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NOTAS DE GEOMETRIA -1996

PLAN DE NIVELACIÓN UNIVERSITARIA (PNU)

Profesores Integrantes del Grupo PNU

TABLA DE CONTENIDO

Página

Capítulo I : Algunos Objetos Geométricos 1

1.1 Punto, recta, plano 1

1.2 Dos puntos en el plano. 1

1.3 Tres puntos en el plano. 7

ANEXO 1 15

Capítulo II : Ángulos 17

2.1 Aspectos generales. 17

2.2 Perpendicularidad. 27

2.3 Los ángulos de un triángulo. 32

Capítulo III Coordenadas 45

3.1 Sistemas de coordenadas. 45

3.2 Distancia entre dos puntos sobre una recta. 48

Capítulo IV: Área y Teorema de Pitágoras 56

4.1 Superficie y área. 56

4.2 El teorema de Pitágoras 65

Capítulo V: Fórmula de Distancia y Circunferencia 74

5.1 Distancia entre dos puntos en términos de coordenadas. 74

5.2 Circunferencia. 77

Capítulo VI: Líneas notables del triángulo 90

6.1 Mediatrices. 90

6.2 Alturas. 95

6.3 Medianas. 96

6.4 Bisectrices. 96

Capitulo VII: Polígonos 98

7.1 Ideas Básicas 98

7.2 Convexidad y Ángulos 102

7.3 Polígonos regulares 108

Capítulo VIII: Triángulos Congruentes 115

8.1 Postulado de congruencia 115

8.2 Algunas aplicaciones de los triángulos congruentes 122

8.3 Triángulos especiales 126

Capítulo I : Algunos Objetos Geométricos

1.1 Punto, recta, plano.

En el estudio de la geometría utilizaremos algunos objetos matemáticos a los cuales nos

aproximaremos haciendo uso de nuestra intuición y experiencia, y de algunas

representaciones que ayudan a configurar nociones abstractas de los mismos. En tal sentido

desarrolle, en forma escrita, la siguiente actividad.

¿Mediante qué objetos de su entorno cotidiano podría expresar la idea que tiene de

punto, recta y plano?

¿Cuáles son las características de cada uno de los objetos que hacen que éstos expresen

la idea de punto, recta y plano? ¿Cuáles no?

Dé una caracterización de las ideas de punto, recta y plano como objetos geométricos,

es decir, como objetos abstractos y/o formales.

Trabajaremos, inicialmente, y en la mayoría de los capítulos, con objetos ubicados en el

plano.

1.2 Dos puntos en el plano.

Supongamos que tenemos dos puntos ubicados en un mismo plano y examinemos algunas

situaciones geométricas que allí se pueden definir.

1.2.1 Unicidad de la recta.

Experimento 1.1:

Dibuje dos puntos y denótelos como P y Q.

¿Cuántas líneas rectas diferentes pasan por P y Q si P y Q son diferentes1?

¿Cuántas líneas rectas diferentes pasan por P y Q si P y Q coinciden?

Compare las conclusiones del experimento con las propiedades siguientes.

1 Suponemos que dos puntos son diferentes cuando no son el mismo. Lo anterior puede parecer una

perogrullada, sin embargo, en matemáticas dos objetos son iguales si son el mismo, y por lo tanto, son

diferentes cuando no lo son.

Plan de Nivelación Universitaria

2

REC1 : Dados dos puntos distintos P y Q en el plano, existe una y sólo una recta que pasa

por esos puntos.

REC2 : Dados dos puntos iguales P y Q en el plano, existe una infinidad de rectas que

pasan por “ellos”.

En otras palabras, REC1 significa que dos puntos distintos P y Q determinan una recta, la

cual se denota por LPQ . En la figura 1.1, las puntas de flecha indican que la línea recta

trazada por P y Q se extiende en ambos sentidos.

P

Q

LPQ

figura 1.1

Pregunta 1. ¿Representan a la misma recta LPQ y LQP?

También suele nombrarse las rectas usando las letras mayúsculas K o L, ó éstas letras con

subíndices (v.g. L1, L2,..., Ln.). En ambos casos, no se explicitan los puntos que determinan

la recta.

1.2.2 El rayo.

El rayo RPQ es una porción de la recta LPQ , que consta del punto P y de todos los puntos de

LPQ que están respecto a P del mismo lado que Q.

Q

P

figura 1.2

En la figura 1.2 la parte de LPQ que está en negrilla representa al rayo RPQ; en ésta se

aprecia que el rayo RPQ comienza en P, pasa por Q en línea recta y sigue indefinidamente

en el mismo sentido.

El punto P se llama vértice del rayo. Al rayo también se le llama semirrecta.

Pregunta 2. ¿En la figura 1.2, cómo representaría al rayo RQP ?

Algunos Objetos Geométricos

3

Pregunta 3. ¿Representan ABR y BAR al mismo rayo?

Pregunta 4. ¿Qué condiciones deben cumplirse para que RPQ =RST ?

Pregunta 5. En la figura 1.3, el rayo RPS es opuesto por el vértice a RPT . ¿Cómo

definiría la idea de rayos opuestos por el vértice?

SP

T

figura 1.3

Pregunta 6. Si se dibujan tres puntos diferentes A, B y C sobre una misma recta,

¿Cuántos rayos se pueden determinar?, ¿cuáles de éstos son opuestos?

1.2.3 El segmento.

El segmento PQ es una porción de la recta LQP que consta de los puntos que están

simultáneamente en los rayos RPQ y RQP.

Los puntos P y Q se llaman los extremos de PQ .

P

Q

figura 1.4

En la figura 1.4 la porción de la recta LPQ que está en negrilla representa al segmento PQ .

En el símbolo PQ la raya horizontal sobre las letras se supone que recuerda la figura que

utilizamos para representar un segmento.

Pregunta 7. ¿Los puntos P y Q hacen parte del segmento PQ ?

Pregunta 8. ¿Representan al mismo segmento PQ y QP ?

Pregunta 9. ¿Qué condiciones deben cumplirse para que PQ sea el mismo segmento

que ST ?


4

1.2.3.1 La idea de longitud.

Cuando se tienen dos o más segmentos existen características que los hacen comparables

dos a dos. Una de esas características, que habitualmente se enuncia con el término

“tamaño”, es la longitud del segmento. Así, es posible comparar dos segmentos por su

longitud y concluir que alguno de ellos es “más grande”, es decir, que tiene mayor longitud

que el otro; o en otro caso, que tienen “igual tamaño”, es decir, igual longitud.

Es evidente que el segmento PQ tiene la misma longitud que el segmento QP , y que

existen infinitos segmentos que sin ser el mismo PQ tienen su misma longitud. En otras

palabras, dos segmentos diferentes PQ y ST pueden tener la misma longitud sin necesidad

de ser el mismo, por lo cual, en este caso es incorrecto escribir STPQ .

1.2.3.2 La medida de la longitud del segmento.

Escogiendo un segmento como patrón de medida (por ejemplo, el centímetro, pulgada,

metro, etc.) se puede medir la longitud de cualquier otro segmento. La medida de la

longitud de PQ se denota PQ . Por ejemplo, si PQ mide 5 cm se escribe PQ = 5 cm.

Frecuentemente asumiremos que se ha escogido alguna unidad de medida y omitiremos la

referencia a las unidades de medida, escribiendo simplemente PQ = 5; en tal sentido,

medir la longitud de un segmento es asociar a éste un número.

Pregunta 10. ¿Es posible que PQ =0?

Pregunta 11. ¿Si WZXY , entonces XY es el mismo WZ ?

Pregunta 12. ¿Representa PQ un número o un conjunto de puntos?

Pregunta 13. ¿Es PQ un número o un conjunto de puntos?

1.2.3.3 Los segmentos orientados

Hasta ahora, no ha sido significativo considerar el orden de los extremos de los segmentos

para establecer diferencias entre los mismos. En esta sección se le dará importancia a este

orden.

Experimento 1.2.

1. Dibuje una recta horizontal. Imagínese que un punto se desplaza sobre ésta. ¿En qué

sentidos posibles puede desplazarse? y ¿cómo se relacionan esos sentidos?


5

2. Conteste las preguntas del numeral anterior para el caso de una recta vertical y para el

caso de una recta inclinada.

3. Si se quiere cuantificar el traslado de un punto sobre una recta y se espera que esta

cuantificación de cuenta del sentido del traslado, ¿cómo se cuantificaría?

Una recta puede recorrerse en dos sentidos. Por ejemplo, si la recta es horizontal puede

recorrerse de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Una recta orientada es una recta

en la cual se ha seleccionado uno de estos dos sentidos como positivo y por tanto el otro

como negativo.

Para la recta LPQ basta escoger una de las parejas ordenadas de puntos (P, Q) ó (Q, P) para

establecerla como recta orientada. Si seleccionamos la pareja ordenada (P, Q) , diremos que

un punto se desplaza sobre la misma en sentido positivo si lo hace en el mismo sentido en

que el punto P debe desplazarse para llegar a Q. En este caso, indicaremos que la recta LPQ

esta orientada escribiendo una flecha () sobre la letra con que se denota la recta, así: LPQ .

Gráficamente indicamos la orientación de la recta mediante un flecha que indica el sentido

positivo de la misma. En la figura 1.5(a) la recta LPQ está orientada por la pareja ordenada

( , )P Q , es decir, representa la recta LPQ , en tanto que la figura 1.5(b) muestra la recta

LPQ ,

orientada por la pareja ordenada ( , ).Q P

P Q

(a)

P Q

(b) figura 1.5

Al ubicar un segmento en una recta orientada se definen dos segmentos orientados, uno de

los cuales tiene la misma orientación de la recta y el otro la contraria.

S

P

T

figura 1.6

En la figura 1.6, se distinguen los segmentos orientados

ST y

TS , el primero de los cuales

tiene la misma orientación de la recta, es decir positiva, en tanto que el segundo tiene la

orientación contraria. Particularmente, en una recta orientada LPQ , el segmento orientado


6

PQ

tiene la misma orientación de la recta, mientras el segmento orientado

QP tiene la

orientación contraria.

La magnitud de un segmento orientado

ST es la medida de la longitud del segmento ST si

la orientación del segmento

ST coincide con la de la recta orientada; en caso contrario, la

magnitud de

ST es el inverso aditivo de la medida de la longitud del segmento ST . La

magnitud de

ST se denota por ST. En particular, en una recta orientada LPQ

, PQ = QP.

Pregunta 14. ¿Cuáles son las diferencias conceptuales que existen entre los objetos

denotados mediante las notaciones siguientes: PQ , PQ

, PQ y PQ ?

Pregunta 15. Considere la información contenida en la figura 1.7.

YX

LYX figura 1.7

a) ¿Qué relación existe entre XY y XY , entre YX y XY , y, entre

XY y YX?

b) ¿Se modifican las respuestas anteriores si se cambia la orientación

de la recta?

1.2.4 La distancia entre dos puntos.

La noción de distancia está entre los conceptos fundamentales en lo que concierne al plano.

Intuitivamente, se confunde con la medida de la longitud de un segmento pero como lo

muestra la siguiente definición estos dos conceptos no son iguales, ya que el concepto de

medida de longitud del segmento excluye la posibilidad de que los puntos que definen el

segmento sean el mismo, en tanto que el de distancia no.

Definición :

Se define distancia entre dos puntos P y Q en el plano como la medida de la longitud del

segmento PQ cuando P y Q son diferentes; cuando éstos coinciden se dice que la distancia

es cero.


7

Para denotar la distancia entre P y Q utilizaremos habitualmente el símbolo d(P,Q), sin

embargo, cuando los puntos P y Q sean diferentes podremos también utilizar el símbolo

PQ .

Como consecuencia inmediata de la definición, la distancia entre dos puntos satisface que:

para cada par de puntos P y Q , d(P, Q) 0, y además d(P, Q) = d(Q, P). En otras

palabras, la distancia es siempre no negativa y además no depende del orden en que se

asuman los puntos.

1.3 Tres puntos en el plano.

Supongamos ahora que tenemos tres puntos ubicados en un mismo plano y examinemos

algunas situaciones geométricas que allí se pueden definir. Atendiendo a su posición

relativa, se presentan dos casos, a saber: que estén en una única recta ó que los tres puntos

pertenezcan a rectas diferentes.

1.3.1 Colinealidad

Decimos que dos o más puntos son colineales cuando pertenecen a una misma recta.

La noción de distancia nos permite un criterio para verificar si tres puntos diferentes son

colineales. Este criterio se expresa a través del siguiente enunciado:

Tres puntos P, Q y M son colineales si y sólo si se satisface una de las condiciones

siguientes:

d(Q, P) + d(P, M) = d(Q, M)

d(P, Q) + d(Q, M) = d(P, M)

d(P, M) + d(M, Q) = d(P, Q)

Ahora bien, si tres puntos diferentes son colineales es intuitivamente evidente que uno de

ellos está entre los otros dos, es decir, que uno de ellos pertenece al segmento definido por

los otros dos. La noción de distancia ofrece un criterio para determinar cuál de ellos está

entre los otros dos; veamos:

Sean P, Q y M puntos colineales, si se cumple que:

d(Q, P) + d(P, M) = d(Q, M) entonces P está entre QM

d(P, Q) + d(Q, M) = d(P, M) entonces Q está entre PM

d(P, M) + d(M, Q) = d(P, Q) entonces M está entre PQ


8

En la figura 1.8(a) Q está en PM , sin ser ninguno de los extremos, y por tanto Q está entre

P y M; en 1.8(b) y 1.8(c) se presentan dos situaciones diferentes en las cuales Q no está

entre P y M.

P

M

Q

P

Q

M

P

M

Q

(a) (b) (c)

figura 1.8

1.3.2 No colinealidad.

Decimos que tres puntos diferentes son no colineales si las rectas que éstos definen,

tomándolos dos a dos, son diferentes. También suele decirse que tres puntos diferentes son

no colineales si no existe recta alguna en la cual estén ubicados simultáneamente.

1.3.2.1 Triángulo.

Sean P , Q y M tres puntos no colineales. Estos puntos determinan los segmentos PQ ,

PM y QM . Se define el triángulo determinado por P, Q y M como la figura constituida

por estos tres segmentos2.

Q

P

M figura 1.9

Se denota este triángulo por PQM . Los segmentos PQ , PM y QM son los lados del

triángulo. P , Q y M son los vértices del triángulo.

Pregunta 16. ¿Qué consecuencias se tendrían si la definición anterior incluye el caso en

el cual los puntos P, Q y M pertenezcan a una misma recta?

2 Existe ambigüedad en el uso de la palabra triángulo, ya que algunas veces la palabra se utiliza para referirse

a la región limitada por los tres segmentos (región triangular). De otro lado, cometeremos un ligero abuso del

lenguaje y hablaremos del área de un triángulo para referirnos al área de la región triangular. Este es un uso

corriente aunque incorrecto, pero no nos conducirá a errores serios.


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1.3.2.1.1 Una clasificación de los triángulos.

Un triángulo es equilátero si sus tres lados tienen, entre sí, la misma longitud (figura

1.10(a)); si dos de sus lados tienen, entre si, igual longitud, se dice isósceles (figura

1.10(b)). En otro caso se dice que es escaleno (figura 1.10(c)).

Q

P

M

Q

P M

Q

P M

a) (b) (c)

figura 1.10

Pregunta 17. ¿Un triángulo equilátero es isósceles?, ¿un isósceles puede ser equilátero?

Experimento 1.3

1. Construya un triángulo con lados de igual longitud a los segmentos

XYyRSPQ , ilustrados en la figura 1.11.

P Q

R S

X Y

figura 1.11

2. Escoja uno de los segmentos de la figura 1.11 y construya un triángulo equilátero

cuyos lados tengan la misma longitud del segmento escogido.

3. Construya un triángulo tal que uno de los lados tenga la misma longitud de PQ y los

otros dos lados tengan la misma longitud de RS .

4. Construya un triángulo con lados cuyas longitudes miden 5 cm., 7 cm. y 10 cm.,

respectivamente.

5. Construya un triángulo con lados cuyas longitudes miden 5 cm., 7 cm. y 15 cm.,

respectivamente.

6. Explique los problemas que tuvo con la construcción anterior. ¿Qué pasa si el último

lado mide 12 cm. en lugar de 15 cm.?


10

7. Dibuje cualquier triángulo y mida la longitud de los tres lados. Sume las medidas de

las longitudes de dos lados cualesquiera y compárela con la medida de la longitud del

tercer lado. Incluya todos los casos posibles. ¿A qué conclusión llega?

8. Sean P , Q y M tres puntos distintos del plano, y suponga que PMQMPQ .

¿Qué puede concluir sobre los puntos P, Q y M?. Haga un dibujo.

1.3.2.1.2 Propiedad de los triángulos.

Inicialmente enunciemos la propiedad en dos partes:

Para cualquier triángulo PQM se cumple que PMQMPQ ,

PQQMPM , y MQPMPQ ,. En otras palabras, en todo triángulo, la

medida de la longitud de cualquiera de sus lados es estrictamente menor que la suma de

las medidas de la longitud de los otros dos lados.

Si se dispone de tres segmentos PQ , QM y MP que satisfagan simultáneamente las

condiciones PMQMPQ , PQQMPM , y MQPMPQ , se garantiza

la construcción de un triángulo cuyos lados son precisamente estos segmentos.

Las dos partes de la propiedad pueden sintetizarse en el siguiente enunciado: Tres

segmentos PQ , QM y MP forman un triángulo si y sólo si PMQMPQ ,

PQQMPM , y MQPMPQ .

Esta propiedad suele confundirse con la denominada desigualdad triangular, sin embargo,

como se verá adelante, tan sólo es uno de los casos posibles que contempla la misma.

1.3.3 Desigualdad triangular.

Para tres puntos cualesquiera P, Q y M en el plano, independientemente de la posición

relativa de los mismos, se cumple que d(P, Q) + d(Q, M) d(P,M).

En el apartado inmediatamente anterior, estudiamos el caso cuando los tres puntos son no

colineales y verificamos que se satisface la desigualdad estricta, esto es,

d(P, Q) + d(Q, M) > d(P,M).

En el caso en que los tres puntos sean colineales se presentan dos situaciones, a saber:


11

Si el punto Q está entre los puntos P y M, entonces se cumple la igualdad

d(P, Q) + d(Q, M) = d(P,M), como se verificó en la sección que se refiere a

colinealidad.

Si el punto Q está en la recta LPM pero no en el segmento PM , entonces se satisface la

desigualdad estricta d(P, Q) + d(Q, M) > d(P,M).

Pregunta 18. ¿Para tres puntos P, Q y M, no necesariamente distintos, se cumple la

desigualdad triangular? Justifique.

Experimento 1.4

1. Dibuje, en rectas orientadas las distintas posibilidades de posición relativa de tres

puntos colineales P, Q y M.

2. Para cada una de las rectas dibujadas, halle la medida de la longitud de cada uno de

los segmentos determinados, así como su magnitud.

3. Verifique, para cada una de las rectas, cuáles de las siguientes expresiones se

satisfacen:

a. PMQMPQ

b. PQQMPM

c. MQPMPQ

d. PMQMPQ

e. PQMQPM

f. QMPMQP

g. QPMPQM

h. MQPQMP

i. MPQPMQ

4. De acuerdo con los resultados obtenidos redacte una conclusión.

1.3.4 Relación de Chasles

Muy seguramente, en el experimento anterior pudo verificar y concluir que: Cualquiera

que sea la posición relativa de los tres puntos colineales P,Q y M se cumple

PMQRPQ . Esta propiedad se conoce como Relación de Chasles.

Es claro que ésta es una propiedad de los segmentos orientados definidos por tres puntos

colineales, que relaciona las magnitudes, mas no las medidas de sus longitudes.


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1.3.5 Paralelismo

Experimento 1.5

1. Realice cada una de las construcciones siguientes

Construcción 1:

a. Ubique tres puntos A, B, y C no colineales.

b. Dibuje la recta LAB.

c. Con centro en C, trace una circunferencia que corte a la recta LAB en dos puntos

diferentes. Denote uno de ellos como D.

d. Con centro en D y radio DC , trace una circunferencia que corte a la recta LAB.

Denote uno de los puntos de corte con la letra E.

e. Dibuje una circunferencia con centro en el punto E y con el mismo radio de la

circunferencia trazada antes.

f. Denote el punto de corte de la primera y última circunferencia trazada, que no está

denotado, con la letra F.

g. Construya la recta LCF.

Construcción 2:

a. Ubique tres puntos A, B, y C no colineales.

b. Dibuje la recta LAB.

c. Con centro en C, trace una circunferencia que corte a la recta LAB en dos puntos

diferentes. Denótelos como D y E.

d. Dibuje una circunferencia con centro en cualquiera de los puntos D y E y con el

mismo radio de la circunferencia trazada antes.

e. Denote con la letra F el punto de corte de las dos circunferencias que no está

denotado.

f. Construya la recta LCF.

2. Seleccione la construcción mediante la cual siempre se obtienen rectas paralelas.

Redacte un argumento que justifique por qué las rectas obtenidas, en esta

construcción, son paralelas.

3. Siguiendo las instrucciones de la otra construcción, realice una gráfica en donde se

aprecie que ésta no produce rectas paralelas.

Definición :

Dos rectas K y L son paralelas si todos o ninguno de sus puntos están simultáneamente en

ambas. En el primer caso las dos rectas coinciden, esto es K = L ; en el segundo, ninguno

de los puntos de una es colineal con un par de puntos de la otra. En cualquiera de los dos

casos se escribe K || L para denotar que K y L son paralelas.


13

A partir de esta definición se establecen tres propiedades de las rectas paralelas.

PAR 1: Dos rectas diferentes que no son paralelas se cortan en un sólo punto.

K

LQ

figura 1.12

En la figura 1.12 se ha dibujado una recta K que no es paralela a la recta L y se observa que

Q es el único punto común a las dos rectas.

PAR 2: Dada una recta L y un punto P, existe una y sólo una recta que pasa por P y es

paralela a L.

P

K

L

P

KL

(a) (b)

figura 1.13

En la figura 1.13 se muestran los dos casos posibles de ubicación del punto P respecto de la

recta L. En 1.13(a), el punto P es exterior a la recta L y se ha dibujado la recta K paralela a

L sin que ellas coincidan.. En la figura 1.13(b) el punto P está en la recta L y por tanto la

recta K coincide con L, siendo así paralelas.

PAR 3: Sean las rectas L1, L2 y L3 . Si L1 || L2 y L2 || L3 , entonces L1 || L3.

L3

L2

L1 figura 1.14

Esta última propiedad intuitivamente evidente, representada a través de la figura 1.14, se

conoce también como la transitividad del paralelismo.


14

Definición :

Dos rayos o dos segmentos son paralelos si las rectas que los contienen son paralelas.

Pregunta 19. ¿Cómo se expresa la anterior definición utilizando los símbolos PQ , RPQ

LPQ , ST , STR y STL ?

Pregunta 20. ¿Un segmento es paralelo a sí mismo? , ¿un rayo es paralelo a sí mismo?

Pregunta 21. ¿Un rayo es paralelo a su opuesto por el vértice?

Ejercicios 1.1

1. Dibuje cada uno de los objetos geométricos que están representados por las siguientes

notaciones:

a) LPQ

b) RQP

c) PQ

d) RPQ

2. ¿Bajo qué condiciones los rayos PMR y PQR forman una recta?

3. Si d X Y d X Z( , ) , ( , ) 5 11

2 y Z está entre X y Y , determine ),( YZd .

4. Dibuje tres puntos diferentes A, B y C.

a) ¿Si los puntos son colineales, cuántos segmentos, rayos y rectas diferentes se

determinan?

b) ¿Si los puntos no son colineales, cuántos segmentos, rayos y rectas diferentes se

determinan?

5. Analice y juzgue la validez de la siguiente afirmación: Los segmentos que conectan

cualquier par de tres puntos forman un triángulo.

6. ¿Cuáles de las siguientes triplas de números se corresponden con las medidas de la

longitud de los lados de un triángulo? Justifique su respuesta.

a) 2, 2, 2

b) 3, 4, 5

c) 5, 8, 2

d) 3, 3, 2


15

e) 211 , 5,

213

f) 212 ,

214 ,

213

7. Escriba el intervalo al cual pertenece la medida del tercer lado de un triángulo

sabiendo que los otros dos miden 12 cm. y 20 cm., respectivamente.

8. Haga un gráfico que ilustre que una ciudad B está a 265 km. al noroccidente de una

ciudad A y que una ciudad C está a 286 km. al suroccidente de la ciudad B. ¿Qué

puede concluir acerca de la distancia de la ciudad A a la ciudad C ?

9. Sean P, Q y M puntos colineales donde bQMaPQ , . Verifique que se

cumplen las siguientes igualdades:

a. PMQMPQ

b. PQMQPM

c. QMPMQP

d. QPMPQM

e. MQPQMP

f. MPQPMQ

10. En la figura 1.15, K || U y P es el punto de corte de las rectas K y L. Justifique por

qué la recta L no puede ser paralela a la recta U.

L

K

P

U

figura 1.15

ANEXO 1:

PUNTOS S. A.

Jaime Castaño

Aunque vivíamos en el país de las líneas, teníamos una fábrica de puntos. Los producíamos contra pedido; en series docenas, gruesas y pacas. Claros y oscuros. Grandes y chicos. Pero también hacíamos, y era éste uno de nuestros fuertes, puntos especiales. Fabricábamos puntos en el vacío para locos, puntos suspensivos para cabizbajos y meditabundos, puntos atractivos para los adolescentes sin gracia y los narcisos. Algunas empingorotadas señoras nos exigían incesantemente finos y sexis puntos para sus medias veladas. Contábamos con puntos


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nostálgicos para los que llevan largos años de casados, puntos candentes para los amantes en disputa, y, en común, para los que apenas comienzan. Algo exclusivo: creábamos puntos débiles para las mujeres y hombres, lo más importante aquí, eran los planos donde cada sexo los llevaba; estos constituían uno de nuestros éxitos: los vendíamos por millares! Producíamos puntos disimulados para los hipócritas, puntos de justificación para los procaztinadores, puntos eternos para los conformistas, puntos imposibles para los utópicos, puntos de esperanza para los escépticos, y, para los excéntricos, puntos aparte. A los amigos de la prisa les arreglábamos sus relojes con uno de nuestros productos, para que siempre tuvieran la hora en punto. Para los hiperactivos, puntos seguidos. Para los glotones una pequeña variación: punto y coma. Para los arquitectos, medios puntos: muy prácticos en la construcción de arcos de iglesias. Los congresistas nos pedían, con bastante frecuencia y pagando bien nuestro trabajo, que les desarrollásemos con sumo cuidado, diversos puntos de vista. Concebíamos notables puntos luminosos para los que pasan por inteligentes. Los filósofos nos reclamaban a gritos, profundos puntos de reflexión. Los matemáticos, puntos lógicos y exactos. Contábamos con puntos realistas y maravillosos para los artistas. Puntos sobre las "íes" de los letrados. Puntos de acuerdo para los huelguistas. Puntos beligerantes para los pacifistas. Puntos humanos para los filántropos. Puntos verdes por los que clamaban a pulmón entero los ecologistas. Y, para que no se escapara la vida, los imprescindibles puntos quirúrgicos ... alcanzamos a lanzar hasta puntos muertos para las funerarias. Para llegar a las masas y acabar un tanto con la competencia desleal, y del todo con la especulación, resolvimos crear los famosos puntos de fábrica. ¡Otro de nuestros éxitos!. También producíamos puntos de otras índoles: puntos rígidos para los conservadores, puntos flexibles para los liberales, puntos neutrales para los conciliadores y puntos dinámicos para otros grupos. - No podemos negar que se nos escaparon algunos puntos de mira que fueron a parar a manos de asesinos a sueldo. Una lástima; una verdadera lástima. Hacíamos puntos para todo el mundo: pero teníamos nuestras reservas. Para los desamparados verdaderos puntos de apoyo. Puntos cardinales para orientar en las noches de altamar y en las oscuras bocas de los ríos, embarcaciones con cargamentos sospechosos. Para los guerrilleros estudiábamos puntos estratégicos y puntos clandestinos; para sus ataques, puntos débiles en sus enemigos, y puntos claves en su retaguardia, para la defensa. Además desarrollábamos, también clandestinamente, otros puntos: unos cuantos militares de avanzada nos solicitaron, no sin marcadas reservas y precauciones, puntos de acuerdo para lograr una paz duradera -nuestro mayor deseo-. ¡Trabajábamos entonces con empeño y alegría!... Pero también había, desgraciadamente, un gran número de militares y paramilitares derechistas y reaccionarios que nos amenazaban con un grosero y simple "Alto en el punto", si no les inventábamos puntos de provocación, saboteo y discordia! Un día, alguien, no se supo nunca quién ni cómo se llamaba, pero sí a que intereses representaba, nos pasó la orden de un punto ... misteriosamente, un -solo- punto. Orden que no reclamó -que jamás reclamaría-. Cuando cumpliendo con su pedido -¡ingenuidad la nuestra!- lo fabricamos, nos dimos cuenta, tarde ya que habíamos cometido nuestro máximo y último error: nos había encargado hacer un fatídico punto final.

Capítulo II : Ángulos

2.1 Aspectos generales.

2.1.1 Noción y notación de ángulo.

Para establecer la noción de ángulo consideraremos dos rayos de vértice común ubicados en

un mismo plano. Inicialmente, consideraremos el caso de dos rayos diferentes, para luego

estudiar el caso en que éstos sean iguales.

En primer lugar, consideremos dos rayos diferentes con vértice común; denotémoslos por

RPQ y RPM . Como se muestra en la figura 2.1 estos rayos dividen el plano en dos regiones,

cada una de las cuales –junto con los dos rayos– forman un ángulo. En otras palabras, dos

rayos diferentes con vértice común determinan dos ángulos diferentes.

P

Q

M

P

Q

M

(a) (b)

figura 2.1

Para distinguir los dos ángulos, al denotarlos se usará la idea de sentido1; mediante esta idea

podemos referirnos apropiadamente a cada uno de los ángulos determinados por los rayos

1 Dada una circunferencia en un plano, es posible recorrerla en dos sentidos: uno, siguiendo el movimiento de

las manecillas del reloj (figura 2.2(a)), que llamaremos sentido positivo, y otro, el contrario (figura 2.2(b)),

que llamaremos sentido negativo.

(a) (b)

figura 2.2


18

RPQ y RPM ; para ello, se establece primero un orden en tales rayos, de modo que el ángulo

determinado por la pareja ordenada R RPQ PM, es la región del plano que se recorre en

sentido positivo para pasar del RPQ al RPM (figura 2.3(a)). Este ángulo se denota

R RPQ PM, o también QPM .

P

Q

M

P

Q

M

(a) (b)

figura 2.3

Si la pareja ordenada ya no es R RPQ PM, sino PQPM RR , , nos estaremos refiriendo a la

región del plano que se recorre en sentido positivo para pasar del RPM al RPQ (figura

2.3(b)). Este ángulo se denota PQPM RR , o también MPQ .

Así, es evidente que QPM MPQ.

Pregunta 1. ¿Qué tienen en común los ángulos QPM y MPQ ?

Pregunta 2. ¿Cuántos y cuáles son los ángulos que se determinan con tres rayos

diferentes de vértice común?

En algunos casos, cuando se cuenta con una gráfica, se puede abreviar la notación de un

ángulo. Por ejemplo, el ángulo MPQ se puede denotar mediante los símbolos P y un

arco de circunferencia sobre la región (o ángulo) nombrada (figura 2.3(a)). Se presentarán

más adelante situaciones en las que ésta abreviación es factible.

Como un caso especial de cuando los rayos son diferentes, supongamos que los rayos RPQ

y RPM forman una línea recta y que P está entre Q y M, entonces el QPM es un ángulo

llano. (figura 2.4). Se observa que MPQ también es un ángulo llano.

Ángulos

19

P

Q

M figura 2.4

En segundo lugar, si se tiene que los dos rayos son iguales, esto es que R RPQ PM ,

entonces ya no se definen dos sino una única región, y en consecuencia QPM MPQ ,

siendo éste un ángulo completo. (figura 2.5).

Q

M

P

figura 2.5

Pregunta 3. ¿Bajo qué condiciones DEFABC ?

Pregunta 4. ¿Por qué cuando R RPQ PM el ángulo QPM se denomina ángulo

completo y no ángulo nulo?

2.1.2 Medida de un ángulo.

Para medir ángulos se establecerá la unidad de medida “grado” asignando al ángulo

completo una medida de 360 grados2 que se denota 360°, y por tanto a cada ángulo una

medida proporcional al mismo. Así, ya que un ángulo llano es la mitad de un ángulo

completo, la medida de un ángulo llano es 180°.

Llamaremos ángulo recto a aquel cuya medida es la mitad de lo que mide un ángulo llano.

Es decir, que un ángulo recto mide 90°. (ver figura 2.6).

2 Esta notación se remonta a la época de los primeros astrónomos en Babilonia quienes se dieron cuenta que un año solar

tiene aproximadamente 360 días, es decir, que en un día, el sol en su movimiento aparente alrededor de la tierra, gira un

grado.


20

QM

P

90º

figura 2.6

Para indicar el número que representa la medida del MPQ se usará la notación

m MPQ ; por ejemplo, para indicar que la medida del MPQ es 50° se escribe

m MPQ 50 . Gráficamente será suficiente escribir el número al lado del arco de

circunferencia que indica el ángulo referido.

Pregunta 5. ¿Existen ángulos de medida 0°?

Pregunta 6. ¿Existen ángulos de medida mayor que 360°?

Pregunta 7. ¿Si 45)( ABCm es válido afirmar que 45)( CBAm ?

2.1.3 Pares de ángulos.

Definición:

Dos ángulos P y R son suplementarios si y sólo si m P m R 180 .

Los ángulos de la figura 2.7 son un ejemplo de ángulos suplementarios.

62°

118°

RP

figura 2.7

Definición:

Dos ángulos son complementarios si y sólo si la suma de sus medidas es 90°.

Los ángulos de la figura 2.8 son un ejemplo de ángulos complementarios.

Ángulos

21

bo

aoa

o

bo

figura 2.8

Definición:

Se llaman contiguos a dos ángulos que tienen en común un vértice y un lado, estando los

lados no comunes en semiplanos opuestos respecto a la recta a la que pertenece el lado

común.

En la figura 2.9 el ángulo CAD es contiguo al ángulo DAB . También, el ángulo

DABC es contiguo al ángulo DAB .

B

C

D

A figura 2.9

Definición:

Dos ángulos son adyacentes si, además de contiguos, son tales que los lados no comunes

están alineados.

La figura 2.10 muestra que los ángulos EFP y PFH son adyacentes, pues el ángulo

EFH es llano.

H F E

P

figura 2.10

Pregunta 8. ¿Todos los ángulos tienen ángulo suplementario?


22

Pregunta 9. ¿Todos los ángulos tienen ángulo complementario?

Pregunta 10. ¿Son contiguos los ángulos PQM y MQP ?

Pregunta 11. ¿Si dos ángulos son adyacentes, entonces son suplementarios?

Pregunta 12. ¿Si dos ángulos son suplementarios, entonces son adyacentes?

2.1.4 Bisectriz de un ángulo.

Experimento 2.1

1. Realice la siguiente construcción.

Construcción 1: Dibuje un ángulo ABC tal que BCBA RR . Haciendo centro en B,

trace una circunferencia que corte los lados del ángulo; denote estos puntos de corte como

D y E. Haciendo centro en los puntos D y E respectivamente, y con el mismo radio de la

anterior circunferencia, trace circunferencias; denote el punto de corte de las dos últimas

circunferencias –que no está denotado– con la letra M. Trace el rayo BMR .

2. Comente la validez de la siguiente afirmación respecto del resultado de la anterior

construcción: El rayo BMR siempre divide al ángulo ABC en dos ángulos de igual

medida.(Sugerencia: Realice la construcción para diferentes ángulos).


Construcción 2: Considere dos segmentos no paralelos como los mostrados en la figura

2.11.

A

B

CD

figura 2.11

A una distancia cualquiera –pero igual– se trazan rectas respectivamente paralelas a las

rectas ABL y CDL , que al cortarse determinan el punto O. Luego, aumentando un poco la

distancia, se trazan otras dos paralelas a ABL y CDL que al cortarse determinan el punto Q.

Finalmente se traza la recta OQL .

Ángulos

23

4. Comente la validez de la siguiente afirmación respecto del resultado de la anterior

construcción: La recta OQL siempre divide en dos ángulos de igual medida a alguno

de los ángulos determinados por las rectas ABL y CDL .

Definición:

Una bisectriz de un ángulo es un rayo que tiene su origen en el vértice del ángulo y que lo

divide en dos ángulos de igual medida.

B

Q

P

M

figura 2.12

En la figura 2.12 , PB

R es la bisectriz del QPM . Por tanto, )()( BPMmQPBm .

Pregunta 13. ¿En la figura 2.12 el rayo opuesto al rayo PB

R es la bisectriz del MPQ ?

Pregunta 14. ¿Un ángulo completo tiene bisectriz?

Pregunta 15. ¿Si dos ángulos son contiguos y tienen igual medida, es correcto afirmar

que su rayo común es siempre bisectriz del ángulo determinado por los

otros dos rayos?

2.1.5 Ángulos opuestos por el vértice.

Experimento 2.2

Dibuje dos rectas que se corten en un único punto. Determine todos los ángulos que con

ellas se definen y mida cada uno de ellos. Compare las medidas de estos ángulos y formule

una conjetura acerca de la medida de los mismos. Intente probar su conjetura.


24

En la figura 2.13 se muestran los ángulos A, A’, B y B’ definidos por las rectas K y L.

A'

B

LA

B'

K

figura 2.13

Las parejas B y B’ , A y A’ se llaman ángulos opuestos por el vértice.

Teorema 2.1

Ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida.

A continuación se presenta un modelo de argumentación sobre la validez anterior

enunciado en el cual se identifican la hipótesis y la conclusión.

Demostración:

Hipótesis: Las rectas K y L se cortan y forman los pares A A y B B, ' , ' que son

ángulos opuestos por el vértice.

Conclusión: )'()( AmAm y )'()( BmBm

Argumento

AFIRMACIÓN JUSTIFICACIÓN

1. m A m B( ) ( ) 180 1. A y B forman ángulo llano el

cual mide 180°

2. m B m A( ) ( ' ) 180 2. ByA ' forman ángulo llano.

3. )'()()()( AmBmBmAm 3. Propiedad transitiva de la igualdad

4. )'()( AmAm 4. Propiedad de la sustracción de la

igualdad.

Con un argumento similar se concluye que )'()( BmBm , completando así la

demostración.

Ángulos

25

Ejercicios 2.1

1. Nombre los ángulos indicados en las gráficas de la figura 2.14.

A

B

C

P

M

R

Q

0

Z

Y

X

W

0

CBA

(a) (b) (c) (d)

figura 2.14

2. Dibuje tres puntos, A , B y C que sean no colineales. Trace las rectas que estos puntos

determinan. Sombree la región determinada por LAB donde está C. Sombree la región

determinada por LBC donde está A. Determine la región doblemente sombreada.

¿Corresponde esta región a alguno de los ángulos determinados por los rayos que se

pueden definir a través de estos tres puntos? Justifique su respuesta.

3. Dibuje tres puntos X, Y y Z que sean colineales. Dibuje los ángulos XYZ , XZY

y YXZ . ¿Son éstos ángulos siempre diferentes? Justifique.

4. En cada uno de los siguientes gráficos de la figura 2.15, determine el valor de x:

40°

x°

x° 68°

x°

146°

35°

(a) (b) (c)

figura 2.15

5. Sin utilizar transportador, dibuje un ángulo que tenga el número de grados indicados:

(a) 45º (b) 90º (c) 142º (d) 192º (e) 270º

6. Sin usar un transportador, asociar los dibujos de la figura 2.16 con sus medidas.


26

(2)(1)

(4) (5)

(3)

(6) figura 2.16

(a) 20º ; (b) 60º ; (c) 225º ;

(d) 45º ; (e) 135º ; (f) 90º

7. Dibuje una circunferencia y determine en ella dos puntos A y B. Determine varios

puntos X sobre uno de los arcos determinados por los puntos A y B. Para cada punto X

, trace y mida el ángulo AXB. Plantee una conjetura acerca de las medidas de los

ángulos AXB.

8. Tres rectas se cortan en el punto O como se muestra en la figura 2.17. Si

55)( ROQm y 90)( POSm .

P

S

MN

Q

0R

figura 2.17

a) ¿Cuánto mide NOM ?

b) Nombre otro ángulo que tenga la misma medida de SOQ .

9. Dibuje un par de ángulos adyacentes. Trace la bisectriz de cada uno de ellos. Mida el

ángulo formado por las bisectrices. Formule una conjetura sobre la medida del ángulo

formado por las bisectrices e intente probarla.

Ángulos

27

10. En la figura 2.18, OBR es la bisectriz de COA y ROC es la bisectriz de DOB .

0

D

C

B

A

figura 2.18

a) Pruebe que )()( DOCmBOAm .

b) Pruebe que )()( CODmAOBm .

11. En la figura 2.19, los puntos P B C, , y Q son colineales y m ABP m QCA( ) ( ) .

Además, RBK es la bisectriz de CBA y RCK es la bisectriz de ACB .

A

BP

K

C Q

figura 2.19

Pruebe que m CBK m KCB( ) ( ).

2.2 Perpendicularidad.

2.2.1 Rectas, rayos y segmentos perpendiculares.

Experimento 2.3


Construcción 3: Dibuje una recta LAB. Haciendo centro en los puntos A y B, y con radio

AB trace circunferencias; denote los puntos de corte de éstas como C y D. Trace la recta

LCD.

2. Discuta la validez de las siguientes afirmaciones respecto del resultado de la anterior

construcción:

LCD es perpendicular a LAB.


28

Si M es un punto de la recta LCD entonces MBMA .


Construcción 4: Dibuje una recta LAB y un punto que no esté en ella; denótelo con la letra

C. Haciendo centro en C trace una circunferencia que corte a la recta en dos puntos

diferentes; denótelos como D y E. Haciendo centro en los puntos D y E, y con radio DE

trace circunferencias; denote los puntos de corte de éstas como F y G. Trace la recta LFG.

4. Discuta la validez de las siguientes afirmaciones respecto del resultado de la anterior

construcción:

LFG es perpendicular a LAB

El punto C es colineal con F y G.

Definición:

Dos rectas que se cortan en un único punto son perpendiculares si todos los ángulos, de las

dos parejas de ángulos opuestos por el vértice que ellas generan, tienen la misma medida.

L2

L1

figura 2.20

De esta definición se sigue que cada uno de estos ángulos es recto. Observe que en la figura

2.20 hemos usado el símbolo especial " " en vez de " " para señalar que el ángulo es

recto.

Para simbolizar que la recta L1 es perpendicular a la recta L2 escribiremos L1 L2.

Pregunta 16. ¿Cuántos ángulos generan dos rectas que se cortan en un solo punto?

Pregunta 17. ¿Si dos rectas no son perpendiculares entonces son paralelas?

Definición :

Dos rayos o dos segmentos son perpendiculares si las rectas que los contienen son

perpendiculares.

Ángulos

29

Los siguientes enunciados son propiedades referidas a rectas perpendiculares:

PERP 1: Dada una recta L y un punto P, existe una y sólo una perpendicular a L que pasa

por P.

PERP 2: Si L1 || L2, y K L1, entonces K L2.

Las figuras 2.21 (a) y (b) ilustran casos particulares de los enunciados PERP1 y PERP2,

respectivamente.

L

P

L1

L2

K

(a) (b)

figura 2.21

Pregunta 18. ¿Si el punto P pertenece a la recta L, también es válido PERP 1?

Teorema 2.2

Si L1 K y L2 K, entonces L1 || L2.

Demostración.3

En cualquier caso, las rectas L1 y L2 podrían o no ser paralelas. Supongamos que no son

paralelas, entonces por PAR 1 (ver página 13) se sabe que se cortan en un único punto P,

como se ilustra en la figura 2.22.

P

L1

L2

K figura 2.22

Dado que L1 K y L2 K, se tendrían dos rectas diferentes –ambas perpendiculares a K–

que pasan por el mismo punto P; esta situación contradice la propiedad PERP 1. De esta

contradicción se deduce que nuestra suposición inicial (las rectas L1 y L2 no son paralelas)

es falsa, por lo tanto es verdadero que las rectas L1 y L2 son paralelas.

3 Esta es una demostración típica de “prueba indirecta” o “prueba por contradicción”.


30

Pregunta 19. ¿Es correcto afirmar que si K1 K2 y K2 K3 entonces K1 K3?

2.2.2 Distancia de un punto a una recta.

En el capítulo anterior definimos la distancia entre dos puntos en el plano; ahora, la noción

de perpendicularidad nos permite definir la idea de distancia de un punto a una recta.

Definición:

Sea P un punto y L una recta. Se define la distancia de P a L como la medida de la longitud

del segmento PM , donde M es el punto de corte de la rectas K y L, siendo K la recta

perpendicular a L que pasa por P. Al punto M se le denomina pie de la recta K.

M

L

P

K

figura 2.23

La figura 2.23 ilustra la anterior definición. Ahora bien, como se observa en la figura 2.24

existen infinitas rectas Ki que pasan por P y cortan a L en los puntos Mi respectivos,

generando infinitos segmentos iPM .

M

L

P

K

M1

M2

Mn

K1

K2

Kn

figura 2.24

A cada uno de estos segmentos le podemos asociar la medida de su longitud, teniendo

tantas medidas como segmentos (i.e. infinitas). Sin embargo, de todas éstas medidas, la

menor de ellas corresponde a la del segmento generado por la recta perpendicular a L.

Pregunta 20. ¿Por qué es válida la anterior afirmación?

Pregunta 21. ¿Si el punto P pertenece a la recta L, cual es la distancia de P a L?

Ángulos

31

Bajo esta idea de distancia de un punto a una recta, podemos definir la distancia entre dos

rectas paralelas.

Definición:

Sea L1 || L2. La distancia de L1 a L2 es la distancia de cualquier punto de L1 a L2 .

Atendiendo a esta definición es claro que si L1 || L2, y P y Q están en L1, entonces la

distancia de P a L2 es igual a la distancia de Q a L2. La figura 2.25 ilustra esta situación.

RL2

PL1

Q

S

figura 2.25

Pregunta 22. ¿Se puede definir la distancia entre rectas no paralelas?

Antes de concluir este apartado presentamos algunas definiciones –más o menos

familiares– que serán de utilidad para los apartados que siguen.

Sean P, Q, M y N cuatro puntos –colineales sólo dos a dos– que determinan la figura que

consta de cuatro lados PQ , QM , MN y NP . Cualquier figura de cuatro lados es llamada

un cuadrilátero. Si los lados opuestos del cuadrilátero son paralelos, esto es, si PQ es

paralelo a MN y PN es paralelo a QM , entonces la figura es llamada un paralelogramo

(ver figura 2.26).

N

P Q

M figura 2.26

Un rectángulo es un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos, como se muestra en la figura

2.27


32

N

P

Q

M figura 2.27

La definición de rectángulo sólo atiende a los ángulos. Las siguientes propiedades básicas

serán constantemente utilizadas.

Propiedad básica 1. Los lados opuestos de un rectángulo son paralelos. Es decir, todo

rectángulo es un paralelogramo.

Esta propiedad es una consecuencia directa del teorema 2.2.

Propiedad básica 2. Los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud.

Esto se sigue de la primera propiedad básica y de la distancia entre paralelas.

Un cuadrado es un rectángulo que tiene todos sus lados de la misma longitud.

2.3 Los ángulos de un triángulo.

Consideremos tres puntos A, B y C no colineales en un plano y las rectas generadas por

éstos, como se muestra en la figura 2.28.

A

B

C

LAC

LBC

LAB figura 2.28

En ésta se ha resaltado el ángulo CBA , definido por los rayos RBC y RBA, éste lo

referiremos en forma abreviada como B . De esta misma forma, al ángulo ACB lo

notaremos como C , en tanto que al ángulo CAB lo notaremos como A .

Ángulos

33

A cada uno de estos ángulos ( CBA ,, ) los denominaremos los ángulos del triángulo

ABC . Diremos también, abusando del lenguaje, que el ángulo A está definido –o

formado– por los lados AB y AC , el ángulo B está definido por los lados BC y BA , y

el ángulo C está definido por los lados CA y CB , En capítulos posteriores se realizarán

algunas observaciones en donde se evidenciará que un triángulo define otros ángulos.

Experimentos 2.4

1. Construya un triángulo que tenga un ángulo de medida:

a. 30° b. 90° c. 135° d. 180° e. 270°

2. Construya un triángulo que tenga dos ángulos de medida:

a. 10° b. 30° c. 60° d. 90° e. 180°

3. Registre de manera escrita sus observaciones y posibles conjeturas respecto de las

construcciones realizadas en este experimento.

2.3.1 Triángulo rectángulo

Definición:

Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. Los lados del triángulo que

forman el ángulo recto se llaman catetos; el otro lado, hipotenusa.

Q

P

M

figura 2.29

En la figura 2.29, PQ y PM son los catetos y QM es la hipotenusa.

Pregunta 23. ¿Puede un cateto tener mayor longitud que la hipotenusa? Justifique.

Experimentos 2.5

1. Dibuje un triángulo rectángulo y denótelo como ABC tal que º.90)( Cm Use un

transportador para medir los ángulos A y B . Calcule )()( BmAm . Dibuje

otros triángulos rectángulos diferentes, denótelos bajo las mismas condiciones

anteriores y para cada uno de ellos calcule )()( BmAm . Enuncie una conjetura

acerca del valor )()( BmAm . Intente probarla.


34

2. Dibuje un triángulo rectángulo y registre las medidas de la longitud de sus catetos.

Dibuje otro triángulo rectángulo cuyos catetos tengan las medidas registradas y

compárelo con el primero que dibujó. ¿Puede dibujar un triángulo rectángulo de

diferente forma en el que sus catetos también midan lo mismo que los del primer

triángulo que dibujó? Justifique su respuesta.

3. Recorte dos triángulos rectángulos “iguales” y únalos por su hipotenusa. ¿Qué figura

obtiene? Intente demostrar la validez de su respuesta.

En el experimento anterior trabajó con una clase especial de triángulos, el triángulo

rectángulo, el cual juega un papel importante en lo que sigue. Muchas propiedades de los

triángulos arbitrarios –o de otras figuras– pueden reducirse al análisis de las propiedades de

los triángulos rectángulos.

En este mismo experimento debió darse cuenta de que los triángulos rectángulos con

catetos de la misma medida tienen todos sus otros elementos de la misma medida. El

siguiente enunciado formaliza este hecho empírico:

TR (Triángulo rectángulo) : Sean ABC y XYZ triángulos rectángulos cuyos catetos

correspondientes tienen la misma longitud, esto es: YZBC y XZAC . Entonces las

hipotenusas tienen la misma longitud y los ángulos correspondientes tienen la misma

medida, es decir: XYAB , m( A)=m( X) , m( B)=m( Y), como lo muestra la

figura 2.30. A

C

B

Z

Y

X

figura 2 30

Podemos ahora probar las propiedades que usted debió descubrir en el experimento

anterior.

Teorema 2.3

Si A y B son los ángulos de un triángulo rectángulo distintos del ángulo recto, entonces

m( A) + m( B) = 90° (Ver figura 2.31).

Ángulos

35

A

C

B

figura 2.31

Demostración

Sea PQRS un rectángulo con ACPS y BCRS , y dibujemos el segmento PR como

en la figura 2.32.

P

Q

R

S

1

2

figura 2.32

Note que los triángulos PRS y ABC tienen catetos correspondientes de igual longitud.

Luego m( 1) = m( A). Ahora bien, como los lados opuestos de un rectángulo tienen la

misma longitud, tenemos que RSQP y PSQR ; por lo tanto, m( 2) = m( B).

Como los ángulos 1 y 2 de la figura constituyen una esquina del rectángulo entonces

m(1)+m(2)=90°. Substituyendo se tiene que m( A) + m( B) = 900. Lo cual prueba el

teorema.

Este teorema nos permite afirmar que en un triángulo rectángulo, si conocemos la medida

de un ángulo –diferente del ángulo recto– podemos determinar el valor de la medida del

tercer ángulo.

Observación: Si PQRS es un paralelogramo, entonces los segmentos PR y QS son

llamados las diagonales. Una diagonal descompone el paralelogramo en dos triángulos;

esta manera de descomponer una figura en triángulos, es una manera efectiva de estudiarla.

Pregunta 24. ¿Tienen las diagonales de un rectángulo la misma longitud?

Pregunta 25. ¿Tienen las diagonales de un paralelogramo la misma longitud?


36

Los anteriores teoremas permiten justificar las relaciones que existen entre los ángulos que

se configuran cuando dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta, como se

observa en la figura 2.33.

12

34

5 678

L1

L2

L3

figura 2.33

Algunas parejas de estos ángulos reciben un nombre especial. Los ángulos 1 y 5, 2 y

6, 3 y 7 y 4 y 8 se llaman pares de ángulos correspondientes o ángulos

paralelos. Los ángulos 3 y 6, 4 y 5 se llaman alternos internos; los ángulos 1 y

8, 2 y 7 son los alternos externos.

Teorema 2.4

Sean L1 y L2 rectas paralelas cortadas por una recta K. Entonces cada par de ángulos

correspondientes tiene la misma medida, así como cada par de ángulos alternos.

La figura 2.34 ilustra una interpretación equivalente de este teorema.

L1

L2

K

A

A’

B

m(A)=m(A’)=m(B)

figura 2.34

Demostración.

La recta K puede o no ser perpendicular a las rectas L1 y L2. Examinemos cada una de estas

posibilidades.

En primer lugar, si K L1, lo es a L2 y por tanto m(A) = m(A’) = m(B) = 90°.

En segundo lugar, si K no es perpendicular a L1 tracemos por Q (un punto de K como lo

muestra la figura 2.35) una perpendicular a L1 –y por tanto perpendicular a L2–, y sean M y

N los pies de esa perpendicular común a L1 y L2, respectivamente.

Ángulos

37

Q

K

A

L1

P M

A'

L2

BR N

figura 2.35

En el PQM, m(A)+m(Q)=90°; de la misma forma en el RQN, m(B)+m(Q)=90°.

De esto se concluye que m(A) = m(B). Además, como A y A’ son opuestos por el

vértice se deduce que m( A’) = m(B). En conclusión, m(A) = m(B) = m(A’).

Pregunta 26. ¿Qué propiedades se utilizaron en la anterior demostración?

2.3.2 La medida de los ángulos de un triángulo.

Experimentos 2.6

1. Dibuje un triángulo arbitrario, y denote sus ángulos CBA ,, como se muestra en

la figura 2.36.

A

B

C

figura 2.36

Recorte las regiones de los ángulos A y C y ubíquelas al lado de la región del

ángulo B , como lo indica la figura 2.37.

A

BC

figura 2.37

Repita este experimento para otros triángulos. ¿Qué observa?

Teorema 2.5


38

La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180°.

Demostración.

Sean A, B y C tres puntos en el plano tales que definen un triángulo. Por B construimos una

recta K, paralela a LAC , y denotamos los ángulos 1 y 2 (ver figura 2.38).

CA

B

1K

2

figura 2.38

Como K || LAC los ángulos 1 y A son alternos, así como lo son los ángulos 2 y C. De

allí que m(1) = m(A) a la vez que m(2) = m(C). Ahora bien, como los ángulos 1,

B y 2 forman un ángulo llano (i.e. m(1)+m(B)+m(2)=180°), se deduce

inmediatamente que m(A)+m(B)+m(C)=180°, con lo cual se demuestra el teorema.

Ahora podemos probar el recíproco del teorema 2.4, lo cual nos diría –como se observa en

la figura 2.39, que si m(A)=m(B) entonces L1 es paralela a L2.

L2

L1

A

B

figura 2.39

Esto es muy útil cuando se trata de determinar cuándo dos líneas son paralelas.

Teorema 2.6

Sean L1 y L2 dos rectas y K una recta que las corta en P1 y P2 respectivamente, siendo

P1P2. Sean A y B los ángulos entre K, L1 y K, L2 del mismo lado de L1 , L2 ,

respectivamente. Si m(A) = m(B), entonces L1 y L2 son paralelas.

La figura 2.40 ilustra el teorema enunciado.

Ángulos

39

L2

L1

A

B

K

P2

P1

figura 2.40

Demostración.

Existen dos posibilidades para las rectas L1 y L2. En primer lugar, si éstas no se cortan

serían paralelas y, por tanto, no habría nada que probar. De otra parte, supongamos que

ellas se cortan en un punto M, como se muestra en la figura 2.41 (i.e. suponemos que L1 y

L2 no son paralelas).

M

Q

P1

P2

L1

L2

C

A

B

figura 2.41

Probaremos que en caso de que las rectas L1 y L2 se corten, éstas deberán ser la misma, es

decir L1 = L2. Sea Q un punto de K (como se muestra en la figura 2.41). Los triángulos

1QMP y 2QMP tienen al ángulo C en común, y por hipótesis, m(A) = m(B). De

donde se sigue que 1QMP y 2QMP tienen la misma medida, porque

180)()()( 1QMPmAmCm y 180)()()( 2QMPmBmCm .

Por tanto, P1 y P2 están en una misma recta distinta de K, ó P1 y P2 están simultáneamente

en L1 ó L2; luego P1 = P2 . Como asumimos que P1P2 se sigue que las rectas L1 y L2 tienen

dos puntos distintos en común, así L1 = L2 y L1 || L2, probando así el teorema.

Ejercicios 2.2

1. En la figura 2.42, K V y L V. ¿ Qué se puede deducir acerca de K y L? Justifique

su respuesta.


40

V

K L

figura 2.42

2. Si K L 1 y L1 || L2. ¿Qué relación existe entre K y L2 ? Justifique su respuesta.

3. Considere la información contenida en la figura 2.43 y responda –justificando– las

siguientes preguntas.

L1

L2

S

W

Q

T

P V

figura 2.43

a) ¿ WSPQ RR ? b) ¿ WSQT ? c) ¿ PQVS RR ?

4. En la figura 2.44, PTPR y PSPQ . Pruebe que )()( BmAm .

S

xB

P

A

R

Q

T

figura 2.44

5. El siguiente es un ejemplo de una prueba no matemática por contradicción:

“Juan quiere ir a Unicentro después de almorzar, su madre le dice que no, él

debería quedarse en casa para estudiar y seguir manteniendo una NC de E.

Juan contra argumenta: Suponga que no voy a Unicentro esta tarde. Entonces

no podré comprar el transportador. Mañana, sin él, en la clase de taller, mi

Ángulos

41

profesor me pondrá una I. Como esto no debe suceder, debes dejarme ir a

Unicentro”.

Dé otro ejemplo de una prueba no matemática por contradicción que haya usado

alguna vez en su vida.

6. Otra definición de rectángulo es: Un rectángulo es un paralelogramo con un ángulo

recto. Pruebe que esta definición es equivalente a la dada en el texto.

7. Considere la información contenida en la figura 2.45.

C

A

D

B0

4

3S

2

T

1

figura 2.45

Suponiendo que ABCD LL , responda a las siguientes preguntas:

(a) ¿Cuál es el valor de )2()1( mm ?

(b) ¿Si m( ) º , 3 50 entonces cuál es )4(m ?

(c) ¿Es AOT el suplemento de TOB?

(d) ¿Cual es el valor de )4()3()2()1( mmmm ?

(e) ¿Si m( ) º , 4 23 entonces cuál es )3(m ?

(f) ¿Si m( ) º , 1 32 entonces cuál es )( TOBm ?

(g) ¿Debe ser R ROT OS cuando m m( ) ( ) º 1 4 90 ?

(h) ¿Si m BOC( ) º 90 y m BOS( ) º , 45 cuánto mide COS ?

8. En el cuadrilátero PBQC mostrado en la figura 2.46 suponga que PBQ y QCP

son ángulos rectos y que ).()( YmXm Demuestre que m QBA m DCQ( ) ( ).


42

C

D

P

A

Q

Y

B

X

figura 2.46

9. Sean A, B y C los ángulos de un triángulo rectángulo, donde A es el ángulo recto.

Encuentre m C( ) cuando m B( ) tiene los siguientes valores:

a) 10º b) 60º c) 30º d) 45º e) 90°

10. Sea A, B y C los ángulos de un triángulo. Encontrar m C( ) si:

a) m A m B( ) º , ( ) º 47 110

b) m A m B( ) º , ( ) º 120 30

11. Encontrar el valor de x en cada de las siguientes gráficas de la figura 2.47, suponiendo

que las rectas que parecen paralelas lo son.

x°

50°

x°

80°

116°

x°90°

(a) (b) (c)

80°

40° x°

60°

95° x°

100°

x°83°

(d) (e) (f)

Ángulos

43

figura 2.47

12. En las gráficas de la figura 2.48 L1 || L2 . Determine el valor de x.

x°

48°

25°

P

L1

L2

160°

30°

P

L1

L2

(a) (b)

figura 2.48

13. Sea MAZO cualquier cuadrilátero, pruebe que la suma de las medidas de sus ángulos

es 360º (Sugerencia: construya el segmento AO y considere los triángulos formados).

14. En la figura 2.49 CL || AB . Demuestre que ).()()( RmPmSm

P

S

R

C

Q

B

A

figura 2.49

15. Sea PMQ un triángulo rectángulo con ángulo recto en M (ver figura 2.50). Sea H el

pie de la perpendicular a PQ trazada por M. Pruebe que los tres ángulos de PMH

tienen la misma medida de los tres ángulos de .MQH

a

P

b

M

QH

figura 2.50

16. Demuestre la validez del siguiente enunciado: Los ángulos opuestos de un

paralelogramo tienen la misma medida.


44

17. En la figura 2.51, PSQN y PTQM . Demuestre que )()( QmPm .

P

T

M

N

Q

S

X

figura 2.51

18. Si en la figura 2.52 m A m B( ) ( ), demuestre que L1 || L2.

A

L2

L1

B

K

figura 2.52

19. ¿Cuál es el error en la siguiente “prueba”?

En la figura 2.53, L1 y L2 son dos rectas arbitrarias. La recta K corta a L1 en P y a

L2 en R.. Desde Q trazamos una perpendicular a L1 y L2 . Sean M y N los puntos de

corte. En el triángulo rectángulo QMP, sabemos que m m Q( ) ( ) º . 1 90

Análogamente, en el triángulo rectángulo QNR, sabemos que

m m Q( ) ( ) º . 2 90 De tal modo, obtenemos que m m( ) ( ). 1 2 K

1

L1

P

M

L2

2R

N

Q

figura 2.53

Capítulo III

Coordenadas

3.1 Sistemas de coordenadas.

3.1.1 Coordenadas en la recta.

En cursos elementales de matemáticas usted tuvo ya la oportunidad de estudiar la recta numérica,

así, ya sabe que una vez se haya escogido un origen y una unidad de longitud, podemos

representar puntos sobre una recta mediante números. Más precisamente, podemos asociar a cada

punto de la recta un único número real. La figura 3.1 muestra una recta en la cual hemos

desarrollado el proceso antes descrito y hemos identificado algunos puntos con su número

respectivo. Así, una recta se transforma en una recta numérica también conocida como eje

numérico.

-6 -5 -4 -3 -1 0 1-2 5432 6

OA BLAB

figura 3.1

Aunque convencionalmente el eje numérico se dibuja en posición horizontal, éste puede trazarse

en cualquier dirección. Se acostumbra, también que si el eje se dibuja verticalmente las unidades

positivas se ubiquen hacia arriba, y por tanto las negativas hacia abajo.

3.1.2 Coordenadas en el plano.

El procedimiento anterior de asociar a los puntos de una recta un número, puede ser extendido al

plano, representando cada punto del plano mediante una pareja de números. Para ello

procederemos como sigue.

Tomemos dos rectas perpendiculares entre sí, una horizontal (eje x) y otra vertical (eje y); al

punto de corte de las mismas denominémoslo origen. Asignemos al origen el número cero, y

seleccionando una unidad de longitud para cada recta dada, construyamos –bajo las

convenciones– ejes numéricos respectivamente. Los dos ejes dividen el plano en cuatro regiones

llamadas cuadrantes que se enumeran como se muestra en la figura 3.2.

Coordenadas

45

-6 -5 -4 -3 -1 1-2 5432 6

-6

-5

-4

-3

-1

1

-2

5

4

3

2

6

III

III IV

figura 3.2

Ahora bien, si elegimos cualquier punto P del plano –que no pertenezca a los ejes– y trazamos

rectas paralelas a ambos ejes que pasen por P, obtenemos un punto de corte en cada uno de los

ejes numéricos, denotemos estos puntos como Px para el corte con la recta horizontal y Py para el

corte con la recta vertical. A cada uno de los números que constituyen la pareja de números

asociada en este orden a cada uno de estos puntos –usualmente conocida como (x, y)– se les

denomina la coordenada del punto P como se muestra en la figura 3.3, en la cual (-3,4) son las

coordenadas de P.

-6 -5 -4 -3 -1 1-2 5432 6

-6

-5

-4

-3

-1

1

-2

5

4

3

2

6

P Py

Px

figura 3.3

Si el punto está sobre uno de los eje numéricos, se procede de la misma manera, pero como

existen infinitos puntos de corte con uno de los ejes se asume cero para uno de los valores

numéricos de la pareja (x,y). Así, un punto ubicado sobre el eje horizontal, tendrá coordenadas

(x,0), en tanto que un punto sobre el eje vertical tendrá coordenadas (0,y).

En general, si consideramos las coordenadas (x,y) de un punto P, al número x se le llama abscisa,

mientras que al número y se le llama ordenada.

Recíprocamente, cada par de números reales (x,y) determina un único punto P del plano.


46

Un plano que contenga el sistema de coordenadas se llama plano cartesiano1 , plano de

coordenadas o plano xy.

Pregunta 1. ¿Qué punto del plano le asignaría a la pareja de números

3,

3

5? Describa

en detalle el procedimiento utilizado para asignar un punto en el plano a un par

de números reales.

Pregunta 2. ¿Qué coordenadas tiene el origen?

Pregunta 3. ¿Qué signos algebraicos tienen las coordenadas en cada cuadrante?

Los ejes numéricos se eligen en forma vertical y horizontal por mera conveniencia. Eligiendo los

ejes en forma distinta se obtiene otro sistema de coordenadas. Por supuesto, las coordenadas de

un punto en un sistema son distintas a las coordenadas de este punto en otro sistema.

-6 -5 -4 -3 -1 1-2 5432 6

-6

-5

-4

-3

-1

1

-2

5

4

3

2

6

P

-6-5

-4-3

-1

1

-2

54

32

6

-6

-5

-4

-3

-1

1

-2

5

4

3

2

6

figura 3.4

Como se observa en la figura 3.4, el punto P tiene coordenadas (-3,4) en un sistema, y

coordenadas (3,1) en el otro.

3.1.3 Coordenadas en el espacio.

La extensión de este sistema coordenado del plano al espacio tridimensional, se hace

introduciendo un tercer eje perpendicular a los ejes x y y, por el origen de coordenadas. Este

nuevo eje se denota como eje z. Estos tres ejes dividen el espacio en 8 regiones llamadas

1 Este sistema se llamó así en honor del filósofo y matemático René Descartes (1596-1650)

Coordenadas

47

octantes. La figura 3.5 presenta un dibujo de la situación previamente descrita; adicionalmente,

exhibe la manera convencional en que se ubican los ejes coordenados y como se numeran los

octantes.

Eje x

Eje y

Eje z

I

II

i

III

IV

V

VI

VIII

figura 3.5

Con estos tres ejes se establece una correspondencia entre puntos del espacio con ternas o triplas

ordenadas de números reales de la forma (x, y, z). Recíprocamente, cualquier terna ordenada de

números reales tiene asociada un punto P del espacio. La figura 3.6 muestra una manera de

dibujar el punto Q de coordenadas (5,3,4) .

Eje x

Eje y

Eje z

Q

3

4

5

figura 3.6

Ejercicios 3.1

1. Localice, en un mismo plano cartesiano, los puntos correspondientes a las siguientes parejas

ordenadas:

a. )1,10( b. )5,0( c. )8,5( d. )0,4(

e.

2

1,

2

1 f.

6,

3

1 g.

3

5,

8

35


48

2. Utilice regla y compás para ubicar, en un mismo plano cartesiano, los puntos

correspondientes a las siguientes parejas ordenadas (no use el valor numérico de los

radicales):

a. 2,2 b. 5,1 c. 2,5 d. 0,3

3. Determine las coordenadas de los puntos P P P P1 2 3 4, , y de la figura 3.7

Eje x

Eje y

3

-2.56

-5.9

-5

-5.8

1

6.1 ..

..

P1

P2

P3

P4

figura 3.7

4. Si el punto P ( , ) a b está en el cuadrante I, determine el cuadrante en el cual se localizan

los puntos dados.

a. P1 ( , )a b b. P2 ( , )a b c. P3 ( , ) a b

d. P4 ( , )b a e. P5 ( , )a a f. P6 ( , )b b

5. Localice en un mismo dibujo del espacio tridimensional los puntos correspondientes a las

triplas ordenadas siguientes:

a. )3,2,1( b. )5,2,0( c. )1,0,0( d. )5,2,1(

6. Si ( , , ) a b c está en el octante I, determine el octante en el cual se localizan los puntos

correspondientes a las siguientes coordenadas:

a. ( , , ) a b c b. ( , , ) a b c c. ( , , )a b c

d. ( , , )a b c e. ( , , ) a b c

3.2 Distancia entre dos puntos sobre una recta.

La distancia entre los punto P cuya coordenada es 3 y Q cuya coordenada es -2 en la recta es la

diferencia entre las abscisas P - Q = 3 - ( ) 2 = 5.

-6 -5 -4 -3 -1 0 1-2 5432 6

Q P

figura 3.8

Coordenadas

49

Observe que si tomamos la diferencia entre –2 y 3 en la otra dirección, o sea: Q-P=-2-3=-5

tendremos una distancia negativa, lo cual es un absurdo. Para evitar esta contradicción,

tomaremos el valor absoluto de la diferencia de las abscisas o equivalentemente, la raíz cuadrada

del cuadrado de la diferencia. Más precisamente, este resultado queda establecido con el siguiente

teorema:

Teorema 3.1.

Sean P , Q dos puntos de una recta con abscisas x1 y x2 respectivamente, entonces la distancia

entre P y Q está dada por:

21

2

21 )(),( xxPQxxQPd

Demostración.

OP PQ OQ (relación de Chasles)

PQ OQ OP

PQ x x 1 2 (definición de abscisa)

así,

21

2

21 )(),( xxPQxxQPd

Ejercicios 3.2

1. Encuentre la distancia entre los puntos P y Q si sus abscisas son respectivamente:

a. 3 y 7 b. -3 y -7 c. 3

4

2

3y d. 5 y

1

5 e.

13 y 13 f. - 2 y 5 g. 01

4y h. 2 y 3

2. ¿Cuáles son los posibles valores de x tales que la distancia a x de 5 es

a. 10? b. –5? c. 1

2? d. 0. 25?

3. ¿Cuáles son los posibles valores de x tales que la distancia a x de -2 es

a. 4? b. –3? c. 3? d. 25?

4. ¿Cuáles son los posibles valores de x tales que la distancia a 3 sea menor o igual que 7?

Grafique.

5. ¿Cuáles son los posibles valores de x tales que la distancia a x desde h es k?


50

6. En la figura 3.9, d P Q d R S( , ) ( , ) . Probar que d P R d Q S( , ) ( , )

SRQP

figura 3.9

7. La figura 3.10 representa una recta numérica.

A B C D E F

-6 -4 -2 0 2 4 6

figura 3.10

a. ¿Qué punto tiene coordenada -5 ?

b. ¿Cuál es la medida de la longitud entre A y D ?

c. ¿Cuál es la coordenada del punto medio de BF ?

d. ¿Cuál es el valor de d(B,C)+d(C,D)+d(D,E)? , ¿es el mismo de d(B,E)?

e. ¿Son colineales B,C y D ?

f. ¿Pasa LBC por A ?

g. ¿Se cumple que d(A,B) + d(B,C) = d(A,C) ?

h. ¿Son R y RCA CD opuestos?

i. ¿Es cierto que C pertenece a RBD ?

j. ¿Qué es R RCA BD ?

Capítulo IV: Área y Teorema de Pitágoras

4.1 Superficie y área.

4.1.1 La idea de superficie.

Aunque tenemos una idea intuitiva de lo que es una superficie, no es fácil precisar una

definición acerca de lo que ella es. En algunos casos, cotidianamente utilizamos la palabra

superficie para referirnos a la parte exterior de los objetos que, en cierto sentido,

determinan su forma; por ejemplo, hablamos de la superficie esférica de un balón como la

parte externa del mismo, es decir, lo que nuestro tacto percibe al desplazar nuestra manos

por sobre él. En ocasiones hacemos uso de la palabra superficie para mencionar una

porción específica de un terreno; por ejemplo, decimos que el fútbol se juega sobre una

superficie rectangular plana.

En geometría, en términos generales, nos referiremos a las superficies como porciones del

plano determinadas generalmente por segmentos, por curvas y/o puntos. Por ejemplo, una

superficie triangular será aquella determinada por un triángulo; sin embargo, como el lector

acucioso ya lo habrá podido identificar, un triángulo determina por lo menos dos regiones,

que basados nuevamente en nuestra intuición, podríamos respectivamente denominar región

exterior y región interior al triángulo. En este caso consideraremos la superficie triangular

como la región interior al triángulo junto con el triángulo, es decir la región que es común a

los tres ángulos del triángulo. En la figura 4.1 la superficie triangular corresponde a la

región común a los ángulos BAC, CBA y ACB; nótese que los lados del triángulo

también corresponde a la región triangular.

A B

C

figura 4.1


56

Pregunta 1. ¿De acuerdo con lo expresado en el párrafo anterior y apoyado en el

ejemplo, considera usted que un punto, una recta o una curva, trazadas

sobre un plano representan, respectivamente, otros ejemplos de

superficie? Justifique su respuesta.

Pregunta 2. ¿De los siguientes ejemplos, cuales y por qué considera usted que son

representaciones de superficie?

La región exterior al triángulo.

Un ángulo.

Un rayo.

Un plano al cual se le ha retirado un punto.

Los vértices de cualquier cuadrilátero.

4.1.2 La medida de la superficie.

Experimento 4.1:

1. Sobre un papel milimetrado dibuje (de preferencia calque) las superficies de la figura

4.2

figura 4.2

2. Determine cuántos cuadrados de 1 centímetro de lado caben en cada una de ellas.

3. Determine cuántos cuadrados de 1 milímetro de lado caben en cada una de ellas.

4. Determine cuántos cuadrados de 1 decímetro de lado caben en cada una de ellas.

5. Compare los resultados obtenidos y establezca una conclusión.

6. Determine cuántos cuadrados de 0.1 milímetro de lado cabrían en cada una de ellas.

7. Discuta y compare sus respuestas con las de sus compañeros.

Los términos superficie y área se utilizan cotidianamente como sinónimos; sin embargo, en

Geometría, significan conceptos diferentes; en tanto que la superficie es una porción del

Área y Teorema de Pitágoras

57

plano con las condiciones antes señaladas, el área es un número positivo que mide la

cantidad de superficie.

Ahora bien, así como para medir longitudes se escoge una unidad de medida (por ejemplo,

un segmento de 1 centímetro), también seleccionamos una superficie como unidad de

medida, para con ella establecer la cantidad de superficie. Particularmente, seleccionamos

como unidad de medida una superficie cuadrada definida por un cuadrado con lados de

longitud 1 centímetro (ver figura 4.3); a éste le asignamos como medida 1 centímetro

cuadrado (1 cm2).

Área = 1 cm2

1 cm

1 cm

figura 4.3

Así, estableciendo cuántos cuadrados de área uno caben en la superficie, podemos

determinar su área. Por ejemplo, una superficie determinada por un cuadrado de lado 4 cm.

tiene como área 16 cm2, pues en éste caben 16 cuadrados de área uno.

4.1.3 El área de algunas superficies geométricas.

Para determinar la medida de una superficie geométrica (i.e. el área de la superficie),

generalmente se puede proceder de dos formas, a saber: contando el número de unidades

de superficie que caben en la superficie y/o realizando cálculos con las medidas de algunos

de los segmentos determinados por la superficie (o que la determinan).

Pregunta 3. ¿A pesar que un punto, una recta o una curva no representan superficies,

cuál será el valor del área que se les asigna para que guarde coherencia

con lo dicho en el párrafo anterior?.

Pregunta 4. ¿El que dos superficies tengan la misma área, significa en todos los casos

que ellas sean iguales, o que tengan la misma forma?

Pregunta 5. ¿Si dos superficies son tales que tienen áreas A y B respectivamente, y

además tienen la particularidad que coinciden en parte de sus lados, cuál

será el valor del área de la superficie que se obtiene al juntar las dos

superficies por la parte del lado que coinciden? ¿Puesto que hay un lado

común, es lícito pensar que se ha tenido en cuenta dos veces el área de

este lado en la determinación del área total?


58

Pregunta 6. ¿Cuál será el área de la nueva superficie si al juntar las dos superficies

iniciales éstas se traslapan en una porción de ellas?

4.1.3.1 El área de superficies cuadradas y rectangulares.

Experimento 4.2:

1. Sobre un papel milimetrado dibuje cuatro cuadrados diferentes (no todos con lados

de medida de longitud un número entero).

2. Cuente cuántos cuadrados de 1 centímetro de lado caben en cada una de las

superficies determinadas por ellos.

3. Compare los resultados obtenidos con el resultado de elevar al cuadrado la medida de

la longitud de los lados, respectivamente.

4. Establezca una conclusión.

5. Sobre un papel milimetrado dibuje cuatro rectángulos diferentes (no todos con lados

de medida de longitud un número entero).

6. Cuente cuántos cuadrados de 1 centímetro de lado caben en cada una de las

superficies determinadas por ellos.

7. Compare los resultados obtenidos con el resultado de multiplicar las medidas de las

longitudes de dos lados sucesivos, respectivamente.

8. Establezca una conclusión.

En general, las fórmulas para calcular el área A de una superficie cuadrada definida por un

cuadrado cuyo lado tiene longitud l y el área de una superficie rectangular definida por un

rectángulo cuyos lados tienen longitudes a y b, son, respectivamente:

A = l l = l2 A = a b

En adelante, abusando un poco de la precisión en el lenguaje, diremos área de un cuadrado

para referirnos al área de la superficie cuadrada determinada por el cuadrado y área de un

rectángulo para referirnos al área de la superficie rectangular determinada por el

rectángulo. Extrapolaremos esta manera de referirnos al área de otras superficies; por

ejemplo, diremos área de un triángulo en vez de área de la región triangular.

4.1.3.2 El área de superficies triangulares

Teorema 4.1.

El área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de las medidas de las

longitudes de los dos catetos.


59

A =

C

B

A1

2BC AB.

figura 4.4

Demostración.

Dado el triángulo ABC , construimos un rectángulo PQRS cuyos lados tienen la misma

longitud que AB y BC y dibujamos su diagonal QS (ver figura 4.5)

P

S

Q

R

C

B

A

figura 4.5

El área del rectángulo PQRS = PQ PS = AB BC

Pero como los triángulos SPQ , QRS y ABC tienen la misma área y además la suma

del área de dos de ellos es igual al área del rectángulo, entonces:

área del ABC = área del QRS = área del SPQ = 1

2AB BC

Pregunta 7. ¿Por qué se puede asegurar que los triángulos SPQ, QRS y ABC

tienen la misma área y que además dos de ellos suman el área del

rectángulo PQRS?

Pregunta 8. ¿Dado que un triángulo tiene tres alturas, por lo general diferentes, las

áreas que se puede determinar respectivamente son también diferentes?

Una vez demostrado el teorema 4.1 podemos utilizarlo para deducir una manera de calcular

el área, no solamente de triángulos rectángulos, sino también de cualquier triángulo.

Observemos inicialmente, que cualquier lado del triángulo puede considerarse como base

del triángulo; el segmento perpendicular (trazado desde el vértice opuesto a la base hasta

un punto sobre la base o su prolongación, al cual se llama pie), se denomina altura


60

correspondiente a esa base. La figura 4.6 muestra, para el triángulo ABC , las tres

posibles bases con sus respectivas alturas.

A B

C

A B

C

A B

C

b1

h1

b2

h2 b3

h3

figura 4.6

Note que el segmento que determina la altura relativa a la base dada puede estar fuera o

dentro del triángulo. En general, además de estas dos opciones, existe la posibilidad de que

dos de las alturas coincidan con los lados del triángulo, en cuyo caso el triángulo es

rectángulo.

Teorema 4.2.

Si b es la medida de la longitud de una base de un triángulo y h es la medida de la altura

correspondiente a esa base, entonces el área del triángulo es:

área = hb21

Demostración.

Como mencionamos arriba, la altura relativa a una base puede o no estar dentro de la

superficie triangular, o puede coincidir con uno de los lados; debido a que en este último

caso nos remite a un triángulo rectángulo y este caso ya se estudió (ver teorema 4.1), sólo

consideraremos los dos casos iniciales:

Caso 1: La altura trazada está dentro del triángulo y divide la base en dos segmentos de

medidas x y y, respectivamente (ver figura 4.7).

A

C

B

N

x y b

h

figura 4.7


61

Es claro que: área del ABC = área del ANC + área del NBC

= hx21 + hy

21

= )(21 yxh

= bh21

Caso 2: La altura trazada está fuera del triángulo (ver figura 4.8)

A

C

B

N y b

h

figura 4.8

Es claro que: área del ABC = área del ANC – área del BNC

= hyb )(21 - hy

21

= )(21 yybh

= bh21

4.1.3.3 El área de la superficie definida por un trapezoide.

Definición

Un trapezoide es un cuadrilátero, con sólo dos de sus lados paralelos.

Los lados paralelos son denominados las bases del trapezoide, en tanto que la altura del

trapezoide es un segmento de recta comprendido entre sus bases y perpendicular a ellas. En

la figura 4.9, se muestra el trapezoide ABCD, para el cual los segmentos AB y DC son

sus bases y el segmento EF es una de sus alturas.

A

B

C

D

E

F

figura 4.9


62

Pregunta 9. ¿De las siguientes figuras, cuáles representan un trapezoide?

figura 4.10

Pregunta 10. ¿Un cuadrado es un trapezoide? ¿Un rectángulo es un trapezoide?

Explique su respuesta.

Teorema 4.3

El área A de la superficie determinada por un trapezoide, con altura de longitud h y bases

de longitudes b1 y b2 , respectivamente, es:

hbbA )( 2121

Demostración.

Consideremos el trapezoide PQRS con longitudes como lo muestra la figura.

Q

P

S

R

b1

b2

h

h

figura 4.11

Se traza la diagonal PR , y se tiene que calcular el área del trapezoide sólo se requiere

calcular el área de dos triángulos, es decir:

área de trapezoide = área de PQR + área de PRS

En el PQR , la base se escoge como el segmento PQ , que tiene longitud b2 ; la altura

trazada desde el vértice R, coincide con la altura del trapezoide, la cual es h. Aplicando el

teorema 4.2 se tiene:

área de PQR = hb221


63

Para el triángulo PRS , se escoge como la base el segmento SR , el cual tiene longitud b1;

la altura trazada desde el vértice P a la prolongación de la base SR , también tiene la misma

longitud de la altura del trapezoide, es decir, h. Por el caso 2 del teorema 4.2, obtenemos:

área de PRS = hb121

Sumando las áreas de los dos triángulos, se llega a:

área del trapezoide = hbb

hbbhbhb2

)( 21

1221

121

221

En general, este resultado puede expresarse como: El área del trapezoide es igual al

promedio de las longitudes de las bases multiplicado por la longitud de su altura.

Ejercicios 4.1

1. Determine el área del triángulo cuya base b mide 9cm y su altura h mide 1.5cm. Trace

un gráfico y cuente el número de centímetros cuadrados que caben en el triángulo.

2. Utilizando la fórmula del área del triángulo:

a. Calcule el área de un cuadrado cuyo lado mide a

b. Calcule el área de un rectángulo cuya base mide b y su altura mide h.

3. Calcule la longitud de la base de un triángulo si su área es de 10 cm2 y su altura mide

4 cm. Dibuje por lo menos tres triángulos diferentes que cumplen estas condiciones.

4. Calcule la longitud del lado de un cuadrado cuya área es igual al área de un rectángulo

con lados de medidas 10 cm y 40 cm respectivamente.

5. La altura de un triángulo es la mitad de la longitud de su base. Encuentre la medida de

su base si el área del triángulo es 64 m2.

6. Calcule las dimensiones de un rectángulo cuya longitud es 5 veces su ancho y cuya

área es 1440 cm2.

7. Un hombre desea construir un camino de 1 m de ancho alrededor de su jardín

rectangular de 15 m por 20 m. ¿Cuál es el área del camino?

8. ¿Si la longitud de los lados de un triángulo se duplica, en cuánto crece el área del

triángulo?


64

9. Una lámina de acetato, como la dibujada en la figura 4.12, se dobla para construir una

caja sin tapa.

l

h

l

h

figura 4.12

a. ¿Cuánto material se necesita (en cm2

) si l = 5 cm y h = 4 cm?

b. Escriba una fórmula, en términos de l y h, para calcular el área del metal.

12. Se desea cubrir, con mosaicos cuadrados de 0.5 m de lado, el fondo de una piscina

cuya piso rectangular mide 6.25 m 9.75 m. ¿Cuántos mosaicos, como mínimo, se

necesitan?

13. Tres cuadrados, cuyos lados miden 5, 4 y 3 cm respectivamente, forman la

configuración de la figura 4.13. Determine el área de la región sombreada.

figura 4.13

14. Sea PQM un triángulo como el de la figura 4.14. Sea N un punto sobre QM tal que

NM QN 2

MN

P

N’Q

figura 4.14


65

a. Pruebe que: área ( PNM ) = 2 área ( PQN )

b. Calcule la razón del área ( PN M' ) al área ( PQN ), si N ' está sobre QM a

dos tercios de la distancia que hay de Q a M.

c. ¿Cuál es la relación entre el área ( PN M' ) y el área ( PQN )?

15. Tres lotes ubicados en la Universidad del Valle se ilustran en la figura 4.15. ¿Cuál es

el área del terreno conformado por los tres lotes?

75 m

Avenida Pasoancho

55 m

40 m30 m

25 m 25 m25 m

figura 4.15

4.2 El teorema de Pitágoras

Experimento 4.3:

1. Sobre una hoja de papel cuadriculado, dibuje y recorte, cada una de las superficies

representadas en la figura 4.16.

figura 4.16


66

2. ¿Es posible con sólo cuatro de las superficies anteriores construir un cuadrado?.

Indique gráficamente la posible solución.

3. ¿Es posible con todos ellos construir un cuadrado?. Haga una gráfica de la solución,

si existe.

Experimento 4.4:

En papel cuadriculado dibuje un triángulo rectángulo con catetos de longitud 3 cm y 4 cm,

respectivamente. Sobre cada lado del triángulo construya un cuadrado cuyos lados midan lo

mismo que el lado del triángulo. Recorte los dos cuadrados pequeños y con éstos cubra el

mayor de los cuadrados (fracciónelos si es necesario). Observe el resultado del experimento

y elabore una conclusión.

Verifique si su conclusión es válida para un triángulo rectángulo que no tenga estas

medidas.

Teorema 4.4.

Sea el triángulo rectángulo XYZ , con catetos de longitudes x, y respectivamente, y con

hipotenusa de longitud z, entonces se cumple x y z2 2 2

Demostración.

Consideremos un cuadrado PQRS con lados de longitud x + y . Localicemos puntos A, B, C,

D de tal manera que cada lado quede dividido en dos segmentos de longitudes x y y (ver

figura 4.17)

A

D

C

B

P S

RQ x

x

x

x

y

y

y

y

z

z

z

z

figura 4.17

Conectando los puntos A, B, C, y D mediante los segmentos AB , BC , CD y DA creamos

cuatro triángulos rectángulos, todos ellos con hipotenusa de igual medida.

Queremos inicialmente probar que ABCD es un cuadrado; para ello sólo basta demostrar

que cada uno de sus ángulos es recto, ya que es claro que cada lado tiene longitud z.


67

Comencemos demostrando que el ángulo CBA es recto. Observando la figura 4.17 se

tiene que:

180)()()( RBCmCBAmABQm [1]

Además , observamos que:

90)()( ABQmRBCm [2]

Reemplazando [2] en la ecuación [1] se obtiene:

18090)( CBAm

es decir: 90)( CBAm

En forma análoga se prueba (Pruébelo!) que los otros ángulos de ABCD son rectos, lo que

prueba que ABCD es un cuadrado.

El área del cuadrado PQRS es: 222 2)( yxyxyx

Como ésta área es igual a la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos más el

área del cuadrado ABCD, se obtiene:

2222 22

42 zxyzxy

yxyx

y simplificando se tiene:

x y z2 2 2

Pregunta 11. ¿Cuál es el enunciado del teorema de Pitágoras en términos de sus catetos

e hipotenusa?

Pregunta 12. ¿En primera instancia, para qué es útil el teorema de Pitágoras?

Pregunta 13. ¿Si P(x1,y1) y Q(x2,y2) representan dos puntos en el plano cartesiano,

como utilizaría el teorema de Pitágoras para deducir una expresión que

determine la distancia entre los puntos P y Q? (Sugerencia: Inicie

haciendo una representación gráfica de los puntos en el plano cartesiano).

Ejercicios 4.2

1. Una torre de TV está asegurada a tierra por cables de acero que están amarrados a

30m de altura y a una estaca que se encuentra a 25 m de la base de la torre. ¿Qué tan

largos son los cables?


68

2. En la figura 4.18, el triángulo rectángulo PQA1 tiene dos catetos de longitud 1.

P Q

A1

A2

A3

A4

1

1

1

1

1

figura 4.18

a. ¿Cuánto mide la hipotenusa PA1 ?

El segmento A A1 2 tiene longitud también 1 y es perpendicular a PA1 . El segmento

A A2 3 es de longitud 1 y es perpendicular a PA2 , y así sucesivamente.

b. ¿Cuánto mide PA2 ?

c. ¿Cuánto mide PA3 ?

d. ¿Cuánto mide el “n-ésimo” segmento PAn ?

3. a. Un barco viaja 6 km. al Sur, 5 km. al Oriente y 4 km. al Sur. ¿Qué tan lejos se

encuentra de su punto inicial?(¡La respuesta NO es 15 Km.!)

b. Si realmente el barco inicia su viaje en el polo norte, sobre la tierra, ¿cuál

sería realmente el valor de esa distancia?

4. Un poste de 20m en la esquina de un campo rectangular está asegurado a tierra por un

cable de tensión que va desde el tope del poste hasta la esquina opuesta del campo. Si

las dimensiones del campo son 30m 18m, ¿cuánto mide el cable?

5 Un cuadrado pequeño se construye dentro de uno más grande conectando los puntos

medios de los lados del cuadrado mayor. ¿Cuál es la razón del área del cuadrado

pequeño al área del cuadrado grande?

6. Las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo están en razón de 3:4 y su

área es 300 m2. Encontrar las medidas de las longitudes de todos sus lados.

7. Un triángulo rectángulo tiene sus catetos de igual longitud (isósceles) y su área es de

40 cm2. ¿Cuánto miden sus catetos?

8. En el triángulo rectángulo de la figura 4.19, el vértice del ángulo recto es C. Sea P el

punto sobre AB tal que CP AB .


69

AP

C

B

figura 4.19

Pruebe que:

a. PC AP PB2 . b. AC AP AB

2 .

9. Este ejercicio contiene preguntas del tipo “datos suficientes”. En este tipo de

preguntas, usted debe hacer un cálculo (en este caso el área de un cuadrado

particular), usando los datos de la pregunta. Si los datos son suficientes, usted debe

dar la respuesta. Si los datos son insuficientes, usted debe justificarlo.

Tres cuadrados se ubican como se muestra en la figura 4.20. B

A

C

E

D

F

G

H

figura 4.20

Determine el área de ADG si:

a. AF 10 b. CE 18 c. BD 3 2

c. área del cuadrado BCDH = 49 d. área de la figura AGDEF = 27

10. Un castillo, rodeado de su correspondiente foso, tiene las dimensiones de la figura

4.21:

40 m

25 m10 m

Puente

levadizo

figura 4.21


70

Durante una tormenta el puente levadizo fue arrancado, quedando aislado el castillo

por el foso que le rodea. El propietario, tratando de entrar, disponía tan solo de dos

tablones de 9.8 m de largo cada uno. No disponiendo de clavos con que unir los

tablones, ellos eran demasiados cortos para pasar el foso. Al fin, sin embargo,

discurrió un sistema. ¿ Cuál fue?

11. Un campo rectangular de 100 m de longitud y de 70 m de ancho ha de ser atravesado

por una calzada, como se muestra en la figura 4.22, donde HK = 5m.

KH C

FLE figura 4.22

Si el terreno entero (rectángulo HCFE ) ha sido avaluado en $3’000.000, ¿cuánto

recibe el propietario por la superficie cedida?

12. Sea x es la longitud del lado del cuadrado menor no sombreado, 2x la longitud del

lado del cuadrado mayor no sombreado, y a la longitud del lado del cuadrado mayor

(ver figura 4.23). x 2x

a

figura 4.23

a. Demuestre que no sería correcto afirmar que para que exista área sombreada se

debe tener que

10

10,0a

x .

b. Demuestre que para que exista área sombreada se debe tener que

3,0a

x .

13. En la figura 4.24, ABCD es un cuadrado, E y F son puntos medios de los lados AD y

AB , respectivamente.


71

A

B

D

C

F

E figura 4.24

¿Qué fracción del área total del cuadrado es el área del triángulo?

14. En el rectángulo que se muestra en la figura 4.25, AC 32 , AE 20 , y B y F

son puntos medios de los lados AC y AE respectivamente. A B

D

C

F

E figura 4.25

¿Cuál es el área del cuadrilátero ABDF?

Capítulo V: Fórmula de Distancia y Circunferencia

5.1 Distancia entre dos puntos en términos de coordenadas.

5.1.1 Distancia en el plano coordenado.

En la sección 1.2.4 estudiamos una definición de distancia entre dos puntos; en ella se

establecía –para puntos diferentes– una relación entre la medida de la longitud del segmento

determinado por los puntos y la distancia entre los mismos, a la vez que se determinaba

como cero la distancia de un punto a sí mismo. De otra parte, en la sección 3.2, se

estableció la distancia entre dos puntos, ubicados en un eje numérico, a través de una

relación aritmética entre sus coordenadas (el valor absoluto de la diferencia de las mismas).

En esta sección, inicialmente aplicaremos el teorema de Pitágoras para deducir una fórmula

que exprese la distancia entre dos puntos del plano en términos de sus coordenadas.

Sean P y R dos puntos del plano (no ubicados en rectas paralelas a alguno de los ejes

numéricos) con coordenadas ),(,),( 2211 yxyx respectivamente, como lo muestra la figura

5.1. A partir de P y de R construímos los segmentos PQ y RQ , paralelos a los ejes x y y,

respectivamente, configurando el triángulo rectángulo PQR .

x

y

x1 x2

y1

y2R(x2,y2)

P(x1,y1) Q(x2,y1)

figura 5.1

En el triángulo PQR , la medida de la longitud del lado PQ está dada por la expresión

x x2 1 y la medida de la longitud del lado QR por la expresión y y2 1 . Estas


74

expresiones son respectivamente equivalentes a 2

12 xx y 2

12 yy .

Sea h la medida de la longitud del segmento definido por P y R, entonces –aplicando el

teorema de Pitágoras tendríamos que: 2

12

2

12

2 )()( yyxxh y por tanto que:

2

12

2

12 )()( yyxxh .

Esta argumentación, junto con el estudio de los casos en los cuales P y R están en una recta

paralela a alguno de los ejes, o ellos coinciden, serían una demostración completa del

siguiente teorema.

Teorema 5.1

Si ( , ) , ( , )x y x y1 1 2 2 son las cooordenadas rectangulares de dos puntos en el plano,

entonces la distancia entre ellos está dada por la fórmula d x x y y ( ) ( )2 1

2

2 1

2

.

Pregunta 1. ¿En el caso que los puntos P y Q esten en una recta paralela a uno de los ejes

sigue siendo válida la argumentación anterior?. ¿Si su respuesta es no, este

hecho contradice lo dicho en el teorema 5.1?

Pregunta 2. ¿Si los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) son dos putos distintos del plano, cuáles

son las coordenadas (m1, m2) del punto medio del segmento AB ?

1.5.2 Distancia en el espacio tridimensional.

El concepto de distancia entre dos puntos, se puede extender al espacio tridimensional de la

siguiente forma.

Sean A y B puntos del espacio tridimensional, no ubicados en rectas paralelas a los ejes

coordenados, tales que A = (x1, y1 , z1), B = (x2 , y2 , z2). Construyendo el segmento BC

paralelo al eje z, y el segmento AC paralelo al plano xy obtenemos el triángulo rectángulo

ABC , con ángulo recto en C (ver figura 5.2).

Fórmula de distancia y Circunferencia

75

figura 5.2

La medida de la longitud del segmento BC está dada por la expresión 12 zz que es

equivalente a 2

12 zz . Si P y Q son puntos del plano xy tales que AP y CQ son

paralelos a el eje z, la medida de la longitud del segmento AC es la misma medida de la

longitud del segmento PQ , representada por la expresión 2

12

2

12 yyxx ,

equivalente a 2

12

2

12 )()( yyxx .

Aplicando ahora el teorema de Pitágoras para determinar la medida de la hipotenusa AB ,

tenemos: 222

ACBCAB

22

12

2

12

22

12

2

)()( yyxxzzAB

2

12

2

12

2

12

2

)()( yyxxzzAB

Por tanto, la distancia de A a B está dada por la expresión:

2

12

2

12

2

12 )()()(),( zzyyxxBAd

Pregunta 3. ¿Si los puntos A y B de la argumentación anterior están sobre una recta

paralela al plano xy, cual sería la manera de deducir la distancia entre ellos?.

Escriba y justifique su deducción.

Ejercicios 5.1


76

1. Localice los puntos X(-1, 7) y Y(-3, 2). Calcule d(X,Y) dibujando un triángulo

rectángulo y usando el teorema de Pitágoras.

2. Sean )3,5(A y ),( 21 xxX puntos del plano. Escriba una fórmula que exprese

d(A,X) en términos de x1 y x2.

3. Los puntos A, B, C y D en el plano tienen coordenadas ( , ), ( , )0 0 7 0 , ( , )9 5 y ( , )2 5

respectivamente.

a. Muestre que DCAB y BCAD .

b. De acuerdo al resultado anterior que puede decir del cuadrilátero ABCD.

c. Determine, a través de dos procedimientos diferentes, las coordenadas del punto

medio del cuadrilátero.

4. Encuentre el valor de k tal que la distancia de A ( , )1 1 al punto B ( , )2 k sea de 5

unidades. Realice un gráfico donde pueda verificar su respuesta.

5. Un cuadrado tiene un vértice en V ( , )4 0 y sus diagonales se cortan en el origen del

plano cartesiano. Encuentre las coordenadas de los otros vértices y encuentre la

longitud del lado del cuadrado.

6. ¿Cuáles son las coordenadas del punto sobre el eje y, que equidista de los puntos

P ( , ) 3 2 y Q ( , )5 1 ?

7. El punto M ( , )k 6 equidista de los puntos P ( , )1 1 y Q ( , )3 5 . Determine el valor de

k.

8. Los vértices de un triángulo son los puntos A ( , )1 8 , B ( , )4 1 y C ( , )7 1 . Encuentre

el área del triángulo.

9. Encuentre la distancia entre los puntos:

a. P( , , )1 2 4 y Q( , , ) 1 3 2 .

b. P( , , ) 2 1 3 y Q( , , )3 2 1 .

10. Dos cajas rectangulares tienen las medidas que se ilustran en la figura 5.3. La caja

pequeña se coloca encima de la grande de tal forma que una de sus esquinas

coinciden. ¿Cuál es la distancia entre las esquinas P y Q?


77

P

P

3 2

2

10

8

6

Q

x

y

z

Q

figura 5.3

5.2 Circunferencia.

5.2.1 Circunferencia y Círculo.

Experimento 5.1:

1. En una hoja de papel señale un punto P. Luego con una regla y un lápiz marque por lo

menos diez puntos, cada uno de ellos a una distancia de 3 cm de P. ¿Qué figura le

sugiere estos puntos?

2. Imagine que se encuentra en un terreno amplio y plano y que tiene la instrucción de

realizar el recorrido indicado por la siguiente instrucción: “Avance un paso y luego

gire 1° hacia la derecha, avance un paso y luego gire 1° hacia la derecha, avance un

paso y luego gire 1° hacia la derecha, avance un paso y luego gire 1° hacia la derecha

...” . ¿Qué característica tendría el recorrido efectuado?

Definición

La figura formada por todos los puntos del plano que están a la misma distancia de otro

punto P (también en el plano) es llamada circunferencia.

Al punto P se le denomina centro de la circunferencia, en tanto que a cualquier segmento

PQ , donde Q es un punto cualquiera de la circunferencia, se le llama radio de la

circunferencia. La región interior determinada por la circunferencia, junto con la

circunferencia, se denomina círculo.

La figura 5.4 muestra una circunferencia de centro P, en la cual se ha dibujado uno de sus

radios y se ha sombreado su círculo.


78

figura 5.4

Pregunta 4. ¿En que casos al trazar un segmento que tenga de extremos dos puntos

cualesquiera de la circunferencia, este estará formado por dos radios de la

misma?

Pregunta 5. ¿La circunferencia de radio 1 con centro en (0,0) y que se obtiene al tomar

como distancia entre puntos del plano el valor dado por | x2 – x1| + | y2 – y1|

es “redonda”?. Trace la gráfica.

5.2.2 Fórmula de la circunferencia.

Sea P un punto del plano y r un número real positivo; la circunferencia con centro en P y

radio cuya longitud mide r se define como el conjunto de puntos cuya distancia a P es igual

a r.

En términos de coordenadas, ésta definición equivale a decir: si (a, b) son las coordenadas

de P, un punto M de coordenadas (x, y) pertenece a la circunferencia, si y sólo si

( ) ( )x a y b r 2 2

.

Elevando al cuadrado ambos miembros de esta última expresión, tenemos que M pertenece

a la circunferencia si y sólo si 222 )()( rbyax .

Con esta argumentación, hemos demostrado el siguiente teorema:

Teorema 5.2

La fórmula de la circunferencia con centro en el punto P(a,b) y radio de medida r, está

dada por la ecuación: 222 )()( rbyax


79

Pregunta 6. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centroen el origen del plano

coordenado y de radio 1?

5.2.3 Ángulos y líneas notables de la circunferencia.

Consideremos una circunferencia con centro O y dos puntos P y Q sobre la circunferencia,

como lo ilustra la figura 5.5.

Q

P

0

figura 5.5

Los rayos ROP y ROQ determinan dos ángulos, cada uno de los cuales se llama ángulo

central, en virtud de que el vértice O de cada uno de ellos es el centro de la circunferencia.

A cada uno de los ángulos centrales definidos, corresponde una porción de la

circunferencia; a cada una de estas porciones les llamaremos arco de circunferencia, o

simplemente arco.

El arco determinado por el ángulo QOP y por la circunferencia con centro O lo

notaremos como arco QP; en tanto que el arco determinado por el ángulo POQ y por la

circunferencia con centro O lo notaremos como arco PQ. Cuando no haya ambigüedad,

gráficamente bastará con señalar el ángulo central para determinar el arco referido; así, en la

figura 5.6 se indica el arco PQ.

Q

P

0

figura 5.6

En este contexto, decir que un arco tiene x grados, significa que el ángulo central,

correspondiente mide x grados. Así 65° sería la medida del arco QP mostrado en la figura


80

5.7, ya que 65)( QOPm .

Q

P

0

65°

figura 5.7

Consideremos ahora tres puntos diferentes P, Q y M sobre una circunferencia. El punto M

podía estar –respecto de P y Q– en el arco PQ o en el arco QP, como lo muestran las

figuras 5.8(a) y 5.8(b), respectivamente.

Q

PM

Q

P

M

(a) (b)

figura 5.8

Trazando, en cada una de estas opciones posibles, los rayos RMP y RMQ se forman varios

ángulos. Para el primer caso –M está en el arco PQ– consideraremos solamente el ángulo

QMP (ver figura 5.9(a)) ; en tanto que en el segundo caso –M está en el arco QP–

consideraremos sólo el ángulo PMQ (ver figura 5.9(b)). A estos ángulos considerados les

denominaremos ángulos inscritos en la circunferencia.

Q

PM

Q

P

M

(a) (b)

figura 5.9

Nótese que cada ángulo inscrito determina un arco sobre la circunferencia (i.e., el arco QP

–en el primer caso– y el arco PQ –en el segundo–).


81

Pregunta 7. ¿Cuáles son los valores de medida máximo y mínimo tanto para los arcos

como para los ángulos inscritos?

Pregunta 8. ¿Qué puede decir del la medida del ángulo inscrito si el punto M considerado

en su definición de aproxima cada vez mas al punto P?.(considere a los

puntos P y Q fijos en la circunferencia)

Experimento 5.2

1. Dibuje una circunferencia con centro O; denote sobre ella puntos diferentes P, Q y Mi

(i=1,2,3,4,5), tales que para cada Mi pueda determinarse el ángulo inscrito PMiQ.

2. Determine la medida de cada uno de los ángulos inscritos PMiQ.

3. Determine la medida del ángulo central POQ y compárela con la medida de los

ángulos inscritos.

4. Formule una conjetura respecto de las medidas del ángulo central y los ángulos

inscritos en una circunferencia.

A través de los resultados del experimento anterior pudimos apreciar que:

a) existe una relación entre la medida de un ángulo inscrito y la del arco que determina

sobre la circunferencia, y,

b) la medida de cada uno de los ángulos inscritos es la misma.

Estas dos observaciones se pueden enunciar respectivamente como sigue:

Teorema 5.3

La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco intersección

entre el angulo inscrito y la circunferencia.

Teorema 5.4

Sean A,B, M1 y M2 puntos todos diferentes sobre una circunferencia de centro O. Si M1 y

M2 estan en el arco AB, entonces )()( 21 ABMmABMm .

A este último teorema se le llama también Teorema de Apolonio. En la figura 5.10 se puede

observar que ambos ángulos inscritos corresponden a un mismo ángulo central, y por tanto

ambos tienen igual medida.


82

B

AM1

M2

O

figura 5.10

Pregunta 9. ¿Su respuesta a la pregunta 8 esta en acuerdo a lo dicho en el teorema 5.4?

Para las circunferencias se pueden definir algunos segmentos y rectas especiales, como la

cuerda, el diámetro y la recta tangente.

Definición

Una cuerda es un segmento de recta cuyos extremos son dos puntos diferentes de la

circunferencia.

Toda cuerda que contenga el centro de la circunferencia recibe el nombre de diámetro de la

circunferencia; en este sentido podría decirse que el diámetro está compuesto por dos radios

colineales y, en consecuencia la longitud de cualquier diámetro es igual a dos veces la del

radio.

Definición

Sea C una circunferencia con centro O y P un punto de C; la recta que pasa por P y es

perpendicular al radio OP se le denomina tangente a la circunferencia en P.

Una propiedad importante de la recta tangente es que intersecta la circunferencia sólo en el

punto P .

La figura 5.11 muestra la cuerda AB , el diámetro CD y la recta tangente L en P.


83

A

B

P

D

C

O

L

figura 5.11

Para finalizar, veamos un caso especial del teorema 5.3, el cuál solamente se enunciará.

Pregunta 10. ¿Si P es un punto de una circunferencia, cuantas tangentes a la

circunferencia pasan por él?. ¿Qué propiedad tienen las tangentes a la

circunferencia que pasaen por los extremos de cualquier diámetro?

Teorema 5.4.

Sean P y Q los extremos de un diámetro de una circunferencia y sea M cualquier otro

punto sobre la circunferencia. Entonces, el triángulo PQM es rectángulo con ángulo

recto en M.

La figura 5.12 ilustra el anterior teorema.

P

Q

M

figura 5.12


84

Ejercicios 5.2

1. Una estación de radio infantil emite con suficiente potencia hasta cien kilómetros de

distancia su señal.

a. ¿Si la ciudad de Cali y Palmira reciben la señal de la radio infantil, qué puede

usted concluir acerca de las distancias desde la antena?

b. ¿Si el emisor y la antena están en los alrededores de Cali, a cuántos kilómetros

de Palmira se encuentran?

c. ¿Cuál es la distancia máxima posible entre Cali y Palmira?

2. Sean P y Q dos puntos distintos en el plano. ¿Si la circunferencia de radio r1 y centro

P, corta a la circunferencia de radio r2 y centro Q, en dos puntos, que puede afirmar

de d P Q( , ) ?

3. Sean X e Y puntos contenidos en el círculo definido por una circunferencia de radio de

medida r y centro P. Explique por qué d X Y r( , ) . 2

4. Dibuje la circunferencia y escriba su fórmula si ésta está centrada en el punto P y

tiene radio de medida r, cuando:

a. P(-1,4) r = 3 b. P(0,-5) r = 320

5. Determine las coordenadas del centro de la circunferencia, la medida del diámetro, y

las coordenadas de cuatro de sus puntos, si la fórmula que la describe es:

a. 105 22 yx b. 32

21 23 yx

6. Determine la fórmula de todas las circunferencias que son simultáneamente tangentes

a los ejes x y y.

7. Una circunferencia con centro en el punto (3 , 5) corta al eje y en (0 , 1).

a. Encuentre la medida del radio de la circunferencia.

b. Encuentre las coordenadas del otro punto de corte con el eje y.

c. Dé las coordenadas del punto P sobre el eje x que también pertenece a la

circunferencia.

8. Describa el conjunto de puntos ( x , y ) en el plano que satisfacen la relación dada en

cada caso:

a. x y2 2 4

b. ( ) ( )x y 8 1 02 2


85

9. Se define la esfera de radio r y centro P, como el conjunto de todos los puntos del

espacio que están a una distancia r de P.

a. De acuerdo a la definición anterior, escriba la fórmula de una esfera cuyo centro

es el punto ( , , )x y z1 1 1 y su radio es a.

b. Escriba la fórmula de una esfera con centro en el origen y radio r = 2.

10. Determine la medida del radio y las coordenadas del centro de la esfera cuya fórmula

es:

a. x y z2 2 21 2 4 ( ) ( )

b. ( ) ( )x y z 2 1 32 2 2

10. Determine el valor de x en cada uno de los casos mostrados en la figura 5.13

O 75°

x°

O 110°x°

(a) (b)

O180°

x°

O180°

x°

PQ

R

O180°

x°

P

Q

R

(c) QRPQ

(d)

QROR

(f)

figura 5.13


86

12. Considere una circunferencia con centro en O y cuatro puntos A, B, C y D diferentes

de ella, como se muestra en la figura 5.14. ¿Son suficientes estos datos para poder

calcular la suma de los ángulos internos del cuadrilátero ABCD?

A

B

C

D

O

figura 5.14

13. La circunferencia de la figura 5.15 tiene radio cuya medida de longitud es 10 cm. y la

distancia de O a la cuerda AB es 8 cm. ¿Con estos datos puede determinarse la

longitud de la cuerda AB ?

.

B

A

O

figura 5.15

14. La recta LPQ es tangente a la circunferencia de la figura 5.16, OP cm 15 , y la

medida de la longitud del radio es 12 cm. ¿Cual es la longitud de PQ ?

P

Q

OL

figura 5.16


87

15 En la figura 5.17 las circunferencias son concéntricas (i.e. tienen el mismo centro) de

radios de medidas 3u y 7u respectivamente. Calcule la longitud de la cuerda AB , la

cual es tangente a la circunferencia más pequeña.

B

A

O

figura 5.17

Capítulo VI: Líneas notables del triángulo

6.1 Mediatrices.

6.1.1 Mediatriz de un segmento.

Definición:

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento, que pasa por el punto

medio del mismo.

En la figura 6.1, la recta L es mediatriz del segmento AB cuyo punto medio es O.

A

B

L

O

figura 6.1

Teorema 6.1

Sean P, Q y M tres puntos distintos en el plano. M está en la mediatriz del segmento PQ si

y sólo si d(P,M)=d(Q,M).

Demostración.

Probaremos esta propiedad asumiendo por separado las dos proposiciones que la

conforman.

Primero probamos la proposición: Si M está en la mediatriz de PQ entonces M equidista

de los puntos P y Q .


90

Sea O el punto de corte del segmento PQ con su mediatriz y M otro punto de la mediatriz

distinto de O. Construimos los triángulos rectángulos POM y OQM , como se observa en

la figura 6.2.

L

P

Q

M

O

figura 6.2

Por definición de mediatriz, O es el punto medio del segmento PQ , así que OQPO .

De otro lado, el segmento OM es un cateto común a los dos triángulos. Así, las dos

hipotenusas son de igual longitud y en consecuencia d(P, M) = d(Q , M), es decir M es

equidistante de P y Q .

Probemos ahora la proposición: Si M equidista de los puntos P y Q , entonces M está en la

mediatriz del segmento PQ .

Sean M, P, Q puntos tales que d(P,M) = d(Q ,M). Tracemos por M una recta L

perpendicular al segmento PQ y llamemos X al punto de intersección de L con el segmento

PQ (ver figura 6.3).

L

P

Q

M

X

figura 6.3

Sin embargo, no hay nada que nos garantice que el punto X es punto medio del segmento

PQ , (y que por tanto la recta L es en efecto la mediatriz del segmento PQ ) por lo cual

debemos probarlo.

Líneas notables del triángulo

91

Como M, X, Q y P determinan dos triángulos rectángulos ( QXMPXM , ), por el

Teorema de Pitágoras se tiene que: PX XM2 2

2

PM y 2

XM + 2

QX = 2

QM , pero

como d P M d Q M( , ) ( , ) , entonces PX XM2 2

= 2

XM + 2

QX .

Sumando a ambos lados de la igualdad el término – 2

XM , tenemos que 2

PX = 2

QX y

por tanto, | PX | = |QX |, es decir que X es el punto medio del segmento PQ .

Quedando así demostrado que la recta perpendicular trazada por M es mediatriz de PQ .

Pregunta 1. ¿Si las mediatrices de los segmentos AB y CD son paralelas, cómo son

los segmentos?

6.1.2 Mediatrices de un triángulo.

Las mediatrices de los lados del triángulo se llaman también mediatrices del triángulo. Un

triángulo tiene por tanto tres mediatrices.

Teorema 6.2

Si P, Q, y A son los vértices de un triángulo, entonces las mediatrices de los tres lados, se

cortan en un punto, llamado Circuncentro..

Demostración.

La figura 6.4 muestra el triángulo PQA y sus mediatrices. En ésta parece que las tres

mediatrices se cortan en el punto O, sin embargo, no hemos establecido ningún argumento

que nos permita asegurarlo.

P

QA

O

figura 6.4


92

Sea O el punto de intersección de las mediatrices de los segmentos PQ y QA . Por el

teorema 6.1, tenemos que Q)d(O, P)d(O, y A) ,(O d Q) ,d(O de donde se sigue que

) A ,O ( d P) ,d(O . Lo cual, usando nuevamente el teorema 6.1, puede interpretarse

diciendo que O está en la mediatriz del segmento PA ; quedando así probado el teorema.

Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un mismo punto, llamado Circuncentro.

La razón de este nombre puede encontrarse a través del siguiente teorema.

Pregunta 2. ¿Dos mediatrices de un triángulo pueden ser paralelas?

Pregunta 3. ¿Cómo son las mediatrices de los catetos en un triángulo rectángulo?

Teorema 6.3

Si P, Q, y A son los vértices de un triángulo, entonces existe una única circunferencia que

pasa por los tres puntos P, Q , A y cuyo centro es el punto de intersección de las tres

mediatrices de los lados del triángulo.

Demostración

La figura 6.5 muestra un triángulo inscrito en una circunferencia de centro O. Aunque

parece que el centro de la circunferencia coincide con el circuncentro es necesario probarlo.

P

QA

O

figura 6.5

En primer lugar probemos que existe una circunferencia que pasa por los vértices y tiene

centro en el circuncentro.

Como O es circuncentro, entonces AOQOPO . Esta longitud puede usarse como la

longitud del radio de la circunfencia C1 que pasará por los tres vértices.


93

Ahora probemos que esta circunferencia es única. Para ello supongamos que C2 es otra

circunferencia que pasa por los tres puntos P, Q y A , y está centrada en un punto M.

Entonces d(M ,P) = d(M ,Q) = d(M ,A); por el teorema 6.1 M está en la mediatriz de los

segmentos PA , PQ , y QA , de donde se concluye que M = O , lo que nos permite concluir

que la circunferencia que pasa por P, Q y A es única.

6.1.2.1 Mediatrices de un triángulo isósceles.

En cualquier triángulo isósceles, el punto común de los dos lados de igual longitud está en

la mediatriz del tercer lado ya que este punto equidista de los puntos extremos del tercer

lado.

En la figura 6.6 el triángulo PQM es isósceles con MQPM .

L

P

Q

M

X

figura 6.6

En esta se obseva cómo el vértice M está en la mediatriz del segmento PQ , siendo los

triángulos PXM y QXM congruentes. Es decir:

XMXMyXQPXMQPM ,

)()()()(,)()( MXPmQXMmyXMQmPMXmMQXmXPMm

En otras palabras, los tres lados de uno tienen la misma longitud, dos a dos, que los tres

lados del otro. Así mismo, los tres ángulos de uno tienen la misma medida, dos a dos, que

los tres ángulos del otro.

La congruencia de estos dos triángulos nos ofrece por lo menos dos resultados importantes,

uno respecto a los ángulos de un triángulo isósceles y otro respecto al área del mismo.

En un triángulo isósceles los dos ángulos internos determinados por los lados de igual

medida y el tercer lado, son de igual medida. Así para el triángulo de la figura anterior,


94

)()( MQXmXPMm . Convendremos en llamar ángulos base, a los ángulos de igual

medida de un triángulo isósceles.

Como un triángulo equilátero es también isósceles, entonces es fácil concluir que cada uno

de los ángulos de un triangulo equilátero mide 60°. En efecto, consideremos un triángulo

equilátero ABC (ver figura 6.7).

A

B

C

figura 6.7

Como AB = BC , entonces m A m C( ) ( ) . Así mismo, AC = AB , entonces

m B m C( ) ( ) . Por tanto m A m B m C( ) ( ) ( ) .

Ahora bien, como 180)()()( CmBmAm , se sigue que 180A)m(3 , y por

tanto 60)( Am . De esta manera se concluye que 60)()()( CmBmAm .

De otra parte, la congruencia de los dos triángulos de la figura 6.6 nos permite calcular el

área de un triángulo isósceles conocidas las longitudes de sus lados, ya que se puede

calcular la medida de la altura a través de la medida de uno de los lados de igual longitud y

de la mitad de la longitud del tercer lado, o base respectiva.

Particularmente consideremos el triángulo de la figura 6.8.

A B

C

M

figura 6.8


95

Aplicando el teorema de pitágoras se puede verificar que:

2

2

2

ABACCM . De

donde se sigue que el área del tirángulo isósceles está definida por la expresión siguiente, la

cual únicamente implica la medida de sus lados.

2

2)(

2

2

ABACAB

ABCárea

6.2 Alturas. En el capítulo IV establecimos que “cualquier lado del triángulo puede considerarse como

base del triángulo; el segmento perpendicular (trazado desde el vértice opuesto a la base

hasta un punto sobre la base o su prolongación, al cual se llama pie), se denomina altura

correspondiente a esa base.”

Teorema 6.4

Las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto, llamado Ortocentro.

Demostración

Consideremos un triángulo ABC y por los vértices A, B, y C tracemos paralelas a los

lados opuestos; así obtenemos un nuevo triángulo ''' CBA cuyos lados son

respectivamente paralelos a los lados del triángulo dado (ver figura 6.9). A

B C

C’ B’

A’

F

E

D

O

figura 6.9

Luego: ACBC ' y además 'ABBC , de donde se deduce que '' ABAC , de lo cual

se sigue que A es el punto medio del segmento '' BC .


96

Del mismo modo demostraríamos que B y C son los puntos medios de los segmentos '' AC

y '' BA , respectivamente.

Por otra parte, las alturas del ABC son perpendiculares a los lados del ''' CBA , por ser

los lados de estos dos triángulos respectivamente paralelos. Luego las alturas del ABC

son las mediatrices del ''' CBA , y por tanto, se cortan en un mismo punto.

Pregunta 4. ¿En un triángulo rectángulo, dónde se cortan las alturas? Dibuje e indique

el ortocentro.

6.3 Medianas.

El segmento que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto se llama

mediana relativa a ese lado. Un triángulo tiene 3 medianas, una por cada lado.

Teorema 6.5

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto, llamado baricentro o

centro de gravedad.

Demostración.

Se deja como ejercicio para el lector.

Pregunta 5. ¿En que casos, el punto de corte de las medianas de un triángulo está

fuera de la región triangular?

6.4 Bisectrices.

Las bisectrices de cada uno de los ángulos internos de un triángulo se denominan

bisectrices del triángulo; por tanto un triángulo tiene tres bisectrices.

Teorema 6.6

Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un mismo punto, equidistante de los tres

lados, llamado incentro.

Demostración.

Sea el triángulo ABC y CFBEAD ,, las bisectrices de los ángulos internos (ver figura

6.10)


97

A

CB

E

F

D

N

P

M

O

figura 6.10

Las bisectrices BE y CF se cortan en el punto O, puesto que no son paralelas. Tracemos

los segmentos OPyONOM , respectivamente perpendiculares a los lados AByCABC , .

Los puntos de la bisectriz BE equidistan de los lados AB y BC , y los de la bisectriz CF

equidistan de los lados BC y CA . Por tanto: OPOM y además ONOM , por lo

cual OPONOM .

Luego el punto O equidista de los tres lados y, por tanto, se halla en las bisectrices.

Pregunta 6. ¿En que casos, el incentro de un triángulo se encuentra fuera de la región

triangular?

Pregunta 7. ¿En un tríangulo isósceles, qué puede decir, de la mediatriz, la mediana y

la altura sobre el lado desigual?

Pregunta 8. ¿En un triángulo equilátero, qué puede decir de las medianas, las

mediatrices, las alturas y las bisectrices?

Ejercicios 6.1

1. Dos fábricas A y B están situadas sobre la misma orilla de un río, que puede

considerarse recta. Se quiere construir un muelle de carga común sobre la orilla,

compartiendo el uso y los costos. ¿En qué punto se debe construir el muelle, para que

la distancia desde el muelle a cada una de las fábricas sea la misma? (vea figura 6.11)


98

Fábrica AFábrica B

figura 6.11

2. En la figura 6.12 , la recta L es la mediatriz del segmento PQ . Encuentre las

longitudes a, b y c.

P Q

a

b

c 7 cm

4 cm

L

10 cm

.

figura 6.12

3. En la figura 6.13 AX AY , L XY . El punto A eta en la recta L. Demuestre que

L es la mediatriz de XY .

X

A

Y

L

figura 6.13

4. Un rombo es un paralelogramo cuyos cuatro lados tienen la misma longitud, como lo

ilustra la figura 6.14.

Figura 6.17


99

P

MN

Q

figura 6.14

(a) Demuestre que la diagonal PM está contenida en la mediatriz de QN y la

diagonal QN esta contenida en la mediatriz de PM .

(b) Si las diagonales del rombo tienen longitudes 12 cm y 16 cm, encuentre la

longitud de los lados

5. En la figura 6.15, d X A d Y A( , ) ( , ) y d X B d Y B( , ) ( , ) , muestre que LAB es la

mediatriz de XY .

..X Y

A

B

figura 6.15

6. Dados tres puntos P, Q y R en el plano, no colineales, describa cómo podría encontrar

un punto X equidistante a los tres puntos dados. ¿Otro punto distinto de X que cumpla

esa condición?

7. Dos circunferencias centradas en los puntos P y Q respectivamente, se cortan en dos

puntos X y Y, como se aprecia en la figura 6.16. Pruebe que el segmento PQ pasa por

el punto medio del segmento XY

..X

Y

QP

.

.

figura 6.16


100

8. En la figura 6.17, empleando regla y compás, trace su ortocentro

A

B

C

figura 6.17

9. Encuentre la longitud de la altura a la base BC y el área del triángulo isósceles

ABC . Utilice la información de la figura 6.18.

A

B

C

10cm 10cm

8cm

figura 6.18

10. Si un triángulo equilátero tiene lados de longitud s, encuentre una fórmula que

exprese la altura del triángulo en términos de s. ( Sugerencia: dibuje una figura y use

el teorema de Pitágoras ).

11. Encuentre el área de un triángulo de 12 cm de perímetro. (El perímetro del triángulo

es la suma de la longitud de sus lados).

12. Encuentre xo en cada uno de los triángulos de la figura 6.19:

A

B

C50

0

x0

AB BC

x0

650

A

B

C

AB AC

figura 6.19


101

13. En la figura 6.20, m MOP MO OP MP PQ( ) , 90 10

M

PQ

O 1

1

figura 6.20

a. ¿Cuál es la longitud del segmento MQ?

b. Calcule m Q( ) c. Calcule m OMQ( )

13. Sea PMQ un triángulo isósceles, con PM MQ . Sean X, Y puntos distintos en

PQ tales que d P X d Y Q( , ) ( , ) . Pruebe que XMY es también isósceles. Ver

figura 6.21 M

YQP

X figura 6.21

14. En la figura 6.22, BC CA AD Pruebe que m EAD m B( ) ( ) 3

E

D

C

BA

x0

figura 6.22


102

15. En la figura 6.23, empleando regla y compás, trace su baricentro

A

B

C

figura 6.23

16. En la figura 6.24, empleando regla y compás, trace su incentro

A

B

C

figura 6.24

17. En la figura 6.25, trace su baricentro, ortocentro y circuncentro y compruebe que estos

tres puntos son colineales.

A

B

C

figura 6.25

18. Pruebe que la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es mayor que la de

un cateto (Sugerencia: Utilice el método de demostración indirecta o de

contradicción. Suponga la longitud de la hipotenusa es menor o igual que un cateto).

Capitulo VII: Polígonos

Las dimensiones y exactitud de las celdillas revela que las abejas tienen un instinto geométrico

maravilloso, mediante el cual las construyen de forma hexagonal, obedeciendo a razones de

espacio: con esta distribución hexagonal acumulan una determinada cantidad de cera y miel en

el menor espacio posible. Este instituto geométricos de las abejas causa asombro a los

investigadores.

7.1 Ideas Básicas

Experimento 1

Sobre el escritorio o en una hoja de papel coloque varios palillos ( pueden ser de diferentes

tamaños ) de tal manera que :

1. cada extremo de cada palillo coincida con un extremo y solo uno de los otros.

2. los únicos puntos en común de los palillos deben ser los extremos.

A. ¿ Cuál es el mínimo número de palillos necesarios para construir una figura con estas

características ?.

B. ¿Cuales de los diagramas de la figura 7.1 son configuraciones que poseen las

características establecidas ?.

C.

(a) (b) (c)

(d) (e)(f)

figura 7.1

(a)

(b)

(d)

(c)

figura 7.2

Observe en la figura 7.1, que un polígono consiste en segmentos de líneas rectas, llamados lados

del polígono, que encierran una región simple. En la figura 7.2, (a) no encierra ninguna región,

(b) y (c) encierran varias regiones, mientras que en (d) hay líneas curvas.

7.1 Región Simple

Una curva cerrada simple es la que se puede representar por una figura trazada de tal manera

que su dibujo comience y termine en el mismo punto. Fuera de este punto ningún otro se toca dos

veces. Toda curva simple cerrada tiene, en el plano, un interior y un exterior. (Teorema de

Jordán).

Llamamos región al interior de una curva simple cerrada. En la figura 7.3, la porción del plano

comprendida entre las dos curvas simples cerradas se llama una región. En general, una región

no incluye su frontera.

J2

J1

figura 7.3

Ejercicio 7.1

1. ¿Cuáles de las siguientes figuras son curvas cerradas simples?

Cardiode Espiral Lemniscata Astroide

figura 7.4

2. Determinar cuál representa una región simple.

3. Bosqueje la trayectoria de una línea que sea:

a). Cerrada pero no simple.

b) Simple pero no cerrada.

c) cerrada y simple.

d) Ni simple ni cerrada.

7.1.1 Partes de un Polígono

Si un segmento PQ es el lado de un polígono, entonces los puntos extremos P y Q se

denominan Vértices del polígono.

Los ángulos del polígono serán los formados entre dos lados consecutivos.

7.1.2 Definición

Un polígono de n lados es la figura plana limitada por n segmentos de recta que encierran una

región simple.

7.1.3 Nombre de los polígonos según el número de lados

Un polígono de tres lados se denomina Triángulo, de cuatro lados Cuadrilátero, de 5 lados

Pentágono, de 6 lados Hexágono y así sucesivamente. En general, el polígono de n lados se

denomina n-ágono.

P1

P2

P3P4

P5

PnP1

P2

P3

P4P5

P6

P7

Pn - 1

Pentágono n-ágono

figura 7.5

7.2 Convexidad y Angulos

Experimento 2

En cada uno de los siguientes polígonos elige dos puntos sobre los lados de la curva luego unirlos

mediante un segmento.

Es posible encontrar dos puntos de la curva tales que el segmento que los une quede:

a). En el exterior

b). En el interior

c). Parte exterior, parte interior?

¿ Qué puede concluir de los polígonos de la fila superior?. Encuentre una propiedad en común.

¿ Qué puede concluir de los polígonos de la fila inferior?. Encuentre una propiedad en común.

figura 7.6

7.2.1 Definición de Polígono Convexo

Se dice que un polígono es convexo si dados dos puntos X e Y sobre los lados del polígono,

entonces el segmento XY está totalmente contenido en la región encerrada por el

polígono.(incluyendo el polígono mismo ).

Observe que esta condición falla en algunos de los polígonos de la fila inferior del experimento

2.

Y

X

Convexo

x

y

No convexo

figura 7.7

7.2.2 Angulo de un polígono

7.2.2.1 Angulo interior

SI PQ y QM son dos lados del polígono con el punto q en común, entonces Q es un vértice del

polígono. El polígono yace sobre uno de los ángulos formados por los rayos Rqp y Rqm. Este

ángulo es, uno de los ángulos del polígono. Observe que mide menos de 180° como se ilustra en

la figura 7.6

MP

Q

figura 7.8

7.2.2.2 Angulo exterior

Es el que está formado por un lado y la prolongación del lado adyacente.

Pregunta 1. ¿ Cuántos ángulos tiene un polígono de n lados ?.

7.2.3 Diagonal de un polígono

Considere un cuadrilátero convexo. El segmento que une dos vértices no consecutivos se

denomina diagonal. Note que se puede descomponer el cuadrilátero en dos triángulos trazando

una diagonal como muestra la figura.

figura 7.9

Igual podemos hacer con un polígono convexo cualquiera, trazando diagonales desde un mismo

vértice como se muestra en la figura.

figura 7.10

Construcciones

1. Desde un mismo vértice de un polígono se pueden trazar 12 diagonales; ¿ Cuántos lados tiene

el polígono ?.

2. Compruebe que si un polígono tiene n lados el número de diagonales que se pueden trazar

desde un mismo vértice es n - 3.

3. Compruebe que si un polígono tiene n lados, el número total de diagonales que se pueden

trazar es n n( ) 3

2.

Las diagonales P P P P P P P Pn1 3 1 4 1 5 1 1, , , ..., , descomponen el polígono en n - 2 triángulos.

Puesto que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°, se sigue entonces que la suma de los

ángulos del polígono es ( n-2 )180°.

Ejercicio 7.2

1. Encuentre la suma de la medida de los ángulos internos de los polígonos de: 8, 10, 12, 18, 32,

y 5 lados.

2. Si el número de diagonales de un polígono de n lados es 27. ¿ Cuánto suman los ángulos

interiores.

3. En el ejercicio anterior ¿ Cuánto suman los ángulos exteriores.?

Experimento 2

1. Fuera del número de lados, dos características de los polígonos son la longitud de sus lados y

la medida de sus ángulos.

a. ¿Cómo llamaría a un cuadrilátero con sus cuatro lados de igual longitud y con sus cuatro

ángulos de igual medida ?.

b. ¿ Puede imaginarse un cuadrilátero con sus cuatro ángulos de igual medida pero cuyos

lados no tengan la misma longitud?. Haga un dibujo ?.

c. ¿ Puede pintar un cuadrilátero cuyos lados tengan la misma longitud y sus ángulos no

tengan la misma medida ?.

d. ¿ Cómo se llama un triángulo que tiene los lados de igual longitud y ángulos de misma

medida ?.

2. Con una regla dibuje un cuadrilátero convexo arbitrario. Mida cada uno de sus cuatro ángulos

y sume estas medidas. Repita este procedimiento con dos o tres cuadrilátero más.

3. Repita el procedimiento anterior con un pentágono y un heptágono. ¿ Qué puede concluir ?. ¿

Puede decir, cuál es el valor de la suma de la medida de los ángulos de un octágono?.

4. Dibuje en el piso un triángulo ABC. Partiendo de A de tal forma que quede mirando hacia B.

Desplazarse sobre AB , en B gire por el interior de la figura. Luego camine hasta C y repita el

proceso descrito hasta volver al punto A.

a. ¿ Cómo es la posición de su cuerpo, respecto a la posición inicial ?.

b. ¿ A cuántos grados corresponde el giro realizado ?.

c. Dibuje otro triángulo y repita el mismo procedimiento. ¿ El resultado es igual ?. ¿Qué

concluye ?.

d. ¿ Cuál es el valor de la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo ?.

e. Repita el ejercicio para un cuadrilátero y un pentágono.

5. ¿ Cuántos grados tiene la suma de los ángulos interiores de una estrella de seis puntas?

Teorema 7.2.4.

Suma de los ángulos internos de un polígono de n lados.

La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados está dada por:

S = ( n-2 )180°

Demostración.

Sean P1 , P2 , ..., Pn los vértices de un polígono como se muestra en la figura 7.11.

P2P3

P4

P5

Pn - 2

Pn -

1

Pn

P1

figura 7.11

Los segmentos P P P P P P P Pn1 3 1 4 1 5 1 1, , , ... , descomponen el polígono en n-2 triángulos. Puesto

que la suma de los ángulos de un triángulo es 180° se sigue entonces que la suma de los ángulos

del polígono es ( n - 2 )180°.

7.3 Polígonos regulares

7.3.1 Definición

Un polígono es regular si todos sus lados tienen la misma longitud y todos sus ángulos tienen la

misma medida.

7.3.2 Partes de un polígono regular

7.3.2.1 Apotema

Es la perpendicular levantada desde el punto medio de un lado cualquiera del polígono regular

hasta el centro del polígono.

7.3.2.2 Angulo central

Es el formado por la intersección de las bisectrices de dos ángulos interiores consecutivos en un

polígono regular. Sus medidas son iguales y está dada por: 3600

n donde n es el número de lados

del polígono.

7.3.2.3 Perímetro

Es el valor de la suma de las longitudes de los lados del polígono.

7.3.2.4 Radio

Es la distancia de uno cualquiera de los vértices del polígono al centro del mismo.

7.3.3 Polígono regular inscrito

Si los vértices de un polígono son puntos de una circunferencia, diremos que el polígono está

inscrito en la circunferencia. ( Ver figura 7.12 )

Angulo central

Radio

Apotema

figura 7.12

El radio de un polígono regular inscrito es el radio de la circunferencia circunscrita al polígono.

Teorema 7.3.3.1.

Sean P1 , P2 ,...,Pn los vértices de un polígono inscrito en una circunferencia. Si los ángulos

centrales formados por cualquier par de radios consecutivos tienen la misma medida entonces el

polígono es un polígono regular.

Demostración.

Debemos mostrar que las medidas de los ángulos del polígono son iguales y que las longitudes de

sus lados son iguales.

0

Pn

P1

P2

P3

P4P5

figura 7.13

Puesto que los ángulos centrales son iguales, cada uno medirá 360

n, la igualdad de las medidas

del polígono se deduce del hecho de que los triángulos OP1P2 , OP2P3 , etc. son isósceles,

debido a que los ángulos de las bases son iguales. Si x denota la medida de dichos ángulos

entonces 2x es la medida de cada ángulo del polígono. El valor de x se obtiene de la ecuación.

2360

1800

xn

Por lo que

xn

90180

Para ver que los lados del polígono tienen la misma longitud observe que el segmento

perpendicular que biseca al segmento P P1 3 pasa por O y por P2 ( Por qué ) y por lo tanto

d ( P1 , P2 ) = d ( P2 , P3 ).

Similarmente se demuestra que d( P2 , P3 ) = d ( P3 , P4 ) y así sucesivamente.

Construcción

1. Suponga que va a construir un hexágono regular. Observe que este puede descomponerse en 6

triángulos equiláteros: ( figura 7.12 )

figura 7.14

Por lo tanto, el lado del hexágono tiene igual medida que el radio de la circunferencia.

2. Construya un pentágono regular inscrito en una circunferencia. Para ello divida la

circunferencia en ángulos centrales de 72° ( 360

572

). Use un transportador, construya el

pentágono, ¿ Cómo construiría usted el decágono regular ?.

3. Construya un cuadrado, trazando 2 diámetros perpendiculares de la circunferencia. ¿Cuánto

miden sus lados en términos del radio de la circunferencia ?.

4. ¿ Puede deducir una forma para construir un n-ágono regular cualquiera ? Descríbela.

Ejercicios 7.3

1. Encontrar la medida de cada ángulo de un polígono regular de:

a) 6 lados b) 11 lados c) 14 lados d) n

2. ¿ Es posible encontrar un polígono regular cuyos ángulos midan 153° ?. Justifique su

respuesta.

3. Si cada ángulo de un polígono regular tiene 165°, ¿ Cuántos lados tiene ese polígono ?.

4. ¿ Cuántos lados tiene un polígono regular si la suma de la medida de los ángulos es:

a) 2700° b) 1080° c) d°

5. a) De un ejemplo de un polígono cuyos lados tengan la misma longitud, pero que no sea un

polígono regular.

b) De un ejemplo de un polígono cuyos ángulos tenga la misma medida y no sea polígono

regular.

6. Un triángulo equilátero tiene perímetro 36. Encuentre su área.

7. En la figura, el ángulo x está medido sobre la parte exterior de un n-ágono arbitrario. Pruebe

que la suma de todas las medidas de los n-ángulos exteriores es igual a n ( n + 2 ) 180°.

8. ¿ Cuál es el valor del ángulo exterior de un pentágono regular?.¿ Porqué?.

9. Escoja la longitud para el lado del pentágono que construirá; trace un segmento con dicho

valor. Llame A y B a sus extremos.

10. Con vértice en A trace un ángulo de amplitud igual al valor hallado en el ejercicio anterior.

Tomando AB como uno de sus lados. Llame al otro lado.

11. Prolongue AP hacia el lado contrario al que se encuentra P y sobre está prolongación,

partiendo de A, trace un segmento de igual longitud.

X

figura 7.15

12. Pruebe que el área de un hexágono regular con lado de longitud s es 3 3

2

2s.

13. En la figura de inferior, ABCDEF es un hexágono regular. La distancia desde el centro O

a cualquier lado es x ( apotema ); la longitud de cada lado es s. Pruebe que el área del

hexágono es 3s.

F E

D

C B

Aa

figura 7.16

14. Hallar las medidas de los lados de los cuadrados inscrito y circunscrito en una

circunferencia de radio 12 cm.

15. Hallar el perímetro del cuadrado cuya apotema mide 3m.

16. Hallar el perímetro del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 10 cm.

17. Sabiendo que el perímetro del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia es de

31,14 cm. Hallar el perímetro del hexágono regular inscrito en la misma circunferencia .

18. Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que el perímetro del dodecágono regular

inscrito en ella es igual a 24 2 3

19. Si l es el lado de un triángulo equilátero demostrar que su apotema es 1

63l

20. Trazar un triángulo isósceles ABC donde AB = BC , trace la altura desde B sobre

AC’ ¿ Qué puede decir de los triángulos que se forman?.

¿ Cómo son sus ángulos?.¿ Cómo son sus lados?. Escriba sus conclusiones.

Capítulo VIII: Triángulos Congruentes

En el siglo XVII se conoció experimentalmente que los planetas giran alrededor del sol en

órbitas llamadas elipses se observó además que el segmento de línea entre el sol y cada planeta

barre áreas iguales en tiempos iguales como se ilustra. En la figura, S es el sol, P1 es la

posición del planeta en cierto tiempo, P2 será la posición del planeta un día después P3 2 días

después entonces A1 = A2 .

En 1660 el inglés Isaac Newton propuso la teoría de la gravedad y encontró una relación entre

la fuerza de acción de un planeta al sol usando la idea de áreas y congruencia de triángulos.( 1 )

A2A1

P3P2

P1

S

figura 8.0

8.1 Postulado de congruencia

8.1.1 Prueba de Euclides para congruencia

En el capitulo I se hizo un esbozo de lo que significa que dos triángulos sean congruentes. ¿ Qué

quiere decir la palabra congruencia ?. Observe los dos triángulos de la figura 8.1:

C

A

3

5

6

B

C’

6

5 3

A’

´¨¨’

B’

Fig (a) Fig (b)

Fig 8.1

Tienen las mismas dimensiones. ¿Son “iguales”? Cuando decimos que dos cosas son iguales

queremos decir que son las mismas. Obviamente los triángulos en (a) y en (b) son distintos pues

están colocados de diferente manera en el plano. Sin embargo podemos “levantar” el triángulo en

(a) ( en la mente) y hacerlo coincidir exactamente con el triángulo en (b). Uno de ellos es una

copia exacta del otro. Para ello debemos colocar A en A’, B en B’ y C en C’, este

movimiento describe una correspondencia entre los vértices de los dos triángulos:

A A’

B B’

C C’

Podemos utilizar una notación más corta para describir ésta correspondencia, del siguiente modo:

A B C A’ B’ C’

Aquí se entiende que la primera letra de la izquierda se acopla con la primera de la derecha, la

segunda con la segunda y la tercera con la tercera del siguiente modo:

A B C A’ B’ C’

´´’

figura 8.2

Esta correspondencia entre los vértices induce una correspondencia entre los lados así:

AB A B

BC B C

AC A C

y una correspondencia entre los ángulos así:

A A’

B B’

C C’

Dos elementos correspondientes son congruentes si tienen la misma medida.

Construcción 8.1

1. a) Recortar un rectángulo ( en cartulina ) de 8cm de ancho por 14cm de largo.

b) Recorte el rectángulo anterior a lo largo de una de sus diagonales para formar

dos triángulos.

c) Superponga un triángulo sobre otro y observe qué sucede con la longitud de sus lados, la

medida de sus ángulos?. Escribe tus conclusiones.

2. Repita el procedimiento anterior con un paralelogramo y un cuadrado.

3. ¿ Cuales condiciones se requieren para que dos figuras planas sean congruentes ?.

8.1.2 Definición

Dos triángulos son congruentes si existe una correspondencia entre sus vértices de tal manera

que los elementos correspondientes sean congruentes. En otras palabras se podría establecer:

Correspondencia entre vértices

Dos triángulos son congruentes si se da la correspondencia:

A B C D E F

Correspondencia entre lados y ángulos

Dos triángulos son congruentes si:

A B= D E ; m ( A) = m ( D).

B C= E F ; m ( B) = m ( E).

A C= D F ; m ( C) = m ( F).

8.1.3 Notación de congruencia

Si A B C D E F es una congruencia, escribimos

A B C D E F

Note que la expresión A B C D E F dice no solamente que los triángulos

A B C y D E F son congruentes, sino que a la vez existe una correspondencia entre ellos.

A B C D E F

Experimentos 8.1

Utilizando regla, compás y transportador.

1. Construya un triángulo con lados de longitud 4cm, 6cm, 8cm. Puede usted construir otro

triángulo con lados de longitud 4cm, 6cm, 8cm que no sea congruente con el triángulo anterior

.

2. Construya un triángulo que tenga ángulos de 45° y 60° ¿ Cuántos triángulos con formas o

tamaños diferentes se pueden construir ?.

3. Cuántos triángulos rectángulos diferentes con lados de longitud 2cm, y 3cm

( Puede incluir la hipotenusa) se pueden construir.

Ahora podemos responder la pregunta de cuanta información es necesaria para saber si dos

triángulos son congruentes o no.

Entonces de acuerdo con el experimento anterior podríamos concluir que si queremos demostrar

la congruencia entre triángulos bastaría con comprobar la congruencia entre sus lados, evitando

así demostrar la congruencia entre los ángulos, la anterior propiedad da lugar al siguiente

postulado.

8.1.4 Primer postulado de congruencia

LLL : Si los tres lados de un triángulo tienen la misma longitud que los tres lados

correspondientes de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Ahora, si dos triángulos tienen dos ángulos y un lado de igual medida no necesariamente son

congruentes. Observe la figura 8.3 .

3 cm

60o

75o

45o 45

o

75o

60o

3 cm

figura 8.3

Sin embargo, si exigimos que el lado de igual longitud esté localizado entre los ángulos

correspondientes, los triángulos si serán congruentes. Esto establece nuestro segundo criterio de

congruencia.

8.15 Segundo postulado de congruencia

A L A: Si dos triángulos tiene un lado correspondiente de la misma longitud, y dos ángulos

correspondientes de la misma medida, entonces los triángulos son congruentes.

Observe que en el postulado A L A no suponemos que el lado correspondiente es el lado en

común a los ángulos; pero es claro que si se conocen dos ángulos de un triángulo, entonces

también se conoce el tercero ya que la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es de

180°. Así, los triángulos mostrados en la figura 8.4 son congruentes.

6cmY

Z

X

X

28°

40

°

Q

R

r

P

40°

28°

6cm

figura 8.4

En ALA consideramos el caso cuando dos triángulos tienen los ángulos y un lado con la misma

medida. Podemos considerar ahora el caso cuando dos triángulos tienen dos lados y un ángulo

con la misma medida :

8.16 Tercer postulado de congruencia

LAL: Si dos lados y el ángulo entre ellos en un triángulo tienen la misma medida que dos lados

y el ángulo entre ellos en otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Tal es el caso de la figura 8.5 .

80o

4cm3cm

H J

I

800

3cmX

Y

Z

4 cm

figura 8.5

Ejercicios 8.1

1. Pruebe que dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen un cateto igual e iguales los

ángulos opuestos.

2. Dado un triángulo PQR, con m ( p ) = m ( r). Pruebe que, PQ = QResto es, el

triángulo es isósceles.

3. Use el ejercicio anterior para probar que un triángulo con 3 ángulos iguales es equilátero.

4. Dados los puntos ABCDE mostrados en la figura ,AE=ECy BE= ED. Use

congruencia de triángulos para explicar que los segmentos AB y DC son paralelos.

A B

D C

E

figura 8.6

8.2 Algunas aplicaciones de los triángulos congruentes

En muchas ocasiones podemos utilizar los triángulos congruentes para establecer propiedades de

figuras más complejas. Mostramos aquí algunos ejemplos.

8.2.1 Teorema 1

Los lados opuestos de un paralelogramo tienen la misma longitud.

Demostración.

Sea ABCD un paralelogramo.

A B

D C

1

2

3

4

figura 8.7

AC es una diagonal, marcamos los ángulos como se indica en la figura 8.7.Como AB DC

entonces:

m(2) = m(3)

m(1) = m(4).

AC es un lado común a los triángulos ACD y ACB. Por ALA, tenemos que

ACD CAB

Por lo tanto AB DC y AD BC .

8.2.2 Teorema 2

El área de un paralelogramo de altura h y base b es:

área = b.h.

Demostración.

Escriba la prueba con base en la figura 8.8

h

b

b

figura 8.8

8.2.3 Teorema 3

En el triángulo ABC, suponga que m(B) =m(C). Entonces los lados opuestos AB ACy

tienen la misma longitud. Ver figura 8.9

Demostración.

Sea Q la intersección de la línea que pasa por A perpendicular a BC.

B C

A

Q

figura 8.9

AQ es el lado común a los triángulos AQB y AQC. Por la hipótesis del teorema y la

construcción hecha, m(BAQ) = m(QAC). Por ALA, AQB AQC por lo que AB AC .

8.2.3.1 Corolario

Si un triángulo tiene sus tres ángulos de la misma medida, entonces es equilátero.

Demostración.

Aplique el Teorema 3 dos veces.

Ejercicios 8.2

1. Dado un paralelogramo ABCD con diagonales que se interceptan en O.

A

D

B

C

O

figura 8.10

Muestre que OC OA

2. Dado un cuadrilátero MATH, si las diagonales se bisecan una a la otra, pruebe que MATH debe

ser un paralelogramo.

3. El triángulo YXZ es equilátero, y los puntos A, B y C son los puntos medios de los lados.

Pruebe que ABC también es equilátero.

4. Un punto O está sobre la bisectriz del PQR. Pruebe que O es equidistante de los lados del

ángulo.

5. Escriba y demuestre el reciproco del ejercicio 4.

6. En el diagrama POR y QOS son segmentos de línea de recta, m(1) = m(2) y m(3) = m(

4). Pruebe que O es el punto medio de QS.

Sugerencia: Primero muestre que el PQR es congruente a PSR, encuentre otro par de

triángulos congruentes para probar que SO OQ .

P

Q

R

S

O1

2

3

4

figura 8.11

8.3 Triángulos especiales

En esta sección discutiremos los tipos de triángulos más utilizados en geometría.

Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 45°, entonces el otro ángulo agudo también mide

45°(¿por qué?). Por el Teorema 3, los lados opuestos a dichos ángulos tienen la misma longitud,

así tenemos un triángulo rectángulo isósceles. Si a es la medida de los catetos entonces su

hipotenusa mide a 2 .

45°

45°

a

aa 2

figura 8.12

Lo anterior lo establecemos en un teorema.

8.3.1 Teorema 4

Relación entre los lados de un triángulo rectángulo isósceles.

Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 45°, entonces es un triángulo rectángulo isósceles.

Si a es la longitud de sus catetos, entonces la longitud de su hipotenusa es a 2 . De aquí que

sus lados están en la relación 1:1: 2 .

8.3.2 Teorema 5

Relación entre los lados de un triángulo rectángulo que tiene un ángulo de 30°. En un triángulo

rectángulo con ángulos agudos de 30° y 60°, el lado opuesto al ángulo de 30° es la mitad de la

hipotenusa. Los lados están en la relación 1: 2: 3 .

Demostración:

Bbb

A

C

30°

60°

figura 8.13

En la figura 8.13 se muestra un triángulo rectángulo ABC. Queremos probar que

BC AC1

2.

Sea C’ un punto sobre la línea LBC tal que C B BC' y C´ C.

A

C C’

figura 8.14

Por LAL, ABC ABC´ por lo que tienen el lado en común AB ,

por construcción C B BC' y los CBA y CBA son ángulos rectos.

Tenemos además

m C AB m CAB 30

m C m C 60

Como CB C B entonces:

m C m C m CAC 60

Por el corolario anterior, ACC´ es equilátero. En particular,

CC AC .

Puesto que CB C B , tenemos que

BC AC1

2.

Si a = CB entonces AC = 2a. Por Pitágoras

B

AB a a a2 2 2 24 3 .

De aquí que AB a 3.

8.3.3 Triángulos rectángulos

En dos triángulos rectángulos los ángulos rectos son congruentes; por tanto los postulados

generales de congruencia los podemos expresar de la siguiente manera:

Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen ordenadamente congruente:

a) La hipotenusa y un ángulo agudo.

b) Un cateto y un ángulo agudo.

c) Dos catetos.

d) Un cateto y la hipotenusa.

Ejercicio

En cada uno de los casos de congruencia de triángulos rectángulos, identifique el postulado de

congruencia que se aplica.

Nota: Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen congruentes dos elementos entre los

cuales figura por lo menos un lado.

Ejercicios 8.3

1. En la figura , La circunferencia con centro O tiene radio 8 . Si m ROT 120 , encuentre el

área del triángulo ROT.

O

R

T

120°

figura 8.15

2. ¿ Cuál es el área del trapecio de la figura?

45° 45°

6

3 2

figura 8.16

3. Encuentre el área del triángulo JOY.

45°

Su

po

nga

moJ

OO

O

O

O

O

O

B

Y12

6

figura 8.17

4. En la figura , XM SA MA XS MO/ / , / / y OS . Encuentre el área del cuadrilátero

XMAS.

A

M

O

X

2

5

7

S

figura 8.18

5. La figura muestra un ático cuyos ángulos de la base miden 60°, se desea construir un cuarto

adicional construyendo un muro de 3m de altura. Si el piso del ático mide 6m, de qué forma

debe construir el otro muro?.

6 m

3 m60

060

0

figura 8.19

6. Si L representa la longitud del lado de un triángulo equilátero, demostrar que su apotema mide 1

63L .

7. Dado un ángulo de 50° encontrar un punto que equidiste de los lados y esté a 4 unidades del

vértice.

8. Dado un ángulo de 600 y un punto situado en su bisectriz a 4 cm de su vértice. Hallar la

distancia que lo separa de los lados del ángulo.

NOTAS DE GEOMETRIA -1996 PLAN DE NIVELACIÓN...

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