Numero Real 1

8/17/2019 Numero Real 1

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1. Los números racionales.

#os números racionales se caracteri!an por'ue pueden e+presarse comocociente de dos números enteros. s decir/

b

a xb Z baQ x =≠∈∃⇔∈ /)0(,

0ambién* los números racionales* se caracteri!an por su e+presión decimal/

⇔∈

Periódica Decimal Expresiónunatiene x

ó

enteroes x

Q x

2. Los números irracionales.

1a conocemos* de los cursos de SO* 'ue 2a números 'ue no se puedenponer como cociente de dos enteros* es decir* 2a números no racionales."sí* por ejemplo* 2 no se puede escribir como cociente de dos enteros/Demostración %reducción al absurdo&Supongamos 'ue sí se puede llegaremos a una contradicción.

22

2

2

222 abb

a

b

a operandocuadradoelevando

= → = → =

Como2

b es un cuadrado perfecto* contiene el factor $3& un número par deveces. 4or tanto 22b contendr) el factor $3& un número impar de veces* locual es imposible pues 222 ab = 2a es un cuadrado perfecto.

#os números no racionales se les llaman #rracionales."cabamos de ver 'ue 2 es irracional en general/

Irracional es p Z p y Z pSi nn ⇒∉∈

'(emplo.

Son irracionales/ ...9;127;12;5;3;6 3343 −

- 2 -


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Sin embargo son racionales/ 433 81;8;9;27 −

De este modo* como vemos* podemos obtener un número no inito denúmeros irracionales. "2ora bien también conocemos de cursos anteriores

otros números $con una denominación específica por su importancia& 'ue sontambién irracionales. 5ui!) el m)s famoso de éstos sea el número/ π 'ue es

la relación entre la longitud de una circunferencia su di)metro/r

L

2=π

Otro número irracional $importante& es el llamado φ $número )ureo&.

Observa 'ue en el rect)ngulo "6CD si

suprimimos el cuadrado "MC7 $rojo&obtenemos el rect)ngulo M67D 'ue essemejante al rect)ngulo "6CD.Si la longitud de AB es l $ ABl = & ellado del cuadrado "MC7 es 8 $ 1= AC &entonces de la semejan!a de losrect)ngulos "6CD M67D tenemos/

011

1

1

2 =−−⇒−

=⇒= l l l

l

BM

BD

AC

AB

"l resolver esta ecuación de segundo grado tenemos como solución positiva/.....61803,1

2

15≈

+=l

"l número anterior se le denomina número )ureo se escribe2

15 +=φ

Cuando la relación entre los lados del rect)ngulo "6CD es2

15

1

+=== l l AC

AB

o sea si φ = AC

AB * se dice 'ue el rect)ngulo "6CD es un rect)ngulo )ureo.

Otro número irracional importante es el llamado número $e&* en 2onor alinsigne matem)tico $#. uler&.s 'ui!) el número m)s importante en matem)ticas superiores* aparece ennumerosos procesos de crecimiento $bacteriano* de una masa forestal*9&*aparece también en los procesos físicos de la desintegración radiactiva* enla descripción de la curva catenaria $curva 'ue describe una cadena&* enotras muc2as curvas como la 'ue describe la distribución del car)cter,talla de una población estadística $llamada distribución 7ormal&.n el tema de sucesiones veremos 'ue el número $e& se obtiene como límite

de la sucesión/n

nn

a

+= 11 o sea/

n

n ne lm

+=

∞→

11

- 3 -


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l valor decimal apro+imado de este número es/......718281.2=e

#os números irracionales se caracteri!an por su e+presión decimal diciendo

'ue son decimales ininitos no periódicos."sí podríamos determinar infinitos números irracionales. 4or ejemplo/ a& .......11121211211121.3 b& ......51601112131411234567891.1

3. Los números reales. La recta real

"l conjunto formado por los números racionales e irracionales se ledenomina conjunto de los números reales se designa por ℜ .4odemos pues recordar en un diagrama* la relación entre los distintos tipos

de números 'ue 2emos estudiado a lo largo de estos cursos/

( )

Φ

−

−

−

−ℜ

........................º,,,6,5,2:)(

.,.........7

5,

3

2,25.1:

,.......8,7

49

,4:

.,.........5

50,64,5,1,0:)(

)(

)(:

3

3

!ureone I s Irracinale

ios "raccionar

#e$ativos Enteros

# #aturales

Z Enteros

Q %acionales

π

"ctividades.- observa la siguiente lista de números reales colocacada uno en el recuadro correspondiente $observa 'ue puede estar un mismonúmero en m)s de un recuadro&/

5;8;9;2;10;10;001.0;2.43;43;6

84;

3

5;

5

3;3.0;13;1.0;11.0;11 333 −−−−−− −

7aturales$7&nteros$:&

;acionales$5&


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#a palabra/ ,";


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Semirrecta

( )a,∞−{ }a x x


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5. Radicales. Propiedades.

Easta a2ora conocemos bien las raíces cuadradas $de índice dos&." partir de a2ora debemos conocer bien las raíces de cual'uier índice tendremos 'ue trabajar con ellas mediante su e+presión decimal $e+acto o

apro+imado&* o sin efectuar la raí! $conociendo las propiedades&.#lamamos raí! n-ésima de un número a* se escribe n a a un número ,b 'uecumple la siguiente condición/

ab siba nn ==

,a recibe el nombre de radicando ,n de índice de la raí!.

Si 0≥a A n a e+iste cual'uiera 'ue sea el valor de ,n.Si 0


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a& nn aa1

= * pues* aaaa nn

n

n ===

11

b& nmn m aa = * pues*mn

nmn

nm

aaa ==

.

jemplo.- +presa en forma de potencia las raíces siguientes/

;3;;;5;27;8;5;4 33

623 33

a

aa

*ol.$

21

44 = * efectivamente pues ( ) 22224 122

21

221

====

4ropiedades de los ;adicales.-#os radicales tienen una serie de propiedades 'ue debes conocer paratrabajar con ellos con soltura. 0odas estas propiedades son consecuenciainmediata de las propiedades de las potencias $compruébalo tú* al lado&

8. n pn p aa =. efectivamente/ n pn p

pn p aaa1

.. == nn aa1

=

3. nnn

baba .. =

F.n

n

n

b

a

b

a=

G. ( ) n p pn aa =

H. mnn m aa .=

- 9 -


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Ea otras dos propiedades importantes de los radicales 'ue usar)s conmuc2a frecuencia/I. #os radicales distintos solamente se pueden sumar obteniendo$previamente& su e+presión decimal apro+imada.

65,324,241,152 =+=+ JOjoK 752 ≠+ Observa como se pueden sumar radicales idénticos/ 53525 =+

L. eneralmente conviene operar las fracciones sin raíces en losdenominadores* para ello 2a 'ue multiplicar denominador numerador porla e+presión adecuada $esta operación recibe el nombre de ;acionali!ación&jemplo.

a&5

5

5

5

5.5

5.1

5

1 3

3 3

3

33 2

3

3 2===

b& ( )( )( ) ( ) 2235

325

35

35

35

3535

35.1

35

12

2

+=−

+=−+=

+−+=

−

6. Notación cientíica.

Diremos 'ue un número est) escrito en notación científica cuando/• 0iene una parte entera formada por una sola cifra 'ue no es cero.• l resto de las cifras significativas forman la parte decimal• ?na potencia de base 8 'ue nos da el orden de magnitud del número.

Si ,n es un e+ponente positivo* el número 7 es ,grande.Si ,n es un e+ponente negativo* el número 7 es ,pe'[email protected] operar números en notación científica utili!aremos la calculadora enmodo científico $SC


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Calcula tú* en notación científica* las siguientes operaciones indicadas/

=+

=−

78

135

10.43,110.35,2)

)10.84,1).(10.832,7)(

b

a

4ara designar órdenes de magnitud grande o pe'ue@a e+isten algunos

prefijos 'ue debemos conocer/

iga Mega Nilo Eecto Deca deci centi mili micro nano9

10 610

310

210 110 110− 210− 310− 610− 910−

(íjate especialmente en los órdenes siguientes/iga $mil millones&/ 910Mega $un millón&/ 610

Micro $una millonésima&/ 610−

7ano $una milmillonésima&/910−

#os dem)s órdenes de magnitud a los conocemos por usarlos2abitualmente en el manejo del SMD.

!. Lo"aritmos. Propiedades.

Definimos ,* logaritmo dun número ,+ en base ,a* escribimos x y alog= como el número , al 'ue 2a 'ue elevar ,a para obtener ,+* o sea/ xa y =.;esumiendo $de modo analítico&/

xa x y ya =↔= log

jemplo.-( ) ( ) ( ) 813481log;3313log;273327log 431333 =↔==↔==↔=( ) ( ) ( ) 11010log;10001031000log;100102100log 010

3

10

2

10 =↔==↔==↔=

l logaritmo en el 'ue la base es die! se llama ,decimal resulta ser el m)sutili!ado en matem)ticas$aparece en el teclado de la calculadora como/ log &

l logaritmo en el 'ue la base es el número irracional$e& se denomina,neperiano $en 2onor al matem)tico 'ue los inventó apellidado Neper&* resultan ser enormemente importantes en matem)ticas superiores.n la calculadora aparece en la tecla/ ln "sí/ ( ) ( ) 3lnlog 33 == eee

4;O4


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( ) ( )2121 loglog x x x xSi aa ≠⇒≠

• l logaritmo de la base vale 8* es decir/

( ) 1log =aa• l logaritmo de 8 es cero cual'uiera 'ue sea la base* es decir/

( ) 01log =a#a demostración de las dos últimas propiedades es evidente a partir de ladefinición de logaritmo* las propiedades de las potencias de los números.

• l logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de loslogaritmos de los factores. s decir/

( ) ( ) ( )2121 loglog.log x x x x aaa +=+emostración.

Si ( ) 111 1log xa y x ya =⇒= si ( ) 222 2log xa y x ya =⇒=

n consecuencia/2121

.. 21 y y y y

aaa x x +

== por tanto/( ) ( ) ( ) ( )212121 logloglog.log 21 x x y ya x x aa y yaa +=+== +

• l logaritmo de un cociente de dos números es igual a la resta dellogaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

( ) ( )212

1 logloglog x x x

xaaa −=

+emostración.Si ( ) 111 1log xa y x ya =⇒= si ( ) 222 2log xa y x ya =⇒=

n consecuencia/ 212

1

2

1 y y

y

y

aa

a

x

x −== por tanto/

( ) ( ) ( )21212

1 loglogloglog 21 x x y ya x

xaa

y y

aa −=−==

−

• l logaritmo de una potencia es igual al producto del e+ponente por ellogaritmo de la base de la potencia.

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( ) ( ) xn x ana log.log =+emostración.

6asta tener en cuenta 'ue/ x x x x xvecesn

n ........= aplicar la propiedad dellogaritmo de un producto.

• l logaritmo de una raí! es igual al logaritmo del radicando divididopor el índice de la raí!.

( ) ( )n

x x ana

loglog =

+emostración.

6asta tener en cuenta 'ue/ nn

x x

1

= aplicar la propiedad del logaritmode una potencia.

• ,ambio de base. l logaritmo en base a de un número real x sepuede obtener a partir de logaritmos en otra base b mediante/

a

x x

b

ba

log

loglog =

+emostración.

Si ( ) xa y x y

a =⇒=log A ( ) xb & x &

b =⇒=log A ( ) abt a t

b =⇒=log Sustituendo en la igualdad/ xa y = las otras dos tenemos/

( )a

x x

t

& y & yt bbbb xa

b

b

a

& yt & yt y

log

loglog.. =⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=

jemplo.-Calcula usando la calculadora el cambio de base $cuando sea necesario&.

=125log5 =04.0log5 =128log 2

=1log2 =300log5 =532log7

=100log3 =004.0log8 =740log 2jercicio.

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jercicio.

jercicio.

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jercicio.

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