b) 12 c) 10 d) 18 e) 20

31).- Luego de resolver la ecuacin:

2

n

C

CC

1n3

2n3

n2

;

halla el valor de: n2 n + 1 a) 21 b) 23 c) 25 d) 30 e) 35

32).- Si: 2x4x6x8x ... x20= )!(2 nm

halla: m+n a) 10 b) 20 c) 30 d) 400 e) N.A.

CLAVES DE RESPUESTAS

1) b 2) b 3) c

4) c 5) c 6) b

7) c 8) d 9) c

10)d 11)c 12)a

13)b 14)a 15)a

16)c 17)a 18)a

19)a 20)b 21)b

22)d 23)d 24)d

25)b 26)b 27)a

28)a 29)a 30)a

31)a 32)b