Notas de geometr´ıa algebraica - Instituto de … · Introduccion´ Desde un punto de vista...

Notas de geometrıa algebraica

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Notas de geometrıa algebraica

Felipe Zaldıvar

c© Felipe Zaldıvar

Indice general

Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII

Capıtulo 1. Variedades afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. El espacio afın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2. El teorema de los ceros de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3. Morfismos entre variedades afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Capıtulo 2. Variedades proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1. El espacio proyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2. Morfismos entre variedades proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Capıtulo 3. Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.1. Dimension de variedades afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.2. El teorema del ideal principal y la dimension de Krull . . . . . . . . . . . . . . 82Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.3. El lema de normalizacion de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.4. Dimension de variedades proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.5. Dimension y morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Capıtulo 4. Propiedades locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.1. Espacios tangente, puntos lisos y puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.2. El espacio tangente de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.3. La diferencial de una aplicacion regular y morfismos etales . . . . . . . . . . 127Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.4. Derivaciones y el anillo de numeros duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.5. Expansion en serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

V

VI INDICE GENERAL

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.6. Factorizacion unica en el anillo local de un punto liso . . . . . . . . . . . . . . . 149Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.7. Variedades normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.8. Ramificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Capıtulo 5. Interseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.1. Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.2. Divisores en curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.3. El teorema de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.4. Multiplicidades de interseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Capıtulo 6. Resolucion de singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.1. Dilataciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.2. Dilataciones en general. Formulacion algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896.3. Resolucion de singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Bibliografıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Indice alfabetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Introduccion

Desde un punto de vista clasico, la geometrıa algebraica es el estudio de losespacios de soluciones de sistemas de ecuaciones polinomiales en varias variables.Para garantizar, desde el inicio, que estos espacios de soluciones no sean vacıos, secomienza considerando polinomios con coeficientes en un campo algebraicamentecerrado, donde el favorito es el campo de los numeros complejos. Despues de esta-blecer la topologıa natural en estos espacios y las funciones naturales entre ellos, seprocede a un estudio topologico mas profundo de los mismos introduciendo, paraempezar, la nocion de dimension en sus varias formulaciones. En este mismo senti-do se introducen las nociones de puntos lisos, puntos singulares y espacios tangente.A lo largo de todo el texto se discuten ejemplos apropiados para ilustrar o motivarlos conceptos y resultados principales.

En el caso importante de variedades complejas, los temas bosquejados arribase pueden estudiar con herramientas analıticas, pero la motivacion para estudiarlosdesde un punto de vista algebraico es explorar hasta que punto la validez de estosresultados se mantiene al pasar a campos arbitrarios. Mas aun, la teorıa de numerospide, de cierta forma, que tambien se considere el caso de variedades definidas sobrecampos arbitrarios, no necesariamente algebraicamente cerrados.

En este libro, de naturaleza elemental, seguiremos el enfoque clasico (((preclasi-co))) y estudiaremos variedades algebraicas, afines o proyectivas, sobre campos al-gebraicamente cerrados, definidas primero dentro del espacio afın o proyectivo, ydespues generalizadas al definirlas localmente isomorfas a espacios afines usan-do la gavilla de funciones natural para ((pegar)) en los traslapes. Los requisitos dealgebra (anillos conmutativos e ideales) son los mınimos, usualmente adquiridosen la licenciatura, y los resultados de algebra que se considere que son no usualesy que son esenciales para el desarrollo de los temas geometricos, se introduciranconforme se vayan requiriendo, con demostraciones completas de los mismos ycon las aplicaciones geometricas que los motivan. En algunos ejercicios se requie-re aumentar el nivel de algebra conmutativa, y usualmente son generalizaciones deresultados geometricos demostrados en el texto. Se sugiere ası, de alguna manera,estudiar algebra conmutativa en forma paralela y de manera motivada por las ideasgeometricas que se van introduciendo, con demostraciones geometrico-algebraicascompletas en el contexto del libro, pero que se algebrizan naturalmente.

VII

Capıtulo1Variedades afines

En este capıtulo comenzamos el estudio de objetos definidos como ceros depolinomios, y el resultado principal es un ((diccionario)) que traduce propiedadesgeometricas de estos conjuntos a propiedades algebraicas de los ideales en el anillode coordenadas correspondiente.

1.1. El espacio afınSea K un campo (algebraicamente cerrado). El espacio afın de dimension n

sobre K es el conjunto

An = AnK = An(K) := {(a1, . . . , an) : ai ∈ K}.Si E es un subconjunto del anillo de polinomios K[x1, . . . , xn], al conjunto de

ceros comunes, en AnK , de los polinomios en E:

V(E) := {P = (a1, . . . , an) ∈ AnK : f(P ) = 0 para todo f ∈ E}se le llama un conjunto algebraico afın, o simplemente un conjunto afın. Obser-vamos que si I = 〈E〉 es el ideal de K[x1, . . . , xn] generado por E, entoncesV(E) = V(I) (esto nos dice que al definir conjuntos algebraicos afines basta con-siderar ideales de K[x1, . . . , xn]). En efecto, como E ⊆ 〈E〉 = I , si P ∈ V(I)entonces P es cero de todos los polinomios de I , en particular de los que estan enE ⊆ I , es decir, V(I) ⊆ V(E) (vea tambien la parte 4 del lema 1.1). Por otra par-te, si P ∈ V(E) y si f ∈ I = 〈E〉, entonces f es combinacion lineal de algunosf1, . . . , fr ∈ E, es decir, f = g1f1 + · · · + grfr con los gi ∈ K[x1, . . . , xn]. Sesigue que f(P ) =

∑gi(P )fi(P ) y como fi(P ) = 0, entonces f(P ) = 0, i.e.,

P ∈ V(I). Mas aun, por el teorema de la base de Hilbert, el anillo K[x1, . . . , xn]es noetheriano y por lo tanto todos sus ideales son finitamente generados, es decir,existe un conjunto finito de polinomios {f1, . . . , fr} ⊆ E ⊆ I tal que

V(E) = V(I) = V({f1, . . . , fr}) = V(f1) ∩ · · · ∩ V(fr)

es decir, todos los conjuntos afines son los ceros comunes de un conjunto finito depolinomios.

Las primeras propiedades de los conjuntos algebraicos afines V(I) son:

1

2 1. VARIEDADES AFINES

LEMA 1.1. Sea K un campo (algebraicamente cerrado). Entonces,

(1) AnK y ∅ son conjuntos algebraicos afines.

(2) Si V1, . . . , Vk son conjuntos afines, entonces V1 ∪ · · · ∪ Vk tambien es afın.

(3) Si {Vi} es una familia arbitraria de conjuntos afines, entonces⋂i Vi tambien es

afın.

(4) Si I1 ⊆ I2 son ideales de K[x1, . . . , xn], entonces V(I1) ⊇ V(I2).

(5) Si I ⊆ K[x1, . . . , xn] es cualquier ideal, entonces V(I) = V(√I).

Recuerde que si A es cualquier anillo conmutativo e I ⊆ A es un ideal, elradical del ideal I es el conjunto

√I = {a ∈ A : an ∈ I, para algun n ≥ 0}. Es

facil probar (usando la expansion binomial) que√I es un ideal de A. Claramente,

I ⊆√I . Un ideal I ⊆ A se dice que es un ideal radical si

√I = I .

Demostracion. Para (1), claramente AnK = V(0) y ∅ = V(1). Para (2), basta probar-lo para dos conjuntos afines, digamos V = V(I) y W = V(J). Entonces,

V ∪W = V(I) ∪ V(J) = V(I ∩ J).

En efecto, si P ∈ V(I) ∪ V(J), entonces P pertenece a algunos de los conjuntosafines, digamos P ∈ V(I) por lo que para todo f ∈ I se tiene que f(P ) = 0, enparticular para los f ∈ I ∩J y ası P ∈ V(I ∩J). Recıprocamente, si P ∈ V(I ∩J)y si sucediera que P 6∈ V(I) ∪ V(J), entonces existirıan f ∈ I y g ∈ J tales quef(P ) 6= 0 y g(P ) 6= 0 y por lo tanto f(P )g(P ) 6= 0. Sin embargo, como fg ∈ I∩Jy P ∈ V(I ∩ J), se debe tener que f(P )g(P ) = 0, una contradiccion.

Para (3) mostraremos que si Vi = V(Ii), entonces V(∑

i Ii)

=⋂i V(Ii). En

efecto, si P ∈ V(∑

i Ii), como cada Ii ⊆

∑i Ii, entonces P ∈ V(Ii) para todo i y

por lo tanto P ∈⋂i V(Ii). Recıprocamente, si P ∈ V(Ii) para todo i, entonces para

todo f ∈∑

i Ii, escribiendo f =∑

j gjfj (suma finita) con los fj ∈ Ij , se tieneque f(P ) =

∑j gj(P )fj(P ) = 0 y ası P ∈ V(

∑i Ii).

La parte (4) se demostro esencialmente antes. Para (5), como I ⊆√I , por la

parte (4) se sigue que V(√I) ⊆ V(I). Recıprocamente, si P ∈ V(I), dado cualquier

f ∈√I , como existe m tal que fm ∈ I , entonces fm(P ) = 0 y por lo tanto

f(P ) = 0, i.e., P ∈ V(√I). �

OBSERVACION. Las partes 1, 2, 3 del lema anterior nos dicen que los conjuntosalgebraicos afines satisfacen los axiomas para conjuntos cerrados en una topologıa,a la que se llama la topologıa de Zariski de AnK . Si X ⊆ AnK es un conjunto alge-braico afın, la topologıa de Zariski en X es la topologıa inducida por la inclusioncomo subespacio. Notese que en esta topologıa, W ⊆ X es cerrado si y solo siW = X ∩ V con V ⊆ AnK un conjunto algebraico y por lo tanto, por 1.1(3), tam-bien W = X ∩ V es un conjunto algebraico. En otras palabras, los cerrados en latopologıa de Zariski de un conjunto algebraico, tambien son conjuntos algebraicos.

1.1. EL ESPACIO AFIN 3

Lo que hemos hecho hasta ahora es asociar a cada ideal de polinomios deK[x1, . . . , xn] un conjunto afın en AnK . Se tiene la construccion recıproca: a cadasubconjunto X de AnK le asociamos el ideal de K[x1, . . . , xn] dado por los polino-mios que se anulan en X:

I(X) := {f ∈ K[x1, . . . , xn] : f(P ) = 0 para todo P ∈ X}.

Las propiedades basicas de esta construccion son:

LEMA 1.2. Sea K un campo (algebraicamente cerrado). Entonces,

(1) I(∅) = K[x1, . . . , xn].

(2) Si X1 ⊆ X2 son subconjuntos de AnK , entonces I(X1) ⊇ I(X2).

(3) Si V,W ⊆ AnK , entonces I(V ∪W ) = I(V ) ∩ I(W ).

(4) Si V ⊆ AnK , entonces√

I(V ) = I(V ), i.e., el ideal I(V ) es un ideal radical.

Demostracion. La parte (1) es por vacuidad. Las partes (2) y (3) son directas, porejemplo para (3), si f ∈ I(V ∪W ), entonces para todo P ∈ V ∪W se tiene quef(P ) = 0. En particular, si P ∈ V ⊆ V ∪W se tiene que f(P ) = 0, i.e., f ∈ I(V ).Similarmente, f ∈ I(W ). Recıprocamente, si f ∈ I(V )∩I(W ), entonces f ∈ I(V )y f ∈ I(W )y ası, para todo P ∈ V , f(P ) = 0 y para todo Q ∈ W , f(Q) = 0. Esdecir, para todo P ∈ V ∪W se tiene que f(P ) = 0, por lo que f ∈ I(V ∪W ).Para (4), si f ∈

√I(V ), entonces f r ∈ I(V ), para algun r y ası, para todo P ∈ V

se tiene que f r(P ) = 0, i.e., (f(P ))r = 0 y por lo tanto f(P ) = 0, i.e., f ∈ I(V ).La otra inclusion siempre es valida: I ⊆

√I . �

Al componer las dos correspondencias

V : {ideales de K[x1, . . . , xn]} → {subconjuntos de AnK}

yI : {subconjuntos de AnK} → {ideales de K[x1, . . . , xn]}

que hemos definido arriba, si queremos que sean inversas una de la otra, observemosque en el lema 1.1 se tiene que: AnK = V(0) por lo que para que I sea inversa deV se requiere que I(AnK) = (0). Es decir, se necesita probar que si un polinomiof ∈ K[x1, . . . , xn] se anula en todo AnK , entonces f = 0 es el polinomio cero. Engeneral esto no es cierto, por ejemplo para un campo finito K = Fq, el polinomiof(x) = xq − x ∈ Fq[x] se anula en todo A1

Fq= Fq (por el teorema pequeno de

Fermat) pero no es el polinomio cero. Sin embargo, si el campo K es infinito (enparticular, siK es algebraicamente cerrado porque todos estos campos son infinitos)el resultado es cierto:

LEMA 1.3. Sea K un campo infinito. Entonces, I(AnK) = 0.


Demostracion. Induccion sobre n ≥ 1. El caso n = 1 es porque si f ∈ I(A1K) ⊆

K[x] no fuera cero, como el numero de raıces de f es ≤ que su grado, esto contra-dice el que K es infinito. Supongamos ahora que el lema es valido para ≤ n − 1y sea f ∈ I(AnK). Supongamos que f 6= 0. Observe primero que An−1

K ⊆ AnKidentificando (α1, . . . , αn−1) ∈ An−1

K con (α1, . . . , αn−1, 0) ∈ AnK . Factorizandolas potencias xk en los monomios de f , escribamos

(∗) f = ak(x1, . . . , xn−1)xkn + · · ·

y note que no puede suceder que k = 0 (i.e., que no aparezca la variable xn enf ) porque entonces f ∈ K[x1, . . . , xn−1] se anula en todo AnK , en particular enAn−1K y ası f = 0, por hipotesis de induccion. Podemos entonces suponer que

k ≥ 1 y que ak(x1, . . . , xn−1) 6= 0 (no es el polinomio cero). Entonces, porhipotesis de induccion se tiene que ak 6∈ I(An−1

K ) y por lo tanto existe un punto(α1, . . . , αn−1) ∈ An−1

K tal que ak(α1, . . . , αn−1) 6= 0. Substituyendo el punto(α1, . . . , αn−1) en todos los coeficientes ai en (∗) se obtiene el polinomio en unavariable:

f = ak(α1, . . . , αn−1)xkn + · · · ∈ K[xn]

donde el coeficiente ak(α1, . . . , αn−1) 6= 0 y por lo tanto f tiene ≤ gr(f) raıces,i.e., no se puede anular en todo A1

K , i.e., existe αn ∈ K = A1K tal que 0 6= f(αn) =

f(α1, . . . , αn−1, αn), i.e., no se anula en todo AnK . �

El resultado principal es el siguiente, pero la parte medular requiere el teoremade los ceros de Hilbert 1.15 cuya demostracion se hara en la seccion siguiente:

TEOREMA 1.4. Sea K un campo (algebraicamente cerrado).

(1) Si V es un subconjunto arbitrario de AnK , entonces V ⊆ V(I(V )), y la igualdadse tiene si y solo si V es un subconjunto algebraico afın.

(2) Si J es un ideal de K[x1, . . . , xn], entonces J ⊆ I(V(J)). Mas aun, IV(J) =√J y por lo tanto la igualdad IV(J) = J se tiene si y solo si J es un ideal radical.

Demostracion. Para (1), si P ∈ V , entonces para todo f ∈ I(V ) se tiene quef(P ) = 0 y por lo tanto f ∈ V(I(V )) y ası V ⊆ V(I(V )). Supongamos ahoraque V = V(J) es algebraico afın. Entonces, J ⊆ I(V ) y ası, por el lema 1.2, setiene que V = V(J) ⊇ V(I(V )) y por lo tanto se tiene la igualdad V = V(I(V )).Recıprocamente, si V = V(I(V )), entonces V es algebraico, por definicion.

Para (2), si f ∈ J , entonces para todo P ∈ V(J) se tiene que f(P ) = 0 ypor lo tanto J ⊆ IV(J). La segunda afirmacion de la parte (2) es (una parte de) elcontenido del teorema de los ceros de Hilbert y su demostracion se pospondra hastala seccion sobre este teorema. �


En general, se pueden tener inclusiones estrictas en las dos partes del teoremaanterior, como veremos en los ejercicios 3 y 4. Note que en ninguna de las par-tes demostradas se uso el que el campo K sea algebraicamente cerrado. Esto seusara para demostrar la segunda parte del inciso (2), lo cual, como mencionamosantes pospondremos hasta la seccion sobre el teorema de los ceros de Hilbert.

OBSERVACION. Aceptando por un momento que ya se ha demostrado el teoremaanterior, notamos que este teorema y las partes (2) del lema 1.2 y (4) del lema 1.1nos dicen que las correspondencias

{subconjuntos algebraicos de AnK}I // {ideales radicales de K[x1, . . . , xn]}V

oo

invierten inclusiones y son inversas una de la otra. Esto es una perfecta correspon-dencia que traduce la geometrıa de los conjuntos algebraicos afines a una situacionalgebraica. Hay una ultima observacion que es el momento de hacer: si K es uncampo arbitrario, los conjuntos V(I) pueden ser vacıos aun cuando el ideal I seapropio. Un ejemplo, trivial, donde esto sucede es para x2 + y2 + 1 ∈ R[x, y] para elcual se tiene que V(x2 + y2 + 1) = ∅ en A2

R. El teorema de los ceros de Hilbert ga-rantiza, ademas de la correspondencia anterior (vea la parte 2 del teorema 1.4), quesi I $ K[x1, . . . , xn] y K es algebraicamente cerrado, entonces V(I) 6= ∅. Es claraentonces la importancia de este teorema de Hilbert y tambien la del sobrenombredel teorema (garantiza la existencia de ceros de un ideal propio).

Ejemplo 1. Supongamos que K es algebraicamente cerrado. En la recta afın A1K ,

¿cuales son sus conjuntos algebraicos? Para comenzar, como el anillo K[x] es unDIP, entonces todo conjunto algebraico V ⊆ A1

K es de la forma V = V(f) paraun polinomio f ∈ K[x], y como K es algebraicamente cerrado entonces f(x) sefactoriza como f(x) = c(x− a1) · · · (x− ak) con c, ai ∈ K y por lo tanto

V(f) = {a1, . . . , an},

es decir, los conjuntos algebraicos de A1K son los conjuntos finitos, el espacio total

y el vacıo.

Lo anterior sirve para mostrar que la topologıa de Zariski en A1K es muy debil y

bastante diferente de la topologıa usual en A1K = K, por ejemplo si K = C, ya que

en A1C = C se tienen mas cerrados en la topologıa metrica usual que en la topologıa

de Zariski. Note tambien que los cerrados en la topologıa de Zariski son cerrados enla topologıa metrica ya que los polinomios son funciones continuas en la topologıausual.

Ejemplo 2. Si E ⊆ K[x1, . . . , xn] es un conjunto finito de polinomios lineales,la variedad V(E) ⊆ AnK se llama una K-variedad lineal que, esencialmente esestudiada por el algebra lineal.


Ejemplo 3. Si E ⊆ K[x1, . . . , xn] consiste de un unico polinomio no constante f ∈K[x1, . . . , xn], a la variedad V(E) =: V(f) ⊆ AnK se le llama una hipersuperficie.Si f es de grado 1, se dice que V(f) es un hiperplano afın en AnK . En el casoparticular cuando n = 2, V(f) es una curva en A2

K y es una recta si f es lineal.

Ejemplo 4. Si K es un campo, dada a una matriz m × n con entradas en K, des-plegando sus renglones la podemos pensar como un elemento de AmnK . Entonces, sim = n, el grupo lineal especial SLn(K) ⊆ An2

K de matrices cuadradas n × n condeterminante 1, es un conjunto algebraico afın porque el determinante es un polino-mio, es decir, para (xij)n×n, su determinante det(xij) ∈ K[x11, x12, . . . , xnn].

En forma similar se muestra que el grupo ortogonal On(K) de matrices cuadra-das A tales que ATA = idn es un conjunto algebraico afın.

Irreducibilidad. Si X es un espacio topologico, un subespacio no vacıo Z de X sedice que es irreducible si no se puede escribir como la union de dos subconjuntoscerrados propios de Z. Una variedad afın es un subconjunto algebraico irreduciblede algun An (note que entonces este subconjunto es cerrado en An). Un abierto deuna variedad algebraica afın se llama una variedad casi-afın.

PROPOSICION 1.5. Un conjunto algebraico V es irreducible si y solo si su idealasociado I(V ) es un ideal primo.

Demostracion. Si V es irreducible y si f, g ∈ K[x1, . . . , xn] son tales que fg ∈I(V ), entonces poniendo W1 = V(f), W2 = V(g), se tiene que V = (V ∩W1) ∪(V ∩ W2), con los espacios de la derecha cerrados y por lo tanto, ya que V esirreducible, se sigue que V = V ∩ W1 o V = V ∩ W2, es decir, V ⊆ W1 oV ⊆ W2, por lo que f ∈ I(W1) ⊆ I(V ) o g ∈ I(W2) ⊆ I(V ), i.e., I(V ) es idealprimo.

Recıprocamente, si I(V ) es un ideal primo, supongamos que existen cerrados(i.e., conjuntos algebraicos afines) W1,W2 tales que V = W1 ∪W2 con Wi V .Por 1.2 se tiene que I(V ) = I(W1) ∩ I(W2) y ademas, por la inyectividad de I,I(V ) I(Wi). Por lo tanto, existen polinomios fi ∈ I(Wi) − I(V ) y como losI(Wi) son ideales, entonces f1f2 ∈ I(Wi) y consecuentemente f1f2 ∈ I(W1) ∩I(W2) = I(V ), una contradiccion con la hipotesis de que I(V ) es primo. �

Ejemplo 5. AnK es irreducible ya que, por 1.3, su ideal I(AnK) = 0, que es primo.

Ejemplo 6. Si f ∈ K[x, y] es un polinomio irreducible, entonces p = 〈f〉 es unideal primo y por lo tanto X = V(f) ⊆ A2

K es irreducible. Note que esta variedadalgebraica es la curva afın definida por f(x, y) = 0. Las figuras siguientes sonalgunas curvas en A2

R, todas ellas irreducibles excepto la ultima:


-

6

-

6

V〈y2 − x3〉 V〈y2 − x2(x+ 1)〉

-

6

-

6

V〈x2 + y2 − 1〉 V〈(y − x2)(y − x)〉

A continuacion veremos que todo conjunto algebraico afın V se puede des-componer, en forma unica, como union de subconjuntos algebraicos irreducibles.Esto es importante porque muchas preguntas sobre conjuntos algebraicos se puedenresponder mas facilmente cuando estos son irreducibles.

LEMA 1.6. Sea X un espacio topologico arbitrario. Son equivalentes:

(1) X es irreducible.

(2) Si U1, U2 son subconjuntos abiertos no vacıos de X , entonces U1 ∩ U2 6= ∅.


(3) Todo subconjunto abierto no vacıo de X es denso en X .

Demostracion. (1) ⇒ (2): Si U1 ∩ U2 = ∅, tomando complementos X = (X −U1) ∪ (X − U2) con X − Ui cerrados propios de X y ası, por hipotesis, se debetener que X = X − U1 o X = X − U2, i.e., U1 = ∅ o U2 = ∅, una contradiccion.(2)⇒ (1) es similar.(1)⇔ (3) es directo de la definicion de densidad. �

COROLARIO 1.7. Sea Y ⊆ X un subconjunto de un espacio topologico X . Si Y esirreducible entonces su cerradura Y es irreducible.

Demostracion. Un abierto U intersecta a Y si y solo si intersecta a Y . �

Una componente irreducible de un espacio topologico X es un subconjuntoirreducible maximo de X . Por el corolario anterior, las componentes irreduciblesson cerradas y ası, en el caso de conjuntos algebraicos, las componentes irreduciblesson variedades algebraicas.

PROPOSICION 1.8. Sea X un espacio topologico. Entonces,

(1) Cada subconjunto irreducible de X esta contenido en una componente irredu-cible.

(2) X es la union de sus componentes irreducibles.

Demostracion. La parte (2) se sigue de (1) ya que para todo x ∈ X el conjunto {x}es irreducible y ası, por (1), esta contenido en una componente irreducible de X .

Para probar (1) usaremos el lema de Zorn. Sea W ⊆ X un subconjunto irre-ducible y sea F la familia de subconjuntos irreducibles de X que contienen a W .ComoW ∈ F, entonces F 6= ∅, y si {Xi}i∈Λ es una cadena en F, entonces su unionY =

⋃i∈ΛXi tambien esta en F ya que X ⊆ Y y Y es irreducible porque si U1, U2

son abiertos de X tales que Ui ∩ Y 6= ∅, entonces existen ındices i1, i2 ∈ Λ talesque Ui ∩ Xik 6= ∅ para j = 1, 2, y como {Xi} es una cadena podemos suponerque Xi2 ⊆ Xi1 y por lo tanto Ui ∩ Xik 6= ∅, pero como Xik son irreducibles por1.6 se sigue que U1 ∩ U2 ∩ Xik 6= ∅ y por lo tanto U1 ∩ U2 ∩ Y 6= ∅ que por 1.6implica que Y es irreducible, y por lo tanto Y ∈ F. Claramente Y es cota superiorde esta cadena y ası, por el lema de Zorn, F debe tener un elemento maximo, quees, por definicion, una componente irreducible de X que contiene a W , como sequerıa. �

Un espacio topologicoX se dice que es noetheriano si toda cadena descendentede subconjuntos cerrados de X:

Y1 ⊇ Y2 ⊇ · · · ⊇ Yj ⊇ · · ·se estaciona. Observe que si X es un conjunto algebraico afın, los cerrados de Xtambien son conjuntos algebraicos. El ejemplo que nos interesa es una consecuenciadel teorema de la base de Hilbert:


COROLARIO 1.9. Si X ⊆ An es una variedad afın, entonces X es un espacionoetheriano.

Demostracion. Por 1.2, a una cadena descendente de cerrados (i.e., subconjuntosalgebraicos) de X

Y1 ⊇ Y2 ⊇ · · · ⊇ Yj ⊇ · · ·le corresponde la cadena ascendente de ideales de K[x1, . . . , xn]:

I(Y1) ⊆ I(Y2) ⊆ · · · ⊆ I(Yj) ⊆ · · ·que se estaciona porque K[x1, . . . , xn] es un anillo noetheriano. �

OBSERVACION. Un espacio topologico X es noetheriano si y solo si toda cadenaascendente de abiertos se estaciona. (Esto se sigue tomando complementos). Tam-bien, por el lema de Zorn, lo anterior es equivalente a que X satisface la condicionmaxima para conjuntos abiertos o la condicion mınima para conjuntos cerrados.

PROPOSICION 1.10. Un espacio topologico noetheriano X tiene solo un numerofinito de componentes irreducibles y ninguna componente esta contenida en la unionde otras.

Demostracion. Sea F la familia de cerrados de X que no se pueden escribir comounion finita de subconjuntos irreducibles de X . Probaremos que F es vacıo. Supon-gamos que F 6= ∅; por la observacion previa a la proposicion existe un elementomınimo Y ∈ F; en particular Y no es irreducible y ası existen cerrados Y1, Y2 Ytales que Y = Y1 ∪ Y2. Por la minimalidad de Y se tiene que Yi 6∈ F y por lotanto Yi es una union finita de subconjuntos irreducibles de X y consecuentementeY tambien lo es, lo cual es una contradiccion. Se sigue que F = ∅ y por lo tantotodos los cerrados de X , en particular X mismo, se pueden representar como unionfinita de subconjuntos irreducibles y ası, por la proposicion previa se sigue que

(∗) X = X1 ∪ · · · ∪Xn

con las Xi componentes irreducibles de X y Xi 6= Xj si i 6= j.Ahora, si Y es cualquier componente irreducible de X , de la relacion

(∗) Y = Y ∩X =n⋃i=1

(Xi ∩ Y )

se sigue que Y = Xi ∩ Y para algun i (ya que Xi ∩ Y ⊆ Y y si sucediera queXi ∩ Y Y para todo i, como los Xi ∩ Y son cerrados, entonces la relacion (∗)contradice el hecho de que Y es irreducible). De la igualdad Y = Xi∩Y para alguni se sigue que Y = Xi, por lo que las Xi, 1 ≤ i ≤ n, son todas las componentesirreducibles de X , i.e., estas son un numero finito.

Finalmente, note que tampoco se puede tener que Xi ⊆⋃j 6=iXj , ya que de lo

contrario Xi = Xj , para algun j 6= i, en contradiccion con (∗). �


COROLARIO 1.11. Si V ⊆ AnK es cualquier conjunto afın, entonces V tiene soloun numero finito de componentes irreducibles V1, . . . , Vn y en la representacion

V = V1 ∪ · · · ∪ Vnningun Vi es superfluo, i.e., ningun Vi esta contenido en algun otro. �

Ejemplo 7. Sea f ∈ K[x1, . . . , xn] y supongamos que f = pe11 · · · perr es su des-

composicion en factores irreducibles, con los pi distintos. Entonces,

〈f〉 = 〈pe11 · · · perr 〉 =

⋂i

〈peii 〉

con los 〈peii 〉 ideales distintos. Se sigue que√

〈f〉 =⋂i

√〈peii 〉 =

⋂i

〈pi〉

ya que claramente√〈peii 〉 = 〈pi〉. Por lo tanto,

(∗) V(f) =⋃i

V(pi)

con cada V(pi) irreducible porque los 〈pi〉 son ideales primos. Mas aun, V(pi) 6⊆V(pj), para i 6= j. Ası, (∗) es la descomposicion de la hipersuperficie V(f) en suscomponentes irreducibles.

Anillos de coordenadas. Ası como el anillo K[x1, . . . , xn] esta naturalmente aso-ciado al espacio afın AnK , a cada subvariedad algebraica V ⊆ AnK se le asocia,en forma natural, su anillo de coordenadas afın identificando los polinomios quedefinen la misma funcion en V , es decir, se define

K[V ] := K[x1, . . . , xn]/I(V ).

OBSERVACION. Los elementos φ del anillo de coordenadasK[V ] de unaK-variedadV ⊆ AnK se pueden considerar como funciones φ : V → K, ya que si φ = f + I ∈K[V ], con f ∈ K[x1, . . . , xn], para P = (a1, . . . , an) ∈ V se define

φ(P ) := f(a1, . . . , an),

y notamos que este valor no depende del representante f de la clase lateral φ, yaque si g es otro tal representante, se tiene que f − g ∈ I(V ) y ası f(a1, . . . , an) −g(a1, . . . , an) = 0, para todo (a1, . . . , an) ∈ V .

Ejemplo 8. Las coordenadas xi ∈ K[V ] = K[x1, . . . , xn]/I(V ) las podemos vercomo funciones xi : V → K que asignan a cada punto P = (a1, . . . , an) ∈ V sui-esima coordenada xi(P ) := ai.


OBSERVACION. El anilloK[V ] es el menor anillo de funciones en V que contiene alas funciones coordenadas del ejemplo 8 y al campo K (sus elementos vistos comofunciones constantes).

Una consecuencia directa de 1.5 es:

COROLARIO 1.12. Un subconjunto algebraico afın V ⊆ AnK es irreducible si ysolo si su anillo de coordenadas K[V ] es un dominio entero. �

Ejemplo 9. Si K es algebraicamente cerrado y m ⊆ K[x1, . . . , xn] es un idealmaximo, entoncesX = V(m) es una variedad irreducible que es un cerrado mınimode AnK (por la correspondencia 1.4 y por lo tanto debe consistir de un solo punto,digamos P = (a1, . . . , an). Se sigue que todo ideal maximo de K[x1, . . . , xn] esde la forma m = 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉. De hecho, se tiene algo mas:

PROPOSICION 1.13. Sea K un campo algebraicamente cerrado y sea V ⊆ AnK al-gebraico. Existe una correspondencia biunıvoca entre los puntos de V y los idealesmaximos del anillo de coordenadas K[V ].

Demostracion. Si m ⊆ K[V ] = K[x1, . . . , xn]/I(V ) es un ideal maximo, entoncescorresponde a un unico ideal maximo m ⊆ K[x1, . . . , xn] que contiene a I(V ) ypor lo tanto V(m) ⊆ V(I(V )) = V . Por el ejemplo 9 anterior V(m) consiste de ununico punto y ası este punto pertenece a V .

Recıprocamente, si P ∈ V es un punto, entonces {P} ⊆ V ⊆ AnK y por 1.2 sesigue que I{P} ⊇ I(V ). Por otra parte, si P = (a1, . . . , an), entonces claramenteI(P ) = 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉 y este es un ideal maximo de K[x1, . . . , xn] quecontiene a I(V ), i.e., corresponde a un unico ideal maximo de K[V ]. �

Un anillo A es reducido si su nilradical√

0 = 0, es decir, si A no tiene elemen-tos nilpotentes.

PROPOSICION 1.14. Si I ⊆ K[x1, . . . , xn] y V = V(I), entonces el anillo decoordenadas K[V ] es reducido.

Demostracion. Por 1.4, I(V(I)) =√I y ası K[V ] = K[x1, . . . , xn]/

√I por lo que

el nilradical de K[V ] es√√

I =√I , i.e., es cero. �

Puntos racionales. Si k ⊆ K es un subcampo, considerando puntos con coordena-das en k, el conjunto

AnK(k) := {(a1, . . . , an) ∈ AnK : ai ∈ k}se llamara el conjunto de puntos k-racionales de AnK . El grupo de Galois Gk :=Gal(K/k) actua sobre AnK mediante

σ(P ) = P σ = (σ(a1), . . . , σ(an)


para σ ∈ Gk y P = (a1, . . . , an) ∈ AnK . Se sigue que el conjunto de puntos k-racionales AnK(k) se puede caracterizar por

AnK(k) = subconjunto de AnK invariante bajo la accion de Gk= {P ∈ AnK : P σ = P para todo σ ∈ Gk}.

Si V es una variedad afın y k ⊆ K es un subcampo, diremos que V esta definidasobre k si su ideal I(V ) puede ser generado por polinomios con coeficientes en k.Usaremos la notacion V/k para indicar que V esta definida sobre k. Notese que auncuando V este definida sobre k, el conjunto de puntos de V esta, en general, en AnK ,i.e., los polinomios que definen a V pueden tener (y, en general, tienen) ceros en Kfuera de k. En geometrıa diofantina uno de los problemas basicos es la descripciondel conjunto de puntos k-racionales de la variedad V que se define por

V (k) := V ∩ AnK(k).

Notese que si f ∈ k[x1, . . . , xn] ⊆ K[x1, . . . , xn] y si P ∈ AnK , entonces paratodo σ ∈ Gk se tiene que f(P σ) = f(P )σ y por lo tanto, si V esta definida sobre kla accion de Gk en AnK induce una accion en V y se tiene que

V (k) := puntos de V invariantes bajo la accion del grupo de Galois Gk= {P ∈ V : P σ = P para todo σ ∈ Gk}.

Ejemplo 10. Sea V el conjunto algebraico enA2K dado por el polinomio x2−y2 = 1.

Observe que como los coeficientes de este polinomio son ±1, entonces V esta de-finido sobre cualquier subcampo k de K. Ahora, si suponemos que carK 6= 2,entonces se tiene la biyeccion

A1K(k)− {0} −→ V (k) dada por t 7→

(t2 + 1

2t,t2 − 1

2t

).

Ejemplo 11. Recordemos que la conjetura de Fermat (ahora teorema por Wiles) ase-gura que, para n ≥ 3, las unicas soluciones enteras de xn+yn = zn son las triviales,i.e., aquellas con xyz = 0. Si ahora deshomogeneizamos esta ecuacion dividiendoentre z 6= 0 y ponemos X = x/z, Y = y/z, en la ecuacion afın correspondienteXn + Y n = 1 se buscan ahora soluciones con coordenadas racionales, en Q, y siV es la variedad definida por este polinomio, la conjetura de Fermat asegura en estecaso, que las unicas soluciones son, para n ≥ 3:

V (Q) =

{{(1, 0), (0, 1)} para n impar,{(±1, 0), (0,±1)} para n par.

EJERCICIOS 13

EjerciciosEJERCICIO 1. Sea K un campo algebraicamente cerrado y suponga que f, g ∈K[x, y] son dos polinomios coprimos. Demuestre que V{f, g} = V(f) ∩ V(g) esun conjunto finito. Sugerencia: Muestre primero que f, g son coprimos en el DIPK(x)[y] y luego exprese su maximo comun divisor como combinacion lineal de fy g; despues eliminando denominadores muestre que existen h ∈ K[x] y a, b ∈K[x, y] tales que h = af + bg. Concluya que hay solo un numero finito de valoresposibles de la coordenada x de los puntos de V(f, g).

EJERCICIO 2. Sea K un campo algebraicamente cerrado. Demuestre que los sub-conjuntos irreducibles del plano A2

K son: A2K , ∅, puntos y curvas irreducibles V(f),

donde f es un polinomio irreducible tal que V(f) es infinito.

EJERCICIO 3. Si J ⊆ K[x1, . . . , xn] es un ideal, la inclusion J ⊆ I(V(J)) de 1.4puede ser estricta, por ejemplo si el campo base K no es algebraicamente cerrado.Un ejemplo tıpico serıa con K = R y f(x) = x2 + 1 ∈ R[x] tomando J =〈x2 + 1〉 ⊆ R[x]. Muestre que I(V(J)) = R[x].

EJERCICIO 4. Aun cuandoK sea algebraicamente cerrado, la inclusion J ⊆ I(V(J))de 1.4 puede ser estricta. Muestre que para el polinomio f(x) = x ∈ C[x] siJ = 〈f2〉 = 〈x2〉 ⊆ C[x] se tiene que J I(V(J)).

EJERCICIO 5. Sea J = 〈xy, xz, yz〉 ⊆ K[x, y, z].Identifique V(J) ⊆ A3

K .¿Es irreducible?¿Como es la inclusion J ⊆ I(V(J))?

EJERCICIO 6. Sea J = 〈xy, (x− y)z〉.Identifique V(J).Calcule

√J .

EJERCICIO 7. Sea K algebraicamente cerrado. Demuestre que toda K-algebra fini-tamente generada es isomorfa a un cociente K[x1, . . . , xn]/I .

EJERCICIO 8. Demuestre que un espacio topologico irreducible es conexo. Sin em-bargo, se puede tener un espacio conexo que no es irreducible. Por ejemplo en A2

Kel conjunto V(xy) es la union de los ejes coordenados, que es conexo, pero no esirreducible.

EJERCICIO 9. Si V ⊆ AnK es algebraico afın, demuestre que es disconexo si ysolo si existen ideales I, J ⊆ K[x1, . . . , xn] tales que I ∩ J = I(V ) e I + J =K[x1, . . . , xn].


EJERCICIO 10. Demuestre que en un espacio topologico Hausdorff los puntos sonlos unicos subconjuntos irreducibles.

EJERCICIO 11. Demuestre que un espacio topologico Hausdorff es noetheriano si ysolo si es finito.

EJERCICIO 12. Sea ρ : K[x1, . . . , xn] � K[V ] = K[x1, . . . , xn]/I(V ) el epi-morfismo canonico. Muestre que, bajo la biyeccion inducida por ρ entre ideales deK[V ] e ideales de K[x1, . . . , xn] que contienen a I(V ), se tiene que ideales radi-cales corresponden a ideales radicales, e ideales maximos corresponden a idealesmaximos.

EJERCICIO 13. Sea V ⊆ AnK un conjunto algebraico afın. Si f ∈ K[V ] se define

D(f) := {a ∈ V : f(a) 6= 0} = V − V〈f〉.Demuestre:

D(f) ⊆ D(g)⇔ V(f) ⊇ V(g)⇔√f ⊆ √g.

D(fg) = D(f) ∩D(g).D(fn) = D(f).Los conjuntos D(f) forman una base de la topologıa de Zariski en V .De hecho, todo abierto de V es una union finita de abiertos de la formaD(f).D(f) = ∅ si y solo si f es nilpotente.D(f) es denso en V si y solo si para todo g ∈ K[V ] no nilpotente se tieneque fg no es nilpotente.D(f) es denso en V si y solo si f no es un divisor de cero en K[V ].

EJERCICIO 14. Demuestre que los subconjuntos cerrados de V estan en correspon-dencia biunıvoca con los ideales radicales de K[V ].

EJERCICIO 15. Si V ⊆ AnK es una variedad afın, una subvariedad de V es sub-conjunto afın irreducible W ⊆ AnK tal que W ⊆ V . Demuestre que existe unacorrespondencia biunıvoca entre la familia de subvariedades de V y el conjunto deideales primos de K[V ].

EJERCICIO 16. Descomponga el conjunto afın V(x2 − yz, xz − x) ⊆ A3K en sus

componentes irreducibles.

EJERCICIO 17. Muestre que la cubica alabeada {(t, t2, t3) ∈ A3K : t ∈ K} ⊆ A3

K

es un conjunto algebraico afın. Grafique este curva en A3R para visualizar por que se

dice que es alabeada (combada o torcida).

EJERCICIO 18. Muestre que el conjunto {(r, θ) ∈ A2K : r = sen θ}, con (r, θ)

coordenadas polares, es algebraico afın.

EJERCICIO 19. Muestre que el conjunto {(x, y) ∈ A2K : y = senx} no es

algebraico afın.

1.2. EL TEOREMA DE LOS CEROS DE HILBERT 15

EJERCICIO 20. Demuestre que toda variedad afın es compacta. (De hecho, casi-compacta, porque no es Hausdorff).

EJERCICIO 21. Muestre que la parabola C = V(y − x2) ⊆ A2C es irreducible.

EJERCICIO 22. Descomponga C = V(y4 − x2, y4 − x2y2 + xy2 − x3) ⊆ A2C en

sus componentes irreducibles.

EJERCICIO 23. Generalizando el ejercicio 17, muestre que el conjunto

V = {(t, t2, . . . , tn) ∈ AnK : t ∈ K} ⊆ A3K

es una variedad afın.

EJERCICIO 24. Muestre que V = V(x2 − y3, y2 − z3) ⊆ A3K es irreducible.

1.2. El teorema de los ceros de HilbertDespues de definir subconjuntos algebraicos afines V(I) ⊆ AnK , para un ideal

propio I $ K[x1, . . . , xn], lo primero que tenıamos que garantizar es que estos con-juntos no son vacıos. Como mencionamos oportunamente, esto es parte del teoremade los ceros de Hilbert (la parte debil), y despues, para probar la biyectividad de lacorrespondencia en 1.4

{subconjuntos algebraicos de An}I // {ideales radicales de K[x1, . . . , xn]}V

oo

se requerıa que IV(J) =√J , lo cual tambien es parte del teorema de Hilbert que

a continuacion probaremos, aceptando por el momento un lema de Zariski sobreextensiones de campos, mismo que probaremos inmediatamente despues, cuandoya se hayan introducido los preliminares correspondientes:

TEOREMA 1.15 (Teorema de los ceros de Hilbert). Sea K un campo algebraica-mente cerrado. Entonces,

(1) Todo ideal maximo m del anillo de polinomios K[x1, . . . , xn] es de la forma

m = 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉, con los aj ∈ K.(2) Para todo ideal propio I $ K[x1, . . . , xn] se tiene que V(I) 6= ∅.

(3) Para todo ideal I ⊆ K[x1, . . . , xn] se tiene que I(V(I)) =√I .

Demostracion. (1) Para comenzar, los ideales 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉 son maximosya que

K[x1, . . . , xn]/〈x1 − a1, . . . , xn − an〉 ' Kporque mediante una traslacion podemos suponer que los ai = 0 y entonces elmorfismo evaluacion f 7→ f(0, . . . , 0) es suprayectivo, manda un polinomio f a


su termino constante y por lo tanto su nucleo lo forman los polinomios sin terminoconstante, i.e., los polinomios divisibles por algun xi, i.e., el nucleo es 〈x1, . . . , xn〉y ası por el primer teorema de isomorfismo de Noether se tiene el isomorfismodeseado. Supongamos ahora que m ⊆ K[x1, . . . , xn] es un ideal maximo. Conside-re entonces la composicion de morfismos

ϕ : K ↪→ K[x1, . . . , xn]� K[x1, . . . , xn]/m =: A

dondeA es un campo porque m es maximo. Mas aun, laK-algebraA es finitamentegenerada (por las clases residuales xi + m) y como es un campo, por el lema deZariski se sigue queA es algebraico sobreK, y comoK es algebraicamente cerradoentonces se tiene que ϕ : K ' A. Para cada xi+m ∈ A se tiene ası un unico ai ∈ Ktal que ϕ(ai) = xi+m. Es decir, xi−ai ∈ m y por lo tanto 〈x1−a1, . . . , xn−an〉 ⊆m. Pero como como 〈x1−a1, . . . , xn−an〉 es maximo, entonces se tiene la igualdad〈x1 − a1, . . . , xn − an〉 = m, como se querıa.

Note ahora que (2) se sigue de (1) porque como I es propio, entonces esta conte-nido en un ideal maximo, que por (1) es de la forma 〈x1−a1, . . . , xn−an〉, es decir,I ⊆ 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉. Entonces, por 1.1 se sigue que V〈x1 − a1, . . . , xn −an〉 ⊆ V(I). Pero es claro que

V〈x1 − a1, . . . , xn − an〉 = {(a1, . . . , an)}y por lo tanto V(I) contiene al punto (a1, . . . , an).

Mostraremos ahora que (3) se sigue de (2). Para comenzar,√I ⊆ I(V(I))

porque si f ∈√I , entonces fm ∈ I para algunm, y por lo tanto para todoP ∈ V(I)

se tiene que fm(P ) = 0 y consecuentemente f(P ) = 0, i.e., f ∈ IV(I). Parala inclusion recıproca, sea f ∈ IV(I) y escribamos I = 〈h1, . . . , hr〉. Queremosmostrar que fm ∈ I para algun m. Para hacer esto, considere el anillo Af :=K[x1, . . . , xn]f obtenido al invertir f en el anilloA := K[x1, . . . , xn] y el morfismode localizacion A→ Af . Mostraremos que el ideal IAf generado por la imagen deI en el anillo Af es todo Af , i.e, mostraremos que 1 ∈ Af . Una vez probado loanterior, note que podemos escribir

1 =∑i

gihi/fm (escogiendo un denominador comun)

y consecuentemente fm =∑

i gihi ∈ I = 〈h1, . . . , hr〉, como se querıa. Bastaentonces probar que IAf = Af . Ahora, por el ((truco)) de Rabinowitsch, vea 1.26:

Af ' A[t]/〈ft− 1〉 = K[x1, . . . , xn, t]/〈ft− 1〉,y por lo tanto

IAf ' IK[x1, . . . , xn, t]/〈ft− 1〉 = 〈I, ft− 1〉/〈ft− 1〉y ası debemos mostrar que el 1 ∈ Af esta en el ideal

If := 〈I, ft− 1〉 = 〈h1, . . . , hr, ft− 1〉 ⊆ K[x1, . . . , xn, t],


y usando la parte (2) basta mostrar que V(If ) = ∅ en An+1K , y para esto ultimo

observe que (a1, . . . , an, b) ∈ V(If ) si y solo si los generadores hi de I se anulanen el punto P = (a1, . . . , an) (ya que los hi no contienen la variable t), es decir,P ∈ V(I), y como f ∈ IV(I), entonces f se anula en P . Ahora, como ft − 1 seanula en el punto (P, b), i.e., 0 = (ft−1)(P, b) = f(P )b−1, entonces bf(P ) = 1.Pero esta ultima igualdad dice que f(P ) 6= 0, en contradiccion con el hecho deque f se anula en P . Se sigue que V(If ) = ∅ y por la parte (2) esto implica queIf = 〈1〉, como se querıa. �

En la demostracion del teorema de los ceros de Hilbert usamos un lema deZariski que a continuacion probaremos, despues de unos preliminares algebraicos,y tambien demostramos el lema de Rabinowitsh 1.26.

Algebras finitas y de tipo finito. Integridad. Sean A ⊆ B anillos de tal forma queB es una A-algebra.

Diremos queB es unaA-algebra finita siB es finitamente generado comoA-modulo, i.e., si existen α1, . . . , αn ∈ B tales que todo b ∈ B es unacombinacion lineal de los αi con coeficientes en A:

b = a1α1 + · · ·+ anαn con los ai ∈ A.

Diremos que B es de tipo finito sobre A si existen α1, . . . , αn ∈ B talesque todo elemento b ∈ B es un polinomio en los αi con coeficientes en A,i.e., existe un polinomio f ∈ A[x1, . . . , xn] tal que b = f(α1, . . . , αn).Si b ∈ B, diremos que b es entero sobre A si existe un polinomio monico

φ(x) = xm + am1xm−1 + · · ·+ a1x+ a0 ∈ A[x]

tal que φ(b) = 0.Diremos que B es entero sobre A si todo elemento de B es entero sobreA.

Claramente toda A-algebra finita es de tipo finito, el polinomio correspondientees de primer grado f = a1x1 + · · · + anxn. Tambien, B es una A-algebra de tipofinito si y solo si existe un epimorfismo de A-algebras

ϕ : A[x1, . . . , xn]� B

sencillamente definiendo αi = ϕ(xi).

Ejemplo 12. Si A ⊆ B son anillos, todo elemento α de A es entero sobre A ya quees raız del polinomio monico x− α ∈ A[x].

Ejemplo 13. Para Z ⊆ Q, los racionales r/s ∈ Q que son enteros son los elementosde Z. En efecto, si a/b ∈ Q es un racional, podemos suponer que a y b son coprimos


y como se tiene una igualdad de la forma

an

bn+ rn−1

an−1

bn−1+ · · ·+ r1

a

b+ r0 = 0 con ri ∈ Z

multiplicando por bn queda

an + rn−1an−1b+ · · ·+ r1ab

n−1 + r0bn = 0

de donde se sigue que b divide a an y como mcd(a, b) = 1 entonces b|a pero siendocoprimos esto solo es posible si b = ±1 y por lo tanto a/b ∈ Z, como se querıa.

LEMA 1.16. Sean A ⊆ B anillos y α ∈ B. Son equivalentes:

(1) α es entero sobre A.

(2) El subanillo A[α] ⊆ B es finitamente generado como A-modulo.

(3) Existe un subanillo C con A ⊆ C ⊆ B tal que α ∈ C y C es finitamentegenerado como A-modulo.

Demostracion. (1)⇒ (2): Como α es entero sobre A se tiene que

αn = −(an−1αn−1 + · · ·+ a1α+ a0) ∈ 〈1, α, . . . , αn−1〉

y por lo tanto

αn+1 = −an−1αn − (an−2α

n−1 + · · ·+ a1α2 + a0α) ∈ 〈1, α, . . . , αn−1〉

y por induccion, para todo k ≥ 0:

αn+k = −(an−1αn+k−1 + · · ·+ a1α

k+1 + a0αk) ∈ 〈1, α, . . . , αn−1〉

de donde se sigue que todas las potencias αt con t ≥ 0 estan el el A-modulo〈1, α, . . . , αn−1〉 y como estas potencias generanA[α], entonces este es unA-modu-lo finitamente generado.

(2)⇒ (3): Sea C = A[α].

(3) ⇒ (1): Sea y1, . . . , yn un conjunto de generadores de C como A-modulo, i.e.,C = Ay1 + · · ·+Ayn. Como α ∈ C, los yi ∈ C y C es un anillo entonces αyi ∈ Cy escribiendo estos elementos en terminos de los generadores yi de C:

αyi = ai1y1 + · · ·+ ainyn con los aij ∈ Ay la igualdad anterior se puede escribir como

n∑j=1

(δijα− aij

)yj = 0 con 1 ≤ i ≤ n y δij una delta de Kronecker

el cual es un sistema de n ecuaciones lineales homogeneas en y1, . . . , yn. Por laregla de Cramer se tiene que det(δijα−aij) · yi = 0 para todo i, y como C esta ge-nerado por los yi se sigue que det(δijα − aij) · C = 0 y ası para el 1 ∈ C se tiene


que det(δijα − aij) · 1 = 0, i.e., det(δijα − aij) = 0. Finalmente, desarrollan-do el determinante det(δijx − aij) (poniendo la indeterminada x en lugar de α) seobtiene un polinomio con coeficientes en A que se anula en α y este polinomio esmonico porque el termino de grado xn proviene del producto de los elementos de ladiagonal principal (x− a11) · · · (x− ann). Se sigue que α es entero sobre A. �

COROLARIO 1.17. Si A ⊆ B son anillos y α1, · · · , αn ∈ B son enteros sobre A,entonces A[α1, . . . , αn] es un A-modulo finitamente generado.

Demostracion. Induccion sobre n. �

COROLARIO 1.18. Si A ⊆ B son anillos y α, β ∈ B son enteros sobre A, entoncesα± β y αβ son enteros sobre A.

Demostracion. Por el corolario anterior A[α, β] es finitamente generado sobre A ycomo α ± β y αβ estan en A[α, β], por la parte (3) del lema anterior se sigue queson enteros sobre A. �

COROLARIO 1.19. Si A ⊆ B son anillos y A := {α ∈ B : α es entero sobre A},entonces A es un anillo y A ⊆ A ⊆ B.

Demostracion. Directo del corolario anterior. �

El anillo A se llama la cerradura entera de A en B. Si A = A, se dice queA es integralmente cerrado en B. Si A es un dominio entero y K es su campo defracciones, A se llama la cerradura entera de A y si A es integralmente cerrado ensu campo de fracciones, se dice que A es integralmente cerrado.

Ejemplo 14. Todo dominio de factorizacion unica (DFU) es integralmente cerrado.Note que esto generaliza el ejemplo 13 y la demostracion es similar: si A es unDFU con campo de fracciones K y si a/b ∈ K es entero sobre A, si suponemosque a/b 6∈ A, entonces existe un elemento irreducible p ∈ A tal que p|b pero p - a.Por otra parte, como a/b es entero sobre A se tiene una ecuacion polinomial

(a/b)n + cn−1(a/b)n−1 + · · ·+ c1(a/b) + c0 con ci ∈ A.

Multiplicando por bn se obtiene la ecuacion

an + cn−1an−1b+ · · ·+ c1ab

n−1 + c0bn = 0

donde p divide a cada termino de la izquierda excepto a lo mas a an y ası debedividir a an y como es irreducible debe dividir a a, lo cual es una contradiccion.

COROLARIO 1.20. Si A ⊆ B son anillos, son equivalentes:

(1) B es una A-algebra finita.

(2) B es una A-algebra de tipo finito y es entero sobre A.


Demostracion. (1) ⇒ (2): Toda A-algebra finita es de tipo finito. Mas aun, comoB es finitamente generado como A-modulo, por la parte (3) del lema anterior B esentera sobre A.

(2) ⇒ (1): Por hipotesis existen α1, . . . , αn ∈ B tales que B = A[α1, . . . , αn], ycomo los αi son enteros sobre A, entonces por el lema anterior (de hecho, por elcorolario 1.17) B = A[α1, . . . , αn] es un A-modulo finitamente generado. �

PROPOSICION 1.21. Sean A un dominio entero con campo de fracciones K y L esun campo que contiene a K. Si α ∈ L es algebraico sobre K, entonces existe und ∈ A tal que dα es entero sobre A.

Demostracion. Como es algebraico α satisface una ecuacion polinomial

αm + am−1αm−1 + · · ·+ a1α+ a0 = 0 con los ai ∈ K.

Sea d el comun denominador de los ai de tal forma que dai ∈ A y multipliquemosla igualdad anterior por dm para obtener

dmαm + am−1dmαm−1 + · · ·+ a1d

mα+ a0dm = 0

que se puede reescribir como

(dα)m + am−1d(dα)m−1 + · · ·+ a1dm−1(dα) + a0d

m = 0

donde los coeficientes am−1d, . . . , a1dm−1, a0d

m ∈ A y ası la igualdad anteriormuestra que dα es raız de un polinomio monico con coeficientes en A, i.e., dα esentero sobre A. �

COROLARIO 1.22 (Zariski). Si K ⊆ L son campos con L de tipo finito, entoncesL/K es una extension algebraica y por lo tanto L/K es una extension finita.

Demostracion. Por hipotesis existen α1, . . . , αn ∈ L tales que L = K[α1, . . . , αn]y los elementos de L son polinomios en los αi con coeficientes en K. Entonces,basta mostrar que todos los αi son algebraicos sobre K. Supongamos que esto noes ası y que algunos de los αi son trascendentes sobre K. Sin perder generalidad,supongamos que α1 es trascendente sobre K y que el resultado es valido para ex-tensiones de tipo finito con < n generadores. Ahora, como α1 es trascendente sobreK, K[α1] es un anillo polinomial sobre K y su campo de fracciones K(α1) ⊆ L.Claramente L es de tipo finito sobre K(α1) y esta generado por los α2, . . ., αny ası, por hipotesis de induccion la extension L/K(α1) es algebraica; en particu-lar, para 2 ≤ i ≤ n todos los αi son algebraicos sobre K(α1). Por 1.21, existeun d ∈ K[α1] tal que dαi es entero sobre K[α1], para todo i ≥ 2. Entonces, pa-ra cualquier f ∈ L = K[α1, . . . , αn] existe un N suficientemente grande tal quedNf ∈ K[α1, dα2, . . . , dαn] y ası, por 1.16 o 1.18, se sigue que dNf es enterosobre K[α1]. En particular, aplicando este ultimo resultado a un f ∈ K(α1) ⊆ L


arbitrario, se tiene que dNf es entero sobre K[α1] y este ultimo es un dominio en-tero y ası, por el ejemplo 14 es integralmente cerrado, es decir, dNf ∈ K[α1]. Sesigue que

K(α1) =⋃N

d−NK[α1]

lo cual es absurdo porqueK[α1] ' K[x] es un anillo de polinomios sobre un campoy por lo tanto tiene un numero infinito de monicos irreducibles (por el argumentode Euclides) que pueden ocurrir como denominadores de los elementos de K(α1).Se sigue que n = 0, como se querıa. �

Localizacion. Una tecnica usual al estudiar objetos geometricos es la de concentrar-se cerca de un punto o en una vecindad del punto y muchas propiedades geometricasse pueden deducir de este proceso localizado. Similarmente, en teorıa de numerosal estudiar congruencias, por ejemplo, modulo un entero n, factorizando el enteron como producto de potencias de primos, en muchas ocasiones basta estudiar estascongruencias modulo un primo p o potencias pr de este primo. Este proceso de lo-calizacion tiene gran importancia, no solo en geometrıa y teorıa de numeros, sino enel algebra en general y en otras ramas de la matematica. En esta seccion se algebrizael proceso de localizacion generalizando la construccion del campo de los numerosracionales a partir del dominio entero Z.

Anillos de fracciones. Si A es un anillo y S ⊆ A es un subconjunto multiplicativo,i.e., 1 ∈ S y a, b ∈ S implica que ab ∈ S, se define la relacion (que resulta deequivalencia, como se verificara en el ejercicio 25) enA×S mediante (a, s) ∼ (b, t)⇔ existe u ∈ S tal que u(at−bs) = 0. En el conjunto cociente S−1A := A×S/ ∼denotamos a la clase de equivalencia de (a, s) como [a, s] o como a/s y se definenlas operaciones de suma y producto como si fueran fracciones o elementos de Q:

a

s+b

t:=

at+ bs

sty

a

s

b

t:=

ab

st

y resulta que, para comenzar, estan bien definidas, y hacen de S−1A un anillo con-mutativo con uno, donde el cero o neutro aditivo es 0/s, para cualquier s ∈ S yel uno es s/s, para cualquier s ∈ S. Mas aun, se tiene un morfismo de anillosϕ : A → S−1A dado por ϕ(a) := a/1, al que se llama el morfismo canonico, queen general no es inyectivo. Al anillo S−1A se le conoce como el anillo de fraccionesde A con respecto a S.

Ejemplo 15. La construccion anterior generaliza la construccion del campo de nume-ros racionales Q a partir del dominio entero Z, donde S = Z − {0}. De hecho, engeneral, si A es un dominio entero y S = A − {0}, entonces S es un subconjuntomultiplicativo y S−1A =: K(A) resulta un campo al que se le llama el campo defracciones de A. En este caso, el morfismo ϕ : A→ K(A) es inyectivo.


Las primeras propiedades del anillo S−1A son:

LEMA 1.23. Si S ⊆ A es cualquier conjunto multiplicativo y ϕ : A→ S−1A es elmorfismo canonico, entonces:

(1) s ∈ S ⇒ ϕ(s) es unidad de S−1A, i.e., ϕ(S) ⊆(S−1A

)∗.(2) ϕ(a) = 0⇔ as = 0 para algun s ∈ S. En otras palabras,

kerϕ = {a ∈ A : existe s ∈ S tal que sa = 0}.(3) Todo a/s ∈ S−1A es de la forma ϕ(b)ϕ(t)−1, para b ∈ A, t ∈ S.

Demostracion. Solo probaremos (1). En este caso note que si s ∈ S entonces 1/s ∈S−1A y se tiene que ϕ(s) · (1/s) = (s/1)(1/s) = s/s = 1. �

De hecho, el anillo S−1A junto con el morfismo canonico ϕ : A→ S−1A estandeterminados por la propiedad (1) del lema anterior:

TEOREMA 1.24 (Propiedad universal del anillo de fracciones). Sea ϕ : A→ S−1Ael morfismo canonico. Si f : A → B es cualquier otro morfismo de anillos tal quef(S) ⊆ B∗, entonces existe un unico morfismo de anillos f : S−1A → B tal queel diagrama siguiente conmuta:

A

ϕ

��

f // B

S−1Af

<<

Demostracion. Los elementos de S−1A son clases de equivalencia de la forma a/sy escogiendo un representante (a, s) ∈ a/s ponemos f(a/s) := f(a)f(s)−1, recor-dando que por hipotesis f(s) ∈ B∗ y por lo tanto f(s)−1 ∈ B. Observe ahora que si(a′, s′) ∈ a/s es otro representante, entonces existe u ∈ S tal que u(as′−a′s) = 0,y aplicando f a esta igualdad se obtiene que f(u)(f(a)f(s′) − f(a′)f(s)) = 0donde f(u) ∈ B∗ por lo que f(a)f(s′) = f(a′)f(s) con f(s), f(s′) ∈ B∗ yası f(a)f(s)−1 = f(a′)f(s′)−1, y consecuentemente f es una funcion. Claramentees un morfismo porque f lo es, y si a ∈ A entonces

f(ϕ(a)) = f(a/1) = f(a)f(1)−1 = f(a),

i.e., el diagrama anterior conmuta. Supongamos ahora que g : S−1A → B es otromorfismo tal que g ◦ ϕ = f . Para mostrar que f = g, sea a/s ∈ S−1A arbitarrio.Escribiendo a/s = (a/1)(1/s) en S−1A, notamos que g(a/1) = g(ϕ(a)) = f(a)y g(1/s) = g

((s/1)−1

)= g(ϕ(s)−1

)=(g ◦ ϕ(s)

)−1 = f(s)−1 y ası

g(a/s) = g(a/1)g(1/s) = f(a)f(s)−1 = f(a/s).

�


Como una consecuencia inmediata, las tres propiedades del lema anterior deter-minan S−1A salvo isomorfismo:

COROLARIO 1.25. Si S ⊆ A es un subconjunto multiplicativo y f : A → B es unmorfismo de anillos tal que

(1) f(S) ⊆ B∗.(2) f(a) = 0⇒ existe s ∈ S tal que as = 0.(3) Todo b ∈ B es de la forma f(a)f(s)−1, con a ∈ A, s ∈ S.

Entonces, existe un unico isomorfismo f : S−1A→ B tal que el diagrama siguienteconmuta:

A

ϕ

��

f // B

S−1Af

'<<

Demostracion. La tıpica de objetos que satisfacen propiedades universales. �

Ejemplo 16. Si p ⊆ A es un ideal primo, entonces S = A− p es multiplicativo. Sesuele usar la notacion

Ap := S−1A.

Note que A es un dominio entero si y solo si el ideal 0 ⊆ A es primo. Por lo tantoA0 = K(A) es el campo de fracciones de A.

Ejemplo 17. Si f ∈ A no es cero y S = {fn : n ≥ 0}, entonces S es multiplicati-vo. Usaremos la notacion Af := S−1A.

LEMA 1.26 (Rabinowitsch). Si f ∈ A y Af es la localizacion de A con respecto alconjunto multiplicativo S = {fn ; n ≥ 0}, entonces la funcion

A[t]/〈ft− 1〉 −→ Af

dada por antn + · · ·+ a1t+ a0 7→ an/fn + · · ·+ a1/f + a0 es un isomorfismo.

Demostracion. Si f = 0 ambos anillos son cero y ası podemos suponer que f 6= 0.Ahora, en el anillo A[t]/〈ft − 1〉 se tiene que 1 = ft, donde denotamos con elmismo sımbolo t a la clase de t en el cociente, y por lo tanto f es una unidad.Sea φ : A → B cualquier morfismo de anillos tal que φ(f) sea una unidad en B.Entonces, φ se extiende a un morfismo∑

aiti 7→

∑φ(ai)φ(f)−i : A[t]→ B

i.e., mandando t en φ(f)−1, el cual se factoriza a traves de A[t]/〈ft− 1〉 :


A

��

φ // B

A[t]

��

99

A[t]/〈ft− 1〉

BB

porque ft−1 7→ φ(f)φ(f)−1−1 = 1−1 = 0, y como φ(f) es una unidad enB estemorfismo que extiende φ : A→ B a A[t]/〈ft− 1〉 es unico con esta propiedad. Sesigue que este cociente tiene la propiedad universal deAf y por lo tanto es isomorfoa Af por medio de un isomorfismo que fija a A y manda t a f−1. �

EjerciciosEJERCICIO 25. Verifique que la relacion usada para definir el anillo de fraccionesS−1A es, en efecto, de equivalencia. Compruebe tambien que las operaciones desuma y producto en S−1A estan bien definidas y hacen de S−1A un anillo conmu-tativo con uno.

EJERCICIO 26. Demuestre que un ideal radical I ⊆ K[x1, . . . , xn] es una intersec-cion finita de ideales primos I = p1∩· · ·∩pr. Si no hay inclusiones entre los idealesprimos pi, entonces estos estan unıvocamente determinados.

EJERCICIO 27. Sea I ⊆ K[x1, . . . , xn] un ideal y f ∈ K[x1, . . . , xn]. Demuestreque f ∈

√I si y solo si 1 ∈ 〈I, ft − 1〉, donde 〈I, ft − 1〉 ⊆ K[x1, . . . , xn, t].

Sugerencia: vea como se uso el ((truco)) de Rabinowitsch en la demostracion delteorema de los ceros de Hilbert.

EJERCICIO 28. Use el teorema de los ceros para probar que el radical de un idealI ⊆ K[x1, . . . , xn] es la interseccion de los ideales maximos que lo contienen.

EJERCICIO 29. Sea I ⊆ A un ideal. Demuestre que I es radical si y solo si A/I esun anillo reducido (i.e., no tiene nilpotentes diferentes de cero). Si I, J son idealesradicales de A, demuestre que I ∩ J es radical. Sin embargo, I + J no tiene porque ser radical. Muestre que para I = 〈y − x2〉 y J = 〈y + x2〉, ambos son idealesprimos de K[x, y], y por lo tanto son ideales radicales, pero I + J no es radical. Dehecho, muestre que

√I + J = 〈x, y〉. Dibuje (o imagine) la situacion geometrica,

es decir, considere las variedades afines asociadas.

EJERCICIO 30 Si V, V ′ ⊆ AnK son subconjuntos algebraicos afines, demuestre queI(V ∩V ′) =

√I(V ) + I(V ′). Sugerencia: V ∩V ′ es mayor subconjunto algebraico

contenido en V y V ′.

1.3. MORFISMOS ENTRE VARIEDADES AFINES 25

EJERCICIO 31. Demuestre que, para un polinomio f ∈ K[x], el ideal 〈f〉 es radicalsi y solo si f es libre de cuadrados (i.e., en su factorizacion como producto depolinomios irreducibles no aparencen factores repetidos).

EJERCICIO 32. Si V = V(x2, xy2), calcule I(V ) y muestre que es el radical de〈x2, xy2〉.EJERCICIO 33. Usando que K[x, y] es un DFU, muestre que los ideales primos deK[x, y] son de la forma:

(i) 〈0〉.(ii) 〈f(x, y)〉, con f ∈ K[x, y] irreducible.

(iii) 〈x− a, y − b〉, con a, b ∈ K.Vea el ejercicio 2 de §1.1

1.3. Morfismos entre variedades afinesYa que hemos definido variedades algebraicas afines, para poder compararlas

necesitamos definir morfismos entre ellas, donde la idea es pensar a un morfismocomo una funcion definida por polinomios o cocientes de ellos. Para formalizar estocomenzamos definiendo las funciones regulares en una variedad afın, analogas a lasfunciones holomorfas en una superficie de Riemann.

Aplicaciones polinomiales. Si V ⊆ AnK y W ⊆ AmK son conjuntos algebraicosafines, una funcion f : V →W se dice que es una aplicacion polinomial si existenpolinomios f1, . . . , fm ∈ K[x1, . . . , xn] tales que para todo punto P ∈ V se tieneque

f(P ) =(f1(P ), . . . , fm(P )

).

Observe que si W = A1K = K, la nocion de aplicacion polinomial f : V →

W = K coincide con la nocion de funcion polinomial en V del ejercicio 34, oequivalentemente con los elementos del anillo de coordenadas K[V ] vistos comofunciones V → K.

PROPOSICION 1.27. Sean V ⊆ AnK , W ⊆ AmK conjuntos afines. Denotemos conK[x1, . . . , xn] yK[y1, . . . , ym] a los anillos polinomiales correspondientes. Enton-ces, una funcion f : V →W es una aplicacion polinomial si y solo si yj◦f ∈ K[V ],para todas las funciones coordenadas yj ∈ K[W ] (del ejemplo 8):

Vf //

fj $$HHHHHHHHHH W ⊆ AmKyj

��K


Demostracion. Si f esta dada por (f1, . . . , fm), entonces la composicion yj ◦ fcalculada en un punto P es yj ◦ f(P ) = yj(f1(P ), . . . , fm(P )) = fj(P ) la cuales una funcion polinomial porque fj lo es y ası yj ◦ f ∈ K[V ]. Recıprocamente, sif = (f1, . . . , fm) y suponemos que yj ◦ f = fj ∈ K[V ] = K[x1, . . . , xn]/I(V )para toda j, entonces existen Fj ∈ K[x1, . . . , xn] tales que fj ≡ Fj (mod I(V ))y por lo tanto para todo P ∈ V se tiene que fj(P ) = Fj(P ) y ası f = (F1, . . . , Fm)con cada Fi un polinomio y ası f es polinomial. �

Ejemplo 18. Para la curva afın C = V(y2 − x3 − x2) ⊆ A2R (la cubica nodal), la

funcionf : A1

R = R→ C ⊆ A2R

-f

A1R C

dada por f(t) = (t2− 1, t3− t) es una aplicacion polinomial. Claramente esta dadapor polinomios y solo es necesario verificar que su imagen cae en la curva C, locual es un calculo directo. Note que f es inyectiva en A1

R − {±1} y que f(−1) =(0, 0) = f(1) (decimos entonces que la curva nodal tiene un punto doble en elorigen y en el capıtulo 3 se explicara esta terminologıa).

La composicion de aplicaciones polinomiales se define en forma natural comosigue: si V ⊆ AnK , W ⊆ AmK , U ⊆ ArK son conjuntos afines y si f : V → W yg : W → U son aplicaciones polinomiales, entonces la composicion de funcionesusual

g ◦ f : V → U

es polinomial ya que si f = (f1, . . . , fm) con los fi ∈ K[x1, . . . , xn] y si g =(g1, . . . , gr) con los gj ∈ K[y1, . . . , ym], entonces g◦f esta dada por los polinomios

g1(f1, . . . , fm), . . . , gr(f1, . . . , fm) ∈ K[x1, . . . , xn].

Claramente la identidad idV : V → V es una aplicacion polinomial. Hemosası mostrado que las variedades afines junto con las aplicaciones polinomiales entreellas forman una categorıa y ası podemos definir el que una aplicacion polinomial


f : V → W entre conjuntos afines sea un isomorfismo pidiendo que exista unaaplicacion polinomial g : W → V tal que f ◦ g = idW y g ◦ f = idV . El resultadosiguiente relaciona la categorıa anterior con una categorıa algebraica:

TEOREMA 1.28. Sean V ⊆ AnK , W ⊆ AmK conjuntos afines.

(1) Una aplicacion polinomial f : V → W induce un morfismo de K-algebrasf∗ : K[W ]→ K[V ].

(2) Recıprocamente, cualquier morfismo de K-algebras ϕ : K[W ] → K[V ] es dela forma ϕ = f∗ para una unica aplicacion polinomial f : V →W .

En otras palabras, se tiene una biyeccion

{Aplicaciones polinomiales f : V →W} ↔ HomK-alg(K[W ],K[V ])

dada por f ↔ f∗.

(3) La correspondencia anterior es contravariante, i.e., si f : V → W y g : W →U son aplicaciones polinomiales, entonces

(g ◦ f)∗ = f∗ ◦ g∗.Una consecuencia inmediata es que f : V → W es un isomofismo si y solo si

f∗ : K[W ]→ K[V ] es un isomorfismo de K-algebras.

Demostracion. (1): La funcion polinomial f : V →W induce f∗ : K[W ]→ K[V ]por medio de la composicion con f , es decir, si g ∈ K[W ] la vemos como una

funcion g : W → K, entonces f∗(g) := g ◦ f : Vf→ W

g→ K. Se pruebafacilmente que f∗ es un K-morfismo.

(2): Sean yj ∈ K[W ] = K[Y1, . . . , Ym]/I(V ) las funciones coordenadas del ejem-plo 8. Usando el morfismo dado ϕ : K[W ] → K[V ] calculandolo en las yj obte-nemos que ϕ(yj) ∈ K[V ] y ponemos entonces fj := ϕ(yj). Considere entonces lafuncion f : V → AmK dada por las fj , i.e., f(P ) = (f1(P ), . . . , fm(P )). Como lasfj son polinomiales entonces f es una aplicacion polinomial y solo falta verificarque su imagen esta en W . Para esto, supongamos que g ∈ I(W ) ⊆ K[Y1, . . . , Ym];entonces

g(y1, . . . , ym) = 0 ∈ K[W ]porque g ∈ I(W ). Se sigue que

ϕ(g(y1, . . . , ym)) = 0 ∈ K[V ]

porque ϕ es morfismo. Pero como g tiene coeficientes en K y ϕ es K-morfismo,entonces

0 = ϕ(g(y1, . . . , ym)) = g(ϕ(y1), . . . , ϕ(ym)) = g(f1, . . . , fm).

Ahora, las fi son funciones en V y g(f1, . . . , fm) ∈ K[V ] es la funcion P 7→g(f1(P ), . . . , fm(P )), la cual hemos visto que se anula para todo g ∈ I(W ), y


como W es el conjunto de ceros de I(W ), se sigue que (f1(P ), . . . , fm(P )) ∈ W ,i.e., f(P ) ∈W , como se querıa.

Resta probar que para la aplicacion polinomial f anterior se tiene que f∗ =ϕ : K[W ] → K[V ]. Para esto, basta verificarlo en los generadores yi del dominio.Ahora, como f = (f1, . . . , fm) y los fi = ϕ(yi), entonces

f∗(yj) = yj ◦ f = fj = ϕ(yj)

como se querıa. En forma analoga se prueba que f es unica con la propiedad de quef∗(yj) = ϕ(yj).

(3): Directo usando la asociatividad de la composicion de funciones. �

Ejemplo 19. La aplicacion polinomial f : A1R = R → C = V(y2 − x3) dada por

f(t) = (t2, t3)

-f

A1R C

no es un isomorfismo porque el morfismo de R-algebras correspondiente

f∗ : R[C] = R[x, y]/〈y2 − x3〉 −→ R[t]

esta dado por x 7→ t2, y 7→ t3, por lo que la imagen de f∗ es la R-algebra generadapor t2, t3, i.e., R[t2, t3] que no es todo R[t].

Este ejemplo nos sirve tambien para notar que a pesar de que f es una aplicacionpolinomial biyectiva, su inversa no es polinomial. De hecho, su inversa g : C→ A1

Resta dada por:

(x, y) 7→

{0 si x = y = 0,y/x si x 6= 0

que no es polinomial.

Ejemplo 20. Si C = V(y − x2) ⊆ A2K es la parabola afın:


C ⊆ A2K

π

A1K

?

la proyeccion π : C → A1K en la primera coordenada: π(x, y) = x es polinomial

y su inversa es la parametrizacion de la parabola ϕ : A1K → C ⊆ A2

K dada porϕ(t) = (t, t2). Claramente ϕ es polinomial y es inversa de π. El hecho de que ϕes un isomorfismo tambien puede verse algebraicamente ya que el morfismo queinduce en los anillos de coordenadas ϕ∗ : K[C] → K[A1

K ] esta dado mediantex 7→ t donde K[C] = K[x, y]/〈y − x2〉 ' K[x] y K[A1

K ] ' K[t].

El campo de funciones. Si V ⊆ AnK es una variedad afın (i.e., es un subconjun-to algebraico afın irreducible), sabemos que el anillo de coordenadas K[V ] es undominio entero (por 1.12). Su campo de fracciones se llama el campo de funcionesde la variedad V y se denota por K(V ). Los elementos de K(V ) se conocen comofunciones racionales en V . Por definicion, los elementos de K(V ) son cocientesg/h con g, h ∈ K[V ] y h 6= 0. Note que, en general, el cociente g/h no es unafuncion en todo V porque h puede tener ceros en V .

Una funcion racional f ∈ K(V ) se dice que es regular en un punto P ∈ V siexiste una expresion f = g/h con g, h ∈ K[V ] y con h(P ) 6= 0. Diremos que fes regular en U ⊆ V si lo es en todos los puntos de U . No esta de mas observarque el anillo K[V ] no es un DFU en general, por lo que las expresiones f = g/hno son unicas. Note que si P ∈ V es un punto regular de una funcion racionalf ∈ K(V ), entonces se puede definir el valor de f en P escribiendo f = g/hcon g, h ∈ K[V ] y h(P ) 6= 0 por lo que este valor es f(P ) = g(P )/h(P ) ∈ K.Es claro que este valor f(P ) no depende de la expresion de f como g/h porque sig′/h′ es otra tal expresion entonces f = g/h = g′/h′ implica que gh′ = g′h y porlo tanto g(P )h′(P ) = g′(P )h(P ) por lo que g(P )/h(P ) = g′(P )/h′(P ). Se sigueque f ∈ K(V ) define una (verdadera) funcion de un subconjunto dom f de V enK dado por

dom(f) = {P ∈ V : f es regular en P}.PROPOSICION 1.29. Sean V ⊆ AnK una variedad afın y f ∈ K(V ).

(1) dom f es abierto y denso en la topologıa de Zariski.

(2) Si K es algebraicamente cerrado, entonces

dom f = V ⇔ f ∈ K[V ].


Es decir, f es regular1 en todo V si y solo si f es polinomial en V .

Demostracion. (1): Como f ∈ K(V ), entonces f = g/h con g, h ∈ K[V ] y h 6= 0.Ası, hf ∈ K[V ]. Se define el ideal de denominadores de f como

If := {h ∈ K[V ] : hf ∈ K[V ]} ⊆ K[V ]

i.e., el conjunto de elementos h ∈ K[V ] tales que existe una expresion f = g/hunion {0} (ya que el elemento 0 no se puede poner en un cociente como denomina-dor). Claramente If es un ideal de K[V ] y observe ahora que

V − dom f = {P ∈ V : h(P ) = 0 para todo h ∈ If} = V(If )

y por lo tanto V − dom f es un subconjunto algebraico afın contenido en V (al quese llama el conjunto de polos de f ). Se sigue que dom f = V − V(If ) es abierto ydom f 6= ∅. Como V es irreducible, por 1.6(3) se sigue que dom f es denso en V .

(2): De la igualdad dom f = V − V(If ) se sigue que

dom f = V ⇔ V(If ) = ∅ ⇔ If = K[V ]⇔ 1 ∈ If ⇔ f ∈ K[V ],

la segunda implicacion por el teorema de los ceros de Hilbert ya que K es algebrai-camente cerrado. �

El conjunto de funciones regulares en un punto P ∈ V

OV,P = {f ∈ K(V ) : f es regular en P}

es claramente un subanillo de K(V ) porque la suma y producto de funciones regu-lares en P es regular en P .

PROPOSICION 1.30. OV,P es un anillo noetheriano local.

Demostracion. Si f ∈ OV,P hemos definido el valor de f en P escribiendo f = g/hcon h(P ) 6= 0 y luego poniendo f(P ) := g(P )/h(P ). Hemos ası definido unmorfismo de evaluacion OV,P → K y su nucleo

mP := {ϕ ∈ OV,P : ϕ(P ) = 0}

es un ideal de OV,P que satisface que

OV,P /mP ' K

por lo que mP es un ideal maximo. Finalmente, observe que un elemento u ∈ OV,Pes una unidad si y solo si u(P ) 6= 0 y por lo tanto

mP = {no unidades de OV,P }

1En la notacion que se introduce despues de la demostracion, la parte (2) dice que OV = K[V ].Compare lo anterior con el caso proyectivo 2.13 (1).


y consecuentemente mP es el unico ideal maximo de OV,P por lo que OV,P es unanillo local al que se conoce como el anillo local de V en P . La demostracion deque OV,P es noetheriano la dejamos para el ejercicio 42. �

Si U ⊆ V es un abierto y si denotamos con OU al conjunto de funciones regu-lares en todo U , entonces

OU =⋂P∈U

OV,P

es un subanillo de K(V ) que contiene a K, considerando a sus elementos comofunciones constantes en U . Si U = ∅, por definicion pondremos O∅ = 0, el anillocero. Note que 1.30 (2) (vea tambien la nota (1) al pie de pagina) dice que

OV = K[V ].

PROPOSICION 1.31. Si V es una variedad afın y U ⊆ V es un abierto, una funcionf ∈ K(V ) regular en U es continua, en la topologıa de Zariski, si la vemos comof : U → K e identificamos K = A1

K .

Demostracion. Debemos mostrar que la imagen inversa f−1(T ) de cualquier cerra-do T ⊆ K es cerrado enU . Ahora, como los cerrados deK = A1

K son los conjuntosfinitos de puntos (por el ejemplo 1) es suficiente probar que la imagen inversa de unpunto f−1(a) = {P ∈ U : f(P ) = a} es cerrado en U , i.e., debemos probar quef−1(a) ∩ U es cerrado. Para hacer esto, note que como f es regular en U existenpolinomios g, h ∈ K[V ], con h 6= 0 en U , tales que f(P ) = g(P )/h(P ). Entonces,

f−1(a) ∩ U = {P ∈ U : a = f(P ) = g(P )/h(P )}

y como

a = g(P )/h(P )⇔ g(P )− ah(P ) = 0⇔ (g − ah)(P ) = 0

entoncesf−1(a) ∩ U = V(g − ah) ∩ U

el cual es cerrado porque V(g − ah) lo es. �

COROLARIO 1.32 (Teorema de la identidad). 2 Si, f, g : V → K son dos funcionesregulares en una variedad afın V ⊆ AnK , y si f = g en un abierto no vacıo U ⊆ V ,entonces f = g en todo V .

Demostracion. El conjunto T de puntos donde f − g = 0 es cerrado porque es laimagen inversa del 0 ∈ K y f − g es continua por la proposicion anterior. Por otraparte, f − g = 0 en el abierto U por hipotesis, i.e., U ⊆ T . Como V es irreducible,por (1.5) (3) se sigue que V = U ⊆ T y ası T = V , como se querıa. �

2Extension de identidades algebraicas.


Aplicaciones racionales. Si V ⊆ AmK es una variedad afın, una aplicacion racionalf : V 99K AnK es una funcion definida (en un subconjunto de V ) por funcionesracionales f1, . . . , fn, es decir, para todo P ∈

⋂dom fi,

f(P ) = (f1(P ), . . . , fn(P )).

Ponemos entonces dom f :=⋂

dom fi. Si P ∈ dom f tambien se dice que f esregular en P .

Si V ⊆ Am y W ⊆ An son variedades afines, una aplicacion racional entrevariedades afines

f : V 99KWes una aplicacion racional f : V 99K AnK tal que f(dom f) ⊆W .

Ejemplo 21. La parametrizacion del cırculo unitario f : A1R 99K V(x2 + y2 − 1)

dada por f(t) = (2t/(t2 + 1), (t2 − 1)/(t2 + 1)) es una aplicacion racional. Porotra parte, la inversa de la parametrizacion anterior, t = x/(1 − y), que es unaaplicacion racional g : V(x2 + y2 − 1) 99K A1

R definida por g(x, y) := x/(1− y),no esta definida en y = 1:

-f

A1R C

Composicion de aplicaciones racionales dominantes. En general, la composicionde dos aplicaciones racionales f : V 99K W y g : W 99K U puede no estardefinida, ya que no siendo funciones realmente, el dominio de la composicion quenaturalmente es dom f ∩ f−1(dom g) bien pudiera ser vacıo. Un ejemplo dondeesto sucede es el siguiente:

Ejemplo 22. Si f : A1 → A2 esta dada por f(x) = (x, 0) y g : A2 99K A1 es lafuncion racional g(x, y) = x/y, entonces dom g = {(x, y) ∈ A2 : y 6= 0} queclaramente no esta en la imagen de f y por lo tanto

dom f ∩ f−1(dom g) = ∅.Para remediar lo anterior se consideran aplicaciones racionales f : V 99K W

que sean dominantes, es decir, tales que f(dom f) ⊆ W sea densa en la topologıa


de Zariski. Note ahora que si f : V 99KW es dominante, para cualquier aplicacionracional g : W 99K U se tiene que f−1(dom g) ⊆ dom f es un abierto denso yası la composicion g ◦ f esta definida en un abierto denso de V y por lo tanto es unaaplicacion racional

g ◦ f : V 99K U.Aplicaciones biracionales. Habiendo relajado la nocion de aplicacion regular opolinomial entre variedades afines a la nocion de aplicacion racional entre ellas,el concepto de isomorfismo se relaja tambien. Una aplicacion racional dominanteentre variedades afines f : V 99K W es una equivalencia biracional si existe g :W 99K V racional y dominante que es inversa de f . Esto quiere decir, que lascomposiciones (que se pueden hacer porque ambas f y g son dominantes) f ◦g y g◦f son la identidad en los dominios correspondientes. El teorema 1.28 se generalizaen este contexto:

TEOREMA 1.33. (1) Una aplicacion racional dominante f : V 99K W induce unK-monomorfismo (extension) de campos f∗ : K(W )→ K(V ).

(2) Recıprocamente, todo K-morfismo ϕ : K(W ) → K(V ) proviene de una unicaaplicacion racional dominante f : V 99KW .

(3) Si f, g son dominantes, entonces (g ◦ f)∗ = f∗ ◦ g∗.(4) Una aplicacion racional dominante f : V 99K W es una equivalencia biracio-nal si y solo si f∗ : K(W )→ K(V ) es un isomorfismo de K-extensiones.

�

Morfismos entre variedades casi-afines. Como las variedades casi-afines son abier-tos de subconjuntos afines, en general, no estan dadas por ceros de ideales de polino-mios. Es por esto que los morfismos entre ellas no es natural que sean aplicacionespolinomiales y ası, lo mejor es que estos morfismos sean aplicaciones racionales.Formalmente, si U,U ′ son variedades casi-afines e irreducibles, contenidas en va-riedades algebraicas afines V, V ′, respectivamente, entonces:

(i) Un morfismo f : U → V ′ es una aplicacion racional f : V 99K V ′ tal queU ⊆ dom f , es decir, f es regular en todo U .

(ii) Un morfismo de variedades casi-afines f : U → U ′ es un morfismo f :U → V ′ tal que f(U) ⊆ U ′.

(iii) Un isomorfismo de variedades casi-afines f : U → U ′ es un morfismo quetiene un inverso g : U ′ → U que es morfismo de variedades casi-afines.

Ejemplo 23. En el ejemplo 19 vimos que la parametrizacion de la parabola semicubi-ca f : A1

K → V(y2−x3) ⊆ A2K dada por f(t) = (t2, t3) no es un isomorfismo, a pe-

sar de que es biyectiva, y su inversa es la aplicacion racional g : V(y2−x3) 99K A1K

definida como 0 en (0, 0) y como y/x si x 6= 0.


Note ahora que considerando las variedades casi-afinesA1k−{0} y V(y2−x3)−

{(0, 0)}, se tiene que f : A1K − {0} → V(y2 − x3) − {(0, 0)} es un isomorfismo.

Por el teorema 1.33 se sigue que los campos de funciones correspondientes sonisomorfos f∗ : K(V(y2 − x3))→ K(A1

K) = K[t] donde f∗(x/y) = t.

EjerciciosEJERCICIO 34. Sea V ⊆ AnK una variedad algebraica y sea F(V,K) el conjuntode todas las funciones de V a K. Con las operaciones definidas usando las de K sesigue que F(V,K) es un anillo conmutativo con uno que contiene a K visto comofunciones constantes. Una funcion f ∈ F(V,K) se dice que es polinomial si existeun polinomio F ∈ K[x1, . . . , xn] tal que f(a1, . . . , an) = F (a1, . . . , an) para to-dos los puntos (a1, . . . , an) ∈ V . Muestre que la familia de funciones polinomialesforma un subanillo de F(V,K) y que contiene a K. Demuestre que la funcion

K[x1, . . . , xn]→ F(V,K)

que restringe un polinomio F a una funcion polinomial F |V : V → K es unmorfismo de anillos cuyo nucleo es el ideal asociado a la variedad V , i.e., I(V ).Concluya que el anillo de coordenadas K[V ] es isomorfo al anillo de funcionespolinomiales en V .

EJERCICIO 35. Sea V ⊆ AnK una variedad afın. Para cada abierto U ⊆ V , sea OUel anillo de funciones regulares en U . Demuestre:

Cada OU es una K-algebra.Si U ′ ⊆ U son abiertos no vacıos de V , entonces para todo s ∈ OU larestriccion s 7→ s|U ′ es regular en U ′. Se tiene ası una funcion

resUU ′ : OU → OU ′

dada por s 7→ s|U ′ . Si U ′ = ∅ se define resU∅ = 0. Demuestre que estasfunciones son morfismos de K-algebras.Si U ′′ ⊆ U ′ ⊆ U son abiertos, demuestre que

resU′

U ′′ ◦ resUU ′ = resUU ′′ .

Si U ⊆ V es abierto, entonces resUU = idOU.

EJERCICIO 36. Si U ⊆ V es abierto y si U =⋃i∈Λ Ui, con los Ui abiertos para

cada i ∈ Λ y si se tiene un si ∈ OUi para cada i y estas satisfacen la ((condicion decompatibilidad)) de que para todos los pares i, j

resUiUi∩Uj

(si) = resUj

Ui∩Uj(sj)

EJERCICIOS 35

i.e., sus restricciones a Ui ∩ Uj son iguales, demuestre que existe un unico s ∈ OUtal que

resUUi(s) = si para todo i ∈ Λ.

EJERCICIO 37. Este ejercicio continua explorando las propiedades de la base D(f)de abiertos de la topologıa de Zariski de una variedad afın V (vea el ejercicio 13).

Si f ∈ K[V ], demuestre queOD(f) ' K[V ]f es la localizacion del anillo K[V ] con respecto al sub-conjunto multiplicativo Sf := {fn : n ≥ 0}.D(f) es isomorfo a una variedad afın. Este es un ejemplo de una variedadcasi-afın que es isomorfa a una variedad afın. Sugerencia: use el incisoanterior.V = D(1).Concluya que OV ' K[V ]. Sugerencia: vea el inciso anterior.

EJERCICIO 38. Si V ⊆ AnK es una variedad afın, demuestre que si para cada puntoP ∈ V denotamos con mP ⊆ K[V ] al subconjunto de funciones regulares que seanulan en P , entonces mP es un ideal maximo de K[V ] y la funcion P 7→ mP esuna biyeccion entre los puntos de V y los ideales maximos de K[V ].

EJERCICIO 39. Si f : V 99K W es una aplicacion racional demuestre que la pre-composicion con f induce un morfismo de K-algebras

f∗ : K[W ]→ K(V ).

Demuestre que si el nucleo ker f∗ no es trivial, entonces f∗ no se puede exten-der en forma natural al campo K(W ), i.e., tal que el diagrama siguiente conmute,donde la flecha vertical es el monomorfismo canonico de un dominio entero a sucampo de fracciones:

K[W ]��

��

f∗ // K(V )

K(W )f∗

::

i.e., con f∗ : K(W ) //K(V ) dada por f∗(g/h) = f∗(g)/f∗(h).

EJERCICIO 40. Demuestre que f : V 99K W es dominante si y solo si f∗ :K[W ]→ K(V ) es inyectiva.

EJERCICIO 41. Siguiendo la demostracion de 1.28 provea los detalles de la demos-tracion de 1.33.

EJERCICIO 42. En 1.30 demuestre que OV,P es noetheriano.


EJERCICIO 43. Si f ∈ K(V ) es una funcion racional en una variedad afın V ,demuestre que la funcion f : dom f → K que induce determina a la funcionracional f ∈ K(V ).

EJERCICIO 44. Si V es una variedad afın y P ∈ V , demuestre que existe una biyec-cion natural entre el conjunto de ideales primos de OV,P y las subvariedades (veael ejercicio 16 de §1.1) de V que pasan (contienen a) por P . Sugerencia: Observeprimero que hay una inclusion K[V ] ↪→ OV,P y ası para todo primo p ⊆ OV,P surestriccion p∩K[V ] es un primo de K[V ] y que p esta generado por p∩K[V ]. Useentonces la correspondencia del ejercicio 16 de §1.1.

EJERCICIO 45. Si f : V →W es una aplicacion polinomial entre variedades afines,decimos que es una inmersion cerrada si la imagen f(V ) ⊆ W es un subconjuntocerrado y la restriccion f : V → f(V ) ⊆ W es un isomorfismo de variedadesafines. Demuestre que f : V → W es una inmersion cerrada si y solo si el K-morfismo f∗ : K[W ]→ K[V ] es suprayectivo.

EJERCICIO 46. Si f ∈ K(V ) es una funcion racional, demuestre que dom f ⊇D(h) si y solo si f ∈ K[V ]h.

EJERCICIO 47. Si V es una variedad afın, demuestre que OV,P = S−1K[V ], dondeS = K[V ] − mP , con mP = {f ∈ K[V ] : f(P ) = 0}. Sugerencia: muestreprimero que mP es el ideal maximo del anillo local OV,P .

EJERCICIO 48. Muestre que la hiperbola C = V(xy − 1) ⊆ A2C no es isomorfa a

A1C.

EJERCICIO 49. Sea V ⊆ AnK una variedad afın y sea f ∈ K[V ]. Defina la graficade f como Γ = {(P, f(P )) ∈ An+1

K : P ∈ V }.(i) Muestre que Γ ⊆ An+1

K es una variedad afın.(ii) Muestre que la funcion ϕ : V → Γ dada mediante ϕ(P ) = (P, f(P )) es

un isomorfismo.

EJERCICIO 50. Sea V = V(xz − y2, yz − x3, z2 − x2y) ⊆ A3C.

(i) Muestre que V ⊆ A3C es una variedad afın.

(ii) Defina una aplicacion polinomial suprayectiva ϕ : A1C → V . ¿Es un iso-

morfismo?

EJERCICIO 51. Sea f : V → W una aplicacion polinomial suprayectiva entrevariedades afines.

(i) SiW ′ ⊆W es un subconjunto algebraico afın, demuestre que f−1(W ′) ⊆V es afın.

(ii) Si f−1(W ′) es irreducible, demuestre que W ′ tambien lo es.

EJERCICIOS 37

EJERCICIO 52. Producto de variedades afines. Para comenzar, observe que setiene un homeomorfismo obvio

AmK × AnK∼→ Am+n

K

dado por((x1, . . . , xm), (y1, . . . , yn)

)7→ (x1, . . . , xm, y1, . . . , yn). Ahora, si V ⊆

AmK y W ⊆ AnK son dos variedades afines, se define su producto V ×W ⊆ AmK ×AnK ' Am+n

K como la variedad algebraica cuyo ideal esta generado por I(V ) eI(W ) en K[x1, . . . , xm, y1, . . . , yn]. Demuestre que su anillo de coordenadas afınes

K[V ×W ] ' K[V ]⊗K K[W ].

Capıtulo2Variedades proyectivas

Se sabe que la geometrıa se vuelve ((mas facil)) si uno anade ((puntos al infinito))

al plano afın para ((completarlo)), de tal forma que uno pueda decir, por ejemplo,que dos rectas en el plano siempre se intersectan en un punto (lo cual no sucede enel plano afın, si las rectas son paralelas distintas). En el espacio afın, en general,la interseccion de objetos, por ejemplo curvas, siempre tiene excepciones como lamencionada anteriormente. Otro ejemplo es el de una hiperbola y una recta: enel plano afın se cortan en dos puntos o uno (si la recta es tangente, digamos enun vertice), excepto cuando la recta es una asıntota de la hiperbola En el planoproyectivo, como veremos mas adelante, no hay tales excepciones, de tal forma queel teorema de Bezout tiene una formulacion sencilla, como tambien veremos masadelante. Esta, esencialmente, es la idea para la introduccion del espacio proyectivo,cuya definicion es como sigue.

2.1. El espacio proyectivo

En el espacio afın An+1K − {0} considere la relacion (que es de equivalencia):

P ∼ Q si y solo si existe un escalar no nulo λ ∈ K∗ tal que P = λQ. Se defineentonces el espacio proyectivo de dimension n como:

Pn = PnK = Pn(K) :=(An+1K − {0}

)/ ∼

(aquı, el punto que estamos quitando, 0 ∈ An+1K , es el punto cuyas coordena-

das son todas cero). Ası, los puntos de PnK son clases de equivalencia de puntos(x0, x1, . . . , xn) ∈ An+1

K con alguna xi 6= 0; a estas clases de equivalencia lasdenotaremos por P = [x0, . . . , xn] y decimos que las xi son las coordenadas pro-yectivas u homogeneas del punto P . Note que estas coordenadas solo estan definidassalvo un factor escalar no cero,1 ya que

(x0, . . . , xn) ∼ (yo, . . . , yn)⇔ xi = λyi para algun λ ∈ K∗.1Note que lo que sı esta determinado es el hecho de que una coordenada proyectiva xi sea o no

cero. Ahora, si xi 6= 0, entonces las razones xj/xi estan bien definidas, ya que tanto xj como xi solocambian por multiplos escalares λ 6= 0. En ocasiones se usa la notacion [a0 : · · · : an] para recordarlo anterior.

39

40 2. VARIEDADES PROYECTIVAS

Este hecho es el que impide el poder definir en PnK los ceros de un polinomio ar-bitrario evaluando el polinomio dado en las coordenadas proyectivas del punto, porejemplo para el polinomio f(x, y) = 4 + 2x − y2 en C[x, y], si queremos definirsus ceros en P1

C, observamos que el punto (6, 4) ∈ A2C es tal que f(6, 4) = 0, sin

embargo no se tiene que el punto, con coordenadas proyectivas ahora, [6, 4] ∈ P1C

sea cero de f(x, y) ya que aunque (6, 4) ∼ (3, 2), se tiene que f(3, 2) 6= 0. Lasolucion a este problema es considerar solamente polinomios homogeneos, es decir,polinomios f(x0, . . . , xn) ∈ K[x0, . . . , xn] tales que para toda λ ∈ K∗ se tiene que

f(λx0, . . . , λxn) = λkf(x0, . . . , xn)

(en este caso decimos que f es un polinomio homogeneo de grado k). Ası, un po-linomio homogeneo de grado cero es una constante (no cero; al polinomio cerono le asignamos grado); un polinomio homogeneo de grado 1 es un polinomio sintermino constante y en el cual todos sus monomios son de grado 1; un polinomiohomogeneo cuadratico es un polinomio en el cual todos sus monomios son de grado2; etcetera. Observe ahora que si f es un polinomio homogeneo en K[x0, . . . , xn],entonces para todo (a0, . . . , an) ∈ An+1

K y para todo λ ∈ K∗,f(x0, . . . , an) = 0⇔ f(λa0, . . . , λan) = 0.

Por lo tanto podemos definir los ceros en PnK de un polinomio homogeneo, y con-secuentemente podemos definir conjuntos algebraicos proyectivos, cuidando queusemos solo polinomios homogeneos: si E ⊆ K[x0, . . . , xn] es un subconjuntoformado por polinomios homogeneos, el conjunto de ceros comunes de los polino-mios de E

V(E) = {[a0, . . . , an] ∈ PnK : f [a0, . . . , an] = 0 para todos los f ∈ E}se llama un conjunto algebraico proyectivo. Siguiendo el ejemplo del caso afın, ve-remos que basta considerar el caso cuando I = 〈E〉 es el ideal generado por elconjunto E y necesitaremos la nocion de ideal homogeneo. Para comenzar, note-mos que dado un polinomio arbitrario en f ∈ K[x0, . . . , xn], lo podemos separaren sus componentes homogeneas (polinomios homogeneos con el mismo grado)simplemente agrupando sus monomios del mismo grado:

f = f0 + f1 + · · ·+ fm

donde cada fi es homogeneo de grado di. Entonces, si denotamos mediante Ad =Kd[x0, . . . , xn] ⊆ K[x0, . . . , xn] al subconjunto de polinomios de grado d, al quele unimos el polinomio cero, es claro que:

(1) Cada Ad es un subespacio vectorial de la K-algebra K[x0, . . . , xn].(2) Ad ∩Ae = {0} para d 6= e.(3) Ad ·Ae ⊆ Ad+e.(4) K[x0, . . . , xn] =

⊕d≥0

Ad (suma directa de subespacios vectoriales).

2.1. EL ESPACIO PROYECTIVO 41

Se dice entonces que K[x0, . . . , xn] es una K-algebra graduada.

LEMA 2.1. Si I ⊆ K[x0, . . . , xn] es un ideal, son equivalentes:

(1) I esta generado por polinomios homogeneos.

(2) Si f ∈ I y f = f0 + f1 + · · ·+ fr, con los fi polinomios homogeneos, entoncesfi ∈ I para todo i.

Demostracion. (2) ⇒ (1) es claro porque descomponiendo a f ∈ I en sus compo-nentes homogeneas, (2) dice que estas componentes estan en I y por lo tanto f escombinacion lineal de polinomios homogeneos que estan en I .(1) ⇒ (2): Si I = 〈E〉 con E ⊆ K[x0, . . . , xn] una coleccion de polinomioshomogeneos y f ∈ I lo descomponemos como f = f1 + · · · + fr con los fihomogeneos de grado i, por induccion sobre r mostraremos que fi ∈ I . Para co-menzar, si r = 1, entonces f1 = f ∈ I . Supongamos ahora valido para ≤ r − 1.Mostraremos que fr ∈ I . En efecto, por hipotesis f = g1h1 + · · · + gshs con loshi ∈ E homogeneos de grado di. Agrupando los terminos de mayor grado en laexpresion anterior se tiene que

fr =∑i

ui,r−dihi ∈ I (porque los hi ∈ I).

�Un ideal I de K[x0, . . . , xn] se dice que es un ideal homogeneo si satisface las

condiciones equivalentes del lema anterior.

Si I ⊆ K[x0, . . . , xn] es un ideal homogeneo, considerando unicamente lospolinomios homogeneos contenidos en I se define

V(I) = {[a0, . . . , an] ∈ Pn : f [a0, . . . , an] = 0 para todos los f ∈ I homogeneos}

y se tiene que si E ⊆ K[x0, . . . , xn] es un subconjunto de polinomios homogeneose I = 〈E〉 es el ideal homogeneo asociado, entonces

V(E) = V(I).

Observamos ahora que, como el anillo de polinomios es Noetheriano, existe unconjunto finito de polinomios homogeneos f1, . . ., fr en I tal que

V(I) = V(f1) ∩ · · · ∩ V(fr).

El analogo a 1.1 es:

LEMA 2.2. Sea K un campo. Entonces,

(1) Pn y ∅ son conjuntos algebraicos proyectivos.

(2) Si V1, . . . , Vk son conjuntos algebraicos proyectivos, entonces V1 ∪ · · · ∪ Vktambien lo es.


(3) Si {Vi} es una familia arbitraria de conjuntos algebraicos proyectivos, entonces⋂i Vi tambien lo es.

(4) Si I1 ⊆ I2 son ideales homogeneos de K[x1, . . . , xn], entonces V(I1) ⊇ V(I2).

Demostracion. Solo observamos que si I, J ⊆ K[x0, . . . , xn] son ideales homoge-neos, entonces IJ , I ∩ J , I + J tambien son homogeneos, y en general, si {Ij} sonhomogeneos, entonces

∑Ij tambien lo es. Todo esto es parte del ejercicio 1. �

NOTA. De nuevo, las partes 1, 2, 3 del lema nos dicen que los conjuntos algebraicosproyectivos son los cerrados para una topologıa en PnK , a la que se conoce como latopologıa de Zariski.

Se tiene tambien la construccion recıproca, dado un subconjunto X de PnK sele asocia el ideal homogeneo I(X) generado por los polinonios homogeneos f ∈K[x0, . . . , xn] tales que f(P ) = 0 para todo P ∈ X . El analogo a 1.2 y 1.3 es:

LEMA 2.3. Sea K un campo. Entonces,

(1) Si X1 ⊆ X2 son subconjuntos de PnK , entonces I(X1) ⊇ I(X2).

(2) Si V es un subconjunto de PnK , entonces V(I(V )) = V .

(3) Si K es un campo infinito, entonces I(PnK) = 0. .

Demostracion. Solo observamos que en la parte 2, V quiere decir cerradura en latopologıa de Zariski de PnK . �

El cono afın de un conjunto proyectivo. Si V ⊆ PnK es un conjunto proyectivo,el conjunto de los puntos (a0, . . . , an) ∈ An+1

K que ocurren como coordenadashomogeneas de un punto de V , junto con el origen 0 = (0, . . . , 0) ∈ An+1

K , sellama el cono afın de V y se denota por V a. Ası, si V = V(f1, . . . , fm) ⊆ PnK conlos fj ∈ K[x0, . . . , xn] polinomios homogeneos, entonces V a = V(f1, . . . , fm) ⊆An+1K (sin identificar los puntos con la relacion de equivalencia que define el espacio

proyectivo). En otras palabras, si π : An+1K − {0} → PnK es la funcion que manda

un punto (a0, . . . , an) a su clase [a0, . . . , an] y si I $ K[x0, . . . , xn] es un idealhomogeneo propio y V = V(I) ⊆ PnK , entonces su cono afın es

V a = π−1(V ) ∪ {0}.

Observe que como los fj son homogeneos, para cada punto P ∈ V a con P 6= 0,la recta que pasa por P y el origen 0 esta totalmente incluida en V a ya que los puntosde esta recta son de la forma tP con t ∈ K y como fj(tP ) = tdfj(P ), porque fjes homogeneo de grado digamos d, entonces fj(P ) = 0 implica que fj(tP ) = 0.El nombre de cono viene de esta propiedad y la figura siguiente ilustra lo anterior:


Observe ahora que si C ⊆ An+1K es un cono con vertice en el origen, i.e.,

junto con cada punto P ∈ C se tiene que C contiene a la recta que pasa por Py el origen, entonces I(C) es un ideal homogeneo de K[x0, . . . , xn]. En efecto, sif ∈ I(C), como f(λP ) = 0 para todo P = (a0, . . . , an) ∈ C y todo λ ∈ K, ysi f = f0 + · · · + fr es una descomposicion de f en componentes homogeneas,entonces ∑

i

fi(a0, . . . , an)λi = f(λa0, . . . , λan) = 0

para un numero infinito de λ’s (ya que K es infinito porque es algebraicamentecerrado) y por lo tanto

∑i fi(a0, . . . , an)xi ∈ K[x] es el polinomio cero y ası sus

coeficientes son cero fi(a0, . . . , an) = 0 para todo i, i.e., para todo P ∈ C se tieneque fi(P ) = 0 y por lo tanto fi ∈ I(C), para todo i, es decir, f es homogeneo.

PROPOSICION 2.4. SiK es algebraicamente cerrado, la correspondencia V 7→ V a

es una biyeccion entre la familia de subconjuntos proyectivos de PnK y los conosafines en An+1

K .

Demostracion. Directo, ya que un cono afın con vertice en el origen es, como vimosarriba, un conjunto afın C ⊆ An+1

K definido por polinomios homogeneos y por lotanto el conjunto de ceros en PnK de estos polinomios es un conjunto proyectivo Vcuyo cono afın es C. �

El ideal irrelevante. Para K[x0, . . . , xn] = 〈1〉 que es homogeneo porque esta ge-nerado por el polinomio constante 1 que es homogeneo de grado cero, como en elcaso afın, es claro que V(1) = ∅. Observemos ahora que si

A+ = 〈x0, . . . , xn〉es el ideal de polinomios sin termino constante, i.e., de grado > 0, este ideal eshomogeneo porque esta generado por los xj que son polinomios homogeneos, ycomo el ideal propio A+ tiene como unico cero en An+1

K al punto 0 = (0, . . . , 0)


entonces V(A+) = ∅ en PnK . Por otra parte, observe que si I $ K[x0, . . . , xn] esun ideal homogeneo propio, entonces I ⊆ A+.

Podemos ahora formular y probar el teorema de los ceros de Hilbert en versionhomogenea o proyectiva:

TEOREMA 2.5 (Version proyectiva del teorema de los ceros). Sea K un campoalgebraicamente cerrado y sea I ⊆ K[x0, . . . , xn] un ideal homogeneo. Entonces,

(1) V(I) = ∅ si y solo si√I ⊇ A+.

(2) Si V(I) 6= ∅, entonces I(V(I)) =√I .

Demostracion. Para (1),

V(I) = ∅ ⇔ Va(I) ⊆ {0}⇔ Va(I) = ∅ o Va(I) = {0}

⇔√I = 〈1〉 o

√I = A+ (por el teorema de los ceros afın)

⇔√I ⊇ A+

Para (2), si V(I) 6= ∅, entonces

f ∈ IV(I)⇔ f ∈ I(Va(I)) (∗)⇔ fm ∈ I para algun m, (por el teorema de los ceros afın)

⇔ f ∈√I.

En (∗) usamos que si f = f1 + · · ·+ fm es la descomposicion de f en sus compo-nentes homogeneas, entonces

f(λP ) = 0 para todo λ ∈ K∗ ⇔ fi(P ) = 0 para todo i

lo cual se sigue del hecho de que K tiene un numero infinito de elementos, comoobservamos antes de 2.4. �

Por el teorema de los ceros de Hilbert anterior, para un ideal homogeneo I ⊆A = K[x0, . . . , xn] se tiene que V(I) = ∅ si y solo si

√I = A o A+. Ası, el

ideal A+ es una excepcion a lo que podrıamos esperar como una correspondenciabiunıvoca (como la del teorema 1.4 para conjuntos afines) y ası se suele eliminarpara que las cosas funcionen bien. Las partes 4, 6, 7, 8 nos dicen que las correspon-dencias

{subconjuntos algebraicos de PnK}I // {ideales radicales homogeneos 6= A+ en A}V

oo

invierten inclusiones y son inversas una de la otra. La correspondencia deseada lada la version homogenea del teorema de los ceros de Hilbert. Note que el ideal A+


no ocurre en la correspondencia anterior y por eso, algunas veces, se le llama elideal irrelevante. Observe que todo ideal homogeneo propio de A esta contenido enA+. Mas aun, juntando la correspondencia anterior con la de 2.4 (que se uso en lademostracion del teorema 2.5), se tienen las correspondencias biyectivas:

{subconjuntos algebraicos de PnK} oo 2.5 // {ideales radicales homogeneos 6= A+ en A}

{conos afines no vacıos en An+1K } qq 1.4

77

��2.4

OO

COROLARIO 2.6. Si K es algebraicamente cerrado, V ⊆ PnK es un conjunto alge-braico proyectivo y V 6= ∅, entonces I(V ) = I(V a).

Demostracion. Si V 6= ∅ es algebraico proyectivo, V = V(I) ⊆ PnK con I =〈f1, . . . , fr〉 donde los fi son homogeneos. Entonces, V a = Va(I) ⊆ An+1

K . Sesigue que

I(V ) = IV(I) =√I = IVa(I) = I(V a)

donde la segunda igualdad es por el teorema de los ceros proyectivo y la terceraigualdad por el teorema de los ceros afın. �

Una variedad algebraica proyectiva o variedad proyectiva es un subconjuntoalgebraico irreducible de algun PnK , con la topologıa inducida. Un abierto de unavariedad proyectiva se llama una variedad casi-proyectiva. Se tienen los analogosde 1.5 y 1.11:

PROPOSICION 2.7. (1) Un conjunto algebraico V ⊆ Pn es irreducible si y solo sisu ideal I(V ) es primo.

(2) Todo conjunto algebraico en PnK se puede escribir, en forma unica, como launion de subconjuntos algebraicos irreducibles que no estan contenidos uno en elotro (a los que se llama sus componentes irreducibles).

�Ejemplo 1. Los puntos son variedades algebraicas proyectivas, ya que, claramentees irreducible y si P = [a0, . . . , an] ∈ PnK , entonces alguna coordenada es no cero,digamos a0 6= 0 y ası podemos asumir que a0 = 1. Se tiene entonces que

V(x1 − a1x0, x2 − a2x0, . . . , xn − anx0) = {P}.

Es importante notar que los ideales correspondientes a puntos no necesariamen-te son maximos, como sucede en el caso afın.

Tambien, PnK es irreducible porque I(PnK) = 0 es un ideal primo homogeneoen K[x0, . . . , xn]. Esto se demuestra como en 1.3.


Cubrientes afines de variedades proyectivas. Mostraremos ahora que el espacioproyectivo PnK tiene una cubierta abierta por espacios afines y luego, como con-secuencia inmediata, mostraremos que toda variedad proyectiva (respectivamente,casi-proyectiva) tiene una cubierta abierta por variedades afines (respectivamente,casi-afines). Para comenzar, considerando los polinomios xi ∈ K[x0, . . . , xn], seaHi = V(xi) el hiperplano definido por xi y sea Ui := PnK − Hi el abierto corres-pondiente. Observe que

Ui = {[a0, . . . , ai, . . . , an] ∈ PnK : ai 6= 0} = {[a0, . . . , 1, . . . , an]}

con 1 en el lugar i, y definamos la funcion ϕi : Ui → AnK mediante

ϕi[a0, . . . , ai, . . . , an] := (a0/ai, . . . , ai/ai, . . . , an/ai)

donde ai 6= 0 y en el lado derecho omitimos a ai/ai. Notamos que ϕi esta biendefinida ya que si [a0, . . . , an] = [b0, . . . , bn] en Ui, entonces ai 6= 0, bi 6= 0 yaj = λbj para 0 ≤ j ≤ n y por lo tanto aj/ai = bj/bi, i.e., es independiente de losrepresentantes de las coordenadas proyectivas.

PROPOSICION 2.8. La funcion ϕi : Ui → AnK es un homeomorfismo, donde Uitiene la topologıa inducida como subespacio de PnK .

Demostracion. La funcion ψi : (a1, . . . , an) 7→ [a1, . . . , 1, . . . , an] (insertando un 1en la coordenada i-esima) es inversa de ϕi y ası esta es biyectiva. Para mostrar quees un homeomorfismo, definamos, como en el caso afın (vea los ejercicios 13 de§1.1 y 37 de §1.3), para f ∈ K[x0, . . . , xn] homogeneo, los abiertos distinguidos

D(f) = PnK − V(f) = {P ∈ PnK : f(P ) 6= 0},

y dejamos como el ejercicio 8 el probar que los D(f) forman una base de la topo-logıa de Zariski en PnK . Con esta notacion note que los Ui = D(xi). Ahora, paramostrar que los ϕi son homeomorfismos, basta hacer esto para el caso i = 0. Enton-ces, para U0 = {[1, a1, . . . , an]} observe que para cualquier polinomio homogeneof ∈ K[x0, . . . , xn] se tiene que

D(f(x0, . . . , xn) ∩ U0 = D(f(1, x1, . . . , xn)) = D(f∗)

donde f∗(x0, x1, . . . , xn) = f(1, x1, . . . , xn) ∈ K[x1, . . . , xn] es la deshomogei-nizacion de f (poniendo x0 = 1). Ademas, para cualquier polinomio (no necesaria-mente homogeneo) f ∈ K[x1, . . . , xn] se tiene que

D(f) = D(f∗) ∩ U0

donde f∗(x0, x1, . . . , xn) = xgr f0 f(x1, . . . , xn) ∈ K[x1, . . . , xn] es la homogei-

nizacion de f . Para las nociones de homogeinizacion y deshomogeinizacion, veala seccion sobre la cerradura proyectiva. Finalmente, note que bajo la biyeccionϕ0 : U0 → AnK dada por ϕ[1, a1, . . . , an] = (a1, . . . , an) los abiertos basicos de


AnK corresponden a intersecciones con U0 con abiertos basicos de PnK . Por lo tantoϕ0 es un homeomorfismo. �

OBSERVACION. Los hiperplanosHi = V(xi) son homeomorfos a Pn−1K mediante la

funcion θi : Hi → Pn−1K dada por θ[a0, . . . , 0, . . . , an] := [a0, . . . , an] (omitiendo

el ai = 0 de la coordenada i-esima) y cuya inversa inserta un 0 en la coordenadai-esima. Ası, para cualquier punto P de PnK , observando si su coordenada i-esimaes cero o no, se tiene que P ∈ Hi ≈ Pn−1

K o P ∈ Ui ≈ AnK . Por la proposicionanterior, se sigue que

PnK = Ui ∪Hi ≈ AnK ∪ Pn−1K

y por lo tantoPnK ≈ AnK ∪ An−1

K ∪ · · · ∪ A1K ∪ A0

K .

En otras palabras, lo que hemos hecho es meter una copia del espacio afın AnKen el espacio proyectivo PnK . Se suele decir que los puntos de AnK ' Ui estan a((distancia finita)) y que los puntos del hiperplano Hi ' Pn−1

K ((estan en el infinito))

o que son ((puntos al infinito)) y se dice que Hi es un hiperplano al infinito. Porsupuesto que la nocion de estar o no en el ((infinito)) depende de la eleccion delhiperplano Hi ya que escogiendo otra coordenada xj para definir Hj los puntos dePnK pueder ser vistos o no en el infinito correspondiente aHi. Es decir, en el espacioproyectivo PnK no hay distincion entre sus puntos, la nocion de ((puntos al infinito))

es un concepto afın.

COROLARIO 2.9. Si Y es una variedad proyectiva (respectivamente, casi-proyec-tiva), entonces Y se puede cubrir con los abiertos Y ∩ Ui, 0 ≤ i ≤ n, que sonhomeomorfos a variedades afines (respectivamente, casi-afines) mediante las fun-ciones ϕi de la proposicion anterior.

�

Ejemplo 2. En la recta proyectiva P1K = A2

K−{0}/ ∼, con coordenadas proyectivas[x, y] consideremos el hiperplano H0 = V(x) de tal forma que U0 = P2

K −H0 'A1K . Entonces, el hiperplano al infinito H0 lo conforman los puntos de la forma

[0, y] y notamos que estos son colineales y por lo tanto H0 consiste de un unicopunto∞ = [0, 1]. Por otra parte, A1

K ' U0 = P1K −H0 = P1

K − {∞} consiste delos puntos de la forma [1, y]. Se sigue que

P1K ' A1

K ∪ {∞}

y se suele definir P0K = {∞}.

Ejemplo 3. En el plano proyectivo P2K = A3

K − {0}/ ∼, con coordenadas pro-yectivas [x, y, z], consideremos el hiperplano H3 = V(z) como el hiperplano alinfinito. Ası, los puntos de H3 son de la forma [x, y, 0] los cuales identificamos con


[x, y] ∈ P1K , i.e., H3 ' PK1 . El complemento U3 = P2

K −H3 ' A2K donde indenti-

ficamos los puntos [x, y, 1] ∈ U3 con (x, y) ∈ A2K olvidando la tercera coordenada.

Note ahora que si consideramos a A2K ⊆ A3

K , digamos mediante (x, y) 7→(x, y, 0), entonces P1

K se puede considerar como incluido en P2K . En general, si

` ⊆ A3K es un plano que pasa por el origen (i.e., es un subespacio vectorial deA3

K dedimension 2, sus puntos satisfacen una ecuacion lineal de la forma ax+by+cz = 0,con a, b, c ∈ K no todos cero. Entonces podemos considerar la variedad proyectivaV(ax+ by + cz) ⊆ P2

K . Hay dos casos a considerar:(i) Si a = b = 0, entonces podemos suponer que c = 1 y ası la variedad

correspondiente en P2K es la recta al infinito V(z) = H3 ' P1

K .(ii) Si a 6= 0 o b 6= 0, podemos considerar la restriccion de este plano de

A3K al subespacio afın A2

K ⊆ A3K y usando que A2

K ' U3, identificandolos puntos (x, y) ∈ A2

K con los puntos [x, y, 1] ∈ U3. Por lo tanto, laecuacion del plano, que es de la forma ax + by + c = 1 (porque z = 1)y ası es una recta afın ` en A2

K ' U3 ⊆ P2K . Por otra parte, si ahora

intersectamos este plano afın con la recta al infinito H3 ' P1K , en este

caso los puntos del plano son de la forma [x, y, 0] y satisfacen la ecuacionax + by = 0 (porque z = 0) con a 6= 0 o b 6= 0. Ası, si por ejemplob 6= 0, entonces y = (−1/b)x, es decir, solo hay un unico tal punto, alque podemos suponer que tiene coordenadas [b,−a, 0]. Note ahora queeste punto da la pendiente de la recta afın ax + by + c = 0, es decir,da su direccion. Observe tambien que si `′ es otra recta afın paralela a `,entonces tiene la misma pendiente que ` y ası su ecuacion es de la formaax + by + c′ = 0 y por lo tanto `′ tiene el mismo punto al infinito que `,i.e., rectas paralelas se intersectan al infinito.

En cualquier caso, hemos mostrado que un plano (por el origen) en A3K co-

rresponde a una recta en P2K . Mas aun, las rectas diferentes de la recta al infinito

H3 ' P1K estan en correspondencia biyectiva con las rectas afines y cada una de

estas contiene un unico punto al infinito (i.e., en P1K) correspondiente a su direc-

cion. En general, se tiene que

P1K ≈ A1

K ∪ P0K con P0

K un ((punto al infinito))

P2K ≈ A2

K ∪ P1K con P1

K una ((recta al infinito))

P3K ≈ A3

K ∪ P2K con P2

K un ((plano al infinito))

etcetera,

de tal forma que P1K es la recta afın mas un punto al infinito, el plano proyectivo es

igual al plano afın mas una recta al infinito, etcetera.2

2Podrıa pensarse que el espacio proyectivo PnK se introdujo para traer al descubierto aquellas

cosas misteriosas que sucedıan en ((lo obscurito)), i.e., ((en el infinito)).


Cerradura proyectiva. Para cualquier conjunto algebraico afın V ⊆ AnK , usandoque AnK ⊆ PnK , la cerradura V ⊆ PnK , en la topologıa de PnK , se llama la cerraduraproyectiva de V y los puntos de V − V se llaman los puntos al infinito de V . Si Vesta dada como el conjunto de ceros de los polinomios,

fi(x1, . . . , xn) = 0 1 ≤ i ≤ m,entonces V esta contenida en el conjunto algebraico proyectivo V ∗ dado por lospolinomios homogeneos

f∗i (y0, . . . , yn), 1 ≤ i ≤ m,obtenidos al homogeneizar los fi, usando la funcion β de la demostracion de 2.8,i.e.,

f∗i (y0, . . . , yn) = ygr fi0 fi(y1/y0, . . . , yn/y0).

Recıprocamente, si W ∗ ⊆ PnK es una variedad proyectiva dada por los polino-mios homogeneos

gi(y0, . . . , yn) = 0 1 ≤ i ≤ mentonces Wa := W ∗ ∩ AnK es la variedad afın dada por los polinomios

gi(1, x1, . . . , xn) = 0 1 ≤ i ≤ mobtenidos al deshomogeneizar los g∗i con respecto a y0, usando la funcion α de lademostracion de 2.8.

Antes de ver unos ejemplos de homogeneizacion y deshomogeneizacion, proba-remos un resultado con algunas partes analogas a las afines correspondientes y unaparte que da una correspondencia entre variedades afines y sus cerraduras proyecti-vas:

TEOREMA 2.10. Supongamos que K es algebraicamente cerrado.

(1) Si V es irreducible entonces V lo es.

(2) La correspondencia V 7→ V que asigna a cada conjunto afın V ⊆ AnK sucerradura proyectiva V ⊆ PnK es una biyeccion entre la familia de conjuntos afinesno vacıos en AnK y la familia de conjuntos proyectivos en PnK tales que ninguna desus componentes irreducibles esta contenida totalmente en el hiperplano al infinito.

(3) Si V = V1 ∪ · · · ∪ Vr es la descomposicion de V en componentes irreduci-bles, entonces V = V 1 ∪ · · · ∪ V r es la descomposicion de V en componentesirreducibles.

Demostracion. La parte 1 se sigue de 1.7 ya que la cerradura proyectiva es la cerra-dura en la topologıa de Zariski de PnK .

Para la parte 2, ya tenemos la funcion V 7→ V que asigna a cada conjuntoafın su cerradura proyectiva. Recıprocamente, si W ⊆ PnK es un conjunto pro-yectivo, entonces su deshomogenizacion Wa := W ∩ AnK ⊆ AnK es un conjunto


afın y si W esta dada por los polinomios homogeneos fi(x0, x1, . . . , xn) enton-ces Wa esta dada por los polinomios deshomogenizados fi(1, x1, . . . , xn), diga-mos de grados di. Observe entonces que al homogenizar estos polinomios poniendoxdi

0 f(1, x1, . . . , xn) recuperamos el polinomio fi original. Finalmente, note que siW es (una componente) irreducible que no esta totalmente contenida en el hiper-plano al infinito H0 = V(x0) ⊆ PnK , i.e., si no sucede que x0 = 0 en todo W ,entonces ∅ 6= Wa ⊆ W y como W es irreducible, por 1.3(3) se sigue que Wa esdenso en W y por lo tanto Wa = W . La parte 3 se deja como el ejercicio 7. �

Ejemplo 4. Sea C la parabola afın definida por y − x2 = 0 en A2K :

-

6

V〈y − x2〉

Su ecuacion homogenea yz−x2 = 0 define una variedad (parabola) proyectivaC en P2

K y la funcion [x, y, z] 7→ (x/z, y/z) es un isomorfismo de C ∩ Uz en C,donde Uz = P2

K − Hz = {[x, y, z] : z 6= 0} = {[x, y, 1] ∈ P2K}. Note que

la parabola proyectiva C contiene al punto [0, 1, 0] (ya que este punto satisface laecuacion homogenea yz = x2), obtenido al intersectar con el hiperplano al infinito:C ∩ Hz = V(yz − x2) ∩ V(z) = {[x, y, z] : z = 0, yz = x2 ⇒ x = 0} ={[0, y, 0] = [0, 1, 0]}, que no esta en la parabola afın y = x2. Ası, la parabolaproyectiva tiene un ((punto al infinito)) donde la parabola afın es ((tangente a la rectaal infinito)).

Ejemplo 5. Para la misma variedad proyectiva C = V(yz − x2) anterior, si ahoradeshomogeneizamos haciendo x = 1, i.e., consideramos la interseccion C ∩ Ux =C∩{[x, y, z] : x 6= 0} = C∩{[1, y, z]}, obtenemos la ecuacion afın yz−1 = 0 quees una hiperbola C ′ en A2

K y la funcion [x, y, z] 7→ (y/x, z/x) es un isomorfismode C ∩ {x 6= 0} en C ′.


-

6

V〈yz − 1〉

Notamos ahora que al intersectar la hiperbola proyectiva C con el hiperplano alinfinito P1

K ' Hx, la interseccion

C ∩Hx = V(yz − x2) ∩ V(x) = {[0, y, z] : yz = x2, x = 0⇒ yz = 0}

consiste de los puntos en P2K que satisfacen yz = 0, i.e., puntos de la forma [0, y, 0]

con y 6= 0, o puntos de la forma [0, 0, z] con z 6= 0; es decir, consiste de los ((puntosal infinito)) [0, 1, 0] y [0, 0, 1] que corresponden a las asıntotas de la hiperbola afın(los ejes coordenados Y y Z. Ası, la parabola tiene un unico punto al infinito mien-tras que la hiperbola tiene dos.

Ejemplo 6. Para la misma variedad proyectiva C = V(yz − x2) anterior, si ahoratomamos y+z = 0 como la recta al infinito, i.e.,H = V(y+z) yK = R, haciendoel cambio de coordenadas

x′ = x

y′ = z

z′ = y + z (i.e, y = z′ − y′),

se tiene que

yz − x2 = 0⇔ (z′ − y′)y′ − x′2 = 0⇔ x′2 + y′2 − y′z′ = 0

por lo que V(yz − x2) = V(x′2 + y′2 − y′z′). Entonces, intersectando con el planoafın A2

R ' U = P2R − V(z′), donde z′ 6= 0 en U y ası podemos tomar z′ = 1 para

deshomogeneizar la variedad proyectiva C = V(x′2 + y′2 − y′z′) y ası obtener lacurva afın V(x′2 + y′2− y′) ⊆ A2

R que es un cırculo de centro (0, 1/2) y radio 1/2:


-

6

V〈x′2 + y′2 − y′〉

y notamos que no tiene puntos al infinito ya que la interseccion de C = V(x′2 +y′2 − y′z′) con la recta al infinito P1

R ' H = V(z′) corresponde a x′2 + y′2 = 0cuya unica solucion afın (porque K = R) es el punto (0, 0) y ası, proyectivamentees vacıo:

V(x′2 + y′2 − y′z′) ∩ V(z′) = V(x′2 + y′2) = ∅.

Los ejemplos anteriores, de la misma variedad proyectiva C = V(yz − x2)que al deshomogeneizar da lugar a conicas diferentes en el plano afın, son casosparticulares del ejemplo siguiente:

Ejemplo 7. El polinomio cuadratico en dos variables que define una conica en elplano afın A2

K

q(x, y) = Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F

corresponde al polinomio homogeneo cuadratico en tres variables

Q(x, y, z) = Ax2 +Bxy + Cy2 +Dxz + Eyz + Fz2

y la curva proyectiva que define

V(Q) ⊆ P2K

se llama una conica proyectiva. Observamos que

V(Q) ∩ A2K = V(Q) ∩ Uz = V(q)

es la conica afın q(x, y) = 0. Si K es un campo de caracterıstica diferente de 2, hayuna correspondencia biunıvoca entre formas cuadraticas en 3 variables y matrices3× 3 con entradas en K:

Q(x, y, z) = Ax2 +Bxy+Cy2 +Dxz+Eyz+Fz2 ←→

A B/2 D/2B/2 C E/2D/2 E/2 F

y, usando el proceso de Gram-Schmid, para la forma cuadratica Q existe una basede su dominio tal que Q tiene la forma mas sencilla:

(∗) Q(x, y, z) = ax2 + by2 + cz2


y como la curva proyectiva V(Q) ⊆ P2K que define Q(x, y, z) (a la que se llama

una conica proyectiva) es igual a la curva que define Q(λx, λy, λz), para cualquierλ ∈ K∗, para el caso cuando K = R sabemos que todo real λ es cero o ± uncuadrado, entonces en la forma cuadratica (∗) se pueden tomar a, b, c ∈ {0,±1}.Mas aun, como solo nos interesa su conjunto de ceros V(Q) podemos multiplicartodo por −1 por lo que las posibilidades para el lado derecho de (∗) son:

Q(x, y, z) =

x2 + y2 + z2 si a = b = c = 1x2 + y2 − z2 si a = b = 1, c = −1x2 + y2 si a = b = 1, c = 0x2 − y2 si a = 1, b = −1, c = 0x2 si a = 1, b = c = 0

cuyos conjuntos de ceros V(Q) ⊆ P2R respectivamente son:

V = (x2 + y2 + z2) = el conjunto vacıo

V(x2 + y2 − z2) = una conica no degenerada

V(x2 + y2) = un punto: [0, 0, 1] ∈ P2R

V(x2 − y2) = un par de rectas

V(x2) = una recta doble

Donde solo notamos que para V(x2 + y2) se tiene que z 6= 0 por lo que el punto es[0, 0, λ] = [0, 0, 1].

Mas aun, en el caso de una conica no degenerada observamos que, con el cambiode coordenadas (x, y, z) 7→ (x, (y − z)/2, (y + z)/2), el polinomio que define laconica queda de la forma

x2 +(y − z

2

)2−(y + z

2

)2=

4x2 + y2 − 2yz + z2 − y2 − 2yz − z2

4= x2− yz

por lo queC = V(x2 + y2 − z2) = V(x2 − yz) = V(yz − x2)

es una conica proyectiva no degenerada y es la misma variedad proyectiva de losejemplos 4, 5 y 6. Recordemos ahora que del curso de geometrıa elemental sabe-mos que los casos no degenerados de las conicas afines son: el cırculo, la elipse, laparabola y la hiperbola y ahora, proyectivamente, son un solo caso. Tambien, en elcaso afın se tienen dos instancias cuando la conica degenera a rectas, a saber, dosrectas no paralelas que se cortan en un punto del plano afın o dos rectas paralelasdistintas. Ahora, proyectivamente, estos dos casos son el mismo: las rectas siem-pre se cortan en un punto. Los demas casos (recta doble, un punto o el conjuntovacıo) son los mismos que en el caso afın. En resumen, las conicas afines (usua-les) son propiedades de la unica conica proyectiva; estas propiedades de la conica


proyectiva son: la conica proyectiva corta a la recta al infinito (que se haya elegidopreviamente) en un punto (parabola), dos puntos (hiperbola), en cero puntos (elipseo cırculo). Es decir, hay un unico objeto geometrico proyectivo, cuyas propiedadeslocales las visualizamos como las conicas afines usuales.

Ejemplo 8. Considere la variedad proyectiva E ⊆ P2K definida por el polinomio

homogeneo de grado 3

(∗) y2z = x3 + axz2 + bz3

donde supondremos que al deshomogeneizar poniendo z = 1, i.e., al intersectar concon el plano afın A2

K ' U3 = {[x, y, 1]}, en el polinomio afın

y2 = x3 + ax+ b

se tiene que x3 +ax+ b no tiene raıces multiples (como veremos mas adelante, estoquerra decir que la curva correspondiente es lisa).

Por otra parte, note que al intersectar E con la recta al infinito H3 = V(z) ={[x, y, 0]} ' P1

K poniendo z = 0 en la ecuacion que define E queda x = 0 y por lotanto y 6= 0, i.e., se tiene el unico punto [0, 1, 0] ∈ E ∩H3 al infinito.

Ası, E = V(y2z−x3−axz2− bz3) ⊆ P2K consiste de los puntos [x, y, 1] en la

curva afın y2 = x3 +ax+b y del punto al infinito [0, 1, 0]. Estas curvasE se llamancurvas elıpticas y son muy importantes en teorıa de numeros. Cuando K = C, laparte real de una curva elıptica E ⊆ P2

C tiene una de las dos formas mostradas en lafigura siguiente:

y2 = x3 − x y2 = x3 − x+ 1/2

y observe, intuitivamente, que al proyectivizar anadiendo el punto al infinito [0, 1, 0]a la parte real de la curva, topologica y diferenciablemente se obtienen uno o doscırculos, lo cual quiere decir que el grupo E(R) de puntos reales de E es el grupoS1 o el grupo S1 ⊕ Z/2. Se puede mostrar, ya sea ((a pie)) o con mas herramien-ta de geometrıa algebraica, que la curva elıptica E tiene una estructura natural de

EJERCICIOS 55

grupo abeliano, donde el elemento neutro es el punto al infinito [0, 1, 0], i.e., sin elno es posible hacer de E un grupo. La operacion de grupo tiene una descripciongeometrica sencilla, si aceptamos por el momento el teorema de Bezout que proba-remos mas adelante: dados dos puntos P , Q en la curva elıptica E, considerando larecta secante que pasa por ellos (tangente, si P = Q), sea R el tercer punto dondeesta recta corta a E (este punto existe por el teorema de Bezout); despues, consi-deremos la recta que pasa por R y el punto al infinito [0, 1, 0] y sea R′ el tercerpunto donde esta recta (que hemos dibujado como una recta vertical en la figura si-guiente) intersecta a E. La suma P +Q se define como R′. Se prueba directamenteque, con esta operacion, E es un grupo abeliano, donde la unica parte laboriosa esla demostracion de la asociatividad de la operacion, pero todo lo anterior se puedesimplificar mediante una demostracion mas conceptual usando mas elementos degeometrıa algebraica.

PQ R

R′

Estructura de grupo en una curva elıptica

EjerciciosEJERCICIO 1. Si I, J ⊆ K[x0, . . . , xn] son ideales homogeneos, demuestre queIJ, I ∩ J, I + J ,

√I tambien son homogeneos. Si {Ij} es una familia de ideales

homogeneos, demuestre que∑

j Ij tambien lo es.

EJERCICIO 2. Si K es algebraicamente cerrado, usando el teorema de los cerosde Hilbert usual muestre que el cono afın V a ⊆ An+1

K con vertice en el origencorresponde (por 2.1) a un ideal radical homogeneo I = I(V a) K[x0, . . . , xn].

EJERCICIO 3. La nocion de ideal primo homogeneo en K[x0, . . . , xn] es la mismasin tomar en cuenta que el ideal es homogeneo. Sin embargo, demuestre que un ideal


homogeneo p ⊆ K[x0, . . . , xn] es primo si y solo si para cualesquiera polinomioshomogeneos f, g ∈ K[x0, . . . , xn] si fg ∈ p entonces f ∈ p o g ∈ p.

EJERCICIO 4. Si I ⊆ K[x0, . . . , xn] es un ideal homogeneo, demuestre que elcociente A/I = K[x0, . . . , xn]/I tiene una gradacion natural dada por (A/I)d =π(Ad), donde π : A � A/I es el epimorfismo canonico y Ad es la gradacionnatural de A = K[x0, . . . , xn].

EJERCICIO 5. Si I ⊆ K[x0, . . . , xn] es un ideal, demuestre que I es un ideal ho-mogeneo si y solo si

I =⊕d≥0

(I ∩Ad),

con Ad la gradacion natural de A = K[x0, . . . , xn].

EJERCICIO 6. Si K es algebraicamente cerrado, demuestre que las componentesirreducibles de un cono afın enAn+1

K tambien son conos afines con el mismo vertice.

EJERCICIO 7. Demuestre la parte 3 de 2.9.

EJERCICIO 8. Demuestre quen los abiertos distinguidos D(f), definidos para f ∈K[x0, . . . , xn] homogeneo, forman una base de la topologıa de PnK .

EJERCICIO 9. Si K es algebraicamente cerrado, dado f ∈ K[x1, . . . , xn], sea f∗ ∈K[x0, x1, . . . , xn] su homogeneizado. Similarmente, si f ∈ K[x0, x1, . . . , xn] esun polinomio homogeneo, sea f∗ = f(1, x1, . . . , xn) ∈ K[x1, . . . , xn] el polinomioobtenido al deshomogeneizar f . Si I ⊆ K[x1, . . . , xn] sea I∗ ⊆ K[x0, . . . , xn] elideal homogeneo generado por los f∗ con f ∈ I . Similarmente, si J ⊆ K[x0, . . . , x−n] es un ideal homogeneo, sea J∗ ⊆ K[x1, . . . , xn] el ideal generado por los f∗con f ∈ J . Si V ⊆ AnK es un subconjunto algebraico e I = I(V ) pondremosV ∗ := V(I∗) y si V ⊆ PnK es algebraico y J = I(V ), sea V∗ := V(J∗).

(i) Si V ⊆ AnK es algebraico, demuestre que V ∗ es la cerradura V de V enPnK .

(ii) Si V ⊆ AnK es algebraico, demuestre que (V ∗)∗ = V .(iii) Si V ⊆ PnK es algebraico, demuestre que V∗ = V ∩ AnK(iv) Si V ⊆ AnK es algebraico y ninguna componente irreducible de V esta to-

talmente contenida en el hiperplano al infinito o contiene a este hiperplano,demuestre que V∗ AnK y (V∗)∗ = V .

(v) Si V = V(x0) es el hiperplano al infinito, demuestre que V∗ = ∅ y por lotanto (V∗)∗ = ∅ 6= V .

EJERCICIO 10. Sea C = V(x2 + y2) ⊆ A2R. Bosqueje este conjunto afın en A2

R.

EJERCICIO 11. Sea C ′ = V(x2 − y2) ⊆ A2R. Bosqueje este conjunto afın en A2

R.

2.2. MORFISMOS ENTRE VARIEDADES PROYECTIVAS 57

EJERCICIO 12. Considere las proyectivizaciones C y C ′ en P2R de las curvas de los

dos ejercicios anteriores. Determine sus intersecciones con la recta al infinito de P2R.

2.2. Morfismos entre variedades proyectivasComo en el caso de variedades afines, para comparar variedades proyectivas de-

bemos definir funciones entre ellas dadas por polinomios o cocientes de polinomios.Comenzamos asociando a un conjunto proyectivo su anillo de coordenadas.

Anillos de coordenadas. A cada conjunto algebraico V ⊆ PnK se le asocia su anillode coordenadas homogeneo:

Kh[V ] := K[x0, . . . , xn]/I(V ).

Para comenzar, observemos que si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva e I(V )es su ideal asociado, a diferencia del caso afın, no hay forma de definir funcio-nes regulares en V en terminos de polinomios ya que para un polinomio f ∈K[x0, . . . , xn] y un punto [x0, . . . , xn] ∈ V como este punto es en realidad unaclase de equivalencia

[x0, . . . , xn] = {(λx0, . . . , λxn) : λ ∈ K∗}

entonces ((el valor)) f [x0, . . . , x0] ∈ K estara bien definido si y solo si f es unpolinomio homogeneo de grado 0, i.e., si f es constante. Por lo tanto, a diferenciadel anillo de coordenadas afın K[V ], los elementos del anillo de coordenadas ho-mogeneo Kh[V ] no definen funciones en la variedad proyectiva V . Ası, tendremosque pasar al siguiente nivel y considerar funciones racionales en V :

El campo de funciones racionales. Si V es una variedad proyectiva una funcionracional en V es una funcion (definida en un subconjunto de V ) f : V 99K Kdada por un cociente de polinomios del mismo grado, i.e., existen polinomios ho-mogeneos del mismo grado g, h ∈ K[x0, . . . , xn] tales que f(P ) = g(P )/h(p)para P en un subconjunto de V . Note que lo anterior salva la objecion en el parrafoprevio ya que si h(P ) 6= 0 el cociente g(P )/h(P ) esta bien definido porque paratodo 0 6= λ ∈ K se tiene que

g(λP )h(λP )

=λdg(P )λdh(P )

=g(P )h(P )

donde d es grado de los polinomios g y h. Observe tambien que si g/h y g′/h′

definen la misma funcion racional f entonces h′g − gh ∈ I(V ), y recıprocamente.Se tiene ası la relacion (de equivalencia) ∼

g/h ∼ g′/h′ ⇔ h′g − gh′ ∈ I(V ).


Se prueba facilmente que el conjunto de (clases de equivalencia de) funciones ra-cionales en V ,

{g/h : g, h ∈ K[x0, . . . , xn] homogeneos del mismo grado con h 6∈ I(V )}/ ∼

al que se denota por Kh(V ), es un campo al que se llama el campo de funcionesracionales de V .

LEMA 2.11. Si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva irreducible y si V = V0∪· · ·∪Vn es su cubierta afın usual (2.8) y (2.9), i.e., cada Vi ' AnK , y si V 6⊆ V(x0), i.e.,V no esta contenida en el hiperplano al infinito, entonces existe un isomorfismo decampos de funciones Kh(V ) ' K(V0), donde K(V0) es el campo de funciones dela variedad afın V0.

Demostracion. Los morfismos K(V0)→ Kh(V ) y Kh(V )→ K(V0) dados por

f(x1, . . . , xn)g(x1, . . . , xn)

7→ f(x1/x0, . . . , xn/x0)g(x1/x0, . . . , xn/x0)

=xgr g

0 f∗(x0, . . . , xn)

xgr f0 g∗(x0, . . . , xn)

yf(x0, . . . , xn)g(x0, . . . , xn)

7→ f(x0/x0, x1/x0, . . . , xn/x0)g(x0/x0, x1/x0, . . . , xn/x0)

=f(1, x1, . . . , xn)g(1, x1, . . . , xn)

claramente son inversos uno del otro, donde notamos que como V0 = V ∩ U0, conU0 = PnK − V(x0), entonces x0 6= 0 en V0. Ademas, para la primera funcion, no-tamos que para cualquier f ∈ K[V0] = K[x1, . . . , xn]/I(V0) no nulo, pensandolocomo un polinomio (i.e., tomando un representante de la clase lateral) podemosescribir

f(x1/x0, . . . , xn/x0) = f∗(x0, . . . , xn)/xgr f0

con f∗ homogeneo de grado gr f . Similarmente para la g en el denominador. Deaquı se obtiene la segunda igualdad de la definicion de la primera funcion, dondenotamos que en el numerador y denominador se tienen polinomios homogeneos delmismo grado gr f + gr g. Tambien, para la segunda funcion notamos que como fy g son homogeneos del mismo grado, la potencia de x0 en los denominadores def es igual a la potencia de x0 de los denominadores de g y por lo tanto se cancelanquedando los cocientes de polinomios en n variables de la segunda igualdad. �

El campo de funciones Kh(V ) de una variedad proyectiva V ⊆ PnK se puedever como la localizacion del anillo de coordenadas K[V a] del cono afın de V en elideal cero, como anillo graduado ya que K[V a] = K[x0, . . . , xn]/I(V ) hereda lagraduacion natural del anillo de polinomios (vea el ejercicio 4) dada comoK[V a] =⊕

d≥0K[V a]d, donde

K[V a]d = {f = f + I(V ) : f homogeneo de grado gr f = d} ∪ {0}


donde lo unico que tenemos que observar es que si d 6= e, K[V a]d ∩ K[V a]e ={0} porque si f esta en la interseccion, entonces tiene representantes f1 y f2 ho-mogeneos de grados d y e, respectivamente, y se tiene que f1 − f2 ∈ I(V ) ysi sucediera que gr f1 = d 6= e = gr f2, como I(V ) es un ideal homogeneo yf1 − f2 ∈ I(V ), sus componentes son homogeneas y por lo tanto f1, f2 ∈ I(V ),es decir, f = 0. Para precisar el hecho de que Kh(V ) es la localizacion del anillograduadoK[V a] en el ideal cero, recordamos a continuacion las ideas involucradas:

Localizacion de anillos graduados. Si A =⊕

d≥0Ad es un anillo graduado yS ⊆ A es un subconjunto multiplicativo cuyos elementos son homogeneos, seaS−1A el anillo de fracciones de A definido en §1.2. El objetivo es ver que S−1Atiene una gradacion natural. Para esto, si f ∈ A y s ∈ S son homogeneos, diremosque f/s ∈ S−1A es homogeneo de grado gr(f/s) = gr f − gr s, y observe que elgrado de f/s esta bien definido, ya que si f/s = g/t, entonces existe u ∈ S tal queu(ft − gs) = 0, i.e., uft = ugs, y como u es homogeneo y la funcion grado esmultiplicativa, entonces

gru+ gr f + gr t = gru+ gr g + gr s

y por lo tanto gr f − gr s = gr g− gr t, i.e., gr(f/s) = gr(g/t). Lo anterior sugieretomar en S−1A solamente los elementos de grado cero y ası, como anillo graduadose define

A(S) ={fs∈ S−1A :

f

ses homogeneo de grado 0

}=(S−1A

)0,

donde el subındice cero en(S−1A

)0

quiere decir que se toman los elementos degrado cero.

Ejemplo 9. Si A =⊕

d≥0Ad es un anillo graduado y p ⊆ A es un ideal primo ho-mogeneo, entonces Sp := {f ∈ A : f es homogeneo y f 6∈ p} es un subconjuntomultiplicativo formado por elementos homogeneos y se define

A(p) = A(Sp).

Ejemplo 10. Si A =⊕

d≥0Ad es un anillo graduado y f ⊆ A es un elementohomogeneo, entonces Sf := {fn ∈ A : n ≥ 0} es un subconjunto multiplicativoformado por elementos homogeneos y se define

A(f) = A(Sf ).

LEMA 2.12. Si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva (irreducible), entonces se tieneun isomorfismo de anillos graduados

Kh(V ) ' K[V a](〈0〉).


Demostracion. Observamos primero que como V es irreducible, entonces V a tam-bien es irreducible y por lo tanto K[V a] es un dominio entero y ası 〈0〉 = I(V ) esun ideal primo (homogeneo, obviamente) y

S(〈0〉) = {s ∈ A : s es homogeneo y s 6∈ I(V )},

y por definicion

Kh(V ) ={fs

: f, s ∈ K[x0, . . . , xn] homogeneos con gr f = gr s y s 6∈ I(V )}

={fs

:f

shomogeneo con gr(f/s) = 0 y s 6∈ I(V )

}= K[V a](〈0〉).

�

Funciones regulares. Si V es una variedad proyectiva y P es un punto en V , unafuncion racional f ∈ Kh(V ) se dice que es regular en P si existe una expresionf = g/h, con g, h homogeneos del mismo grado y tal que h(P ) 6= 0. Se definen,como en el caso afın,

dom f = {P ∈ V : f es regular en P}

yOV,P = {f ∈ Kh(V ) : f es regular en P}.

Si U ⊆ V es un abierto, denotaremos con

OU = {f ∈ Kh(V ) : f es regular en todo U}.

Claramente este es un anillo, el anillo de funciones regulares enU . Se tiene el analo-go de 1.29 y 1.30, pero a diferencia del ultimo inciso del ejercicio 37 del capıtulo 1,§1.3, no hay funciones regulares en todo V excepto las funciones constantes:3

LEMA 2.13. Si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva,

(1) Para toda f ∈ Kh(V ), dom f ⊆ V es denso.

(2) OV,P ⊆ Kh(V ) es un subanillo.

(3) OV = K.

3Esto es similar a lo que sucede para cuandoK = C y V es una superficie de Riemann compacta:por el teorema de Liouville las unicas funciones holomorfas en una superficie de Riemann compactason las funciones constantes, i.e, OV = C. Incidentalmente, la notacion O para las funciones regularesproviene de la palabra holomorfa, que en italiano es sin h. En la demostracion de la parte (3) usaremosalgunos hechos sobre localizacion de anillos graduados, parte de los cuales ya han sido repasados yotra parte esta en los ejercicios.


Demostracion. Demostraremos (3): Para comenzar, podemos suponer que V 6⊆V(xi) ' Pn−1

K para todo i (i.e., que V no esta contenida en un hiperplano al in-finito) ya que de lo contrario reemplazarıamos PnK por Pn−1

K . Ahora, sea f ∈ OVuna funcion regular en todo V y sean Ui ⊆ PnK los abiertos (afines) de 2.8, es de-cir Ui = PnK − V(xi). Pongamos Vi = Ui ∩ V . Entonces, f es regular en Vi yası por 1.29 (2) (vea tambien el ejercicio 37 de §1.3) se tiene que f ∈ K[Vi], y porel ejercicio 17 de este capıtulo se tiene que K[Vi] ' Kh[V ](xi) donde Kh[V ] esel anillo de coordenadas homogeneo de V . Se sigue que f se puede escribir comogi/x

kii con gi ∈ Kh[V ] homogeneo de grado ki (ya que f es de grado cero). Ahora,

OV , Kh(V ) y Kh[V ] son subanillos del campo cociente de Kh[V ] y por lo tantolas operaciones en estos anillos son las mismas y ası se tiene que xki

i ∈ Kh[V ]es homogeneo de grado ki, para cada i. Escojamos ahora k ≥

∑ki y notemos

que el subespacio vectorial de elementos homogeneos de grado k, Kh[V ]k, esta ge-nerado como K-espacio vectorial, por los monomios de grado k en x0, . . . , xn yen cada tal monomio ocurre al menos un xi con exponente ≥ ki. Se sigue queKh[V ]k · f ⊆ Kh[V ]k ya que f = gi/x

kii con gi de grado ki. Iterando este proceso

se tiene que Kh[V ]k · f q ⊆ Kh[V ]k para todo q > 0. En particular, xk0fq ∈ Kh[V ]

para todo q > 0 y esto muestra que el subanillo Kh[V ][f ] (del campo de cocientesde Kh[V ]) esta contenido en x−k0 Kh[V ], el cual es un Kh[V ]-modulo finitamentegenerado, y como Kh[V ] es noetheriano entonces Kh[V ][f ] es un Kh[V ]-modulofinitamente generado y por lo tanto f es entero sobre Kh[V ]. Se sigue que existenelementos a0, . . . , am−1 ∈ Kh[V ] tales que

(∗) fm + am−1fm−1 + · · ·+ a1f + a0 = 0

y como f es de grado 0 podemos reemplazar los ai anteriores por sus componenteshomogeneas de grado 0 y todavıa se tiene una ecuacion de dependencia entera como(∗). Pero, como Kh[V ]0 = K (lo cual observamos al principio de esta secciondonde vimos que los polinomios homogeneos de grado cero son los constantes nonulos), entonces los ai ∈ K y ası f es entero sobreK y comoK es algebraicamentecerrado esto implica que f ∈ K, como se querıa. �

Un elemento f ∈ Kh[V ] = K[x0, . . . , xn]/I(V ) se dice que es homogeneo degrado d, si f = f + I(V ) con f ∈ K[x0, . . . , xn] homogeneo de grado d. Observeahora que cada f ∈ Kh[V ] se puede descomponer, en forma unica, como

f = f0 + f1 + · · ·+ fd

con los fj homogeneos de grado j. En efecto, escribiendo f = f + I(V ), conf ∈ K[x0, . . . , xn], y luego poniendo f = f0 + · · ·+ fd con los fj ∈ K[x0, . . . , xn]homogeneos de grado j, se sigue que

f = f + I(V ) = f0 + · · ·+ fd + I(V ) = f0 + · · ·+ fd


con los fj = fj + I(V ) homogeneos de grado j. Finalmente, si se tuviera quef = g0 + · · ·+gd con los gj ∈ Kh[V ] homogeneos de grado j, entonces la igualdad

f = f0 + · · ·+ fd = g0 + · · ·+ gd

implica que (f0 + · · ·+ fd)− (g0 + · · ·+ gd) ∈ I(V ), que es un ideal homogeneoy consecuentemente cada componente homogenea fj − gj ∈ I(V ) y por lo tantofj − gj = 0.

Lo anterior traslada lo que se tiene para polinomios en K[x0, . . . , xn] a claseslaterales en Kh[V ]. Note entonces que si f ∈ Kh[V ] es homogeneo, se puededefinir

V(f) = {P ∈ V : f(P ) = 0}y claramente, si f = f + I(V ) con f ∈ K[x0, . . . , xn] homogeneo, entonces

V(f) = V(f) ∩ Vy por lo tanto V(f) es un cerrado en V . Si f ∈ Kh[V ] es homogeneo, se define

D(f) = {P ∈ V : f(P ) 6= 0} = V − V(f),

y ası D(f) es un abierto en V .

PROPOSICION 2.14. Si V ⊆ PnK es una variedad irreducible, para cada f ∈Kh(V ) existe un subconjunto abierto U ⊆ V donde f es regular.

Demostracion. Si f ∈ Kh(V ), escribamos f = g/h con g, h ∈ Kh[V ] homogeneasdel mismo grado y h 6= 0. Sea U =

⋃D(h), donde h recorre los denominadores de

las expresiones de f como f = g/h. Como cada D(h) es abierto, entonces U lo esy por definicion f es regular en U . �

Aplicaciones racionales. Dada una variedad proyectiva, una aplicacion racionales una funcion (parcialmente definida) f : V 99K PnK dada por f = (f0, . . . , fn)donde las fj ∈ Kh(V ) son funciones racionales. Note que si g ∈ Kh(V ) es nonula, entonces (gf0, . . . , gfn) define la misma aplicacion racional que (f0, . . . , fn).

Una aplicacion racional f : V 99K PnK se dice que es regular en un puntoP ∈ V si existe una expresion f = (f0, . . . , fn) tal que:

(i) Cada fi es regular en P .(ii) Alguna fi(P ) 6= 0.

Se define entonces dom f = {P ∈ V : f es regular en P} =⋂ni=0 dom fi.

Si V ⊆ Pm y W ⊆ Pn son variedades proyectivas, una aplicacion racionalf : V 99K W es una aplicacion racional f : V 99K PnK tal que f(dom f) ⊆ W .Una aplicacion racional f : V 99K W se dice que es dominante si f(dom f) ⊆ Wes denso.

Aplicaciones regulares. Si V,W son variedades proyectivas, V0 ⊆ V y W0 ⊆ Wson abiertos, un morfismo entre variedades o aplicacion regular f : V0 → W0 es


una aplicacion racional f : V 99K W tal que V0 ⊆ dom f y f(V0) ⊆ W0. Es decir,f es una aplicacion racional que es regular en todo V0 y su restriccion a V0 tienevalores en W0. En el caso cuando V0 = V y por lo tanto dom f = V , decimos quef : V →W es regular.

¿Como son las aplicaciones regulares en una variedad proyectiva? Comenzamosobservando que si f0, . . . , fn ∈ K[x0, . . . , xm] son polinomios homogeneos delmismo grado, la funcion

ϕ : PmK → PnKdada por ϕ[a0, . . . , am] = [f0(a0, . . . , am), . . . , fn(a0, . . . , am)] define una aplica-cion regular en el abierto de PmK donde no todos los fj se anulen, es decir, en elconjunto abierto ⋃

D(fj) = PnK − V(f0, . . . , fn).

Entonces, la restriccion de ϕ a cualquier subvariedad V ⊆ PmK sera una aplicacionregular. Note que, escogiendo diferentes polinomios fj se podrıa, en principio, ex-tender ϕ a un dominio mayor donde todavıa fuera regular. El resultado siguientenos dice que, toda aplicacion regular ϕ : V → W , donde V ⊆ PmK y W ⊆ PnK sonvariedades proyectivas, es localmente de la forma anterior:

PROPOSICION 2.15. Sean V ⊆ PmK y W ⊆ PnK dos variedades proyectivas. Unaaplicacion ϕ : V → W es regular si y solo si para todo punto P ∈ V existenpolinomios f0, . . . , fn ∈ K[xo, . . . , xm] homogeneos del mismo grado y tales que

ϕ[a0, . . . , an] = [f0(a0, . . . , am), . . . , fn(a0, . . . , am)]

para todos los puntos [a0, . . . , am] en una vecindad de P en V .

Demostracion. Directa. �

Isomorfismos y aplicaciones biracionales. Si V,W son variedades proyectivas yV0 ⊆ V y W0 ⊆ W son abiertos, una aplicacion regular f : V0 → W0 es unisomorfismo o aplicacion biregular, si existe una aplicacion regular g : W0 → V0

que es inversa bilateral de f .Si V,W son variedades proyectivas una aplicacion racional f : V 99K W se

dice que es biracional si existe una aplicacion racional g : W 99K V que es inversabilateral de f , i.e., tal que g ◦ f = idV y f ◦ g = idW .

PROPOSICION 2.16. Si f : V 99KW es una aplicacion racional, son equivalentes:

(1) f es biracional.

(2) f es dominante y f∗ : Kh(W )→ Kh(V ) es un isomorfismo.

(3) Existen abiertos V0 ⊆ V y W0 ⊆W tales que la restriccion f : V0 →W0 es unisomorfismo.


Demostracion. El morfismo f∗ se define como en el caso afın y claramente (1) ⇔(2) se prueba como en 1.33.

(3) ⇒ (1): Un isomorfismo f : V0 → W0 y su inversa g : W0 → V0 son, pordefinicion, aplicaciones racionales entre V y W inversas una de la otra.

(1) ⇒ (3): Por hipotesis existe una aplicacion racional g : W 99K V inversa def : V 99K W . Pongamos V ′ = dom f ⊆ V y W ′ = dom g ⊆ W , y consideremoslas restricciones f |V ′ : V ′ →W y g|W ′ : W ′ → V . En el diagrama

g−1V ′� _

��

g|W ′ // V ′f |V ′ // W

W

idW

66mmmmmmmmmmmmmmmmm

todas las flechas son morfismos y ya que idW = f◦g como funciones racionales, en-tonces idW |g−1V ′ = f |V ′◦gW ′ como morfismos. Se sigue que f |V ′(g|W ′(P )) = P ,para todo P ∈ g−1V ′. Pongamos ahora V0 = f−1g−1V ′ y W0 = g−1f−1W ′. En-tonces, f : V0 → g−1V ′ es un morfismo (por construccion), sin embargo g−1V ′ ⊆W0 ya que P ∈ g−1V ′ implica que f(g(P )) = P y por lo tanto P ∈ g−1f−1W ′ =W0. Consecuentemente f : V0 →W0 es un morfismo y similarmente g : W0 → V0

tambien es morfismo. �

Ejemplo 11. Parametrizacion de una conica: si C ⊆ P2R es una conica no vacıa y no

degenerada, en el ejemplo 7 vimos que C es de la forma

C = V(x2 − yz).Si ahora definimos la funcion

Φ : P1R → C ⊆ P2

R

mediante Φ[u, v] = [uv, u2, v2] notamos que su imagen es en efecto la conica C porlo que la anterior funcion es una parametrizacion de C. Su inversa es la funcion

Ψ : C→ P1R

dada por Ψ[x, y, z] = [y, x] = [x, z]. Es claro que estas son aplicaciones racionales,inversas una de la otra.

Ejemplo 12. Parametrizacion de una cuadrica. Si f ∈ K[x0, . . . , xn] es un polino-mio cuadratico homogeneo, y carK 6= 2, considere la hipersuperficie Q = V(f) ⊆PnK , a la que se conoce como una cuadrica. En el caso cuando n = 2, Q ⊆ P2

K esuna conica. La cuadrica Q se parametriza en forma similar a como se hace para unaconica: fije un punto P = [a0, . . . , an] ∈ Q y considere un recta ` en PnK que pasapor P parametrizada por t ∈ K, es decir, los puntos de ` son de la forma

` = {[x0, . . . , xn] : xi = ai + t(xj − aj)}

EJERCICIOS 65

Note ahora que la interseccion Q ∩ ` se obtiene substituyendo los puntos de ` des-critos arriba en la ecuacion polinomial f = 0 que define Q, i.e., considerando

(∗) f(x0, a1 + t(x0 − a0), . . . , an + t(x0 − a0)

)= 0

donde notamos que este es un polinomio de grado 2 en x0, y uno de sus ceros esx0 = a0 porque P ∈ Q. Ahora, dividiendo entre el coeficiente de x2

0 en (∗) seobtiene una ecuacion cuadratica

x20 + ax0 + b = 0

de la cual x0 = a0 es una de sus raıces y por lo tanto la otra raız es x0 = −a− a0.Ahora, como t aparece en los coeficientes de la ecuacion polinomial (∗), entoncesa = a(t) es una funcion racional de t. Substituyendo x0 = −a0−a(t) en los puntosde la recta ` se obtiene que

xi = ai + t(x0 − a0) = ai + t(−a0 − a(t)t− a0)

que es una funcion racional en t. Lo anterior da una parametrizacion de Q porfunciones racionales, en t.

EjerciciosEJERCICIO 13. Si V ⊆ PnK , W ⊆ PmK son variedades proyectivas y f : V 99K Wes una aplicacion racional dominante y si V0 ⊆ V , W0 ⊆ W son abiertos afinestales que la restriccion f : V0 →W0, demuestre que el morfismo inducido

f∗ : K[W0]→ K[V0]

es inyectivo. Demuestre que f∗ se extiende a un morfismo

f∗ : Kh(W )→ Kh(V ).

EJERCICIO 14. En la situacion del ejercicio anterior, demuestre que todo K-morfis-mo φ : Kh(W )→ Kh(V ) proviene de una unica aplicacion racional f : V 99KWdominante.

EJERCICIO 15. Una variedad proyectiva V ⊆ PnK se dice que es racional si V esbiracionalmente equivalente aAmK o a PmK , para algunm. Demuestre que toda conicairreducible de P2

K es racional. De hecho, demuestre que es isomorfa a P1K .

EJERCICIO 16. Demuestre que en P2K dos rectas distintas siempre se intersectan.

EJERCICIO 17. Sea V ⊆ PnK una variedad proyectiva y sean Ui ⊆ PnK los abiertosde 2.8, es decir Ui = PnK − V(xi), y sean ϕi : Ui ' AnK los homeomorfismos de2.8. Pongamos Vi = ϕi(Ui ∩ V ) ⊆ AnK . Por 2.9 podemos pensar que los Vi sonvariedades afines. Demuestre que los ϕi inducen isomorfismos naturales

(∗) K[Vi]→ Kh[V ]〈xi〉


donde Kh[V ]〈xi〉 es la localizacion de Kh[V ] en el ideal primo 〈xi〉. Sugerencia:Muestre que la funcion K[y1, . . . , yn]→ K[x0, . . . , xn]〈xi〉 definida mediante

f(y1, . . . , yn) 7→ f(x0/xi, . . . xi/xi, . . . , xn/xi)

(donde ˆ quiere decir que se omite el termino considerado) es un isomorfismo ypara esto vea la demostracion de 2.8. Muestre luego que este isomorfismo mandaI(Vi) al ideal I(V )Kh[V ]〈xi〉 y ası pasando al cociente se tiene el isomorfismo (∗).

EJERCICIO 18. Los incisos siguientes son los analogos de los ejercicios 35 y 36 delcapıtulo 1, §1.3. Sea V ⊆ PnK una variedad proyectiva. Para cada abierto U ⊆ V ,sea OU =

⋂P∈U OV,P el anillo de funciones regulares en U (vea la discusion antes

de 2.10). Demuestre:Cada elemento s ∈ OU se puede ver como una funcion s : U → K, ya quesi P ∈ U , escribiendo s = f/g con f, g ∈ K[x0, . . . , xn] homogeneosdel mismo grado y con g(P ) 6= 0, se define s(P ) = f(P )/g(P ).Cada OU es una K-algebra.Si U ′ ⊆ U son abiertos no vacıos de V , entonces para todo s ∈ OU larestriccion s 7→ s|U ′ es regular en U ′. Se tiene ası una funcion

resUU ′ : OU → OU ′

dada por s 7→ s|U ′ . Si U ′ = ∅ se define resU∅ = 0. Demuestre que estasfunciones son morfismos de K-algebras.Si U ′′ ⊆ U ′ ⊆ U son abiertos, demuestre que

resU′

U ′′ ◦ resUU ′ = resUU ′′ .

Si U ⊆ V es abierto, entonces resUU = idOU.

Si U ⊆ V es abierto y si U =⋃i∈Λ Ui, con los Ui abiertos para cada

i ∈ Λ y si se tiene un si ∈ OUi para cada i y estas satisfacen la ((condicionde compatibilidad)) de que para todos los pares i, j

resUiUi∩Uj

(si) = resUj

Ui∩Uj(sj)

i.e., sus restricciones a Ui ∩Uj son iguales, demuestre que existe un unicos ∈ OU tal que

resUUi(s) = si para todo i ∈ Λ.

EJERCICIO 19. Si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva y P ∈ V es un punto,demuestre que el anillo OV,P de funciones regulares en P es un anillo local conideal maximo

mP :={f ∈ OV,P : f(P ) = 0

}(las funciones regulares en P que se anulan en P ).

EJERCICIOS 67

EJERCICIO 20. Los analogos proyectivos de los abiertos distinguidos afinesD(f) =AnK −V(f) (vea los ejercicios 13 de §1.1 y 37 de §1.3) se definen como sigue: paraun conjunto proyectivo V ⊆ PnK , dada f ∈ Kh[V ] de grado > 0 se define

D+(f) = {P ∈ V : f(P ) 6= 0} = PnK − V(f).

(i) Demuestre que todo abierto no vacıoU ⊆ V es una union finita de abiertosdistinguidos D+(f).

(ii) Para xi ∈ Kh[PnK ] = K[x0, . . . , xn], los D+(xi) forman una cubierta dePnK .

Note que en 2.8 probamos que los D+(xi) ' AnK y ası el ejerciciomuestra que PnK esta cubierto por un numero finito de abiertos isomorfosa afines.

(iii) Si f ∈ Kh[V ] es de grado > 0, demuestre que D+(f) = V si y solo si Ves finito.

Note que si f = 0, entonces D+(0) = V y si f = constante 6= 0,entonces D+(f) = ∅.

EJERCICIO 21. Si V ⊆ PnK es una variedad irreducible tal que V 6⊆ V(x0), entoncespara todo P ∈ V0 = V ∩ U0, con U0 = PnK − V(x0), como V0 ⊆ U0 ' AnK ,se puede considerar el anillo OV0,P ⊆ K(V0) (como en 1.30) ademas del anilloOV,P ⊆ Kh(V ) de 2.13. Demuestre que 2.11 implica que OV0,P ' OV,P .

EJERCICIO 22. Si V ⊆ PnK es una variedad irreducible y P ∈ V , sea

MP = {f ∈ Kh[V ] : f es homogenea y f(P ) = 0} ⊆ Kh[V ].

(i) Demuestre que MP es un ideal maximo.(ii) Demuestre que OV,P ' Kh[V ](MP ).

EJERCICIO 23. Si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva y f ∈ Kh[V ] es homogeneono nulo, demuestre que D+(f) es un abierto afın de V . Sugerencia: muestre queOD+(f) ' K[D(f)] = {g/hm : con g homogeneo de grado m · gr(h)}.

EJERCICIO 24. Demuestre que la funcion

π : An+1K − {(0, . . . , 0)} → PnK

dada por (a0, . . . , an) 7→ [a0, . . . , an] es un morfismo de variedades casi-proyectivas.Mas aun, demuestre que π es una funcion abierta.

EJERCICIO 25. Si V ⊆ PmK es una variedad proyectiva o casi-proyectiva, demuestreque una aplicacion racional f : PnK 99K V es regular si y solo si la composicionf ◦ π es regular. En otras palabras, las aplicaciones regulares PnK → V son lasaplicaciones regulares An+1

K − {0} → V que se factorizan a traves de PnK :


PnKf // V

An+1K − {0}

π

OO ::

2.3. EjemplosEn esta seccion, estudiamos algunos ejemplos importantes de variedades pro-

yectivas y morfismos entre ellas.

Automorfismos del espacio proyectivo. Una matriz invertible M ∈ GLn+1Kdefine una aplicacion M : PnK → PnK mediante

M [a0, . . . , an] = M

a0...an

(el producto de la matriz M por el vector columna correspondiente) y notamos quecomoM es una transformacion lineal, entonces en cada componente del producto setiene un polinomio homogeneo lineal en las aj . Se sigue que la funcion esta bien de-finida y es regular por 2.14. Mas aun, es un isomorfismo porque su inversa esta dadapor el producto con la matriz inversa M−1.

Observemos ahora que las matrices escalares λ idn, con idn la matriz identidady λ ∈ K∗, inducen la aplicacion identidad en PnK . Se sigue los automorfismos M ∈GLn+1K estan determinados modulo las matrices escalares K∗ idn ⊆ GLn+1K,i.e., cada clase lateral en el grupo cociente

PGLn+1K = GLn+1K/K∗ idn

(llamado el grupo lineal proyectivo) induce un automorfismo de PnK , i.e., un isomor-fismo de PnK en sı mismo. En otras palabras, hemos mostrado que el homomorfismode grupos

PGLn+1K � Aut(PnK)

es inyectivo, y el ejercicio 26 consiste en probar que es suprayectivo.

La aplicacion de Veronese. Para los monomios de grado d en n+ 1 variables:

xi00 xi11 · · ·x

inn

usando multiındices i = (i0, i1, . . . , in) ∈ Nn+1 con∑ij = d, notamos que hay(

d+nd

)tales monomios (multiındices) de grado d. Esto se demuestra por induccion

2.3. EJEMPLOS 69

sobre d+n y lo dejamos como el ejercicio 27. Escribamos ahora νn,d =(d+nd

)− 1.

La aplicacion de Veronese de grado d es la funcion

vd : PnK → Pνn,d

K

dada mediante [a0, . . . , an] 7→ [ad0 . . . , ai00 · · · ainn , . . . , adn], donde ai00 · · · ainn es un

monomio en las ai de grado d y los colocamos en orden lexicografico decreciente.Como en cada coordenada se tienen polinomios del mismo grado en las aj que no seanulan simultaneamente en los puntos [a0, . . . , an] de PnK , la aplicacion de Veronesees un morfismo de variedades proyectivas.

Subejemplo 1. Si n = 1 y d = 2, la aplicacion de Veronese de grado 2

v2 : P1K → P2

K ya que(d+nd

)− 1 =

(2+1

2

)− 1 = 2

esta dada por v2 : [a0, a1] 7→ [a20, a0a1, a

21]. Notamos entonces que su imagen es la

curva v2(P1K) = V(xz − y2) ⊆ P2

K , es decir, la conica proyectiva no degenerada.

Subejemplo 2. Si n = 1 y d = 3, la aplicacion de Veronese de grado 3

v3 : P1K → P3

K ya que(d+nd

)− 1 =

(3+1

3

)− 1 = 3

esta dada por v3 : [a0, a1] 7→ [ a30︸︷︷︸x

, a20a1︸︷︷︸y

, a0a21︸︷︷︸

z

, a31︸︷︷︸w

]. Notamos entonces que su

imagen es la curva v3(P1K) = V(xw − yz, y2 − xz,wy − z2) ⊆ P3

K , es decir, lacerradura proyectiva de la cubica alabeada. A esta curva proyectiva se le conocecomo la curva normal racional de grado 3.

Subejemplo 3. Si n = 1 y d es arbitrario, notando que(n+dd

)− 1 =

(d+1d

)− 1 = d,

la aplicacion de Veronese correspondiente es

vd : P1K → PdK dada por [a0, a1] 7→ [ad0, a

d−10 a1, . . . , a

d1].

En el ejercicio 28 se pide probar que la imagen de esta aplicacion es una curvaproyectiva, que generaliza a la cubica alabeada, a la que se conoce como la curvanormal racional de grado d.

En general, se tiene que:

PROPOSICION 2.17. La imagen de la aplicacion de Veronese vd : PnK → Pνn,d

K escerrada, y por lo tanto es una variedad proyectiva, y se tiene un isomorfismo devariedades proyectivas vd : PnK

∼→ vd(PnK) ⊆ Pνn,d

K .

Demostracion. Si V = vd(PnK), se define la funcion u : V ⊆ Pνn,d

K → PnK usandoque las coordenadas de los puntos de V ⊆ Pνn,d

K estan indexadas por los monomiosde grado d en n + 1 variables y por lo tanto las podemos escribir como zi parai = (i0, . . . , un) ∈ Nn+1 con |i| = i0 + · · · + in = d. Observe ahora que en cadapunto de V al menos una de las coordenadas indexadas por los monomios xi00 · · ·xinn


debe ser 6= 0. Sea Ui ⊆ V el subconjunto de puntos con la xdi -coordenada no cero.Entonces, los subconjuntos U0, . . . , Un cubren V y se tienen las funciones

(∗) Ui → PnKdadas mediante z 7→ [z(1,0,...,d−1,...,0), z(0,1,...,d−1,...,0), . . . , z(0,...,d−1,0,...,1)] para z ∈Ui. Dicho en otras palabras, esta funcion manda z a la (n+ 1)-ada cuyas coordena-das estan indexadas por los monomios x0x

d−1i , . . ., xnxd−1

i . Note ahora que en lasinterseccionesUi∩Uj las funciones (∗) coinciden (esto lo dejamos como el ejercicio29) y se tiene ası una funcion

u : V → PnKdada localmente por polinomios y ası es regular, por 2.15. Finalmente, la composi-cion PnK

vd−→ Vu−→ PnK es la identidad porque

[x0, . . . , xn] 7→ vd[x0, . . . , xn] 7→ [x0xd−1i , . . . , xnx

d−1i ] = [x0, . . . , xn]

ya que como xi 6= 0 en Ui, entonces se puede cancelar al factor comun xd−1i .

Similarmente se prueba que la composicion V u−→ PnKvd−→ V es la identidad. �

La aplicacion de Segre. Esta funcion encaja un producto de espacios proyectivosen otro proyectivo y esta dada por

sm,n : PmK × PnK → Pmn+m+nK

definida mediante

([x0, . . . , xm], [y0, . . . , yn]) 7→ [x0y0︸︷︷︸z00

, . . . , xiyj︸︷︷︸zij

, . . . , xmyn︸︷︷︸zmn

]

(fijando primero x0 y aumentando los ındices de yj , luego fijando x1 y aumentandolos ındices de yj , etcetera). Tambien se puede ver como un producto de matrices: z00 · · · z0n

......

zm0 · · · zmn

=

x0...xm

(y0 · · · yn)

donde notamos que cada columna de este producto de matrices es un multiplo detodas las otras columnas, porque las matrices del lado derecho estan en coordenadashomogeneas. Se sigue que la matriz producto tiene rango ≤ 1 y por lo tanto todossus subdeterminantes 2× 2 se anulan. Estos subdeterminantes son de la forma

det(zij zi`zkj zk`

)= zijzk` − zi`zkj

con 0 ≤ i, k ≤ m, 0 ≤ j, ` ≤ n. Usando esta interpretacion del encaje de Segreprobaremos que la imagen de la aplicacion Σm,n = sm,n(PmK × PnK) ⊆ Pmn+m+n

Kes una variedad algebraica proyectiva, la variedad de Segre.

2.3. EJEMPLOS 71

PROPOSICION 2.18. (1). sm,n : PmK × PnK → Pmn+m+nK es inyectiva y su imagen

Σm,n es cerrada, i.e., es un conjunto proyectivo.

(2). Σm,n es irreducible.

Demostracion. Mostraremos que Σm,n = sm,n(PmK × PnK) ⊆ Pmn+m+nK es la va-

riedad proyectiva definida por los ceros de los menores 2 × 2 de la matriz (zij) detamano (m+ 1)× (n+ 1) anterior, i.e, mostraremos que

Σm,n = V(zijzk` − zi`zkj ; para 0 ≤ i, k ≤ m, 0 ≤ j, ` ≤ n).

Para comenzar, por la discusion anterior se tiene que Σm,n ⊆ V(zijzk` − zi`zkj).Por otra parte, si un punto P ∈ Pmn+m+n

K satisface todos los polinomios zijzk` −zi`zkj = 0, arreglando las coordenadas de este punto en forma matricial se obtieneuna matriz (m + 1) × (n + 1) cuyos menores de tamano 2 × 2 se anulan. Estosignifica que la matriz (zij) tiene rango ≤ 1 y por algebra lineal se sabe que todamatriz (m + 1) × (n + 1) de rango r se factoriza como producto de una matriz(m + 1) × r y una matriz r × (n + 1). En el caso que tenemos la matriz (zij) sefactoriza como

(zij) = [(m+ 1)× 1][1× (n+ 1)] =

x0...xm

(y0 · · · yn)

donde en el lado derecho las coordenadas estan determinandas salvo factores esca-lares no nulos. Note finalmente que como (zij) no es la matriz cero, entonces lasmatrices del lado derecho tampoco lo son. Se sigue que (zij) ∈ Σm,n, como sequerıa. Dejamos como un ejercicio el probar que sm,n es inyectiva y que Σm,n esirreducible. �

Subejemplo 4. La aplicacion de Segre s1,1 : P1K × P1

K → P3K esta dada mediante

([x0, x1], [y0, y1]) 7→ [x0y0, x0y1, x1y0, x1y1], donde notamos que cada coordenadaesta dada por un monomio cuadratico. Vemos entonces que su imagen es:

Σ1,1 = V(z00z11 − z01z10) = V(z0z3 − z1z2)

que es una cuadrica en P3K . Observamos ahora que hay dos familias de rectas en

Σ1,1:Las rectas de la forma s1,1(P1

K × {P}), ylas rectas de la forma s1,1({P} × P1

K)y notamos que las rectas del mismo tipo son disjuntas y rectas de tipo distinto seintersectan. La figura siguiente ilustra la superficie reglada correspondiente:

Producto de variedades proyectivas. La aplicacion de Segre permite, entre otrascosas, definir en forma natural una estructura de variedad casi-proyectiva en unproducto cartesiano V ×W de dos variedades casi-proyectivas, ya que el enfoque


ingenuo no funciona, por ejemplo, la topologıa producto en A1K×A1

K no es la topo-logıa de Zariski en A2

K (para convencerse, vea la diagonal). Usando el isomorfismode Segre

sm,n : PmK × PnK ' Σm,n ⊆ Pmn+m+nK

podemos definir el producto de dos variedades V ⊆ PmK y W ⊆ PnK considerandoprimero el producto cartesiano V ×W ⊆ PmK×PnK y luego su imagen bajo el encajede Segre

sm,n(V ×W ) ⊆ sm,n(PmK × PnK) = Σm,n ⊆ Pmn+m+nK .

Ası, el producto de las variedades V y W es sm,n(V ×W ). Por abuso de notacionseguiremos denotando esta conjunto mediante V ×W := sm,n(V ×W ). Note quese tienen las restricciones de las proyecciones

pr1 : V ×W → V y pr2 : V ×W →W

PROPOSICION 2.19. Si V ⊆ PmK y W ⊆ PnK son dos conjuntos proyectivos. Enton-ces,

(1) El producto V ×W ⊆ Pmn+m+nK es un conjunto proyectivo.

(2) Si V y W son irreducibles, entonces V ×W tambien lo es.

(3) V ×W es un producto fibrado, es decir, en el diagrama siguiente el cuadradoconmuta y si U ⊆ PNK es otro conjunto proyectivo junto con aplicaciones p1 : U →V y p2 : U → W tales que el cuadrado externo conmuta, entonces existe un unicomorfismo ϑ : U → V ×W tal que los triangulos externos del diagrama conmutan:

U

p2

%%

p1

##ϑ

$$V ×E W

pr1 //

pr2��

V

f

��W g

// E

Demostracion. (1): Si V = V(fi(x0, . . . , xm)), 1 ≤ i ≤ r, yW = V(gj(y0, . . . , yn)),1 ≤ j ≤ s, y di = gr fi, ej = gr gj , entonces los puntos de V ×W ⊆ PmK × PnKestan dados por los ceros de los polinomios

f∗ik = ydik fi, 1 ≤ i ≤ r, 0 ≤ k ≤ n

g∗j` = xej

` gj , 1 ≤ j ≤ s, 0 ≤ ` ≤ mque claramente son homogeneos y estan en K[x0, . . . , xm, y0, . . . , yn]. �

Proyecciones. Sean `1, . . . , `n−d ∈ K[x0, . . . , xn] polinomios homogeneos linea-les y linealmente independientes. Del algebra lineal sabemos que V(`1, . . . , `n−d)

2.3. EJEMPLOS 73

es un subespacio vectorial de An+1K de dimension d + 1 y por lo tanto viendo este

conjunto de ceros E en el proyectivo correspondiente, E ⊆ PnK es un subespaciolineal de dimension d. Definamos

π : PnK − E → Pn−d−1K

mediante P 7→ [`1(P ), . . . , `n−d(P )]. Se dice que π es una proyeccion con centroE. Si V ⊆ PnK es una variedad disjunta con E, entonces la restriccion de π a Vdefine una aplicacion regular

π : V → Pn−d−1K .

En general, si f1, . . . , fr ∈ K[x0, . . . , xn] son polinomios homogeneos del mis-mo grado y V = V(f1, . . . , fr) ⊆ PnK , entonces se tiene la aplicacion regular

PnK − V → Pr−1K

dada por P 7→ [f1(P ), . . . , fr(P )].

PROPOSICION 2.20. Todo conjunto finito de puntos P1, . . . , Pr de una variedadcasi-proyectiva V ⊆ PnK esta contenido en un abierto afın de V .

Demostracion. Sea V la cerradura de V en PnK y sea U = V − V . Como losPi ∈ V , entonces Pi 6∈ U y por lo tanto existe un polinomio homogeneo fi ∈I(U) ⊆ K[x0, . . . , xn] tal que fi(Pi) 6= 0. Claramente podemos hacer que los fitengan el mismo grado y todavıa se anulen en los Pi correspondientes. Considereahora las combinaciones lineales

f = a1f1 + · · ·+ arfr ∈ K[x0, . . . , xn]

con las ai ∈ K. Entonces, existe una tal combinacion lineal f que no se anula encada uno de los Pi, es decir, Pi ∈ D(f), y como f ∈ I(U) entonces U ⊆ V(f) yası D(f) ∩ V ⊆ V es un abierto afın de V que contiene a todos los Pi. �

2.3.1. Variedades proyectivas racionales

En el ejemplo 11 vimos que la conica proyectiva no degenerada C = V(yz −x2) ⊆ P2

K es biracionalmente equivalente a la recta proyectiva mediante la parame-trizacion

ϕ : P1K → C ⊆ P2

K

definida mediante [u, v] 7→ [uv, u2, v2], con inversaψ : C → P1K dada por [x, y, z] 7→

[z, x] = [x, y].Una variedad casi-proyectiva V ⊆ PnK se dice que es racional si V es biracio-

nalmente equivalente a un PmK (o, equivalentemente, si es biracionalmente equiva-lente a un AmK).


PROPOSICION 2.21. Sea V ⊆ PnK una variedad casi-proyectiva. Son equivalentes:

(1) V es racional.

(2) Kh(V ) ' K(x1, . . . , xm).

(3) Existen abiertos V0 ⊆ V y W0 ⊆ AnK que son isomorfos (biregulares).

Demostracion. Se sigue de 2.15. �

EjerciciosEJERCICIO 26. Muestre que el homomorfismo PGLn+1K � Aut(PnK) es supra-yectivo.

EJERCICIO 27. Por induccion sobre d+ n, demuestre que hay(d+nd

)monomios de

grado d en n+ 1 variables.

EJERCICIO 28. Demuestre que la imagen de la aplicacion de Veronese

v : P1K → PdK

es la curva proyectiva dada por los ceros de los polinomios que se obtienen al tomarlos subdeterminantes 2× 2 de la matriz 2× (d+ 1):(

z0,d z1,d−1 . . . zd−1,1 zd,0z1,d−1 z2,d−2 . . . zd,0 z0,d

).

EJERCICIO 29. En la demostracion de 2.15 muestre que las funciones Ui → PnKcoinciden en las intersecciones.

EJERCICIO 30. Describa las imagenes en V de las rectas en P2K bajo la aplicacion

de Veronese v2 : P2K → V ⊆ P5

K .

EJERCICIO 31. En 2.18 muestre que la aplicacion de Segre sm,n es inyectiva y quesu imagen Σm,n es irreducible.

EJERCICIO 32. Muestre que la proyeccion pr1 : Σm,n → PmK que manda la matriz(zij) a cualquier columna no cero [z0j , z1j . . . , zmj ] es un morfismo suprayectivo.

EJERCICIO 33. Similarmente, muestre que la proyeccion pr2 : Σm,n → PnK quemanda la matriz (zij) a cualquier renglon no cero [zi0, zi1 . . . , zin] es un morfismosuprayectivo.

EJERCICIO 34. Dado Q = [a0, . . . , an] ∈ PnK , demuestre que la composicionPmK

sm,n−→ Pmn+m+nK

pr1−→ PmK dada por P 7→ sm,n(P,Q) 7→ pr1(P,Q) es la identi-dad. Aquı, pr1 es la proyeccion del ejercicio 32.

EJERCICIOS 75

EJERCICIO 35. Sean P0, . . . , Pk ∈ PnK puntos distintos. Demuestre que existe un hi-perplanoH ⊆ PnK que pasa por P0 pero que no pasa por los otros puntos P1, . . . , Pk.

EJERCICIO 36. Muestre que la imagen de la aplicacion de Segre no esta contenidaen un hiperplano de Pmn+m+n

K .

EJERCICIO 37. Si V , W son variedades afines o proyectivas, demuestre que lasproyecciones π1 : V ×W → V y π2 : V ×W →W son funciones abiertas.

Capıtulo3Dimension

Comenzando con la nocion puramente algebraica de grado de trascendenciapara definir la dimension de una variedad algebraica, introduciremos despues lasnociones de dimension (topologica) de Krull de un espacio topologico culminandocon el teorema principal (3.8) donde se prueba que las nociones anteriores coincidencon la dimension de Krull del anillo de coordenadas de la variedad dada. Comenza-mos con el caso afın.

3.1. Dimension de variedades afinesSi V es una variedad algebraica afın, como es irreducible su anillo de coorde-

nadas K[V ] es un dominio entero (1.12), y su campo de fracciones K(V ) es unaextension del campo K. Al grado de trascendencia de esta extension se le llama ladimension de la variedad V :

dimV := grtrK K(V ).

Una consecuencia inmediata es que la dimension es un invariante biracional:

COROLARIO 3.1. Si V ⊆ AmK y W ⊆ AnK son variedades afines o casi-afines yf : V 99KW es una aplicacion biracional, entonces dimV = dimW .

Demostracion. Por 1.33 (vea tambien 2.16) f : V 99K W es biracional implica quef∗ : K(W ) ' K(V ) y ası el resultado se sigue. �

Ejemplo 1. Un conjunto algebraico irreducible V ⊆ AnK tiene dimension dimV = 0si y solo si V consiste de un unico punto P . En efecto, si V = {P}, entoncesK[V ] = K ya que I(P ) = 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉, donde P = (a1, . . . , an). DeK[V ] = K se sigue que K(V ) = K y por lo tanto grtrK K(V ) = 0. Recıpro-camente, si V = V(p) con p ⊆ K[x1, . . . , xn] un ideal primo y si dimV = 0 =grtrK K(V ), entonces K(V )/K es una extension algebraica, y como K es alge-braicamente cerrado, entonces K(V ) = K. De las inclusiones

K ⊆ K[V ] ⊆ K(V ) = K

77

78 3. DIMENSION

se sigue que K = K[V ] y por lo tanto p es un ideal maximo de K[V ] y consecuen-temente V = {P} es un punto.

Ejemplo 2. Para el espacio afın se tiene que:

dimAnK = grtrK K(AnK) = grtrK K(x1, . . . , xn) = n.

Ejemplo 3. Si V ⊆ AnK es un subespacio lineal (o el trasladado de un espaciolineal) dado por polinomios lineales f1, . . . , fm ∈ K[x1, . . . , xn], del algebra li-neal sabemos que reduciendo el sistema de ecuaciones lineales correspondiente seobtiene un sistema de ecuaciones escalonado dado por r (donde r es el rango dela matriz correspondiente al sistema con los fi) polinomios lineales (homogeneos)`i = 0, linealmente independientes, cuyo espacio de soluciones es el mismo que eldel sistema original y sabemos que la dimension del espacio vectorial de solucioneses d = n − r. Observamos ahora que si I ⊆ K[x1, . . . , xn] es el ideal generadopor los polinomios lineales homogeneos linealmente independientes `1, . . . , `r, y sixi1 , . . . , xin−r son tales que

{`1, . . . , `r, xi1 , . . . , xin−r}es una base del subespacio vectorial K[x1, . . . , xn]1 de polinomios lineales ho-mogeneos, entonces

K[x1, . . . , xn]1/I ' K[xi1 , . . . , xin−r ]1.

En efecto, el isomorfismo es trivial si `1 = x1, . . . , `r = xr. En el caso gene-ral, como {x1, . . . , xn} y {`1, . . . , `r, xi1 , . . . , xin−r} son bases de K[x1, . . . , xn]1,cada elemento de un conjunto se puede expresar como combinacion lineal de loselementos del otro conjunto y por lo tanto

K[x1, . . . , xn]1 = K[`1, . . . , `r, xi1 , . . . , xin−r ]1y consecuentemente

K[x1, . . . , xn]1/I = K[`1, . . . , `r, xi1 , . . . , xin−r ]1/I ' K[xi1 , . . . , xin−r ]1como se querıa. Por lo tanto el anillo de coordenadas de V = V(I) es K[V ] =K[xi1 , . . . , xin−r ] = K[t1, . . . , td] y ası la dimension de la variedad afın lineal Ves

dimV = grtrK K(t1, . . . , td) = d

la ultima igualdad por el ejemplo anterior. Note que esta dimension de V coincidecon la dimension de V como espacio vectorial (si pasa por el origen), lo cual esevidencia de que la definicion de dimension esta bien elegida.

En el caso particular cuando V = V(f), con f ∈ K[x1, . . . , xn] un polinomiolineal no nulo, el rango de la matriz asociada es r = 1 y ası la dimension de V esdimV = n− 1. Que esto sucede en el caso general es el ejemplo siguiente:

3.1. DIMENSION DE VARIEDADES AFINES 79

Ejemplo 4. Si f ∈ K[x1, . . . , xn] es un polinomio no constante, recordemos que suconjunto de ceros V := V(f) ⊆ AnK es una hipersuperficie. Como K[x1, . . . , xn]es un dominio de factorizacion unica la hipersuperficie V es irreducible si y solosi el polinomio f es irreducible y por lo tanto el anillo de coordenadas K[V ] de lahipersuperficie es un dominio entero. Escribamos

K[V ] = K[x1, . . . , xn]/〈f〉

y poniendo ti = xi + 〈f〉 observamos que estos generan K[V ] por lo que K[V ] =K[t1, . . . , tn]. Sea K(t1, . . . , tn) el campo de fracciones de K[t1, . . . , tn].

Observe ahora que, como f no es cero, alguna de las variables xi ocurre en f .Renumerando si hiciera falta, podemos suponer que xn ocurre en f . Entonces, xnocurre en todos los multiplos no cero de f y por lo tanto ningun polinomio no cerog(x1, . . . , xn−1) esta en el ideal 〈f〉, es decir, no se tiene que g(t1, . . . , tn) = 0 enK[V ]. Se sigue que t1, . . . , tn−1 son algebraicamente independientes, y como tn esalgebraico sobre K(t1, . . . , tn−1) porque satisface el polinomio no nulo f viendolocomo

f = ar(t1, . . . , tn−1)xrn + · · ·+ a1(t1, . . . , tn−1)xn + a0(t1, . . . , tn−1)

con los ai(t1, . . . , tn−1) ∈ K(t1, . . . , tn−1). Entonces t1, . . . , tn−1 es una base tras-cendente para K(t1, . . . , tn) sobre K, i.e., grtrK K(t1, . . . , tn) = n− 1, es decir

dim V(f) = n− 1.

De hecho, se tiene el recıproco (3.3) de este ejemplo, y para demostrarlo nece-sitaremos el resultado siguiente (comparelo ademas con la parte 3 de 3.9), dondepara V ⊆ AnK un conjunto algebraico arbitrario (i.e., puede ser reducible) se definela dimension de V como el supremo de las dimensiones de sus componentes irre-ducibles (maximo de hecho, porque V solo tiene un numero finito de componentesirreducibles por 1.11).

LEMA 3.2. Si V ⊆ AnK es una variedad afın (irreducible) y W V es un subcon-junto afın contenido propiamente, entonces dimW < dimV .

Demostracion. Para comenzar, podemos suponer queW es irreducible, ya que sien-do V union finita de sus componentes irreducibles basta probar que para cada unade estas se tiene la desigualdad deseada. Entonces, si I(V ) ⊆ K[x1, . . . , xn] y siI(W ) ⊆ K[x1, . . . , xn] son los ideales primos correspondientes a esas variedadesirreducibles, por la correspondencia entre ideales primos de K[V ] e ideales primosdeK[x1, . . . , xn] que contienen a I(V ) y comoW V implica que I(V ) I(W ),entonces a I(W ) le corresponde el ideal primo p = I(W )/I(V ) 6= 0 de K[V ] y poruno de los teoremas de isomorfismo de Noether,

K[W ] = K[x1, . . . , xn]/I(W ) '(K[x1, . . . , xn]/I(V )

)/(I(W )/I(V )

)= K[V ]/p.

80 3. DIMENSION

Escribamos

K[V ] = K[x1, . . . , xn]/I(V ) = K[t1, . . . , tn] con ti = xi + I(V )

y observemos que para las inclusiones W ↪→ V ↪→ AnK los morfismos inducidos enlos anillos de coordenadas correspondientes son restricciones:

K[x1, . . . , xn]→ K[V ]→ K[W ]

y ası, para f ∈ K[V ] la imagen f de f en K[V ]/p = K[W ] es la restriccion de fa W . Con esta notacion, para las ti ∈ K[V ] se tiene que K[W ] = K[ t1, . . . , tn].Supongamos ahora que dimW = d, y renumerando si hiciera falta, que t1, . . ., tdson algebraicamente independientes, i.e., forman una base trascendente de K(W )sobre K. Mostraremos que para cualquier elemento no cero f ∈ p, los d + 1 ele-mentos t1, . . . , td, f son algebraicamente independientes en K(V ) y por lo tantodimV ≥ d + 1, que es lo que se requiere. En efecto, si sucediera lo contrarioexistirıa una relacion polinomial no trivial entre las ti y f , digamos

(∗) am(t1, . . . , td)fm + am−1(t1, . . . , td)fm−1 + · · ·+ a0(t1, . . . , td) = 0

con ai(t1, . . . , td) ∈ K[t1, . . . , td] y alguno de ellos distinto de cero. Como V esirreducible entoncesK[V ] es un dominio entero y por lo tanto, si hiciera falta, pode-mos cancelar una potencia de f y suponer que el termino constante a0(t1, . . . , td) 6=0. Aplicando el morfismo K[V ] → K[W ] a la igualdad (∗), i.e., restringiendo lasfunciones de (∗) a W , y notando que f ∈ p implica que f = 0, obtenemos que

a0(t1, . . . , td) = 0

que es una relacion polinomial no trivial entre las ti, lo que contradice su indepen-dencia algebraica. �

PROPOSICION 3.3. Sea V ⊆ AdK una variedad afın (irreducible) tal que K[V ] esun DFU (por ejemplo, V = AdK). Si W V es una subvariedad cerrada propia,entonces W es pura de dimW = dimV − 1 si y solo si I(W ) = 〈f〉, para algunf ∈ K[V ], i.e., si y solo si W es una hipersuperficie afın.

Demostracion. Para la implicacion faltante, supongamos queW es pura de dimW =dimV − 1. Si W =

⋃ri=1Wi es la descomposicion en irreducibles de W , enton-

ces I(W ) =⋂ri=1 I(Wi) por 1.2. Por lo tanto, si probamos que I(Wi) = 〈fi〉,

entonces I(W ) = 〈f1 · · · fr〉 y ası podemos suponer que W es irreducible por loque p := I(W ) es un ideal primo de K[V ], que es no nulo porque de otra manerase tendrıa que dimW = dimV , lo cual es contrario a la hipotesis. Se sigue quep = I(W ) contiene al menos un polinomio irreducible f y como K[V ] es un DFUentonces 〈f〉 es un ideal primo no nulo y por lo tanto V〈f〉 V . Si sucediera que〈f〉 p entonces

(∗) W = V(p) V〈f〉 V

EJERCICIOS 81

y ası, por 3.1 se tendrıa que dimW < dim V〈f〉 < dimV y por lo tanto dimW ≤dimV − 2, en contradiccion con la hipotesis. �

NOTA. En la segunda inclusion propia en (∗) e implıcitamente en la notacion p =I(W ) ⊆ K[V ] (y tambien en la demostracion de 3.1) usamos que si I(V ) ⊆K[x1, . . . , xn] y si I(W ) ⊆ K[x1, . . . , xn], por la correspondencia entre idealesprimos de K[V ] e ideales primos de K[x1, . . . , xn] que contienen a I(V ) y comoW V implica que I(V ) I(W ), entonces a I(W ) le corresponde el ideal primop = I(W )/I(V ) 6= 0 de K[V ]. Y como f ∈ p es irreducible, entonces no es cero ypor lo tanto I(V ) = 0 〈f〉 y ası V(f) V(I(V )) = V .

Ejemplo 5. La conclusion de 3.3. puede ser falsa si K[V ] no es un DFU. El con-traejemplo lo provee la cuadrica V = V(xw − yz) ⊆ A4

K cuya dimension esdimV = 3 y considere los planos, contenidos en V :

W = {(x, 0, z, 0)} y W ′ = {(0, y, 0, w)}y note que W ∩ W ′ = {(0, 0, 0, 0)}. Si sucediera que W = V(f) para algunaf ∈ K[V ], entonces V(f |W ′) = V(f) ∩W ′ = W ∩W ′ = {(0, 0, 0, 0)} que tienedimension 0, lo cual contradice 3.3 ya que segun esta proposicion se deberıa de tenerque dim V(f |W ′) = dimW ′−1 = 1. Se sigue queW 6= V(f) y consecuentemente

K[V ] = K[x, y, z, w]/〈xw − yz〉no es un DFU.

Ejemplo 6. En el ejercicio 2 de §1.1 se pedıa clasificar los subconjuntos afines irre-ducibles del plano A2

K . Usando la nocion de dimension y el lema 3.2 lo anterior esfacil:

(i) Si V ⊆ A2K tiene dimension 2, entonces por 3.2 y el ejemplo 2 no puede

ser un subconjunto propio y ası V = A2K .

(ii) Si dimV = 1, por el ejemplo 2, V A2K y ası, por 3.3, V = V(f) con

f ∈ K[x, y] irreducible.(iii) Si dimV = 0, por el ejemplo 1, V = {P} es un punto.Conviene definir la dimension del conjunto vacıo como dim ∅ = −1.

EjerciciosEJERCICIO 1. El ejercicio 1 de §1.1 se puede hacer mas facilmente con la nocionde dimension. Demuestre que si f, g ∈ K[x, y] son polinomios coprimos, entoncesV(f) ∩ V(g) es un conjunto finito. Sugerencia: muestre que V(f) ∩ V(g) V(f).

EJERCICIO 2. Sean V ⊆ AnK algebraico (no necesariamente irreducible) y f ∈K[V ]. Demuestre que:

82 3. DIMENSION

(i) V(f) = ∅ si y solo si f es una unidad de K[V ].(ii) V(f) contiene una componente irreducible de V si y solo si f es un divisor

de cero en K[V ].

EJERCICIO 3. Si V ⊆ AmK y W ⊆ AnK son variedades afines y V ×W ⊆ Am+1K '

AmK × AnK es su producto, demuestre que dim(V ×W ) = dimV + dimW .

EJERCICIO 4. Si V = V(y − x2) ⊆ A2K , calcule su anillo de coordenadas y su

campo de funciones para concluir que dimV = 1. Haga lo mismo para cada conicano degenerada.

EJERCICIO 5. Si V ⊆ AnK es un variedad afın tal que K[V ] es un DFU, demuestre

que todo ideal primo mınimo de K[V ] es principal. Use lo anterior para dar otrademostracion de 3.3. Sugerencia: para las componentes irreducibles Wi de W losideales I(Wi) son primos mınimos de K[V ].

3.2. El teorema del ideal principal y la dimension de KrullHemos visto en 1.1 que mientras mas polinomios se tengan, menos soluciones

existen, i.e., si E ⊆ E′ ⊆ K[x1, . . . , xn] se tiene que V(E′) ⊆ V(E). El resultadofundamental que probaremos ahora (y que generaliza una parte de 3.3) dice quecuando se impone una condicion polinomial adicional en un conjunto algebraicoafın la dimension no baja mas que lo que uno espera, por ejemplo pensando ensistemas de ecuaciones del algebra lineal cuando uno anade una ecuacion extra. Parala demostracion necesitaremos un resultado de E. Noether, el lema de normalizacion(3.18), que probaremos en la seccion siguiente y tambien un resultado (3.5) sobrenormas de extensiones que probamos a continuacion:

LEMA 3.4. SeanA un dominio entero integralmente cerrado (por ejemplo, un DFU)y L una extension finita del campo de fraccionesK deA. Entonces, α ∈ L es enterosobre A si y solo si su polinomio monico irreducible Irr(α,K) tiene coeficientes enA.

Demostracion. Para la implicacion no trivial, si α es entero sobreA, entonces existeuna ecuacion polinomial para α:

(1) αm + am−1αm−1 + · · ·+ a1α+ a0 = 0 con los ai ∈ A

Si α es cualquier conjugado deα, i.e., una raız de Irr(α,K), se tiene unK-isomorfismo

K(α)φ // K(α)

K

EEEEEEEE

yyyyyyyy

3.2. EL TEOREMA DEL IDEAL PRINCIPAL Y LA DIMENSION DE KRULL 83

que manda α en α. Aplicando φ a la igualdad (1) se sigue que

αm + am−1αm−1 + · · ·+ a1α+ a0 = 0

lo cual muestra que α es entera sobre A. Ası, todos los conjugados de α son enterossobre A y de la relacion de Viete entre los coeficientes y raıces de un polinomiose sigue que los coeficientes de Irr(α,K) son enteros sobre A y como estos coefi-cientes estan en K que es el campo de fracciones de A y como A es integralmentecerrado, entonces estos coeficientes estan en A, como se querıa. �

PROPOSICION 3.5. Sea A un dominio entero con campo de fracciones K y sea Luna extension finita, de grado n, de K. Si α ∈ L es entero sobre A, entonces sunorma NmL/K(α) ∈ L tambien es entera sobre A y, de hecho, NmL/K(α) ∈ A, yα divide a NmL/K(α) en el anillo A[α].

Demostracion. Sea f(x) = Irr(α,K) = xr + ar−1xr−1 + · · ·+ a0 y sea F/K un

campo de descomposicion de f(x). Escribamos

f(x) = (x− α1) · · · (x− αr) con α1 = α, α1 · · ·αr = ±a0 y los αi ∈ F .Como α es entero sobre A, en la demostracion del lema anterior se vio que cadauno de sus conjugados αi tambien lo es y por lo tanto

NmL/K(α) =( r∏i=1

αi

)[L:K(α)]

es entero sobre A. Mas aun, NmL/K(α) = ±an/r0 ∈ A, donde n = [L : K], ya quepor el lema previo los coeficientes de f(x) estan en A. Ahora, de la igualdad

0 = αr + ar−1αr−1 + · · ·+ a1α+ a0 = α

(αr−1 + ar−1α

r−2 + · · ·+ a1

)+ a0

se sigue que α divide a a0 enA[α] y por lo tanto divide a NmL/K(α) = ±an/r0 . �

Si todas las componentes irreducibles de un conjunto algebraico afın V tienenla misma dimension d diremos que V tiene dimension pura d, o que V es pura oequidimensional de dimension d.

TEOREMA 3.6 (Teorema del ideal principal de Krull). Si V es una variedad afınirreducible y f ∈ K[V ] es no nula pero tiene un cero en V , entonces su conjuntode ceros V(f) es puro de dimension dim V(f) = dimV − 1.

Demostracion. Mostramos primero que es suficiente probar la proposicion en elcaso cuando V(f) es irreducible. En efecto, si W0, . . . ,Wr son las componentesirreducibles de V(f), entonces existe un punto P ∈ W0 que no esta en todas lasotras Wi, porque de lo contrario W0 ⊆W1 ∪ · · · ∪Wr y la descomposicion V(f) =W0 ∪ · · · ∪Wr serıa redundante. Ahora, como W1, . . . ,Wr son cerrados, existe unavecindad abierta U0 de P en V que solo intersecta a W0 y es disjunta con las otras

84 3. DIMENSION

Wi, por ejemplo U0 = D(g) con g 6∈ p0 y g ∈ p1∩· · ·∩pr, donde pi = I(Wi) (noteque la irredundancia de la descomposicion de V(f) corresponde al hecho de que nopuede pasar que p0 ⊆ p1 ∩ · · · ∩ pr, que es lo que usamos en las lıneas anteriores).Se sigue que V(f |U0) = W0 ∩ U0 el cual es irreducible no vacıo y abierto en W0, yası basta probar que V(f |U0) es de dimension dimV − 1.

Podemos entonces suponer que V(f) es irreducible y por lo tanto√〈f〉 =: p es

un ideal primo deK[V ] y consecuentementeK[V(f)] es un dominio entero. Por otraparte, como V es irreducible entoncesK[V ] es un dominio entero y como es unaK-algebra finitamente generada, por el lema de normalizacion de Noether 3.18 existenelementos y1, . . . , yd ∈ K[V ] algebraicamente independientes sobre K tales queK[V ] es entero sobre K[y1, . . . , yd] = K[AdK ] y K(y1, . . . , yd) = K(AdK) →K(V ) es una extension finita de campos. Si Nm : K(V )→ K(AdK) es la norma deesta extension, para f ∈ K(V ) sea f0 = Nm(f) ∈ K(AdK). Mostraremos que

(1) p ∩K[AdK ] =√〈f0〉.

Antes de probar lo anterior, observe que (1) implica que el morfismo inducidopor la inclusion K[AdK ] ↪→ K[V ] al pasar a los cocientes

(2) K[AdK ]/√〈f0〉 = K[AdK ]/p ∩K[AdK ]� K[V ]/p = K[V(f)]

es inyectivo. Mas aun, como K[V ] es finitamente generado como K[Ad]-modulo,entonces en (2) se tiene que K[V ]/p = K[V(f)] es finitamente generado comoK[Ad]/

√〈f0〉-modulo. Se sigue que

dim V(f) = grtrK K(V(f)) = grtrK K(V(f0)) = dim V(f0)

donde notamos que como f 6= 0 entonces f0 6= 0 y f0 ∈ p implica que f0

no es constante. Finalmente, por 3.3 para el cerrado V(f0) ⊆ AdK se tiene quedim V(f0) = d− 1.

Resta probar la afirmacion (1). Como ya observamos, por el lema de normali-zacion de Noether K[V ] es entero sobre K[Ad] y por 3.5 la norma Nm : K(V ) →K(Ad) manda elementos enteros (por ejemplo, f ) de K(V ) en enteros de K(An)y como K[Ad] es integralmente cerrado ya que es DFU, entonces estos elementosenteros estan en K[Ad], i.e., f0 = Nm(f) ∈ K[Ad]. Se sigue que f divide a f0 enK[V ] y por lo tanto f0 ∈ 〈f〉 ⊆ p y consecuentemente 〈f0〉 ⊆ p∩K[Ad] por lo que√

〈f0〉 ⊆ p ∩K[Ad]porque p es primo y por lo tanto es radical. Para la inclusion faltante, si g ∈ p ∩K[Ad] entonces g ∈ p =

√〈f〉 y por lo tanto gm ∈ 〈f〉, i.e, gm = fh para algun

h ∈ K[V ] y algun m ≥ 1. Tomando normas en esta igualdad, recordando que sie = [K(V ) : K(Ad)] como gm ∈ K[Ad] se tiene que que Nm(gm) = gme, seobtiene que

gme = Nm(fh) = Nm(f) Nm(h) = f0 Nm(h) ∈ 〈f0〉


por lo que g ∈√〈f0〉, lo cual prueba la inclusion que faltaba. �

COROLARIO 3.7. Si V es una variedad afın irreducible yW V es un subconjuntocerrado irreducible propio maximo, entonces dimW = dimV − 1.

Demostracion. Como en la nota despues de la demostracion de 3.3, si I(V ) = P eI(W ) = p, se tiene que P p por lo tanto existe una f ∈ K[V ] no cero, i.e., tal quef 6∈ P y la podemos elegir tal que f ∈ p−P, es decir, existe f una funcion regularno cero en V y que se anula en W . Sea V(f) el conjunto de ceros de f (contenidoen V ). Entonces, W ⊆ V(f) ⊆ V , y W debe ser una componente irreducible deV(f) porque si no lo fuera no serıa maximo en V . Por la proposicion anterior V(f)es puro de dimension dimV −1 y comoW es una de sus componentes irreducibles,entonces dimW = dim V(f) = dimV − 1. �

NOTA. Para otras formulaciones del teorema 3.6, vea 3.29 y el ejercicio 7 de estaseccion, donde se ((algebriza)) toda la situacion en el teorema del ideal principal deKrull y donde notamos que, en la demostracion de 3.6 se redujo al caso cuando f esun polinomio irreducible, en cuyo caso el ideal 〈f〉 = p es primo.

Dimension de una variedad y dimension de Krull. El resultado principal es:

TEOREMA 3.8. Si V es una variedad afın irreducible, entonces la dimension dimVde V es el supremo de los enteros n tales que se tiene una cadena de subconjuntoscerrados irreducibles no vacıos de V :

(1) V = V0 ! V1 ! · · · ! Vn.

Mas aun, la dimension de V es el supremo de los enteros n tales que se tiene unacadena de ideales primos del anillo de coordenadas K[V ]:

(2) p0 p1 · · · pn.

Demostracion. Sabemos, por 1.9, que V es noetheriano y por lo tanto las cadenas(1) anteriores son finitas. Supongamos que V = V0 ! V1 ! · · · ! Vd es una cadenamaxima de cerrados irreducibles no vacıos de V . Por el corolario 3.7

dimVi+1 = dimVi − 1 para 0 ≤ i ≤ d− 1.

Se sigue que

dimV0 = dimV1 +1 = dimV2 +2 = · · · = dimVd−1 +(d−1) = dimVd+d = d

la ultima igualdad porque siendo V afın sus puntos son conjuntos irreducibles por1.5 y 1.13 y siendo la cadena anterior maxima se debe tener que Vd es un puntoy por lo tanto su dimension debe ser 0. Como V = V0, se sigue que dimV = d.Finalmente, por la correspondencia (1.1) y por (1.2) a la cadena (1) de cerrados

86 3. DIMENSION

irreducibles no vacıos de una variedad V le corresponde una sucesion (2) finita deideales primos del anillo K[V ]

p0 p1 · · · pd

y esta cadena es maxima porque la cadena (1) lo es. �

Dimension de Krull de un espacio topologico. Si X es un espacio topologico, sudimension (topologica de Krull), denotada dimX , es el supremo de los enteros ntales que se tiene una cadena de subconjuntos cerrados irreducibles no vacıos de X:

(∗) Z0 ! Z1 ! · · · ! Zn.

Ası, el teorema anterior dice que la dimension de una variedad afın es su dimensionde Krull como espacio topologico.

Dimension de Krull de un anillo. Si A es un anillo conmutativo, una cadena delongitud n de ideales primos de A es una sucesion finita de ideales primos de Aincluidos propiamente uno en otro:

p0 p1 · · · pn.

La dimension de Krull de un anilloA es el supremo de las longitudes de las cadenasde ideales primos de A. Usaremos la misma notacion dimA para la dimension deKrull de un anillo A. Ası, el teorema 3.8 dice que la dimension de una variedadafın V es igual a la dimension de Krull del anillo de coordenadas K[V ], y comoobservamos antes tambien es igual a la dimension de Krull del espacio topologicosubyacente a V .

Ejemplo 7. Un espacio topologico Hausdorff tiene dimension cero porque, por elejercicio 10 de §1.1, sus puntos son los unicos subconjuntos irreducibles.

PROPOSICION 3.9. Sea X un espacio topologico.

(1) Si Y ⊆ X es cualquier subconjunto, entonces dimY ≤ dimX .

(2) Si {Xi} es la familia de componentes irreducibles de X , entonces dimX =sup{dimXi}.

(3) SiX es irreducible de dimension finita, entonces para todo subconjunto cerradoY ⊆ X , dimY = dimX si y solo si Y = X .

Demostracion. (1): Si Y1 ! Y2 son dos cerrados irreducibles de Y y si Xi = Y i sonsus cerraduras enX , entonces losXi son irreducibles (1.7) yX1 ! X2. El resultadose sigue.

(2): En cualquier cadena (∗), Zn esta contenido en una de las componentes irredu-cibles Xi de X por 1.8.


(3): Para la implicacion no trivial, si Y0 ! Y1 ! · · · ! Yn es una cadena maximade cerrados irreducibles no vacıos de Y , como Y ⊆ X es cerrado, entonces esta esuna cadena de cerrados irreducibles en X . Si sucediera que Y X , como X esirreducible, entonces en X se tendrıa la cadena X ! Y0 ! Y1 ! · · · ! Yn, lo cualcontradice el que dimY = dimX . �

Ejemplo 8. Un campo K tiene dimension de Krull dimK = 0.

Ejemplo 9. Para el anillo de enteros Z sus ideales primos son 〈0〉 y 〈p〉 = pZ, parap > 0 un entero primo; mas aun, los 〈p〉 son ideales maximos. Por lo tanto lascadenas de ideales primos en Z son todas de la forma 0 〈p〉 y ası dimZ = 1.

Ejemplo 10. Si K es un campo algebraicamente cerrado, para el anillo de polino-mios K[x], sus ideales primos son el cero 0 y los ideales principales de la forma〈x− a〉 con a ∈ K. Por lo tanto dimK[x] = 1.

Ejemplo 11. Si K es cualquier campo, para el anillo de polinomios en n indetermi-nadas K[x1, . . . , xn] se tiene que

〈0〉〈x1〉〈x1, x2〉 · · · 〈x1, . . . , xn〉es una cadena de ideales primos de longitud n y por lo tanto

dimK[x1, . . . , xn] ≥ n.De hecho, por el teorema 3.8 se tiene que

dimK[x1, . . . , xn] = n

ya que por el ejemplo 2 el grado de trascendencia del campo de cocientes corres-pondiente es n.

Una consecuencia inmediata del teorema 3.8 y de 3.9 es:

COROLARIO 3.10. Si V ⊆ AnK es una variedad afın, entonces dimV ≤ n.

Demostracion. Como V ⊆ AnK , entonces por 3.9 dimV ≤ dimAnK y ası el resulta-do se sigue del ejemplo 2 o del 10. �

Ejemplo 12. Por el ejemplo 4 y el teorema 3.8 se sigue que la dimension (topologica)de una hipersuperficie V = V(f) ⊆ AnK es n− 1.

Ejemplo 13. El teorema 3.8 muestra que, para el espacio afın AnK , su anillo de coor-denadas K[AnK ] = K[x1, . . . , xn] tiene dimension de Krull:

dimK[AnK ] = dimK[x1, . . . , xn] = n.

La dimension es una nocion local. Mostraremos que la dimension de una variedadirreducible V ⊆ AnK es igual a la dimension de Krull de cualquier abierto no vacıo

88 3. DIMENSION

U ⊆ V , al cual podemos suponer que es irreducible porque si no lo es consideramosuna componente irreducible de dimension maxima.

PROPOSICION 3.11. Si V ⊆ AnK es una variedad afın (irreducible) y U ⊆ V es unabierto no vacıo, entonces dimU = dimV .

Demostracion. En la igualdad se interpreta dimU como la dimension de Krulldel espacio topologico U . Ahora, como U 6= ∅, entonces U contiene un basicoD(f) con f ∈ K[V ] no nulo. De las inclusiones D(f) ⊆ U ⊆ V se sigue quedimD(f) ≤ dimU ≤ dimV . Observe ahora que por el ejercicio 37 de §1.3, D(f)es isomorfo a una variedad afın y por el mismo ejercicio K[D(f)] ' K[V ]f yclaramente los campos de fracciones de K[V ] y K[V ]f son iguales y por lo tanto

dimD(f) = dimK[V ]f = grtrK K(V ) = dimK[V ] = dimV.

�

Dimension local. Si X es un espacio topologico y x ∈ X es un punto, al ınfimo

dimxX := ınf{dimU : U es vecindad abierta de x}se le llama la dimension local de X en x.

PROPOSICION 3.12. Si X es un espacio topologico, entonces

dimX = sup{dimxX : x ∈ X}.

Demostracion. Por la parte 1 de 3.9 se tiene que dimxX ≤ dimX . Ahora, seaX0 ! X1 ! · · · ! Xn una cadena de cerrados irreducibles de X . Si x ∈ Xn

entonces para cualquier vecindad abierta U de x los conjuntos U ∩Xi forman unacadena de cerrados (irreducibles) de U y por lo tanto dimU ≥ n y ası dimxX ≥ ny consecuentemente dimxX ≥ dimX . �

Codimension. Si X es un espacio topologico de dimension de Krull dimX finita,por 3.9 para todo subespacio Y ⊆ X se tiene que dimY ≤ dimX y se define lacodimension de Y en X es

codimY = codimX Y = dimX − dimY.

En particular, siW ⊆ V es una subvariedad de una variedad afın V , por 3.10 dimVes finita, y la codimension de W en V es

codimW = codimV W = dimV − dimW.

COROLARIO 3.13. Si V ⊆ AnK es una variedad afın (irreducible), f1, . . . , fr ∈K[V ] (funciones regulares en V ) yW es una componente irreducible de V(f1, . . . , fr),entonces

codimW ≤ r,es decir, dimW ≥ dimV − r. Equivalentemente, dim V(f1, . . . , fr) ≥ dimV − r,generalizando el teorema del ideal principal de Krull.


Demostracion. Induccion sobre r. Si r = 1 es el teorema del ideal principal de Krull.Supongamos valido para< r. ComoW es cerrado irreducible de V(f1, . . . , fr), en-tonces W es cerrado irreducible de V(f1, . . . , fr−1) y por lo tanto W esta con-tenido en una componente irreducible W ′ de V(f1, . . . , fr−1). Por hipotesis deinduccion se tiene que codimW ′ ≤ r − 1, o equivalentemente que dimW ′ ≥dimV − (r− 1). Ahora, W es componente irreducible de W ′ ∩V(f1, . . . , fr) por-que W ⊆W ′ ∩V(f1, . . . , fr) ⊆ V(f1, . . . , fr) y W es maximo cerrado irreduciblede V(f1, . . . , fr). Si fr se anula en todo W ′, entonces W ′ ⊆ V(f1, . . . , fr) y comoW ⊆ W ′ con ambas irreducibles maximas se sigue que W = W ′ y consecuente-mente codimW = codimW ′ ≤ r−1 y ya acabamos. Si fr no se anula en todoW ′,por el teorema del ideal principal de Krull 3.6 se tiene que V(fr) es puro de dimen-sion dimW ′−1 y comoW ⊆ V(fr) es irreducible, entonces dimW = dimW ′−1por lo tanto

dimW = dimW ′ − 1 ≥ dimV − (r − 1)− 1 = dimV − r.�

Ejemplo 14. En el corolario 3.13 anterior, en general no todas las componentes deV(f1, . . . , fr) tienen la misma dimension, y la desigualdad codimW ≤ r puede serestricta para todas ellas sin que haya redundancia en los polinomios fi. En efecto,considere primero el cono

V = V(xw − yz) ⊆ A4K

y note queV(x) ∩ V = {(0, 0, z, w)} ∪ {(0, y, 0, w)}

y como dimV = 3, entonces ambos planos tienen codimension 1 en V (por Krull).Similarmente,

V(y) ∩ V = {(0, 0, z, w)} ∪ {(x, 0, z, 0)}.Pero,

V(x, y, xw − yz) = V(x) ∩ V(y) ∩ V = {(0, 0, z, w)}consiste de un unico plano, de codimension 1 en V y ası todas las componentesirreducibles de V(x, y, xw − yz) tienen codimension 1 < 3.

PROPOSICION 3.14. Sea W una subvariedad irreducible de codimension r en unavariedad afın V . Entonces, existen r funciones regulares f1, . . . , fr ∈ K[V ] talesque W es una componente irreducible de V(f1, . . . , fr) y todas las componentesirreducibles de V(f1, . . . , fr) tienen codimension r.

Demostracion. En 3.8 vimos que existe una cadena de subconjuntos cerrados irre-ducibles no vacıos:

(1) V = W0 !W1 ! · · · !Wr = W.

90 3. DIMENSION

tales que codimWj−1 Wj = 1 y por lo tanto codimWj = j. Por induccion mos-traremos que existen f1, . . . , fr ∈ K[V ] tales que para toda j ≤ r, Wj es unacomponente irreducible de V(f1, . . . , fj) y ademas todas las componentes irreduci-bles de V(f1, . . . , fj) tienen codimension igual a codimWj = j. En efecto, paraj = r = 1, sea f1 ∈ I(W1) = I(W ) no nula y aplicamos el teorema de Krull3.6. Supongamos ahora que ya se tienen f1, . . . , fj−1 con las propiedades reque-ridas. Sean Y1 = Wj−1, . . . , Ym las componentes irreducibles de V(f1, . . . , fj−1)(que estamos suponiendo que tienen codimension j − 1). Buscamos un fj que seanule en todo Wj pero que no sea identicamente cero en cualquiera de los Yi, yaque entonces, para ese fj , todas las componentes irreducibles de Yi ∩ V(fj) tienencodimension 1 enWj−1 por el teorema de Krull 3.6, y por lo tanto tendran codimen-sion j en V , y Wj es una de esas componentes irreducibles. Ahora, como Yi 6⊆ Wj

para todo i, ya que Wj tiene dimension menor que Yi, entonces I(Wj) 6⊆ I(Yi),para 1 ≤ i ≤ m. Para estos ideales primos el lema siguiente garantiza entonces queexiste fj ∈ I(Wj) tal que fj 6∈ I(Yi) para todo i, y esta funcion fj es la deseada. �

LEMA 3.15 (Evitacion de primos). Sea I ⊆ A un ideal y supongamos que I noesta contenido en ninguno de los ideales primos p1, . . . , pr. Entonces existe h ∈ Ital que h 6∈ p1 ∪ · · · ∪ pr.

En terminos geometricos el lema dice que si Wj ⊆ V son subvariedades y se tienenpolinomios f1, . . . , fr en V que no se anulan simultaneamente en ninguna de lasWj , entonces existe una combinacion lineal h =

∑gifi que no se anula en ninguna

de las Wj .

Demostracion. Podemos suponer que ninguno de los ideales primos esta contenidoen algun otro, porque entonces lo podemos omitir. Ahora, fijemos un ındice i0, ypara cada i 6= i0 escojamos un fi ∈ pi − pi0 y tambien escojamos un fi0 ∈ I − pi0(lo cual se puede porque I no esta contenido en ninguno de los primos). Entonces, elproducto hi0 = f1 · · · fr pertenece a cada pi para i 6= i0 pero no esta en pi0 porqueninguno de los factores esta en pi0 y este es primo. Pero como fi0 ∈ I , entonceshi0 ∈ I . Variando el i0 = i construimos hi ∈ I − pi para cada i, y por lo tanto susuma h =

∑hi ∈ I − pi, para toda i, porque si sucediera que h ∈ pi para algun

i, como hj ∈ pi para j 6= i, entonces hi = h −∑

j 6=i hj ∈ pi, lo cual es unacontradiccion. �

OBSERVACION. La proposicion anterior muestra que, para una curva C ⊆ A3K , que

tiene codimension 2, existen f1, f2 ∈ K[x, y, z] tales que C es una componenteirreducible de V(f1, f2). El ejercicio 12 pide mostrar que toda curva C ⊆ A3

K es dela forma C = V(f1, f2, f3) para polinomios adecuados fi ∈ K[x, y, z]. Hasta el dıade hoy no se sabe si toda curva C ⊆ A3

K es de la forma V(f1, f2).

Una variedad, afın o proyectiva, V de codimension r, en AnK o PnK , se dice quees una interseccion completa conjuntista si existen r = codimV polinomios fi ∈

EJERCICIOS 91

K[x1, . . . , xn] (en el caso afın) o r polinomios homogeneos fi ∈ K[x0, . . . , xn] (enel caso proyectivo) tales que

V = V(f1, . . . , fr).

Con esta nomenclatura, lo que no se sabe hasta hoy es si toda curva C ⊆ A3K es una

interseccion completa.Tambien se suele usar la terminologıa siguiente: si V es una variedad afın o

proyectiva de codimension r en AnK o PnK , si sucede que I(V ) = 〈f1, . . . , fr〉, sedice que V es una interseccion completa idealista.

Observe que, por la correspondencia dada por el teorema de los ceros de Hil-bert, si V es una interseccion completa idealista, entonces es interseccion completaconjuntista porque si I(V ) = 〈f1, . . . , fr〉, con r = codimV , entonces

V = V(I(V )) = V〈f1, . . . , fr〉porque I(V ) = 〈f1, . . . , fr〉 es radical.

EjerciciosEJERCICIO 6. Si X es un espacio topologico y X = X1 ∪ · · · ∪ Xn con los Xi

cerrados, demuestre que

dimX = max{dimXi}.EJERCICIO 7. Reformulando 3.6 demuestre que si A es una K-algebra afın, i.e.,A = K[x1, . . . , xn]/I , y si f ∈ A no es cero ni una unidad y si p es un ideal primode A, mınimo entre los ideales que contienen a f , entonces

dimA/p = dimA− 1.

Este resultado se conoce como el teorema del ideal principal de Krull y es validopara cualquier anillo noetheriano.

EJERCICIO 8. Si V ⊆ AnK es algebraico irreducible y P ∈ V , demuestre quedimV = dim OV,P .

EJERCICIO 9. Demuestre que todo subconjunto finito V ⊆ A2K es el conjunto de

ceros de dos polinomios f, g ∈ K[x, y].

EJERCICIO 10. Sea C ⊆ A3K una curva algebraica. Demuestre que existe un poli-

nomio f(x, y) ∈ K[x, y, z] que se anula en todos los puntos de C. Muestre que elconjunto de todos los tales polinomios es un ideal principal de K[x, y, z], genera-do digamos por g(x, y). Demuestre que la curva g(x, y) = 0 es la cerradura de laproyeccion de C en el plano (x, y) (proyeccion paralela al eje z).

EJERCICIO 11. Con la notacion del ejercicio anterior, sea

h(x, y, z) = gn(x, y)zn + · · ·+ gn(x, y) ∈ K[x, y, z]

92 3. DIMENSION

el polinomio de menor grado en z y que pertenece al ideal I(C). Demuestre que sif ∈ I(C) y si el grado de f en z es m, entonces

f · gmn = h · u+ v(x, y)

donde v(x, y) es divisible por el polinomio g(x, y) del ejercicio anterior.Concluya que V(g, h) ⊆ A3

K es una curva reducible cuyas componentes son lacurva C dada y un numero finito de rectas paralelas al eje z determinadas por lasecuaciones g0(x, y) = 0, g(x, y) = 0.

EJERCICIO 12. Usando los dos ejercicios anteriores, concluya que toda curva C ⊆A3K esta determinada por tres polinomios.

EJERCICIO 13. Un caso particular del teorema del ideal principal de Krull dice quetodas las componentes irreducibles de una hipersuperficie en AnK tienen codimen-sion 1. Demuestre el recıproco, i.e., demuestre que si V ⊆ AnK es un conjuntoalgebraico afın tal que todas sus componentes irreducibles tienen codimension 1,entonces V es una hipersuperficie y su ideal I(V ) es principal.

EJERCICIO 14.

3.3. El lema de normalizacion de NoetherComenzamos con una consecuencia del lema 1.16 que se usara en la demostra-

cion del lema de Noether:

COROLARIO 3.16 (Transitividad de la dependencia entera). Si A ⊆ B ⊆ C sonanillos con C entero sobre B y B entero sobre A, entonces C es entero sobre A.

Demostracion. Si α ∈ C se tiene una ecuacion polinomial

(∗) αn + bn−1αn−1 + · · ·+ b1α+ b0 = 0 con los bi ∈ B

y el anilloA[b0, . . . , bn−1] es unA-modulo finitamente generado por 1.17 ya que losbi son enteros sobre A. Como la ecuacion (∗) tiene coeficientes en A[b0, . . . , bn−1]entonces α es entero sobre este anillo y ası A[b0, . . . , bn−1][α] es finitamente gene-rado como A[b0, . . . , bn−1]-modulo. Se sigue que A[b0, . . . , bn−1][α] es finitamentegenerado como A-modulo y por lo tanto α es entero sobre A por 1.16. �

Para demostrar el lema de normalizacion de Noether necesitaremos el resultadosiguiente

LEMA 3.17. Si K es un campo infinito y f ∈ K[x1, . . . , xn] es un polinomio nonulo de grado d, entonces existe un cambio de variables lineal x′i = xi−aixn, para1 ≤ i ≤ n− 1, y con ai ∈ K, tales que el polinomio

f(x′1 + a1xn, . . . , x′n−1 + an−1xn, xn) ∈ K[x′1, . . . , x

′n−1, xn]

3.3. EL LEMA DE NORMALIZACION DE NOETHER 93

tiene un termino de la forma cxdn, con c ∈ K.

Demostracion. Escribamos x′i = xi − aixn, para alguna eleccion de ai ∈ K, 1 ≤i ≤ n − 1. Sea fd la componente homogenea de f de grado d y escribamos f =fd + g, con g de grado ≤ n− 1. Entonces,

f(x′1 + a1xn, . . . , x′n−1 + an−1xn, xn) = fd(a1, . . . , an−1, 1)xdn + terminos de

grado menor en xn

ya que cada monomio de grado d en fd es de la forma axe11 · · ·xenn con

∑ei = d, y

al substituir xi por x′i, 1 ≤ i ≤ n− 1 el monomio queda de la forma

a((x′1 + a1xn)e1 · · · (x′n−1 + an−1xn)en−1xenn

donde al expandir los binomios notamos que al juntar los terminos de mayor gradoen xn queda

a(ae11 xe1n · · · a

en−1

n−1 xen−1n xen

n ) = a(ae11 · · · aen−1

n−1 · 1)xenn = md(a1, . . . , an−1, 1)xdn

porque∑ei = d, de donde se sigue la afirmacion con fd =

∑md.

Finalmente, notamos ahora que fd(x1, . . . , xn−1, 1) es un polinomio en x1, . . .,xn−1 que no es nulo, porque de lo contrario f no tendrıa grado d; se sigue queV(fd) 6= AnK (ya que K es infinito). Ası, existen a1, . . . , an−1 ∈ K tales quefd(a1, . . . , an−1, 1) 6= 0 y poniendo c = fd(a1, . . . , an−1, 1) se sigue la conclusiondel lema. �

TEOREMA 3.18 (Lema de normalizacion de Noether). Si K es un campo infinito yA es una K-algebra de grado de trascendencia d y que es dominio entero, entoncesexisten y1, . . . , yd ∈ A algebraicamente independientes sobre K tales que A esentera sobre el subanillo K[y1, . . . , yd] generado por los yi:

K ⊆ K[y1, . . . , yd] ⊆ A.

Demostracion. Por hipotesis A es una K-algebra de tipo finito y ası existe un epi-morfismo K[x1, . . . , xn] � A, i.e, A = K[x1, . . . , xn]/p, con p un ideal primo(porque A es dominio entero) y claramente d ≤ n. Usaremos induccion sobren ≥ d. Si n = d las imagenes αi de las variables xi deben ser algebraicamenteindependientes y ası p = 0, A = k[α1, . . . , αd] y no hay nada que probar. Supon-gamos entonces que n > d y p 6= 0. Basta entonces mostrar la existencia de unasubalgebraB ⊆ A generada por n−1 elementos tal queA es entera sobreB ya queaplicando la hipotesis de induccion a B existirıan elementos α1, . . . , αd ∈ B alge-braicamente independientes sobre K y tales que B es entero sobre K[α1, . . . , αd] ypor la transitividad de la dependencia entera se seguirıa inmendiatemente que A esentera sobre K[α1, . . . , αd], que es lo que se quiere probar.

Resta mostrar la existencia de la subalgebra B con las propiedades requeridas ypara esto observe primero que los n generadores αi de A (imagenes de las xi en A)

94 3. DIMENSION

no pueden ser algebraicamente independientes porque n > d = grtrK A = d. Ası,existe una relacion no trivial de dependencia algebraica entre ellas:

(1) f(α1, . . . , αn) = 0

es decir, con f(x1, . . . , xn) ∈ p− {0}.Por el lema 3.17 se tiene un cambio de variable lineal

x′i = xi − aixn para 1 ≤ i ≤ n− 1

tal que el polinomio

f(x′1 + a1xn, . . . , x′n−1 + an−1xn, xn) ∈ K[x′1, . . . , x

′n−1, xn]

es monico en xn, al cual podemos ver como un polinomio monico en xn con coe-ficientes en K[x′1, . . . , x

′n−1] ⊆ K[x1, . . . , xn]. Entonces, susbtituyendo xi = α y

escribiendo α′i = αi − aiαn para 1 ≤ i ≤ n− 1, se tiene que

f(α′i, . . . , α′n−1, αn) = 0

es decir, hemos visto que αn es entero sobre K[α′1, . . . , α′n−1]. Ademas, como

αi = α′i + aiαn, entonces tambien los αi, 1 ≤ i ≤ n − 1, son enteros sobreK[α′1, . . . , α

′n−1] y por lo tanto K[α1, . . . , αn] es entera sobre K[α′1, . . . , α

′n−1].

Por induccion, para K[α′1, . . . , α′n−1] existen y1, . . . , yd ∈ K[α′1, . . . , α

′n−1] que

son algebraicamente independientes sobre K y ademas K[α′1, . . . , α′n−1] es ente-

ra sobre K[y1, . . . , yd]. Por la transitividad de la dependencia entera se sigue queK[α1, . . . , αn] es entera sobre K[y1, . . . , yd], como se querıa. �

Una consecuencia adicional del lema de normalizacion de Noether, es otra de-mostracion del lema de Zariski 1.22, de donde se obtuvo el teorema de los ceros deHilbert 1.15.

LEMA 3.19. Sean K ⊆ L anillos tales que L es entero sobre K. Si L es un campoentonces K es un campo.

Demostracion. Mostraremos que todo elemento a 6= 0 de K tiene inverso multipli-cativo. Como 0 6= a ∈ L y L es campo, entonces 1/a ∈ L y como L es entero sobreK entonces para 1/a existe un polinomio monico

f(x) = xn + bn−1xn−1 + · · ·+ b1x+ b0 ∈ K[x]

tal que f(1/a) = 0, i.e.,1an

+bn−1

an−1+ · · ·+ b1

a+ b0 = 0

y multiplicando por an−1 obtenemos que1a

= −bn−1 − abn−2 − · · · − an−1b1 ∈ K

y ası K es un campo. �


COROLARIO 3.20 (Zariski). Si K ⊆ L son campos con L de tipo finito, entoncesL/K es una extension algebraica y por lo tanto L/K es una extension finita.

Demostracion. Sea n = grtrK L. Por el lema de normalizacion de Noether exis-ten α1, . . . , αn ∈ L algebraicamente independientes sobre K y tales que L es en-tera sobre K[α1, . . . , αn]. Por el lema anterior se sigue que K[α1, . . . , αn] es uncampo. Ahora, como las αi son algebraicamente independientes sobre K entoncesK[α1, . . . , αn] es un anillo de polinomios, y como es un campo se debe entoncestener que n = 0 y por lo tanto L/K es algebraica. �

Interpretacion geometrica del teorema de normalizacion de Noether. Suponga-mos que V ⊆ AnK es una variedad afın (irreducible) y seaK[V ] = K[x1, . . . , xn]/Isu anillo de coordenadas, donde I = I(V ). Ya hemos visto que esta es una K-alge-bra de tipo finito, digamos generada por las clases laterales αi de xi modulo el idealde la variedad I = I(V ), i.e., αi ≡ xi( mod I) y K[V ] = K[α1, . . . , αn]. Porel teorema de normalizacion de Noether 3.18 existen y1, . . . , yd ∈ K[V ] algebrai-camente independientes, d ≤ n (y en la demostracion de 3.18 vimos los yj lospodemos elegir como polinomios homogeneos lineales en los αi) tales que en

K ↪→ K[y1, . . . , yd]→ K[V ]

se tiene que K[V ] es entera sobre K[y1, . . . , yd], y como obviamente es de tipofinito, entonces por 1.20 es finita (i.e., finitamente generada como modulo). Ahora,como cada yj es una forma lineal en los αi y cada αi ≡ xi( mod I), entonces cadayj ∈ K[V ] = K[x1, . . . , xn]/I se puede levantar a formas lineales yj en x1, . . . , xny ademas yj ≡ yj( mod I). Con estas formas lineales yj ∈ K[x1, . . . , xn], 1 ≤j ≤ d, se define una aplicacion lineal

π = (y1, . . . , yd) : AnK → AdK

que al restringirla a V ⊆ AnK induce una aplicacion polinomial

π : V → AdK

donde notamos que, como en V se tiene que yj |V = yj |V porque yj = yj + h conh ∈ I = I(V ), entonces en V la funcion π es independiente de la eleccion de loslevantamientos yj . Mostraremos a continuacion que las imagenes inversas π−1(P )de cada punto P ∈ AnK son finitas y no vacıas (la figura siguiente ilustra la situaciongeometrica):

96 3. DIMENSION

••

•• •

•

••

· · ·

· · ·

· · ·

· · · · · ·

· · ·

· · ·

V

?

π

AdK

•

• • •P

• •P · · ·

•· · ·

•

TEOREMA 3.21 (Normalizacion de Noether). Si K es algebraicamente cerrado, laaplicacion π : V → AdK anterior satisface que para todo punto P ∈ AdK la fibraπ−1(P ) es finita no vacıa. En particular, π es suprayectiva.

Demostracion. Mostraremos primero que cada fibra π−1(P ) es finita. Para esto,observe que como K[V ] es entera sobre K[y1, . . . , yd] (por el teorema de norma-lizacion de Noether 3.18), en particular cada αi ∈ K[V ] es raız de un polinomiomonico

(1) αNi + fi,N−1(y1, . . . , yd)αN−1i + · · ·+ fi,0(y1, . . . , yd) = 0

con los coeficientes fi,j ∈ K[y1, . . . , yd].Por otra parte, como K[V ] = K[x1, . . . , xn]/I , la igualdad (1) dice que para

los levantamientos yj ∈ K[x1, . . . , xn] de los yj , como xi ≡ αi (mod I), se tieneque

(2) xNi + fi,N−1(y1, . . . , yd)αN−1i + · · ·+ fi,0(y1, . . . , yd) = gi(x1, . . . , xn)

para algun gi ∈ I ⊆ K[x1, . . . , xn].Observamos ahora que si (a1, . . . , an) ∈ V , entonces gi(a1, . . . , an) = 0, ya

que gi ∈ I = I(V ), y ası, por (2) cada coordenada ai es raız del polinomio

fi(x) = xN + fi,N−1(y1, . . . , yd)xN−1 + · · ·+ fi,0(y1, . . . , yd) ∈ K[y1, . . . , yd][x]

y notamos que como I es primo (porque V es irreducible), entonces K[V ] =K[α1, . . . , αn] es un dominio entero y de las inclusiones

K[y1, . . . , yd] ⊆ K[V ] = K[α1, . . . , αn] ⊆ K(V ) = K(α1, . . . , αn)

con K(α1, . . . , αn) el campo de fracciones de K[α1, . . . , αn], podemos considerara fi(x) ∈ K(V )[x] = K(α1, . . . , αn)[x].

Hemos ası mostrado que para cada (a1, . . . , an) ∈ π−1(P ) ⊆ V las coordena-das ai son raıces del polinomio monico fi(x) con coeficientes en el campoK(V ), ycomo solo hay un numero finito de estas raıces, entonces solo hay un numero finitode puntos (a1, . . . , an) ∈ π−1(P ), como se querıa.


Finalmente, para probar que cada fibra π−1(P ) 6= ∅, si P = (b1, . . . , bd) ∈ AdKpongamos

(∗) IP = I + 〈y1 − b1, . . . , yd − bd〉 ⊆ K[x1, . . . , xn]

y observemos que π−1(P ) = V(IP ). En efecto, si Q ∈ V(IP ), entonces para todof ∈ I , f(Q) = 0 y por lo tanto Q ∈ V . Por otra parte, tambien para todo yi − bi ∈〈y1 − b1, . . . , yd − bd〉 se tiene que (yi − bi)(Q) = 0, es decir, yi(Q) = bi y porlo tanto P = (b1, . . . , bd) = (y1(Q), . . . , yd(Q)) = π(Q), i.e., Q ∈ π−1(P ).Recıprocamente, si Q ∈ π−1(P ), entonces (y1(Q), . . . , yd(Q)) = π(Q) = P =(b1, . . . , bd) y por lo tanto bi = yi(Q) para toda i, i.e., (yi − bi)(Q) = 0, i.e., Q ∈V(I + 〈y1 − b1, . . . , yd − bd〉). Hemos ası mostrado que cada fibra es una variedadafın, y por lo tanto, si probamos que la inclusion (∗) es propia, por el teorema de losceros de Hilbert (1.15) se seguira que V(IP ) 6= ∅, que es lo que se requiere. Ahora,para probar que IP ⊆ K[x1, . . . , xn] es un ideal propio, por la correspondenciaentre ideales deK[V ] = K[x1, . . . , xn]/I e ideales deK[x1, . . . , xn] que contienena I , esto es equivalente a probar 〈y1−b1, . . . , yd−bd〉 ⊆ K[V ] = K[α1, . . . , αd] esun ideal propio. Observemos ahora que 〈y1−b1, . . . , yd−bd〉 es un ideal maximo deK[y1, . . . , yd] (por el teorema de los ceros de Hilbert, ya que el anillo es, en efecto,de polinomios) y por lo tanto es un ideal propio de K[y1, . . . , yd] y estamos en lasituacion:

〈y1 − b1, . . . , yd − bd〉 K[y1, . . . , yd] ↪→ K[V ]con K[V ] finita sobre K[y1, . . . , yd] (por el teorema de normalizacion de Noether)y queremos probar que 〈y1 − b1, . . . , yd − bd〉K[V ] K[V ], pero esto se sigue dellema siguiente: �

LEMA 3.22 (Lema de Nakayama). Supongamos que A ⊆ B son anillos, de talforma que B es una A-algebra finita (vea §1.2) y B 6= 0. Entonces, para todos losideales propios m A se tiene que mB B.

Demostracion. Suponiendo que mB = B mostraremos que B = 0, una contradic-cion. Para comenzar, como m es un ideal propio, podemos suponer en la hipotesisque es un ideal maximo. Ahora, como B es un A-modulo finitamente generado,supongamos que α1, . . . , αn generan B. Como estamos suponiendo que mB = B,podemos escribir

αi =∑j

aijαj con los aij ∈ m.

Entonces, α1, . . . , αn son soluciones del sistema de n ecuaciones en n incognitas∑j

(δij − aij)xj = 0 donde δij es una delta de Kronecker

y ası, por la regla de Cramer det(δij − aij) · αi = 0 para toda i. Observe ahora queen la expansion del determinante anterior todos los sumandos tienen un factor en m

98 3. DIMENSION

excepto el termino correspondiente a la diagonal que es de la forma (1−a11) · · · (1−ann); por lo tanto el determinante anterior se expande como un 1 mas una suma deelementos de m. En particular, det(δij − aij) 6∈ m y como m es maximo se sigueque debe ser una unidad de A. Ası, la igualdad det(δij − aij) · αi = 0 implica queαi = 0 para todo i y por lo tanto B = 0. �

Una condicion de separabilidad. En el caso cuando K es algebraicamente cerra-do, el lema de normalizacion de Noether lleva consigo una consecuencia adicionalsobre la separabilidad de una extension asociada que sera de mucha utilidad en lasubseccion siguiente.

PROPOSICION 3.23 (Noether). Supongamos que K es algebraicamente cerrado yque A es una K-algebra de grado de trascendencia d y que es un dominio entero.Sea K(A) el campo de fracciones de A, al cual podemos ver como una extensionde K:

K → A→ K(A).

Entonces, los y1, . . . , yd ∈ A que satisfacen las dos condiciones del lema de nor-malizacion de Noether (3.18)

K → K[y1, . . . , yd]→ A

se pueden elegir de tal forma que la extension de los campos de fracciones

K(y1, . . . , yd)→ K(A)

es separable.

Demostracion. Si carK = 0 no hay nada que probar. Supongamos entonces quecarK = p > 0. Como A es un dominio entero, A = K[x1, . . . , xn]/p, entoncesp es un ideal primo. Si p = 0, K(y1, . . . , yd) = K(A) y no hay nada que probar.Si p 6= 0, escojamos un f ∈ p irreducible. Entonces, para cada xi se tienen dosposibilidades:

(i) f es separable en xi, o(ii) f es inseparable en xi, es decir, f ∈ K[x1, . . . , x

pi , . . . , xn].

Veremos que si f es inseparable en cada xi, entonces f = gp con g ∈ K[x1, . . . , xn],en contradiccion con el hecho de que f es irreducible. En efecto, el que f sea in-separable en cada xi implica que f = F (xp1, . . . , x

pn) con F ∈ K[x1, . . . , xn] y

escribiendo F =∑ai1,...,inx

i11 · · ·xinn con los ai1,...,in ∈ K, como K es algebrai-

camente cerrado existen las raıces p-esimas bi1,...,in ∈ K de cada ai1,...,in y conside-rando el polinomio g =

∑bi1,...,inx

i11 · · ·xinn se tiene que f = gp por el argumento

usual en caracterıstica p, i.e., por ejemplo usando que (a+ b)p = ap + bp. Se sigueque f es separable en alguna xi, y sin perder generalidad podemos suponer que esta


es xn. Entonces, como en la demostracion del lema de normalizacion de Noether, elpolinomio monico

f(x′1 + a1xn, . . . , x′n−1 + an−1xn, xn)

es monico en xn y para las clases laterales αi = xi + p ∈ A el polinomio anteriormuestra que αn es entero sobre K[α′1, . . . , α

′n−1] y como estamos suponiendo que

f es separable en xn, entonces αn es raız de un polinomio monico separable y por lotanto αn es separable sobre K(y1, . . . , yd). Usamos entonces induccion y el hechode que la composicion de extensiones separables es separable. �

El teorema del elemento primitivo. Recordemos que el teorema del elemento pri-mitivo dice que toda extension finita separable L/K es una extension simple, i.e.,existe γ ∈ L tal que L = K(γ). Mas aun, recordemos tambien que si el campo Kes infinito, y si L = K(α1, . . . , αn), entonces γ ∈ L se puede escoger como unacombinacion lineal de las αi’s.

COROLARIO 3.24. Bajo las hipotesis del lema de normalizacion de Noether conK algebraicamente cerrado, existen y1, . . . , yd, yd+1 ∈ A tales que y1, . . . , yd sonalgebraicamente independientes sobre K, A es entera sobre K[y1, . . . , yd], K(A)es una extension separable de K(y1, . . . , yd), y ademas el campo de fraccionesK(A) esta generado sobre K por y1, . . . , yd, yd+1.

Demostracion. Como K(A)/K(y1, . . . , yd) es separable y finita, por el teoremadel elemento primitivo K(A) = K(y1, . . . , yd)(yd+1) con yd+1 ∈ K(A). Por laobservacion antes del enunciado del corolario, limpiando denominadores podemosescoger yd+1 como combinacion linal de los xi ∈ A con los coeficientes de lacombinacion lineal enK[y1, . . . , yd] y por lo tanto yd+1 ∈ A. El diagrama siguienteresume la situacion:

K(A)simple

MMMMMMMMMMM

K(y1, . . . , yd)

K

puramente trascendente

pppppppppppp

�

Reduccion al caso de una hipersuperficie. Una consecuencia geometrica impor-tante del corolario 3.24 al lema de normalizacion de Noether es:

COROLARIO 3.25. Si K es algebraicamente cerrado, entonces toda variedad al-gebraica (afın, casi-afın, proyectiva o casi-proyectiva) es biracional a una hipersu-perficie.

100 3. DIMENSION

Demostracion. Comenzamos observando que por 2.16, f : V 99KW es una aplica-cion biracional si y solo si existen abiertos V0 ⊆ V , W0 ⊆ W tales que la restric-cion f : V0 → W0 es biregular. Se sigue que la biracionalidad de f solo dependede abiertos densos, y por el ejercicio 37 de §1.3, todo abierto contiene un abier-to basico D(f) que es isomorfo a una variedad afın. Entonces, basta demostrar elcorolario para una variedad afın (irreducible) V ⊆ AnK . Ahora, para A = K[V ],que es un dominio entero porque V es irreducible, en 3.24 mostramos que exis-ten y1, . . . , yd ∈ K[V ] algebraicamente independientes sobre K y yd+1 ∈ K[V ]algebraico sobre K(y1, . . . , yd) y tales que

K(V ) = K(y1, . . . , yd)(yd+1) = K(y1, . . . , yd, yd+1)

con yd+1 algebraico sobre K(y1, . . . , yd) y ası satisface una ecuacion polinomialcon coeficientes en K(y1, . . . , yd). Limpiando denominadores obtenemos un poli-nomio con coeficientes en K[y1, . . . , yd] del cual yd+1 es raız. Este polinomio es dela forma

f = fk(y1, . . . , yd)yk + · · ·+ f1(y1, . . . , yd)y + f0(y1, . . . , yd) = 0,

y podemos ver al polinomio anterior como

f = f(y1, . . . , yd, y) ∈ K[y1, . . . , yd, y]

y para la hipesuperficie V(f) ⊆ Ad+1K su campo de funciones racionales es

K(V(f)) = K(y1, . . . , yd, yd+1) = K(V )

y por lo tanto su cerradura proyectiva es biracional a V . �

EjerciciosEJERCICIO 15. Si f : V → W es una aplicacion regular dominante, i.e., f(V ) esdenso en W , entonces f∗ : K[W ]→ K[V ] es inyectivo.

EJERCICIO 16. Si f : V → W es una aplicacion regular dominante, diremos quees finita o que es un morfismo finito si K[V ] es entera sobre K[W ] (mediante elmorfismo inyectivo f∗ : K[W ] → K[V ] del ejercicio anterior). Note que con estadefinicion, la interpretacion geometrica del teorema de normalizacion de Noetherdice que π : V → AnK es un morfismo finito.

(i) Demuestre que si f : V → W es un morfismo finito, entonces sus fibrasson finitas.

(ii) Si f : V →W es un morfismo finito, demuestre que es suprayectivo.Sugerencia: Vea la demostracion de la version geometrica del teorema de normali-zacion de Noether.

3.4. DIMENSION DE VARIEDADES PROYECTIVAS 101

EJERCICIO 17. Si f : V → W es un morfismo finito, demuestre que f es unafuncion cerrada.

EJERCICIO 18. (La finitud es una propiedad local): Si f : V →W es una aplicacionregular entre variedades algebraicas y para todo Q ∈ W existe una vecindad afınW ′ de Q tal que V ′ = f−1W ′ es afın y f : V ′ → W ′ es finita, demuestre quef : V →W es finita.

3.4. Dimension de variedades proyectivasLos resultados anteriores sobre dimension de variedades afines se extienden a

variedades proyectivas.

PROPOSICION 3.26. (1): Si V ⊆ AnK es un subconjunto afın y V ⊆ PnK es sucerradura proyectiva, entonces

dimV = dimV.

(2): Si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva y V a ⊆ An+1K es su cono afın, entonces

dimV a = dimV + 1.

Mas aun, dimV = dimK[V a]− 1 = dimK[V ]− 1.

Demostracion. Para (1), por 2.9 se tiene la correspondencia que asigna a cada afınV ⊆ AnK su cerradura proyectiva V ⊆ PnK y tambien V es irreducible si y solo siV lo es, por lo que basta considerar el caso cuando V es irreducible no vacıa. Eneste caso, por 3.9, d = dimV ≤ n y ası existe una cadena maxima de cerradosirreducibles no vacıos de V

V0 V1 · · · Vd = V

la cual se puede extender a una cadena maxima de cerrados irreducibles de AnK :

V0 V1 · · · Vd = V Vd+1 · · · Vn = AnKya que dimAnK = n. Por 2.9 las cerraduras proyectivas de los irreducibles de la ca-dena anterior tambien son irreducibles y forman una cadena de cerrados irreduciblesno vacıos:

(1) V 0 V 1 · · · V d = V V d+1 · · · V n = PnKque por 2.3 y 2.2 corresponde a una cadena de ideales primos homogeneos deK[x0, . . . , xn]:

(2) p0 ! p1 ! · · · ! pd = I(V ) ! pd+1 · · · ! pn = 0

102 3. DIMENSION

con p0 6= 〈x0, . . . , xn〉 (el ideal irrelevante) ya que V 0 6= ∅. Ahora, por el ejemplo8, dimK[x0, . . . , xn] = n+ 1 y como en (2) no se puede incluir al ideal irrelevanteporque corresponde a (1), entonces en la parte de la cadena (2) dada por

(3) p0 ! p1 ! · · · ! pd = I(V )

no puede haber de p0 a pd una cadena mas larga porque eso alargarıa la cadena (2).Se sigue que (3) es una cadena maxima de ideales primos de K[V ] que inicia enI(V ) y termina en un ideal contenido propiamente en el ideal irrelevante. Por lotanto

dimV = d

como se querıa.

Para (2), la igualdad dimV a = dimV +1 es porque en el caso afın sı se incluyeal ideal irrelevante que corresponde al vertice del cono V a. La segunda parte esporque K[V ] = K[V a] ya que I(V ) = I(V a). �

PROPOSICION 3.27. (1): Si V,W son subvariedades afines de AnK , entonces todaslas componentes irreducibles no vacıas Z ⊆ V ∩W tienen dimension

dimZ ≥ dimV + dimW − n.(2): Si V,W son subvariedades de PnK , entonces todas las componentes irreduciblesno vacıas Z ⊆ V ∩W tienen dimension

dimZ ≥ dimV + dimW − n.

Demostracion. La parte (2) se sigue de (1) ya que PnK esta cubierto por espaciosafines. Para (1), considere la variedad producto V ×W ⊆ A2n

K y la diagonal ∆ ⊆AnK × AnK dada por

∆ = {(P, P ) : P ∈ AnK}y observe que ∆ es un conjunto algebraico afın (lineal) dado por n ecuacioneslineales

∆ = V(y1 − x1, . . . , yn − xn

)⊆ A2n

K .

Se tiene entonces un isomorfismo (biregular)

f : V ∩W → (V ×W ) ∩∆

dado por f(z) = (z, z), con inverso la proyeccion (z, z) 7→ z.Observe ahora que la variedad V ∩W ' (V ×W )∩∆ ⊆ V ×W esta definida

por las n ecuaciones yi−xi = 0 en V ×W , donde dim(V ×W ) = dimV +dimW .Por el corolario 3.13 se sigue que para una componente irreducible Z ⊆ V ∩W '(V ×W ) ∩∆ ⊆ V ×W se tiene que

dimZ ≥ dim(V ×W )− n = dimV + dimW − n.�

3.4. DIMENSION DE VARIEDADES PROYECTIVAS 103

COROLARIO 3.28. Si V,W son subvariedades de PnK tales que dimV + dimW ≥n, entonces V ∩W 6= ∅.

Demostracion. Consideremos los conos afines correspondientes V a y W a. Enton-ces, por la parte (2) de la proposicion 3.26 y la hipotesis

dimV a + dimW a = (dimV + 1) + (dimW + 1) ≥ n+ 2

y como V a ∩W a 6= ∅ (porque contiene al origen), entonces por 3.27 (1), todas lascomponentes irreducibles de V a ∩W a tienen dimension ≥ n + 2 − (n + 1) = 1,i.e., V a ∩W a tiene dimension ≥ 1 y ası contiene a un punto diferente del origen ypor lo tanto V ∩W 6= ∅. �

OBSERVACION. El corolario anterior comprueba la afirmacion hecha al principiodel capıtulo 2 de que la interseccion de variedades proyectivas se comporta mejorque en el caso afın, al menos en un caso particular. Una consecuencia de este corola-rio es que si H,H ′ ⊆ PnK son hipersuperficies y n ≥ 2, entonces su interseccion esno vacıa. Como un caso particular, siC,C ′ ⊆ P2

K son curvas en el plano proyectivo,entonces su interseccion es no vacıa (vea tambien el ejercicio 15 de la seccion §2.2del capıtulo 2). Estos son casos sencillos de la teorıa de interseccion de variedadesdonde, ademas de ver que la interseccion es no vacıa, se tiene que ser mas cuidadosoen la definicion de como se cuentan los puntos en los que se intersectan dos o masvariedades.

Ejemplo 15. La parte (1) de 3.27 es falsa si el espacio ambiente AnK se reemplazapor una variedad afın arbitraria. Por ejemplo, considere el cono afın

V = V(xw − yz) ⊆ A4K .

Observe que V contiene los planos

W = V(y, w) = {(x, 0, z, 0)}

W ′ = V(x, z) = {(0, y, 0, w)}y se tiene que W ∩W ′ = {(0, 0, 0, 0)}.

Ahora, como el cono V es una hipersuperficie en A4K su dimension es dimV =

3 y los planos W,W ′ tienen dimension 2 y ası dimW + dimW ′ = 4. Sin embargo,para Z ⊆W ∩W ′ = {(0, 0, 0, 0)} irreducible (i.e., igual al punto) se tiene que

0 = dimZ 6≥ dimW + dimW ′ − dimV = 2 + 2− 3 = 1.

El fallo se debe a que en la demostracion de 3.27 (1) usamos que la diagonal ∆ ⊆AnK ×AnK esta dada por n = dimAnK ecuaciones lineales. En el contraejemplo queestamos discutiendo la diagonal correspondiente serıa ∆V ⊆ V × V y observamosque esta diagonal no puede estar definida por 3 = dimV ecuaciones; de hecho,necesita las mismas 4 ecuaciones que definen la diagonal ∆An

K. La diagonal ∆V del

ejemplo es una variedad que no es una interseccion completa conjuntista.

104 3. DIMENSION

PROPOSICION 3.29. Si V = V(I) ⊆ PnK es una variedad proyectiva de dimension≥ 1 y si f ∈ K[x0, . . . , xn] es homogeneo no constante y no en I , entonces V ∩V(f)es no vacıo de codimension pura 1.

Demostracion. Por la proposicion anterior, la dimension de una variedad proyectivaes igual a la dimension de cualquier subconjunto abierto afın denso y ası, si proba-mos que V ∩ V(f) 6= ∅ el resultado se seguira del caso afın 3.6. Para probar queV ∩ V(f) 6= ∅ sea V a(I) el cono afın de V = V(I) y V a(f) el cono afın de V(f).Entonces, V a(I) ∩ V a(f) 6= ∅ porque contiene al vertice (0. . . . , 0) y ası por 3.6tiene codimension 1 en V a(I). Note ahora que dimV a(I) ≥ 2 ya que V = V(I)tiene dim ≥ 1. Ası, V a(I)∩V a(f) tiene dim ≥ 1. Esto implica que los polinomiosen I tienen un cero en comun con f diferente del origen y este cero corresponde aun punto en V ∩ V(f), i.e., la interseccion es no vacıa, como se querıa. �

PROPOSICION 3.30. Si V = V(I) ⊆ PnK es una variedad proyectiva pura de codi-mension 1, entonces existe f ∈ K[x0, . . . , xn] homogeneo tal que V = V(f), i.e.,I(V ) = 〈f〉.

Demostracion. Se sigue de 3.3. �

EjerciciosEJERCICIO 19. En 3.27 (1), siK no es algebraicamente cerrado la conclusion es fal-sa. Por ejemplo, en A3

R considere las variedades V = V(x2 +y2−z2) yW = V(z).Determine V ∩W y muestre que 3.27 (1) no se cumple. Bosqueje estas varieda-des y su interseccion y argumente por que este dibujo puede llevar a conclusioneserroneas.

EJERCICIO 20. Una variedad afın o proyectiva de dimension cero consiste de unnumero finito de puntos.

EJERCICIO 21. Si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva, demuestre que dimV ≤ n.Mas aun, demuestre que dimV = n si y solo si V = PnK .

EJERCICIO 22. Si V es una variedad afın o proyectiva y V contiene a un numeroinfinito de puntos de una recta L, demuestre que L ⊆ V .

EJERCICIO 23. Si V y W son variedades proyectivas y si existe una aplicacionracional dominante f : V 99KW , demuestre que dimW ≤ dimV .

EJERCICIO 24. Si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva con anillo de coordenadashomogeneo Kh[V ], demuestre que dimKh[V ] = dimV + 1. Sugerencia: Seanϕi : Ui → AnK los homeomorfismos de 2.7 y sean Vi = ϕi(Ui ∩ V ) ⊆ AnK lassubvariedades afines de V correspondientes (2.8). Muestre que el anillo de coorde-nas K[Vi] se puede identificar con el subanillo de elementos de grado 0 del anillo

3.5. DIMENSION Y MORFISMOS 105

localizado Kh[V ]xi . Concluya que Kh[V ]xi ' K[Vi][xi, x−1i ]. De hecho, tambien

concluya que dimV = dimVi, si Vi es no vacıo.

EJERCICIO 25. Demuestre que cualquier subconjunto finito V ⊆ P2K es el conjunto

de ceros de dos polinomios f, g ∈ K[x, y, z].

EJERCICIO 26. En forma analoga al ejercicio 12 de §3.2, demuestre que toda curvaC ⊆ P3

K esta determinada por tres polinomios homogeneos.

EJERCICIO 27. Demuestre que todas las componentes irreducibles de una hipersu-perficie en PnK tienen codimension 1.

EJERCICIO 28. Sea V = V(I) ⊆ PnK una variedad proyectiva de dimension ≥ 1. Sif1, . . . , fr ∈ K[x0, . . . , xn] son homogeneos no constantes y no en I y si W es unacomponente irreducible de V ∩ V(f1, . . . , fr), demuestre que codimW ≤ r. Masaun, si dimV ≥ r, demuestre que V ∩ V(f1, . . . , fr) 6= ∅.

EJERCICIO 29. Si W ⊆ V es una subvariedad proyectiva pura de codimension r,demuestre que existen polinomios homogeneos f1, . . . , fr ∈ K[x0, . . . , xn] talesque W es una componente irreducible de V ∩ V(f1, . . . , fr).

EJERCICIO 30. Si f : PmK → PnK es regular y n < m, demuestre que f es constante.

3.5. Dimension y morfismosSi f : V → W es un morfismo de variedades algebraicas, i.e., una aplicacion

regular, dado un puntoQ ∈W podemos considerar su imagen inversa f−1(Q) ⊆ Vy, como probamos en la interpretacion geometrica del lema de normalizacion deNoether, se tiene que si V = V(I), entonces

f−1(Q) = V(I + MQ)

donde MQ es el ideal maximo correspondiente al punto Q. Ası, las fibras f−1(Q)son variedades algebraicas tambien. Nuestro proposito ahora es comparar las di-mensiones de V , W y las fibras f−1(Q).

Ejemplo 16. Sea f : An+dK → AnK la proyeccion en las primeras n coordenadas

f(a1, . . . , an, an+1, . . . , an+d) = (a1, . . . , an).

Entonces, la fibra de un punto arbitrario Q = (b1, . . . , bn) ∈ AnK es

f−1(Q) = {(b1, . . . , bn, an+1, . . . , an+d)} = {Q} × AdK ' AdKy por lo tanto

dimAn+dK = n+ d = dimAnK + dim f−1(Q).

106 3. DIMENSION

Sin embargo no siempre se tiene la igualdad del ejemplo anterior. Un caso ex-tremo lo da el ejemplo siguiente:

Ejemplo 17. Si f : V → W es constante, digamos f(P ) = Q0 para todo P ∈ V ,entonces las fibras de f son:

f−1(Q) =

{∅ si Q 6= Q0,

V si Q = Q0,

y ası dim f−1(Q0) = dimV pero dim f−1(Q) = −1 si Q 6= Q0, y en cualquiercaso no se involucra a dimW .

Lo razonable, para evitar lo anterior, serıa pedir que f fuera suprayectiva, peroesto se puede debilitar a pedir que f sea dominante, es decir que f(V ) ⊆ W seadenso.

Ejemplo 18. Considere la hiperbola V = V(xy−1) ⊆ A2K y la proyeccion f : V →

A1K en la primera coordenada. Claramente f(V ) = A1

K − {0} y f es dominantepero no suprayectiva. Note ahora que si Q 6= 0 en A1

K , la fibra f−1(Q) = {(x, y) :y = Q, x = 1/Q} consiste de un unico punto, y si Q = 0, f−1(0) = ∅. ComodimV = 1 = dimA1

K , y para Q 6= 0 se tiene que dim f−1(Q) = dim{( 1Q , Q)} =

0, entonces se tiene la igualdad

dimV = dimA1K + dim f−1(Q) si Q 6= 0.

Ejemplo 19. Sea V = V(xz − y) ⊆ A3K y sea f : V → A2

K la proyeccionf(x, y, z) = (x, y). Sus fibras son:

Si x 6= 0, entonces f−1(x, y) = {(x, y, y/x) ∈ V } (un punto)

Si y 6= 0 y x = 0, entonces f−1(0, y) = ∅Si y = 0 y x = 0, entonces f−1(0, 0) = {(0, 0, z) ∈ V } ' A1

K .

Se sigue que la imagen de f es f(V ) =(A2K − V(x)

)∪ {(0, 0)}. Observe ahora

que dimV = 2, dimA2K = 2 y las fibras no vacıas de f satisfacen que

Si x 6= 0, entonces dim f−1(x, y) = dim (un punto) = 0

Si x = 0 y x = 0, entonces dim f−1(0, 0) = dimA1K = 1

y por lo tanto, en el primer caso

0 = dim f−1(x, y) = dimV − dimA2K = 2− 2 = 0


y en el segundo caso

1 = dim f−1(0, 0) ≥ dimV − dimA2K = 2− 2 = 0.

Observamos entonces que, en general, las fibras tienen la dimension esperada:

dim f−1(Q) = dimV − dimW

(decimos que estas son las ((fibras generales))) excepto para algunos puntos especia-les cuyas fibras tienen dimension mayor a la esperada:

dim f−1(Q) > dimV − dimW

(decimos que estas son las ((fibras especiales))).

Antes de enunciar y demostrar el teorema correspondiente, observamos de nue-vo que siendo la dimension una cuestion local, para comparar las dimensiones deldominio, codominio y fibras de una aplicacion entre variedades casi-proyectivas,basta considerar el caso afın:

LEMA 3.31. Sean f : V → W una aplicacion regular dominante de variedadescasi-proyectivas irreducibles, Q ∈ f(V ) ⊆ W un punto y Z una componenteirreducible de la fibra f−1(Q). Entonces, existen abiertos afines no vacıos V0 ⊆ V ,W0 ⊆W tales que:

(1) f(V0) ⊆W0.

(2) f |V0 : V0 →W0 es dominante.

(3) Q ∈W0.

(4) Z ∩ V0 6= ∅.Demostracion. SeaW0 cualquier abierto afın que contiene aQ. Entonces, f−1(W0)es un abierto de V que contiene a Z, ya que {Q} ⊆W0 implica que Z ⊆ f−1(Q) ⊆f−1(W0). Ahora, sean P ∈ Z y V0 un abierto afın que contiene a P . Note entoncesque basta probar (2). Para hacer esto, sea U ⊆W0 cualquier abierto no vacıo. Comof : V → W es dominante, se sigue que f(V ) ∩ U 6= ∅ y ası f−1(U) es abierto novacıo en V ; pero como V es irreducible entonces f−1(U) ∩ V0 6= ∅ (cualesquierados abiertos no vacıos de V se intersectan) y por lo tanto existe P ′ ∈ f−1(U) ∩ Votal que f(P ′) ∈ U ∩ f(V0), i.e., U ∩ f(V0) 6= ∅, i.e., cualquier abierto no vacıo deW0 intersecta a f(V0), i.e., f(V0) es denso. �

TEOREMA 3.32 (Dimension de las fibras). Si f : V →W es una aplicacion regulardominante de variedades casi-proyectivas irreducibles, entonces

(1) dimW ≤ dimV .

(2) Si Q ∈ f(V ) ⊆ W , entonces todas las componentes irreducibles Z de f−1(Q)satisfacen que dimZ ≥ dimV − dimW .

(3) Existe un abierto no vacıo W0 ⊆W tal que:

108 3. DIMENSION

(i) W0 ⊆ f(V ).(ii) dim f−1(Q) = dimV − dimW , para todo Q ∈ W0. De hecho, f−1(Q)

es puro de dimension dimV − dimW .

Demostracion. Por el lema anterior podemos suponer que V yW son afines. Para laparte (1), por 1.33 el morfismo f∗ : K(W ) � K(V ) es inyectivo y ası dimW =grtrK K(W ) ≤ grtrK K(V ) = dimV .

(2): Por 3.14, para {Q} ⊆ W que satisface que codim{Q} = dimW = n, existenf1, . . . , fn ∈ K[W ] tales que {Q} es una componente irreducible de V(f1, . . . , fn)y esta ultima es pura de dimension igual a dim{Q} = 0, i.e., V(f1, . . . , fn) consistede un numero finito de puntos y Q es uno de estos puntos. Por el lema, podemosreemplazar a W con un abierto afın que contenga a Q y a ninguno de los otrospuntos de V(f1, . . . , fn), i.e., podemos asumir que V(f1, . . . , fn) = {Q}. Ahora,para f∗ : K[W ]� K[V ] pongamos gi = f∗(fi) = fi ◦ f . Entonces,

f−1(Q) = V(g1, . . . , gn)

ya que

P ∈ f−1(Q)⇔ f(P ) = Q⇔ fi(Q) = 0⇔ fi ◦ f(P ) = 0 para todo i

⇔ f∗(fi)(P ) = 0 para todo i

⇔ gi(P ) = 0 para todo i

⇔ P ∈ V(g1, . . . , gn).

Pero, por 3.13, toda componente irreducible Z de f−1(Q) = V(g1, . . . , gn) ⊆ Vsatisface que codimZ ≤ n. Se sigue que dimZ ≥ dimV −n = dimV −dimW .

(3): Probaremos (i) y (ii) independientemente, i.e., los W0 pueden ser diferentes,pero como son abiertos no vacıos en W que es irreducible, entonces su intersecciones no vacıa y tomamos W0 igual a esa interseccion. Pongamos m = dimV , n =dimW y sea r = m− n ≥ 0 (por la parte (1)). Entonces,

grtrK K[V ] = m

grtrK K[W ] = n

grtrK(W )K[V ] = m− n = r.

Si K[V ] = K[v1, . . . , vM ], renumerando si hiciera falta, supongamos que v1, . . .,vr son algebraicamente independientes sobre K(W ), de tal manera que K(V ) =K(W )(v1, . . . , vr) y que vr+1, . . . , vM son algebraicos sobre K(W ). EscribamosK[W ] = K[w1, . . . , wN ] y C = K[W ][v1, . . . , vr]. Note que C es una algebra po-linomial porque v1, . . . , vr son trascendentes algebraicamente independientes sobre


K(W ). Se sigue que

C = K[W ][v1, . . . , vr] ' K[W ]⊗K K[v1, . . . , vr] ' K[W ]⊗K K[ArK ]

' K[W × ArK ] = K[Z]

donde Z = W ×ArK , y la inclusion K[W ]� C ' K[Z] corresponde a la proyec-cion

π : Z = W × ArK →W

y la otra inclusion K[Z] = K[W ×ArK ] ' C � K[V ] corresponde a la aplicaciondominante f ′ : V → Z = W × ArK que hace conmutar el diagrama siguiente

Vf ′ //

f&&LLLLLLLLLLLL Z = W × ArK

π

��W

Entonces, para probar (i) basta probar que f ′(V ) contiene un abierto no vacıoZ ′

en Z = W ×ArK , ya que entonces f(V ) contendra a π(Z ′) que es abierto no vacıoen W (por el ejercicio 37 de §2.3 las proyecciones V ×W → V y V ×W → Wson funciones abiertas).

Ahora, como vr+1, . . . , vM son algebraicos sobre K(W ), entonces satisfacenecuaciones polinomiales de la forma

(†) gni,ivnii + · · ·+ g1,ivi + g0,i = 0 para i = r + 1, . . . ,M

con los gi,j ∈ K(W ), y limpiando denominadores podemos suponer que gi,j ∈K[W ] ⊆ K[W ][v1, . . . , vr] = C y que gni,i 6= 0.

Pongamos g =∏Mi=r+1 gni,i. Entonces, g ∈ C y g 6= 0. Sea Z ′ = DZ(g) =⋃

D(gni,i). Entonces, (f ′)−1(Z ′) = (f ′)−1(DZ(g)) = DV (f ′∗(g)) y se tiene que

K[Z ′] = K[DZ(g)] ' K[Z]g ' CgK[DV (f ′∗(g))] ' K[V ]f ′∗(g) generada, como Cf -algebra por vr+1, . . . , vM

y como g es invertible en Cg, entonces los gni,i en (†) tambien lo son y ası podemosdividir entre el coeficiente de grado en (†) para obtener polinomios monicos y porlo tanto los vi son enteros sobre Cg y consecuentemente K[V ]f ′∗(g) es entera sobreCg, es decir, K[DV (f ′∗(g))] es entera sobre K[DZ(g)] y por el ejercicio 16 de §3.3se sigue que

f ′ : DV (f ′∗(g))→ DZ(g)es una aplicacion finita y ası es suprayectiva (por la segunda parte del ejercicio 16de §3.3) y por lo tanto

Z ′ = DZ(g) = f ′DV (f ′∗(g)) ⊆ f ′(V )

como se querıa.

110 3. DIMENSION

Resta probar (ii). Para esto, consideremos subconjuntos con r + 1 elementosvi1 , . . . , vir+1 de v1, . . . , vM . Entonces, estos r + 1 elementos son algebraicamentedependientes sobre K(W ) y por lo tanto satisfacen una ecuacion no trivial

(∗) Fi(vi1 , . . . , vir+1) = 0

con i = (i1, . . . , ir+1) y los coeficientes ai de Fi en K[W ] (despues de limpiardenominadores, si hiciera falta). Escojamos ahora un coeficiente ai 6= 0 en (∗) ysea a =

∏ai, donde el producto se toma sobre todos los subconjuntos con r + 1

elementos de {1, . . . , n}. Pongamos entonces W0 = DW (a) ⊆ W y note queW0 6= ∅. Mostraremos que este W0 satisface (ii). En efecto, para Q ∈ DW (a) seamQ ⊆ K[W ] el ideal maximo correspondiente y escribamos mQ = 〈f1, . . . , ft〉.Poniendo gi = f∗fi, como en la demostracion de la parte (2) se tiene que

f−1(Q) = V(g1, . . . , gt) = V(mQK[V ]).

Ahora, si Z es una componente irreducible de f−1(Q), entonces Z correspondea un ideal primo q ⊆ K[V ] que contiene a mQK[V ] y es mınimo con esta condicion.Se sigue que

K[Z] = K[V ]/q

y por la parte (2) basta probar que dimZ = dimK[V ]/q ≤ r. Para esto, note quemQ ⊆ mQK[V ] ⊆ q y ası mQ ⊆ q∩K[W ], donde q∩K[W ] es primo y por lo tanto6= K[W ], y como mQ es maximo se debe tener la igualdad mQ = q ∩ K[W ]. Sesigue que K[V ]/q esta generada como K = K[W ]/mQ-algebra por las imagenesvi de los vi, es decir,

K[Z] = K[v1, . . . , vM ]

y por lo tantoK(Z) = K(v1, . . . , vM ). Si sucediera que grtrK K[Z] > r, entoncesexistirıan r + 1 elementos vi1 , . . . , vir+1 algebraicamente independientes sobre K,pero como estos satisfacen la ecuacion (∗)

(∗∗) Fi(vi1 , . . . , vir+1) =∑

ai,eve1i1· · · ver+1

ir+1

con los ai,e ∈ K[W ], la misma ecuacion, con coeficientes ai,e ∈ K[W ]/mQ = Kse satisface al pasar al cociente K[V ]/q, lo cual muestra que los vi1 , . . . , vir+1 sonalgebraicamente dependientes sobre K, y como q ∩K[W ] = mQ es el ideal maxi-mo correspondiente a Q, entonces ai,e = ai,e(Q). Pero como Q ∈ DW (a), unode los ai,e = ai,e(Q) no se anula y consecuentemente la ecuacion (∗∗) en losvi1 , . . . , vir+1 , tiene un coeficiente no cero y por lo tanto vi1 , . . . , vir+1 son alge-braicamente dependientes sobre K, una contradiccion. �

Una consecuencia importante del teorema anterior es un criterio para la irredu-cibilidad de variedades:


COROLARIO 3.33. Si f : V → W es una aplicacion regular suprayectiva entreconjuntos proyectivos y si W es irreducible y ademas todas las fibras f−1(Q) sonirreducibles y de la misma dimension, entonces V es irreducible.

Demostracion. Suponga que V = V1 ∪ · · · ∪ Vk es la descomposicion de V ensus componentes irreducibles. Como f es una aplicacion regular entre conjuntosproyectivos, es una funcion cerrada y por lo tanto las imagenes f(Vi) son cerradase irreducibles en W , y como f es suprayectiva, entonces W =

⋃f(Vi); mas aun,

como W es irreducible, entonces f(Vi) = W para algun i. Renumerando si hicierafalta podemos suponer que f(Vi) = W para 1 ≤ i ≤ s y que f(Vi) W parai > s. Observe ahora que para Q ∈W −

⋃i>s f(Vi) se tiene que

(∗) f−1(Q) =⋃i≤s

(Vi ∩ f−1(Q)

)=(⋃i≤s

Vi

)∩ f−1(Q)

y ası f−1(Q) ⊆⋃i≤s Vi, y como f−1(Q) es irreducible por hipotesis, se sigue que

existe un i ≤ s tal que f−1(Q) ⊆ Vi.Ahora, como el numero s de Vi tales que f(Vi) = W es finito, podemos encon-

trar un abierto U ⊆W tal que f−1(Q) ⊆ Vi para todo Q ∈ U .Sea fi : Vi → W la restriccion de f a Vi. Como Vi y W son irreducibles

podemos aplicar el teorema sobre la dimension de las fibras y concluir que las fibrasde fi son de dimension ≥ dimVi − dimW .

De la igualdad (∗) se sigue que para todo Q ∈ U ⊆W −⋃i>s f(Vi)

f−1(Q) =⋃i≤s

(Vi ∩ f−1(Q)

)=⋃i≤s

(f−1i (Q)

)y como f−1(Q) es irreducible, entonces existe un i0 ≤ s tal que dim f−1

i0(Q) =

dim f−1(Q) para todo Q ∈ U y por lo tanto para todo Q ∈W .Ahora, como f−1(Q) =

⋃i f−1i (Q) para todo Q ∈ W y como f−1

i (Q) esirreducible, entonces existe un i0 tal que dim f−1

i0(Q) = dim f−1(Q) para todo

Q ∈ W . Entonces, por 3.2 la inclusion f−1i0

(Q) ⊆ f−1(Q) debe ser una igualdadf−1i0

(Q) = f−1(Q) para todo Q ∈W . Finalmente, como

V =⋃Q∈W

f−1(Q) =⋃Q∈W

f−1i0

(Q) = Vi0

se sigue que V = Vi0 y por lo tanto V es irreducible. �

Ejemplo 20. El corolario anterior es falso si las variedades involucradas no son pro-yectivas. Por ejemplo, si V = {0} ∪ V(xy − 1) ⊆ A2

K (la union del origen deA2K con la hiperbola afın xy = 1) y si f : V → A1 la proyeccion sobre el eje X .

Entonces, f es suprayectiva, A1K es irreducible y las fibras de f son irreducibles y

de la misma dimension 0 (son puntos), pero V no es irreducible.

112 3. DIMENSION

OBSERVACION. En la demostracion del corolario anterior lo que se uso del hechode que las variedades involucradas fueran proyectivas es

EjerciciosEJERCICIO 31. Sea f : V →W regular.

(i) Si todas las fibras de f tienen dimension ≤ r, demuestre que dimV ≤r + dimW .

(ii) Si f es dominante y todas sus fibras no vacıas tienen dimension r, demues-tre que dimV = r + dimW .

(iii) Si V,W son variedades algebraicas, concluya que dimV ×W = dimV +dimW .

EJERCICIO 32. Sea f : V → W una aplicacion regular cerrada. Para cada enteroi ≥ 0 pongamos

Wi = {Q ∈W : dim f−1(Q) ≥ i}.(i) Demuestre que los Wi son cerrados en W . Sugerencia: Induccion sobre

i ≥ 0.(ii) Para cada i ≥ 0, definaW 0

i := Wi−Wi+1. Es claro queWi+1 ⊆Wi, paracada i. En cada W 0

i la dimension de las fibras de f es constante e igual ai. La union disjunta de los W 0

i es W . Muestre que los W 0i son localmente

cerrados y por lo tanto son conjuntos algebraicos.

EJERCICIO 33. Si f : V → W es una aplicacion regular suprayectiva entre con-juntos proyectivos y si W y todas las fibras f−1(Q) son irreducibles y de la mismadimension n, demuestre que dimV = n+ dimW .

EJERCICIO 34. Demuestre que si V y W son variedades proyectivas (irreducibles),entonces V ×W es irreducible.

Capıtulo4Propiedades locales

Como motivacion, consideremos una hipersuperficie V = V(f) ⊆ AnR, conf ∈ R[x1, . . . , xn] irreducible. Dado un punto P = (a1, . . . , an) ∈ V , la preguntaque queremos responder es ¿que es el espacio tangente a la variedad V en el puntoP ? Para responder a esta pregunta, recurrimos a la geometrıa diferencial recordandoque la expansion de Taylor de la funcion f alrededor del punto P , digamos en puntosde la forma P + (h1, . . . , hn) = (a1 + h1, . . . , an + hn), para hi ∈ R pequenos,esta dada por

f(x1, . . . , xn) =n∑i=1

hi∂f

∂xi(P ) +

12

∑i,j

hihj∂2f

∂xi∂xj(P ) + · · ·

ya que f(P ) = 0 porque P ∈ V = V(f). Ahora, la intuicion es que en una vecindadde P , las diferencias xi−ai = hi son pequenas y por lo tanto en una vecindad de Pla funcion f , y por lo tanto la hipersuperficie V que define, estan aproximadas porel hiperplano tangente

n∑i=1

(xi − ai)∂f

∂xi(P ) = 0,

que se obtiene al substituir el punto (a1 + h1, . . . , an + hn) ∈ V en el polinomio fque define V y luego desdenar los terminos de grado≥ 2 en la expansion de Taylor.Note que cada sumando (xi − ai) ∂f∂xi

(P ), que define el hiperplano tangente, es un

polinomio lineal en n variables porque ∂f∂xi

(P ) ∈ R es una constante, y por lo tantoel hiperplano tangente es, en efecto, un hiperplano, i.e., una variedad lineal.

La discusion anterior se puede llevar al caso general cuando f ∈ K[x1, . . . , xn]y K es un campo arbitrario, hasta un cierto punto: la nocion de derivada (parcial)∂f∂xi

(P ) se hace puramente formal, es decir, pidiendo que ∂f∂xixki = kxk−1

i y que∂f∂xi

(a) = 0 para las constantes a ∈ K, y que se cumplan las propiedades formalesde linealidad y la regla del producto. El problema es la nocion de pequenez paraque en la expansion de Taylor formal se puedan desdenar los terminos pequenos(potencias mayores o iguales que 2) y quedarse unicamente con los terminos linea-les. El dispositivo o truco tecnico necesario es reemplazar la idea de aproximaciona primer orden cuando se considera la expansion de Taylor en puntos de la forma

113

114 4. PROPIEDADES LOCALES

(a1 + h1, . . . , an + hn), con deformaciones de primer orden susbtituyendo el pun-to dado P = (a1, . . . , an) por puntos de la forma (a1 + h1ε, . . . , an + hnε) conai, hi ∈ K, pero donde ε es un sımbolo infinitesimalmente pequeno de primer or-den, lo que querra decir que ε 6= 0 pero ε2 = 0. En otras palabras, al campo K sele adjunta un termino ε con estas propiedades y se considera el anillo de numerosduales:

K[ε] := K[ε]/(ε2) = {a+ bε : a, b ∈ K, ε2 = 0}.La idea es que dada una variedad V definida sobre K, se buscan las extensionesde V sobre el anillo de numeros duales K[ε], y a estas extensiones se les llamadeformaciones de primer orden de V . En otras palabras, para obtener el espaciotangente a una variedad algebraica V , definida digamos como V = V(f1, . . . , fr),necesitaremos resolver las ecuaciones fi = 0 que la definen no solo sobre el campoK si no en el anillo de numeros duales K[ε].

Note que para hipersuperficies V = V(f), con f ∈ K[x1, . . . , xn], y para unpunto P = (a1, . . . , an) ∈ V , i.e., con f(P ) = 0 al considerar la expansion deTaylor

f(x1, . . . , xn) =n∑i=1

biε∂f

∂xi(P ) +

12

∑i,j

hihjε2 ∂2f

∂xi∂xj(P ) + · · ·

en puntos de la forma (a1 + b1ε, . . . , an + bnε) donde las coordenadas ai + biε ∈K[ε], los terminos donde aparece εt con t ≥ 2 se anulan y solo quedan los terminos

n∑i=1

(xi − ai)∂f

∂xi(P ) =

n∑i=1

biε∂f

∂xi(P ) = 0

lo cual recupera el hiperplano tangente que se obtuvo, en el caso real, usando geo-metrıa diferencial.

Ejemplo 1. Calcularemos el espacio tangente a la variedad afın V = SL(n,K) dematrices n × n con determinante 1, en el punto P = idn ∈ SL(n,K) dado por lamatriz identidad. Para comenzar, una deformacion de P es una matriz de la formaP + εB, con B = (bij), y observamos que P + εB ∈ SL(n,K) si y solo sidet(P + εB) = 1, donde

det(P + εB) = det

1 + b11ε b12ε · · · b1nεb21ε 1 + b22ε · · · b2nε

...bn1ε · · · bn−1,nε 1 + bnnε

= (1 + b11ε)(1 + b22ε) · · · (1 + bnnε)

= 1 + (b11 + b22 + · · ·+ bnn)ε+ (algo)ε2 + · · ·= 1 + (b11 + b22 + · · ·+ bnn)ε

4.1. ESPACIOS TANGENTE, PUNTOS LISOS Y PUNTOS SINGULARES 115

y el lado derecho 1 + (b11 + b22 + · · ·+ bnn)ε = 1 si y solo si TrB = b11 + b22 +· · ·+bnn = 0. Se sigue que el espacio tangente a la variedad SL(n,K), en la matrizidentidad, esta dado por las matrices de traza cero.

4.1. Espacios tangente, puntos lisos y puntos singularesComenzaremos con el caso de variedades afines V ⊆ AnK . Generalizando la

discusion anterior del caso de hipersuperficies, si I = I(V ) y P = (a1, . . . , an) ∈V se define el espacio tangente a V en el punto P como el subespacio vectorialTPV de Kn dado por los ceros de las ecuaciones lineales

(∗)n∑i=1

∂f

∂xi(P )(xi − ai) = 0 para f ∈ I.

Ejemplo 2. Si V = AnK , sabemos que I = I(AnK) = 0 y por lo tanto para todo puntoP ∈ AnK se tiene que

TP (AnK) = Kn

identificando el origen con P .Por el ejemplo anterior se sigue que si V ⊆ AnK es una variedad afın y P ∈ V ,

entonces TPV es un subespacio vectorial del espacio tangente TPAnK , ambos conorigen en el punto P . En particular dimK TPV ≤ dimK TPAnK = n.

Diferenciales. Para el espacio vectorial Kn denotemos con xi : Kn → K a lafuncion i-esima coordenada, i.e., xi(a1, . . . , an) = ai. Es claro entonces que siei = (0, . . . , 1, . . . , 0) ∈ Kn, 1 ≤ i ≤ n, es la base canonica de Kn, entonces losxi = e∨i son la base dual del espacio vectorial dual

(Kn)∨ = HomK(Kn,K).

Note ahora que para cada polinomio lineal xi − ai en (∗), para el punto P =(a1, . . . , an), viendo este polinomio como un elemento de (Kn)∨ usaremos la no-tacion

dxi|P = xi − ai ∈ (Kn)∨.

Por la discusion anterior, es claro que los dxi|P forman una base del espacio vec-torial dual TP (AnK)∨, donde recordamos que TP (AnK) tiene origen en el punto P .Ahora, para un polinomio f ∈ K[x1, . . . , xn] y para el punto P ∈ AnK se define ladiferencial de f en P como

df |P =n∑i=1

∂f

∂xi(P ) · dxi|P


visto como un elemento de (TPAnK)∨. Podemos entonces reinterpretar la definiciondel espacio tangente TPV en terminos de diferenciales como el subespacio vectorialde TPAnK definido por las ecuaciones

df |P = 0 para todo f ∈ I = I(V ).

Comenzamos probando que en la definicion del espacio tangente a V en P bastaconsiderar un conjunto de generadores del ideal I de V .

LEMA 4.1. Si V ⊆ AnK es algebraico afın con I = I(V ) ⊆ K[x1, . . . , xn] y siI = 〈f1, . . . , fr〉 y P ∈ V , entonces

TPV = V(df1|P , . . . , dfr|P ).

Demostracion. En efecto, si g ∈ I es cualquier elemento, escribiendo g = h1f1 +· · ·+ hrfr con los hi ∈ K[x1, . . . , xn], por la regla del producto para la derivacionse tiene que

dg|P =∑j

hj(P ) · dfj |P + fj(P ) · dhj |P =∑j

hj(P ) · dfj |P

ya que como P ∈ V entonces fj(P ) = 0 para todo j. Se sigue que las diferencialesdf1|P , . . ., dfr|P generan el espacio vectorial TPV . �

La Jacobiana. Si V = V(I) ⊆ AnK es una variedad afın, con I = 〈f1, . . . , fk〉 ⊆K[x1, . . . , xn], la matriz k × n

J = Jac(f1, . . . , fk) =( ∂fi∂xj

)=

∂f1∂x1

· · · ∂f1∂xn

......

∂fk∂x1

· · · ∂fk∂xn

se llama la Jacobiana de I = 〈f1, . . . , fk〉. Observe que el sistema de ecuacioneslineales que definen a TPV :

∂f1

∂x1(P )(x1 − a1) + · · ·+ ∂f1

∂xn(P )(xn − an) = 0

...∂fk∂x1

(P )(x1 − a1) + · · ·+ ∂fk∂xn

(P )(xn − an) = 0

tiene como matriz asociada a la Jacobiana evaluada en P , i.e., a J(P ). Por algebralineal se tiene que

dimK TPV = n− rango J(P ).


Usando la observacion anterior, la proposicion siguiente tiene como consecuen-cia que la dimension del espacio tangente TPV de una variedad afın V solo dependede una vecindad abierta V0 ⊆ V de P .

PROPOSICION 4.2. Si V ⊆ AnK es una variedad afın, la funcion V → N ∪ {0}definida por P 7→ dimK TPV es semicontinua superiormente, es decir, para cadaentero r el subconjunto

S(r) = {P ∈ V : dimK TPV ≥ r} ⊆ Ves cerrado.

Demostracion. Supongamos que I(V ) = 〈f1, . . . , fk〉. Por el lema anterior

TPV =k⋂i=1

V(dfi|P

)⊆ AnK .

Consideremos ahora la matriz Jacobiana J(P ) =( ∂fi

∂xj(P )), de tamano k × n,

y observe que cada una de sus entradas es una funcion polinomial en P y por lotanto cada uno de sus menores es un determinante de polinomios y ası tambien esun polinomio. Observe ahora que

P ∈ S(r)⇔ dimK TPV = n− rango J(P ) ≥ r⇔ la matriz J(P ) tiene rango ≤ n− r⇔ cada menor (n− r + 1)× (n− r + 1) de J(P ) se anula

⇔ P ∈ V(

menores (n− r + 1)× (n− r + 1) de J(f1, . . . , fk)),

y por lo tanto S(r) = V(

menores (n− r + 1)× (n− r + 1) de J)

es cerrado.�

COROLARIO 4.3. Si V ⊆ AnK es una variedad afın, existe un entero d y un abiertodenso V0 ⊆ V tales que

dimK TPV =

{d para P ∈ V0,

≥ d para todo P ∈ V .

Demostracion. Sea d = mın{dimK TPV : P ∈ V }. Entonces, claramente

S(r) =

{V si r = d,

V si r = d+ 1,

de donde se sigue que

V0 := V − S(d+ 1) = S(d)− S(d+ 1) = {P ∈ V : dimK TPV = d}es abierto no vacıo. �


Puntos lisos y puntos singulares de hipersuperficies. Si V = V(f) ⊆ AnK es unahipersuperficie irreducible, i.e., f ∈ K[x1, . . . , xn] es un polinomio irreducible, yP = (a1, . . . , an) ∈ V , el espacio tangente a V esta descrito por una unica ecuacionlineal:

TPV = V(∑

i

∂f

∂xi(P )(xi − ai)

).

Este espacio vectorial se puede determinar facilmente y se tienen dos casos, depen-diendo del tipo de punto P : si para toda i las parciales ∂f

∂xi(P ) = 0, diremos que P

es un punto singular de la hipersuperficie V . Si alguna parcial ∂f∂xi

(P ) 6= 0, diremosque P es un punto liso o punto no singular de la hipersuperficie V . Que los puntossingulares son ((singulares)), i.e., pocos, es el contenido del teorema siguiente:

TEOREMA 4.4. Si V = V(f) ⊆ AnK es una hipersuperficie irreducible, entonces elconjunto de puntos lisos Vlisos de V es abierto denso en V .

Demostracion. El complemento de Vlisos es el conjunto Vsing de puntos singularesde V , y se tiene que

Vsing ={P ∈ V :

∂f

∂xi(P ) = 0 para todo i

}= V

(f,∂f

∂x1, . . . ,

∂f

∂xn

)⊆ AnK

y por lo tanto Vsing es un cerrado en la topologıa de Zariski y ası Vlisos es abier-to. Como V es irreducible, para probar que Vlisos es denso, basta probar que no esvacıo. Supongamos lo contrario, i.e., que Vlisos = ∅. Entonces, Vsing = V = V(f)y por lo tanto cada uno de los polinomios ∂f/∂xi ∈ I(V ) = 〈f〉 (por el teo-rema de los ceros) y ası f divide a cada ∂f/∂xi; pero como el grado en xi de∂f/∂xi es estrictamente menor que el grado en xi de f , lo anterior implica que∂f/∂xi = 0 (el polinomio cero) para cada i. Si carK = 0, lo anterior dice quexi no aparece en f , para todo i, y consecuentemente f es una constante en K, locual es una contradiccion con el hecho de que f es irreducible. Si carK = p > 0,∂f/∂xi = 0 solo es posible si f es inseparable en xi, i.e., xi aparece en f comoxpi , y esto para todo i; se sigue que f = F (xp1, . . . , x

pn) con F ∈ K[x1, . . . , xn].

Si ahora escribimos F =∑ai1,...,inx

i11 · · ·xinn como ai1,...,in ∈ K y K es al-

gebraicamente cerrado, entonces cada uno de estos coeficientes tiene una raız p-esima bi1,...,in ∈ K, i.e., bpi1,...,in = ai1,...,in . Definimos entonces el polinomiog =

∑bi1,...,inx

i11 · · ·xinn ∈ K[x1, . . . , xn] y claramente se tiene que f = gp,

por el argumento usual en caracterıstica p, lo cual contradice el hecho de que f esirreducible. �

Espacios tangente en puntos singulares y en puntos lisos de hipersuperficies. SiV = V(f) ⊆ AnK es una hipersuperficie irreducible y P = (a1, . . . , an) ∈ V es un


punto singular, entonces todas las derivadas parciales ∂f∂xi

(P ) = 0 y por lo tanto

TPV = V(∑

i

∂f

∂xi(P )(xi − ai)

)= V(0) = Kn.

Por otra parte, si P = (a1, . . . , an) ∈ V es un punto liso, entonces alguna∂f∂xi

(P ) 6= 0 y ası la ecuacion lineal

∂f

∂x1(P )(x1 − a1) + · · ·+ ∂f

∂xn(P )(xn − an) = 0

tiene algun coeficiente no nulo y ası el rango de la matriz correspondiente es r = 1por lo que su espacio de soluciones TPV tiene dimension n− 1, es decir,

dimK TPV = n− 1.

Ahora, en el ejemplo 4 de §3.1, vimos que la dimension (como variedad alge-braica) de una hipersuperficie V = V(f) ⊆ AnK es

dimV = n− 1 = grtrK K(V )

y por lo tanto, si P ∈ Vlisos se tiene que

dimK TPV = grtrK K(V ) = dimV = dimK[V ].

Es decir, para puntos lisos de hipersuperficies afines irreducibles, todas las nocionesde dimension coinciden.

Puntos lisos y puntos singulares de variedades algebraicas. Comenzamos gene-ralizando el caso de hipersuperficies afines al de una variedad afın arbitraria. Recor-demos que por 4.3, si V ⊆ AnK es una variedad afın, existe un abierto denso V0 ⊆ Vy un entero d tales que

dimK TPV =

{d si P ∈ V0,

≥ d para todo P ∈ V .

Un punto P ∈ V se dice que es un punto liso o no singular si dimK TPV = d. Elpunto P ∈ V se dice que es singular si dimK TPV > d. Diremos que la variedadafın V es lisa o no singular si todos sus puntos son lisos. Un punto singular P ∈V en ocasiones se dice que es una singularidad de V . Nuestro objetivo ahora esgeneralizar, a cualquier variedad afın, el resultado de la subseccion anterior dondevimos que para una hipersuperficie irreducible V = V(f) ⊆ AnK se tiene que paratodo P ∈ Vlisos

dimK TPV = dimV.

Para poder hacer lo anterior, necesitaremos reducir al caso de hipersuperficies usan-do que toda variedad es biracional a una hipersuperficie (3.25), y para esto necesita-remos algebrizar mas la nocion de espacio tangente. Esto es el objetivo de la seccionsiguiente.


EjerciciosEJERCICIO 1. Considere una curva C = V(f(x, y)) con f(x, y) ∈ K[x, y] unpolinomio sin factores multiples.

(i) Demuestre que, con la condicion anterior, el ideal 〈f(x, y)〉 es radical ypor lo tanto I(C) = 〈f(x, y)〉.

(ii) Concluya que C es pura de dimension 1.(iii) Si f(x, y) es irreducible, de tal forma que C tambien lo es, en el anillo

de coordenadas K[C] = K[x, y]〈/f(x, y)〉 = K[x, y], que es un dominioentero, muestre que si f(x, y) 6= x− c, con c ∈ K, entonces x es trascen-dente sobre K y y es algebraico sobre K(x) y por lo tanto x es una basetrascendente deK(C) sobreK. Similarmente, si f(x, y) 6= y−c, y es unabase trascendente de K(C) sobre K.

(iv) Sin usar el resultado correspondiente del texto, demuestre que el conjuntode puntos lisos deC es abierto denso enC. Los calculos son mas sencillos,pero la idea es repasar lo que se vio en general para el caso de curvas.

En los ejercicios 2 al 6 suponga que la caracterıstica del campo K es 6= 2, 3.

EJERCICIO 2. Muestre que la curva E = V(y2 − x3) es lisa en los puntos P =(a, b) 6= (0, 0) y que es singular en (0, 0).

EJERCICIO 3. Muestre que la curva E = V(y2 − x3 − x2(x + 1)) es lisa en lospuntos P 6= (0, 0) y es singular en (0, 0).

EJERCICIO 4. Muestre que la curva E = V(y2 − x3 + x) es lisa.

EJERCICIO 5. Muestre que la curva E = V(y2 − x3 − 12x) es lisa.

EJERCICIO 6. Los ejercicios anteriores son casos particulares del ejemplo generalsiguiente. Considere la la curva E = V(y2 − x3 − ax− b). Demuestre que E tieneuna singularidad si y solo si los polinomios

y2 − x3 − ax− b, 2y, 3x2 − a

tienen un factor comun (note que los ultimos dos polinomios son las derivadas par-ciales del primero). Equivalentemente, E tiene una singularidad si y solo si lospolinomios y2 − x3 − ax− b y 3x2 − a tienen un factor comun.

Concluya que E tiene una singularidad si y solo si el polinomio x3 + ax + btiene una raız multiple.

EJERCICIO 7. Muestre que la curva de Fermat F = V(xm + ym − 1) es lisa entodos los puntos a menos que la caracterıstica de K divida a m. Cuando carK|m,muestre que el polinomio que define F tiene factores multiples. ¿Que pasa con suspuntos entonces?

4.2. EL ESPACIO TANGENTE DE ZARISKI 121

4.2. El espacio tangente de ZariskiLa definicion que hemos dado del espacio tangente TPV usa la inclusion V ⊆

AnK . A continuacion mostraremos una forma equivalente de dar esta definicion quedepende unicamente de una vecindad (pequena) del punto P en V , reformulan-do la definicion de espacio tangente para que solo dependa del algebra K[V ]; dehecho, mejor aun, para que solo dependa del anillo local OV,P . Para comenzar, siP = (a1, . . . , an) ∈ V ⊆ AnK , sea MP = 〈x1−a1, . . . , xn−an〉 ⊆ K[x1, . . . , xn]el ideal maximo correspondiente al punto P (ejemplo 9 y 1.13 en §1.1). Sea mP ⊆K[V ] el ideal maximo de funciones regulares en P y que se anulan en P . Como{P} ⊆ V , entonces I = I(V ) ⊆MP y en la correspondencia entre ideales primosde K[V ] e ideales primos de K[x1, . . . , xn] que contienen a I , el ideal MP corres-ponde a mP , es decir, mP = MP /I ⊆ K[V ]. Mas aun, por el ejercicio 1, mP es elideal maximo del anillo local K[x1, . . . , xn]MP

, i.e., mP es el ideal generado por laimagen de MP enK[x1, . . . , xn]MP

. El resultado siguiente identifica el anillo local(K[V ]mP ) con el anillo local OV,P :

LEMA 4.5. Si V ⊆ AnK es una variedad afın (irreducible), P ∈ V , y mP ⊆ K[V ]es el ideal maximo de funciones polinomiales que se anulan en P , entonces se tieneun isomorfismo de anillos locales

OV,P ' K[V ]mP .

Demostracion. Por definicion OV,P es el subanillo del campo K(V ) formado porlas funciones racionales α = g/h con g, h ∈ K[V ] y h(P ) 6= 0. Se define entonces

OV,P → K[V ]mP

mediante α = g/h 7→ [g, h], observando que [g, h] ∈ K[V ]mP porque h 6∈ mP .Claramente la funcion anterior es un isomorfismo. �

El lema siguiente identifica ciertos cocientes de los anillos locales anteriores:

LEMA 4.6. Si V ⊆ AnK es una variedad afın (irreducible), P ∈ V y mP ⊆K[V ]mP ' OV,P es el ideal maximo de este anillo local, entonces el morfismode localizacion

K[x1, . . . , xn]→ K[x1, . . . , xn]MP

induce, para todo natural k, isomorfismos

(1) K[x1, . . . , xn]/MkP'−→ K[x1, . . . , xn]MP

/mkP

que a su vez inducen isomorfismos

(2) MtP /M

kP'−→ mt

P /mkP

para todo t < k.


Demostracion. Para abreviar la notacion pondremos A = K[x1, . . . , xn] y m =MP . Observe ahora que la segunda afirmacion se sigue de la primera aplicando ellema del quinto ya que se tiene el diagrama conmutativo siguiente, para todo k < n:

0 // mk/mn //

��

A/mn //

'��

A/mk //

'��

0

0 // (mAm)k/(mAm)n // Am/(mAm)n // Am/(mAm)k // 0

y por lo tanto basta probar la primera afirmacion. Sea ϕ : A → Am el morfismocanonico. Para mostrar que A/mn → Am/(mAm)n es inyectiva debemos mostrarque ϕ−1S−1(mn) = mn. Para esto, si a ∈ ϕ−1S−1(mn), entonces ϕ(a) = a/1 ∈S−1(mn) y ası a/1 = b/s con b ∈ mn y s ∈ S. Se sigue que tsa ∈ mn para algunt ∈ S y por lo tanto tsa = 0 en A/mn. Por otra parte, el unico ideal maximo quecontiene a mn es m y por la correspondencia con los ideales del cociente A/mn sesigue este es un anillo local cuyo unico ideal maximo es m/mn, y por lo tanto, comots 6∈ m/mn, debe ser una unidad en A/mn, y ası la igualdad tsa = 0 implica quea = 0 en A/mn, i.e., a ∈ mn ⊆ m. Hemos ası mostrado que ϕ−1S−1(mn) ⊆ m. Laotra inclusion es directa. Resta probar que A/mn → Am/(mAm)n es suprayectiva.Para esto, sea a/s ∈ Am, i.e., a ∈ A y s ∈ A − m. Como antes, el unico idealmaximo de A que contiene a mn es m y por lo tanto ningun ideal maximo contienea s y mn, i.e., 〈s〉 + mn = A. Se sigue que existen x ∈ A y b ∈ mn tales quesx+b = 1. Como s es invertible enAm/(mAm)n, entonces a/s es el unico elementode este anillo tal que s(a/s) = a. Como s(ax) = a(1− b), la imagen de ax en Am

tambien tiene esta propiedad y por lo tanto debe ser igual a a/s. �

Ahora, para el anillo noetheriano local K[x1, . . . , xn]MP, con ideal maximo

mP , en los isomorfismos de (1), para k = 1:

K ' K[x1, . . . , xn]/〈x1 − a1, . . . , xn − an〉 ' K[x1, . . . , xn]MP/mP

observe que el ideal mP se puede ver como un K[x1, . . . , xn]MP-modulo y por lo

tanto tambien lo es el cociente mP /m2P , y la accionK[x1, . . . , xn]MP

×mP /m2P →

mP /m2P se factoriza a traves del cociente K ' K[x1, . . . , xn]MP

/mP , es decir,

K[x1, . . . , xn]MP×mP /m

2P

��

// mP /m2P

K ×mP /m2P

55

y ası mP /m2P tiene una estructura natural de K-espacio vectorial. Por el isomorfis-

mo (2):MP /M

2P ' mP /m

2P


y por lo tanto tambien MP /M2P es un K-espacio vectorial.

El resultado principal es:

TEOREMA 4.7 (Zariski). Si V = V(I) ⊆ AnK , I ⊆ K[x1, . . . , xn] y P ∈ V ,entonces se tiene un isomorfismo natural de K-espacios vectoriales

TPV ' HomK(mP /m2P ,K).

Al dual (mP /m2P )∨ = HomK(mP /m

2P ,K) se le llama el tangente de Zariski a V

en P .

Demostracion. Consideremos primero el caso cuando V = AmK y supongamosademas que P = 0 = (0, . . . , 0) ∈ V . Ası, K[V ] = K[x1, . . . , xn] y MP = mP .Ahora, para cada f ∈ K[x1, . . . , xn], sea df |P la diferencial de f en P , es decir,

df |P =∑i

∂f

∂xi(P ) · (xi − ai) =

∑i

∂f

∂xi(P ) · dxi

(ya que ai = 0 para toda i porque P = 0). Como las dxi son una base del espaciodual (Kn)∨ = TPAnK , entonces df |P ∈ (Kn)∨.

Ahora, como P = 0, MP = 〈xi, . . . , xn〉, y se tiene la funcion

ϕ : MP → (Kn)∨

dada mediante ϕ : f 7→ df |P . Claramente ϕ es K-lineal, y es suprayectiva porquecada xi ∈MP va a dar a dxi|P , que es un elemento de la base dual de (Kn)∨. Noteahora que kerϕ = M2

P ya que

df |P = 0⇔ el primer termino no cero de f tiene grado ≥ 2⇔ f ∈M2P ,

(note que f no tiene termino constante porque f ∈MP ). Se sigue que

(Kn)∨ 'MP /M2P ,

lo cual prueba el teorema en el caso cuando V = AnK , ya que T0AnK = Kn y comoMP = mP , se tiene el isomorfismo buscado.

En el caso general, la inclusion V = V(I) ⊆ AnK induce, como vimos previa-mente, la inclusion TPV ⊆ TPAnK ' Kn, que al pasar a los espacios duales inducela aplicacion lineal suprayectiva

(Kn)∨ � (TPV )∨

que es la restriccion res : α 7→ α|TPV . Entonces, al componer esta restriccion conla funcion suprayectiva ϕ : MP → (Kn)∨ se obtiene la funcion lineal suprayectiva

Φ : MPϕ−→ (Kn)∨ res−→ (TPV )∨.

Mostraremos ahora queker Φ = M2

P + I.


En efecto,

f ∈ ker Φ⇔ (df |P )∣∣TPV

= 0⇔ df |P =∑i

aidgi|P con gi ∈ I = I(V )

(ya que TPV ⊆ Kn es el subespacio generado por los dgi|P , con gi ∈ I)

⇔ d(f −

∑i

aigi

)∣∣∣P

= 0

⇔ f −∑i

aigi = h ∈M2P con gi ∈ I

⇔ f = h+∑i

aigi ∈M2P + I.

Hemos ası mostrado que Φ induce un isomorfismo

MP /(M2P + I) ' (TPV )∨

y dejamos como un ejercicio el probar que

MP /(M2P + I) ' mP /m

2P .

�

Naturaleza intrınseca del espacio tangente. Por el teorema 4.7 anterior, para Vuna variedad afın y P ∈ V , hemos mostrado que

TPV '(mP /m

2P

)∨y ası no depende del sistema de coordenadas del espacio afın ambiente AnK . Unaconsecuencia inmediata es:

COROLARIO 4.8. Si V es una variedad algebraica afın o casi-afın, P ∈ V y V0 ⊆V es cualquier vecindad abierta de P , entonces se tiene un isomorfismo natural

TPV0'−→ TPV

y por lo tanto dimK TPV = dimK TPV0. En otras palabras, TPV solo depende deuna vecindad abierta de P .

Demostracion. Podemos escoger un abierto distinguido V0 = D(f) como vecindadde P ya que estos forman una base de la topologıa de V . Entonces, V0 = D(f)es isomorfo a una variedad afın, por el ejercicio 37 de §1.3, y claramente el idealmaximo correspondiente al punto P ∈ D(f) ⊆ V es el mismo MP y por lo tantola inclusion j : D(f) ↪→ V es tal que j∗ : K[V ] → K[D(f)] satisface quej∗(MP ) = MP y por lo tanto los tangentes de Zariski son iguales. Se sigue que elmonomorfismo TPD(f)� TPV , inducido por la inclusion j : D(f) ↪→ V , es unisomorfismo. �


COROLARIO 4.9. Si f : V 99K W es una equivalencia biracional de variedadesafines, entonces dimK TPV = dimK Tf(P )W , para todo P ∈ dom f .

Demostracion. Por (una variacion afın de) 2.16 f : V 99KW es biracional si y solosi existen abiertos V0 ⊆ V y W0 ⊆ W tales que f : V0 → W0 es biregular y por lotanto se sigue que f∗ : K[W0] ' K[V0] y por el corolario anterior:

dimK TPV = dimK TPV0 = dimK Tf(P )W0 = dimK T(f(P )W.

�

La dimension del espacio tangente en puntos lisos. Retomamos a continuacion loque dejamos sin terminar al final de la seccion anterior.

COROLARIO 4.10. Si V es cualquier variedad algebraica afın o casi-afın, entoncespara todo P ∈ Vlisos se tiene que

dimV = dimK TPV.

Demostracion. En la seccion anterior vimos que la igualdad se tiene para hipersu-perficies, y en 3.25 vimos que toda variedad afın o casi-afın es biracional a unahipersuperficie. El resultado se sigue entonces del corolario anterior. �

Resumiendo, si V es una variedad (irreducible) de dimension dimV = d, entonces:

P es liso⇔ dimK TPV = dimV ⇔ dimK mP /m2P = dimV

⇔ mP esta generado por d = dimV funciones (vea el ejercicio 9).

COROLARIO 4.11. Si V = V(I) ⊆ AnK , con I = 〈f1, . . . , fk〉 ⊆ K[x1, . . . , xn] yP ∈ V , entonces P es liso si y solo si el rango de la Jacobiana J(P ) es n−dimV .

�

Ejemplo 3. Si V = V(f) ⊆ AnK es una hipersuperficie, con f ∈ K[x1, . . . , xn],entonces para P = (a1, . . . , an) ∈ V ,

Jac(f)(P ) =( ∂f∂x1

(P ), . . . ,∂f

∂xn(P ))

es una matriz 1× n que corresponde a la ecuacion lineal∂f

∂x1(P )(x1 − a1) + · · ·+ ∂f

∂xn(P )(xn − an) = 0

y como vimos antes, P es liso si y solo si Jac(f)(P ) no es el vector cero.

El caso proyectivo. La discusion anterior la hemos hecho para variedades afinesy casi-afines. Sin embargo, la podemos aplicar a variedades proyectivas o casi-proyectivas, casi textualmente. Si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva o casi-proyectiva, un punto P ∈ V se dice que es liso si existe una vecindad abierta afınV0 ⊆ V de P tal que P es punto liso de V0. Por el corolario 4.8 lo anterior no


depende de la vecindad V0 de P . Similarmente se definen los puntos singulares deV . Se tienen entonces los resultados analogos a 4.8, 4.9 y 4.10:

COROLARIO 4.12. (1): Si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva o casi-proyectiva,P ∈ V y V0 ⊆ V es cualquier vecindad abierta de P , entonces

TPV ' TPV0.

(2): Si f : V 99K W es una equivalencia biracional de variedades proyectivas,entonces dimK TPV = dimK Tf(P )W , para todo P ∈ dom f .

(3): Si V es cualquier variedad algebraica proyectiva o casi-proyectiva, entoncespara todo P ∈ Vlisos se tiene que

dimV = dimK TPV.

�

El espacio tangente como variedad proyectiva. Hemos visto que en el caso afınTPV ⊆ AnK es una variedad afın lineal. Veremos a continuacion que lo mismo escierto para el caso proyectivo, i.e., si V ⊆ PnK entonces TPV ⊆ PnK .

Comenzamos con el caso de una hipersuperficie V = V(f) ⊆ PnK definidapor un polinomio homogeneo f ∈ K[x0, . . . , xn] de grado N , y un punto P =[a0, . . . , an] ∈ V = V(f). Entonces, el hiperplano tangente esta dado por los cerosde la ecuacion lineal ∑

i

∂f

∂xi(P ) · xi = 0

porque f es homogeneo. Ahora, escribiendo PnK ' AnK ∪ V(x0), con AnK ' PnK −V(x0) y luego poniendo V = (V ∩ AnK) ∪ (V ∩ V(x0)) =: V0 ∪ V∞, si sucedieraque P ∈ V0 ⊆ AnK , entonces

TPV = cerradura de TPV0

donde V0 es afın. En efecto, por la formula de Euler∑i

xi∂f

∂xi= Nf

si f ∈ K[x0, . . . , xn] es homogeneo de gradoN . Gracias a la formula anterior, paraverificar si un punto P ∈ V es un punto singular de V ⊆ PnK , solamente se tienenque verificar n+ 1 de las n+ 2 condiciones

f(P ) = 0∂f

∂xi(P ) = 0 0 ≤ i ≤ n.

4.3. LA DIFERENCIAL DE UNA APLICACION REGULAR Y MORFISMOS ETALES 127

Ası, por ejemplo, si el grado N de f no es divisible por carK, entonces por laformula de Euler

∂f

∂xi(P ) = 0 para 0 ≤ i ≤ n⇒ f(P ) = 0⇒ P ∈ V es un punto singular.

EjerciciosEJERCICIO 8. Demuestre que mP ⊆ K[V ] es el ideal maximo del anillo localK[x1, . . . , xn]MP

.

EJERCICIO 9. Use el lema de Nakayama para mostrar que a1, . . . , an generan elideal maximo mP si y solo si sus clases laterales ai + m2

P generan mP /m2P como

K-espacio vectorial. Mas aun, demuestre que el mınimo numero de generadores delideal maximo mP es igual a la dimension del K-espacio vectorial mP /m

2P .

EJERCICIO 10. Si f : V → W es una aplicacion regular entre variedades afines ysi P ∈ V , demuestre el morfismo de anillos f∗ : Of(P ),W → OV,P manda el idealmaximo de uno en el ideal maximo del otro. Se dice entonces que f∗ es un morfismode anillos locales.

EJERCICIO 11. En la notacion de la demostracion del teorema 4.7, demuestre que

MP /(M2P + I) ' mP /m

2P .

EJERCICIO 12. Si A es cualquier anillo conmutativo noetheriano y p ⊆ A es unideal primo, demuestre que Ap tambien es noetheriano.

EJERCICIO 13. Sea C = V(f(x, y)) una curva, con f(x, y) ∈ K[x, y] irreducible.(i) Si P = (0, 0) ∈ C, calcule explıcitamente el espacio contangente de

Zariski mP /m2P . Especıficamente, muestre que todo elemento de mP /m

2P

esta representado por un polinomio lineal ax + by sujeto a la condicionunica f`(x, y) = 0, donde f` es la parte lineal del polinomio f(x, y).

(ii) Muestre que (0, 0) es liso si y solo si f`(x, y) 6= 0 y (0, 0) es singular si ysolo si f`(x, y) = 0.

(iii) Si P = (a, b) ∈ C es cualquier punto, haga el mismo analisis, reduciendoal caso anterior con un cambio de coordenadas.

4.3. La diferencial de una aplicacion regular y morfismos etalesSi f : AmK → AnK es una aplicacion regular, que corresponde al morfismo

de anillos f∗ : K[AnK ] = K[y1, . . . , yn] → K[x1, . . . , xm] = K[AmK ], donde


para f = (f1, . . . , fn) pensamos a yj = fj(x1, . . . , xm), 1 ≤ j ≤ n, es decir,f∗ : yj 7→ fj(x1, . . . , xm).

Ahora, considere un punto P ∈ AmK y su imagen Q = f(P ) ∈ AnK . La diferen-cial de f en P es la funcion K-lineal

df |P : dyi|Q 7→ dyi|Q ◦ df |P =∑ ∂fi

∂xj(P ) · dxj |P

i.e., con respecto a las bases canonicas de TPAmK = Km y TQAnK = Kn, la dife-rencial df |P : TPAmK → TPAkK esta dada por la matriz Jacobiana

(df |P

)= Jac(f1, . . . , fn)(P ) =

∂f1∂x1

(P ) · · · ∂f1∂xm

(P )...

∂fm

∂x1(P ) · · · ∂fn

∂xm(P )

Ejemplo 4. Si P = 0 ∈ AmK y Q = f(0) = 0 ∈ AnK , entonces T0AmK = Km yT0An = Kn y como f(0) = 0, entonces fi(0) = 0 y ası, para f = (f1, . . . , fn):

fi =m∑j=1

cijxj + · · ·

i.e., no tiene termino constante. Se sigue que

yi ◦ (df |P ) =∑j

cijxj

y ası df |P : T0AmK → T0AnK tiene matriz (cij).

Ejemplo 5. Si f ∈ K[x1, . . . , xm], pensando a f como una aplicacion regularf : AmK → A1

K , su diferencial en un punto P ∈ AmK es la funcion lineal df |P :TPAmK → Tf(P )A1

K dada como sigue: identificando Tf(P )A1K = K, entonces

df |P : TPAmK → K se identifica con la diferencial de f como una funcion regularcomo vimos al inicio de §4.1.

PROPOSICION 4.13. Si V = V(I) ⊆ AmK y W = V(J) ⊆ AnK son variedadesafines, f : AmK → AnK es una aplicacion regular tal que f(V ) ⊆ W y P ∈ V ,entonces la diferencial dfP : TPAmK → Tf(P )AnK manda TPV en Tf(P )W .

Demostracion. Como f(V ) ⊆W , entonces f∗ : K[W ]→ K[V ] satisface que paratodo α ∈ J = I(W ) se tiene que f∗(α) = α ◦ f ∈ I(V ) = I y debemos probar quedf |P manda v ∈ TPV en Tf(P )W . Ahora, como

TPV = V(dg|P : g ∈ I) y Tf(P )W = V(dh|f(P ) : h ∈ J)


debemos entonces probar que df |P (v) ∈ Tf(P )W , es decir, debemos probar quedh|f(P )(df |P (v)) = 0 para todo h ∈ J . Para probar esto usaremos la regla de lacadena.

∂h

∂xi=

n∑j=1

∂h

∂yj

∂yj∂xi

.

Entonces, para f = (f1, . . . , fn) y yj = fj(x1, . . . , xm) la regla de la cadenaimplica que

d(h ◦ f)|P = dh|f(P ) ◦ df |Py si v ∈ TP (V ), entonces

dh|f(P ) ◦ df |P (v) = d(h ◦ f)|P (v)

y este vector es cero si h ∈ J = I(W ) ya que entonces h ◦ f ∈ I . Se sigue quedf |P (v) ∈ Tf(P )W . �

Diferencial de una aplicacion regular. Por la proposicion anterior, si f : V → Wes una aplicacion regular entre variedades afines, P ∈ V y Q = f(P ) ∈ W ,entonces se tiene la funcion lineal

df |P : TPV → TQW

a la cual se llama la diferencial de f en P . Se cumplen las reglas usuales del calculo,

por ejemplo si Vf−→W

g−→ U son aplicaciones regulares y P ∈ V , entonces

d(g ◦ f)|P = dg|f(P ) ◦ df |P .

Ejemplo 6. Sea V = la union de los tres ejes coordenados de A3K , es decir, V =

V(xy, yz, xz) ⊆ A3K , y sea W = V(xy(x − y)) ⊆ A2

K (la union de los dos ejescoordenados de A2

K con la recta diagonal a 45◦). Ası, ambos V y W son la unionde tres rectas que se cortan en el origen, y dejamos como el ejercicio xx el probarque el origen es el unico punto singular de V y W .

Si se tuviera un isomorfismo biregular f : V → W , entonces para todo P ∈ Vse tendrıa que TPV ' Tf(P )W y por lo tanto f debe mandar el unico punto singular(el origen 0) de V en el unico punto singular (el origen 0) de W , es decir, f(0) = 0,y ademas T0V ' T0W . Sin embargo observe que T0V tiene dimension 3 y T0Wtiene dimension 2. Se sigue que no puede haber un isomorfismo f : V 'W .

La diferencial de una aplicacion regular y el tangente de Zariski. Si f : V →Wes una aplicacion regular y P ∈ V es un punto, podemos reinterpretar la definicionde la diferencial

df |P : TPV → Tf(P )W


de la subseccion anterior en terminos del espacio tangente de Zariski como sigue.Observe primero que f : V →W y P ∈ V inducen el morfismo de anillos locales

f∗ : OW,f(p) → OV,P

dado por ϕ 7→ ϕ ◦ f , y que satisface que f∗(mf(P )) = mP (vea el ejercicio x) ypor lo tanto induce por paso al cociente la funcion K-lineal f∗ : mf(P )/m

2f(P ) →

mP /m2P , y al pasar a los espacios duales induce

(f∗)∨ : TPV ' HomK(mP /m2P ,K)→ HomK(mf(P )/m

2f(P ),K) ' Tf(P )W

a la que se llama la diferencial de f en P . Note que (f∗)∨ esta definida, para α ∈TPV ' HomK(mP /m

2P ,K) por (f∗)∨(α) = α ◦ f∗.

Note que si V = V(I) ⊆ AnK con I un ideal radical, y si f ∈ K[AnK ] =K[x1, . . . , xn], considerando su expansion de Taylor alrededor de P (suma finitaporque f es un polinomio)

f = f(P ) +∑i

∂f

∂xi(P )(xi − ai) + terminos de grado ≥ 2 en (xi − ai)

como (xi − ai)(xj − aj) ∈ m2P , la expansion anterior dice que

f − f(P ) =∑i

∂f

∂xi(P )(xi − ai) mod m2

P

donde el lado derecho es la diferencial df |P definida anteriormente. Hemos ası mos-trado que df |P = f − f(P ) mod m2

P y por lo tanto

df |P = f − f(P ) ∈ mP /m2P

lo cual identifica la diferencial de f en P con un elemento del espacio dual mP /m2P .

Morfismos etales. Una aplicacion regular f : V →W entre variedades algebraicaslisas (afines o proyectivas) se dice que es un morfismo etale en un punto P ∈ V sisu diferencial df |P : TPV → Tf(P )W es un isomorfismo. Se dice que f : V → Wes un morfismo etale si lo es en cada punto de V .

Ejemplo 7. Una aplicacion regular f : AnK → AnK dada por f = (f1, . . . , fn) esetale en un punto P ∈ AnK si y solo si el rango de la Jacobiana J(P ) en P es n, yaque la matriz asociada a la diferencial df |P : TPAnK = Kn → Kn = Tf(P )AnK esla Jacobiana J(P ).

Ejemplo 8. Si V ⊆ AnK es una variedad afın, observe que, para una indeterminadax, el dominio entero K[V ][x] es tal que

K[V ][x] ' K[V ]⊗K K[x] ' K[V ]⊗K K[A1K ] ' K[V × A1

K ]


por lo que la variedad afın asociada aK[V ][x] ' K[V ×A1K ] es el producto V ×A1

K .Observe que la inclusion K[V ] ↪→ K[V ][x] corresponde a la proyeccion

π : V × A1K → V.

Ahora, si f ∈ K[V ][x] es tal que el anillo cociente K[V ][x]/〈f(x)〉 es reduci-do (i.e., su nilradical es cero), y si W es la variedad afın asociada a K[V ][x]/〈f〉,entonces el epimorfismo natural K[V ][x]� K[V ][x]/〈f〉 corresponde a una inclu-sion

j : W ↪→ V × A1K .

Observe ahora que los morfismos naturales de K-algebras

K[V ] ↪→ K[V ][x]� K[V ][x]/〈f(x)〉inducen el diagrama conmutativo de morfismos de K-algebras indicado en el ladoizquierdo:

K[V ][x]/〈f〉 K[V ][x]oo W� � j //

ϕ##GGGGGGGGGG V × A1

K

π

��K[V ]

ϕ∗

ffNNNNNNNNNNN

OO

V

que a su vez induce el diagrama conmutativo de morfismos regulares de variedadesafines indicado en el lado derecho de la figura anterior.

Observe ahora que la fibra de ϕ = π◦j : W → V en un punto P ∈ V esta dadapor los pares (P, b) ∈ V ×A1

K tales que π(P, b) = P . Ahora, si I = I(V ), entoncesK[W ] = K[V ][x]/〈f〉 = K[x1, . . . , xn, x]/〈I, f〉 con f = f(x1, . . . , xn, x) yası (P, b) ∈ W satisface que f(P, b) = 0, es decir, si f(x) =

∑cix

i con losci ∈ K[V ], entonces f(P, b) = 0 quiere decir que

∑ci(P )bi = 0, es decir, b es

raız del polinomio f(P )(x) :=∑

i ci(P )xi.

LEMA 4.14. Con la notacion anterior, el morfismo ϕ : W → V es etale en (P, b)si y solo si b es raız simple del polinomio f(P )(x).

Demostracion. Si V = V(I) ⊆ AnK con I = 〈f1, . . . , fr〉 ⊆ K[x1, . . . , xn], enton-ces

K[V ][x]/〈f〉 = K[x1, . . . , xn, x]/〈f1, . . . , fr, f〉y por lo tanto el espacio tangente a W en (P, b) es el nucleo de la Jacobiana

Jac(f1, . . . , fr, f) =

∂f1∂x1

(P ) · · · ∂f1∂xn

(P ) 0...

...∂fr

∂x1(P ) · · · ∂fr

∂xn(P ) 0

∂f∂x1

(P ) · · · ∂f∂xn

(P ) ∂f∂x (P, b)


y tambien el espacio tangente a V en P es el nucleo de:

Jac(f1, . . . , fr) =

∂f1∂x1

(P ) · · · ∂f1∂xn

(P )...

∂fr

∂x1(P ) · · · ∂fr

∂xn(P )

y la diferencial T(P,b)W → TPV esta inducida por la proyeccion Kn+1 → Kn

en las primeras n coordenadas. Entonces, la diferencial anterior es un isomorfismosi y solo si ∂f∂x (P, b) 6= 0 porque entonces cualquier solucion del segundo sistemade ecuaciones (con menos ecuaciones) se extiende a una solucion del sistema deecuaciones con mas ecuaciones. Finalmente, observamos que

∂f

∂x(P, b) =

d(∑

i ci(P )xi)

dx(b)

y este es cero si y solo si b es raız multiple de f(P )(x) =∑

i ci(P )xi. �

En el ejemplo anterior, la imagen geometrica de ϕ : W → V es:

••

••

· · ·

· · ·

· · ·

V × A1K ⊇W

?

ϕ

V •P ′ · · ·

•P · · ·

•P ′′

vista como una aplicacion cubriente con gr(f) hojas y ramificada exactamente enlos puntos donde dos o mas hojas se cruzan. Por ejemplo, en la figura anterior, ϕ esetale en P pero no lo es en P ′ ni en P ′′.

Precaucion. El teorema de la funcion inversa no es valido en geometrıa algebraica(i.e., en la topologıa de Zariski): una aplicacion ϕ : V → W etale en un puntoP ∈ V puede no ser un isomorfismo local. El contraejemplo es el siguiente:

Ejemplo 9. Supongamos que carK 6= 2 y consideremos la aplicacion regular ϕ :A1K − {0} → A1

K − {0} dada por ϕ(a) = a2. La Jacobiana de ϕ es J(ϕ) = (2x) ytiene rango 1 para todo x 6= 0 porque carK 6= 2. Por lo tanto, ϕ es etale en todoslos puntos de A1

K−{0}. Sin embargo, no existen abiertos no vacıos U ⊆ A1K−{0}

y U ′ ⊆ A1K − {0} tales que la restriccion ϕ|U : U → U ′ sea un isomorfismo

(biregular), ya que si lo fuera entonces inducirıa un isomorfismo de K-algebras


ϕ|∗U : K[U ′] → K[U ], pero como U y U ′ son biracionales a A1K , entonces se

tendrıan isomorfismos en los campos de funciones

K(x) ' K(A1K) ' K(U ′)

ϕ∗

' K(U) ' K(A1K) ' K(x)

lo cual no es posible porque esta funcion es x 7→ x2, que claramente no es unisomorfismo.

La conjetura de la Jacobiana. Existe una antigua conjetura que afirma que si ϕ :AnK → AnK es cualquier morfismo etale, entonces ϕ es un isomorfismo (biregular).Escribiendo ϕ = (f1, . . . , fn) y si J =

( ∂fi

∂xj

)es la Jacobiana de ϕ, la conjetura se

traduce en la afirmacion de que si det J(P ) 6= 0 para todo P ∈ AnK , entonces ϕtiene una inversa regular.

La condicion de que det J(P ) 6= 0 para todo P , implica que det J es unaconstante no nula, por el teorema de los ceros aplicado al ideal generado por det J ⊆K[x1, . . . , xn] (ya que si fuera no constante, tendrıa algun cero en AnK).

A pesar de una larga historia de ((demostraciones))1 erroneas, la conjetura de laJacobiana sigue abierta, aun el caso cuando K = C y n = 2.

Germenes. Dada una variedad algebraica afın V ⊆ AnK y un punto P ∈ V , siα = g/h ∈ OV,P , por definicion la funcion racional g/h es regular en el abiertodistinguido D(h), vecindad de P . Ahora, por el lema 4.5, viendo a α = g/h ∈OV,P como la clase [g, h] ∈ K[V ]mP , por definicion de localizacion esta claseesta formada por los pares ordenados (g, h) ∈ K[V ] × (K[V ] − mP ) sujetos a larelacion de equivalencia (g, h) ∼ (g′, h′)⇔ existe t ∈ K[V ]−mP tal que t(gh′ −hg′) = 0 y por lo tanto identifica a todos los pares que coinciden en la vecindadD(h). En otras palabras, en el conjunto de pares ordenados (s, U) formados poruna vecindad abierta U de P y una seccion s ∈ OV (U) (vea los ejercicios 35 y 36de §1.3 y el ejercicio 18 de §2.2) se define la relacion

(s, U) ∼ (s′, U ′)

si y solo si existe una vecindad abiertaU ′′ deP tal queU ′′ ⊆ U yU ′′ ⊆ U ′ y ademass|U ′′ = s′|U ′′ . Se prueba facilmente que esta es una relacion de equivalencia y a lasclases de equivalencia [s, U ] correspondientes se les llama germenes de funcionesregulares en P . Ası, un germen [s, U ] esta representado por una vecindad abierta Ude P y una seccion s ∈ OV (U), y dos tales pares representan el mismo germen si ysolo si coinciden en una vecindad, posiblemente menor, de P . En los ejercicios 14

1Por ejemplo, B. Segre publico en 1956 una de tales ((demostraciones)) en el caso n = 2, pero I.Canals y E. Lluis en “Acerca de un resultado de Segre”. Anales del Instituto de Matematicas, UNAM10 (1970), 1-15, encontraron un error en la demostracion de un lema en el artıculo de Segre, sinembargo la correccion que ellos proponıan tambien resulto erronea. Para una ((actualizacion)) y masdetalles, vea: Bass, H., Connell, E. H., Wright, D., “The Jacobian Conjecture: reduction of degree andformal expansion of the inverse”. Bull. A. M. S. 7 (1982), 287-330.


y 15 se pide terminar de construir la identificacion del conjunto de germenes en Pcon el anillo local OV,P .

Parametros locales en un punto. Si P ∈ V es un punto liso y dimV = d, un sis-tema local de parametros en P es una familia f1, . . . , fd de germenes de funcionesregulares en P y que generan el ideal maximo mP del anillo local OV,P . Equiva-lentemente, las imagenes de f1, . . . , fd en mP /m

2P generan este como K-espacio

vectorial (y como P es liso y son d = dimV generadores, entonces estas imagenesforman una base de mP /m

2P ). Equivalentemente, las diferenciales df1|P , . . . , dfd|P

forman una base del espacio dual (TPV )∨.

PROPOSICION 4.15. Sea f1, . . . , fd un sistema local de parametros en un punto lisoP ∈ V . Entonces, existe una vecindad abierta y lisa U de P tal que los germenesf1, . . . , fd estan representados por pares (f1, U), . . . , (fd, U) y la aplicacion f =(f1, . . . , fd) : U → AdK es etale.

Demostracion. Por los ejercicios 35 y 36 de §1.3 y el ejercicio 18 de §2.2 existe2 unavecindad abierta U ′ de P tal que los germenes f1, . . . , fd estan representados porfunciones regulares f1, . . . , fd en U ′. Ahora, como el conjunto de puntos lisos de Ves abierto denso por su definicion en la ultima subseccion de §4.1, podemos elegirU ′ ⊆ Vlisos. Observamos ahora que el morfismo f = (f1, . . . , fd) : U ′ → AdK esetale en P porque su diferencial en P , df |P : TPU ′ → Tf(P )AdK es tal que su dual(df |P )∨ :

(Tf(P )AdK

)∨ → (TPU

′)∨ manda los generadores dxi|0 en dfi|P y estosultimos forman una base de

(TPU

′)∨ porque generan mP /m2P como K-espacio

vectorial. El lema siguiente muestra que se puede elegir una vecindad U ⊆ U ′ de Ptal que f es etale en U . �

LEMA 4.16. Si f : V →W es una aplicacion regular entre variedades algebraicaslisas y f es etale en un punto P ∈ V , entonces f es etale en una vecindad abiertade P .

Demostracion. Como V y W son lisas y f es etale en P , entonces

d = dimV = dimTPV = dimTf(p)W = dimW

y ası todos los espacios tangente tienen la misma dimension d. Podemos enton-ces asumir que V ⊆ AmK y W ⊆ AnK son afines y que f = (f1, . . . , fd) con losfi ∈ K[x1, . . . , xm]. Entonces, df |P : TPAmK → Tf(P )AnK tiene Jacobiana J(P ) =( ∂fi

∂xj(P )). Ahora, f no es etale en un punto Q si y solo si ker df |Q contiene un vec-

tor no nulo de TPV ⊆ TPAmK . Escribiendo I(V ) = 〈h1, . . . , hr〉 ⊆ K[x1, . . . , xm],

2En lenguaje que introduciremos mas adelante, OV es la gavilla de funciones regulares en V .


se sigue que f no es etale en Q si y solo si la matriz m× (r + d):∂hi∂xj

(Q)

∂fi∂xj

(Q)

tiene rango < m. Notamos entonces que la anterior es una condicion polinomial enQ y consecuentemente el subconjunto de V donde f no es etale es cerrado, y nocontiene a P por hipotesis. Se sigue que su complemento es abierto y contiene aP . �

El teorema del rango. Si V y W son K-espacios vectoriales y f : V → W es unafuncion K-lineal de rango r, entonces existen bases para V y W tales que la matriz

asociada a f es de la forma(Ir 00 0

), con Ir la matriz identidad r × r. Dicho en

otras palabras, existe un diagrama conmutativo de la forma

Vf //

'��

W

'��

Km(x1,...,xm)7→(x1,...,xr,0,...,0)

// Kn

En geometrıa algebraica se tiene un analogo, un poco mas debil, del resultadoanterior:

PROPOSICION 4.17 (Teorema del rango). Si f : V →W es una aplicacion regularentre variedades algebraicas lisas, dimV = m, dimW = n, P ∈ V y si el rangode df |P es n = dimW , entonces existe un diagrama conmutativo de la forma:

UPf |UP //

etale��

Uf(P )

etale��

AmK (x1,...,xm)7→(x1,...,xn)// AnK

donde UP y Uf(P ) son vecindades abiertas de P y f(P ) respectivamente y losmorfismos verticales son etales.

Demostracion. Escojamos un sistema local de parametros g1, . . . , gn en f(P ) ysean fi = gi ◦ f . Entonces, df1, . . . , dfn son linealmente independientes en TPVporque el rango de df |P es n = dimW . Podemos completar entonces a una ba-se del dual de TPV , i.e., existen fn+1, . . . , fm funciones regulares en P tales quedf1, . . . , dfn, dfn+1, . . . , dfm es una base de (TPV )∨. Se sigue que f1, . . . , fm es un


sistema de parametros en P . Por 4.13 y 4.14 existen vecindades abiertas UP de P yUf(P ) de f(P ) tales que las funciones

(f1, . . . , fm) :UP → AmK(g1, . . . , gn) :Uf(P ) → AnK

son etales. Estos son los morfismos verticales del diagrama, y por definicion de lasfi se sigue que el diagrama conmuta. �

Morfismos lisos. Una aplicacion regular ϕ : V → W entre variedades lisas, sedice que liso en un punto P ∈ V si su diferencial dϕ|P : TPV → Tϕ(P )W essuprayectiva. Se dice que ϕ : V → W es un morfismo liso si es liso en todos lospuntos de V .

PROPOSICION 4.18. Una aplicacion regular entre variedades lisas f : V → W eslisa en un punto P si y solo si existen vecindades abiertas UP de P en V y Uf(P )

de f(P ) en W tales que la restriccion f |UP: UP → Uf(P ) se factoriza como

UPf |UP //

etale%%LLLLLLLLLLL Uf(P )

Am−nK × Uf(P )

q

88qqqqqqqqqq

donde m = dimV , n = dimW y q es la proyeccion usual.

Demostracion. Si se tiene la factorizacion como en el diagrama, entonces(df |UP

)|P : TPUP

'−→ TP(Am−nK × Uf(P )

) dq|f(P )−→ Tf(P )Uf(P )

donde la primera funcion es un isomorfismo y la segunda es suprayectiva. Se sigueque la composicion es suprayectiva. Recıprocamente, si f es lisa en P , entoncesdf |P es suprayectiva por lo que su rango es n = dimW . Por el teorema del rango4.15, �

EjerciciosEJERCICIO 14. Demuestre que OV,P ' lim−→OV (U), donde el lımite se toma sobretodas las vecindades abiertas de P .

EJERCICIO 15. Demuestre que OV,P se puede indentificar con el conjunto (anillo)de germenes [f, U ] en P .

EJERCICIOS 137

EJERCICIO 16. Si V es una variedad de dimension n, dadas n funciones fi ∈ K[V ],demuestre que el conjunto de puntos P ∈ V tales que las fi no forman un sistemalocal de parametros, es un conjunto cerrado.

EJERCICIO 17. Demuestre que un polinomio f ∈ K[A1K ] = K[x] es un parametro

local en un punto P = c ∈ A1K si y solo si c es una raız simple de f .

Un morfismo (regular) finito entre variedades algebraicas f : V →W se dice que esun morfismo plano si para todo punto Q ∈ W existe una vecindad abierta U ⊆ Wde Q tal que OV (f−1U) es un OW (U)-modulo plano. Note que f : V →W induceel morfismo de anillos f∗ : OW (U)→ OV (f−1U) para todo abierto U ⊆ W . Estemorfismo f∗ es el que hace de OV (f−1U) un OW (U)-modulo.

EJERCICIO 18. Si f : V → W es un morfismo finito entre variedades algebraicas,demuestre que f es plano si y solo si para todo P ∈ V el morfismo de anillos localesf∗ : OW,f(P ) → OV,P es un morfismo plano, es decir, OV,P es un OW,f(P )-moduloplano.

EJERCICIO 19. Si f : V → W es un morfismo finito etale en P ∈ V , demuestreque f es plano en P , donde la definicion de plano en P es la de la ultima parte delejercicio anterior.

EJERCICIO 20. Si f : V → W es un morfismo finito dominante entre variedadesirreducibles, demuestre que dimV = dimW . Concluya que el grado de la exten-sion de campos K(W )� K(V ) es finito. Al grado de esta extension se le llama elgrado del morfismo f y se denota

gr f = [K(V ) : K(W )].

EJERCICIO 21. Sea f : V → W un morfismo finito entre variedades algebraicas yconsidere un punto P ∈ V . Demuestre que f es etale en P si y solo si:

(i) f es plano en P .(ii) La fibra f−1(f(P )) es reducida en P .

(iii) La extension de campos K(W ) ⊆ K(V ) es algebraica separable.

EJERCICIO 22. Si f : V → W es etale, demuestre que para todo Q ∈ W las fibrasf−1(Q) son finitas.

EJERCICIO 23. Si f : V → W es un morfismo finito dominante entre variedadesirreducibles y la extension finita de camposK(W )� K(V ) es separable, demues-tre existe un abiertoW0 ⊆W tal que para todoQ ∈W0 las fibras f−1(Q) contienenexactamente gr f = [K(V ) : K(W )] puntos.


4.4. Derivaciones y el anillo de numeros dualesSean K un campo (en general, puede ser un anillo conmutativo), A una K-

algebra y M un A-modulo. Una K-derivacion de A en M , es una funcion K-linealD : A→M que satisface la regla de Leibniz:

D(ab) = aDb+ bDa.

Observemos, para comenzar, que D(1) = 0 (lo cual se sigue del hecho de que1 = 1 · 1 y la regla de Leibniz) y como D es K-lineal, entonces para todo c ∈ Kse tiene que D(c) = D(c · 1) = cD(1) = 0. Por induccion se prueba directamenteque, para todo entero n ≥ 1 y todo a ∈ A, D(an) = nan−1D(a). Tambien, sib ∈ A es invertible, entonces D(b−1) = −b−2D(b), lo cual se sigue de bb−1 = 1y de D(1) = 0. Como consecuencia se tiene la regla del cociente: si a, b ∈ A conb invertible, entonces D(ab−1) = b−2(bDa − aDb). Denotaremos al conjunto deK-derivaciones de A en M mediante

DerK(A,M).

Ejemplo 10. La funcion D : OV,P → mP /m2P dada por f 7→ f − f(P ) es un

K-derivacion en mP /m2P .

TEOREMA 4.19. Si V es una variedad algebraica y P ∈ V , se tiene un isomorfismonatural

Der(OV,P ,K)→ HomK(mP /m2P ,K) ' TPV.

Demostracion. Si K → OV,P es c 7→ c y OV,P → K es la funcion f 7→ f(P ),entonces la composicion K → OV,P → K es la identidad c 7→ c 7→ c(P ) = c, ypor lo tanto la sucesion exacta corta siguiente se escinde

0 // Kc 7→ c // OV,P

f 7→f(P )oo

f 7→f−f(P ) // mP // 0

y por lo tanto se tiene un isomorfismo

OV,P ' K ⊕mP

dado por f ↔ (f(P ), f − f(P )).Ahora, una derivacion D : OV,P → K es cero en K (porque los elementos de

K son constantes vistos en OV,P ), y tambien es cero en m2P por la regla de Leibniz

y por lo tanto define una funcion K-lineal D : mP /m2P → K.

Recıprocamente, una funcion K-lineal d : mP /m2P → K define una derivacion

en OV,P mediante la composicion

OV,Pf 7→df |P // mP /m

2P

d // K

4.4. DERIVACIONES Y EL ANILLO DE NUMEROS DUALES 139

donde df |P = f −f(P ), y claramente las dos funciones anteriores son inversas unade la otra. �

Recordemos de la introduccion al capıtulo al anillo de numeros duales K[ε] yobservemos que este es un anillo local con ideal maximo 〈ε〉.

TEOREMA 4.20. Si V es una variedad algebraica y P ∈ V , se tiene un isomorfismonatural

TPV ' HomK-local(OV,P ,K[ε])donde en la derecha se tiene el Hom de K-algebras locales.

Demostracion. Por el teorema anterior, basta probar que se tiene un isomorfismo

HomK-local(OV,P ,K[ε]) ' Der(OV,P ,K).

Para esto, sea ϕ : OV,P → K[ε] un morfismo local de K-algebras. Por la observa-cion al inicio de la demostracion del teorema anterior OV,P ' K⊕mP . Por lo tanto,escribiendo f ∈ OV,P como f = (f(P ), f − f(P )), ya que ϕ es un morfismo deK-algebras locales, entonces ϕ(f(P )) ∈ K y ϕ(f −f(P )) ∈ 〈ε〉, lo ultimo porquef − f(P ) ∈ mP . Es decir, podemos escribir

ϕ(f) = ϕ(f(P )) + ϕ(f − f(p)) = f0 +Dϕ(f)ε

donde f0 = ϕ(f) y Dϕ = ϕ(f − f(P )). Mostraremos que el coeficiente Dϕ(f)es una derivacion de OV,P . En efecto, como ϕ : OV,P ' K ⊕ mP → K[ε] es unmorfismo de K-algebras, entonces la funcion f 7→ f0 de OV,P → K es el paso alcociente OV,P ' K ⊕ mP � OV,P /mP es el paso al cociente f 7→ f(P ). Se tieneentonces que

ϕ(fg) = (fg)0 +Dϕ(fg)ε

ϕ(f)ϕ(g) =(f0 +Dϕ(f)ε

)(g0 +Dϕ(g)ε

)= f0g0 +

(f0Dϕ(g) + g0Dϕ(g)

)ε

y comparando terminos en estas dos igualdades se sigue que

(fg)0 = f0g0 y Dϕ(fg) = f0Dϕ(g) + g0Dϕ(f)

y por lo tanto Dϕ : OV,P → K es una K-derivacion.Recıprocamente, si D : OV,P → K es una derivacion, si j : K ↪→ K[ε], la

composicion j ◦D : OV,P → K[ε] es un morfismo local de K-algebras locales.Finalmente, note que si ρ : K[ε] → K es la proyeccion ε 7→ 0, entonces el

diagrama siguiente conmuta:

OV,Pϕ //

D

��

K[ε]

ρ{{ww

wwww

www

K

j;;wwwwwwwww

lo cual dice que las funciones definidas arriba son inversas una de la otra. �


OBSERVACION. El teorema anterior confirma lo que se anuncio al principio: encuestiones locales, es decir, para el estudio de las propiedades de los puntosP de unavariedad algebraica V que se preservan cuando se reemplaza V por una vecindadafın de P , el invariante fundamental es el anillo local OV,P .

La descripcion del espacio tangente en terminos del anillo de numeros dualesK[ε] es conveniente cuando la variedad esta dada como un ((funtor de puntos)), porejemplo para los grupos algebraicos, como el grupo lineal especial SLn que vimosen la introduccion de este capıtulo. Los grupos algebraicos son variedades algebrai-cas que tienen estructura de grupo y son muy importantes no solo en geometrıa al-gebraica. A continuacion recordamos su definicion, alguna propiedad basica y unosejemplos:

Grupos algebraicos. Un grupo algebraico es una variedad algebraica G tal que setienen morfismos (regulares)

µ : G×G→ G (multiplicacion), e : A0K → G (neutro), ι : G→ G (inverso),

que hacen de G un grupo, es decir, tales que los diagramas siguientes conmutan:

G×G×Gµ×idG //

idG×µ��

G×G

µ

��

G(p,idG)//

idG

))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS A0K ×G

e×idG // G×G

µ

��

G(ι,idG) //

p

��

G×G

µ

��G×G µ

// G G A0K e

// G

que corresponden, respectivamente, a la asociatividad de la multiplicacion, la exis-tencia de neutro por la izquierda y la existencia de inversos izquierdos. Aquı p :G→ A0

K es el unico morfismo al objeto terminal A0K .

En los ejemplos siguientes usaremos que el determinante de una matriz (xij) detamano n× n es un polinomio en las variables xij (entradas de la matriz), a saber

det(xij) =∑σ∈Sn

sgn(σ) · x1σ(1) · · ·xnσ(n) ∈ K[x11, . . . , xnn],

donde Sn es el grupo simetrico de permutaciones de n letras, y tambien usaremosel hecho de que las entradas del producto de dos matrices son polinomios en lasentradas de las dos matrices dadas.

Ejemplo 11. El grupo lineal especial

SLn = {M ∈ Matn×n(K) : detM − 1 = 0} ⊆ An2

K

que vimos en la introduccion, es un grupo algebraico afın. Ahı mismo calculamosel espacio tangente a SLn en la matriz identidad e = idn ∈ SLn:

Te SLn = sln = {matrices M ∈ Matn×n de traza cero}.

4.4. DERIVACIONES Y EL ANILLO DE NUMEROS DUALES 141

Ejemplo 12. El grupo lineal general

GLn = {M ∈ Matn×n(K) : y detM − 1 = 0} ⊆ An2+1K ,

donde y det(xij) ∈ K[x11, . . . , x1n, x21, . . . , xnn, y]. En forma similar al ejemploanterior, para el grupo lineal general

GLn = {M ∈ Matn×n : y detM − 1 = 0} ⊆ An2+1,

considere la matriz identidad e = I = idn ∈ GLn y observe entonces que unamatriz I + εM ∈ Matn×n([K[ε]) tiene inversa I − εM ∈ Matn×n([K[ε]) y por lotanto I + εM ∈ GLn(K[ε]). Se sigue que

Te(GLn) = gln = {I + εM ∈ GLn(K[ε]) : M ∈ Matn×n(K)} = Matn×n(K).

Ejemplo 13. Los unicos grupos algebraicos afines de dimension 1 son:

Gm = GL1 = K∗ el grupo multiplicativo

Ga = A1K = K el grupo aditivo.

Ejemplo 14. Todo grupo finito G es un grupo algebraico, de hecho se puede rea-lizar como un subgrupo de un GLn. En efecto, para comenzar el grupo simetricoSn se puede realizar como un grupo de matrices (matrices de permutaciones) ha-ciedo actuar cada permutacion σ ∈ Sn en la matriz identidad I = In permutandosus columnas para obtener la matriz I(σ). Es claro que si σ, τ ∈ Sn, entoncesI(σ)I(τ) = I(στ) y tambien si σ−1 es la inversa de σ, entonces I(σ−1) = I(σ)−1

y por lo tanto el grupo de matrices de permutaciones es un subgrupo de GLn y porlo tanto es un grupo algebraico. Finalmente, como todo grupo finito es un subgrupode un grupo simetrico, entonces todo grupo finito es un grupo algebraico.

Los grupos algebraicos afines se llaman grupos algebraicos lineales porque sepueden realizar como subgrupos cerrados del grupo lineal general GLn, para algunn.

Los grupos algebraicos conexos que se pueden realizar como subvariedadesalgebraicas cerradas de un espacio proyectivo se llaman variedades abelianas, yafortunadamente resulta que son grupos conmutativos. Las curvas elıpticas son va-riedades abelianas de dimension 1.

En los ejemplos anteriores, se puede calcular el espacio tangente en cualquierpunto del grupo algebraico G dado, y todos estos espacios tangente son isomorfosa los calculados porque los grupos algebraicos son lisos:


COROLARIO 4.21. Todos los grupos algebraicos son lisos.

Demostracion. Sabemos que el conjunto de puntos lisos U de cualquier variedad,en particular para G, es abierto denso. Ahora, para todo g ∈ G la funcion traslacion(izquierda) G → G dada por a 7→ ga es claramente un isomorfismo biregular ypor lo tanto gU consiste de puntos lisos. Pero como G =

⋃g gU , el resultado se

sigue. �

Ejercicios

EJERCICIO 24. Para el grupo ortogonal On = {M ∈ GLn : MT ·M = I}, dondeMT es la matriz transpuesta de M y para el grupo SOn = ker(det : On → {±1}),llamado el grupo ortogonal especial, demuestre que

TIOn = TI SOn = son = {I + εM ∈ Matn×n(K[ε]) : M es antisimetrica}= {M ∈ Matn×n(K) : M es antisimetrica}.

¿Cual es la dimension de On y de SOn?

EJERCICIO 25. Calcule las dimensiones de GLn y SLn.

EJERCICIO 26. Sea I la matriz identidad n×n y considere la matriz J =(

0 I−I 0

)de tamano 2n×2n. El grupo simplectico Spn es el grupo de matricesM ∈ Mat2n×2n

de determinante 1 y tales que MTJM = J (i.e., fijan a una forma antisimetrica nodegenerada).

(i) Muestre que Spn es un grupo algebraico.(ii) Encuentre el espacio tangente a Spn en la matriz identidad.

(iii) Calcule la dimension de Spn.

EJERCICIO 27. Si V y W son variedades algebraicas y P ∈ V , Q ∈W son puntos,demuestre que

T(P,Q)(V ×W ) ' TPV ⊕ TQW.EJERCICIO 28. Demuestre que un grupo algebraicoG es conexo si y solo si no tieneun cociente finito.

4.5. Expansion en serie de potenciasRecordemos que si P es un punto liso de una variedad algebraica V de dimen-

sion n, dadas funciones u1, . . . , un ∈ OV,P se dice que son parametros locales en

4.5. EXPANSION EN SERIE DE POTENCIAS 143

P si todas las ui ∈ mP y sus clases laterales ui + m2P son una base del espacio

cotangente mP /m2P . Por el isomorfismo 4.7

dP : mP /m2P∼→(TPV

)∨se sigue que u1, . . . , un son parametros locales si y solo si las diferenciales dPu1, . . .,dPun son linealmente independientes en TPV . Mas aun, comoP es liso, dimK TPV =n = dimV y ası lo anterior es equivalente a que

(1) dPu1 = · · · = dPun = 0

tenga unicamente la solucion trivial en TPV .Reemplazemos ahora V por una vecindad afın V ′ de P donde las u1, . . . , un

sean regulares y denotemos por V ′i = V(ui) a la correspondiente hipesuperficie enV ′. Sea fi un polinomio cuya clase lateral es ui en V ′. Note que

I(V ′i ) ⊇ 〈I(V ′), fi〉

por lo que

(2) TPV′i ⊆ 〈dP fi〉

donde dP fi ∈ TPV . Del hecho de que (1) solo tenga la solucion cero se sigue que〈dP fi〉 6= TPV y por lo tanto dimK〈dP fi〉 = n−1, con n = dimK TPV = dimV .Se sigue que

(3) dimK TPV′i ≥ dimV ′i ≥ n− 1

donde la primera desigualdad se da siempre y la segunda es por 3.13. Por (2) y lasobservaciones que le siguen se tiene entonces que

dimK TPV′i ≤ n− 1

lo que combinado con (3) dice que

dimK TPV′i = n− 1 = dimV ′i

(la segunda igualdad por 3.13) y por lo tanto P es un punto liso de V ′i .Ahora observe que la interseccion de las variedades V ′i es el punto P . En efecto,

si esta interseccion tuviera una componente W de dimension dimW > 0 y quepasara por P , entonces TPW estarıa contenido en todos los subespacios 〈dP fi〉, locual contradice el que estos ultimos se intersectan en 0 por (1). Hemos ası probado:

TEOREMA 4.22. Si V es una variedad algebraica de dimension n, P ∈ V yu1, . . . , un son parametros locales en P , regulares en V , y si Vi = V(ui), entoncesP es liso en cada uno de los Vi y ademas

⋂i TPVi = 0.

�


Continuando con el analisis anterior, si P ∈ V es liso y V ′ es una vecindad afınde P donde los parametros locales u1, . . . , un ∈ mP ⊆ OV,P son regulares, seanV ′i = V(ui) de tal forma que

{P} =⋂i

V ′i = V(u1, . . . , un).

Ahora, si V ⊆ AmK , entonces P = (a1, . . . , am) ∈ V corresponde al ideal maximoMP = 〈x1 − a1, . . . , xm − am〉 que a vez corresponde al ideal maximo mP deOV,P . Por el teorema de los ceros de Hilbert se sigue que mP ⊆

√〈u1, . . . , un〉, es

decir,mkP ⊆ 〈u1, . . . , un〉

para algun k > 0, viendo a los ideales en K[V ′] o, de hecho, en OV,P . El teoremasiguiente captura y precisa las observaciones anteriores:

TEOREMA 4.23. Los parametros locales u1, . . . , un generan el ideal maximo mP

de OV,P .

Demostracion. Hemos visto que mP = 〈x1 − a1, . . . , xm − am〉 y debemos probarque xi − ai ∈ 〈u1, . . . , un〉. Usando induccion en m − i mostraremos que ti =xi − ai ∈ 〈u1, . . . , un, t1, . . . , ti−1〉. En efecto, supongamos que ya se probo parai = m, . . . , k + 1. Por hipotesis

(1) mP = 〈u1, . . . , un, t1, . . . , tm〉 = 〈u1, . . . , un, t1, . . . , tk〉

y de la definicion de parametros locales se sigue que

(2) tk =n∑j=1

αjuj (mod m2P )

con αj ∈ K. De (1) se sigue que todo elemento de m2P se puede escribir como

β1u1 + · · ·+ βnun + β′1t1 + · · ·+ β′ktk

con βi, β′j ∈ mP y ası (2) dice que

tk =n∑j=1

αjuj +n∑j=1

βjuj +k∑s=1

β′sts

o equivalentemente

(3) (1− β′k)tk =n∑j=1

αjuj +n∑j=1

βjuj +k−1∑s=1

β′sts ∈ 〈u1, . . . , un, t1, . . . , tk−1〉

y como β′k ∈ mP , se tiene entonces que 1 − β′k 6∈ mP y por lo tanto (1 − β′k)−1 ∈OV,P y ası (3) implica que tk ∈ 〈u1, . . . , un, t1, . . . , tk−1〉, como se querıa. �


Series de potencias. Si P es un punto de una variedad algebraica V de dimensionn y si f ∈ OV,P , poniendo

f(P ) = a0

f1 = f − a0

observe que f1 ∈ mP (porque se anula en P ). Ahora, si u1, . . . , un ∈ mP sonparametros locales en P , por definicion sus clases laterales ui + m2

P generan elespacio vectorial mP /m

2P . Entonces, para f1 ∈ mP existen a1, . . . , an ∈ K tales

que

f1 + m2P =

n∑i=1

aiui (mod m2P )

es decir,

f1 −n∑i=1

aiui ∈ m2P .

Pongamos entonces

f2 = f1 −n∑i=1

aiui = f − a0 −n∑i=1

aiui.

Como f2 ∈ m2P , podemos escribir

f2 =∑j

gjhj con gj , hj ∈ mP .

Repitiendo lo que hicimos para f1 ∈ mP , pero ahora para gj , hj ∈ mP , podemosescribir

gj −n∑k=1

bjkuk ∈ m2P

hj −n∑k=1

cjkuk ∈ m2P .

Se sigue que

f2 =∑j

gjhj =∑j

(∑k

bjkuj

)(∑k

cjkuj

)=

∑1≤s,t≤n

astusut

con ast ∈ K. Por lo tanto,

f2 −∑s,t

astusut ∈ m2P .

Continuando de esta manera podemos encontrar polinomios homogeneos

Fi ∈ K[x1, . . . , xn]


de grados grFi = i y tales que

f −k∑i=0

Fi(u1, . . . , un) ∈ mk+1P

y ası, a la funcion f ∈ OV,P se le ha asociado una serie de potencias

f = F0 + F1 + F2 + · · ·con la propiedad de para las sumas parciales

Sk =k∑i=1

Fi

al evaluar la diferencia en (u1, . . . , un) se tiene que

f − Sk(u1, . . . , un) ∈ mk+1P

y decimos que la anterior es una serie de Taylor para f .

OBSERVACION. Note que para el anillo noetherianoA = OV,P y el ideal I = mP ⊆A, se tiene la filtracion mP -adica dada por las potencias mk

P :

mk+1P ⊆ mk

P , para k ≥ 0

y usando esta filtracion como una base de vecindades del cero 0 ∈ OV,P se tieneuna topologıa en este anillo, que resulta compatible con las operaciones del anillo.Como OV,P es noetheriano, se prueba facilmente que⋂

k≥0

mkP = 0

y por lo tanto la topologıa es Hausdorff. Mas aun, definiendo

ν : OV,P → N ∪ {0}mediante

ν(f) =

{k si f ∈ mk

P pero f 6∈ mk+1P ,

∞ si f = 0se tiene que

(1) ν(f − g) ≥ mın{ν(f), ν(g)}.(2) ν(fg) ≥ ν(f) + ν(g).(3) mk

p = {f ∈ OV,P : ν(f) ≥ k}.Las propiedades (1) y (2) dicen que ν es una valuacion en OV,P y la propiedad(3) dice que la filtracion se recupera de la valuacion. Usando la valuacion ν, paracualquier numero real % tal que 0 < % < 1 se define una metrica en el anillo OV,Pmediante

d(f, g) = %ν(f−g)


y solo notamos que la anterior es una ultrametrica, i.e., satisface la desigualdad(mas fuerte que la desigualdad del triangulo usual):

d(f, g) ≤ max{d(f, h), d(g, h)}para todo h ∈ OV,P . Con la metrica anterior se tienen las nociones usuales desucesiones convergentes y sucesiones de Cauchy en el anillo OV,P . En particular sepuede completar este anillo adjuntando los lımites de las sucesiones de Cauchy enla forma usual del analisis. Denotaremos mediante

OV,P

la completacion del anillo local OV,P en la topologıa mP -adica. Observemos ahoraque la eleccion de parametros locales u1, . . . , un ∈ mP en un punto liso P induce,por 4.15, un morfismo

OV,P → K[x1, . . . , xn]que proviene de un morfismo etale

(u1, . . . , un) : U → AnKen una vecindad abierta lisa U de P . Note que el morfismo OV,P → K[x1, . . . , xn]manda el ideal maximo mP en el ideal maximo MP correspondiente al punto P ypodemos verlo como un morfismo de anillos locales

OV,P → K[x1, . . . , xn]MP

y pasando las completaciones correspondientes se tiene el morfismo

OV,P → K[[x1, . . . , xn]]

donde usamos que la completacion del anillo de polinomios K[x1, . . . , xn] en elideal maximo 〈x1, . . . , xn〉 es el anillo de series formales K[[x1, . . . , xn]] cuyoselementos son de la forma

F =∑

ai1,...,inxi11 · · ·x

inn

con los ij ≥ 0 y los coeficientes ai1,...,in ∈ K. Resumiendo, la eleccion de parame-tros locales u1, . . . , un ∈ mP en un punto liso P induce un morfismo

OV,P → K[[x1, . . . , xn]]

que compuesto con la inclusion natural OV,P ↪→ OV,P induce el morfismo

Φ : OV,P → K[[x1, . . . , xn]]

y para f ∈ OV,P su imagen bajo Φ es su serie de Taylor asociada. El hecho de queP es un punto liso implica que la serie anterior es unica, o lo que es lo mismo, queel morfismo Φ es inyectivo ya que el nucleo del morfismo Φ es

ker Φ = {f ∈ OV,P : f−k∑j=0

Fj(u1, . . . , un) ∈ mk+1P para todo k ≥ 0} =

⋂k≥0

mkP


y como observamos antes, esta interseccion es 0 porque OV,P es noetheriano. Hemosası probado:

TEOREMA 4.24 (Expansion de Taylor). Si P es un punto liso de una variedad V dedimension n, entonces existe un morfismo inyectivo

Φ : OV,P → K[[x1, . . . , xn]]

tal que si f ∈ OV,P su imagen Φ(f) es la serie de Taylor de f .

�

COROLARIO 4.25. Si P es un punto de un conjunto algebraico P y P es liso,entonces esta contenido en una unica componente irreducible de V .

Demostracion. Reemplazando V por una vecindad afın U de P , si Wi son las com-ponentes irreducibles de V que no contienen a P , pongamos V ′ = V −

⋃Wi. En-

tonces, K[V ′] ⊆ OV,P . Por el teorema anterior existe un monomorfismo OV,P �K[[x1, . . . , xn]] y el anillo de series formales no tiene divisores de cero; se sigueque K[V ′] no tiene divisores de cero y por lo tanto V ′ es irreducible. �

Ejemplo 15. Si V = A1K y P = a ∈ V , entonces x − a es un parametro local

en P , es decir, mP = 〈x − a〉 y el anillo local OA1,P consiste de las funcionesracionales ϕ(x) = f(x)/g(x) con g(a) 6= 0. Entonces, la serie de Taylor que lehemos asociado a ϕ

ϕ(x) =∞∑k=0

ak(x− a)k

satisface que

ϕ(x)−k∑j=0

aj(x− a)j ∈ 〈x− a〉k+1

es decir,f(x)g(x)

−k∑j=0

aj(x− a)j ≡ 0 mod (x− a)k+1

o equivalentemente,

f(x)− g(x)( k∑j=0

aj(x− a)j)≡ 0 mod (x− a)k+1

y se comprueba directamente que los coeficientes aj estan dados por

aj =ϕ(j)(a)j!

como en calculo.

4.6. FACTORIZACION UNICA EN EL ANILLO LOCAL DE UN PUNTO LISO 149

EjerciciosEJERCICIO 29. Si P ∈ V es un punto liso y u1, . . . , un son parametros locales enP , demuestre que el morfismo

OV,P → K[[x1, . . . , xn]]

que inducen (vea 4.24) es un isomorfismo.

EJERCICIO 30. Demuestre que un polinomio f(x) ∈ K[x] = K[A1] es un parame-tro local en un punto P = a ∈ K si y solo si a es raız simple de f(x).

EJERCICIO 31. Demuestre que una serie de potencias

F =∑i≥0

Fi ∈ K[[x]]

es invertible en el anillo K[[x]] si y solo el termino constante F0 6= 0.

4.6. Factorizacion unica en el anillo local de un punto lisoHemos visto en 3.3 que si V es una variedad algebraica tal que K[V ] es un

DFU, entonces toda subvariedad W de V de codimension 1 es una hipersuperficie,i.e., existe f ∈ K[V ] tal que W = V(f), pero si K[V ] no es un DFU se tienencontraejemplos al resultado anterior.

A continuacion probaremos que en los puntos lisos de una variedad V lo an-terior es cierto localmente, i.e., que existe una vecindad W ′ de P en W tal queW ′ = V(g) donde g ∈ OV,P . Para formular correctamente lo anterior necesitamosprecisar la nocion de ser localmente un hiperplano:

Ecuaciones locales. Si W ⊆ V es una subvariedad y P ∈ W es un punto, unafamilia de funciones f1, . . . , fr ∈ OV,P se dice que son ecuaciones locales de Wen una vecindad de P si existe una vecindad afın V ′ ⊆ V de P tal que para W ′ =W ∩ V ′ se tiene que

I(W ′) = 〈f1, . . . , fr〉 ⊆ K[V ′]con los fi ∈ K[V ′] representantes de los germenes fi ∈ OV,P . Ahora, si se defineel ideal

IW,P = {f ∈ OV,P : f se anula en W en una vecindad de P}entonces, para V afın,

IW,P ={f =

u

v: u, v ∈ K[V ], v(P ) 6= 0, u ∈ I(W )

}y si todas las componentes deW pasan por P (vea el ejercicio 44 de §1.3), entonces

I(W ) = IW,P ∩K[V ].


LEMA 4.26. Las funciones f1, . . . , fr ∈ OV,P son ecuaciones locales para W ⊆ Ven una vecindad de P si y solo si IW,P = 〈f1, . . . , fr〉.

Demostracion. Si I(W ′) = 〈f1, . . . , fr〉 en K[V ′], entonces ciertamente las fi ∈OV,P se anulan en la vecindad W ′ de P y por lo tanto IW,P = 〈f1, . . . , fr〉.

Recıprocamente, si IW,P = 〈f1, . . . , fr〉 con las fi ∈ OV,P y si I(W ) =〈g1, . . . , gs〉, gi ∈ K[V ], considerando los germenes gi ∈ IW,P se tiene que

(∗) gi =r∑j=1

hijfj 1 ≤ i ≤ s hij ∈ OV,P .

Ahora, las funciones fi y hij son regulares en un algun abierto distinguido V ′ =D(g), con g ∈ K[V ] y el anillo K[V ′] = K[D(g)] ' K[V ]g. Observe ahora que(∗) implica que

(∗∗) 〈g1, . . . , gs〉 = I(W )K[V ′] ⊆ 〈f1, . . . , fr〉.

Mostraremos ahora que I(W )K[V ′] = I(W ′) y note que, una vez probada estaigualdad, por (∗∗) se tiene que

I(W ′) ⊆ 〈f1, . . . , fr〉

y como fi ∈ I(W ′), entonces I(W ′) = 〈f1, . . . , fr〉 que es lo que se deseaba probar.Resta probar la igualdad

I(W )K[V ′] = I(W ′).

Para esto, observe que la inclusion ⊆ es directa porque W ′ ⊆ W implica I(W ) ⊆I(W ′). Recıprocamente, si v ∈ I(W ′), comoW ′ = W ∩V ′, entonces v = u/gt conu ∈ K[V ] y por lo tanto u = vgt ∈ I(W ) y como 1/gt ∈ K[U ] = K[D(g)], en-tonces v = u(1/gt) ∈ I(W )K[U ], lo cual concluye la demostracion de la igualdaddeseada. �

El resultado principal que probaremos a continuacion dice que para variedadesalgebraicas lisas V , cualquier subvariedad W ⊆ V de codimension 1 localmente esuna hipersuperficie, i.e., para todo punto P ∈ W existe una vecindad W ′ de P talque I(W ′) = 〈f〉:

TEOREMA 4.27. Si V es una variedad algebraica y W ⊆ V es una subvariedad decodimension 1, entonces para todo punto liso P ∈ W se tiene una ecuacion localen una vecindad de P en W .

Demostracion. En la demostracion de 3.3 se uso fuertemente la hipotesis de queK[V ] es un DFU. El papel local analogo a K[V ] corresponde ahora al anillo localOV,P y en la demostracion que ahora daremos usaremos que:

El anillo local OV,P de un punto liso P ∈ V es un DFU.


Este hecho es el contenido del teorema 4.32 que probaremos despues. Usandolo anterior procedemos a la demostracion del teorema.

Para comenzar, como la afirmacion del teorema es una cuestion local, podemossuponer que V es afın. Sea f ∈ OV,P que se anula en W , es decir, f ∈ IW,P . ComoOV,P es un DFU, descompogamos f en factores primos. Como W es irreducible yf se anula en W , entonces uno de los factores primos de f se debe anular en W ,digamos g. Mostraremos que g es una ecuacion local para W . Reemplazando V poruna vecidad afın menor, si fuera necesario, podemos suponer que g es regular en V .Ahora, como g se anula en W entonces g ∈ I(W ) y consecuentemente W ⊆ V(g),y como ambas variedades tienen codimension 1 en V W es irreducible, entoncesV(g) = W ∪W ′ y por lo tanto I(V(g)) = I(W )∩I(W ′). Si sucediera que P ∈W ′,entonces existirıan h ∈ I(W ), h′ ∈ I(W ′) tales que hh′ ∈ I(V(g)), es decir, hh′

es cero en V(g) pero h 6= 0 y h′ 6= 0 en V(g). De hh′ ∈ I(V(g) se sigue quehh′ ∈

√〈g〉, es decir, (hh′)r ∈ 〈g〉 para algun r > 0, y como g es primo entonces

g|hh′ en K[V ] y por lo tanto tambien en OV,P , pero como este ultimo es un DFU,entonces g|h o g|h′, es decir, h se anula en V(g) o h′ se anula en V(g) (en unavecindad de P ) y, de nuevo, si hiciera falta, escogemos una vecindad mas pequenade P de tal manera que h ´ h′ se anula en todo V(g), en contradiccion con el hechode que h 6= 0 y h′ 6= 0 en V(g). Se sigue que P 6∈ W ′. Y, de nuevo, reemplazandoV por una vecindad afın mas pequena podemos asumir que V(g) = W .

Finalmente, si u se anula en W = V(g), entonces us ∈ 〈g〉, para algun s > 0;se sigue que g|us en OV,P y por lo tanto g|u (ya que g es primo) y consecuentementeIW,P = 〈g〉. Se aplica entonces el lema anterior. �

COROLARIO 4.28. Si V es una variedad algebraica lisa y f : V 99K Pn es unaaplicacion racional, entonces el conjunto de puntos donde f no es regular tienecodimension ≥ 2.

Demostracion. Por 1.29 y 2.13, el conjunto W de puntos de V donde f no es re-gular es cerrado en V . Por otra parte, como la (co)dimension es una cuestion local,basta verificar el corolario para una vecindad de un punto P ∈ V . Escribamosf = [f0, . . . , fn] con las fi ∈ K(V ) funciones racionales. En una vecindad de Ppodemos elegir las fi ∈ OV,P y sin factores comunes en OV,P . Ahora, los puntosdonde f no es regular satisfacen que f0 = f1 = · · · = fn = 0. Por otra parte, sisucediera que el cerrado W (donde f no es regular) tuviera codimension 1, por elteorema anterior W tendrıa una ecuacion local: IW,P = 〈g〉, y por lo tanto todoslos fi ∈ OV,P , como se anulan en W , entonces estarıan en IW,P = 〈g〉, es decir,g|fi para todo i, una contradiccion con la suposicion de que no tienen factores encomun. �

COROLARIO 4.29. Si C es una curva lisa, entonces toda aplicacion racional f :C 99K Pn es regular.


Demostracion. Por el corolario anterior, el conjunto de puntos donde f no es regulartiene que ser vacıo, porque dimC = 1. �

COROLARIO 4.30. Si f : C 99K C ′ es una equivalencia biracional entre curvasproyectivas lisas, entonces f es un isomorfismo (biregular).

Demostracion. Viendo f como f : C 99K C ′ ↪→ PnK se sigue que f es regular. Lomismo para su inversa. �

COROLARIO 4.31. Dos curvas proyectivas lisas son isomorfas si y solo si sus cam-pos de funciones son isomorfos.

�

Terminamos esta seccion con la demostracion del teorema de que en un puntoliso el anillo local OV,P es un DFU. Ademas de haber usado este resultado en lademostracion del teorema 4.27 (y por lo tanto de sus corolarios en esta seccion)tendremos ocasion de usarlo para probar otros resultados importantes, por ejemploen la seccion siguiente lo usaremos para probar que toda variedad lisa es normal.

TEOREMA 4.32. Si P es un punto liso de una variedad algebraica V , entonces elanillo local OV,P es un DFU.

Demostracion. Por el teorema 4.24 y el ejercicio 29 de §4.5 se tiene un monomor-fismo

OV,P � OV,P ' K[[x1, . . . , xn].

Sea mP el ideal maximo de OV,P formado por las series formales con termino in-dependiente nulo. Entonces, mk

P es el ideal formado por las series formales sinterminos de grado < k. Por definicion de la inclusion OV,P � OV,P que mandacada funcion f ∈ OV,P en su serie de Taylor Φ(f) ∈ K[[x1, . . . , xn]] se tiene quef − Sk(u1, . . . , un) ∈ mk+1

P para toda k ≥ 0. Dicho de otra manera, se tiene que

mkP ∩ OV,P = mk

P .

Resumiendo, si A = OV,P , m = mP , A es la completacion m-adica de A y m =mA, hemos mostrado que

(i) A es un anillo local que es un DFU.(ii) mk ∩ A = mk, para todo k > 0.

(iii) Para cualquier F ∈ A y cualquier entero k > 0, existe Sk ∈ A tal queF − Sk ∈ mk A,

donde la parte (iii) es por la definicion de serie de Taylor. Probaremos a continuacionque todo anillo local (A,m) que satisface las condiciones anteriores es un DFU. Dehecho, como A ⊆ A y este ultimo es dominio entero, lo que falta por probar es que


si a|bc en A y si mcd(a, b) = 1, entonces a|c en A, sabiendo que esto es valido enA. Basta entonces probar que

(1) mcd(a, b) = 1 en A implica que mcd(a, b) = 1 en A,(2) a|c en A implica que a|c en A.

Para probar (1) y (2), observe estos se siguen de la afirmacion:

(3) Para todo ideal I ⊆ A se tiene que (IA) ∩A = I .

En efecto, asumiendo (3) observe que si a|c en A, entonces c ∈ A ∩ 〈a〉A y ası (3)implica que c ∈ 〈a〉, i.e., a|c en A, lo cual es (2). Para (1), si mcd(a, b) 6= 1 enA, entonces tendrıan un factor comun no trivial en A y podemos escribir a = πa′,b = πb′ con a′, b′ ∈ A coprimos. Se tiene entonces que ab′ − ba′ = 0 y por lahipotesis (iii) aplicada a a′ y b′, existen xk, yk ∈ A y uk, vk ∈ mk tales que

a′ = xk + uk y b′ = yk + vk

y por lo tanto

ayk − bxk = a(b′ − vk)− b(a′ − uk) = ab′ − ba′ − avk + buk = −avv + buk

∈ 〈a, b〉mk = 〈a, b〉mkA

y como ayk−bxk ∈ A, entonces por (3), ayk−bxk ∈ 〈a, b〉mk, es decir, ayk−bxk =atk + bsk con sk, tk ∈ mk. Se sigue que

a(yk − tk) = b(xk + sk) y ası a′(yk − tk) = b′(xk + sk)

y como a′, b′ son coprimos en A se sigue que a′|xk + sk, es decir, xk + sk = λa′,y como

⋂mk = 0, para k suficientemente grande se tiene que a, b′ 6∈ mk−1 y

ası xk + sk 6∈ mk−1 por lo que λ 6∈ m y consecuentemente λ es una unidad de A.Se sigue que A(xk + sk) = (a′)A y ası xk + sk|a′ y por lo tanto xk + sk|a en A.Por (2) se sigue entonces que xk + sk|a en A, i.e., a = (xk + sk)h con h ∈ A. Pero,a(yk − tk) = b(xk + sk) y por lo tanto b = (yk + sk)h. Hemos entonces mostradoque h divide a a y b en A, y como mcd(a, b) = 1 se debe entonces tener que h esunidad de A, y ası 〈a〉 = 〈xk + sk〉 = 〈a′〉, en contradiccion con el hecho de que a′

es divisor propio de a en A. Esto prueba (1).Resta solo demostrar (3). Para esto, note que basta probar que (IA) ∩ A ⊆ I .

Supongamos que I = 〈a1, . . . , an〉 y sea x ∈ (IA) ∩ A. Entonces, x =∑aiαi,

con αi ∈ A. Por (iii) existen a(n)i ∈ A y ξ(n)

i ∈ mn tales que αi = a(n)i + ξ

(n)i .

Entonces,

x =∑

a(n)i ai +

∑ξ

(n)i ai =: a+ ξ con a ∈ I y ξ ∈ mn.

Se sigue que ξ = x−a ∈ A∩ mn = mn y por lo tanto x ∈ I+mn para todo n > 0.De aquı se sigue que x ∈ I porque

⋂(I + mn) = I ya que

⋂mn = 0. �


Ejercicios

4.7. Variedades normalesUna variedad afın irreducible V es normal si el anillo K[V ] es integralmente

cerrado (en su campo de fracciones K(V )), es decir, todo elemento de K(V ) quees entero sobre K[V ] esta en K[V ].

TEOREMA 4.33. Sea V una variedad afın irreducible. Entonces, V es normal si ysolo si todos los anillos locales OV,P son integralmente cerrados.

Demostracion. Supongamos que f ∈ K(V ) es entero sobre OV,P , i.e., satisface unaecuacion de la forma

(1) fn + a1fn−1 + · · ·+ an = 0 con los ai ∈ OV,P .

Escribamos ai = bi/ci con bi, ci ∈ K[V ] y los ci 6= 0. Multiplicando (1) por dn

con d = c1 · · · cn se obtiene que

(df)n+(da1)(df)n−1+· · ·+(dn−1an−1)(df)+(dnan) = 0 con los diai ∈ K[V ]

y ası df es entero sobre K[V ] y como este es integralmente cerrado, entonces e =df ∈ K[V ], es decir, f = e/d ∈ OV,P ya que d 6= 0.

Supongamos ahora que todos los OV,P son integralmente cerrados. Sea f ∈K(V ) entero sobre K[V ]. Entonces, f satisface (1) pero con los ai ∈ K[V ]. Ahora,como K[V ] ⊆ OV,P para todo P ∈ V , entonces f es entero sobre OV,P y ası porhipotesis f ∈ OV,P para todo P y por lo tanto f ∈ K[V ] =

⋂P∈V OV,P . �

COROLARIO 4.34. Toda variedad lisa es normal.

Demostracion. Como todo P ∈ V es liso, entonces todo los OV,P son DFU y por lotanto son integralmente cerrados. �

Ejemplo 16. El ejemplo siguiente es de una variedad que no es lisa pero sı es normal:el cono V = V(x2 + y2 − z2) ⊆ A3, con carK 6= 2, tiene una singularidad en(0, 0, 0), sin embargo es normal. En efecto, observe que

K[V ] ' {f+zg : f, g ∈ K[x, y]} y K(V ) ' {f+zg : f, g ∈ K(x, y)}

y por lo tanto K[V ] es un modulo finitamente generado sobre K[x, y], i.e., K[V ]es entero sobre K[x, y]. Ahora, si ϕ = f + zg ∈ K(V ) es entero sobre K[V ] portransitividad de la dependencia entera ϕ es entero sobre K[x, y]. Observe ahora queel polinomio mınimo de ϕ es

t2 − 2ft+ f2 − (x2 + y2)g2

y como sus coeficientes estan enK[x, y], entonces 2f ∈ K[x, y] y como carK 6= 2,se sigue que f ∈ K[x, y]. Similarmente, f2− (x2 + y2)g2 ∈ K[x, y] y f ∈ K[x, y]

4.7. VARIEDADES NORMALES 155

implican que (x2 +y2)g2 ∈ K[x, y], y como x2 +y2 = (x+iy)(x−iy) es productode dos polinomios irreducibles coprimos, entonces

(x2 + y2)g2 = (x+ iy)(x− iy)g2 ∈ K[x, y]

implica que g ∈ K[x, y]. Se sigue que ϕ = f + zg ∈ K[V ] = K[x, y, z]/I(V ).

Ejemplo 17. Este es un ejemplo de una variedad que no es normal: la cubica nodalC = V(y2 − x3 − x2) ⊆ A2. En efecto, la funcion racional f = y/x ∈ K(C) esentera sobre K[C] ya que satisface la ecuacion

t2 − 1− x = 0

y claramente f 6∈ K[C].

Se tiene el analogo a 4.27:

TEOREMA 4.35. Si V es una variedad normal y W ⊆ V es una subvariedad decodimension 1, entonces existe un abierto afın V ′ ⊆ V tal que V ′ ∩W 6= ∅ y talque para W ′ = V ′ ∩W el ideal I(W ′) de K[V ′] es principal.

Demostracion. �

Tambien se tiene el analogo de 4.28:

COROLARIO 4.36. El conjunto de puntos singulares de una variedad normal tienecodimension ≥ 2.

Demostracion. Supongamos que dimV = n y sea Vsing ⊆ V el conjunto algebraico(cerrado) de puntos singulares de V . Supongamos que V contiene una componenteirreducible W ⊆ Vsing con dimW = n − 1. Como la codimension de W es 1,por el teorema anterior existe V ′ ⊆ V un abierto afın tal que W ′ = V ′ ∩W 6= ∅.Entonces, existe un punto P ∈W ′ que es liso visto en W ′ pero no lo es en V ′. �

COROLARIO 4.37. Si C es una curva algebraica, entonces C es lisa si y solo si Ces normal.

Demostracion. Para la implicacion faltante, como Csing ⊆ C tiene codimension≥ 2, entonces Csing = ∅. �

OBSERVACION. El teorema anterior llama la atencion sobre aquellas variedadespara las cuales su conjunto de puntos singulares Vsing tiene codimension ≥ 2. Va-riedades con esta propiedad se dice que son lisas en codimension 1. Ası, el teoremaanterior dice que las variedades normales son lisas en codimension 1. Por ejem-plo, una superficie algebraica normal solo puede tener singularidades aisladas: suconjunto de puntos singulares Vsing no puede contener una curva.


EjerciciosEJERCICIO 32. Si V una variedad afın irreducible, el anillo A = K[V ] es un domi-nio entero y su campo de fracciones es K(V ). Demuestre la contraparte algebraicadel teorema 4.26, i.e., A es integralmente cerrado en su campo de fracciones K(A)si y solo si para todos los ideales maximos m de A, las localizaciones Am son inte-gralmente cerradas enK(A). En estas condiciones se dice que el anilloA es normal.

EJERCICIO 33. En la subseccion sobre germenes en §4.3 se interpretaron los ele-mentos α ∈ OV,P como germenes α = [s, U ] de funciones regulares s en unavecindad U de P . Se tiene una situacion similar para subvariedades irreduciblesW ⊆ V de una variedad afın V , considerando la localizacion del anillo K[V ] enel ideal primo I(W ) ⊆ K[V ] y al anillo local resultante K[V ]I(W ) se le llama elanillo local de V a lo largo de W y se denota por OV,W .

(i) Demuestre que si V es irreducible, entonces OV,W ⊆ K(V ) esta formadopor todas las funciones racionales que son regulares en un punto de W , ypor lo tanto son regulares en un abierto denso de W .

(ii) Demuestre que el ideal maximo

mW ⊆ OV,W

esta formado por las funciones que se anulan en W .(iii) Demuestre que el campo residual

OV,W /mW = K(W )

es el campo de funciones de W .

EJERCICIO 34. Las construcciones del ejercicio anterior se pueden generalizar alcaso cuando V es una variedad casi-proyectiva yW ⊆ V es una subvariedad cerradairreducible. En este caso el anillo local OV,W es el anillo local de la subvariedadW ∩V ′, donde V ′ ⊆ V es subvariedad afın abierta tal que W ∩V ′ 6= ∅. Demuestreque el anillo local OV,W definido es independiente de la eleccion de la subvariedadafın abierta V ′ ⊆ V .

EJERCICIO 35. Si V es una variedad afın irreducible, demuestre que V es normalsi y solo si su anillo local OV,W en cualquier subvariedad irreducible W ⊆ V esintegralmente cerrado.

4.8. RamificacionEn el ejercicio 16 de §3.3 se demostro que para todo morfismo finito f : V →

W sus fibras f−1(Q) son finitas y f es suprayectivo. Por analogıa con el teoremasobre la dimension de las fibras 3.32, es natural esperar que el cardinal de estas fibras

4.8. RAMIFICACION 157

|f−1(Q)| sea constante para todo punto Q de un abierto W ′ ⊆ W y que varıe soloen un cerrado de W . Los ejemplos siguiente ilustran lo que se tendra en general:

Ejemplo 18. El morfismo finito f : A1 → A1 dado por x 7→ x2 tiene gr f = 2 (veael ejercicio 20 de §4.3) donde se definio gr f = [K(V ) : K(W )]) y si carK 6= 2cada punto Q 6= 0 de A1 satisface que |f−1(Q)| = 2 y en el punto 0 ∈ A1 se tieneque |f−1(0)| = 1.

Lo anterior sugiere que |f−1(Q)| ≤ gr f , sin embargo el ejemplo siguientemuestra que esto puede ser falso:

Ejemplo 19. La parametrizacion f : A1 → C = V(y2−x3−x2) ⊆ A2 de la cubicacuspidal, dada por f(t) = (t2 − 1, t(t2 − 1)) tiene gr f = 1, pero la imagen inversadel punto singular 0 = (0, 0) ∈ C consiste de dos puntos f−1(0, 0) = {±1}.

Lo que falla en este ejemplo es que la curva C no es normal:

TEOREMA 4.38. Si f : V →W es un morfismo finito entre variedades algebraicasirreducibles con W normal, entonces para todo Q ∈W se tiene que

|f−1(Q)| ≤ gr f.

Demostracion. Podemos suponer que V y W son afines. Pongamos n = gr f =[K(V ) : K(W )]. Como W es normal, K[W ] es integralmente cerrado en K[V ]y ası, para todo α ∈ K[V ] los coeficientes del polinomio mınimo de α estan enK[W ]. Supongamos que f−1(Q) = {P1, . . . , Pk} y supongamos que α ∈ K[V ]tiene valores distintos α(Pi) en los puntos Pi, 1 ≤ i ≤ k. Note que una tal α sepuede encontrar facilmente si observamos que si V ⊆ Am, entonces α ∈ K[V ] =K[x1, . . . , xm]/I(V ) y ası basta encontrar un polinomio α ∈ K[x1, . . . , xm] conesa propiedad, lo cual es obvio. Ahora, sea µ ∈ K[W ] el polinomio mınimo de α;como [K(V ) : K(W )] = n, entonces grµ ≤ n y los coeficientes de µ estan enK[W ]. Si µ = t` + a1t

`−1 + · · · + a`, reemplazando los coeficientes ai por susvalores ai(Q) en Q obtenemos el polinomio µ = t` + a1(Q)t`−1 + · · · + a`(Q).Como α tiene valores distintos en los Pi, entonces µ toma distintos valores µ(Pi) ypor lo tanto

k ≤ grµ ≤ grµ ≤ ny consecuentemente |f−1(Q)| = k ≤ n = gr f , como se querıa. �

Ramificacion. Un morfismo finito f : V → W entre variedades irreducibles conW normal se dice que es no ramificado en un punto Q ∈W si

|f−1(Q)| = gr f.

En caso contrario diremos que f es ramificado en Q y que Q es un punto de ramifi-cacion de f .


TEOREMA 4.39. Si f : V →W es un morfismo finito entre variedades irreduciblesconW normal, el conjunto de puntos donde f es no ramificado es abierto. Mas aun,si la extension finita de campos K(W ) ⊆ K(V ) es separable, entonces el conjuntode puntos donde f es no ramificado es no vacıo.

Demostracion. Supongamos que f no es ramificado enQ ∈W por lo que f−1(Q) ={P1, . . . , Pn} = gr f y escojamos α ∈ K[V ] tal que toma valores α(Pi) distintos,1 ≤ i ≤ n. Sea µ el polinomio mınimo de α. Con la notacion de la demostraciondel teorema anterior y por la ultima desigualdad en esa demostracion, se tiene quegrµ = grµ = n = gr f y µ tiene n raıces distintas. Sea D(µ) el discriminantede µ; entonces, la condicion de que f no se ramifica en Q se puede reformular enterminos del discriminante como

D(µ) = D(µ)(Q) 6= 0.

Pero como D es un polinomio, la igualdad anterior implica que D(µ)(Q′) 6= 0 paratodo Q′ en una vecindad de Q y ası f no se ramifica en Q′, i.e., el conjunto depuntos donde f no se ramifica es abierto, lo cual demuestra la primera afirmaciondel teorema.

Supongamos ahora que K(W ) ⊆ K(V ) es una extension finita separable ysea α ∈ K[V ] un elemento primitivo; sea µ el polinomio mınimo de α. Entonces,grµ = n = gr f y D(µ) 6= 0. Se sigue que existen puntos Q ∈ W tales queD(µ)(Q) 6= 0 y por lo tanto f no es ramificado en esos puntos. �

En las condiciones del teorema anterior, el conjunto de puntos de W dondef : V → W es ramificado es un conjunto cerrado en W y se llama el lugar deramificacion de f . Si f : V →W es un morfismo finito tal que K(W ) ⊆ K(V ) esuna extension finita separable, diremos que f : V → W es un morfismo separable.Si f no es separable, diremos que es un morfismo inseparable.

Ejemplo 20. Si la caracterıstica del campo base es carK = p > 0, el morfismof : A1 → A1 dado por x 7→ xp es inseparable.

Ramificacion y lisidad. Supongamos ahora que f : V → W es finito con W lisa(ergo, normal por 4.43):

TEOREMA 4.40. Si f : V → W es finita y no ramificada con W lisa, entonces fes etale.

Demostracion. Por el teorema anterior K(W ) ⊆ K(V ) es una extension finitaseparable. �

EjerciciosEJERCICIO xx.

Capıtulo5Interseccion

Hemos visto en 3.28, que si se tienen subvariedades V,W ⊆ Pn con dimV +dimW ≥ n, entonces V ∩W 6= ∅. En particular, cualesquiera dos curvas proyec-tivas planas C,C ′ ⊆ P2 se intersectan. El ejemplo siguiente ilustra la naturalezaproyectiva del resultado anterior: si se tienen dos cırculos concentricos

C = V(x2 + y2 − 1) y C ′ = V(x2 + y2 − 4)

es claro que no se intersectan en el plano afın A2 (no importando cual sea el campobaseK). Sin embargo, si se homogeinizan los polinomios anteriores y se consideranlas curvas proyectivas correspondientes

C = V(x2 + y2 − z2) y C′ = V(x2 + y2 − 4z2)

en el plano proyectivo P2, es claro que los puntos

[1,√−1, 0] y [1,−

√−1, 0]

(que son el mismo punto si carK = 2) estan en ambas curvas proyectivas. Dehecho, la interseccion es

C ∩ C ′ = V(x2 + y2 − z2, x2 + y2 − 4z2)

donde notamos que el ideal que la define es

〈x2 + y2 − z2, x2 + y2 − 4z2〉 = 〈x2 + y2 − z2, z2〉

y por lo tanto los puntos en comun de C y C ′ son los puntos que estan en C y enla recta L = V(z2) = V(z). Notamos entonces que como L = V(z2), es natural elcontar los puntos en la recta con multiplicidad 2. Se sigue que las conicas C y C ′ seintersectan en 4 puntos, contando multiplicidades. El teorema de Bezout que proba-remos en este capıtulo afirma que cualesquiera dos subvariedades proyectivas irre-ducibles del plano proyectivo P2, dadas por polinomios irreducibles homogeneos degrados m y n, respectivamente, tienen mn puntos en comun, contando multiplici-dades y definiendo estas apropiadamente. Para motivar esta definicion, considere elcaso de un polinomio en una variable f ∈ K[x]. El numero de raıces del polinomioes igual a su grado, contando con sus multiplicidades las raıces repetidas. Lo quetiene que precisarse en el caso general de la interseccion de dos subvariedades escomo se deben contar los puntos en la interseccion.

159

160 5. INTERSECCION

5.1. DivisoresPara comenzar a precisar las ideas anteriores, recuerde que una funcion polino-

mial f ∈ K[x] esta unıvocamente determinada (salvo una constante) por sus raıcesy sus multiplicidades: si α1, . . . , αr ∈ A1

K son las raıces def con multiplicidadesi1, . . . , ir, respectivamente, entonces

f(x) = c(x− α1)i1 · · · (x− αr)ir .Analogamente, si ϕ(x) = f(x)/g(x) es una funcion racional con f, g ∈ K[x],entonces ϕ(x) esta unıvocamente determinada por los ceros de f y g, es decir, ϕesta determinada por sus ceros y polos (los puntos donde ϕ no es regular). Paradistinguir entre los ceros y polos de ϕ, asignaremos multiplicidad negativa a lospolos, i.e., a los ceros del denominador g. Se sigue que ϕ esta determinada porsus ceros Z1, . . . , zr con multiplicidades i1, . . . , ir y por sus polos p1, . . . , ps conmultiplicidades j1, . . . , js.

Para generalizar lo anterior al caso cuando se tiene una funcion racional ϕ ∈K(V ) en una variedad algebraica V arbitraria, recordemos que para una funcionregular f ∈ K[V ], la subvariedad V(f) ⊆ V es pura de codimension 1, es decir,

V(f) = W1 ∪ · · · ∪Wr

con Wi ⊆ V subvariedades irreducibles de codimension 1. Con esto en mente, po-demos considerar asignar a una funcion racional ϕ ∈ K(V ) una coleccion finitade subvariedades irreducibles de codimension 1 en V , con ciertas multiplicidadesque son enteros positivos o negativos. Si W1, . . . ,Wr son subvariedades irreduci-bles de V de codimension 1 y con multiplicidades m1, . . . ,mr (enteros positivos onegativos), diremos que se tiene un divisor en V y lo denotamos mediante

(1) D = m1W1 + · · ·+mrWr

(una suma formal). Dicho en otras palabras, un divisor en V es un elemento delgrupo libre abeliano generado por las subvariedades de codimension 1 en V . De-notaremos a este grupo por Div(V ) y lo llamaremos el grupo de divisores de V .El elemento neutro de este grupo es el divisor cero 0, es decir, en (1) todos loscoeficientes son mi = 0. Dados dos divisores

D = m1W1 + · · ·+mrWr y D′ = m′1W1 + · · ·+m′rWr

(poniendo mj = 0 si Wj no aparece en D y similarmente para D′), su suma es

D +D′ = (m1 +m′1)W1 + · · ·+ (mr +m′r)Wr.

El inverso del divisor D dado en (1) es

−D = −m1W1 − · · · −mrWr.

Si en un divisor (1) se tiene que todos los mi ≥ 0, diremos que el divisor D esun divisor efectivo o divisor positivo. Si Wi ⊆ V es una subvariedad irreducible de

5.1. DIVISORES 161

codimension 1, el divisor D = Wi se dice que es un divisor primo. Si en (1) todoslos mi 6= 0, el conjunto algebraico

W1 ∪ · · · ∪Wr

se llama el soporte del divisor D y se denota mediante suppD.Si en el divisor D = m1W1 + · · · + mrWr todos los divisores primos Wi son

diferentes, denotaremos el coeficiente mi de Wi mediante νWi(D).

Divisores principales. Si f ∈ K(V ), f 6= 0, queremos asignarle a f un divisor ypara esto debemos asignar a cada subvariedad W ⊆ V de codimension 1 un enteroνW (f). La motivacion para lo que queremos hacer es pensar en el caso cuandof ∈ K(A1) = K(x) y que en este caso W ⊆ A1 de codimension 1 es tan solo unpunto P , en cuyo caso el entero νP (f) es el orden del cero o polo P de f , dondesi P no es cero ni polo se pone νP (f) = 0. Para poder llevar a cabo el objetivogeneral, asumiremos que la variedad V es lisa en codimension 1, lo que quiere decirque el conjunto de puntos singulares de V tiene codimension ≥ 2. Consideremosentonces una subvariedad W ⊆ V de codimension 1. Por el teorema 4.xx existe unabierto afın liso U ⊆ V que intersecta a W y tal que W esta determinado en U poruna sola ecuacion local, i.e., I(W ) = 〈u〉 ⊆ K[U ]. Observamos entonces que comoK[U ] es noetheriano, entonces ⋂

k≥0

〈uk〉 = 0

y ası se define la funcion νUW : K[U ]→ N ∪ {∞} mediante

νUW (f) =

{k si f ∈ 〈uk〉 pero f 6∈ 〈uk+1〉,∞ si f = 0.

LEMA 5.1. La funcion νUW no depende del abierto liso afın U con las propiedadeslistadas.

Demostracion. Supongamos primero que se tiene otro abierto liso afın U ′ ⊆ Utal que U ∩ W 6= ∅. Entonces u sigue siendo una ecuacion local de W en U ′ yclaramente

νU′

W (f) = νUW (f).Supongamos ahora que U ′ es cualquier otro abierto afın liso que satisface las

mismas condiciones que U , i.e., U ′ ∩W y U ∩W son abiertos no vacıos en W .Como W es irreducible, se sigue que

(U ∩W ) ∩ (U ′ ∩W ) 6= ∅.Escojamos entonces un abierto afın no vacıo U ′′ ⊆ U ′ ∩ U tal que

∅ 6= U ′′ ∩W ⊆ U ∩ U ′ ∩W.

162 5. INTERSECCION

Por el primer caso considerado se tiene que

νUW (f) = νU′′

W (f) y νU′

W (f) = νU′′

W (f)

y por lo tantoνUW (f) = νU

′W (f)

como se querıa. �

Podemos entonces quitar el supraındice U en la notacion de νW . Observe ahoraque si V es irreducible, toda funcion f ∈ K(V ) se puede escribir de la formaf = g/h, con f, g ∈ K[V ] y se define

νW (f) = νW (f)− νW (g)

y dejamos como un ejercicio el probar que la funcion νW es una valuacion no ar-quimediana, es decir, satisface las propiedades:

(i) νW (fg) = νW (f) + νW (g).(ii) νW (f + g) ≥ {νW (f), νW (g)}.

lo cual se sigue directamente de la definicion de νW y de la irreducibilidad de W .

Ceros y polos. Si νW (f) > 0, diremos que f ∈ K(V ) tiene un cero de ordenνW (f) en W . Si νW (f) < 0, diremos que f tiene un polo de orden −νW ((f) enW . Es claro que estos conceptos generalizan las nociones usuales cuando W es unpunto de V .

LEMA 5.2. Si V es lisa en codimension 1 y f ∈ K(V )∗, entonces νW (f) = 0 paracasi todos los divisores primos W de V .

Demostracion. Consideremos primero el caso cuando V es afın y f ∈ K[V ]. Ladefinicion de νW (f) dice que si W no es una de las componentes irreducibles deV(f) entonces νW (f) = 0 y ası el lema es cierto para f ∈ K[V ]. Si ahora tomamosf ∈ K(V ) y V afın como antes, escribamos f = g/h con g, h ∈ K[V ] y note quepor el caso considerado primero se tiene que νW (f) = νW (g) − νW (h) = 0 si Wno es una componente de V(g) o de V(h).

Para el caso general, V se puede cubrir con un numero finito de abiertos afinesVi y cada W ⊆ V de codimension 1 intersecta al menos un Vi de tal forma queνW (f) 6= 0 solo para aquellos W tales que son cerraduras de irreducibles W ′ ⊆ Viy que satisfacen que νW ′(f) 6= 0. Como el numero de componentes Vi es finito ypor el caso considerado en el primer parrafo de la demostracion el numero de losW ′ ⊆ Vi tales que νW ′(f) 6= 0 tambien es finito, entonces el numero de losW ⊆ Vde codimension 1 tales que νW (f) tambien es finito. �

Gracias al lema anterior, dada f ∈ K(V )∗, la suma∑W

νW (f)W

5.1. DIVISORES 163

es finita (donde las W ⊆ V recorre el conjunto de todas las subvariedades de co-dimension 1 de V ). El divisor anterior se llama el divisor principal asociado a lafuncion f ∈ K(V )∗ y se denota por

(f) =∑W

νW (f)W.

Al sumando(f)0 =

∑νW (f)>0

νW (f)W

se le llama el divisor de ceros de f , y al sumando

(f)∞ =∑

νW (f)<0

νW (f)W

se le llama el divisor de polos de f . Es claro que(i) (f)0 ≥ 0.

(ii) (f)∞ ≥ 0.(iii) (f) = (f)0 − (f)∞.

Dejamos como un ejercicio el probar que(iv) (fg) = (f) + (g).(v) (f) = 0 si y solo si f ∈ K.

(vi) (f) ≥ 0 si f ∈ K[V ].De hecho, si V es una variedad lisa e irreducible se tiene el recıproco de la

propiedad (vi):

LEMA 5.3. Si V es una variedad lisa e irreducible y f ∈ K(V ) es tal que (f) ≥ 0,entonces f es regular en V .

Demostracion. Si existiera un punto P ∈ V donde f no fuera regular, escribiendof = g/h con g, h ∈ OV,P , como P es liso entonces OV,P es un DFU1 y ası podemossuponer que g/h esta en forma mınima, i.e., g y h no tienen factores primos encomun. Ası, como f 6∈ OV,P , existe un primo π ∈ OV,P que aparece en h pero noen g. Se sigue que, en una vecindad afın U de P , la variedad V(π) es irreducible yde codimension 1. Sea W = V(π) su cerradura en V . Entonces, νW (f) < 0 porqueπ aparece en el denominador de f pero no en su numerador. Una contradiccion. �

COROLARIO 5.4. Si V es una variedad proyectiva lisa e irreducible, entonces:

(1) Si f ∈ K(V ) es tal que (f) ≥ 0, entonces f es constante.

(2) Si f, g ∈ K(V ) son tales que (f) = (g), entonces f = cg con c ∈ K unaconstante.

1Este es un resultado importante que hemos estado asumiendo, desde antes, por ejemplo en 4.xx.

164 5. INTERSECCION

Demostracion. Se sigue del hecho de que K[V ] = K. �

El grupo de clases de divisores. La propiedad (iv) anterior implica que el conjuntode divisores principales de V es un subgrupo del grupo de divisores Div(V ). Elgrupo cociente se llama el grupo de clases de divisores de V y se denota mediante

Cl(V ).

Si dos divisores D,D′ ∈ Div V pertenencen a la misma clase lateral en ClV , esdecir, D − D′ = (f) para un f ∈ K(V ), se dice que D es equivalente a D′ y lodenotamos mediante D ∼ D′.

Ejemplo 1. Si V = An, cualquier W ⊆ An de codimension 1 es de la formaW = V(f) con f ∈ K[An]. En particular, todo divisor primo W es principalporque W = V(f) es irreducible y ası νW (f) = 1, i.e., (f) = 1 ·W = W . Se sigueque todo divisor de V es principal porque

D = m1W1 + · · ·+mrWr = m1(f1) + · · ·+mr(fr) = (fm11 ) + · · ·+ (fmr

r )

= (fm11 · · · fmr

r )

y por lo tanto Cl(An) = 0.

Ejemplo 2. Si V = Pn, toda W ⊆ Pn de codimension 1 es una hipersuperficieW = V(f) con f ∈ K[Pn] homogeneo. Mas aun, si gr f = k, entonces en la cartaafın Ui de Pn se tiene que I(W ) = 〈xki f〉. Por lo tanto, si f ∈ K(Pn) escribiendof = g/h con f, h homogeneos del mismo grado y factorizando g y h en productode irreducibles

g =∏

gmii y h =

∏hnj

j

si Wi = V(gi) y W ′j = V(hj), se tiene que

(f) = (g)− (h) =∑

miWi −∑

njW′j

donde gr g = grh, y por lo tanto∑mi gr gi =

∑nj grhj , y como grWi = gr gi

y grW ′j = grhj , entonces ∑mi grWi =

∑nj grhj

y consecuentemente

gr(f) = gr((g)− (h)) = gr(g)− gr(h) = 0.

Hemos ası probado que todos los divisores principales de Pn tienen grado cero.Se tiene tambien la recıproca: si D ∈ DivPn tiene grado grD = 0, entonces Des principal. En efecto, si D =

∑miWi, con Wi primos, entonces Wi = (fi) y

ası D =∑mi(fi) =

∑(∏fmii ) donde f =

∏fmii es homogeneo de grado cero

porque∑mi gr fi = 0.

5.2. DIVISORES EN CURVAS 165

Hemos mostrado entonces que el grado de un divisor es un homomorfismo in-yectivo de grupos

gr : Cl(Pn)→ Z D 7→ grD.

Mas aun, es suprayectivo porque para cualquier d ∈ Z y cualquier hipersuperficieirreducible W ⊆ Pn de grado 1, es decir, un hiperplano, el divisor D = dW tienegrado d. Se sigue que ClPn ' Z.

5.2. Divisores en curvasSi C es una curva proyectiva lisa los subconjuntos irreducibles de codimension

1 en C son puntos y por lo tanto un divisor en C es una expresion de la forma

D = m1P1 + · · ·+mrPr

commj ∈ Z y Pj puntos deC. En este caso el grado del divisorD es grD =∑mi

porque grPi = 1.

TEOREMA 5.5. Si f : C → C ′ es un morfismo (regular) suprayectivo entre curvasproyectivas lisas, entonces para todo Q ∈ C ′ la fibra f−1(Q) consta de un numerofinito de puntos y por lo tanto es un divisor en C al que denotaremos por f∗(Q).Mas aun, gr f = gr f∗(Q).

Demostracion. �

COROLARIO 5.6. Si C es una curva proyectiva lisa y (f) ∈ DivC, entoncesgr(f) = 0.

Demostracion. f ∈ K(C) corresponde a una aplicacion racional f : C 99K P1 quepor 4.xx es regular, i.e., f : C → P1. Ahora, para el punto 0 ∈ A1 ⊆ P1 y para elpunto∞ ∈ P1 note que

f∗(0) = (f)0 y f∗(∞) = (f)∞.

Entonces, por el teorema anterior se tiene la ultima igualdad en

gr(f) = gr(f)0 − gr(f)∞ = gr f∗(0)− gr f∗(∞) = gr f − gr f = 0.

�

De este corolario se sigue que si D ∼ D′ en una curva proyectiva lisa, entoncesgrD = grD′. Se tiene entonces un homomorfismo de grupos

gr : ClC → Zque obviamente es suprayectivo (todo d ∈ Z proviene del divisor dP ∈ DivC, paraP cualquier punto de C). El nucleo de este homomorfismo consiste de las clases dedivisores [D] ∈ DivC de grado cero. Denotaremos este subgrupo por Cl0(C). Laimportancia de este subgrupo la muestra el resultado siguiente:

166 5. INTERSECCION

PROPOSICION 5.7. Una curva proyectiva lisa C es racional si y solo si Cl0C = 0.

Demostracion. Si C ' P1, en el ejemplo 2 de §5.1 vimos que ClC ' ClP1 ' Z ypor lo tanto Cl0C = 0. Recıprocamente, si Cl0C = 0, esto quiere decir que tododivisor de grado cero es principal. En particular, si P 6= Q son dos puntos de C,existe una funcion f ∈ K(C) tal que (f) = P −Q. Viendo a f como una funcionregular f : C → P1

de donde se sigue que f es biracional y como C y P1 son curvas proyectivaslisas, por 4.xx se sigue que f es biregular y por lo tanto C es racional. �

5.3. El teorema de BezoutSupongamos que C ⊆ Pn es una curva proyectiva lisa. Sea F un polinomio

homogeneo en Pn, i.e., F ∈ Kh[Pn] que no es identicamente cero en C. Considerela hipersuperficie V(F ) y el divisor principal (F ) de F en C

(F ) =∑

miPi con Pi ∈ C tal que F (P ) = 0.

Note que este divisor esta considerando los puntos en la interseccion deC con V(F ).Al grado de este divisor gr(F ) se le llama el numero de interseccion de C con V(F )y se denota por

CF

y ası, el grado de este divisor cuenta el numero de puntos en la interseccion C ∩V(F ). Una consecuencia inmediata del corolario 5.6 es:

COROLARIO 5.8. El numeroCF es el mismo para todos los polinomios homogeneosdel mismo grado.

Demostracion. Si grF = grG, entonces f = F/G ∈ K(C) es homogeneo degrado cero y (f) = (F ) − (G), de donde se sigue que gr(F ) = gr(G) + gr(f) ypor 5.6 se tiene que gr(f) = 0 por lo que gr(F ) = gr(G) y consecuentemente

CF = gr(F ) = gr(G) = CG.

�

Para ver comoCF depende del grado de F , por el corolario anterior basta tomarF = Lm con m = grF y L un polinomio lineal homogeneo. Entonces,

CF = CLm = mCL = (grF )CL

donde usamos que gr(Lm) = m gr(L). Por lo tanto basta considerar el caso CLcon L un polinomio lineal homogeneo.

El grado de una curva C ⊆ Pn, denotado grC, es el maximo

grC = max{|C∩H| : H ⊆ Pn hiperplano que no contiene una componente de C}.

5.3. EL TEOREMA DE BEZOUT 167

Observe que como CL =∑

P∈V(L) νP (L), entonces grC ≤ CL, y como CL esel mismo numero para todos los polinomios lineales homogeneos L, el numero depuntos P ∈ C tales que P ∈ V(L) es maximo cuando νP (L) = 1. El lema siguientedetermina cuando νP (L) = 1.

LEMA 5.9. Sean C ⊆ Pn una curva proyectiva irreducible y f ∈ K[Pn] un po-linomio homogeneo irreducible. Entonces, νP (F ) = 1 si y solo si P ∈ V(f) yTPV(f) 6⊇ TPC, viendo a ambos como subespacios vectoriales de TPPn.

Demostracion. Sea g un polinomio homogeneo del mismo grado que f y tal queg(P ) 6= 0. Por definicion,

νP (f) = νP ((f/g)|C)

y sabemos queνP (f) > 1⇔ f/g ∈ m2

P ⇔ dP (f/g) = 0.

Pero dP (f/g) ∈(TPC

)∨ es la restriccion a TPC de dP (f/g) viendo a f/g ∈K(Pn) y ademas f/g es regular en P . Ası,

νP (f) > 1⇔ dP (f/g) = 0 en TPC.

Mas aun, f/g es una ecuacion local de V(f) en la vecindad de P determinada porg 6= 0. Se sigue que dP (f/g) = 0 es la ecuacion que define TPV(f) y por lo tanto

dP (f/g) = 0⇔ TPV(f) ⊇ TPC,como se querıa. �

Aplicando el lema anterior, recordemos que

CL es maximo cuando νP (L) = 1

lo cual, por el lema anterior, es equivalente a que P ∈ V(L) y que TPV(L) 6⊇ TPC,es decir, L no es tangente a C en ningun punto P ∈ C. Escogiendo una tal L setendrıa entonces que

grC = CL.

Solo falta mostrar que un tal polinomio lineal homogeneo L existe. Para esto, consi-deremos el productoC×(Pn)∨, donde (Pn)∨ es el espacio proyectivo dual formadopor los hiperplanos de Pn. Sea Γ ⊆ C × (Pn)∨ el conjunto

Γ = {(P,L) : P ∈ C y L ∈ (Pn)∨, con L tangente a C en P}.Bajo la proyeccion

Γ ↪→ C × (Pn)∨pr2−→ (Pn)∨

la imagen de Γ tiene codimension ≥ 1 por el teorema sobre la dimension de lasfibras. Por lo tanto una tal L existe. Finalmente, de las igualdades

CF = (grF )CL y CL = grC

168 5. INTERSECCION

se sigue queCF = (grF )(grC).

Hemos ası probado uno de los teoremas mas antiguos y famosos de la geometrıaalgebraica:

TEOREMA 5.10 (Bezout). Si C,C ′ son dos curvas proyectivas lisas (irreducibles),de grados grC y grC ′, respectivamente. Entonces, la interseccion C ∩ C ′ tieneexactamente (grC)(grC ′) puntos.

�

La demostracion anterior tiene el defecto que la multiplicidad de interseccionse guardo en el teorema 5.5, en el numero de puntos de la fibra f−1(Q), o lo que eslo mismo, en el grado del divisor f∗(Q) definido por esta fibra.

5.4. Multiplicidades de interseccionNos interesa el caso cuando la interseccion de dos tales subvariedades de codi-

mension 1 contiene solo un numero finito de puntos. Recuerde ahora que si W1, . . .,Wr son subvariedades de codimension 1 con interseccion no vacıa en una variedadV de dimension n, y si r < n = dimV , entonces dim(W1 ∩ · · · ∩Wr) > 0 ya que,por 3.13, dim(W1 ∩ · · · ∩Wr) ≥ n− r. Ası, si lo que interesa es el caso cuando lainterseccionW1∩· · ·∩Wr consta de un numero finito de puntos, el caso que interesaes cuando r = n. De hecho, la teorıa se desarrolla en forma mas sencilla si en lugarde intersectar n subvariedades de codimension 1 se considera mas generalmente lainterseccion de n divisores D1, . . . , Dn en V .

Posicion general. Si para un punto P ∈ V se tiene que P ∈⋂i suppDi y si

dimP⋂i suppDi = 0, diremos que los divisores D1, . . . , Dn estan en posicion

general en P . Que la dimension anterior sea cero quiere decir que en una vecindadde P la interseccion consiste de P unicamente. Si D1, . . . , Dn estan en posiciongeneral para todos los puntos de

⋂iDi, entonces esta interseccion es vacıa o consta

solo de un numero finito de puntos y se dice entonces que los divisores D1, . . . , Dn

estan en posicion general.

Indices de interseccion. Comenzamos definiendo ındices de interseccion para di-visores efectivos en posicion general. Sean D1, . . . , Dn divisores efectivos en posi-cion general en un punto P , con ecuaciones locales f1, . . . , fn en una vecindad delpunto P . Entonces, existe una vecindad U de P en la cual f1, . . . , fn son regularesy no se anulan excepto en P . Del teorema de los ceros de Hilbert se sigue que elideal 〈f1, . . . , fn〉 en OV,P contiene una potencia del ideal maximo mp de funcionesregulares que se anulan en P , digamos

(1) m` ⊆ 〈f1, . . . , fn〉.

5.4. MULTIPLICIDADES DE INTERSECCION 169

Note ahora que el K-espacio vectorial

OV,P /〈f1, . . . , fn〉tiene dimension finita, porque (1) implica que

dimK

(OV,P /〈f1, . . . , fn〉

)≤ dimK OV,P /m

`P

y por 4.xx se tiene que dimK OV,P /m`P <∞ porque esta dimension es la dimension

del espacio vectorial de polinomios en n variables de grado < `. La dimension

dimK

(OV,P /〈f1, . . . , fn〉

)se llama el ındice o multiplicidad de interseccion de los divisores D1, . . . , Dn en elpunto P de V y se denota mediante

(D1 · · ·Dn)P .

Observe que el ındice de interseccion anterior no depende de las ecuaciones localesf1, . . . , fn de los divisores D1, . . . , Dn, ya que si g1, . . . , gn son otras ecuacioneslocales, entonces gi = fiui con ui unidades de OV,P y por lo tanto 〈f1, . . . , fn〉 =〈g1, . . . , gn〉.

Supongamos ahora queD1, . . . , Dn son divisores arbitrarios no necesariamenteefectivos. Por x.xx los podemos representar en forma unica como

Di = D′i −D′′icon D′i, D

′′i efectivos y sin componentes en comun. Observe ahora que para cual-

quier permutacion de los ındices i1, . . . , in y cualquier k entre 1 y n, los divisores

D′i1 , . . . , D′ik, D′′ik+1

, . . . , D′′in

estan en posicion general en P porque

suppDi = suppD′i ∪ suppD′′iy ası

0 = dimP

(⋂i

suppDi

)= dimP

((⋂i

suppD′i)∪(⋂

i

suppD′′i))

y por lo tanto 0 = dimP⋂i suppD′i = dimP

⋂i suppD′′i .

Se define entonces el ındice o multiplicidad de interseccion en P de los diviso-res arbitrarios D1, . . . , Dn como

(D1 · · ·Dn)P =∑i1,...,in

∑0≤k≤n

(−1)n−k(D′i1 · · ·D′′ikD′′ik+1

· · ·D′′in)P

y se define el ındice o multiplicidad de interseccion de D1, . . . , Dn como

(D1 · · ·Dn) =∑

P∈suppDi

(D1 · · ·Dn)P ,

170 5. INTERSECCION

notando que la suma se puede extender a todo V poniendo cero para los puntosfuera del soporte suppDi.

Capıtulo6Resolucion de singularidades

El problema general es el siguiente: dada una variedad algebraica V sobre uncampo (algebraicamente cerrado)K, se desea encontrar otra variedad algebraica V ′

lisa y una aplicacion biracional f : V ′ 99K V tal que:(i) f : V ′ 99K V induce un isomorfismo (biregular) f : V ′ → Vlisos,

(ii) f : V ′ 99K V es biracional, por lo tanto es dominante, y ası V ′ se parecemucho a V . Es decir, esencialmente V ′ no cambia mucho de V , pero almismo tiempo sı la cambia porque V ′ no tiene singularidades.

El problema general fue resuelto por H. Hironaka para el caso cuando la carac-terıstica del campo es 0, con la consecuencia adicional de que

(iii) La variedad V ′ y el morfismo f : V ′ 99K V se obtienen mediante unasucesion de dilataciones1 de subvariedades lisas sobre el lugar singularVsing de V

El procedimiento de dilatacion es un metodo de modificar explıcitamente unavariedad dada metiendola en una variedad lisa de la misma dimension que la varie-dad pero metida en un ambiente de dimension mayor donde hay mas espacio paramover la parte singular que se quiere quitar y esencialmente remover una subvarie-dad W de V reemplazando sus puntos por el conjunto de direcciones normales deW en V . En general, si V y W son lisas, la subvariedad W se reemplaza por la pro-yectivizacion de su haz normal. En particular, cuando W = {P} es un punto de Vy V es liso, entonces el punto P se reemplaza por el espacio proyectivo PdimV−1.El metodo de dilataciones permite seguir el cambio geometrico en el proceso deresolucion de singularidades.

1El termino usual en aleman es aufblasen que se traduce como inflacion, i.e., como inflar unglobo. En ingles la expresion usual es blow-up, que entre sus varias acepciones tiene la de soplar parainflar un globo, dilatandolo. En el proceso que describiremos, en el caso cuando K = C y se dilataun punto en una superficie (compleja) lo que se hace es reemplazar el punto por una copia de P1

C quetopologicamente es la esfera de Riemann, lo cual coincide con la acepcion de inflar o dilatar. Unaacepcion mas violenta de la expresion inglesa blow-up es la de explotar o la de una explosion. Noteque para resolver o desaparecer una singularidad, si la imagen geometrica que se tiene es la de unaexplosion en la singularidad, es de esperarse que en lugar de desaparecer la singularidad se harıa peor,pero desafortunadamente en espanol (y en frances) se ha hecho popular el termino violento.

171

172 6. RESOLUCION DE SINGULARIDADES

Para el caso de curvas algebraicas, la resolucion de singularidades ha sido es-tudiada casi desde el inicio del estudio de la geometrıa de curvas y existen variosmetodos para resolver las singularidades de una curva y al final todos estos metodosson solo variaciones del mismo procedimiento.

Despues de algunas generalidades sobre la resolucion de singularidades y de ladescripcion del procedimiento de dilatacion, en este capıtulo consideraremos soloel caso de curvas.

6.1. DilatacionesEn la seccion §4.6 vimos que una equivalencia biracional entre curvas proyec-

tivas lisas f : C 99K C ′ es un isomorfismo (biregular). Para variedades de dimen-sion mayor, lo anterior ya no es cierto en general. En esta seccion estudiamos laequivalencia biracional mas sencilla, pero muy importante, que no es regular. Laconstruccion es como sigue:

Dilatacion de un punto de An. Considere el espacio afın An con coordenadas(x1, . . . , xn) y el espacio proyectivo Pn−1 con coordenadas homogeneas [y1, . . . , yn].En el producto An × Pn−1 denotamos sus puntos como [x1, . . . , xn; y1, . . . , yn].Considere entonces el subconjunto cerrado Π ⊆ An × Pn−1 definido por las ecua-ciones homogeneas xiyj = xjyi, es decir,

Π = V(xiyj − xjyi : 1 ≤ i, j ≤ n

)⊆ An × Pn−1

y considere la proyeccion pr1 : An × Pn−1 → An. Se tiene ası el diagrama

Π � � j //

π$$JJJJJJJJJJJ An × Pn−1

pr1��An

donde a la composicion π := pr1 ◦j : Π → An se le llama la dilatacion de An enel punto 0 = (0, . . . , 0). En ocasiones se dice que Π es la dilatacion de An en 0.

La aplicacion π : Π→ An tiene las propiedades siguientes:

(1): Si P 6= 0 en An, la fibra π−1(P ) ⊆ Π consiste de un unico punto, ya que siP = (a1, . . . , an) con algun ai 6= 0, entonces (P ; y1, . . . , yn) ∈ π−1(P ) quieredecir que sus coordenadas satisfacen las ecuaciones xiyy = xjyi, es decir, aiyj =ajyi, y como ai 6= 0, se sigue que yj = (aj/ai)yi para todo j y por lo tanto[y1, . . . , yn] esta unıvocamente determinado como punto de π−1(P ); de hecho, no-tando que aiyj = ajyi con ai 6= 0 implica yi 6= 0, se puede escoger yi = ai yconsecuentemente yj = aj para todo j y ası [y1, . . . , yn] = [a1, . . . , an]. Se sigue

6.1. DILATACIONES 173

que π−1(P ) = {(a1, . . . , an; a1, . . . , an)}. Mas aun, para P = (a1, . . . , an) 6= 0 lafuncion

ψ : An − {0} → Πdada por ψ(a1, . . . , an) = (a1, . . . , an; a1, . . . , an) es un morfismo inverso de π ypor lo tanto

Π− π−1(0) ' An − {0}.

(2): SiP = 0, se tiene que π−1(0) ' Pn−1. En efecto, todos los puntos [y1, . . . , yn] ∈Pn−1 satisfacen las ecuaciones xiyj = xjyi que definen Π porque las xi = 0 paratodo i. Se sigue que

π−1(0) = {(0, . . . , 0; y1, . . . , yn) : [y1, . . . , yn] ∈ Pn−1} = {0} × Pn−1 ' Pn−1.

(3): Observe ahora que los puntos de π−1(0) ' Pn−1 estan en correspondenciabiunıvoca con el conjunto de rectas L de An que pasan por el origen. En efecto,una recta que pasa por el origen de An se puede parametrizar mediante xi = ait,1 ≤ i ≤ n, con los aj ∈ K no todos cero y t ∈ A1. En esta recta L la aplicacion ψtiene la forma:

ψ(x1, . . . , xn) = [x1, . . . , xn; a1, . . . , 1, . . . , an]

(con un 1 en lugar de ai, escogiendolo tal que ai 6= 0). Se sigue que ψ es regularcuando se restringe a L y como los polinomios que definen ψ son lineales, entoncesla imagen ψ(L) es una recta en Π que intersecta a la fibra π−1(0) = 0×Pn−1 en elpunto 0× [a1, . . . , 1, . . . , an] = [a1, . . . , an] =: Q ∈ Pn−1. Se sigue que ψ mandaL a Q y es claro que esta es una correspondencia biunıvoca entre las rectas L por elorigen de An y los puntos de π−1(0) ' Pn−1.

(4): Podemos interpretar la observacion anterior como sigue: la aplicacion ψ noesta definida en el 0 ∈ An (de hecho, ψ : An−{0} → Π) sin embargo, restringiendoψ a rectas L por el origen de An se obtiene una aplicacion regular ψ : L → Π, yentonces podemos utilizar esta aplicacion regular para definir ψ en 0. Note quevariando2 las rectas L se obtienen todos los puntos de 0 × Pn−1. Dicho en otraspalabras, la indeterminacion que hay para definir ψ(0) se controla al ver que susposibles valores son los puntos del subespacio 0×Pn−1. Ası, aunque ψ no es regularen 0, mediante el procedimiento anterior se obtienen no puntos arbitrarios de Π sinounicamente los puntos de 0×Π ⊆ Π. En este sentido la aplicacion racional ψ dilatao infla el origen 0 de An a 0×Pn−1 ' Pn−1. Cuando n = 2 y se tiene el plano afın

2En el caso cuando K = C, lo anterior se puede interpretar pensando que se puede definir ψ(P )para P ∈ L y luego se hace tender P → 0 en la direccion de L para definir ψ(0) como el lımite,notando que lo anterior depende de la eleccion de la recta L, i.e., el lımite depende de la direccion enque se tome.


A2, la aplicacion ψ dilata el origen 0 a 0×P1 ' P1, que en el caso cuando K = C,topologicamente es la esfera de Riemann, y como mencionamos en la primera notaal pie de pagina, esta es la ((imagen geometrica)) que explica el nombre del procesoanterior. La figura siguiente ilustra el caso n = 2 para las aplicaciones

π : Π→ A2 y ψ : A2 99K Π

y su accion en las rectas L que pasan por el origen deA2. Note que las rectas π−1(L)intersectan la recta 0 × P1 ' P1 en puntos que no cambian cuando L rota en A2

alrededor del origen. Ası, Π se parece a un lazo de una helice:

(5): Veamos a continuacion la estructura de Π en puntos de la dilatacion, es decir,en puntos de la forma [0; y1, . . . , yn] ∈ 0 × Pn−1. Para comenzar, algun yi 6= 0 ypor lo tanto el punto [0; y1, . . . , yn] esta en el abierto Ui determinado por yi 6= 0, ypodemos entonces suponer que yi = 1 por lo que las ecuaciones xiyj = xjyi quedeterminan Π toman la forma

xiyj = xj 1 ≤ j 6= i ≤ n.Se sigue que Ui es isomorfo al espacio afın con coordenadas (y1, . . . , xi, . . . , yn).En particular, Π es liso.

(6): Probaremos ahora que Π es irreducible. En efecto, hemos visto que

Π =(Π− π−1(0)

)∪(π−1(0)

)=(Π− 0× Pn−1

)∪(0× Pn−1

)donde Π − 0 × Pn−1 es isomorfo a An − 0 y por lo tanto es irreducible. Tambien,hemos visto que cada punto de la fibra π−1(0) = 0 × Pn−1 es la cerradura de unarecta L en An − 0 ' Π− π−1(0), es decir,

ψ(L) ⊆ Π− 0× Pn−1)

y por lo tantoψ(L) ∩ (0× Pn−1)) ⊆ Π− 0× Pn−1).

Y como variando la recta L obtenemos todos los puntos de 0× Pn−1, se sigue que0 × Pn−1 ⊆ Π− 0× Pn−1) y ası el irreducible Π − π−1(0) = Π − 0 × Pn−1 esdenso en Π y por lo tanto Π es irreducible.

(7): Para un punto arbitrario P0 ∈ An, mediante un cambio de variables lineal (unatraslacion) se traslada P0 a 0 y se define entonces la dilatacion de P0 como antes.

(8): Finalmente, note que si n = 1 y P0 = 0 ∈ A1, entonces

Π = {(P, `) ∈ A1×P0 : P ∈ ` donde ` ⊆ A1 es una recta que pasa por el origen}y como solo hay una tal recta ` = A1, entonces

Π = {(P, `) : P ∈ ` = A1} = A1,

es decir, Π ' A1 × P0 ' A1, i.e., no sucede nada al dilatar el 0 ∈ A1. Por eso soloel proceso de dilatacion solo tiene interes cuando n ≥ 2.


Dilatacion de un punto de una variedad afın. En la subseccion anterior se di-lato un punto P0 ∈ An. Consideremos ahora una variedad afın arbitraria V dedimension n y un punto liso P0 ∈ V . Sean f1, . . . , fn ∈ K[V ] tales que

(i) {P0} = V(f1, . . . , fn). Recuerde que como P0 tiene dimension cero ydimV = n, entonces P0 tiene codimension n en V y por lo tanto existentales funciones f1, . . . , fn ∈ K[V ].

(ii) Las funciones f1, . . . , fn forman un sistema local de coordenadas en P0.Considere ahora el producto V ×Pn−1 y la subvariedad Π ⊆ V ×Pn−1 formada

por los puntos (P ; y1, . . . , yn) donde P ∈ V y [y1, . . . , yn] ∈ Pn−1 satisfacen lasecuaciones

fi(P )yj = fj(P )yi, 1 ≤ i, j ≤ n.Sea π : Π→ V la restriccion de la proyeccion V × Pn−1 → V . Entonces, π es

regular y se dice que es la dilatacion local centrada en P0 de V .Observe que en la definicion anterior se uso que V es afın, porque si V fuera

proyectiva no existirıan funciones regulares no constantes fi ∈ K[V ]. Note que, siV fuera proyectiva, se podrıa tomar la subvariedad afın V0 ⊆ V definida por x0 6= 0para dilatar un punto P0 ∈ V0.

Se tienen las propiedades analogas a las de la dilatacion de un punto de An:

(1): La aplicacion regular π : Π→ V induce un isomorfismo

π : Π− P0 × Pn−1 ' V − P0.

(2): En un punto Q ∈ π−1(P0), Q = [y1, . . . , yn] con algun yi 6= 0, poniendozj = yj/yi para j 6= i, las ecuaciones que definen Π toman la forma

fj(Q) = fi(Q)zj 1 ≤ j 6= i ≤ n.Se sigue que el ideal maximo mQ correspondiente a Q es de la forma

mQ = 〈f1 − f1(Q), . . . , fn − fn(Q); z1 − z1(Q), . . . , zn − zn(Q)〉= 〈z1 − z1(Q), . . . , fi − fi(Q), . . . , zn − zn(Q)〉

ya que

fj − fj(Q) = fizj − fi(Q)zj(Q) = fi(zj − zj(Q)) + (fi − fi(Q))zj(Q)

y por lo tantodimK TQΠ ≤ n,

pero como dimπ−1(V−P0) = dim(V−P0) = dimV = n, entonces dimK TQΠ =n y por lo tanto la variedad Π es lisa en todos los puntos Q ∈ π−1(V − P0).

(3): Ahora, Π = π−1(V − P0) ∪ (P0 × Pn−1) y ası o Π es irreducible (y por lotanto coincide con la cerradura π−1(V − P0)) o tiene una componente isomorfa aPn−1 (en cuyo caso las dos componentes de Π se intersectan ya que de lo contrarioπ−1(V − P0) serıa cerrado y por lo tanto su imagen V − P0 tambien serıa cerrada


por 4.33; se seguirıa entonces que el punto de interseccion de las dos componentesde Π serıa un punto liso, lo cual contradice el

Se sigue que Π es irreducible y liso y z1−z1(Q), . . . , fi−fi(Q), . . . , zn−zn(Q)son parametros locales en Q = [y1, . . . , yn] ∈ π−1(P0) con yi 6= 0.

Dilatacion de una subvariedad de An. Supongamos ahora que V ⊆ An es unavariedad afın que pasa por un punto P0 ∈ An. La dilatacion de V en el punto P0 esla variedad

V = π−1(V − P0) ⊆ Π

donde π : Π→ An es la dilatacion de An en P0 descrita anteriormente. Denotemoscon π : V → V la restriccion de π a V .

(1): Como π : Π− π−1(P0)→ An − P0 es regular, induce un isomorfismo

V − π−1(P0) ' V − P0

y ademas

π : V → V

es un morfismo (regular) que es una equivalencia biracional.

(2): Observe ahora que, por la forma en que se definio π : V → V , su efecto en Vcerca de P0 es separar las diferentes direcciones dadas por las rectas que pasan porP0. El ejemplo siguiente ilustra lo anterior:

Ejemplo 1. Sea V = V(y2 − x3 − x2) ⊆ A2 la cubica nodal:

-

6

El objetivo al dilatar la singularidad 0 de la cubica nodal V es separar las dosramas de la curva que pasan por 0 reemplazando la singularidad 0 por dos puntos


que corresponden a las dos rectas tangentes a V en 0. El metodo consiste en reem-plazar el punto 0 por el conjunto de todas las rectas deA2 que pasan por 0. Recuerdeprimero que

Π = {(x, y; t, u) : (x, y) ∈ A2, [u, t] ∈ P1, satisfacen tx = uy} ⊆ A2 × P1

y como P1 esta cubierto por los abiertos afines D(t) y D(u), observe ahora que:

(i): En D(u) podemos escoger u = 1 y usar t como parametro afın: [u, t] = [1, t] ypor lo tanto la ecuacion tx = uy que define Π se vuelve y = tx en A2 ×D(1) ⊆A2 × P1.

(ii): En D(t) podemos escoger t = 1 y usar u como parametro afın: [u, t] = [u, 1]y por lo tanto la ecuacion tx = uy que define Π se vuelve x = uy en A2 ×D(1) ⊆A2 × P1.

(iii) Se sigue que Π es la union de las dos piezas afines anteriores:

Π = V(y − xt) ∪ V(yu− x).

(•) Analizaremos primero la pieza afın de Π correspondiente aD(u), donde la ecua-cion que define a Π es de la forma y = tx. Ası, la parte afın correspondiente de Πesta dada por

Π = {(x, y, t) ∈ A2 × A1 : y = tx}la cual es una superficie afın irreducible en A3 y se tiene la proyeccion

π : Π→ A2

dada por π(x, y, t) = (x, y), cuyas fibras π−1(x, y) son de la forma:

(1): Si x 6= 0, la fibra π−1(x, y) = {(x, y, y/x)} consiste de un unico punto.

(2): Si x = 0 pero y 6= 0, la fibra π−1(0, y) = ∅, por la igualdad y = tx = t(0) = 0.

(3): Si x = 0 = y, i.e., el punto 0, la fibra π−1(0, 0) es la recta E ⊆ A3 dada porlos puntos de la forma (0, 0, t) variando t ∈ K. A esta recta E1 se le llama la rectaexcepcional.

(4): Por la parte (1), si x 6= 0, es decir en puntos P = (x, y) ∈ A2 − 0, la fibraπ−1(P ) consiste de un unico punto y por lo tanto la funcion

π : Π− π−1(0)→ A2 − 0

es invertible y su inversa π−1 : A2 − 0 → Π − π−1(P ) esta dada por π−1 :(x, y) 7→ (x, y, y/x), que claramente es regular porque x 6= 0. Es decir, se tiene unisomorfismo biregular

π : Π− π−1(0) ' A2 − 0.(5): Por la parte (3), si x = 0 = y, la fibra

π−1(0) = {(0, 0; t, 1) : [t, 1] ∈ P1} = 0× P1


es la misma recta E1 de (3) pero vista como puntos de P1 determinados por laspendientes t de E1.

(6): Ahora, para obtener la parte V1 de la imagen inversa global de la cubica nodalV ⊆ A2, i.e., para π−1(V ) ⊆ Π, se tienen que resolver las ecuaciones

y2 = x3 + x2

y = tx

en A2 × A1 = A3. Esto se hace substituyendo y = tx en la primera ecuacion paraobtener x2(x− t2 + 1) = 0, es decir,

V1 = π−1(V ) = V(y − tx, y2 − x3 − x2) = V(x2(x− t2 + 1)) ⊆ A3

la cual notamos que es reducible y tiene dos componentes:

E1 = V(x2) = V(x) = {(x, y, t) : x = 0⇒ y = 0; t arbitrario}que es una recta, la recta excepcional, que claramente es irreducible. La otra com-ponente es:

V1 = V(x− t2 + 1) = {(x, y, t) : x = t2 − 1, y libre}

a la que se conoce como la transformada estricta de la curva V . Para ver que V1 esirreducible y lisa observe que la proyeccion π′ : Π → A2 dada por π′ : (x, y, t) 7→(x, t) al restringirla a V1 es un isomorfismo

π′ : V1 = {(x, y, t) : x = t2 − 1, y libre} → V ′′

donde V ′ = V(x − t2 + 1) ⊆ A2 es una parabola (que es lisa e irreducible); elinverso de π′ es el morfismo (x, t) 7→ (x, xt, t).

(7): Observe que V1 intersecta a la recta excepcionalE1 en los dos puntos [0, 0,±1, 1](poniendo x = t2− 1 = 0) que corresponden a las pendientes de las tangentes a lasdos ramas de V en 0.

(•) Analizaremos ahora la pieza afın de Π correspondiente a D(t), donde la ecua-cion que define a Π es de la forma x = uy. Ası, la parte afın correspondiente de Πesta dada por

Π = {(x, y, t) ∈ A2 × A1 : x = uy}la cual es una superficie afın irreducible en A3 y se tiene la proyeccion

π : Π→ A2

dada por π(x, y, u) = (x, y).

(8): Todo es igual al caso anterior, la unica diferencia es con la imagen inversade la cubica V = V(y2 − x3 − x2) donde al substituir x = yu se obtiene quey2 − y3u3 − y2u2 = 0, es decir,

V2 = π−1(V ) = V(yu− x, y2 − x3 − x2) = V(y2(1− u2(yu+ 1))) ⊆ A3


que tiene dos componentes:

E2 = V(y2) = V(y) = {(x, y, u) : y = 0⇒ x = 0; u arbitrario}

que es una recta, la recta excepcional, que claramente es irreducible. La otra com-ponente es:

V2 = V(1− u2(yu+ 1)) = {(x, y, u) : yu3 + u2 = 1, x libre}

a la que se conoce como la transformada estricta de la curva V . Para ver que V2 esirreducible y lisa observe que la proyeccion π′ : Π→ A2 dada por π′ : (x, y, u) 7→(y, u) al restringirla a V2 es un isomorfismo

π′ : V2 = {(x, y, t) : yu3 + u2 = 1, x libre} → V ′′

donde V ′′ = V(yu3 + u2 − 1) ⊆ A2 es lisa e irreducible; el inverso de π′ es elmorfismo (y, u) 7→ (yu, y, u).

(9): Resumiendo, hemos mostrado que

π−1(V ) ∩D(u) = E1 ∪ V1

π−1(V ) ∩D(t) = E2 ∪ V2

donde

E1 = V(x) y V1 = V(t2 − x− 1) ⊆ D(u) ' A2

E2 = V(y) y V2 = V(1− u2(uy + 1)) ⊆ D(t) ' A2

Note tambien que:

E1 = π−1(0) ∩D(u) ' A1

E2 = π−1(0) ∩D(t) ' A1

por lo queπ−1(0) = E1 ∪ E2 ' P1

y ası la transformada estricta de V es

V = V1 ∪ V2

donde V1 y V2 son lisas y consecuentemente V tambien es lisa.Finalmente, note que en D(u) ∩D(t), si tu = 1 se obtiene que

V1 ∩ π−1(0) = V2 ∩ π−1(0)

y por lo tanto V ∩ π−1(0) consta de dos puntos que son los puntos de V ∩ E.

(10) Finalmente, observamos que el morfismo

π : V → V


es una resolucion de singularidades de V . La figura siguiente ilustra lo que sucedecon la cubica nodal vista en la dilatacion:

EjerciciosEJERCICIO 1. Razonando como en el ejemplo 1, analice la dilatacion de la cubicaV = V(y2 − x3) ⊆ A2 con centro en el origen. En particular, muestre que latransformada estricta V = π−1(V − 0) es lisa y es tangente a la recta excepcionalE en un unico punto. Bosqueje una figura del proceso.

6.2. Dilataciones en general. Formulacion algebraicaSi A es un anillo conmutativo (en el caso geometrico A = K[V ] es una K-

algebra de tipo finito) y si I ⊆ A es un ideal (en el caso geometrico I ⊆ K[V ]corresponde a un subconjunto algebraico W ⊆ V ), las potencias Ik son A-modulosque satisfacen la condicion de que IjIk ⊆ Ij+k, para todo j, k ≥ 0, donde se defineI0 = A, y por lo tanto se tiene una estructura de anillo graduado en la suma directa

BIA =⊕k≥0

Ik = A⊕ I ⊕ I2 ⊕ · · ·

a la que se conoce como el algebra de dilatacion. Supongamos ahora que I =〈f1, . . . , fk〉 y considere el anillo de polinomios homogeneos A[y1, . . . , yk] y elepimorfismo de A-algebras graduadas

ϕ : A[y1, . . . , yk]→ BIA

definido mediante yi 7→ fi. Entonces, el nucleo de ϕ es un ideal homogeneo enA[y1, . . . , yk]. Observe ahora que si A = K[V ] con V ⊆ An, entonces

A[y1, . . . , yk] = K[V ][y1, . . . , yk] ' K[V × Pk−1],

es decir, la algebra A[y1, . . . , yk] corresponde al producto de variedades V × Pk−1

y por lo tanto el ideal homogeneo kerϕ ⊆ K[V ][y1, . . . , yk] = K[V × Pn−1]corresponde a un subconjunto algebraico

BW (V ) ⊆ V × Pk−1

a la que conoce como la dilatacion de V a lo largo de W , donde W ⊆ V es elsubconjunto algebraico correspondiente al ideal I ⊆ K[V ]. El morfismo (regular)

π : BW (V )→ V

dado por la restriccion de la proyeccion en el primer factor pr1 : V ×Pk−1 → V sellama el morfismo de dilatacion o transformacion monoidal de V a lo largo de W .

6.2. DILATACIONES EN GENERAL. FORMULACION ALGEBRAICA 181

Probaremos a continuacion que la clase de isomorfismo de BW (V ) no dependede la eleccion de los generadores f1, . . . , fk del ideal I ⊆ K[V ] correspondiente alsubconjunto algebraico W ⊆ V :

LEMA 6.1. SeanB ⊆ V ×Pk−1,B′ ⊆ V ×Pt−1 subconjuntos algebraicos definidospor ideales homogeneos J ⊆ K[V ][y1, . . . , yk], J ′ ⊆ K[V ][y′1, . . . , y

′t], respecti-

vamente. Sean π : B → V y π′ : B′ → V los morfismos regulares dados por lasrestricciones de las proyecciones respectivas en el primer factor. Supongamos queexiste un isomorfismo de K[V ]-algebras

ϕ : K[V ][y′1, . . . , y′t]/J

′ '−→ K[V ][y1, . . . , yt]/J.

Entonces, existe un isomorfismo (biregular) f : B → B′ tal que π = π′ ◦ f , i.e., eldiagrama siguiente conmuta:

Bf //

π��@

@@@@

@@B′

π′~~}}}}

}}}

V

Demostracion. Pongamos yi = yi mod J y y′i = y′i mod J ′ y supongamos queϕ esta dado por

ϕ(y′i) = Fi(y1, . . . , yk) 1 ≤ i ≤ tdonde Fi ∈ K[V ][y1, . . . , yk]. Como ϕ es un isomorfismo de K[V ]-algebras gra-duadas, se sigue que los Fi son polinomios lineales homogeneos con coeficientesen K[V ], i.e., son funciones regulares en V . Note ahora que el valor de Fi en unpunto (P ;Q) = (P ; b1, . . . , bk) ∈ V × Pk−1 se calcula substituyendo P en loscoeficientes de Fi y substituyendo las coordenadas homogeneas bj por las variablesyj . Se define entonces f : B → B′ mediante

f(P ;Q) =(P ;F1(P ;Q), . . . , Ft(P ;Q)

).

Claramente f es una aplicacion regular y el diagrama del enunciado conmuta. Ob-serve ahora que como ϕ es invertible, existe ψ = (G0, . . . , Gk) con los Gj ∈K[V ][y′1, . . . , y

′t] tales que

Fi(G1(b′1, . . . , b

′t), . . . , Gk(b

′1, . . . , b

′t))

= b′i para todo i = 1, . . . , t

Gj(F1(b1, . . . , bk), . . . , Ft(b1, . . . , bk)

)= bj para todo j = 1, . . . , k

y se define entonces g : B′ → B mediante

g(P ;Q′) =(P ;G1(P ;Q′), . . . , Gk(P ;Q′)

)donde Q′ = (b′1, . . . , b

′k). Las igualdades para Fi y Gj de arriba implican que f y g

son inversos uno del otro. �


Nuestro objetivo ahora es encontrar ecuaciones explıcitas para la dilatacionBW (V ) y para ello necesitatemos hipotesis adicionales sobre V y W ⊆ V .

Desde un punto de vista algebraico, lo que necesitaremos es lo siguiente: si Aes un anillo conmutativo, una sucesion de elementos f1, . . . , fk de A se dice que esuna sucesion regular si el ideal generado 〈f1, . . . , fk〉 es propio, f1 no es divisor decero de A y para todo i ≥ 2 la imagen de fi en A/〈f1, . . . , fi−1〉 no es un divisorde cero.

Ejemplo 2. Si A = K[x1, . . . , xn], entonces x1, . . . , xn es una sucesion regular.Note que si V es una variedad afın irreducible, entonces K[V ] es un dominio

entero, y si W ⊆ V es una subvariedad irreducible e I = I(W ) = 〈f1, . . . , fn〉 conlos fi ∈ K[V ], entonces f1 no es divisor de cero en K[V ] y

Ejemplo 3. Si f1, . . . , fn es una sucesion regular de A, entonces f i11 , . . . , finn tam-

bien es una sucesion regular, para cualesquiera it ≥ 1. Tambien, cualquier subcon-junto fi+1, . . . , fn es una sucesion regular de A/〈f1, . . . , fi〉.

TEOREMA 6.2. Si f1, . . . , fn es una sucesion regular en un dominio entero A, parael ideal I = 〈f1, . . . , fn〉, el nucleo del morfismo que manda yi en fi

ϕ : A[y1, . . . , yn]→ BI(A)

esta generado por los polinomios

fiyj − fjyi, 1 ≤ i, j ≤ n.

Demostracion. Sea J = 〈fiyj − fjyi〉 ⊆ A[y1, . . . , yn] y note que cada fiyj −fjyi ∈ kerϕ por definicion de ϕ. Resta probar que kerϕ ⊆ J . Para esto, pongamosA1 := Af1 , I1 = 〈f2/f1, . . . , fn/f1〉 ⊆ A1 y definamos

ϕ1 : A[y2, . . . , yn]→ A1 ⊕ I1 ⊕ I21 ⊕ · · ·

mediante yi 7→ fi/f1. Mostraremos que

(∗) kerϕ1 = 〈f1yi − fi : i ≥ 2〉 =: J1.

Asumiendo por un momento que (∗) ha sido demostrado, observe que para todoF ∈ kerϕ homogeneo de grado d, como F esta en el nucleo de ϕ : yi 7→ fi,entonces F (f1, . . . , fn) = 0. Ası, despues de deshomogeneizar con respecto a y1 seobtiene que

F (1, f2/f1, . . . , fn/f1) =1fd1F (f1, . . . , fn) = 0

y por lo tanto F (1, y2, . . . , yn) ∈ kerϕ1, y ası, por (∗) se tiene que

(∗∗) F (1, y2, . . . , yn) =∑i≥2

gi

( 1f1, y2, . . . , yn

)(f1yi − fi)


y note que para los coeficientes gj existe un enteroN ≥ 0 tal que yN1 gj ∈ A[y1, . . . , yn].Analogamente, cambiando y1 con yi y f1 con fi se obtiene que yNi gj ∈ A[y1, . . . , yn],para todo i = 1, . . . , n. Ahora observe que

fiyj − fjyi = (f1yj − fj)yi − yj(f1yi − fi)

y ası (∗∗) dice que existe un entero N tal que

yNi F ∈ 〈fiyj − fjyi〉

para todo i = 1, . . . , n. Ahora, como lo que queremos es que F ∈ 〈fiyj−fjyi〉 = J ,considere el A-submodulo M de A[y1, . . . , yn]/J generado por F . Como para todoi se tienen las igualdades yNi F = 0 en M , entonces M es un A-modulo finitamentegenerado (sus generadores son F y las potencias yki F con k < N . Ahora, paracualquier ideal maximo m ⊆ A, sea

pij = (fi mod m)yj − (fj mod m)yi

y note que el ideal generado por los polinomios lineales pij en (A/m)[y1, . . . , yn]es primo y por lo tanto las igualdades yNi F = 0 en M ⊆ A[y2, . . . , yn]/J implicanque M ⊗A A/m = 0 y por el lema de Nakayama se sigue que Mm = 0 para todoslos ideales maximos m de A y consecuentemente M = 0, lo que quiere decir queF ∈ J , como se querıa.

Resta probar la igualdad (∗) y para comenzar note que podemos ver al epimor-fismo ϕ1 como

ϕ1 : A[y2, . . . , yn]→ A1[f2/f1, . . . , fn/f1]

donde A1 = Af1 . De nuevo, es claro que cada generador f1yi − fi ∈ kerϕ1.Recıprocamente, si F ∈ kerϕ1, por induccion sobre n ≥ 2 mostraremos que F ∈〈f1yi − fi; i ≥ 2〉. En efecto, para n = 2 el morfismo ϕ1 : A[y2] → A1[f2/f1]manda y2 7→ f2/f1 y como F ∈ kerϕ1, entonces 0 = ϕ1(F (y2)) = F (f2/f1).Ahora, usando el algoritmo de la division vemos que existen d ≥ 1,G(y2) ∈ A[Y2],R ∈ A tales que

fd1F (y2) = G(y2)(f1y2 − f2) +R

y como F (f2/f1) = 0, substituyendo y2 7→ f2/f1 en la igualdad anterior se tieneque

0 = fd1F (f2/f1) = G(f2/f1)(f1(f2/f1)− f2) +R = R

es decir,

(∗ ∗ ∗) fd1F (y2) = G(y2)(f1y2 − f2)

y considerando esta igualdad modulo fd1 (recordando que {fd1 , f2} es una sucesionregular) se sigue que

G(y2)(f1y2 − f2) ≡ 0 (mod fd1 )


y por lo tanto todos los coeficientes de G(y2) son divisibles por fd1 . Entonces, comofd1 no es divisor de cero, se puede cancelar el factor fd1 en (∗ ∗ ∗) para obtener que

F (y2) = g(y2)(f1y2 − f2)

y consecuentemente F ∈ 〈f1y2 − f2〉, como se querıa.Supongamos ahora que n > 2 y que (∗) es valida para n − 1 ≥ 2. Observe

entonces que ϕ1 es la composicion

A[y2, . . . , yn]ϕ2−→ A1[f2/f1][y3, . . . , yn]

ϕ3−→ A1[f2/f1, f3/f1, . . . , fn/f1]

donde observamos que para A′ = A1[f2/f1] se tiene que

A′/〈f1〉A′ = A′/〈f1, f2〉A′ '(A1/〈f1, f2〉

)[y2]

de donde se sigue que {f3, . . . , fn} es una sucesion regular para A′ ya que lo espara A/〈f1, f2〉. Entonces, por hipotesis de induccion

kerϕ3 = 〈f1yi − fi; i ≥ 3〉y por lo tanto, para F ∈ kerϕ = ker(ϕ3 ◦ ϕ2), como ϕ3(ϕ2F ) = ϕ1F = 0, setiene que ϕ2F ∈ kerϕ3, i.e.,

ϕ2F (y2, . . . , yn) = F (f2/f1, y3, . . . , yn) ∈ kerϕ2

=∑i≥3

gi(f2/f1, y3, . . . , yn)(f1yi − fi)

con gi(y2, . . . , yn) ∈ A[y2, . . . , yn]. Se sigue que

F (y2, . . . , yn)−∑i≥3

gi(f2/f1, y3, . . . , yn)(f1yi − fi) ∈ kerϕ2

y como kerϕ2 = 〈f1y2 − f2〉A[y2, . . . , yn], entonces

F (y2, . . . , yn)−∑i≥3

gi(f2/f1, y3, . . . , yn)(f1yi− fi) = g2(y2, . . . , yn)(f1y2− f2)

de donde se sigue el resultado (∗) deseado. �

Ejemplo 4. Sean A = K[x1, . . . , xn] = K[An], I = 〈x1, . . . , xn〉 ⊆ An, de talforma que V(I) = {0} ⊆ An. Como observamos en el ejemplo 2, la sucesionx1, . . . , xn deK[x1, . . . , xn] es regular. Entonces, por el teorema anterior, el nucleodel morfismo

ϕ : K[x1, . . . , xn; y1, . . . , yn]→ BI(A)que manda yi 7→ xi, esta generado por los polinomios homogeneos

xiyj − xjyi 1 ≤ i, j ≤ ny la dilatacion correspondiente al ideal kerϕ:

B0(An) ⊆ An × Pn−1


con proyeccion π : B0(An)→ An, corresponde al caso geometrico considerado enla primera subseccion de §5.2.

El complejo de Koszul. La afirmacion del teorema 5.8 se puede generalizar comosigue. Sea f1, . . . , fk una sucesion regular en (un dominio entero) A y considere elmodulo libreAk con base e1, . . . , ek. Sea

∧r Ak la r-esima potencia exterior deAk.Ası,

∧r Ak es unA-modulo libre con una base dada por los productos ei1 ∧· · ·∧eircon 1 ≤ i1 < · · · < ir ≤ k. Para cada r = 1, . . . , k se tiene el morfismo

δr :r∧Ak →

r−1∧Ak

dado por

δr(ei1 ∧ · · · ∧ eir) =∑j

(−1)jaijei1 ∧ · · · ∧ eij−1 ∧ eij+1 ∧ · · · ∧ eir

(omitiendo el factor eij ). La generalizacion del teorema previo es:

TEOREMA 6.3. El complejo de A-modulos

0→k∧Ak

δ−→k−1∧

Ak → · · · →2∧Ak

δ−→1∧Ak → A→ A/〈f1, . . . , fk〉 → 0

es exacto.

�

Note que el teorema 5.8 probo la exactitud en∧1Ak.

Lo que resta de esta seccion sera dedicado a probar el resultado principal si-guiente que enuncia las propiedades mas importantes de la dilatacion de un subcon-junto algebraico W ⊆ V :

TEOREMA 6.4. Sean V una variedad afın irreducible y lisa, W ⊆ V un subcon-junto algebraico dado por W = V(I) con I = 〈f1, . . . , fn〉 con los generadoresuna sucesion regular en K[V ]. Sea π : BW (V )→ V la dilatacion de V a lo largode W . Entonces,

(1) Para cualquier abierto distinguido D(f) ⊆ V , con f ∈ K[V ], se tiene que

BW∩D(f)D(f) ' π−1D(f).

(2) π induce un isomorfismo (biregular) fuera de W :

π−1(V −W ) ' V −W.(3) Para todo Q ∈W , la fibra

π−1(Q) ' Pn−1.


(4) Para cualquier componente irreducible Wi ⊆ W , la imagen inversa π−1(Wi)es irreducible y de codimension 1 en BW (V ).

(5) BW (V ) es liso.

Demostracion. (1): Sabemos que K[D(f)] = K[V ]f e I(W ∩D(f)) = I(W )f . SiI(W ) = 〈f1, . . . , fn〉, entonces I(W ∩ D(f)) = 〈f1/1, . . . , fn/1〉 lo que implicaque BW∩D(f)V esta definido por el nucleo del morfismo

ϕf : K[V ]f [y1, . . . , yn]→ K[V ]f ⊕ I(W )f ⊕ I(W )2f ⊕ · · ·

dado por yi 7→ fi/1. Pero claramente este morfismo ϕf es la localizacion del mor-fismo de K[V ]-algebras

ϕ : K[V ][y1, . . . , yn]→ K[V ]⊕ I(W )⊕ I(W )2 ⊕ · · ·dado por yi 7→ fi. Se sigue que

kerϕf = (kerϕ)f

y el resultado se sigue si observamos que el conjunto de ceros de (kerϕ)f esπ−1(D(f)).

(2): Basta probar que para cualquier abierto distinguidoD(f) ⊆ V −W el morfismoπ−1(D(f))→ D(f) es un isomorfismo. Para comenzar, observe que comoD(f) ⊆V −W , entonces W ⊆ V(f), i.e.,

√〈f〉 ⊆ I(W ) porque I(W ) es un ideal radical,

y por lo tanto f ∈ I(W ) y ası 1 = f/f ∈ I(W )f por lo que I(W )f = K[V ]f . Sesigue que el morfismo

ϕ : K[V ]f [y1]→ K[V ]fque manda y1 7→ 1 tiene nucleo kerϕ = 〈y1 − 1〉, y de hecho observe que elmorfismo ϕ es ϕ : K[D(f)][y1]→ K[D(f)], por lo que

B∅D(f) = V〈y1 − 1〉 = D(f)× P0 = D(f),

y por la parte (1), para ∅ = W ∩ D(f), se tiene que B∅D(f) ' π−1(D(f)), dedonde se sigue el resultado (2).

(3): Por el teorema 5.8,

BW (V ) = V(yifj − yjfi) para 1 ≤ i, j ≤ ny como W = V(I), entonces para todo P ∈ W se tiene que f1(P ) = · · · =fn(P ) = 0. Se sigue que, para todo Q ∈ Pn−1 el punto (P ;Q) es un cero de lasecuaciones yifj − yjfi = 0 porque ft(P ) = 0 para todo t. Por lo tanto

π−1(P ) = pr−11 (P ) donde pr1 es la proyeccion V × Pn−1 → V

= P × Pn−1

' Pn−1.


Finalmente, note que como W = V(f1, . . . , fn) ⊆ V , entonces tiene codimensionn en V , i.e., n = dimV − dimW .

(4): Si Wi ⊆ W es cualquier componente irreducible, por la parte (3) la restriccionπ−1(Wi) → Wi tiene fibras isomorfas a Pn−1 que es irreducible. Por el corolario4.33 se sigue que π−1(Wi) es irreducible de dimension n − 1 + dimWi. Final-mente, por el teorema del ideal principal de Krull, W = V(f1, . . . , fn) es purode dimension dimV − n, y como Wi ⊆ W es una componente irreducible, en-tonces dimWi = dimV − n. Se sigue que dimπ−1(Wi) = n − 1 + dimWi =n−1+dimV−n = dimV−1 y como dimV = dimBWV (porque π : BWV → Ves equivalencia biracional), el resultado se sigue.

(5): Por la parte (2) solo falta probar que BW (V ) es liso en los puntos (P ;Q) ∈BW (V ) tales que π(P ;Q) = P ∈ W , es decir, en las fibras sobre puntos de W .Ahora, por la parte (1), π−1U ' BW∩UU , conU afın abierto y por lo tanto podemossuponer que V = U . Ahora, por 5.8,

BWV = V(fiyj − fjyi : 1 ≤ i, j ≤ n) ⊆ V × Pn−1.

Entonces, para (P ;Q) ∈ BWV con P ∈ W , Q ∈ Pn−1, queremos verificar que(P ;Q) es punto liso deBWV . Sin perder generalidad podemos suponer que (P ;Q)esta en parte afın U1 de BWV definida por y1 6= 0. Observe ahora que

y1(fiyj − fjyi) = yi(f1yj − fjy1)− yj(f1yi − fiy1)

y por lo tanto podemos asumir que

BWV = V(f1yi − fiy1 : 1 ≤ i ≤ n)

en una vecindad afın U1 del punto (P ;Q).Ahora, si V = V(g1, . . . , gk) ⊆ Am, con los gi ∈ K[x1, . . . , xm], y si Fi ∈

K[x1, . . . , xm] son representantes de los fi ∈ K[V ] = K[x1, . . . , xm]/√〈g1, . . . , gk〉,

y si zi = yi/y1 para i ≥ 2, entonces BWV esta dado localmente por el sistema deecuaciones siguientes en An × An

gi(x1, . . . , xm) = 0 1 ≤ i ≤ kziF1(x1, . . . , xm)− Fi(x1, . . . , xm) = 0 2 ≤ i ≤ n


cuya Jacobiana es

J =

∂g1∂x1

(P ;Q) · · · ∂g1∂xm

(P ;Q) 0 0 · · · 0...

......

...∂gk∂x1

(P ;Q) · · · ∂gk∂xm

(P ;Q) 0 0 · · · 0

z2∂F1∂x1

(P )− ∂F2∂x1

(P ) · · · z2∂F1∂xm

(P )− ∂F2∂xm

(P ) F1(P ) 0 · · · 0...

......

...zn

∂F1∂x1

(P )− ∂Fn∂x1

(P ) · · · zn∂F1∂xm

(P )− ∂Fn∂xm

(P ) 0 0 · · · F1(P )

donde notamos que la submatriz J1 formada por las primeras m columnas y losultimos n− 1 renglones se obtiene de la matriz Jacobiana de W

JacW =

∂F1∂x1

(P ;Q) · · · ∂F1∂xm

(P ;Q)...

...∂Fn∂x1

(P ;Q) · · · ∂Fn∂xm

(P ;Q)

sumando multiplos zi, para i ≥ 2, a los multiplos por (−1) de todos los renglonesexcepto del primero que se elimina.

Como W es lisa, se sigue que el rango de J1 es ≥ m − dimP W − 1 = m −dimV +n y por lo tanto el rango de J es≥ m+n−dimV = m+n−dimBWV ,lo cual implica que dimBWV ≥ m+n− rango J y por lo tanto BWV es lisa. �

La preimagen

E = π−1(W )

se llama la variedad (divisor) excepcional de la dilatacion π : BWV → V . Noteentonces que el morfismo π ((desinfla)) E al cerrado W de codimension n en V(porque W = V(f1, . . . , fn) tiene codimension n en V ).

Ejemplo 5. Considere la cuadrica V = V(y2 + z2 − x2) ⊆ A3 (un cono) y note quetiene una unica singularidad en 0 = (0, 0, 0). Dilatando esta singularidad obtenemos

Π = B0A3 = {(x, y, z;u, v, w) ∈ A3×P2 : xv−yu = 0, xw−zu = 0, yw−zv = 0}.

Razonando como en el ejemplo 1, como P2 esta cubierto por los abiertos afinesD(u), D(v), D(w), consideraremos separadamente las piezas de Π correspondien-tes:

EJERCICIOS 189

(1) Para la carta u 6= 0, es decir, u = 1, las ecuaciones que definen la dilatacion Πson: xv − y = 0, xw − z = 0, yw − zv = 0, es decir,

x = x

y = xv

z = xw

por lo que la transformada estricta V = π−1(V − 0) de V se obtiene como sigue:

(i): Considere primero el caso cuando x 6= 0 para obtener π−1(V − 0). Entonces,substituyendo las ecuaciones de Π en la ecuacion de V : y2 + z2 − x2 = 0, seobtiene que

0 = y2 + z2 − x2 = (xv)2 + (xw)2 − x2 = x2(v2 + w2 − 1)

y como x 6= 0, entonces v2+w2−1 = 0. Notamos que las condiciones v2+w2−1 =0, x = libre, son las de un cilindro, que es liso:

V1 = V(v2 + w2 − 1) ⊆ A3.

(ii): Falta obtener la fibra π−1(0). Notamos que esta fibra es la interseccion de V1

con la variedad (divisor) excepcional 0 × P2 y por lo tanto en esta carta debemosponer x = 0 ademas de la ecuacion de V1 = V(v2 + w2 − 1) y ası

E1 = π−1(0) = V(v2 + w2 − 1 = 0, x = 0)

y por lo tanto E = π−1(0) es racional, parametrizado por [v, w] ∈ P1.

Finalmente, notamos que las tres cartas de V son simetricas y por lo tanto E esliso y ası E = P1.

La figura siguiente esboza la situacion geometrica anterior:

EjerciciosEJERCICIO 2. Sea M un A-modulo, con A un anillo conmutativo. Demuestre quelas afirmaciones siguientes son equivalentes:

(i) M es libre.(ii) Mm es libre como Am-modulo, para todo ideal maximo m ⊆ A.

EJERCICIO 3. Si A es cualquier anillo conmutativo, f1, . . . , fn es una sucesion re-gular en A e I = 〈f1, . . . , fn〉, demuestre que el morfismo natural

ϕ : (A/I)[y1, . . . , yn]→ grI(A)

dado por yi 7→ fi + I2 es un isomorfismo, donde

grI A =⊕j≥0

Ij/Ij+1 = (A/I)⊕ I/I2 ⊕ I2/I3 ⊕ · · ·


es el anillo graduado asociado.

EJERCICIO 4. Si f1, . . . , fn es una sucesion regular en A e I = 〈f1, . . . , fn〉, de-muestre que para todo primo p ⊇ I tal que Ap 6= 0 se tiene que f1, . . . , fn es unasucesion regular en Ap.

EJERCICIO 5. SiA es un anillo local regular, demuestre que una sucesion (f1, . . . , fn)de elementos del ideal maximo m ⊆ A es una sucesion regular si y solo si

dimA/〈f1, . . . , fn〉 = dimA− n.

EJERCICIO 6. Escriba explıcitamente las cartas afines de la dilatacion de A3 concentro en la variedad lisa W = V(x, y) = el eje Z. Muestre que la dilatacion π :BWA3 → A3 es el producto cartesiano π′ × idZ de la dilatacion π′ : B0A2 → A2

de A2 en el origen con la identidad idZ en el eje Z.

6.3. Resolucion de singularidadesUn morfismo regular π : V ′ → V de conjuntos algebraicos es una resolucion de

singularidades o desingularizacion de V , si V ′ es lisa y π es un isomorfismo sobrecualquier subconjunto abierto de V formado por puntos lisos. El resultado principalen este contexto y cuya demostracion esta todavıa mas alla del nivel de este libro es:

TEOREMA 6.5 (Hironaka). Sea V una variedad algebraica (irreducible) sobre uncampo algebraicamente cerrado de caracterıstica cero. Entonces, existe una suce-sion finita de dilataciones πi : Vi → Vi−1, 1 ≤ i ≤ n, con V0 = V , que sondilataciones a lo largo de subconjuntos cerrados lisos de Vi−1 contenidos en ellugar singular de Vi−1, y tales que la composicion

Vn → Vn−1 → · · · → V1 → V0 = V

es una resolucion de singularidades de V .

El ejemplo siguiente ilustra en forma practica el metodo en un caso que sepuede hacer explıcitamente pero que muestra de alguna manera algunas de las com-plicaciones que pueden aparecer en el caso general. No esta de mas senalar que laresolucion de singularidades para el caso de superficies algebraicas sobre camposalgebraicamente cerrados de caracterıstica cero ya habıa sido obtenida desde prin-cipios del siglo XX y por lo tanto precede al teorema general de Hironaka citadoarriba. La singularidad de la superficie algebraica que consideraremos fue estudiadapor du Val3 hacia 1934.

3du Val, P., “On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunc-tion” I, II and III, Proc. of the Camb. Phil. Soc. 30, 453-459, 460-465 and 483-491 (1934).

6.3. RESOLUCION DE SINGULARIDADES 191

Ejemplo 6. Considere la superficie algebraica V = V(x2+y3+z4) ⊆ A3 y note quetiene una (unica) singularidad en 0 = (0, 0, 0). Sean (x, y, z) coordenadas afines enA3 y [u, v, w] coordenadas homogeneas en P2. La desingularizacion de V se hara envarios pasos:

PASO 1. Considere la dilatacion de A3 en 0,

Π = B0A3 = V(xv − uy, xw − zu, yw − zv) ⊆ A3 × P2

con proyeccion π : Π → A3. Razonando como en el ejemplo 1 y el anterior, comoP2 esta cubierto por los abiertos afines D(u), D(v), D(w), consideraremos separa-damente las piezas de Π correspondientes:

(1) Para la carta u 6= 0, es decir, u = 1, las ecuaciones que definen la dilatacion Πson: xv − y = 0, xw − z = 0, yw − zv = 0, es decir,

x = x

y = xv

z = xw

por lo que la pieza correspondiente de la transformada estricta V = π−1(V − 0) deV se obtiene como sigue:

(i): Considere primero el caso cuando x 6= 0 para obtener π−1(V − 0). Entonces,substituyendo las ecuaciones de Π en la ecuacion de V : x2 + y3 + z4 = 0, seobtiene que

0 = x2 + y3 + z4 = x2 + (xv)3 + (xw)4 = x2(1 + v3x+ w4x2)

y como x 6= 0, entonces 1 + v3x+ w4x2 = 0. Es decir,

V1 = V(1 + v3x+ w4x2) ⊆ A3.

Aplicando el criterio de la Jacobiana (asumiendo que carK 6= 2, 3) a las ecuacionesde V1 obtenemos que

v3 + 2w4x = 0

3v2x = 0

4w3x2 = 0

no tiene solucion (porque x 6= 0) y por lo tanto V1 es lisa en la carta v = 1.

(2) Para la carta v 6= 0, es decir, v = 1, las ecuaciones que definen la dilatacion Πson: x− yu = 0, xw − zu = 0, yw − z = 0, es decir,

x = yu

y = y

z = yw



(i): Considere primero el caso cuando y 6= 0 para obtener π−1(V − 0). Entonces,substituyendo las ecuaciones de Π en la ecuacion de V : x2 + y3 + z4 = 0, seobtiene que

0 = x2 + y3 + z4 = (yu)2 + y3 + (yw)4 = y2(u2 + y + w4y2)

y como y 6= 0, entonces u2 + y + w4y2 = 0. Es decir,

V2 = V(u2 + y + w4y2) ⊆ A3.

Aplicando el criterio de la Jacobiana (asumiendo que carK 6= 2) a las ecuacionesde V2 obtenemos que

u = 0

1 + 2yw4 = 0

w3y2 = 0

no tiene solucion y por lo tanto V2 es lisa en la carta v = 1.

(3) Para la carta w 6= 0, es decir, w = 1, las ecuaciones que definen la dilatacion Πson: xv − yu = 0, x− zu = 0, y − zv = 0, es decir,

x = zu

y = zv

z = z


(i): Considere primero el caso cuando z 6= 0 para obtener π−1(V − 0). Entonces,substituyendo las ecuaciones de Π en la ecuacion de V : x2 + y3 + z4 = 0, seobtiene que

0 = x2 + y3 + z4 = (zu)2 + (zv)3 + z4 = z2(u2 + zv3 + z2)

y como z 6= 0, entonces u2 + zv3 + z2 = 0. Es decir,

V3 = V(u2 + zv3 + z2) ⊆ A3.

Aplicando el criterio de la Jacobiana (asumiendo que carK 6= 2, 3) a las ecuacionesde V3 obtenemos que

u = 0

v3 + 2z = 0

3zv2 = 0

6.3. RESOLUCION DE SINGULARIDADES 193

y ası vemos que tiene una singularidad en u = 0, v = 0, z = 0, es decir, en(0, 0, 0; 0, 0, 1).

(4) Hemos ası mostrado que la transformada inversa propia de V es

V1 = V1 ∪ V2 ∪ V3

con V1 y V2 lisas pero V3 con una singularidad en (0, 0, 0). En cada pieza Vi lasecuaciones x = 0, y = 0, z = 0 correspondientes definen la interseccion de Vi conel divisor excepcional E ' P2:

(i) V1 ∩ E = ∅.

(ii) Vi ∩ E = la recta afın v = 0 en V2 y V3.

Se sigue que la fibra de π : V → V en el origen es la curva

R1 = π−1(0) ' P1.

PASO 2. Como V3 resulto singular, repetimos todos los pasos anteriores con

V3 = V(u2 + v3z + z2) ⊆ A3

dilatando en el origen. Para comenzar, y para evitar la introduccion de demasiadasvariables, en cada paso de la desingularizacion de V , renombramos las variables yponemos

V3 = V(x2 + y3z + z2) ⊆ A3.

Al dilatar A3 en el origen, razonando como en primer paso, obtenemos que la tras-formada estricta V2 de V1 esta cubierta por las partes V1 y V2 anteriores y por tresotras piezas obtenidas de la transformada estricta de V3:

V4 = V(1 + u3vx2 + v3x)

V5 = V(u2 + y2v + v2)

V6 = V(u2 + v3z2 + 1)

y, de nuevo, por el criterio de la Jacobiana resulta que V4 y V6 son lisas pero V5 tieneuna singularidad en (0, 0, 0). Mas aun, la fibra

π−1(0) = R2 ∪R3

es la union de dos curvas, cada una isomorfa a P1. Notamos que la interseccion dela imagen inversa de R1 con R2 y R3 es el punto (u, v, z) = (0, 0, 0) en V5, que esel punto singular de V 2.


PASO 3. Ası, la transformada V 3 estricta de V 2 esta cubierta por V1, V2, V4, V6 yrepetimos el proceso anterior para la pieza

V5 = V(x2 + y3z2 + 1)

donde obtenemos otras tres piezas:

V7 = V(1 + vu2x+ v2)

V8 = V(u2 + v2z + 1)

V9 = V(u2 + vy + v2)

donde las primeras dos son lisas pero V9 es singular. Ası, la transformada estrictaV 3 de V 2 esta cubierta por las piezas lisas V1, V2, V4, V6, V7, V8. Tambien notamosque la fibra

π−1(0) = R4 ∪R5

es la union de dos curvas, cada una isomorfa a P1. En la pieza V9 estas curvas estandadas por v = 0, u = ±

√−1v y se tiene que

La imagen inversa de R1 intersecta R4 y R5 en el punto donde estas dosultimas se cortan.La imagen inversa deR2 intersectaR4 en el punto (u, v, z) = (1,−

√−1, 0).

La imagen inversa deR3 intersectaR5 en el punto (u, v, z) = (1,√−1, 0).

PASO 4. Dilatamos de nuevo para desingularizar V9, reescribiendo primero

V9 = V(x2 + yz + z2)

Obtenemos de nuevo tres piezas

V10 = V(1 + uv + v2)

V11 = V(u2 + v + v2)

V12 = V(u2 + v + 1)

y por el criterio de la Jacobiana, las tres partes son lisas. Es decir, la transformadaestricta V 4 de V 3 esta cubierta por las piezas

V 4 = V1 ∪ V2 ∪ V4 ∪ V6 ∪ V7 ∪ V8 ∪ V10 ∪ V11 ∪ V12

cada una de ellas lisa. Finalmente, la fibra

π−1(0) = R6

es una curva isomorfa a P1, dada por la ecuacion x2 + yz + z2. La imagen inversade R1 intersecta R6 en un unico punto.

EJERCICIOS 195

Resumiendo, hemos obtenido la desingularizacion

π : V4 → V

y la fibraπ−1(0) = R1 ∪R2 ∪R3 ∪R4 ∪R5 ∪R6

con cada Ri ' P1 y se intersectan como se muestra en la figura siguiente:donde notamos que la grafica dual esque es el diagrama de Dynkin E6.

EjerciciosEJERCICIO 7. Desingularice la curva afın V = V(x2 − y2) ⊆ A2 mediante unasucesion de dilataciones del espacio ambiente A2. Describa la curva excepcional dela desingularizacion π : V → V .

EJERCICIO 8. Desingularice la curva afın V = V(y2 − x3) ⊆ A2 mediante unasucesion de dilataciones del espacio ambiente A2. Describa la curva excepcional dela desingularizacion π : V → V .

EJERCICIO 9. Desingularice la curva afın V = V((y − x2)(y − x − x3)) ⊆ A2

mediante una sucesion de dilataciones del espacio ambiente A2. Describa la curvaexcepcional de la desingularizacion π : V → V .

EJERCICIO 10. Desingularice la superficie afın V = V(x2 + y3 + z3) ⊆ A3 me-diante una sucesion de dilataciones del espacio ambiente A3. Describa la variedadexcepcional de la desingularizacion π : V → V .

EJERCICIO 11. Sean A = K[A2] = K[x, y] e I = 〈x, y2〉.(i) Muestre que x, y2 es una sucesion regular.

(ii) Para el morfismo ϕ : A[u, v] → BIA dado por u 7→ x, v 7→ y2, describael conjunto cerrado B = V(kerϕ) ⊆ A2 × P1.

(iii) ¿Es B liso?, ¿irreducible?

Bibliografıa

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197

Indice alfabetico

abiertosdistinguidos, 46

algebrade dilatacion, 178

algebrade tipo finito, 17

algebrafinita, 17

anillode coordenadas afın, 10de coordenadas homogeneo, 57de fracciones, 21de funciones regulares, 60graduado asociado, 188local de una variedad afın, 31normal, 154reducido, 11

aplicacionetale, 130etale en un punto, 130racional entre variedades afines, 32biregular, 63de Segre, 70de Veronese, 69polinomial, 25racional, 32, 62racional dominante, 32, 62racional regular, 62regular, 62

automorfismo, 68

Bbiracional, 33, 63

Cconica

proyectiva, 52, 53campo

de fracciones, 21de funciones de una variedad afın, 29de funciones racionales, 58

cerradura entera, 19codimension, 88

completacion, 147componente irreducible, 8conjunto

afın, 1algebraico proyectivo, 40proyectivo, 40

cono, 42, 43afın, 42

continuidad de las funciones regulares, 31cuadrica, 64curva

elıptica, 141curva normal racional, 69

Dderivacion, 138desingularizacion, 188diagonal, 102diferencial, 115, 128–130dilatacion, 169–171, 178

de una variedad, 174local, 173

dilataciones, 169dimension, 77, 79

de Krull de un anillo conmutativo, 86de Krull de un espacio topologico, 86local, 88pura, 83

divisor, 158cero, 158de ceros, 161de polos, 161efectivo, 158excepcional, 186positivo, 158primo, 159principal, 161

divisores equivalentes, 162

Eecuaciones locales, 149elemento

entero, 17entero, 17

199

200 Indice alfabetico

equidimensional, 83equivalencia biracional, 33espacio

afın, 1irreducible, 6noetheriano, 8proyectivo, 39tangente, 115tangente de Zariski, 123

expansion de Taylor, 148explosiones, 169

Ffibra, 105finita, 100funcion

polinomial, 34racional, 57regular, 60

Ggermen, 133grafica, 36grado

de un morfismo, 137de una curva, 164

grupoaditivo, 141algebraico, 140algebraico lineal, 141de clases de divisores, 162de divisores, 158lineal especial, 140lineal general, 141lineal proyectivo, 68multiplicativo, 141ortogonal, 142ortogonal especial, 142simplectico, 142

Hhiperplano al infinito, 47hipersuperficie, 79

Iideal

homogeneo, 41irrelevante, 45

ındice de interseccion, 167

inflacion, 171inmersion

cerrada, 36integralmente cerrado, 19interseccion completa conjuntista, 90interseccion completa idealista, 91

JJacobiana, 116

Klema

de Nakayama, 97de normalizacion de Noether, 93

lisaen codimension 1, 154, 159

liso en un punto, 136lugar de ramificacion, 155

Lmatriz Jacobiana, 128morfismo

etale, 130etale en un punto, 130canonico, 21de anillos locales, 127de dilatacion, 178finito, 100inseparable, 155liso, 136no ramificado, 155plano, 137ramificado, 155separable, 155

multiplicidad de interseccion, 167

Mnumero de interseccion, 164norma

de un elemento, 83normal, 152, 154

Nparametros locales, 142polos, 30posicion general, 166producto

de variedades afines, 37proyeccion con centro E, 73punto

Indice alfabetico 201

de ramificacion, 155liso, 118, 119, 125no singular, 118racional

de una variedad afın, 12singular, 118, 119, 126

Nrecta

excepcional, 175–177regla de Leibniz, 138regular, 29, 60resolucion de singularidades, 188

OSegre, 70serie de Taylor, 146singularidad, 119sistema local de parametros, 134soporte, 159subconjunto multiplicativo, 21subvariedad, 14sucesion

regular, 180

Ptangente de Zariski, 123teorema

de la base de Hilbert, 1

de la funcion inversa, 132de los ceros de Hilbert, 5del elemento primitivo, 99

topologıade Zariski afın, 2de Zariski proyectiva, 42

transformada estricta, 176, 177trasformacion monoidal, 178traslacion, 142

Qultrametrica, 147

Rvaluacion, 160variedad

abeliana, 141afın, 6cuasi-afın, 6cuasi-proyectiva, 45de Segre, 70excepcional, 186lisa, 119no singular, 119normal, 152proyectiva, 45racional, 65

Veronese, 69

Notas de geometr´ıa algebraica - Instituto de … · Introduccion´ Desde un punto de vista...

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