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Nombre del alumno: _____________________________________ Grupo:_________ Fecha: ___/____/___

CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 1

Actividad 1: Operación con números enteros.

Suma con enteros.

Números con signos iguales, se suman y se coloca el signo de los sumandos.

Ejemplos:

1) – 6 – 3 = - 9.

2) ( + 4 ) + (+ 5) + (3) = +12.

3) – 3 – 2 – 5 = - 10.

4) ( - 7 ) + (- 8) = - 15.

Ejercicios.

1) (-6) + (-8)=

2) (+5) + (+12)=

3) (34) + (16)=

4) (-12) + (-15) + (-6)=

5) (-4) + (-8) + (-6) + (-2)=

Reto Individual

1) (+13) + (+19) + (+6) + (+5)=

2) (-8) + (-15) + (-9) + (-6)=

3) (-5) + (-3) + (-8) + (-7)=

4) (-1) + (-9) + (-12) + (-8)=

5) (8) + (+3) + (11) + (+9)=



Resta de números enteros.

Los números con signos opuestos o diferentes, se restan y se escribe el resultado con el signo

del número mayor al valor absoluto.

Ejemplos:

1) – 6 + 2 = - 4.

2) 18 – 4 = 14.

3) (+9) + (-3)= 9 – 3= 6

4) (+4) + (+5) - (3)= +6

5) (+5) – (-8) = (+5) + (+8)=13

Ejercicio.

1) (-5) - (-8)=

2) (-9) - (+6)=

3) (-9) - (+12)=

4) (+6) - (+4)=

5) (+10) – (+7)=

Reto Individual.

1) (+15) - (-9)=

2) (-6) - (-6)=

3) (24) – (15)=

4) (-3) - (+3)=

5) (14) - (+17)=



Multiplicación de números enteros.

Leyes de los signos.

(+)(+)=+ (-)(-)=- (+)(-)= - (-)(+)= -

Ejemplos.

1) (-4)(5)=-20

2) (-13)(-2)=26

3) (50)(-5)=-250

4) (13)(13)=169

Ejercicios.

1) (-7)(-4)=

2) (8)(-3)=

3) (-6)(+5)=

4) (12)(-5)=

5) (160)(3)=

Reto Individual

1) (-6)(-1)=

2) (-6)(-8)=

3) (4)(-3)=

4) (0)(5)=

5) (9)(-4)=



División de números enteros. Es la operación que permite hallar un número llamado cociente cuando se conocen otros dos nueros llamados dividendo

y divisor.

La división se puede representar con los siguientes símbolos:

a) Con una caja divisora

b) Por medio de dos puntos 49:7

c) Por medio del signo ÷

d) Con una raya horizontal 25 →𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜

5 →𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟

Para la división de números enteros utilizaremos las leyes de los signos:

(+)÷(+)=+ (-)÷(-)=- (+)÷(-)= - (-)÷(+)= -

Ejercicios:

1) (54) ÷ (-3)=

2) (200) ÷ (-40)=

3) (80) ÷ (-16)=

4) (210) ÷ (-70)=

5) (54) ÷ (1)=

Reto Individual:

1) (236) ÷ (-27)=

2) (-1247) ÷ (367)=

3) (-8754) ÷ (-39)=

4) (5684) ÷ (-673)=

5) (3578) ÷ (231)=



Actividad 2: Signos de agrupación o jerarquía de operaciones.

Operaciones con signos de agrupación.

Para eliminar un signo de agrupación, se debe multiplicar por el número o signo que le antecede,

como se muestra a continuación.

Ejemplos.

1) – (5 - 3)= - 5 + 3= - 2

2) 2{4 – 6}= 8 – 12= - 4

Cuando existen varios signos de agrupación, se procede a la eliminación de adentro hacia afuera.

3) – {- 4 (- 6 + 9)} = -{24 – 36} = - 24 + 36= 12

4) – (5 – 7) – {3 – [4( - 11 + 7) ] } = - (5 - 7) – {3 –[- 44 + 24]} = - 5 + 7 – {3 + 44 – 28} = 2 – {47 – 28} = 2 – 47 + 28 = - 17 Ejercicios.

1) – 6 + { 3 – [ 4 – 2 (4 – 7) ] }=

2) 8 – {5 – 4 [- 6 + 7 (5 – 2) – 3]=

3) – {- 6 + 4 [2 – 5 ( 4 – 3(4 – 3) + 2 (7 – 3) ) ] + 2 } – 1=

4) 6 – [4 – 3(4 – 2)] – {7 – 5[4 – 2(7 – 2) ] }=

5) – 2 +{ - 3 – [7 + 4(- 2 + 5) ] } – 4=

Reto Individual

1) 12 + 3{ - 6 + 2[5 – 4(3 – 2) + 5(7 – 8)] – 5}

2) – 2 (- 7 + 11) – 5 – { - 2 + ( - 3 + 5) – [4 – (2 + 3)]}=

3) – 11 + 7 – 2{ - 4 + 1 – [- 2 ( - 3 + 4) – 2 + 4 + 7 – 8]- 4}=

4) (- 9 + 5) - [(9 + 8) - (9 – 17]=

5) 8 (6 – 4) - [7 (8 + 3) - (- 3 – 7)]=

6) (5+9) - (-4-7-2) + [5(-4) + 3(2-1)]=



Actividad 3: Mínimo común múltiplo.

Es el menor de los múltiplos en común de un grupo de números.

Calculo del M.C.M

Se descompone simultáneamente los números en sus factores primos hasta que el cociente de cada

uno de ellos sea la unidad.

Ejemplo.

Calcular el m.c.m. de 24, 30 y 20

Solución.

24 30 20 2 El resultado se obtiene multiplicando los números primos de la

12 15 10 2 derecha como sigue m.c.m (24, 30, 20)= 2*2*2*3*5 = 120.

6 15 5 2

3 15 5 3

1 5 5 5

1 1 1

Ejercicios.

1) 9, 18

2) 19, 21

3) 12, 15

4) 30, 15, 60

5) 121, 605, 1210

Reto Individual

1) 80, 120

2) 320, 848

3) 930, 3100

4) 54, 360

5) 14, 28, 30, 120



Actividad 4: NUMEROS RACIONALES

Fracción común.

Si a y b son números enteros, y b es diferente de cero, se llama fracción común a la expresión 𝑎

𝑏, donde a recibe el

nombre de numerador y b el de denominador. En una fracción común el denominador indica el número de partes

iguales en que se está dividiendo la unidad y el numerador indica el número de partes que se están tomando de la

unidad.

Ejemplos.

1. La fracción 3

4, indica que la unidad se divide en 4 partes iguales, de las cuales se toman únicamente 3 la

representación gráfica de esta fracción es:

1

4

1

4

1

4

1

4

2. La fracción 5

3 indica que la unidad se divide en 3 partes iguales, de las cuales deben tomar 5, lo cual no se es

posible.

Por lo tanto, se toman 2 unidades y se dividen en 3 partes iguales cada una, de la primera se toman las tres

partes y de la segunda únicamente 2 para completar las 5 partes indicadas.

5

3=

1

3

1

3

1

3

+

1

3

1

3

1

3

Ejercicio:

Representa gráficamente las siguientes fracciones:

1) 3

8

2) 1

4

3) 3

5

4) 7

6

5) 9

4



Reto Individual

Indica la fracción que representa la parte sombreada de las figuras.

6)

7)

8)

9)

+



Actividad 5: OPERACIONES CON FRACCIONES

FRACCIONES DEL MISMO DENOMINADOR.

Se suman o se restan los numeradores y se escribe el denominador común.

EJEMPLOS.

1) 3

4+

2

4+

1

4=

6

4=

3

2

2) 7

9−

5

9=

2

9

3) 13

5+

4

5− 2

1

5=

8

5+

4

5−

11

5=

1

5

EJERCICIOS.

1) 6

8+

2

8+

5

8=

2) 5

12+

9

12−

3

12=

3) 12

7+

4

7+ 2

9

7=

4) 27

9−

4

9−

7

9=

5) 15

11+

7

11+

4

11=

Reto Individual

1) 23

5− 3

2

5+ 4

1

5=

2) 32

7− 1

2

7−

3

7=

3) 32

7+ 1

3

7− 4

3

7=

4) 13

5+ 7

4

5− 9

2

5=

5) 17

20+ 2

5

20− 1

9

20+

3

20=



Fracciones con diferente denominador.

Se busca el mínimo común múltiplo de los denominadores, éste se divide por cada uno de los

denominadores de las fracciones y se va multiplicando por su correspondiente numerador de la

fracciones y se va multiplicando por su correspondiente numerador. Los números que resultan se

suman o se restan.

1) 3

2+

1

3+

2

6=

9+2+2

6=

13

6= 2

1

6

2) 8

2−

1

5=

40−2

10=

38

10=

19

5= 3

4

5

3) 31

6− 1

1

2+

1

3=

19

6−

3

2+

1

3=

19−9+2

6=

12

6= 2

Ejercicios.

1) 43

10−

3

5=

2) 8

26+

15

39=

3) 113

8− 5

1

24=

4) 54

+7

8+

1

16=

5) 5

3+

4

9+

6

18=

Reto Individual

1) 93

120−

83

15=

2) 122

3− 7

1

11=

3) 7

5+

8

35−

9

21=

4) 122

3− 7

1

11=

5) 85

6− 5

1

12=



Multiplicación con fracciones comunes.

Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.

Con números mixtos.

Se convierten los números mixtos a fracciones impropias y se procede a multiplicarlos.

Ejemplos.

1) 2

5×

1

6=

2×1

5×6=

2

30=

1

15

2) 3

8×

4

9=

3×4

8×9=

12

72=

1

6

3) 32

4× 4

1

6=

14

4×

25

6=

350

24= 14

7

12

Ejercicios.

1) 2

3×

3

4×

5

6=

2) 1

5×

9

4×

12

6=

3) 2

3×

5

7×

3

4=

4) 25

7× 3

2

3=

5) 3

4× 2

3

5=

Reto Individual

1) 72

9× 2

3

4=

2) 13

5× 4

5

8=

3) 22

3× 3

1

5=

4) 3

4×

1

7=

5) 3

8×

1

4=



División con fracciones comunes. Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, el producto es el

numerador de la fracción resultante.

Se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la siguiente fracción, el producto es el

denominador de la fracción resultante

𝑎

𝑏÷

𝑐

𝑑=

𝑎𝑏𝑐𝑑

=𝑎 ∗ 𝑑

𝑏 ∗ 𝑐

Ejemplos.

1. Realiza 2

3÷

4

5

Solución.

Se aplican los pasos y se simplifica el resultado.

2

3÷

4

5=

2𝑥5

3𝑥4=

10

12=

5

6

2. Determina el resultado de 42

5÷ 2

3

4.

Solución.

Se convierten la fracciones mixtas a impropias y se realiza la división.

42

5÷ 2

3

4=

22

5÷

11

4=

88

55=

8

5= 1

3

5

Por consiguiente: 42

5÷ 2

3

4= 1

3

5

Ejercicios.

1) 1

6÷

2

3=

2) 3

4÷

1

2=

3) 6

8÷

1

4=

4) 13

9÷

4

3=

5) 5

12÷

5

6=

Reto individual.

6) 1 ÷ 11

4=

7) 1

2÷ 3

1

4=

8) 22

3÷

4

15=

9) 34 ÷ 25

6=

10) 55

8÷ 3

3

4=



Actividad 6: Potenciación.

Es la operación que nos indica el número de veces que se deben multiplicar la base por si misma según

lo indique el exponente. 𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎.∙ … → 𝑛 − 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠

Donde 𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑛 = 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒

Leyes de exponentes.

1) 𝑎0 = 1 5) (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛∙𝑚 10) 𝑎𝑛 =1

𝑎−𝑛

2) 𝑎1 = 𝑎 6)(𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐)𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 ∙ 𝑐𝑛 11)𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛

3) 𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 7)(𝑎

𝑏)

𝑛=

𝑎𝑛

𝑏𝑛 12) √𝑎𝑛

= 𝑎1

𝑛

4) 𝑎𝑛

𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚 8)(𝑎

𝑏)

−𝑛= (

𝑏

𝑎)

𝑛

Las operaciones con potencias son las que se realizan aplicando la ley de los exponentes.

Ejemplos.

Simplifica las siguientes expresiones aplicando las leyes de los exponentes.

1) (1

3)

2∙ (

3

2)

−3= (

1

3)

2∙ (

2

3)

3=

12

32 ∙23

33 =23

35 =8

243

2) [(

1

2)

3

(2

3)

2]

−2

= [13

23

22

32

]

−2

= [32

25]−2

=(25)

2

(32)2 =210

34 =1024

81

3) [32∙5−1

33∙√5]

−2

= [32−3 ∙ 5−1−1

2]−2

= 3(−1)(−2) ∙ 5(−

3

2)(−2)

= 32 ∙ 53 = 1125

Ejercicios.

1) (22)2=

2) (52)3 =

3) [(1

4)

2]

4

=

4) (3

56

5

)

2

=

5) (22∙3

34∙42

24∙32 ) =



Reto individual.

6) [(1

2)

2∙ (

3

5)

2]

2

=

7) 2

−12 ∙3

34∙42

252∙3

−14 ∙4

32

=

8) (3

2)

2=

9) [(3

4)

4]

−1

2

=

10) 35∙4−6

37∙4−8 =



Actividad 7: Raciones y Proporciones.

Porcentajes El porcentaje de una cantidad es el número de partes que se toman, de las cien en las que se divide dicha cantidad.

Se representa con el símbolo % o en forma de fracción.

Ejemplo.

El 8% de 48, equivale a tomar 8 centésimas (8

100= 0.08) de 48. Es decir, se divide 48 en 100 partes y se toman 8.

Ejercicios.

Representa en forma decimal los siguientes por cientos.

1) 3%

2) 4%

3) 6%

4) 15%

5) 1%

6) 5%

7) 25%

8) 30%

9) 50%

Reto individual.

10) 75%

11) 32%

12) 4.5%

13) 0.008%

14) 0.03%



Actividad 8: Proporción directa o regla de tres directa.

Definición.

Una proporción es directa si al aumentar o disminuir una de las cantidades, la otra también aumenta

o disminuye respectivamente.

Si “m” es a “n” y “c” es a “d”, entonces 𝑚

𝑛=

𝑐

𝑑

Ejemplo.

Un automóvil recorre 600 Km en 4 hrs. ¿Cuántos Km. recorrerá en 7 hrs si la velocidad es constante?

Sol: 600 Km 4 hrs.

x 7 hrs.

de esta relación se obtiene:

x= (600)(7)

(4)=

4200

4= 1050 𝐾𝑚

Proporción inversa ó regla de tres inversa.

Definición.

Una proporción es inversa si al aumentar una de las cantidades, la otra disminuye y viceversa.

Si “m” es a “n” y “c” es a “d”, entonces m∙n=c∙d

Ejemplo.

15 hombres realizan una obra en 8 días. ¿En cuántos días lo harán 20 hombres?

Sol: 15 hombres 8 días.

20 hombres x

de esta relación se obtiene:

x= (15)(8)

(20)=

120

20= 6𝑑í𝑎𝑠

Ejercicios.

1) 3

4=

𝑥

8

2) 2

𝑎=

8

32

3) 4

5=

12

𝑚

4) 𝑎

5=

6

15

5) 20

𝑥=

6

15



Reto individual.

1) El precio de 25 latas de Aceite es de $248.00. ¿Cuántas latas de aceite se podrán comprar con

$ 1240.00?

2) Con $ 500.00, Arturo compra 250 dulces. ¿Cuántos dulces se podrá comprar con $120.00?

3) Si Miguel gana $ 1600.00 por 20 horas de trabajo. ¿Cuánto ganará por 25 horas?

4) Si un auto hizo 9 horas en un recorrido de 750 km. ¿Qué tiempo emplearía en recorrer 2250

Km?

5) El valor de 25 𝑚2 de azulejos es de $ 3125.00. ¿Cuántos 𝑚2 de azulejo se comprarán con

$15,625.00?



Actividad 9: Ecuaciones de primer grado.

En una ecuación (BALANZA), la operación (suma, resta, multiplicación o división) que agregues o

quites de un lado de la igualdad “=”, debes realizar la misma operación del otro lado de la igualdad

para seguir manteniendo nivelada la equivalencia.

Definición. Una ecuación de primer grado es una igualdad entre dos expresiones que involucran constantes y una incógnita, está

formada por dos miembros.

1er Miembro = 2do Miembro.

Resolver una ecuación de primer grado es hallar el valor de la incógnita, utilizando reglas de despeje.

Ejemplo 1.

Hallar el valor de la incógnita en la ecuación 8𝑥 = 5𝑥 + 15

Agrupando los términos con la incógnita en el 1er miembro y los términos independientes en el 2do miembro, se

obtiene:

8𝑥 − 5𝑥 = 5𝑥 + 15 − 5𝑥

8𝑥 − 5𝑥 = 15

3𝑥 = 15

3𝑥

3=

15

3

𝑥 = 5

Nota: Cuando al despejar una incógnita, un número multiplica o divide conserva su signo.

Ejemplo 2.

Hallar el valor de la incógnita en la ecuación 3𝑦 − 25 = 𝑦 − 5

Solución. −𝑦 + 3𝑦 − 25 + 25 = 𝑦 − 𝑦 − 5 + 25

2𝑦 = 20

2𝑦

2=

20

2

𝑦 = 10



Ejercicios:

1) 15 − 2𝑥 = 9

2) 6 − 2𝑥 = 14

3) 9 + 3(2 − 𝑥) = −3

4) 12 + 7𝑥 = 2𝑥 + 22

5) 9 − 8𝑥 = 27 − 2𝑥

Reto individual.

6) 2𝑥 + 9 = 𝑥 + 1

7) 11𝑥 − 5𝑥 + 6 = −24 − 𝑥

8) 10𝑥 − 21 = 15 − 2𝑥

9) 21𝑥 − 3 = 3𝑥 + 69

10) 3𝑥 − 3 − 𝑥 = 4𝑥 + 11



Actividad 10: Despejes.

Los despejes son las operaciones que nos permiten encontrar el valor de una incógnita en una igualdad (balanza), la cual puede ser una fórmula, ley o principio general, en el que se involucran símbolos. Ejemplos. En la formula A = b ∙ h, despejar “b”. Sol:

En este caso “b” está multiplicada por h, para despejar “b”, se utiliza la operación contraria que es la división.

A = b ∙ h 𝐴

ℎ= 𝑏 𝑏 =

𝐴

ℎ

Despejar “c” de la formula 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 Sol:

Las variables que no sean “c” se transpone al primer miembro y se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros.

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 𝑎2 − 𝑏2 = 𝑐2 √𝑎2 − 𝑏2 = √𝑐2 √𝑎2 − 𝑏2 = 𝑐

Ejercicios. 1) En la formula PV= nrt, despejar “n”

2) En 𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 despejar 𝑥2

3) Despejar “r” de A = π𝑟2

4) En P = 2l + 2ɷ, despejar l

5) En y= mx + b, despejar “m”

Reto individual.

1) Despejar “F” de C = 5

9(F-32)

2) Despejar “b” de A = 1

2 h (B+b)

3) Despejar “t” de d = Vt + 1

2 a 𝑡2

4) En 1

𝑓=

1

𝑝−

1

𝑝´, despejar p´

5) En tgα = 𝑚2− 𝑚1

1+𝑚2𝑚1



Actividad 11: Operaciones con polinomios.

Suma de polinomios.

En la suma de polinomios se escribe los polinomios uno seguido del otro y se reducen los términos

semejantes.

Ejemplos.

1) Sumar 5𝑥3 − 3𝑥2 − 6𝑥 − 5; −8𝑥3 + 2𝑥2 − 3; 7𝑥2 − 9𝑥 + 1

Solución:

5𝑥3 − 3𝑥2 − 6𝑥 − 4−8𝑥3 + 2𝑥2 − 3+7𝑥2 − 9𝑥 + 1 = −3𝑥3 + 6𝑥2 − 15𝑥 − 6

2) Sumar 2x – 7y - 3z + 6; - 9x + 4z; -x +4y +z -8

Solución:

Con un fin más práctico, se ordenan los polinomios en uno sobre el otro haciendo coincidir los términos

semejantes y reduciendo los coeficientes término a término.

2x – 7y - 3z + 6

- 9x + 4z

-x +4y + z -8

-8x -3y +2z -2

Ejercicio.

1) 3𝑥 − 8𝑦 − 2𝑧 ; −7𝑥 + 3𝑦 + 𝑧

2) −5𝑚 − 3𝑛 + 6 ; 2𝑚 + 2𝑛 − 8

3) 7𝑎 − 𝑏 + 𝑐 ; −8𝑎 − 𝑐

4) 3𝑝 − 5𝑞 − 6𝑟 ; 2𝑝 + 3𝑞 − 2𝑟 ; −12𝑝 + 4𝑞 + 𝑟

5) 6𝑥2 + 3𝑥 − 2 ; −𝑥2 + 7𝑥 + 4

Tarea.

1) 8𝑎2 − 6𝑎3 + 4𝑎 ; 4𝑎3 + 𝑎2 − 4𝑎 − 5

2) 5𝑥4 − 3𝑥2 + 6𝑥 − 3 ; −3𝑥4 + 𝑥3 + 5𝑥2 − 7𝑥 + 3

3) 4𝑥2 − 5𝑥 + 6 ; 2𝑥2 − 7𝑥 + 4 ; −8𝑥2 + 10𝑥 − 10

4) 𝑦3 − 𝑦 ; 2𝑦2 − 5𝑦 + 7 ; 4𝑦3 − 5𝑦2 + 3𝑦 − 8

5) 8𝑧3 − 9 ; −4𝑧3 + 2𝑧2 + 6 ; 5𝑧2 − 2𝑧3 − 7𝑧 + 2



Resta de polinomios.

En el caso de la resta es importante identificar el minuendo y el sustraendo.

Ejemplo.

De 16𝑥2 − 7𝑥 − 8 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 6𝑥2 − 3𝑥 + 6

Solución:

El minuendo es 16𝑥2 − 7𝑥 − 8 y el sustraendo es 6𝑥2 − 3𝑥 + 6, entonces al sustraendo se le cambia el

signo −(6𝑥2 − 3𝑥 + 6) = −6𝑥2 + 3𝑥 − 6.

Se acomodan los polinomios y se realiza la operación:

16𝑥2 − 7𝑥 − 8

−6𝑥2 + 3𝑥 − 6

10𝑥2 − 4𝑥 − 14

Ejercicios.

1) 𝐷𝑒 5𝑎2 − 3𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 8𝑎2 − 5𝑎 + 7

2) 𝐷𝑒 3𝑥3 − 5𝑥2 − 6𝑥 + 3 ; 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 2𝑥3 + 4𝑥 − 8

3) 𝐷𝑒4𝑎4 − 10𝑎3 + 2𝑎2 − 3𝑎 − 4 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 5𝑎5 − 3𝑎3 + 6𝑎 − 3

4) 𝐷𝑒4𝑥3𝑦 − 5𝑥𝑦2 + 6𝑥4𝑦 − 8𝑥𝑦5𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 12𝑥𝑦2 − 3𝑥𝑦5 + 4𝑥3𝑦 − 9𝑥4𝑦

5) 𝐷𝑒7 − 8𝑎5𝑏 + 3𝑎3𝑏2 − 6𝑎4𝑏 + 2𝑎𝑏3 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 5𝑎3𝑏2 − 3𝑎𝑏3 + 8 − 7𝑎5𝑏 − 2𝑎4𝑏

Tarea.

1) 3𝑥𝑎+2 − 7𝑥𝑎+1 − 8𝑥𝑎 + 3𝑥𝑎−1𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 4𝑥𝑎+2 + 6𝑥𝑎+1 + 7𝑥𝑎 − 9𝑥𝑎−1

2) 𝐷𝑒5𝑎2𝑚−1 + 6𝑎2𝑚−8𝑎𝑚+1−3𝑎𝑚−3𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟12𝑎2𝑚 − 5𝑎𝑚+2−3𝑎𝑚+1 − 4𝑎𝑚+2

3) 𝐷𝑒 1

6𝑚2𝑛3 − 6𝑚𝑛4 + 8𝑚4𝑛 −

2

5𝑚𝑛3𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟

1

3𝑚4𝑛 +

3

2𝑚2𝑛3 + 8𝑚𝑛4

4) 𝐷𝑒3

2𝑥3 −

1

4𝑥2 − 6𝑥 +

2

3𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟

1

2𝑥3 −

5

2𝑥2 −

2

3𝑥 − 1

5) 𝐷𝑒2

5𝑥𝑦 + 3𝑥3𝑦 − 4𝑥4 +

1

6𝑦3𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟

3

2𝑥4 +

1

5𝑥5𝑦 − 6𝑦2 +

2

3𝑥𝑦



Multiplicación de polinomios.

Ley de los signos.

(+)(+)=+ (+)(-)=- (-)(+)=- (-)(-)=+

Leyes de los exponentes para la multiplicación.

En la multiplicación de términos con la misma base los exponentes se suman.

𝑥𝑦 ∙ 𝑥𝑧 = 𝑥𝑦+𝑧

Ejemplos.

1) Multiplicar (−5𝑥4𝑦5𝑧)(3𝑥2𝑦6𝑧)

Solución:

Primero se multiplican los signos (-) (+)= -

Después los coeficientes: (5) (3)= 15

Por último las bases: (𝑥4)(𝑥2) = 𝑥4+2 = 𝑥6

(𝑦5)(𝑦6) = 𝑦5+6 = 𝑦11

(𝑧)(𝑧) = 𝑧1+1 = 𝑧2

Por lo tanto (−5𝑥4𝑦5𝑧)(3𝑥2𝑦6𝑧) = −15𝑥6𝑦11𝑧2

2) Realiza el siguiente producto de polinomios.

(5𝑥5𝑦4 − 3𝑥4𝑦3𝑧 + 4𝑥𝑧4)(−3𝑥4𝑦)

Solución.

Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

(5𝑥5𝑦4)(−3𝑥4𝑦) = −15𝑥9𝑦5

(−3𝑥4𝑦3𝑧)(−3𝑥4𝑦) = 9𝑥8𝑦4𝑧

(4𝑥𝑧4)(−3𝑥4𝑦) = −12𝑥5𝑦𝑧4

Por lo tanto el resultado es:

=-15𝑥9𝑦5 + 8𝑥8𝑦4𝑧 − 12𝑥5𝑦𝑧4

3) Efectuar la siguiente operación

(5𝑥2 − 3𝑥 − 2)(4𝑥 − 3𝑥2 − 6)

Solución.

1. Se escriben los factores de la multiplicación en forma escalonada, ordenando los polinomios en forma

ascendente y descendente según se requiera.

5𝑥2 − 3𝑥 − 2

−3𝑥2 + 4𝑥 − 6

2. Se multiplica el primer término del polinomio de arriba por cada uno de los términos del polinomio de

arriba. 5𝑥2 − 3𝑥 − 2

−3𝑥2 + 4𝑥 − 6

−15𝑥4+9𝑥3 + 6𝑥2



3. Después se multiplica el segundo término del polinomio de abajo por cada uno de los términos del

polinomio de arriba, colocando los resultados debajo del término semejante del primer resultado.

5𝑥2 − 3𝑥 − 2

−3𝑥2 + 4𝑥 − 6

−15𝑥4+9𝑥3 + 6𝑥2

20𝑥3 − 12𝑥2 − 8𝑥

4. Se repite el paso anterior para cada uno de los términos siguientes (en caso de tener).

5𝑥2 − 3𝑥 − 2

−3𝑥2 + 4𝑥 − 6

−15𝑥4+9𝑥3 + 6𝑥2

20𝑥3 − 12𝑥2 − 8𝑥

−30𝑥2 + 18𝑥 + 12

5. Por último se suman los términos resultantes

5𝑥2 − 3𝑥 − 2

−3𝑥2 + 4𝑥 − 6

−15𝑥4+9𝑥3 + 6𝑥2

20𝑥3 − 12𝑥2 − 8𝑥

−30𝑥2 + 18𝑥 + 12

−15𝑥4+29𝑥3−36𝑥2 + 10𝑥 + 12

El resultado es: (5𝑥2 − 3𝑥 − 2)(4𝑥 − 3𝑥2 − 6) = −15𝑥4+29𝑥3−36𝑥2 + 10𝑥 + 12

Ejercicios.

1) (5𝑥𝑦)(−3𝑥)=

2) (9

4𝑚𝑝2) (−15𝑚6𝑝) =

3) (4𝑎2 − 7𝑎𝑏)(2𝑎3𝑏) =

4) (5𝑚4 − 3𝑚3 + 6𝑚 − 3)(−3𝑚) =

5) (5

2𝑥2 +

1

5𝑦2 −

3

4𝑥𝑦) (4𝑥 −

1

3𝑦) =

6) (𝑎2𝑏2 − 𝑎3𝑏 + 𝑎4 − 3𝑎𝑏3 + 𝑏4)(𝑎2 − 2𝑏2 + 𝑎𝑏) =



Reto individual.

7) (3

4𝑥𝑦𝑧) (−

2

5𝑧4) =

8) (7

4𝑎6𝑏8𝑐2) (

2

3𝑎2𝑏5𝑐) =

9) (3

4𝑥2 −

1

3𝑦2 + 6𝑥𝑦) (

4

3𝑥3𝑦) =

10) (2

5𝑎6 −

7

2𝑎4𝑏2 +

8

5𝑎2𝑏4 −

1

16𝑏) (

4

5𝑎𝑏5𝑐) =

11) (1

5𝑎3 − 3𝑎𝑏2 +

1

3𝑎2𝑏 −

3

2𝑏3) (

5

2𝑎2 − 3𝑏2 +

1

3𝑎𝑏) =

12) (1

2𝑥2 −

3

4+

1

3𝑥3 −

2

3𝑥) (

1

3𝑥2 − 2 +

1

4𝑥) =

13) (1

2𝑥2 −

3

2𝑥 +

5

2) (6𝑥2 − 4𝑥 − 2) =

14) (𝑎𝑥+2𝑏𝑚−1 + 3𝑎𝑥𝑏𝑚+1 − 4𝑎𝑥+1𝑏𝑚)(−2𝑎2𝑥−1𝑏𝑚−2 − 10𝑎2𝑥−3𝑏𝑚 − 4𝑎2𝑥−2𝑏𝑚−1) =



División de polinomios. Regla de los signos.

(+)÷(+)=+ (+)÷(-)=- (-)÷(+)=- (-)÷(-)=+

Ley de los exponentes para la división.

En la división los exponentes de las bases iguales se restan.

𝑎𝑚

𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛

División de monomios.

Realiza la siguiente operación −16𝑎5𝑏4𝑐6

8𝑎2𝑏3𝑐.

Solución.

Primero se dividen los coeficientes: (−16) ÷ (8) = −2

Después las bases 𝑎5

𝑎2 = 𝑎5−2 = 𝑎3

𝑏4

𝑏3 = 𝑏4−3 = 𝑏

𝑐6

𝑐= 𝑐6−1 = 𝑐5

Por lo tanto el resultado es: −16𝑎5𝑏4𝑐6

8𝑎2𝑏3𝑐= −2𝑎3𝑏𝑐5

División de un polinomio entre un monomio.

16𝑥6𝑦5𝑧−12𝑥4𝑦6𝑧2+6𝑥3𝑦9

−4𝑥2𝑦

Solución:

Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio.

16𝑥6𝑦5𝑧

−4𝑥2𝑦−

12𝑥4𝑦6𝑧2

−4𝑥2𝑦+

6𝑥3𝑦9

−4𝑥2𝑦= −4𝑥4𝑦4𝑧 + 3𝑥2𝑦5𝑧2 −

3

2𝑥𝑦8

División de polinomios.

3𝑥2−5𝑥+2

3𝑥−2

Solución.

1. Se colocan los polinomios como en la división con números reales.

3𝑥 − 2 3𝑥2 − 5𝑥 + 2

2. Se toma el primer término del dividendo y se divide por el primer término del divisor. 3𝑥2

3𝑥= 𝑥 x

3𝑥 − 2 3𝑥2 − 5𝑥 + 2

3. se multiplica el resultado de la división por cada uno de los términos del divisor.

x

3𝑥 − 2 3𝑥2 − 5𝑥 + 2

−3𝑥2 + 2𝑥

4. Se reducen los términos y se baja el siguiente término del dividendo.

x

3𝑥 − 2 3𝑥2 − 5𝑥 + 2

−3𝑥2 + 2𝑥

0 − 3𝑥 + 2



5. Se repite desde el primer paso, es decir, se divide el primer término del polinomio que resulto de la

reducción anterior. −3𝑥

3𝑥= −1

x-1

3𝑥 − 2 3𝑥2 − 5𝑥 + 2

−3𝑥2 + 2𝑥

0 − 3𝑥 + 2

3𝑥 − 2

0

Nota: Si el residuo es cero como en el ejemplo, se ha terminado la división, en caso contrario se siguen

los pasos anteriores hasta obtener el cero como residuo o algún polinomio de grado menor al de el.

Luego entonces 3𝑥2−5𝑥+2

3𝑥−2= 𝑥 − 1

Ejercicios.

1) 7

5𝑥9𝑦6 ÷

9

4𝑥2𝑦5 =

2) 3𝑚4𝑛5𝑝6 ÷1

3𝑚4𝑛𝑝5 =

3) 2𝑥4+6𝑥3−8𝑥2

2𝑥2 =

4)

1

5𝑎5𝑏7−

1

4𝑎4𝑏5−𝑥3𝑦5

−5

2𝑥2𝑦3

=

5) 15𝑚3−34𝑚2+9𝑚+10

3𝑚−5=

6) 12𝑥3+13𝑥2−59𝑥+30

4𝑥−5=



Reto individual.

7) −

3

8𝑐3𝑑5

3

4𝑑2

=

8) 32𝑎5𝑏6

−8𝑎3𝑏2 =

9) 2𝑥3−𝑥2+𝑥

𝑥=

10) (1

4𝑎2 −

5

2𝑎) ÷

1

2𝑎=

11) 6𝑥4−9𝑥3−23𝑥2+12𝑥+20

3𝑥2−4=

12) 6𝑥4−8𝑥2−𝑥3+𝑥+2

2𝑥2−𝑥−1=



Actividad 12: Sistema de ecuaciones.

Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Se llaman ecuaciones lineales simultáneas a aquellas de dos o más variables que se satisfacen para iguales valores de las

incógnitas.

Métodos de resolución.

Reducción. Este método consiste en eliminar una de las incógnitas al sumar las dos ecuaciones y obtener una ecuación de primer

grado, lo cual se resuelve por los métodos antes mencionados.

Ejemplo.

Hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones {2𝑥 + 5𝑦 = 193𝑥 − 4𝑦 = −6

Solución.

Primero se determina la variable a eliminar, en este caso “x”, por lo que buscamos que los coeficientes de “x” en ambas

ecuaciones sean los mismos pero de signo contrario.

Multiplicando la primera ecuación por -3 y la segunda por 2

−3(2𝑥 + 5𝑦 = 19)

2(3𝑥 − 4𝑦 = −6)

Se obtienen dos ecuaciones equivalentes a las originales; estas ecuaciones se suman y el término en “x” se cancela,

obteniendo asi una ecuación de primer grado la cual dará el valor de “y”.

−6𝑥 − 15𝑦 = −57 −6𝑥 − 15𝑦 = −57

6𝑥 − 8𝑦 = −12 6𝑥 − 8𝑦 = −12

−23𝑦 = −69

𝑦 =−69

−23= 3

El resultado y=3 se sutituye en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de “x”, en este caso la

situación será en la ecuación 2𝑥 + 5𝑦 = 19 entonces:

2𝑥 + 5𝑦 = 19 → 2𝑥 + 5(3) = 19

2𝑥 + 15 = 19

2𝑥 = 19 − 15

2𝑥 = 4

𝑥 =4

2= 2



Ejercicios:

1) 3𝑥 + 5𝑦 = 21

4𝑥 − 2𝑦 = 2

2) 5𝑥 + 𝑦 = −1

3𝑥 + 2𝑦 = 5

3) 7𝑚 + 5𝑛 = −32𝑚 − 3𝑛 = 8

4) 2𝑎 + 3𝑏 = 2

4𝑎 − 9𝑏 = −1

5)

1

𝑎+

2

𝑏=

7

63

𝑎−

5

𝑏= −

1

6

Reto individual.

6) 6𝑥 + 4𝑦 = 59𝑥 − 8𝑦 = 4

7) 3𝑥 + 10𝑦 = 56𝑥 − 5𝑦 = 1

8) 𝑚 + 𝑛 = −1

2𝑚 − 3𝑛 = 1

9) 30𝑎 + 20𝑏 = 7

40𝑎 − 30𝑏 = −2

10) 2𝑎 + 𝑏 = −

10

3

3𝑎 − 𝑏 = −25

6



Igualación. Este método consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones para después igualar los despejes, lo cual

implica que se obtendrá una ecuación de primer grado con una incógnita.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones {4𝑥 + 5𝑦 = 63𝑥 + 4𝑦 = 5

Solución:

Despejando la incógnita “x” de ambas ecuaciones.

4𝑥 + 5𝑦 = 6 3𝑥 + 4𝑦 = 5

4𝑥 = 6 − 5𝑦 3𝑥 = 5 − 4𝑦

𝑥 =6−5𝑦

4 𝑥 =

5−4𝑦

3

Debido que ambas ecuaciones se satisfacen para un mismo valor en “x” se igualan los despejes. 6 − 5𝑦

4=

5 − 4𝑦

3

3(6 − 5𝑦) = 4(5 − 4𝑦)

18 − 15𝑦 = 20 − 16𝑦

−15𝑦 + 16𝑦 = 20 − 18 ∴ 𝑦 = 2 Este valor de “y” se sustituye en cualquiera de los despejes obtenidos para encontrar el valor de la incógnita “x”.

𝑥 =6 − 5𝑦

4=

6 − 5(2)

4=

6 − 10

4=

−4

4= −1

Ejercicios.

1. 𝑥 = 𝑦 − 3

2𝑦 = 5 + 𝑥

2. 2𝑚 + 𝑛 = −1

𝑚 = 𝑛 − 8

3. 𝑥

5+

𝑦

12= −

2

3

2𝑥 = 3𝑦 − 22

4. 𝑦 =

2𝑥+5

3

3𝑦 = 𝑥 + 2𝑦 + 1

5. 𝑏 = 𝑎 + 7

3𝑎 = 2𝑏 − 17



Reto individual.

6. 2𝑎 − 3𝑏 = 73𝑏 = 𝑎 + 4

7. 𝑥 + 𝑦 =

9

10

5𝑥 − 2𝑦 = 1

8.

1

𝑚+

1

𝑛= 5

2

𝑚+

3

𝑛= 12

9. 𝑥 = 𝑦 + 11

3𝑦 = 2𝑥 − 26

10. 𝑞 = 𝑝 + 4

𝑞 + 𝑝 = 2𝑎



Actividad 13: Ecuaciones de segundo grado. Una ecuación de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 𝑦 𝑎 ≠ 0, se le denomina ecuación de segundo grado.

Las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, también llamadas raíces de la ecuación.

Clasificación de las ecuaciones de segundo grado. Completas: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Ecuaciones de Mixtas: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 , 𝑐𝑜𝑛 𝑐 = 0

Segundo grado. Incompletas:

Puras: 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 , 𝑐𝑜𝑛 𝑏 = 0

Solución de una ecuación de segundo grado.

Formula general. Sea la ecuación general de segundo grado.

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Entonces, al dividir por “a”

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 → 𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 = −

𝑐

𝑎

Se completa el trinomio cuadrado perfecto. 𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑏2

4𝑎2 =𝑏2

4𝑎2 −𝑐

𝑎

Se factoriza el lado izquierdo (𝑥 +𝑏

2𝑎)

2=

𝑏2−4𝑎𝑐

4𝑎2

Se realiza el despeje para “x” 𝑥 +𝑏

2𝑎= ±√

𝑏2−4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥 +𝑏

2𝑎= ±

√𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 = −𝑏

2𝑎±

√𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

∴ 𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Por lo tanto las soluciones a las ecuaciones son.

𝒙𝟏 =−𝒃+√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂 𝒙𝟐 =

−𝒃−√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂



Ejemplo.

Hallar las raíces de la ecuación: 3𝑥2 − 5𝑥 − 2 = 0

Solución.

Se identifican los valores de a, b y c de acuerdo con la ecuación de segundo grado.

a= 3 b= - 5 c= - 2

y se sustituyen en la formula general:

𝑥 =−(−5) ± √(−52) − 4(3)(−2)

2(3)=

5 ± √25 + 24

6=

5 ± √49

6=

5 ± √49

6=

5 ± 7

6

Obteniendo las raíces:

𝑥1 =5 + 7

6=

12

6= 2 ; 𝑥2 =

5 − 7

6= −

2

6= −

1

3

Ejercicios.

1. 6𝑥2 − 7𝑥 − 5 = 0

2. 4𝑥2 − 20𝑥 + 25 = 0

3. 6𝑥2 − 11𝑥 + 3 = 0

4. 5𝑦2 + 12𝑦 + 4 = 0

5. 8𝑥2 − 22𝑥 + 15 = 0



Reto Individual.

6. 2𝑥2 = 9𝑥 − 10

7. 2𝑦2 + 5𝑦 = 3

8. 6𝑚2 = 7𝑚 + 2

9. −12𝑥 + 1 = −9𝑥2

10. 𝑥2 + 6𝑥 = −4



Factorización. Ejemplo 1.

Hallar las raíces de la ecuación: 𝑥2 − 7𝑥 + 10 = 0

Solución.

Se factoriza (el trinomio

𝑥2 − 7𝑥 + 10 = 0

(𝑥 − 5)(𝑥 − 2) = 0

Cada factor se iguala a 0 y se resuelve cada una de las ecuaciones:

𝑥 − 5 = 0 ; 𝑥 − 2 = 0

𝑥 = 5 𝑥 = 2

Por tanto las raíces de la ecuación son: 𝑥1 = 5, 𝑥2 = 2

Ejercicios.

1. 𝑥2 − 5𝑥 − 6 = 0

2. 𝑥2 + 11𝑥 + 24 = 0

3. 𝑚2 − 𝑚 − 20 = 0

4. 𝑥2 = 𝑥 + 90

5. 3𝑥2 − 11𝑥 + 10 = 0

Reto individual.

6. 14𝑥2 − 33𝑥 − 5 = 0

7. 3𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0

8. −𝑥2 + 5𝑥 − 4 = 0

9. 𝑦2 + 6𝑦 + 9 = 0

10. 3𝑥2 − 6 = 7𝑥

Nombre del alumno: Grupo: Fecha: de trabajo matemáticas sabatino agos... · Actividad 1:...

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