Colegio Santa Rosa Equipo Técnico Pedagógico

Nombre y apellido Docente: Rosa Muñoz Jorquera Nivel 2020: Tercero Medio Electivo “Límites y derivadas”

GUÍA Nº10: “Funciones trascendentes y sus gráficas”

Unidad 1: Funciones

OA/AE OA 1: Composición de funciones.

Asignatura Electivo Matemática

Habilidades Comprender – aplicar – analizar.

Conceptos Claves

Función, trigononometría, seno, coseno, tangente, periódo.

Cantidad de páginas.

6 páginas.

Email rosa.munoz@colegiostarosa.cl

Horario de clases.

MARTES Y VIERNES 9:30 a 10:10 – MIÉRCOLES 8:30 a 9:10.

Queridas estudiantes: Para esta semana cambiaremos el contenido de composición de funciones, pero seguiremos avanzando en las funciones en general, revisando algunas funciones trascendentes, como lo son las funciones trigonométricas. Partiremos recordando contenido de funciones trigonométricas que usted revisó el año anterior en la asginatura de geometría. Para aclarar estas dudas y explicar este material aprovecharemos las clases virtuales que tendremos durante la semana, por lo que no se realizará video explicativo de la guía. La guía contiene material explicativo y también, como en las demás guías, ejercicios para que usted pueda practicar. Sugiero y solicito revisar la guía previo a la clase virtual para que así sea esa la instancia en que podamos resolver todas las dudas que a ustedes le surgan. Estaré atentas a sus dudas, las cuáles pueden seguir haciéndomelas al correo expuesto, espero se encuentren muy bien junto a sus familias.

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Recordemos algo de las funciones trigonométricas vistas el año anterior: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las funciones y = sin x, y = cos x, y = tg x.

Conviene que comencemos repasando la noción trigonométrica de seno, coseno y tangente de un ángulo.

Sea un triangulo rectángulo, como el del gráfico presente, siendo los catetos los lados "a" y "b", y la hipotenusa el lado mayor (opuesto al ángulo recto) "c". Las relaciones entre los catetos y la hipotenusa se llaman seno, coseno y tangente, es decir:

- El seno (sin ó sen) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. - El coseno (cos) es el cociente entre el cateto adjunto al ángulo y la hipotenusa. - La tangente (tg ó tan) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. - La tangente puede considerarse también como el cociente del seno entre coseno.

ÁNGULOS EN RADIANES

Se define el radian como el ángulo que en una circunferencia subtiende respecto del centro O un arco MN con igual longitud que el radio r.

En general, si tenemos una circunferencia de radio r, y un cierto ángulo a subtendiendo un arco de longitud s, el cociente s/r nos da el valor de ese ángulo en radianes.

Por otra parte, nosotros conocemos que la mitad de la circunferencia corresponde a un arco de longitud 𝜋r, mitad que equivale a un ángulo de 180° , lo cual nos permite hacer transformaciones entre radianes y ángulos:

Por ejemplo, ¿cuántos radianes son 30°?.

Respuesta: considerando la relación

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tenemosquex=p/6radianes.

Otro ejemplo, ¿ cuántos grados son 0,357 radianes ?.

Respuesta: considerando la relación

tenemos que x = 20,45° .

* Es interesante también recordar que 1 radián son 180°/𝜋, es decir, 57,29... grados. Mientras que 1 grado son 𝜋 /180° , o sea, 0,1745... radianes.

Contenido… Analicemos las siguientes tablas:

Ahora, si vemos esos ángulos en radianes nos queda:

Para graficar las funciones seno, coseno y tangente, hay que considerar los ángulos en radianes como el eje “x”, y los reales en el eje de vertical (valores del -1 al 1). Graficando la función seno, se obtiene la siguientes gráfica:

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Si analizamos al algunos valores de la gráfica, podemos notar que: Sen(0) = 0 Sen (!

") = 1

Sen (𝜋) = 0 Sen $#!

"% = −1

Sen (2𝜋) =0 Además podemos observar que es un gráfica cíclica, es decir, que se puede apreciar cómo se cumple el mismo ciclo una y otra vez. Esto ocurre con un período de “2𝜋”, cada 2𝜋se genera la misma gráfica. Graficando la función coseno, se obtiene la siguientes gráfica:

Si analizamos al algunos valores de esta gráfica, podemos notar que: cos(0) = 1 cos (!

") = 0

cos (𝜋) = -1 cos $#!

"% = 0

cos (2𝜋) =1 Al igual que la gráfica anterior, la función coseno tiene un período de 2𝜋,a través del cual veremos cómo se genera la misma gráfica una y otra vez. Graficando la función tangente, se obtiene la siguientes gráfica:

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Si analizamos algunos valores para la gráfica tan(x). Podemos ver los siguiente: Tan(-𝜋) =0 Tan(0) = 0 Tan (!

$) = 1

Tan(𝜋) = 0

Y podemos ver que los valores − !"#, − "

#, "#, !"#

se indeterminan, por lo mismo no se pueden observar puntos en la gráfica para los valores anteriores. Por otro lado, podemos apreciar que esta función tiene un período de 𝜋, a través del cual podemos ver cómo se va repitiendo la gráfica.

Ejercitación: 1. Dados los siguientes triángulos, hallar las razones trigonométricas para el ángulo alfa.

2. Expresa en radianes, las medidas de los siguientes ángulos. a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 120° f) 180° g) 270°

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h) 360°

3. Expresa en grados, las medidas de los siguientes ángulos.

a) !" rad

b) !$ rad

c) !# rad

d) $!#

rad

e) %!&

rad

f) %!&

rad

Resumen de contenidos: Para trabajar con gráficas de funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente, se deben trabajar los ángulos en radianes y hacer las transformaciones correspondientes según sea necesario. Tanto la función seno, coseno y tangente, tienen un período de 𝝅 y luego se comienza a repetir la misma gráfica. Las estudiantes que no puedan acceder a la clase virtual por cualquier motivo personal, solicito enviar de vuelta esta guía para ir monitoreando su trabajo, las estudiantes que estén presentes en las clases, no es necesario que envien su trabajo al correo. El plazo de entrega es el día viernes 10 de Julio a las 13:00 horas. Cariños.